Download - 1 ESTATÍSTICA. 2 UDIII - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Ass 01: DISTRIBUIÇÃO da MÉDIA AMOSTRAL ESTATÍSTICA
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ESTATÍSTICA
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UDIII - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Ass 01: DISTRIBUIÇÃO da MÉDIA AMOSTRAL
ESTATÍSTICA
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! Embora esta UD trate de INFERÊNCIA ESTATÍSTICA, no Assunto 01 - Distribuição da Média Amostral ainda trabalharemos com populações conhecidas.
Estimativas sobre a população desconhecida serão objeto do Assunto 02 - Intervalo de Confiança.
ADVERTÊNCIA
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OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Organizar a distribuição amostral da média;
• Relacionar erro padrão da média amostral, desvio padrão e tamanho da amostra;
• Relacionar o valor esperado da média amostral com o valor da média populacional;
• Explicar o Teorema Central do Limite (TCL);
• Determinar a distribuição amostral da média.
5
SUMÁRIO
1 - Amostragem (Noções)
2 - Inferência Estatística3 - Métodos de Amostragem4 - Amostragem Aleatória
5 - Distribuição da Média Amostral6 - Teorema Central do Limite (TCL)7 - Confiança da Média Amostral
PRIMEIRA PARTE
SEGUNDA PARTE
6
SUMÁRIO
1 - Amostragem (Noções)
2 - Inferência Estatística
3 - Métodos de Amostragem
4 - Amostragem Aleatória
PRIMEIRA PARTE
7
1 - AMOSTRAGEM (Noções)
• AMOSTRAGEM
• TEORIA DA AMOSTRAGEM
Atividade de coletar amostras.
Estudo das relações entre a população e as amostras dela extraídas.
8
• CENSO
• CENSO ou AMOSTRAGEM ?
Requer o exame
de TODOS os itens
da POPULAÇÃO.
O que considerar ao decidir.
1 - AMOSTRAGEM (Noções)
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• REPRESENTATIVIDADE DA AMOSTRAUma amostra representativa tem as mesmas características da população da qual foi retirada.
1 - AMOSTRAGEM (Noções)
Sangue
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SUMÁRIO
1 - Amostragem (Noções)
2 - Inferência Estatística
3 - Métodos de Amostragem
4 - Amostragem Aleatória
PRIMEIRA PARTE
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2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
USO DA PARTE
PARA ESTIMAR
(AVALIAR) O
TODO.
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2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont)
CONHECIDA PROCURADA
DEDUÇÃO AmostraPopulação
INDUÇÃO
?
?Amostra População
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PROBABILIDADE: De uma população de 7 lâmpadas, sendo 3 perfeitas, extrai-se 3 lâmpadas, sem reposição. Qual a probabilidade de obtermos as 3 lâmpadas perfeitas?
PopulaçãoConhecida
Amostra Desejada DEDUÇÃO
2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont)
População Amostra
35
1
14
ESTATÍSTICA INDUTIVA (ou INFERENCIAL)
Uma Parte (Amostra) O Todo (População)EstimaConhecida Desconhecida
2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont)
Indução (ou Inferência)
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produz avaliações sobre a população após o exame detalhado de apenas UMA parte dela.
INFERÊNCIA:
?
2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont)
Média ?
amostra
cm 4,1405s
cm 3,168x
amostra
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SUMÁRIO
1 - Amostragem (Noções)
2 - Inferência Estatística
3 - Métodos de Amostragem
4 - Amostragem Aleatória
PRIMEIRA PARTE
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3 - MÉTODOS DE AMOSTRAGEM
• AMOSTRAGEM ALEATÓRIA
• AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
• AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS
• AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
• AMOSTRAGEM MÚLTIPLA
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SUMÁRIO
1 - Amostragem (Noções)
2 - Inferência Estatística
3 - Métodos de Amostragem
4 - Amostragem Aleatória
PRIMEIRA PARTE
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(Simples ao Acaso ou Randômica)
4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA
Equivale ao sorteio lotérico
Cada elemento da população tem a
mesma chance de ser incluído na amostra.
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4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA (cont)
• Técnicas de AleatorizaçãoTécnicas de Aleatorização
Tabela de Números Aleatórios
9312 4187 1209 8864 ...... .......
...... ...... .......
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4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA (cont)
• Amostragem Aleatória COM Reposição
N = 3
1,78 1,79 1,81
n = 2
1,78; 1,78 1,78; 1,79 1,78; 1,81
1,79; 1,78 1,79; 1,79 1,79; 1,81
1,81; 1,78 1,81; 1,79 1,81; 1,81
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OBTENÇÃO
DE TODAS
AS AAS,
COM
REPOSIÇÃO,
USANDO O
DIAGRAMA
DE ÁRVORE
1,78
1,79
1,81
1,78
1,79
1,81
1,78
1,79
1,81
1,78
1,79
1,81
1,78 1,78
1,78 1,79
1,78
1,79
1,79
1,79
1,81
1,81
1,81
1,81
1,78
1,79
1,81
1,78
1,79
1,81
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4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA (cont)
• Amostragem Aleatória SEM Reposição
N = 3
1,78 1,79 1,81
1,81; 1,79
n = 2
1,78; 1,79 1,78; 1,81
1,79; 1,78 1,79; 1,81
1,81; 1,78
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SUMÁRIO
1 - Amostragem 2 - Inferência Estatística3 - Métodos de Amostragem4 - Amostragem Aleatória
5 - Distribuição da Média Amostral6 - Teorema Central do Limite (TCL)7 - Confiança da Média Amostral
PRIMEIRA PARTE
SEGUNDA PARTE
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SUMÁRIO
5 - Distribuição da Média Amostral
6 - Teorema Central do Limite (TCL)
7 - Confiança da Média Amostral
SEGUNDA PARTE
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5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL
Uma Distribuição Amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar devido às flutuações casuais na amostragem (Variabilidade Amostral).
A distribuição amostral que interessa ao nosso curso é a da MÉDIA, conhecida como DMA.
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5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont)
Montagem da DMA
Pop.Todas as Amostras
1
2
k
3
Média Amostral
1X
2X
3X
kX
DMA
X if
1
28
5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont)
Exemplo1: Monte a DMA para AA n = 2, COM reposição, da população de alturas (cm) abaixo.
178
179181
178
179
181
178179181
178179181
178179181
178 X1 178,5 X2 179,5 X3
178,5 X4
179 X5 180 X6
179,5 X7
180 X8 181 X9
DMA
X if
178178,5179179,5180181
1/92/91/92/92/91/9 1
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5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont)
Exemplo2: Monte a DMA para AA n = 2, SEM reposição, da população de alturas (cm) abaixo.
178
179181
178
179
181
179
181
178
181
178
179
178,5 X3
180 X4
179,5 X5
180 X6
178,5 X1
179,5 X2 DMA
X
178,5
179,5
180
2/6
2/6
2/6
1
fi
30
DMA n = 2X if
1
1785,178
5,179179
180181
9192
9292
91
91 0,6236
0,3889
3179,
x
x
x
2
1,2472 ; 51, ; 3179, 2 População: {178, 179, 181}
Com Sem
X if
1
5,178
5,179
180
62
62
62
DMA n = 2
Resumo dos Exemplos 1 e 2
0,8819
70,
3179,
x
x
x
2
31
5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont)
Exemplo 3
Para a população {1, 3, 5, 5, 7} sob amostragem com reposição e fazendo n = 1, 2 e 3, pede-se:
a) calcule a média e a variância de cada DMA.
b) esboce um gráfico para cada DMA.
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1,3,5,5,7
É a própria população
N = 5 ; n = 1
4,16 ; 4,2 2
1 1
2
1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1 3 5 7 X
33
DMAX if
2345
1
67
1
251252255256256254251
N = 5 ; n = 2
0,040,08
0,200,24 0,24
0,16
0,04
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
1 2 3 4 5 6 7 X
2,08 X Var; 4,2 XE
Pop: 1,3,5,5,7
34
X P r o b1 1 /1 2 5
1 ,6 7 3 /1 2 52 ,3 3 9 /1 2 5
3 1 6 /1 2 53 ,6 7 2 4 /1 2 54 ,3 3 2 7 /1 2 5
5 2 3 /1 2 55 ,6 7 1 5 /1 2 56 ,3 3 6 /1 2 5
7 1 /1 2 5 1
DMA
N = 5 ; n = 3
1,39 X Var; 4,2 XE
0,0080,024
0,072
0,128
0,192
0,216
0,184
0,12
0,048
0,008
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
1 1,67 2,33 3 3,67 4,33 5 5,67 6,33 7 X
Pop: 1,3,5,5,7
35
Resumo dos resultados do Exemplo 3
1 1
2
1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1 3 5 7
População
0,040,08
0,200,24 0,24
0,16
0,04
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
1 2 3 4 5 6 7
AA n = 2
0,0080,024
0,072
0,128
0,192
0,216
0,184
0,12
0,048
0,008
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
1 1,67 2,33 3 3,67 4,33 5 5,67 6,33 7
AA n = 3
Pop: 1,3,5,5,7
Var = 2,08
( = 4,16/2)
Var = 4,16Média = 4,2
Var = 1,39
( = 4,16/3)
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COMPORTAMENTO das DMA
• As médias amostrais tendem a agrupar-se em torno da média populacional.
• Aumentando n, a DMA tende para uma curva normal cada vez menos dispersa.
• As DMA têm média igual à da população.
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1 - N
n - N .
n x
RELAÇÕES MATEMÁTICAS : DMA & POPULAÇÃO
x
n
x
22
n x
1 - N
n - N .
n
x
22
Com Reposição Sem Reposição
• Média
• Variância
• Desvio Padrão
Fator de correção (de população) finita
x
38
SUMÁRIO
5 - Distribuição da Média Amostral
6 - Teorema Central do Limite (TCL)
7 - Confiança da Média Amostral
SEGUNDA PARTE
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6 - TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (TCL)
Em amostras aleatórias simples (com reposição) de tamanho n, a média amostral X flutua em torno da média populacional com erro padrão .n
À medida que n aumenta, a DMA flutua cada vez menos em torno do alvo , tornando-se cada vez mais próxima da Normal (forma de sino).
40
Se a população sob
amostragem for normal, a
distribuição das médias
amostrais será normal
para todos os tamanhos
de amostras.
Conseqüência 1 do TCL
41
Se a população básica
é não normal, a distribuição
das médias amostrais será
aproximadamente normal
para grandes amostras
(n > 30).
Conseqüência 2 do TCL
42
Teorema Central
do Limite
Resumindo
43
6 - TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (cont)
Exemplo de Aplicação do TCL
Se os pesos dos alunos da Universidade “ A ” seguirem o modelo normal, com média de 70 kg e desvio padrão de 9 Kg, responda:
a) escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter mais de 79 kg?
% 15,87 79) (X P 1 9
70 - 79 z ; 70
44
Se os pesos dos alunos da Universidade “ A ” seguirem o modelo normal, com média de 70 kg e desvio padrão de 9 Kg, responda:
b) escolhida uma amostra de três alunos, ao acaso e com reposição, qual a probabilidade dela ter média maior que 79 kg?
5,1962 3
9
n ; 70 xx
% 18 4, 79) X( P 1,73 5,1962
70 - 79 z
SOLUÇÃO P(média > 79)
Nota: Não precisamos montar a DMA, nós conhecemos o TCL. Que bom!!!!
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SUMÁRIO
5 - Distribuição da Média Amostral
6 - Teorema Central do Limite (TCL)
7 - Confiança da Média Amostral
SEGUNDA PARTE
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7 - CONFIANÇA DA MÉDIA AMOSTRAL
QUÃO PROVÁVEL É UM VALOR PARA A MÉDIA AMOSTRAL?
Exemplo: Um fabricante de lâmpadas de 120 V informa no seu catálogo que seus produtos têm vida útil distribuída normalmente com média de 800 horas e desvio padrão de 200 horas. Calcule a probabilidade de que uma amostra aleatória de 25 lâmpadas instaladas na sua empresa tenham, em média, vida útil abaixo de 750 horas.
47
Obs: Esta amostragem, a rigor, é sem reposição entretanto, N pode ser considerada uma população infinita o que dispensa o uso do fator de correção.
) I Tab ( 1056,0 )25,1Z(P)25,1Z(P
25/200
800750
n/
XP)750X(P
:Soluçãon/
X
X EPde
XZ
?)750XP( :Pedido
25n ; 200 ; 800 :Dados
σ
μ
σ
μμ
σμ
48
PRATIQUE COM OS
EXERCÍCIOS.
BOA SORTE!