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MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO

Tema Diseño mecánico: Mecanismos

“Diseño de un sistema leva seguidor cilíndrico desmodrómico para generar desplazamientos lineales reciprocantes”

Ricardo Yañez-Valdeza*, Luis Bautista-Morelosa, Francisco Cuenca-Jiméneza, Marcelo López-Parrab

aCentro de Ingeniería Avanzada (CIA-DIMEI), Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Edificio X, Circuito exterior s/n,

Ciudad Universitaria, Coyoacán, Ciudad de México, CP 0.4510, México. bCentro de Alta Tecnología Universidad Nacional Autónoma de México, Campus Juriquilla 3001 Querétaro 76230, México.

*Autor contacto: [email protected]

R E S U M E N

El cierre geométrico del par cinemático superior que garantiza el contacto permanente entre una leva y su seguidor se

denomina desmodrómico. El principio de aplicación de este tipo de sistemas ha sido poco explorado, especialmente en

sistemas leva-seguidor de cara ranurada cilíndricas cuyo movimiento del seguidor es reciprocante. Su implementación

garantiza, teóricamente, una reducción significativa del juego mecánico en un ensamble. En este artículo se describe el

proceso de diseño de un sistema leva seguidor desmodrómico espacial. El proceso se centra en tres aspectos

fundamentales, i) el diseño de la ley de desplazamiento, ii) la obtención del perfil de la leva y, iii) la comprobación del

perfil de la leva. Se pretende implementar el sistema leva seguidor en un banco de prácticas que facilite la comprensión

de la importancia que tiene el juego mecánico en un ensamble.

Palabras Clave: Diseño de levas, Leva cilíndrica, Ley de desplazamiento, Sistema desmodrómico.

A B S T R A C T

The form-closed higher kinematic pair that ensures permanent contact between a cam and a translating follower is termed

desmodromic. The principle of this type of systems has been a few explored, specifically in cylindrical cams with

translating roller follower. The main theoretical advantage of this arrangement is that the assembly reduce backlash. This

article describes the process of designing of the desmodromic cylindrical cam. The process focuses on: i) the fundamental

law of cam design, ii) the cam profile determination, and iii) the cam profile checking. The aim is to facilitate the

understanding of backlash in a mechanical assembly.

Keywords: Cam design, Cylindrical cam, Desmodromic system.

1. Introducción

Las levas son elementos de máquinas de uso común y de

gran importancia en la maquinaria moderna. Su aplicación

se puede observar frecuentemente en motores de

automóviles, para la apertura y cierre de circuitos,

cerraduras, y diversos mecanismos de uso cotidiano. Las

levas se presentan en una gran variedad de formas y pueden

ser planas o espaciales.

Cada leva en particular es diseñada para cumplir con

exigencias particulares, mismas que determinan su

funcionamiento; por lo tanto, es necesario seguir un proceso

que permita obtener el perfil que se ajuste a cada necesidad

y que cumpla con las características de movimiento deseada.

Los mecanismos de levas se clasifican teniendo en cuenta

varios criterios. De acuerdo al tipo de cierre del par

cinemático superior formado entre la leva y el seguidor, se

clasifican como; a) con cierre por fuerza. Se requiere la

aplicación de una fuerza externa sobre el seguidor para

garantizar el contacto entre la leva y éste. b) con cierre

geométrico o por forma, en el que se garantiza el contacto

permanente leva-seguidor a través de la configuración

geométrica de dichos elementos. Estas levas se denominan

desmodrómicas.

ISSN 2448-5551 DM 326 Derechos Reservados © 2017, SOMIM

mailto:[email protected]


Existen cuatro tipos de mecanismos leva-seguidor

desmodrómicos planos: el de leva de cara ranurada, de

anchura constante, de diámetro constante y de levas

conjugadas. En el estudio de los mecanismos leva-seguidor

se ha determinado que la bibliografía especializada que los

trata, aborda fundamentalmente a los mecanismos leva-

seguidor planos en los que el cierre del par se realiza por

fuerza, debido a que son los más utilizados en la práctica.

Sin embargo, el estudio de los mecanismos leva-seguidor

espaciales desmodrómicos, es un tema de manera general

poco analizado, especialmente en sistemas leva-seguidor de

cara ranurada cilíndricas cuyo movimiento del seguidor es

reciprocante. El interés por este tipo de levas radica en la

posibilidad de reducir el juego mecánico en la conversión

del movimiento rotatorio en uno lineal.

Kozhenikov [1] presenta ejemplos de aplicación de levas

desmodrómicas, sin exponer los métodos del perfilado. El

estudio que presenta Wilson y Sadler [2] sobre levas

desmodrómicas es breve y escueto. Kolok y Václavík [3]

tratan someramente el tema. Huang [4] analiza la

combinación de curvas de desplazamiento para la síntesis de

perfiles conjugados. Chunhong, et. al. [5] exponen el diseño

analítico de un mecanismo de levas conjugadas utilizadas en

el mecanismo tejedor usual de los telares. Hong-Sen y Hung

Ming [6] estudian los efectos de los errores de fabricación

para levas planas conjugadas con seguidores oscilantes y

establecen un modelo dinámico de tres grados de libertad.

Zhang [7] expone un ejemplo sobre el diseño analítico de un

mecanismo de levas conjugadas para telares flexibles. Tsay

y Lin [8] plantean un procedimiento para definir el perfil de

una leva, plana o espacial, envolviendo la superficie del

seguidor representada en una forma paramétrica dadas

diferentes posiciones relativas entre la leva y un seguidor

oscilante. Chablat y Ángeles [9] presentan el diseño de un

sistema de levas conjugadas con múltiples rodillos

montados en un seguidor común para convertir el

movimiento rotacional en uno traslacional, produciendo un

movimiento de rodadura pura y con ello, reducir la fricción.

La interacción gráfica para el diseño de levas cilíndricas

también ha sido explorada [10, 11]. Trabajos más recientes

exploran propuestas de sistemas desmodrómicos cuyo

seguidor presenta movimiento rotacional [12, 13]. Este ha

sido el motivo para desarrollar el presente manuscrito, en el

cual se realiza la síntesis del perfil de levas y se analizan las

características de las leyes de desplazamiento para un

sistema leva-seguidor desmodrómico de cara ranurada y

seguidor reciprocante.

2. Mecanismos leva-seguidor desmodrómicos

El adjetivo desmodrómico establece una unión entre dos

puntos de un mecanismo. Entonces, un mecanismo de leva

desmodrómico es: aquel mecanismo de leva que utiliza dos

pares superiores conjugados de manera que ambos imponen

la misma restricción cinemática; la pérdida de contacto en

uno de los pares queda impedido por el otro par [14, 15].

De los 4 tipos de sistemas leva-seguidor desmodrómicas que

existen, se abordan en este trabajo los de cara ranurada

cilíndrica, Fig. 1.

Figura 1. Leva-seguidor de cara ranurada.

2.1. Mecanismos de leva de cara ranurada

En este mecanismo la cara de la leva presenta una ranura

dentro de la cual se coloca el rodillo del seguidor. En este

mecanismo de leva ranurada, el rodillo debe presentar el

juego necesario para que gire libremente sobre su eje.

Rothbart [16] menciona que ese juego no produce una

restricción real del seguidor, ya que el rodillo contactará

alternativamente con cada lado de la ranura de la leva,

cambiando, eventualmente, su dirección de rotación. Esta

ausencia de restricción perfecta, permite que haya presencia

de movimientos de rodadura y deslizamiento en todos los

seguidores de rodillo que utilizan las levas de cara ranurada.

Rothbart [16] también expone una manera práctica para la

eliminación del juego mecánico presente entre el rodillo y la

ranura, que consiste en colocar dos rodillos sobre el mismo

eje del seguidor de manera que cada uno contacte con una

superficie de la ranura, los rodillos además de ser

concéntricos son de diámetro diferente como se muestra en

la Fig. 2.

Figura 2. Diseño práctico de seguidor de rodillo para levas ranuradas.

Este sistema se busca adaptar al diseño del sistema leva-

seguidor desmodrómico de cara ranurada y seguidor

reciprocante.



3. Proceso de diseño del mecanismo leva-seguidor

El proceso de diseño de un mecanismo leva-seguidor, y más

específicamente de una leva, consiste básicamente en tres

pasos fundamentales [14]. A continuación, se describen

brevemente.

3.1. Diseño de la ley de desplazamiento

Se resaltan dos tipos; la polinomial y la trigonométrica. Son

muy utilizadas y proporcionan las características necesarias

para determinar el contorno de la leva, la cinemática del

seguidor y, por tanto, la dinámica del mecanismo.

3.2. Obtención del perfil de la leva que impulsa a un

seguidor determinado según la ley de desplazamiento

diseñada

Una vez definida la ley de desplazamiento y de haber

elegido el tipo de seguidor a utilizar, se determina el perfil

de la leva que garantiza la ley especificada. La obtención del

perfil se puede obtener de forma gráfica o analítica.

3.3. Comprobación del perfil de la leva

Una vez obtenido el perfil de la leva se ha de comprobar que

éste no presente características geométricas indeseadas que

impidan un contacto correcto entre la leva y el seguidor. Los

problemas que se pueden presentan son:

i) Imposibilidad del seguidor para acceder al punto teórico

de contacto (Fig. 3), y

ii) Aparición de degeneraciones (vértices o

autointersecciones) en el perfil de la leva. Aún a pesar de

que la ley de movimiento del seguidor sea continua y suave.

Figura 3. Características geométricas que impiden un contacto

correcto entre una leva y el seguidor.

4. Diseño del mecanismo leva-seguidor desmodrómico

de cara ranurada y seguidor reciprocante

A continuación, se aplica el proceso de diseño descrito en la

sección anterior, subrayando las especificaciones obligadas

y recomendables.

4.1. Condiciones de continuidad en la ley de

desplazamiento

Como especificación se considera imprescindible que la

velocidad y aceleración del seguidor sea una función

continua. Se busca que la leva y el seguidor estén en

contacto permanente y evitar cualquier desajuste generado

por discontinuidades o sobreaceleraciones. Estas

condiciones de continuidad en el tiempo se traducen en las

mismas condiciones respecto a θ si θ(t) es suficientemente

continua.

Las ecuaciones de velocidad, aceleración y sobreaceleración

que relacionan a las derivadas cinemáticas con las derivadas

temporales de la ley de desplazamiento d(θ) son [17]:

´d t d t (1)

2´́ ´d t d t d t (2)

3 3d t d t d t t d t (3)

Para definir matemáticamente los tramos de la curva de

desplazamiento, y dado que se busca propagar un

movimiento traslacional al seguidor, se aplicarán las

funciones tradicionales.

4.2. Desplazamiento cicloidal

La curva cicloidal se desarrolla a partir de la trayectoria de

un punto en un círculo que se rueda en una línea recta.

Gráficamente, el desplazamiento del movimiento cicloidal

puede ser generado por un punto de un circulo de radio h/2π,

donde h es la elevación requerida, rodando sobre la ordenada

cero. Se grafica la función de desplazamiento s, su primera

derivada velocidad v y su segunda derivada aceleración a,

todas en ejes alineados como una función de ángulo de árbol

de levas θ. El periodo de cualquier segmento se define como

el ángulo β.

Las ecuaciones de desplazamiento cicloidal, así como de

velocidad y aceleración, son [16]:

12

2s h sen

(4)



1 cos 2h

v

(5)

22 2

ha sen

(6)

4.3. Desplazamiento seno modificado

La curva seno modificado es una combinación de la curva

de onda senoidal. En términos de su acción torsional, el

cambio del par positivo al negativo ocurre en más del 40 por

ciento del tiempo de recorrido [18]. Este atributo hace que

esta curva sea atractiva como una opción para mover

grandes masas. Su menor par y demanda de potencia hacen

que la curva sinusoidal modificada sea una de las mejores

opciones.

Las ecuaciones de desplazamiento, velocidad y aceleración

de la curva seno modificado son [16]:

1

44 4 4

s h sen

(7)

2 9 4

4 4 4 4 3 3v h sen

(8)

2 1

44 4 4 4 3

a h sen

(9)

4.4. Desplazamiento polinomial 4-5-6-7

La función polinomial 4-5-6-7 tiene la ventaja de una

rapidez de aceleración más suave para un mejor control de

la vibración. Sin embargo, la forma de una aceleración

teórica pico mayor a otras funciones podría hacerla poco

atractiva para una aplicación donde se persigue obtener alta

velocidad.


del polinomio 4-5-6-7 son [16]:

4 5 6 7

35 84 70 20s h

(10)

3 4 5 6

140 420 420 140v h

(11)

2 3 4 5

420 1680 2100 840a h

(12)

4.5. Desplazamiento polinomial D de Berzak

El ajuste de la forma de la curva puede mejorarse cambiando

los exponentes del polinomio. Este procedimiento se realiza

a prueba y error con cierto grado de previsibilidad, porque

mientras más alta es la potencia del polinomio, mayor será

la aceleración máxima, y ésta tenderá a desplazarse hacia el

inicio de la curva de desplazamiento [16]. En este sentido,

una curva que se ha desarrollado y que muestra excelentes

características dinámicas es la llamada curva polinomial D

de Berzak.


de la curva polinomial D de Berzak son [16]:

3 4 5

6 7

[12.1 25.5 24.9

14.7 4.2 ]

s h

(13)

2 3 4

5 6

[36.3 102 124.5

88.2 29.4 ]

hv

(14)

2 3

2

4 5

[72.6 306 498

441 176.4 ]

ha

(15)

4.6. Comparación de las curvas

Las Figs. 4-6 muestran la comparación de las curvas de

desplazamiento, velocidad y aceleración.



Figura 4. Comparación de curvas de desplazamiento.

Figura 5. Comparación de curvas de velocidad.

Figura 6. Comparación de curvas de aceleración.

Debido a que no se persigue implementar esta leva a una

aplicación que demande altas aceleraciones, se determinó

que la mejor opción era el polinomio 4-5-6-7, debido a la

versatilidad que presenta, así como al comportamiento suave

que impone al inicio y al termino del recorrido.

5. Dimensionamiento del sistema leva seguidor

desmodrómico

El primer paso es determinar el diámetro de la leva, Fig. 7.

Al igual que una leva de disco, los parámetros más

significativos en el diseño geométrico de la leva son el

máximo ángulo de presión y el mínimo radio de curvatura

[19].

Figura 7. Parámetros de la leva cilíndrica.

5.1. Ángulo de presión Φ.

El ángulo de presión puede ser calculado de la siguiente

ecuación [19]:

arctan

p

V

R

(16)

En la que V(θ) es la velocidad del seguidor, ω es la velocidad

angular de la leva y Rp es el radio primitivo. En este punto,

se considera de suma importancia calcular el ángulo de

presión entre el seguidor y la cara de la leva. Rothbart [16]

recomienda que el ángulo de presión sea menor de 30° con

el fin de minimizar el desgaste del seguidor y la leva. La Fig.

8 muestra la restricción de ángulo de presión aplicada en el

diseño de la leva.

Figura 8. Ángulo de presión.



5.2. Radio de curvatura ρ.

Para determinar el tamaño de la leva y asegurarse de que el

seguidor no se atascará en la leva y el perfil de la leva, se

debe calcular el radio de curvatura. La ecuación para

calcular ρ es la siguiente:

32 2

2 2

1p

p

V

R

A

R

(17)

Norton [19] sugiere que se determine el perfil de la leva

cilíndrica envolviendo el diagrama de desplazamiento en el

cilindro del radio seleccionado. Para determinar las

coordenadas del rodillo se prefiere utilizar coordenadas

cilíndricas, ya que, facilita la manufactura de la leva. Las

dimensiones en coordenadas cilíndricas son:

pR R

z s

(18)

La Fig. 9 muestra la restricción de radio de curvatura

aplicada al diseño de la leva.

Figura 9. Radio de curvatura.

Una vez determinados el ángulo de presión, el radio de

curvatura y el diámetro de la leva para cada posición de θ,

se determina el perfil de la leva exportando las coordenadas

del diagrama s a un modelador de sólidos. Finalmente, se

genera el cilindro y la ranura calculada. La Tabla 1 muestra

un resumen de valores. La Fig. 10 muestra la comprobación

gráfica de la leva diseñada.

Tabla 1. Parámetros para el dimensionamiento de la leva cilíndrica

desmodrómica.

θ

[°]

h

[mm]

v

[mm/s]

a

[mm/s2]

ϕ ρ

0 0 0 0 0 ∞

78.26 1.76 22.78 188.67 9.36 31.55

156.52 14.33 68.82 91.88 26.47 148.1

234.78 32.08 54.43 -180.05 21.49 52.71

313.04 39.70 6.97 -111.42 2.89 41.53

360 40 0 -0.03 0 ∞

Figura 10. Comprobación del diseño de la leva.

6. Aplicación

Tradicionalmente, los sistemas de transmisión de

desplazamiento lineal incluyen un arreglo tornillo-tuerca. A

este tipo de sistemas se les asocia errores de posición,

conocidos como backlash o juego mecánico, y son

inherentes a las holguras y tolerancias del mismo ensamble.

Para eliminar el juego mecánico se debe adaptar al sistema

una precarga, o bien, incluir tornillos de bolas re-circulantes.

Sin embargo, incluir este tipo de tecnologías suele encarecer

el desarrollo de un proyecto.

Se vislumbra que el sistema leva-seguidor de tipo cilíndrico

es una buena alternativa para sustituir el sistema tradicional,

debido a que una cualidad que presentan este tipo de

sistemas, como se resaltó antes, es que su implementación

reduce el juego mecánico del ensamble. Si a esto sumamos

el concepto desmodrómico al diseño de la leva cilíndrica,

entonces los resultados esperados deberían ser aún mejores.

Para poder determinar si efectivamente se reduce el juego

mecánico, se plantea diseñar un banco de pruebas que

permita comprobar dicha hipótesis. Este banco contemplará

los dos sistemas de desplazamiento lineal, el tradicional y el

de la leva cilíndrica. Las Figs. 11 y 12 muestran el avance

del diseño del banco. La Fig. 13 muestra el detalle del

sistema desmodrómico adaptado a la leva cilíndrica.



Figura 11. Sketch del prototipo del banco de pruebas.

Figura 12. Ensamble del prototipo del banco de pruebas.

Figura 13. Detalle del sistema desmodrómico adaptado a la leva

cilíndrica.

Para construir e implementar el banco de pruebas se

pretende hacer uso de elementos comerciales e incluir

materiales de resinas similares al plástico, impresas

mediante técnicas de prototipado rápido. La inclusión de un

transductor de desplazamiento lineal, como lo muestra la

Fig. 11, permitirá medir los cambios de desplazamiento de

cada arreglo, así sean infinitamente pequeños. El transductor

se adaptará al tamaño del banco de pruebas, por lo que este

instrumento será diseñado especialmente para dicho banco.

Este banco de prueba se podría usar como banco de

prácticas, con el cual se vincule la teoría con la práctica en

la formación de estudiantes de ingeniería, específicamente

en la comprensión de la importancia que tienen las

tolerancias, la holgura y el juego mecánico en un ensamble.

Será hasta que se construya el banco de pruebas que se pueda

comprobar si efectivamente se reduce el juego mecánico en

la conversión del movimiento rotacional a uno lineal

reciprocante.

7. Conclusión

Se presentó el proceso de diseño de un sistema leva seguidor

de cara ranurada cilíndrica con seguidor traslacional. Se

pretende reducir el juego mecánico en un ensamble que

demande la conversión de un movimiento rotacional a uno

lineal reciprocante. En este diseño se ha adoptado un sistema

desmodrómico, hasta cierto punto común en mecanismos

planos, no así en mecanismos espaciales. Se debe comprobar

su viabilidad y con este avance se espera validar su

funcionalidad respecto a un sistema tradicional. Para validar

su funcionamiento, se plantea construir un banco de pruebas

que incluya dos arreglos; uno tradicional tornillo-tuerca, y

otro con el sistema propuesto. El banco podrá funcionar

como banco de prácticas dentro de las materias curriculares

de las carreras de ingeniería mecánica.

Agradecimientos

Se agradece a la DGAPA por los recursos otorgados

mediante el proyecto UNAM-DGAPA-PAPIME E106017.

REFERENCIAS

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[9] D. Chablat and J. Angeles, "The Design of a Novel Prismatic Drive for a Three-DOF Parallel-Kinematics Machine," Journal of Mechanical Design, vol. 128, pp. 710-718, 2005.

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Industrial Press Inc., 2009.


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