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    NMEROS NDICES

    Ol, amigos!

    Vamos dar seqncia ao nosso estudo, hoje, com um assunto novo os nmeros

    ndices comumente presente nas diversas provas de Estatstica Bsica, sobretudo no AFRF.Trata-se de um assunto diferenciado de tudo o que vimos at aqui. Deixaremos de

    trabalhar com elementos de um conjunto dispostos em rol, dados tabulados ou distribuio defreqncias.

    Trabalharemos sim com dados relativos a preos e quantidades, normalmenteapresentados em uma tabela, e referentes a bens ou produtos, em diferentes pocas.

    A princpio, saibamos que existem nmeros ndices simples e compostos! Onmero ndice simples analisa variaes de preo e quantidade, ao longo do tempo, para umnico produto; enquanto isso, o nmero ndice composto o faz em relao a um grupo debens.

    Antes de mais nada, convm sabermos que quando tratamos de preos e quantidadesde um bem qualquer, estaremos sempre relacionando estes preos ou quantidades a duaspocas distintas! Normalmente, essas pocas so anos! Por exemplo, compararemos o preodo produto A no ano de 1990 e no ano de 1995. Ou ento, compararemos a quantidadevendida do produto B no ano de 2002 e no ano de 2003. E assim por diante!

    Convencionou-se ento chamar estas duas pocas, estes dois anos, pela seguintenomenclatura: ano base (que o ano de referncia!) e ano dado. E mais: doravante,adotaremos que o ano base ser designado pelo smbolo (o) enquanto que o ano dado serdesignado pelo smbolo (n).

    Desta forma, se falarmos em preos e quantidades de um determinado bem X,nos anos de 2000 e de 2002, tomando como referncia (ano base!) o ano de 2000, teremos

    que: po o preo do bem no ano base (2000);pn o preo do bem no ano dado (2002);qo a quantidade do bem no ano base (2000);qn a quantidade do bem ano dado (2002).

    # Nmero ndice Relativo de Preo:O primeiro nmero ndice simples que aprenderemos o ndice Relativo de Preo!

    designado porpo,n.

    Definiremos o Relativo de Preo da seguinte maneira:

    o

    nno

    p

    pp =,

    Onde, conforme j sabemos:po o preo do bem no ano base; epn o preo do bem no ano dado.

    Vamos a um exemplo! Suponhamos que nos foi fornecida a seguinte tabelaabaixo, a qual expressa preos de determinados produtos em duas pocas distintas anos de2000 e de 2002 considerando como ano de referncia o de 2000.

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    Teremos:

    Preo (em R$1,00)

    Produtos 2000 ( op ) 2002( np )ABC

    15812

    2087

    Agora, vejamos como calcular o ndice Relativo de Preo de 2002, com base noano 2000, para os produtos apresentados na tabela! Faremos o seguinte clculo:

    2000

    2002

    2002,2000p

    pp =

    Da, teramos que:

    Para o Produto A p2000,2002=(20/15)=1,33=133,33%

    Para o Produto B p2000,2002=(8/8)=1,0=100,0%

    Para o Produto C p2000,2002=(7/12)=0,583=58,3%

    Feito isso, passamos elaborao de uma nova tabela, agora utilizando osresultados encontrados nos ndices relativos de preos!

    Teremos:

    ndices Relativos de Preo (%)

    Produtos 2000 ( op ) 2002 ( nop , )ABC

    100100100

    133,310058,3

    Observemos que os ndices relativos dos produtos no ano base sero sempreiguais a 100! Caso contrrio, no poderamos tomar estes valores como base ou comoreferncia! Confiramos novamente:

    ndices Relativos de Preo (%)Produtos 2000 ( op ) 2002 ( nop , )

    ABC

    100100100

    133,310058,3

    Agora vamos interpretarestes resultados! Os clculos dos ndices relativos de preosnos informam que:

    Analisando o produto A, veremos o seguinte:

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    ndices Relativos de Preo (%)Produto 2000 ( op ) 2002 ( nop , )

    A 100 133,3

    O preo do bem A elevou-se 33,3% no ano de 2002, tomando por base o anode 2000! Basta fazer a subtrao dos ndices de preo! Vejamos: 133,3-100=33,3.

    Para o produto B, teremos:

    ndices Relativos de Preo (%)Produtos 2000 ( op ) 2002 ( nop , )

    B 100 100

    O preo do produto B no sofreu qualquer variao no ano de 2002, tomandocomo referncia o seu preo em 2000. Novamente, basta subtrair: 100-100=0!

    Para o produto C, finalmente, teremos:

    ndices Relativos de Preo (%)Produtos 2000 ( op ) 2002 ( nop , )

    C 100 58,3

    Aqui, entenderemos que, no ano de 2002, houve uma reduo no preo do bemC, em relao ao preo do mesmo bem no ano de 2000. E de quanto foi essa reduo? Ora, s subtrair:58,3-100=-41,7. O sinal negativo no resultado da subtrao nos indica que houveuma reduo no preo do produto no ano dado em relao ao ano base!

    Observemos que estes trs valores que encontramos, 33,3%, 0% e 41,7%,correspondem ao que chamamos de variao de preo! Da, podemos ainda afirmar que:

    Variao de preo = 100, nop

    Da, chegamos tambm ao seguinte:

    po,n = 100 + variao de preo

    S isso! No fcil? J sabemos o primeiro nmero ndice!

    # Nmero ndice Relativo de Quantidade:

    O prximo nmero ndice simples que aprenderemos o ndice Relativo de

    Quantidade! Este designado por qo,n. praticamente a mesma coisa que o ndice relativo de preos, com uma nica

    diferena: em vez de tratarmos de preos, estaremos lidando com quantidades dos produtos!

    Calcularemos o relativo de quantidade da seguinte forma:

    o

    nno

    q

    qq =,

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    Conforme j sabemos, qo a quantidade do bem no ano base; e qn quantidade doproduto no ano dado!

    Suponhamos um exemplo, em que uma determinada loja conseguiu vender 300aparelhos de DVD em 2002, enquanto apenas 120 no ano de 2000. Qual seria o ndice relativode quantidade em 2002, com base no ano de 2000?

    Teremos que:

    2000

    2002

    2002,2000q

    qq =

    Da: q2000,2002=(300/120)=2,5=250%

    Se fssemos colocar esse resultado em uma tabela, teramos o seguinte:

    ndices Relativos de Quantidade (%)

    Produto 2000 (qo) 2002 (qo,n)DVD 100 250,0

    Conclumos, portanto, que houve uma variao de quantidade de 150%. Ouseja, fazendo a diferena entre o ndice relativo de quantidade que calculamos e 100% (que o ndice do ano-base), chegamos variao de quantidade! Ou seja: 250%-100%=150%.

    Em outras palavras: em termos de quantidade, foram vendidos nesta loja 150%aparelhos de DVD a mais em 2002, em relao quantidade vendida no ano de 2000.

    # Nmero ndice Relativo de Valor:

    De antemo, precisamos saber que o conceito de valor um produto! Teremosque: valor=(preo x quantidade). E isso bem intuitivo! Se eu comprar duas canetas, aopreo de R$10,00 cada, qual o valor que estarei pagando? s multiplicar!

    Pois bem! O ndice Relativo de Valorser dado por:

    o

    nno

    v

    vv =,

    E, como dissemos acima, Valor=(Quantidade.Preo). Da:

    Vo= po.qo e Vn=pn.qn

    Da, podemos concluir que:

    nono

    o

    n

    o

    n

    oo

    nn

    o

    nno qp

    q

    q

    p

    p

    qp

    qp

    v

    vv ,,, ==

    ==

    Ou seja, o ndice Relativo de Valorpode ser decomposto em um relativo depreo e um relativo de quantidade.

    Faamos um exemplo! Suponhamos que uma loja vendeu, no ano de 2000, umaquantia de 520 foges, ao preo de R$350,00. Em 2002, essa mesma loja conseguiu venderapenas 400 foges, ao preo de R$600,00 cada. Qual seria o ndice relativo de valor, tomando

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    por base o ano de 2000? Se quisermos, podemos colocar os dados deste enunciado numatabela, de forma que teremos o seguinte:

    Preos (em R$1,00) Quantidades (unid.)

    Produto 2000 ( op ) 2002( np ) 2000 (qo) 2002(qn)Fogo 350,00 600,00 520 400

    Da, faramos:

    %87,1313187,1000.182

    000.240

    520350

    400600

    2000

    2002

    2002,2000====

    ==

    x

    x

    qp

    qp

    v

    vv

    oo

    nn

    Traduzindo: no ano de 2002, o faturamento desta loja foi 31,87% (=131,87%-100%) maior que em 2000!

    Apenas isso!

    # Propriedades:

    Passemos a algumas propriedades desses nmeros ndices j aprendidos.

    Propriedade da Identidade!

    Esta nos diz que, se o ano base e o ano dado se confundem, ou seja, se anobase e ano dado so um s, ento o valor do ndice 100%! J vimos isso antes, quandoconstrumos a tabela dos relativos! Verificamos que os ndices no ano base so sempre iguais a100%. Lembrados? Quando construmos a tabela dos relativos de preo, encontramos oseguinte:

    ndices Relativos de Preo (%)

    Produtos 2000 ( op ) 2002 ( nop , )ABC

    100100100

    133,310058,3

    E encontramos estes valores 100 nos preos relativos de 2000, simplesmentepelo seguinte:

    %1001, ===

    o

    ooo

    p

    pp

    Propriedade da Reverso do Tempo!

    Se trocarmos os anos x e y, no clculo dos ndices, encontraremos a seguinterelao:

    Ix,y = (1 / Iy,x)

    Este I est substituindo o p (de preo), ou o q (de quantidade), ou o v (devalor)!

    Isso quer dizer que se tivermos, por exemplo:

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    p2000,2002=125%

    Podemos afirmar imediatamente que:

    p2002,2000= (1/p2000,2002)=(1/125%)=80%

    A mesma coisa se aplica a ndices relativos de quantidade e de valor!

    Propriedade Circular!

    Essa boa e j caiu em prova recente do AFRF!

    Ser entendida da seguinte forma:

    nnn IIIII ,0,13,22,11,0 = K

    Novamente aqui o I est em lugar de p (de preo), ou de q (de quantidade), oude v (de valor)!

    Se tivermos na questo dados relativos a variaes de ndices (de preo, quantidadeou valor) de um bem em diversos anos consecutivos, poderemos trabalhar com o uso destapropriedade!

    Vamos a uma questo do AFRF-2001:

    (AFRF-2001) Um ndice de preos com a propriedade circular, calculado anualmente,apresenta a seqncia de acrscimos 1=3%, 2=2% e 3=2%, medidosrelativamente ao ano anterior, a partir do ano t0. Assinale a opo que correspondeao aumento de preo do perodo t0+2 em relao ao perodo t0-1.

    a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11%

    Sol.: Vamos anotar as variaes apresentadas pelo enunciado!

    Variaes de preo: 1=3% ; 2=2% ; 3=2%

    Vimos agora h pouco que:

    po,n = 100 + variao de preo

    O segredo agora ter ateno! O enunciado falou que os acrscimos so medidos emrelao ao ano anterior, a partir do ano t0. Logo, o ano anterior a t0 a ano t0-1! Da, aprimeira variao (o primeiro ) ser exatamente a do ano t0 em relao ao ano t0-1!

    Teremos, portanto, os seguintes relativos de preo: %103%3%100

    0,10=+= ttp

    %102%2%10010,0

    =+=+ttp

    %102%2%10020,10

    =+=++ ttp

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    Da, o relativo de preo em t0+2 com relao a t0-1 ser o seguinte:

    Pt0-1,t0+2=(1,03)x(1,02)x(1,02) = 1,0716 = 107,16%

    Da, restaria fazer: Variao de Preo = Pt0-1,t0+2 - 100%

    Da: Variao de Preo = 7,16% Resposta!

    Uma outra forma de resolver esta questo, talvez at mais simples, consistia apenasem adotar o valor 100 para o primeiro preo (o preo em t0-1). Da, faramos as variaesdescritas no enunciado, at chegarmos ao preo do ano desejado, que o t0+2. Vejamos:

    Pt0-1=100

    A primeira variao ser de 3%. Ora, 3% de 100 100x0,03=3. Da, passaramos a:

    Pt0=103O prximo delta 2%. Da, calcularemos 2% de 103. Chegaremos a: 103x0,02=2,06.

    Somando este valor ao ltimo preo, teremos: 103+2,06=105,06. Da: Pt0+1=105,06

    Finalmente, a ltima variao foi de 2%. Calculando 2% de 105,06, teremos:105,06x0,02=2,1012. Da, somando este valor ao ltimo preo encontrado, chegaremos a:

    Pt0+2=107,16

    Pronto! Como a questo quer saber a variao do preo de Pt0+2 em relao a Pt0-1,s teremos agora que subtrair!

    Da, teremos: 107,16-100=7,16 E poderemos colocar o sinal de %, uma vez que areferncia 100.

    Teremos, finalmente: 7,16% Resposta!!

    # ndice Aritmtico Simples:

    Designado por Ia, o ndice Aritmtico Simples representa to somente a MdiaAritmtica dos ndices relativos!

    Ser calculado, portanto, da seguinte forma:

    ndice Aritmtico Simples de Preo:

    n

    ppp

    n

    pIa

    noCnoBnoAnoK+++

    == ,,,,

    Onde o numerador a soma dos relativos de preo dos produtos apresentados numatabela, e n o nmero de produtos! Vejamos um exemplo! Consideremos a tabela de ndicesrelativos de preos extrada construda por ns anteriormente:

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    8

    ndices Relativos de Preo (%)Produtos 2000 ( op ) 2002 ( nop , )

    A

    BC

    100

    100100

    133,3

    10058,3

    Teramos que o ndice aritmtico simples de preo neste caso ser igual a:

    3

    3,581003,133, ++==

    n

    pIa

    no Da: Ia=97,2 Resposta!

    Conclumos, por este clculo, que houve uma reduo de 2,8% (=100-97,2) nospreos dos trs produtos observados conjuntamente no ano de 2002, em relao ao anode 2000.

    ndice Aritmtico Simples de Quantidade:

    n

    qqq

    n

    qIa

    noCnoBnoAnoK+++

    == ,,,,

    Aqui, a nica diferena em relao ao ndice anterior que, em vez de trabalharmoscom preos, estaremos trabalhando com quantidades!

    Observemos que estes ndices aritmticos so ditos simples justamente porquetrabalham com um nico elemento: ou preo ou quantidade!

    O prximo nmero ndice ser dito ponderado, uma vez que levar em conta os dois

    elementos - preo e quantidade -, de modo que a quantidade ser o fator de ponderao.Funcionar como uma espcie de peso. Vejamos!

    ndice Aritmtico Ponderado:

    Designado porIap, e calculado da seguinte forma:

    ...

    ....,,,,

    +++

    +++==

    CBA

    CnoCBnoBAnoAno

    qqq

    qpqpqp

    q

    qpIap

    K

    A dica simples: basta pensar no clculo da mdia aritmtica para dados tabulados!Estamos todos lembrados? Recordemos que este clculo seria dado por:

    n

    fiXiX

    =

    .

    Pois bem! Aqui, nos nmeros ndices, o Xi daria lugar aos preos, enquanto que o fidaria lugar s quantidades! Lembraremos ainda que o n da frmula acima dado por fi.Vejamos um exemplo!

    Consideremos a tabela abaixo, de preos e quantidades de uma srie de produtos.Observemos que os preos j esto expressos como relativos de preos! Vejamos:

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    ProdutoRelativos de Preos2002( np ) (em %)

    Quantidades2002(qn) (unid.)

    ABC

    12595110

    120200185

    Da, o ndice Aritmtico Ponderado neste caso seria dado por:

    ( ) ( ) ( )( )

    62,107505

    54350

    185200120

    18511020095120125==

    ++

    ++=

    xxxIa

    ndice Harmnico Simples:

    Ser designado porIh, e representa to somente a mdia harmnica dos ndicesrelativos. Vejamos.

    ndice Harmnico Simples de Preo:

    Aqui, repetiremos a frmula da Mdia Harmnica para o rol, substituindo Xi pelosndices relativos de preos! Apenas isso! Teremos:

    K+++

    ==

    nConBonAono ppp

    n

    p

    nIh

    ,,,,

    1111

    Vamos a um exemplo! Usando os dados da tabela da pgina 12, abaixo transcrita,calculemos o ndice harmnico simples de preo.

    ndices Relativos de Preo (%)Produtos 2000 ( op ) 2002 ( nop , )

    ABC

    100100100

    133,310058,3

    57,86

    3,58

    1

    100

    1

    3,133

    1

    3=

    ++

    ==Ih Da: Ih=86,57

    Segundo este clculo, houve uma reduo de 13,43% (=100-86,57) nos preos dostrs produtos observados conjuntamente no ano de 2002, em relao ao ano de 2000.

    ndice Harmnico Simples de Quantidade:

    Aqui, a nica diferena em relao ao ndice acima ser que agora trabalharemos comquantidades, em vez de preos! Teremos, portanto, que:

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    10

    K+++

    ==

    nConBonAono qqq

    n

    q

    nIh

    ,,,,

    1111

    ndice Harmnico Ponderado:

    Designado porIhp, e calculado da seguinte forma:

    K+++

    =

    =

    nCo

    C

    nBo

    B

    nAo

    A

    nop

    q

    p

    q

    p

    q

    q

    p

    q

    qIhp

    ,,,,

    Novamente a dica se repete: basta lembrarmos da frmula da Mdia Harmnica paraDados Tabulados! Da, trocaremos Xi pelos relativos de preos e trocaremos fi pelas

    quantidades! Vamos a um exemplo! Considerando os dados da tabela abaixo, calculemos ondice harmnico ponderado:

    ProdutoRelativos de Preos2002( np ) (em %)

    Quantidades2002(qn) (unid.)

    ABC

    12595110

    120200185

    110

    185

    95

    200

    125

    120

    185200120

    ++

    ++=Ihp Da, feitas as contas:Ihp=106,38 Resposta!

    ndice Geomtrico Simples:

    Ser designado por Ig, e representa apenas a mdia geomtrica dos ndicesrelativos.

    Abriremos parntese para aprender como se calcula a Mdia Geomtrica de um

    conjunto! E muito simples. Designaremos por gX ! Teremos:

    Mdia Geomtrica para o Rol:

    n XigX =

    O smbolo significa produtrio. o irmo do somatrio , com a diferenaque o somatrio soma, e o produtrio multiplica!

    Da, produtrio de um conjunto de elementos Xi nada mais que o produto desteselementos!

    Exemplo: Calculemos a mdia geomtrica do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.

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    11

    n XigX = 5 54321 xxxxgX = 5 120=gX E: 61,2=gX

    Mdia Geomtrica para Dados Tabulados:

    Faremos a transio j nossa conhecida! Aqui, surgir o fi. Teremos:

    n fiXigX =

    Observemos que neste caso, o fi ficar no expoente do Xi!

    Mdia Geomtrica para Distribuio de Freqncias:

    Basta substituir Xi por Ponto Mdio (PM). Teremos:

    n fiPMgX =

    ndice Geomtrico Simples de Preo:

    Aqui, repetiremos a frmula da Mdia Geomtrica para o rol, trocando apenas Xi pelosrelativos de preo! Teremos:

    nnConBonAo

    nn ppppIg K== ,,,,0

    Exemplo: calculemos o ndice geomtrico simples de preos dos dados abaixo.

    ndices Relativos de Preo (%)

    Produtos 2000 ( op ) 2002 ( nop , )

    ABC

    100100100

    133,310058,3

    94,91139.7773,581003,133 33,,,

    ==== xxpppIg n nConBonAo K

    ndice Geomtrico Simples de Quantidade:

    Usaremos a frmula do ndice anterior, apenas trocando os relativos de preos porrelativos de quantidades! Teremos:

    n nConBonAon n qqqqIgK

    == ,,,,0

    ndice Geomtrico Ponderado:

    Designado porIgp, e calculado da seguinte forma:

    == q qC

    tCo

    qB

    tBo

    qA

    tAo

    q q

    t ppppIgp K,,,,0

    Exemplo: Calculemos o ndice geomtrico ponderado dos dados abaixo.

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    ndices Complexos de Quantidade e de Preo:

    Estes dois ndices que vamos aprender Laspeyres e Paasche so constantemente

    exigidos em provas do AFRF!

    So ndices que envolvem preos e quantidades, simultaneamente, referentes a duaspocas distintas: ano base e ano dado! Ento, o que poderia ser efetivamente mais complicadoaqui seria apenas conhecer as quatro frmulas! Teremos duas frmulas para Paasche e duaspara Laspeyres.

    Um primeiro contato com as frmulas:

    ndice de Preo de Paasche:

    =no

    nn

    qp

    qpPa

    .

    .

    ndice de Quantidade de Paasche:

    =no

    nn

    pq

    pqPa.

    .

    ndice de Preo de Laspeyres:

    =oo

    on

    qp

    qpLa

    .

    .

    ndice de Quantidade de Laspeyres:

    =oo

    on

    pq

    pqLa

    .

    .

    ...! A primeira impresso no das melhores! Temos que aprender um meio de

    memorizar estas quatro frmulas! Vamos l.

    # Memorizando Laspeyres e Paasche:

    1 Passo) As quatro frmulas comeam com somatrio sobre somatrio!

    Preo de Paasche:

    =..........

    ..........Pa

    Quantidade de Paasche:

    =...........

    ...........Pa

    Preo de Laspeyres:

    =...........

    ...........La

    Quantidade de Laspeyres:

    =...........

    ...........La

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    2 Passo) ndice de preo comea com preo, enquanto ndice de quantidadecomea com quantidade! Teremos:

    Preo de Paasche:

    = qp

    qpPa

    .

    .

    Quantidade de Paasche:

    =pq

    pqPa

    .

    .

    Preo de Laspeyres:

    =qp

    qpLa

    .

    .

    Quantidade de Laspeyres:

    =

    pq

    pqLa

    .

    .

    3Passo) Agora, amarraremos as quatro frmulas, dando um n (n,o) navertical!

    Ficaremos com:

    Preo de Paasche:

    =qp

    qpPa

    o

    n

    .

    .

    Quantidade de Paasche:=

    pq

    pqPa

    o

    n

    .

    .

    Preo de Laspeyres:

    =qp

    qpLa

    o

    n

    .

    .

    Quantidade de Laspeyres:

    =pq

    pqLa

    o

    n

    .

    .

    4 Passo) Agora s nos resta complementar os dois preos ou quantidades que estofaltando em cada frmula com os ndices (o) ou (n). Saibamos que, para cada uma destasfrmulas, os ndices que esto faltando so iguais, ou seja, esto faltando ou dois (o) ou dois(n). A, iremos nos lembrar do biz do po-de-l. (Essa teoria, se que podemos chamarassim, no existe em livro nenhum... mais uma das minhas invenes malucas!).

    Do biz do po-de-l, ns s vamos aproveitar o l. O l traz o L de Laspeyres eo o do ndice o. Da, lembraremos da frase: Laspeyres l! E se Laspeyres l, ento

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    os dois ndices que esto faltando para concluirmos a frmula so ambos o prprio o.Teremos:

    Preo de Laspeyres:

    =oo

    on

    qp

    qpLa

    .

    .

    (Laspeyres l!)

    Quantidade de Laspeyres:

    =oo

    on

    pq

    pqLa

    .

    .(Laspeyres l!)

    E quanto ao Paasche? Ora, Paasche no l! Ento, conclumos que Paasche n!Teremos:

    Preo de Paasche:

    =no

    nn

    qp

    qp

    Pa .

    .

    (Paasche n!)

    Quantidade de Paasche:

    =no

    nn

    pq

    pqPa

    .

    .(Paasche n!)

    Pronto! s isso! Uma vez conhecendo as quatro equaes acima, o que restar serfeito apenas aliment-las com os dados de uma tabela, a qual ser fornecida na questo! Ouseja, fica faltando somente fazer o copiar-colar, e matar a questo!

    Importante: Os resultados de qualquer destas quatro frmulas tero que ser, ao final,multiplicados por 100 (cem)!

    Vejamos resolver algumas questes de provas passadas, e entenderemos melhorcomo aplicar as frmulas de Paasche e de Laspeyres. Adiante!

    AFTN/94:Considere a estrutura de preos e de quantidades relativa a um conjunto de

    quatro bens, transcrita a seguir, para responder as trs prximas questes.

    ANOS ANO 0 (BASE) ANO 1 ANO 2 ANO 3BENS Preos Quantidade Preos Quantidade Preos Quantidade Preos Quantidade

    B1 5 5 8 5 10 10 12 10B2 10 5 12 10 15 5 20 10

    B3 15 10 18 10 20 5 20 5B4 20 10 22 5 25 10 30 5

    (AFTN/1994) Os ndices de quantidade de Paasche, correspondentes aos quatroanos, so iguais, respectivamente a:

    a) 100,0; 90,8; 92,3; 86,4b) 100,0; 90,0; 91,3; 86,4c) 100,0; 90,0; 91,3; 83,4

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    d) 100,0; 90,8; 91,3; 82,2e) 100,0; 90,6; 91,3; 86,4

    Sol.: A primeira coisa que temos que recordar a frmula do ndice de quantidade de

    Paasche. Lembrando dos artifcios mnemnicos que apresentei acima, saberemos que afrmula que nos interessa aqui a seguinte:

    =no

    nn

    pq

    pqPa

    .

    .

    Agora, observemos as respostas! Todas elas comeam com o valor 100! Isso porqu? Porque esse primeiro ndice diz respeito ao clculo do ano zero (ano base) em relao aele prprio! Logicamente, que dispensaremos esse clculo!

    Nosso trabalho ser fazer as contas restantes: Ano 1, em relao ao ano zero;

    Ano 2 em relao ao ano zero; e Ano 3 em relao ao ano zero!

    Observemos que estamos calculando tudo em relao ao ano zero, exatamenteporque o ano zero o ano de referncia!

    Antes de iniciarmos as contas, olharemos para as respostas! Qual o segundovalor que vem nas opes de resposta? Temos 90,8 , 90,0 e 90,6. Ora, como temos valoresdiferentes, faremos esse primeiro clculo, do ndice de quantidade de Paasche do ano 1 emrelao ao ano zero! Teremos:

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    900,0500

    450

    2210181012585

    2251810121085

    .

    .==

    +++

    +++==

    xxxx

    xxxx

    pq

    pqPa

    no

    nn

    Este resultado ser multiplicado por 100! Teremos: Pa=0,90x100=90,0

    Agora, analisemos as opes! Com este valor 90,0 reduzimos as possibilidades deresposta s opes b e c. Quem for bom observador j viu que aps o 90,0, nestas duasopes, encontraremos o mesmo valor 91,3, que corresponde ao ndice de Paasche do ano 2em relao ao ano zero! Como a resposta a mesma, o desempate sair mesmo com ascontas do ndice do ano 3 em relao ao ano zero! o que faremos agora! Teremos:

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )864,0

    660

    570

    30102010205125

    30520520101210

    .

    .==

    +++

    +++==

    xxxx

    xxxx

    pq

    pqPa

    no

    nn

    Que multiplicado por 100, ficar: 0,864x100=86,4

    Finalmente, chegamos resposta! Opo B!

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    (AFTN/1994) Os ndices de preos de Laspeyres correspondentes aos quatro anosso iguais, respectivamente, a:

    a) 100,0; 117,7; 135,3; 155,3b) 100,0; 112,6; 128,7; 142,0c) 100,0; 112,6; 132,5; 146,1d) 100,0; 117,7; 132,5; 146,1e) 100,0; 117,7; 133,3; 155,3Sol.: O ponto de partida aqui ser tambm a frmula! Sem conhecermos a frmula,

    como poderemos querer acertar a questo? No d! Ei-la:

    ndice de Preo de Laspeyres

    =oo

    on

    qp

    qpLa

    .

    .

    Observando as respostas, vimos que todas as opes comeam com o valor 100,0. Jsabemos o motivo disso: esse valor representa o ndice calculado para o ano zero (ano base),

    em relao a ele prprio!

    Antes de passarmos s prximas contas, vamos escolher com qual ano dado iremostrabalhar! Como escolher isso? Olhando para as respostas, e buscando aquela que, em todasas opes, h valores diferentes!

    Vejamos: o segundo valor das cinco opes ou sero 117,7 ou sero 112,6.Isso no bom! No vai nos trazer concluso nenhuma! J, o terceiro valor das opes quese refere ao ndice do ano dois em relao ao ano zero nos traz um leque maior: 135,3 ou128,7 ou 132,5 ou 133,3. A nica resposta que se repete o 132,5. Ou seja, se derqualquer uma das outras respostas, j teremos matado a questo!!

    Passemos s contas:

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    353,1425

    575

    1020101551055

    10251020515510

    .

    .==

    +++

    +++==

    xxxx

    xxxx

    qp

    qpLa

    oo

    on

    Esse valor, multiplicado por 100, resultar em: 135,3

    Com isso, j chegamos resposta! Opo A.

    (AFTN-1996) Para efeito das duas prximas questes, considere os seguintes dados:

    Quantidades (1000t) Preos (R$/t)Artigos

    1993 1994 1995 1993 1994 19951 12 13 14 58 81 1092 20 25 27 84 120 164

    (AFTN-1996) Marque a opo que representa os ndices de Laspeyres de preos, noperodo de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993.

    a) 100,0; 141,2; 192,5b) 100,0; 141,4; 192,8c) 100,0; 141,8; 193,1d) 100,0; 142,3; 193,3

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    e) 100,0; 142,8; 193,7Sol.: Bem! Aqui, se voc bom observador, j viu que s aplicaremos a frmula uma

    nica vez! Claro! Para o ano de 1995, em relao ao ano de 1993 (que o base!). Por que

    isso? Porque os cinco valores, nas cinco opes de resposta, so todos diferentes!Teremos:

    ( ) ( )

    ( ) ( )931,1

    2376

    4588

    20841258

    2016412109

    .

    .==

    +

    +==

    xx

    xx

    qp

    qpLa

    oo

    on

    Multiplicando esse resultado por 100, chegaremos resposta!

    Portanto: La=193,1 Resposta) Opo C!

    (AFTN-1996) Marque a opo que representa os ndices de Paasche de preos, no

    perodo de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993.a) 100,0; 141,3; 192,3b) 100,0; 141,6; 192,5c) 100,0; 141,8; 192,7d) 100,0; 142,0; 193,3e) 100,0; 142,4; 193,6Sol.: Nesta questo, da mesma forma que na anterior, s precisaremos aplicar a

    frmula do ndice uma nica vez! Basta olharmos com cuidado para as opes de resposta everemos que o segundo valor de todas as opes so todos distintos. O terceiro valor tambm!Da, podemos escolher, entre fazer o clculo do ano 94 em relao a 93, ou do ano 95 emrelao a 93. Fica a gosto do fregus!

    Aplicaremos aqui o preo de Paasche de 1994 em relao a 1993. Teremos:

    ( ) ( )( ) ( )

    420,12854

    4053

    25841358

    251201381

    .

    .==

    +

    +==

    xx

    xx

    qp

    qpPa

    no

    nn

    Multiplicando este valor por 100, chegaremos resposta!

    Da: 1,42x100=142,0 Resposta)Opo D!

    (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evoluo de preos e quantidades de cincoprodutos:

    Ano 1960 (ano base) 1970 1979Preo (po) Quant. (qo) Preo (p1) Preo (p2)

    Produto A 6,5 53 11,2 29,3Produto B 12,2 169 15,3 47,2Produto C 7,9 27 22,7 42,6Produto D 4,0 55 4,9 21,0Produto E 15,7 393 26,2 64,7

    Totais po.qo=9009,7 p1.qo=14358,3 p2.qo=37262,0

    Assinale a opo que corresponde aproximadamente ao ndice de Laspeyrespara 1979 com base em 1960.

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    a) 415,1b) 413,6c) 398,6d) 414,4e) 416,6Sol.: Aqui temos uma questo mais fcil ainda! Observemos que o enunciado nada

    disps acerca de qual dos ndices de Laspeyres deveria ser utilizado, se o de preos ou o dequantidades!

    Porm, analisando os dados fornecidos na tabela acima, vemos que a sua ltima linhaapresenta alguns resultados j em forma de somatrios! E todos eles esto iniciando compreo! Da, conclumos: vamos trabalhar buscando o ndice de preos de Laspeyres, do ano de1979 em relao a 1960! Teremos:

    136,47,9009

    0,37262

    .

    .===

    oo

    on

    qp

    qpLa

    Multiplicando isto por 100, teremos nosso resultado final!

    Da: 4,136 x 100 = 413,6 Resposta) Opo B!

    # Mudana de Base:O ltimo ponto terico do programa do AFRF e, portanto, deste nosso Curso, est

    inserido no contexto dos Nmeros ndices, e chamado de Mudana de Base!

    Trata-se do assunto o mais fcil de todos! Na questo de mudana de base, serfornecida uma tabela muito simples, com duas linhas: na de cima, uma seqncia de pocasdistintas; na de baixo, ndices que representam geralmente preos de um determinadoproduto!

    Em suma, teremos preos de um bem em diferentes anos!

    Nesta tabela, apenas um dos valores da segunda linha ser igual a 100. Este anoser, portanto, chamado ano base (ou ano de referncia)! Todos os demais ndices de preospodem ser imediatamente comparados de forma percentual ao preo do ano base, uma vezque este ltimo igual a 100! Por exemplo, consideremos a tabela abaixo:

    Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986

    ndice 75 88 92 100 110 122

    Aqui, nosso ano base 1984, pois o nico que traz o ndice igual a 100. (Ficou fcilenxergar isso, pelo destaque que eu dei na tabela acima). Se quisermos comparar o que houve

    com o preo desse produto no ano de 1985, diremos sem dificuldades que ocorreu umaumento de 10%. Claro! (110-100=10).

    Pois bem! O problema agora o seguinte: queremos mudar a base dessa tabela!Ou seja, queremos que o ano base deixe de ser 1984 e passe a ser outro qualquer! Porexemplo, queremos que o ano base passe a ser o de 1981. O que faremos?

    Ora, se a nova base vai ser o ano de 1981, naturalmente que o ndice deste ano terque assumir o valor de 100. A pergunta: qual seu valor atualmente? 75! Ento, teremosque fazer uma operao matemtica, para que 75 transformem-se em 100!

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    Basta, para tanto, dividirmos por 0,75. Vejamos:

    100

    75

    10075

    10075

    75

    75,0

    75=

    =

    = x

    Pronto! Com isso, nosso ndice que antes era 75, agora passou a 100! Era isso oque queramos fazer!

    O que nos resta agora apenas saber que, a mesma operao que foi realizadacom o ndice da nova base ser tambm feita com todos os outros ndices da tabela!

    Ou seja, no vai mudar s o ndice do ano-base: mudar toda a tabela! E a operaoser a mesma: dividir por 0,75. Teremos, portanto:

    Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986ndice 100 88/0,75 92/0,75 100/0,75 110/0,75 122/0,75

    Chegaramos a:

    Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986

    ndice 100 117,33 122,67 133,33 146,67 162,67

    Esta nossa nova tabela, cuja nova base o ano de 1981!

    Naturalmente que, na prova, no iremos construir toda a nova tabela! Iremosnos fixar apenas no que for solicitado pelo enunciado! Uma questo versando sobre esseassunto caiu na prova do AFRF-98, e pegou muita gente! Vejamos essa questo!

    (AFTN-1998) A tabela seguinte d a evoluo de um ndice de preo calculado combase no ano de 1984.

    Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986

    ndice 75 88 92 100 110 122

    No contexto da mudana de base do ndice para 1981 assinale a opocorreta:

    a) Basta dividir a srie de preos pela mdia entre 0,75 e 1,00b) Basta a diviso por 0,75 para se obter a srie de preos na nova basec) Basta multiplicar a srie por 0,75 para se obter a srie de preos na nova based) O ajuste da base depende do mtodo utilizado na construo da srie de preos,

    mas a diviso por 0,75 produz uma aproximao satisfatria.e) Basta multiplicar a srie de preos pela mdia entre 0,75 e 1,00Sol.: Essa tabela fornecida na questo j nossa conhecida: exatamente o exemplo

    que acabamos de trabalhar! Da, j sabemos que nossa operao, para passarmos o ano basede 1984 para 1981 ser aquela de dividir os ndices por 0,75.

    Agora, reparemos melhor as opes b e d:

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    b) Basta a diviso por 0,75 para se obter a srie de preos na nova base.

    d) O ajuste da base depende do mtodo utilizado na construo da srie de preos,mas a diviso por 0,75 produz uma aproximao.

    A mim, muito me parece que ambas esto corretas! Inclusive eu fiz essa prova, napoca, (minha primeira tentativa!), e embora pensando que estavam as duas opesperfeitamente corretas, j tinha conhecimento das malcias da ESAF. Da, pensando nisso,marquei a letra D e acertei a questo!

    Da, faremos o caminho inverso: aprenderemos pela resposta! Doravante,entenderemos que, no pensamento da ESAF, a diviso por 0,75 um procedimento queconduz a uma aproximao. Li vrios livros sobre o assunto, e nenhum deles falou dessaforma. Mas, como nosso objetivo aqui um ponto a mais na prova, eu, se fosse vocs,aceitaria esse entendimento como se fosse lei!

    Para fechar esta aula de hoje, vou resolver mais duas questes de Nmeros ndicesque nem esto previstas na relao do nosso Curso, mas que eu no queria deixar de resolver.Foram cobradas recentemente em concursos do AFRF. Vamos a elas!

    (AFRF-2000) Uma empresa produz e comercializa um determinado bem X. A empresaquer aumentar em 60% seu faturamento com X. Pretende atingir este objetivoaumentando o preo do produto e a quantidade produzida em 20%. Supondo que omercado absorva o aumento de oferta e eventuais acrscimos de preo, qual seria oaumento de preo necessrio para que a firma obtenha o aumento de faturamentodesejado?

    a) 25,3% b) 20,5% c) 33,3% d) 40,0% e) 35,6%

    Sol.: Uma questozinha que se resolve s pela lgebra! S precisamos saber que faturamento quantidade vezes preo! Ou seja:

    Faturamento = Quantidade x Preo

    Como o enunciado vem falar em aumentos percentuais, um timo artifcio seriaestabelecer os valores inicias de preo e quantidade como sendo iguais a 100. Da, teramos:

    10.000 (fat.) = 100 (q) x 100 (p)

    Da, a questo quer aumentar o faturamento em 60% e a quantidade em 20%.Teramos, portanto:

    16.000 (fat.) = 120 (q) x preo

    Da: preo = 16.000 / 120 E: preo=133,3

    Ora, se partimos de um preo igual a 100, e passamos a 133,3 , conclumos que oaumento foi apenas dessa diferena. Ou seja:

    Aumento do preo = 133,3 100 = 33,3

    E como o valor de referncia igual a 100, podemos colocar o sinal de % noresultado. Teremos:

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    Aumento do preo = 33,3% Resposta!

    (AFRF-2002) A inflao de uma economia, em um perodo de tempo t, medida por um

    ndice geral de preos, foi de 30%. Assinale a opo que d a desvalorizao damoeda dessa economia no mesmo perodo.

    a) 30,00%b) 23,08%c) 40,10%d) 35,30%e) 25,00%

    Sol.: Esta questo, que foi cobrada no primeiro concurso de 2002, exigiu oconhecimento de um ndice que, certamente, no estava (e nunca esteve!) noprograma. Trata-se do ndice deflator, ou ndice de desvalorizao da moeda! Seuclculo dado pelo seguinte:

    11

    ,

    =toIP

    aodesvaloriz

    Onde IPo,t significa exatamente o ndice de preo, e ser calculado com base no valorda inflao do perodo, da seguinte forma:

    IPo,t=INFLAO+100%

    Esta inflao foi fornecida pelo enunciado como sendo igual a 30%. Da, teremos:

    IPo,t=30%+100%=130%=1,30

    Agora, s aplicar a frmula do deflator. Teremos:

    %08,232308,0130,1

    1==

    =aodesvaloriz

    O sinal negativo apenas indica que o dinheiro se desvalorizou naquele perodo. Da,chegamos nossa resposta:

    Desvalorizao = 23,08% Resposta!

    isso! Como vocs puderam ver, eu resolvi quase todas as questes do nossomaterial que tratam deste assunto, de sorte que ficou apenas uma para voc resolver em

    casa. Assim, a vai:Dever de Casa

    (AFRF-2005) Considerando-se os dados sobre os preos e as quantidadesvendidas de dois produtos em dois anos consecutivos, assinale a opo correta:

    Produto I Produto IIAno

    P11 Q11 P21 Q211 40 6 40 22 60 2 20 6

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    a) O ndice de Laspeyres indica um aumento de 50% no nvel de preos dosdois produtos, enquanto o ndice de Paasche indica uma reduo de 50%.

    b) Os fatores de ponderao no clculo do ndice de Laspeyres so 80 para opreo relativo do produto 1 e 240 para o preo do produto 2.

    c) O ndice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nvel de preos dosdois produtos, enquanto o ndice de Paasche indica uma reduo de 75%.

    d) Os fatores de ponderao no clculo do ndice de Paasche so 240 para opreo relativo do produto 1 e 80 para o preo relativo do produto 2.

    e) O ndice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nvel de preo dosdois produtos, enquanto o ndice de Paasche indica uma reduo de 25%.


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