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D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l

T e o r i a d a s F i l a s - L i s t a d e E x e r c í c i o s : 0 1

S e x t a f e i r a , 1 1 d e n o v e m b r o d e 2 0 1 1

Prof . Lor í V ia l i , Dr . - v ia l i@pucrs .br - http ://www .pucrs .br/famat/v ia l i/

01. Uma estação de serviço é formada por um único servidor que pode atender uma média de dois

consumidores por hora. Uma média de três clientes por hora chegam solicitando serviço. A capacidade

do sistema é de três clientes.

(i) Na média quantos clientes potenciais entram no sistema por hora?

(ii) Qual a probabilidade de que o servidor esteja ocupado?

02. Uma média de 30 carros por hora tenta utilizar o drive-in do restaurante Mic Rofone. Se um total de

mais do que quatro carros estão na fila (incluindo o carro sendo atendido) um cliente não entrará na

fila. Leva em média quatro minutos para que um cliente seja atendido.

(i) Qual é o número médio de carros esperando para serem atendidos por hora?

(ii) Na média quantos carros serão atendidos por hora?

(iii) Eu recém entrei na fila. Quanto tempo vai levar até receber minha comida?

03. Um lava rápido automático funciona com somente uma baia. Os carros chegam conforme uma

distribuição de Poisson com uma média de 4 carros por hora e podem esperar num estacionamento com

quatro vagas. Se o estacionamento estiver cheio os clientes que chegam desistem e procuram outro

lava rápido. O tempo para lavar e limpar um carro segue uma distribuição exponencial, com uma média

de 10 minutos. O proprietário quer determinar o impacto das vagas limitadas sobre a perda de clientes

para a concorrência. Considerando essa situação, determine:

(i) A probabilidade de que um carro que chega passe imediatamente à baia de lavagem.

(ii) Tempo de espera estimado até o início do serviço.

(iii) Número esperado de vagas vazias no estacionamento.

(iv) A probabilidade de todas as vagas estarem ocupadas.

(v) A percentagem de redução de tempo médio de serviço que limitará o tempo médio no sistema a

aproximadamente 10 minutos (resolva por tentativa-e-erro).

(vi) Considere o lava rápido do exemplo anterior. Determine o número de vagas que deve existir no

estacionamento para que o percentual de carros perdidos para a concorrência seja inferior a 1%.

05. A montagem de geradores elétricos na Electro é realizada à taxa de 10 unidades por hora de acordo

com uma distribuição de Poisson. Em seguida, os geradores são transportados por uma esteira rolante

até o departamento de inspeção para um teste final. A esteira pode transportar no máximo sete

geradores. Um sensor eletrônico para automaticamente a esteira quando ela estiver cheia, o que

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impede que o departamento de montagem final monte mais unidades até haver espaço disponível. O

tempo para inspecionar os geradores segue uma exponencial, com média de 15 minutos.

(i) Qual é a probabilidade de que o departamento de montagem final parar a produção?

(ii) Qual é o número médio de geradores na esteira transportadora?

(iii) O engenheiro de produção afirma que as interrupções no departamento de montagem poder ser

reduzidas, aumentando a capacidade da esteira. Na verdade, ele afirma que a capacidade pode ser

aumentada até o ponto em que o departamento de montagem poderá trabalhar 95% do tempo sem

interrupção. Essa afirmativa é justificável?

06. Uma pequena companhia de transporte rodoviário possui uma frota homogênea, tanto na capacidade de

transporte quanto na vida útil de seus oito caminhões. Observou-se que os caminhões quebram segundo

uma distribuição exponencial de média de 10 dias, devendo entrar em manutenção. Existe uma única

oficina para esse fim cuja equipe de 2 mecânicos gasta no conserto de cada veículo um tempo

exponencialmente distribuído com média de cinco dias. Analise a eficiência da oficina, calculando as

suas características operacionais.

07. Um grupo de 5 máquinas é utilizado para realizar tarefas em uma fábrica. Cada máquina quebra

segundo um processo de Poisson de taxa de duas vezes a hora. As máquinas quebradas são consertadas

por três funcionários que realizam o conserto em tempos exponencialmente distribuídos com média de

45 minutos. Avalie o funcionamento desse grupo de máquinas.

08. A Toolco opera uma oficina de usinagem com um total de 22 máquinas. Sabe-se que cada máquina

quebra uma vez a cada duas horas, em média. O conserto demora 12 minutos, em média. Tanto o tempo

entre quebras quanto o de conserto seguem uma exponencial. A Toolco quer determinar o número

ótimo de mecânicos de manutenção necessários para manter a oficina em funcionamento

confortavelmente. Analise a situação com uma investigação sobre a produtividade das máquinas em

função do número de mecânicos de manutenção. Tal medida é definida como:

Produtividade das máquinas = (Máq. disponíveis – Máq. quebradas)/Máq. disponíveis = (22 - LS)/22

09. Um operador cuida de 5 máquinas. Após cada tarefa a máquina deve ser reajustada antes de iniciar a

próxima. O tempo para processar uma tarefa se distribui de acordo com uma exponencial com média de

45 minutos. O tempo de preparação para a próxima tarefa segue uma exponencial com média de 8

minutos. (a) Determine o número médio de máquinas que estão esperando ajuste ou sendo ajustadas.

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(b) Calcule a probabilidade de todas as máquinas estarem funcionando. (c) Determine o tempo médio de

paralisação de uma máquina.

10. Considere um cassino com 20 máquinas “caça-níqueis” que concedem prêmios segundo um processo de

Poisson de taxa de dois prêmios por hora. Cada vez que uma máquina concede um prêmio, fica travada

até que um atendente a coloque em funcionamento novamente. Existe no cassino um único atendente

para realizar esse serviço em um tempo exponencialmente distribuído com média de 2 minutos.

Determine: (a) a probabilidade de existirem mais do que 5 caça-níqueis travados em um dado instante

e (b) o número médio de caça-níqueis travados em um dado instante. (c) o tempo médio que um caça-

níquel fica fora de serviço.

A notação utilizada na teoria das filas é variada, mas em geral, as seguintes são comuns:

λ = número médio de clientes que entram no sistema por unidade de tempo;

µ = número médio de clientes atendidos (que saem do sistema) por unidade de tempo;

L = número médio de clientes no sistema; Lq = número médio de clientes na fila;

Ls = número médio de clientes sendo atendidos;

W = tempo médio que o cliente fica no sistema; Wq = tempo médio que o cliente fica na fila;

Ws = tempo médio que um cliente leva para ser atendido;

P(T > t) = a probabilidade de que um cliente fique mais do que um tempo t no sistema;

P(Tq > t) = a probabilidade de que um cliente fique mais do que um tempo t na fila.

Assim se um sistema de filas está em estado estacionário, tem-se: (Leis de Little)

L = λW Lq =λWq Ls = λWs

1p0k

k =∑∞

=, onde pk = probabilidade de que existam k clientes no sistema.

Obs. O valor ρρρρ é denominado de taxa de ocupação do sistema.

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Sistema M/M/1/GD/c/∞

λc = λ(1 – pc) Aceitos no sistema ρ−

ρ−=

+1c01

1p

ρ−

ρρ−=

+11

1

c

j

j

)(p se ρ ≠ 1

)1)(1(

]c)1c(1[L

1c

1cc

ρ−ρ−

ρ+ρ+−ρ=

+

+

LLL sq −= = L – 1 + p0 p1L 0s −=

)p1(

LW

c−λ=

)p(

LWW

c

qq

−λ=

µ−=

1

1

µ=

−λ

−=

1

)p1(

LLW

c

qs

Se λ = µ L = c/2 c ..., 1, 0, j1c

1pj =

+=

ρs = λcWs = λ(1 – pc)Ws

Taxa de utilização do servidor ou probabilidade de que ele esteja

ocupado

r = λpc

Taxa de rejeitados pelo sistema

O sistema M/M/R/GD/K/K

K ..., 2,R 1,R jse R

R.., 0,1, jse j

j

j

++=µ=µ

=µ=µ

)LK( −λ=λ

ρ

∑ +ρ

=

+=−

=

K

RjRj

j

R

j

j

R!R

!jj

K

j

KP

10

1

0

ρ

+∑ ρ

=∑=

+=−

==

K

1RjRj

j

R

j

jK

jj

R

!jj

K

j R!

1

j

KjppjL

00

0

LLL qs −=

R.., 1,,j se pj

kP

jj 00 =ρ

=

∑ −==

K

Rjjq p)Rj(L

)LK(

LLW

−λ=

λ=

K ..., 2,R 1,R jse R!R

p!jj

k

P Rj

0j

j ++=

ρ

=−

pR

1...p

R

2Rp

R

1Rp 1R210 −+

−+

−+

)LK(

LLW

qqq

−λ=

λ=

)LK(

LLW

Sss

−λ=

λ=