dissertaÇÃo_avaliaçãokrigagemindicadora

MINISTRIO DA EDUCAO E DO DESPORTO

Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Engenharia de Minas

Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mineral PPGEM

AVALIAO DA KRIGAGEM INDICADORA PARA O DEPSITO DE

OURO DE SURUCA GO

Autor: GUSTAVO SANTANA ZANETTI

Orientador: Prof. Dr. IVO EYER CABRAL

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-

Graduao do Departamento de Engenharia de

Minas da Escola de Minas da Universidade

Federal de Ouro Preto, como parte integrante

dos requisitos para obteno do ttulo de

Mestre em Engenharia Mineral.

rea de concentrao:

Lavra de Minas

Ouro Preto/MG

Agosto de 2011

Z28a Zanetti, Gustavo SantAna. Avaliao da krigagem indicadora para o depsito de ouro de Suruca - GO [manuscrito]

/ Gustavo SantAna Zanetti. 2011. xv, 107 f.: il. color.; grafs. ; tabs. Orientador: Prof. Dr. Ivo Eyer Cabral. Dissertao (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia de Minas. Programa de Ps-graduao em Engenharia Mineral. rea de concentrao: Lavra de Minas. 1. Minas e minerao - Teses. 2. Geologia - Mtodos estatsticos - Teses. 3. Modelagem

geolgica - Teses. 4. Modelos matemticos - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. II. Ttulo.

CDU: 622.2:519.22

Catalogao: [email protected]

mailto:[email protected]

III

AVALIAO DA KRIGAGEM INDICADORA PARA O DEPSITO DE OURO DE SURUCA-

GO

AUTOR: GUSTAVO SANT ANA ZANETTI

Dissertao apresentada e aprovada em sesso pblica em 23 de agosto de 2011.

IV

A Cruz sagrada seja minha Luz No seja o Drago meu guia

Retira-te Satans Nunca me aconselhes coisas vs

mal o que tu me ofereces Bebe tu mesmo do teu veneno

(Orao de So Bento)

Dedico este trabalho aos meus pais, Marcos e Solange por terem me ensinado a viver uma vida digna e me mostrarem que jamais devo desistir. Amo vocs.

V

AGRADECIMENTOS

Agradeo a Deus por ser a base de tudo em minha vida;

aos meus pais e minha irm;

minha famlia que sempre acreditou que eu iria vencer;

ao professor Ivo Eyer Cabral pela orientao e ensinamentos;

ao PPGEM e ao DEMIM pelo apoio e ensinamentos durante toda minha vida acadmica e em especial ao Marcelo do PPGEM que sempre me ajudou por eu estar a distncia e aos professores Hernani Mota de Lima, Milton Brigolini Neme pela fora e colaborao;

aos amigos Henrique Vigrio, Frederico Carmo e Eriz Gonzles pela ajuda;

Yamana Gold Inc. pela confiana no fornecimento dos dados para a elaborao da dissertao;

aos amigos da Yamana, Emerson Ricardo R e Tiago Vaz Andrade pela pacincia em me tirar dvidas e em fornecer dados;

s minhas repblicas BatCaverna e Kaos pela amizade e por me hospedares quando eu precisava;

aos meus antigos colegas de Maptek que me permitiram assistir as aulas do mestrado: Marco, Tonho e Eduardo Coloma;

aos meus amigos e colegas de Moambique que me incentivaram bastante na etapa final;

e enfim, a Ouro Preto, uma grande escola de vida!

VI

RESUMO

O alvo Suruca um depsito aurfero de interpretado como um sistema Prfiro e Epitermal sobreposto pela remobilizao dos fludos orognicos. O corpo mineralizado de Suruca definido pelo teor de corte de 0.2 g/t, pois quando se iniciar a operao da mina, o minrio proveniente de Suruca ser beneficiado na planta de beneficiamento da mina de Chapada (mina do mesmo grupo localizada a cerca de 6 km do alvo Suruca), na qual se aplica este mesmo teor de corte atualmente. Outro evento importante que influencia no depsito que a alterao hidrotermal no minrio est associada aos Halos Serictico e Propiltico, sendo que juntos os dois correspondem a 80% dos tipos de alterao do depsito.

Desta forma este trabalho teve como um dos objetivos analisar a possvel utilizao da krigagem de indicadores de variveis contnuas e categricas como alternativa de modelagem em relao aos modelos tridimensionais dos corpos mineralizados e aos halos sericticos e propilticos para o depsito de ouro Suruca.

Para o desenvolvimento do trabalho, foi utilizado o software Maptek Vulcan que permitiu validar o banco de dados de sondagem, realizar estatsticas bsicas, fazer os modelos tridimensionais, criar modelo de blocos para estimativa da krigagem de indicatrizes e posterior comparao.

Os resultados dos modelos tridimensionais mostraram que os mesmos fornecem resultados confiveis para o clculo de volumes, individualizao dos corpos e forneceram informaes aplicveis a planos de lavra.

Os resultados mostraram que tanto a krigagem de indicatrizes para o corpo mineralizado quanto para os halos de alterao apresentaram resultados satisfatrios e considerados de grande utilidade principalmente durante o perodo de avaliao do depsito principalmente se houver alguma mudana no teor de corte aplicado, pois a modelagem tridimensional leva muito mais tempo para ser refeito se comparado com uma estimativa com parmetros, como os variogramas modelados, j conhecidos.

VII

ABSTRACT

Suruca is a gold deposit that is interpreted as a Porphyry and Epithermal system overlapped by the orogenic fluid. Suruca mineralized ore body is defined by a cut-off grade of 0.2 g/t. When the mine operations starts, the Suruca ore will be processed in Chapada mine processing plant (a mine of the same group that is located about 6km away from Suruca), which applies the same cut-off grade nowadays. Another important aspect that influences the deposit is that the hydrothermal alteration in the ore is associated with sericitic and propylitic alteration and together they account around 80% of the alteration types in the deposit.

Thus the goal of this study was the analysis of the possible use of continuous and categorical indicator kriging as an alternative modelling comparing with three-dimensional models of mineralized ore bodies and sericitic and propylitic from Suruca gold deposit.

The Maptek software, Vulcan, was used to validate the drill hole database, perform basic statistics, generate three-dimensional models, create block model for indicator estimation and later comparison.

The results of three-dimensional models have shown that they provide reliable results for the calculation of volumes, ore body individualization and information applicable to mining plans.

The results showed that both indicator kriging to the mineralized ore body and for the alteration presents satisfactory results and considered very useful especially during the evaluation period of the deposit. It is also applicable if there is any change in the cut-off grade applied, because the three-dimensional modelling takes much longer to redo when compared to an estimation with known variogram parameters.

VIII

SUMRIO

AGRADECIMENTOS ....................................................................................................................... V

RESUMO ....................................................................................................................................... VI

ABSTRACT .................................................................................................................................... VII

LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................................ XI

LISTA DE TABELAS ....................................................................................................................... XV

CAPTULO 1 - INTRODUO ...................................................................................................... - 1 -

CAPTULO 2 - ORGANIZAO, OBJETIVO E RELEVNCIA DO ESTUDO ...................................... - 4 -

CAPTULO 3 - REVISO BIBLIOGRFICA .................................................................................... - 5 -

3.0 CARACTERSTICAS GEOLGICAS E ORIGEM DOS DEPSITOS MINERAIS ............................ - 5 -

3.0.1 Morfologia dos depsitos minerais.............................................................................. - 8 -

3.1 USO DE MODELAGEM TRIDIMENSIONAL COM TRIANGULAES NA AVALIAO DE RECURSOS MINERAIS ................................................................................................................ - 9 -

3.2 USO DA GEOESTATSTICA NA AVALIAO DE RECURSOS MINERAIS................................ - 15 -

3.3 VARIOGRAFIA .................................................................................................................... - 17 -

3.3.1 Isotropia e anisotropia ............................................................................................... - 19 -

3.3.2 Os principais modelos de semivariogramas ............................................................... - 19 -

3.4 ESTIMATIVA GEOESTATSTICA .......................................................................................... - 21 -

3.4.1 Estimador Linear geoestatstico ................................................................................. - 22 -

3.4.2 Estimadores no-lineares geoestatsticos .................................................................. - 27 -

3.4.2.1 Krigagem de indicatrizes ..................................................................................... - 28 -

3.4.2.1.1 Krigagem de indicatrizes Contnuas ............................................................. - 30 -

3.4.2.1.2 Krigagem de indicatrizes Categrica ............................................................ - 32 -

3.4.2.2 Variogramas de variveis indicatrizes ................................................................. - 33 -

3.5 MODELO DE BLOCOS ......................................................................................................... - 35 -

3.5.1 Efeito suporte ............................................................................................................. - 38 -

3.5.2 Mudana de Suporte .................................................................................................. - 39 -

3.5.3 Clculo de reservas utilizando modelo de blocos ...................................................... - 39 -

3.6 O SOFTWARE MAPTEK VULCAN ........................................................................................ - 40 -

3.6.1 Estrutura de dados no Vulcan .................................................................................... - 41 -

3.6.2 Triangulao no Vulcan .............................................................................................. - 42 -

3.6.2.1 Modelos de triangulaes de superfcie ............................................................. - 43 -

IX

3.6.2.2 Modelos de Triangulaes Slidas ...................................................................... - 43 -

3.6.3 Modelo de Blocos no Vulcan ...................................................................................... - 43 -

3.6.3.1 Conceitos na Construo dos Blocos .................................................................. - 45 -

3.6.4 Geoestatstica no Vulcan ............................................................................................ - 45 -

3.6.4.1 Anlise Estatstica ................................................................................................ - 45 -

3.6.4.2 Clculo de Variograma ........................................................................................ - 46 -

3.6.4.3 Modelagem de variograma ................................................................................. - 46 -

3.6.4.4 Estimativa de teor ............................................................................................... - 47 -

CAPTULO 4 - CARACTERIZAO DA REA ESTUDADA ........................................................... - 48 -

4.1 LOCALIZAO DA REA EM ESTUDO ................................................................................ - 48 -

4.2 GEOLOGIA REGIONAL ........................................................................................................ - 49 -

4.2.1. Arco Magmtico de Mara Rosa ............................................................................. - 51 -

4.2.1.1.- Sequncia Metavulcano-Sedimentar Campinorte ........................................ - 52 -

4.2.1.2. Ortognaisses ................................................................................................... - 53 -

4.2.1.3. Sequncia Metavulcano-sedimentar Mara Rosa ........................................... - 53 -

10.2.1.4. Sequncia Metavulcano-sedimentar Santa Terezinha ................................ - 55 -

4.2.1.5. Granitos tardi- a ps-orognicos .................................................................... - 58 -

4.2.1.6 Complexo Hidrolina ......................................................................................... - 58 -

4.2 Atividade de Pesquisa desenvolvidas ........................................................................ - 59 -

4.3 Geologia Local ........................................................................................................... - 59 -

4.4 Geologia do Depsito ................................................................................................ - 63 -

4.5 Estratigrafia ............................................................................................................... - 66 -

4.6 Mineralizao e alterao hidrotermal ..................................................................... - 66 -

CAPTULO 5 - RESULTADOS ..................................................................................................... - 68 -

5.0 BANCO DE DADOS SURUCA .............................................................................................. - 68 -

5.1. RESULTADOS E DISCUSSES ............................................................................................ - 71 -

5.1.1 Validao do banco de dados e anlise estatstica dos dados ................................... - 71 -

5.1.2 Estatstica descritiva das Variveis ............................................................................. - 72 -

5.1.3 Gerao da superfcie topogrfica ............................................................................. - 79 -

5.1.4 Modelagem tridimensional tradicional do corpo mineralizado e dos principais halos de alterao ............................................................................................................................. - 80 -

5.1.5 Regularizao das amostras ou compositao .......................................................... - 85 -

X

5.1.6 Variografia .................................................................................................................. - 88 -

5.1.7 Modelo de blocos ....................................................................................................... - 95 -

5.1.8 Estimativa dos indicadores contnuos e categricos ................................................. - 95 -

CAPTULO 6 - CONCLUSES .................................................................................................. - 100 -

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................................................. - 103 -

XI

LISTA DE FIGURAS

Figura 1- Estrutura simples de uma triangulao ...................................................... - 10 -

Figura 2- Triangulao de um slido simples ............................................................ - 10 -

Figura 3 - Exemplo de corpos minerais gerado por meio de mtodos diferentes de

triangulao (Extrado de Ferreira, 2006). ................................................................. - 12 -

Figura 4 - Modelagem geolgica tridimensional (retirado de Silva, 2000. Modificado de

Kavouras, 1995). ........................................................................................................ - 14 -

Figura 5 - Etapas no processo de um estudo geoestatstico (Retirado de Silva, 2000.

Modificado de Armstrong, 1998). ............................................................................. - 17 -

Figura 6 - Variograma tpico e suas propriedades (Yamamoto, 2001). ...................... - 18 -

Figura 7 - Principais Modelos variogrficos (Retirado de Cintra, 2003). .................. - 21 -

Figura 8 - Exemplos de resultado de krigagem de indicatriz em modelos de blocos

(Retirado de Soares, 2006). ........................................................................................ - 33 -

Figura 9 - Exemplo de um modelo de blocos e seus blocos individuais (clulas) .... - 35 -

Figura 10 - A hierarquia de dados no Vulcan. ........................................................... - 41 -

Figura 11 - Criao de modelo de blocos com sub-blocos no Vulcan ...................... - 45 -

Figura 12 - Localizao do Alvo Suruca (modificado de Oliveira, 2009) ................ - 49 -

Figura 13 - Mapa geolgico da provncia Tocantins (retirado de Cintra, 2003,

modificado de Fuck et al. 1994 in Arantes et al., 1996) ............................................ - 50 -

Figura 14 - (A) Mapa geolgico esquemtico do Arco Magmtico de Mara Rosa. (B)

Mapa geolgico do distrito de Cu-Au e Au de Chapada-Mara-Rosa. (C) Perfil estrutural

A-A'. (Modificado de Oliveira et al. 2004). .............................................................. - 52 -

Figura 15 - Mapa Geolgico da poro Sul do Arco Mara Rosa. (Retirado de Oliveira

(2009), modificado de Oliveira et al. (2006) e Fuck et al. (2006)) ............................ - 56 -

Figura 16 Legenda para o mapa geolgico da poro Sul do Arco Mara Rosa

apresentado na Figura 15 ........................................................................................... - 57 -

Figura 17 - Mapa geolgico da regio de Chapada-Suruca com a localizao da Cava de

Chapada e a Cava desenhada do Suruca (Relatrio interno da Yamana) .................. - 62 -

Figura 18 - Mapa Geolgico do Alvo Suruca (retirado de relatrio interno da Yamana). -

64 -

Figura 19 - Histograma do teor de ouro para as rochas inalteradas ........................... - 75 -

XII

Figura 20 - Histograma do teor de ouro para a alterao propiltica ......................... - 75 -

Figura 21 - Histograma do teor de ouro para a alterao serictica ........................... - 76 -

Figura 22 - Histograma do teor de ouro para a alterao potssica ........................... - 76 -

Figura 23 - Histograma do teor de ouro para o solo e laterita ................................... - 77 -

Figura 24 - Histograma do teor de ouro para a zona mottled .................................... - 77 -

Figura 25 - Histograma do teor de ouro para o saprolito ........................................... - 78 -

Figura 26 - Histograma do teor de ouro para a rocha fresca ...................................... - 78 -

Figura 27 - Triangulao rotacionada da superfcie topogrfica (sem escala) do alvo

Suruca ........................................................................................................................ - 79 -

Figura 28 - Visualizao em planta (sem escala) das curvas de isovalores de cota

juntamente com os furos de sondagem realizados para os trabalhos de pesquisa no alvo

Suruca ........................................................................................................................ - 80 -

Figura 29 - Visualizao rotacionada(sem escala) das sees com os polgonos

delimitando a zona mineralizada com corte em 0.2 g/t ............................................. - 81 -

Figura 30 - Visualizao em planta (sem escala) do modelo tridimensional da zona

mineralizada com corte em 0.2 g/t ............................................................................. - 82 -

Figura 31 - Visualizao rotacionada (sem escala) do modelo tridimensional da zona

mineralizada com corte em 0.2 g/t ............................................................................. - 82 -

Figura 32 - Visualizao rotacionada (sem escala) das sees com os polgonos das

alteraes serictica (vermelha) e propiltica (azul) ................................................... - 83 -

Figura 33 - Visualizao em planta (sem escala) do modelo tridimensional da alterao

serittica ...................................................................................................................... - 83 -

Figura 34 - Visualizao em planta (sem escala) do modelo tridimensional da alterao

propiltica ................................................................................................................... - 84 -

Figura 35 - Visualizao em planta (sem escala) dos modelos tridimensionais da

alterao serictica (vermelho) e propiltica (azul) .................................................... - 84 -

Figura 36 - Visualizao rotacionada (sem escala) dos modelos tridimensionais da

alterao serictica (vermelho) e propiltica (azul) .................................................... - 85 -

Figura 37 - Comprimento das amostras do banco de dados de sondagem ................ - 86 -

Figura 38 - Comprimento das amostras no banco de dados de compsitos .............. - 87 -

Figura 39 - Painel do Vulcan mostrando a determinao do comprimento de 1 metro

para gerao de compsitos pelo mtodo Run Length ........................................... - 88 -

XIII

Figura 40: Figura esquemtica representando os parmetros utilizados para o clculo do

variograma (Modificado de Deutsch e Journel, 1992) .............................................. - 89 -

Figura 41 - Definio das categorias para a gerao dos semivariogramas indicadores

categricos ................................................................................................................. - 90 -

Figura 42 - Definio dos cortes para a gerao dos semivariogramas indicadores

contnuos .................................................................................................................... - 90 -

Figura 43 - Variograma para a direo de maior variabilidade da varivel indicatriz de

corte de 0.2 g/t de ouro .............................................................................................. - 91 -

Figura 44 - Variograma para a direo de mdia variabilidade da varivel indicatriz de


Figura 45 - Variograma para a direo de menor variabilidade da varivel indicatriz de



alterao serictica ...................................................................................................... - 92 -






alterao propiltica .................................................................................................... - 93 -





Figura 52 - Localizao das sees veticais realizadas no modelo de blocos ........... - 97 -

Figura 53 - Furos de sondagem e modelo de blocos visualizando a varivel gerada a

partir do modelo tridimensional para a zona mineralizada com corte em 0.2 g/t de ouro

(sem escala) ................................................................................................................ - 97 -

Figura 54 - Furos de sondagem e modelo de blocos visualizando a varivel estimada

para a zona mineralizada com corte em 0.2 g/t de ouro (sem escala) ........................ - 98 -

Figura 55 - Visualizao do modelo de blocos pela varivel gerada a partir do modelo

tridimensional para os tipos de alterao serictica e propiltica (sem escala) .......... - 98 -

XIV

Figura 56 - Visualizao do modelo de blocos pela varivel estimada pela krigagem de

indicatrizes para a varivel categrica tipo de alterao - serictica e propiltica (sem

escala) ........................................................................................................................ - 99 -

XV

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Classificao Simplificada dos depsitos minerais (Retirado de Brown et. al.,

1997) ............................................................................................................................ - 8 -

Tabela 2: Alguns atributos que podem ser atribudos a blocos de modelo de blocos - 36 -

Tabela 3: Cdigos utilizados para as litologias encontradas no Projeto Chapada ..... - 70 -

Tabela 4: Densidade media dos principais tipos litolgicos do Alvo Suruca ............ - 71 -

Tabela 5: Estatstica geral para o teor de ouro para o banco de dados de sondagem - 73 -

Tabela 6: Estatstica geral para o teor de ouro para os diferentes tipos de alterao . - 73 -

Tabela 7: Estatstica geral para o teor de ouro para os diferentes tipos de oxidao . - 74 -

Tabela 8: Parmetros utilizados para gerao dos variogramas ................................ - 89 -

Tabela 9: Resultado dos modelos de variogramas ..................................................... - 94 -

Tabela 10: Informaes de orientao do modelo de blocos para Suruca ................. - 95 -

- 1 -

CAPTULO 1 - INTRODUO Quando se faz um estudo de investimento mineiro ou de viabilidade de um depsito,

dois importantes aspectos que influenciam diretamente na deciso so quantidade e

qualidade de um corpo mineral.

O objetivo principal na classificao de reservas a caracterizao da quantidade de

material e qual o grau de certeza associado a esta quantidade (Froidevaux, 1982 in

Yamamoto, 2001). O termo reserva mineral implica que algum tipo de medio fsica

tenha sido efetuado em relao ao teor e a quantidade mineral in situ e, alm disso, que

sua extrao seja vivel do ponto de vista tecnolgico, hoje ou num futuro prximo e

que possa ser realizada com lucro (Yamamoto & Rocha, 1996). Diversos fatores devem

ser considerados para a classificao de reservas/recursos minerais de uma regio, entre

elas podemos citar a variabilidade natural do depsito, estruturas geolgicas distintas,

complexidade do depsito entre outros. Para Yamamoto (2001), antes de se realizar o

clculo das reservas minerais, deve-se seguir uma seqncia de procedimentos a fim de

se reconhecer melhor o comportamento das variveis a serem calculadas dentro do

depsito. Esta seqncia consiste em: composio das amostras dos furos de sonda,

anlise estatstica e por fim a anlises variogrficas e estimativa de teores.

Para a avaliao confivel, imprescindvel diferentes tipos de informao, como mapa

e sees geolgicas suportadas por furos de sondas, amostragens, etc. Na dcada de

1990, esses dados eram guardados de forma analgica e exigiam uma extensa rea para

armazenamento dos mesmos. Hoje, esses dados armazenam-se em banco de dados

digitais mais seguros contra qualquer tipo de depreciao, tanto temporal, quanto

pessoal.

tambm necessrio determinar cuidadosamente as dimenses e orientao de unidades

individuais, assim como obter estimativas das propriedades (por exemplo, volume,

toneladas, mdia dos teores) de qualquer volume planejado dentro de um depsito.

Conhecimentos semelhantes podem ser utilizados para obter estimativa de capital e

custos de operao, juntamente com a quantidade e qualidade do mineral a ser

produzido em determinados perodos, alm disso, permitindo assim a anlise de

- 2 -

viabilidade financeira de diferentes estratgias de explotao a serem avaliadas (Sides,

1996).

Um dos itens de maior importncia que servem como entrada para avaliao de

qualquer mineral o formato, as dimenses do corpo mineral e o volume. Em geral,

estas informaes so obtido a partir da modelagem geolgico que deve representar de

maneira adequada as reservas minerais, no qual ir servir para utilizao em estudos de

viabilidade de um depsito, planos de lavra de uma mina, entre outros.

O teor de corte em um depsito o teor abaixo do qual o contedo do metal ou mineral

dentro do minrio inviabiliza economicamente a sua lavra. Este teor de corte

influenciado por vrias variveis econmicas e tambm tecnolgicas. Como valores de

preo de venda do produto no mercado, custo de matrias primas utilizados para a lavra

e beneficiamento de um mineral variam com o tempo, a lavra de um jazimento que em

uma determinada poca no seria lucrativo, pode se tornar economicamente vivel de

acordo com estas mudanas ao longo do tempo, assim como um depsito que vivel

hoje, pode se tornar um depsito economicamente invivel se houver desvalorizao no

mercado.

O ouro (do latim aurum) um elemento qumico representado pelo smbolo Au, situado

no grupo 11, perodo 6, bloco d, da tabela peridica. Na natureza, ocorre como um

mineral metlico de cor amarela, denso e brilhante. o mais malevel e dctil dentre

todos os metais podendo um grama ser laminado em uma extenso de aproximadamente

um metro quadrado (de Oliveira, 2009).

As reservas aurferas internacionais oficialmente comprovadas perfazem cerca de 90 mil

toneladas de ouro metlico in situ. Esses depsitos esto amplamente distribudos em

diversos pases dos cinco continentes. O crescimento mdio anual das reservas mundiais

de ouro foi de 4% ao ano at o exerccio de 2004, perodo a partir do qual ocorreu uma

estabilidade das reservas internacionais em torno das 90 mil toneladas. Em 1996,

ocorreu um significativo acrscimo de 27,6% nas reservas sul-africanas, fato que

ocasionou um incremento de 16,4% nas reservas internacionais registrando cerca de 71

mil toneladas de Au contido (de Oliveira, 2009).

- 3 -

A partir de 1997, iniciou-se um perdo de forte depreciao nos preos do ouro nos

mercados internacionais que se estendeu at o ano de 2001. Houve uma forte recesso

na indstria mineral. Inmeros projetos foram suspensos ou adiados e, at mesmo,

algumas lavras em atividades foram desativadas. Foi uma temporada que apresentou

baixas taxas de reposio de recursos e reservas aurferas. Os depsitos internacionais,

ao final deste perdo, estavam avaliados em cerca de 77 mil toneladas de Au contido (de

Oliveira, 2009).

Em 2002, as reservas aurferas mundiais atingiram 89 mil toneladas registrando alta de

14,1% frente ao exerccio anterior. Teve incio a retomada dos preos do ouro nos

mercados globais e um novo aporte de investimento foi direcionado indstria mineral

aurfera. Inmeras frentes de lavra foram iniciadas e vrias outras retomadas; um novo

nmero de pases passou a integrar a lista de expressivas reservas globais, dentre eles,

China, Indonsia, Peru, Gana, Chile, Mali, Tanznia e Filipinas. Atualmente, vrias

dessas naes posicionam-se entre os mdios e grandes pases produtores de ouro no

mundo (de Oliveira, 2009).

- 4 -

CAPTULO 2 - ORGANIZAO, OBJETIVO E RELEVNCIA DO ESTUDO

Este trabalho pode ser dividido em duas fases.

Inicialmente fez-se um estudo de reviso bibliogrfica sobre os principais materiais, mtodos e informaes de natureza terica referente aos mtodos a serem utilizados para o desenvolvimento deste trabalho tais como caractersticas geolgicas e origem dos depsitos minerais, modelagem tridimensional, uso da geoestatstica, introduo de krigagem de indicatrizes, modelos de blocos, etc.

A segunda fase refere-se ao estudo de caso, onde apresentada a caracterizao geolgica da rea estudada, o banco de dados utilizados, a forma como as duas modelagens do corpo mineralizado e dos principais tipos de alterao, os resultados e concluses.

Como o modelo geolgico a base de estudo para qualquer empreendimento mineiro, o principal objetivo do trabalho foi estudar a possibilidade de se utilizar a krigagem de indicatrizes como uma ferramenta complementar na avaliao geolgica do depsito Suruca ou at mesmo na possibilidade de subtituio da modelagem tridimensional durante o processo de avaliao.

- 5 -

CAPTULO 3 - REVISO BIBLIOGRFICA

3.0 CARACTERSTICAS GEOLGICAS E ORIGEM DOS DEPSITOS MINERAIS Apenas uma concentrao anmala de certo elemento qumico na crosta terrestre no

caracteriza uma jazida mineral. Essa concentrao precisa de pelo menos ser mapeada e

exequvel em termos tecnoeconmico para ser considerada um empreendimento mineiro

de pequeno/mdio/grande porte. A representatividade espacial do minrio s

confirmada com pesquisas contnuas que vo desde estudos conceituais at estudos de

detalhe (Ferreira, 2006).

A evoluo e a dinmica dos processos geolgicos, desde o pr-cambriano (4,5 Ga) at

os dias atuais, podem resultar na concentrao de determinados bens minerais de

interesse econmico, originando os projetos de minerao. Esses processos geolgicos

podem acontecer na superfcie terrestre (exgenos), como por exemplo, o intemperismo

qumico e fsico, ou no interior da Terra (endgenos), representados pelo vulcanismo,

metamorfismo, e etc (Ferreira, 2006).

As mineralizaes no ocorrem de maneira totalmente aleatria. A maioria delas

obedece a um sistema de zoneamento mineralgico ou metalogentico, ou seja, embora

os minerais-minrio distribuam-se heterogeneamente dentro da jazida, pode haver um

controle de mineralizao em determinadas regies do depsito (Ferreira, 2006).

Cada depsito mineral possui peculiaridades em relao a sua gnese. Os especialistas

(gelogos, qumicos, etc) em gnese mineral agrupam dentre outros modos os depsitos

minerais em funo das suas semelhanas e diferenas das vrias caractersticas

intrnsecas e dos processos que os geraram (Ferreira, 2006).

Quando se descreve as caractersticas geolgicas de um depsito dois importantes

parmetros devem ser considerados: sua forma e seu arcabouo geolgico. Esses

parmetros so caractersticas especficas dos depsitos e variam amplamente de

depsito para depsito. Porm, normalmente possvel identificar feies comuns entre

- 6 -

eles que forneam a base de um esquema de classificao que os faa ser equivalentes

no tipo de formao.

Alguns dos fatores que influenciam diretamente o processo de modelagem geolgica so

as caractersticas geolgicas do depsito, assim como o tipo de formao deste, devendo

as mesmas ser bem conhecidas e interpretadas como base para uma boa modelagem.

Segundo Brown et. Al. (1997), na descrio da forma de um depsito mineral

importante decidir se o depsito disseminado ou confinado e se discordante ou

concordante. Em depsitos disseminados os minerais de minrio esto distribudos em

grandes volumes de rocha, enquanto que nos depsitos confinados, os minerais ocorrem

concentrados em um pequeno volume de rocha. A ltima subdiviso baseia-se na

relao entre o depsito e suas rochas hospedeiras (isto , as rochas que contm o

depsito). Depsitos discordantes so invariavelmente mais jovens que suas rochas

hospedeiras; geralmente as cortam e mostram relaes angulares com as camadas ou

qualquer outra estrutura original da rocha. Depsitos concordantes podem ou no ser

mais jovens que suas rochas hospedeiras e sempre se posicionam paralelamente ao

acamamento ou qualquer outra estrutura da rocha.

Algumas das formas de depsitos tambm levam nomes mais especficos. Dos

depsitos discordantes, as formas mais comuns so veios, que so corpos de formato

tabular com orientaes das mais variadas. Os veios so raramente paralelos s

estruturas das rochas hospedeiras. Esses corpos podem tambm afinar-se, espessar-se e

bifurcar-se ao longo da sua extenso e, dessa forma, criar muitos problemas para um

gelogo de mina. Menos comumente, os veios ocorrem como chamins, que so corpos

com formatos mais cilndricos ou cnicos, embora possam parecer corpos irregulares

quando visto em detalhes. Um depsito determinado stockwork quando constitudo

por uma trama de veios muito pouco espessos, em vez de um nico veio. Depsitos

discordantes com formas pouco definidas seriam simplesmente designados depsitos

irregulares. Por definio, depsitos concordantes posicionam-se paralelamente aos

estratos geolgicos. Geralmente depsitos tomam a forma tabular dos estratos, caso em

que so denominados corpos estratiformes (Brown et. al, 1997).

- 7 -

Os depsitos minerais so formados por processos geolgicos que concentram metais

em abundncia em determinadas regies de tal forma que esta concentrao excede os

teores de corte.

A quantidade da concentrao de metal varia de depsito para depsito e de metal para

metal. Para os elementos maiores a concentrao necessria relativamente pequena,

enquanto elementos menores podem requerer fatores de concentrao muito grandes.

Seguindo este contexto, Brow et. al. (1997) subdividiu os depsitos minerais de acordo

com a natureza dos processos responsveis pela concentrao dos metais que resultaram

em trs principais grupos:

1. Minrios formados por processos gneos nos quais a concentrao de metais

ocorre em cmaras magmticas.

2. Minrios formados por processos hidrotermais nos quais a concentrao de

metais devida circulao de fluidos aquosos quentes no interior da crosta.

3. Minrios formados por processos que concentram metais prximos superfcie

ou na superfcie da crosta terrestre.

possvel notar que essa subdiviso apresenta uma forte semelhana com as rochas

gneas, metamrficas e sedimentares. Esse fato no causa surpresa, pois os minrios

so, acima de tudo, rochas que contm como particularidade grande abundncia em

certos metais. No entanto, as diferenas existem, sendo a mais evidente a tendncia que

temos em relacionar processos metamrficos formao de rochas e processos

hidrotermais formao de depsitos minerais. A razo que processos

metamrficos podem ou no envolver fluidos aquosos quentes; por exemplo, processos

metamrficos podem simplesmente envolver a recristalizao da rocha no estado slido.

Apenas quando fluidos aquosos quentes esto envolvidos que os depsitos minerais

tm a possibilidade de serem formados (Brown et. all., 1997).

A tabela 1 apresenta uma classificao simplificada pois, na prtica, pode ser difcil de

classificar um determinado depsito, devido a muitos depsitos serem resultado final de

uma variedade de processos de concentrao e no somente de um.

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Tabela 1: Classificao Simplificada dos depsitos minerais (Retirado de Brown et. al.,

1997)

3.0.1 Morfologia dos depsitos minerais Os depsitos minerais podem ser classificados de diversas formas referentes sua

geometria. A maioria das terminologias geralmente subjetiva.

Ferreira (2006) adotou a seguinte classificao:

Corpos de minrio discordantes:

Esses corpos, geralmente, esto associados a depsitos epigenticos, caracterizados por

uma gnese ps-rocha encaixante. Os depsitos apresentam-se nas formas regulares e

Tipo Modo de formao Depsitos representativos

depsitos de segregao magmticapela deposio de minerais no assoalho da cmara magmtica durante o incio da cristalizao do magma

camadas ricas em magnetita, cromita e platina na intruso de Busheveld, frica do Sul

pela deposio de fundidos densos de sulfetos ou xidos que se formaram em partes do magma, cristalizando-se entre os minerais silicticos neoformados, ou sendo injetados ao longo de falhas e fraturas das rochas encaixantes

depsitos de cobre-nquel da Noruega e do Distrito de Subdury, Canad; corpos injetados de magnetita na Sucia

depsitos de pegmatitospela separao de fluidos aquosos, ricos em silicatos, nos estgios finais da cristalizao de um magma grantico

mica, e depsitos de metais menores em Petaca, Novo Mxico; depsitos de metais raros na Noruega e Sucia; urnio em Rossing, Namibia

depsitos de cobre porfirticopela expulso de fluidos ricos em metais de um magma ao longo de pequenas fraturas das rochas encaixantes

depsitos de cobre porfirtico da cordilheira americana e ilhas do Pacfico Ocidental; depsitos de molibdnio porfirtico de Climax, Colorado; depsitos de estanho pofirtico em Potosi, Bolvia

depsitos de metassomatismo de contatopela substituio das rochas encaixantes de uma intruso por fluidos ricos em metais expelidos pelo magma

depsitos de magnetita de Iron Springs, Utah; depsitos de cobre de Morenci, Arizona; depsitos de cobre-chumbo-zinco de Bingham, Utah

depsitos exalativoscirculao da gua do mar na crosta ocenica e deposio de minrio no assoalho ocenico

depsitos de cobre do Chipre e Omam; depsitos de cobre-chumbo-zinco (Kuroko) no Japo; sedimentos metalferos do Mar Vermelho

depsitos entracrustaiscriculao de gua do mar atravs da crosta e deposio de minrio em locais adequados

depsitos de cobre-zinco da Irlanda (Tynagh e Navan) e Amrica do Norte (por exemplo, Pine Point); depsitos de estanho tungstnio e Cornwall

depsitos residuaispelo intemperismo, que causa a lixiviao de elementos solveis, deixando concentraes de material insolvel

minrio de bauxita (alumnio) de Arkansas (EUA), Frana, Hungria, Jamaica e Guiana

depsitos de plcerespela deposio de rochas nas quais os gros detrticos de minerais de alto valor de uso so concentrados devido sua alta dureza ou densidade

depsitos de ouro aluvionar da Austrlia, Califrnia, Sibria, Nome (Alasca); plceres de xidos de titnio de Travancore (ndia) e Austrlia; plceres de diamante da Nambia

precipitados qumicospela precipitao qumica de certos metais em ambiente sedimentares no continente, em mares rasos ou nos oceanos profundos

depsitos de urnio-vandio do Colorado; formaes ferrferas da Amrica do Norte e Austrlia; folhelhos cuprferos (Kupferschiefer) da Alemanha; ndulos de mangans

ORIGEM POR PROCESSOS HIDROTERMAIS

ORIGEM POR PROCESSOS DA SUPERFCIE

ORIGEM POR PROCESSOS GNEOS

- 9 -

irregulares. Os de forma regulares podem ser agrupados de duas maneiras: tabular e em

forma de chamin. Os de formas irregulares podem ser agrupados em depsitos

disseminados e em depsitos de substituio.

Corpo de minrio concordante:

Geralmente esses depsitos mostram um desenvolvimento considervel em duas

dimenses, isto , se desenvolvem segundo (s) principal(ais) estruturas das litologias,

sendo o acamemento a foliao metamrfica.

3.1 USO DE MODELAGEM TRIDIMENSIONAL COM TRIANGULAES NA AVALIAO DE RECURSOS MINERAIS A forma mais comum para se avaliar depsitos minerais so os mtodos computacionais

de gerao de slidos em trs dimenses chamado de triangulao ou

triangularizao. Estes mtodos constituem tcnicas de integrao de modelos de

projeto tridimensional de formas primitivas e gerao automtica de redes que so

definidas como uma representao matemtica com grande preciso. Tal metodologia,

tambm funciona para estruturas inscritas em tringulos e tetraedros. A descrio

geomtrica bsica geralmente executada pelo sistema CAD (Computer Aided Design

Desenho por Auxlio de Computador).

Triangulaes podem ser definidas como representaes matemticas, altamente

precisas de dados em trs dimenses. Um modelo de triangulao uma srie de pontos

coordenados em 3D que esto conectados entre eles, formando uma srie de planos

triangulados que definem uma superfcie ou um volume fechado. As figuras 1 e 2

mostram exemplos de triangulao e slidos de triangulao, respectivamente.

- 10 -

Figura 1- Estrutura simples de uma triangulao

Figura 2- Triangulao de um slido simples

Em geral, a menos que este seja suavizado, os modelos de triangulaes respeitam todos

os pontos dos dados, isto , elas no interpolam os pontos intermedirios. Isto significa

que onde os dados esto espaados a triangulao resultante ser grosseira e onde os

dados so densos, a triangulao resultante ser detalhada. Isto permite a criao de

qualquer forma complexa, incluindo topografias ou modelos de terreno digitais (DTM),

superfcies falhadas, pit, modelos de corpos minerais, etc.

- 11 -

A versatilidade da estrutura das triangulaes permite ser usada para muitos propsitos.

No entanto, entender o conceito que est atrs importante quando se aplica a

superfcies geolgicas particulares ou situaes mineiras.

As triangulaes podem representar de forma bem apurada qualquer superfcie ou forma

slida, resultando em um volume o mais preciso, especialmente quando se compara

com outros mtodos de clculo de volume tal como o tradicional poligonal ou do tipo

volumtrico end-area. Isto real tanto para slidos para clculos de volume entre

superfcies, ou seja, volume em corte e aterro.

As triangulaes permitem a modelagem de um amplo alcance de formas naturais, tais

como:

Topografias

Escavao mineira

Superfcies geolgicas

Corpos mineralizados

Desenvolvimento subterrneo

Realces subterrneos

Nveis de gua

Falhas geolgicas

O amplo alcance de utilidades proporcionadas para a modelagem de triangulaes faz

dos modelos de triangulaes uma poderosa ferramenta de visualizao e anlise.

A natureza complexa de algumas triangulaes requer um considervel cuidado a ser

tomado durante sua construo. O procedimento de trabalho deveria ser estabelecido

para modernizar estes processos. Alm disso, com o incremento no poder da velocidade

de processamento dos computadores, o tempo de processamento agora bem menos

- 12 -

significante. Provavelmente qualquer triangulao que tome um tempo fora do comum

para processar, possvel que contenha alguns erros nos dados originais.

Algumas vezes os algoritmos de triangulaes criam formas que no reproduzem a

forma exata de interesse. Isto ocorre pela experincia de quem maneja os dados.

A figura 3 mostra um exemplo de um corpo mineral gerado por algoritmos diferentes

na forma de triangulao tridimensional.

Figura 3 - Exemplo de corpos minerais gerado por meio de mtodos diferentes de triangulao (Extrado de Ferreira, 2006).

A tcnica mais utilizada para gerar corpos minerais tridimensionais a partir da gerao

de sees verticais e/ou horizontais, unido as mesmas atravs das triangulaes

utilizando ferramentas computacionais.

A modelagem das sees envolve a caracterizao geolgica, sees geofsicas e outros.

Em um nvel de maior subjetividade, esta lista pode incluir a experincia e intuio do

- 13 -

gelogo, advindos do seu conhecimento sobre o fenmeno (Houlding, 1994 in Silva

2000).

A interpretao interativa destes elementos em cada seo gera polgonos que

sintetizam reas com menos atributos geolgicos, como litotipos, por exemplo. A unio

seqencial destes polgonos permite representar estas formas em trs dimenses, atravs

de um corpo slido que representa a geometria ou volume do atributo a ser representado

(Silva, 2000).

A figura 4 mostra de forma genrica o processo de modelagem geolgica utilizando

sistemas computacionais. A base para a modelagem um banco de dados com as

informaes que se deseja modelar. Em seguida criam-se sees visualizando, em geral,

um raio de influncia at a metade da prxima seo a ser interpretada ou modelada e

metade da seo interpretada anteriormente. As interpretaes geram polgonos

delimitando os domnios modelados de forma a representar os mesmos. Em seguida

estes polgonos so unidos de forma sequencial seo por seo gerando um modelo

tridimensional por triangulao ou slidos do domnio. Estes modelos tridimensionais

normalmente so utilizados para posterior criao de um modelo de blocos e estimativa

de teores.

- 14 -

Figura 4 - Modelagem geolgica tridimensional (retirado de Silva, 2000. Modificado de

Kavouras, 1995).

A gerao deste modelo deve ser sempre feita com a interferncia do usurio no sistema

grfico (Silva, 2000).

A evoluo da modelagem geolgica marcada pela representao precisa de volumes

lavrveis e a incorporao da influncia destes volumes no processo de avaliao

geoestatstica das reservas, tornando os modelos geoestatsticos cada vez mais

integrados aos modelos geolgicos (Silva, 2000).

- 15 -

3.2 USO DA GEOESTATSTICA NA AVALIAO DE RECURSOS MINERAIS A aplicao de geoestatstica em anlises de avaliao de recursos/reservas minerais

praticamente indispensvel atualmente. O avano no conhecimento e estudo desta

cincia aplicada est ligado necessidade de melhor conhecimento e aproveitamento

dos recursos minerais que se encontram disponveis.

Os trabalhos de pesquisa que so realizados em depsitos minerais buscam o

conhecimento da geologia, da configurao geomtrica e do padro de distribuio

espacial das diversas variveis de interesse para cada tipo de depsito, podendo ser

litolgicos, geoqumicos, geofsicos ou teores provenientes de anlises qumicas, entre

outros.

A Geoestatstica estuda uma varivel considerando sua posio no espao amostral e

sua correlao com as demais amostras vizinhas. Esse conceito descrito na teoria das

variveis regionalizadas apresentadas por Matheron (1963).

Um depsito mineral possui zonas ricas e pobres que so controladas pelo fenmeno

geolgico que deu origem ao depsito. O valor z(u) de um atributo ou varivel Z em

uma amostra localizada numa posio u do espao possui um carter aleatrio local, que

obedece a uma lei de probabilidade de uma funo aleatria Z(u) (Isaaks & Srivastava,

1989), e possui uma correlao espacial ou covarincia com as amostras circunvizinhas,

distantes entre si de um vetor h (lag). Essa correlao depende dos valores da varivel

das amostras, da direo e do mdulo do vetor h (Journel & Huijbregts, 1978).

Para cada posio u da rea que est sendo estudada, considera-se que o valor obtido

em uma amostra localizada em u como aleatrio, ou seja, como um possvel valor que a

varivel Z pode assumir obedecendo a uma lei de distribuio de probabilidade para

aquele local.

O termo krigagem atribudo a um conjunto de mtodos de estimativas possuindo

carter no-tendencioso e que produzem estimativas melhores pois esto baseados na

minimizao da varincia do erro de estimativa e que levam em conta uma funo de

correlao espacial, normalmente variograma ou covarincia.

- 16 -

Segundo Isaaks & Srivastava (1989), a estimativa por krigagem est associada

abreviatura BLUE ( Best linear unbiased estimation); linear, porque a estimativa uma

combinao linear das amostras vizinhas; unbiased, porque a mdia do erro da

estimativa zero, ou seja, um estimador no tendencioso, e Best, porque minimiza a

varincia de estimativa dos erros, produzindo uma tima estimativa (ao menos em

teoria). A estimativa de krigagem e a varincia do erro de estimativa so calculadas

utilizando o modelo de covarincia (ou variograma) obtidos no estudo da continuidade

espacial (variografia).

Segundo Royle (1979), os principais argumentos para o uso dos mtodos geoestatsticos

na avaliao de recursos/reservas minerais so:

- a geoestatstica completamente baseada na prtica de boa avaliao fundamentada

em uma teoria racional, em vez de uma avaliao mineira intuitiva praticada

anteriormente.

- reconhecimento de que a variao total parte aleatria, e parte espacial, conduzindo a

estimativas que no so enviesadas, e com pequenos erros de estimativa.

Em qualquer anlise de dados torna-se imprescindvel conhecer o tipo de varivel que

se ir trabalhar, para assim saber qual a ferramenta estatstica mais adequada a ser

empregada.

Um fluxograma bsico e representativo para a anlise e processamento de dados da

geoestatstica apresentado na figura 5.

- 17 -

Figura 5 - Etapas no processo de um estudo geoestatstico (Retirado de Silva, 2000. Modificado de Armstrong, 1998).

Em geral, a associao das informaes que so obtidas atravs de um estudo

geoestatstico com parmetros econmicos permite com que seja realizada uma

otimizao na seletividade e na explotao de recursos minerais.

3.3 VARIOGRAFIA Um aspecto essencial da modelagem geoestatstico estabelecer medidas quantitativas

da correlao espacial para uso subseqente em estimativa e simulao. A variabilidade

espacial diferente para cada varivel em cada tipo de depsito ou mesmo em

diferentes fcies ou camadas dentro de um mesmo depsito. (Deutsch, 2002).

- 18 -

A correlao espacial para uma modelagem baseada em objetos quantificado atravs

do formato dos objetos, tamanho e relaes (Deutsch, 2002). O

variograma/semivariograma a medida de correlao espacial que utilizada na

maioria dos casos para se estudar esta variabilidade.

O semivariograma para uma varivel ou atributo Z definido como:

() = 1/2 { [() ( + ) ] }

Atravs da anlise da expresso da funo semivariograma, pode-se imaginar que

quanto mais prximos estiverem os pontos amostrados, maior ser a semelhana entre

os valores da varivel nos pontos separados pelo vetor distncia h e, portanto, menor a

semivarincia; e quanto mais distantes estiverem os pontos amostrados menor ser a

semelhana e, consequentemente, maior a disperso (varincia).

A figura 6 ilustra um tpico variograma com patamar e suas propriedades. A

interpretao do variograma permite obter parmetros que descrevem o comportamento

espacial das variveis regionalizadas.

Figura 6 - Variograma tpico e suas propriedades (Yamamoto, 2001).

Em relao ao modelo de variograma da figura 6 os seus principais parmetros so:

O alcance ou amplitude (Range) de um variograma a distncia at a qual as

- 19 -

amostras apresentam correlao espacial. Logo, a amplitude reflete o grau de

continuidade ou de variabilidade entre amostras, quanto maior for a amplitude,

maior ser a continuidade ou menor a variabilidade entre as amostras para um

dado vetor distncia h.

O patamar (sill) o valor no qual o variograma estabiliza-se, o que acontece a

partir da amplitude. A amplitude, portanto define a distncia a partir da qual as

amostras tornam-se independentes. Para uma distncia menor do que a amplitude

se diz que existe uma correlao ou grau de dependncia espacial entre as

amostras.

O efeito pepita (nugget effect) o valor da funo variograma prximo origem

(h = 0).

Teoricamente o valor do efeito pepita zero, pois duas amostras tomadas no

mesmo ponto tm os mesmos valores; entretanto a pequenas distncias, prximas

zero, este valor pode ser maior que zero, caracterizando uma aparente

descontinuidade prximo origem a uma dada escala de observao. Esta

diferena geralmente atribuda erros de amostragem, erros analticos e

tambm a microvariabilidades naturais presentes no depsito.

3.3.1 Isotropia e anisotropia Note que h um vetor e, consequentemente, o variograma depende da magnitude ou

mdulo e da direo de h. Quando o variograma idntico para qualquer direo de h

ele chamado de isotrpico e quando o semivariograma apresenta os parmetros C

(patamar), Co (efeito de pepita), a (amplitude) e/ou modelo diferenciado dependendo da

direo de h, ele chamado anisotrpico.

Desta forma os variogramas podem mostrar diferentes comportamentos quando

calculados ao longo de diferentes direes, A estes comportamentos diferentes se d o

nome de anisotropia.

3.3.2 Os principais modelos de semivariogramas Uma dada varivel dentro de um dado domnio como, por exemplo, um depsito,

apresenta um variograma real ou verdadeiro que desconhecido, pois se conhece a

- 20 -

varivel somente naqueles pontos amostrados. Este variograma deve ser inferido na

prtica a partir de um variograma experimental.

Para que esta inferncia seja possvel a partir das amostras, hipteses de

estacionariedade so assumidas. Mesmo assim, atravs do variograma experimental

pode-se estimar o variograma real somente para determinados vetores distncias que

esto diretamente associados malha de pesquisa. O grfico do variograma

experimental ((h)) em funo da distncia (h) mostrar uma srie de pontos discretos.

Na prtica em processos de estimativas e de simulaes geoestatsticas necessrio o

conhecimento do valor do variograma tambm para outros vetores h diferentes daqueles

estimados atravs do variograma experimental.

Torna-se necessrio ento ajustar o variograma experimental atravs de modelos ou

funes matemticas contnuas. Estes modelos ou funes devem possuir as mesmas

propriedades que uma funo variograma apresenta, ou seja, (h) > 0, (-h) = (h) e

devem ser do tipo condicional positiva para qualquer vetor h.

A modelagem do variograma de fundamental importncia em um estudo

geoestatstico, visto que os clculos da geoestatstica dependem do modelo de

variograma ajustado.

Os principais modelos de semivariogramas utilizados na geoestatstica so:

Esfrico

Exponencial

Gaussiano

Modelo linear com patamar

Modelos sem patamar

A figura 7 mostra de modo comparativo alguns dos principais modelos de

variogramas.

- 21 -

Figura 7 - Principais Modelos variogrficos (Retirado de Cintra, 2003).

3.4 ESTIMATIVA GEOESTATSTICA Segundo Soares (2006), os mtodos clssicos de inferncia espacial de variveis

caractersticas de um recurso natural, desde os polgonos de influncia, o inverso da

potencia da distncia e os ajustamentos polinomiais, tm, na sua maioria, duas

caractersticas comuns: trata-se de mtodos deterministas de continuidade estrutural

(como os variogramas ou covarincias) do fenmeno natural em estudo.

Segundo Brooker (1979) citado por Yamamoto (2001), as tcnicas geoestatsticas de

estimativa, baseadas no estudo da variabilidade espacial do corpo de minrio, so

superiores porque permitem o clculo do erro associado s estimativas, chamadas de

krigagem. O mesmo autor ainda diz que a krigagem o procedimento que permite

calcular os ponderadores para uma dada configurao (bloco x disposio das amostras

no espao), com mnima varincia do erro de estimativa.

O principal motivo de se estimar atribuir valores em locais onde no se conhece o

valor real ou amostral, utilizando-se de valores amostrados na regio em estudo.

Dependendo do tipo de varivel que se deseja avaliar e o objetivo do estudo, pode-se

aplicar mtodos de estimativa geoestatsticos de krigagem linear (como a krigagem

- 22 -

simples, krigagem ordinria, krigagem com deriva externa) e a krigagem no-linear

(como a krigagem de indicatrizes, krigagem lognormal).

3.4.1 Estimador Linear geoestatstico Segundo Soares (2006), o estimador linear geoestatstico [Z(0) ) = ()=1 ,

denominado Krigagem Normal ou Krigagem Ordinria, uma combinao linear do

conjunto de N variveis vizinhas de 0 (), = 1, , que cumpre os dois

critrios em relao ao erro de estimao (0) = [(0)} (0): no-enviesado,

ou seja, {(0)} = 0 e varincia de estimao mnima, isto , min{(0)}.

O primeiro critrio conseguido atravs da imposio da seguinte condio aos

ponderadores: = 1 . A minimizao da varincia de estimao assegurada pelo

procedimento clssico que se resume a igualar a zero as N derivadas parciais em ordem

a ,= 1, , e resolver por qualquer mtodo conhecido o sistema de N incgnitas.

No entanto, como se pretende que a soluo das N incgnitas cumpra a condio de que

= 1, ento a minimizao de

{(0)} = (0) + 2 (0) pode ser resolvida por

intermdio do formalismo de Lagrange, que implica adicionar mais uma equao

= 1 e, consequentemente, mais uma incgnita o parmetro de Lagrange -

equao:

{(0)} = (0) + 2 (( ,0) + 2[ 1 ]

sendo o termo adicional nulo, ou seja, 2[ 1] = 0.

A minimizao da equao anterior consiste assim, em calcular as N+1 derivadas

parciais de {(0)} em relao a e , e, igualando-as a zero, obtendo-se um

sistema de N+1 equaes a N+1 incgnitas de cuja soluo resultam os N ponderadores

que cumprem a condio de no enviesamento = 1 e, ao mesmo tempo,

minimizam a varincia de estimao.

([{[(0)] (0)]2} + 2( 1]

= 0, = 1, ,

- 23 -

([{[(0)] (0)]2} + 2( 1]

= 0

O desenvolvimento das N primeiras equaes conduz a

[(0) + , 2 ( , 0) + 2 ( 1 )

= 0

2 ( , 2( , 0) + 2 = 0, = 1, ,. A ltima derivada

parcial em relao a conduz equao

= 1

Assim, o sistema de krigagem de N+1 equaes, cuja soluo nos fornece os N

ponderadores , o seguinte:

, + = ( , 0), = 1, ,

= 1

Ao se multiplicar cada uma das N primeiras equaes deste sistema pelos seus

respectivos e somar todas elas se obtm a seguinte expresso:

, + =

( , 0)

O valor mnimo da varincia da estimao obtm-se pela substituio da expresso

anterior na equao {(0)} = (0) + 2 (0),

ou seja:

2(0) = (0) +

(, 0)

O sistema de krigagem pode ser tambm descrito em funo do variograma da seguinte

forma:

() = (0) ().

- 24 -

, + = , , = 1, ,

= 1

A varincia de estimao fica igual a :

2(0) = (0) + (,0) + .

Resoluo do sistema de equaes de krigagem

O sistema de N+1 equaes pode ser descrito em notao matricial. Designando por K a

matriz de covarincia entre amostras, M a matriz do 2o membro covarincias entre

amostras e o ponto a estimar e a matriz dos ponderadores:

[] =

(1, 1) (1, 2) (1, ) 1(2, 1) (2, 2) (2, ) 1

( ,1) ( ,2) ( ,) 1

1 1 1 0

[] =

(1, 0)(2, 0)

(3, 0)

1 [] =

12

O sistema de krigagem fica igual a

[]. [] = []

Cuja soluo resulta, aps a inverso de K:

[] = []1. []

2(0) = (0) [] . [].

Definindo-se [Z] como o vetor dos valores (), , [] = [(1), ,()],

ento o estimador [(0)] fica igual a

[(0)] = [] . [] = [] . []1. [] .

- 25 -

Representao dual do sistema de krigagem

O estimador [(0)] = [] . []1. [] pode ser descrito do seguinte modo:

[(0)] = ([] . []1. [])

= [] . []1. []

[] . []

Em que [] = [] . []1

Assim, o estimador representado de uma forma dual de krigagem:

[]. [] = [].

Ao contrrio do sistema de krigagem ordinria, os ponderadores [b] no dependem da

localizao do ponto a estimar, x0, e so definidos, de incio, com base nos valores das

amostras e nas covarincias entre amostras. Da resulta a desvantagem da utilizao

desta formulao dual: para se estimar um dado ponto x0, tem de se utilizar o conjunto

total de amostras, ou seja, no se podem utilizar somente as amostras locais vizinhas de

x0, tal como na krigagem ordinria.

Segundo John Vann & Daniel Guibal (2000), a krigagem ordinria o mais sofisticado

interpolador linear, tendo vantagens sobre o mtodo do inverso da distncia pois ele

garante mnima varincia do erro de estimativa devido a:

1. Um modelo especificado de variabilidade espacial (por exemplo, variograma ou

outra caracterizao da covarincia/correlao espacial), e

2. Uma configurao de dados/bloco especificado (em outras palavras, a

geometria do problema).

O segundo critrio envolve o conhecimento das dimenses do bloco e geometria, a

localizao e o suporte das amostras informantes, e a pesquisa utilizada (ou vizinhana

da krigagem). Varincia minima da estimativa simplesmente significa que o erro da

estimativa minimizado pela krigagem ordinria. Dado um modelo de variograma

apropriado, a krigagem ordinria ir realizar o inverso da distncia ponderado porque a

- 26 -

estimativa ser suavizada de uma maneira condicionada pela variabilidade espacial dos

dados (conhecido pelo variograma).

Segundo Soares (2006), os ponderadores do estimador de krigagem resumem

fundamentalmente dois fatores:

- O fator distncia estrutural entre amostras e o ponto a estimar. Do segundo membro do

sistema de krigagem deduz-se que, quanto mais prximas estiverem as amostras do

ponto a estimar, maior ser seu peso no estimador.

- O fator de desagrupamento (declustering) originado pela matriz de covarincias entre

as amostras (primeiro membro do sistema de krigagem). Quanto mais correlacionadas

estiverem as amostras, maior o efeito de agrupamento ou redundncia e menor ser o

seu peso individual na construo do estimador.

De acordo com Vann & Daniel Guibal (2000), as principais limitaes da estimativa

linear na qual a krigagem ordinria fornece a melhor soluo se referem a:

1. Quando se motivado a estimar a distribuio ao invs de simplesmente um

valor esperado em alguma localizao ( ou sobre alguma rea/volume, se ns

estamos falando sobre estimativa de bloco). Interpoladores linerares no podem

fazer isso. Os casos so muitos: reservas de minrio recupervel em uma mina, a

proporo de uma rea excedendo algum limite de contaminante em um

mapeamento ambiental, etc.

2. Quando se est lidando com alguma forte distribuio enviesada, por exemplo,

um deposito de metal precioso ou urnio, e simplesmente estimando a mdia por

um estimador linear ( por exemplo krigagem ordinria) arriscado, pois a

presena de valores extremos torna qualquer estimador linear muito instvel.

Pode-se requerer um conhecimento da distribuio dos teores de forma a se

obter o melhor estimador da mdia. Isto normalmente envolve algumas

pressuposies sobre a distribuio ( por exemplo, qual o formato da cauda

desta distribuio?) mesmo em situaes em que evidentemente se est livre de

distribuio ( como por exemplo utilizando a krigagem das indicatrizes).

- 27 -

3. Quando se est estudando uma situao onde a mdia aritmtica (e portanto o

estimador linear utilizado para obt-lo) uma medida inapropriada da mdia,

por exemplo, em situao de no aditividade como permeabilidade para

aplicaes de petrleo ou resistncia do solo para aplicaes de engenharia

geolgica.

3.4.2 Estimadores no-lineares geoestatsticos Pelo ponto de vista geoestatistico, interpoladores no-lineares so uma tentativa de

estimar a esperana condicional, e tambm a distribuio condicional dos teores em

uma localizao, como oposio de simplesmente prever o teor por si s. Neste caso se

quer estimar a mdia do teor (esperado) em alguma localizao sob a condio de que

se conhece alguns valores de amostras prximas (expectativa condicional). Esta

esperana condicional, com algumas excees espaciais (por exemplo sobre o Modelo

Gaussiano) no-linear (Vann & Daniel Guibal, 2000).

A principal aplicao da estimativa no-linear na quantificao do percentual de um

bloco SMU (Selective Mining Unit) estar acima ou abaixo de um teor de corte ou de um

atributo limite (litologia, tipo de alterao, tipo de oxidao, entre outros).

Os estimadores geoestatsticos no-lineares, como o prprio nome j diz, se utilizam de

funes no-lineares para obter ou aplicar uma esperana condicional em uma

localizao, atravs de uma distribuio de probabilidades naquela localizao. Desta

forma pode-se estimar a probabilidade de um teor ou de um determinado atributo em

uma localizao qualquer estar acima ou abaixo de um dado limite conhecendo-se

informaes de amostras vizinhas.

Vann & Daniel Guibal (2000), apresentam alguns mtodos disponveis para se fazer

estimativas locais, sendo as seguintes:

Krigagem Disjuntiva (Disjunctive kriging- DK) (Matheron, 1976, Armstrong

and Matheron, 1986a, 1986b);

Krigagem de indicatrizes (Indicator kriging IK) (Journel, 1982, 1988) e

variantes (Multiple Indicator kriging; Median Indicator kriging, etc);

- 28 -

Krigagem Probabilistica ( Probabilistic kriging PK) (Verly and Sullivan,

1985);

Krigagem lognormal ( Lognormal kriging LK) (Dowd, 1982);

Krigagem Multigaussiana (Multigaussian kriging MK) (Verly and Sullivan,

1985, Schofield, 1989a, 1899b);

Condicionamento Uniforme (Uniform Conditioning UC) (Rivoirard, 1994, e

Humphreys,1998);

Krigagem de indicatrizes residual (Residual Indicator kriging RIK)

(Rivoirard, 1989).

3.4.2.1 Krigagem de indicatrizes Segundo Landim & Sturaro (2002), as varincias de krigagem, sendo condicionadas

apenas pelo arranjo geomtrico dos pontos e, portanto, independentes dos valores das

amostras, no so normalmente medidas de acurcia da estimativa local. Para satisfazer

esta necessidade uma das solues apontadas a krigagem de variveis indicatrizes,

tambm chamada de krigagem das indicatrizes ou simplesmente krigagem indicadora

(KI). O enfoque passa a ser neste caso, no estimar valor, como na krigagem ordinria,

mas sim definir reas com maior ou menor probabilidade que um determinado evento

ocorra (Oliveira, 2008).

O formalismo da krigagem de indicatrizes (KI) foi apresentado por Journel (1983) como

uma proposta para construir uma funo de distribuio de probabilidades acumuladas

para a estimativa de distribuies espaciais (Oliveira, 2008). Na krigagem de

indicatrizes feita a estimativa de uma varivel chamada indicadora ou indicatriz obtida

a partir de uma transformao realizada sobre outra varivel. A varivel indicatriz

indica se a varivel sobre a qual a transformao realizada pertence a uma dada classe

de valores. Se a varivel pertence quela classe de valores a sua correspondente varivel

indicatriz recebe o valor 1, e em caso contrrio, o valor 0.

Na krigagem de indicatrizes necessria a realizao de uma transformao no linear

sobre o conjunto Z(x) de dados amostrais, a qual denominada codificao por

indicao (Imai ET AL., 2003 in Oliveira, 2008).

- 29 -

Segundo Smith & Williams (1996), a varivel indicatriz fornece uma estimativa da

distribuio acumulada condicionada (CDF conditional cumulative distribution) em

uma localizao u para um dado limite ou parmetro de corte zx.

: (; ) = {(; |())}

= {() |() }

= (; |() )

(; ) a probabilidade de que a varivel Z na localizao u seja menor ou igual ao

valor de corte .

(; ) um estimador de (; ) condicionado ou baseado em n amostras disponveis

tomadas na vizinhana de u.

Uma vez que os dados de indicatriz esto gerados e os variogramas de indicatrizes esto

modelados, os modelos so aplicados em variveis indicatrizes utilizando um mtodo de

krigagem ordinria como a seguir:

(; |()) [(; )] = (; )(; )

=1

Onde ; () o valor estimado na localizao u para o valor de corte zx, baseado

em n amostras vizinhas de u, e (; ) para j=1,2,...,n so os ponderadores de

krigagem. ; () a distribuio acumulada condicionada (CDF).

Segundo Rocha & Yamamoto (2003) (in Oliveira, 2008), a principal vantagem da

krigagem de indicatrizes a de ser uma tcnica paramtrica, ou seja, nenhum tipo de

distribuio para uma determinada varivel aleatria considerado a priori. Isto

possibilita uma estimativa da funo de distribuio para tais variveis, permitindo a

determinao de incertezas e a inferncia de valores do atributo em locais no

amostrados. Essa tcnica tambm possibilita a modelagem de dados com grande

variabilidade espacial.

- 30 -

A codificao pode ser realizada tanto para uma varivel contnua quanto para uma

varivel categrica. O resultado da KI dentro de uma rea A uma estimativa da

probabilidade de uma varivel Z estar acima ou abaixo de um dado valor de corte no

caso de uma varivel contnua, ou da probabilidade de uma varivel Z pertencer a uma

dada categoria no caso de uma varivel categrica.

3.4.2.1.1 Krigagem de indicatrizes Contnuas Para uma varivel contnua o teor Z(x) dentro de uma rea A e para um dado teor de

corte z, a varivel indicatriz pode ser definida como:

(; ) = 1, () < 0, .

Segundo Soares (2006), apesar da simplicidade da metodologia de clculo de valores da

lei de distribuio de probabilidades de Z(x), no ponto x ou na rea A, ela contm, no

entanto, alguns inconvenientes que, apesar de na prtica, no serem limitativos,

necessrio t-los em conta.

1. Para diferentes valores de corte z1 e z2, o mtodo no garante a manuteno da

relao de ordem

[1(0)] [2(0)] se z1 < z2, uma vez que as estimaes de [1(0)] e [2(0)] so independentes.

Para que aquela relao seja verdadeira para qualquer par de valores z1 e z2,

suficiente que os ponderadores para a estimao de [1(0)] e [2(0)] sejam

iguais e positivos, isto , independentes de z.

Isto implica que na maioria das situaes, suficiente que seja utilizado sempre

o mesmo modelo de variograma para qualquer corte z.

Note-se, no entanto, que esta uma simplificao, pois h situaes em que os

valores extremos de z tm variogramas diferentes.

2. Uma vez que o estimador de krigagem impe que a soma dos ponderadores seja

1 mas no impe que no haja ponderadores negativos ou superiores a 1, no h

a garantia de que os valores estimados estejam compreendidos entre 0 e 1. A

soluo mais simples consiste em impor aps a estimativa estas condies aos

estimadores.

- 31 -

No planejamento de mina pode-se desejar separar o material em minrio e estril

baseado em um particular teor do minrio; o minrio dever ser separado em algumas

pilhas de estoque baseado em outros cortes de teor. Em muitos casos, os teores de corte

utilizados em uma estimativa de indicadores, devem ser os mesmos dos teores que

existe relevncia na prtica para a operao de uma mina em que ser aplicado. Muitas

aplicaes ambientais tambm tm limiares que so significativos por razes de sade e

segurana, e estimativas de indicatrizes em determinados cortes podem ser suficientes

para enfrentar os objetivos de um estudo ambiental (Isaaks & Srivastava, 1989).

Quando se aumenta o nmero de limiares (cortes) nos quais se estima uma poro

cumulativa, pode-se refinar a aparncia da distribuio cumulativa estimada e o seu

histograma correspondente. A habilidade de refinar a distribuio cumulativa limitada,

entretanto, pelo nmero de amostras na vizinhana. Se existem apenas algumas

amostras disponveis, ento a distribuio estimada ir parecer totalmente grosseira

apesar dos nmeros de cortes que escolhermos (Isaaks & Srivastava, 1989).

Na prtica atual, ns devemos cuidadosamente considerar os nmeros de cortes nos

quais ns precisaremos estimar. Embora o uso de vrios cortes possam nos permitir

gerar histogramas visualmente satisfatrios, este raramente o objetivo principal de um

estudo. Para a maioria dos problemas prticos que requerem tcnicas de indicatrizes,

uma considerao cuidadosa do objetivo final nos permite utilizar alguns limiares bem

escolhidos (Isaaks & Srivastava, 1989).

Se no existem limiares (ou teores de corte) que possuem importncia para o problema a

ser enfrentado, a prtica mais comum executar a estimativa de indicadores em nove

cortes correspondentes aos dez dcimos existentes de uma distribuio global. Apesar

de ser convencional esta opo ainda arbitrria; se h uma parte em particular da

distribuio para os quais a estimativa mais importante, ento se deve escolher mais

cortes dentro daquele intervalo. Por exemplo, em muitos depsitos de minerais

preciosos a maior parte do metal est contido em uma pequena poro de um alto teor

de minrio. Em muitas situaes, faz sentido executar a estimativa de indicadores em

vrios cortes altos desde a precisa estimativa da menor poro da distribuio (Isaaks &

Srivastava, 1989).

- 32 -

No importa quantos cortes sejam escolhidos com o mtodo de indicatrizes, a curva de

distribuio cumulativa ser estimada em apenas um nmero finito de pontos. Para uma

estimativa da curva completa, ser necessria uma interpolao entre os pontos

estimados. Esta interpolao e extrapolao necessariamente envolvem algumas

pressuposies sobre como a distribuio se comporta nos pontos onde no foi

diretamente estimada. Ns sabemos que em uma funo de distribuio acumulada

no decrescente e que no pode ser menor que 0 e nem maior que 1, entretanto, mesmo

com estas restries existem vrias funes diferentes que podem passar pelos pontos

existentes (Isaaks & Srivastava, 1989).

3.4.2.1.2 Krigagem de indicatrizes Categrica No quadro conceitual da estimao geoestatstica da forma do corpo, o elemento

unitrio consiste na probabilidade de um ponto, localizado no espao, pertencer a um de

um conjunto de corpos complementares e disjuntos. As formas dos diferentes corpos

resultam de um processo de classificao destes elementos com maior probabilidade de

pertencer a cada um deles. (Soares, 2006).

Soares (2006) define a varivel indicatriz categrica I(x) de estruturas bifsicas (dados

qualitativos como, por exemplo, litologia) como sendo uma varivel que pode assumir

dois valores possveis na localizao espacial x num sistema binrio composto por 2

corpos, X e seu complementar Xc , dentro de uma rea A, ou seja :

() = 1 0

Sendo A = X Xc

O conjunto de N amostras disponveis em A e codificadas nos dois estados possveis

1 ou 0 de acordo com a probabilidade de pertencer a X ou a Xc, I(xi), i = 1,...,N,

pode ser interpretado tambm como uma funo aleatria I(x). A varivel indicatriz

pode ser interpretada como uma realizao dessa funo aleatria.

Conhecendo-se os variogramas das variveis indicatrizes possvel atravs de uma

krigagem das indicatrizes estimar a probabilidade de uma dada localizao u no

amostrada pertencer a um dado corpo ou a uma dada litologia.

- 33 -

A figura 8 mostra dois exemplos de corpos litolgicos estimados pela krigagem de

indicatriz em um modelo de blocos.

Figura 8 - Exemplos de resultado de krigagem de indicatriz em modelos de blocos (Retirado de Soares, 2006).

3.4.2.2 Variogramas de variveis indicatrizes A krigagem ordinria requer um modelo de variograma ou a funo de covarincia da

varivel que est sendo estimada. A estimativa para n diferentes valores de corte requer

um modelo de continuidade espacial para cada um dos n valores. Agora na estimativa

de indicadores muito mais que no original n valores, devem-se utilizar um modelo de

variograma da continuidade espacial dos indicadores. Quando se aplica o procedimento

da krigagem ordinria na estimativa de um indicador em corte particular, o ideal seria

utilizar um modelo de variograma que reflete o molde para aquele corte em particular.

Por exemplo, a krigagem ordinria da mdia local para um corte de 65 ppm deve ser

feito com um variograma que captura a continuidade espacial dos indicadores para um

corte 65 ppm; a estimativa da mdia global do indicador para o corte de 225 ppm, por

- 34 -

outro lado, deve utilizar um modelo de variograma que descreve a continuidade espacial

dos indicadores para o corte de 225 ppm (Isaaks & Srivastava, 1989).

A habilidade de utilizar diferentes padres de continuidade espacial para diferentes

limiares distingue a krigagem ordinria dos outros procedimentos para estimar a mdia

local de um indicador. Com a krigagem ordinria os pesos atribudos na vizinhana de

um corte em particular iro depender do modelo de variograma escolhido para aquele

corte (Isaaks & Srivastava, 1989).

Para se estimar indicadores devem-se gerar modelos de variogramas para cada corte no

qual se deseja fazer a estimativa. Variogramas das amostras devem ser calculados e

modelados para cada corte. Felizmente variogramas das amostras calculadas de dados

indicadores so geralmente bem comportados. Desde que uma varivel de indicador seja

0 ou 1, variograma de indicadores no sofrem do efeito adverso de valores extremos

errticos. De fato, mesmo em estudos onde a krigagem de indicadores no ser

utilizada, variograma de indicadores so frequentemente utilizados para revelar o

modelo da continuidade espacial da varivel original. Apesar de serem mais facilmente

interpretados e modelados que o variograma das variveis originais, variogramas de

indicadores so facilmente afetados por agrupamento preferencial de dados de amostras.

A estrutura revelada pelos variogramas de indicadores no pode ser devido ao modelo

da continuidade espacial, mas sim pelo agrupamento de um conjunto de dados de

amostras (Isaaks & Srivastava, 1989).

A krigagem ordinria de indicadores em vrios cortes, utilizando modelos de

variogramas separados para cada corte, usualmente referida simplesmente como

krigagem de indicadores.

Existe tambm, uma aproximao para a krigagem de indicadores que, em muitas

situaes, produzem bons resultados. Esta aproximao consiste em utilizar o mesmo

modelo variograma para a estimao em todos os cortes. A escolha do modelo de

variograma para todos os cortes comumente utilizando os dados de indicadores a um

corte prximo da mediana. A prtica tem mostrado que o variograma baseado em

indicadores definidos pela mediana dos cortes normalmente se comporta melhor que os

variogramas baseados em indicadores definidos em outros cortes. Quando o variograma

- 35 -

utilizado para a krigagem de indicadores frequentemente utilizado o de indicadores

medianos, este procedimento usualmente referido como krigagem de indicadores

medianos (Isaaks & Srivastava, 1989).

Com um modelo de variograma para todos os cortes, os pesos aplicados para cada

amostra no dependem do corte. Uma vez que os pesos tenham sido calculados para a

estimativa do indicador no primeiro corte, eles podem ser utilizados novamente para

estimar qualquer outro corte. Isto torna a krigagem mediana de indicadores

computacionalmente mais rpida que a krigagem de indicadores, no qual requer que os

pesos sejam recalculados para cada corte quando o modelo de variograma mudar de um

corte para o prximo (Isaaks & Srivastava, 1989).

3.5 MODELO DE BLOCOS Um modelo de blocos pode ser definido como sendo uma srie de cubos que

coletivamente definem um grande cubo. Cada cubo menor referido como um bloco

ou uma clula que definem um exato pedao do espao em 3D.

Uma srie de variveis ou atributos so atribudos a cada bloco e desta forma todo o

volume coberto pelo modelo de blocos definida. A figura 9 exemplifica um modelo de

blocos com seus blocos individuais.

Figura 9 - Exemplo de um modelo de blocos e seus blocos individuais (clulas)

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Alguns dos atributos (variveis) que podem ser aplicados a cada bloco individual dentro

de um modelo de blocos esto apresentados na tabela 2:

Tabela 2: Alguns atributos que podem ser atribudos a blocos de modelo de blocos

Atributos

Geomtricos

Coordenadas das posies (para o centro

do bloco) e nmero indexador x, y e z ,

dimenso dos lados

Atributos de

Classificao

Tipo de rocha

tipo de minrio

status de intemperismo

nmero do pit

Atributos de Teor

Teores estimados

variveis de teor

valores de confiana

custos de mina ($/t)

resistncia da rocha

Atributos

Numricos

Absolutos

Valores monetrios

gramas de metal

KJ de calor

Assim, uma srie de blocos adjacentes com a mesma classificao de tipo de rocha

coletivamente define uma parte de uma estrutura geolgica e os valores de uma varivel

armazenando teores de ouro definem a distribuio de ouro dentro de um corpo mineral.

Dentre as vantagens de se utilizar modelos de blocos pode-se citar:

Um modelo de blocos pode ser uma estrutura de dados muito eficient

dissertaÇÃo_avaliaçãokrigagemindicadora

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