disciplina : termodinâmica aula 10 –análise da massa e...

Professor Dr. Evandro Rodrigo Dário

Curso: Engenharia Mecânica

Disciplina: Termodinâmica

Disciplina : Termodinâmica

Aula 10 – Análise da massa e

energia aplicadas a volumes de

controle


Prof. Evandro Rodrigo Dário, Dr. Eng.




Conservação da Massa

A massa, assim como a energia, é

uma propriedade que se conserva, e

não pode ser criada nem destruída

durante um processo.

Em sistemas fechados, o princípio de conservação da massa é usado

implicitamente pela exigência de que a massa do sistema permaneça

constante durante um processo.

Em volumes de controle, porém, a massa pode atravessar fronteiras e, assim,

devemos levar em conta a quantidade de massa que entra e sai do volume de

controle.




Vazão mássica e vazão volumétrica

A quantidade de massa que escoa através de uma secção transversal

de área por unidade de tempo é chamada de vazão mássica, ou fluxo

de massa e é representada pela letra ሶ𝒎 .

A vazão mássica de um fluido que escoa através de

um pequeno elemento de área dAc é proporcional

ao próprio elemento de área dAc, a massa

específica do fluido ρ, e a componente da

velocidade normal a dAc, que designamos como Vn,.





A velocidade, nunca é uniforme ao longo de uma

seção transversal de um tubo devido a aderência

do fluido à superfície da tubulação.

O escoamento possui velocidade nula na parede da tubulação (condição não

deslizamento). Assim a velocidade do escoamento varia de zero na parede

até um valor máximo na linha de centro da tubulação. Definimos a velocidade

média como o valor médio de Vn em toda a seção transversal do tubo.





Assim, para um escoamento incompressível ou até mesmo para um

escoamento compressível, onde a massa específica do fluido ρ é uniforme

em toda área Ac, a equação anterior torna-se

Para simplificar, vamos abandonamos o índice da velocidade média. Dessa

forma, V indica a velocidade média na direção do escoamento.

O volume de fluido que escoa através de uma seção transversal por unidade de

tempo é o chamado vazão volumétrica ሶ𝑽.





A grande maioria dos livros didáticos de

mecânica dos fluidos utilizam a letra Q em

vez de ሶ𝑽 para representar a vazão

volumétrica. Adotaremos ሶ𝑽 para evitar

confusão com a transferência de calor.

As vazões mássica e volumétrica estão

relacionadas por

Esta relação é análoga à m = ρV, que é a relação entre a massa e o volume de

um fluido num reservatório.




Princípio de conservação da massa

O princípio da conservação da massa para um volume de controle pode ser

expressa como:

A transferência de massa líquida para ou a partir de um volume de controle

durante um intervalo de tempo Δt é igual à variação líquida (aumento ou

diminuição) na massa total dentro do volume de controle durante o intervalo de

tempo Δt.

ou





Onde ∆𝑚𝐶𝑉 = 𝑚𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 −𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 é a alteração na

massa do volume de controle durante o processo.

Em termos matemáticos temos

Ela também pode ser expressa na forma de taxa como:

As equações acima são chamadas de balanço de massa e são aplicáveis a

qualquer volume de controle que estiver passando por qualquer tipo de processo.





A massa de um volume diferencial dV dentro do volume

de controle é determinada por dm = ρ dV. Logo, a massa

total dentro do volume de controle a qualquer instante de

tempo t é determinada pela integração, sendo

Logo, a taxa de variação da quantidade de massa dentro do volume de

controle pode ser expresso como





Utilizando o conceito de produto escalar

entre dois vetores , a magnitude normal da

velocidade pode ser expressa como

O fluxo de massa através de dA é proporcional à densidade do fluido ρ, da

velocidade normal Vn, e a área de fluxo dA, e pode ser expressa como





O fluxo líquido de massa para ou do volume de

controle através de toda a superfície do volume de

controle é obtida pela integração da equação

anterior sobre toda a superfície de controle,

Note-se que o produto escalar 𝑉. 𝑛 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠𝜃 é positivo para 𝜃 < 90𝑜 (saída de

massa) e negativos para 𝜃 > 90𝑜 (entrada de massa). Por conseguinte, a

direção de fluxo de massa é contabilizada automaticamente e a integral de

superfície da equação acima nos fornece diretamente o fluxo líquido de massa.




Principio de conservação da massa

Rearranjando a equação

A expressão acima afirma que a taxa de variação da massa dentro do volume

de controle mais o fluxo líquido de massa através da superfície de controle é

igual a zero.

A equação da conservação da massa para um volume de controle estacionário

pode ser expressa como





Separando a integral de superfície da equação anterior em duas partes - uma

para as correntes de saída (positiva) e outra para as correntes de entrada

(negativa) -, a equação da conservação da massa também pode ser expressa

por

Usando a definição de taxa de fluxo de massa, a equação acima também pode

ser expressa por




Balanço de massa para processos com escoamento emregime permanente

Durante um processo em regime permanente, a quantidade total de massa

contida dentro de um controle de volume não se altera com o tempo (mcv =

constante).0

Ele afirma que a taxa total de massa entrando em um volume

de controle é igual ao taxa total de massa deixando-o.




Balanço de massa para processos com escoamento emregime permanente

CASO ESPECIAL – ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL

As equações de conservação da massa podem ser

simplificadas ainda mais quando o fluido é

incompressível (ρ = constante), que é geralmente o

caso dos líquidos.

Cancelando a densidade em ambos os lados da

equação para processos em regime permanente, temos




Exemplo 1:

Um aquecedor de água de alimentação operando em estado estacionário

apresenta duas entradas e uma saída.

Na entrada 2, água líquida a p2 = 700 kPa e T2

= 40oC entra através de uma área A2 = 25cm2.

Líquido saturado a 700 kPa sai em 3 com uma

vazão volumétrica de 0,06 m3/s. Determine as

vazões mássicas na entrada 2 e na saída, em

kg/s, e a velocidade na entrada 2, em m/s.

Na entrada 1, o vapor de água entra a p1 = 700 kPa, T1 = 200oC com uma

vazão mássica de 40 kg/s.




Problemas propostos:

Capítulo 5:

7; 8; 10;14, 15.

Çengel, Yunus A. Termodinâmica. – 7. ed.

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