DistânciasDistânciasPonto a PontoPonto a Ponto:

Sejam e pontos do espaço, então a distância entre eles é o módulo do vetor .

Em coordenadas cartesianas temos:

1 1 1 1, ,P x y z 2 2 2 2, ,P x y z

1 2PP

2 2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 1,d P P PP x x y y z z

DistânciasDistânciasPonto a RetaPonto a Reta:

Sejam e um ponto

do espaço e uma reta, sendo e

, então os vetores e

determinam um paralelogramo cuja altura e a

distância entre o ponto e a reta dados.

1 1 1 1, ,P x y z 0:r P P tv

0 0 0 0, ,P x y z , ,v a b c

1 0PP

v

Sabemos que a área do paralelogramo é dado por:

e

Então: 1 01

x,

v PPd P r

v

1P

0Prd

v

A v d

1 0xA v PP

Distância entre retasDistância entre retasRetas Concorrentes: a distância é nula.

Retas Paralelas: a distância entre elas é a distância entre um ponto qualquer de uma das retas à outra (distância de ponto a reta).

Retas Reversas: a distância entre elas será dada pela altura do paralelepípedo formado entre os vetores diretores das retas e o vetor que une dois pontos, um de cada reta.

Distância entre Retas ReversasDistância entre Retas Reversas

Assim temos:

1P

2P

d

u

v

r

s

1 2, ,

,x

u v PPd r s

u v

ExercíciosDeterminar as distâncias, sendo dados: Os pontos A(7,3,4) e B(1,0,6) O ponto A(2,0,7) e a reta As retas

As retas

2: 32 2x yr z

2 3: ,

2y x

r x Rz x

1 2: 1 4 ,

3 4

x ts y t t R

z t

1: 4 2

2

yr z x

3: 2 1,

3

xs y t t R

z t