UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Pos-graduacao em EngenhariaMecanica

Dissertacao deMestrado

FERNANDO ANDRÉ ENCISO VALDIVIA

FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE RISERSRÍGIDOS EM CATENÁRIA EM CONTATO COM O SOLO

MARINHO

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da "CAPES"

Santo André, 2015.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Pos-graduacao em EngenhariaMecanica

Dissertacao deMestrado

FERNANDO ANDRÉ ENCISO VALDIVIA

FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE RISERSRÍGIDOS EM CATENÁRIA EM CONTATO COM O SOLO

MARINHO

Dissertação de mestrado acadêmico apresentada

como requisito parcial para a obtenção do título

de Mestre em Engenharia Mecânica, sob orienta-

ção do Professor Doutor Juan Pablo Julca Avila.

Santo André, 2015.

Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal do ABCElaborada pelo Sistema de Geração de Ficha Catalográfica da UFABC

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).

Enciso Valdivia, Fernando André Ferramenta Computacional para Análise de Risers Rígidos emCatenária em Contato com o Solo Marinho / Fernando André EncisoValdivia — Universidade Federal do ABC, 2015.

131 fls.

Orientador: Juan Pablo Julca Avila

Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal do ABC, Programa de PósGraduação em Engenharia Mecânica, Santo André, 2015.

1. Risers. 2. Formulação co-rotacional. 3. não linearidade geométrica. 4.Dinâmica não linear. 5. Interação solo-estrutura. I. Julca Avila, Juan Pablo. II.Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, 2015. III. Título.

Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, de acordo com as

observações levantadas pela banca no dia da defesa, sob responsabilidade única do

autor e com a anuência de seu orientador.

Santo André, ____de _______________ de 20___.

Assinatura do autor: _____________________________________

Assinatura do orientador: _________________________________

Dedico este trabajo a mi adorada

familia por el infinito apoyo y amor.

Para minha Maitê, por ser linda e

amorosa como só ela pode.

AGRADECIMENTOS

A mis padres Fernando Enciso e Carmela Valdivia por el constante apoyo e inagotable amor.

A mis hermanas Isabela y Cinthia por los buenos consejos.

À minha namorada Maitê pela ajuda com o português, pela compreensão no tempo da escrita

desta dissertação e pelos muitos momentos inesquecíveis.

Ao meu orientador Juan Julca Avila pela oportunidade de aprender novas ferramentas no

campo da engenharia e pelos constantes conselhos e comentários no desenvolvimento deste

trabalho.

Aos professores Reyolando Brasil, João Batista e Wesley Góis por resolver as minhas dúvi-

das a respeito dos métodos matemáticos e numéricos aplicados nesta dissertação.

A todos meus amigos brasileiros e estrangeiros da sala 307 pelos inumeráveis momentos

gratos que tivemos nestes dois anos no Brasil.

A mis amigos en Perú, en especial al profesor Rosendo Franco y a mi colega Antonio Conte

por alentarme a hacer una maestría, sin ellos este trabajo no hubiera sido posíble.

Aos funcionários da Secretaria da Pós-graduação pela ajuda nos trâmites administrativos.

À CAPES pelo apoio financeiro dado nestes dois anos.

v

"A dúvida é um dos nomes da

inteligência"

(Jorge Luis Borges).

RESUMO

Atualmente, os risers rígidos em catenária ou SCRs (Steel Catenary Risers), que são tubos

longos de aço, apresentam-se como a melhor solução técnico-econômica na transferência de

petróleo e gás desde o solo marinho até uma plataforma flutuante. Os SCRs são de fácil fa-

bricação, resistem altas pressões internas e hidrostáticas e também resistem altas temperaturas.

Porém, cuidado especial deve-se tomar no cálculo dos momentos fletores e força axial interna

no ponto de contato com o solo marinho, sendo estes parâmetros cruciais no projeto. Por outro

lado, devido a que os SCRs interagem com o solo marinho, a plataforma à qual está conectada,

correntezas e com o escoamento interno, a teoria de SCRs é complexa e não tem sido total-

mente desenvolvida, requerendo para seu estudo a teoria de vigas curvas, tópicos de mecânica

dos sólidos e dos fluidos, dinâmica não-linear, mecânica de ondas e mecânica dos solos.

Este trabalho tem como principal objetivo o desenvolvimento e implementação de uma fer-

ramenta computacional para análise estática e dinâmica bidimensional de risers rígidos e flexí-

veis dispostos em catenária em contato com o solo marinho. A discretização espacial do riser

é feita usando elementos finitos não lineares tipo de viga, incluindo grandes deslocamentos e

rotações. A formulação co-rotacional é utilizada para o tratamento da não linearidade geomé-

trica. O método iterativo-incremental de Newton-Raphson é usado para resolver as equações de

equilíbrio estático e dinâmico. A integração no tempo das equações dinâmicas é feita usando

o esquema implícito de Newmark. A fim de garantir a estabilidade do esquema numérico im-

plementado quando são impostos deslocamentos no topo do riser pelo método de penalização,

é introduzido nas equações dinâmicas um termo de amortecimento estrutural para a filtragem

das frequências espúrias induzidas por este tipo de excitação. O solo marinho é modelado

como uma fundação elástica-linear do tipo Winkler e o método de penalização é usado para a

imposição da condição de não penetração.

Simulações estáticas e dinâmicas de problemas geometricamente não lineares foram condu-

zidas para a avaliação do elemento de viga plana implementado neste trabalho. Os resultados

obtidos foram comparados com resultados da literatura para a validação do código. A ferra-

menta computacional foi aplicada satisfatoriamente para resolver problemas estáticos e dinâmi-

cos de risers rígidos e flexíveis.

vii

viii

Palavras chave: Dinâmica estrutural não linear, Contato, Risers rígidos em catenária, Formu-

lação Co-rotacional, Elementos finitos, Não linearidade geométrica.

ABSTRACT

Steel catenary risers (SCR) are slender steel pipes that hang free in the ocean, this represents

the best technical and economical solution for the oil and gas transfer from the seabed to the

floating platform. SCRs are of easy manufacturing, high internal and external pressure resis-

tance and also high temperature resistance. Special care should be taken in the calculation of

the bending and tension stresses at the touch down point (TDP) as this parameters are of main

importance in the calculation of fatigue resistance. On the other side, as the riser interacts with

many other elements as seawater currents, internal flow, floating platform and seabed SCRs the-

ory is complex and is not yet well developed, requiring for its study deep knowledge of curved

beam theory, solid and fluid mechanics, non-linear dynamics, wave theory and soil mechanics.

The main objective of this work is the development and implementation of a computational

tool for the static and dynamic two-dimensional analysis of steel catenary and flexible risers,

special attention is given to the seabed contact phenomena, to this end, numerical methods

for the solution of dynamic equations were implemented into a MATLAB code. The spacial

discretization of the riser geometric domain was made by finite element procedures, the large

deflections and rotations, inherent to risers geometric non linearity, were treated by means of

the co-rotational formulation. The incremental-iterative Newton-Raphson scheme is used to

solve the equations of static and dynamic equilibrium. Time domain integration is made using

Newmarks implicit method. To guarantee the numerical stability of the implemented code

when imposed a time-varying nodal displacement by the penalty method an structural damping

is introduced. This damping filters spurious frequencies induced by the penalty method. The

seabed is modeled as an elastic foundation of Winkler type, once again the penalty method is

used to enforce the non-penetration condition.

Static and dynamic simulations of beams with geometrical non linearity were conducted in

order to test the stability and accuracy of the implemented code. These results were compared

with those available in specialized literature in order to validate the code. This computational

tool was successfully applied to the static and dynamic analysis of steel catenary risers.

Keywords: Dynamic of structures, non linear dynamics, contact, steel catenary risers, co-

rotational formulation, finite elements, geometric non linearity.

ix

Lista de Figuras

1.1 Esquema da disposição das camadas do pré-sal do mar brasilero. . . . . . . . . 2

1.2 Localização das principais bacias do pré-sal no litoral brasileiro. . . . . . . . . 2

1.3 Plataforma fixa de concreto da STATOIL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Plataforma FPSO P-58 da Petrobras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Plataforma Auger do tipo TLP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Plataforma Devils Tower de tipo SPAR no golfo de México. . . . . . . . . . . 5

1.7 Plataforma do tipo semisubmersivel da SAMSUNG. . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8 Configurações de risers mais utilizados na indústria off-shore. . . . . . . . . . 6

1.9 Configuração híbrida para águas ultra-profundas. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.10 Riser rígido em catenária ligado a uma plataforma flutuante. . . . . . . . . . . 8

1.11 Navios para a instalação de risers na indústria off-shore. . . . . . . . . . . . . . 9

1.12 Camadas que conformam o riser flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.13 Tubos de aço para a construção de um riser rígido. . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.14 Experimento em escala real para o estudo da formação da trincheira nos SCRs. 11

2.1 Corpo elástico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Configurações de referência para as distintas formulações usadas na análise não

linear geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Sistema de coordenadas e configurações usadas na descrição cinemática co-

rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Coordenadas e deslocamentos nodais do elemento viga de Euler-Bernoulli. . . 26

2.5 Deformações rotacionais ,θ1l e θ2l , e de corpo rígido ,α, na formulação co-

rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Relação entre a variação dos virtual deslocamentos em coordenadas globais e

coordenadas locais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 Análise estática para a determinação da tensão efetiva. . . . . . . . . . . . . . 33

2.8 Velocidade relativa usada para o cálculo da força de arrasto. . . . . . . . . . . . 34

2.9 Deslocamentos impostos ao topo do riser pela plataforma. . . . . . . . . . . . 35

2.10 Parâmetros para análise de ondas lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

x

Lista de Figuras xi

2.11 Modelo de fundação de Winkler de um parâmetro. . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.12 Molas nodais no modelo de Winkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.13 Imposição de deslocamentos pelo método de penalização. . . . . . . . . . . . . 43

2.14 Imposição da condição de impenetrabilidade no método de penalização. . . . . 45

3.1 Método de Newton-Raphson convencional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2 Método de Newton-Raphson modificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Método de Newton-Raphson para forças seguidoras. . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Diagrama do pré-processamento no Solver estático GenoES. . . . . . . . . . . 57

3.5 Diagrama do processamento no Solver estático GenoES. . . . . . . . . . . . . 58

3.6 Diagrama do processamento no Solver de contato estático GenoCES. . . . . . 59

3.7 Diagrama do pré-processamento no Solver dinâmico não linear GenoDIS. . . . 60

3.8 Diagrama do processamento no Solver dinâmico não linear GenoDIS. . . . . . 61

4.1 Viga engastada com força aplicada no extremo livre. . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Viga engastada com força vertical no extremo livre: configurações de equilíbrio

intermediárias a cada incremento de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3 Força transversal adimensional F∗ versus deslocamentos adimensionais u∗ e v∗

do extremo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4 Viga engastada com momento aplicado no extremo livre. . . . . . . . . . . . . 66

4.5 Configurações de equilíbrio intermediarias a cada incremento de momento. . . 67

4.6 Momento adimensional concentrada M∗ versus deslocamentos nodais adimen-

sionais u∗ e v∗ medidos desde o extremo livre da viga na configuração inicial. . 69

4.7 Viga discretizada com quatro elementos e submetida a um momento concen-

trado no extremo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.8 Estrutura anelar apoiada sobre um anteparo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.9 Posições de equilíbrio intermediárias da estrutura anelar para diferentes incre-

mentos de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.10 Força adimensional aplicada no topo da estrutura anelar versus deslocamento

vertical do nó 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.11 Viga engastada e suportes rígidos intermediários. . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.12 Configurações de equilíbrio intermediarias da viga para certos incrementos de

carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.13 Deflexão da viga versus força aplicada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.14 Viga sobre fundação elástica com força vertical no meio. . . . . . . . . . . . . 74

4.15 Viga sobre fundação elástica com força vertical e momento no meio. . . . . . . 75

4.16 Viga sobre fundação elástica submetida a carregamento distribuído e pontual. . 75

4.17 Deflexão da viga bi-engastada sobre fundação elástica de Winkler. . . . . . . . 76

Lista de Figuras xii

4.18 Erro de deflexão da viga da Figura 4.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.19 Viga engastada com força aplicada no ponto médio. . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.20 Resposta da viga bi-engastada submetida a carga impulsiva. . . . . . . . . . . . 79

4.21 Viga engastada submetida a carga tipo rampa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.22 Resposta da viga engastada submetido a uma força vertical tipo rampa no ex-

tremo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.23 Resposta amortecida e não amortecida da viga da secção 4.3.3. . . . . . . . . . 82

4.24 Viga engastada submetida a um momento tipo rampa no extremo livre. . . . . . 82

4.25 Resposta da viga engastada submetida a um momento tipo rampa no extremo

livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.26 Resposta amortecida e não amortecida da viga da com momento no extremo

livre, deflexão do extremo livre versus tempo t. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.27 Viga com articulação no extremo esquerdo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.28 Historia de deformação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.29 História da deflexão do extremo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1 Modelo usado nas simulações de risers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2 Configurações de equilíbrio intermediárias para o SCR. . . . . . . . . . . . . . 88

5.3 Configuração final de equilíbrio do SCR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.4 Força axial ao longo da coordenada curvilinea s para o SCR. . . . . . . . . . . 89

5.5 Momento fletor ao longo da coordenada curvilínea s para o SCR. . . . . . . . . 90

5.6 Esquema de um riser con flutuadores intermediários. . . . . . . . . . . . . . . 92

5.7 Configurações de equilíbrio intermediárias obtidas pelo FLEXOL. . . . . . . . . 92

5.8 Configuração final de equilíbrio do LWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.9 Força axial ao longo da coordenada curvilinea s para o LWR. . . . . . . . . . . 93

5.10 Momento fletor ao longo da coordenada curvilínea s para o LWR. . . . . . . . 94

5.11 História de deformação do mangote flexível submetido ao seo próprio peso. . . 96

5.12 Tensões internas no mangote flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.13 Influência do passo de tempo na convergência da resposta dinâmica do mangote

flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.14 História de deformação do mangote flexível submetido ao seu próprio peso e a

deslocamentos impostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.15 História de movimento para diferentes nós do mangote. . . . . . . . . . . . . . 101

Lista de Tabelas

2.1 funções cúbicas de interpolação de Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Parâmetros da simulação estática da viga engastada Ex. 01. . . . . . . . . . . . 63

4.2 Comparação entre resultados analíticos e numéricos para o deslocamento do

extremo livre da viga engastada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Comparação entre resultados analíticos e numéricos para o deslocamento do

extremo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4 Parâmetros da simulação estática da estrutura anelar. . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5 Parâmetros da simulação estática da viga bi-engastada sobre fundação elástica. 76

4.6 Parâmetros da simulação dinâmica da viga bi-engastada . . . . . . . . . . . . . 80

4.7 Parâmetros da simulação da viga articulada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.1 Parâmetros do riser rígido em catenária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2 Parâmetros de simulação de comportamento estático do SCR. . . . . . . . . . . 88

5.3 Comparação de resultados obtidos por diferentes códigos computacionais. . . . 90

5.4 Parâmetros físicos do LWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.5 Parâmetros de simulação do LWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.6 Comparação de resultados obtidos por diferentes códigos computacionais. . . . 93

5.7 Parâmetros do mangote flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.8 Parâmetros físicos da simulação do mangote flexível com imposição de deslo-

camentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.9 Parâmetros numéricos da simulação do mangote flexível com deslocamento im-

posto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

xiii

CONTEÚDO

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 INTRODUÇÃO 11.1 Exploração e produção de petróleo em alto-mar . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Unidades de produção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2.1 Risers rígidos em catenária . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Materiais dos risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3.1 Risers flexíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3.2 Risers metálicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Justificativa e problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Temas atuais de pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1.1 Interação riser-solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1.2 Interação fluido-estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1.3 Vibração induzida por vórtices . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1.4 Acoplamento riser-plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Problema e proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Revisão bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Configuração de equilíbrio estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Análise dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3 Interação riser-solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Contribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Estrutura do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 MODELAGEM MATEMÁTICA 192.1 Equações de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Não linearidade geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Abordagens na análise não linear geométrica . . . . . . . . . . . . . . 21

xiv

CONTEÚDO xv

2.2.2 Linearização das equações de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Análise estática de risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Equação de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Elemento de viga plana pela abordagem co-rotacional . . . . . . . . . 23

2.3.2.1 Descrição cinemática co-rotacional . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2.2 Formulação co-rotacional para o elemento de viga . . . . . . 25

2.3.3 Carregamentos atuantes de natureza estática . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.3.1 Força peso-empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.3.2 Força axial efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.3.3 Correnteza em estado estacionário . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.3.4 Imposição de deslocamentos no topo do riser . . . . . . . . 35

2.4 Análise dinâmica de risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Matriz de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.2 Matriz de amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.3 Carregamentos atuantes de natureza dinâmica . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.3.1 Ondas incidentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.3.2 Interação com o plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5 Interação riser-solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.1 Modelos de fundação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.1.1 Modelo de Winkler de um parâmetro . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.2 Modelagem do contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.2.1 Método de penalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.2.2 Condição de impenetrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.2.3 Descolamento estrutura-solo . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 463.1 Métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Método de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1.1 Algoritmo de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.2 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.2.1 Algoritmo de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.3 Critérios de convergência e estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.3.1 Estabilidade numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.3.2 Critérios de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.3.3 Convergência da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 Implementação da ferramenta computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.1 Módulo estático: GenoES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2 Módulo de contato: GenoCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

CONTEÚDO xvi

3.2.3 Módulo dinâmico: GenoDIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 624.1 Validação do módulo estático GenoES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.1 Viga engastada com carga vertical aplicada no extremo livre . . . . . . 62

4.1.2 Viga engastada com momento aplicado no extremo livre . . . . . . . . 65

4.2 Validação do módulo de contato GenoCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.1 Estrutura anelar flexível contra anteparo rígido . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.2 Viga engastada com suportes rígidos intermediários . . . . . . . . . . . 71

4.2.3 Viga apoiada em fundação elástica tipo Winkler . . . . . . . . . . . . 73

4.2.3.1 Viga sobre fundação elástica com força vertical . . . . . . . 74

4.2.3.2 Viga sobre fundação elástica com força vertical e momento . 74

4.2.3.3 Viga sobre fundação elástica com carga distribuída, carga

vertical e momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.3.4 Viga bi-engastada sobre fundação elástica submetida a carga

uniformemente distribuída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3 Validação do módulo dinâmico GenoDIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.1 Viga bi-engastada com carga concentrada impulsiva . . . . . . . . . . 78

4.3.2 Viga engastada com força tipo rampa no extremo livre . . . . . . . . . 78

4.3.3 Viga engastada com momento tipo rampa no extremo livre . . . . . . . 80

4.3.4 Viga articulada com momento impulsivo na articulação . . . . . . . . . 84

5 APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 865.1 Estratégia de solução do FLEXOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2 Análise estática de risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1 Riser rígido em catenária (SCR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.2 Riser com flutuadores intermediarios (LWR) . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3 Análise dinâmica de risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.1 Mangote flexível sujeito à ação do peso próprio . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.2 Mangote flexível sujeito a deslocamentos impostos . . . . . . . . . . . 99

6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 1026.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Referências Bibliográficas 106

Capítulo 1

INTRODUÇÃO

1.1 Exploração e produção de petróleo em alto-mar

Com a crescente demanda mundial e o conseguinte aumento dos preços dos produtos deri-

vados do petróleo, as indústrias de extração e produção de petróleo em alto-mar vem se expan-

dindo e investindo na exploração em águas profundas. As maiores bacias petrolíferas no mar se

encontram no Brasil, no Golfo de México e na África ocidental.

No Brasil as maiores bacias de petróleo encontram-se no pré-sal. Estes campos vão desde o

litoral de Santa Catarina até o litoral de Espírito Santo. Para alcançar estas bacias de petróleo é

necessário atingir uma profundidade de 7 km com 2 km de lâmina de água. A Figura 1.1 mostra

as camadas de diferentes formações que devem ser perfuradas para atingir a camada do pré-sal.

A produção média do pré-sal correspondente ao mês do maio de 2014 representou 22% do total

da produção de petróleo da Petrobras (informação do site da empresa). Segundo os relatórios

da Petrobras, nos últimos quatro anos a produção de petróleo proveniente do pré-sal cresceu de

41 000 a 520 000 barris por dia. A Bacia de Santos responde pelo 53% da produção do pré-sal

brasileiro com 10 poços, o restante, 47% da produção, vem da Bacia de Campos com 15 poços.

Estes poços de petróleo se encontram nos litorais dos estados de Santa Catarina, São Paulo, Rio

de Janeiro e Espírito Santo. A Figura 1.2 apresenta a localização das bacias e dos campos de

petróleo em fase de exploração e produção no litoral brasileiro.

Para extrair e produzir petróleo em águas rasas foi necessário desenvolver tecnologia de

ponta nas áreas de hidrodinâmica, mecânica estrutural, controle automático, ciência da compu-

tação, materiais, etc. Atualmente a exploração e produção de petróleo em água ultra-profundas

gerou novos desafios tecnológicos os quais precisam ser investigados e resolvidos.

1

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 2

Figura 1.1: Esquema da disposição das camadas do pré-sal do mar brasilero. (Extraído de: <

http://diariodopresal.files.wordpress.com/2010/01/exploracao-do-petroleo-do-pré-sal-petrobras.jpg >)

Figura 1.2: Localização das principais bacias do pré-sal no litoral brasileiro. (Extraído de: <

http://www1.folha.uol.com.br/infograficos/2013/10/78596-pré-sal-de-libra.shtml >)

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 3

(a) (b)

Figura 1.3: (a) Plataforma fixa de concreto TROLL A propriedade da STATOIL; (b) Esquema doancoragem ao solo marino da plataforma. (Extraído de: <

http://www.norskolje.museum.no/stream_file.asp?iEntityId=1918 >)

1.1.1 Unidades de produção

Devido à distância entre os poços de petróleo e as zonas costeiras o uso de unidades de

produção de petróleo se faz necessário, as quais podem ser fixas o flutuantes. As unidades

fixas foram as primeiras a serem usadas, geralmente são feitas de concreto ou de aço e são

fixadas por meio de estacas no fundo do mar, podendo ser usadas até 400 m de profundidade. A

Figura 1.3 mostra a plataforma fixa Troll A, operada pela empresa norueguesa STATOIL no mar

do norte na Noruega, trabalhando a uma profundidade de 360 m. Por outro lado as unidades

flutuantes são estruturas apoiadas sobre flutuadores, as quais sofrem movimentações pela ação

das ondas incidentes, no entanto, adicionam flexibilidade às operações de produção, podendo

se deslocar entre poços afastados. As unidades flutuantes podem ter diferentes configurações,

as mais comuns são as apresentadas a seguir.

FPSO’s (Floating Production, Storage and Offloading). Estes navios-plataforma produzem,

armazenam e fazem transbordo de hidrocarbonetos. São utilizados em profundidades de até

2000 m. No convés do navio há uma planta de separação dos fluidos extraídos dos poços. A

Figura 1.4 mostra o navio-plataforma P-58 da Petrobras que tem uma capacidade de processa-

mento de 180 000 barris por dia.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 4

Figura 1.4: Plataforma FPSO P-58 da Petrobras. (Extraído de: < http://www.petrobras.com.br/fatos-e-dados/plataforma-p-58-entra-em-operacao-no-parque-das-baleias.htm >)

TLP’s (Tension Leg Platform). Estas plataformas são presas no fundo do mar através de

tendões verticais. Este sistema de ancoragem limita o movimento vertical da plataforma. A

plataforma é usada em lâminas de água de até 2000 m, vide Figura 1.5.

(a) (b)

Figura 1.5: (a) Plataforma Auger do tipo TLP no golfo de México; (b) Esquema da configuracao dostendões de ancoragem. (Extraído de: < http://www.isiengenharia.com.br/ >, <

http://gcaptain.com/wp-content/uploads/2011/08/Mars-TLP.jpg > )

SPAR’s. Estas plataformas são cilíndricas e a sua maior vantagem é a estabilidade e resis-

tência aos efeitos do vento, ondas e correntezas, isto é devido a que o centro de gravidade se

encontra abaixo do centro de flutuação. Além disso o cilindro imerso na água pode ser usado

para armazenamento dos produtos, vide Figura 1.6.

Semisubmersíveis. Estas plataformas são compostas de uma estrutura apoiada sobre flutua-

dores submersos no mar. O posicionamento pode ser feito por cabos ou por propulsores dinâ-

micos. Estas plataformas são usadas até profundidades de 3000 metros, vide Figura 1.7.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 5

(a) (b)

Figura 1.6: (a) Plataforma Devils Tower de tipo SPAR no golfo de México; (b) Esquema da partecilíndrica submersa do SPAR. (Extraído de: <

http://www.uschinaogf.org/Forum6/6WilliamSoester_eng.pdf > )

(a) (b)

Figura 1.7: (a) Plataforma do tipo semisubmersivel da SAMSUNG.; (b) Esquema do ancoragemmediante cabos. (Extraído de: < http://www.gazprominfo.com/articles/sea-production/ > )

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 6

1.1.2 Risers

Segundo a norma industrial API (1998), os elementos que compõem um sistema de riser

são:

• Corpo do riser, conduto rígido ou flexível de aço;

• Interfaces do sistema, interface superior e interface inferior.

A norma define o sistema marinho de riser como um conjunto de elementos que vinculam

a estrutura fixa localizada no fundo do mar, interface inferior, com a estrutura flutuante ou fixa,

a interface superior. A norma DNV (2001) categoriza os risers de acordo com sua capacidade

de resistir os movimentos da interface superior já que esta impõe cargas de natureza complexa.

Os risers dividem-se em duas grandes categorias:

• Risers tensionados no topo;

• Risers adaptáveis.

A Figura 1.8 mostra as configurações mais comuns para os risers. Outra configuração usada

em operações ultra-profundas é a configuração híbrida, onde uma torre rígida e um mangote

flexível são unidos mediante uma junta flexível, no topo da torre rígida é instalado um flutuador

para diminuir os esforços de compressão na base, vide Figura 1.9.

Figura 1.8: Tipos de configurações e componentes mais utilizados na indústria off-shore. (Extraído de: <

http://oceantecllc.com/surf-engineering/>)

A seguir será apresentado os risers dispostos em catenária que são objeto de estudo deste

trabalho.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 7

Figura 1.9: Configuração híbrida para águas ultra-profundas. (Extraído de: <

http://www.subsea7.com/content/dam/subsea7/documents/technologyandassets/4_Pg_Leaflet_Riser_Technology__Reference.pdf>)

1.1.2.1 Risers rígidos em catenária

Conforme as operações de extração de petróleo avançam para águas mais profundas o custo

do sistema de riser, comparado com o custo global da operação, é muito alto. Os risers rígidos

em catenária, feitos de aço, representam uma alternativa económica, além de oferecer maior

resistência a altas temperaturas e pressões hidrostáticas.

Os risers rígidos em catenária ou SCR do inglês Steel Catenary Riser podem ser manu-

faturados e instalados mais económica e rapidamente, além de não precisar de equipamentos

especiais no leito marinho como juntas flexíveis ou de flutuadores intermediários (Halil , 2012).

A Figura 1.10 mostra uma representação de um SCR e o nome dos trechos de interesse na

análise.

Devido à configuração dos SCR grandes tensões são impostas na zona de contato com o solo

marinho ou no TDZ, do inglês de Touch Down Zone. Os níveis de tensões internas nesta zona

estão dentro dos limites aceitáveis de resistência do material, sempre que não existam ações de

natureza dinâmica, mas este não é o caso dos SCR, ligados a plataformas flutuantes (Mekha ,

2001).

Os movimentos da plataforma flutuante e a correnteza marinha impõem condições de car-

regamento críticas ao riser. Ao variar estas condições o ponto de contato do trecho suspenso

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 8

Solo marinho

Ponto de contato

TDP

Topo do

riser

160x90

Flowline

Plataforma

flutuante

Trecho suspenso

do riser

Superfície

da água

s

Figura 1.10: Riser rígido em catenária ligado a uma plataforma flutuante. (Elaboração própria.)

do riser com o solo marinho, ou TDP (Touch Down Point) muda de posição fazendo com que

o momento fletor máximo, localizado no ponto de contato, também varie devido a essas intera-

ções. Dependendo da dinâmica das ações externas o riser pode falhar por fadiga. Vale a pena

lembrar que nesse ponto de contato ocorre a maior curvatura no SCR.

No projeto de SCR diferentes análises são consideradas: análise estática, análise dinâmica

e análise de resistência à fadiga. Neste trabalho serão abordados os dois primeiros desde um

ponto de vista computacional. A teoria não linear de vigas planas é usado.

O método de instalação dos SCR, também é de muita importância em projeto devido a que

uma instalação incorreta pode adicionar esforços ao riser. Os métodos mais usados são: S-lay

e J-lay, os nomes destes métodos têm a ver com a forma que o riser adota no momento do seu

lançamento. A Figura 1.11 mostra as embarcações utilizadas na instalação de SCRs.

1.1.3 Materiais dos risers

A seleção do material dos risers depende de muitos parâmetros, tais como: temperatura,

vida útil, cargas, resistência química ao fluido externo e interno, resistência aos carregamentos,

entre outros. Atualmente dois tipos de risers são usados frequentemente os quais são descritos

a seguir.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 9

(a) (b)

Figura 1.11: Navios de instalação de risers na indústria off-shore (a) Navio de instalação pelo métodoJ-lay; (b) Navio para a instalacao pelo método S-lay. (Extraído de: <

http://www.huismanequipment.com/en/products/pipelay/jlay >)

Figura 1.12: Camadas que conformam o riser flexível. (Extraído de: <

http://fps.nov.com/subsea/flexibles/dynamic-flexible-risers >)

1.1.3.1 Risers flexíveis

Os risers flexíveis são feitos por superposição de camadas, cada camada cumpre uma fun-

ção estrutural diferente. A Figura 1.12 mostra as camadas que compõem um riser flexível

convencional. A camada interna é uma carcaça de aço composta por anéis intertravados com

deslocamento relativo, esta camada tem como função resistir a pressão interna. A segunda

camada é feita de um material polimérico para vedação sobre a qual são encostados tendões he-

licoidais que adicionam rigidez axial ao conjunto. A camada exterior, em contato com o fluido

marinho, é constituída por um polímero cuja função é impermeabilizar e proteger da corrosão

e os impactos aos componentes estruturais de aço. A complexidade das camadas e seu número

depende do serviço ao qual serão submetidos.

Os risers flexíveis possuem maior custo de fabricação, porém os custos de instalação são

menores comparados com os do riser rígido. Os risers flexíveis podem ser reutilizados em dife-

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 10

Figura 1.13: Tubos de aço para a construção do riser rígido. (Extraído de: < http://www.pulse-monitoring.com/products-and-services-4/production-riser-monitoring-60/>)

rentes poços, presentam boa resistência à fadiga e não necessitam de sistemas de compensação

na plataforma.

1.1.3.2 Risers metálicos

Normalmente são compostos de aço de gradação X60, X65 ou X70, mas também estão

sendo utilizados outros metais como alumínio ou ligas de titânio.

Os risers de aço são compostos por tubos de aproximadamente doze metros de comprimento

acoplados nas juntas. A Figura 1.13 mostra os tubos revestidos antes da instalação. Estas

estruturas possuem maior resistência às grandes pressões hidrostáticas e tem maior rigidez à

flexão. Devido aos problemas de flambagem nos risers rígidos as plataformas às quais são

ligados precisam de equipamentos hidráulicos ou pneumáticos para controlar a tensão no topo,

chamados de top tensioners.

1.2 Justificativa e problema

A maiores profundidades e condições de operação extremas busca-se projetar risers com

boas características econômicas. Para garantir a integridade estrutural do riser e evitar catás-

trofes ambientais, é necessário conhecer o comportamento estrutural do riser e a natureza dos

carregamentos que irá suportar, seja na fase de instalação ou de operação. No caso das ope-

rações em águas ultra-profundas ainda há desafios tecnológicos a serem resolvidos devido ao

fato de que nessas profundidades alguns parâmetros de análise cobram maior importância. A

continuação apresentam-se os temas atuais em análise de risers rígidos em catenária.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 11

Figura 1.14: Experimento em escala real para o estudo da formação da trincheira nos SCRs. (Extraídode: < http:

//www.pulse-monitoring.com/products-and-services-4/production-riser-monitoring-60/>)

1.2.1 Temas atuais de pesquisa

O estudo do comportamento estático e dinâmico dos risers é de natureza multidisciplinar

envolvendo mecânica dos sólidos e dos fluidos, dinâmica não linear, vibrações, hidrodinâmica,

teoria de ondas, simulação de sistemas acoplados e mecânica dos solos. Um tema crucial no

projeto de SCR é a interação com o solo marinho, que requer para seu estudo um amplo conhe-

cimento de mecânica de solos.

A teoria dos SCRs é complexa e ainda não foi totalmente desenvolvida. A seguir apresentam-

se os temas atuais de pesquisa de SCRs os quais vêm sendo estudados intensivamente (Menglan

et al. , 2011).

1.2.1.1 Interação riser-solo

No caso dos SCRs a zona de contato do riser com o leito marinho é crítica onde se produz o

dano por fadiga. Devido à natureza do solo marinho, a avaliação do mecanismo de dano difere

dos mecanismos clássicos. Por outro lado, devido ao movimento oscilatório do conjunto riser-

plataforma a posição do ponto de contato entre o riser e o solo varia espacial-mente no tempo

fazendo com que a resposta do solo a estes ciclos repetidos de carga e descarga seja altamente

não linear. O modelo de solo deve incluir a formação de uma trincheira plástica e incorporar o

contato lateral da trincheira com o riser (Elosta e Atilla , 2013).

A degradação do solo, o mecanismo de formação da trincheira e o contato lateral com o

riser são áreas abertas para pesquisa. O conhecimento desses fenômenos é importante para

a correta determinação da vida à fadiga dos SCRs (Garcia Sanchez , 2013). A Figura 1.14

mostra um experimento feito pelas empresas dedicadas ao ramo dos risers para avaliar o efeito

da formação da trincheira no comportamento global dos SCRs.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 12

1.2.1.2 Interação fluido-estrutura

O efeito da ultra-passagem do fluido ao redor do riser é modelado comummente mediante a

equação de Morison (1950), a qual foi desenvolvida para cilindros verticais fixos e não toma em

conta a deformação do riser no tempo. Para o caso de risers flexíveis as forcas hidrodinâmicas

devem ser consideradas como seguidoras, ou dependentes da deformação, por tanto estas forças

devem ser tratadas como não conservativas (Yadzchi e Crisfield , 2002).

A maior dificuldade na consideração de cargas não conservativas é a adição de uma matriz

de correção de carga, esta matriz é não simétrica. Consequentemente a matriz de rigidez tan-

gente global da estrutura não será mais simétrica comprometendo a eficiência dos algoritmos

de solução.

1.2.1.3 Vibração induzida por vórtices

Imersos em correntezas os risers vibram sob a ação de forças hidrodinâmicas cíclicas in-

duzidas pelo desprendimento de vórtices. Este fenómeno é conhecido como vibração induzida

por vórtices, VIV. Quando a frequência de emissão dos vórtices coincide com uma das frequên-

cias naturais do riser este entra em ressonância. Na condição de ressonância o riser vibra com

grandes amplitudes e através do tempo este pode falhar por fadiga.

A vibração induzida por vórtices do SCRs operando em águas ultra-profundas é de natureza

multimodal e apresenta fenômenos de propagação de onda (Wu et al., 2012). Por outro lado

a determinação de cargas hidrodinâmicas pode ser feita através de modelos experimentais ou

por modelos computacionais de dinâmica de fluidos. A VIV de SCRs é um campo aberto para

pesquisas e uma das razões é a complexidade do escoamento en torno deste tipo de estruturas

vistas como cilindros com eixos curvos.

1.2.1.4 Acoplamento riser-plataforma

Em águas ultra-profundas o acoplamento entre o riser e a plataforma à qual está ligado

é importante no comportamento dinâmico global (Paulling e Webster , 1986) (Tahar e Kim

, 2003). Frequentemente estes efeitos são considerados como desacoplados, e o efeito das

ondas incidentes na plataforma como um deslocamento imposto no topo do riser que varia

harmonicamente. Esta simplificação perde exatidão quando as profundidades são maiores, já

que quanto maior profundidade, maior é a inércia do riser comparada com a inercia total do

sistema riser-plataforma, tendo-se que avaliar o comportamento global do sistema marinho de

riser.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 13

1.2.2 Problema e proposta

Riser rígidos em catenária, ou SCR’s, são uma solução promissora desde um ponto de vista

técnico e económico para a exploração de petróleo em águas ultra-profundas. Porém o compor-

tamento dinâmico de SCR ainda não foi totalmente compreendido e não está bem documentado.

A teoria de SCR é complexa e multidisciplinar, envolvendo tópicos de mecânica dos sólidos e

dos fluidos, dinâmica não linear, mecânica dos solos e interação fluido-estrutura.

Devido a teoria de SCR ainda estar sendo desenvolvida os fabricantes destas estruturas são

obrigados a aumentar seus fatores de segurança de projeto, principalmente, por causa da falta

de conhecimento dos danos por fadiga que podem ocorrer na zona de contato entre a estrutura

e o leito marinho.

Ferramentas computacionais para análise dinâmica do SCR são necessarias para o desen-

volvimento de pesquisa em tópicos específicos tais como VIV, interação riser-solo, interação

riser-plataforma e efeito do escoamento interno.

Dentro deste contexto, o presente trabalho de mestrado teve como enfoque o desenvolvi-

mento e implementação de uma ferramenta computacional para análise estática e dinâmica

bidimensional de risers rígidos em catenária considerando o contato com o solo marinho. Este

código computacional além de permitir o desenvolvimento de pesquisa em dinâmica plana de

SCRs servirá como base para o desenvolvimento de um código de análise dinâmica tridimensi-

onal de SCRs.

1.3 Revisão bibliográfica

A seguir são apresentadas as pesquisas e os resultados mais relevantes nos temas de maior

interesse na análise de risers.

1.3.1 Configuração de equilíbrio estático

Usando métodos analíticos Seyed e Patel (1992) fizeram uma análise bidimensional de ri-

sers considerando os efeitos da pressão externa e de um escoamento interno. Para o calculo do

empuxo os autores integraram a pressão sobre a superfície de um elemento de riser curvo for-

necendo expressões matemáticas exatas, mediante algumas hipóteses conseguiram simplificar

ainda mais estas expressões.

Como um elemento de riser não tem tampas nos extremo não é possivel usar diretamente

a lei de Arquimedes para a determinação do empuxo. Os extremos do elemento de riser não

são submetidos a pressões externas nem a pressões internas como este não tem tampas. Frente

a este problema Sparks (1984), Sparks (2007) introduz os conceitos de tensão efetiva e peso

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 14

aparente muito usados em análise de riser por sua simplicidade matemática.

Um dos métodos numéricos mais usados pelos pesquisadores em risers para os temas de

análise estática geometricamente não linear e contato com o solo marinho é o método dos

elementos finitos. Os trabalhos publicados no assunto, que serão apresentados a seguir, se

diferenciam na formulação utilizada para o tratamento das não linearidades geométricas e na

modelagem das cargas atuantes.

Felippa e Chung (1981) utilizaram um elemento de viga tridimensional considerando as

deformações axiais, de flexão e torcionais. As forças hidrodinâmicas são calculadas mediante a

equação de Morison. O método de Newton-Raphson foi implementado para a solução das equa-

ções de equilíbrio. O tratamento da não linearidade geométrica é feito mediante transformação

de coordenadas convectivas locais a coordenadas globais a cada deslocamento incremental.

Irani (1989) emprega ângulos de euler e a analogia cinemática de Kirchhoff para a deter-

minação das expressões da curvatura. A analogia cinemática de Kirchhoff estabelece que os

componentes da velocidade angular instantânea de um ponto que se move ao longo do eixo

do riser correspondem aos componentes de curvatura nesse ponto do riser. Usando esta abor-

dagem conjuntamente com o princípio de Hamilton o autor deduz as equações de movimento

do riser. O método dos elementos finitos foi usado para a discretização espacial e a resposta

dinâmica foi calculada no domínio da frequência.

Bernitsas et al. (1985) também tratou o equilíbrio estático tridimensional de risers, mas

usando as equações vetoriais do equilíbrio, podendo assim acoplar os efeitos de torção e fle-

xão. As equações resultantes foram resolvidas usando um algoritmo preditor-corretor e um

esquema incremental. Um resultado importante do trabalho de Bernitsas et al. (1985) é que ao

não considerar as forcas de interação com o fluido como dependentes dos deslocamentos, não

conservativas, sobrestima os deslocamentos e reações obtidas em um valor de 10%.

Para obter a configuração de equilíbrio estático de um riser Mathisen e Bergan (1986) usa-

ram diferentes configurações iniciais. A técnica de pré-tensão da estrutura no início da análise

para evitar problemas numéricos foi de muita utilidade nas simulações feitas por esses auto-

res. No trabalho destes autores também e demonstrada a importância da configuração inicial

no tempo total de simulação. O’Brien e McNamara (1989) cientes da importância da suposi-

ção de uma boa configuração inicial de equilíbrio no tempo total da simulação, eles usaram a

configuração de equilíbrio de um cabo calculada sem os efeitos de flexão e torção, assim eles

conseguiram reduzir o tempo total de simulação.

McNamara et al. (1986) calcularam a configuração estática de um riser partindo de confi-

gurações iniciais verticais e horizontais, impondo logo deslocamentos e forças. Teoricamente,

devido à linearidade do material, a ordem na aplicação das forças e deslocamentos para achar

a configuração do equilíbrio não é importante, mas numericamente, a ordem de aplicação toma

importância. Isto é devido a que em cada incremento de forca ou deslocamento um erro é acu-

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 15

mulado, este erro depende da ordem de aplicação das cargas, tal como foi comfirmado pela

ferramenta implementada neste trabalho.

Os trabalhos mencionados anteriormente usam a abordagem Lagrangiana na obtenção das

equações dos elementos finitos. Devido a que o riser sofre grandes deslocamentos porém peque-

nas deformações Yadzchi e Crisfield (2002) usou a formulação co-rotacional para os elementos

finitos baseado nos trabalhos de Wempner (1969), Belytschko e Hsieh (1973), Belytschko e

Hsieh (1979).

1.3.2 Análise dinâmica

Takafuji (2010) realizou uma análise dinâmica tridimensional no domínio da frequência de

um riser. Ela linearizou o arrasto hidrodinâmico que é proporcional ao quadrado da velocidade

na equação de Morison. Esta técnica de linearização é uma extensão do método proposto por

Martins (2000).

O método de integração no tempo mais usado na análise dinâmica de estruturas oceânicas é

o método de Newmark de aceleração média constante. Este método é incondicionalmente está-

vel para o caso de problemas lineares, porém quando é usado para tratar estruturas não lineares

a estabilidade do algoritmo é comprometida (Bathe , 1982). Por outro lado, a imposição de des-

locamentos para simular o acoplamento risers-plataforma introduz um efeito desestabilizador

no algoritmo de integração temporal quando o método de penalização é utilizado.

Para tratar esta dificuldade outros pesquisadores propuseram o uso de esquemas de inte-

gração com amortecimento numérico como o algoritmo HHT, desenvolvido por Hilber et al.

(1977), em vez do algoritmo de Newmark. Hansen (1988) propôs modificar os parâmetros

de controle γ e β para introduzir um amortecimento numérico artificial no algoritmo de New-

mark. Miranda et al. (1989) propus a utilização de um esquema híbrido baseado em esquemas

de integração explícitos e implícitos aplicados ao mesmo tempo a integração das equações de

movimento.

Garcia Sanchez (2013) propõe o uso de uma técnica de suavização, baseado no trabalho

de Teixeira (2001), Nesta técnica o deslocamento é aplicado suavemente através de toda a

estrutura e não somente num nó, distribuindo assim a energia de perturbação da imposição do

deslocamento.

No trabalho de Mourelle (1993) é proposto um método para o ajuste automático do passo

de tempo usado na análise dinâmica, baseando-se no trabalho de Mollestad (1983) o autor pro-

põe um parâmetro para a determinação da frequência de vibração concorrente, este parâmetro

resulta da divisão da matriz de rigidez tangente no tempo t + ∆t entre a matriz de massa no

tempo t, estas matrizes são pré o pós-multiplicadas pelos vetores de deslocamento no tempo

t. O uso deste parâmetro e a determinação analítica das frequências de um modelo simplifi-

cado de riser, fornecem resultados muito precisos para a determinação do passo de tempo mais

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 16

eficiente, otimizando a ferramenta computacional desenvolvida por Mourelle.

1.3.3 Interação riser-solo

As mais recentes pesquisas em SCR vêm se centrando na análise desta interação. Como

foi dito anteriormente, a zona de contato com o solo marinho ou TDZ é o trecho do riser que

apresenta os maiores esforços na operação do riser, tem-se observado que o leito marinho em

contato com o riser vai-se degradando e depois de alguns ciclos de contato e re-contato vai

se criando uma trincheira, Shiri (2014), esta trincheira modifica o estado de deformações e

tensão no TDZ, é importante, portanto, conhecer a natureza da formação desta trincheira para

determinar corretamente o estado de tensão na TDZ. Neste trabalho de mestrado o tema de

formação de trincheira não é tratado e adequadamente será estudado em um futuro trabalho de

doutorado.

Em algumas pesquisas da interação riser-solo, o solo é considerado como totalmente rígido.

Esta suposição fornece resultados conservadores para o momento fletor no TDP.

Outras pesquisas feitas na análise da interação riser-solo, Silveira & Martins (2004) e

Martins (2000) consideram o solo marinho como elástico-linear. O solo é modelado por um

conjunto de molas verticais com rigidez equivalente à rigidez do solo multiplicada pela área de

contato.

Modelos mais refinados desta interação foram estudados por You et al. (2008), Randolph &

Quiggin (2009) e Aubeny et al. (2008). Os autores fazem uso das curvas P−y, muito utilizadas

em engenharia civil para modelar a interação de colunas enterradas no solo. As curvas P − y

representam a relação entre a penetração y e a pressão P que oferece o solo. Nestes trabalhos é

tomado em conta o caráter plástico do solo marinho na formação de uma trincheira.

As curvas P − y modelam a resistência oferecida pelo solo marinho no caso do primeiro

contato, re-contato, sucção e descolamentos parciais que estão presentes na operação dos SCR.

Os modelos fornecidos por estes autores foram validados nos experimentos a grande escala

estudados em Bridge et al. (2004).

Para o caso tridimensional outros consideram o efeito do contato/impacto lateral entre o

riser e as paredes formadas pela trincheira. Shiri (2014) realiza análise de fadiga considerando

a formação da trincheira. Em Bay et al. (2015) aplicaram-se as curvas P− y à análise dinâmica.

1.4 Objetivos

O principal objetivo do presente trabalho de mestrado é o desenvolvimento e implementa-

ção de uma ferramenta computacional para análise estática e dinâmica bidimensional de risers

rígidos em catenária considerando o contato com o solo marinho.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 17

Os objetivos específicos deste trabalho são dados a seguir.

• Revisar os métodos numéricos utilizados na solução de problemas não lineares, como

são: método de Newmark para a análise dinâmica, método de Newton-Raphson para a

solução de sistemas de equações não lineares e o método de penalização para a imposição

de deslocamentos.

• Implementar um elemento de viga plana geometricamente não linear mediante a formu-

lação co-rotacional e conduzir um estudo de validação usando resultados da literatura.

• Realizar simulações de equilíbrio estático de risers flexíveis e rígidos submetidos a seu

próprio peso, forças hidrostáticas e arrasto da correnteza, além de conduzir simulações de

equilíbrio estático com imposição de deslocamentos no topo do riser.

• Realizar simulações dinâmicas de movimento para diferentes entradas de excitação e con-

dições de operação, impondo forças e deslocamentos.

• Elaborar um código de análise dinâmica que permita incluir o efeito da pré-tensão da

estrutura.

• Desenvolver um código computacional robusto para a simulação do contato unidirecional

entre o riser e uma fundação tipo Winkler, que inclua o efeito de descolamento.

A ferramenta computacional foi desenvolvida no programa MATLAB 2012 e é chamado de

FLEXOL.

1.5 Contribuição

A ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho servirá como plataforma para o

desenvolvimento de pesquisa em estática e dinâmica bidimensional de risers flexíveis e rígidos.

Com a adição de novos blocos de código à plataforma desenvolvida, temas cruciais da dinâmica

de risers poderão ser tratados tais como o contato com o solo marinho, o efeito na dinâmica do

escoamento interno, o efeito da correnteza com movimento acelerado, vibração induzida por

vórtices e o acoplamento riser-plataforma.

1.6 Estrutura do texto

A dissertação é composta de seis capítulos os quais são apresentados resumidamente a se-

guir.

No primeiro capítulo o problema é caraterizado e colocado dentro da área do conhecimento

à qual se insere. Também são expostos os temas atuais de pesquisa na área de dinâmica de

risers.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 18

Já no segundo capítulo são deduzidas as equações de movimento usando o Princípio dos

Trabalhos Virtuais e as mesmas são formuladas incrementalmente assim como também discre-

tizadas usando o método dos elementos finitos. A não linearidade geométrica do riser devido a

seus grandes deslocamentos é abordada mediante a formulação co-rotacional para um elemento

de viga plana não linear de Euler-Bernoulli.

O vetor de forças externas é apresentado incluindo as forças hidrostáticas e de arrasto.

Tendo-se todas as matrizes definidas e o vetor de cargas externas procede-se as simulações

numéricas.

No terceiro capitulo são apresentados os métodos numéricos usados na solução das equações

deduzidas no capítulo anterior. Para a discretização temporal é usado o método de Newmark.

O método de Newton-Raphson é usado para a solução do sistema de equações não lineares

provenientes da aplicação do método de Newmark a cada passo de tempo. Também é apresen-

tado o método de penalização utilizado na solução do problema de contato e na modelagem da

imposição de deslocamentos ao riser por parte a plataforma.

As caraterísticas dos módulos computacionais para análise estática, dinâmica e de contato

que compõem o programa desenvolvido FLEXOL são também apresentados neste capítulo.

O quarto capítulo é destinado à validação do código desenvolvido usando resultados da

literatura. Nos exemplos desenvolvidos resolvem-se problemas de estática e dinâmica conside-

rando a não linearidade geométrica. A simulação do contato também é avaliada.

Exemplos de aplicação são resolvidos no quinto capítulo usando o FLEXOL e são compara-

dos também com os resultados obtidos por outros pesquisadores e com resultados analíticos.

O último capítulo apresenta as conclusões deste trabalho. Recomendações para trabalhos

também são discutidas tendo em conta o nível de desenvolvimento da ferramenta computacional

FLEXOL.

Capítulo 2

MODELAGEM MATEMÁTICA

2.1 Equações de equilíbrio

A Figura 2.1 representa um corpo elástico cuja superfície é a união das superfícies S1 e

S2. Em S1 são prescritas as condições de contorno geométricas (ou essenciais) e em S2 as

condições de contorno naturais. Em S2 é aplicada uma tração de superfície t em unidades de

força por unidade de área e através do volume V do corpo é aplicada uma força de corpo b,

em unidades de força por unidade de volume. Tendo-se as propriedades mecânicas do material

que constitui o corpo e as condições de contorno procede-se a obter as equações de equilíbrio

estático do corpo.

Y

X

Z

S

1

dV

dA

S

2

n

u

v

w

u

b

t

Figura 2.1: Corpo elástico.

As equações de equilíbrio estático são deduzidas usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais.

O campo de deslocamentos do corpo elástico da Figura 2.1 é definido pelo vetor u:

u =u v w

T(2.1)

onde u, v e w são os componentes de deslocamento nas direções dos eixos cartesianos X , Y e

Z , respetivamente. Define-se o campo de deslocamentos virtuais a partir da configuração de

19

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 20

equilíbrio, δu, como

δu =δu δv δw

T. (2.2)

O princípio dos trabalhos virtuais declara que um sistema deformável está em equilíbrio se

e somente se o trabalho virtual total realizado pelas cargas externas, δWext, é igual ao trabalho

virtual total realizado pelas cargas internas, δWint, para todos os deslocamentos virtuais con-

sistentes com as restrições cinemáticas impostas ao corpo. Matematicamente, este princípio é

declarado como:

δWext = δWint. (2.3)

O trabalho virtual das forças internas é determinado como a primeira variação da energia de

deformação U do corpo deformado, ou seja

δWint = δU . (2.4)

O trabalho virtual externo é a soma dos trabalhos virtuais individuais das forças de tração e

de corpo:

δWext =

∫V

b · δudV +

∫A

t · δudA (2.5)

O trabalho virtual total das tensões internas σ através do campo de deformação virtual δε

é:

δU = σ : δε (2.6)

onde o símbolo : é o operador de contração dupla entre tensores.

Agora definindo-se o trabalho virtual das forças residuais como∫

V r · δudV a expressão dos

trabalhos virtuais para obter as equações de equilíbrio é dada por (NAFEMS , 1992):∫V

r · δudV =

∫Vσ : δεdV −

∫V

b · δudV −∫

At · δudA = 0. (2.7)

2.2 Não linearidade geométrica

Um riser disposto em catenária pode ser visto como uma estrututra cilíndrica longa com alta

razão de aspeto (razão entre o comprimento e o diâmetro). Esta estrutura pode ser modelada

como uma viga curva com rigidez à tração, flexão e torção. Devido a que o riser durante

operação sofre pequenas deformações, o material desta estrutura pode ser modelado como tendo

um comportamento elástico-linear. Por outro lado, devido a que o riser na fase de instalação

é submetido a grandes deslocamentos e rotações assim como também na fase de operação a

estrutura sofre os efeitos da correnteza e dos movimentos da plataforma o comportamento desta

estrutura deve ser modelado como sendo geometricamente não linear.

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 21

Ao determinar a configuração de equilíbrio estático de um riser disposto em catenária deve-

se ter em conta a dependência da rigidez com a deflexão estrutural.

Uma análise estática geometricamente não linear deve ser conduzida para determinar a con-

figuração de equilíbrio de um riser em catenária. Se a análise estática é baseada no método dos

elementos finitos, então um elemento finito de Euler-Bernoulli pode ser desenvolvido usando

a teoria clássica de vigas. O elemento finito sofrerá pequenas deformações porém é submetido

a grandes deslocamentos.

2.2.1 Abordagens na análise não linear geométrica

É importante ressaltar que na Equação 2.7 σ é o segundo tensor de Piola-Kirchhoff e ε é o

tensor de deformação de Green. Estes dois tensores são usados neste trabalho para considerar a

não linearidade geométrica do corpo. Devido à não linearidade geométrica a área e volume de

integração usados na Equação 2.7 são variáveis, por tanto, é necessário usar medidas de tensão

e deformação baseadas no gradiente de deformação. As formulações disponíveis expressam o

volume e área de integração como transformações do volume e área conhecida. As formulações

são: Lagrangiana Total (Total Lagrangian) e Lagrangiana Atualizada (Updated Lagrangian).

Na primeira os volumes e áreas na posição atual, At+∆t e Vt+∆t , são calculados usando os volu-

mes e áreas inicias, A0 e V0, e na segunda, os volumes e áreas são calculados usando as áreas e

volumes da última posição de equilíbrio, At e Vt .

X

Y

Z

160x60

tempo t=t

0

tempo t

tempo t+Δt

Configuração

inicial:

V

0

, A

0

Configuração

atual:

V

t+Δt

, A

t+Δt

Lagrangiana

Atualizada

(U.L.)

Lagrangiana

Total

(T.L.)

Configuração

anterior:

V

t

, A

t

Figura 2.2: Configurações de referência para as distintas formulações usadas na análise não lineargeométrica.

A formulação Lagrangiana Total da equação 2.7 é dada por (NAFEMS , 1992):∫V0

r0 · δudV =

∫V0

σ : δεdV0 −

∫V0

b0 · δudV0 −

∫A0

t0 · δudA0 = 0 (2.8)

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 22

e a formulação Lagrangiana Atualizada da mesma equação é:∫Vt

rt · δudV =

∫Vt

σ : δεdVt −

∫Vt

bt · δudVt −

∫At

tt · δudAt = 0 (2.9)

Existe outra formulação para resolver problemas com não linearidades geométricas e pequenas

deformações que não usam as medidas de deformação mencionadas anteriormente, é a Formu-

lação Co-rotacional. Esta formulação será apresentada na secção 2.3.2.

2.2.2 Linearização das equações de equilíbrio

Para atingir o equilíbrio é necessário que o trabalho virtual da força residual δW , definida

pela Equação 2.7, seja igual a zero, porém como as equações resultantes são não lineares deve-se

implementar um método para resolve-las. Uma solução é trabalhar em um esquema incremen-

tal, usando o parâmetro t como referência para medir os incrementos. Assume-se que em t

o vetor de deslocamentos é conhecido e satisfaz as condições de equilíbrio, deseja-se obter a

posição de equilíbrio em t +∆t, isto é após um incremento ∆t. Para isto é necessário aproximar

o trabalho das forças residuais em t + ∆t por uma expansão de Taylor truncada, assim tem-se:(∫V0

r0 · δudV0

)t+∆t

=

(∫V0

r0 · δudV0

)t+

ddt

(∫V0

r0 · δudV0

)t∆t. (2.10)

A Equação 2.10 é linear respeito do incremento ∆t e os termos à direita são conhecidos. A

maior dificuldade na análise é a determinação da derivada do termo∫

V0r0 · δudV . Adotam-se

as seguintes premissas para simplificar a análise:

• o carregamento não depende das deformações (forças conservativas),

• o material é elástico linear,

• as condições de contorno não dependem dos deslocamentos (sem contato).

Considerando as três premissas acima apresentadas e colocando em evidência o termo da deri-

vada da Equação 2.10, a seguinte expressão é obtida (NAFEMS , 1992):

δW =ddt

(∫V0

r0 · δudV)

t=

∫V0

σ : δεdV0 +

∫V0

σ : δεdV0 −

∫V0

b0 · δudV0 −

∫A0

t0 · δudA0.

(2.11)

2.3 Análise estática de risers

O riser objeto de estudo neste trabalho é modelado como uma viga plana com grandes

deslocamentos e pequenas deformações. A seguir serão determinadas as expressões necessárias

para a análise estática de risers.

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 23

2.3.1 Equação de equilíbrio

Uma vez feita a discretização por elementos finitos do riser, onde o vetor de deslocamento

u do elemento finito é interpolado a partir dos deslocamentos nodais globais U, as equações de

equilíbrio global são escritas como (Bathe , 1982):

Q = P (2.12)

onde Q é o vetor de forças internas nodais devidas à deformação e P é o vetor de forças externas

nodais. O vetor de forças internas é uma função não linear dos deslocamentos nodais U. O

vetor P, em geral, depende também do vetor de deslocamentos U. As cargas hidrodinâmicas de

correnteza são de natureza não conservativa, isto é dependem da deformação da estrutura, estas

forças são classificadas como forças seguidoras. A Equação 2.12 pode ser desenvolvida como

uma expansão de Taylor:

Q(U) = P(U) (2.13)

Q(U t+∆t ) = Q(U t ) +∂Q(U t )∂U t ∆U +

12!∂ 2Q(U t )∂U t∂U t ∆U2 + . . . (2.14)

P(U t+∆t ) = P(U t ) +∂P(U t )∂U t ∆U +

12!∂ 2P(U t )∂U t∂U t ∆U2 + . . . (2.15)

onde o vetor ∆U representa o vetor de deslocamentos incrementais entre os tempos t e t + ∆t.

Considerando somente os dois primeiros termos do lado direito das equações 2.14 e 2.15, a

Equação 2.13 pode ser linearizada ao redor da configuração de equilíbrio em t como:

Q(U t ) + K T∆U = P(U t ) + KNC∆U (2.16)

[KT −KNC]∆U = P(U t ) −Q(U t ) (2.17)

∆U = [K T −KNC]−1 R(U t ) (2.18)

O termo KNC é conhecido como matriz de correção de carga, o termo KT é a matriz de

rigidez tangente, ambas as matrizes são avaliadas no tempo t. O vetor R(U t ) é o residual entre

a força interna e força externa na deformação U t . Esta Equação 2.18 será resolvida através do

esquema incremental-iterativo de Newton-Raphson. A seguir serão determinados cada um dos

vetores e matrizes da Equação 2.18.

2.3.2 Elemento de viga plana pela abordagem co-rotacional

Três formulações podem ser usadas para a análise por elementos finitos de estruturas com

não linearidades geométricas: Lagrangiano Total, Lagrangiano Atualizado e Co-rotacional. A

formulação co-rotacional é a mais recente e válida para pequenas deformações, sem importar

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 24

quão grande sejam os deslocamentos e rotações.

As primeiras aplicações da formulação co-rotacional conjuntamente com o método dos ele-

mentos finitos foram feitas por Wempner (1969), Belytschko e Hsieh (1973). Argyris (1982)

criou a formulação natural para o tratamento de problemas elásticos não lineares. Crisfield

(1990) forneceram as bases matemáticas para a formulação Co-rotacional trabalhando com ele-

mentos de viga e casca. Esta formulação foi refinada nos trabalhos de Haugen (1994) e Battini

(2002), o último autor aplicou este método a problemas de instabilidade estrutural em cascas.

A seguir apresenta-se a descrição cinemática co-rotacional de um elemento de viga plana a

qual é baseada nos trabalhos de Crisfield (1997) e Yaw (2009).

2.3.2.1 Descrição cinemática co-rotacional

Na formulação co-rotacional definem-se dois sistemas de coordenadas: o sistema global

XY e o sistema local xy, vide Figura 2.3. O sistema local de coordenadas é fixo ao elemento

e tem um movimento de corpo rígido, o eixo x é definido pela linha que une os nós 1 e 2. As

seguintes configurações são definidas: configuração inicial C0, configuração co-rotacionada Cc

e a configuração atual Cd .

A configuração co-rotacionada Cc representa o movimento de corpo rígido de translação e

rotação do elemento desde a configuração C0. A configuração deformada Cd é a deformação so-

frida pelo elemento devida às forças internas medidas desde a configuração Cc. As deformações

em Cd são pequenas e obedecem a teoria linear de vigas de Euler-Bernoulli.160x60

Y

X

1

2

1

2

y

x

y

x

Configuração

inicial C

0

Configuração

co-rotacionada C

c

Configuração

atual (deformada) C

d

Figura 2.3: Sistema de coordenadas e configurações usadas na descrição cinemática co-rotacional.

Conforme o elemento se move como corpo rígido este se deforma devido às tensões internas

para adotar a configuração atual com deformação. A formulação co-rotacional considera como

referência a configuração inicial para a determinação do vetor de forças internas, ao igual que

na formulação Lagrangiana Total.

A aplicação da formulação co-rotacional para estruturas planas é diferente da aplicação a

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 25

estruturas espaciais, devido a que no plano as rotações podem ser adicionadas, não sendo assim

no espaço. Além disso, o tratamento da torção no espaço requer um estudo prévio das grandes

rotações. A seguir será deduzida a matriz de rigidez tangente e o vetor de forças internas para

um elemento de viga plana usando o abordagem co-rotacional.

2.3.2.2 Formulação co-rotacional para o elemento de viga

A formulação é baseada na teoria de viga clássica de Euler-Bernoulli. Assume-se que du-

rante a deformação a viga tem um comportamento elástico-linear e a lei de Hooke é usada. As

deduções matemáticas são baseadas no livro de Crisfield (1991) e o trabalho de Yaw (2009). O

primeiro passo na formulação co-rotacional é a decomposição do deslocamento total expresso

em coordenadas globais em dois movimentos: um de corpo rígido e outro deformacional. A

extração das deformações pode ser feito mediante operações geométricas. O segundo passo é

a obtenção de uma matriz de transformação, que relacione as variações dos deslocamentos em

coordenadas locais e globais. O terceiro passo consiste na obtenção da matriz de rigidez tan-

gente a partir da formulação dos trabalhos virtuais das forças internas em coordenadas locais e

globais. A seguir apresentam-se as deduções matemáticas.

O alongamento do elemento de viga é calculado como a diferença entre o comprimento

atual L e o comprimento inicial L0, vide Figura 2.4. As coordenadas X e Y dos nós 1 e 2 do

elemento de viga na configuração inicial são conhecidas.

O comprimento inicial do elemento de viga é

L0 =

√(X2 − X1)2 + (Y2 − Y1)2 (2.19)

onde (X1,Y1) e (X2,Y2) são as coordenadas dos nós 1 e 2 do elemento de viga na configuração

inicial. O comprimento final do elemento após da aplicação dos deslocamentos nodais em

coordenadas globais, u1 e v1 para o nó 1 e u2 e v2 para o nó 2, é dado por

L =

√((X2 + u2) − (X1 + u1))2 + ((Y2 + v2) − (Y1 + v1))2. (2.20)

Normalmente o alongamento axial é determinado por ul = L − L0 mas, segundo Crisfield

(1990), esta definição não é apropriada para ser implementada em programas de computador

devido a que não está bem condicionada, por isso é recomendável usar

ul =L2 − L2

0

L + L0(2.21)

esta Equação relaciona os deslocamentos em coordenadas globais u1, v1, u2 e v2 com o deslo-

camento relativo axial ul , este último medido em coordenadas locais.

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 26

A força axial interna é determinada pela seguinte expressão (usando a Equação 2.21)

N =E Aul

L0(2.22)

onde A é a área da secção transversal do elemento de viga e E é o módulo de elasticidade. De

acordo com a Figura 2.4 o ângulo de rotação β do sistema local de coordenadas em relação ao

sistema global de coordenadas globais é determinado por qualquer uma das expressões a seguir:

cos β =(X2 + u2) − (X1 + u1)

L, sin β =

(Y2 + v2) − (Y1 + v1)L

(2.23)

160x90

Y

X

y

y

x

x

1

1

2

2

L

0

Li

Configuração

atual

Configuração

inicial

β

β0

u

1

u

2

v

2

v

1

Y1

X1

X2

Y2

Figura 2.4: Coordenadas e deslocamentos nodais do elemento viga de Euler-Bernoulli.

Extração das rotações deformacionais. A seguir serão extraídas as rotações nodais devidas

à deformação do elemento de viga. θ1 e θ2 são as rotações nodais do elemento de viga devidas

à rotação de corpo rígido e à rotação deformacional do elemento, vide Figura 2.5. θ1l e θ2l são

as rotações deformacionais do elemento de viga medidas em coordenadas locais as quais são

expressas por:

θ1l = θ1 + β0 − β, θ2l = θ2 + β0 − β (2.24)

onde β é igual a

β = arctan(

Y2 + v2 − Y1 − v1

X2 + u2 − X1 − u1

)(2.25)

e β0 é a inclinação do elemento de viga na configuração inicial sem deformação. As equações

2.24 e 2.25 presentam problemas numéricos quando o ângulo de rotação β é maior do que π/2.

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 27

Devido a isto Souza (2000) propõe alternativamente usar as seguintes expressões para eliminar

este problema. Aplicando a função seno a θ1l (pode ser tambem θ2l) da Equação 2.24 tem-se

que

sin(θ1l ) = sin(θ1 + β0 − β) = sin(β1 − β) = cos β sin β1 − sin β cos β1 (2.26)

e depois aplicando a função cosseno à mesma expressão usada anteriormente tem-se

cos(θ1l ) = cos(θ1 + β0 − β) = cos(β1 − β) = cos β cos β1 − sin β sin β1 (2.27)

As equações 2.26 e 2.27 são relacionadas pela função arco tangente como

θ1l = arctan(

cos β sin β1 − sin β cos β1

cos β cos β1 + sin β sin β1

)(2.28)

θ2l = arctan(

cos β sin β2 − sin β cos β2

cos β cos β2 + sin β sin β2

)(2.29)

onde os valores de β1 e β2 são dados por

β1 = θ1 + β0, β2 = θ2 + β0 (2.30)

160x70

Y

X

y

y

x

x

1

1

2

2

Configuração

atual

Configuração

inicial

β

β0

α

θ1

θ1l

Figura 2.5: Deformações rotacionais ,θ1l e θ2l , e de corpo rígido ,α, na formulação co-rotacional.

Os elementos de viga plana comummente usados em análises por elementos finitos in-

cluindo problemas com não linearidades geométricas relacionam os momentos nodais com as

rotações nodais em coordenadas locais por meio da seguinte relação

M1

M2

=2EIL0

2 1

1 2

θ1l

θ2l

(2.31)

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 28

onde M1 e M2 são os momentos aplicados aos nós 1 e 2 respetivamente.

Variação dos deslocamentos nodais em coordenadas locais e coordenadas globais. O ve-

tor de deslocamentos nodais para o elemento de viga em coordenadas globais, p, e sua variação,

δp, são dados por:

p =[u1 v1 θ1 u2 v2 θ2

]T(2.32)

δp =[δu1 δv1 δθ1 δu2 δv2 δθ2

]T(2.33)

e o vetor de deslocamentos em coordenadas locais, pl , e sua variação, δpl , são:

pl =[ul θ1l θ2l

]T(2.34)

δpl =[δul δθ1l δθ2l

]T(2.35)

O elemento sofre uma rotação de corpo rígido total α, vide Figura 2.5 . A partir dessa

configuração o elemento de viga é levado para uma nova configuração através de uma variação

infinitesimal do vetor de deslocamentos nodais. O nó 1 da viga na configuração variada faz

com que coincida-se coincidir com o nó 1 da viga na configuração atual para um estudo de

deslocamentos relativos. δα é a variação infinitesimal da rotação de corpo rígido definida pelo

ângulo α como mostra a Figura 2.6. δd21 é o deslocamento do nó 2 relativo ao nó 1 produzido

pela variação da configuração atual. δul é o alongamento axial do nó 2′ em relação ao nó 1

produzido pela configuração variada. Na Figura 2.6 as seguintes relações são válidas:160x60

Y

X

e

2

1

2

Configuração

atual

2'

L

δu

l

δα

Configuração

variada

e

1

δd

12

Figura 2.6: Relação entre a variação virtual dos deslocamentos em coordenadas globais e coordenadaslocais.

δul = eT1 d21 =

cos β sin β

d21 =

cos β sin β

δu2 − δu1

δv2 − δv1

(2.36)

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 29

δα =1L

eT2 δd21 = − sin β cos βd21 = − sin β cos β

δu2 − δu1

δv2 − δv1

(2.37)

onde e1 e e2 são os vetores unitários que definem a orientação do sistema local de coordenadas

local (e1 e e2 definem os eixos x e y, respetivamente). As equações 2.36 e 2.37 também podem

ser expressas como

δul = [− cos β − sin β 0 cos β sin β 0]δp = rTδp (2.38)

δα =1L

[sin β − cos β 0 − sin β cos β 0]δp =1L

zTδp (2.39)

Agora é necessário expressar a variação das rotações deformacionais em termos da variação

dos deslocamentos nodais globais, isto é em função do vetor δp. Ao aplicar o operador variação

a Equação 2.24, obtém-se

δθl = δ

θ1 + β0 − β

θ2 + β0 − β

=

δθ1 − δα

δθ2 − δα

(2.40)

As simplificações feitas na Equação 2.40 são possíveis devido a que δ β0 = 0, isto é porque

β0 é uma constante, e δα = δ β0, como α e β medem a rotação do mesmo corpo rígido. A

Equação 2.40 pode ser expressa em função do vetor δp assim

δθl =

[0 0 1 0 0 0]δp − (1/L)zTδp[0 0 0 0 0 1]δp − (1/L)zTδp

(2.41)

ou como

δθl =

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

−

1L

zT

zT

δp = ATδp. (2.42)

A Equação 2.38 relaciona a variação dos deslocamentos globais com a variação do alonga-

mento relativo axial do elemento. Por outro lado a Equação 2.42 relaciona também a variação

dos deslocamentos globais com a variação das rotações locais. Por tanto, é possível obter uma

matriz B de transformação de deslocamentos entre os dois sistemas de coordenadas local e

global, assim

δpl =

δul

δθ1l

δθ2l

=

rT

AT

δp = Bδp (2.43)

onde B é

B =

− cos β − sin β 0 cos β − sin β 0

− sin β/L cos β/L 1 sin β/L − cos β/L 0

− sin β/L cos β/L 0 sin β/L − cos β/L 1

. (2.44)

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 30

Vetor de forças internas. Estando o elemento de viga na configuração de equilíbrio estático

o trabalho virtual realizado pelas cargas nodais através de deslocamentos virtuais que seguem

a direção dos eixos globais deve ser igual ao trabalho virtual realizado pelas tensões internas

desenvolvidas no elemento. O último trabalho virtual é convenientemente determinado em

coordenadas locais. Isto é porque um observador fixo ao sistema local de coordenadas verá o

elemento sofrer pequenas deformações e o cálculo da energia de deformação é relativamente

simples. Matematicamente, a declaração acima dada dos trabalhos virtuais é dada por

δpTv q = δpT

lvq l (2.45)

onde o subscrito l indica que a quantidade é medida no sistema local de coordenadas, e o

subscrito v indica que a quantidade é virtual. A Equação 2.45 pode ser escrita como, usando a

matriz de transformação BδpT

v q = (Bδpv)T q l = δpTv BT q l (2.46)

devido a que o deslocamento virtual δpTv é uma quantidade arbitrária, a 2.46 pode ser sim-

plificada ao cancelar δpTv para obter

q = BT q l (2.47)

com

qTl =

N M1 M2

(2.48)

Matriz de rigidez tangente. Como explicado na secção 2.3.1, a matriz de rigidez tangente é

obtida ao linearizar o vetor de forças internas aproximadas mediante uma expansão em serie de

Taylor. Equivalentemente, a matriz de rigidez tangente também pode ser obtida ao aplicar o

operador variação à Equação 2.47, assim tem-se que

δq = BTδq l + δBT q l = BTδq l + NδB1 + M1δB2 + M2δB3 (2.49)

onde δB1, δB2 e δB3 são as variações das três filas da matriz B. O termo BTδq l representa a

matriz de rigidez linear, k tl , do elemento de viga de Euler-Bernoulli. Os três últimos termos

compõem a matriz de rigidez geométrica da viga em estudo, k tσ. Agrupando os termos tem-se

δq = k tlδp + k tσδp (2.50)

O termo linear da matriz de rigidez tangente k tl é

ktl = BT ClB (2.51)

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 31

Cl =E AL0

1 0 0

0 4r2 2r2

0 2r2 4r2

(2.52)

onde r =√

I/A, Cl é a matriz constitutiva linear do elemento de viga, esta matriz é 3× 3 devido

a que o elemento co-rotacionado tem três graus de liberdade: o deslocamento axial e as duas

rotações nodais.

A matriz de rigidez geométrica k tσ que provem da variação da matriz de transformação Bse calcula usando

k tσ =NL

zzT +M1 + M2

L2 (rzT + zrT ) (2.53)

onde os vetores r e z foram determinados nas equações 2.38 e 2.39.

Explicitamente, a matriz de rigidez geométrica é dada por:

k tσ =NL

sin2 β − cos β sin β 0 − sin2 β cos β sin β 0

− cos β sin β cos2 β 0 cos β sin β − cos2 β 0

0 0 0 0 0 0

− sin2 β cos β sin β 0 sin2 β − cos β sin β 0

cos β sin β − cos2 β 0 − cos β sin β cos2 β 0

0 0 0 0 0 0

+M1 + M2

L2

− cos β sin β − cos2 β 0 cos β sin β − cos2 β 0

− sin2 β cos β sin β 0 sin2 β − cos β sin β 0

0 0 0 0 0 0

cos β sin β − cos2 β 0 − cos β sin β − cos2 β 0

sin2 β − cos β sin β 0 − sin2 β cos β sin β 0

0 0 0 0 0 0

+M1 + M2

L2

− cos β sin β − sin2 β 0 cos β sin β sin2 β 0

cos2 β cos β sin β 0 − cos2 β − cos β sin β 0

0 0 0 0 0 0

cos β sin β sin2 β 0 − cos β sin β − sin2 β 0

− cos2 β − cos β sin β 0 cos2 β cos β sin β 0

0 0 0 0 0 0

Finalmente foram obtidas a matriz de rigidez tangente do elemento de viga plano e o vetor

de forças internas.

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 32

2.3.3 Carregamentos atuantes de natureza estática

As cargas atuantes nos risers vêm de diferentes fontes como são: a interação com o campo

gravitacional, a interação com o fluido, a interação com o navio, a interação com o solo, en-

tre outras. Esta secção apresenta os modelos de cargas atuantes em risers consideradas neste

trabalho.

2.3.3.1 Força peso-empuxo

É considerado o peso do fluido interno por unidade de comprimento do fluido interno, wi, o

peso do material do riser por unidade de comprimento do material, wr , e o peso do volume de

fluido deslocado pelo riser por unidade de comprimento, wa. Estas distribuições de carga são

determinadas pelas seguintes equações:

wi =14ρigπD2

i

wr =14ρrgπ(D2

e − D2i )

wa =14ρagπ(D2

e )

(2.54)

onde ρi é a densidade do fluido interno, ρr é a densidade do riser, ρa a densidade da água

do mar e g é a aceleração da gravidade. Define-se a força de peso-empuxo usando o principio

de Arquimedes:

bw = wi + wr − wa (2.55)

Na Equação 2.55 bw representa um carregamento distribuído por unidade de comprimento

na direção vertical. Para transformar esta carga distribuída em cargas nodais usam-se as funções

de interpolação cúbicas de Hermite, e isto é feito através da Equação 2.56. As funções de

interpolação hermitianas são definidas na tabela 2.1

bw =

∫Ω

bwhdΩ (2.56)

Na Equação 2.56 h é a matriz que contém as funções de interpolação.

A força devida ao próprio peso é constante e sempre aponta na direção global Y negativa,

esta carga é considerada conservativa devido a que se deriva do potencial gravitacional. O vetor

de carga nodal externa em coordenadas globais Pep nodal para o elemento de viga é

bw =

[0

bwLe

2bwL2

e

120

bwLe

2bwL2

e

12

]T

. (2.57)

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 33

Tabela 2.1: funções cúbicas de interpolação de Hermite.

h função

h1 1 − 3x2

L2e

+ 2x3

L3e

h2 x − 2x2

L2e

+ x3

L2e

h33x2

L2e− 2x3

L3e

h4 − x2

Le+ x3

L2e

2.3.3.2 Força axial efetiva

Para tomar em conta o efeito da pressão interna e externa sobre as tampas é usado o conceito

de tensão efetiva. Como se mostra na Figura 2.7 ao decompor o sistema mecânico em suas

partes se tem: O riser submetido as pressões internas e externas e a força de tração, o fluido

interno submetido à reação com as paredes internas do riser e as tampas, e o fluido externo

submetido às reações com o fluido externo.160x120

p

i

A

i

p

i

A

i

p

e

A

e

p

e

A

e

T

e

+ΔT

e

T

e

Parede do riser

Coluna de

fluido interno

Coluna de fluido

deslocado

T

e

+ΔT

e

T

e

+ -

=

Figura 2.7: Análise estática para a determinação da tensão efetiva.

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 34

Ao integrar o sistema num só as reações opostas se cancelam e a tensão efetiva no riser Te

fica como

te = (tp − pi Ai + pe Ae)t (2.58)

onde tp e a tensão nominal na parede do riser, Ai e Ae representam as áreas internas e externas

definidas pelos diâmetros Di e De respetivamente, pi e pe representam as pressões internas e

externas dos fluidos e t é o vetor tangente em coordenadas globais XY .

2.3.3.3 Correnteza em estado estacionário

As correntezas marinhas são geradas por diferentes fontes: a ação dos ventos, as marés, as

mudanças na salinidade do mar, as mudanças na temperatura, etc. Todos estes fatores definem

o padrão de movimento da correnteza.

Para modelar o efeito da correnteza ultrapassando o riser é usada a Equação de Morison.A

equação de Morison é composta de duas parcelas: a força de arrasto e a força de inércia do

fluido (Patel et al. , 1984). Neste trabalho considera-se uma correnteza com perfil de veloci-

dade uniforme. Por tanto, o arrasto somente é considerado. A Equação de Morison trabalha

com a velocidade relativa entre o riser e o fluido. A Figura 2.8 mostra a velocidade do riser

Vr e a velocidade da correnteza em estado estacionário Vc, ambas as medidas em relação a

sistema inercial de coordenadas XY . Estas velocidades dependem da profundidade z e são co-

nhecidas ou calculadas. O vetor Ve é a velocidade relativa entre esses vetores de velocidade. A

velocidade relativa é decomposta em uma componente tangencial, Vet , e em uma componente

normal ao riser, Ven. Cada componente de velocidade induz diferentes forças de arrasto como

são (Faltinsen , 1990):160x60

Y

X

V

c

V

r

V

e

V

e

V

en

V

et

Figura 2.8: Velocidade relativa usada para o cálculo da força de arrasto.

fdn =12ρeDCen‖Ven‖

2n (2.59)

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 35

fdt =12ρeDCet ‖Vet ‖

2t. (2.60)

onde Cen e Cet são os coeficientes de arrasto obtidos experimentalmente.

2.3.3.4 Imposição de deslocamentos no topo do riser

Deslocamentos são impostos no topo do riser durante sua instalação. A Figura 2.9 mostra

esquematicamente a disposição de um riser rígido em catenária onde o ponto de contato com o

solo marinho, ou TDP, e a distancia de separação da plataforma são indicados. A distância entre

o TDP e a plataforma, chamada de offset, é ajustada para controlar o momento fletor mãximo

no TDP.

A imposição de deslocamentos será feita usando o Método de Penalização que será apre-

sentado no seguinte capítulo.

Pro

fu

nd

id

ad

e (m

)

Offset (m)

Solo marinhoTDP

Am

plitu

de

de oscilação

ve

rtica

l (m

)

Topo do

riser

160x90

Figura 2.9: Deslocamentos impostos ao topo do riser pela plataforma.

2.4 Análise dinâmica de risers

Para a análise dinâmica as forças inerciais e dissipativas devem ser consideradas. Em análise

dinâmica por elementos finitos, a força de inércia de corpo rígido é vista como uma força de

corpo distribuída através do volume. A força de inércia é concentrada nos nós do elemento

usando as funções de interpolação. O vetor de forças de corpo nodais b é determinado pela

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 36

seguinte expressão (Bathe , 1982):

b =

∫dV

hT [f b − ρhUt]dV (2.61)

onde h é a matriz que contem as funções de interpolação, f b é a força de corpo, ρ a densidade

do corpo elástico e Ut é o vetor de aceleração nodal. A matriz h é função das coordenadas de

posição e não depende do tempo. A equação de equilíbrio dinâmico global é escrita como:

Q =∑∫

dV

hT f bdV −∑∫

dV

ρhT hUtdV (2.62)

Q = Pt −MUt (2.63)

Na Equação 2.62 o operador∑

representa o resultados da montagem dos vetores e matrizes

dos elementos finitos. O vetor nodal de forças internas Q já foi apresentado na seção 2.3.2. A

Equação de equilíbrio dinâmico é dada por:

MUt + Q(Ut ) = Pt (2.64)

onde o subscrito t tem sido adicionado para fixar o incremento qual está-se trabalhando. Como

foi discutido na secção 2.3.2 o vetor de forças internas depende do vetor de deslocamentos no-

dais Ut . Se na Equação 2.65 é adicionada a força de amortecimento dependente da velocidade,

obtém-se:

b =

∫dV

hT [f b − ρhUt − κhUt]dV (2.65)

onde κ representa uma função de amortecimento. Finalmente, a Equação de equilíbrio dinâmico

não linear é dado por:

MUt + CUt + K(Ut )Ut = Pt (2.66)

2.4.1 Matriz de massa

A matriz de massa representa a distribuição nodal da massa do corpo elástico. Para um

elemento de viga de comprimento le, de secção transversal constante Ae, momento de inércia

de área I e densidade constante ρ, a matriz de massa é calculada em coordenadas locais usando

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 37

as funções de interpolação de Hermite definidas na tabela 2.1

ml =ρle Ae

420

140 0 0 70 0 0

0 156 22le 0 54 −13le

0 22le 4l2e 0 13le −3l2

e

70 0 0 140 0 0

0 54 13le 0 156 −22le

0 −13le −3l2e 0 −22le 4l2

e

+ρI

30le

0 0 0 0 0 0

0 36 3le 0 −36 3le

0 3le 4l2e 0 −3le −l2

e

0 0 0 0 0 0

0 −36 −3le 0 36 −3le

0 3le −l2e 0 −3le 4l2

e .

(2.67)

A matriz ml representa a distribuição nodal da inercia de um elemento de viga expresso

no sistema local de coordenadas. Usando a matriz de transformação T, a matriz de massa em

coordenadas globais fica como:

m = TT mlT (2.68)

T =

cos β sin β 0 0 0 0

− sin β cos β 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos β sin β 0

0 0 0 − sin β cos β 0

0 0 0 0 0 1

. (2.69)

onde β é o ângulo de rotação do corpo rígido do elemento de viga.

2.4.2 Matriz de amortecimento

A matriz de amortecimento global não pode ser determinada mediante a montagem das ma-

trizes de amortecimento dos elementos, diferente que as matrizes globais de massa e de rigidez

que sim podem ser montadas a partir das matrizes dos elementos. O fenómeno do amorteci-

mento estrutural é de caráter global, Bathe (1982). O método mais usado para caracterizar a

matriz de amortecimento C foi proposto por Rayleigh baseando-se em um esquema proporcio-

nal, assim

C = αM + βK (2.70)

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 38

onde α e β são os coeficientes de proporcionalidade e as matrizes M e K representam a massa

e a rigidez globais. Cada termo desta Equação amortece frequências diferentes, o termo pro-

porcional à matriz de massa amortece as vibrações de baixa frequência e o termo proporcional

à matriz de rigidez amortece as vibrações de alta frequência.

Na análise dinâmica não linear, como é o caso dos risers rígidos em catenária, é importante

amortecer as altas frequências devido a que a cada iteração feita na integração das equações di-

nâmicas um erro vai-se acumulando podendo desestabilizar o esquema de solução. O uso deste

modelo de amortecimento é ainda mais importante quando é usado o método de penalização

para a imposição de deslocamentos, como é o caso deste trabalho.

2.4.3 Carregamentos atuantes de natureza dinâmica

Em condições de operação diferentes cargas variáveis no tempo atuam no riser, as cargas

de maior importância são as produzidas pela movimentação da plataforma marinha e o campo

de velocidades variável induzido pelo passo de uma onda gravitacional, a seguir descrevem-se

os modelos matemáticos utilizados na modelagem do vetor de forças associado a estas cargas.

2.4.3.1 Ondas incidentes

As ondas oceânicas na superfície do mar são geradas principalmente por correntes de ar e

movimentos sísmicos. Estas ondas, chamadas de ondas gravitacionais, induzem cargas hidro-

dinâmicas nos risers e nas plataformas de produção de petróleo. As ondas geram campos de

velocidade e aceleração que são função do espaço e do tempo. Existem muitas teorias para a lei

de variação destes campos, as teorias mais conhecidas são: Teoria linear de ondas de Airy e a

Teoria de Stokes de terceiro e quinto ordem Sparks (2007).

A Figura 2.10 mostra os parâmetros necessários para a caraterização das ondas, os quais

são: comprimento de onda λ, altura da onda H e amplitude de onda r .160x45

Y

X

r

H

λ

Perfil da onda

riser

Figura 2.10: Parâmetros para análise de ondas lineares.

Segundo a teoria linear de ondas uma partícula de fluido que se encontra no passo de uma

onda descreverá um movimento circular. A teoria linear de ondas fornece expressões para os

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 39

campos de velocidade, aceleração e pressão baseando se nas seguintes simplificações: densi-

dade constante da água do mar, altura pequena das ondas, efeitos de tensão superficial e vis-

cosidade desprezíveis e movimento irrotacional do fluido. As seguintes variáveis são definidas

para uma partícula de fluido Faltinsen (1990):

φ = −ac exp(ky) cos(k x − ωt)

u X = kca exp(ky) sin(k x − ωt)

u Y = −k2c2a exp(ky) cos(k x − ωt)

u X = −kca exp(ky) cos(k x − ωt)

u Y = −k2c2a exp(ky) sin(k x − ωt)

(2.71)

c = λ f , k =2πλ, ω = 2π f . (2.72)

Os valores de u X,Y e u X,Y representam as velocidades e acelerações da partícula em coordena-

das globais respetivamente.

A partir das equações 2.71 pode-se mostrar que a magnitude do raio que descreve uma

partícula de fluido ao ultra-passar uma onde gravitacional decresce exponencialmente, chegando

a ser desprezível um comprimento de onda abaixo da superfície livre Sparks (1984).

Dado o campo de velocidade das partículas de fluido procede-se a usar a Equação de Mori-

son para relacionar a velocidade com as forcas incidentes no riser.

2.4.3.2 Interação com o plataforma

O conjunto plataforma-riser está sujeito aos efeitos das ondas de superfície, como mostra

a Figura 2.9. Devido à incidência de ondas a plataforma oscila, impondo ao topo do riser um

movimento oscilatório. Neste trabalho é considerado um perfil sinusoidal para o deslocamento

vertical ou horizontal do topo do riser

u X = A X cos(ωt + φ)

v Y = A Y sin(ωt + φ)(2.73)

onde u X e v Y são as componentes horizontais e verticais do movimento da plataforma em

função do tempo, A X e A Y representam a amplitude de oscilação do movimento nas direções

horizontal e vertical respetivamente, ω é a frequência de oscilação e φ o desfase entre a onda e

o movimento da plataforma.

O simulador desenvolvido também pode simular a resposta do riser à imposição de deslo-

camentos em base a data experimental ou aleatória.

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 40

2.5 Interação riser-solo

Em algumas configurações de riser se deixa uma parte do mesmo repousar sobre o leito

marinho e a outra parte é pendurada da plataforma. O ponto na qual a parte suspensa do riser

tem seu primeiro contato com o solo é conhecido como TDP (Touch Down Point). É no TDP

onde ocorre auma mudança brusca de curvatura e também o maior esforço de flexão. O TDP

varia de posição dinamicamente em função dos deslocamentos do topo e da intensidade das

correntezas marinhas. A determinação dos esforços internos do riser na região do contato com

o solo marinho é crucial para o projeto.

O fenómeno de interação riser-solo envolve o estudo de contato de um sólido deformável

com uma fundação usada para definir o comportamento mecânico do solo. A seguir será feita

uma revisão deste tópico.

2.5.1 Modelos de fundação

Os modelos de fundação fornecem a resposta do solo às cargas aplicadas. A primeira aproxi-

mação na modelagem de fundações elásticas foi feita nos trabalhos de Winkler que idealizou a

fundação como um sistema de molas lineares independentes infinitezimalmente próximas umas

das outras. A resposta da fundação pelo tanto é determinada pelas características das molas usa-

das na modelagem. Existem modelos mais refinados que introduzem outros fenómenos, como

é o caso dos modelo de Filonenko-Borodich ou o modelo de Pasternak que tomam em conta a

interação entre molas adjacentes.

Em trabalhos recentes na análise de risers em catenária o comportamento plástico do solo

está sendo estudado. A plasticidade do solo marinho conduz a formação de uma trincheira que

pode chegar a ter uma profundidade de até quatro vezes o diâmetro do riser. A profundidade

desta trincheira varia desde o TDP até a conexão com o equipamento, o perfil desta trincheira

muda o estado de deformações do riser e segundo (Aubeny et al. , 2008), (Randolph & Quiggin

, 2009) e (You et al. , 2008), reduz o esforço de flexão máxima no TDP.

2.5.1.1 Modelo de Winkler de um parâmetro

Este modelo é chamado de um parâmetro devido a que um só parâmetro, a rigidez das molas,

é necessário para caracterizar a resposta do solo. As molas são elásticas lineares onde a pressão

de reação entre o solo é a estrutura é proporcional à penetração. A Equação do comportamento

das molas é

ps (x) = ksv(x) (2.74)

onde ks é a rigidez do solo, v(x) a deflexão vertical ao longo do eixo x e ps (x) a resistência que

oferece a fundação elástica.

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 41

A Equação diferencial que modela a configuração de equilíbrio de uma viga apoiada sobre

uma fundação de Winkler é dada por:

EId4v(x)

dx4 = q(x) − ps (x) (2.75)

EId4v(x)

dx4 + ksv(x) = q(x) (2.76)

160x45

Y

X

k

s

q

(x)

Figura 2.11: Modelo de fundação de Winkler de um parâmetro.

Modelo de Winkler como molas nodais. Neste modelo as molas verticais são adicionadas

diretamente sobre os nós extremos dos elementos de viga que compõem a discretização do riser,

vide Figura 2.12. É importante destacar que neste modelo só os graus de liberdade verticais dos

nós que entram em contato com o solo são afetados pela contato com a fundação. A matriz de

rigidez ks de um elemento de mola é

ks =

ks −ks

−ks ks

(2.77)

e o vetor de forças internas qs é dado por

qs = ksv =

ks −ks

−ks ks

v1

v2

(2.78)

onde v1 e v2 são os deslocamentos na direção vertical dos nós 1 e 2 respetivamente.160x30

X

Y

E, I, A

v

1

v

2

k

s

k

s

Figura 2.12: Molas nodais no modelo de Winkler.

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 42

Modelo de Winkler como leito. Neste modelo assume-se uma variação linear para deflexão

do elemento de viga, v(x) assim:

v(x) =

(1 −

xle

)v1 +

(xle

)v2 (2.79)

onde v1 e v2 são os deslocamentos nodais na direção vertical do elemento de viga e a coordenada

local, x, do elemento é medida a partir do nó 1. A matriz de rigidez da fundação ks e o vetor de

forças internas q s são

ks =ksle

6

2 1

1 2

(2.80)

qs = ksv =ksle

6

2 1

1 2

v1

v2

(2.81)

2.5.2 Modelagem do contato

A maioria de problemas de estruturas elásticas sobre fundações elásticas pressupõe que a

estrutura está colada à fundação. Diferentemente no caso da análise de risers é importante

simular o problema de contato seja no caso estático ou dinâmico, devido a que, dependendo

das excitações impostas ao riser, os pontos que inicialmente estavam suspensos no mar podem

passar a tocar o solo marinho e vice-versa. Este fenómeno de contato e descolamento se da na

fase de instalação como na fase de operação do riser.

No contexto dos elementos finitos aplicado à solução de problemas de contato dois métodos

são disponíveis: O método no qual a condição de contato é imposta diretamente mediante os

multiplicadores de Lagrange e o método que impõe a condição de contato aproximadamente,

chamado de método de penalização. Cada um destes métodos possue vantagens e desvantagens,

o uso dos multiplicadores de Lagrange adiciona mais variáveis ao sistema e o uso do método

de penalização faz muito sensível o sistema à escolha do parâmetro de penalização.

Neste trabalho adotou-se o método de penalização pela sua praticidade na implementação.

A continuação será descrito o método para o caso de contato unidirecional na direção vertical.

2.5.2.1 Método de penalização

O método de penalização é um dos métodos mais utilizados para o tratamento numérico

dos problemas de variáveis restritas, como é o caso do contato e a imposição de deslocamentos

estáticos ou dinâmicos, solicitações presentes na nossa análise.

Num sentido físico o método de penalização impõe restrições aos graus de liberdade medi-

ante a adição de elementos de grande rigidez wpen associados aos graus de liberdade aos que

querem-se impor as restrições. Ao adicionar estes elementos dentro da diagional principal da

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 43

matriz de rigidez global K da estrutura consegue-se um desacoplamento artificial devido a que

os termos de rigidez da estrutura perdem importância relativa.

A força necessária para deslocar o nó na direção de interesse fpen é igual à rigidez da mola

adicionada multiplicada pelo deslocamento imposto up.

fpen = wpenup (2.82)

no caso estático. No caso dinâmico o deslocamento é função do tempo t, assim, analogamente,

fpen(t) = wpenup(t). (2.83)

A Equação de rigidez global da estrutura toma a seguinte forma quando um deslocamento é

imposto ao grau de liberdade global j, assim tem-se:

k11 . . . k1 j . . . k1n...

. . ....

k11 k j j + wpen k1n...

. . ....

k11 . . . kn j . . . knn

u1...

u j...

un

=

f1...

wpenup(t)...

fn

(2.84)

A Figura 2.13 mostra a interpretação física do método de penalização. O nó m da estrutura

tem dois graus de liberdade translacionais um e vm, o primeiro na direção horizontal e o segundo

na direção vertical. Duas molas de rigidez elevada wpen são vinculadas ao nó. Observe-se que

um dos extremos de ambas-as molas é fixo. Um deslocamento é imposto ao nó de interesse com

componentes ump e un

p como na Figura 2.13.160x45

Y

X

u

n

p

u

m

p

w

pen

m

w

pen

Figura 2.13: Imposição de deslocamentos pelo método de penalização.

Seleção do número de penalização A principal desvantagem do método de penalização é

a alta sensibilidade à escolha do valor de penalização wpen. Quando o valor da penalização

tende ao infinito o valor de deslocamento obtido ao resolver as equações de equilíbrio coincide

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 44

com o deslocamento imposto up, porém ao aumentar o valor da penalização a matriz de rigidez

torna-se mal condicionada, dificultando a sua inversão. Por outro lado, um valor pequeno de

penalização não oferece resultados precisos. Existe uma regra para a determinação do valor

de penalização, se o maior valor dos elementos que compõem a matriz de rigidez global é da

ordem de 10n e o número de dígitos decimais manipulados pelo computador é k, então o valor

de penalização deve ser da seguinte ordem, Felippa (2014)

wpen ≈ 10(n+k/2) (2.85)

Método de penalização em análise dinâmica Fisicamente ao adicionar uma mola de grande

rigidez e liga-la a um nó que concentra uma quantidade pequena de massa a frequência natural

associada a qualquer grau de liberdade de movimento teria um valor muito alto, introduzindo

um efeito desestabilizador na solução das equações dinâmicas não lineares. Para garantir a

estabilidade numérica dos esquemas de integração implícitos um amortecimento numérico ou

um amortecimento estrutural proporcional à matriz de rigidez deve ser considerado, Mourelle

(1993).

2.5.2.2 Condição de impenetrabilidade

Para a modelagem do contato unidirecional a cota do solo marinho é conhecida, além disso,

a cada incremento de força seja no caso estático ou dinâmico a posição dos nós é conhecida.

Deve-se pelo tanto calcular a distância do nó até o solo durante toda a análise.

Quando a variável g, que mede a diferença entre a altura do nó e a cota vertical do solo,

toma um valor negativo o nó penetrou no solo marinho. Uma vez que houve penetração deve-se

ativar a restrição de contato. Esta restrição impede que o nó penetre no solo adicionando uma

mola de rigidez ks e uma força de reação qs igual a

qs = upksn (2.86)

onde up é a distância de penetração do nó. Quando se trabalha com um solo rígido o valor de ks

deve ser muito alto. A Figura 2.14 mostra um nó da viga que penetrou dentro do solo marinho,

a continuação uma mola de rigidez ks é adicionada ao sistema e uma força qs é aplicada para

conseguir deslocar o nó que penetrou até a superfície do solo marinho.

No caso de trabalhar com solos elásticos a rigidez das molas adicionadas equivale à rigidez

da fundação.

Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 45

160x60

X

Y

g<

0

g>

0

k

s

p

s

Figura 2.14: Imposição da condição de impenetrabilidade no método de penalização.

2.5.2.3 Descolamento estrutura-solo

Se não houver colamento entre a estrutura e a fundação é importante simular o fenómeno de

separação entre a estrutura e o solo. Sabe-se que o solo não oferece força de tração à estrutura

quando a separação ocorre.

Para isso, além de monitorar se houve ou não penetração do nó na fundação, deve-se também

supervisionar se algumas molas estão sendo esticadas. Quando uma mola estiver trabalhando a

tração esta deve-se desativar.

Capítulo 3

MÉTODOS NUMÉRICOS EIMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

Após a discretização por elementos finitos das equações que governam a resposta dinâmica

do riser, a equação de equilíbrio estático 2.18 e dinâmico 2.66, e tendo disponíveis as matrizes

de massa, amortecimento, rigidez e o vetor de cargas nodais externas, a equação 2.66 é integrada

diretamente através do tempo. Duas abordagens de integração direta são disponíveis: explicita

e implícita.

Os algoritmos explícitos de integração direta calculam a resposta no tempo t + ∆t usando a

história de resposta até o tempo t. Os vetores de deslocamento, velocidade e aceleração nodal

no tempo t + ∆t são calculados usando a resposta passada da estrutura.

Diferente que os algoritmos explícitos, os algoritmos implícitos calculam a resposta no

tempo t + ∆t usando a história de resposta até o próprio nível de tempo t + ∆t. A cada passo de

tempo ∆t um sistema de equações algébricas é resolvido para a obtenção da resposta, devido a

isto, os métodos implícitos são computacionalmente mais custosos que os métodos explícitos

que não requerem usualmente a inversão de matrizes.

Os métodos explícitos são apropriados para problemas classificados como sendo de propa-

gação de ondas onde muitas frequências são excitadas simultaneamente. Os métodos implícitos

são recomendados para problemas onde a frequência de aplicação de carga é da mesma ordem

de grandeza que a frequência natural mais baixa da estrutura, problemas classificados como

sendo de dinâmica estrutural (Cook et al. , 2002).

Como a frequência de excitação das forças de interação fluido-estrutura é bem próxima das

frequências naturais mais baixas do riser, neste trabalho decidiu-se por usar um algoritmo de

integração implícita, especificamente o método de Newmark.

46

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 47

3.1 Métodos numéricos

A análise estática de risers dispostos em catenária usando o método dos elementos finitos

fornece um sistema de equações algébricas não lineares. O método escolhido para resolver este

tipo de problema é o método de Newton-Raphson. Para resolver o problema de dinâmica de

risers o método de Newmark foi usado por razões de estabilidade numérica.

3.1.1 Método de Newmark

Newmark desenvolveu uma família de operadores de integração implícita no tempo para a

solução de problemas de dinâmica estrutural. Nestes operadores a lei de variação da aceleração

entre os tempos t e t + ∆t é controlada pelos parâmetros β e γ como será visto a seguir.

Expressando os vetores de deslocamento e velocidade mediante a expansão de Taylor mul-

tivariável tem-se

Ut+∆t = Ut + ∆t Ut +∆t2

2Ut +

∆t3

6

...Ut + . . .

Ut+∆t = Ut + ∆t Ut +∆t2

2

...Ut + . . . .

(3.1)

onde Ut , Ut e Ut são o deslocamento, velocidade e aceleração, respetivamente, e o subscrito t

indica o instante de tempo onde os vetores são medidos.

Ut+∆t = Ut + ∆t Ut +∆t2

2Ut + β∆t3 ...

Ut

Ut+∆t = Ut + ∆t Ut + γ∆t2 ...Ut .

(3.2)

A terceira derivada...Ut representa a taxa de variação temporal da aceleração dentro do in-

tervalo ∆t. Assumindo que entre os tempos t e t + ∆t a terceira derivada é constante e igual

a...U =

Ut+∆t − Ut

∆t, (3.3)

e ao introduzir a equação 3.3 nas equações 3.2 obtém-se a forma padrão da equação de New-

mark:

Ut+∆t = Ut + ∆t Ut +

(12− β

)∆t2 Ut + β∆t2 Ut+∆t

Ut+∆t = Ut + (1 − γ)∆t Ut + γ∆t Ut+∆t .

(3.4)

As equações 3.4 podem ser escritas como:

Ut+∆t = b1(Ut+∆t − Ut ) + b2Ut + b3Ut

Ut+∆t = b4(Ut+∆t − Ut ) + b5Ut + b6Ut,(3.5)

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 48

onde as constantes b1 a b6 são definidas por

b1 =1

β∆t2 b2 =1β∆t

b3 = β −12

b4 = γ∆tb1 b5 = 1 + γ∆tb2 b6 = ∆t(1 + γb3 − γ).(3.6)

Introduzindo as equações 3.5 em 2.66 obtém-se a equação de equilíbrio dinâmico no tempo

t + ∆t, assim:

(b1M + b4C + K(Ut ))Ut+∆t = Pt+∆t + M(b1Ut − b2Ut − b3Ut ) + C(b4Ut − b5Ut − b6Ut ), (3.7)

A última equação pode ser escrita de forma mais compacta definindo a matriz de rigidez tan-

gente efetiva K(U) como

K(Ut ) = b1M + b4C + K(Ut ), (3.8)

e o vetor de forças externas efetivas P à direita da equação 3.7

Pt+∆t = Pt+∆t + M(b1Ut − b2Ut − b3Ut ) + C(b4Ut − b5Ut − b6Ut ). (3.9)

Assim tem-se um problema dinâmico não linear definido pelas seguintes equações:

K(Ut )Ut+∆t = Pt+∆t (3.10)

Ut+∆t = K(Ut ) −1Pt+∆t . (3.11)

É importante ressaltar que a matriz de rigidez efetiva contém a matriz de rigidez tangente da

viga, a última adiciona a não linearidade geométrica ao problema. Para resolver este problema

de dinâmica não linear deve-se calcular a cada passo de tempo a configuração de equilíbrio

dinâmico.

3.1.1.1 Algoritmo de solução

A seguir apresenta-se o esquema usado para a integração no tempo das equações dinâmicas.

1. Cálculos iniciais

1.1. Inicializar os parâmetros, vetores e matrizes: γ, β, U0, U0, U0, P0, M, C e K(U0)

1.2. Obter o vetor de aceleração nodal inicial U0 utilizando

U0 = M−1[P0 − CU0 −K(U0)U0]. (3.12)

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 49

1.3. Escolher o passo de tempo ∆t, este pode ser constante ou variável. Neste trabalho o

passo de tempo foi considerado a ser uma constante.

1.4. Calcular as matrizes A e B

A =1β∆t

M +γ

βC; B =

12β∆t

M + ∆t(γ

2β− 1

)C. (3.13)

2. Cálculos a cada passo de tempo i = 0, 1, 2 . . . n onde n é o número total de passos de

tempo usado para discretizar o tempo total de analise Ttot de simulação com n = Ttot/∆t

2.1. Calcular o vetor incremental de forcas efetivas ∆Pi usando a equação 3.9:

∆Pi = (Pi+1 − Pi) + AUi + BUi . (3.14)

2.2. Calcular a matriz de rigidez tangente K(Ui) baseando-se em Ui

2.3. Montar a matriz de rigidez efetiva baseando-se na equação 3.8:

K(Ui) =γ

β∆tM +

γ

β(∆t)2 C + K(Ui). (3.15)

2.4. Resolver o sistema de equações não lineares usando o método de Newton-Raphson

que será apresentado na próxima secção

K(Ui)∆Ui = ∆Pi

∆Ui = K(Ui) −1∆Pi .

(3.16)

2.5. Cálculo das velocidades e acelerações incrementais

∆Ui =γ

β∆t∆Ui −

γ

βUi + ∆t

(1 −

γ

2β

)Ui,

∆Ui =γ

β(∆t)2∆Ui −1γ β

Ui +1

2βUi .

(3.17)

2.6. Cálculo das velocidades e acelerações no tempo i + 1

Ui+1 = Ui + ∆Ui; Ui+1 = Ui + ∆Ui; Ui+1 = Ui + ∆Ui . (3.18)

2.7. Substituir os vetores com subscrito i por i + 1 e repetir desde o passo 2.1.

3.1.2 Método de Newton-Raphson

Na análise de estruturas com comportamento linear a matriz de rigidez tangente é calculada

e fatorizada uma única vez devido a que esta é independente do vetor de deslocamentos. Em

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 50

análise estrutural não linear a matriz de rigidez tangente depende dos deslocamentos e para

resolver este tipo de problema uma linearização baseada na expansão de Taylor deve ser reali-

zada, equação 2.18.

Para um incremento de força ∆P a força interna Q apresenta um erro respeito da força

externa P quando deveria ser igual a força externa P e o equilíbrio não é satisfeito. Para atingir

a configuração de equilíbrio é necessário usar um método incremental-iterativo. O método

implementado neste trabalho é o de Newton-Raphson.

Existem duas versões do método de Newton-Raphson: a convencional, ver Figura 3.1, e a

modificada, ver Figura 3.2. No esquema modificado a matriz de rigidez tangente é calculada

e fatorizada uma única vez, ao começo de cada incremento de carga, diferente que o método

convencional que atualiza a matriz de rigidez tangente a cada iteração.

Na análise dinâmica a não linearidade da matriz de rigidez efetiva, equação 3.8, é reduzida

em virtude dos termos de massa e amortecimento. Pode-se observar que a matriz de massa

dividida pelo quadrado do passo de tempo é muitas ordens de magnitude maior do que a matriz

de rigidez tangente a qual introduz a não linearidade na equação de equilíbrio, ver equação 3.19,

Chopra (1995).

M1

β(∆t)2 K(U) (3.19)

Dito isto o método de Newton-Raphson modificado foi escolhido para sua aplicação neste tra-

balho. Este esquema não afeta a acurácia da solução pois apesar de requer um número maior de

iterações por incremento de carga a não linearidade é reduzida pelo passo de tempo ∆t.

3.1.2.1 Algoritmo de solução

No esquema incremental usado para a solução das equações dinâmicas busca-se, a cada

incremento de forca efetiva ∆P, obter o incremento dos deslocamentos globais ∆U. O vetor de

deslocamentos globais é obtido somando-se progressivamente os incrementos de deslocamentos

obtidos a cada incremento de carga. Entre os tempos t e t +∆t um número de iterações são feitas

para atingir o equilíbrio dinâmico e os incrementos no vetor de deslocamentos obtidos em cada

iteração são então δU. O somatório destes incrementos de deslocamento obtidos nas iterações

da como resultado o incremento total de deslocamento para um incremento de força efetiva.

No algoritmo o contador para as iterações é j = 0, 1, 2, . . .m cujo domínio está entre i e i+1,

correspondente aos tempos t e t + ∆t. O número de iterações necessárias depende do grau de

precisão com o que se trabalha, este conceito será comentado a seguir. O contador j é indicado

como um sobrescrito nos vetores, por exemplo U 12 significa que se está operando no segundo

intervalo de tempo e executando-se a primeira iteração. O algoritmo se explica a seguir:

1. Inicialização das variáveis, contador j = 0

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 51

1.1. Inicializar o vetor de deslocamentos usado nas iterações U ji+1

U 0i+1 = Ui (3.20)

1.2. Inicializar o vetor de forças internas usado nas iterações Q j

Q0 = Qi (3.21)

1.3. Inicializar o vetor de carga residual ∆R j

∆R j = ∆Pi (3.22)

1.4. Calcular a matriz de rigidez efetiva K T no inicio das iterações, esta matriz é calcu-

lada uma única vez ao principio de cada incremento de carga i

K T = K i (3.23)

2. Cálculos para cada iteração j = 1, 2, 3, . . .m

2.1. Resolver o sistema linearizado, equação 3.16

∆U j = K−1T ∆R j (3.24)

2.2. Somar os incrementos de deslocamento ∆U j para obter o vetor de deslocamentos

atual

U ji+1 = U j−1

i+1 + ∆U j (3.25)

2.3. Calcular o vetor de forças internas efetivo ∆Q j

∆Q j = Q j −Q j−1 + (K T −K i)∆U j (3.26)

2.4. Recalcular o vetor de forças residuais efetivas ∆R j+1

∆R j+1 = ∆R j − ∆Q j (3.27)

3. Substituir o sobrescrito j por j + 1 e repetir os passos desde 2.1 até atingir o grau de

precisão prescrito, ver secção 3.1.3.2.

Para o caso das forças dependentes das deformações, forças não conservativas, o método

de Newton-Raphson também pode ser utilizado. Neste caso o vetor incremental de forças

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 52

160x70

ΔP

1

ΔR

(1)

ΔQ

(1)

ΔQ

(2)

ΔU

(1)

ΔU

(2)

ΔU

(3)

ΔQ

(3)

ΔU1

ΔR

(2)

P

U

Figura 3.1: Método de Newton-Raphson convencional.160x70

ΔP

1

ΔR

(1)

ΔQ

(1)

ΔU

(1)

ΔQ

(2)

ΔQ

(3)

ΔR

(2)

ΔR

(3)

ΔU

(2)

ΔU

(3)

ΔU1

P

U

Figura 3.2: Método de Newton-Raphson modificado.160x70

P

U

ΔQ

(1)

ΔQ

(2)

ΔQ

(3)

ΔU

(1)

ΔU

(2)

ΔU

(3)

ΔP

1

ΔP

(1)

1

ΔP

(2)

1

ΔR

(1)

ΔR

(2)

ΔR

(3)

Figura 3.3: Método de Newton-Raphson para forças seguidoras.

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 53

externas ∆P é função dos deslocamentos U, pelo tanto a cada incremento de deslocamento deve

se recalcular o vetor de forças externas até atingir o equilíbrio como se mostra na Figura 3.3.

No caso de forças dependentes da deformação usualmente a magnitude se mantém constante e

só varia o ângulo de inclinação.

3.1.3 Critérios de convergência e estabilidade

Na solução computacional de problemas estruturais utilizando métodos numéricos é neces-

sário definir tolerâncias ao erro numérico que será obtido. A convergência da solução obtida por

técnicas incrementais ou iterativas deve ser declarada após a verificação de se o erro é menor

do que a tolerância prescrita. O erro pode ser medido de diferentes formas como será visto a

seguir, antes será discutida a estabilidade numérica.

3.1.3.1 Estabilidade numérica

Como foi comentado na secção 3.1.1 o esquema de integração de Newmark com valores de

parâmetros γ = 1/2 e β = 1/4 é incondicionalmente estável para o caso de estruturas lineares.

Para a análise dinâmica não linear, no entanto, este esquema sofre instabilidades numéricas,

Chopra (1995).

A discrepância entre a resposta obtida pelo método de Newmark e a resposta obtida anali-

ticamente pode ser quantificada ao medir a amplitude para qualquer tempo t e ao periodo para

um mesmo ciclo de resposta. Na análise dinâmica não linear, ao escolher um grande passo

de tempo ∆t o erro de discrepância vai se somando a cada incremento de carga até que o erro

acumulado cresça indefinidamente . Por isto é necessário escolher um passo de tempo suficien-

temente pequeno para garantir a estabilidade do algoritmo e suficientemente grande para poupar

tempo computacional.

A escolha do passo de tempo deve considerar os seguintes parâmetros:

• tipo do carregamento;

• propriedades estruturais;

• densidade de malha;

• esquema de solução empregado;

• frequências de interesse.

Como o método de Newmark não considera amortecimento numérico, neste trabalho foi

considerado a introdução de amortecimento estrutural para fins de estabilidade numérica. É

importante ressaltar que os risers são submetidos a dois tipos de amortecimento: um devido à

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 54

interação com o fluido e o outro devido às forças intermoleculares da estrutura, sendo que o

primeiro é mais significativo.

3.1.3.2 Critérios de convergência

A aplicação do método de Newton-Raphson requer a especificação de uma tolerância ao

erro numérico dentro da qual a convergência é declarada. No caso de uma análise dinâmica

não linear é importante definir uma tolerância adequada já que a resposta da estrutura no tempo

t + ∆t é altamente dependente da história de resposta nos tempos passados, Bathe (1982).

Na Figura 3.1 uma vez garantida a convergência, os valores de incrementos de deslocamentos

e forças residuais em cada iteração se fazem cada vez mais pequenos, podendo ser usados

para estabelecer o critério de detenção do algoritmo. Os dois critérios de convergência mais

utilizados são apresentados a seguir.

Convergência por deslocamentos Este critério é baseado na definição de um parâmetro ε e

é declarado como‖∆Ua‖

‖∑a

j=1 U‖< ε (3.28)

onde:

• ‖∆Ua‖ é a norma euclidiana dos incrementos de deslocamentos na iteração atual a;

• ‖∑a

j=1 U‖ é a norma euclidiana do somatório dos incrementos de deslocamento até a

iteração atual a;

• ε representa o valor da tolerância a ser especificada para a análise, e. g. ε = 0, 001.

Este critério de convergência pode não ser satisfatório quando as unidades dos graus de

liberdade são diferentes, como é o caso neste trabalho onde graus de liberdade translacionais e

rotacionais são considerados. A convergência não poderia-se atingir devido a que os valores das

translações são de uma ordem de grandeza maior do que as rotações. A norma pode convergir

mas ainda pode ter erro nos graus de liberdade rotacionais, Chopra (1995).

3.1.3.3 Convergência da energia

Para garantir que os graus de liberdade rotacionais e translacionais convergiam ao mesmo

tempo a convergência da energia e usada

‖(∆Ra)T∆Ua‖

‖(∆Fa)T ∑aj=1 U‖

< ε (3.29)

onde:

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 55

• ‖(∆Ra)T∆Ua‖ é a norma euclidiana do produto do vetor residual ∆Ra com o vetor ∆Ua

na iteração atual a,

• ‖(∆Fa)T∆U‖ é a norma euclidiana do produto do vetor de força incremental efetiva, ∆F

a,

com o somatório dos deslocamentos incrementais,∑a

j=1 U, obtidos até a iteração atual a.

Neste trabalho o critério de convergência da energia foi considerada, normalmente declarada-

se após 2 o 3 iterações.

3.2 Implementação da ferramenta computacional

A análise por elementos finitos de risers é composta de três fases: pré-processamento, pro-

cessamento e pós-processamento. No pré-processamento são definidos os parâmetros de discre-

tização do contínuo e os parâmetros estruturais, também são inicializados e criados os vetores

e as matrizes para armazenamento da informação dos elementos finitos. No processamento

são feitas as iterações e as inversões de matrizes necessárias na análise. Já na fase de pós-

processamento se calculam diversas grandezas tais como: reações, forças internas, tensões,

deformações, etc.

A ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho para análise estática e dinâmica

bidimensional de risers dispostos em catenária, é chamada de FLEXOL. Esta ferramenta é com-

posta basicamente de três módulos os quais são apresentados a seguir.

3.2.1 Módulo estático: GenoES

O módulo estático determina a configuração estática de vigas com não linearidades geomé-

tricas sujeitas às cargas descritas no Capítulo 2 e condições de contorno fixas. O esquema de

determinação da configuração de equilíbrio estático é apresentada nas Figuras 3.4 e 3.5.

O módulo estático do FLEXOL, chamado de GenoES, é baseado no método de Newton-

Raphson aplicado à solução de sistemas não lineares com múltiplos graus de liberdade. Como

mostra a Figura 3.5 neste módulo são controlados os incrementos de carga ∆P. Para cada um

destes incrementos de carga o equilíbrio é atingido através de iterações. O equilíbrio pode ser

atingido usando o método convencional ou modificado de Newton-Raphson. A fase incremental

do módulo estático é chamada de NLSS01 e a fase iterativa é chamada de NLSS02. Estes blocos

de código também são usados nos módulos de simulação de contato e análise dinâmica.

O módulo GenoES pode ser utilizado para impor forças e deslocamentos em qualquer nó

da estrutura, os deslocamentos são impostos mediante o método de penalização. Neste módulo

não é considerado o caso das cargas seguidoras nem o contato.

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 56

3.2.2 Módulo de contato: GenoCES

O módulo GenoCES resolve problemas estáticos de contato unidirecional entre uma viga

geometricamente não linear e uma fundação horizontal do tipo Winkler. GenoCES está ba-

seado no módulo GenoES. O módulo de contato comparte o mesmo pré-processador com o

módulo GenoES, tendo que se adicionar a informação sobre a rigidez do solo e a profundidade

deste.

Como se observa na Figura 3.6 a cada incremento de carga é verificado se há nós que estão

penetrando o solo ou se há molas que estão sendo esticadas. Quando alguma destas situações

ocorre as condições de contorno mudam e os vetores de força incremental e de força externa

global são modificados.

No caso da modelagem do solo como um corpo rígido deverá-se adicionar valores de pe-

nalização muito altos. Para o caso da modelagem de solos elásticos lineares a força interna

das molas e a rigidez destas deverá ser adicionado também. Já no caso geral do uso de molas

cujo comportamento é definido por curvas P-y (pressão vs. penetração) devem se adicionar as

funções da força interna e as derivadas destas que representam a rigidez tangente das molas. O

módulo pode resolver estas dois não linearidades: a não linearidade da mola e o contato fazendo

uso do GenoES.

3.2.3 Módulo dinâmico: GenoDIS

O módulo GenoDIS faz uma análise dinâmica de risers dispostos em catenária com com-

portamento gometricamente não linear usando o esquema de integração de Newmark. Este

módulo usa o modelo de amortecimento proporcional proposto por Rayleigh. Os parâmetros de

proporcionalidade são inseridos na fase de pré-processamento como mostra a Figura 3.7.

GenoDIS resolve problemas com condições de contorno lineares e forças conservativas.

A imposição de forças e deslocamentos variantes no tempo pode ser feita por meio de dados

tabulares ou funções continuas.

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 57

Parâmetros de entrada:

-Comprimento do riser L

-Propriedades de seção tranversal I, A

-Módulo de Young E

-Densidade do riser e os fluidos

-Perfil de velocidade da correnteza

Criação dos elementos:

-Coordenadas dos nós

no sistema global

Inicialização de vetores:

-Vetor de armazenamento da força

externa P

-Vetor de deslocamentos U

Parâmetros de solução:

-Tolerancia ao erro (Tol)

- Max. num de iterações (MaxIter)

-Número de incrementos (Ninc)

-Factor de penalização (wpen)

Cálculo do vetor de força

incremental Pinc

Imposição dos soportes:

-Graus de liberdade a

serem eliminados

Imposição de forças e

deslocamentos:

-Graus de liberdade carregados

módulo estático

(Xnod, Ynod, U, E, I, A, P, Pinc,

Zdof, Tol, MaxIter,wpen)

Vetor de deslocamentos

atual U,

Vetor de força atual P

Vetores de

armazenamento:

-E, I, A

Vetores de

armazenamento:

-Xnod, Ynod

Vetores de

armazenamento:

-Zdof

Vetores de

armazenamento:

-P, U

para i=1 até Ninc

i=i+1

Calcular posições nodais finais:

Xnod, Ynod e imprimir

PreNLSS:

PRÉ-PROCESSAMENTO

GenoES

ProNLSS:

PROCESSAMENTO

GenoES

PosNLSS:

PÓS-PROCESSAMENTO

GenoES

Figura 3.4: Diagrama do pré-processamento no Solver estático GenoES.

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 58

Dados dos elementos:

-Cálculo de inclinações iniciais β

0

-Cálculo de comprimentos iniciais L

0

Dados: Xnod, Ynod, U, E, I, A, P,

Pinc, Zdof, Tol, MaxIter

Atualizar informação

do elemento: L, β, θ

l

Calcular vetor de

forças internas: Q

Calcular matriz de

rigidez tangente: K

Atualizar P: P=P+Pinc

Calcular: Kbc ΔUbc=Pincbc

Calcular: Ubc=Ubc+ΔUbc

Zdof

Aplicar condições

de contorno: Kbc

U

Atualizar informação do

elemento: L, β, θ

l

Calcular vetor de

forças internas: Q

Calcular vetor de

residual: R=Q-P

Calcular Rnorm=

norma(Rbc)

Calcular matriz de

rigidez tangente: K

Zdof

Aplicar condições

de contorno: Kbc

Calcular: Ubc=Ubc+ΔUbc

U

Atualizar informação do

elemento: L, β, θ

l

Calcular vetor de

forças internas: Qiter

Calcular vetor de

residual: Riter=Qiter-P

Calcular: Kbc ΔUbc=Rbc

Rnorm=

norma(Riterbc)

Rnorm > Tol

w < MaxIter

w=0

w=w+1

Zdof

Zdof

Zdof

Zdof

U, P

SOLVER ESTÁTICO NLSS01

FASE INCREMENTAL

sim

não

SOLVER ESTÁTICO NLSS02

FASE ITERATIVA

ProNLSS:

PROCESSAMENTO

GenoES

Figura 3.5: Diagrama do processamento no Solver estático GenoES.

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 59

módulo estático

(Xnod, Ynod, U, E, I, A, P, Pinc, Zdof,

Tol, MaxIter,wpen)

Vetor de deslocamentos atual: U,

Vetor de força atual: P

Vetor de força interna atual: Q

para i=1 até Ninc

Pré-processamento

PreNLSS

Penetração

dos nós (g<0)

sim

não

Tensão nas

molas ativas

(Q

molas

>0)

sim

não

Adicionar molas de rigidez w

pen

à matriz de rigidez global K

Armazenar os GDL que penetraram

a cota do solo marinho e a

distancia de penetração u

p

Adicionar a força interna das molas

ao vetor de força interna global Q

atualizar

P

inc

=u

p

w

pen

Módulo estático NLSS02

(Xnod, Ynod, U, E, I, A, P, Pinc, Zdof,

Tol, MaxIter,wpen)

Desativar as molas adicionadas

Armazenar os graus de liberdade

das molas a desativar

atualizar

P

inc

=0

Ninc=1

(Correção mediante

iterações)

i=i+1

U, P

ProNLSSC:

PROCESSAMENTO

GenoCES

Figura 3.6: Diagrama do processamento no Solver de contato estático GenoCES.

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 60

Parâmetros de entrada:

-Comprimento do riser L

-Propriedades de seção tranversal I, A

-Módulo de Young E

-Densidade do riser e os fluidos

-Perfil de velocidade da correnteza

Criação dos elementos:

-Coordenadas dos nós

no sistema global

Parâmetros de solução:

-Tolerancia da análise (Tol)

- Max. num de iterações (MaxIter)

-Número de incrementos (Ninc)

-Factor de penalização (wpen)

-Passo de tempo (Δt)

-Tempo de análise (t

span

)

Imposição dos soportes:

-Graus de liberdade a

serem eliminados

Imposição de forças: P

(t)

Vetores de

armazenamento:

-E, I, A

Vetores de

armazenamento:

-Xnod, Ynod

Vetores de

armazenamento:

-Zdof

Calcular matriz de

massa: M

Calcular matriz de

amortecimento: C

Inicializar os vetores:

deslocamento U

0

velocidade dU

0

Ingressar o valor da força

externa inicial P

0

Ingressar parâmetros: β e γ

Ingressar parâmetros: α e γ

Calcular matriz A

Calcular matriz B

Imposição de deslocamentos:

U

(t)

Calcular matriz de

rigidez: K

(U0)

Processamento do Módulo dinâmico NLDS01

Tolerancia da

energia: ϵ

PreNLDS:

PRÉ-PROCESSAMENTO

GenoDIS

Figura 3.7: Diagrama do pré-processamento no Solver dinâmico não linear GenoDIS.

Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 61

Calcular vetor de

incremental de forças

externas atual: ΔP

(t)

Calcular vetor de

incremental de forças efetivas

externas atual: ΔP

eff(t)

para t=t

0

até t=t

span

Calcular vetor de

forças externas atual: P

(t)

Atualizar informação do

elemento: L, β, θ

l

Calcular vetor de

forças internas: Q

Calcular matriz de

rigidez tangente: K

Zdof

Aplicar condições

de contorno: Kbc

Calcular matriz de rigidez

tangente effetiva: K

eff

Módulo estático NLSS02

Ratio Energía

ϵ>Tol

sim

não

Incremento atual do vetor

de deslocamentos: ΔU

t

Incremento atual do vetor

de velocidades: ΔdU

t

Incremento atual do vetor

de acelerações: ΔddU

t

Vetor atual de

deslocamentos: U

t+Δt

Vetor atual de

velocidades: dU

t+Δt

Vetor atual de

acelerações: ddU

t+Δt

t=t+Δt

taxa de energia: ϵ

SOLVER ESTÁTICO NLSS02

FASE ITERATIVA

ProNLDS:

PROCESSAMENTO

GenoDIS

Figura 3.8: Diagrama do processamento no Solver dinâmico não linear GenoDIS.

Capítulo 4

VALIDAÇÃO DA FERRAMENTACOMPUTACIONAL

Os resultados fornecidos pelos distintos módulos de análise que compõem FLEXOL se-

rão validados por comparação com resultados analíticos e numéricos disponíveis na literatura.

Neste capítulo os módulos: GenoES, para simulação estática; GenoCES, para simulação do

contato e GenoDIN, para simulação dinâmica não linear, serão avaliados. Busca-se avaliar o

desempenho numérico do elemento de viga plano geometricamente não linear obtido usando a

formulação co-rotacional.

4.1 Validação do módulo estático GenoES

A validação do módulo GenoES foi feita ao simular os seguintes problemas:

• Viga engastada com carga vertical aplicada no extremo livre;

• viga engastada com momento aplicado no extremo livre.

4.1.1 Viga engastada com carga vertical aplicada no extremo livre

O problema de grandes deslocamentos de uma viga engastada submetida a uma carga trans-

versal no extremo livre tem sido estudado por diferentes autores, entre eles Bisshopp & Drucker

(1945) e Mattiasson (1981). Este problema é um dos testes mais usados na avaliação de pro-

gramas de análise de vigas com não linearidades geométricas.

A Figura 4.1 mostra a viga a ser analisada e a Tabela 4.1 apresenta os parâmetros de simu-

lação. As configurações intermediárias correspondentes a cada incremento de força se mostram

na Figura 4.2. Os resultados analíticos fornecidos em Mattiasson (1981) são comparados com

os resultados da simulação na Tabela 4.2. A comparação foi feita a força adimensional F∗ e os

62

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 63

deslocamentos do extremo livre u∗ e v∗ adimensionais, as quais são definidas como:

F∗ =FL2

EI(4.1)

u∗ =uL

(4.2)

v∗ =v

L(4.3)

onde os valores dos parâmetros E, I e L são dados na Tabela 4.1. As variáveis u e v são as

projeções horizontal e vertical do vetor de deslocamento do nó no extremo livre. A configuração

inicial da viga é uma linha horizontal e está livre de deformações.160x45

F

L

E, I, A

Figura 4.1: Viga engastada com força aplicada no extremo livre.

Tabela 4.1: Parâmetros da simulação estática da viga engastada Ex. 01.

Parâmetro Valor

Parâmetrosgeométricos

Comprimento (in) 100

Área (in2) 1

Inercia (in4) 8, 3333 × 10−2

Módulo de elasticidade (psi) 30

Parâmetros dediscretização

Número de nós 33Número de elementos 32

Tipo de elementos Euler-Bernoulli

Parâmetros doesquema numérico

Tolerância 1 × 10−4

Número de incrementos 26Máximo número de iterações 100

As Figuras 4.3a e 4.3b apresentam a relação entre a carga adimensional F∗ aplicada incre-

mentalmente e os deslocamentos adimensionais u∗ e v∗ variando incrementalmente.

A Figura 4.3b mostra que nos primeiros incrementos de carga a curva de força vs. deflexão

é aproximadamente linear e com o aumento da força o comportamento deixa de ser linear, fato

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 64

0 20 40 60 80 100

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Y [in]

X [i

n]

Configuraçãofinal

Figura 4.2: Viga engastada com força vertical no extremo livre: configurações de equilíbriointermediárias a cada incremento de carga.

0 0.2 0.40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

u*

F*

FLEXOLMattiasson (1981)

(a) F∗ vs. u∗

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

u*

F*

FLEXOLMattiasson (1981)

(b) F∗ vs. v∗

Figura 4.3: Força transversal adimensional F∗ versus deslocamentos adimensionais u∗ e v∗ do extremolivre.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 65

que coincide com a teoria linear de flexão de vigas. A rigidez da viga aumenta com o incremento

da carga em uma análise geometricamente não linear.

Tabela 4.2: Comparação entre resultados analíticos e numéricos para o deslocamento do extremo livreda viga engastada.

Passo de carga iFLEXOL Mattiasson (1981)

F∗ u∗ v∗ F∗ u∗ v∗

0 0 0 0 0 0 01 0.3846 0.0096 0.12610 0.2 0.00265 0.066362 0.7692 0.0356 0.24098 0.4 0.01035 0.130983 1.1538 0.0717 0.33855 0.6 0.02249 0.192354 1.5385 0.1120 0.41822 0.8 0.03817 0.249455 1.9231 0.1527 0.48228 1.0 0.05643 0.301726 2.3077 0.1948 0.53759 1.2 0.07640 0.349017 2.6923 0.2276 0.57550 1.4 0.09732 0.391478 3.0769 0.2633 0.61190 1.6 0.11860 0.429419 3.4615 0.2910 0.63791 1.8 0.13981 0.4632610 3.8462 0.3204 0.66295 2.0 0.16064 0.4934611 4.2308 0.3437 0.68173 2.5 0.20996 0.5556612 4.6154 0.3679 0.69978 3.0 0.25442 0.6032513 5.0000 0.3876 0.71390 3.5 0.29394 0.6403914 5.3846 0.4077 0.72744 4.0 0.32894 0.6699615 5.7692 0.4260 0.73922 4.5 0.35999 0.6939716 6.1538 0.4410 0.74864 5.0 0.38763 0.7137917 6.5385 0.4566 0.75801 5.5 0.41236 0.7304218 6.9231 0.4710 0.76634 6.0 0.43459 0.7445719 7.3077 0.4842 0.77378 6.5 0.45468 0.7567620 7.6923 0.4964 0.78050 7.0 0.47293 0.7673721 8.0769 0.5070 0.78633 7.5 0.48957 0.7767022 8.4615 0.5180 0.79208 8.0 0.50483 0.7849823 8.8462 0.5282 0.79735 8.5 0.51886 0.7923924 9.2308 0.5377 0.80218 9.0 0.53182 0.7990625 9.6154 0.5467 0.80667 9.5 0.54383 0.8051026 10.000 0.5552 0.81085 10.0 0.55500 0.81061

Na tabela 4.2 os valores incrementais fornecidos em Mattiasson (1981) no coincidem com

os calculados pelo FLEXOL devido o autor usa passos de carga diferentes.

4.1.2 Viga engastada com momento aplicado no extremo livre

Um momento concentrado é aplicado no extremo livre da viga engastada apresentada na

Figura 4.4 Os parâmetros E, I e A são dados na Tabela 4.1.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 66

160x45

L

E, I, AM

Figura 4.4: Viga engastada com momento aplicado no extremo livre.

O momento ao longo do comprimento da viga é constante. De acordo com a teoria de vigas

de Euler-Bernoulli o momento fletor e o raio de curvatura ρ se relacionam por

1ρ

=MEI

(4.4)

O raio de curvatura de uma viga que flexiona formando um circulo completo é

ρ =L

2π(4.5)

e o momento necessário para que a viga com grandes deslocamentos feche um circulo completo

é

M =2πEI

L. (4.6)

A expressão adimensional para o momento aplicado é

M∗ = nML

2πEI(4.7)

onde n é o número de voltas a serem impostas na viga não linear. Os deslocamentos são também

adimensionalizados através das equações 4.2 e 4.3. A Figura 4.5 mostra as configurações de

equilíbrio intermediárias correspondentes aos incrementos de carga. Foram impostas três voltas

da viga com os mesmos parâmetros de simulação do caso anterior.

As curvas de momento adimensional versus deslocamentos horizontal e vertical se mos-

tram nas Figuras 4.6a e 4.6b. Os deslocamentos do extremo livre da viga em análise obtidos

analiticamente são dados a seguir:

u(x) = x(

sin θ(x)θ(x)

− 1)

(4.8)

v(x) = x(1 −

cos θ(x)θ(x)

)(4.9)

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 67

−20 0 20 40 60 80

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Y [in]

X [i

n]

Configuraçãofinal

Figura 4.5: Configurações de equilíbrio intermediarias a cada incremento de momento.

θ(x) =M xEI

(4.10)

onde θ(x) é o ângulo de rotação da secção transversal da viga. A comparação entre resultados

numéricos e analíticos é dada na Tabela 4.3.

Este experimento numérico serviu para avaliar a robustez do código frente à imposição de

forças que produzem grandes deslocamentos.O código é robusto ainda quando quatro elementos

de discretização são usados para fazer uma volta completa tal como mostra a Figura 4.7. O

código é estável na presença de grandes rotações.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 68

Tabela 4.3: Comparação entre resultados analíticos e numéricos para o deslocamento do extremo livre.

Passo de carga iFLEXOL Analítico (eq. 4.8-4.10)

M∗ ‖u∗‖ v∗ M∗ ‖u∗‖ v∗

0 0 0 0 0 0 01 0.05 0.1415 0.4373 0.05 0.1416 0.43742 0.10 0.4953 0.6945 0.10 0.4954 0.69453 0.15 0.8906 0.6903 0.15 0.8907 0.69004 0.20 1.1560 0.4802 0.20 1.1559 0.47995 0.25 1.2124 0.2124 0.25 1.2122 0.21226 0.30 1.1041 0.0338 0.30 1.1039 0.03387 0.35 0.9531 0.0074 0.35 0.9532 0.00748 0.40 0.8736 0.0918 0.40 0.8739 0.09169 0.45 0.9043 0.1877 0.45 0.9046 0.1872

10 0.50 1 0.2130 0.50 1 0.212211 0.55 1.0784 0.1538 0.55 1.0780 0.153212 0.60 1.0845 0.0614 0.60 1.0841 0.061113 0.65 1.0254 0.0040 0.65 1.0252 0.004014 0.70 0.9551 0.0146 0.70 0.9555 0.014515 0.75 0.9287 0.0713 0.75 0.9293 0.070716 0.80 0.9607 0.1211 0.80 0.9610 0.120017 0.85 1.0195 0.1231 0.85 1.0193 0.121818 0.90 1.0567 0.0781 0.90 1.0561 0.077219 0.95 1.0458 0.0233 0.95 1.0452 0.023020 1 1 0 1 1 0

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 69

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

|u*|

M*

FLEXOLMattiasson (1981)

(a) M∗ vs. ‖u∗‖

0 0.2 0.4 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

v*

M*

FLEXOL

Mattiasson(1981)

(b) M∗ vs. : v∗

Figura 4.6: Momento adimensional concentrada M∗ versus deslocamentos nodais adimensionais ‖u∗‖ ev∗ medidos desde o extremo livre da viga na configuração inicial.

−20 0 20 40 60 80

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Y [in]

X [i

n]

Configuraçãofinal

Figura 4.7: Viga discretizada com quatro elementos e submetida a um momento concentrado noextremo livre.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 70

4.2 Validação do módulo de contato GenoCES

O algoritmo implementado resolve problemas de contato unidirecional utilizando o método

de penalização. O algoritmo de contato implementado foi avaliado com a solução dos quatro

problemas a seguir.

• Estrutura anelar flexível em contato com anteparo rígido;

• viga engastada em contato com suportes no meio e no extremo livre;

• viga apoiada em fundação elástica tipo Winkler com carga concentrada;

• viga apoiada em fundação elástica tipo Winkler com carga distribuída.

4.2.1 Estrutura anelar flexível contra anteparo rígido

Este problema, também estudado por Simo et al. (1986), consiste em uma estrutura anelar

elástica de secção transversal quadrada que está sendo comprimida contra um anteparo rígido,

tal como mostra a Figura 4.8a. Devido à simetria estrutural trabalhou-se com uma metade,

variando as condições de contorno e a magnitude da carga, vide modelo na Figura 4.8b. O

algoritmo de contato na direção vertical foi testado.

Os parâmetros da simulação são apresentados na Tabela 4.4, a força vertical aplicada no nó

1 é igual a 10000 N, equivalente a uma força adimensional de 4.

As configurações intermediárias obtidas na análise são mostradas na Figura 4.9, As confi-

gurações em linha tracejada indicam que um nó penetrou no anteparo rígido e que o algoritmo

corrigiu esta posição pelo método de penalização. O diagrama de força adimensional F∗ versus

o deslocamento vertical do nó 1 se mostra na Figura 4.10. Os resultados obtidos com o módulo

GenoCES aproximam-se muito bem aos resultados publicados em Simo et al. (1986).80x60

Y

X

F

R0.1m

(a)

80x60

Y

X

1

37

F/2

R0.1m

(b)

Figura 4.8: Estrutura anelar apoiada sobre um anteparo rígido.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 71

Tabela 4.4: Parâmetros da simulação estática da estrutura anelar.

Parâmetro Valor

Parâmetrosgeométricos

Raio (m) 0,1

Área (m2) 3 × 10−4

Inércia (m4) 2, 5 × 10−9

Módulo de elasticidade (Pa) 1 × 1010

Parâmetros dediscretização

Número de nós 37Número de elementos 36

Tipo de elemento Euler-Bernoulli

Parâmetros doesquema numérico

Tolerância 1 × 10−4

Número de incrementos 20Máximo número de iterações 100

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

X [m]

Y [m

]

Configuraçãofinal

Figura 4.9: Posições de equilíbrio intermediárias da estrutura anelar para diferentes incrementos decarga.

4.2.2 Viga engastada com suportes rígidos intermediários

No seguinte exemplo é avaliado o módulo GenoCES na simulação do descolamento entre

uma estrutura flexível e um anteparo rígido. A viga tem módulo de elasticidade E = 2, 5 ×

1010Pa, momento de inércia I = 2, 5 × 10−9m4, área A = 3 × 10−4m2 e comprimento L = 2m.

Tem-se uma viga engastada e dois suportes rígidos embaixo dela, os suportes se encontram

na metade e no extremo livre da viga, tal como mostra a Figura 4.11. Ao aplicar incremental-

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 72

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

1

2

3

4

v [m]

F*

FLEXOL

Simo et al. (1986)

Figura 4.10: Força adimensional aplicada no topo da estrutura anelar versus deslocamento vertical donó 1.

mente a carga F = 700 N o extremo livre da viga entra em contato com o suporte da direita e

após novos incrementos de carga a viga entra em contato com o suporte do meio e, finalmente,

com novos incrementos de carga, há descolamento entre a viga e o suporte direito, vide Figura

4.12 para a historia da deformação da viga. As linhas tracejadas mostram as configurações

onde teve penetração e separação de nós desde os suportes rígidos, que foram corrigidas pelo

GenoCES. 160x60

F

2m

E, I, A

0.1m

1m

0.4m

Figura 4.11: Viga engastada e suportes rígidos intermediários.

Os deslocamentos do ponto meio da viga e do extremo livre em função do incremento de

carga F são mostrados na Figura 4.13. A linha tracejada mostra o deslocamento do ponto meio

da viga composto por três segmentos de linhas retas, descritos a seguir: o primeiro segmento,

corresponde à variação linear enquanto a viga trabalha como simplesmente engastada; o se-

gundo segmento se dá após a viga entrar em contato com o suporte da direita, a viga trabalha

com um engaste e um apoio simples; o terceiro segmento representa o estado no qual a viga

entra em contato com o suporte do meio que funciona como um suporte pivotante, até a viga se

descolar do suporte direito.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 73

Com o extremo direito da viga ocorre o mesmo, a relação força-deslocamento é linear até

entrar em contato com o suporte rígido da direita, logo permanece fixo até aparecer o descola-

mento. Através da historia de deformação as relações força-deslocamentos são quase lineares.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

X [m]

Y [m

]

Configuraçãofinal

Figura 4.12: Configurações de equilíbrio intermediarias da viga para diferentes incrementos de carga.

0 100 200 300 400 500 600 700−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

F [N]

v [m

]

v(L/2) Ponto meio

v(L) Extremo livre

Contato com osuporte da direita

Contato com osuporte do meio

Descolamento dosuporte da direita

Figura 4.13: Deflexão da viga versus força aplicada.

4.2.3 Viga apoiada em fundação elástica tipo Winkler

O modelo mais usado para a interação de uma viga apoiada sobre uma fundação elástica é o

modelo de Winkler. A fundação consiste essencialmente em um arranjo de molas independen-

tes afastadas por uma distancia infinitesimal. A rigidez do solo se expressa em termos de N/m

por unidade de comprimento, a rigidez das molas é, pelo tanto, a rigidez do solo multiplicada

pela separação das molas. Nos exemplos a seguir busca-se avaliar o desempenho do módulo

GenoCES para a solução de fundações tipo Winkler.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 74

A validação dos resultados obtidos é feita baseando-se no trabalho de Kaschiev & Mikhajlov

(1995).

4.2.3.1 Viga sobre fundação elástica com força vertical

Neste exemplo tem-se uma viga de comprimento L = 10m, área transversal A = 0, 0104m2,

módulo de elasticidade 2, 1×1011Pa e inercia I = 0, 8817×10−4m4 na qual é aplicada uma força

no meio do seu comprimento. O módulo de rigidez do solo é igual a ks = 2, 5×105 (N/m)(1/m).

A Figura 4.14a mostra a deformação da viga após a aplicação da carga e a Figura 4.14b mostra

a variação do momento fletor através da viga.

0 20 40 60 80 100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

X [m]

Y [m

]

(a) configurações final e intermediárias.

0 50 1000

2

4

6

8

10

x 104

s [m]

M [N

m]

(b) Momento fletor ao longo docomprimento da viga.

Figura 4.14: Viga sobre fundação elástica com força vertical no meio.

4.2.3.2 Viga sobre fundação elástica com força vertical e momento

Neste exemplo tem-se uma viga de comprimento L = 10 m com as mesmas propriedades

mecânicas do exemplo anterior. A viga é submetida a uma carga vertical no meio de valor igual

a 20 KN e a um momento de 220 KNm aplicado no mesmo ponto. As Figuras 4.15a e 4.15b

mostram a história de deformação da viga.

4.2.3.3 Viga sobre fundação elástica com carga distribuída, carga vertical e momento

Neste exemplo tem-se uma viga de comprimento L = 30 m com as mesmas propriedades

mecânicas do exemplo anterior e rigidez do solo igual a ks = 1, 5 × 106 (N/m)(1/m). A viga

é submetida as seguintes solicitações: força concentrada de 20 KNe momento concentrado de

200 KNm ambos aplicados a 24 m do extremo esquerdo e uma carga distribuída de variação

linear entre 5 KN e 10 KN, aplicada no trecho 7m e 12m. As Figuras 4.16a e 4.16b mostram a

historia de deformação da viga.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 75

0 2 4 6 8 10

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

X [m]

Y [m

]

(a) configurações final e intermediárias.

0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

x 105

s [m]

M [N

m]

(b) Momento fletor ao longo docomprimento da viga.

Figura 4.15: Viga sobre fundação elástica com força vertical e momento no meio.

0 2 4 6 8 10−4

−2

0

2

4

x 10−3

X [m]

Y [m

]

(a) configurações final e intermediárias.

0 2 4 6 8

−10

−5

0

5

x 104

s [m]

M [N

m]

(b) Momento fletor ao longo docomprimento da viga.

Figura 4.16: Viga sobre fundação elástica submetida a carregamento distribuído e pontual.

Os resultados obtidos são coerentes qualitativamente com esses publicados por Kaschiev &

Mikhajlov (1995). O módulo GenoCES simula corretamente os fenómenos de contato unilate-

ral e descolamento.

4.2.3.4 Viga bi-engastada sobre fundação elástica submetida a carga uniformemente dis-tribuída

Este problema foi resolvido analiticamente por ?, a expressão analítica para a deflexão ver-

tical v(x) da viga bi-apoiada é

v(x) = expk x (C1 cos k x + C2 sin k x) + exp−k x (C3 cos k x + C4 sin k x) +qks

(4.11)

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 76

0 1 2 3 4 5

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0x 10

−6

X [m]

Y [m

]

analìtico

FLEXOL

Figura 4.17: Deflexão da viga bi-engastada sobre fundação elástica de Winkler.

onde os parâmetros de C1 até C4 dependem das condições de contorno. O valor de k é definido

por:

k =4

√ks

4EI. (4.12)

A simulação numérica foi conduzida usando os parâmetros da Tabela 4.5. A viga foi discre-

tizada em 100 elementos tipo Euler-Bernoulli e a Figura 4.17 mostra a deformação da viga. O

erro percentual entre os resultados analíticos, usando a equação 4.11, e os resultados da simu-

lação, é apresentado na Figura 4.18. Observa-se um erro menor que 0,04%, validando o código

implementado.

Tabela 4.5: Parâmetros da simulação estática da viga bi-engastada sobre fundação elástica.

Parâmetro Variável Valor

Comprimento (m) L 5

Módulo da seção (Nm2) EI 1, 75 × 106

Rigidez do solo (N/m/m) ks 2 × 107

Magnitude do carregamento (N/m) q 100

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 77

1 2 3 4 5

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

Err

o [%

]

X [m]

Figura 4.18: Erro de deflexão da viga da Figura 4.17.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 78

4.3 Validação do módulo dinâmico GenoDIS

O módulo GenoDIN baseado no esquema de integração direta implícita de Newmark é va-

lidado através de estudos comparativos com dados da literatura. Os exemplos de validação são

os seguintes:

• viga bi-engastada com carga impulsiva no ponto médio;

• viga engastada com carga no extremo livre tipo rampa;

• viga engastada com momento no extremo livre tipo rampa.

4.3.1 Viga bi-engastada com carga concentrada impulsiva

Este problema foi estudado por Rice & Ting (1993). A geometria da viga a ser analisada

se mostra na Figura 4.19. A Tabela 4.6 contem os parâmetros da simulação feita com FLEXOL.

Nas simulações o amortecimento não foi considerado.

F(t)

L

E, I, A

Figura 4.19: Viga engastada com força aplicada no ponto médio.

O perfil da carga aplicada F (t) no ponto médio da viga se mostra na Figura 4.20b. Um pulso

de carga com intensidade F = 2×104 lbf é aplicado no intervalo de tempo de t = 0s a t = 0, 02s.

A Figura 4.20a mostra as deformações que sofre a viga para diferentes tempos intermediários

t. A história de deslocamento do ponto médio da viga é mostrado na Figura 4.20c. Pode-se

observar que os resultados fornecidos por FLEXOL coincidem com os publicados por Rice &

Ting (1993). Na comparação só foram utilizados alguns pontos publicados por Rice & Ting

(1993) para não sobrecarregar a Figura.

4.3.2 Viga engastada com força tipo rampa no extremo livre

Este exemplo considera uma viga engastada sem amortecimento submetida a uma carga do

tipo rampa no extremo livre como mostra a Figura 4.21. Neste exemplo o comprimento da viga

muda para L = 120 in e os valores de E, I e A são iguais aos do exemplo anterior. A viga é

discretizada com 4 elementos e o passo de tempo utilizado foi de ∆t = 0, 001. A Figura 4.22b

mostra o perfil da carga em forma de rampa.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 79

0 50 100 150 200−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

X [in]

Y [i

n]

Configuraçãofinal

(a) Historia de deformação.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

t [s]

F [l

bf]

(b) Historia da força impulsiva no ponto médio.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

t [s]

v [in

]

FLEXOLRice & Ting (1993)

(c) Historia da deflexão do ponto médio.

Figura 4.20: Resposta da viga bi-engastada submetida a carga impulsiva.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 80

Tabela 4.6: Parâmetros da simulação dinâmica da viga bi-engastada

Parâmetro Valor

Parâmetrosgeométricos

Comprimento L (in) 240

Área A (in2) 21,9

Inércia I (in4) 100

Módulo de elasticidade E (psi) 30 × 106

Densidade ρ ( lbf2s2

in4 ) 4, 567 × 10−3

Parâmetros doesquema numérico

Número de nós 9Número de elementos 8

Tipo de elemento finito Elemento de Euler-Bernoulli

Parâmetros desimulação

Máximo número de iterações 100Tempo total de simulação ttotal (s) 0,1 s

Passo de tempo ∆t (s) 1 × 10−3

Tolerância 1 × 10−4

160x45

F(t)

L

E, I, A

Figura 4.21: Viga engastada submetida a carga tipo rampa.

A Figura 4.22c mostra a história da deformação do extremo livre da viga obtida usando

FLEXOL. A Figura 4.22a mostra algumas configurações da viga para diferentes intervalos de

tempo. Os resultados obtidos com o código implementado são comparados satisfatoriamente

com os resultados fornecidos por Rice & Ting (1993), Antonio (2011) e Behdinan et al.

(1998).

A consideração do amortecimento na análise se mostra na Figura 4.23. O amortecimento

imposto é proporcional a rigidez com um fator de α = 0, 002.

4.3.3 Viga engastada com momento tipo rampa no extremo livre

Neste exemplo à mesma viga do exemplo anterior foi submetida a um momento no extremo

livre como mostra a Figura 4.24. O perfil do momento aplicado é em forma de rampa até atingir

o valor de momento que faz a viga completar uma volta, o qual é calculado como:

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 81

0 20 40 60 80 100 120

0

5

10

15

20

25

X [in]

Y [i

n]

Configuraçãofinal

(a) Historia de deformação.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

x 104

t [s]

F [l

bf]

(b) Força tipo rampa no extremo livre.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

t [s]

v [in

]

FLEXOL

Rice & Ting (1993)

(c) História da deflexão do extremo livre.

Figura 4.22: Resposta da viga engastada submetido a uma força vertical tipo rampa no extremo livre.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 82

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

t [s]

v(L,

t) [i

n]

Com amortecimento

Sem amortecimento

Figura 4.23: Resposta amortecida e não amortecida da viga da secção 4.3.3.

M =2πEI

L(4.13)

O momento aplicado em função do tempo é definido por:

M (t) =2πEI

Lt (4.14)

como mostra a Figura 4.25b.

Os resultados da simulação são mostrados na Figura 4.25. Nesta simulação foram usados 33

nós e 32 elementos finitos tipo viga de Euler-Bernoulli e um passo de tempo ∆t = 0, 0005 s. A

consideração do amortecimento estrutural na resposta da estrutura é mostrada na Figura 4.26.160x45

L

E, I, AM(t)

Figura 4.24: Viga engastada submetida a um momento tipo rampa no extremo livre.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 83

−20 0 20 40 60 80 100 1200

10

20

30

40

50

60

70

80

X [in]

Y [i

n]

(a) Deformação a diferentes intervalos de tempo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

x 107

t [s]

M(L

,t) [l

bf−

in]

(b) M vs. t

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

20

40

60

80

100

t [s]

v(L,

t) [i

n]

(c) v(L) vs. t

Figura 4.25: Resposta da viga engastada submetida a um momento tipo rampa no extremo livre.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 84

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

t [s]

v(L/

2,t)

[in]

Com amortecimento

Sem amortecimento

Figura 4.26: Resposta amortecida e não amortecida da viga da com momento no extremo livre, deflexãodo extremo livre versus tempo t.

4.3.4 Viga articulada com momento impulsivo na articulação

Esta simulação considera uma viga sem amortecimento articulada no extremo esquerdo,

como se ve na Figura 4.27. Um momento de M = 70Nm na forma de um pulso é aplicado entre

os tempos t = 0 s e t = 5 s na articulação, após este intervalo de tempo o momento desaparece

e a viga mantém-se girando a velocidade angular constante. Na Tabela 4.7 se mostram os

parâmetros de simulação da viga.

Tabela 4.7: Parâmetros da simulação da viga articulada.

Parâmetro Valor

Comprimento (m) 10

EI (Nm2) 1000EA (N/m/m) 10000A (kg/m) 0, 1

ρ (kg/m3) 10

A viga foi divida em 4 elementos, e os resultados da simulação para diferentes intervalos de

tempo são mostrados na Figura 4.28. Estos resultados coincidem com os resultados publicados

em Simo & Vu-Quoc (1986). A deflexão do extremo livre da viga é mostrada na Figura 4.29.

Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 85

M(t) E, I, A

L

Figura 4.27: Viga com articulação no extremo esquerdo.

−10 −5 0 5 10

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

X [m]

Y [m

]

Figura 4.28: Historia de deformação.

0 10 20 30 40 50 60−15

−10

−5

0

5

10

15

t [s]

v [m

]

Figura 4.29: História da deflexão do extremo livre.

Capítulo 5

APLICAÇÃO DA FERRAMENTACOMPUTACIONAL

Este capítulo apresenta os resultados obtidos com a ferramenta computacional FLEXOL ao

simular a resposta estática e dinâmica de risers rígidos em catenária em contato com o solo

marinho. Diversos exemplos são resolvidos a fim de avaliar a configuração deformada, os

momentos fletores e as tensões internas. Os efeitos dos parâmetros da simulação tal como o

número de elementos e a influencia das propriedades do solo serão analisados. Os resultados

obtidos com o FLEXOL serão comparados com os dados publicados por Leira (2010), Antonio

(2011).

5.1 Estratégia de solução do FLEXOL

Para obter a configuração de equilíbrio estático do riser adotaram-se as seguintes suposi-

ções, as quais são esquematizadas na Figura 5.1:

• o riser encontra-se apoiado sobre o leito marinho horizontal;

• o extremo esquerdo está vinculado ao equipamento submarino, considera-se esta condi-

ção como um engastamento;

• são consideradas somente as forças de peso próprio e flutuação;

• as coordenadas do hang-off são conhecidas.

A Figura 5.1 se mostra a configuração inicial adotada nas simulações. Inicialmente são

impostas as forças de peso próprio e flutuação, em seguida são impostos deslocamentos verticais

e horizontais no extremo direito até atingir a posição final do topo do riser ou hang-off. Estes

deslocamentos são prescritos usando o método de penalização apresentado no capítulo 3.

86

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 87

Fundaçãoelástica

RiserEquipamento

submarino

Topo doriser v

u

YX

Linha do solomarinho

Superfície daágua

Figura 5.1: Modelo usado nas simulações de risers.

5.2 Análise estática de risers

Nesta secção serão simuladas duas configurações de risers muito utilizadas na indústria de

produção de petroleo em alto mar: riser rígido em catenária ou SCR (Steel Catenary Riser) e

riser com flutuadores intermédios ou LWR (Lazy Wave Riser).

5.2.1 Riser rígido em catenária (SCR)

Nesta configuração podem se diferenciar dois trechos, o trecho suspenso e o trecho em

contato com o solo marinho, chamamos ao trecho suspenso de riser em catenária propriamente

dito e o trecho em contato com o solo marinho é conhecido como flowline. Existem soluções

analíticas aproximadas para a determinação da configuração estática do trecho suspenso, em

Faltinsen (1990) se encontram as expressões algébricas usadas na teoria clássica de catenárias.

Nestas expressões os efeitos da rigidez à flexão e o alongamento do riser não são consideradas,

mesmo assim estas expressões são úteis nas comparações.

A Tabela 5.2 mostra os parâmetros utilizados na simulação. A origem do sistema global de

coordenadas é fixo ao equipamento submarino, vide Figura 5.1.

Os parâmetros ingressados ao FLEXOL para a simulação estática do SCR são dados na

Tabela 5.2, a malha foi refinada na zona do TDP, o elemento de menor comprimento tem 10

m. A Figura 5.2 mostra as configurações intermediárias produto da análise. Observa-se que o

código para os primeiros incrementos de carga fornece soluções sem sentido físico, porém no

percurso da análise esse erro vai diminuindo.

A Figura 5.3 compara a configuração de equilíbrio estático obtido com o FLEXOL e a

mesma obtida analiticamente ao resolver a equação da catenária considerando o peso aparente.

Observa-se uma boa coerência entre os resultados. As figuras 5.4 e 5.5 mostram respetivamente

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 88

Tabela 5.1: Parâmetros do riser rígido em catenária.

Parâmetro Valor

Diâmetro externo De (mm) 273Espessura da parede te (mm) 12,7Comprimento total L (m) 2240Peso linear do riser (Kg/m) 125

Densidade do fluido interno ρi (kg/m3) 700

Densidade do fluido externo ρe (kg/m3) 1025

Módulo de elasticidade do riser E (Pa) 2, 1 × 1011

Rigidez do solo marinho ks (N/m/m) 2, 1 × 107

Coordenadas do topo do riser (m) (1500, 995,5)

Tabela 5.2: Parâmetros de simulação de comportamento estático do SCR.

Parâmetro Valor

Número de nós 53Número de elementos 52Número de incrementos de carga 100

Tolerância 10−4

Máximo número de iterações 100

Fator de penalização 1015

0 500 1000 1500 2000

0

200

400

600

800

1000

X [m]

Y [m

]

Conf. final

Figura 5.2: Configurações de equilíbrio intermediárias para o SCR.

a força axial efetiva e o momento ao longo da coordenada curvilínea s. A coordenada s tem sua

origem no equipamento submarino e se estende ao longo do riser deformado.

As quantidades de maior importância no projeto de risers rígidos em catenária são os mo-

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 89

0 500 1000 15000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

X [m]

Y [m

]

FLEXOLLeira (2010)

Figura 5.3: Configuração final de equilíbrio do SCR.

mento fletores máximos e a força axial máxima. A Tabela 5.3 mostra os valores dessas quanti-

dades obtidos utilizando diferentes códigos computacionais. É importante indicar que RIFLEXé um programa comercial de análise de risers muito utilizado na industria petrolífera. Esses

valores foram tomados de Leira (2010). Observa-se uma boa coerência entre as soluções.

0 500 1000 1500 2000

2

4

6

8

10

x 105

s [m]

For

ça a

xial

[N]

FLEXOLLeira (2010)

Figura 5.4: Força axial ao longo da coordenada curvilinea s para o SCR.

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 90

0 500 1000 1500 2000−2

0

2

4

6

8

10

12

x 104

s [m]

Mom

ento

flet

or [N

m]

FLEXOLLeira (2010)

Figura 5.5: Momento fletor ao longo da coordenada curvilínea s para o SCR.

Tabela 5.3: Comparação de resultados obtidos por diferentes códigos computacionais.

Método de solução Força no topo (KN) Momento fletor máximo.(KNm)

Catenária MATLAB® 1099,575 133,2RIFLEX® 1090.478 124,4FLEXOL 1084,943 126,3

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 91

5.2.2 Riser com flutuadores intermediarios (LWR)

Nesta configuração são adicionados flutuadores em algumas partes do riser a fim de cancelar

o efeito do movimento da plataforma na posição do ponto de contato do riser com o solo mari-

nho, como mostra a Figura 5.6. As características mecânicas do riser em análise são mostradas

na Tabela 5.4, a Tabela 5.5 mostra os parâmetros usados na simulação.

As forças de flutuação extras produto da adição dos flutuadores e os deslocamentos do ex-

tremo direito foram aplicadas após as forças de peso aparente. Os flutuadores são instalados

em um trecho de 800 m, entre os 400 m e 1200 m desde o equipamento submarino (origem do

sistema de coordenadas). Considera-se que os flutuadores instalados não adicionam rigidez à

flexão ao riser.

A Figura 5.7 mostra as posições de equilíbrio intermediárias fornecidas pelo FLEXOL cor-

respondentes a cada incremento de carga.

Tabela 5.4: Parâmetros físicos do LWR.

Parâmetro Valor

Diâmetro externo De (mm) 273Espessura da parede te (mm) 12,7Comprimento total L (m) 2100Peso linear do riser (kg/m) 125Peso linear do flutuador (kg/m) 40Diâmetro externo do flutuador (mm) 50

Densidade do fluido interno ρi (kg/m3) 700

Densidade do fluido externo ρe (kg/m3) 1025

Módulo de elasticidade do riser E (Pa) 2, 1 × 1011

Rigidez do solo marinho ks (N/m/m) 2, 1 × 107

Coordenadas do topo do riser (m) (1500, 995,5)

Tabela 5.5: Parâmetros de simulação do LWR.

Parâmetro Valor

Número de nós 141Número de elementos 140Número de incrementos de carga 100

Tolerância 10−4

Máximo número de iterações 100

Fator de penalização 1015

As figuras 5.10 e 5.9 mostram as distribuições do momento fletor e da força axial ao longo

da coordenada curvilínea s obtidas do trabalho de Leira (2010) e o FLEXOL. Pode-se observar

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 92

160x90

Plataforma

flutuante

Trecho de

flutuadores

Ponto de contato

TDPs

Topo do

riser

Superfície

da água

Figura 5.6: Esquema de um riser con flutuadores intermediários.

que os resultados são muito coerentes. Usando os dados publicados por Leira (2010) a Tabela

5.6 mostra uma comparação de resultados para o máximo valor do momento fletor e a força

axial efetiva.

Nota-se que com poucos elementos o FLEXOL já aproxima da maneira muito acertada os

valores de momento máximo e força axial máxima, esta caraterística da ferramenta a faz muito

útil na fase do projeto já que permite obter rapidamente valores aceitáveis, estes valores devem

ser refinados para garantir a qualidade dos resultados.

0 500 1000 1500 2000

0

200

400

600

800

1000

X [m]

Y [m

]

Conf. final

Figura 5.7: Configurações de equilíbrio intermediárias para o LWR.

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 93

0 500 1000 15000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

X [m]

Y [m

]

FLEXOLLeira (2010)

Figura 5.8: Configuração final de equilíbrio do LWR.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

2

3

4

5

6

7

x 105

s [m]

For

ça a

xial

[N]

FLEXOLLeira (2010)

Figura 5.9: Força axial ao longo da coordenada curvilinea s para o LWR.

Tabela 5.6: Comparação de resultados obtidos por diferentes códigos computacionais.

Método de solução Força axial no topo (KN) Momento fletor máx.(KNm)

Catenária MATLAB® 782,553 108,79RIFLEX® 785,332 107,60FEM 783,230 107,63

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 94

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

−4

−2

0

2

4

6

8

10

x 104

s [m]

Mom

ento

flet

or [N

m]

FLEXOL

Leira (2010)

Figura 5.10: Momento fletor ao longo da coordenada curvilínea s para o LWR.

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 95

5.3 Análise dinâmica de risers

Esta secção mostra os resultados da aplicação do módulo dinâmico GenoDIN da ferramenta

computacional FLEXOL para a análise dinâmica de um riser flexível submetido a forças e des-

locamentos variantes no tempo. Este módulo já foi validado no capítulo anterior. Além de

calcular a história da deformação busca-se determinar a variação no tempo das distribuições de

força axial e de momento fletor, parâmetros importantes para o projeto destas estruturas. Os

exemplos de aplicação são anunciados a seguir

• mangote flexível sujeito à ação do seu próprio peso;

• mangote flexível sujeito a seu peso com imposição de deslocamentos.

Os mangotes flexíveis são tubulações que servem para transportar fluidos entre navios afas-

tados, os mangotes podem estar submersos na água ou em contato com a atmosfera. As cara-

terísticas geométricas e mecânicas do mangote objeto deste estudo são apresentadas na Tabela

5.7.

Tabela 5.7: Parâmetros do mangote flexível.

Parâmetro Valor

Diâmetro externo De (mm) 273Espessura da parede tw (mm) 12,7Comprimento total L (m) 400

Densidade do material ρr (kg/m3) 7850

Módulo de elasticidade do material E (Pa) 2, 08 × 1011

5.3.1 Mangote flexível sujeito à ação do peso próprio

Neste exemplo não é considerado o efeito do contato/impacto entre o mangote e o solo.

O módulo GenoDIN ainda não contem as linhas de código necessárias para a simulação deste

fenómeno. Considera-se a posição inicial do mangote como horizontal livre de tensões. A

força de peso próprio é aplicada como uma rampa. Além do peso do mangote que é de aço,

considera-se também o peso do fluido interno com densidade igual a ρ = 700 Kg/m3.

Considera-se que os extremos esquerdo e direito do mangote podem-se deslocar livremente

na direção X e rotacionar ao redor de um eixo normal ao plano de flexão. O deslocamento na

direção do eixo global Y é restringido.

O mangote foi discretizado utilizando 100 elementos de Euler-Bernoulli. O tempo de

simulação foi de t = 17, 5 s, nos primeiros 10 s a carga de peso próprio foi aplicada como uma

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 96

rampa, após deste intervalo de tempo a carga permaneceu constante. O passo de tempo utilizado

foi de ∆t = 0, 01 s, isto é foram considerados 1750 incrementos de carga.

Este exemplo também foi testado no trabalho de Antonio (2011), ele compara os resultados

obtidos com o código MARINE, desenvolvido pelo mesmo autor, com os do ANFLEX, ferra-

menta desenvolvida pela Petrobras. A Figura 5.11 mostra as deformações intermediárias a cada

segundo de tempo e a configuração final.

50 100 150 200 250 300 350

−200

−150

−100

−50

0

X [m]

Y [m

]

FLEXOL

ANFLEX

Figura 5.11: História de deformação do mangote flexível submetido ao seo próprio peso. Número deelementos 100, tempo de análise 17,5 s e passo de tempo ∆t = 0, 01s

Observa-se que os resultados fornecidos pelo FLEXOL são quase coincidentes com os resul-

tados obtidos usando o ANFLEX obtidos por meio do trabalho de Antonio (2011). As figuras

5.12a e 5.12b mostram, respetivamente, as distribuições de força axial e de momento fletor ao

longo da coordenda curvilínea s através do tempo, especificamente, a cada 0,5 s. Os valores

máximos encontrados na análise para a força axial e o momento fletor são de 184 KN e de

1142, 1 KNm, respetivamente. Estes valores não puderam ser comparados com os fornecidos

por Antonio (2011) devido a que no trabalho desse autor os valores obtidos não coincidem com

os do ANFLEX.

A fim de analisar o efeito da variação do passo de tempo na resposta simulou-se o mesmo

exemplo com um tempo total de simulação igual a t = 25 s para capturar melhor a evolução

dos resultados. A Figura 5.13 mostra as configurações finais obtidas usando diferentes passos

de tempo. Nas figuras 5.13a e 5.13b onde o passo de tempo é maior, nota-se que o mangote

flexível se deforma para depois retornar à posição inicial e continuar oscilando respeito da

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 97

50 100 150 200 250 300 3500

2

4

6

8

10

12

x 104

Ten

são

[N]

s [m]

(a)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0

2

4

6

8

10

x 105

Mom

ento

flet

or [N

m]

s [m]

(b)

Figura 5.12: (a) Distribuição da força axial ao longo da coordenada curvilínea s a cada 2 s; (b)Distribuição de momento fletor ao longo da coordenada curvilínea s a cada 2 s

configuração horizontal. Nas soluções obtidas com passos de tempo menores, figuras5.13c e

5.13d, é importante ressaltar que o mangote se deforma de tal maneira que os trechos verticais,

que se tinham no tempo t = 17, 5 s, se cruzam até a parte inferior para formar um laço. Devido

a que o algoritmo de contato não é considerado neste módulo o mangote não impacta consigo

mesmo. Ao reduzir o passo de tempo obtem-se a mesma resposta final verificando assim a

convergência da soluação com o tamanho de passo de tempo. A curvatura do laço inferior

formado é muito alta, mesmo assim o código mostrou sua estabilidade e acurácia.

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 98

100 200 300−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

X [m]

Y [m

]

(a) ∆t = 0, 075 s

100 200 300

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

X [m]

Y [m

]

(b) ∆t = 0, 05 s

100 200 300−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

X [m]

Y [m

]

(c) ∆t = 0, 005 s

100 200 300−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

X [m]

Y [m

]

(d) ∆t = 0, 0025 s

Figura 5.13: Influência do passo de tempo na convergência da resposta dinâmica do mangote flexível.Número de elementos: 100, tempo de simulação: 25 s

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 99

5.3.2 Mangote flexível sujeito a deslocamentos impostos

Nesta simulação o mangote utilizado no exemplo anterior inicialmente é submetido a seu

próprio peso fazendo uso do módulo GenoES. A configuração de equilíbrio obtido pelo módulo

servirá como base para a análise dinâmica. Após ter atingido o equilíbrio estático uma carga

harmónica no extremo direito é aplicada mediante o módulo GenoDIN. A Tabela 5.8 mostra os

parâmetros da simulação.

Tabela 5.8: Parâmetros físicos da simulação do mangote flexível com imposição de deslocamentos.

Parâmetro Valor

Diâmetro externo De (mm) 273Espessura da parede tw (mm) 12,7Comprimento total L (m) 150

Densidade do material ρr (kg/m3) 7850

Módulo de elasticidade do material E (Pa) 2, 08 × 1011

Amplitude da força harmónica AY (mm) 8Frequência da força harmónica f (Hz) 1

Os parâmetros da simulação para a análise estática e dinâmica mostram-se na Tabela 5.9. O

mangote foi discretizado com 100 elementos de viga. O fenómeno de amortecimento não foi

tomado em conta para este exemplo.

Tabela 5.9: Parâmetros numéricos da simulação do mangote flexível com deslocamento imposto.

Tipo de análise Parâmetro ValorNúmero de incrementos 5

Estático, GenoES Tolerância ao erro 10−4

Número máximo de iterações 100Passo de tempo (s) 0,005

Dinâmico, GenoDIN Tempo total de simulação (s) 10

Valor de penalização 1015

A Figura 5.14 mostra a história de deformação a cada 0, 5 s. É importante conhecer o

deslocamento de alguns nós como função do tempo, a Figura 5.15 mostra estes ressultados.

A Figura 5.15a mostra o deslocamento vertical do extremo direito, que como era de se supor

coincide com a função harmónica ingressada no GenoDIN; a Figura 5.15b mostra o movimento

horizontal do extremo direito, toma-se como referência a posição nodal deformada fornecida

pelo módulo estático; as figuras 5.15c e 5.15d representam, respetivamente, os movimentos

vertical e horizontal do ponto meio do mangote; por último, o ângulo de rotação da articulação

do extremo esquerdo em função do tempo é mostrado na Figura 5.15e.

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 100

Neste exemplo conseguiu-se acoplar as análises estática e dinâmica. A análise dinâmica

foi conduzida a partir de uma configuração de equilíbrio pré-tensionada, validando o funciona-

mento do código dinâmico nessa condição inicial.

0 20 40 60 80 100 120

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

X [m]

Y [m

]

Figura 5.14: História de deformação do mangote flexível submetido ao seu próprio peso e adeslocamentos impostos.

Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL 101

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−5

0

5

tiempo [s]

Des

loca

men

to [m

]

(a) Deslocamento vertical do extremo direito em função do tempo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−94

−93

−92

tiempo [s]

Des

loca

men

to [m

]

(b) Deslocamento horizontal do extremo direito em função do tempo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−70

−65

−60

tiempo [s]

Des

loca

men

to [m

]

(c) Deslocamento vertical do ponto meio em função do tempo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−50

−48

−46

−44

tiempo [s]

Des

loca

men

to [m

]

(d) Deslocamento horizontal do ponto meio em função do tempo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1.8

−1.6

tiempo [s]

Rot

ação

[rad

]

(e) Deslocamento angular da articulação à esquerda função do tempo.

Figura 5.15: História de movimento para diferentes nós do mangote.

Capítulo 6

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕESPARA TRABALHOS FUTUROS

Este capítulo apresenta as principais conclusões obtidas a partir do desenvolvimento deste

trabalho. Sugestões de trabalhos futuros também são apresentadas.

6.1 Conclusões

Conforme as indústrias de exploração de petróleo em alto mar avançam para águas mais

profundas surge a necessidade de usar novas tecnologias de escoamento de petróleo e gás com

melhores características técnico-econômicas que as tecnologias atuais. Nesse cenário os risers

rígidos em catenária ou SCRs apresentam-se como a melhor solução técnico-econômica para

a transferência de petróleo em águas profundas. Porém, a teoria deste tipo de estruturas ainda

não foi totalmente desenvolvida exigindo para seu estudo um conhecimento multidisciplinar

em mecânica dos sólidos e dos fluidos, dinâmica não linear, mecânica dos solos e mecânica de

ondas.

O presente trabalho de mestrado abordou numericamente a estática e a dinâmica no plano

de mangotes flexíveis e risers rígidos em catenária interatuando com o solo marinho.

Neste trabalho foi desenvolvido e implementado um código computacional para análise

estática e dinâmica geometricamente não-linear de risers no plano levando em conta o contato

com o solo marinho. O método dos elementos finitos foi usado na solução das equações que

governam a resposta estática e dinâmica dos risers rígidos em catenária, SCR. Devido aos

grandes deslocamentos e pequenas deformações que experimenta um SCR se fez necessário

trabalhar com formulações de mecânica não linear. A formulação não linear dos elementos

finitos foi feita via a abordagem co-rotacional a qual separa o movimento total do elemento

em uma parcela de corpo rígido e em outra de deformação. Durante o movimento de corpo

rígido, um sistema local de coordenadas fixo ao elemento se movimenta junto com este. As

102

Capítulo 6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 103

deformações são medidas em relação ao sistema local de coordenadas.

Foi implementado um elemento de viga de Euler-Bernoulli conjuntamente com o esquema

incremental-iterativo de Newton-Raphson. Os resultados obtidos com os exemplos simulados

são coerentes com os resultados da literatura como foi mostrado no Capítulo 4.

Para o caso da imposição de deslocamentos, seja na análise estática ou dinâmica, o método

de penalização implementado resultou ser eficiente e exato dentro da tolerância especificada

para a análise, em virtude da menor quantidade de variáveis requeridas na solução do problema

e sua facilidade de implementação.

Em particular, na análise dinâmica, a imposição de deslocamentos mediante o método da

penalização introduz um efeito desestabilizador na resposta do riser. Isto acontece devido à

adição de uma mola de grande rigidez a uma massa concentrada pequena, pois a frequência

associada a este grau de liberdade é muito alta, introduzindo frequências espúrias na análise

que comprometem a convergência do esquema numérico. Um método útil para o filtragem

destas frequências espúrias é o uso da matriz de amortecimento proporcional à rigidez. Este

método de filtragem foi implementado satisfatoriamente no FLEXOL.

Como foi mostrado no exemplo do mangote flexível submetido a seu próprio peso aplicado

dinamicamente, a resposta fornecida pelo método de Newmark implementado no GenoDISsempre é estável porém é altamente dependente do tamanho do passo de tempo.

No segundo exemplo do mangote flexível demostrou-se que os módulos GenoES e GenoDISpodem trabalhar em conjunto. Neste problema foi resolvido com sucesso um problema de

dinâmica levando em consideração os efeitos de pré-tensão.

O método de penalização também foi utilizado na implementação do módulo de contato

unidirecional GenoCES para a análise de fundações elásticas tipo Winkler. Como foi mostrado

no Capítulo 4, o algoritmo de contato forneceu resultados coerentes com dados da literatura e

mostrou-se estável na ocorrência de descolamento entre o riser e o solo.

O código implementado neste trabalho para a determinação da configuração de equilíbrio

de um SCR mostrou-se estável, porém a configuração final depende do número de incrementos

de deslocamentos utilizado. O extremo direito é levantado até atingir a posição da plataforma

flutuante e simultaneamente o ponto de contato vai se deslocando desde o extremo livre até sua

posição final na zona de contato. O número de incrementos nos quais é dividido o deslocamento

prescrito total é importante também para a obtenção de resultados confiáveis, se recomenda usar

un número alto de incrementos de deslocamento, pelo ordem de 200 incrementos.

De acordo com as simulações feitas neste trabalho e nos trabalhos de Schweizerhof e Ramm

(1984), Yadzchi e Crisfield (2002) e Garcia Sanchez (2013) conclui-se que o efeito da modela-

gem das forças de interação com o fluido, e. g. o empuxo hidrostático e o arrasto hidrodinâmico,

como forças não conservativas, fornecem praticamente os mesmos resultados que se estas for-

ças fossem modeladas como conservativas, quer dizer, independentes das deformações do riser.

Capítulo 6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 104

Isto devido a que nas condições de contorno presentes na maioria de configurações de risers uti-

lizadas na industria, como a LWR ou SCR, o efeito de cargas seguidoras pode ser desprezado.

O uso da formula de Arquimedes para as cargas de flutuação fornece resultados aceitáveis com

menores esforços na solução e na implementação.

Conclui-se também que a ordem de aplicação das cargas na determinação da configuração

de equilíbrio estático de risers influi no tempo de simulação. Ao aplicar simultaneamente o peso

próprio, empuxo, arrasto hidrodinâmico e os deslocamentos prescritos o algoritmo de solução

consome um tempo maior que ao aplicar as cargas na seguinte ordem: peso próprio e empuxo,

em seguida os deslocamentos prescritos e, finalmente, as cargas produto da correnteza. Com

esta ordem de aplicação dos carregamentos obtém-se maior eficiência computacional.

O deslocamento imposto no extremo livre do riser tem uma componente horizontal em di-

reção ao engastamento, este deslocamento gera uma instabilidade axial. O método de Newton-

Raphson com controle de carga implementado neste trabalho não é útil para analisar este tipo

de resposta podendo apresentar problemas numéricos. Para evitar este problema, neste trabalho

foram usados passos de carga suficientemente pequenos.

A maioria dos códigos comerciais de análise de risers possuem um pré-processador que

calcula uma configuração inicial do riser baseando-se na equação da catenária, ou seja, descon-

siderando a rigidez à flexão e a extensibilidade do riser. Este pré-processador acelera o processo

de cálculo. Este trabalho não considerou um pré-processador, porém a equação da catenária foi

utilizada como base da comparação.

Neste trabalho foi implementado no pré-processador um algoritmo que permite fazer o re-

finamento de malha na zona de contato corretamente a fim de evitar o erro que pode produzir

uma discretização com tamanhos de elementos muito diferentes. Recomenda-se variar o com-

primento dos elementos de maneira suave para obter tensões e momentos fletores realísticos.

6.2 Trabalhos futuros

Segue a continuação uma lista de trabalhos futuros recomendados pelo autor deste trabalho:

• Implementação de um elemento de viga com não linearidade geométrica para conduzir

análises tridimensionais.

• Formulação de um novo elemento de viga considerando uma linha reta com nós interme-

diários ou um elemento curvo para melhor aproximação da geometria do riser na zona de

contato.

• Comparação do desempenho do elemento de viga de Euler-Bernoulli com os elementos

propostos no item anterior.

Capítulo 6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 105

• Como foi dito anteriormente o parâmetro de maior importância no projeto de SCRs é o

máximo momento fletor na zona de contato, este momento depende do comportamento

mecânico do solo. Modelos não lineares que tomem em conta o comportamento plástico

do solo marinho forneceriam resultados mais precisos. Sugere-se tomar como referência

os trabalhos de Randolph & Quiggin (2009) e You et al. (2008) que usando curvas

P-y, pressão vs. penetração, oferecem modelos não lineares histeréticos para as molas

utilizadas na fundação tipo Winkler.

• O algoritmo de solução de equações não lineares baseado no método de Newton-Raphson

possui desvantagens na análise de instabilidade axial, sugere-se implementar outro algo-

ritmo de solução deste tipo de equações, como por exemplo o algoritmo arc length ou

line search, para poder resolver o problema da instabilidade axial na TDZ.

• Para a análise dinâmica, sugere-se implementar um algoritmo de integração direta implí-

cita com amortecimento numérico como é o caso do algoritmo HHT para a filtragem das

frequências espúrias adicionadas pelo método de penalização implementado. Sugere-se

também implementar um algoritmo de integração com passo de tempo variável, com o

intuito de aumentar a eficiência do módulo GenoDIS.

• Na análise de risers em águas ultra profundas o deslocamento fora do plano criado pela

catenária é importante, pelo tanto é recomendável implementar um simulador de risers

tridimensional.

• Já na análise tridimensional é desejável simular o efeito da fricção com o solo na direção

transversal ao plano de curvatura. Deveria-se simular também o efeito do contato/impacto

com as paredes laterais da trincheira na resposta dinâmica global do riser.

• Neste trabalho o movimento da plataforma à qual o riser está ligado é desacoplado do

movimento do riser. Ao analisar risers de maior comprimento a inércia deste em relação

à inércia da plataforma cobra importância, não podendo assim fazer um estudo desaco-

plado. Simulações dinâmicas acopladas do sistema global riser-plataforma devem ser

conduzidas.

• A implementação de um pré-processador é desejável para melhorar a eficiência compu-

tacional. O pré-processador trabalha com as equações de um cabo inextensível para fazer

uma primeira aproximação da configuração estática e assim reduzir o número de iterações

necessárias até atingir o equilíbrio do riser. O pré-processador também pode servir para

criar uma malha refinada nas zonas de maior momento fletor, podendo-se automatizar o

processo de discretização.

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