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MicroeconometriaDiscrete Response Models

Ricardo da Silva Freguglia

Faculdade de Economia - PPGEA

Novembro 2011

R.Freguglia (PPGEA) Cap.15 10/11 1 / 34

Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:

P(y = 1jx) = p(y = 1jx1, x2, . . . xk ) = p(x)

Xjcontínuo:∂p(y = 1jx)

∂xj=

∂p(x)∂xj

XK :binária:

P(x1, x2, . . . xk1, 1) P(x1, x2, . . . xk1, 0)

P(y = 1jx) = p(y = 1jx1, x2, . . . xk ) = p(x)

∂xj=

∂p(x)∂xj

XK :binária:

P(x1, x2, . . . xk1, 1) P(x1, x2, . . . xk1, 0)

P(y = 1jx) = p(y = 1jx1, x2, . . . xk ) = p(x)

∂xj=

∂p(x)∂xj

XK :binária:

P(x1, x2, . . . xk1, 1) P(x1, x2, . . . xk1, 0)

Bernoulli :P(y = 1jx) = ρ(x) = E (y jx)

P(y = 0jx) = 1 ρ(x)

Var(y jx) = ρ(x)[1 ρ(x)]

Modelo de probabilidade linear - LPM:

P(y = 1jx) = β0 + β1x1 + β2x2 + + βkxk = xβ

E (y jx) = xβ

β =∂p(y = 1jx)

∂x1OLS! consistente e não-viesadoMQP! δi = [yi (1 yi )]1/2

MQO : yδ iem 1

δi, xit

δ i, ..., xik

Probit,Logit:

P(y = 1 j x) =,G (xβ) = ρ(x)

Modelo de variável latente:

y = xβ+ e1 se y > 0 y = 1[y > 0]

0 se y 0

Probit,Logit:

P(y = 1 j x) =,G (xβ) = ρ(x)

y = xβ+ e1 se y > 0 y = 1[y > 0]

0 se y 0

Probit,Logit:

P(y = 1 j x) =,G (xβ) = ρ(x)

y = xβ+ e1 se y > 0 y = 1[y > 0]

0 se y 0

P(y = 1 j x) = P(y > 0 j x) = P(e > xβ j x) == 1 G (xβ) = G (xβ)

e!contínuo/simétrico em torno de 0

G !cdf (e) !1-G(-z)=G(Z)Modelo probit :

G(Z) Φ(z)R Z∞?(v)dv

?(Z ) = (2π)12 exp (

Logit G(Z) Λ(z) exp(z )(1+exp(z ))

!Xj é contínuo ∂p(x )∂xj = g(xβ)βj

# g (xβ)=(dg (xβ))(d (xβ)

G(.)crescente!g(xβ)>0

Obs: xβ=0

(φ(0) = 0, 399exp(0)

[1+exp(0)]2 = 0, 25

Obs: xβ=0

(φ(0) = 0, 399exp(0)

[1+exp(0)]2 = 0, 25

Obs: xβ=0

(φ(0) = 0, 399exp(0)

[1+exp(0)]2 = 0, 25

Estimação de MV:

N observações iid:

f (yi j Xi ; β) = [G (xi β)]y [1 G (xβ)]1y

li (β) = yi log [G (xi β)] + (1 yi )log [1 G (xβ)]

Estimação de MV:

N observações iid:

f (yi j Xi ; β) = [G (xi β)]y [1 G (xβ)]1y

li (β) = yi log [G (xi β)] + (1 yi )log [1 G (xβ)]

L(β)=∑ili (β)

β !max L(β)L(β) G (.) φ ! probitG (.) logistica ! logit

Score = rθ li (θ)0 =

∂li∂θi(θ), . . . ,

∂li∂li, (θ)

0Hi = rθSi (θ) = r2

θ li (θ)

L(β)=∑ili (β)

β !max L(β)L(β) G (.) φ ! probitG (.) logistica ! logit

Score = rθ li (θ)0 =

∂li∂θi(θ), . . . ,

∂li∂li, (θ)

0Hi = rθSi (θ) = r2

θ li (θ)

Si (β) =g(xi β)x 0i [yi G (xi β)G (xi β)[1 G (xi β)]

E [Hi (β)jXi ] =[g(xi β)]2x 0i xi

fG (xi β)[1 G (xi β)]g

Avar(β) = A1 V (

∑i=1

[g(xi β)]2x 0i xiG (xi β)[1 G (xi β)]

)1β N(0, v)

Cap.15-Modelos de Escolha Discreta:Problemas com probit

P(y = 1jx) = G (xβ) = p(x)

McFadden: pseudoR2 = 1LurLo

y = xβ+ e

Cap. 15:Discrete Response Models

Variável Endógena Binaria

y1 = 1[z1δ1 + α1y2 + u1 > 0]

y2 = 1[zδ2 + v2 > 0]

Var(u1) = 1, var(v2) = 1

f (y1, y2 j z) = f (y1 j y2, z) f (y2 j z)

P(y = 1 j v2, z) = Φz1δ1 + α1y2 + ρ1v2

(1 ρ21)1/2

y2 = 1 se v2 > zδ2

f (v2 j v2 > zδ2) =Φ(v2)

P(v2 > zδ2)=

Φ(v2)Φ(zδ2

P(y1 = 1 j y2 = 1, z) = E [P(y = 1 j v2, z) j y2 = 1, z ]

E [Φ(z1s1 + α1y2 + ρ1v2)

(1 ρ21)1/2

/y2 = 1, z

1Φ(zδ2)

zδΦz1δ1 + α1y2 + ρ1v2

(1 ρ21)1/2

?(v2)dv2

Modelos de escolha discreta:

y = xβ+ e

P(y = 1 j x) = G (xβ) = p(x)

Heterocedasticidade:

y = β0 + β1x1 + e e j x1~n(0, x21 )

y = 1[y > 0]

P(y = 1 j x) = Φ

β0x1+ β1

∂P(y = 1 j x1)

∂x1= β0

β0x1+ β1

Manski: Maximum score estimator

y = 1[xβ+ e > 0]

Med [e j x ] = 0

Med [y j x ] = 1[xβ > 0]

∑i=1j yi 1[xβ > 0] j

É semi-paramétrico:

Você parametriza o indice(xβ) :Não conhece distribuição de G ()

Acerta função índice

β0β = 1

Você parametriza o indice(xβ) :

Não conhece distribuição de G ()

β0β = 1

Dados em Painel:

yit = xi tβ+ ci + ui(xitβ+ ci 0! ci xit β

xitβ+ ci < 1! ci < 1 xit β

Pooled Logit/Probit:

Você não leva em conta o ef. especico e trata o modelo como sefosse uma grande cross-section.

Para formar a fração de máxima de verossimilhança, você tem queassumir a independência.

É condicional à soma da densidade no tempo!por isso se chamamáxima verossimilhança condicional.

Nao pode tratar as densidades independentes.

P(yit = 1 j xit ) = G (xitβ)Verossimilhança parcial para cada i :

li () T

∑t=1log ft (yit j xit ,)

Estimador de máxima verossimilhança parcial:

max ∑

i∑t(log ft (yit j xit)

max ∑

i(log ft (yit j xit)

maxβ ∑

i∑tfyit logG (Xitβ) + (1 yit ) log[1 G (Xitβ)]

Dinamicamente completo:

P(yit = 1 j xit , yi ,t1, xit1 . . .) = P(yi t = 1 j xi t )

Testar:

uit yit Φ(xit β)

P(yit = 1 j xit , uit1) = Φ(xitβ+ δ, uit1)

Teste : δ1 = 0! Ho

Dinamicamente completo:

P(yit = 1 j xit , yi ,t1, xit1 . . .) = P(yi t = 1 j xi t )Testar:

uit yit Φ(xit β)

P(yit = 1 j xit , uit1) = Φ(xitβ+ δ, uit1)

Teste : δ1 = 0! Ho

Modelos com exoneidade estrita.

Hipóteses:

1.P(yit = 1 j x1, ci ) = P(yit = 1 j xit , ci) = Φ(xitβ+ ci )

yit !Sem variável depedente defasada.

2. yit , . . . , yit são independente condicional em(xi , ci ).

Hipóteses:

f (y1, . . . yiT j xi , ci , β) =T

∏t=1f (yt j xit , ci , β)

li (β) = log(Φ(xtβ+ c)yt (1Φ(xtβ+ c))1yt

∑i=1li (β)! Fixed E¤ects Probit

Probit efeito aleatorio:

3.ci j xi~ N(0, σ2c ) ! E (ci ) = 0

ci ! não observável (não aparece na verossimilhança)

3.ci j xi~ N(0, σ2c ) ! E (ci ) = 0

f (yi , . . . , yT j xi ,) =Z ∞

∏t=1f (yt j xit , ci , β)]

f (yt j xt , c , β) = Φ(xtβ+ c)yt (1Φ(xtβ+ c))1yt

Max li (θ) em relação a β , σ2c !importância relativa do efeitonão-obervado: ρ = σ2c

σ2c+σ2e

f (yi , . . . , yT j xi ,) =Z ∞

σ2c+σ2e

f (yi , . . . , yT j xi ,) =Z ∞

σ2c+σ2e

2. Pooled Probit:

P(yit = 1 j xi ) = P(yit = 1 j xit ) = Φ(X , βc )

βc =β

(1+ σ2c )12

3. Especicar correlação de yt no tempo

yit = xitβ+ ci + eit ! ei ~ N multivariada, var=1, cov=Ω

4. Efeitos correlacionados:y = xitβ+ ci + eici = Ψ+ ξtxit + ai

Modelo Logit c/ Ef. Fixos

P(y = 1 j x , c) = G (xβ+ c)

yi1, ..., yit indep

3 Não precisa de ci j xi~N(0, σ2c );E (ci ) = 0

Descobrir a dist.conjunta de yi = (yi1, ..., yiT ) condicional em xi , ci e

∑i=1

Modelo Logit c/ Ef. Fixos

P(y = 1 j x , c) = G (xβ+ c)

yi1, ..., yit indep

3 Não precisa de ci j xi~N(0, σ2c );E (ci ) = 0

Descobrir a dist.conjunta de yi = (yi1, ..., yiT ) condicional em xi , ci e

∑i=1

EXEMPLO T = 2;

ηi = f0, 1, 2g ! dist.condicional (yi1, yi2) dado ηi !nãoé informativa quando ηi = 0 ou ηi = 2.

ηi = 1 :

P(yi2 = 1 j xi , ci , ηi = 1) =P(yi2 = 1, ηi = 1 j xi , ci )

P(ηi = 1 j xi , ci )

P(yi2 = 1 j xi , ci )P(yi1 = 0 j xi , ci )

P(yi1 = 0, yi2 = 1 j δi , ci ) + P(yi1 = 0, yi2 = 0 j δi , c)

= (Λ(xi2β+ci )[1Λ(xi1β+ci )]

f[1Λ(xi1β+ci )]Λ(xi2 β+ci )+Λ(xi1β+ci )[1Λxi1β+ci ]g) =

= Λ[(xi2 xi1)β]

P(yi1 = 1 j xi , ci , ηi = 1) = Λ[(xi2 xi1)β]

= 1Λ[(xi2 xi1)β]li (β) = 1[ηi = 1](wi logΛ [xi2xi1]β)+ (1wi )logf1Λ[xi2 xi1]βg

Fixed E¤ect Logit Estimator

1! (yi1 = 0, yi2 = 1)0! (yi1 = 1, yi2 = 0)

P(yi1 = 1 j xi , ci , ηi = 1) = Λ[(xi2 xi1)β]

= 1Λ[(xi2 xi1)β]li (β) = 1[ηi = 1](wi logΛ [xi2xi1]β)+ (1wi )logf1Λ[xi2 xi1]βg

Fixed E¤ect Logit Estimatorwi

1! (yi1 = 0, yi2 = 1)0! (yi1 = 1, yi2 = 0)

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