Download - 01 - EDO - ENL - UFAL
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Prof. Eduardo Nobre LagesContatos:
Julho de 2014Macei Alagoas Brasil
[email protected] (82) 3214-1293
Equaes Diferenciais Ordinrias
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Referncia:Referncia:Equaes Diferenciais Elementares e Equaes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de ContornoProblemas de Valores de ContornoWilliam E. William E. BoyceBoyce & Richard C. Di Prima& Richard C. Di Prima88aa EdioEdioRio de Janeiro: LTC Rio de Janeiro: LTC 20062006
Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias
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Referncia:Referncia:Equaes Diferenciais com Aplicaes Equaes Diferenciais com Aplicaes em Modelagemem ModelagemDennis G. Dennis G. ZillZillSo Paulo: So Paulo: ThomsonThomson 20032003
Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias
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Referncia:Referncia:Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais Uma Introduo Uma Introduo a Mtodos Modernos e suas Aplicaesa Mtodos Modernos e suas AplicaesJames R. James R. BrannanBrannan & William E. & William E. BoyceBoyceRio de Janeiro: LTC Rio de Janeiro: LTC 20082008
Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias
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Referncia:Referncia:AdvancedAdvanced EngineeringEngineering MathematicsMathematicsErwin Erwin KreyszigKreyszig99thth EditionEditionSingaporeSingapore: : John John WileyWiley & Sons & Sons 20062006
Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias
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Introduo s Equaes Diferenciais Definio: Tratam-se de equaes envolvendo uma funo
incgnita e suas derivadas, alm de variveis independentes.
Qual a motivao para se estudar equaes diferenciais?
Exemplos:
0x4)x(y)x(y9
)t,x(uE)t,x(u xx,
x a varivel independente y(x) a funo incgnita
x e t so as variveis independentes u(x,t) a funo incgnita
As equaes diferenciais esto presentes na formulaodiferencial dos modelos representativos dos fenmenosestudados nas cincias fsicas, biolgicas e sociais.
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n Algumas aplicaes das equaes diferenciais:
Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais
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n Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):
Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais
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n Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):
Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais
22 yayy --=
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n Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):
Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais
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Encontrar uma funo incgnita que satisfaa identicamente a equao diferencial. Quando essa funo a mais geral possvel, associada a constantes de integrao, ela dita soluo geral. Quando a soluo apresentada para alguns valores especficos das constantes de integrao essa dita soluo particular. Certas equaes diferenciais possuem ainda soluo que foge ao formato geral, denominada de soluo singular.
n O que desejamos quando encontramos uma equao diferencial?
Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais
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n Exemplificando os tipos de soluo:)x(y)x(y =
xCe)x(y =Soluo geral x
x
e3)x(ye)x(y-=
=
Solues particulares
C=-2
C=0
C=1
C=2
C=-1
Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais
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n Exemplificando os tipos de soluo (continuao):
0)x(y)x(yx)x(y 2 =+-
2CCx)x(y -=Soluo geral 9x3)x(y
1x)x(y-=
-=
Solues particulares4x)x(y
2
=
Soluo singular
Solues particulares
Soluo singular
Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais
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nSer que ns sabemos resolver equaes diferenciais?
Simmmm!!!! No curso de Clculo Diferencial e Integral, a cada integral resolvida tinha-se uma
equao diferencial solucionada.
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n Classificaes: Ordinria (EDO) versus Parcial (EDP) a depender se a
equao diferencial apresenta uma ou mais variveis independentes.
Linear versus No Linear a depender se os termos envolvendo a funo incgnita e suas derivadas se apresentam na forma linear.
Homognea versus No Homognea a depender se o termo que independe da funo incgnita e suas derivadas identicamente nulo.
n Exemplos:EDO de 1a ordem, no linear e no homognea0x4)x(y)x(y9 =+
EDP de 2a ordem, linear e homognea)t,x(uE)t,x(u xx,r=&&
n Ordem de uma equao diferencial: Ordem da mais alta derivada da funo incgnita presente equao diferencial.
EDO de 2a ordem, no linear e homognea0)t(sengL)t( =q+q&&
Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais
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LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Formas de apresentao da equao diferencial:
Forma Normal ))x(y,x(f)x(y =
n Campo de direes:
Forma Diferencial 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+
Baseia-se na apresentao da equao diferencial na forma normal.
Geometricamente a forma normal estabelece, em qualquer ponto (x,y), o valor do coeficiente angular (y=dy/dx) da reta tangente soluo da equao diferencial neste ponto.
O campo de direes pode ser visualizado pelo desenho de pequenos segmentos de reta num conjunto representativo de pontos no plano xy.
Ex: y=x+2xy
Ex: (1+2y)dx-(1/x)dy=0
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LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Campo de direes (continuao):
y=f(x,y)=x+2xy
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LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Campo de direes (continuao):
y=f(x,y)=x+2xy
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Qual a relao entre Qual a relao entre os campos de os campos de direes e as direes e as solues das solues das
equaes equaes diferenciais? diferenciais?
EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Campo de direes (continuao):
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LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Campo de direes (continuao):
y=f(x,y)=x+2xy
campo de direessolues
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LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Problema de Valor Inicial (PVI): Um PVI de uma equao diferencial ordinria de 1 ordem
consiste em encontrar uma soluo
para
e que satisfaz a condio inicial condio inicial
onde x0 algum valor de interesse da varivel independente e y0 o correspondente valor desejado da varivel de estado do problema.
y(x))f(x,(x)y =
y(x)y =
00 y)y(x =
A condio inicial condio inicial usualmente fixa um valor especfico para a constante de integraoconstante de integrao presente na soluo soluo geralgeral da equao diferencial.
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n Problema de Valor Inicial (PVI): Um PVI de uma equao diferencial ordinria de 1 ordem
est sujeito a trs questionamentos
Existncia de soluo
Unicidade da soluo
Intervalo de validade da soluo
Teorema: Se a funo f(x,y(x)) do PVI contnua em um retngulo aberto R onde a< x
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Esse problema no tem soluo uma vez que a derivada de u no definida em um intervalo contendo o tempo inicial t = 1.
EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Problema de Valor Inicial (PVI):
Inexistncia de soluoConsidere o PVI
2)1( ,3 =-= utuu
Ento no h uma curva soluo (curva integral) que passa pelo ponto (1;2).
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LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Problema de Valor Inicial (PVI):
No unicidade de soluoConsidere o PVI
0)0( ,2 == uuu
Pode-se verificar que tanto u(t) = 0 como u(t) = t2 so solues desse PVI para t > 0.
Mais de uma curva integral passa por esse estado inicial.
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n Problema de Valor Inicial (PVI):
Intervalo de validade da soluoConsidere os dois similares PVI
0)0( ,1 2 =-= uuu
0)0( ,1 2 =+= uuu
O primeiro PVI tem soluo
)tanh(11)( 2
2
teetu t
t
=+-
=
que existe para qualquer valor de t.
O segundo PVI tem soluo)tan()( ttu =
que existe apenas no intervalo p/2 < t < p/2.
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n Mtodos de Soluo: Situao elementar na forma normal
)x(f)x(y = Cdx)x(f)x(y += C
10x)xsen()x(y
5x)xcos()x(y
2
++-=+-=Exemplo:
A soluo representa uma famlia de curvas
Obs: Esta mesma sequncia pode ser empregada para y(x)=f(y), s que, neste caso, determina-se x em funo de y.
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n Mtodos de Soluo (continuao):
0dxdyy9x4ou 0)x(y)x(y9x4 =+=+Exemplo:
C9ydy4xdx09ydy4xdx =+\=+ Cy
29x2 22 =+
A soluo representa uma famlia de elipses centradas na origem
Situao elementar na forma diferencial0dy)y(Ndx)x(M =+ Cdy)y(Ndx)x(M =+
Conhecida como equao diferencial com variveis separveis
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n Mtodos de Soluo (continuao): Situao particular na forma normal que pode ser reduzida
a uma equao diferencial com variveis separveis
=
xyf)x(y
)x(ux)x(u)x(yx)x(u)x(y +==\
Com variveis separveis
Mudana de varivel:x
)x(y)x(u =
0du)u(fu
1dxx1ou f(u)u(x)(x)xu =
-+=+
Fazendo a substituio na equao original tem-se que
Cdu)u(fu
1ln(x) =-
+ Ao se determinar a soluo implcita da ED, faz-se a substituio de u(x) por y(x)/x, definindo-se
a soluo em termos das variveis originais.
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Cdu1u
u2)xln(u1u
21)u(f 2 =+
+\
-=\
Exemplo:
-==+-
yx
xy
21you 0xyyxy2 22
( ) ( ) K1uxou C1uln)xln( 22 =+=++\
A soluo representa uma famlia de circunferncias
Retornando s variveis originais e arrumando a expresso tem-se que
Kxyx 22 =+
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n Mtodos de Soluo (continuao): Equao diferencial exata
x)y,x(N
y)y,x(M
=
Definio: A equao diferencial dita exata quando as funes M(x,y) e N(x,y) da forma diferencial gozam da propriedade
dy)y,x(Ndx)y,x(Mdyy
)y,x(udxx
)y,x(udu +=
+
=
Quando um equao diferencial exata, ento existe uma funo u(x,y) tal que o seu diferencial total representa o membro esquerdo da equao diferencial, ou seja,
y)y,x(M
x)y,x(Nou
x)y,x(u
yy)y,x(u
x
=
=
sabido que para as funes suaves a derivada cruzada de segunda ordem independe da sequncia de derivao, ou seja,
)y,x(Ny
)y,x(u e )y,x(Mx
)y,x(u=
=
Condio j garantida
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Equao diferencial exata (continuao)Soluo: Partimos de uma das igualdades entre as derivadas parciais da funo u(x,y) e as funes M(x,y) e N(x,y).
Substituindo agora esse resultado na segunda igualdade tem-se
( ) )y,x(N)y(fdx)y,x(My
=+
Como du(x,y) tambm igual a zero, tem-se que a funo u(x,y) uma constante, de onde se conclui que a soluo implcita da equao diferencial exata dada por
( ) Cdydx)y,x(My
dy)y,x(Ndx)y,x(M =
-+
( )
-=\ dx)y,x(My
)y,x(Ndy
)y(df
( )
-= dydx)y,x(My
dy)y,x(N)y(f
)y(fdx)y,x(M)y,x(u)y,x(Mx
)y,x(u+==
Considerando a primeira delas,
Cuidado!
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Equao diferencial exata (continuao)Exemplo: [ ] 0dyy2)y3cos(x3dx)y3(xsen2 2 =++Verificando se a equao diferencial exata
exata. ED a )y3cos(x6xN
yM Como
y2)y3cos(x3)y,x(N e )y3(xsen2)y,x(M 2
=
=
+==
( ) ( ) )y3sen(xdyMdxy
)y3cos(x3Mdxy
y)y3sen(xNdy e )y3sen(xMdx
22
222
=
\=
+==
Desenvolvendo as parcelas temos
chegando-se soluo implcita: Cy)y3sen(x 22 =+
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n Fator de integrao de uma ED no exata: Motivao - possvel transformar uma ED exata em uma
no exata multiplicando-a por uma certa funo.
exata. no 0dy2xydx porm , =+exata 0dy
2xxydx
2
=+Exemplo:
Idia Encontrar uma certa funo (fator de integrao) que transforme uma ED no exata em um exata.
exata. no seja 0dy)y,x(Ndx)y,x(M que Considerar =+
)FN(x
)FM(y
exata seja 0FNdyFMdx | ?)y,x(F
=
\=+=
Problema
Este problema mais complicado que o original.
Troquei uma EDO por uma EDP.
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n Fator de integrao de uma ED no exata (continuao):
Vamos supor que o fator de integrao seja funo apenas de uma das variveis, ou seja, F=F(x) ou F=F(y).
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n Fator de integrao de uma ED no exata (continuao):
-
=
+=
=
=
xN
yM
N1
dxdF
F1
xNFN
dxdF
yMF)FN(
x)FM(
y ento , )x(FF Se
F=F(x) s existir se o membro direita for independente da varivel y.
Possibilidades: O membro direita independe de y Determinamos o fator de integrao, reescrevemos a ED (agora exata) e solucionamos com o mtodo j apresentado. Caso contrrio Tentamos encontrar um fator de integrao que s dependa da varivel y, ou seja, F=F(y).
-
=yM
xN
M1
dydF
F1
F=F(y) s existir se o membro direita for independente da varivel x.
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n Fator de integrao de uma ED no exata (continuao):Exemplo: ( ) 0xydy2dxy3x4 2 =++
exata no ED y2xNy6
yM
xy2)y,x(N e y3x4)y,x(M 2
\=
=
=+=
Existe algum fator de integrao do tipo F=F(x)?
( ) possvel F(x)Fx2y2y6
xy21
xN
yM
N1
=\=-=
-
2x)x(F)xln(2)Fln(dxx2dF
F1
x2
dxdF
F1
==\=\=
Trabalhando as etapas posteriores chegamos a seguinte soluo implcita da equao diferencial
Cyxx 234 =+
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n Equao diferencial ordinria linear: Formato )x(q)x(y)x(p)x(y 0 =+
Homognea 0)x(y)x(p)x(y 0 =+Variveis
separveis
-
-
-
=
=
=
-=
=+
=+
dx)x(p
dx)x(pC
dx)x(pC
0
0
0
0
0
0
Ke)x(yee)x(y
e)x(y
dx)x(pC)yln(
C)yln(dx)x(p
Cdyy1dx)x(p
0dyy1dx)x(p0 =+
Soluo:Na forma diferencial
Empregando o procedimento j apresentado
Soluo geral
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No Homognea )x(q)x(y)x(p)x(y 0 =+No
exataSoluo:
( ) 0dydx)x(qy)x(p0 =+-Na forma diferencialProcurando um fator de integrao no formato F=F(x)
n Equao diferencial ordinria linear (continuao):
possvel )x(pxN
yM
N1
dxdF
F1
0 \=
-
=
==\= dx)x(p00 0e)x(Fdx)x(p)Fln(dx)x(pdFF1
( )
( ) ( )
Cdx)x(peyyedx)x(qeydx)x(pe
dx)x(peydydx)y,x(My
dx)x(pedx)y,x(My
yedy)y,x(N e dx)x(qeydx)x(pedx)y,x(M
0dyedx)x(qy)x(pe
0dx)x(pdx)x(pdx)x(p
0dx)x(p
0dx)x(p
0dx)x(p
dx)x(pdx)x(p0
dx)x(p
dx)x(p0
dx)x(p
0000
00
000
00
=-+-
=
\=
=-=
=+-
Desenvolvendo o procedimento j apresentado
Soluo geral
+=\
-Cdx)x(qee)x(y
dx)x(pdx)x(p 00
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n Aplicaes das EDOs de primeira ordem:Problema de Dissoluo: Em um reservatrio, armazena-se uma quantidade conhecida de um produto dissolvido em um volume de gua. A partir de um dado instante, este reservatrio passa a ser abastecido por uma tubulao que despeja uma soluo desse produto em uma concentrao de c (M/L3), a uma vazo de q (L3/T). Neste mesmo instante, abre-se um orifcio na parte inferior do reservatrio, permitindo-se um vazo de sada tambm de q (L3/T). Pede-se encontrar o histrico da quantidade do produto em pauta no reservatrio.
Vazo = q Concentrao = c
Vazo = q
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C
C
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/
C
T
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C
/
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EDOs 1a Ordem
Problema de Dissoluo: (continuao)
EDO
Condio inicial 0Q)0(Q =
tVq
0
tVq
eQ e1cV)t(Q +
=
Contribuio da concentrao de entrada
Contribuio da quantidade inicial
=
V)t(Q
cqdt
)t(dQ
0dQcVQ
Vqdt =
+
Forma normal
Forma diferencial
Soluo
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cV/Q0=0,6
cV/Q0=0,4
cV/Q0=0,2
qt/V
Q(t)
/Q0
Dois parmetros de Dois parmetros de influncia do modeloinfluncia do modelo
tVq t
Vq
00
e e1 QcV
QQ(t) --
+
-=
EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemProblema de Dissoluo: (continuao)
Soluo normalizada
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LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):Problema de Aquecimento/Resfriamento: A Lei de Newton de aquecimento/resfriamento estabelece que a taxa de variao de temperatura de um corpo proporcional diferena de temperatura do corpo e do meio envolvente. Pede-se encontrar o histrico da temperatura de um corpo quando a temperatura do meio envolvente mantida constante.
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LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Problema de Aquecimento/Resfriamento: (continuao)
EDO
Condio inicial 0TT(0) =
( )[ ]tTTkdt
dT(t)me -=
( ) 0dTTTk1dt
me
=-
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Forma normal
Forma diferencial
Soluo
( ) kt0meme eTTTT(t) ---=
Contribuioda temperatura
do meio envolvente
Contribuio da diferena de temperatura
-
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T0/Tme=0,7
kt
T(t)/
T me
T0/Tme=0,9
T0/Tme=1,1
T0/Tme=1,3
Dois parmetros de Dois parmetros de influncia do modeloinfluncia do modelo
EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemProblema de Aquecimento/Resfriamento: (continuao)
Soluo normalizada
kt
me
0
me
eTT11
TT(t) -
--=
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):Trajetrias Ortogonais: Em muitos problemas de engenharia, assim como em outras reas, conhecida uma famlia de curvas, busca-se uma outra famlia de curvas que interceptam perpendicularmente as curvas da famlia inicial. As curvas dessa segunda famlia so denominadas trajetrias ortogonais. No escoamento de fluido, as trajetrias descritas pelas partculas fluidas chamam-se linhas de corrente, e as trajetrias ortogonais so denominadas de linhas equipotenciais. Para um escoamento em torno de um canto ortogonal as linhas de corrente so dadas por xy=c. Encontrar as expresses das linhas equipotenciais, representadas na figura abaixo pela curvas tracejadas.
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Trajetrias Ortogonais: (continuao)
Linhas de corrente
cxy =xyy -=
Derivada implcita
campo de direeslinhas de corrente
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Trajetrias Ortogonais: (continuao)
Linhas equipotenciais
yxy =EDO
Soluo geral
Variveis separveis
2xCy +=
campo de direeslinhas de correntelinhas equipotenciais
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Viscoelasticidade: Modelo linear de Kelvin
)t()t(E)t()t()t()t( AM eh+e=s\s+s=s &Por equilbrio
Solucionando a equao diferencial resultante
+
hs
=e\
+
hs
=e
hh-
hh-
Cdt)t(ee)t(
Cdt)t(ee)t(
tEtE
dtEdtE
)t( , )t( es
h
E
Soluo geral dependente da funo
de carregamento
hs
=eh
+e)t()t(E)t(ou & EDO Linear No
Homognea
n Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
s=s )t(No ensaio de fluncia
Impondo a condio inicial do problema
tEtEtE
tEtEtEtE
CeE
)t(CeE
e)t(
Cdtee)t(Cdtee)t(
h-
hh-
hh-
hh-
+s
=e\
+
hhs
=e\
+
hs
=e\
+
hs
=e
EC0C
E0)0( s-=\=+s\=e
-
s=e h
- tE
e1E
)t(
Soluo geral
0 5 10 150
0.5
1
t
25,0E =h
00,1E =h
00,4E =h
)()t(
ee
se
=)t()t(J
Mdulo de Fluncia do Material
Viscoelasticidade: Modelo linear de Kelvin (continuao)
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
)t()t()t( 10 s=s=sPor equilbrio
necessrio prescrever a tenso ou a deformao em
funo do tempo
)t( , )t( es
h
E
0E
)t()t(E)t( e )t(E)t( 111000 eh+e=se=s &Das relaes constitutivas)t()t()t( 10 e+e=eDa equao de compatibilidade
+
hs
+s
=eh
+e00 E
E1)t(E
)t()t(E)t(&
&
s=s )t(No ensaio de fluncia
+
hs
=eh
+e0E
E1)t(E)t(&0E
)0( s=e+ Condio inicial
-
s+
s=e h
- tE
0
e1EE
)t(
Viscoelasticidade: Modelo do slido linearpadro
n Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
e=e )t(No ensaio de relaxao
e=s 0E)0(+
Condio inicial
+
hs
+s
=eh 00 E
E1)t(E
)t(E &
ou
eh
=sh+
+sEE)t(EE)t( 00&
+
+e
=s
h+
- tEE
00
00
eEEEE
E)t(
Viscoelasticidade: Modelo do slido linear padro (continuao)
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Programas comerciais de matemtica simblica:
DeriveDerive
MathcadMathcad
MathematicaMathematica
MatlabMatlab
MapleMaple
Resoluo analtica e/ou numrica
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Programas comerciais de matemtica simblica (continuao):
Maple
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Programas comerciais de matemtica simblica (continuao):Maple
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Programas comerciais de matemtica simblica (continuao):Maple
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Mtodos aproximados:Motivao: possvel empregar os conhecimentos do Clculo Diferencial para a determinao da soluo particular aproximada do problema de valor inicial (PVI) dado por
))x(y,x(f)x(y = 0y)a(y =
Mtodos a serem discutidos:
Mtodo das aproximaes sucessivas de Mtodo das aproximaes sucessivas de PicardPicard Mtodo de TaylorMtodo de Taylor Mtodo Mtodo Explcito de Explcito de EulerEuler Mtodo do Ponto Mtodo do Ponto MdioMdio Mtodo do Ponto Mdio ModificadoMtodo do Ponto Mdio Modificado
-
EDO
Pr
of. E
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do N
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Mtodos aproximados (continuao):Mtodo das aproximaes sucessivas de Picard:
Da expresso acima cria-se a equao de recorrnciado mtodo na forma
Integrando-se a EDO do PVI e considerando-se a correspondente condio inicial tem-se
+=x
x0
0
y(t))dtf(t,yy(x)
K1,2,3,k com (t))dtyf(t,y(x)yx
x1-k0k
0
=+=
podendo-se assumir
00 y(t)y =
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Mtodo das aproximaes sucessivas de Picard (continuao):Exemplo:
2y(0) com 1y(x)(x)y =-=
A soluo analtica da EDO pode ser determinada, por exemplo, considerando-a com variveis separveis, de onde se conclui que
xe1y(x) +=
Aplicando-se o Mtodo de Picard, tem-sex21dt2(x)y
x
01 +=+=
Considere o PVI dado por
( )2xx2dtt12(x)y
2x
02 ++=++=
6x
2xx2dt
2tt12(x)y
32x
0
2
3 +++=
+++=
M
y(x)(x)y6
(x)y3(x)y2(x)y1
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Mtodos aproximados (continuao):Mtodo de Taylor:
Do Clculo Diferencial, sabe-se que uma funo y(x) pode ser representada, a partir de um ponto x=a, atravs da seguinte srie polinomial:
( ) ( )
( ) ( ) K+-+-
+-
+-+=
4)4(
3
2
ax!4
)a(yax!3
)a(y
ax!2
)a(yax)a(y)a(y)x(y
( )
=
-=0i
i)i(
ax!i
)a(y)x(y
ou
A srie em pauta encontrada forando-se que esta possui o mesmo valor da funo y(x) e de suas infinitas derivadas em x=a.
Baseia-se na representao da soluo particular da equao diferencial em srie polinomial (srie de Taylor).
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Mtodo de Taylor (continuao):Exemplo:
Qual a srie de Taylor da funo y(x)=sen(x) em relao ao ponto x=0?
L
K
-+-+-==
-=-==-=
====
!9x
!7x
!5x
!3xx)x(sen)x(y
1)0(y)xcos()x(y0)0(y)x(sen)x(y
1)0(y)xcos()x(y0)0(y)x(sen)x(y
9753
Se a srie for truncada at um nmero finito de termos, passaramos a ter uma representao aproximada para a funo y(x).
-
ED
O
P
r
o
f
.
E
d
u
a
r
d
o
N
o
b
r
e
L
a
g
e
s
L
C
C
V
/
C
T
E
C
/
U
F
A
L
EDOs 1a OrdemMtodo de Taylor (continuao):
Exemplo (continuao):
Grau 1
Grau 5
Grau 3
sen(x)
-
EDO
Pr
of. E
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Mtodo de Taylor (continuao):Como gerar a srie de Taylor da soluo particular do PVI dado por y(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y0?
0y)a(y =
)y,a(f))a(y,a(f)a(y 0==
?)a(y =
?)a(y =
...
-
EDO
Pr
of. E
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
L
)x(y
EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemMtodo de Taylor (continuao):
Como gerar a srie de Taylor da soluo particular do PVI dado por y(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y0? (continuao)
?)a(y =
))x(y,x(fdxd
=( )= )x(y
y,x, fff +=dx)x(dyff
y,x, +
=
)y,a(f)y,a(f)y,a(f)a(y 0y,00x, +=\
-
ED
O
P
r
o
f
.
E
d
u
a
r
d
o
N
o
b
r
e
L
a
g
e
s
L
C
C
V
/
C
T
E
C
/
U
F
A
L
)x(y
EDOs 1a OrdemMtodo de Taylor (continuao):
Como gerar a srie de Taylor da soluo particular do PVI dado por y(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y0? (continuao)
?)a(y y,x, fffdxd )x(y
20y,0yy,00xy,00y,0x,0xx,
)y,a(f)y,a(f)y,a(f)y,a(f2)y,a(f
)y,a(f)y,a(f)y,a(f)a(y
2y,yy,
2y,x,xy,xx, ffffffff2f
dxdyfff
yfff
x
y,x,y,x,
-
EDO
Pr
of. E
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Mtodo de Taylor (continuao):Exemplo:
1y(0) com )x(y)x(y =-=
A soluo analtica da EDO pode ser determinada considerando-a com variveis separveis, de onde se conclui que -xey(x) =
De acordo com o Mtodo de Taylor, as derivadas da soluo em x=0 necessrias para a construo da respectiva srie so dadas por
etc ,1)0(y)0(y ,1)0(y ,1y(0) =-=-==chegando-se a
K+-+-=!3
x!2
xx1)x(y32
Considere o PVI dado por
-
EDO
Pr
of. E
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Mtodo de Taylor (continuao):Exemplo (continuao):
S1(x)
S2(x)
S3(x)
S4(x)
S5(x)
S6(x)
S7(x)
y(x)=e-x
IntervaloIntervalo versusversus PrecisoPreciso versusversus Termos da srieTermos da srie Termos da srieTermos da srie versusversus Derivadas parciaisDerivadas parciais versusversus TdioTdio
-
EDO
Pr
of. E
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obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Mtodos aproximados (continuao):Mtodo Explcito de Euler:
Se for empregado intervalos uniformes de passo h, este mtodo resulta na seguinte equao de recorrncia:
h)x(y)x(y~)x(y~ nn1n +=+
Baseia-se na representao da soluo particular da equao diferencial em srie polinomial truncada (srie de Taylor) at o termo linear, no sendo exigida com isso nenhuma deduo extra, porm o intervalo de interesse subdividido em vrios subintervalos.
[ ]h )x(y~,xf)x(y~)x(y~ nnn1n +=+ou
-
EDO
Pr
of. E
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
L
etc
EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos aproximados (continuao):
Mtodo Explcito de Euler (continuao):
x
y
x0 x1 x2
y0
y1~y2~ y(x): soluo particular
h h
Supondo que y(x) seja contnua e |f,y(x,y)| L dentro do domnio de interesse, tendo ainda |y(x)| M, possvel mostrar que
onde Dn representa o erro absoluto, ou seja,
( )[ ]1eL2
hMD Lxxn 0n --
( ) ( )nnn xy~xyD -=
D2
D1
-
EDO
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of. E
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obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Mtodo Explcito de Euler (continuao):Exemplo:
1y(0) com )x(y)x(y =-=Considere o PVI dado por
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Mtodos aproximados (continuao):Mtodo do Ponto Mdio:
2nnn1n
2nnn1n
h!2
)x(yh)x(y)x(y~)x(y~
h!2
)x(yh)x(y)x(y~)x(y~
+-=
++=
-
+
Trata-se de um mtodo com grau de preciso mais altoque o Mtodo de Euler.Para deduo da equao de recorrncia, estimam-se os valores da soluo particular em vizinhanas de x=xnatravs da srie de Taylor truncada no termo quadrtico(da apresentar uma melhor preciso). Com isso,
Substraindo-se as partes acima, tem-seh)x(y2)x(y~)x(y~ n1n1n =- -+
que leva a[ ]h y~,xf2)x(y~)x(y~ nn1n1n += -+
Exige um tratamento particular no 1o passo
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Mtodo do Ponto Mdio (continuao):Exemplo:
1y(0) com )x(y)x(y =-=Considere o PVI dado por
O primeito pontofoi estimado pelo Mtodo de Euler
(100 passos)
-
EDO
Pr
of. E
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
n Mtodos aproximados (continuao):Mtodo do Ponto Mdio Modificado:
22/1n
2/1n2/1nn
22/1n
2/1n2/1n1n
2h
!2)x(y
2h)x(y)x(y~)x(y~
2h
!2)x(y
2h)x(y)x(y~)x(y~
+-=
++=
+++
++++
Continua sendo um mtodo com grau de preciso mais altoque o Mtodo de Euler pois na deduo da equao de recorrncia estimam-se os valores da soluo particular em vizinhanas de pontos, inclusive um que auxiliar no passo, atravs da srie de Taylor truncada no termo quadrtico, ou seja,
Substraindo-se os termos acima, tem-seh)x(y)x(y~)x(y~ 2/1nn1n ++ =-
que leva a[ ]h y~,xf)x(y~)x(y~ 2/1n2/1nn1n +++ +=
O ponto mdio pode ser
estimado pelo Mtodo de Euler
em um passo
-
EDO
Pr
of. E
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do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem
Mtodo do Ponto Mdio Modificado (continuao):Exemplo:
1y(0) com )x(y)x(y =-=Considere o PVI dado por
-
ED
O P
rof.
Ed
ua
rdo
No
bre
La
ge
s
LC
CV
/CT
EC
/UF
AL
EDOLs 2a Ordem Equao diferencial ordinria linear:
homognea nocontrrio caso
homognea0)x(q
variveisescoeficient comcontrrio caso
constantes escoeficient comconstantes funes so )x(p e )x(p 10
)x(q)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y 01 Formato geral
0)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y 01 Considerando a homognea
Princpio da superposio: se y1(x) e y2(x) so solues da ED, ento qualquer combinao linear dessas funes, dada por c1y1(x)+c2y2(x), tambm soluo.
Com coeficientes constantes: estima-se a soluo no formato y(x)=elx, motivado pelo formato da soluo da EDO linear de 1a ordem.
l
l
2
p4pp
2
p4pp
razes
0
2
11
2
0
2
11
1
Substituindo-se na ED, chega-se denominada equao caracterstica, dada por
0pp 012 ll
Se essas funes forem independentes, essa combinao representa a soluo geral.
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOLs 2a Ordem
EDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):
Caso 1: razes reais e distintas
Caso 2: razes imaginrias
x2
x1
21 ececy(x) ll +=Soluo geral
x2
x1
21 ececy(x) ll +=Soluo geral
Reformatao da soluo geral
x)bia(2
x)bia(1 ececy(x)
-+ +=
bia e bia 21 -=l+=l+
( )dsenidcosee cdic +=+As razes so conjugadas:
Identidade de Euler:
Novo formato da soluo geral
[ ] [ ])bx(isen)bxcos(ec)bx(isen)bxcos(ecy(x) ax2ax1 -++=[ ])bx(isen)cc()bxcos()cc(ey(x) 2121ax -++=[ ])bx(senc)bxcos(ce)x(y 21ax +=
-
ED
O
P
r
o
f
.
E
d
u
a
r
d
o
N
o
b
r
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L
a
g
e
s
L
C
C
V
/
C
T
E
C
/
U
F
A
L
EDOLs 2a OrdemEDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):
Caso 3: razes reais e iguaisCom as razes 1=2==p1/2, temos que procurar uma outra funo da base de gerao da soluo geral. Assim como quando estudamos espaos vetoriais, a base deve ser formada por entidades linearmente independentes, cujo conceito pode ser facilmente adaptado quando se trata de espao de funes.O procedimento a seguir permitir encontrar uma outra funo da base a partir de uma j conhecida, vlido inclusive para a ED com coeficientes variveis. Em particular, esse ser til para tratar o caso em questo.
)x(y)x(u(x)y 12 Admitir para garantir que sejam LI.Como essa nova funo tambm deve satisfazer a ED, fazemos a substituio no intuito de determinar u(x). Portanto, 0uypyuyupyuyu2yu 10111111
0uypypyuypy2uy 101111111 0up
yy2u 11
1
x)x(u
Portanto, a soluo geral dada porx
2x
1 xecec)x(y
-
EDO
Pr
of. E
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
LEDOLs 2a Ordem
0KuuCuM =++ &&&
Equao de movimento
EDOL2OH
EDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):
Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livreC
K
Mu,u,u &&&
Equao caracterstica 02 2002 =w+lxw+l
MC2 e
MK onde 0uu2u 0
20
200 =xw=w=w+xw+ &&&
( )120 -xx-w=lRazes
0uMKu
MCuou =++ &&&
-
ED
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C
C
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/
C
T
E
C
/
U
F
A
L
Amplitude ngulo de fase
EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)
Caso 1: Sistema harmnico no amortecido 0=( )120 =Razes 0i=
Soluo geral ( ) ( ) ( )tsinCtcosCtu 0201 +=( ) ( )= tcosAtu 0
Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &
=
+=
00
02
0
020
u
varctan e
vuA
Soluo do PVI ( )
+=
00
00
2
0
020
u
varctantcos
vutu
-
ED
O
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r
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.
E
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r
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g
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s
L
C
C
V
/
C
T
E
C
/
U
F
A
L
1.00 =
0)0(u e 1)0(u == &1.0)0(u e 6.0)0(u == &
EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)
Caso 1: Sistema harmnico no amortecido (cont.)0=
1.0)0(u5.0)0(u
=
=
&
1.00 =2.00 =
-
ED
O
P
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b
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g
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C
C
V
/
C
T
E
C
/
U
F
A
L
EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)
( )120 =Razes ( )20 1i =Soluo geral ( ) ( ) ( )[ ]t1sinCt1cosCetu 202201t0 +=
( ) ( )= t1cosAetu 20t0Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &
+=
++
= 00
02
2
0
020
0
002 u
v
11
arctan e v
uvu2
11A
Soluo do PVI ( ) L=tu
Caso 2: Sistema subamortecido quando (Movimento harmnico amortecido)
10
-
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EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)
Caso 2: Sistema subamortecido quando (cont.)10
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EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)
( )120 =RazesSoluo geral ( ) t12t11
20
20
eCeCtu
++=
Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &( ) ( )
12v1uC e
12v1uC
20
02
0022
0
02
001
+
=
++
=
Soluo do PVI ( ) L=tu
Caso 3: Sistema superamortecido quando 1>
-
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EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)
Caso 3: Sistema superamortecido quando (cont.)1>
No h vibrao e sim um retorno lento posio de equilbrio.
1.03
0 =
=
0)0(u e 1)0(u == &1.0)0(u e 2.0)0(u == &
-
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EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)
( )120 =Razes 0=Soluo geral ( ) t2t1 00 teCeCtu +=
Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &000201 vuC e uC +==
Caso 4: Sistema com amortecimento crtico 1=
Soluo do PVI ( ) ( ) t000t0 00 tevueutu ++=
-
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EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)
Caso 4: Sistema com amortecimento crtico (cont.)1=
O amortecimento crtico representa o limite para o movimento no oscilatrio e, consequentemente, o movimento retorna ao repouso no menor prazo, sem
qualquer oscilao.
1.01
0 =
=
0)0(u e 1)0(u == &1.0)0(u e 2.0)0(u == &
-
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LEDOLs 2a Ordem
Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)
Uso do Maple
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EDOLs 2a Ordem
)t(Qk)t(Q
)t(Qk)t(Qk)t(Q
)t(Qk)t(Q
TTLL
TTLCCTT
CCTC
Equaes governantes:
EDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):
Exemplo: Reatores qumicos em batelada
Hiptese: reaes de 1a ordem e irreversveis
0)0(Q0)0(QQ)0(Q
L
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Condies iniciais:
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EDOLs 2a OrdemTcnica de soluo via substituio visando o desacoplamento:
Exemplo: Reatores qumicos em batelada (continuao)
0)t(Qkk)t(Qkk)t(Q TTLCTTTLCTT
Isolando a quantidade de produto da zona de carga na equao de reao da zona de transio e substituindo na equao de reao da zona de carga
tk2
tk1T
TLCT eCeC)t(Q com soluo geral
tktkT TLCT eeC)t(Q Com a condio inicial relacionada ao produto da zona de transio
tkC
CTeQ)t(Q
Retornando com essa soluo na equao isolada inicial e impondo a condio inicial da quantidade de produto da zona de carga tktk
TLCT
CTT
CTTL eekk
kQ)t(Q Finalmente retornando com essa soluo de QT na equao de reao da zona de lodo e impondo a correspondente condio inicial
TLCTtkCTtkTLTLCT
L kkekekkkQ)t(Q TLCT
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EDOLs 2a OrdemExemplo: Reatores qumicos em batelada (continuao)
t2C e)t(Q
t2tT ee2)t(Q
1e2e)t(Q tt2L
(M) 1Q (1/T) 1k (1/T) 2k TLCT
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LEDOLs Ordem N
n Equao diferencial ordinria linear:
homognea nocontrrio casohomognea0)x(q
variveisescoeficient comcontrrio casoconstantes escoeficient comconstantes funes so )x(p , ,)x(p 1n0
-K
)x(qy)x(py)x(py)x(py 01)1n(
1n)n( =++++ -- L
Formato geral
Considerando a equao homogneaSoluo geral: a soluo geral da equao homognea tem o formato c1y1(x)+ c2y2(x)+...+cnyn(x), onde as funes yi(x) formam a base da soluo.Com coeficientes constantes: Extrapolao do procedimento que foi feito para a equao diferencial ordinria linear de 2a ordem. Aqui, precisam ser determinadas razes de polinmios de grau N. No tratamento das razes repetidas, passa a ser considerada a funo u(x) no formato x, x2, etc, a depender do nmero de repeties da raiz.
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LEDOLs Ordem N
Considerando a equao no homogneaSoluo geral: a soluo geral da equao no homognea tem o formato yh(x)+ yp(x), onde a primeira parcela corresponde soluo da equao homognea e a segunda parcela representa alguma soluo particular da equao no homognea.
Soluo particular: Existem dois procedimentos para a determinao da soluo particular. Mtodo dos coeficientes a determinar Pode ser empregado quando a equao diferencial possui coeficientes constantes e a funo q(x) apresenta-se no formato polinomial, exponencial e trigonomtrico. A idia principal do mtodo consiste em admitir a soluo particular como uma expresso similar a da funo q(x), envolvendo coeficientes incgnitos que so determinados ao se tentar satisfazer a equao diferencial.
n Equao diferencial ordinria linear (continuao):
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LEDOLs Ordem N
Existem trs regras para a definio da expresso da soluo particular:
Mtodo dos coeficientes a determinar (continuao)
Regra Bsica Se q(x) uma das funes da coluna esquerda da tabela abaixo, a soluo particular escolhida no formato da coluna direita.
q(x) yp(x)keax Ceax
kxm Cmxm+...+C1x+C0Kcos(wt) ou Ksen(wt) Ccos(wt)+Dsen(wt)
Regra da Modificao Se q(x) uma soluo da equao homognea, ento multiplique a escolha da regra anterior por x (ou por x2, x3, ..., etc, a depender do nmero de repeties das razes da equao caracterstica).Regra da Soma Se q(x) a soma de funes da coluna esquerda da tabela acima, ento escolha a soluo particular como a soma dos formatos das correspondentes funes da coluna direita.
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LEDOLs Ordem N
Exemplos:
Mtodo dos coeficientes a determinar (continuao)
1) 2x8y4y =+
1x2)x2sen(B)x2cos(A)x(y
2C e 0C ,1CCxCxC)x(y
)x2sen(B)x2cos(A)x(y
2
210012
2p
h
-++=\
==-=++=
+=
2) xey2y3y =+-
xx2x
xp
x2xh
xeBeAe)x(y
1CCxe)x(yBeAe)x(y
-+=\
-==
+=
3) xeyy2y x +=+-
2xex21BxeAe)x(y
1D e 2D ,21CDxDeCx)x(y
BxeAe)x(y
x2xx
1001x2
p
xxh
++++=\
===++=
+=
-
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LEDOLs Ordem N
Soluo particular (continuao):
Mtodo da variao dos parmetros Trata-se de um mtodo mais geral, onde a soluo particular definida como uma combinao das funes base da soluo da equao homognea na forma
)x(y)x(u...)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y nn2211p +++=
onde as funes ui(x) so determinadas ao se tentar satisfazer a equao diferencial em estudo.
Para ilustrar o processo, vamos considerar uma equao diferencial ordinria linear de 2a ordem qualquer, ou seja,
cujas soluo geral da equao homognea escrita na forma
)x(q)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y 01 =++
)x(yc)x(yc)x(y 2211h +=Conforme estabelece este mtodo, vamos assumir que a
soluo da equao particular tem o formato)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 2211p +=
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LEDOLs Ordem N
Mtodo da variao dos parmetros (continuao)
Diferenciando a soluo particular temos que)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 22221111p +++=
Diferenciando mais uma vez essa funo temos que)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 22221111p +++=
Quando impomos a equao diferencial e organizamos as parcelas encontramos que
( )( )
)x(q)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y)x(u
)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y)x(u
2211
202122
101111
=++++
+++
Para balancear o nmero de incgnitas e o nmero de restries, como at o momento s temos como restrio a ED, vamos impor uma outra restrio na forma
ficando a primeira derivada da soluo particular apenas como
0)x(y)x(u)x(y)x(u 2211 =+
)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 2211p +=
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LEDOLs Ordem N
Mtodo da variao dos parmetros (continuao)
Arrumando as duas equaes de restrio no formato matricial tem-se
=
)x(q
0)x(u)x(u
)x(y)x(y)x(y)x(y
2
1
21
21
)x(W)x(q)x(y)x(u e
)x(W)x(q)x(y)x(u 1221 =-=
cuja soluo nos fornece
onde W(x) conhecido como o Wronskiano das funes y1(x) e y2(x), e representa o determinante da matriz dos coeficientes do sistema acima. Uma vez que essas funes so linearmente independentes, sabe-se que o Wronskiano diferente de zero, consequentemente o sistema apresenta a soluo acima.
Integrando-se as expresses acima chega-se s funes desejadas
=-= dx)x(W)x(q)x(y)x(u e dx
)x(W)x(q)x(y)x(u 1221
permitindo-se formar a soluo particular.
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EDOLs Ordem N
Exemplo:
Mtodo da variao dos parmetros (continuao)
x
ey4y4yx2
=+
x2x2h BxeAe)x(y +=
dxW(x)(x)q(x)y(x)u 21 =
dxW(x)(x)q(x)y(x)u 12 =
[ ]1)xln(xe)x(y x2p =
x22
x21 xe)x(y e e)x(y onde ==
Resolvendo a equao homognea
Determinando o Wronskiano (Este nome feio mesmo!)
)x(y)x(y)x(y)x(y)x(W
21
21
=
Soluo geral )x(y)x(y)x(y ph +=
x=
)xln(=
Resolvendo a equao particular
[ ]1-ln(x)xeBxeAe)x(y 2xx2x2 ++=
x4e=
NobreRectangle
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LEDONLs 2 Ordem
n Equao diferencial ordinria no linear:
( ) 0,,, = yyyxF Formato geral
Situaes tratadas analiticamenteMtodo da reduo de ordem: trata equaes diferenciais ordinrias de segunda ordem em que a funo incgnita y(x) ou a varivel independente x no est presente na equao diferencial, ou seja, F(x, y, y) = 0 ou F(y, y, y) = 0.Para essas situaes particulares pode-se empregar uma mudana de varivel na forma u = y, reduzindo-se a ordem da equao diferencial a ser resolvida.
Soluo geral: no existem procedimentos analticos que permitem construir a soluo geral de qualquer equao diferencial ordinria no linear, em particular para as equaes de 2 ordem.
Esta estratgia de mudana de varivel pode ser aplicada em EDOLHs de 2 ordem com coeficientes variveis (vide equao da difuso de calor em regime estacionrio sem gerao interna em domnios circulares e esfricos).
-
EDO
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LEDONLs 2 Ordem
Mtodo da reduo de ordem (continuao)
Pela simples substituio de y = u e y = u na equao diferencial original tem-se F(x, u, u) = 0, que de 1 ordem.
Caso F(x, y, y) = 0
Desde que F(x, u, u) = 0 possa ser resolvida na nova funo incgnita u(x), determina-se a funo incgnita original y(x) por integrao.
Exemplo:22 yxy =
22)()( xuuxyxu ==
22
1)( DdxCx
xy ++
-= ( ) 211 arctan)( DxDDxy +-=\\ LCx
xu+
-=\\ 21)( L
-
EDO
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LEDONLs 2 Ordem
Mtodo da reduo de ordem (continuao)
Utiliza-se a substituio y = u para transformar a equao diferencial em outra em que a nova varivel independente seja y e a nova funo incgnita u.
Caso F(y, y, y) = 0
Usando a Regra da Cadeia
Exemplo:2yy =
2 e udyduu
dyduuyuy ===
yCedxdy
= ( )21ln)( DxDxy +-=\\ L
yCeyu =\\ )( L
dyduu
dxdy
dydu
dxduy ===
0,, =
dyduuuyF
escreve-se a nova equao diferencial que precisa ser resolvida na forma
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EDO
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LSistema de EDOs de 1a Ordem
n Soluo numrica com o MATLAB (continuao):Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao forada
C
K
M
u,u &
)t(F
Equao de movimento
Adaptao do problema funo do MATLAB
M)t(F)t(u)t(v2)t(v
)t(v)t(u
200 +w-xw-=
=
&
&
M)t(F)t(u)t(u2)t(uou )t(F)t(Ku)t(uC)t(uM 200 =w+xw+=++ &&&&&&
J comentamos sobre estes parmetros
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EDO
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L
ODE45 Solve non-stiff differential equations, medium order method.[T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0) with TSPAN = [T0 TFINAL] integrates the system of
differential equations y' = f(t,y) from time T0 to TFINAL with initial conditions Y0. Function ODEFUN(T,Y) must return a column vector corresponding to f(t,y). Each row in the solution array Y corresponds to a time returned in the column vector T. To obtain solutions at specific times T0,T1,...,TFINAL (all increasing or all decreasing), use TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL].
[T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0,OPTIONS) solves as above with default integration properties replaced by values in OPTIONS, an argument created with the ODESET function. See ODESET for details. Commonly used options are scalar relative error tolerance 'RelTol' (1e-3 by default) and vector of absolute error tolerances 'AbsTol' (all components 1e-6 by default).
[T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0,OPTIONS,P1,P2...) passes the additional parameters P1,P2,... to the ODE function as ODEFUN(T,Y,P1,P2...), and to all functions specified in OPTIONS. Use OPTIONS = [] as a place holder if no options are set.
ODE45 can solve problems M(t,y)*y' = f(t,y) with mass matrix M that is nonsingular. Use ODESET to set the 'Mass' property to a function MASS if MASS(T,Y) returns the value of the mass matrix. If the mass matrix is constant, the matrix can be used as the value of the 'Mass' option. If the mass matrix does not depend on the state variable Y and the function MASS is to be called with one input argument T, set 'MStateDependence' to 'none'. ODE15S and ODE23T can solve problems with singular mass matrices.
See also other ODE solvers: ODE23, ODE113, ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TBoptions handling: ODESET, ODEGEToutput functions: ODEPLOT, ODEPHAS2, ODEPHAS3, ODEPRINTODE examples: RIGIDODE, BALLODE, ORBITODE
Sistema de EDOs de 1a Ordemn Soluo numrica com o MATLAB:
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L
0 50 100 150 200 250 300-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Sistema de EDOs de 1a Ordemn Soluo numrica com o MATLAB (continuao):
function dydt=mmaforcado(t,y,flag,ksi,w0,fmax_m,wf)% Adaptao funo ODE45 da equao de movimento do sistema % massa-mola-amortecedor submetido a uma fora senoidal. % Os parmetros do sistema so:% ksi = C/M (normalizao do amortecimento do sistema em relao massa)% w0 = K/M (normalizao da rigidez do sistema em relao massa)% A forca aplicada, F(t)=Fmax*sen(wf*t), descrita pelos seguintes parmetros:% fmax_m = Fmax/M (normalizao da forca mxima)% wf (frequncia da forca aplicada)
dydt(1,1)=y(2);dydt(2,1)=-2*ksi*w0*y(2)-w0^2*y(1)+fmax_m*sin(wf*t);
>>[t,y]=ode45('mmaforcado',[0 300],[0 0],[],0.1,0.1,1,0.2);plot(t,y(:,1))
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EDO
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LTransformada de Laplace
n Transformao integral
Transforma uma funo f(t) em outra funo F(s). A funo K(t, s) chamada ncleo da transformao e F(s) chamada transformada de f(t).
( ) ( ) ( )K=b
a
dttfstsF ,
n Transformao integral e as equaes diferenciais
Equao algbrica no domnio dos s
Equao diferencial no domnio dos t
Soluo no domnio dos t
Soluo no domnio dos s
Transformao integral
Transformao inversa
Resoluo da equao algbrica
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L
A integral
ser chamada transformada de Laplace de f, desde que a integral convirja.
Transformada de Laplacen Definio
Seja f(t) uma funo definida para t 0.
( ) ( )( ) ( )
-==0
dttfetfsF stL
n AvaliaoComo a transformada de Laplace definida por uma integral imprpria, a avaliao deve ser conduzida como
( ) ( )( ) ( ) -==A
st
AdttfetfsF
0
limL
Para simplificar as etapas de avaliao da transformada de Laplace, omite-se o sinal de limite.
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EDO
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0
dte st
Transformada de Laplacen Linearidade da transformada de Laplace
( ) =1L-
-=0s
e st 0 ,1 >= ss
-
0
tdte st
n Exemplos
( ) =tL
-
-
+-=00
1 dtess
te stst 0 ,12 >= ss( )11 L
s=
( ) =+ t51L
( ) ( )( ) =++ tfctfc nnL11L ( )( ) ( )( )tfctfc nnLL ++L11
( ) ( ) =+ tLL 51 251ss
+
Nos livros didticos que tratam deste assunto normalmente so apresentadas tabelas com a transformada de Laplace para vrias funes elementares.
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LTransformada de Laplace
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LTransformada de Laplace
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L
( )
- 0
dttfe st
Transformada de Laplacen A transformada de Laplace das derivadas de f(t)
( )( ) = tfL
( ) ( )
-- +=0
0dttfestfe stst
( ) ( )( )tfsf L+-= 0
( )
- 0
dttfe st( )( ) = tfL
( ) ( )
-- +=0
0dttfestfe stst
( ) ( )( )tfsf +-= L0( ) ( ) ( )( )tfssff L200 +--=
-
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L
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )tfsfssff nnnn L+----= --- 000 121 L
( ) ( ) ( ) ( )( )tfsfsfsf L32 000 +---=
( )
- 0
dttfe st
Transformada de Laplacen A transformada de Laplace das derivadas de f(t) (cont.)
( )( ) = tfL
( ) ( )
-- +=0
0dttfestfe stst
( ) ( )( )tfsf +-= L0
( )( )
-
0
dttfe nst( )( )( )=tf nLL=
-
EDO
Pr
of. E
duar
do N
obre
Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
L
Aplica-se a transformada de Laplace equao diferencial do PVI chegando-se a
Transformada de Laplacen A transformada de Laplace das derivadas de f(t) (cont.)
3)0( e 1)0( ,102 -===++ yyyyy
( ) ( ) ( ) ( )102 LLLL =++ yyy
Aplicao:Considere o problema de valor inicial a seguir e encontre a transformada de Laplace da soluo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )1100200 2 LLLL =++-++-- yysyyssyy
( ) ( ){ } ( )s
yysyss 10123 2 =++-++- LLL
( ) ( )1210
2
2
+++-
=sss
ssyLA funo y(t) cuja transformada de Laplace a encontrada corresponde soluo do PVI,
ou seja, a soluo do PVI a transformada de transformada de LaplaceLaplace inversainversa da funo encontrada.
-
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Lag
es
LCC
V/C
TEC
/UFA
L
tt ee 567
61 -+-=
++
--
51
67
11
611
ss-L
Transformada de Laplacen A transformada de Laplace inversa
Seja f(t) tal que L (f(t)) = F(s), ento dizemos que f a transformada de Laplace inversa de F e denotamos por
( ) ( )( )sFtf -1L=
n Exemplos
n Linearidade da transformada de Laplace inversa
( ) ( )( ) =++ sFcsFc nn- L111L ( )( ) ( )( )sFcsFc n-n- 1111 LL ++L
=
+ 43
21
s-L =
+ 221
22
23
s-L =
+ 221
22
23
s-L ( )t2sin
23
=
-+-
542
21
sss-L
++
--=
51
67
11
61 11
ss-- LL
Fraes ParciaisFraes Parciais
-
ED
O P
rof.
Ed
ua
rdo
No
bre
La
ge
s
LC
CV
/CT
EC
/UF
AL
chegou-se seguinte transformada de Laplace da soluo do PVI
Transformada de Laplace Finalizando o PVI com o uso da transformada de Laplace
3)0(1)0(102 y e y ,yyy
Na aplicao da transformada de Laplace ao PVI
Como j dito, a soluo do PVI a transformada de Laplace inversa da funo acima, ou seja,
12
102
21
sss
ssty -L
12
102
2
sss
ssyL
2
1
1
12
1
910
sss
-L
2
111
1
112
1
19
110
sss
---LLL
tt tee 12910
-
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LSolues em Sries
n Srie de potncias
( )
=
-0n
n0n xxa
n Equaes diferenciais lineares com coeficientes variveis
0y)x(Rdxdy)x(Q
dxyd)x(P 2
2
=++
( ) constante. onde 0yxyxyx 222 u=u-++Equao de Bessel:
( ) ( ) constante. onde 0y1yx2yx1 2 a=+aa+--Equao de Legendre:
Exemplos presentes em muitos problemas em fsica matemtica:
0xyy =-Equao de Airy:
-
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LSolues em Sries
n Ponto Ordinrio e Ponto Singular
0)x(P 0 Um ponto x0 chamado de ponto ordinrioponto ordinrio quando
caso contrrio esse chamado de ponto singularponto singular.
n Soluo em srie na vizinhana de um ponto ordinrio x0
( )
=
-=0n
n0n xxa)x(y
Ao assumir esse formato para a soluo, o problema agora consiste em se determinar os valores dos coeficientes an.Determinam-se os coeficientes substituindo-se a srie de potncias na equao diferencial em questo, resultando numa equao polinomial cujos coeficientes envolvem os coeficientes da srie de potncias.Ao resolver a equao polinomial, determinam-se os coeficientes da srie de potncias, que so escritos em funo de dois dos coeficientes, posteriormente determinados a partir das condies de contorno do problema tratado.
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LSolues em Sries
n Exemplo
0xyy =- (equao de Airy) Como P(x) = 1, todo ponto ordinrio.
Escrevendo a soluo em srie de potncias, por exemplo, navizinhana da origem
=
=0n
nnxa)x(y
=
-=1n
1nnnxa)x(y
=
--=2n
2nn x)1n(na)x(y
=+ ++=
0n
n2n x)1n)(2n(a)x(y
ou
-
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LSolues em Sries
n Exemplo (cont.)
Substituindo na equao diferencial tem-se
0xaxx)1n)(2n(a0n
nn
0n
n2n =-++
=
=+
=
+
=+ =++
0n
1nn
0n
n2n xax)1n)(2n(a
=-
=+ =+++
1n
n1n
1n
n2n2 xax)1n)(2n(aa2
... 3, 2, 1,n para a)1n)(2n(a e 0a 1n2n2 ==++= -+
-
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LSolues em Sries
n Exemplo (cont.)
Da equao de recorrncia envolvendo os coeficientes dasrie de potncias:
32aa 03
=43
aa 14 =
054
aa 25 ==
6532a
65aa 036
=
=
7643a
76aa 147
=
=
...
n=1 n=2
n=3 n=4
n=5 087
aa 58 ==n=6
986532a
98aa 069
=
=n=7
... 3, 2, 1,n para )2n)(1n(
aa e 0a 1n2n2 =++== -+
-
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LSolues em Sries
n Exemplo (cont.)
Soluo geral da equao de Airy:
( )( )
( )( )
+
+++
+
+
+
+
-++
+
+=
+
LL
L
LL
L
1n3n37643x
7643x
43xxa
n31n36532x
6532x
32x1a)x(y
1n374
1
n363
0
Os dois coeficientes restantes a0 e a1 correspondem s constantes de integrao da equao diferencial, determinados a partir das condies de contorno.
Geometricamente eles representam, respectivamente, o valor da funo e da derivada na origem.
A soluo apresenta comportamento oscilatrio at a origem e exponencial depois dela.