Disciplina: Matemática Discreta Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa

Aula – Demonstração Direta

Na Matemática temos: definições, teoremas e provas (demonstrações).

Definições – as definições especificam com precisão os conceitos em uma teoria.

Exemplo de definição: Sejam a e b inteiros. Dizemos que a é divisível por b se

existe um inteiro c tal que a = bc. Dizemos também que b divide a, ou que b é um

divisor de a.

Notação: b\a

Ex: 5\20 20 = 5.4

Teoremas - os teoremas afirmam exatamente o que é verdadeiro sobre os conceitos.

Todo teorema exige demonstração.

Exemplo de teorema: Se a e b são os comprimentos dos catetos de um

triângulo retângulo e c é o comprimento da hipotenusa, então a2 + b2 = c2 .

Provas - as provas demonstram, de maneira irrefutável, a verdade das afirmações. Os

tipos de demonstrações são: demonstração direta, demonstração por contradição e

demonstração por indução finita.

Por convenção, em Matemática, uma afirmação é verdadeira desde que ela

seja absolutamente verdadeira, sem exceção. Uma afirmação que não é

absolutamente verdadeira é chamada falsa. Ex: Os números primos são ímpares.

Afirmação falsa porque 2 é número primo.

Exemplo de provas:

Teorema: A soma de dois inteiros pares é par.

Prova: Dado x e y números pares tal que x=2k e y=2q com k e q ε Z. Temos x+y = 2k

+ 2q = 2 (k+q) = 2t que é par, pois k+q = t e t ε Z.

Demonstração por contraposição

A prova por contrapositiva é uma alternativa para o método direto. Se não

podemos achar uma prova direta tenta-se provar pela contrapositiva.

Pretende-se provar que “se A, então B”. Para tanto mostramos que é

impossível A ser verdadeiro enquanto B falso. Ou seja, se quer mostrar que “A e não

B” é impossível. Admite-se que uma afirmação implica algo claramente errado, então a

afirmação deve ser falsa.

Ex1: Nenhum inteiro é ao mesmo tempo par e ímpar.

Seja x um número Inteiro.

Suponhamos, por contradição, que x seja par e ímpar.

Como x é par 2\x, então existe um inteiro a tal que x=2a.

Como x é ímpar 2não divide x, então existe um inteiro b tal que x=2b + 1.

Portanto 2a= 2b + 1 (:2)

a = b + ½

Então a - b = ½

Sabemos que a – b é um número inteiro, pois a e b são números inteiros e ½ não é

inteiro.

Portanto x não é ao mesmo tempo par e ímpar.

Então a proposição está provada.

Ex2: Sejam a e b números com a ≠ 0. Existe no máximo um número x com

ax + b = 0.

Prova: Suponhamos que haja dois números diferentes x e y tais que ax + b = 0 e ay +

b = 0.

Isso nos dá: ax + b = ay +b

Subtraindo b: ax = ay

Como a ≠ 0, divide-se por a: x = y.

Logo está provado.

Demonstração direta

Demonstra-se da hipótese para a conclusão, mostrando como cada afirmação

decorre de afirmações prévias. A idéia central é desenrolar as definições e preencher

a lacuna entre o que se tem e o que se deseja.

Prova direta de um teorema do tipo “se-então”

-Escrever as primeiras sentenças da prova, apresentando a hipótese do

resultado. Criar uma notação adequada (por exemplo, atribuir letras para representar

variáveis).

- Escrever as últimas sentenças da prova, apresentando a conclusão do

resultado.

- Desenredar as definições, trabalhando para a frente a partir do começo da

prova e para trás, a partir do fim da prova.

- Avaliar o que já se sabe e do que se necessita. Procurar estabelecer um elo

entre as duas metades de seu argumento.

Ex1: Sejam a, b e c inteiros. Se a\b e b\c então a\c.

Prova: Se a\b e b\c b = aq1 e b = bq2 sendo q1 e q2 ε Z

Então b . c = aq1 . bq2

b.c = abq1q2

c = a q1q2 q1q2 =q3 ε Z

c = aq3 a\c

Logo está provado.

Ex2: Prove que a soma de dois números inteiros ímpares é par.

Dado a e b números ímpares, tal que a = 2k + 1 e b = 2q + 1.

Somando a + b, temos: 2k + 1 + 2q +1 = 2 (k + q) + 2 = 2t

Logo a + b é par.

Prova de teoremas do tipo “se e somente se”

A técnica básica para provar uma afirmação da forma “A se e somente se B”

consiste em provar duas afirmações da forma “se-então”. Provamos que “Se A, então

B” e também “Se B então A”.

Ex 1: Seja x um inteiro. Então x é par se e somente se x+1 é ímpar.

( Suponhamos x par Logo, há um inteiro qualquer x = 2a. Somando 1,

temos x + 1 = 2a + 1. Portanto, x + 1 é ímpar.

( ) Suponhamos x + 1 ímpar. Então, existe um inteiro b tal que x + 1 = 2b +1.

Subtraindo 1 temos: x + 1 – 1 = 2b + 1 – 1 x = 2b. Portanto, x é par.

Ex2: Se x é um número inteiro ímpar, então x2 é ímpar.

Prova: Suponhamos x um número inteiro ímpar, então x = 2a + 1.

Logo: x2 = (2a+ 1)2 = 4a2 + 4a + 1 = 2.(2a2 + 2a) + 1

Logo x2 é ímpar.