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EXERCÍCIOS DE REFORÇO. – BLOCO IV

DISTRIBUIÇÃO NORMAL E DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Sugiro que façam estes exercícios como reforço. Não vou recolher nem avaliá-los por que penso que devem fazer por que desejam aprender. Na próxima aula, dia 4 de maio, posso tirar dúvidas para quem apresentar algum início de solução. Creio que resolver os exercícios apenas satisfaz a curiosidade sobre a resposta e não contribui para a aprendizagem. Para o MARLON peço desculpas por não ter entregue, estes exercícios, até as 13 horas como combinei. Segunda-feira eu explico. Vocês podem deixar uma mensagem ou comentário.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS-

EXEMPLO 1: Determine a área sob a curva normal em função do valor de z.

1- P ( 0 z 1,2 )

2- P ( 0 z - 0,68)

3- P ( -0,46 z 2,21 )

Procure na tabela dos percentis z os valores das áreas de caudas e associe com a figura ao lado.

Para z 0 = 0,500 e para z 1,2 = 0,1151

Para z - 0,68 = z + 0,68 = 0,2483

0,500 - 0,2483 = 0,251

A área procurada é dada pela soma das áreas:

(área de cauda de z 0,46 ) + ( área de cauda z 2,21)

( 0,500 – 0,362 ) + (0,500 – 0,0136) = ............... 0,138 + 0,4864 = 0,6244 ou você soma as duas área de cauda e diminua da área total 1. 1 – ( 0,3620 + 0,0136) = 0,6244

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4- P( 0,81 z 1,94)

5- Área a esquerda de z = - 0,6 . A área a esquerda de z negativo é a própria área de cauda.

= 0,2743

6- Área a direita de z = -1,28 ( o mesmo seria informar z 1,28 )

7- Área entre os valores de z ( -1,44 a 2,05)

Área desejada =

( área 0,81 z ) – ( área 1,94 ) (0,500 – 0,2090) – ( 0,500 – 0,0262) =

0,2910 – 0,4738 = 0,1828

Para z= 1,28 a área de cauda =0,1003 A área procurada será toda a área situada a direita =

1- 0,1003 = 0,8997

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EXEMPLO 2 - Determine o valor da variável para as seguintes áreas.

1) Área entre 0 e z é 0,3770

2) A área de 0,8621 que está a esquerda de z.

3) Uma área está entre os limites de z= -1,5 e outro valor de z. Qual o outro valor de z se a

área for 0,0217?

Considerando que z esteja a esquerda de -1,5. A solução está sob forma gráfica

0,0668

A área entre ( 0 e z) = 0,4332 – 0,0217= 0,4115 Se a área a direita de z é 0,4115 a área de cauda correspondente será 0,500 – 0,4115 = 0,0885. Precisamos determinar o valor de z para esta área. Z = 1,35

= 0,0668 a=0,4332 onde 0,4332 = 0,5 – 0,0668 0,0668 é a área de cauda para z- 1,5

? 0,0217 ------------------------------------

z 1,5 0

Como o valor da área é menor do que 0,5 este exercício pode ter duas soluções; o valor de z procurado pode estar a esquerda ou a direita de z com valor -1,5. Considerando que z esteja a direita de -1,5 Área entre ( 0 e -1,5 ) = (0,5 – 0,0668 ) = 0,4332

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0,5 = (?) + 0,0217 + 0,4332 0,5 = + 0,4549 = 0,4549 – 0,5 =

= 0,0451 Para esta área de alfa z= 1,694 por extrapolação ou 1,69 por aproximação

4) P( -a1 z a2) = 0,668 Diminua da unidade a área indicada para determinar a área de cauda. 1- 0,668 = 0,332

0,332 é a soma das duas área de cauda ou .Cada área de cauda vale /2 = 0,1660.

A tabela mostra um valor de 0,97 para /2 = 0,1660

EXEMPLO 3- Aplicação da variável reduzida.

1) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por certa

máquina é de 1,300 cm e desvio padrão 0,002 cm. A finalidade para qual estas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima de 1,298 a 1,302 cm; se isto não se verificar as arruelas serão consideradas defeituosas. Determine o percentual de arruelas defeituosas que serão produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. Tirando os dados do problema: N= 200 arruelas

= 1,300 cm área de área de área

= 0,002 cm rejeição () aproveitamento de rejeição ()

-----------------------------------0 ------------------------------------------ 1,298 1,303 Precisamos determinar o número de desvios padrão entre a média das arruelas e os limites de tolerância. O número de desvios padrão é obtido pelos percentis z. 1,300 – 1,298 Z(1,298) = ------------------------ = 1 0,002 1,300 – 1,302 Z( 1,303) = ----------------------- = -1 Quantidade de arruelas fora da especificação: 0,3174 . 200 =63,48. Como as arruelas são sempre peças inteiras haverá um número de 64 peças fora da especificação.

Os scores z substituem os valores limites. área de aproveitamento

=0,1587 0,6826 =0,1587 ------------------- 0 ---------------------------- -1 1.300 -1 Área de rejeição (0,1587 + 0,1587) = 0,3174

Área de aproveitamento. 1 -0,3174 = 0,6826

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2) Um exame de estatística mostra uma média de 78 com desvio padrão de 10. (a) determine os escores reduzidos de 2 estudantes cujos notas foram 93 e 62 respectivamente e interprete o valor do score z. (b) Determine a nota de 2 estudantes cujos escores reduzidos foram, respectivamente, -0,6 e 1,2 .

a) Determinando os scores z. 93 - 78 Z( 93) = --------- = 1,5 10 62 – 78 Z( 62) = ------------- = -1,6 10

b) Determinando as notas. X - 78

Para o estudante com score -0,6 = ------------ x = 72 10 X – 78

Para o estudante com score 1,2 = -------------- x = 90 10

3) Se as alturas de 300 estudantes são normalmente distribuídos, com média 171,72 cm e desvio padrão 7,62 cm, quantos estudantes tem alturas ( a) superior a 182,88 cm. Área alfa contendo os

182,88 – 171,72 estudantes mais altas Z = -------------- = 1,46 a=0,721 ou 72,1% 7,62 ---------- 0 ---------------------

1,46

EXEMPLO 4- Dois estudantes, em um concurso alcançaram os seguintes scores 0,8 e -0,4 respectivamente.Se sua notas foram 88 e 64, respectivamente, determine a média e o desvio padrão das notas deste concurso. ( média 72 e desvio padrão 20 ) Este exercício deve ser resolvido sabendo-se que cada valor observado dista da média por um certo número de desvio padrão. Se cada observação for representada por y e a média por, cada valor de y

será obtido por: y = ȳ + z.s.

Estudante A : 88 = ȳ + 0,8 s Estudante B : 64 = ȳ - 0,4 s

A nota 93 fica distante da média de 1,5 desvio padrão. A nota 62 fica, com score negativo, a esquerda da média por 1,6 desvios padrão.

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Como a média das notas é o valor representativo de todas as notas:

88 = ȳ + 0,8 s 88 – 0,8 s = ȳ e 64 = ȳ - 0,4 s 64 + 0,4s = ȳ

ȳ = 88 – 0,8 s = 64 + 0,4s 88 – 64 = 0,4 s + 0,8 s 24 = 1,2 s s = 24/1,2 = 20 Obtido o valor de s, a média poderá ser obtida substituindo s em qualquer uma das equações A ou B. Pelo estudante A :

Resolvendo este sistema : 88 = ȳ + 0,8 ȳ = 88 – 0,8. 20 = 72 O mesmo valor será encontrado se você usar a relação para o estudante B

FAÇA VOCÊ MESMA.

EXERCÍCIO 1 -Certas válvulas fabricadas por uma companhia tem uma vida média de 800 horas e desvio padrão de 60 horas. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória de 16

válvulas, retirada do grupo, ter a média de : (a) entre 790 e 810 horas (0,4972). (b) inferior a 785

horas,(0,1587). (c) superior a 820 horas (0,0918). (d) entre 770 e 830 horas (0,9544).

EXERCÍCIO 2 - As massa dos fardos recebidas por um depósito tem média de 150 kg e um desvio padrão de 25 kg. Qual é a probabilidade de 25 fardos, recebidos ao acaso e carregados em um elevador, não exceder o limite específico de segurança destes último, que é de 4100 kg? (0,0026)

EXERCÍCIO 3 - O tempo em que um motorista leva para reagir às luzes de freio em um veículo em desaceleração é crucial para evitar colisões traseiras. O artigo “Fast- Rise Brake Lamp as a Collision-Prevention Device “ (ergonomics, 1993, p.391-395) sugere que o tempo de reação de uma resposta no trânsito a um sinal de frenagem com luzes de freio convencionais pode ser modelado por uma distribuição normal de média 1,25 segundo com um desvio padrão de 0,46 segundos. Qual a probabilidade de que um tempo de reação esteja entre 1,00 e 1,75 segundos ? ( 56,75%)

EXERCÍCIO 4 - Suponha que a força que age sobre uma coluna que ajuda suportar um edifício tenha distribuição normal com média 15,0 kips e desvio padrão 1,25 kips. Qual é a probabilidade de a força

a) ser no máximo 18 kips? (0,9918 )

b) estar entre 10 e 12 kips? (0,0082)

c) diferir de 15,0 kips no máximo por dois desvio padrão? ( 0,9544 )

EXERCÍCIO 5 - Suponha que o diâmetro de certo tipo de árvore na altura do tronco tenha uma

distribuição normal com = 8,8 e = 2,8, conforme sugerido pelo artigo “Simulation a Harvester – Forwarder Softwood Thinning” ( Forest Products J., May, 1997, p. 36-41.

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a) Qual a probabilidade de uma árvore selecionada aleatoriamente ter um diâmetro de no mínimo 10 polegadas? Exceder 10 polegadas?

b) Qual a probabilidade de o diâmetro de uma árvore selecionada aleatóriamente de exceder 20 polegadas?