dissertação: modelagem e simulação de um separador bifásico … · a integração do sistema...

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DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE UM SEPARADORBIFÁSICO COM INVERSÃO DE FASES INDUZIDA

Natal/RNJulho/2013

Hanniel Ferreira Sarmento de Freitas

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE UM SEPARADORBIFÁSICO COM INVERSÃO DE FASES INDUZIDA

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Química -

PPGEQ, da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte - UFRN, como parte dos re-

quisitos para a obtenção do título de Mestre

em Engenharia Química, sob a orientação do

Prof. Dr. João Bosco de Araujo Paulo.

Natal/RNJulho/2013

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / CT / DEQ

Biblioteca Setorial “Professor Horácio Nícolás Sólimo”.

Freitas, Hanniel Ferreira Sarmento de. Modelagem e simulação de um separador bifásico com inversão de fases induzida / Hanniel Ferreira Sarmento de Freitas. Natal, 2013. 143 f.: il.

Orientador: João Bosco de Araújo Paulo.

Dissertação (Mestrado) Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Departamento de Engenharia Química. Programa de Pós Graduação em Engenharia Química.

1. Engenharia Química Dissertação. 2. Modelagem Dissertação. 3. Métodosmatemáticos Dissertação. 4. Extração líquidolíquido Dissertação. I. Paulo, JoãoBosco de Araújo. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título.

RN/UF CDU 66.0(043.3)

FREITAS, Hanniel Ferreira Sarmento de. Modelagem e simulação de um separadorbifásico com inversão de fases induzida. Dissertação de Mestrado, UFRN, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química. Área de concentração: Modelagem, simulação e controlede processos. Natal/RN, Brasil.

Orientador: João Bosco de Araújo Paulo

RESUMO: O presente trabalho tem como objetivo estudar a modelagem e simulação de umseparador bifásico com inversão de fases induzida, o MDIF (Misturador Decantador à Inversãode Fases), por meio da utilização do método das diferenças finitas para a resolução das equaçõesdiferenciais parciais que descrevem o transporte da fração mássica do contaminante no interiorda câmara de decantação do equipamento. Com esse intuito, foi desenvolvido o modelo deter-minístico diferencial AMADDA, o qual foi admensionalizado e então semidiscretizado atravésdo método das linhas. A integração do sistema de equações diferenciais ordinárias resultantefoi realizada através de um algoritmo modificado do método de Adam-Bashfort-Moulton, e arotina de otimização estocástica de Basin-Hopping foi utilizada no procedimento de estimaçãode parâmetros do modelo.

Com o intuito de estabelecer um referencial comparativo para a validação dos resultadosobtidos com o modelo AMADDA, foram utilizados dados experimentais apresentados na lite-ratura (FERNANDES JR, 2002; FERNANDES JR, 2006; MEDEIROS, 2008). Os resultadosexperimentais e aqueles obtidos com o modelo foram avaliados quanto à sua normalidade pormeio do teste de Shapiro-Wilk, e validados frente aos resultados experimentais através do testet de Student e o o teste de Kruskal-Wallis, à depender do resultado.

Os resultados obtidos através do modelo AMADDA mostraram um desempenho satisfatóriona determinação da eficiência de separação do MDIF, sendo possível determinar que, a umnível de significância de 1%, os resultados calculados são equivalentes àqueles determinadosexperimentalmente nos trabalhos de referência.

Palavras-chave: Modelagem,Simulação, Método das Diferenças Finitas

Hanniel Ferreira Sarmento de Freitas

Modelagem e simulação de um separador bifásico com inversão de fasesinduzida

Dissertação apresentada ao Programa dePós-Graduação em Engenharia Química -PPGEQ, da Universidade Federal do RioGrande do Norte - UFRN, como parte dos re-quisitos para a obtenção do título de Mestreem Engenharia Química.

Aprovado em 05 de Julho.

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Freitas, Hanniel Ferreira Sarmento de - Modeling and simulation of a biphasic separatorwith induced phase inversion.

ABSTRACT

The present work has the main goal to study the modeling and simulation of a biphasicseparator with induced phase inversion, the MDIF, with the utilization of the finite differencesmethod for the resolution of the partial differencial equations which describe the transport ofcontaminant’s mass fraction inside the equipment’s settling chamber. With this aim, was de-veloped the deterministic differential model AMADDA, wich was admensionalizated and thensemidiscretizated with the method of lines. The integration of the resultant system of ordinarydifferential equations was realized by means of a modified algorithm of the Adam-Bashfort-Moulton method, and the sthocastic optimization routine of Basin-Hopping was used in themodel’s parameter estimation procedure .

With the aim to establish a comparative referential for the results obtained with the modelAMADDA, were used experimental data presented in previous works of the MDIF’s researchgroup. The experimental data and those obtained with the model was assessed regarding itsnormality by means of the Shapiro-Wilk’s test, and validated against the experimental resultswith the Student’s t test and the Kruskal-Wallis’s test, depending on the result.

The results showed satisfactory performance of the model AMADDA in the evaluation ofthe MDIF’s separation efficiency, being possible to determinate that at 1% significance level thecalculated results are equivalent to those determinated experimentally in the reference works.

Keywords: Modeling, Simulation, Finite Differences Method

À vida...

Agradecimentos

Agradeço aos meus pais Maristela e Josival pelo carinho, educação e a orientação de ca-ráter que me ajudaram a me formar como o indivíduo que hoje sou. Agradeço pelas palavrasde carinho, incentivo e principalmente, pelo exemplo que eles - ambos educadores - me pro-porcionaram, e que sem dúvida me levaram a lançar-me nessa árdua jornada que é a carreiraacadêmica nesse país tanto tem que se educar no que tange à maneira com a qual aqueles queeducam são tratados. Agradeço também aos meus avós Agenor e Luci pois os avós são, comojá dizem, pais duas vezes. Sou grato também à minha irmã Catarina. Não conseguiria traduzirem palavras o quanto sou grato à vocês.

Agradeço à minha amada Isis Moura, por quem não sinto que posso traduzir em palavras -quiçá em um mero parágrafo - a minha gratidão pelo carinho, compreensão e gestos de estímulonão só no que concerne a laboriosa finalização deste trabalho, mas todo o entorno de minhavida. Sua companhia é muito preciosa, e na falta de uma maneira melhor de expressar meuagradecimento, batizei carinhosamente o modelo de AMADDA. Por tudo o que citei, e por tudoo que não pude expressar, lhe agradeço.

Agradeço à toda minha família de maneira geral, dos parentes mais próximos aos maisdistantes. Os momentos que compartilhamos contribuíram para me desenvolver enquanto o quesou, de maneiras que talvez nem eu mesmo consiga precisar. Sou muito grato à tudo isso.

Agradeço ao Professor João Bosco, pela orientação realizada neste trabalho. Nunca tendotrabalhado juntos, éramos estranhos até o início dessa empreitada, e sem dúvida devo meus sin-ceros agradecimentos também por todo o trabalho anterior do professor, junto com o grupo depesquisa do MDIF, o qual proporcionou o embasamento experimental sob o qual este trabalhofoi desenvolvido. Apesar do pouco tempo de contato que tivemos, foram várias as contribuiçõesque levarei à frente do meu futuro profissional.

Agradeço a coorientação da Professora Vanja França, que atuou no aspecto de modelagem esimulação deste trabalho. Tendo trabalhado com ela desde os idos de 2009, muito foi aprendidoinclusive em aspectos que ultrapassam o conhecimento teórico.

Sou muito grato aos meus amigos do Laboratório de Simulação (LAMOS), Diego Volpatto,Thiago Carneiro e Stênio Tavares. Foram muito preciosas todas as horas de aprendizado emque discutíamos os nossos trabalhos durante uma rodada de café, ou mesmo os momentos de

diversão que compartilhamos no laboratório. Somos todos uma família, então agradeço meusirmãos de labuta.

Agradeço aos Professores Jackson Araujo e Domingos Fabiano, por toda a orientação eestímulo durante a fase final do trabalho. Devo agradecer também por toda orientação e inspi-ração que os mesmos me proporcionaram desde a graduação, culminando no fim do mestradona certeza de que são tais bastiões que me impelem para a carreira acadêmica. À vocês, meuagradecimento e sincera admiração.

Agradeço aos professores que fizeram parte da banca exatminadora da defesa desta disser-tação: Dr. Antonio Gilson de Lima e Dr. Wilaci Fernandes Jr, pelas palavras de incentivo e asvaliosas contribuições apresentadas que contribuiram para a lapidação deste trabalho.

Agradeço ao corpo administrativo do Programa de Pós Graduação em Engenharia Química(PPGEQ) da UFRN por todo o auxílio nos percalços burocráticos que por vezes nos deparamos.

Agradeço às Professoras Anita Lima e Magna Angélica, que foram minhas tutoras no Labo-ratório de Engenharia Ambiental e Controle de Qualidade (LEACQ). Mais do que orientadoras,uso a palavra tutoras para defini-las, as quais me inclinaram para o ambiente de pesquisa cien-tífica. À vocês, meu sincero agradecimento.

Agradeço por ter tido a oportunidade de realizar minha graduação e pós-graduação na Uni-versidade Federal do Rio Grande do Norte. Como uma instituição pública de ensino, devoportanto meus agradecimentos à toda a população contribuinte, e vejo este trabalho como umaforma de retribuir todo o investimento em mim realizado em forma de ciência.

Agradeço à Comissão de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelofinanciamento que tornou a realização deste trabalho possível.

Por fim, agradeço a todos que de alguma maneira tornaram a realização deste trabalho pos-sível.

A ciência é portanto uma perversão

de si mesma, a menos que tenha

como fim último melhorar a

humanidade.

Nikola Tesla

Sumário

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Introdução geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Objetivos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Referencial teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 O processo de extração líquido-líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Princípios e definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Equipamentos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Aplicações do processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.4 O equilíbrio de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 O Misturador-Decantador à Inversão de Fases (MDIF) . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 O fenômeno da inversão de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Trabalhos anteriores acerca do MDIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3 Hidrodinâmica do MDIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3.1 Hidrodinâmica da câmara de mistura . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3.2 Hidrodinâmica do prato perfurado . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3.3 Hidrodinâmica da câmara de decantação . . . . . . . . . . . 19

2.3 A fluidodinâmica computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 A origem e a importância da CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 Modelagem de escoamentos multifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2.1 Modelos One-Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2.2 Modelos Two-Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3 Métodos para rastreamento de interface . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.4 Modelagem de turbulência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Método das Diferenças Finitas (MDF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.2 Aproximação de derivadas por diferenças finitas . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.3 Solução de equações diferenciais parciais . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.3.1 Resolução direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.3.2 Método das linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.4 Integração numérica de EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.4.1 Método de Euler explícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.4.2 Método de Euler implícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.4.3 Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.4.4 Métodos BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.4.5 Método de Adams-Bashfort-Moulton . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Estimação de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6 Transporte de massa por meio de gotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.6.1 Modelo para gota rígida (ou estagnada) . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6.2 Modelo para gota circulante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.6.3 Modelo para gota deformável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Modelagem diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1 Modelagem do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Identificação do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.2 Apresentação do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.3 Considerações do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.4 Condições iniciais e de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.4.1 Condições inicias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.4.2 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.5 Adimensionalização do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.6 Forma final do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Método numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.1 Semidiscretização em diferenças finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.1.1 Sistema de EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.1.2 Condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.2 Balanço de informação acerca do modelo AMADDA . . . . . . . . . . 653.2.3 Simulação dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.4 Estimação de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Metodologia utilizada na simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Resultados e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1 Resultados da simulação dinâmica do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.1 Comparativo entre os resultados calculados e experimentais . . . . . . . 754.1.2 Gráficos evolutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Análise estatística dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2.1 Validação do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2.2 Correlação entre as variáveis operacionais e os parâmetros estimados . . 864.2.3 Análise de sensibilidade do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3 Síntese dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.1 Validação do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.2 Análise de sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.3 Correlação entre os parâmetros estimados e as variáveis experimentais . 89

5 Conclusões gerais e sugestões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Apêndices 101

Apêndice A Caracterísiticas dos sistemas estudados . . . . . . . . . . . . 103A.1 Caracterísiticas geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.2 Caracterísiticas físico-químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.3 Caracterísiticas de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Apêndice B Algoritmo de integração numérica . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Apêndice C Análise estatística dos dados experimentais . . . . . . . . . . 111

Lista de Figuras

Figura 2.1 –Micrografia de soluções tolueno x água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Figura 2.2 –Desenho convencional de um misturador-decantador. . . . . . . . . . . . . 10

Figura 2.3 –Microscopia de emulsões água-óleo e óleo-água . . . . . . . . . . . . . . . 13

Figura 2.4 –Princípio do método da inversão de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Figura 2.5 –Fenômeno da inversão de fases no dispersor (FERNANDES, 2009). . . . . . 15

Figura 2.6 –diagrama dos componentes constituintes do MDIF (PAULO et al., 1994), efoto real do equipamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Figura 2.7 –Mecanismo de formação de gotas para diferentes velocidades . . . . . . . . 20

Figura 2.8 –Escoamento de uma gota transportadora no leito orgânico . . . . . . . . . . 21

Figura 2.9 –Métodos de rastreamento de interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 2.10 –Turbulência gerada em uma grade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 2.11 –Aproximações para o operador diferencial de primeira ordem . . . . . . . . 35

Figura 2.12 –Representação gráfica da avaliação do valor da função pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Figura 2.13 –Regimes de forma de gotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 2.14 –Análise da influência de diversos grupos adimensionais na transferência demassa de gotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 2.15 –Deformações sofridas pela gota para o modelo de gota deformável . . . . . 51

Figura 3.1 –Volume de controle da câmara de decantação . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 3.2 –Regiões de condições iniciais ou de contorno referente ao modelo . . . . . . 59

Figura 3.3 –Seções nas quais o domínio é discretizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Figura 3.4 –Visualização gráfica do domínio semidiscretizado do modelo AMADDA,quanto as variáveis (lado direito) e as equações (lado esquerdo). . . . . . . . 66

Figura 4.1 –Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número13 do primeiro grupo experimental (alta vazão) . . . . . . . . . . . . . . . 77

Figura 4.2 –Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número1 do primeiro grupo experimental (média vazão) . . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 4.3 –Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número12 do primeiro grupo experimental (baixa vazão) . . . . . . . . . . . . . . . 79

Figura 4.4 –Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número10 do segundo grupo experimental (alta vazão) . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 4.5 –Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número1 do segundo grupo experimental (média vazão) . . . . . . . . . . . . . . . 81

Figura 4.6 –Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número9 do segundo grupo experimental (baixa vazão) . . . . . . . . . . . . . . . 82

Figura 4.7 –Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número13 do terceiro grupo experimental (alta vazão) . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Figura 4.8 –Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número1 do terceiro grupo experimental (média vazão) . . . . . . . . . . . . . . . 84

Figura 4.9 –Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número3 do terceiro grupo experimental (baixa vazão) . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Figura C.1 –Histograma dos dados experimentais apresentados no trabalho de FernandesJr (2002) de eficiência na separação do MDIF. . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Figura C.2 –Histograma dos dados experimentais apresentados no trabalho de FernandesJr (2006) de eficiência na separação do MDIF. . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Figura C.3 –Histograma dos dados experimentais apresentados no trabalho de Medeiros(2008) de eficiência na separação do MDIF. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 –Classificação do escoamento bifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Tabela 2.2 –Coeficientes dos métodos BDF até a 6ª ordem (ASCHER; PETZOLD, 1998) 44

Tabela 2.3 –Coeficientes dos método de Adams-Moulton até a 6ª ordem (ASCHER;PETZOLD, 1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Tabela 2.4 –Coeficientes dos método de Adams-Moulton até a 6ª ordem (ASCHER;PETZOLD, 1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Tabela 3.1 –Condições utilizadas na simulação do modelo AMADDA para o primeirogrupo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Tabela 3.2 –Condições utilizadas na simulação do modelo AMADDA para o segundogrupo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Tabela 3.3 –Condições utilizadas na simulação do modelo AMADDA para o terceirogrupo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Tabela 4.1 –Comparativo entre os resultados de eficiência de separação experimentais eos obtidos com o modelo AMADDA, no trabalho de Fernandes Jr (2002) . . 75

Tabela 4.2 –Comparativo entre os resultados de eficiência de separação experimentais eos obtidos com o modelo AMADDA, no trabalho de Fernandes Jr (2006) . . 76

Tabela 4.3 –Comparativo entre os resultados de eficiência de separação experimentais eos obtidos com o modelo AMADDA, no trabalho de Medeiros (2008) . . . 76

Tabela 4.4 –Ensaios correspondentes às configurações operacionais de alta, média e baixavazão escolhidos para os trabalhos de referência. . . . . . . . . . . . . . . . 77

Tabela 4.5 –Valor do teste de Shapiro-Wilk para os resultados experimentais e calculadospara os trabalhos de referência, a um nível de significância de 1% . . . . . . 86

Tabela 4.6 –Resultados dos testes para a hipótese de distribuições semelhantes para osresultados experimentais e calculados referentes aos trabalhos de referência,a um nível de significância de 1% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Tabela 4.7 –Coeficientes de correlação entre as variáveis operacionais e os parâmetrosestimados, calculados com os dados experimentais presentes no trabalho deFernandes Jr (2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Tabela 4.8 –Coeficientes de correlação entre as variáveis operacionais e os parâmetrosestimados, calculados com os dados experimentais presentes no trabalho deFernandes Jr (2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Tabela 4.9 –Coeficientes de correlação entre as variáveis operacionais e os parâmetrosestimados, calculados com os dados experimentais presentes no trabalho deMedeiros (2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Tabela 4.10 –Análise de sensibilidade realizada para o modelo AMADDA, utilizando osdados de operação referentes ao trabalho de Fernandes Jr (2002) . . . . . . 88

Tabela 4.11 –Análise de sensibilidade realizada para o modelo AMADDA, utilizando osdados de operação referentes ao trabalho de Fernandes Jr (2006) . . . . . . 88

Tabela 4.12 –Análise de sensibilidade realizada para o modelo AMADDA, utilizando osdados de operação referentes ao trabalho de Medeiros (2008) . . . . . . . . 88

Tabela A.1 –Configurações geométricas do MDIF presente nos trabalhos do grupo . . . . 103Tabela A.2 –Características físico-químicas nos sistema estudados nos trabalhos do grupo 103Tabela A.3 –Características de operação nos sistema estudados no trabalho de Fernandes

Jr (2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Tabela A.4 –Características de operação nos sistema estudados no trabalho de Fernandes

Jr (2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Tabela A.5 –Características de operação nos sistema estudados no trabalho de Medeiros

(2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Tabela A.6 –Os diâmetros médios de Sauter calculados para as gotas transportadoras no

trabalho de Fernandes Jr (2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Tabela A.7 –Os diâmetros médios de Sauter calculados para as gotas transportadoras no

trabalho de Fernandes Jr (2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Tabela A.8 –Os diâmetros médios de Sauter calculados para as gotas transportadoras no

trabalho de Medeiros (2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Nomenclatura

𝑀𝑘 Coeficiente de transferência interfásica de momento da k-ésima fase em um escoamentomultifásico (𝑁𝑠−1)

𝐶𝑙 Coeficiente empírico de sustentação de uma partícula fluida

𝐶𝑚𝑣 Coeficiente empírico de massa virtual de uma partícula fluida

𝐹𝑎 Força de arrasto (drag force) de uma partícula fluida (𝑁)

𝐹𝑠 Força de sustentação (lift force) de uma partícula fluida (𝑁)

𝐹𝑚𝑣 Força de massa virtual (virtual mass) de uma partícula fluida (𝑁)

𝑉 Volume de uma partícula fluida (𝑚3)

Vetor de derivadas em relação à variável independente de um vetor de funções genérico

𝐶𝑑 Coeficiente empírico de arrasto de uma partícula fluida

1𝐹 Metodologia One-fluid, apresentada na Seção 2.3.2.1

2𝐹 Metodologia Two-fluid, apresentada na Seção 2.3.2.2

𝛼 Fração da fase dispersa

𝛼𝑘 Fração volumétrica da k-ésima fase em um escoamento multifásico (𝑘𝑔 𝑠−1)

𝛽𝑖 Propriedade material genérica do componente i em um escoamento bifásico

∆𝜌 Diferença de densidade entre as fases dispersa e contínua (𝑘𝑔 𝑚−3)

𝜖 Dissipação turbulenta

𝛾𝑘𝑖 Coeficiente de atividade do componente i na k-ésima fase

Γ𝑘 Coeficiente interfásico de transferência de massa da k-ésima fase em um escoamentomultifásico (𝑘𝑔 𝑚−3 𝑠−1)

𝜅 Curvatura da interface

⟨u′𝑢′⟩ Média da flutuação da velocidade em um escoamento bifásico turbulento (𝑚𝑠−1)

ℰo Número adimensional de Eötvos

ℱo Número de Fourier

ℳ𝑖 Massa molar do componente i (𝑔𝑚𝑜𝑙𝑚𝑜𝑙−1)

ℳo Número adimensional de Morton

𝒫e Número de Peclét

ℛe Número adimensional de Reynolds

𝒮h Número de Sherwood

𝒯 Expoente da função Ψ(𝜏)

𝒯𝑂𝐴 Teor orgânico-água da alimentação da câmara de mistura do MDIF, determinado pelarelação 𝒯𝑂𝐴 = 𝑄𝑂

𝑄𝑂+𝑄𝐴

𝒲e Número adimensional de Weber

D Coeficiente de difusividade mássica do soluto através do meio constituinte da gota (𝑚𝑠−2)

D𝑑 Coeficiente de difusão molecular do solvente contaminado presente na fase dispersa paraa fase contínua, determinado pela Equação (138)

v𝑖 Volume molar do componente i (𝑚3𝑚𝑜𝑙−1)

𝜇 Viscosidade dinâmica (𝑃𝑎 𝑠)

𝜇𝑡 Viscosidade turbulenta (𝑃𝑎 𝑠)

𝜇𝑘𝑖 Potencial químico da espécie i na k-ésima fase

𝜉 Vetor de coordenadas espaciais generalizadas

𝑝 Pressão (𝑁 𝑚−2)

𝑅𝑒𝑓𝑓

𝑘 Tensor de esforços efetivos, fruto da combinação entre o esforço turbulento e o esforçoviscoso da k-ésima fase em um escoamento multifásico, em notação tensorial

𝑈 Velocidade em notação vetorial (𝑚𝑠−1)

𝑈 Velocidade média da fase contínua em um escoamento bifásico (𝑚𝑠−1)

𝑈𝑘 Velocidade da k-ésima fase em um escoamento multifásico, em notação vetorial (𝑚𝑠−1)

𝑈 𝑟 Velocidade relacional entre as fases em um escoamento bifásico, em notação vetorial(𝑚𝑠−1)

𝑈 𝑟 Velocidade relacional entre as fases em um escoamento bifásico, em notação vetorial(𝑚𝑠−1)

𝜑 Holdup ou fração volumétrica da fase dispersa no interior da câmara de decantação doMDIF

𝜌 Densidade (𝑘𝑔 𝑚−3)

𝜌𝑘 Densidade da k-ésima fase em um escoamento multifásico (𝑘𝑔 𝑚−3)

𝜎 Tensão interfacial (𝑁 𝑚−1)

𝑚𝑘 Fluxo de transferência interfacial de massa por unidade de área da k-ésima fase em umescoamento multifásico (𝑘𝑔 𝑚−2 𝑠−1)

𝑅𝑡𝑢𝑟𝑏

𝑘 Tensor do esforço médio turbulento da k-ésima fase em um escoamento multifásico, emnotação tensorial𝑅𝑘 Tensor do esforço médio viscoso da k-ésima fase em um escoamento multifásico

𝑑 Diâmetro médio de Sauter das gotas transportadoras geradas pelo prato perfurado noMDIF, determinado por meio da Equação (120) (𝑚)

𝑎 Área interfacial média de transferência de massa da fase dispersa por unidade de volume(𝑚−1)

𝑎𝑘 Concentração da área de transferência de massa interfacial média por unidade de volumeda k-ésima fase em um escoamento multifásico (𝑚−1)

𝐶𝑑 Concentração adimensional média de soluto no interior da gota

𝐷 Tensor deformação, determinado pela Equação (30)

𝑑 Diâmetro de uma partícula fluida (𝑚)

𝑑𝑓 Diâmetro dos orifícios no prato dispersor do MDIF (𝑚)

𝑑𝑖 diâmetro da i-ésima gota em uma distribuição de gotas

𝑑32 Diâmetro médio de Sauter

𝑑𝑧 Comprimento infinitesimal da seção de decantação do MDIF discretizada (𝑚)

𝐸(%) Eficiência de separação do MDIF determinada experimentalmente, em porcentagem.

𝐸*(%) Eficiência de separação do MDIF calculada pelo modelo AMADDA, em porcentagem.

𝑔 Aceleração gravitacional (9,81𝑚𝑠−2)

𝐺𝐸 Energia livre de Gibbs de excesso (𝐽/𝑚𝑜𝑙)

𝐺𝑟𝑒𝑎𝑙 Energia livre de Gibbs real (𝐽/𝑚𝑜𝑙)

𝐺𝐿 Número de graus de liberdade do modelo

ℎ𝑘 Entalpia da k-ésima fase em um escoamento multifásico (𝐽)

𝐻𝑜 Altura do leito orgânico na câmara de decantação do MDIF (𝑚)

𝐾 Coeficiente relacional entre as difusividades mássicas do soluto no interior da fase dis-persa e para a fase contínua

𝑘 Energia cinética turbulenta (𝑘𝑔 𝑚2 𝑠−2)

𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, 𝑘4 Constantes do método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4)

𝑘𝑑 Coeficiente de transferência de massa por unidade de área (𝑘𝑔 𝑚−2 𝑠−1)

𝑚 Coeficiente de distribuição do componente i entre as fases de um sistema binário

𝑛𝑓 Número de orifícios no prato dispersor do MDIF

𝑛𝑖 Número de mols do componente i

𝑃 Pressão (𝑎𝑡𝑚)

𝑄𝐴 Vazão da fase aquosa na câmara de mistura do MDIF (𝑚3 𝑠−1)

𝑄𝑐 Vazão volumétrica de alimentação da fase contínua na câmara de mistura do MDIF(𝑚3 ℎ−1)

𝑄𝑐(𝜏) Função que determina a vazão transiente do reciclo da fase contínua no MDIF, de acordocom consideração realizada no desenvolvimento do modelo AMADDA

𝑄𝑑 Vazão volumétrica de alimentação da fase dispersa na câmara de mistura do MDIF(𝑚3 ℎ−1)

𝑄𝑂 Vazão da fase orgânica na câmara de mistura do MDIF (𝑚3 𝑠−1)

𝑅 Constante universal dos gases perfeitos (8,314 𝐽 𝑚𝑜𝑙−1𝐾−1)

𝑆 Área da seção se decantação do MDIF (𝑚2)

𝑇 Temperatura (𝐾)

𝑡 Tempo (𝑠)

𝑈 Velocidade (𝑚𝑠−1)

𝑢 Velocidade instantânea (𝑚𝑠−1)

𝑈𝐴 Velocidade da fase aquosa (𝑚𝑠−1)

𝑈𝑑 Velocidade descendente das gotas formadas no prato perfurado (𝑚𝑠−1)

𝑈𝑂 Velocidade da fase orgânica (𝑚𝑠−1)

𝑈𝑅 Velocidade relacional entre as fases orgânica e aquosa (𝑚𝑠−1)

𝑉𝑐 Velocidade específica da fase contínua no interior da câmara de mistura do MDIF, deter-minada por meio da relação 𝑉𝑑 = 𝑈𝑑

𝜑(𝑚𝑠−1)

𝑉𝑑 Velocidade específica da fase dispersa no interior da câmara de mistura do MDIF, deter-minada por meio da relação 𝑉𝑑 = 𝑈𝑑

𝜑(𝑚𝑠−1)

𝑤 Fração mássica de soluto contido na fase dispersa

𝑤∞ Fração mássica de soluto contido na fase dispersa na interface com a fase contínua

𝑥 Fração molar do componente

𝑋𝑖 Fração mássica do componente i em uma fase arbitrária de um sistema binário

𝑦 Fração mássica de soluto contido na fase contínua

𝑌𝑖 Fração mássica do componente i em uma fase em equilíbrio com uma outra fase arbitrá-ria de um sistema binário

𝒮t𝑀 Número de Stanton mássico

𝐹 (𝑡, 𝑦(𝑡), ) Vetor de funções genérico

Capítulo 1. Introdução

1 Introdução

1.1 Introdução geral

As questões ambientais tem recebido grande visibilidade em diversas áreas do conheci-mento, nesse sentido, a busca de soluções tecnológicas que visam minimizar os impactos ocasi-onados pela ação antrópica tem sido uma constante no meio científico. Na indústria de petróleo,a mistura água/óleo (chamada água oleosa) é encontrada nas etapas de produção, transporte erefino. Entretanto, a produção responde por grande parte da contaminação, uma vez que em umreservatório de petróleo típico são co-produzidos água, óleo e gás (MEDEIROS, 2008).

A quantidade de água no óleo extraído pode variar consideravelmente, podendo alcançar va-lores próximos aos 90% à medida que se caminha para a fase madura dos campos de produção,sendo necessário a reinjeção da água. De acordo com a legislação ambiental vigente, o descarte,ou mesmo a reinjeção da água produzida, só é permitido após a remediação da mesma, atravésda remoção de óleos e sólidos suspensos a patamares considerados aceitáveis. O Conselho Na-cional do Meio Ambiente (CONAMA) determina em 20 𝑝𝑝𝑚 (20 𝑔/𝑚𝐿) o teor máximo de óleocontido na água a ser descartada, sob pena de interrupção na produção. Tendo em mente essasquestões ambientais, as grandes empresas produtoras de petróleo estão investindo cada vez maisem novas rotas tecnológicas visando responder à sociedade com o seu verdadeiro papel, o deabastecedor de energia e alavancador de crescimento pessoal (FERNANDES JR, 2002).

Na obra de Frank et al. (2008), os autores referenciam que a extração através de solventes- e portanto em linhas gerais a extração líquido-líquido - vem sendo praticada de uma formaou outra desde tempos ancestrais. A extração líquido-líquido tem suas raízes no fim do séculoXIX quando a extração se tornou uma importante prática laboratorial.Atualmente esse métodorepresenta uma grande importância no rol de processos industriais, não só no que concerce aindústria petrolífera mas em todas que trabalham com processos químicos. Neste sentido oMisturador Decantador à Inversão de Fases (MDIF) pode ser considerado uma tecnologia pi-oneira, como pode ser observado em diversos trabalhos como Chiavenato (1999), FernandesJr (2002), Fernandes Jr (2006), Medeiros (2008) entre outros. Diante dessas questões aindase fazia necessário desenvolver uma modelagem de natureza fenomenológica de modo que setornasse possível compreender a utilização da inversão de fases induzida como um fenômenopotencializador dos processos de separação. Embora diversas referências acerca do que é refe-rido como “ múltiplas emulsões ”na literatura - por exemplo, gotículas da fase orgânica contidasno interior de gotas da fase aquosa, estas escoando em um leito orgânico - estejam disponíveisdesde os anos 60, em especial no que concerce o escoamento no interior de uma gota em queda,nenhum trabalho havia sido desenvolvido sob esta ótica para o MDIF.

Hanniel Ferreira Sarmento de Freitas - Julho/2013 1


Na obra de Hangos & Cameron (2007) os autores enfatizam que a modelagem de um pro-cesso inevitavelmente contemplaria características que não são essenciais, levando o modelo auma complexidade desnecessária, ou na descrição da mesma características importantes podemnão ser elencadas. Desse modo é possível afirmar que o modelo é em última instância umatentativa da representação da realidade. Ainda segundo os autores, a validação dos resultadosobtidos com o modelo comparados aos dados reais estaria inevitavelmente imbuída de erros eincertezas de medição dos dados experimentais. Seguindo as considerações sobre a modelagemde um processo os autores referenciam alguns valores típicos de precisão, ou seja, do desvioesperado que são de 10 a 30% para dados oriundos diretamente a indústria, de 5 a 20% quandoestimados à partir do processo em laboratório ou em escala piloto e até 500% quando dadoscinéticos são estimados sem nenhum tipo de especificação norteadora.

De acordo com Ishii & Hibiki (2011), a modelagem de escoamento multifásicos pode serdividida em linhas gerais sob duas abordagens: One-fluid, aonde a interface entre as fases é fiel-mente rastreada e as propriedades materiais globais são resultados da soma daquelas referentesàs fases puras, ponderadas pela fração volumétrica de cada uma, de modo que as equações detransporte do escoamento são igualmente ponderadas, resultando em um sistema relativamentecompacto; A segunda abordagem refere-se a Two-fluid, quando uma equação de transporte édesenvolvida para cada fase individualmente, e as fases escoam de maneira interprenetrante.Como objetivo de desenvolver um modelo fenomenológico conforme já foi descrito, no pre-sente trabalho foi desenvolvida uma modelagem determinística que deriva dos modelos apre-sentados por Ishii & Hibiki (2011), com a aplicação de diversas considerações e simplificaçõesque serão expostas e discutidas no decorrerer do trabalho ora desenvolvido.

No capítulo 2 foi apresentado o referencial teórico que norteia o trabalho, acerca da im-portância e aplicações do processo de extração líquido-líquido,abordando ainda proposiçõesteóricas acerca do funcionamento do MDIF e, em linhas gerais, do processo de inversão defases induzido enquanto potencializador da separação. Dando continuidade ao capítulo, a pes-quisa contemplou uma discussão acerca da fluidodinâmica computacional quanto aos modelospara escoamento multifásico, rastreamento de interface e turbulência. Essa discussão se tornanecessária para o entendimento do presente trabalho pois mesmo diante da reduzida complexi-dade do modelo desenvolvido por essa pesquisa, este deriva dos modelos de mais alta ordem.Ainda no segundo capítulo, foi desenvolvida uma discussão acerca do método das diferençasfinitas (MDF). Nesse momento os conceitos que concernem a discretização de problemas pormeio da técnica são expostos, a partir de uma introdução sobre o tema, culminando no proce-dimento de semidiscretização através do método das linhas. Com o intuito de fundamentar atécnica de estimação de parâmetros que se fez necessária nessa pesquisa, uma sucinta revisãoacerca dos conceitos da técica foi realizada, e por fim se fez necessário um levantamento dasmodelagens realizadas em torno do problema do transporte de massa por meio de gotas.



No capítulo 3 foi apresentada a modelagem diferencial que originou o modelo AMADDA,em relação à considerações utilizadas no desenvolvimento da mesma, condições de contorno domodelo e a metodologia empregada na simulação do mesmo. Em seguida é apresentada umarevisão acerca dos métodos numéricos utilizados na simulação dinâmica do modelo, seguidapela metodologia utilizada na realização desta.

No capítulo 4 são apresentados os resultados obtidos com o modelo, e sua validação frenteaos dados experimentais oriundos dos trabalhos de Fernandes Jr (2002), Fernandes Jr (2006) eMedeiros (2008). Tais trabalhos foram escolhidos para o desenvolvimento do presente trabalhopela relevância; O primeiro possui importância por representar um estudo piloto em escalalaboratorial do equipamento; Fernandes Jr (2006) embasou a utilização do MDIF como umarota tecnológica viável na separação do óleo contaminante da água de produção, e apresentoudados de um equipamento piloto em escala industrial; Por fim, Medeiros (2008) representa umaaproximação do equipamento para a realidade industrial, aonde o sistema passou a ser contruídoem aço revestido de poliuretano, e não mais em fiberglass, sendo analisada também a utilizaçãode misturadores estáticos em linha ao invés de agitadores rotativos. A validação dos resultadosobtidos se deu por meio de uma análise estatística frente aos dados experimentais. Ainda nocapítulo 4, uma breve síntese dos resultados foi desenvolvida.

A fim de contemplar as considerações finais da presente pesquisa, o capítulo 5 apresentou asconclusões finais, abrangendo ainda sugestões e/ou possibilidades para a ampliação e aprofun-damento da pesquisa realizada, bem como, o desenvolvimento de demais trabalhos científicos.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivos gerais

Na presente dissertação foi desenvolvido uma modelo fenomenológico determinístico, ob-jetivando o cálculo da eficiência de remoção do óleo contaminante da água de produção pormeio do MDIF.

1.2.2 Objetivos específicos

No desenvolvimento do trabalho, as seguintes metas foram realizadas:

• Desenvolvimento de um modelo fenomenológico determinístico para o cálculo da efici-ência de extração de um soluto no MDIF;

• Implementação de uma metodologia de simulação do modelo desenvolvido;

• Determinação dos dados experimentais utilizados como referência na validação do mo-delo;



• Estimação de parâmetros instrínsecos aos modelo à partir dos dados experimentais dereferência;

• Validação dos resultados calculados com o modelo frente aos dados experimentais a partirde uma análise estatística;

• Análise da correlação entre as variáveis operacionais e parâmetros do modelo e os re-sultados, tanto aqueles obtidos experimentalmente quanto aqueles calculados através domodelo;

• Análise de sensibilidade da eficiência calculada pelo modelo aos parâmetros obtidos atra-vés de estimação;


CAPÍTULO 2: REFERENCIAL TEÓRICO

Se você acha simples, então você não entendeu o problema direito.

Bjarne Stroustrup

Capítulo 2. Referencial teórico

2 Referencial teórico

2.1 O processo de extração líquido-líquido

2.1.1 Princípios e definições

Segundo Frank et al. (2008), o processo de extração líquido-líquido baseia-se nas diferençasexistentes entre as propriedades químicas dos componentes presentes na corrente de alimenta-ção, como o caráter hidrofóbico ou hidrofílico. A grande afinidade entre o soluto e o solventeproporciona seu transporte para a fase extratante. Ainda de acordo com os autores, frequen-temente uma extração entre duas fases líquidas envolve uma fase imiscível ou parcialmentemiscível na outra, sob a forma de uma dispersão de gotículas (fase dispersa) em meio ao outrolíquido (fase contínua), exibindo uma variada distribuição de diâmetros, onde o termo emulsãoé geralmente utilizado para dispersões com tamanho da ordem de 1 µm. Este por sua vez éfunção de diversos fatores como intensidade de agitação, tensão interfacial entre as fases, entreoutros.

Figura 2.1: Micrografias de emulsões de tolueno em água (ANGLE; HAMZA, 2006)

Foust et al. (1982) definem a extração líquido-líquido (ELL) como a transferência de umcomponente de uma dada solução para outra fase líquida que é relativamente insolúvel na pri-meira solução. Usualmente o processo de extração é descrito por meio de um componente 𝐴

disperso em 𝐵, que é posto em contato com um solvente 𝐶. Ocorre então uma transferência



de massa do componente 𝐴 para o fluido 𝐶, enriquecendo-o neste componente. Por outro lado,o líquido 𝐵 torna-se progressivamente mais pobre no soluto 𝐴. A Equação (1) expressa esseprocesso de forma matemática. Na Figura é possivel observar micrografias de emulsões aondetolueno encontra-se disperso em água e vice-versa, ilustrando assim o conceito de fase dispersae contínua.

(A+B) + C −→ (C+A) + B (1)

Diversos trabalhos na literatura citam propriedades de interesse para a escolha de um sol-vente para o processo de ELL, cujas principais são listadas abaixo, conforme Cussler (2009),Frank et al. (2008), Fernandes Jr (2002).

• Alta capacidade de carga, que consiste na concentração de soluto que um solvente podeabsorver sem que ocorra precipitação do soluto como outra fase;

• Baixa solubilidade mútua entre as fases de alimentação e a de solvente, que implica emuma remoção facilitada deste das correntes de extrato e rafinado ;

• Baixa tendência do solvente em reagir com as fases de alimentação (o soluto e a fasediluente), com o intuito de não ocorrer formação de produtos indesejados – que podemimplicar em odores ou coloração indesejada – ou mesmo degradação do soluto, que podevir a comprometer a extensão do processo;

• Diferença de densidade entre o solvente e as fases de alimentação na faixa de 0,1 a0,3 g/mL (aproximadamente 100 a 300 kg/m³). Valores muito baixos dificultam a se-paração líquida e podem demandar o uso de uma centrífuga. Por outro lado, valoresmuito altos dificultam a formação de uma população de gotas dispersas, prejudicando atransferência de massa do processo de extração;

• Baixos valores de viscosidade e tensão interfacial entre 0,005 e 0,025 N/m, com o in-tuito de não haver prejuízo à transferência de massa. Uma maior viscosidade tende aaumentar a resistência à transferência de massa, dificultando a separação. Da mesma ma-neira, sistemas com valores de tensão interfacial abaixo da faixa mencionada tendem aemulsionar-se facilmente, enquanto para valores superiores uma baixa área interfacial ediminuta transferência mássica é obtida devido à tendência das gotículas da fase dispersaa colescer facilmente;

• A facilidade com que o solvente pode ser recuperado das correntes de extrato e rafinado;

• Baixa toxicidade, inflamabilidade, corrosividade e risco de acidentes.Outros fatores deinteresse são uma boa disponibilidade e baixo custo de aquisição;



É importante mencionar que a transferência do soluto inicialmente dissolvido na fase di-luente para a fase extratante ocorre pelo mecanismo da difusão (COULSON; RICHARDSON,1996 apud FERNANDES JR, 2002).

2.1.2 Equipamentos utilizados

Existem diversos tipos de extratores disponíveis comercialmente, e a sua escolha dependede inúmeros fatores como: o número de estágios teóricos requeridos no processo, tempo deresidência necessário no interior do equipamento, taxa de produção requerida, facilidade delimpeza e resistência à corrosão, entre outros fatores (FRANK et al., 2008, p. 12). Os autoresdividem os equipamentos utilizados na ELL nas seguintes categorias:

• Colunas de extração estáticas

Incluem colunas de extração do tipo spray, com recheio e de pratos.

– Coluna de spray (ou pulverização): possuem baixo custo, contudo são fisicamentelimitadas a um ou dois estágios, apresentando grande dispersão axial;

– Colunas com recheio: utilizam um recheio com geometrias específicas no seu inte-rior, aumentando a área de contato;

– Colunas de pratos: utilizam diversos pratos perfurados, representando os estágiosda coluna de extração. O fluxo no interior destes promove o contato entre as fases;

• Colunas de extração agitadas

Incluem as colunas de impelidor rotativo, de prato alternativo, contatores de disco rotativoe de líquido pulsativo.

– Colunas de impelidor rotativo: compreendem os modelos Khuni e Scheibel, entreoutros. De modo geral, apresentam elementos rotativos em seu interior na forma deimpelidores, que promovem o contato das fases;

– Colunas de prato alternativo: Assim como as colunas com agitador rotativo, o mo-vimento em seu interior promove o contato entre as fases. Contudo, sua agitaçãoapresenta-se mais bem distribuída, implicando em uma distribuição de gotas da fasedispersa mais uniforme. O principal modelo desta classe é o Karr, onde os pratosdescrevem um movimento alternativo de subida e descida;

– Contatores de disco rotativo: apresentam uma orientação vertical e discos posicio-nados horizontalmente em seu centro, que giram para promover o contato entre asfases. Têm sido largamente utilizados por sua simples construção;

– Colunas de líquido pulsante: são colunas de pratos ou com recheio nas quais movi-mentos alternativos (ou pulsos) de baixa amplitude são impostos aos fluidos em seuinterior, com o intuito de maximizar a transferência de massa;



• Misturadores-decantadores

Seu projeto pode variar, contudo essencialmente são equipamentos onde por meio demistura (direta - utilizando impelidores - ou indireta, utilizando correntes simultâneas emescoamento co-corrente, por exemplo) forma-se uma suspensão de gotas, facilitando atransferência de massa do soluto para a fase extratante. Fernandes Jr (2006) descreveque o equipamento pode ser dividido didaticamente em duas etapas: mistura, onde é pro-movido o contato entre a corrente de alimentação e a de extratante; separação, onde háa separação do extrato e rafinado. Freqüentemente são utilizados vários misturadores-decantadores em série representando estágios do processo de extração, formando a cha-mada “bateria”.

A Figura 2.2 mostra o desenho básico de um misturador–decantador, separando umaemulsão nas fases dispersa e contínua. Através desta pode-se notar a formação de umainterface entre as duas fases, através da qual ocorre a transferência de massa das gotasdispersas para a fase contínua. Fernandes Jr (2006) escreve que caso estas apresentempequeno tamanho, a transferência de massa é favorecida, contudo exigirão um maiortempo de coalescência à fase orgânica, conduzindo a um grande volume necessário paraque o equipamento propcie tal separação.

Figura 2.2: Desenho convencional de um misturador-decantador.

• Extratores centrífugos

Estes equipamentos utilizam a força centrífuga para multiplicar a força gravitacional queincide sobre as duas fases líquidas. Podem ser benéficos quando a diferença de densidadeentre as fases é pequena, quando um pequeno tempo de contato entre a alimentação e osolvente são necessários para evitar degradação, ou quando ocorre emulsificação da fasedispersa.

2.1.3 Aplicações do processo

O processo de ELL apresenta grande importância industrial desde sua origem moderna, da-tando do fim do século XIX. Desde então, este processo de separação têm sido utilizado emdiversas áreas, já que muitas vezes mostra-se mais economicamente eficiente do que outros,



devido ao baixo consumo energético e a possibilidade de poder ser implementado em equipa-mentos de relativo pequeno porte (FRANK et al., 2008, p. 13). No trabalho de Cussler (2009), oautor delineia as aplicações da ELL em três grandes áreas industriais: a indústria do petróleo epetroquímica, farmacêuticos e alimentos e metais. Como casos de aplicação industrial da ELL,são citadas: A desparafinação de lubfricantes extraídos de petróleo, com o intuito de minimi-zar o problema da solidificação destes em baixas temperaturas; a purificação da penicilina, apósesta ser produzida por meio de uma rota fermentativa; extração de cobre a partir da lixiviação deminérios contendo o mineral, atingindo uma concentração adequada para um posterior processode eletrodeposição utilizando eletrólise.

2.1.4 O equilíbrio de fases

De acordo com Frank Frank et al. (2008), duas fases estão em equilíbrio quando a energiatotal de Gibbs para o sistema atinge o seu valor mínimo, equilíbrio este que pode ser expressopela equivalência dos potenciais químicos para os componentes distribuídos em cada uma dasfases, conforme pode ser visto na Equação (2).

𝜇𝑖𝐼 = 𝜇𝑖

𝐼𝐼 (2)

Na particular situação onde as duas fases estão em escoamento isobárico e isotérmico, aEquação (2) pode ser expressa em termos das frações molares e seus respectivos coeficientes deatividade. Em base mássica, a expressão assume a forma que pode ser visualizada matematica-mente na Equação (3).

𝑋𝑖(ℳ𝐼 +ℳ𝑖)𝛾𝑖𝐼 = 𝑌𝑖(ℳ𝐼𝐼 +ℳ𝑖)𝛾𝑖

𝐼𝐼 (3)

Onde X e Y representam respectivamente a fração mássica do componente i nas fases I e II,𝛾 o coeficiente de atividade do componente em cada uma das fases e ℳ o peso molar decada uma, acrescido do componente i em equilíbrio. Ainda de acordo com os autores, podeser estabelecida uma relação para o cálculo do coeficiente de partição m, o qual relaciona asconcentrações do componente i nas fases I e II, conforme pode ser visualizado na Equação (4).

𝑚 =𝑋𝑖

𝑌𝑖

=(ℳ𝐼𝐼 +ℳ𝑖)𝛾𝑖

𝐼𝐼

(ℳ𝐼 +ℳ𝑖)𝛾𝑖𝐼(4)

Usualmente o cálculo do coeficiente de atividade da fase líquida é realizado por meio do usode modelos derivados de expressões para a quantificação da energia livre de Gibbs de excesso



(𝐺𝐸), que se relaciona com a composição e a temperatura conforme pode ser visto na Equação(5) (OLIVEIRA et al., 2007, p. 3).

ln 𝛾𝑖 =1

𝑅𝑇

𝜕𝐺𝐸

𝜕𝑛𝑖

(5)

Vários modelos para o cálculo da energia livre de Gibbs em excesso estão disponíveis naliteratura. Essa importante grandeza pode ser definida como a diferença entre a energia livrede Gibbs da solução e aquela correspondente a uma solução ideal às mesmas condições detemperatura, pressão e composição, conforme mostra a Equação (6) (PRAUSNITZ et al., 1999,p. 219).

𝐺𝐸 = 𝐺𝑟𝑒𝑎𝑙(𝑇,𝑃,𝑥)−𝐺𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙(𝑇,𝑃,𝑥) (6)

2.2 O Misturador-Decantador à Inversão de Fases (MDIF)

2.2.1 O fenômeno da inversão de fases

De acordo com Liu et al. (2006), o fenômeno da inversão de fases consiste na mudança dacaracterização das fases constituintes de um sistema, onde aquela de natureza dispersa assumeo papel da contínua, e vice versa, sob condições determinadas pelas propriedades do sistema,relação entre as frações volumétrica de ambas as fases e a quantidade de energia fornecida aosistema (por meio de agitação, etc). Os autores apresentam em seu trabalho um estudo acerca daevolução dinâmica do padrão de escoamento em um tubo vertical, usando a técnica de LIF (laser

induced fluorescence), e comentam sobre a utilização de modelos estatísticos na descrição dosprocessos de coalescência e quebra de gotas por meio das equações de balanço populacional(do inglês populational balance equations, PBE).

Hapanowicz (2010) aponta duas possíveis formas da manifestação da inversão de fases nosistema: A inversão transitória, induzida em sistema com baixa taxa de mistura e dispersãode uma referida fase frente a outra; A inversão catastrófica, ligada primariamente ao perfilhidrodinâmico da fase contínua. Arashmid & Jeffreys (1980 apud BROOKS; RICHMOND,1994) sugerem que a inversão catastrófica ocorre quando a freqüência de colisão das gotasiguala-se a de coalescência. Na Figura 2.3 podem ser vistas a comparação entre microscopia deuma emulsão de água dispersa em óleo, referenciada como instável pelo autor, e uma imagemreferente a uma dispersão de óleo em água, que por sua vez é dita estável ou permanente.

De fato, existem diversos trabalhos na literatura abordando o fenômeno da inversão de fases.Contudo, frequentemente o fenômeno é estudado de maneira preventiva, como uma caracterís-tica indesejável do sistema, do ponto de vista de colunas de extração. Sob esse viés, Hadjiev &



Figura 2.3: Microscopia de emulsões, referentes aos sistema água-óleo (a) e óleo-água (HAPA-NOWICZ, 2010).

Kuychoukov (1989) apresentam uma abordagem inovadora para a ELL, o método induzido dainversão de fases, cujo princípio pode ser visualizado na Figura 2.4

Na Figura 2.4 , pode-se ver o princípio do método da inversão de fases, cujos autores dis-criminam em 5 etapas: Na etapa 1, a dispersão LL entra na parte superior do equipamento, eatravessa o prato perfurado, na etapa 2. O leito está preenchido com solvente orgânico, portantoformam-se gotas secundárias contendo as gotículas da fase originalmente dispersa, na etapa 3.Por diferença de densidade as gotas se deslocam no interior do leito orgânico na etapa 4, e asgotículas que atingem a interface são separadas. As gotas secundárias formadas coalescem nainterface na etapa 5, e podem ser separadas por simples decantação. Quanto ao processo em si, atécnica proposta consiste portanto em forçar a passagem de uma mistura da solução aquosa con-taminada com o soluto, previamente agitada em contato com o solvente orgânico (extratante),com o intuito de promover a transferência de massa do soluto para a fase extratante, gerandouma emulsão de gotas do solvente saturado com o soluto contaminante. Então, esta emulsão éintroduzida em um leito do solvente em questão, através da passagem por um dispersor, sendoformadas gotículas do solvente saturado, no interior de uma gota da fase aquosa. Isso dá origema um sistema gota transportadora – gota transportada, formando uma dupla emulsão: gotículaorgânica no interior da gota aquosa e esta no interior do leito orgânico (FERNANDES JR, 2002,p. 50), que pode ser representada como O/A/O. A vantagem no método reside no fato de quecada gota transportadora atua como um microdecantador, e a distância para a separação entreas fases é reduzida para o diâmetro da gota transportadora. Na literatura esses sistemas tambémsão referenciados como emulsões múltiplas (multiple emulsions), conforme pode ser visto emWronski et al. (2012).

Hadjiev & Aurelle (1995) ressaltam que o tipo de equipamento a ser utilizado em um pro-cesso de separação LL depende da natureza do sistema de interesse e o tamanho destas gotículas



Figura 2.4: Desenho esquemático ilustrando o princípio do método da inversão de fases paraseparação (HADJIEV; KUYCHOUKOV, 1989).

a serem removidas: A separação de dispersões com gotículas maiores que 100𝜇𝑚 dá-se geral-mente em decantadores, haja vista seu desenho simplificado. Para dispersões onde o tamanhodas mesmas é inferior a 20𝜇𝑚, coalescedores do tipo cartucho ou dinâmico, ou ainda de leitogranular ou fibroso são utilizáveis. Entretanto, é difícil determinar o equipamento a ser utilizadona faixa de tamanho entre os dois valores (20 -100𝜇𝑚), pois a decantação gravitacional requergrandes aparatos e coalescedores são caros e têm seu funcionamento influenciado pelo materialsuspenso. Os referidos autores, juntamente com o trabalho de Hadjiev et al. (2004) mostraramque a inversão de fases é uma técnica viável para processos extrativos nesta faixa problemáticade operação.

Através da Figura 2.5, pode-se observar um desenho esquemático mostrando o fenômenoda inversão de fases em evidência nos orifícios do prato perfurado, aplicado na separação doóleo da água produzida (emulsão aquosa de óleo), utilizando querosene como solvente orgânico(FERNANDES, 2009, p. 6). Ainda por meio da figura, pode-se visualizar esquematicamente o



Figura 2.5: Fenômeno da inversão de fases no dispersor (FERNANDES, 2009).

conceito de dupla emulsão já mencionado.

2.2.2 Trabalhos anteriores acerca do MDIF

Hadjiev & Kuychoukov (1989) apresentaram um estudo acerca do uso do método de inver-são de fases na ELL do sistema querosene/água. A quantificação teor de fase orgânica contidona saída do equipamento foi realizada indiretamente por meio do emprego de oleato cúprico(C36H66CuO4), o qual é solúvel na fase orgânica e insolúvel em água, para um 𝑝𝐻 < 5,5. Osautores relatam que os valores calculados para a eficiência de remoção da fase orgânica do seioda fase aquosa foram em média superiores a 95%.

Hadjiev & Aurelle (1995) estudaram a aplicação da separação por inversão de fases ememulsões óleo/água (orgânico/aquoso), para os sistemas TIOA/água, querosene/água e ciclohe-xano em água, nos regimes de operação de leito relaxado e leito denso. Os autores propuseramum modelo fenomenológico para o cálculo da eficiência de separação, cujo desvio médio per-centual frente aos dados experimentais foi de aproximadamente 5%. Estes relatam ainda que oaumento da taxa de fluxo ou da altura do leito orgânico implica em um aumento da eficiênciade separação.

Paulo et al. (1994) e posteriormente Hadjiev & Paulo (2005) apresentaram em seus trabalhosestudos acerca da remoção de sulfato de sobre (CuSO4) da água empregando o LIX-984 comoagente extratante em querosene. Os autores concluíram que razões de alimentação O/A eleva-das apresentam melhores resultados na eficiência de separação do equipamento. No primeirotrabalho, foi definido o nome do equipamento em inglês como Mixer Settler by Phase Inver-

sion (MSPI), traduzido para o português no trabalho de Chiavenato (1999) como Misturadordecantador à inversão de fases (MDIF).



Chiavenato (1999) estudou a remoção do óleo residual emulsionado em água produzidautilizando o aguarrás como solvente, utilizando o primeiro protótipo do MDIF montado noBrasil. Em seu trabalho, o autor aponta para uma tendência geral de aumento na eficiência deseparação como aumento da vazão efetiva total do equipamento, o que é explicado pela reduçãodo tamanho das gotas transportadoras geradas no prato perfurado.

Fernandes Jr (2002) utilizou um sistema semelhante aquele presente no trabalho de Chia-venato (1999) na análise de variáveis operacionais utilizando um planejamento experimental.O autor determinou pontos ótimos de operação do equipamento, e relata um resultado experi-mental na eficiência de separação do MDIF da ordem de 92,5%. Posteriormente, no trabalhode Fernandes Jr (2006), o autor realizou um aumento de escala do MDIF utilizando a técnica dasimilaridade geométrica, da escala de laboratório para a escala piloto, e também empregou umplanejamento experimental para determinar pontos ótimos de operação do equipamento, atin-gindo valores de eficiência de separação superiores a 80%, utilizando o querosene de aviação(QAV) como agente extratante.

Moraes (2005) desenvolveu um trabalho de estudo da hidrodinâmica do equipamento, pormeio de um planejamento experimental, utilizando a aguarrás como agente extratante. No refe-rido trabalho, o autor analisou uma condição de operação chamada de “leito denso”, onde a altavazão de alimentação do MDIF forma uma leito de gotas não coalescidas. Os resultados apon-tam para um aumento da eficiência quando o equipamento é operado nesta condição específica,possivelmente devido a um maior tempo de residência das gotas transportadoras no interior dacâmara de decantação.

Medeiros (2008) estudou a viabilidade da substituição do sistema mecânico de agitaçãopor um misturador estático, ou em linha. Os resultados obtidos pelo autor apontam para umaeficiência de separação do MDIF com o novo sistema de agitação na faixa de 75,3% a 97,7%. Oautor ressalta a importância do emprego do sistema de mistura estática, visto que este demandapouca energia para promover o contato entre as fases, necessário para a transferência de massaentre o óleo residual contaminante contido na fase aquosa e o solvente.

Freitas et al. (2012) apresentaram uma abordagem fenomenológica para o cálculo da efici-ência de separação do MDIF derivada do modelo apresentado por Hadjiev & Aurelle (1995),onde a distribuição de Rosin-Hammler (MUGELE; EVANS, 1951) foi empregada na discreti-zação dos diâmetros das gotículas transportadas, e o deslocamento destas no interior das gotastransportadoras é simulado como esferas rígidas em movimento ascendente. Os resultados in-dicaram um desvio absoluto percentual médio de aproximadamente 8,06% entre a eficiênciacalculada e aquela obtida experimentalmente por Fernandes Jr (2002).



2.2.3 Hidrodinâmica do MDIF

A hidrodinâmica do MDIF é bastante complexa, apresentando um escoamento bifásico tur-bulento, onde a fase dispersa encontra-se na forma de gotas. No que concerne o funcionamentodo equipamento, cada uma de suas seções apresenta características específicas (FERNANDESJR, 2006).

Na Figura 2.6 é possível observar as partes constituintes do equipamento, divididas de ma-neira didática. A seção 1 é a câmara de mistura, onde a fases aquosa e orgânica são admitidasem fluxo co-corrente; A seção 2 compreende o prato perfurado, onde são geradas as gotas trans-portadoras e a inversão de fases propriamente dita ocorre; A seção 3 é a câmara de decantação,o leito orgânico através do qual as gotas transportadoras escoam e a separação de fases ocorre;A seção 4 concerne a câmara de separação, cujo em seu interior forma-se a interface entre asfases orgânica e aquosa na qual as gotas transportadoras irão coalescer (MORAES, 2005).

Figura 2.6: À esquerda, o diagrama dos componentes constituintes do MDIF (PAULO et al.,1994), e à direita uma foto real do equipamento (CHIAVENATO, 1999).

2.2.3.1 Hidrodinâmica da câmara de mistura

Nessa seção do equipamento as fases aquosa e orgânica são admitidas, e formam uma dis-persão bifásica cujas características são regidas por dois fenômenos: o fracionamento das gotas(quebra) e a coalescência (FERNANDES JR, 2006, p. 30). De acordo com Petela (1994), asgotículas da fase orgânica (gotas transportadas) são geradas na região de maior gradiente de



velocidade, o qual se assume que apareça sob a forma de uma velocidade tangencial no espaçopróximo às pás do agitador, e o diâmetro das gotas transportadas pode ser determinado por meiode um balanço estacionário de forças entre a tensão superficial, a força centrífuga e o arrastohidrodinâmico. Essa abordagem foi utilizada no trabalho de Freitas et al. (2012), produzindoresultados bastante satisfatórios.

De acordo com Fernandes Jr (2006), no que concerne a caracterização do tipo de fluxono interior da câmara de mistura, este se apresenta como turbulento tanto para o protótipo doMDIF de escala laboratorial quanto para o equipamento em escala industrial. Ainda de acordocom o autor, a agitação realizada nesta seção garante uma tota l dispersão da fase orgânica noseio da fase aquosa. Ele destaca também que as gotículas da fase orgânica geradas na câmara demistura do equipamento devem possuir um tamanho ótimo para a efetiva transferência de massa,uma vez que o tamanho diminuto favorece o transporte de soluto do seio da fase dispersa paraa fase aquosa (explicado pela grande área interfacial), contudo implicam na utilização de umdecantador maior (devido ao aumento no tempo de coalescência das gotículas transportadas).No caso da operação com o MDIF estas gotas muito pequenas poderiam permanecer no interiorda gota transportadora até a interface e seriam arrastadas para a corrente da fase aquosa járemediada, o que comprometeria a eficiência de separação.

Uma importante característica do funcionamento do MDIF reside na recirculação do sol-vente carregado com o contaminante para a câmara de mistura. Conforme Perlingeiro (2005),essa estrutura dá origem a um processo de natureza cíclica, que é expresso por meio de umarelação algébrica de alimentação da câmara de decantação à jusante do prato perfurado. O sol-vente orgânico é recirculado no equipamento até a sua completa saturação, que corresponde a17% em volume de acordo com Chiavenato (1999 apud FERNANDES JR, 2002).

2.2.3.2 Hidrodinâmica do prato perfurado

No prato perfurado (distribuidor ou dispersor) são formadas as gotas transportadoras, con-forme pode ser visto na Figura 2.5. A natureza das gotas formadas pelo fluxo de líquido emum distribuidor depende principalmente da geometria dos seus orifícios e da molhabilidade re-lativa deste pela fase dispersa (ângulo de contato). Gotas grandes, esféricas e sem nenhumareprodutibilidade são formadas quando a fase dispersa molha preferencialmente o distribuidor,efeito este que é acentuado pela redução da velocidade através do distribuidor (FERNANDESJR, 2006, p. 31).

A velocidade descendente das gotas formadas no prato perfurado pode ser calculada pormeio da relação entre a vazão total que alimenta o prato perfurado (portanto, a vazão total dealimentação do MDIF) e o somatório das áreas individuais de cada um dos orifícios do dispersor.



Tal relação pode ser visualizada matematicamente na Equação (7).

𝑈𝑑 =(𝑄𝑂 + 𝑄𝐴)

0,25𝜋𝑛𝑓𝑑2𝑜(7)

Onde 𝑄𝑂 e 𝑄𝐴 representam as vazões de alimentação da fase orgânica e aquosa na câmara demistura do MDIF, 𝑛𝑓 o número de orifícios do prato perfurado do MDIF e 𝑑𝑜 o diâmetro destes.

No trabalho de Loth (2008), o autor escreve que o grau de deformação de uma partículafluida pode ser bem correlacionado por meio do número adimensional de Weber (We) para umlarga faixa do número adimensional de Reynolds (1<Re<10000), que é expresso matematica-mente pela Equação (8):

𝒲e =𝜌𝑈2𝑑

𝜎(8)

Onde 𝜌 representa a densidade da fase dispersa, 𝑈 a velocidade da fase contínua, 𝑑 o diâmetroda partícula fluida e 𝜎 a tensão interfacial.

Ainda de acordo com Loth (2008), este grau de deformação pode ser expresso qualitativa-mente como segue: para𝒲e ≪ 1, as gotas podem seguramente serem consideradas esféricas;para𝒲e ≈ 1, estas exibem um desvio moderado da esfericidade; para𝒲e ≫ 1,exibem grandesdesvios de uma esfera.

No trabalho de Medeiros (2008), o autor relaciona o tamanho das gotas formadas e a veloci-dade com a qual o dispersor é alimentado, como pode ser visto na Figura 2.7. Em baixas vazões,gotas de tamanho grande e não uniforme são formadas. À medida que ocorre um aumento navelocidade de alimentação do prato perfurado gotas menores vão se formando, culminando emum jato. Este jato pode vir a se romper, formando gotas menores e mais uniformes. Ainda deacordo com o autor, em processos envolvendo colunas de extração usualmente é o tamanho dasgotas é expresso por meio do diâmetro médio de Sauter (𝑑32), que relaciona o volume destas àsua área superficial conforme pode ser visto na Equação (9).

𝑑32 =

∑𝑛𝑖=1 𝑑

3𝑖∑𝑛

𝑖=1 𝑑2𝑖

(9)

2.2.3.3 Hidrodinâmica da câmara de decantação

Quanto ao aspecto hidrodinâmico, a seção da câmara de decantação assemelha-se a umacoluna de separação à pulverização ou do tipo spray. A fase dispersa - constituídas das go-tas transportadoras contendo as gotículas transportadas – descreve um movimento descendente,



Figura 2.7: Mecanismo de formação de gotas para diferentes velocidades, implicando em dife-rente diâmetros médios de Sauter. Adaptado de (MEDEIROS, 2008)

em contracorrente com o movimento ascendente da fase orgânica. De acordo com FernandesJr (2006), a velocidade característica da fase orgânica e a velocidade resultante entre as fa-ses aquosa e orgânica estão relacionadas, conforme pode ser visto nas Equações (10) e (11),respectivamente.

𝑈𝑂 =𝑄𝑂

𝑆(10)

𝑈𝑅 = 𝑈𝐴 − 𝑈𝑂 (11)

Onde 𝑈𝐴 e 𝑈𝑂 representam respectivamente as velocidades da fase aquosa e orgânica, 𝑈𝑅 avelocidade resultante entre as mesmas e 𝑆 a área seccional da câmara de decantação do MDIF.Na Figura 2.8 a velocidade ascendente da fase orgânica e descendente da fase aquosa podemser vistas, para uma gota transportadora de raio 𝑎 escoando no leito orgânico da câmara dedecantação do equipamento.

Apesar de os modelos apresentado por Hadjiev & Aurelle (1995) e Freitas et al. (2012)terem produzido bons resultados frente aos dados experimentais, estes consideram apenas a



Figura 2.8: Escoamento de uma gota transportadora no leito orgânico (FERNANDES JR, 2006).

movimentação translacional ascendente das gotículas transportadas no interior da gota trans-portadora. Contudo, diversos autores mencionam a formação de um padrão de circulação in-terna nas gotas transportadoras (Spells (1952) ; Kumar & Hartland (1999)) o que de certa formaacaba opondo-se à velocidade de decantação da gota (PAULO, 1996 apud FERNANDES JR,2006).

2.3 A fluidodinâmica computacional

2.3.1 A origem e a importância da CFD

Desde a antiguidade o estudo do movimento dos fluidos vem sendo desenvolvido. Comoexemplo, temos os relógios de água dos egípcios, ou os aquedutos romanos, bem como osmoinhos de água dos povos pré-cristãos da Ásia Menor. Historicamente, a mecânica dos fluidosdedicou-se a estudar o comportamento dos seus elementos de maneira experimental, muito antesdo que de forma matemática. Isso explica o surgimento da hidráulica (que trata do movimentode líquidos em tubos, canais, etc.) antes da hidrodinâmica (que estabelece relações entre omovimento dos fluidos e as forças que causam o mesmo) (FORTUNA, 2000).

Ainda segundo o autor, os fenômenos relacionados com o movimento de fluidos geralmentesão bastante complexos. Soluções analíticas para as equações de Navier-Stokes só foram de-terminadas para alguns poucos casos, alguns deles apresentados em Lamb (1945). Por essarazão é que, no estudo do movimento de fluidos se utilizam métodos experimentais (ensaiosem túneis de vento ou usando fluxo de fumaça, ou ainda tanques de água). Contudo, estesmétodos experimentais são viáveis em situações específicas, devido às limitações de custo,tempo e equipamento necessários para a sua realização.Com o advento do computador digital,


a partir dos anos de 1950, surgiu a alternativa de obter o campo de velocidades que compõeo escoamento por meio de de técnicas computacionais para a solução numérica das equaçõesde Navier-Stokes, dando origem a Fluidodinâmica Computacional (Computational Fluid Dyna-

mics, em inglês, CFD), a qual pode ser definida como a área da computação científica que estudamétodos computacionais para simulação de fenômenos que envolvem fluidos em movimento,com ou sem trocas de calor (TANEHILL et al., 1997, p. 5). É uma área de grande interesse paraa solução de muitos problemas práticos, por exemplo, os problemas de aerodinâmica, termodi-nâmica, hidráulica, dentre outros. Basicamente, o usuário de CFD está interessado em obter asdistribuições de velocidades, pressões e temperatura na região do escoamento.

Por ter sua importância reconhecida, a CFD foi incluída no programa Grandes Desafios(Grand Challenges) do governo dos EUA (TENTNER, 1994). Esse programa definiu temasem diversas áreas da ciência e tecnologia, cujas soluções têm grande impacto econômico ecientífico. Dentre esses problemas, podem ser citados a modelagem atmosférica, oceânica, deescoamentos multifásicos e o mapeamento das regiões do cérebro humano.

2.3.2 Modelagem de escoamentos multifásicos

Segundo Prosperetti & Tryggvason (2007), escoamentos multifásicos são aqueles cujo sis-tema envolve diferentes fases fluidas ou nos quais uma ou mais fases fluidas em contato comfases sólidas estão presentes. Essa interação entre diversos subsistemas limita severamente autilização de métodos analíticos na resolução de problemas multifásicos, tornando os métodosnuméricos uma ferramenta essencial em tal análise.

Voltando a atenção para o presente trabalho, o escoamento característico do MDIF pode serclassificado como bifásico, onde uma fase aquosa está presente com uma fase orgânica. Deacordo com Ishii & Hibiki (2011), escoamentos bifásicos podem ser caracterizados quanto àcombinação das duas fases em misturas gás-líquido, gás-sólido, líquido-sólido e uma misturade líquidos imiscíveis entre si. Secundariamente, estes escoamentos podem ser classificadosquanto às estruturas interfaciais e a distribuição topográfica de cada fase em meio ao sistema,conforme mostra a Tabela 2.1.

Tabela 2.1: Classificação do escoamento bifásico. Adaptado de (ISHII; HIBIKI, 2011).

Classifica-ção

Regimes típicos Geometria Configuração Exemplos

Escoamento emfilme

Filme de líquido emgás ou vice-versa

Condensaçãoem filme;

Ebulição emfilme

Escoa-mento

separado

Escoamentoanular

Núcleo líquido e filmegasoso ou vice-versa

Ebulição emfilme;

Ebulidores

Escoamento emjato

Jato de líquido em gásou vice-versa

Atomização;Condensador

em jato

Escoamentoturbulento em

golfadas

Bolsão de gás emlíquido

Ebulição dosódio sobconvecção

forçada

Escoa-mento

misto outransitório

Escoamentoanular

borbulhante

Bolhas de gás em filmelíquido com núcleo

gasoso

Evaporadorescom nucleação

nas paredes

Escoamentoanular comgotículas

Núcleo gasoso comgoticulas e flme líquido

Geradores devapor

Escoamentoanular

borbulhante comgotículas

Núcleo gasoso comgotículas e filme

líquido com bolhas degás

Canal de reatornuclear em

ebulição

Escoamentoborbulhante

Bolhas de gás emliquido

Reatoresquímicos

Escoa-mento

disperso

Escoamento degotículas

Gotículas liquidas emgás

Resfriamentoem spray

(spray cooling)Escoamentoparticulado

Partículas em gás oulíquido

Transporte depós


2.3.2.1 Modelos One-Fluid

De acordo com Prosperetti & Tryggvason (2007), uma das principais dificuldades oriundasda simulação do escoamento de um sistema multifásico é a existência de uma descontinuidadenas propriedades materiais dos diferentes fluidos. Uma das possíveis abordagens a serem utili-zadas na resolução numéricas das equações de Navier-Stokes é a chamada abordagem de fluidoúnico, referenciada na literatura como “single-phase”ou “one-fluid”. Partindo de tal aborda-gem, as propriedades materiais resultantes do escoamento de um sistema bifásico podem serdeterminadas por meio de uma simples regra de mistura, conforme mostra a Equação (12)(Samkhaniani et al. (2012)):

𝛽(𝜉,𝑡) = 𝛼(𝜉,𝑡)𝛽1(𝜉,𝑡) + [1− 𝛼(𝜉,𝑡)]𝛽2(𝜉,𝑡) (12)

onde 𝛽 representa uma propriedade material como a densidade ou viscosidade característica decada uma das fases e 𝜉 representa um conjunto de coordenadas espaciais genéricas. O termo𝛼 representa a fração da fase dispersa (subíndice 1) contida em um determinado subespaçodo domínio, determinado por (𝜉,𝑡), chamada de fração volumétrica (SAMKHANIANI et al.,2012), função marcadora (PROSPERETTI; TRYGGVASON, 2007) ou função cor (HAROUNet al., 2010; HAROUN et al., 2012). Doravante, a primeira nomenclatura será utilizada. Assim,esta variável é advectada pelo fluido, conforme mostra a Equação (13):

𝜕𝛼

𝜕𝑡+ O · (U𝛼) = 0 (13)

O valor desta variável pode variar entre zero e a unidade, conforme mostra a Equação (14)(SAMKHANIANI et al., 2012).

𝛼(𝜉,𝑡) =

⎧⎪⎨⎪⎩1∀ 𝜉 ∈ fase 1

[0,1]∀ 𝜉 ∈ interface

0∀ 𝜉 ∈ fase 2

(14)

De maneira geral, a abordagem one-fluid é uma releitura das equações de Navier-Stokespara cada uma das fases e a condição de contorno de interface. Prosperetti & Tryggvason (2007)descrevem a modificação nestas equações pela inclusão de um termo adicional que contabilizaas forças interfaciais, chamado de continuum surface model (CSF) (BRACKBILL et al., 1992).Assim, as equações de transporte de momento para um escoamento incompressível podem serrepresentadas conforme mostra a Equação (15).

𝜕(𝜌U)

𝜕𝑡+ O · (𝜌UU) = −O𝑝 + O · [𝜇(OU + OU𝑇

)] + 𝜌g + 𝜎𝜅O𝛼 (15)



Onde 𝜎 e 𝜅 representam a tensão interfacial entre as fases e a curvatura da interface, respec-tivamente. Esta última pode ser determinada por meio da Equação (16) (BRACKBILL et al.,1992).

𝜅 = O ·(

O𝛼‖O𝛼‖

)(16)

2.3.2.2 Modelos Two-Fluid

A abordagem “two-fuid”da descrição do escoamento multifásico, embasa-se na descriçãodo comportamento de cada fase individual constituinte do sistema em escoamento. Conformedescrevem Ishii & Hibiki (2011), esta metodologia é expressa em termos de dois conjuntosde equações de transporte de massa, energia e momento para cada uma das fases individuais,acrescidas de termos de interação entre estas. Estes termos são denotados por Γ𝑘 ,𝑀𝑘 e 𝐸𝑘 ,respectivamente a transferência de massa, momento e energia para a k-ésima fase constituintedo sistema, através das interfaces deste.

No trabalho de Prosperetti & Tryggvason (2007), os autores citam diversos códigos comerci-ais utilizados na indústria petrolífera que se valem da formulação two-fluid para a simulação deescoamentos. Apesar do presente trabalho limitar-se ao estudo do escoamento para um sistemabifásico, a metodologia pode ser estendida a um sistema constituído de um número qualquer defases interpenetrantes.

De acordo com Ishii & Hibiki (2011), a importância da formulação two-fluid reside no fatode que esta pode contabilizar as interações dinâmicas e possíveis perturbações no equilíbrioentre as fases, por meio do uso das equações de momento para cada fase, bem como seusrespectivos campos de velocidade e equações de energia. No tocante aos escoamentos bifásicos,se estes se apresentam pouco acoplados de maneira que sua inércia modifique-se rapidamente,o referido modelo pode ser usado no estudo do mesmo. Contudo, se as duas fases apresentaremum forte acoplamento - como proximidade aos equilíbrios mecânico e térmico – esta formulaçãopode levar um nível de complexidade que torna-se injustificado para aplicações práticas. Emsuma, os autores frisam que a formulação two-fluid é adequada para estudos das propagaçõeslocais em onda e problemas de estabilidade relacionada.

De acordo com Rusche (2002), para um escoamento incompressível, as equações da conti-nuidade e do transporte de momento para a k-ésima fase do sistema assumem a forma mostradanas Equações (17) e (18).

𝜕𝛼𝑘

𝜕𝑡+ O · (U𝑘𝛼𝑘) =

Γ𝑘

𝜌𝑘(17)



𝜕(𝛼𝑘U𝑘)

𝜕𝑡+ O · (𝛼𝑘U𝑘U𝑘) + O · (𝛼𝑘R𝑒𝑓𝑓

𝑘 ) = −𝛼𝑘

𝜌𝑘O𝑝 + 𝛼𝑘g +

𝑀𝑘

𝜌𝑘(18)

onde R𝑒𝑓𝑓

𝑘 representa a combinação entre os tensores de esforço de Reynolds (turbulento) edo esforço viscoso. O termo de transferência interfásica de massa da k-ésima fase para umescoamento de n fases pode ser definido conforme a Equação (19) (ISHII; HIBIKI, 2011).

Γ𝑘 = −𝑎𝑘 𝑚𝑘 (19)

equação esta que é função da área interfacial da k-ésima fase, 𝑎𝑘. Para um escoamento bifásicosem mudança de fases, o termo de transferência interfásica de massa torna-se nulo, conforme aEquação (20) (ISHII; HIBIKI, 2011).

𝑛∑𝑘=1

Γ𝑘 = 0 (20)

Deve-se considerar ainda o axioma da continuidade, o qual postula que o somatório dasfrações volumétricas das fases constituintes do sistema deve resultar na unidade, conforme podeser visto na Equação (21).

𝑛∑𝑘=1

𝛼𝑘 = 1 (21)

Através do princípio da continuidade global da transferência de momento, também é pos-sível estabelecer uma relação para os termos referentes à transferência interfásica de momentoconforme pode ser visto na Equação (22)

𝑛∑𝑘=1

M𝑘 = 0 (22)

Conforme pode ser visto no trabalho de Rusche (2002), em escoamentos dispersos esse pa-râmetro é fruto da atuação de forças ao redor das chamadas “partículas fluidas”, nomenclaturautilizada pelo autor para definir bolhas, gotas ou partículas. As influências mais significantesdevem-se ao arrasto, sustentação e à massa virtual (RUSCHE, 2002; ARAUJO, 2010). As-



sim, a expressão para o cálculo do coeficiente interfásico de transferência de massa poder servisualizada matematicamente conforme mostra a Equação (23).

M𝑘𝑉

𝛼𝑘

= 𝐹𝑎 + 𝐹𝑠 + 𝐹𝑚𝑣 (23)

Nas equações acima, 𝑉 representa o volume da partícula fluida, 𝐹𝑎 a força de arrasto, 𝐹𝑠

a força de sustentação e 𝐹𝑚𝑣 a de massa virtual. De acordo com o referido autor, na maioriadas utilizações do modelo two-fluid para sistemas bifásicos, as expressões utilizadas no cálculodestas forças podem ser visualizadas nas Equações (24) a (26).

𝐹𝑎 =1

2𝐴𝐶𝑑

U𝑟

U𝑟 (24)

𝐹𝑠 = 𝜌2𝐶𝑙𝑉 U𝑟 × (O× U2) (25)

𝐹𝑚𝑣 = 𝜌2𝑉 𝐶𝑣𝑚

(𝐷1U1

𝐷𝑡− 𝐷2U2

𝐷𝑡

)(26)

Onde U1 e U2 são respectivamente as velocidades características das fases 1 e 2, e U𝑟 = U1−U2

a velocidade relativa. O termo 𝐴 denota a área projetada pela partícula fluida, 𝑉 seu volume e ooperador 𝐷𝑘

𝐷𝑡representa a derivada substantiva, a qual pode ser definida como 𝐷𝑘

𝐷𝑡= 𝜕

𝜕𝑡+ U𝑘 ·O.

Rusche (2002) descreve em seu trabalho que os coeficientes 𝐶𝑑, 𝐶𝑙, 𝐶𝑣𝑚 são usualmentedeterminados empiricamente e dependem de propriedades da partícula fluida, juntamente como escoamento ao redor desta. Em sua obra, o autor descreve inúmeras correlações e modelosutilizados no cálculo destes coeficientes.

No tocante à transferência de energia, na formulação two-fluid o coeficiente de transferên-cia interfásico de energia está sujeito a uma condição oriunda do princípio da continuidade,conforme descrevem Ishii & Hibiki (2011) em seu trabalho, como pode ser visto na Equação(27)

𝑛∑𝑘=1

𝐸𝑘 = 𝐸𝑚 = 𝑇 𝑘

(𝑑𝜎

𝑑𝑇

)(𝐷𝑎𝑖𝑑𝑇

) + 2𝑘𝜎𝜕𝛼1

𝜕𝑡+ 𝐸𝑘

𝑚 (27)

Onde 𝐸𝑚 representa a totalidade dos termos fonte energéticos advindos da interface, 𝑇 𝑘 repre-senta a temperatura média da interface da k-ésima fase, 𝑎𝑖 a concentração de área interfacial e



𝐸𝑘𝑚 a totalidade dos ganhos de energia devido a mudanças na curvatura média da interface. De

acordo com o referido autor, para a simulação de escoamentos bifásicos não isotérmicos quenão compreendam problemas de propagação de ondas compressíveis e/ou alta velocidade defluxo, é razoável supor que as transferências de calor e mudança de fase dominam a transferên-cia energética, e os termos oriundos dos efeitos mecânicos podem ser desprezados, resultandoenfim na equação de transporte energético para a k-ésima fase que pode ser vista na Equação(28).

𝛼𝑘𝜌𝑘𝐷ℎ𝑘

𝐷𝑡= −O · 𝛼𝑘(𝑞𝑘 + 𝑞𝑇𝑘 ) + Γ𝑘(ℎ𝑘𝑖 − ℎ𝑘) + 𝑎𝑖𝑞“𝑘 (28)

2.3.3 Métodos para rastreamento de interface

No escoamento multifásico a forma da interface estabelecida entre as fases representa umavital importância, haja vista que os fenômenos de transferência interfásica (transferência demassa, momento e energia) utilizam diretamente informações intrínsecas à forma como a cur-vatura média. A forma com a qual se caracteriza a interface é parâmetro inclusive para a classi-ficação do próprio escoamento, conforme já foi mencionado.

De acordo com Ishii & Hibiki (2011), a forma com a qual se caracteriza as interfaces em umsistema multifásico pode variar com o tempo, sendo importante utilizar os chamados “métodosde rastreamento de interface”. De acordo com Shyy et al. (1996), esses métodos podem ser divi-didos em duas abrangentes categorias: Métodos de rastreamento de superfície ou lagrangianos,e métodos de rastreamento de volume ou eulerianos.

Figura 2.9: Métodos de rastreamento de interface: método de rastreamento de superfície compartículas marcadoras (esquerda) e método de rastreamento de volume (direita), onde o campode frações volumétricas de cada fase é marcado em cada célula. Adaptado de (RUSCHE, 2002)

Os métodos lagrangianos apresentam a vantagem de descreverem explicitamente as interfa-ces entre as fases constituintes do escoamento por meio de partículas marcadoras, de maneiraque as resoluções de malha e da interface podem ser escolhidas de maneira independente. No



entanto, estes métodos apresentam a desvantagem de que o posicionamento das partículas mar-cadoras deve ser atualizado ao longo do tempo de simulação, o que representa um esforçocomputacional adicional, por vezes proibitivo (RUSCHE, 2002).

Nos métodos volume ou eulerianos, uma função indicadora (fração volumétrica, level setou campo de fases) é usada para representar a interface. De acordo com Rusche (2002), essafunção indicadora deve ser advectada ao longo do domínio de simulação sem apresentar difusãoou distorções. Isso se torna especialmente difícil quando a fração volumétrica é utilizada comofunção indicadora, uma vez que o esquema utilizado na discretizaçãoda convecção desta devemanter os valores da função dentrodo limite físico, entre o zero e a unidade. Diversos trabalhosforam desenvolvidos sob esse viés como os métodos Level-Set, VOF (Volume of Fluid) e esque-mas de alta ordem para a captura de interface (RUSCHE, 2002). Contudo, o VOF é o métodomais popular de rastreamento de interface (SAMKHANIANI et al., 2012).

No trabalho de Shyy et al. (1996), está descrito que uma formulação lagrangiana ou euleri-ana do rastreamento de interface deve ser escolhida como função do problema físico sob inves-tigação. Se os detalhes da interface são secundários ou não irão impactar significativamente ascaracterísticas do escoamento, os métodos eulerianos são mais atraentes. Por outro lado, se adescontinuidade ao longo da interface deve ser mantida com fidelidade, e se o comportamentointerfacial é o foco, os métodos lagrangianos apresentam alguma vantagem.

2.3.4 Modelagem de turbulência

De acordo com Uddin (2008), a turbulência é um fenômeno que ocorre em escoamentoscausando de maneira geral flutuações no perfil de velocidade do mesmo, caracterizando um dosfenômenos mais complexos da natureza. Em seu trabalho, o autor aponta diversas razões paraesta dita complexidade entre elas:

Intermitência: A turbulência pode interagir com fluidos não turbulentos e pode aparecer in-termitantemente em um certo local.

Retro-alimentação e natureza tridimensional: A formação de vórtices e sua deformação poralongamento, ruptura, rotação e coalescência desempenha um papel fundamental no fenô-meno. É importante ressaltar que a turbulência é um fenômeno de natureza tridimensio-nal, que cria e mantém a vorticidade turbulenta. Desta maneira, um vórtice não pode sedeformar em um espaço bidimensional, logo não existe na natureza a turbulência bidi-mensional.

Forte difusão: A turbulência é mantida por meio de uma fonte energética, como gradientes develocidade média, forças de vizinhança ou outras forças externas, causando deformaçõesnos elementos de fluido, aumentando a área de superfície e desta forma intensificando otransporte de propriedades em várias ordens de magnitude.



Ainda de acordo com o autor uma simulação DNS (Direct Numerical Simulation) (aonde oescoamento completo é simulado para as menores escalas do fluido) com o intuito de descreveras incontávies escalas de resolução numérica do escoamento demanda a construção de umamalha de discretização com o número de nós proporcional àℛe

94 .

No trabalho de Araujo (2010), o autor descreve que a tensão efetiva R𝑒𝑓𝑓

𝑘 da k-ésima fasepode ser decomposto na combinação entre as tensão média viscosa, R𝑘, e tubulenta, R𝑡𝑢𝑟𝑏

𝑘 ,ou seja: R𝑒𝑓𝑓

𝑘 = R𝑘 + R𝑡𝑢𝑟𝑏

𝑘 . Tratando dos sistemas bifásicos é necessário estabelecer duasmodelagens diferentes, uma para cada fase do escoamento (contínua, dispersa). Nesse viés, aforma usual para a modelagem da tensão viscosa da fase contínua pode ser expressa conformena Equação (29)

R𝑘 =

[(𝑘 − 2

3𝜇

)O · U− 𝑝

]I + 2𝜇D (29)

onde D representa o tensor deformação, e pode ser determinado por

D =1

2

(OU + OU𝑇

)(30)

A definição do tensor turbulento R𝑡𝑢𝑟𝑏

𝑘 é expressa na Equação (31):

R𝑡𝑢𝑟𝑏

𝑘 = g− 𝜌⟨u′u′⟩ (31)

onde o termo ⟨u′u′⟩ é a média da flutuação da velocidade, calculada por meio da expressãou′ = u− U onde u é a velocidade instantânea e U é a velocidade média da fase contínua.

Assim, a tensão efetiva pode ser escrita conforme pode ser visto na Equação (32)

R𝑒𝑓𝑓

=

[(𝑘 − 2

3𝜇

)O · U− 𝑝1

]I + 2𝜇1D− 𝜌⟨u′u′⟩ (32)

No trabalho de Araujo (2010), os modelos de turbulência para as tensões turbulentas sãoclassificados em quatro categorias:

• Modelos algébricos de viscosidade turbulenta;

• Modelos diferenciais lineares de viscosidade turbulenta;

• Modelos de tensões de Reynolds;



• Modelos não lineares de viscosidade turbulenta em conjunto com modelos algébricos detensões de Reynolds;

O autor descreve que três das categorias supracitadas modelam a viscosidade turbulenta 𝜇𝑡,que caracteriza-se como um fenômeno que depende apenas da turbulência local, uma vez querelaciona as tensões turbulentas ao gradiente de velocidade média do escoamento por meio deuma relação de proporcionalidade . De acordo com Souza et al. (2011), esse conceito foi in-troduzido por Boussinesq em 1877 e ainda constitui parte importante da maioria dos modelosde turbulência. No referido trabalho os autores descrevem uma classificação quanto ao númerode equações diferenciais utilizadas para o fechamento da turbulência. Como exemplo destaclassificação são os modelos de zero equação, uma equação e duas equações os quais utili-zam respectivamente nenhuma, uma e duas equações diferenciais parciais (EDP) auxiliares nadeterminação da viscosidade turbulenta. Modelos de zero equação utilizam apenas equaçõesalgébricas, os de meia equação fazem uso de uma equação diferencial ordinária (EDO) e há oschamados de uma e meia equação, que fazem uso de uma EDO e uma EDP. Ressalta-se tmabémque apesar de não haver interesse atual em modelos de ordem zero, meia e até mesmo primeiraordem, estes já foram bastante utilizados. Na Figura 2.10 pode-se observar visualmente o fenô-meno da turbulência, através do perfil caótico do escoamento gerado pelo fluxo através de umagrade.

Figura 2.10: Exemplo de escoamento turbulento, gerado através de uma grade (SOUZA et al.,2011).



Segundo Araujo (2010), o modelo 𝑘 − 𝜖 é um modelo de 2 equações para o cálculo daviscosidade turbulenta, sendo referenciado como o modelo mais difundido dentre os modelosde turbulência, embora não resolva a turbulência perto da parede. No modelo duas variáveis sãotransportadas: a energia cinética turbulenta 𝑘 e a energia de dissipação turbulenta, 𝜖. De acordocom o autor, o modelo 𝑘 − 𝜖 é composto pelas seguintes equações:

𝜕(𝜌𝑘)

𝜕𝑡+ O · (𝜌U𝑘) = O ·

[𝜇 +

𝜇𝑡

𝜎𝜅

]O𝜅 + 𝑃𝑘 − 𝜌𝜖 (33)

𝜕(𝜌𝜖)

𝜕𝑡+ O · (𝜌U𝜖) = O ·

[𝜇 +

𝜇𝑡

𝜎𝜖

]O𝜖 +

𝜖

𝑘(𝐶𝜖1

𝑃𝑘 − 𝐶𝜖2𝜌𝜖) (34)

onde 𝑃𝑘 é dado por:

𝑃𝑘 = OU : 𝒟 − 2

3O · U(3𝜇𝑡O · U + 𝜌𝑘) 𝑃𝑘2 (35)

onde

𝑃𝑘2 = − 𝜇𝑡

𝜌𝜎𝜌

g · O𝜌 (36)

E finalmente a viscosidade turbulenta pode ser calculada por meio da Equação (37).

𝜇𝑡 = 𝐶𝜇𝜌𝑘2

𝜖(37)

As constantes desse modelo são: 𝐶𝜇 = 0,09, 𝐶𝜖1 = 1,44, 𝐶𝜖2 = 1,92, 𝜎𝑘 = 1 e 𝜎𝜖 = 1,3.

Para a modelagem da fase dispersa há duas possibilidades: Desprezar a turbulência da fasedispersa, implicando no fato de que a turbulência na fase contínua não afeta a fase dispersa,consideração esta razoável apenas para um escoamento de partículas com muita inércia; Obter aviscosidade turbulenta da fase dispersa atavés daquela calculada para a fase contínua, conformepode ser visto na Equação (38).

𝜇𝑡𝑑 = 𝜇𝑡𝜌𝑑

𝜌(38)



2.4 Método das Diferenças Finitas (MDF)

2.4.1 Introdução

O objetivo do método das diferenças finitas consiste em transformar um problema compostopor equações diferenciais em um problema formado por equações algébricas. Para tanto, é ne-cessário que um sistema de equações diferenciais seja discretizado em termos dos domínios cor-respondentes às suas variáveis dependentes em subdomínios, gerando assim uma malha de na-tureza uniforme, quando o domínio Ω é discretizado em n subdomínios iguais, e não-uniforme,quando a discretização é realizada de maneira que os subdomínios possuam tamanhos diferenci-ados. Embora o processo de discretização com malha uniforme seja mais simples, podem havervantagens numéricas no uso de malha não-uniforme (PINTO; LAGE, 2001). Secundariamente,é necessário que os operadores diferenciais referentes às variáveis dependentes que figuram nosistema de equações diferenciais sejam aproximados ao longo da malha em equações algébri-cas.

Por se tratar de um método derivado de conceitos fundamentais matemáticos - conformepode ser visto na Seção 2.4.2 - por vezes o MDF é referido como um método ultrapassadoou incapaz. No entanto diversos códigos computacionais que permeiam a CAE (Computer

Aided Engineering, ou Engenharia Auxiliada por Computação) se valem do MDF em seu cernenumérico. De acordo com Thomée (2001), foi durante e imediatamente depois da segundaguerra mundial que um grande progresso foi realizado nos métodos de diferenças finitas, quandoaplicações práticas em larga escala se tornaram possíveis com o auxílio dos computadores.

2.4.2 Aproximação de derivadas por diferenças finitas

De acordo com Pinto & Lage (2001), uma das maneiras mais simples de se obter a discre-tização necessária dos operadores diferenciais em um ponto arbitrário é por meio da expansãode uma função em série de Taylor. Seja 𝑥𝑗 este ponto arbitrário, a expansão para a avaliação dafunção 𝑦 no ponto 𝑥𝑗+1, 𝑦𝑗+1, pode ser escrita conforme pode ser visto na Equação (39).

𝑦𝑗+1 = 𝑦𝑗 +𝑦′

𝑗(𝑥𝑗+1−𝑥𝑗)+𝑦′′𝑗(𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗)

2

2!+𝑦′′′𝑗

(𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗)3

3!+𝑦

(4)𝑗

(𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗)4′

4!+ · · · (39)

De maneira semelhante, a expansão para a avaliação da função no ponto 𝑥𝑗−1 pode serescrita conforme abaixo.

𝑦𝑗−1 = 𝑦𝑗 +𝑦′𝑗(𝑥𝑗−𝑥𝑗−1)+𝑦′′𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1)

2

2!+𝑦′′′𝑗

(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1)3

3!+𝑦

(4)𝑗

(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1)4′

4!+ · · · (40)



Surge então a necessidade de aproximar o valor de 𝑦𝑗 , o que pode ser feito recorrendo àdefinição do comprimento do domínio 𝑗, conforme abaixo.

ℎ𝑗 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1 (41)

Assim, multiplicando a Equação (39) pelo termo ℎ2𝑗+1 e a Equação (40) pelo termo ℎ2

𝑗 , aposterior subtração permite isolar o termo 𝑦′𝑗 , expressando portanto uma aproximação para esseoperador diferencial.

𝑦′𝑗 =ℎ2𝑗𝑦𝑗+1 + (ℎ2

𝑗+1 − ℎ2𝑗)𝑦𝑗 − ℎ2

𝑗+1𝑦𝑗−1

ℎ2𝑗ℎ𝑗+1 + ℎ𝑗ℎ2

𝑗+1

+𝒪(ℎ2𝑗ℎ

3𝑗+1 + ℎ3

𝑗ℎ2𝑗+1

ℎ2𝑗ℎ𝑗+1 + ℎ𝑗ℎ2

𝑗+1

)(42)

Na equação acima o termo 𝒪 representa o erro de truncamento, expresso pela ordem degrandeza dos termos presentes neste membro.

Conforme visto na seção anterior, para uma malha uniforme o intervalo de discretização deum domínio Ω em 𝑛 subdomínios é constante ao longo de todo o domínio, ou seja: ℎ𝑗 = ℎ∀ 𝑗.Desta forma, a Equação (42) simplifica-se na Equação (43) abaixo.

𝑦′𝑗 =𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗−1

2ℎ+𝒪(ℎ2) (43)

A aproximação para o operador diferencial 𝑦′ apresentada na equação acima recebe o nomede aproximação por diferença central (central differentiation), uma vez que se utiliza dos valo-res da função 𝑦 avaliados nos pontos 𝑗 + 1 e 𝑗 − 1 para calcular o valor de 𝑦′𝑗 .

O cálculo do valor deste mesmo operador diferencial no ponto 𝑗 pode ser realizado utili-zando os valores da função avaliados nos pontos 𝑗 e 𝑗−1. Para tanto, uma expressão semelhanteà Equação (42) deve ser construída em torno dos referidos pontos, o que após algum esforçoalgébrico para o fortuito cancelamento dos termos originará a aproximação por diferenças para

trás (backward differentiation) conforme pode ser visualizada matematicamente na Equação(44).

𝑦′𝑗 =𝑦𝑗 − 𝑦𝑗−1

ℎ+𝒪(ℎ) (44)

De maneira semelhante, a aproximação por diferenças para frente (foward differentiation)

pode ser obtida utilizando os valores avaliados para a função nos pontos 𝑗 e 𝑗 + 1, conforme



pode ser visto na Equação (45)

𝑦′𝑗 =𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗

ℎ+𝒪(ℎ) (45)

Conforme pode ser visto comparando-se as Equações (43) a (45), a ordem do erro de trunca-mento da aproximação por diferença central é inferior àquela das outras aproximações apresen-tadas, sendo proporcional ao quadrado do incremento diferencial da malha sob a qual o domínioΩ é discretizado. Em termos deste erro de aproximação, o primeiro esquema apresentado é desegunda ordem, enquanto os outros dois são de primeira. Na Figura 2.11 os diferentes esque-mas de aproximação do operador diferencial de primeira ordem 𝑢′(𝑥) podem er visualizadasgraficamente.

Figura 2.11: Várias aproximações para o operador diferencial de primeira ordem 𝑢′(𝑥)

da função 𝑢(𝑥) interpretados como diversas linhas secantes, onde 𝐷0 representa aaproximação por diferenças centrais, 𝐷−𝑢 por diferenças para trás e 𝐷+𝑢 para frente, em um

ponto 𝑥 do domínio (LEVEQUE, 2007).

De uma maneira generalizada, a aproximação em diferenças finitas do operador diferencialde grau 𝑚 tomando como 𝑀 o mais alto grau da derivada a ser incluída, no ponto 𝑥 e utilizandoum subconjunto de 𝑁 pontos para avaliação pode ser realizada pela Equação (46), apresentadano trabalho de Fornberg (1988).

𝑦𝑚′𝑗 (𝑥0) =

1

ℎ𝑚

𝑁∑𝑛=𝑚

𝑛∑𝜈=0

𝛿𝑚𝑛,𝜈𝑦(𝛼𝜈) (46)

Na equação acima o termo 𝛼𝜈 representa um ponto arbitrário no dominínio discretizado damalha. O coeficiente 𝛿𝑚𝑛,𝜈 pode ser calculado por meio do Algoritmo 1, apresentado pelo autorem seu trabalho, cuja principal aplicação é descrita como o emprego em malhas dinâmicas. Sãoapresentadas ainda tabelas com os resultados dos coeficientes calculados com o referido código.



Algoritmo 1 Cálculo do coeficiente 𝛿𝑚𝑛,𝜈 (Fornberg, 1988)

𝛿00,0 ←− 1𝑐1 ←− 1para n← 1 até N faça

𝑐2 ←− 1para 𝜈 ← 1 até n-1 faça

𝑐3 ←− 𝛼𝑛 − 𝛼𝜈

𝑐2 ←− 𝑐23se 𝑛 ≤𝑀 então

devolve 𝛿𝑛𝑛−1,𝜈 ←− 0fim separa m← 0 até mínimo(n,M) faça

𝛿𝑚𝑛,𝜈 ←−((𝛼𝑛−𝑥0)𝛿𝑚𝑛−1,𝜈−𝑚𝛿𝑚−1

𝑛−1,𝜈)𝑐3

próximo 𝑚fim para

fim parapróximo 𝜈para m← 0 até mínimo(n,M) faça

𝛿𝑚𝑛,𝑛 ←− 𝑐1𝑐2

(𝑚𝛿𝑚−1

𝑛−1,𝑛−1 − (𝛼𝑛−1 − 𝑥0)𝛿𝑚𝑛−1,𝑛−1

)próximo 𝑚

fim para𝑐1 ←− 𝑐2próximo 𝑛

fim para

O algoritmo acima pode ser representado de maneira mais compacta pelas Equações recur-sivas (47) e (48), juntamente com o produtório apresentado na Equação (49).

𝛿𝑚𝑛,𝜈 =1

(𝛼𝑛 − 𝛼𝜈)

(𝛼𝑛𝛿

𝑚𝑛−1,𝜈 −𝑚𝛿𝑚−1

𝑛−1,𝜈

)(47)

𝛿𝑚𝑛,𝑛 =𝜔𝑛−2(𝛼𝑛−1)

𝜔𝑛−1(𝛼𝑛)

(𝑚𝛿𝑚−1

𝑛−1,𝑛−1 − (𝛼𝑛−1 − 𝑥0)𝛿𝑚𝑛−1,𝑛−1

)(48)

𝜔𝑛(𝑥) =𝑛∏

𝑘=0

(𝑥− 𝛼𝑘) (49)

A determinação do tipo de aproximação adotado ao se empregar a metodologia apresentadapor Fornberg (1988) é resultado da adequada escolha dos pontos para avaliação de 𝛼𝜈 . Destamaneira, para a aproximação de uma derivada em um ponto arbitrário 𝑥0 = 0 em uma malhauniforme de incremento de discretização ∆𝑥 igual à unidade, N = 8, a escolha dos mesmosseria realizada conforme pode ser visto abaixo:



Diferenças centrais: 𝛼𝜈 = 0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, 4,−4

Diferenças para frente: 𝛼𝜈 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Diferenças para trás: 𝛼𝜈 = 0,−1,−2,−3,−4,−5,−6,−7,−8

2.4.3 Solução de equações diferenciais parciais

Os modelos físicos mais elaborados orginam sistemas diferenciais com duas ou mais variá-veis dependentes, as equações diferenciais parciais (EDP) (PINTO; LAGE, 2001). De acordocom LeVeque (2007), diversas EDP de relevância física são oriundas do princípio de conserva-ção. Ainda de acordo com o autor, nos textos mais elementares a classificação para um sistemagenérico de equações diferenciais para duas variáveis 𝑥 e 𝑦 pode ser expressa conforme podeser visto na Equação (50).

𝒜𝑢𝑥𝑥 + ℬ𝑢𝑥𝑦 + 𝒞𝑢𝑦𝑦 +𝒟𝑢𝑥 + ℰ𝑢𝑦 + 𝑓𝑢 = 𝑔 (50)

As EDP podem ser classificadas em elípticas , parabólicas e hiperbólicas de acordo com odiscriminante, conforme pode ser visto na Equação(51). Conforme pode ser visto em LeVe-que (2007), cada uma dessas classes representa suas características próprias, e determinam asestratégias de resolução da EDP.

ℬ2 − 4𝒜𝐶

⎧⎪⎨⎪⎩< 0⇒ Elíptica

= 0⇒ Parabólica

> 0⇒ Hiperbólica

(51)

Os exemplos canônicos para cada uma das classes são o problema de Poisson 𝑢𝑥𝑥 +𝑢𝑦𝑦 = 𝑔

para um problema elíptico, a equação do calor 𝑢𝑡 = 𝜅𝑢𝑥𝑥 com (𝜅 > 0) para um problemaparabólico e a equação de onde 𝑢𝑡𝑡 = 𝑐2𝑢𝑥𝑥 para um problema hiperbólico (LEVEQUE, 2007).

Através do MDF um sistema de EDP pode ser discretizado para as suas variáveis, origi-nando um sistema de equações algébricas. O primeiro passo para a sua solução consiste nadiscretização da variável dependente ao longo do domínio das variáveis independentes. As-sim, uma função 𝑢(𝑡,𝑥,𝑦) ao ser discretizada gerará um sistema de equações algébricas de trêsdimensões, conforme mostra a Equação (52)

𝑢𝑛𝑖,𝑗 = 𝑢(𝑡𝑛, 𝑥𝑖, 𝑦𝑗) (52)

Onde 𝑡𝑛, 𝑥𝑖, 𝑦𝑗 representam cada ponto da malha de discretização.



Em seguida, os operadores diferenciais que figuram na EDP são discretizados por meio dasaproximações numéricas utilizando diferenças finitas, conforme pode ser visto na Seção 2.4.2.Finalmente, as aproximações numéricas para os operadores diferenciais são substituídos nosistema de EDP e em suas condições de contorno, gerando um sistema algébrico, cuja soluçãofornece a solução aproximada do problema original (PINTO; LAGE, 2001).

Na literatura, frequentemente os problemas de EDPs são classificados quanto à sua naturezaem termos de resolução em problemas de valor inicial (PVI) , aonde as variáveis de interessesão conhecidas em um tempo inicial, e deseja-se conhecer seu valor em outro instante de tempofinal; Problemas de valor de contorno (PVC), aonde o objetivo consiste na determinação doperfil de determinada variável ao longo do domínio; Problema de natureza mista, ou de valorde contorno e valor inicial (PVCVI), aonde tanto o valor das variáveis deve ser determinado noinstante de tempo de interesse, como a distribuição das mesmas ao longo do domínio.

Nas seções abaixo serão apresentadas as principais metodologias para a resolução de EDPsutilizando o método das diferenças finitas: resolução direta do sistema algébrico resultante dadiscretização e a utilização do método das linhas.

2.4.3.1 Resolução direta

Conforme já foi mencionado, a discretização do sitema de EDPs pelo método das diferençasfinitas gera um sistema de equações algébricas. Assim, seja uma EDP na forma apresentada naEquação (53), sua representação discretizada pelo MDF pode ser visualizada na Equação (54).

𝜕𝑢(𝑡,𝑥)

𝜕𝑡+𝒜𝜕𝑢(𝑡,𝑥)

𝜕𝑥= 0 (53)

𝑢𝑛+1𝑖 − 𝑢𝑛

𝑖 −𝒜

𝛿𝑡𝛿𝑥(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖) = 0⇒ 𝑓(𝑢𝑛+1

𝑖 ,𝑢𝑛𝑖 ,𝑢

𝑛𝑖+1) = 0 (54)

Através da metodologia de resolução direta do sistema algébrico apresentado na Equação(54), uma solução aproximada para a Equação (53) pode ser obtida por meio da resolução dosistema algébrico para cada instante 𝑛, obtendo assim o valor para o instante posterior 𝑛+ 1. Éimportante notar que por se tratar de um PVI (ou PVCVI, à critério das condições de contorno),estratégias de discretização temporais são necessárias para aproximar o termo da esquerda daEquação (53). Existem diversas estratégias de aproximação do termo temporal, conforme podeser visto em Press et al. (2007). Em linhas gerais, essas estratégias se dividem em duas grandescategorias:

Explícitas: Aproximações explícitas utilizam os valores da função discretizada 𝑢 no instante 𝑛para o cálculo dos valores no instante de tempo posterior, 𝑢𝑛+1. São de fácil implemen-



tação quando comparados aos métodos implícitos, e por não demandarem a resolução deum sistema linear a cada passo de tempo, exigem um menor esforço computacional. AEquação (55) permite visualizar a forma discretizada da Equação (53) por meio de umaaproximação de diferenças para frente no tempo (foward in time) e centrais no espaço(centered in space), combinação de aproximações que por vezes são chamadas de FTCS(foward in time, centered in space). No entanto, de acordo com Press et al. (2007), aestabilidade das respostas obtidas com métodos explícitos é inferior a que é obtida com oemprego dos implícitos.


𝑖

𝛿𝑡=𝒜

2𝛿𝑥(𝑢𝑛

𝑖+1 − 𝑢𝑛𝑖−1) (55)

Implícitas: Os métodos de aproximação explícitos utilizam os próprios valores da função noinstante de tempo 𝑛 + 1 para o cálculo de 𝑢𝑛+1, demandando a resolução de um sistemalinear a cada passo de tempo. Isso torna a implementação das aproximações implíci-tas mais laboriosas do que as do métodos explícitos, além de exigir um maior esforçocomputacional. A Equação (56) permite visualizar a forma discretizada da Equação (53)utilizando uma aproximação de diferenças para trás no tempo (backward in time) e cen-trais no espaço (centered in space), chamada de BTCS (backward in time, centered in

space). Press et al. (2007) descrevem que a laboriosa implementação e o esforço compu-tacional exigidos pelos métodos implícitos são recompensados pela estabilidade em suaresposta.


𝑖

𝛿𝑡=𝒜

2𝛿𝑥(𝑢𝑛+1

𝑖+1 − 𝑢𝑛+1𝑖−1 ) (56)

2.4.3.2 Método das linhas

O método das linhas consiste na discretização parcial de uma EDP, na qual todas as coorde-nadas menos uma são discretizadas. A coordenada que não é discretizada deve aparecer apenascomo uma derivada de primeira ordem, isto é, a equação diferencial parcial é de primeira or-dem em relação à esta coordenada. Assim, através da aplicação da técnica obtem-se um sistemade equações diferenciais ordinárias como resultado (PINTO; LAGE, 2001). O método das li-nhas por vezes é referenciado como semidiscreto, uma vez que frequentemente os operadoresdiferenciais espaciais são discretizados, e os temporais mantidos (LEVEQUE, 2007).

Discretizando a variável 𝑥 presente na Equação (53) por meio de diferenças finitas centraise mantendo os operadores diferenciais que utilizam a variável 𝑡, a forma semidiscretizada damesma pode ser vista abaixo, para um domínio semidiscretizado ao longo da direção 𝑥 em 𝑛

seções.

𝑑𝑢𝑖(𝑡)

𝑑𝑡=𝒜

2𝛿𝑥[𝑢𝑖+1(𝑡)− 𝑢𝑖−1(𝑡)] (57)



De acordo com Pinto & Lage (2001), a grande vantagem do emprego do método das linhasconsiste na utilização de rotinas computacionais já existentes para a integração dos sistemas deEDO resultantes da semidiscretização, rotinas estas que já foram extensivamente testadas e sãoconfiáveis. Além da vantagem citada pelos autores, a facilidade de implementação da soluçãoé outro ponto positivo para o método.

2.4.4 Integração numérica de EDOs

Através da utilização do MDF um sistema de equações diferenciais são discretizados emum sistema de mais baixa ordem diferencial, seja em um sistema de EDOs ou de equações al-gébricas. Seja a evolução temporal de tais sistemas necessária, um procedimento de integraçãonumérica é necessário para que o perfil de resposta do sistema (o valor das funções que des-crevem as equações do sistema) seja determinado ao longo do tempo. Um sistema de EDOsgerados pelo processo de semidiscretização do método das linhas consiste geralmente em umPVI ou PVCVI, o que torna a integração numérica um tópico consquente. Tais sistemas podemser representados de forma genérica pela Equação (58). De acordo com Press et al. (2007),um problema envolvendo EDOs de quaisquer ordem podem ser reduzido para o estudo de umsistema de equações diferenciais de primeira ordem por meio de algebrismos fortuitos.

𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑦(𝑡),𝑡) (58)

Ainda de acordo com os autores, o cerne de qualquer rotina para a resolução de tais proble-mas consiste em reescrever os operadores diferenciais da variável independente , por exemplo𝑑𝑡, como incrementos finitos 𝛿𝑡 multiplicando pelo lado direito da EDO. A variável dependenteé então incrementada em 𝛿𝑡, e uma vez que o incremento estabelecido seja pequeno o bastante,é obtida uma boa aproximação com a equação diferencial em questão. A implementação literaldesta metodologia dá origem ao método de Euler, a rotina de integração numérica mais ele-mentar. Os autores enfatizam que seu uso não é recomendado para nenhuma utilização prática,ressalva esta justificada pela instabilidade característica do método.

Na obra de Hangos & Cameron (2007), os autores dividem as rotinas de integração deEDO em duas grandes classificações: Quanto à natureza do método enquanto implícito ouexplícito, conforme descrito na Seção 2.4.3.1; Quanto à quantidade de informação necessáriadas avaliações anteriores da função para o cálculo do valor para o próximo passo de tempo,classificando-o como de passo único (single-step) ou passo múltiplo (multi-step).

A seguir serão apresentados os principais métodos de integração numérica de EDOs: Naclasse das rotinas de passo único, serão apresentados os métodos de Euler explícito e implícitoe os métodos Runge-Kutta; Na classe dos métodos de passo múltiplo, serão apresentados osmétodos BDF e o método preditor-corretor de Adam-Bashfort-Moulton.



2.4.4.1 Método de Euler explícito

Essa rotina de integração numérica é diretamente consequente da definição do operadordiferencial. Pela sua natureza explícita, o valor previamente calculado para a função no instante𝑡 é utilizado na sua determinação no instante 𝑡 + 𝛿𝑡. Em termos matemáticos, a rotina deintegração pode ser visualizada conforme a Equação (59).

𝑦𝑡+𝛿𝑡 = 𝑦𝑡 + 𝛿𝑡𝑦′(𝑡, 𝑦𝑡) (59)

Conforme já foi mencionado, o método de Euler é naturalmente instável, e seu uso emaplicações práticas é desencorajado por diversos autores.

2.4.4.2 Método de Euler implícito

De maneira semelhante ao método explícito, o método de Euler implícito é derivado dadefinição conceitual do operador diferencial. Contudo, os valores avaliados para a função nopróprio instante 𝑡 + 𝛿𝑡 são utilizados na sua determinação. Isso implica na necessidade deresolver um sistema de equações algébricas a cada iteração, o que torna o método mais laboriosoem termos computacionais. A rotina de integração pode ser visualizada matematicamente naEquação (60).

𝑦𝑡+𝛿𝑡 = 𝑦𝑡 + 𝛿𝑡𝑦′(𝑡 + 𝛿𝑡, 𝑦𝑡+𝛿𝑡) (60)

O método mostra-se mais estável que a sua versão explícita, no entanto ainda demandamuito esforço computacional na resolução de sistemas numericamente rígidos (stiff ) (ASCHER;PETZOLD, 1998).

2.4.4.3 Método de Runge-Kutta

Os métodos de Runge-Kutta compreendem uma família de rotinas de integração numéricade explícitas de passo único, embora haja implementações do método de natureza implícitacomo por exemplo método TR-BDF2 (LEVEQUE, 2007).

De acordo com Press et al. (2007), essa família de métodos emprega termos de ordem supe-rior para a redução da ordem do erro de truncamento, sendo apresentadas na literatura diversasformas (ou implementações diferentes) para o método. A mais popular em termos de utilizaçãono meio científico é a fórmula de 4ª ordem de Runge-Kutta (RK4), a qual pode ser visuali-zada matematicamente nas Equações (61) a (65). Na Figura 2.12 pode ser vista a representação



gráfica dos diferentes pontos de avaliação do operador diferencial utilizados no método RK4,resultando em um valor final.

𝑘1 = 𝛿𝑡𝑦′(𝑡, 𝑦𝑡) (61)

𝑘2 = 𝛿𝑡𝑦′(𝑡 +1

2𝛿𝑡, 𝑦𝑡 +

1

2𝑘1) (62)

𝑘3 = 𝛿𝑡𝑦′(𝑡 +1

2𝛿𝑡, 𝑦𝑡 +

1

2𝑘2) (63)

𝑘4 = 𝛿𝑡𝑦′(𝑡 + 𝛿𝑡, 𝑦𝑡 + 𝑘3) (64)

𝑦𝑡+𝛿𝑡 = 𝑦𝑡 +1

6𝑘1 +

1

3𝑘2 +

1

3𝑘3 +

1

6𝑘4 +𝒪(𝛿𝑡5) (65)

Figura 2.12: Representação gráfica da avaliação do valor da função pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem, aonde as regiões em destaque indicam as quatro avalialções realizadas acada passo de incremento de tempo. À partir de tais valores um valor final para a função a seravaliada é determinado, mostrado como uma linha tracejada (PRESS et al., 2007)

De acordo com LeVeque (2007), a fórmula de Runge-Kutta de 4ª ordem era particularmentepopular na época anterior ao advento do computador digital, aonde os cálculos eram realizadosde maneira manual. O autor apresenta uma implementação mais generalista e atual do método,uma fórmula de ordem 𝑟, o qual pode ser visto nas Equações (66) a (71).

𝑌1 = 𝑦𝑡 + 𝛿𝑡

𝑟∑𝑗=1

𝑎1𝑗𝑦′(𝑌𝑗, 𝑡 + 𝑐𝑗𝛿𝑡) (66)



𝑌2 = 𝑦𝑡 + 𝛿𝑡

𝑟∑𝑗=1

𝑎2𝑗𝑦′(𝑌𝑗, 𝑡 + 𝑐𝑗𝛿𝑡)

... (67)

𝑌𝑟 = 𝑦𝑡 + 𝛿𝑡

𝑟∑𝑗=1

𝑎𝑟𝑗𝑦′(𝑌𝑗, 𝑡 + 𝑐𝑗𝛿𝑡) (68)

𝑦𝑡+𝛿𝑡 = 𝑦𝑡 + 𝛿𝑡

𝑟∑𝑗=1

𝑏𝑗𝑦′(𝑌𝑗, 𝑡 + 𝑐𝑗𝛿𝑡) (69)

onde:𝑟∑

𝑗=1

𝑎𝑖𝑗 = 𝑐𝑖 ∀ 𝑖 = 1,2, · · · , 𝑟 (70)

𝑟∑𝑗=1

𝑏𝑗 = 1 (71)

Ainda de acordo com o autor, existem diversas maneiras de escolher os coeficientes 𝑎𝑖𝑗 e𝑏𝑗 com o intuito de obter uma determinada acurácia, e em sua obra diversas referências quecontemplam estudos de estabilidade dos diversos métodos de Runge-Kutta são mencionadas.

2.4.4.4 Métodos BDF

As rotinas de integração numérica BDF (backward differentiation formula, ou fórmula dediferenciação para trás ) são os métodos de passo múltiplo mais populares para a resoluçãode problemas numericamente rígidos. Suas principais características residem na propriedadede decaimento da rigidez e em sua estabilidade numérica. De natureza implícita, o método éusualmente implementado com um método de Newton modificado para resolver o sistema deequações a cada passo de tempo (ASCHER; PETZOLD, 1998). A forma geral das rotinas BDFde integração numérica pode ser visualizada na Equação (72), aonde 𝑟 representa a ordem dométodo.

𝑟∑𝑘=0

𝛼𝑘𝑦𝑡+𝑘𝛿𝑡 = 𝛿𝑡𝛽0𝑦′(𝑡 + 𝑟𝛿𝑡,𝑦𝑡+𝑟𝛿𝑡) (72)

Na obra de Ascher & Petzold (1998), os autores apresentam uma tabela de coeficientes paradiversas fórmulas da família de métodos BDF, indo desde a 1ª ordem - que corresponde aométodo implícito de Euler - até a 6ª, conforme pode ser visto na Tabela 2.2.



Tabela 2.2: Coeficientes dos métodos BDF até a 6ª ordem (ASCHER; PETZOLD, 1998)

𝑠 𝛽0 𝛼0 𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛼4 𝛼5 𝛼6

1 1 1 −1

2 23

1 −43

13

3 611

1 −1811

911

− 211

4 1225

1 −4825

3625

−1625

325

5 60137

1 −300137

300137

−200137

75137

− 12137

6 60147

1 −360147

450147

−400147

225147

− 72147

10147

2.4.4.5 Método de Adams-Bashfort-Moulton

O método de Adams-Bashfort-Moulton é um método de passo múltiplo linear implícito dotipo preditor-corretor. De acordo com Press et al. (2007), essa classe de métodos tem sidosubstituída gradativamente por implementações mais modernas dos métodos de Runge-Kutta,como por exemplo as que contam com o método de interpolação de Burlisch-Stoer, no entantoapresenta uma acurácia classificada entre alta e moderada, e sua natureza implícita ainda otorna uma boa escolha para sistemas numericamente rígidos. Ainda de acordo com os autores,a o esquema de Adams-Bashfort-Moulton é provavelmente o método preditor-corretor maispopular.

A parcela preditora da rotina é calculada pelo método de Adams-Bashfort, cuja expressãogenérica para a fórmula de ordem 𝑟 pode ser visualizada na Equação (73) a (75) (ASCHER;PETZOLD, 1998). Na Tabela 2.3 os coeficientes para as rotinas da 1ª à 6ª ordem podem servisualizados.

𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−𝛿𝑡 + ℎ𝑟∑

𝑗=1

𝛽𝑗𝑦′(𝑡− 𝑗𝛿𝑡, 𝑦𝑡−𝑗𝛿𝑡) (73)

onde:𝛽𝑗 = (−1)𝑗𝑘−1∑

𝑖=𝑗−1

(𝑖

𝑗 − 1

)𝛾𝑖 (74)

𝛾𝑖 = (−1)𝑖∫ 1

0

(−𝑟𝑖

)𝑑𝑟 (75)

Após o cálculo da parcela preditora, a expressão para a o somatório das párcelas corretorae preditora é realizada por meio do método de Adams-Moulton, cuja expressão genérica para afórmula de ordem 𝑟 pode ser visualizada na Equação (76) (ASCHER; PETZOLD, 1998) e na



Tabela 2.3: Coeficientes dos método de Adams-Moulton até a 6ª ordem (ASCHER; PETZOLD,1998)

𝑟 𝛽𝑗 j→ 1 2 3 4 5 61 𝛽𝑗 1 −1

2 2𝛽𝑗 3 −1

3 12𝛽𝑗 23 −16 5

4 24𝛽𝑗 55 −59 37 −9

5 720𝛽𝑗 1901 −2774 2616 −1274 251

6 1440𝛽𝑗 4277 −7923 9982 −7298 2877 −475

Tabela 2.4 os coeficientes para as rotinas da 1ª à 6ª ordem. Deve-se ressaltar que o valor de 𝑦′𝑡

deve ser calculado utilizando a parcela preditora.

𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−𝛿𝑡 + ℎ𝑟∑

𝑗=0

𝛽𝑗𝑦′(𝑡− 𝑟𝛿𝑡,𝑦𝑡−𝑟𝛿𝑡) (76)

Tabela 2.4: Coeficientes dos método de Adams-Moulton até a 6ª ordem (ASCHER; PETZOLD,1998)

𝑟 𝛽𝑗 j→ 0 1 2 3 4 51 𝛽𝑗 1

2 2𝛽𝑗 1 1

3 12𝛽𝑗 5 8 1

4 24𝛽𝑗 9 19 −5 1

5 720𝛽𝑗 251 646 −264 106 −19

6 1440𝛽𝑗 475 1427 −798 482 −173 27



Como todos os métodos de passo múltiplo, o de Adams-Bashfort-Moulton não é auto-inicializável, isto é, são necessários estabelecer 𝑟− 1 valores previamente calculados para 𝑦𝑡, oque geralmente é realizado utilizando-se uma rotina explícita, como Runge-Kutta de 4ª ordem.

2.5 Estimação de parâmetros

Frequentemente na tentativa de compreender quantitativamente um problema por meio deum modelo matemático a natureza do mesmo, a natureza dos parâmetros de interesse ou sim-plesmente a ausência de dados na literatura demanda que os valores dos parâmetros deste mo-delo sejam inferidos a partir de uma comparação estabelecida entre dados experiementais eum modelo disponível para o processo, cujo desempenho é afetado pelo parâmetro de interesse(SCHWAAB; PINTO, 2007)

De acordo com Hangos & Cameron (2007, p. 302) a estrutura de estimação de parâmetros 𝒫de um modelo parametrizado M pode ser descrita matematicamente pela proposição expressana equação abaixo

ℒ( 𝒫) = ||𝑦 − 𝑦𝑀 || → min. (77)

onde o termo ℒ representa uma função residual, também referida como função objetivo, quedeve ser minimizada de maneira implícita por meio da Equação (78).

𝑦𝑀 = M(𝑥, 𝒫) (78)

Na equação acima 𝑦𝑀 expressa genericamente a equação do modelo, função das variáveis𝑥 e dos parâmetros a serem estimados 𝒫 . os autores ressaltam que um problema de estimaçãode parâmetros é um problema de otimização, haja vista que devem ser encontrados os valoresdos parâmetros 𝒫 que minimizem a função resíduo, ou seja, otimizem-a.

As medidas experimentais contém erros e que estes influenciam no processo de inferênciados parâmetros. Uma vez que este procedimento está baseado na análise de dados experimen-tais que contem um certo grau de incerteza, esse erro é propagado para os valores dos parâ-metros determinados, sendo destacado o conceito de que o modelo deve produzir resultadosque aproximam-se dos valores experimentais, obedecendo sempre à consequente implicação deque serão produzidos resultados tão confiáveis quanto os dados reais usados na estimação dosmesmos (SCHWAAB; PINTO, 2007, p. 228).



2.6 Transporte de massa por meio de gotas

De acordo com Ubal et al. (2010), diversos processos na engenharia química, de grandeimportância, baseiam-se na transferência de massa por meio da extração de soluto de uma fasedispersa, na forma de gotículas, suspensa em uma fase contínua. Apesar de diversos estudosterem sido realizados em diversos segmentos como intuito de obter um bom entendimento dosprocessos de transporte mássico de um sistema de ELL, os autores ressaltam que o até mesmopara uma diminuta gota, tais processos não são completamente compreendidos. Contudo, sabe-se que a presença de uma população de gotas influencia na transferência, divergindo dos valorescalculados para uma única gota (KUMAR; HARTLAND, 1999).

Quando em queda, as gotas - enquanto partículas fluidas - podem sofrer severas deforma-ções à medida que desenvolvem seu deslocamento. Na obra de Clift et al. (1978), os autoresrelacionam a conformação das gotas ou regimes de forma como função dos números de Rey-nolds, Eötvos e Morton, representados respectivamente pelos termosℛe , ℰo eℳo . Tal relaçãopode ser visualizada através de um mapa de regimes de forma, conforme pode ser visualizadona Figura 2.13.

ℛe =𝜌1𝑑U1

𝜇1

(79)

ℰo =g∆𝜌𝑑2

𝜎(80)

ℳo =g∆𝜌𝜇2

1

𝜌21𝜎3

(81)

Na literatura os modelos para a transferência de massa por meio de gotas, em movimen-tos descendentes ou ascendentes, são classificados a partir do efeito de perturbação que estedeslocamento proporciona no interior destas, em: modelos de gota rígida ou estagnada, ondese assume que não ocorre perturbação no seu interior; modelos para gotas circulantes, onde jáocorre alguma influência, implicando em uma circulação do seu conteúdo; modelos para gotasoscilantes, onde o turbilhonamento proporcionado é tão vigoroso que implica em oscilaçõesperiódicas no volume da gota. De acordo com Kumar & Hartland (1999), apesar das gotasoscilantes diferenciarem-se das circulantes, resultados de modelos utilizados para as últimasparecem descrever satisfatoriamente as primeiras, levando a uma habitual abordagem comuma ambas. Contudo, estudos fotográficos realizados por Rose & Kintner (1966) mostram que opadrão toroidal de circulação interna previsto pelo modelo diverge da realidade.



Figura 2.13: Regimes de forma de gotas, como função dos admensionaisℛe , ℰo eℳo (retiradode Clift et al. (1978 apud RUSCHE, 2002))

Os problemas de transferência de massa à partir de uma gota podem receber variadas abor-dagens, de acordo com fase que assume-se deter a resistência que controla o processo de trans-porte: a fase interna das gotas, onde o problema é dito interno; a fase contínua, externa àsgotas, situação para a qual este é dito externo; finalmente, quando o processo de transferên-cia e limitado por ambas as fases, isto é, não é possível desprezar a contribuição de nenhumapara a resistência global à transferência de massa frente à outra, e o problema é classificadocomo conjugado. Na literatura relacionada, a exemplo dos trabalhos de Kronik & Brink (1950),Brounshtein et al. (1970), Piarah et al. (2001), é proposta uma relação entre o coeficiente dedifusão do soluto através da fase dispersa (interior da gota) e o da contínua (exterior da gota),expressa através da razão 𝐾. Para 𝐾 ≪ 1, o problema é interno; se 𝐾 ≫ 1, o problema por suavez é classificado como externo; para 𝐾 aproximadamente igual à unidade, este é conjugado, ea influência de ambas as fases deve ser considerada.



Na grande maioria dos problemas de ELL, a resistência à transferência de massa de ambas asfases deve ser considerada (PIARAH et al., 2001, p. 3). No trabalho de Juncu & Mihail (1987S)e recentemente no trabalho de Zhang et al. (2012) os autores realizam um estudo acerca daimportância do coeficiente relacional de difusão 𝐾 no transporte de soluto do interior da fasedispersa para o seio da fase contínua, para um escoamento em fluxo gotejante (ℛe < 1). AFigura 2.14 ilustra a importância deste coeficiente relacional na determinação do transporte decontaminante á partir da gota.

Figura 2.14: Variação do valor de 𝒮h em função do número de Fourier (ℱo) para as fasescontínua e dispersa (C e A, respectivamente) e do valor da concentração adimensional médiano interior da gota (𝐶𝑑) em função de ℱo (D e B, respectivamente), para diversos valores docoeficiente relacional de difusão 𝐾. Adaptado de Zhang et al. (2012).

2.6.1 Modelo para gota rígida (ou estagnada)

Quanto a uma gota rígida, o trabalho de Negri et al. (1986) apresentou um modelo com umatransferência de massa preponderantemente radial, de uma maneira semelhante à apresentadanos trabalhos de Bird & Lightfoot (1960) e Cremasco (2002), como pode ser visto na Equação(82).

𝜕𝜌𝑤

𝜕𝑡= O2(𝒟𝑤) (82)

Na equação acima o termo 𝑤 representa a fração mássica da fase de interesse no interior dagota, 𝜌 sua densidade e D o coeficiente de difusividade mássica da fase de interesse através



do meio constituinte da gota. A Equação (82) pode ser resolvida analiticamente por meioda técnica de separação de variáveis, para 𝒟 e 𝜌 constantes, como produto entre uma funçãoradial e uma temporal. A função radial resulta em uma série de Fourier representando o campode concentração mássica instantâneo, e a temporal descreve o decaimento exponencial deste(UBAL et al., 2010).

No trabalho de Korchinsky et al. (2009), os autores ressaltam a importância do uso de umcoeficiente de difusão variável com os gradientes de concentração gerados no interior da gotapara transferência de massa multicomponente, produzindo resultados que divergiram até 80%daqueles em que é considerada constante, para grandes fluxos e gradientes de concentração.Contudo, longe destas condições extremas, o uso de um valor médio produziu resultados quese desviaram aproximadamente 10% daqueles em que o coeficiente de difusividade é variável.

2.6.2 Modelo para gota circulante

Handlos & Baron (1957) propuseram um modelo em que o movimento no interior das go-tas era descrita como “altamente turbulenta”e considerava as vibrações e padrões de circulaçãodescritas pela função de Hadamard-Rybczynski Korchinsky et al. (2009). Esta última conside-ração é comum na literatura, como pode ser visto nos trabalhos de Uribe-Ramírez & Korchinsky(2000), Waheed et al. (2002) e Ubal et al. (2010). De modo geral, os trabalhos dos autores apre-sentam resultados para valores do número adimensional de Reynolds na faixa 1 < ℛe < 250,longe da região de escoamento turbulento.

No trabalho de Ubal et al. (2010), os autores apresentam uma equação adimensional para otransporte da fração mássica 𝑤, para um tempo adimensional 𝜏 , uma velocidade de advecção de

material U – de dimensões nulas - e uma matriz de difusividades relacionais 𝒟 , determinadasde acordo com a metodologia mostrada em Korchinsky et al. (2009). Se a difusividade forconsiderada constante, a Equação (83) demonstra matematicamente este modelo.

𝜕𝑤

𝜕𝜏+ 𝒫eUO𝑤 = O ·

( 𝒟O𝑤) (83)

Na equação acima o termo 𝒫e representa o número de Péclet, que relaciona a taxa de ad-vecção de material frente a de difusão do mesmo, por meio de um gradiente apropriado. Para otransporte mássico, este adimensional pode ser definido matematicamente como mostra Equa-ção (84), onde 𝑅 representa o raio da gota transportadora, U a sua velocidade e𝒟𝑤 o coeficientede difusão mássico.

𝒫e =𝑅U𝒟𝑤

(84)



2.6.3 Modelo para gota deformável

As gotas enquanto partículas fluidas tendem a se deformar conforme percorrem o leito cons-tituído pela fase contínua. Este fenômeno é descrito no trabalho de Clift et al. (1978), e é im-portante especialmente quando trata-se de um escoamento turbulento, onde a transferência demassa da gota para a fase contínua é acentuada devido aos perfis de velocidade e o conseqüenteaumento na área interfacial entre as fases (BIRD; LIGHTFOOT, 1960).

De acordo com Petera & Weatherley (2001), poucos trabalhos abordam o escoamento degotas e bolhas com um grau de deformação com a simultânea transferência de massa, especial-mente para o processo transiente. Os autores ressaltam que a deformação da gota proporcionauma circulação interna no interior desta, bem como o desenvolvimento de uma zona de recir-culação e um aumento na área de superfície, implicando em importantes conseqüências para atransferência mássica no sentido fase dispersa/fase contínua e vice-versa. No referido trabalhoé apresentado um modelo lagrangiano-euleriano da transferência de massa de um soluto, onde orastreamento das deformações sofridas pela gota é realizado por meio do uso de marcadores la-grangianos em paralelo com uma abordagem euleriana, de maneira semelhante àquela descritana Seção 2.3.3 .

Figura 2.15: Deformações sofridas pela gota para o modelo de gota deformável (PETERA;WEATHERLEY, 2001).

A descontinuidade presente no campo de concentrações na interface formada em um escoa-mento bifásico representa uma condição de contorno crucial para a modelagem da transferênciade massa em problemas de abordagem conjugada, apresentando-se como uma condição de con-torno de continuidade de fluxos interfaciais e uma relação de partição do tipo 𝐶2 = f (𝐶1), onde𝐶1 e 𝐶2 são as concentrações de cada uma das fases na interface. Nesse viés, existem duasabordagens: tratar o campo de concentrações para cada uma das fases e impor uma relação nainterface entre elas, como pode ser visto, por exemplo, no trabalho de Waheed et al. (2002);Desenvolver por meio da relação de partição entre as concentrações das fases em equilíbrio



um campo de concentração unificado, abordagem esta adotada nos trabalhos de Haroun et al.(2010), Haroun et al. (2012) e Petera & Weatherley (2001).


CAPÍTULO 3: MODELAGEMDIFERENCIAL

A tarefa não é tanto ver aquilo que ninguém

viu, mas pensar o que ninguém ainda pensou

sobre aquilo que todo mundo vê.

Arthur Schopenhauer

Capítulo 3. Modelagem diferencial

3 Modelagem diferencial

3.1 Modelagem do problema

3.1.1 Identificação do problema

O problema em questão reside no desenvolvimento de um modelo determinístico fenomeno-lógico para o cálculo da eficiência de separação de óleo residual da água de produção utilizandoo MDIF.

Na câmara de mistura, um agitador mecânico proporciona um contato íntimo entre as fasesaquosa (carregada de soluto, o óleo residual) e o extratante, promovendo assim uma transferên-cia de massa de soluto da primeira para a segunda. Formam-se portanto gotículas do extratantesaturado com o soluto, dispersas em meio à fase aquosa. Essa mistura atravessa um dispersordo tipo prato perfurado, levando a formação de uma dispersão de gotas de fase aquosa contendoextratante saturado em seu interior. É, portanto, na câmara de decantação onde deverá ocorrer atransferência de massa da fase orgânica contida no interior das gotas de fase aquosa para o leitoorgânico, constituído de extratante puro.

Optou-se por voltar a atenção ao fenômeno da inversão de fases isoladamente, isto é, oprocesso de separação primário ocorrido na câmara de mistura não é contemplado pelo presentemodelo haja vista que: Há trabalhos voltados mais especificamente ao tema, a exemplo deNazaré et al. (2010); Do ponto de vista do processo, o fenômeno de inversão de fases é a chavedo pioneirismo do equipamento, e nenhum trabalho ainda foi desenvolvido com o intuito dedescrever matematicamente a influência deste no funcionamento do equipamento.

De acordo com Pinto & Lage (2001), os sistemas de EDO podem ser expressos em umaforma generalizada em notação vetorial conforme pode ser visto na Equação (85).

𝐹 (𝑡, 𝑦(𝑡), ) = 0 (85)

onde 𝑡 representa a variável independente (usualmente o tempo), 𝐹 um vetor de funções de 𝑡,𝑦 um vetor de variáveis dependentes e a sua derivada em relação à variável independente.Os autores enfatizam que caso haja dentro do vetor 𝐹 uma função que não dependa de nenhumelemento do vetor , a referida equação representa um sistema de equações alébrico diferenciais(EAD).

Confome pode ser visto na Seção 2.2.3, a recirculação do solvente orgânico contaminado



representa uma característica muito importante do processo tanto do ponto de vista de enge-nharia como sob o viés numérico, uma vez que introduz um forte comportamento não-linear nosistema e acoplamento entre a concentração de soluto contida na fase contínua e dispersa, comodescrito no trabalho de Ascher & Petzold (1998).

3.1.2 Apresentação do modelo

Doravante neste trabalho, o presente modelo matemático será referenciado como Abordagem

MacroscópicA Diferencial DeterminísticA, ou AMADDA. À partir de um volume de controlede altura infinitesimal 𝑑𝑧 e área seccional S, pode-se empregar um balanço de conservação ma-terial, relativo à fração mássica do extratante saturado nas fases contínua (orgânica) e dispersa(aquosa) presentes na câmara de decantação, conforme pode-se visualizar na Figura 3.1.

Figura 3.1: Volume de controle da câmara de decantação, evidenciando o fluxo contracorrentedas fases contínua e dispersa em seu interior.

Na figura acima os termos 𝑄𝑑 e 𝑄𝑐 representam, respectivamente, as vazões volumétricasdas fases dispersa e contínua. Este balanço material é realizado por meio da Equação (86), emum volume de controle correspondente a uma seção infinitesimal do leito de decantação.

A = E − S + G − C (86)

Onde A, E, S, G e C representam respectivamente o acúmulo, entrada, saída geração e consumode material no interior do volume de controle. Os termos 𝐺 e 𝐶 correspondem à transferênciade massa, ocorrendo no sentido da fase dispersa para a fase contínua. Os balanços materiaispara a fase dispersa e contínua podem portanto serem vistos nas Equações (87) e (88), de formasemelhante à apresentada no trabalho de Safari et al. (2012).

𝜕(𝑆𝑑𝑧𝜌𝑑𝜑𝑤)

𝜕𝑡= 𝑉𝑑𝜌𝑑𝜑𝑆

(𝑤|𝑧+𝑑𝑧 − 𝑤|𝑧

)− 𝑘𝑑𝑎(𝑤 − 𝑤∞)𝑆𝑑𝑧 (87)

𝜕[𝑆𝑑𝑧𝜌𝑐(1− 𝜑)𝑦]

𝜕𝑡= −𝑉𝑐𝜌𝑐(1− 𝜑)𝑆

(𝑦|𝑧+𝑑𝑧 − 𝑦|𝑧

)+ 𝑘𝑑𝑎(𝑤 − 𝑤∞)𝑆𝑑𝑧 (88)



Isolando os termos correspondentes à fração mássica de solvente contaminado em cada umadas fases - 𝑤(𝑡,𝑧) e 𝑦(𝑡,𝑧) - obtem-se as suas respectivas equações macroscópicas de transporte

𝜕𝑤(𝑡,𝑧)

𝜕𝑡= 𝑉𝑑

𝜕𝑤(𝑡,𝑧)

𝜕𝑧− 𝑘𝑑𝑎

𝜌𝑑𝜑(𝑤 − 𝑤∞) (89)

𝜕𝑦(𝑡,𝑧)

𝜕𝑡= −𝑉𝑐

𝜕𝑦(𝑡,𝑧)

𝜕𝑧+

𝑘𝑑𝑎

𝜌𝑐(1− 𝜑)(𝑤 − 𝑤∞) (90)

As Equações (89) e (90) tratam-se, na verdade, de equações de transporte genérico de umescalar passivo, sem a presença do termo difusivo. O primeiro termo do lado direito de ambasequações têm o caráter advectivo, e o segundo, o chamado termo fonte, representa a transfe-rência de massa. É perceptível que ao se estabelecer o estado estacionário, o modelo torna-sesemelhante àquele apresentado no trabalho de Safari et al. (2012) para um escoamento pisto-nado ideal em uma coluna de extração.

De acordo com Weinstein et al. (1997), a velocidade de cada fase (dispersa e contínua)pode ser calculada por meio das Equações (91) e (92), relacionando-as com a chamada vazãoespecífica ou carga (loading) respectiva.

𝑉𝑑 =𝑄𝑑

𝑆𝜑(91)

𝑉𝑐 =𝑄𝑐

𝑆(1− 𝜑)(92)

3.1.3 Considerações do modelo

No desenvolvimento do modelo foram adotadas as seguintes considerações:

• Assume-se que a câmara de mistura do equipamento comporta-se como um reator con-tínuo com agitação ideal, de modo que o seu comportamento dinâmico é desprezado. Érealizada uma consideração semelhante com respeito à câmara de separação, na base doequipamento. Assim, todo o comportamento transiente do processo é oriundo da câmarade decantação;

• O soluto é completamente transferido da fase aquosa para a fase orgânica extratante nacâmara de mistura, por meio do contato íntimo proporcionado pela agitação. Portanto,o soluto reside apenas na fase extratante, na forma de gotículas dentro das gotas de faseaquosa;



• O holdup da fase dispersa é constante e pode ser determinado pela relação entre a vazãototal de alimentação do equipamento e o tempo de residência das gotas transportadoras nointerior da câmara de decantação, consideração esta que pode ser visualizada na Equação(93), na forma de uma relação constitutiva;

𝜑 =𝑄𝑇

𝑈𝑑 𝑆(93)

• Existe uma relação linear de equilíbrio entre a fração mássica nas fases contínua e edispersa. Matematicamente, esta consideração pode ser visualizada na Equação (94),abaixo.

𝑤∞ =𝑦(𝑡,𝑧)

𝑚(94)

Onde 𝑚 representa o coeficiente de partição (ou de equilíbrio).

• Na descrição do modelo, considera-se que as equações de transporte descrevem o movi-mento do extratante contaminado do seio da fase dispersa para a fase contínua.

• As gotas da fase dispersa possuem um formato esférico, e comportam-se como esferasrígidas ao deslocarem-se pelo leito orgânico. Estas possuem um diâmetro médio 𝑑 e suaárea interfacial de transferência de massa pode ser determinada pela relação constitutivapresente em Frank et al. (2008), conforme pode ser visto na Equação (95);

𝑎 = 6𝜑𝑑 (95)

• A velocidade das fases contínua e dispersa é constante ao longo da coluna;

• A velocidade da fase dispersa 𝑉𝑑 pode ser calculada mediante um simples balanço de con-servação de movimento no prato perfurado. Este comporta-se como um dispersor ideal deespessura desprezível, onde cada orifício produz exatamente o mesmo fluxo individual;

• A altura do leito orgânico 𝐻𝑜, bem como as vazões volumétricas de alimentação dasfases aquosa (dispersa) e orgânica (contínua) - 𝑄𝑑 e 𝑄𝑐 respectivamente - não apresentamcomportamento dinâmico;

3.1.4 Condições iniciais e de contorno

As condições iniciais e de contorno do problema foram estabelecidas nas regiões mostradasna Figura 3.2.



Figura 3.2: Regiões de condições iniciais ou de contorno referente ao modelo, indicadas por 1(entrada da câmara de decantação) e 2 (saída da câmara de decantação).

3.1.4.1 Condições inicias

As condições iniciais estabelecidas para o modelo podem ser sumarizadas conforme podeser visto abaixo:

Preenchimento do leito orgânico: Inicialmente o leito orgânico no qual ocorre a decantaçãodas gotas transportadoras está preenchido com solvente virgem, o que implica em umafração mássica de solvente contaminado na fase contínua 𝑦(𝑡,𝑧) inicialmente nula.

Partida da coluna: A partida da coluna é realizada quando a interface já está estabelecida, eas condições de operação podem ser vistas na seção referente às condições de contorno.A fase contínua no instante 𝑡 = 0 encontra-se isenta do solvente contaminado, conformea Equação (97). Durante o start-up do equipamento o leito orgânico está isento de gotas,como pode ser visualizado na equação (96).

𝑤(𝑡 = 0,∀𝑧) = 0 (96)



𝑦(𝑡 = 0,∀𝑧) = 0 (97)

3.1.4.2 Condições de contorno

As condições de contorno estabelecidas para o modelo podem ser sumarizadas conformepode ser visto abaixo, em relação às regiões indicadas na Figura 3.2.

Alimentação com recirculação: A coluna é continuamente alimentada com o material oriundoda câmara de mistura na região 1 da Figura 3.2, onde as correntes de fase aquosa contami-nada e fase orgânica recirculada do processo são combinadas e escoam através do pratoperfurado, formando as gotas transportadoras. A fração mássica correspondente à fasedispersa que entra na coluna pode ser determinada pela relação apresentada na Equação(98). É fácil perceber que no instante 𝑡 = 0, a Equação (98) é simplificada à Equação(99).

𝑤(𝑡 > 0, 𝑧 = 0) =𝑄𝑑𝐷 + 𝑄𝑐𝑦(𝑡,𝑧 = 0)

𝑄𝑑 (𝜌𝑑 + 𝐷) + 𝑄𝑐 (𝜌𝑐 + 𝑦(𝑡,𝑧 = 0))(98)

𝑤(𝑡 = 0, 𝑧 = 0) =𝑄𝑑𝐷

𝑄𝑑 (𝜌𝑑 + 𝐷)(99)

A condição de contorno referente ao reciclo mostrada na equação acima introduz umagrande instabilidade no modelo, haja vista que o valor estacionário de 𝑄𝑐 é utilizado, oque implica sob o viés numérico em abruptos aumentos no valor de entrada de 𝑤. Assim, éproducente estabelecer a condição de que o termo 𝑄𝑐 na Equação (98) - correspondente àvazão volumétrica de saída da fase contínua - apresente uma dinâmica temporal conformepode ser visto na Equação (100).

𝑄𝑐(𝑡) = Λ𝑞𝑐 [1− 𝑒𝑥𝑝 (𝑡𝒯 )] (100)

Assim, a condição de contorno acima pode ser reescrita conforme pode ser visto na Equa-ção (101), aonde o termo 𝑄𝑐(𝑡) representa o comportamento dinâmico da vazão do reci-clo.

𝑤(𝑡 > 0, 𝑧 = 0) =𝑄𝑑𝐷 + 𝑄𝑐(𝑡)𝑦(𝑡,𝑧 = 0)

𝑄𝑑 (𝜌𝑑 + 𝐷) + 𝑄𝑐(𝑡) (𝜌𝑐 + 𝑦(𝑡,𝑧 = 0))(101)

Ausência de fluxo da fase contínua: A corrente de saída do equipamento oriunda da região 2

é constituída apenas da fase dispersa. Em termos matemáticos tal característica pode sertraduzida como uma condição de gradiente nulo: O𝑦(𝑡,𝑧 = 𝐻) = 0.



3.1.5 Adimensionalização do modelo

Conforme descrevem Pinto & Lage (2001), é conveniente na modelagem de processos a re-definição das variáveis do problema de forma a torná-las adimensionais, evitando assim proble-mas de interpretação oriundos do uso de sistemas diferentes de unidades e permintindo agruparos parâmetros diferentes do problema em um conjunto menor de grupamentos paramétricos.Estendendo a importância já referenciada pelos autores do procedimento de normalização domodelo, essa prática permite que a modelagem seja desenvolvida em torno dos chamados nú-

meros admensionais, grandezas referenciadas na literatura como indicadores de determinadascaracterísticas intrínsecas de fenômenos de transporte que concernem o modelo. Como exem-plo, tem-se o número de Reynolds, que expressa o grau de turbulência do escoamento; o númerode Sherwood, que representa a relação entre o transporte de massa convectivo e difusivo, entretantos outros.

A variável temporal pode ser normalizada em relação à 𝜏𝑟, o tempo necessário para queseja atingido o estado estacionário na câmara de decantação, determinado pela Equação (102)(TRAMBOUZE et al., 1984 apud FERNANDES JR, 2002). Assim, o tempo adimensionalizadopassa a ser representado pela grandeza 𝜏 , conforme pode ser visto pela Equação (103).

𝜏𝑟 = 7𝐻𝑜

𝑉𝑑

(102)

𝜏 = 𝑡𝑉𝑑

7𝐻𝑜

(103)

A variável espacial pode ser normalizada em relação à altura do leito orgânico 𝐻𝑜. Assim,a grandeza altura adimensionalizada passa a ser representada pelo termo 𝜆, conforme pode servisto na Equação (104).

𝜆 =𝑧

𝐻𝑜

(104)

Com o objetivo algébrico, números relacionais podem ser estabelecidos entre as velocidadessuperficiais, as densidades e as frações volumétricas das fases contínua e dispersa, conformepode ser visto nas Equações (105) a (107).

𝜌 =𝜌𝑐𝜌𝑑

(105)

𝑉 =𝑉𝑐

𝑉𝑑

(106)



𝜑 =𝜑

1− 𝜑(107)

Assim, as Equações (89) e (90) podem ser adimensionalizadas, e quando acrescidas das con-siderações expressas na Seção 3.1.2, as equações de transporte do modelo AMMADA resultamem:

𝜕𝑤(𝜏,𝜆)

𝜕𝜏= 7

𝜕𝑤(𝜏,𝜆)

𝜕𝜆− 42

𝑘𝑑𝐻𝑜

𝜌𝑑 𝐷𝐷𝑉𝑑

[𝑤(𝜏,𝜆)− 𝑦(𝜏,𝜆)

𝑚

](108)

𝜕𝑦(𝜏,𝜆)

𝜕𝜏= −7𝑉 𝜕𝑦(𝜏,𝜆)

𝜕𝜆+ 42

𝑘𝑑𝐻𝑜𝜌𝜌𝑑 𝐷𝐷𝑉𝑑

𝜑 [𝑤(𝜏,𝜆)− 𝑦(𝜏,𝜆)

𝑚

](109)

A expressão presente no termo fonte das Equações (108) e (109) corresponde à relaçãoentre os números de Sherwood para a transferência de massa do extratante contaminado da fasedispersa no leito orgânico (𝒮h𝐿𝑑 ) e o número de Peclét calculado para a gota transportadora(𝒫e

𝐺𝑑 ). Esta relação pode ser obtida conforme mostra a Equação (110).

42

(𝑘𝑑

𝜌𝑑 𝐷𝐻𝑜

𝑉𝑑

)= 42

(𝑘𝑑𝐻𝑜

𝜌𝑑D𝑑

)(D𝑑𝐷𝑉𝑑

)= 42

𝒮h𝐿𝑑𝒫e

𝐺𝑑

(110)

Desta maneira, as equações de transporte do modelo tornam-se:

𝜕𝑤(𝜏,𝜆)

𝜕𝜏= 7

𝜕𝑤(𝜏,𝜆)

𝜕𝜆− 42

𝒮h𝐿𝑑

𝒫e𝐺𝑑


𝑚

](111)

𝜕𝑦(𝜏,𝜆)

𝜕𝜏= −7𝑉 𝜕𝑦(𝜏,𝜆)

𝜕𝜆+

42𝜑𝜌 𝒮h𝐿𝑑

𝒫e𝐺𝑑


𝑚

](112)

O grupo adimensional 𝒮h𝒫e

é referenciado como o número de Stanton mássico 𝒮t𝑀 (BROD-KEY; HERSHEY, 1988), no entanto no desenvolvimento deste trabalho optou-se por adotar aforma não aglutinada, uma vez que a relação entre dois importantes grupos admensionais parao estudo do escoamento de fluidos e transporte de massa pode ser analisada diretamente.

3.1.6 Forma final do modelo

Após o estabelecimento das condições iniciais e de contorno para o modelo AMADDA, suaforma final já adimensionalizada pode ser repesentada pelas Equações (113) a (119).



Equações governantes:

𝜕𝑤(𝜏,𝜆)

𝜕𝜏= 7

𝜕𝑤(𝜏,𝜆)

𝜕𝜆− 42

𝒮h𝐿𝑑

𝒫e𝐺𝑑


𝑚

](113)

𝜕𝑦(𝜏,𝜆)

𝜕𝜏= −7𝑉 𝜕𝑦(𝜏,𝜆)

𝜕𝜆+


𝒫e𝐺𝑑


𝑚

](114)

Condições iniciais:𝑤(𝜏 = 0,∀𝜆) = 0 (115)

𝑦(𝜏 = 0,∀𝜆) = 0 (116)

Condições de contorno:

𝑤(𝜏 = 0, 𝜆 = 0) =𝑄𝑑𝐷

𝑄𝑑 (𝜌𝑑 + 𝐷)(117)

𝑤(𝜏 > 0, 𝜆 = 0) =𝑄𝑑𝐷 + 𝑄𝑐(𝜏)𝑦(𝜏,𝜆 = 0)

𝑄𝑑 (𝜌𝑑 + 𝐷) + 𝑄𝑐(𝜏) (𝜌𝑐 + 𝑦(𝜏,𝜆 = 0))(118)

O𝑦(∀𝜏, 𝜆 = 1) = 0 (119)

Uma importante análise acerca dos termos fonte das Equações (113) e (114) pode ser rea-lizada, uma vez que dois importantes grupos admensionais estão nele relacionados: 𝒮h e 𝒫e.Quanto ao primeiro, Brodkey & Hershey (1988) o conceitua em sua obra como a relação entre“transferência de massa total e a molecular”; Em relação ao segundo, o mesmo autor o descrevecomo a relação entre “transferência de massa convectiva e a total”. Levando em consideraçãoque no modelo AMADDA 𝒮h é oriundo do processo de transferência no leito e 𝒫e é conse-quente daqueles que ocorrem na gota transportadora, é razoável afirmar que o termo fonte dasreferidas equações relaciona a transferência de massa total do processo com aquela oriunda daconvecção de material.

O diâmetro médio de Sauter das gotas transportadoras 𝑑 pode ser calculado utilizando-se aEquação (120), função dos grupos admensionais de Webber e Eötvos calculados para o orifíciodo prato perfurado, respectivamente𝒲e

′ e ℰo ′ , estes por sua vez determinados pelas Equações(122) e (121).

𝑑 = 1,59𝑑𝑜

(ℰo ′−0,28

)(𝒲e

′−0,07)

(120)

ℰo ′ =𝑔∆𝜌𝑑𝑜

2

𝜎(121)



𝒲e′ =

𝑑𝑜∆𝜌𝑈𝑑2

𝜎(122)

3.2 Método numérico

Conforme mostrado nas seções anteriores, existe um forte acoplamento entre as equaçõesgovernantes do modelo AMADDA, o que torna a simulação do sistema uma tarefa não trivial.Assim, a escolha do método para a resolução das suas EDPs deve ser muito cuidadosa. Destamaneira, uma vez que as equações governantes do modelo apresentadas na Seção 3.1.5 temcomo variáveis dependentes 𝜏 e 𝜆, a utilização do método das linhas na resolução da equaçãodiferencial é a escolha consequente, e portanto o sistema deve ser semidiscretizado utilizando oMDF.

Na Seção 3.2.2 o balanço de informação do modelo AMADDA foi realizado, em termosdos seus graus de liberdade. Posteriormente, detalhes acerca das características da simulaçãodinâmica do modelo e da estimação de parâmetros realizada para a determinação dos parâmetrosexperimentais de interesse são contemplados nas Seções 3.2.3 e 3.2.4, respectivamente.

3.2.1 Semidiscretização em diferenças finitas

Conforme descrito na Seção 2.4.3.2, os operadores diferenciais espaciais devem ser discre-tizados, mantendo os de natureza temporal. Desta maneira, o modelo semidiscretizado podeser visualizado nas Equações (123) a (131), para 𝑛 seções compondo o domínio espacialmentediscretizado.

3.2.1.1 Sistema de EDOs

O processo de semidiscretização das equações governantes e condições de contorno geraum sistema de EDOs, conforme pode ser visto abaixo.

Para 𝑖 = 1 :𝑤1(𝜏) =

𝑄𝑑𝐷 + 𝑄𝑐(𝜏)𝑦1(𝜏)

𝑄𝑑 (𝜌𝑑 + 𝐷) + 𝑄𝑐(𝜏) (𝜌𝑐 + 𝑦1(𝜏))(123)

𝑑𝑦1(𝜏)

𝑑𝜏= −7𝑉 O𝜆𝑦1(𝜏) +


𝒫e𝐺𝑑

[𝑤1(𝜏)− 𝑦1(𝜏)

𝑚

](124)

Para 𝑖 = 2,3, ...𝑛− 1 :

𝑑𝑤𝑖(𝜏)

𝑑𝜏= 7O𝜆𝑤𝑖(𝜏)− 42

𝒮h𝐿𝑑

𝒫e𝐺𝑑

[𝑤𝑖(𝜏)− 𝑦𝑖(𝜏)

𝑚

](125)

𝑑𝑦𝑖(𝜏)𝑑𝜏 = −7𝑉 O𝜆𝑦𝑖(𝜏) +42𝜑𝜌 𝒮h𝐿

𝑑

𝒫e𝐺𝑑

[𝑤𝑖(𝜏)− 𝑦𝑖(𝜏)

𝑚

](126)



Para 𝑖 = 𝑛 :𝑑𝑤𝑛(𝜏)

𝑑𝜏= 7O𝜆𝑤𝑛(𝜏)− 42

𝒮h𝐿𝑑

𝒫e𝐺𝑑

[𝑤𝑛(𝜏)− 𝑦𝑛(𝜏)

𝑚

](127)

O𝑦𝑛(𝜏) = 0 (128)

Se o operador diferencial presente na Equação (128) for aproximado por meio de diferen-

ças para trás, o valor de 𝑦𝑛 pode ser prescrito conforme mostra a Equação (129).

O𝜆−𝑦𝑛(𝜏) = 0⇒ 𝑦𝑛(𝜏) = 𝑦𝑛−1(𝜏) (129)

3.2.1.2 Condições iniciais

Para 𝑖 = 1,2,...,𝑛 :𝑤𝑖(𝜏 = 0) = 0 (130)

𝑦𝑖(𝜏 = 0) = 0 (131)

A implementação do modelo foi realizada na linguagem Python, haja vista que é uma lin-guagem de altíssimo nível, permitindo uma fácil revisão do código caso seja necessário. Como intuito de transpor a barreira imposta pela natureza interpretada da linguagem, a bibliotecaNumpy foi utilizada, provendo uma interface de rápido processamento, o elemento ndarray.Por meio da utilização da biblioteca, o operador discretizado O𝜆 pode ser calculado com umaordem arbitrária utilizando a função numpy.gradient(y,k), utilizando um número 𝑘 depontos para a avaliação da função 𝑦′(𝑡, 𝑦) nas 𝑛 seções, utilizando os esquemas de aproximaçãode derivada por diferenças para frente, centrais e para trás, conforme mostra a Figura 3.3.

Na Figura 3.3 pode-se perceber que a função numpy.gradient utiliza a aproximaçãopara o cálculo de O𝜆 do tipo diferenças para frente na seção 1, centrais nas seções de 2 a 𝑛− 1

e para trás na seção 𝑛.

3.2.2 Balanço de informação acerca do modelo AMADDA

Seguindo a metodologia apresentada nas obras de Luyben (1995) e Felder & Rousseau(2004), o balanço de informação ou análise dos graus de liberdade do modelo AMADDA podeser realizada mediante o uso da relação 𝐺𝐿 = 𝑉 − 𝐸.

Uma vez que o domínio seja discretizado em 𝑛𝐻 seções utilizando o princípio da semidis-cretização, o número de variáveis do modelo será 2𝑛𝐻 + 2, haja vista que em sua conceituaçãomatemática original o modelo conta com duas EDP, descrevendo o transporte de 𝑤 e 𝑦.



Figura 3.3: Seções nas quais o domínio de cálculo é discretizado no espaço pela funçãonumpy.gradient, utilizando um esquema de derivação por diferenças para frente (A), paratrás (C) e central (B). A escolha do esquema se dá pela localização da seção da qual se desejaobter a aproximação na malha computacional.

Figura 3.4: Visualização gráfica do domínio semidiscretizado do modelo AMADDA, quanto asvariáveis (lado direito) e as equações (lado esquerdo).



Na figura acima é possível ver que o número de equações diferenciais ordinárias em que asequações de transporte são derivadas será 2𝑛𝐻 . Desta maneira, a análise de graus de liberdadepode ser realizada conforme abaixo.

Número de variáveis 2𝑛𝐻 + 2Número de equações 2𝑛𝐻

Graus de liberdade 2 (𝑤,𝑦)

Desta maneira, o modelo AMADDA apresenta 2 graus de liberdade, um para a variável𝑤 e outro para a variável 𝑦. Deve ser também considerado a necessidade de uma condiçãoinicial para cada equação, portanto somam-se mais 2 graus de liberdade, totalizando 4. Esseresultado vai ao encontro do número de condições de contorno necessárias a serem estabelecidaspara cada uma das equações de transporte do modelo, correspondente à ordem do operadordiferencial de maior ordem (HANGOS; CAMERON, 2007). Como as Equações (108) e (109)apresentam um operador diferencial de primeira ordem para a variável 𝜆

(𝜕𝜕𝜆

)e outro para a

variável 𝜏(

𝜕𝜕𝜆

), há duas condições - e portanto dois graus de liberdade - a serem determinados

para cada equação, uma condição de contorno e uma condição inicial.

3.2.3 Simulação dinâmica

A simulação dinâmica do problema foi realizada, com o intuito de descrever o transporte dafração mássica de solvente entre as fases dispersa e contínua. Partindo do sistema semidiscre-tizado descrito na seção anterior, é necessário utilizar uma rotina de integração numérica paraobter a solução para o problema.

Para assegurar a estabilidade da resposta ainda que com um incremento de tempo 𝛿𝑡 relati-vamente alto, o esquema de Lax foi utilizado (PRESS et al., 2007), o qual pode ser visualizadomatematicamente na Equação (132).

𝑦𝑖,𝑡 =1

2(𝑦𝑖−1,𝑡 + 𝑦𝑖+1,𝑡) (132)

A integração numérica foi realizada utilizando o método de Adams-Bashfort-Moulton de 4ªordem acrescido do esquema de Lax, inicializado com uma rotina de Runge-Kutta de 4ª ordem.O procedimento de cálculo pode ser visualizado no Algoritmo 2, apresentado no apêndice B.

Conforme descrito na Seção 3.1.4, o modelo adimensionalizado utiliza como variável tem-poral uma unidade de tempo 𝜏 , correspondente ao tempo necessário para que o sistema atinja oestado estacionário. De acordo com a metodologia estabelecida pelos trabalhos anteriores como MDIF, após essa condição ser atingida os dados de eficiência de separação podem ser inferi-



dos. Desta maneira, a integração das equações governantes do modelo AMADDA foi realizadano intervalo de 𝜏 de 0 até 1, sendo então a eficiência de separação calculada pela Equação (133).

𝐸(%) = 100%

(1− 𝑤𝜏=0

𝜆=1

𝑤𝜏=1𝜆=1

)(133)

3.2.4 Estimação de parâmetros

Os parâmetros de interesse do modelo AMADDA foram determinados através do proce-dimento de estimação de parâmetros, seguindo a metodologia descrita por Schwaab & Pinto(2007):

1. Estabelecimento de um modelo de referência

2. Determinação da métrica ou função objetivo a ser utilizada

3. Variação dos valores dos parâmetros com o consequente cálculo da função objetivo, pormeio de algum tipo de rotina de otimização

A função objetivo escolhida foi a de mínimos quadrados (também referenciada como somaquadrática dos desvios), a qual pode ser visualizada matematicamente na Equação (134).

𝐹𝑜𝑏𝑗 =

∑𝑁𝑖=1 (𝑦𝑖 − 𝑦𝑖)2

𝑁(134)

No procedimento de estimação de parâmetros a estimativa inicial é crucial para que se-jam obtidos valores significativos próximos ao ponto de mínimo global da função, ao invés deapenas algum ponto de mínimo local. No processo de otimização dos parâmetros do modeloAMADDA foram utilizadas correlações apresentadas na literatura para fornecer uma estimativainicial.

A escolha da rotina de otimização é uma etapa muito importante na estimação de parâme-tros, haja vista que em virtude de um comportamento complexo que os modelos podem apre-sentar, a existência de múltiplos mínimos locais da função objetivo, etc. (SCHWAAB; PINTO,2007). Para garantir que o otimizador se aproxima tanto quanto possível do mínimo global dafunção objetivo, foi utilizada a rotina de Basin-Hopping (WALES; DOYE, 1997) disponível nabiblioteca Scipy na função scipy.optimize.basinhopping. Esta função apresenta umanatureza estocástica, gerando uma busca aleatória entre os parâmetros a serem estimados, comuma minimização local mediante a utilização de uma segunda rotina de minimização. Assimocorre uma consequente busca pelo mínimo global da função. Como algoritmo de minimiza-



ção local foi escolhido o método simplex de Nelder-Mead (MUGELE; MEAD, 1965), tambémdisponibilizado na biblioteca Scipy na função scipy.optimize.fmin.

Foram realizadas estimações inidividuais para cada ensaio dentro dos dados referentes acada grupo experimental, determinando assim valores de 𝑘𝑑, 𝑚 e 𝒯 para cada um. A expressãomatemática para a determinação da fração 𝒮h

𝒫ejá foi demonstrada implicitamente na Equação

(110), e pode ser visualizada de maneira explícita na Equação (135).

𝒮h𝒫e

=

(𝑘𝑐𝐻𝑜

𝜌𝑑D𝑑

)(D𝑑

𝑉𝑑𝑑)

=𝑘𝑑𝐻𝑜

𝜌𝑑𝑉𝑑𝑑 (135)

Na equação acima o parâmetro referente ao diâmetro médio de Sauter da gota transportadora𝑑 não precisa ser determinado por estimação, haja vista que pode ser determinado mediante autilização da Equação (120).

Na determinação de uma estimativa inicial para 𝑘𝑑 foi utilizada a correlação apresentadano trabalho de (WEINSTEIN et al., 1997, p. 329), que relaciona o valor do coeficiente detransferência de massa por unidade de área com a velocidade de escorregamento entre as fases𝑉𝑠. Tal correlação pode ser visualizada na Equação (136).

𝑘𝑑 = 0,83

√𝑉𝑠D𝑑

𝐷𝑐

(136)

A velocidade de escorregamento entre as fases pode ser calculada pela Equação (137) (KU-MAR; HARTLAND, 1999, p. 376).

𝑉𝑠 =𝑉𝑑

𝜑+

𝑉𝑐

(1− 𝜑)(137)

O termo D𝑑 , presente na Equação (136), representa o coeficiente de difusão molecular dosolvente contaminado presente na fase dispersa para a fase contínua, e pode ser calculado poruma relação apresentada na obra de (CREMASCO, 2002, p. 22) que pode ser vista na Equação(138).

D𝐴𝐵 = 9,89𝑇 × 10−8𝜇−0,907𝐵

(v𝐵v𝐴

)(138)

Na equação acima o termo 𝐴 apresenta uma espécie qualquer, difundindo-se através de ummeio orgânico constituído pela espécie 𝐵, e o termo v representa o volume molar. A viscosidade𝜇 na equação anterior tem como unidade o centipoise (cp).



Na falta de valores da literatura para uma estimativa inicial do coeficiente de distribuição𝑚, uma larga faixa de valores foi utilizada como estimativa inicial na estimação.

3.3 Metodologia utilizada na simulação

Foram realizadas três rodadas de simulação do modelo AMADDA, com os dados de en-trada referentes aqueles apresentados nos trabalhos de referência. Todas as simulações foramrealizadas utilizando o interpretador python (versão 2.7.6) no sistema operacional Linux de 64bits em modo serial em um sistema com um processador de 3 𝐺𝐻𝑧 de 5 núcleos 6 𝐺𝑏 de RAM,utilizando as versões mais novas das bibliotecas Scipy (0.12) e Numpy (1.7). Todas as rotinasde cálculo numérico foram implementadas utilizando a dupla precisão provida pela bibliotecaNumpy, referenciada como numpy.float64.

Nas Tabelas 3.1 a 3.3 as condições utilizadas na simulação do modelo AMADDA para astrês rodadas de simulação encontram-se resumidas.

Tabela 3.1: Condições utilizadas na simulação do modelo AMADDA para o primeiro grupoexperimental

Trabalho de referência Fernandes Jr (2002)Passo de tempo do integrador (𝜏) 5× 10−3

Número de seções de discretização (𝜆) 100Integrador utilizado Adam-Bashfort-Moulton corrigido por Lax

Intervalo de integração 𝜏 ∈ [0,1]Tamanho do domínio 𝜆 ∈ [0,1]Estimador utilizado Basin-Hopping

Tempo para estimação 7:14hFunção objetivo utilizada Soma Quadrática dos Desvios [Equação (134) ]

Tabela 3.2: Condições utilizadas na simulação do modelo AMADDA para o segundo grupoexperimental

Trabalho de referência Fernandes Jr (2006)Passo de tempo do integrador (𝜏) 5× 10−3






Tabela 3.3: Condições utilizadas na simulação do modelo AMADDA para o terceiro grupoexperimental

Trabalho de referência Medeiros (2008)Passo de tempo do integrador (𝜏) 5× 10−3





CAPÍTULO 4: RESULTADOS EDISCUSSÃO

Sejam quais forem os resultados

com êxito ou não, o importante é

que no final cada um possa

dizer: "fiz o que pude".

Louis Pasteur

Capítulo 4. Resultados e discussão

4 Resultados e discussão

No presente capítulo serão apresentados os resultados obtidos com o modelo, sendo entãoanalisados sob o viés da validação estatística frente aos dados experimentais obtidos em traba-lhos anteriores, dados estes que podem ser vistos no Apêndice A. Neste mesmo apêndice osdados de operação e caracterização físico-química do sistema de extração podem ser visualiza-dos, para cada um dos trabalhos de referência.

4.1 Resultados da simulação dinâmica do modelo

4.1.1 Comparativo entre os resultados calculados e experimentais

A simulação dinâmica do modelo AMADDA para as condições descritas pelos dados apre-sentados nos trabalhos de referência podem ser vistos abaixo, sumarizados nas Tabelas 4.1 a4.3, aonde o quadrado dos desvios entre os valores experimentais e aqueles calculados pelomodelo para cada ensaio podem ser visualizados, bem como os parâmetros estimados para cadaensaio.

Tabela 4.1: Comparativo entre os resultados de eficiência de separação experimentais e os obti-dos com o modelo AMADDA, no trabalho de Fernandes Jr (2002)

Ensaio 𝐸(%) 𝐸*(%) (𝐸 − 𝐸*)2 𝑘𝑑 𝑚 𝒯1 55,0 55,001 1,062E-10 6,11 1,35 -10,612 70,9 70,901 2,627E-11 9,76 2,96 -10,373 72,1 72,100 1,560E-11 8,10 1,98 -7,864 91,5 91,499 3,0187E-12 16,52 3,79 -10,615 76,6 76,599 4,250E-14 13,45 1,35 -10,396 75,6 75,599 1,802E-11 12,90 3,18 -9,747 80,4 80,400 1,268E-11 14,38 2,73 -10,308 84,3 84,300 2,472E-12 15,98 2,15 -9,529 84,0 83,999 1,312E-12 16,03 1,62 -9,6210 61,5 61,5 2,778E-11 9,96 2,89 -10,3411 76,4 76,399 4,573E-13 13,40 1,33 -10,4412 82,9 82,899 1,774E-12 13,30 1,35 -10,3913 74,3 74,299 1,458E-11 14,44 2,91 -9,5114 63,3 63,299 1,076E-11 10,30 2,23 -10,5715 68,1 68,100 2,724E-12 11,36 1,25 -10,3516 76,8 76,799 1,490E-12 17,84 2,06 -10,69



Tabela 4.2: Comparativo entre os resultados de eficiência de separação experimentais e os obti-dos com o modelo AMADDA, no trabalho de Fernandes Jr (2006)

Ensaio 𝐸(%) 𝐸*(%) (𝐸 − 𝐸*)2 𝑘𝑑 𝑚 𝒯1 28,43 28,427 5,517E-10 0,76 5,03 -50,032 68,21 68,211 1,763E-10 2,00 5,88 -50,553 46,96 46,953 5,297E-09 1,00 4,87 -50,014 71,25 71,248 3,009E-10 2,12 6,29 -49,925 28,03 28,038 6,457E-09 0,75 5,03 -50,046 66,87 66,872 6,017E-10 1,96 5,83 -50,497 46,71 46,703 5,477E-09 0,99 4,84 -50,128 80,95 80,951 1,458E-10 2,61 5,72 -50,079 19,92 19,928 6,520E-09 0,56 5,02 -50,00

10 74,53 74,531 3,747E-10 2,49 6,03 -49,9811 63,32 63,321 2,394E-10 1,57 6,39 -50,3712 59,69 59,695 2,497E-09 1,48 5,53 -48,7513 49,9 49,905 2,280E-09 1,26 5,96 -50,0014 54,72 54,719 5,026E-11 1,36 6,14 -50,0015 56,06 56,056 1,931E-09 1,39 6,14 -49,9716 61,84 61,836 1,805E-09 1,53 6,36 -50,4017 67,29 67,286 1,481E-09 1,68 6,35 -50,4618 58,49 58,487 7,093E-10 1,45 6,17 -49,9919 68,78 68,777 6,461E-10 1,73 6,37 -50,4720 68,9 68,903 1,224E-09 1,73 6,37 -50,45

Tabela 4.3: Comparativo entre os resultados de eficiência de separação experimentais e os obti-dos com o modelo AMADDA, no trabalho de Medeiros (2008)

Ensaio 𝐸(%) 𝐸*(%) (𝐸 − 𝐸*)2 𝑘𝑑 𝑚 𝒯1 75,3 75,298 3,133E-10 3,48 6,69 -10,732 95,5 95,499 1,106E-12 6,66 6,72 -9,983 95,9 95,899 5,470E-12 4,27 6,43 -10,134 89,6 89,599 4,401E-11 3,93 6,51 -8,075 93,7 93,699 9,537E-12 7,26 6,38 -10,346 97,0 97,0001 2,203E-12 5,94 6,31 -9,457 97,5 97,50008 5,758E-13 9,68 6,99 -10,098 95,8 95,8001 2,188E-12 6,80 6,76 -8,909 95,3 95,299 5,258E-12 6,56 6,85 -8,8610 90,8 90,8004 1,8916E-11 6,36 6,95 -10,3511 77,6 77,598 2,426E-10 2,85 5,80 -10,2712 95,9 95,899 9,886E-13 6,86 6,68 -9,5613 94,4 94,399 2,651E-12 8,44 6,41 -8,7514 96,7 96,699 2,313E-12 8,88 6,89 -8,2115 97,7 97,700 1,043E-12 6,45 6,64 -9,9316 94,9 94,899 4,6218E-12 6,40 6,80 -10,2617 95,0 95,0003 8,502E-12 6,43 7,04 -9,0618 96,5 96,499 1,905E-12 7,22 6,58 -8,5319 96,1 96,1002 5,514E-12 6,92 7,54 -10,4420 95,2 95,20034 9,076E-12 6,51 7,10 -9,07



4.1.2 Gráficos evolutivos

Com o intuito de fornecer uma visualização gráfica do perfil de concentração do contami-nante contido na fase dispersa e contínua em termos de sua fração mássica (𝑤 e 𝑦) ao longo dacoluna no instante em que o estado estacionário é atingido (𝜏 = 1), os mesmos foram cons-truídos por meio da biblioteca matplotlib para as configurações operacionais de alta, média ebaixa vazão total de alimentação do equipamento, conforme as Figuras 4.1 a 4.9. Os ensaioscorrespondentes a tais configurações escolhidos à partir de cada um dos trabalhos de referênciapodem ser vistos na Tabela 4.4.

Tabela 4.4: Ensaios correspondentes às configurações operacionais de alta, média e baixa vazãoescolhidos para os trabalhos de referência.

Trabalho Grupo exprimental Alta vazão Média vazão Baixa vazãoFernandes Jr (2002) 1º 13 1 12Fernandes Jr (2006) 2º 10 1 9

Medeiros (2008) 3º 13 1 3

Figura 4.1: Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número 13 doprimeiro grupo experimental (alta vazão)



Figura 4.2: Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número 1 doprimeiro grupo experimental (média vazão)



Figura 4.3: Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número 12 doprimeiro grupo experimental (baixa vazão)



Figura 4.4: Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número 10 dosegundo grupo experimental (alta vazão)



Figura 4.5: Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número 1 dosegundo grupo experimental (média vazão)



Figura 4.6: Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número 9 dosegundo grupo experimental (baixa vazão)



Figura 4.7: Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número 13 doterceiro grupo experimental (alta vazão)



Figura 4.8: Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número 1 doterceiro grupo experimental (média vazão)



Figura 4.9: Gráfico evolutivo da resposta do modelo AMADDA para o ensaio de número 3 doterceiro grupo experimental (baixa vazão)



4.2 Análise estatística dos resultados

4.2.1 Validação do modelo

De acordo com (HANGOS; CAMERON, 2007, p. 300), uma das maneiras de validar ummodelo enquanto entidade virtual é comparar as respostas obtidas com aquelas correspondentesao sistema real. A validação dos resultados obtidos foi realizada por meio da utilização deum teste de comparação de distribuições, sendo entretanto determinado se as distribuições deresultados calculados e experimentais seguiam uma distribuição normal. Em caso positivo,um teste t de Student para duas distribuições independentes pode ser realizada; Do contrário,seu equivalente não-paramétrico é utilizado, o teste de Kruskal-Wallis (KRUSKAL; WALLIS,1952). Para testar a hipótese estatística de que os dados experimentais e aqueles calculadospelo modelo obedeciam à distribuição normal, o teste de Shapiro-Wilk foi utilizado (SHAPIRO;WILK, 1965), disponibilizado na biblioteca Scipy na função scipy.stats.shapiro. Osresultados dos testes realizados podem ser vistos na Tabela 4.5.

Tabela 4.5: Valor do teste de Shapiro-Wilk para os resultados experimentais e calculados paraos trabalhos de referência, a um nível de significância de 1%

Trabalho p-valor𝐸 𝐸*

Fernandes Jr (2002) 0,9364 0,9364Fernandes Jr (2006) 0,062 0,9093

Medeiros (2008) 5,08× 10−6 5,008× 10−6

Conforme pode ser visto na tabela acima, para um nível de significância de 1% apenas osdados oriundos do trabalho de Medeiros (2008) devem ser avaliados com o teste de Kruskal-Wallis, uma vez que NÃO podem ser considerados oriundos de uma distribuição normal. Taltarefa foi realizada por meio da função scipy.stats.kruskal. Os dados referentes à Fer-nandes Jr (2002) e Fernandes Jr (2006) foram avaliados mediante a utilização do teste de t deStudent, utilizando a função scipy.stats.ttest_ind. Os resultados dos testes realiza-dos podem ser vistos na Tabela 4.6.

Tabela 4.6: Resultados dos testes para a hipótese de distribuições semelhantes para os resultadosexperimentais e calculados referentes aos trabalhos de referência, a um nível de significânciade 1%

Trabalho p-valorFernandes Jr (2002) 0,9999Fernandes Jr (2006) 0,9999

Medeiros (2008) 0,9353

4.2.2 Correlação entre as variáveis operacionais e os parâmetros estimados

Nas Tabelas 4.7 a 4.9 podem ser vistas as matrizes de correlação das variáveis operacionaispara os dados experimentais e os parâmetros estimados. O coeficiente de correlação foi cal-



culado por meio da função numpy.corrcoef, disponível na biblioteca Numpy, utilizando adefinição matemática presente na Equação (139).

𝑅𝑖,𝑗 =𝑐𝑜𝑣𝑖𝑗√

𝑐𝑜𝑣𝑖𝑖𝑐𝑜𝑣𝑗𝑗(139)

Na equação acima os termos 𝑖 e 𝑗 representam variáveis genéricas, e 𝑐𝑜𝑣 a covariância.

Tabela 4.7: Coeficientes de correlação entre as variáveis operacionais e os parâmetros estima-dos, calculados com os dados experimentais presentes no trabalho de Fernandes Jr (2002)

𝐻𝑜 𝒯𝑂𝐴 𝑄𝑇 𝑘𝑑 𝑚 𝒯 𝐸*

𝐻𝑜 1,0 -0,18 0,189 -0,58 0,151 0,254 -0,14𝒯𝑂𝐴 -0,18 1,0 0,345 0,586 0,165 -0,39 0,537𝑄𝑇 0,189 0,345 1,0 0,228 0,639 -0,07 0,194𝑘𝑑 -0,58 0,586 0,228 1,0 0,261 -0,15 0,827𝑚 0,151 0,165 0,639 0,261 1,0 0,050 0,293𝒯 0,254 -0,39 -0,07 -0,15 0,050 1,0 0,108𝐸* -0,14 0,537 0,194 0,827 0,293 0,108 1,0

Tabela 4.8: Coeficientes de correlação entre as variáveis operacionais e os parâmetros estima-dos, calculados com os dados experimentais presentes no trabalho de Fernandes Jr (2006)


𝐻𝑜 - - - - - - -𝒯𝑂𝐴 - 1,0 0,0 0,121 -0,05 0,604 0,204𝑄𝑇 - 0,0 1,0 0,947 0,624 -0,12 0,871𝑘𝑑 - 0,121 0,947 1,0 0,613 -0,17 0,939𝑚 - -0,05 0,624 0,613 1,0 -0,32 0,725𝒯 - 0,604 -0,12 -0,17 -0,32 1,0 -0,20𝐸* - 0,204 0,871 0,939 0,725 -0,20 1,0

Tabela 4.9: Coeficientes de correlação entre as variáveis operacionais e os parâmetros estima-dos, calculados com os dados experimentais presentes no trabalho de Medeiros (2008)


𝐻𝑜 - - - - - - -𝒯𝑂𝐴 - 1,0 3,619× 10−21 -0,02 -0,07 0,096 -0,08𝑄𝑇 - 3,619× 10−21 1,0 0,728 0,329 0,082 0,144𝑘𝑑 - -0,02 0,728 1,0 0,465 0,258 0,721𝑚 - -0,07 0,329 0,465 1,0 -0,002 0,414𝒯 - 0,096 0,082 0,257 -0,002 1,0 0,345𝐸* - -0,08 0,144 0,721 0,414 0,345 1,0



4.2.3 Análise de sensibilidade do modelo

Uma análise de sensibilidade para o modelo AMADDA foi realizada com o intuito de hierar-quizar a importância dos parâmetros estimados para o modelo frente à eficiência de separaçãocalculada. Para tanto a influência no aumento e redução em 10% de cada um dos parâmetros foianalizada utilizando a Equação (140), sendo representada respectivamente pelos termos 𝑆(+) e𝑆(−).

𝑆(%) = 100%× 𝐸(𝒫*)− 𝐸(𝒫)

𝐸(𝒫)(140)

Na equação acima,o termo 𝑆 representa a sensibilidade do modelo, 𝒫 o conjunto original deparâmetros e 𝒫* aquele contendo o parâmetro a partir do qual deseja-se estabelecer a relação desensibilidade modificado. Nas Tabelas 4.10 a 4.12 os resultados da análise de sensibilidade parao modelo AMADDA podem ser visualizados para cada um dos grupos de resultados experimen-tais, sempre utilizando os dados de operação dos ensaios correspondentes ao cenário de médiavazão total de alimentação (Tabela 4.4). Os resultados indicados com > 0,0% representam umresultado inferior a precisão de cálculo computacional.

Tabela 4.10: Análise de sensibilidade realizada para o modelo AMADDA, utilizando os dadosde operação referentes ao trabalho de Fernandes Jr (2002)

Parâmetro 𝑆(−) 𝑆(+)𝑘𝑑 -8,18% 6,77%𝑚 -0,11% 0,1%𝒯 >0,0% >0,0%

Tabela 4.11: Análise de sensibilidade realizada para o modelo AMADDA, utilizando os dadosde operação referentes ao trabalho de Fernandes Jr (2006)


Tabela 4.12: Análise de sensibilidade realizada para o modelo AMADDA, utilizando os dadosde operação referentes ao trabalho de Medeiros (2008)




4.3 Síntese dos resultados

4.3.1 Validação do modelo

A partir do modelo determinístico diferencial desenvolvido, foi possível descrever satisfato-riamente a eficiência de separação do MDIF frente aos dados experimentais. Embora o modelotenha sido concecibido com um natureza simplificada, aonde a transferência de massa deve-seapenas à efeitos convectivos, os resultados apresentados na Tabela 4.6 mostram que todos osresultados calculados forma validados estatisticamente frente aos dados experimentais corres-pondentes, a um criterioso nível de significância de 1%.

4.3.2 Análise de sensibilidade

Conforme pode ser visto na análise de sensibilidade para o modelo realizada na Seção 4.2.2,o coeficiente de transferência de massa 𝑘𝑑 mostrou-se o parâmetro mais significativo para a res-posta do modelo, seguido pelo coeficiente de distribuição 𝑚, ambos com efeito diretamenteproporcional na eficiência de separação calculada. Esse comportamento vai ao encontro doque era esperado, haja vista que um maior coeficiente de transferência implica em um maiortransporte do contaminante da fase dispersa para a fase contínua, o que repercute em um au-mento na eficiência; Da mesma forma um maior valor do coeficiente de distribuição acentua amiscibilidade preferencial do soluto na fase orgânica, o que também provoca um aumento naeficiência.

Ainda sob o viés da análise de sensibilidade, o parâmetro de recirculação 𝒯 não exibiuqualquer influência nos resultados calculados com o modelo, seja ela positiva ou negativa. Umavez que a eficiência de separação é calculada pelo modelo quando o estado estacionário teórico éatingido (𝜏 = 1), é coerente cogitar que não importa o valor de 𝒯 , uma vez que invariavelmenteserá atingida a vazão de reciclo estacionária 𝑄𝑐 quando 𝜏 = 1.

Uma analogia pode ser feita com uma situação em que dois veículos, um caminhão baú eum carro de fórmula 1, partem do repouso repletos de passageiros, e limitados a uma mesmavelocidade máxima, devem permitir a saída de um ocupante a cada kilômetro percorrido. As-sim, espera-se que ao fim da jornada apenas o motorista esteja presente em ambos os veícu-los,entetanto inegavelmente o carro de fórmula 1 ficou isento de passageiros antes do caminhãobaú. Seja feita a analogia entre o número de passageiros e a eficiência de separação, essa ale-goria explica o motivo da ausência de influência perceptível de 𝒯 na eficiência de separaçãocalculada pelo modelo AMADDA.

4.3.3 Correlação entre os parâmetros estimados e as variáveis experimentais

Os resultados obtidos com a estimação de parâmetros mostraram que o primeiro grupo expe-rimental, referente aos dados de Fernandes Jr (2002), exibiu valores do coeficiente de distribui-



ção 𝑚 aproximadamente entre 1,3 e 3; Já no que concerne os outros dois grupos experimentais,referentes aos trabalhos de Fernandes Jr (2006) e Medeiros (2008), os valores obtidos situam-seaproximadamente entre 5 e 7. Essa diferença é justificada pela diferente natureza dos siste-mas de extração estudados: água de produção e aguarrás (para o primeiro grupo) e água de

produção e querosene de aviação (para os outros dois grupos).

No que concerne o coeficiente de transferência de massa 𝑘𝑑, esse parâmetro mostrou-semais sensível à vazão total do sistema 𝑄𝑇 nos resultados referentes ao segundo e terceiro grupoexperimental, conforme pode ser visto através da análise dos coeficientes de correlação mos-trada nas Tabelas 4.7 a 4.9. Quanto ao primeiro grupo experimental, o parâmetro mostrou-semais sensível ao teor orgânico-água de alimentação 𝒯𝑂𝐴, da mesma forma que à altura do leitoorgânico 𝐻𝑜. A influência destes dois parâmetros pode ser justificada quando analisa-se a consi-deração realizada na etapa referente à concepção do modelo: Uma vez que toda a transferênciade massa está aglutinada no termo 𝑘𝑑, é evidente que quão mais ricas em solvente estiveremas gotas transportadoras ao entrarem no leito orgânico (portanto, maior 𝒯𝑂𝐴), será necessáriauma maior taxa de transferência de massa para remover o contaminante da fase aquosa. Damesma forma, quão menor o leito orgânico (portanto, menor o valor de 𝐻𝑜) menor é o tempopara que ocorra a transferência de massa, e portanto o valor de 𝑘𝑑 deve aumentar. Este compor-tamento pode exemplificado ao realizar uma comparação entre os valores de 𝑘𝑑 estimados paraos ensaios de números 5, 11 e 16 da Tabela 4.1.

Quanto ao parâmetro de recirculação 𝒯 , os resultados mostrados nas Tabelas 4.1 a 4.3 vãoao encontro do que foi analisado através das tabelas de correlação: a ausência de uma influênciapor parte das variáveis operacionais no valor do parâmetro. Apesar de alguma oscilação, épossível perceber que cada um dos grupos experimentais possu um valor médio de 𝒯 : 10 parao primeiro grupo, com dados referentes ao trabalho de Fernandes Jr (2002); 50 para o segundogrupo, com dados referentes ao trabalho de Fernandes Jr (2006); 10 para o terceiro grupo, comdados referentes ao trabalho de Medeiros (2008). Apesar de o primero e terceiro grupo tratarem-se de sistemas diferentes quanto à natureza dos seus componentes, eles apresentaram o mesmovalor médio para o parâmetro, que diverge sensivelmente daquele determinado para o terceitogrupo. Isso permite inferir que o valor do parâmetro de recirculação 𝒯 está relacionado muitomais intimamente com a geometria do equipamento do que com qualquer uma das variáveisoperacionais analisadas.


CAPÍTULO 5: CONCLUSÕES GERAIS ESUGESTÕES

Nada há como começar para ver como é árduo concluir.

Victor Hugo

Capítulo 5. Conclusões gerais e sugestões

5 Conclusões gerais e sugestões

Tomando por base os assuntos apresentados no presente trabalho, e tendo sido apresentadosos resultados obtidos com o modelo AMADDA no capítulo anterior, pode-se concluir que:

• Foi possível desenvolver um modelo macroscópico determinístico que se valendo de con-siderações simplificadoras, apresentou desempenho satisfatório na descrição eficiênciade separação do MDIF, à despeito da simplicidade adotada na sua concepção. Apesarda natureza estacionária dos dados acerca do funcionamento do MDIF apresentados nostrabalhos já desenvolvidos, o modelo AMADDA conseguiu descrever satisfatoriamente ocomportamento dinâmico do sistema até que o mesmo atingisse o estado estacionário eentão pudessem ser inferidas as medidas de eficiência de separação, conforme descreveFernandes Jr (2002).

• O termo fonte das equações de transporte da fração mássica do solvente contaminado nointerior do leito orgânico agrega fenômenos de escala mesoscópica (da ordem do diâmetrodas gotas transportadoras) e macroscópica (da ordem do tamanho do leito orgânico). Emtermos numéricos, a dispersão axial do escoamento é desprezada.

• De acordo com os resultados apresentados na Tabela 4.5, quanto aos conjuntos de dadosexperimental e calculados com o modelo, apenas aqueles referentes à primeira e segundarodadas experimentais apresentam um comportamento que os enquadrava em uma dis-tribuição normal, de acordo com o teste de Shapiro-Wilk.; No que concerne a terceirarodada, tanto os dados experimentais quanto aqueles obtidos pelo modelo AMADDAnão se enquadraram na distribuição normal. Podem haver diversas razões para o afas-tamento da normalidade por parte dos ensaios, desde a presença de outliers nos dados,amplitude elevada nos dados experimentais, entre outras.

• No Apêndice C podem ser visualizados os histogramas referentes aos dados experimen-tais, aonde é possível observar na Figura C.3 que a distribuição do dados assemelha-se auma distribuição do tipo bimodal. É possível que os dados à esquerda da curva podem re-presentar outliers, contudo essa possível natureza espúria não foi considerada, haja vistaque há uma mudança estrutural significativa ente a configuração do MDIF para os traba-lhos de Fernandes Jr (2002) e Fernandes Jr (2006): O uso de um misturador estático emlinha em substituição à agitação mecânica das configurações anteriores. Tal modificaçãopode justificar uma nova dinâmica de escoamento no interior da câmara de mistura, o quepode estar gerando os dados bimodais.


Capítulo 5. Conclusões gerais e sugestões

• A consideração do emprego de uma lei exponencial para descrever o comportamento tran-siente do reciclo no MDIF mostrou-se bastante acurada na descrição do comportamentodo reciclo existente no equipamento.

• Através da realização de uma análise de sensibilidade do modelo AMADDA, foi pos-sível perceber que o parâmetro 𝑘𝑑 mostrou-se o mais significativo para a determinaçãoda eficiência de separação calculada. Esse resultado vai ao encontro do que é relatadonos trabalhos de Fernandes Jr (2002) e Fernandes Jr (2006): A vazão total de alimenta-ção do equipamento (variável com a qual 𝑘𝑑 está relacionado) relaciona-se de maneiradiretamente proporcional à eficiência de separação.

• A utilização de um método de integração do tipo preditor-corretor por meio do algo-ritmo de Adam-Bashfort-Moulton mostrou-se satifatório na simulação dinâmica do mo-delo AMADDA. A correção proposta por Lax introduzida no modelo aumentou bas-tante sua robustez, permitindo que um passo de tempo relativamente alto fosse utilizado(5× 10−3).

• Como sugestão para trabalhos futuros, é possível utilizar a metodologia 1F na descriçãodo escoamento de uma escoando através de um leito, permitindo que os coeficientes detransferência de massa sejam determinados diretamente à partir dos resultados das simu-lações, utilizando a técnica de CFD. Caso a interface entre as fases contínua e dispersaesteja sujeita tensões oriundas do escoamento e possa deformar-se, o problema pode serclassificado como de fronteiras imersas. Um código computacional de resolução do pro-blema permitiria que o fenômeno de transferência do solvente contaminado no interior dagota transportadora fosse melhor compreendido.

• De acordo com diversos autores, é na etapa de formação das gotas através do prato perfu-rado que ocorre a maior parte da transferência de massa da fase dispersa para a contínua.Simulações em CFD utilizando a metodologia 2F poderiam ser utilizadas com esse obje-tivo, o que permitiria que tal fenômeno fosse elucidado.

• É crucial que dados dinâmicos de vazão, altura da interface, etc. sejam coletados acercado funcionamento do MDIF, permitindo que o comportamento transiente do equipamentoseja estudado.

• Conforme já foi mencionado, é necessário elucidar a natureza bimodal dos dados expe-rimentais de eficiência de separação do equipamento apresentados no trabalho de Me-deiros (2008), seja por meio da realização de novos testes experimentais para eliminar apossibilidade de que erros sistemáticos de medição tenham sido cometidos, ou o estudoaprofundado da hidrodinâmica da nova configuração estrutural do equipamento e a suapossível influência nas medições de eficiência realizadas, haja vista que a metodologiautilizada nesta medida foi comum aos três trabalhos.


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Apêndices

Apêndice A. Caracterísiticas dos sistemas estudados

Apêndice A – Caracterísiticas dos sistemas es-tudados

A.1 Caracterísiticas geométricas

Os dados referentes às características geométricas das colunas estudadas nos trabalhos deFernandes Jr (2002), Fernandes Jr (2006) e Medeiros (2008) podem ser vistas na Tabela A.1.Nesta tabela 𝐷𝑑𝑒𝑐 representa o diâmetro interno da coluna na câmara de decantação, 𝑁𝑓 onúmero de orifícios no dispersor e 𝐻𝑜 a altura do leito orgânico.

Tabela A.1: Configurações geométricas dos equipamentos, apresentados em diversos trabalhosdo grupo.

Trabalho 𝐷𝑑𝑒𝑐 𝑁𝑓

Fernandes Jr (2002) 80,7 mm 100Fernandes Jr (2006) 600 mm 10057

Medeiros (2008) 80,7 mm 167

A.2 Caracterísiticas físico-químicas

Os dados referentes às características físico-químicas de cada um dos sitemas estudadospodem ser vistos na Tabela A.2. Nesta tabela 𝜌𝑜 e 𝜌𝑎 representam a densidade da fase orgânicae aquosa respectivamente, 𝜇𝑜 e 𝜇𝑎 suas viscosidades, 𝜎 a tensão superficial, 𝐴𝑃 representa águade produção, 𝐴𝐺 a aguarrás e 𝐴/𝑂 representa o sistema de extração constituído pela referidafase aquosa e orgânica. O valores destes parâmetros físico-químicos foram obtidos à partir dostrabalhos de Fernandes Jr et al. (2006) e Fernandes Jr (2002).

Tabela A.2: Características físico-químicas nos sistema estudados nos trabalhos do grupo

Trabalho 𝐴/𝑂 𝜌𝑜 𝜌𝑎 𝜇𝑜 𝜇𝑎 𝜎Fernandes Jr (2002) 𝐴𝑃 /𝐴𝐺 760 1002,2 0,91𝐸 − 3 0,85𝐸 − 3 55,2𝐸 − 3Fernandes Jr (2006) 𝐴𝑃 /QAV 784,1 1002,2 1𝐸 − 3 0,65𝐸 − 3 70,48𝐸 − 3

Medeiros (2008) 𝐴𝑃 /QAV 784,1 1002,2 1𝐸 − 3 0,65𝐸 − 3 70,48𝐸 − 3

A.3 Caracterísiticas de operação

Quanto aos dados referentes às características de operação dos sistemas em cada um dostabalhos, estes podem ser vistos nas Tabela A.3 a A.5. Nestas tabelas 𝑄𝑜 e 𝑄𝑎 representam avazão de alimentação da fase orgânica e aquosa respectivamente, 𝑄𝑇 a vazão total de alimenta-ção do equipamento, 𝐻𝑜 a altura do leito orgânico e 𝐸(%) a eficiência percentual de separação



calculada para o MDIF. A relação entre a vazão da fase orgânica e a total é chamada de teor

orgânico-aquoso, e representado pelo símbolo 𝒯𝑂𝐴.

Tabela A.3: Características de operação nos sistema estudados no trabalho de Fernandes Jr(2002)

Ensaio 𝑄𝑇 (𝑚3 ℎ−1) 𝑄𝑜(𝑚3 ℎ−1) 𝑄𝑎(𝑚

3 ℎ−1) 𝒯𝑂𝐴 𝐻𝑜(𝑚) 𝐷(𝑚𝑔/𝐿) 𝐸1 0,07 0,01 0,06 0,17 1,00 491,50 0,55002 0,09 0,03 0,06 0,50 1,00 491,50 0,70903 0,07 0,01 0,06 0,17 1,00 1445,50 0,72104 0,09 0,03 0,06 0,50 1,00 1445,50 0,91505 0,08 0,02 0,06 0,33 0,75 973,50 0,76606 0,08 0,02 0,06 0,33 0,75 973,50 0,75607 0,08 0,02 0,06 0,33 0,75 973,50 0,80408 0,08 0,02 0,06 0,33 0,75 973,50 0,84309 0,08 0,02 0,06 0,33 0,75 973,50 0,8400

10 0,08 0,01 0,07 0,10 0,75 973,50 0,615011 0,08 0,03 0,05 0,57 0,75 973,50 0,764012 0,07 0,02 0,05 0,33 0,75 973,50 0,829013 0,09 0,02 0,07 0,33 0,75 973,50 0,743014 0,08 0,02 0,06 0,33 0,75 973,50 0,633015 0,08 0,02 0,06 0,33 0,75 973,50 0,681016 0,07 0,02 0,05 0,50 0,50 491,50 0,7680



Tabela A.4: Características de operação nos sistema estudados no trabalho de Fernandes Jr(2006)


3 ℎ−1) 𝒯𝑂𝐴 𝐻𝑜(𝑚) 𝐷(𝑚𝑔/𝐿) 𝐸1 8,00 1,33 6,67 0,20 2,00 39,00 0,28432 12,00 2,00 10,00 0,20 2,00 51,00 0,68213 8,00 2,29 5,71 0,40 2,00 32,00 0,46964 12,00 3,43 8,57 0,40 2,00 32,00 0,71255 8,00 1,33 6,67 0,20 2,00 38,00 0,28036 12,00 2,00 10,00 0,20 2,00 38,00 0,66877 8,00 2,29 5,71 0,40 2,00 38,00 0,46718 12,00 3,43 8,57 0,40 2,00 32,00 0,80959 6,60 1,65 4,95 0,33 2,00 38,00 0,1992

10 13,40 3,35 10,05 0,33 2,00 51,00 0,745311 10,00 1,43 8,57 0,17 2,00 32,00 0,633212 10,00 3,33 6,67 0,50 2,00 32,00 0,596913 10,00 2,50 7,50 0,33 2,00 39,00 0,499014 10,00 2,50 7,50 0,33 2,00 38,00 0,547215 10,00 2,50 7,50 0,33 2,00 32,00 0,560616 10,00 2,50 7,50 0,33 2,00 39,00 0,618417 10,00 2,50 7,50 0,33 2,00 38,00 0,672918 10,00 2,50 7,50 0,33 2,00 32,00 0,584919 10,00 2,50 7,50 0,33 2,00 38,00 0,687820 10,00 2,50 7,50 0,33 2,00 51,00 0,6890

Tabela A.5: Características de operação nos sistema estudados no trabalho de Medeiros (2008)


3 ℎ−1) 𝒯𝑂𝐴 𝐻𝑜(𝑚) 𝐷(𝑚𝑔/𝐿) 𝐸1 0,08 0,02 0,06 0,33 1,20 483,40 0,75302 0,08 0,01 0,07 0,12 1,20 455,10 0,95503 0,05 0,01 0,03 0,33 1,20 320,00 0,95904 0,06 0,01 0,05 0,20 1,20 590,00 0,89605 0,10 0,03 0,07 0,40 1,20 1194,00 0,93706 0,06 0,01 0,05 0,20 1,20 1430,00 0,97007 0,10 0,02 0,08 0,20 1,20 1282,40 0,97508 0,08 0,02 0,06 0,33 1,20 1220,00 0,95809 0,08 0,03 0,05 0,50 1,20 923,30 0,9530

10 0,10 0,02 0,08 0,20 1,20 686,70 0,908011 0,06 0,02 0,04 0,40 1,20 860,00 0,776012 0,08 0,02 0,06 0,33 1,20 682,50 0,959013 0,11 0,03 0,09 0,33 1,20 85,00 0,944014 0,10 0,03 0,07 0,40 1,20 1664,10 0,967015 0,06 0,02 0,04 0,40 1,20 848,30 0,977016 0,08 0,02 0,06 0,33 1,20 1141,00 0,949017 0,08 0,02 0,06 0,33 1,20 764,00 0,950018 0,08 0,02 0,06 0,33 1,20 1018,30 0,965019 0,08 0,02 0,06 0,33 1,20 908,00 0,961020 0,08 0,02 0,06 0,33 1,20 1430,00 0,9520



Os diâmetros médios de Sauter calculados para as gotas transportadoras por meio da Equa-ção (120) podem ser vistos nas Tabela A.6 a A.8.

Tabela A.6: Os diâmetros médios de Sauter calculados para as gotas transportadoras no trabalhode Fernandes Jr (2002)

Ensaio 𝒲 ′e ℰ ′o 𝑑(𝑚𝑚)

1 0,27 0,04 4,212 0,44 0,04 4,063 0,27 0,04 4,214 0,44 0,04 4,065 0,35 0,04 4,136 0,35 0,04 4,137 0,35 0,04 4,138 0,35 0,04 4,139 0,35 0,04 4,13

10 0,35 0,04 4,1311 0,35 0,04 4,1312 0,24 0,04 4,2413 0,48 0,04 4,0414 0,35 0,04 4,1315 0,35 0,04 4,1316 0,27 0,04 4,21



Tabela A.7: Os diâmetros médios de Sauter calculados para as gotas transportadoras no trabalhode Fernandes Jr (2006)


1 0,14 0,04 5,262 0,32 0,04 4,973 0,14 0,04 5,264 0,32 0,04 4,975 0,14 0,04 5,266 0,32 0,04 4,977 0,14 0,04 5,268 0,32 0,04 4,979 0,10 0,04 5,40

10 0,40 0,04 4,8911 0,22 0,04 5,0912 0,22 0,04 5,0913 0,22 0,04 5,0914 0,22 0,04 5,0915 0,22 0,04 5,0916 0,22 0,04 5,0917 0,22 0,04 5,0918 0,22 0,04 5,0919 0,22 0,04 5,0920 0,22 0,04 5,09

Tabela A.8: Os diâmetros médios de Sauter calculados para as gotas transportadoras no trabalhode Medeiros (2008)


1 0,09 0,03 5,012 0,09 0,03 5,013 0,03 0,03 5,424 0,05 0,03 5,225 0,14 0,03 4,866 0,05 0,03 5,227 0,14 0,03 4,868 0,09 0,03 5,019 0,09 0,03 5,01

10 0,14 0,03 4,8611 0,05 0,03 5,2212 0,09 0,03 5,0113 0,18 0,03 4,7714 0,14 0,03 4,8615 0,05 0,03 5,2216 0,09 0,03 5,0117 0,09 0,03 5,0118 0,09 0,03 5,0119 0,09 0,03 5,0120 0,09 0,03 5,01


Apêndice B. Algoritmo de integração numérica

Apêndice B – Algoritmo de integração numérica

A implementação do método preditor-corretor de Adams-Bashfort-Moulton acrescido dacorreção de Lax, conforme utilizada na integração numérica do modelo AMADDA, pode servista nos Algoritmos 2 e 3.

Algoritmo 2 Método de Adams-Bashfort-Moulton corrigido por Laxfunção ABM(𝑊 ′, 𝑌 ′, 𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙, 𝜏𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑊 ,𝑌 , 𝑊𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙,𝑌𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑑𝜏 , 𝑄𝑐(𝜏), 𝑄𝑑, 𝐷, 𝜌𝑐, 𝜌𝑑)

𝑊 ←− 𝑊𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑌 ←− 𝑌𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑛𝜏 ←− (𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙−𝜏𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙)𝑑𝜏

para j← 1 até 3 faça𝜅𝑊1 ←− 𝑑𝜏𝑊 ′

𝜅𝑊2 ←− 𝑑𝜏

(𝑊 ′ + 1

2𝜅𝑊1

)𝜅𝑊3 ←− 𝑑𝜏

(𝑊 ′ + 1

2𝜅𝑊2

)𝜅𝑊4 ←− 𝑑𝜏

(𝑊 ′ + 1

2𝜅𝑊3

)𝜅𝑌1 ←− 𝑑𝜏𝑌 ′

𝜅𝑌2 ←− 𝑑𝜏

(𝑌 ′ + 1

2𝜅𝑌1

)𝜅𝑌3 ←− 𝑑𝜏

(𝑌 ′ + 1

2𝜅𝑌2

)𝜅𝑌4 ←− 𝑑𝜏

(𝑌 ′ + 1

2𝜅𝑌3

)𝑊1 ←− (𝑄𝑑𝐷)[𝑄𝑐(𝜏)𝑌1]

𝑄𝑑(𝐷+𝜌𝑑)+𝑄𝑐(𝜏)(𝑌1+𝜌𝑐)

para i← 2 até n faça𝑊𝑖 ←− 𝑊𝑖 + 1

6

(𝜅𝑊1 + 2𝜅𝑊

2 + 2𝜅𝑊3 + 𝜅𝑊

4

)fim parapara i← 1 até n-1 faça

𝑌𝑖 ←− 𝑌𝑖 + 16

(𝜅𝑌1 + 2𝜅𝑌

2 + 2𝜅𝑌3 + 𝜅𝑌

4

)fim para𝑌𝑛 ←− 𝑌𝑛−1

𝑢𝑊 𝑗 ←− 𝑊𝑢𝑌 𝑗 ←− 𝑌

fim parapara j← 4 até 𝑛𝜏 faça

𝑃𝑅𝐸𝐷𝑊1 ←− 𝑊1 + 𝑑𝜏

24(−9𝑢𝑊 1

1 + 37𝑢𝑊 21 − 59𝑢𝑊 3

1 + 55𝑢𝑊 41)

para i← 2 até n-1 faça𝑃𝑅𝐸𝐷𝑊

𝑖 ←− 12

(𝑊𝑖−1 + 𝑊𝑖+1)+𝑑𝜏24

(−9𝑢𝑊 1𝑖 + 37𝑢𝑊 2

𝑖 − 59𝑢𝑊 3𝑖 + 55𝑢𝑊 4

𝑖)fim para𝑃𝑅𝐸𝐷𝑊

𝑛 ←− 𝑊𝑛 + 𝑑𝜏24

(−9𝑢𝑊 1𝑛 + 37𝑢𝑊 2

𝑛 − 59𝑢𝑊 3𝑛 + 55𝑢𝑊 4

𝑛)


Apêndice B. Algoritmo de integração numérica

Algoritmo 3 CONTINUAÇÃO: Método de Adams-Bashfort-Moulton corrigido por Lax𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌

1 ←− 𝑌1 + 𝑑𝜏24

(−9𝑢𝑌 11 + 37𝑢𝑌 2

1 − 59𝑢𝑌 31 + 55𝑢𝑌 4

1)para i← 2 até n-1 faça

𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌𝑖 ←− 1

2(𝑌𝑖−1 + 𝑌𝑖+1) + 𝑑𝜏

24(−9𝑢𝑌 1

𝑖 + 37𝑢𝑌 2𝑖 − 59𝑢𝑌 3

𝑖 + 55𝑢𝑌 4𝑖)

fim para𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌

𝑛 ←− 𝑌𝑛 + 𝑑𝜏24

(−9𝑢𝑌 1𝑛 + 37𝑢𝑌 2

𝑛 − 59𝑢𝑌 3𝑛 + 55𝑢𝑌 4

𝑛)𝐶𝑂𝑅𝑅𝑊

1 ←− 𝑊1 + 𝑑𝜏24

(−5𝑢𝑊 1

1 + 𝑢𝑊 21 + 19𝑊1 + 9𝑊 ′

0(𝑃𝑅𝐸𝐷𝑊1 , 𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌

1 ))

para i← 1 até n-1 faça𝐶𝑂𝑅𝑅𝑊

𝑖 ←− 12

(𝑊𝑖−1 + 𝑊𝑖+1)(1 + 19𝑑𝜏

24

)+

𝑑𝜏24

(−5𝑢𝑊 1

𝑖 + 𝑢𝑊 2𝑖 + 9𝑊 ′

𝑖 (𝑃𝑅𝐸𝐷𝑊𝑖 , 𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌

𝑖 ))

fim para𝐶𝑂𝑅𝑅𝑊

𝑛 ←− 𝑊𝑛 + 𝑑𝜏24

(−5𝑢𝑊 1

𝑛 + 𝑢𝑊 2𝑛 + 19𝑊𝑛 + 9𝑊 ′

𝑛(𝑃𝑅𝐸𝐷𝑊𝑛 , 𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌

𝑛 ))

𝐶𝑂𝑅𝑅𝑌1 ←− 𝑌1 + 𝑑𝜏

24

(−5𝑢𝑌 1

1 + 𝑢𝑌 21 + 19𝑌1 + 9𝑌 ′

1(𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌1 , 𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌

1 ))

para i← 1 até n-1 faça𝐶𝑂𝑅𝑅𝑌

𝑖 ←− 12

(𝑌𝑖−1 + 𝑌𝑖+1)(1 + 19𝑑𝜏

24

)+

𝑑𝜏24

(−5𝑢𝑌 1

𝑖 + 𝑢𝑌 2𝑖 + 9𝑌 ′

𝑖 (𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌𝑖 , 𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌

𝑖 ))

fim para𝐶𝑂𝑅𝑅𝑌

𝑛 ←− 𝑌𝑛 + 𝑑𝜏24

(−5𝑢𝑌 1

𝑛 + 𝑢𝑌 2𝑛 + 19𝑌𝑛 + 9𝑌 ′

𝑛(𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌𝑛 , 𝑃𝑅𝐸𝐷𝑌

𝑛 ))

para i← 1 até n-1 faça𝑌𝑖 ←− 𝐶𝑂𝑅𝑅𝑌

𝑖

fim para𝑌𝑛 ←− 𝑌𝑛−1

𝑊1 ←− (𝑄𝑑𝐷)[𝑄𝑐(𝜏)𝑌1]𝑄𝑑(𝐷+𝜌𝑑)+𝑄𝑐(𝜏)(𝑌1+𝜌𝑐)

para i← 1 até n faça𝑊𝑖 ←− 𝐶𝑂𝑅𝑅𝑊

𝑖

fim para𝑢𝑊 4 ←− 𝑢𝑊 3

𝑢𝑊 3 ←− 𝑢𝑊 2

𝑢𝑊 2 ←− 𝑢𝑊 1

𝑢𝑊 1 ←− 𝑊𝑢𝑌 4 ←− 𝑢𝑌 3

𝑢𝑌 3 ←− 𝑢𝑌 2

𝑢𝑌 2 ←− 𝑢𝑌 1

𝑢𝑌 1 ←− 𝑌fim para

fim função


Apêndice C. Análise estatística dos dados experimentais

Apêndice C – Análise estatística dos dados ex-perimentais

Os histogramas dos dados experimentais utilizados nesse trabalho podem ser visualizadosnas Figuras C.1 a C.3.

Figura C.1: Histograma dos dados experimentais apresentados no trabalho de Fernandes Jr(2002) de eficiência na separação do MDIF.



Figura C.2: Histograma dos dados experimentais apresentados no trabalho de Fernandes Jr(2006) de eficiência na separação do MDIF.



Figura C.3: Histograma dos dados experimentais apresentados no trabalho de Medeiros (2008)de eficiência na separação do MDIF.


dissertação: modelagem e simulação de um separador bifásico … · a integração do sistema...

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