LISTA DE EXERCICIOS 1: MECANICA 1D

Este pdf tem links para material externo indicados com a

”cruz de malta”z (sugerindo: navegue), basta clicar que seu ce-

lular/computador abrira. Quanto menor o numero do exercıcio,

mais importante ele e.

1. Considere uma sequencia de fotos tirada em sequenciana ordem enumerada, em intervalos de 1s. A escala dopapel quadriculado e de 0,1m.

a) Represente os dados do diagrama em uma tabela composicao (x), tempo (t), velocidade (v).

b) Faca o grafico das posicoes como funcao do tempo.

c) Faca o grafico das velocidades como funcao do tempoadmitindo que ela e fixa entre duas fotos distintas.

2. Considerando as funcoes abaixo que descrevem a posicaox(t) de um corpo de 5kg, para cada caso obtenha asfuncoes v(t) e a(t) e a forca que atua sobre o corpo.Calcule as posicoes onde a velocidade e zero e faca osgraficos.

a) x = t2 − 6t+ 8

b) x = −t2 − 10t

c) x = 2t3 − 28t2 + 80t+ 20

3. Se um corpo parte do repouso com aceleracao de 2 m/s2.

a) Faca o grafico de suas velocidades ao longo do tempo.

b) Calcule as distancia percorida entre os instantes t=0 et=1s (area sob o grafico do intem anterior); e tambementre t=5s e t=10s.

4. Considere um movel cuja velocidade e descrita pelafuncao v(t) = −2t+ 1, em m/s.

a) Qual a aceleracao? Se o corpo tem massa de 2kg, quala forca que sobre ele atua?

b) Obtenha a funcao x(t), das posicoes do corpo.

5. Considere o grafico de velocidade abaixo.

a) escreva uma frase que caracterize o movimento emsua concepcao;

b) Calcule a aceleracao em cada caso;

c) Calcule pelo metodo grafico (item b do exercıcio an-terior), as distancias percorridas em cada caso.

6. Considere um corpo que executa o movimento descritopela funcao x(t) = t3−6t2+11t+14. (Sugestao: se quiserver a funcao utilize um aplicativo de fazer graficos, ou owolframalpha z).

a) Calcule a funcao velocidade, v(t).

b) Calcule os pontos onde o corpo para (pontos de re-torno).

c) Calcule a funcao aceleracao, a(t).

d) Existe algum ponto onde a forca sobre o corpo e zero?Qual?

7. Um experimento de baixo custo desenvolvido para estudodo movimento de queda e do erro estatıstico gaussianoem medidas de tempo. A esfera metalica e presa a umeletroima, durante a queda por dois fotosensores posici-onados em S1 e S2 cujo sinal e controlado por uma placaArduino programada para calcular o tempo gasto pelaesfera durante do deslocamento entre S1 e S2.

Esquema da montagem do experimento de queda livre eo ajuste do movimento realizado. Revista Brasileira deEnsino de Fısica, v.35, n. 2, 2506 (2013) z.

a) Qual o valor da aceleracao gravitacional de acordocom a equacao?

b) Qual a velocidade e o tempo para a bola chegar aosensor S1 saindo do repouso?

c) Qual o tempo gasto no deslocamento entre os doissensores separados de 50cm?

8. Considere um corpo de 10kg sob o qual atua uma forcaque segue a lei F (t) = 5t. Onde t esta em segundos.

a) Qual a aceleracao a(t)?

b) Qual a funcao v(t)?

c) Qual a funcao x(t)?

9. Abaixo temos dois sistemas diferentes (a) e (b) en-volvendo corpos, cordas (inextensıveis de massa des-prezıveis) e polias (de dimensoes e massas desprezıveis).mA = 2kg, mB = 4kg e mC = 5kg.

a) Qual a aceleracao resultante no arranjo (a)?

b) Se nao houver atrito, qual a aceleracao resultante noarranjo (b)?

c) Qual deve ser o valor do atrito estatico sobre o corpoB para que nao haja movimento no arranjo (b)?

d) Em cada uma das situacoes calcule o tempo necessariopara, a partir do repouso, um dos corpos tocarem ochao.

10. Tres corpos de massas mA = mB = 2kg e mC = 3kg saopresos entre si por cordas e polias conforme o esquemaabaixo.

a) Se nao houver atrito no plano qual sera a aceleracaoe o movimento desenvolvido pelo conjunto? Faca odiagrama de forcas, monte as equacoes de movimentoe entao resolva.

b) Ainda sem atrito no plano, se o conjunto for solto dorepouso qual o corpo (A ou C) que primeiro toca ochao e qual tempo necessario?

c) Qual deve ser o valor do atrito estatico sobre o corpoB para que nao haja movimento? Faca novamente asolucao de maneira clara.

11. Uma rampa com dois cor-pos ligados por uma cordainextensıvel de massadesprezıvel e uma polia(tambem de dimensoes naorelevantes).

a) Se os dois corpos tive-rem mesma massa de10kg, e nao houveratrito entre o corpo A eo plano inclinado, quala aceleracao adquiridapelo sistema? O queocorreria se a massafosse de 20kg?

b) Se mB = 10kg e mA =5kg qual a aceleracaoadquirida pelo sistema?Admitindo que o sis-tema seja liberado apartir do repouso, in-tegre as equacoes domovimento obtendo ografico de posicao xtempo de um dos cor-pos, preveja sua posicaode t entre 0 e 2s. Ad-mita as referencias deposicao que forem ne-cessarias.

c) No caso do item ante-rior se houver um atritoconstante entre o corpoe o plano (atrito decontato, seco), expliqueem que isso afetaria suaprevisao. Para o casoem que o coeficiente deatrito dinamico seja 0,2obtenha as posicoes dosmoveis nos instantes an-teriores.

12. O futebol e um esporte onde cada vez mais a mani-pulacao da informacao com vies cientıfico tem ocorrido,por exemplo: (Rev. Exame/2016 z). Segundo es-tatıstica divulgada em uma serie no programa Fantastico(grafico abaixo, 18/05/14), um centroavante consegueacelerar de 0 a 32km/h em uma distancia de apenas 20m,ao passo que um carro popular precisa de 40m para atin-gir a mesma marca.

a) Para o movimento do jogador: Escreva a funcao x(t)da posicao como funcao do tempo, e tambem da ve-locidade como funcao do tempo. Obtenha o valor daaceleracao e calcule o tempo necessario para o jogadorpercorrer os 20m sugeridos.

b) Calcule a forca, em newtons, empreendida pela mus-culatura da perna do jogador para acelerar seu corpodo valor calculado para um jogador de massa 85kg?

c) Calcule a aceleracao e a forca sobre o carro popular,de massa 1000kg, para realizar o movimento descritopara ele no enunciado.

13. As dimensoes do gol oficiais do gol incluindo a marca depenalty sao apresentadas na imagem abaixo.

Atualmente massa de uma bola deve estar entre 400 e450g de acordo com a regra 2 (no total sao 17 regras)zfifa/2014.

a) Estime a velocidade de um chute forte supondo que adistancia em que ela e acelerada pelo contato com ope do batedor e desprezıvel calcule o tempo disponıvelpara o goleiro pegar o penalty se chutado no canto,junto a trave e rasteiro.

b) Calcule a velocidade com que o goleiro deve se deslo-car (suponha constante) para chegar a bola, supondoque 0,5s e gasto no processo de impulsao que o colocaa essa velocidade.

c) Para um goleiro de 90kg qual deve ser a forca impri-mida por suas pernas para o goleiro considerando ocenario anterior.

d) Considere um chute forte sobre um goleiro (estime avelocidade), e considere que o impacto se da em 0,1s.Calcule a forca media sobre as maos do goleiro.

14. Em um laboratorio de ensaios mecanicos monta-se oexperimento como abaixo com as massas de prova, m= 5kg, indicadas e uma mola de constante elasticak=120N/m. Apos montado espera-se ate a situacao emque todo o sistema fica em repouso. Ha atrito apenas nocorpo que esta sobre a superfıcie horizontal, de coefici-ente de atrito estatico igual a 0,5.

a) Qual a forca sobre a mola?

b) Qual o valor da distensao da mola?

15. Em um laboratorio de ensaios mecanicos monta-se o ex-perimento como abaixo com as massas de prova indicadase um dinamometro para medir a tensao na corda. Umdinamometro e um dispositivo mecanico que consiste deuma mola a partir da distencao da qual se pode saberqual a forca que a traciona.

a) Se nao houver atrito, qual a tensao no dinamometro?

b) Para o caso sem atrito, se dureza da mola do di-namometro e de 100N/m qual o valor da distensaoda mola?

c) Se houver atrito de coeficiente estatico µe = 0, 2 qualsera o valor da tensao aplicada ao dinamometro?

16. O movimento de corpos em meios fluidos (quando estasubmetido a forca de resistencia portanto) e muito pre-sente em nossa vida cotidiana. Do combustıvel gastopelos automoveis (que levou a melhora da aerodinamicados carros z–BMW e z2–vıdeo com explicacao/MIT) aomovimento de queda de um paraquedista z, e tambemao fato de que corpos com mais massa podem se deslocara maiores velocidades durante o movimento de queda.

Considere o movimento de queda de um corpo em meioviscoso. O corpo esta submetido a acao da forca peso (P)e a uma forca de resistencia do ar, ou forca de arrasto,Fa, oposta ao seu deslocamento e que e maior quantomaior velocidade do corpo. Considere o modelo:

Fa = bv

onde b e o ”coeficiente de arrasto”, ele depende das ca-racterısticas do corpo (rugosidade e secao), e e estudadopara diferentes corpos. Este modelo e valido para bai-xas velocidades quando o escoamento do fluido ao redordo corpo e laminar (ver comentarios em sala e os vıdeosacima com respeito aos carros).

a) No movimento de queda com forca de arrasto, quandotemos Fa = P o corpo deixa de acelerar, e apresentavelocidade constante, chamada velocidade limite. Ex-plique porque e possıvel que uma pessoa de maiormassa que desce um plano inclinado (rampa, ou des-cida, ou um toboga) possa chegar antes ao final darampa considerado esse modelo.

b) Escreva a equacao de Newton para o corpo de massam sob acao da forca peso e da forca de arrasto do

exercıcio anterior. Verifique que substituindo a =dv

dt,

leva a uma equacao que e resolvida por uma funcaodo tipo v = A(1 − e−Bt). Dica: resolva por substi-tuicao obtendo as constantes A e B em termos dasconstantes fısicas.

c) Faca um grafico esquematico da solucao.

17. Um modelo de resistencia de arrasto que leva em consi-deracao a ocorrencia de turbulencia a forca de arrasto edada pela depencia com v2, como: Fa = Cv2.

a) interprete o grafico abaixo do movimento de um pa-raquedista (adapt. pontociencia.org.br) abaixo.

b) Calcule o coeficiente C para um paraquedista com oparaquedas fechado que chega a 120 milhas por horae que com o paraquedas aberto chega a 5 milhas porhora, conforme descrito neste vıdeo z. Esses dados dovıdeo concordam com o grafico da referencia anterior?

Obs: Se quiser ver outras coisas interessantes sobre o mo-vimento de corpos em meios fluidos veja esse famoso einteressante fenomeno chamado ”Efeito Magnus”: 1) So-bre o movimento de uma bola de basquete em rotacao z.2) A aerodinamica de uma bola de futebol, com aplicacaosobre ”o gol que o Pele nao fez”z. 3) A turbulencia podeprovocar ate mesmo efeitos enormes como o famoso casoda Ponte de Tacoma z (fenomeno de ressonancia).

EXTRAS. Obs: Os exercıcios seguintes envolvem ape-nas movimento a velocidade constante, e sugerem outrosaplicacoes relevantes do controle sobre o fenomeno domovimento.

18. O fenomeno de ressonancia comentado nas observacoesao final da pagina anterior (caso da destruicao da ponte)pode ser visto no vıdeo do canal Martys3’s do youtube z.Aqui temos apresentada a quebra de uma taca de vinho(de diametro da boca de cerca de 10cm) pela acao deum autofalante que faz o copo realizar um movimento de337,5 vibracoes completas por segundo. A supercameracoleta 10mil quadros por segundo.

a) Qual o tempo entre dois quadros da supercamera?

b) Desenhe o movimento do copo. Qual o tempo paraum movimento completo da vibracao da taca?

c) Quantos quadros envolvem um movimento completode vai-e-vem do copo?

d) Se o deslocamento total das paredes do copo tiverentre de 0,5cm e 1cm (valor estimado em sala), quale aproximadamente a velocidade media com que asparedes do copo se movem?

19. A sequencia de imagens eretirada do vıdeo a respeitoda ressonancia da taca doexercıcio anterior, proximoa 4:10 z. O apresentadorobserva que a primeira fra-tura ocorre logo a frentede onde se localiza o auto-falante, e diz que demoracerca de 3 quadros para elase propagar pelo copo.

Baseado na estimativa parao tamanho da taca e dataxa dos quadros observa-dos no exercıcio, estime avelocidade com que a fra-tura se desloca. Faz sen-tido dizer que sob o as-pecto do movimento da ra-chadura, o copo permanecepraticamente parado comrespeito a sua vibracao?

20. Um cerebro esta sendo examinado por um exame de ul-trassom. Sobre um ponto do cranio esta apoiado o emis-sor/receptor de ultra-som. Suponha que a velocidadedo som na regiao intracraniana seja de cerca de 1500m/s. Se nao ha qualquer tipo de lesao no interior damassa encefalica nao ocorrem reflexoes significativas dosom emitido e a reflexao se da no extremo oposto da caixacraniana. Se, por outro lado, houver lesao no interior docerebro ocorre espalhamento do som na regiao.

Adaptado de The Macmil-

lan visual dictionary. New

York: Macmillan Publishing

Company, 1992.

a) Determine o tempo gasto para ser obtido o eco origi-nado do ponto A da figura.

b) Se houver uma lesao, sabendo que o tempo gasto parao registro do eco foi de 0, 5×10−4s, obtenha a posicaoda regiao lesionada.

21. Em sala vimos que a analise da integridade de pecas podeser realizada a partir das medidas de tempo da reflexaodo som em seu interior, isso e feito na tecnica de ultras-som ((video youtube z)). No grafico abaixo temos umpico a 67,568 µs vindo da reflexao na extremidade debaixo da peca analisada. Se a velocidade do som em umbloco de aco e de 5920m/s, se supomos que esse e o ma-terial do bloco, qual a profundidade da peca analisada?

22. A tecnica de ultrassom pode ser utilizada para medirprofundidade de rachaduras, como visto neste vıdeo z-TechRentals do qual extraımos as imagens abaixo.

Sao necessarias medidas detempo para duas distanciasde afastamento entre o re-ceptor e o emissor (amboschamados transdutores) deultrassom, porque nao sedefine previamente a velo-cidade do som no material.Mede-se o menor tempode recepcao do som.

No vıdeo a primeira me-dida usa 10cm de distanciaentre cada transdutor ea rachadura – levando a89,1µs de tempo. Na se-gunda medida a distanciaa rachadura e 20cm e otempo medido e 167,2 µs.

a) Faca um desenho esquematico representando os trans-dutores e a rachadura em corte frontal, indiquedistancias com as letras: D – distancia transdu-tor/rachadura, H – profundidade da rachadura, traceo menor caminho do som (linha reta) que conecta ostransdutores ultrapassando a rachadura. Escreva asequacoes que relacionam D, H com o tempo de pro-pagacao.

b) Calcule a profundidade da rachadura.

c) Calcule a velocidade do som no material (parece as-falto, va a internet e cheque se o valor obtido erazoavel para o asfalto).

23. A velocidade de propagacao da luz e finita e, no vacuo,vale 300.000 km/s. A distancia entre o Sol e a Terra ede cerca de 150 milhoes de quilometros. Calcule o tempoque leva para a luz sair do Sol e chegar a terra.

24. A velocidade da luz foi estimada por Galileo (mas a me-dida dele foi muito ruim, mas como sempre ele estavaadiante de seu tempo). Para ele, que descobriu as luasde Jupiter, o experimento da primeira medida o deixa-ria particularmente entusiasmado. O problema e que ovalor da velocidade de propagacao da luz e muito alto:3× 108m/s.

O astronomo Roemer em 1676 (340 anos no ano pas-sado celebrado, por exemplo, pelo Google z em umaanimacao no buscador) obteve a melhor primeira medidada historia da velocidade da luz. Isso se deu a partir deum fenomeno de aberracao quando observava eclipse dasluas de Jupiter: o tempo de inıcio dos eclipses diferiado esperado nas tabelas dependendo da posicao relativaentre a Terra e Jupiter. Pelo atraso obteve a velocidadeda luz em 200.000 km/s (Calcule o erro percentual destamedida).

Devido a forma eliptica da orbita de Jupiter e da Terra(mas a Terra e bem pouco oval) a distancia entre a Terrae Jupiter varia de 587 milhoes de quilometros a 967milhoes de quilometros (fonte: space.com z). Calculea diferenca de tempo para a recepcao do sinal luminoso(e portanto visualizacao de eclipse) nessas duas situacoeslimite (nao foram necessariamente as posicoes usadas porRoemer, mas servem para dar uma ideia da faixa de va-lores de tempo a serem comparados).

25. A descoberta de que a luz consiste de radiacao ele-tromagnetica e devida a J.C. Maxwell. A partir dassuas equacoes para o eletromagnetismo obteve que erapossıvel a ocorrencia de ondas envolvendo os camposeletrico e magnetico (ou seja obteve equacoes de ondapara esses campos) com velocidade de propagacao novacuo:

c =1

√µ0ε0

onde µ0 = 1, 26 × 10−7 [N/A2] (SI) e a permeabilidademagnetica do vacuo e ε0 = 8, 85× 10−12 [F/m] (SI).

Ao calcular o valor de c Maxwell viu que o valor con-cordava muito bem com o valor que era medido para avelocidade da luz* obtendo a evidencia sobre a naturezada luz em termos do eletromagnetismo. Calcule c, comofez Maxwell**.

* A melhor medida da epoca foi obtida por Fizeau em1849 z, utilizando um espelho, um vidro e uma rodadentada separados da fonte luminosa em lugares altosafastados de pouco mais de 8,5km, em um experimentofeito (do artigo z– pag.92) entre os bairros Suresnes eMontmartre em Paris [link do google desses bairros dehoje z]. O valor medido por ele esta dentro de umafaixa de 5% do valor hoje aceito.

** A ultima passagem que deu forca a seu trabalho quedaria origem as telecomunicacoes em dois passos: 15 anosdepois com experimentos de Hertz e em 30 anos (viradado seculo) com o telegrafo de Marconi que levou os ex-perimentos de Hertz adiante compondo o sistema de co-municacao.

26. Em 2016 o planeta mais proximo e semelhante a terrafoi identificado. Localizado orbitando a estrela proxima-B (constelacao de Centauro) que esta a 4,2 anos-luz daterra (1 ano-luz = distancia percorrida pela luz em 1 anoterrestre).

a) Calcule a distancia em km entre a terra e a estrela.

b) As sonda espaciais Voyager 1 e 2 sao o aparelhos cons-truıdos pelos seres humanos que estao mais longe daterra. Nesse site da Nasa z a distancia entre ela e aterra e oferecida em tempo real. No momento destalista Voyager 1 (lancada em setembro de 1977) estaa 20.861.283.488 km da Terra, ja no espaco interes-telar (saiu de nosso sistema solar). Calcule quantotempo levaria para uma sonda com a mesma veloci-dade de deslocamento levaria para chegar ao planetana proxima-B.

Obs: sobre ir longe no espaco, por exemplo a outrasgalaxias, ha uma exposicao muito interessante do fısicoNeil deGrasse Tyson z(leg. port.), que vai pra alem dese falar sobre ir...