distribuiçãonormal - ufjf.br · distribuiçãonormal tiagom.magalhães departamento de...
TRANSCRIPT
Distribuição normal
Tiago M. Magalhães
Departamento de Estatística - ICE-UFJF
Juiz de Fora, 31 de outubro de 2018
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 1 / 23
Roteiro
1 Distribuição Normal
2 Distribuição Normal Padrão
3 Aproximação da binomial pela normal
4 Resultados
5 Bibliografia
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 2 / 23
Roteiro
1 Distribuição Normal
2 Distribuição Normal Padrão
3 Aproximação da binomial pela normal
4 Resultados
5 Bibliografia
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 3 / 23
Distribuição Normal
Uma variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2,
X ∼ N(µ, σ2), se sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por
f (x) = 1σ√2π
exp{−12
(x − µσ
)2},
x ∈ R, µ ∈ R e σ2 ∈ R+.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 4 / 23
Distribuição Normal
Uma variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2,
X ∼ N(µ, σ2), se sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por
f (x) = 1σ√2π
exp{−12
(x − µσ
)2},
x ∈ R, µ ∈ R e σ2 ∈ R+.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 4 / 23
Distribuição Normal
Uma variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2,
X ∼ N(µ, σ2), se sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por
f (x) = 1σ√2π
exp{−12
(x − µσ
)2},
x ∈ R, µ ∈ R e σ2 ∈ R+.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 4 / 23
Distribuição Normal
Uma variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2,
X ∼ N(µ, σ2), se sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por
f (x) = 1σ√2π
exp{−12
(x − µσ
)2},
x ∈ R, µ ∈ R e σ2 ∈ R+.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 4 / 23
Distribuição Normal
NotaA distribuição normal tem origem nos trabalhos de Gauss, em 1810, sobre
erros de observações astronômicas, por isso também ela é conhecida como
distribuição gaussiana.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 5 / 23
Distribuição Normal
NotaA distribuição normal tem origem nos trabalhos de Gauss, em 1810, sobre
erros de observações astronômicas, por isso também ela é conhecida como
distribuição gaussiana.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 5 / 23
Figura 1: Curva normal para diferentes pares (µ, σ2).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 6 / 23
Distribuição Normal
Propriedades1 f (x) é simétrica em relação à µ, isto é, f (x + µ) = f (µ− x);
2 f (x) tem valor máximo quando x = µ e este valor é 1/σ√2π;
3 f (x)→ 0 quando x → ±∞;
4 f (x) tem dois pontos de inflexão: µ− σ e µ+ σ.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 7 / 23
Distribuição Normal
Propriedades1 f (x) é simétrica em relação à µ, isto é, f (x + µ) = f (µ− x);
2 f (x) tem valor máximo quando x = µ e este valor é 1/σ√2π;
3 f (x)→ 0 quando x → ±∞;
4 f (x) tem dois pontos de inflexão: µ− σ e µ+ σ.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 7 / 23
Distribuição Normal
Propriedades1 f (x) é simétrica em relação à µ, isto é, f (x + µ) = f (µ− x);
2 f (x) tem valor máximo quando x = µ e este valor é 1/σ√2π;
3 f (x)→ 0 quando x → ±∞;
4 f (x) tem dois pontos de inflexão: µ− σ e µ+ σ.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 7 / 23
Distribuição Normal
Propriedades1 f (x) é simétrica em relação à µ, isto é, f (x + µ) = f (µ− x);
2 f (x) tem valor máximo quando x = µ e este valor é 1/σ√2π;
3 f (x)→ 0 quando x → ±∞;
4 f (x) tem dois pontos de inflexão: µ− σ e µ+ σ.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 7 / 23
Distribuição Normal
Propriedades1 f (x) é simétrica em relação à µ, isto é, f (x + µ) = f (µ− x);
2 f (x) tem valor máximo quando x = µ e este valor é 1/σ√2π;
3 f (x)→ 0 quando x → ±∞;
4 f (x) tem dois pontos de inflexão: µ− σ e µ+ σ.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 7 / 23
Distribuição Normal
MomentosSe X ∼ N(µ, σ2), então
E(X ) = µ e Var(X ) = σ2.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 8 / 23
Distribuição Normal
MomentosSe X ∼ N(µ, σ2), então
E(X ) = µ e Var(X ) = σ2.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 8 / 23
Distribuição Normal
MomentosSe X ∼ N(µ, σ2), então
E(X ) = µ e Var(X ) = σ2.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 8 / 23
0.0235
0.135
0.34 0.34
0.135
0.0235
µ − 3σ µ − 2σ µ − σ µ µ + σ µ + 2σ µ + 3σx
f(x)
Figura 2: Área sob a curva normal.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 9 / 23
Distribuição Normal
Importância práticaInúmeros fenômenos encontrados no mundo real podem ser descritos como
uma distribuição normal.
Menções à distribuição normal podem ser encontradas nos Simpsons ou
no livro Parque dos dinossauros.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 10 / 23
Distribuição Normal
Importância práticaInúmeros fenômenos encontrados no mundo real podem ser descritos como
uma distribuição normal.
Menções à distribuição normal podem ser encontradas nos Simpsons ou
no livro Parque dos dinossauros.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 10 / 23
Distribuição Normal
Importância práticaInúmeros fenômenos encontrados no mundo real podem ser descritos como
uma distribuição normal.
Menções à distribuição normal podem ser encontradas nos Simpsons ou
no livro Parque dos dinossauros.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 10 / 23
Distribuição Normal
Importância teóricaA distribuição normal é um distribuição limite, Teorema Central do Limite.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 11 / 23
Distribuição Normal
Importância teóricaA distribuição normal é um distribuição limite, Teorema Central do Limite.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 11 / 23
Roteiro
1 Distribuição Normal
2 Distribuição Normal Padrão
3 Aproximação da binomial pela normal
4 Resultados
5 Bibliografia
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 12 / 23
Distribuição Normal Padrão
Se X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2, e define-se uma nova
variável Z da seguinte forma,
Z = X − µσ
,
então Z tem distribuição normal de parâmetros 0 e 1, sua f.d.p. é dada por
f (z) = 1√2π
exp{−z2
2
}, z ∈ R.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 13 / 23
Distribuição Normal Padrão
Se X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2, e define-se uma nova
variável Z da seguinte forma,
Z = X − µσ
,
então Z tem distribuição normal de parâmetros 0 e 1, sua f.d.p. é dada por
f (z) = 1√2π
exp{−z2
2
}, z ∈ R.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 13 / 23
Distribuição Normal Padrão
Se X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2, e define-se uma nova
variável Z da seguinte forma,
Z = X − µσ
,
então Z tem distribuição normal de parâmetros 0 e 1, sua f.d.p. é dada por
f (z) = 1√2π
exp{−z2
2
}, z ∈ R.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 13 / 23
Distribuição Normal Padrão
Se X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2, e define-se uma nova
variável Z da seguinte forma,
Z = X − µσ
,
então Z tem distribuição normal de parâmetros 0 e 1, sua f.d.p. é dada por
f (z) = 1√2π
exp{−z2
2
}, z ∈ R.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 13 / 23
Distribuição Normal Padrão
Se X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2, e define-se uma nova
variável Z da seguinte forma,
Z = X − µσ
,
então Z tem distribuição normal de parâmetros 0 e 1, sua f.d.p. é dada por
f (z) = 1√2π
exp{−z2
2
}, z ∈ R.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 13 / 23
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
−2 0 2x
f(x)
Figura 3: Curva normal padrão.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 14 / 23
Distribuição Normal Padrão
Propriedades1 f (z) é simétrica em relação ao 0, isto é, f (z) = f (−z);
2 f (z) tem valor máximo quando z = 0 e este valor é 1/√2π;
3 f (z)→ 0 quando z → ±∞;
4 f (z) tem dois pontos de inflexão: −1 e 1.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 15 / 23
Distribuição Normal Padrão
Propriedades1 f (z) é simétrica em relação ao 0, isto é, f (z) = f (−z);
2 f (z) tem valor máximo quando z = 0 e este valor é 1/√2π;
3 f (z)→ 0 quando z → ±∞;
4 f (z) tem dois pontos de inflexão: −1 e 1.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 15 / 23
Distribuição Normal Padrão
Propriedades1 f (z) é simétrica em relação ao 0, isto é, f (z) = f (−z);
2 f (z) tem valor máximo quando z = 0 e este valor é 1/√2π;
3 f (z)→ 0 quando z → ±∞;
4 f (z) tem dois pontos de inflexão: −1 e 1.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 15 / 23
Distribuição Normal Padrão
Propriedades1 f (z) é simétrica em relação ao 0, isto é, f (z) = f (−z);
2 f (z) tem valor máximo quando z = 0 e este valor é 1/√2π;
3 f (z)→ 0 quando z → ±∞;
4 f (z) tem dois pontos de inflexão: −1 e 1.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 15 / 23
Distribuição Normal Padrão
Propriedades1 f (z) é simétrica em relação ao 0, isto é, f (z) = f (−z);
2 f (z) tem valor máximo quando z = 0 e este valor é 1/√2π;
3 f (z)→ 0 quando z → ±∞;
4 f (z) tem dois pontos de inflexão: −1 e 1.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 15 / 23
Distribuição Normal Padrão
MomentosSe Z ∼ N(0, 1), então
E(Z ) = 0 e Var(Z ) = 1.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 16 / 23
Distribuição Normal Padrão
MomentosSe Z ∼ N(0, 1), então
E(Z ) = 0 e Var(Z ) = 1.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 16 / 23
Distribuição Normal Padrão
MomentosSe Z ∼ N(0, 1), então
E(Z ) = 0 e Var(Z ) = 1.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 16 / 23
Roteiro
1 Distribuição Normal
2 Distribuição Normal Padrão
3 Aproximação da binomial pela normal
4 Resultados
5 Bibliografia
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 17 / 23
Aproximação da binomial pela normal
Se X tem distribuição binomial de parâmetros n e p, se
np > 5 e p < 1/2,
X tem, aproximadamente, distribuição normal de parâmetros np e np(1−p).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 18 / 23
Aproximação da binomial pela normal
Se X tem distribuição binomial de parâmetros n e p, se
np > 5 e p < 1/2,
X tem, aproximadamente, distribuição normal de parâmetros np e np(1−p).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 18 / 23
Aproximação da binomial pela normal
Se X tem distribuição binomial de parâmetros n e p, se
np > 5 e p < 1/2,
X tem, aproximadamente, distribuição normal de parâmetros np e np(1−p).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 18 / 23
Aproximação da binomial pela normal
Se X tem distribuição binomial de parâmetros n e p, se
np > 5 e p < 1/2,
X tem, aproximadamente, distribuição normal de parâmetros np e np(1−p).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 18 / 23
Roteiro
1 Distribuição Normal
2 Distribuição Normal Padrão
3 Aproximação da binomial pela normal
4 Resultados
5 Bibliografia
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 19 / 23
Resultados
Se X1,X2, . . . ,Xn é uma amostra com reposição de uma N(µ, σ2), então
X̄ ∼ N(µ, σ2/n) e
Z = X̄ − µσ/√
n ∼ N(0, 1).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 20 / 23
Resultados
Se X1,X2, . . . ,Xn é uma amostra com reposição de uma N(µ, σ2), então
X̄ ∼ N(µ, σ2/n) e
Z = X̄ − µσ/√
n ∼ N(0, 1).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 20 / 23
Resultados
Se X1,X2, . . . ,Xn é uma amostra com reposição de uma N(µ, σ2), então
X̄ ∼ N(µ, σ2/n) e
Z = X̄ − µσ/√
n ∼ N(0, 1).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 20 / 23
Roteiro
1 Distribuição Normal
2 Distribuição Normal Padrão
3 Aproximação da binomial pela normal
4 Resultados
5 Bibliografia
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 21 / 23
Bibliografia
Costa Neto, P. L. O. and M. Cymbalista (1974). Probabilidades: resumos
teóricos, exercícios resolvidos, exercícios propostos. São Paulo: Edgard
Blucher.
Dantas, C. A. (2008). Probabilidade: Um Curso Introdutório, 3ed. São
Paulo: EDUSP.
Meyer, P. L. (2003). Probabilidade - Aplicações a Estatística, 2ed. Rio de
Janeiro: LTC.
Ross, S. (2010). Probabilidade - Um Curso Moderno com Aplicações, 8ed.
Rio de Janeiro: Bookman.Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 22 / 23
Obrigado!
Í ufjf.br/tiago_magalhaes
Departamento de Estatística, Sala 307
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 23 / 23