dissert nicolau free

UNIVERSIDADE DE SO PAULO

ESCOLA POLITCNICA

NICOLAU ARCHILLA GALAN NETO

Anlise dinmica no linear bidimensional de risers

So Paulo

2013

2

NICOLAU ARCHILLA GALAN NETO

Anlise dinmica no linear bidimensional de risers

Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia.

rea de concentrao: Engenharia de Estruturas

Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Nigro Mazzilli

So Paulo 2013

3

Este exemplar foi revisado e alterado em relao verso original, sob

responsabilidade nica do autor e com a anuncia de seu orientador.

So Paulo, 08 de janeiro de 2013.

Assinatura do autor ____________________________

Assinatura do orientador _______________________

FICHA CATALOGRFICA

Galan Neto, Nicolau Archilla

Anlise dinmica no linear bidimensional de risers / N.A. Galan Neto. -- ed.rev. -- So Paulo, 2013.

93 p.

Dissertao (Mestrado) - Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotcnica.

1. Dinmica 2. Mtodo dos elementos finitos 3. Anlise no linear de estruturas I. Universidade de So Paulo. Escola Poli-tcnica. Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotc-nica II. t.

4

Dedico este trabalho a Deus, ao Sr. Jesus Cristo,

e a toda minha famlia.

5

Agradecimentos

Ao meu orientador, Professor Carlos Eduardo Nigro Mazzilli, e ao Professor

Edgard SantAnna de Almeida Neto, que sempre me ajudaram no decorrer deste

trabalho. Agradeo tambm a amizade que criamos no perodo de elaborao desta

dissertao, e o esforo destes dois professores exemplares da Escola Politcnica

da USP, que mesmo passando por problemas pessoais, sempre puderam me

orientar da melhor forma possvel.

Agradeo tambm a minha famlia e a minha amada Michele Yamao, que

sempre me apoiaram e ajudaram ao longo do desenvolvimento deste trabalho,

sempre me dando foras para continuar e prosperar, ajudando de forma significativa

no meu desenvolvimento pessoal e profissional.

Agradeo tambm aos amigos que criei no LMC (Laboratrio de Mecnica

Computacional da EPUSP), para os quais pude pedir ajuda nas horas difceis, mas

que tambm pude contar pra me divertir bastante. Aos amigos que criei no NDF

(Ncleo de Dinmica e Fludos da EPUSP) durante o perodo em que trabalhamos

juntos.

A Capes e a Petrobras pelo apoio financeiro ao longo de parte do

desenvolvimento deste trabalho.

Enfim, a todos os familiares e amigos com quem pude contar nas horas

difceis e de alegria.

6

SUMRIO

1 CAPTULO 1 ...................................................................................................... 12

1.1 INTRODUO ............................................................................................ 12

1.2 OBJETIVO .................................................................................................. 23

1.3 JUSTIFICATIVA .......................................................................................... 25

1.4 REVISO BIBLIOGRFICA ........................................................................ 27

1.4.1 Mtodo dos elementos finitos aplicado anlise de risers ........... 27

1.4.2 Contato ............................................................................................... 28

1.5 ORGANIZAO DO TEXTO ...................................................................... 30

2 CAPTULO 2 ...................................................................................................... 31

2.1 ANLISE ESTTICA .................................................................................. 31

2.2 SISTEMA DE COORDENADAS ................................................................. 32

2.3 CARREGAMENTOS ................................................................................... 34

2.3.1 Carregamento devido ao campo gravitacional terrestre ................ 34

2.3.2 Carregamento de natureza hidrosttica .......................................... 35

2.3.3 Carregamento de natureza hidrodinmica ...................................... 36

2.4 EQUACIONAMENTO DOS ELEMENTOS FINITOS ................................... 38

2.4.1 Elemento de trelia bidimensional com sistema corrotacional ..... 38

2.4.2 Elemento de barra de Bernoulli Euler bidimensional com sistema

corrotacional .................................................................................................... 43

2.5 CONTATO UNILATERAL ........................................................................... 53

2.5.1 Interao solo-estrutura .................................................................... 53

2.5.2 Equacionamento do contato ............................................................. 54

3 CAPTULO 3 ...................................................................................................... 60

3.1 ANLISE DINMICA .................................................................................. 60

3.2 ORIGEM DOS CARREGAMENTOS DE ONDA E MOVIMENTO DA

UNIDADE FLUTUANTE......................................................................................... 61

3.2.1 Efeito da onda .................................................................................... 61

3.2.2 Movimento da unidade flutuante ...................................................... 62

3.3 CARREGAMENTO DO FLUIDO ................................................................. 63

3.4 DISCRETIZAO PELO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ............. 66

7

3.4.1 Elemento de trelia bidimensional com sistema corrotacional ..... 66

3.4.2 Elemento de barra bidimensional com sistema corrotacional ...... 69

3.5 MATRIZES ELEMENTAIS E VETOR DE CARREGAMENTO EXTERNO .. 72

3.5.1 Matriz de massa estrutural ................................................................ 72

3.5.2 Matriz de massa adicional ................................................................. 73

3.5.3 Matriz de amortecimento viscoso .................................................... 74

3.5.4 Vetor de carregamento ...................................................................... 77

3.6 MTODOS DE INTEGRAO ................................................................... 79

3.7 DOMNIO DO TEMPO ................................................................................ 79

3.7.1 Mtodos de integrao ...................................................................... 80

4 CAPTULO 4 ...................................................................................................... 81

4.1 JUSTIFICATIVA .......................................................................................... 81

4.2 OBJETIVO .................................................................................................. 82

4.3 CAPACIDADES .......................................................................................... 83

4.4 SADA DE RESULTADOS .......................................................................... 84

4.5 IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL ..................................................... 84

4.6 ESTRATGIA DE SOLUO DO PROCESSAMENTO ESTTICO .......... 85

4.6.1 Riser reto ............................................................................................ 85

4.6.2 Riser em catenria ............................................................................. 86

5 CAPTULO 5 ...................................................................................................... 88

5.1 CONSIDERAES FINAIS E CONCLUSO ............................................. 88

5.2 TRABALHOS FUTUROS ............................................................................ 89

6 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .................................................................. 91

8

Lista de Figuras

Figura 1: Histrico de explorao de petrleo e gs no Brasil (Fonte:

Petrobras) ................................................................................................................ 13

Figura 2: Campo de Tupi (Fonte: Site do Jornal Folha de So Paulo datada

31/08/2009) ............................................................................................................... 14

Figura 3 Plataforma do tipo jaqueta ................................................................... 15

Figura 4- Plataforma TLP. (Fonte: SeaSoft Systems, 2011) ................................. 16

Figura 5 Plataforma FPSO. Plataforma P-54 (Petrobras) .................................. 16

Figura 6 Plataforma SPAR. (Global Security) .................................................... 17

Figura 7 Plataforma semi-submersvel. Bacia de Campos RJ (Foto: Andr

Luiz) .......................................................................................................................... 18

Figura 8: Riser em catenria livre com TDZ .......................................................... 19

Figura 9: Risers verticais e em catenria livre ...................................................... 20

Figura 10: Risers lazy-wave, lazy-s, steep-wave e steep-s .................................. 20

Figura 11 Riser flexvel de seis camadas. Extrado de [23]. Figura adaptada. 21

Figura 12 Processo de instalao de um riser em catenria livre. Extrado de

API. ........................................................................................................................... 22

Figura 13 Sistema de eixos cartesianos global e corrotacional ...................... 33

Figura 14 Fora de empuxo em trecho de riser ................................................. 35

Figura 15 Esquema de subtrao de carregamento ......................................... 36

Figura 16 Perfil de correnteza bidimensional .................................................... 37

Figura 17 Configurao de referncia e configurao atual ............................ 39

Figura 18 Variao do ngulo ........................................................................... 42

Figura 19 Configurao de referncia e atual de um elemento finito de barra,

ainda se desconsiderando as deformaes de flexo. ........................................ 44

Figura 20 Configurao de referncia e atual com deformaes de flexo. ... 45

Figura 21 Relao deslocamento axial e fora axial para a barra de Bernoulli-

Euler. ........................................................................................................................ 46

Figura 22 Relao rotao nodal e momento fletor para a barra de Bernoulli-

Euler ......................................................................................................................... 47

Figura 23 Pequena variao dos deslocamentos na configurao atual. ....... 48

Figura 24: Regio do contato do riser com o solo TDZ .................................... 53

9

Figura 25 Contato do tipo n-superfcie. ............................................................ 54

Figura 26 Equao constitutiva do contato na direo normal ....................... 55

Figura 27 Equao constitutiva do contato tangencial..................................... 56

Figura 28 Elemento bidimensional de trelia com a numerao dos graus de

liberdade .................................................................................................................. 67

Figura 29 Nomenclatura dos deslocamentos para os graus de liberdade de

um n ....................................................................................................................... 67

Figura 30 Elemento de trelia com um ponto P a uma distncia genrica x .. 68

Figura 31 Funo de forma linear para os graus de liberdade do n 1 ........... 68

Figura 32 Funo de forma linear para os graus de liberdade do n 2 ........... 68

Figura 33 Elemento bidimensional de barra com a numerao dos graus de

liberdade .................................................................................................................. 69

Figura 34 Nomenclatura dos deslocamentos para os graus de liberdade de

um n ....................................................................................................................... 69

Figura 35 Funo de forma para o grau de liberdade 1 .................................... 70






10

Resumo

Este trabalho contextualiza o problema da anlise estrutural bidimensional de risers

verticais ou lanados em catenria livre, fazendo uma breve descrio das etapas

para a modelagem dessas estruturas. O problema que este trabalho se prope a

resolver o da anlise dinmica no linear destas estruturas, no domnio do tempo,

apresentando uma formulao que seja capaz de representar de forma adequada as

etapas de modelagem destes sistemas. A modelagem foi dividida em duas etapas. A

primeira delas referente fase de lanamento do riser, com o objetivo de

determinar a configurao deformada de equilbrio, assim como os esforos

solicitantes internos decorrentes dessa configurao deformada. Ressalta-se que

para os casos de risers em catenria livre, considera-se tambm o contato unilateral

da estrutura com o solo marinho. A segunda etapa a modelagem da fase de

operao da estrutura, por meio de um modelo dinmico bidimensional. Em ambas

as etapas, a formulao apresentada considera os efeitos de acoplamento fluido-

estrutura. No caso dos risers em catenria, considera-se tambm o efeito da

interao solo-estrutura. Todo o desenvolvimento das equaes foi realizado

utilizando-se o mtodo dos elementos finitos MEF. A formulao desenvolvida

contempla dois elementos finitos, um de trelia e outro de barra, utilizando-se um

sistema de coordenadas corrotacionais. A utilizao deste sistema de coordenadas

possibilitou a adoo de teorias estruturais de pequenas deformaes, para a

anlise de problemas que envolvem grandes deslocamentos e rotaes finitas. Alm

da formulao do problema, tambm foi apresentado o projeto da ferramenta

computacional RiserSys, que especfica para o estudo de risers nas configuraes

reta (vertical) e em catenria livre. Muito embora no seja o objetivo deste trabalho a

implementao computacional do cdigo nesta ferramenta e o estudo de casos

referentes a fenmenos de dinmica no linear nessas estruturas, nas

consideraes finais, prope-se, como trabalhos futuros, a utilizao desta

formulao para o estudo da compresso dinmica e a instabilidade paramtrica.

Palavras-chave: Dinmica. Mtodo dos elementos finitos. Corrotacional. Riser.

Catenria. Compresso dinmica. Instabilidade paramtrica.

11

Abstract

This work addresses the problem of the bidimensional analysis of risers, either

straight or free hanging, giving a brief description of the modeling steps of these

structures. The problem that it is meant to be solved is the nonlinear dynamic

analysis in the time domain of these structures, presenting a formulation capable of

correctly modeling the steps of the analysis of the system. The modeling was divided

into two steps. The first one is referred to the riser installation, in which the objective

was to find the deformed configuration of equilibrium and its internal forces. For the

free hanging risers, the unilateral contact with the seabed is taken into account. The

second step of the modeling is the phase of operation, using a bidimensional

dynamic model. Both steps of the modeling consider the fluid-structure coupling

phenomenon. For the free hanging risers, the soil-structure interaction is taken into

account. All the analyses were performed using the finite element method FEM.

Two finite elements were formulated 2D truss and 2D Bernoulli Euler beam both

using a co-rotational coordinate system. The co-rotational coordinate system allowed

the use of small-strain theory to develop these finite elements to study problems that

involve large displacements. Besides the problem formulation, the project of a

computational code, named RiserSys, was described. RiserSys is a dedicated

computational tool to analyze straight and free hanging risers. Although the objective

of this work is not the computational implementation and the analysis of cases

studies, in the concluding chapter it is proposed, as future work, the use of the

formulation presented herewith to analyze non-linear dynamic phenomena that may

take place in these systems, such as dynamic compression and parametric

instability.

Keywords: Dynamics. Finite-element method. Co-rotational. Riser. Catenary.

Dynamic compression. Parametric instability.

12

1 Captulo 1

1.1 Introduo

A Engenharia Offshore, que se ocupa, entre outros temas, da prospeco e

explorao de petrleo no mar, tem se deparado com situaes cada vez mais

extremas. As exigncias nesta rea so uma tendncia natural, uma vez que os

produtos explorados tm grande importncia estratgica e econmica.

No que concerne prospeco de novas bacias de explorao de gs e leo, muitos

pases tm reservado e realizado grandes investimentos.

O Brasil um desses pases. Por consequncia do aumento de investimentos nesta

rea, o Pas conseguiu aumentar sua participao de explorao destes produtos no

mbito mundial. Segundo a ANP (Agncia Nacional do Petrleo, Gs Natural e

Biocombustveis), a produo brasileira de petrleo cresceu 6,9 % somente no ano

de 2009.

A maior parte das bacias petrolferas brasileiras encontra-se offshore. Este fato

revela a importncia econmica, estratgica e tecnolgica que essas bacias

representam ao pas.

A Bacia de Campos considerada a maior reserva petrolfera da Plataforma

Continental Brasileira, com cerca de 100 mil quilmetros quadrados de rea,

estendendo-se do Estado do Esprito Santo at o Arraial do Cabo, no litoral norte do

Estado do Rio de Janeiro.

A explorao nesta bacia comeou em 1976, com um poo situado em lmina

dgua de 100 metros. Este era s o comeo, pois em pouco tempo, a Petrobras

comeou a explorar petrleo em guas um pouco mais profundas, mas que hoje so

consideradas rasas. A prospeco de novos campos em guas cada vez mais

profundas se intensificou, e em decorrncia dessa medida novos campos de

possvel explorao foram descobertos. A Figura 1 ilustra um histrico de explorao

de petrleo e gs da empresa Petrobras de acordo com a profundidade da lmina

dgua at o ano de 2003.

13

Figura 1: Histrico de explorao de petrleo e gs no Brasil (Fonte: Petrobras)

A recente descoberta da mega reserva de petrleo e gs do Campo de Tupi,

localizado na Bacia de Santos, despertou o interesse econmico e estratgico do

Pas em ser autossuficiente quanto ao consumo interno destes produtos e,

possivelmente, exportador do excedente para o mercado externo. No entanto, a

explorao de gs e leo nesta bacia no um processo fcil, uma vez que est

localizada em guas ultraprofundas, na regio do pr-sal, e com profundidade mdia

de 2000 m de lmina dgua. A Figura 2 ilustra a regio da Bacia de Santos, na

regio do Pr-Sal.

14

Figura 2: Campo de Tupi (Fonte: Site do Jornal Folha de So Paulo datada 31/08/2009)

A explorao de petrleo e gs nestas bacias exige a instalao de uma unidade de

produo offshore. Esta unidade um conjunto de estruturas que formam o sistema

necessrio para a explorao do petrleo e gs. A unidade composta por uma

plataforma na superfcie do mar, um sistema de tubos e cabos de comando

hidrulico e eltrico, e tambm um conjunto de vlvulas denominado de rvore de

natal.

As plataformas podem ser de diferentes tipos, de acordo com as condies

ambientais e econmicas de cada regio de explorao, podendo ser classificadas

em fixas ou flutuantes.

As plataformas fixas foram as primeiras unidades a serem utilizadas na explorao

offshore no Brasil e so as preferidas para a explorao de campos localizados em

lmina dgua de at 300 m. Um exemplo de plataforma fixa a do tipo jaqueta,

ilustrada na Figura 3, que possui uma estrutura metlica de barras que fixa no

fundo do mar.

15

Figura 3 Plataforma do tipo jaqueta

As plataformas flutuantes podem ser do tipo: FPSO (Floating Production, Storage

and Offloading), TLP (Tension Leg Platform), SPAR e plataformas semi-

submersveis.

As plataformas TLP, ilustrada na Figura 4, so ancoradas ao fundo do mar por

cabos pr-tracionados que restringem principalmente os deslocamentos verticais.

Este tipo de plataforma pode ter grande vantagem em alguns tipos de geometria de

risers, como os risers verticais, que no suportam grandes variaes de amplitudes,

principalmente de heave. Outras configuraes de cabos tambm podem ser

bastante beneficiadas por este tipo de plataforma, como a catenria. A principal

desvantagem o custo inicial elevado.

16

Figura 4- Plataforma TLP. (Fonte: SeaSoft Systems, 2011)

As FPSOs, ilustradas na Figura 5, so navios e podem ser utilizados para a

explorao, armazenamento e escoamento de leo e gs em poos com lmina

dgua entre 200 m a 2000 m de profundidade. Estes navios so geralmente

petroleiros fora de atividade, que so transformados em unidades flutuantes. Este

tipo de plataforma apresenta a vantagem de alta capacidade de armazenamento de

leo, mas apresenta como desvantagem elevada deslocabilidade na superfcie do

mar, impondo grandes deslocamentos prescritos aos tubos e cabos submersos.

Figura 5 Plataforma FPSO. Plataforma P-54 (Petrobras)

17

A plataforma SPAR, ilustrada na Figura 6, pode ser utilizada em regies com lmina

dgua muito profunda, com aproximadamente 3000 m de profundidade. A base

dessa plataforma um cilindro vertical bastante alongado e ancorado por linhas de

amarrao ao solo do oceano. Este tipo de plataforma tem como principal vantagem

restringir os grandes deslocamentos de translao verticais - heave. Devido

geometria do cilindro alongado e submerso, pode apresentar o problema das

vibraes induzidas por vrtices VIV.

Figura 6 Plataforma SPAR. (Global Security)

As plataformas semi-submersveis, ilustradas na Figura 7, podem ser compostas por

mais de um convs e so apoiadas por colunas em flutuadores submersos. O

posicionamento pode ser feito por linhas de ancoragens ou dinamicamente atravs

de sensores e propulsores.

18

Figura 7 Plataforma semi-submersvel. Bacia de Campos RJ (Foto: Andr Luiz)

Os tubos utilizados para o transporte de fludos em uma unidade de produo

offshore podem ser classificados em: rgidos ou flexveis. J os cabos submersos,

que tem por funo o acionamento eltrico, hidrulico e transmisso de sinais s

vlvulas instaladas no fundo do oceano (rvore de natal), so denominados de

cabos umbilicais. Os cabos submersos com a funo de ancoragem da estrutura so

denominados linhas de ancoragem. Quando os tubos que fazem o transporte de

fludos apresentam um trecho apoiado sobre o solo marinho, a regio apoiada

recebe o nome de flowline. J a regio que permanece suspensa denominada

riser. A palavra riser, a partir deste ponto, ser utilizada em um contexto mais geral,

referindo-se no somente a parte suspensa, mas tambm a parte apoiada (flowline).

Os risers podem ter diversas configuraes, que variam de acordo com as condies

ambientais da regio. A configurao mais utilizada a catenria livre, conforme

ilustrado na Figura 8.

19

Figura 8: Riser em catenria livre com TDZ

Entretanto, nem sempre a catenria livre a soluo adotada, pois dependendo das

condies ambientais do local, essa soluo pode ser inviabilizada por conta de

curvaturas muito elevadas na regio do contato do riser com o solo, ou por

compresso dinmica que pode levar a uma instabilidade local. Essa regio do

contato muito importante em anlises de risers lanados em catenria, e recebe o

nome de TDZ touchdown zone sendo o primeiro ponto de contato usualmente

referido por TDP - touchdown point. Outro aspecto importante a ser analisado o

topo do cabo, junto unidade flutuante, pois esta regio apresenta elevadas tenses

devido protenso aplicada nestes cabos.

Outras configuraes de risers possveis so o vertical, lazy-wave, lazy-s, steep-

wave e steep-s e esto ilustradas na Figura 9 e Figura 10.

Plataforma

Riser em

catenria

Touchdown Zone

20

Figura 9: Risers verticais e em catenria livre

Figura 10: Risers lazy-wave, lazy-s, steep-wave e steep-s

Os risers rgidos so normalmente formados de um nico material, compostos por

tubos de ao convencional indstria offshore. Martins [1] destaca que os risers

rgidos em catenria, conhecidos como SCR (Steel Catenary Riser), surgiram como

21

uma alternativa vivel para a explorao em guas profundas, uma vez que so de

fabricao simples e de baixo custo se comparado aos flexveis.

A estrutura dos risers flexveis mais complexa, podendo ser composta por diversas

camadas de materiais diferentes, em que cada uma tem uma funo especfica

operacional e estrutural. Estas camadas interagem entre si, provocando atrito interno

quando a estrutura solicitada. Essa interao tambm modifica as propriedades

geomtricas da seo, pois como as camadas so compostas por materiais

diferentes e espessuras variadas, ocorrem deformaes diferentes que alm de

provocar o atrito interno entre camadas, pode esmagar as camadas mais internas,

alterando as propriedades geomtricas das sees.

De acordo com Takafuji [2], um riser flexvel simples tem apenas quatro camadas,

podendo chegar a 19 camadas, no caso mais complexo. A Figura 11 ilustra um riser

flexvel de seis camadas.

Figura 11 Riser flexvel de seis camadas. Extrado de [23]. Figura adaptada.

Em adio descrio das plataformas e dos tipos e configuraes de risers

existentes, salienta-se a importncia do processo de instalao e carregamentos

atuantes, tanto nesta fase como na fase de operao.

Conforme descrito em Gay Neto [3], durante a fase de instalao de um riser em

catenria, o ngulo de topo pode se aproximar de 90o em relao ao plano

horizontal. Durante o processo de lanamento e instalao, o nvel de trao no riser

pode se tornar muito baixo, principalmente na regio do TDP. A Figura 12 demonstra

Camada 1 - duto intertravado

Camada 2 camada contra desgaste (atrito)

Camada 3 tendes helicoidais 1

Camada 4 camada contra desgaste (atrito)

Camada 5 tendes helicoidais 2

Camada 6 capa externa

22

as etapas do processo de instalao para um riser em configurao de catenria

livre.

Figura 12 Processo de instalao de um riser em catenria livre. Extrado de API.

Com o nvel de trao baixo, o tubo perde parte da rigidez axial, o que torna propcio

o aparecimento de fenmenos de instabilidade. Dependendo das condies durante

a fase de instalao, pode ocorrer instabilidade por toro, o que pode ocasionar o

aparecimento de um lao, que pode danificar a estrutura permanentemente. Em Gay

Neto [3] possvel encontrar uma discusso mais aprofundada sobre o assunto,

onde inclusive todo o problema formulado.

23

1.2 Objetivo

Este trabalho tem por objetivo principal o desenvolvimento de uma formulao geral

e suficientemente robusta, tirando-se partido de teorias estruturais simples de

pequenas deformaes e bidimensionais, para modelar o problema da dinmica no

linear de risers verticais (reto) e em catenria livre no plano, utilizando-se o mtodo

dos elementos finitos MEF. Para tanto, tornou-se necessrio o desenvolvimento de

um elemento, cuja formulao atendesse aos requisitos necessrios para a anlise

dinmica no linear de risers. Nos modelos propostos, considerou-se o contato

unilateral da estrutura com o leito marinho, e tambm carregamentos de naturezas

distintas, como o movimento imposto plataforma, fora de arrasto devido

correnteza, efeito do trem de ondas nas foras hidrodinmicas, peso prprio da

estrutura, fora de empuxo hidrosttico e fora de protenso junto plataforma. Os

cabos submersos em meio fluido podem estar submetidos a outros carregamentos,

que tambm so importantes no estudo e projeto dessas estruturas. As vibraes

induzidas por vrtices (Vortex Induced Vibration VIV) e o carregamento devido ao

escoamento interno so dois exemplos de carregamentos importantes, mas que

foram desconsiderados neste trabalho devido complexidade dos assuntos,

podendo ser o tema central de outra dissertao ou mesmo de uma tese de

doutorado.

Devido aos problemas de risers em catenria envolverem situaes de grandes

rotaes, porm ainda com pequenas deformaes, foram utilizadas duas teorias

estruturais para o estudo de casos, ambas para pequenas deformaes e

bidimensionais, sendo a primeira referente a um elemento de trelia, e a segunda a

uma barra de Bernoulli-Euler. Ambas as teorias estruturais foram desenvolvidas em

relao a um sistema de eixos corrotacionais para descrio das deformaes e

tenses, o que possibilitou a utilizao de teorias estruturais de pequenas

deformaes para o estudo de problemas complexos, que envolvem grandes

deslocamentos e rotaes finitas.

O trabalho tambm tem por objetivo descrever o projeto da ferramenta

computacional RiserSys, que est sendo desenvolvida especificamente com o

propsito da simulao de problemas de risers retos e em catenria. A ferramenta

RiserSys deve ser capaz de determinar a configurao deformada de equilbrio do

riser, com o respectivo estado de tenso inicial a que a estrutura est submetida

24

devido ao processo de lanamento do mesmo. Esta etapa pode ser simulada por

uma anlise esttica, que a determinao da configurao deformada de

equilbrio, que antecede o processamento dinmico propriamente dito. Aps a

determinao desta configurao inicial, a ferramenta deve inicializar o

processamento dinmico utilizando-se os deslocamentos e o estado de tenso

estabelecidos ao final do processamento esttico. Muito embora a ferramenta

encontre-se em estgio final de desenvolvimento e testes, no objetivo deste

trabalho a realizao de estudos de casos, os quais faro parte do relatrio final do

projeto Petrobras, bem como de futuras dissertaes ou teses a serem elaboradas e

em desenvolvimento no Grupo de Pesquisa de Dinmica, Estabilidade e Controle

de Estruturas, coordenado pelo Prof. Carlos E.N. Mazzilli na Escola Politcnica da

Universidade de So Paulo. Dentro de um grupo de pesquisa, alm do

desenvolvimento da ferramenta RiserSys (modelo de alta hierarquia) esto em

desenvolvimento trabalhos sobre a modelagem de ordem reduzida de risers, tanto

verticais como em catenria, submetidos a carregamentos de VIV, imposio de

deslocamentos impostos, protenso, considerao do solo elstico na resposta

dinmica da estrutura, entre outros carregamentos e consideraes de modelagem,

para estudar fenmenos tpicos da dinmica no linear, como por exemplo a

compresso dinmica da linha submetida a protenso, a ressonncia paramtrica na

regio do contato e propagao de ondas na estrutura.

25

1.3 Justificativa

O aumento da demanda e consequentemente do preo dos insumos e dos

investimentos na rea de explorao de leo e gs tem incentivado a ampliao da

extrao destes produtos e tambm o desenvolvimento de novas tecnologias mais

eficientes e baratas. Os recursos naturais como petrleo e gs natural so muito

importantes para a economia e o desenvolvimento tecnolgico.

Em decorrncia destes fatores, a indstria petrolfera e de gs tem visado

realizao de empreendimentos cada vez mais ousados e ambiciosos, abrindo um

campo de pesquisas na rea para tentar adequar a segurana boa tcnica da

Engenharia. No Brasil, a explorao em bacias offshore nunca atingiu profundidades

to grandes quanto as necessrias para a explorao na regio do pr-sal.

Os conhecimentos que se tm hoje sobre dinmica de risers ocenicos em suas

diversas configuraes possveis so ainda limitados. Deste fato, surge a

necessidade de avanos em estudos, pesquisas e experimentos para melhorar as

tcnicas atualmente utilizadas na prtica.

O foco do trabalho ser o estudo dos risers em configurao de catenria livre, por

meio de modelos numricos via MEF (Mtodo dos Elementos Finitos). Como

resultado, obter-se-, uma base de resultados para comparao com estudos

realizados analiticamente ou por outros mtodos numricos, inclusive por programas

computacionais comerciais de largo uso. Este estudo busca a melhoria dos

procedimentos de anlise desses sistemas para viabilizar os projetos com

segurana e qualidade.

O projeto da ferramenta computacional RiserSys, totalmente numrica, e que se

utiliza do mtodo dos elementos finitos para anlise de lanamento e operao de

risers em duas dimenses um produto desta pesquisa, que est em fase final de

implementao e testes. Esse programa tambm de interesse da Escola

Politcnica da USP, pois ser utilizado para pesquisas futuras e projetos nesta rea

que est em grande desenvolvimento.

O mundo j conhece o grande problema que se tem quando um acidente com esse

sistema de explorao de petrleo ocorre em guas muito profundas. Como

exemplo deste tipo de acidente, pode-se citar o ocorrido no Golfo do Mxico em

2010. Todas as consequncias, porm, so desconhecidas at o momento.

26

Pesce [4] explica que tanto os risers rgidos quantos os flexveis podem vir a falhar

por diversos fatores como sobrecarga, fadiga mecnica, dano localizado, corroso,

falhas nos pontos ou cordes de solda, entre muitos outros fatores. Isso demonstra

a complexidade dos estudos e os cuidados que se deve ter ao se elaborar um

projeto de riser.

27

1.4 Reviso Bibliogrfica

1.4.1 Mtodo dos elementos finitos aplicado anlise de risers

A literatura sobre o mtodo dos elementos finitos muito extensa. Devido a esta

extenso, no objetivo deste tpico a descrio de todos os trabalhos nesta rea,

mas somente a citao de alguns dos trabalhos mais relevantes e que contriburam

diretamente para o desenvolvimento dos elementos finitos apresentados neste

trabalho.

Diferentes modos de abordar a formulao podem ser encontrados em Bathe [5],

Zienkiewicz [6] e Crisfield [7,8], que descrevem as abordagens Lagrangiana total,

Lagrangiana atualizada e Corrotacional.

Brasil e Mazzilli [9] apresentam uma formulao dinmica no linear para barras no

plano, com a utilizao da cinemtica da barra de Bernoulli-Euler para pequenas

deformaes e pequenas rotaes. A teoria apresentada Lagrangiana total, pura

em deslocamentos e no linear em relao as matrizes de massa, amortecimento e

rigidez do elemento finito proposto. O procedimento para a formulao da dinmica

no linear foi por meio da utilizao das equaes generalizadas de Lagrange. No

entanto, esta no a nica alternativa para o desenvolvimento do elemento finito

proposto. Mazzilli e Baracho Neto [10] apresentaram a formulao secante da

dinmica no linear utilizando-se do princpio dos trabalhos virtuais.

A utilizao da formulao em [9] no poderia ser utilizada diretamente como est

descrita no trabalho, pois as anlises de risers envolvem grandes deslocamentos,

que so decorrentes de movimento de corpo rgido. Desta forma, passou-se a

estudar a possibilidade da adaptao desta formulao, utilizando um sistema

corrotacional, que faria a distino de parte do deslocamento de corpo rgido do

deslocamento devido deformao da estrutura.

A formulao de elementos finitos utilizando-se um eixo corrotacional descrita por

Crisfield [7,8,11], de uma forma clara e com exemplos. Crisfield tambm aprofunda a

discusso sobre diferentes modos de se medir deformaes neste eixo

corrotacionado, assim como tambm discorre sobre alguns mtodos de integrao

das equaes diferenciais no domnio do tempo em dinmica no linear, abordando

a questo da conservao de energia dentro do algoritmo numrico. Dessa forma,

28

antev dificuldades relacionadas ao clculo das tenses e conservao da energia

no mtodo de integrao.

Ainda em relao formulao corrotacional, outros autores como Felippa e Haugen

[12] e Battini [13,14], descrevem o procedimento e realizam estudos de caso de

instabilidade elstica e plstica em barras. O primeiro se preocupa mais com a

explicao do mtodo e com as hipteses que so feitas, enquanto que o segundo

se preocupa em discutir os aspectos relacionados ao problema de instabilidade de

barras no plano e no espao.

Alternativamente utilizao da formulao corrotacional, as formulaes

Lagrangiana total e atualizada podem ser alternativas importantes ao alcance do

objetivo do trabalho.

Os trabalhos de Simo [15,16] se destacam na literatura. Stander e Stein [17]

apresentam uma teoria de barra plana em dinmica no linear baseada nos

trabalhos de Simo, com um mtodo de conservao de energia. Esta abordagem,

por no ter sido a escolhida no presente projeto de pesquisa, no foi suficientemente

aprofundada nesta oportunidade.

Em relao aos algoritmos de integrao direta no tempo, Newmark [18] descreve

um dos mtodos mais utilizados, pois de fcil implementao e pode ser

incondicionalmente estvel na dinmica linear, desde que os parmetros do mtodo

sejam escolhidos de forma adequada. No entanto, no h garantias de que o

mtodo seja incondicionalmente estvel em dinmica no linear, podendo introduzir

ou retirar energia do sistema.

Bathe [5] descreve uma srie de mtodos de integrao implcitos e explcitos. Em

relao a estes mtodos pode-se citar os de Newmark, Wilson-, Houbolt, Euler,

entre outros. Crisfield [8] tambm discute mtodos de integrao no tempo, mas foca

o assunto na questo da conservao da energia, como j se afirmou.

1.4.2 Contato

O contato do riser com o solo marinho, na configurao de catenria, no um

problema trivial e se situa entre os que carecem de estudos mais aprofundados, que

a rea da interao solo-estrutura. Diferentes modelos constitutivos poderiam ser

considerados para simular os diferentes comportamentos do solo, mas esta

29

discusso foge ao escopo deste trabalho. Desta forma, a pesquisa bibliogrfica

limitou-se ao problema do contato unilateral, adotando-se a relao constitutiva

elstica-linear para o solo, sem maiores preocupaes com a considerao de

viscoelasticidade ou plasticidade do mesmo.

Bathe [5], Bhatti [19], Zienkiewicz [6] e Wriggers [20] so algumas das referncias

que discutem o problema do contato, descrevendo as tcnicas utilizadas para lidar

com estes problemas. Especialmente em Wriggers [20], h uma discusso bastante

aprofundada sobre o assunto, inclusive com a proposio e comparao dos

mtodos existentes e diagramas para a sua implementao numrica. Em Gay Neto

[3] possvel encontrar uma adaptao do problema geral do contato descrito por

Wriggers [20], mas adaptado para a resoluo de problemas de risers. A formulao

para o contato unilateral utilizada neste trabalho foi baseada nestes dois trabalhos.

30

1.5 Organizao do texto

O texto foi dividido em cinco captulos.

O Captulo 1 contempla a introduo ao tema, contextualizando o problema a ser

estudado, assim como os principais elementos que constituem este sistema. Os

objetivos so expostos de forma sucinta. A justificativa do tema escolhido e a sucinta

reviso bibliogrfica sobre o mtodo dos elementos finitos aplicado ao estudo de

risers tambm so abordadas neste captulo.

O Captulo 2 descreve o problema da anlise esttica de risers, assim como o

modelo esttico utilizado neste trabalho, descrevendo as hipteses adotadas, os

carregamentos considerados e o desenvolvimento dos elementos finitos utilizados.

O Captulo 3 descreve o problema da anlise dinmica de risers, descrevendo as

hipteses adotadas e os carregamentos considerados. Descreve tambm alguns

mtodos de integrao numrica das equaes de equilbrio dinmico no tempo,

dando nfase para os mtodos que sero utilizados no desenvolvimento da

ferramenta computacional RiserSys.

O Captulo 4 apresenta o projeto da ferramenta computacional RiserSys, baseada

no mtodo dos elementos finitos, presentemente em fase de implementao e

testes.

O Captulo 5 apresenta as consideraes finais, a concluso do presente projeto de

pesquisa e prope trabalhos futuros.

31

2 Captulo 2

Este captulo abordar a anlise esttica de risers, utilizando o mtodo dos

elementos finitos. Esta fase antecede a anlise dinmica propriamente dita, pois as

propriedades dos sistemas estruturais sob vibrao dependem da configurao

geomtrica e dos esforos internos atuantes. A formulao que ser apresentada

suficientemente geral e potente para abordar distintas configuraes de risers, retos

ou em catenria, sem ou com a considerao do contato unilateral. Evidentemente,

em decorrncia dos desafios mais gerais inerentes anlise esttica dos risers em

catenria livre com contato unilateral no fundo do mar, a formulao se preocupar

mais explicitamente com este cenrio, podendo os demais serem reconhecidos

como casos particulares. Uma vez justificada a utilizao do modelo esttico,

definiram-se os carregamentos que sero contemplados nesta oportunidade, de

acordo com sua natureza de ao. Os modelos matemticos em elementos finitos

para a representao desta etapa tambm foram desenvolvidos.

2.1 Anlise esttica

A operao de lanamento e instalao de risers uma etapa importante para o

projeto dos mesmos. Neste momento, os risers podem estar sujeitos a esforos

solicitantes que podem causar danos permanentes estrutura. No caso dos risers

em catenria, a baixa trao na regio do TDP pode levar a estrutura a fenmenos

de instabilidade, enfatizando a importncia da rigidez flexional nesta regio. Em

alguns casos, pode ocorrer at a formao de laos quando a fora normal passa a

ser transitoriamente de compresso, mas quando a fora normal volta a ser de

trao, pode ocorrer de o raio de curvatura ficar muito pequeno, formando uma

dobra (kink) e danificando a estrutura. Devido s caractersticas do processo de

lanamento e instalao em campo, esta etapa pode ser simulada por meio de uma

anlise esttica. Esta anlise tem por objetivo a determinao da configurao

deformada de equilbrio, inclusive com a caracterizao do estado de tenso a que a

estrutura estar submetida imediatamente aps o lanamento.

Nesta etapa a estrutura estar submetida a esforos estticos e quase-estticos. Os

carregamentos de origem esttica so decorrentes do peso prprio da estrutura e do

32

empuxo que a gua exerce sobre o cabo. O carregamento hidrosttico de arrasto

devido interao fluido-estrutura pode ser considerado quase-esttico devido

escala de tempo, que muito superior ao perodo dos modos predominantes na

resposta dinmica do riser.

Pesce [4] explica que a configurao de equilbrio imposta pelas coordenadas do

ponto de suspenso na plataforma (hang-off), das condies de contorno nesta

mesma regio, que depende do tipo de riser, sendo que para o caso da configurao

em catenria livre, a tangncia com o fundo marinho e os carregamentos

hidrodinmicos estacionrios associados correnteza, tambm so fatores

importantes para a configurao de equilbrio.

Outro aspecto importante neste tipo de anlise o contato unilateral do riser com o

solo marinho. Este problema pode ser abordado de diversas maneiras, sendo neste

trabalho tratado pelo mtodo das penalidades. Neste trabalho, adotou-se a hiptese

de resposta elstica para o solo, conforme o modelo de Winkler. Outros modelos

matemticos podem ser utilizados para a representao das leis constitutivas do

solo, de forma mais completa, inclusive levando-se em conta a plastificao

(trenching), mas este assunto foge ao escopo do trabalho e no ser tratado neste

texto. Em Martins [1] proposto um modelo esttico para risers em configurao de

catenria livre bidimensional. Neste modelo a rigidez axial considerada infinita e a

rigidez flexional desprezada. Para modelar a transio entre o comportamento

dominante de cabo no trecho suspenso e o de viga no trecho apoiado no solo, foi

utilizada a tcnica da camada limite, que corrige a curvatura nesta regio, onde o

efeito flexional se torna importante. Com a utilizao desta tcnica, o efeito do

contato simulado com a correo da curvatura devido descontinuidade das

equaes regentes esquerda e direita do TDP. Neste captulo, o assunto do

contato discutido e aprofundado, inclusive com o desenvolvimento de sua

formulao.

2.2 Sistema de coordenadas

Esta seo define os sistemas de coordenadas global e corrotacional que foram

utilizados no desenvolvimento dos elementos finitos bidimensionais de trelia e barra

de Bernoulli-Euler. Na Figura 13, o sistema global representado por X Y ,

33

enquanto que o corrotacional, para um elemento finito genrico, representado por

x y . Os eixos OX e OY definem as direes horizontal e vertical,

respectivamente. O eixo vertical tem a mesma direo da acelerao da gravidade,

mas com sentido oposto. No eixo ox define-se o versor cuja direo e sentido so

caracterizados pelo segmento orientado do n 1 ao 2. O eixo oy perpendicular a

ox e est contido no plano X Y . O ngulo que o sistema corrotacional (girante

com o elemento finito) faz com o sistema global definido pelo ngulo , conforme

indicado na Figura 13.

Figura 13 Sistema de eixos cartesianos global e corrotacional

A transformao de um determinado vetor u do sistema global de coordenadas para

o corrotacional se faz por meio da seguinte relao:

.corrot globalu Tu (2.1)

onde T a matriz de mudana de base do sistema global para o corrotacional:

cos sen

sen cos

T (2.2)

Utilizando-se da propriedade da ortogonalidade da matriz de mudana de base:

1 T T T (2.3)

A relao inversa de transformao de vetores , portanto, definida simplesmente

por:

.

T

global corrotu T u (2.4)

O

o

1

2

X

34

2.3 Carregamentos

Os risers esto sujeitos a carregamentos decorrentes de aes distintas e as

principais so o campo gravitacional terrestre e a interao fluido-estrutura. Na

formulao esttica proposta, foram considerados somente os carregamentos de

peso prprio do riser, protenso, carregamentos hidrostticos e hidrodinmicos

provenientes da interao fluido-estrutura, como o empuxo, presso esttica externa

do fluido e a fora de arrasto. Enfatiza-se que os carregamentos hidrodinmicos

utilizados na modelagem esttica foram adaptados de forma a eliminar as parcelas

de velocidade da estrutura e do gradiente de velocidade decorrente da passagem de

ondas martimas na expresso da velocidade relativa da interao fluido-estrutura. A

adaptao vlida somente para a anlise esttica, sendo que a expresso

completa foi utilizada no modelo dinmico proposto no Captulo 3. A interao solo-

estrutura no um carregamento propriamente dito, mas uma condio de contorno

imposta no trecho da estrutura apoiada sobre o solo marinho.

2.3.1 Carregamento devido ao campo gravitacional terrestre

O carregamento de peso prprio distribudo ao longo do riser e definido por:

PP ( ).m sf g (2.5)

onde:

PPf a fora de peso prprio distribudo ao longo do riser;

( )m s a massa por unidade de comprimento do riser, que pode ser varivel

ao longo de seu comprimento;

s uma coordenada curvilnea que caracteriza uma determinada seo

transversal do riser;

g a acelerao da gravidade.

35

2.3.2 Carregamento de natureza hidrosttica

Pelo princpio de Arquimedes, todo corpo imerso em meio fluido est sujeito a um

carregamento de empuxo que equivalente ao peso do volume de fluido deslocado,

com a mesma direo da acelerao da gravidade, mas sentido oposto.

Figura 14 Fora de empuxo em trecho de riser

A fora de empuxo agindo sobre um trecho de riser de comprimento s , e com as

extremidades tampadas, dado por:

as A s s E j (2.6)

Onde:

a o peso especfico por unidade de volume do fluido;

A s a rea delimitada pelo permetro externo da seo transversal do riser;

s o comprimento do trecho de riser;

j o versor que aponta na direo e sentido do eixo global OY .

A Figura 14 no representa o caso de um riser contnuo submerso, mas um trecho

isolado do mesmo. Na estrutura contnua, os carregamentos de presso dgua nas

extremidades no existem. Para corrigir este problema, a Figura 15 mostra o

esquema de subtrao de carregamento utilizado para corrigir o efeito da presso

hidrosttica:

36

Figura 15 Esquema de subtrao de carregamento

O desenvolvimento completo das equaes de equilbrio do esquema da Figura 15

pode ser encontrado em Martins [1]. A expresso final da fora hidrosttica

distribuda sobre a parede lateral da estrutura dada por:

0 0

0 0

cosx a

y a

dh A s h y s

ds

dh A s h y s sen

ds

(2.7)

onde:

0xh e 0 yh so as componentes do vetor de fora hidrosttica distribuda sobre

a parede lateral do riser.

0y a coordenada cartesiana na direo j relativa a configurao esttica;

h a profundidade local do mar.

2.3.3 Carregamento de natureza hidrodinmica

Um tubo imerso no mar est sujeito s aes da correnteza martima, que varivel

com a profundidade e com o tempo. Martins [1] explica que a escala de variao da

velocidade da correnteza com o tempo est ligada escala de variao dos

sE

0 sH

0 s sH

37

fenmenos atmosfricos, que da ordem de horas, e a escala de tempo do

movimento da estrutura est ligada ao perodo das ondas, que da ordem de

segundos. Pode-se, ento, adotar a hiptese de que a velocidade da correnteza

constante no tempo, e os esforos causados por ela so de natureza quase-esttica.

Este trabalho adotou as mesmas hipteses de Martins [1], e a velocidade da

correnteza pode ser relacionada com a profundidade da seguinte maneira:

c cv f yv i (2.8)

onde:

cv a velocidade da correnteza;

f y uma funo que depende apenas da coordenada y ;

i o versor na direo e sentido do eixo global OX .

A Figura 16 ilustra uma funo f y tpica:

Figura 16 Perfil de correnteza bidimensional

O perfil de velocidades da correnteza pode ser projetado no sistema de coordenadas

corrotacional, gerando uma parcela de velocidade na direo axial e outra na

transversal, as quais so usadas na definio do carregamento de natureza

hidrodinmica, modelado pela frmula de Morison [21]:

1

2Da Da a ca caC s D s f v v (2.9)

38

e

1

2Dt Dt a ct ctC s D s f v v (2.10)

onde:

Daf a fora de arrasto na direo axial;

Dtf a fora de arrasto na direo transversal;

DaC s e DtC s so os coeficientes de arrasto axial e transversal,

respectivamente;

D s o dimetro externo do riser;

cav e ctv so as velocidades da correnteza projetada na direo axial e

transversal, respectivamente.

a a massa especfica do fluido.

2.4 Equacionamento dos elementos finitos

Este tpico ir desenvolver a formulao dos elementos finitos de trelia e barra de

Bernoulli-Euler, ambas com referncia a um sistema de coordenadas corrotacionais,

que possibilitou a utilizao de teorias estruturais de pequenas deformaes para o

estudo de problemas com contemplam grandes deslocamentos.

2.4.1 Elemento de trelia bidimensional com sistema corrotacional

A Figura 17 esquematiza o elemento finito de trelia na configurao de referncia,

com comprimento 0 e ngulo de rotao inicial 0 em relao ao sistema de

coordenadas global X Y . A figura tambm esquematiza o elemento na

configurao atual, cujo comprimento se alterou para n e a rotao para . O

sistema de coordenadas corrotacionais representado pelos eixos x y .

39

Figura 17 Configurao de referncia e configurao atual

O alongamento linear corrotacionado (engineering strain) definido por:

0

0

(2.11)

Uma vez que a deformao medida no sistema de eixo corrotacional, para o caso

da trelia, 0 a diferena dos deslocamentos dos ns 1 e 2:

1

12 1

2

2

0 0 0

1 11 0 1 0

u

vu u

u

v

T ec u (2.12)

A variao de l dada por:

0

1 T e c u (2.13)

em que:

1 0 1 0T c (2.14)

Define-se o vetor de foras desbalanceadas eg por:

int

Te e e e

extW W g u (2.15)

Y

y2

y1

x1 x

2 x

1

0

X x2

40

Assumindo-se que 0eextW e utilizando-se o tensor das tenses de Cauchy e a

deformao linear para pequenas deformaes no sistema corrotacional:

0 0

int : e

V V

W dV dV (2.16)

Integrando-se a equao (2.16) e igualando com (2.15), obtm-se:

int 0

Te T e e eW A c u g u (2.17)

onde 0A a rea da seo transversal da barra. Por inspeo conclui-se que:

0e Ag c (2.18)

Substituindo a relao constitutiva de material elstico-linear na equao (2.18):

000

e T eEAEA g c c c u (2.19)

Para determinar a matriz de rigidez tangente local, basta derivar e

g em relao aos

deslocamentos:

00

eT

t e

EA

gK c c

u (2.20)

Para a obteno da matriz de rigidez no sistema global, utilizou-se a relao de

transformao de coordenadas do sistema corrotacional para o sistema global:

e e Tu u (2.21)

onde T a matriz de transformao de coordenadas do sistema global X Y para o

corrotacional x y :

cos sen 0 0

sen cos 0 0

0 0 cos sen

0 0 -sen cos

T (2.22)

A matriz T pode ser escrita em funo da diferena de coordenadas dos ns na

configurao atual:

' '

21 21

' '

21 21

' '

21 21

' '

21 21

0 0

0 01

0 0

0 0

x y

y x

x y

y x

T (2.23)

onde e .

'

1

'

2

'

21 xxx '

1

'

2

'

21 yyy

41

A determinao do vetor de foras desbalanceado no sistema global dada por:

e T eg T g (2.24)

Substituindo-se (2.19) em (2.24):

00e TA

A

'g T c c x (2.25)

em que:

' ' '

21 21 21

' ' '

21 21 21

' ' '

21 21 21

' ' '

21 21 21

10 0

00 01 1 1

10 0

00 0

T

x y x

y x y

x y x

y x y

'T c c(x ) (2.26)

onde:

'

21

'

21

'

21

'

21

x

y

x

y

'c(x ) (2.27)

Fazendo-se a variao de (2.25):

e

e T e T e T e T e e

t te

gg T g T u T g T K T u K u

u (2.28)

onde tK a matriz de rigidez tangente do elemento no sistema de coordenadas

global.

Determinao de TT :

sen cos 0 0

cos sen 0 0

0 0 sen cos

0 0 cos sen

T

T (2.29)

A variao pode ser obtida atravs da variao 21 2 1 u u u e da definio

dos versores t e n , conforme mostra a Figura 18.

42

Figura 18 Variao do ngulo

Os versores t e n so definidos como:

'

21

'

21

1 x

y

t (2.30)

e

'

21

'

21

1 y

x

n k t (2.31)

onde k o versor que completa a base ortonormal do sistema corrotacional.

A projeo de 21eu em n dada por:

2 1' '

21 21 21

2 1

1

1' ' ' '

21 21 21 21

2

2

1

1 1

T e

T e

u ua y x

v v

u

vy x y x

u

v

n u

z u

(2.32)

em que:

' ' ' '21 21 21 21

T y x y x z (2.33)

Logo, a variao pode ser determinada pela relao:

y

x

n

t

43

2

1 T ea

z u (2.34)

Substituindo-se (2.34) em (2.29) e (2.29) em (2.28), calcula-se a parcela da matriz

de rigidez geomtrica:

002 3

sen cos 0 0

cos sen 0 0 1( )

0 0 sen cos

0 0 cos sen

T e T e T eA A

T g z u c zz u (2.35)

Logo, a matriz de rigidez tangente no sistema global expressa por:

T M G K K K (2.36)

onde MK a matriz de rigidez material:

0

0

T T

M

EA

K T c c T (2.37)

e GK a matriz de rigidez geomtrica:

03

T

G

AK zz (2.38)

2.4.2 Elemento de barra de Bernoulli Euler bidimensional com sistema

corrotacional

A deduo da formulao do elemento finito de barra bidimensional com sistema

corrotacional foi baseada em Crisfield [7] e Yaw [22].

A Figura 19 esquematiza o elemento de barra na configurao de referncia, com

comprimento 0 e ngulo de rotao inicial 0 em relao ao sistema de

coordenadas global X Y . A figura tambm esquematiza o elemento na

configurao atual, cujo comprimento se alterou para e a rotao para . O

sistema corrotacional representado pelas coordenadas x y .

44

Figura 19 Configurao de referncia e atual de um elemento finito de barra, ainda se desconsiderando as deformaes de flexo.

O elemento finito em sua configurao de referncia tem o comprimento:

2 2

0 2 1 2 1x x y y (2.39)

O elemento finito em sua configurao atual, aps os deslocamentos nodais tem o

comprimento:

2 2

2 2 1 1 2 2 1 1x u x u y v y v (2.40)

O deslocamento axial no sistema corrotacional dado por:

0u (2.41)

A equao (2.41) pode se tornar mal condicionada em uma aplicao numrica

quando a diferena entre os comprimentos de referncia e atual pequena. Para

minimizar este problema, Crisfield [7] afirma que multiplicando o deslocamento axial

u por :

0

0

( )

( )

(2.42)

melhora o condicionamento numrico da equao (2.41), resultando em:

2 2

0

0

u

(2.43)

Y,

X, u

0

Atual

Referncia

1

1

2

2

x

y

ry

rx

0

45

A Figura 20 mostra a barra nas cofiguraes de referncia e atual. Na configurao

atual, o elemento apresenta deformaes axial e flexional. A transformao do

elemento finito da configurao de referncia para a atual passa por trs etapas, que

ocorrem simultaneamente. A primeira delas a translao do elemento como corpo

rgido, conforme indicado pelas linhas tracejadas que esto paralelas configurao

de referncia. A segunda etapa a rotao de corpo rgido, indicada pelo ngulo .

A terceira etapa a deformao axial e flexional do elemento, sendo i o ngulo de

rotao no sistema corrotacional e i o ngulo de rotao medido a partir da

configurao de referncia, onde i identifica o n do elemento.

Figura 20 Configurao de referncia e atual com deformaes de flexo.

Os ngulos de rotao no sistema corrotacional so dados por:

1 1 0 (2.44)

e

2 2 0 (2.45)

Para que o problema no fique limitado a ngulos 2

, definem-se o 1sen e o

1cos como:

Y

X

1

2

0

y

x

Referncia

1

1

2

2

Atual

46

1 1 0 1 1 1sen sen sen cos.sen sen.cos (2.46)

e

1 1 0 1 1 1cos cos cos cos.cos sen.sen (2.47)

onde:

1 1 0 (2.48)

E analogamente para:

2 2 0 (2.49)

Utilizando-se (2.46) e (2.47), os ngulos de rotao 1 e 2 so dados por:

1 111 1

cos.sen sen.cos arctan

cos.cos sen.sen

(2.50)

e

2 222 2

cos.sen sen.cos arctan

cos.cos sen.sen

(2.51)

A Figura 21 mostra a relao do deslocamento axial unitrio e o esforo solicitante

de fora normal interna.

Figura 21 Relao deslocamento axial e fora axial para a barra de Bernoulli-Euler.

Assumindo-se que no sejam aplicados carregamentos concentrados entre os ns

do elemento finito, a relao da fora normal e o deslocamento axial definida

como:

1

0

0

EA

0

EA

47

0

. .E AuN (2.52)

A Figura 22 demonstra a relao da rotao nodal unitria e o esforo solicitante de

momentos fletores e foras cortantes nodais.

Figura 22 Relao rotao nodal e momento fletor para a barra de Bernoulli-Euler

De acordo com a Figura 22, pode-se escrever os momentos fletores e as foras

cortantes nodais como:

__

1 1

__20

2

2 12

1 2

M EI

M

(2.53)

e

1 21

0

2 1

M MV

V V

(2.54)

A relao entre as variveis no sistema corrotacional e global podem ser

determinadas por meio de uma pequena variao da diferena dos deslocamentos

dos ns 1 e 2 21u , conforme indicado na Figura 23.

1

0

0

2EI

0

4EI

2

0

6EI

2

0

6EI

1

48

Figura 23 Pequena variao dos deslocamentos na configurao atual.

Fazendo-se a projeo de 21u no versor 1e obtm-se:

2 1

1 21 21

2 1

cos cos

sen sen

T T

T

l

u uu

v v

e u u (2.55)

A equao (2.55) pode ser reescrita em funo dos deslocamentos nodais virtuais:

2 1 2 1

1 1 1 2 2 2

cos. cos. sen. sen.

cos. sen. 0. cos. sen. 0.

cos sen 0 cos sen 0 T

u u u v v

u v u v

u r u

(2.56)

onde u a variao do vetor dos deslocamentos nodais no sistema global. Por

definio:

cos

sen

0

cos

sen

0

r (2.57)

Para determinar a relao entre as rotaes no sistema corrotacional e no global,

deve-se fazer a variao do ngulo i . Antes da deduo desta variao, ser

realizada uma pequena variao do ngulo :

Y,

,X u

1

2

1e2e

0

u

21u

v

0

49

2 211 1

Tv e u (2.58)

Desenvolvendo-se a equao (2.58):

2 1

2 1

1 2 1 2

sen1

cos

1sen. sen. cos. cos.

1sen cos 0 sen cos 0

u u

v v

u u v v

u

(2.59)

Definindo-se:

sen

cos

0

sen

cos

0

z (2.60)

A equao (2.59) pode ser reescrita:

1

T z u (2.61)

Fazendo-se a variao do ngulo de rotao no sistema de coordenadas

corrotacional:

1 0 1 01 1

2 0 2 02 2

(2.62)

A equao (2.62) pode ser reescrita como:

1

2

0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1

T

T

T

zu A u

z (2.63)

Utilizando-se os resultados de (2.56) e (2.63), determinam-se as relaes entre os

deslocamentos nos sistemas de coordenadas corrotacional e global:

1

2

T

T

u

ru u B u

A (2.64)

onde B a matriz que relaciona diretamente os deslocamentos em ambos os

sistemas de coordenadas:

50

1

2

3

cos sen 0 cos sen 0

sen cos sen cos1 0

sen cos sen cos0 1

T

T

T

b

B b

b

(2.65)

Uma vez determinada a relao entre as variveis nos dois sistemas de

coordenadas, impe-se a equivalncia de trabalho virtual interno para a viga de

Bernoulli-Euler:

int 1 1 2 2 T TW N u M M u g u g (2.66)

onde g e g so os vetores de esforos solicitantes nodais nos sistemas de

coordenadas global e corrotacional, respectivamente.

A equivalncia apresentada na equao (2.66) fundamental para a determinao

da matriz de rigidez do elemento finito utilizando-se o sistema de coordenadas

corrotacional.


TT T T u g B u g u B g (2.67)

Por inspeo, a equao (2.67) resulta a seguinte relao entre as foras internas

no eixo de coordenadas global e corrotacional:

Tg B g (2.68)

Para a obteno da matriz de rigidez no sistema global faz-se a variao da fora

interna (2.68):

1 1 2 2 3T T T N M M g B g B g B g b b b (2.69)

em que ib o vetor que armazena a i-zima linha de B , em (2.65).

Fazendo-se a variao de (2.52) e (2.53):

2 21

0 2 2

2

1 0 0

0 4 2

0 2 4

NEA

M r r

M r r

g u C u (2.70)

onde r I A o raio de girao.

51

Substituindo-se (2.70) no primeiro termo de (2.69):

1

T T T

tu g B u B C B C B u k u (2.71)

Por inspeo, da equao (2.71) resulta a matriz de rigidez material:

1

T

t k B C B (2.72)

Fazendo-se a variao do vetor 1b :

1 cos sen 0 cos sen 0

sen cos 0 sen cos 0

T

T

b r

z (2.73)

Da relao (2.61), reescreve-se:

11 T b zz u (2.74)

Fazendo-se a variao do vetor 2b :

2

1 1 1

b z z z (2.75)

Fazendo-se a variao do vetor (2.60):

sen cos

cos sen

0 0 1

sen cos

cos sen

0 0

T

z r rz u (2.76)

A variao 1

dada por:

1 2 2 21 1

1 1 Tu

u

r u (2.77)

Substituindo-se (2.76) e (2.77) em (2.75):

2 2 2 21 1 1T T T T b zr u rz u rz zr u (2.78)

A determinao da variao do vetor 3b anloga ao vetor 2b e conclui-se que:

3 2 b b (2.79)

Substituindo-se (2.74), (2.78) e (2.79) em (2.69), obtm-se a matriz de rigidez

geomtrica:

1 22T T T

t

M MN

k zz rz zr (2.80)

52

Logo, a matriz de rigidez tangente, que composta pela soma da matriz de rigidez

material (2.72) e da matriz de rigidez geomtrica (2.80) dada por:

1 22T T T T

t

M MN k B C B zz rz zr (2.81)

53

2.5 Contato unilateral

2.5.1 Interao solo-estrutura

A interao solo-estrutura aplicada a problemas de risers um tema complexo. O

solo um material de comportamento constitutivo no linear, que pode variar

bastante de acordo com as condies de carregamento a que est submetido,

saturao de seus poros com gua e at mesmo o histrico de formao.

O contato unilateral do riser fonte de no linearidades fortes no sistema, tornando-

se um aspecto importante para o dimensionamento e verificao de risers que se

apoiam sobre o leito do mar. O simples fato de o contato ser unilateral j introduz

no linearidades ao sistema, pois, como o TDP varia de posio com o tempo, o

comprimento da regio apoiada do cabo com o solo se altera, tornando-se um

problema de condies de contorno mveis.

Adicionalmente no-linearidade intrnseca ao contato unilateral, o solo tambm

pode apresentar comportamento constitutivo no linear. Diversos modelos

constitutivos podem ser adotados para as anlises, para considerar efeitos de

plastificao, inclusive hardening e softening do solo, bem como viscoelsticos,

associados ao adensamento. No entanto estes efeitos no sero estudados neste

trabalho, pois a representao do solo ser atravs de um modelo do tipo Winkler,

por meio de molas elsticas equivalentes. A Figura 6 exemplifica o modelo que ser

adotado.

Figura 24: Regio do contato do riser com o solo TDZ

Riser

Catenria

Deslocamento

Molas equivalentes

54

2.5.2 Equacionamento do contato

Todo o desenvolvimento da formulao das equaes para simular o contato foi

baseado no mtodo das penalidades, especificamente para o contato n-superfcie,

que simula o contato dos ns da estrutura com o solo marinho, conforme ilustra a

Figura 25.

O desenvolvimento que ser demonstrado contempla o caso bidimensional, sendo

vlido tanto para o elemento de trelia quanto para o de barra, e tambm levar em

considerao o contato tangencial (atrito) da estrutura com o solo marinho, de

acordo com o modelo Coulomb.

Figura 25 Contato do tipo n-superfcie.

Definindo o vetor distncia (gap) entre os pontos 1x e 2x :

2 1 g x x , (2.82)

a caracterizao das distncias na direo normal e tangencial superfcie pode ser

feita pela projeo de g nos versores n e a :

TNg g n (2.83)

e

TTg g a (2.84)

onde:

Ng o valor do gap normal

Tg o valor do gap tangencial

n

a

X1

X2r

master

slave (conf. de referncia)

X2 slave (conf. atual)

55

O mtodo das penalidades penaliza os ns que penetram nas regies restritas, com

um determinado parmetro de penalidade , que regula a taxa de penetrao de

um corpo no outro. Desta forma, sempre que houver contato ocorrer uma pequena

interpenetrao entre os corpos. A Figura 26 mostra a relao constitutiva da fora

normal x gap normal:

Figura 26 Equao constitutiva do contato na direo normal

O grfico da Figura 26 apresenta uma descontinuidade na sua derivada quando ng

vale zero, que inerente aos problemas de contato. Para 0n g no ocorre o

contato e a fora normal nula. Quando 0n g significa que h contato, e mais

especificamente para o caso do mtodo das penalidades, quando 0n g o

significado fsico de que h contato. A funo que define o grfico da Figura 26

dada por:

0 quando 0

quando 0

N n

N N N n

F g

F g g

(2.85)

onde N o parmetro de penalidade na direo do versor n .

A Figura 27 ilustra a relao constitutiva da fora tangencial x gap tangencial e s

existe quando ocorre o contato normal, ou seja, nos casos em que 0n g .

FN

-gN

56

Figura 27 Equao constitutiva do contato tangencial

O grfico da Figura 27 apresenta duas descontinuidades nas derivadas, que so

referentes mudana do tipo de contato tangencial. No trecho linear no constante,

denominado de contato tangencial tipo stick, a fora solicitante menor que a fora

de atrito mxima resistida pela interao solo-estrutura, e no ocorre o

deslizamento. Nos dois patamares, denominados de contato tangencial tipo slip,

ocorre o deslizamento relativo entre solo e estrutura, pois a fora solicitante

ultrapassou o limite mximo que a fora tangencial conseguia resistir. A funo que

define esta relao constitutiva dada por:

contato sem escorregamento -

contato com escorregamento -

T T T

T N N

F g stick

F g slip

a

a

(2.86)

onde:

T o parmetro de penalidade na direo do versor a ;

o coeficiente de atrito devido a interao solo estrutura.

O trabalho virtual na superfcie de contato definido por:

C

C N N T TW p g t g d

(2.87)

onde:

c a superfcie de contato;

Nsp a presso na superfcie de contato, na direo do versor n ;

Tst a presso na superfcie de contato, na direo do versor a .

FT

gT

57

Integrando-se (2.87) na superfcie de contato:

1

Nslave

C Ns s N Ts s Ts

s

W p A g t A g

(2.88)

onde Nslave representa o nmero de ns do riser que esto na condio de contato.

A contribuio da equao (2.88) por n :

Cs Ns s N Ts s TsW p A g t A g (2.89)

onde sA a rea de influncia por n.

Devido ao contato tangencial apresentar na relao constitutiva dois

comportamentos distintos, os desenvolvimentos a seguir sero separados para o

caso de contato sem escorregamento (stick) e com escorregamento (slip).

2.5.2.1 Condio de contato normal e atrito sem escorregamento (Stick)

O trabalho virtual neste caso definido por:

StickCs Ns s Ns Ts s Ts N Ns Ns T a aW p A g t A g g g g g (2.90)

Sabendo-se que os versores n e a so constantes, no caso de superfcie

horizontal, as variaes de Ng e ag so dadas por:

T T TNg g n g n g n (2.91)

e

T T Tag g a g a g a (2.92)


StickStick T T T

Cs N Ns T aW g g n a g f g (2.93)

Da equao (2.93) conclui-se que:

Stick T TN Ns T ag g f n a (2.94)

Fazendo-se a variao de Stickf :

Stick N Ns T ag g f n a (2.95)


58

Stick T TN T f nn g aa g (2.96)


Stick T TN T K nn aa (2.97)

2.5.2.2 Condio de contato normal e atrito com escorregamento (Slip)

A fora de atrito na direo tangencial dada por:

Slipatrito Ns sp Af a (2.98)

O trabalho virtual na superfcie de contato definido por:

C

C N N T TW p g t g d

(2.99)

O trabalho virtual por n dado por:

Cs Ns s N Ts s Ts Ns Ns Ts TsW p A g t A g f g f g (2.100)


TT T Slip

Cs N Ns Ns N NsW g g n g a g f g (2.101)


Slip N Ns N Nsg g f n a (2.102)

A variao de (2.102) resulta em:

Slip N Ns N Ns N Nsg g g f n a a (2.103)


31 2

Slip T T

N N N Ns

CC C

g f g n n g n a a (2.104)

A equao (2.104) foi dividida em trs partes. Os termos dois primeiros termos so:

1 T T TN N Nc g n n n g n nn g (2.105)

e

2 T T TN N Nc g n a n g a an g (2.106)

Para a determinao de 3c , deve-se primeiro calcular a variao a . Por definio a

pode ser expresso como:

T

T

f

af

(2.107)

59

A variao de (2.107) resulta em:

21T T T T T

T

TT

f f f fa I aa f

ff (2.108)

A equao (2.108) dependente da variao da fora de atrito tangencial, que, por

sua vez, uma funo composta de um trecho linear, dois pontos de

descontinuidade nas derivadas e dois patamares, conforme demonstra o grfico da

Figura 27. Devido a este comportamento da funo fora tangencial, para o clculo

da sua variao, deve-se fazer uma hiptese. A hiptese adotada ser a mesma que

Gay Neto[3] adotou, ou seja: uma vez ocorrido o deslizamento, isto , a fora de

atrito est definida no trecho do patamar, se houver descarregamento, ele se

processar paralelamente reta de carregamento. Fisicamente, isso significa que,

quando ocorre o descarregamento, aps a situao de deslizamento (Slip), instala-

se a situao de no-escorregamento (Stick). Caso isso no ocorra, mas pelo

contrrio, o carregamento continue a aumentar, pode-se dizer que no h

contribuio da rigidez de deslizamento, uma vez que a variao da fora de atrito

para este caso se torna nula.

De acordo com a hiptese adotada, a variao Tf pode ser escrita da forma:

TT T f aa g (2.109)


31 T T

N Ns T

T

c g g I aa aaf

(2.110)

Logo, a matriz de rigidez tangente pode ser expressa por:

Slip T T T TN N T K nn an I aa aa (2.111)

60

3 Captulo 3

3.1 Anlise dinmica

A anlise estrutural de risers submetido s solicitaes ambientais e de operao

uma questo complexa e de decisiva importncia para o projeto dos mesmos.

Devido elevada esbelteza que estas estruturas apresentam, alguns fenmenos

tpicos de dinmica no linear tornam-se relevantes. Em determinadas situaes, as

no linearidades do sistema, provenientes no somente da no-linearidade

geomtrica do riser, mas tambm da interao fluido estrutura e da interao solo

estrutura, junto ao leito marinho, podem levar o sistema a apresentar compresso

dinmica e instabilidade paramtrica. A modelagem da estrutura nestes cenrios

torna-se desafiadora, uma vez que da relao fluido-estrutura surgem efeitos

inerciais e dissipativos acoplados (isto , o movimento da estrutura afeta o

escoamento do fluido e vice-versa). Alm disto, as foras de interao so de

carter seguidor (follower forces). Em adio complexidade da interao fluido-

estrutura, h que se enfrentar a adequada modelagem do contato unilateral com o

solo marinho. Devido prpria natureza do contato, o problema torna-se um de

condies de contorno mveis.

Fenmeno importante no projeto dos risers o da vibrao induzida por vrtice

Vortex Induced Vibration ou simplesmente VIV. Este fenmeno, como

consequncia do j mencionado aspecto do acoplamento fluido-estrutura,

autoinduzido, produzindo o lock-in, quando a frequncia de desprendimento de

vrtices (e consequentemente do carregamento fluido) e a da frequncia dominante

da resposta estrutural se sintonizam. Entretanto, o estudo do VIV bastante

complexo e no faz parte do escopo deste trabalho, devendo ser considerado em

projetos de pesquisa subsequentes.

Devido natureza dos carregamentos variveis no tempo durante a fase de

operao do riser, aos efeitos de interao fluido-estrutura, esbelteza estrutural e

ao contato unilateral j mencionados, justifica-se a adoo de uma modelagem no-

linear dinmica para a simulao dessas estruturas. A anlise aqui proposta buscar

determinar os campos de deslocamentos, velocidades e aceleraes da estrutura

quando sujeitas a: carregamentos hidrodinmicos, excludos os efeitos de VIV;

61

deslocamentos impostos no hang-off; contato unilateral com o solo marinho, com

repercusso em condies de contorno mveis no TDP. A partir destes campos,

podero ser caracterizados os esforos solicitantes que atuam sobre o riser,

permitindo a realizao de seu dimensionamento ou verificao, de acordo com os

critrios de projeto estabelecidos.

A formulao da dinmica no linear proposta neste trabalho bidimensional e

considera o efeito do trem de ondas nos deslocamentos prescritos plataforma.

Considera tambm os efeitos inerciais (massa adicional) e dissipativos do fluido

fora de arrasto , modelada pela frmula de Morison [21], que prope

amortecimento quadrtico na velocidade relativa entre a estrutura e o fluido. O

carregamento de peso prprio da estrutura submersa e a condio de contorno que

o contato provoca na regio do TDZ tambm so considerados. Evidentemente,

necessrio levar-se em considerao o estado inicial de tenso do riser, instalado

aps a etapa de seu lanamento e intrinsecamente associado sua configurao

deformada de equilbrio.

3.2 Origem dos carregamentos de onda e movimento da unidade

flutuante

Este item determina as componentes de velocidade, acelerao e deslocamento

imposto no topo do riser, que sero considerados nos carregamentos do modelo

dinmico proposto. A descrio segue de forma paralela ao trabalho de Takafuji [2],

mas adaptado para o caso bidimensional.

3.2.1 Efeito da onda

O potencial de velocidades associado a uma onda de superfcie, suposta

harmnica e propagando-se em guas profundas, adaptada para o caso

bidimensional, pode ser escrito na forma [24]:

wK y hw wA

e sen K x t

g (3.1)

62

onde:

g o mdulo da acelerao da gravidade;

wA a amplitude da onda;

a frequncia da onda;

wK o nmero de onda;

x a coordenada cartesiana na direo do versor i ;

y a coordenada cartesiana na direo do versor j .

O nmero de onda wK para guas profundas dado por:

2

wK

g

(3.2)

O campo de velocidades decorrente do potencial de velocidades (3.1) definido

como:

( )w t v (3.3)

Escrevendo explicitamente cada uma das componentes de (3.3):

,

,

cos

sen

w

w

K y hw

w x w w

K y hw

w y w w

Av e K x t K

Av e K x t K

g

g (3.4)

A acelerao associada ao potencial de velocidades obtida derivando-se (3.3):

( )

( ) wwd t

tdt

v

a (3.5)

Escrevendo explicitamente cada uma das componentes de (3.5):

sen

cos

w

w

K y h

wx w w w

K y h

wy w w w

A e K K x t

A e K K x t

a g

a g (3.6)

3.2.2 Movimento da unidade flutuante

As plataformas de explorao offshore esto em constante movimento devido

passagem das ondas martimas. A passagem dessas ondas causa deslocamentos

tanto plataforma quanto aos cabos submersos conectados a ela. Takafuji [2]

explica que o movimento da plataforma dependente das propriedades da onda,

63

como frequncia, amplitude, direo, e que para cada ngulo de incidncia h uma

funo de transferncia, denominada Response Amplitude Operator RAO. Esta

funo relaciona os movimentos da unidade flutuante causados por uma onda

harmnica de amplitude unitria com o ngulo de aproamento da unidade flutuante e

o ngulo de incidncia da onda. A RAO adaptada para o caso bidimensional fornece:

_

_

sen

sen

topo topo x topo

topo topo y topo

x t X t

y t Y t

(3.7)

onde:

topoX a amplitude do movimento do topo na direo do versor i ;

topoY a amplitude do movimento do topo na direo do versor j ;

_x topo a fase do movimento do topo projetada na direo do versor i ;

_y topo a fase do movimento do topo projetada na direo do versor j .

3.3 Carregamento do fluido

A fora do fluido, modelada pela frmula de Morison, pode ser dividida em uma

parcela referente inrcia do fluido e outra relativa viscosidade. A fora devido

inrcia descrita por:

if a w a a wA t c A t t f a a u (3.8)

onde:

a a massa especfica do fluido;

A a rea da seo transversal do riser;

ac o coeficiente de massa adicional.

u a acelerao da estrutura no sistema de coordenadas global.

A equao (3.8) pode ser dividida em duas parcelas:

1 1if a a wA c t f a (3.9)

e

2if a ac A t f u (3.10)

64

A equao (3.10) uma fora de inrcia adicional a ser considerada na equao de

movimento do sistema estrutural, proveniente da interao fluido-estrutura. A

equao (3.9) uma fora devida somente ao fluido, e ser considerada como

carregamento externo na equao de movimento do sistema estrutural.

Alm das foras de inrcia, a interao fluido-estrutura tambm apresenta as foras

viscosas. Elas tambm so modeladas pela frmula de Morison, e so dependentes

da velocidade relativa entre a estrutura, o gradiente de velocidade de onda e a

velocidade da correnteza martima. Estas foras so dependentes da configurao

atual da estrutura e podem ser divididas em duas parcelas, uma axial e outra

transversal. A componente axial modelada por:

1

2Da a Da ra raDC t t f v v (3.11)

A componente transversal modelada por:

1

2Dt a Dt rt rtDC t t f v v (3.12)

onde:

D o dimetro externo do riser;

ra tv e rt tv so as velocidades relativas na direo axial e transversal,

respectivamente;

DaC e DtC so os coeficientes de arrasto na direo axial e transversal,

respectivamente;

O vetor velocidade relativa rv definido como:

r c wt t t v u v v (3.13)

onde cv a velocidade da correnteza martima e wv o gradiente de velocidade da

onda ver (3.3).

Os vetores velocidade relativa ra tv e rt tv so definidos como a projeo de

(3.13), respectivamente, nas direes axial e transversal, ou seja, no sistema

corrotacional.

Substituindo-se as componentes axial e transversal de (3.13) em (3.11) e (3.12),

obtm-se:

65

1

2Da a Da a ca wa a ca waDC t t t t f u v v u v v (3.14)

e

1

2Dt a Dt t ct wt t ct wtDC t t t t f u v v u v v (3.15)

Desenvolvendo-se a equao (3.14):

1

2

1

2

Da a Da a ca wa a

a Da a ca wa ca wa

DC t t t

DC t t t

f u v v u

u v v v v

(3.16)

A equao (3.16) pode ser dividida em duas partes:

11

2Da a Da a ca wa aDC t t t f u v v u (3.17)

e

21

2Da a Da a ca wa ca waDC t t t f u v v v v (3.18)

A equao (3.17) se

dissert nicolau free

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