disciplina: cálculo a conteúdo: sequê · pdf fileconcluir sobre as...
TRANSCRIPT
DISCIPLINA: CÁLCULO A
CONTEÚDO: SEQUÊNCIAS
PROFESSORA: NEYVA ROMEIRO
PERÍODO: 40 BIMESTRE
SEQUÊNCIA
Uma sequência é uma função f cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos e seu gráfico no plano xy é do tipo, ou ainda, sequência é um conjunto de pares ordenados do tipo ( ))(, nfn ,
como pode ser observado nas Figuras 1 e 2.
Figura 1: Representação de uma sequência
Figura 2: Representação de uma sequência
Exemplo 1:
a) { }KK ,,,,,,, 54321 naaaaaa descreve uma
sequência infinita;
b) { }naaaaaa ,,,,,, 54321 K descreve uma
sequência finita.
OBS: Sendo f uma sequência, os números do contradomínio são do tipo
)(,),4(),3(),2(),1( nfffff K , ou ainda na
kakf =)( , notação indicial, para cada inteiro
positivo k .
Exemplo 2:
a) Se 1
)(+
=n
nnf , então
2
1)1( =f ,
3
2)2( =f ,
4
3)3( =f ,
5
4)4( =f , K , então os
termos da sequência finita pode ser representado por:
+=
+ 1,,
7
6,
6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
1 n
n
n
nK
e consequentemente os termos da sequência infinita pode ser representado por:
+=
+KK ,
1,,
7
6,
6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
1 n
n
n
n
Exercício 1: Sendo 12
)(+
=n
nnf , encontre os
termos da sequência infinita.
Exercício 2: Sendo 23
47 2
+−=n
nan , ache os
quatro primeiros termos da sequência.
Exercício 3: Ache os termos das sequências:
a) n
nf1
)( =
b)
+
=par for se ,
2
2
imparfor se ,1
)(n
n
n
nf
c) Observe os termos das sequências descritas em a) e b).
d) Esboce os gráficos das sequências de a) e de b). Observando estes gráficos, o que você pode concluir sobre as sequências descritas em a) e b)?
2
Definição 1: Uma sequência { }na tem por limite
L (ou converge para L) se para todo 0>ε existe um número positivo N tal que
ε<− Lan sempre que Nn >
ou Lann
=∞→
lim
Se tal número L não existe, a sequência não tem limite (ou diverge).
Teorema 1: Se Lxfx
=∞→
)(lim e f estiver definida
para todo inteiro positivo, então Lann
=∞→
lim
quando n for um inteiro positivo.
Exemplo 3:
a) A sequência n
nf1
)( = é convergente, pois ,
01
lim)(lim ==∞→∞→ x
xfxx
para todo 0>x , em
particular o então 01
lim =∞→ xx
para todo x inteiro
positivo, consequentemente
01
lim)(lim ==∞→∞→ n
nfnn
.
b) A sequência
+
=par for se ,
2
2
imparfor se ,1
)(n
n
n
nf é
divergente pois não há um número definido para a função )(xf , isto é:
02
2lim =
+∞→ nx e 11lim =
∞→x
Assim, o )(lim xfx ∞→
não existe, portanto a série
dada é divergente.
Definição 2: Se uma sequência { }na tiver um
limite, dizemos que ela é convergente, e na
converge para o limite. Se a sequência não for convergente, ela será divergente.
Propriedade 1: Se { }na e { }nb forem sequências
convergentes e c for uma constante, então:
i) nn
nn
acca∞→∞→
= limlim
ii) ( ) nn
nn
nnn
baba∞→∞→∞→
±=± limlimlim
iii) ( ) ( )( )nn
nn
nnn
baba∞→∞→∞→
= limlimlim
iv) n
n
nn
n
n
n b
a
b
a
∞→
∞→
∞→=
lim
limlim se 0lim ≠
∞→ nn
b e todo .0≠nb
Teorema 2 (Teorema do Confronto adaptado para sequências): Se nnn cba ≤≤ para onn ≥ e
nn
nn
cLa∞→∞→
== limlim então Lbnn
=∞→
lim .
Teorema 3: Se 0lim =∞→ n
na então 0lim =
∞→ nn
a .
A sequência { }nr é convergente se 11 ≤<− r e
divergente para todos os outros valores de r.
=<<
=∞→ 1 se 1,
11- se ,0lim
r
rr n
n
Exemplo 4: Use os resultados acima para
determinar se a sequência
−n
6
56 converge
ou diverge. Se converge, determine seu limite.
Solução: Usando o resultado acima, onde
0lim =∞→
n
nr , se 1<r , observa-se que r na
sequência dada é 1833.06
5 <−≅−=r ,
portanto 06
56lim =
−∞→
n
n e consequentemente
a sequência é convergente e seu limite é zero. Tais resultados podem ser verificados graficamente (Figura 3) e por meio do cálculo do limite, como segue:
Analisando o limite do modulo, pois se 0lim =
∞→ nn
a então 0lim =∞→ n
na ,assim,
n
n
n
n
n
n
=
−=
−∞→∞→∞→ 6
56lim
6
56lim
6
56lim e
considerando n
y
=6
5 ⇒
n
y
=6
5lnln
⇒
=6
5lnln ny ⇒ ny 182.0ln −= , sendo
que .182.06
5ln −≅
Ou ainda,
3
⇒ ny ee 182.0ln −= ⇒ ney 182.0−= ou
ney
182.0
1= , e portanto .01
limlim182.0
==∞→∞→ nnn e
y
Assim, 06
56lim =
∞→
n
n e consequentemente
.06
56lim =
−∞→
n
n
Figura 3: Gráfico da sequência n
nf
−=6
56)(
Exercício 4: Use os resultados acima para determinar se a sequência converge ou diverge. Se converge, determine seu limite. Use um recurso gráfico para esboçar o gráficos de cada sequência.
a)
−+
12
1
n
n
b)
−+
nn
n2
2
3
12
c)
+
n
n 12
d)
2
ln
n
n
e)
−+ nn 1
12
f)
n
en
g)
−
n
n)1(
h) { }n−1
Definição 3: Uma sequência { }na é denominada
crescente se 1+< nn aa para todo 1≥n , isto é
L<<<< 4321 aaaa Uma sequência { }na é
denominada decrescente se 1+> nn aa para todo
1≥n , isto é L>>>> 4321 aaaa
Definição 4: Uma sequência é dita monotônica (ou é monótona) se for crescente ou decrescente.
Definição 5: Uma sequência { }na é limitada superiormente se existir um número M tal que
Man ≤ para todo 1≥n . E é limitada inferiormente se existir um número m tal que
nam≤ para todo 1≥n .
OBS: Se ela for limitada superior e inferiormente então { }na é uma sequência limitada.
Exemplo 5: A sequência nnf =)( é monótona (pois é crescente), porém não é limitada (uma vez que não possui limitante superior). Ainda mais, a sequência não é convergente, pois
+∞=∞→
nnlim . Tais resultados também podem ser
observados na Figura 4.
Figura 4: Gráfico da sequência nnf =)(
Toda sequência limitada, monotônica, é convergente
OBS: Nem toda sequência convergente é limitada e monotônica.
4
Exemplo 6: A sequência n
nfn)1(
)(−
= é
convergente, porém não é monotônica, como pode ser observado na Figura 5.
Figura 5: Gráfico da sequência n
nfn)1(
)(−
=
Exemplo 7: Investigue a sequência { }na , onde
nan
1= .
Solução:
nan
1= e 1
11 +
=+ nan
nn
1
1
1 <+
pois 1+< nn para todo n inteiro
positivo, logo a sequência { }na é decrescente, e portanto monotônica.
Observa-se que 01
lim =∞→ nn
e que os termos da
sequência são:
=
KK ,1
,,5
1,
4
1,
3
1,
2
1,1
1
nn,
portanto a sequência
n
1 é limitada
superiormente por 1 e inferiormente por zero, sendo a sequência limitada, Figura 6.
Figura 6: Gráfico da sequência n
nf1
)( =
Exercício 5: Investigue a sequência { }na , onde
a) 1+
=n
nan .
b) n
an
n
1)1( +−= .
Exercício 6: Verifique se a sequência é monotônica (decrescente ou decrescente)
a)
+−
54
12
n
n
b)
!
2
n
n
Exercício 7: Verifique se a sequência
−
2
221
n
n
é convergente, se for calcule seu limite.
SÉRIES INFINITAS
Frequentemente escrevemos funções como polinômios infinitos
LL ++++++=−
nxxxxx
3211
1 1 <x
5
Figura 1: Gráfico das funções 1, x+1 ,
21 xx ++ , K , ∑∞
=1n
nx para 1 <x .
Assim, podemos avaliar o polinômio x−1
1 como
uma soma infinita de constantes, a qual chamaremos de série infinita.
SÉRIES E SOMAS PARCIAIS
Uma soma finita de números reais sempre produz um real, mas uma soma infinita de números reais é algo completamente diferente. Essa é a razão pela qual precisamos de uma definição cuidadosa de séries infinitas.
Definição 1: Dada uma sequência de números { }na , uma expressão da forma
LL ++++ naaaa 321
é uma série infinita. O número na é o enésimo termo da série.
As somas parciais da série formam uma sequência
11 aS =
212 aaS +=
3213 aaaS ++=
M
nn aaaaS ++++= L321
de números reais, cada um definido como uma soma finita. Se a sequência de soma parciais tem um limite S quando ∞→n , dizemos que a série converge para a soma S e escrevemos
Saaaaai
in ==+++++ ∑∞
=1
321 LL .
Podemos interpretar tal resultado observando as Figuras 2 e 3
Figura 2: Gráfico
Figura 3: Gráfico
onde
11 =S
2
112 +=S
232
1
2
11 ++=S
3242
1
2
1
2
11 +++=S
M
nnS2
1
2
1
2
11
2++++= L
M
Pode-se observar que
22
1
2
1
2
11
2=+++++ LL
n, logo a sequência de
soma parciais tem um limite 2=S quando ∞→n , dizemos, assim, que a série converge
para a soma 2.
Exemplo 1: Determine as quatro primeiras somas
parciais da série ∑∞
= +1 )1(
1
n nn.
Solução:
2
11 =S
6
3
2
6
1
2
1
32
1
2
12 =+=
⋅+=S
4
3
12
1
6
1
2
1
43
1
32
1
2
13 =++=
⋅+
⋅+=S
5
4
20
1
12
1
6
1
2
1
54
1
43
1
32
1
2
14 =+++=
⋅+
⋅+
⋅+=S
OBS: A série ∑∞
= +1 )1(
1
n nn é chamada de série
telescópica.
Exemplo 2: Por meio dos resultados apresentados acima pode-se afirmar que a série telescópica
∑∞
= +1 )1(
1
n nn é convergente e sua soma converge
para 1=S , isto é
1)1(
1
54
1
43
1
32
1
2
1 =+
++⋅
+⋅
+⋅
+=nn
Sn L .
Figura 4:
Figura 5:
Exercício 1:
a) Determine as quatro primeiras somas parciais
da série ∑∞
=−
112
1
nn
.
b) Utilize o item a) para verificar se a série é convergente, em caso afirmativo determine o valor para o qual sua soma converge.
Uma série ∑∞
=1n
na é convergente (ou converge)
se a sua sequência de somas parciais { }nS
converge, isto é, se SSnn
=∞→
lim para algum
número real S.
Se SSnn
=∞→
lim não existir a série será divergente.
OBS: n
n
i
in aaaaaS ++++==∑=
L321
1
Logo, Saaaa n =++++ L321 ou San
i
i =∑=1
.
Exemplo 3: Mostre que a série ∑∞
= +1 )1(
1
n nn é
convergente e determine o valor para o qual sua soma converge.
Solução: Do Exemplo 2 temos que
)1(
1
54
1
43
1
32
1
2
1
+++
⋅+
⋅+
⋅+=
nnSn L
assim,
2
11 =a ,
32
12 ⋅
=a , 43
13 ⋅
=a , 54
14 ⋅
=a , K ,
)1(
1
+=
nnan
simplificando esta expressão usando uma decomposição por frações parciais, temos
)1()1(
1
++=
+ n
B
n
A
nn
)1(
)1(
)1(
1
+++
=+ nn
BnnA
nn
ou
BnnA ++= )1(1
AnBA ++= )(1
7
==+
1
0
A
BA ⇒ 1−=B
Logo )1(
11
)1(
1
+−=
+ nnnn e assim,
∑∑∑===
+−=
+==
n
i
n
i
n
i
in iiiiaS
111 1
11
)1(
1
+
−+
−+
−=
+−=∑
= 4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
1
11
1
n
i ii
+−++
−+1
11
5
1
4
1
nnL
1
111
1
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11
+−+−
−++−+−+−=
nnnnL
1
11
+−=
n
Portanto
11
11lim
)1(
1limlim
1
=
+−=
+=
∞→
∞
=∞→∞→ ∑ nnn
Sn
nn
nn
.
Exercício 2: Dado a série ∑∞
= −12 14
1
n n,
a) ache 1S , 2S , 3S e 4S ;
b) ache nS ;
c) verifique se a série converge ou diverge;
d) se converge, determine o valor para o qual sua soma converge.
Exercício 3: Dado a série ∑∞
= −+1 )23)(13(
1
n nn,
determine se a série é convergente.
SÉRIE GEOMÉTRICA
Séries geométricas são séries da forma
∑∞
=
−− =++++++1
1132
n
nn ararararara LL
onde a e r são números reais fixos e 0≠a . A razão r pode ser positiva ou negativa.
Definição 2: A série geométrica são séries da forma
LL ++++++= −∞
=
−∑ 132
1
1 n
n
n ararararaar
( )LL ++++++= −1321 nrrrra
i) converge e tem soma r
aS
−=
1, se
1 <r
ii) diverge se 1 ≥r .
Exemplo 4: Verifique se a série ∑∞
=
−
1
1
3
25
n
n
converge ou diverge.
Solução:
5=a , 3
2=r ; 166.03
2 <==r
portanto a série converge e sua soma converge
para 15
3
21
5 =−
=S , como pode ser observado na
Figura 6.
Figura 6: Convergência da série ∑∞
=
−
1
1
3
25
n
n
para a soma 15=S .
Exemplo 5: Mostre que a série harmônica
LL ++++++++=∑∞
= nnn
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
1
1
é divergente.
Solução:
8
nS
S
S
S
S
S
n
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
5
1
4
1
3
1
2
11
4
1
3
1
2
11
3
1
2
11
2
11
1
5
4
3
2
1
+++++++=
++++=
+++=
++=
+=
=
L
M
porém
2
11
1
2
1
+=
=
S
S
22
21
4
1
4
1
2
11
4
1
3
1
2
114
=+=
+++>
+++=S
5.22
5
2
31
2
1
2
1
2
11
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
3
1
2
11
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
118
==+=+++=
++++
+++>
++++
+++=S
32
41
2
1
2
1
2
1
2
11
16
1
16
1
8
1
8
1
4
1
3
1
2
11
16
1
9
1
8
1
5
1
4
1
3
1
2
1116
=+=++++=
+++
+++
+++>
+++
+++
+++=
LL
LLS
Similarmente 5.32
7
2
5132 ==+>S ,
2
6164 +>S
e, em geral 2
12
nS n +> . Como ∞=
+∞→ 2
1limn
n,
temos que a série harmônica é divergente
Figura 6: Divergência da série harmônica.
Teorema 1: Se a série ∑∞
=1n
na for convergente,
então 0lim =∞→ n
na .
Teste 1: Teste da divergência: Se o nn
a∞→
lim não
existir ou se 0lim ≠∞→ n
na , então a série ∑
∞
=1n
na é
divergente.
OBS: Se 0lim =∞→ n
na a série ∑
∞
=1n
na pode ser
convergente ou divergente.
Exemplo 6: Mostre que a série ∑∞
= +1 1n n
n é
divergente.
Solução: Calculando o limite, temos
01/11
1lim
1lim ≠=
+=
+ ∞→∞→ nn
nnn
logo a série é divergente, como afirma o Teste da divergência.
9
Teorema 2: Se ∑∞
=1n
na e ∑∞
=1n
nb forem séries
convergentes, então também os serão as séries
∑∞
=1n
nca e ( )∑∞
=
±1n
nn ba , e
i) ∑∑∞
=
∞
=
=11 n
n
n
n acca
ii ) ( ) ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
±=±111 n
n
n
n
n
nn baba
Exemplo 7: Calcule a soma da série
∑∞
=
+
+1 2
1
)1(
3
nnnn
A série ∑∞
=1 2
1
nn
é a série geométrica com 2
1=a e
2
1=r , 1<r , logo convergente, assim
112
1
21
21
1
=−
=∑∞
=nn
. Vimos, no Exemplo 2 que a
série ∑∞
= +1 )1(
1
n nn é convergente e sua soma
converge para 1, assim
3)1(
13
)1(
3
11
=+
=+
= ∑∑∞
=
∞
= nn nnnnS .
Logo, pelo Teorema (acima) temos que
∑∞
=
+
+1 2
1
)1(
3
nnnn ∑∑
∞
=
∞
=
=++
=11
42
1
)1(
13
nn
n nn.
Teorema 3: Se ∑∞
=1n
na e ∑∞
=1n
nb são duas séries
infinitas que diferem somente pelos seus m primeiros termos, isto é kk ba = se mk > , então
ambas convergem ou ambas divergem.
Exemplo 8: Determine se a série ∑∞
= +1 4
1
n n é
divergente ou convergente.
Solução:
Como 0/41
/1lim
4
1lim =
+=
+ ∞→∞→ n
n
n nn, não podemos
afirmar nada sobre sua convergência ou divergência.
Porém, a série
LL ++
+++++=+∑
∞
= 4
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
1 nnn
mas, sabe-se que a série harmônica
LL ++++++++++=∑∞
= nnn
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
1
1
é divergente e como a série dada difere da série harmônica somente pelos 4 primeiros termos, ou seja
∑∑∞
=
∞
=
+−−−−=+ 11
1
4
1
3
1
2
11
4
1
nn nn, temos que a
série dada é divergente. Poderíamos ainda escrever
∑∑∞
=
∞
=
=+ 51
1
4
1
nn nn.
Exercício 4: Já vimos e também mostramos que a
série telescópica ∑∞
= +1 )1(
1
n nn é divergente
(Exemplo 2), porém, usando o resultado acima, mostre a divergência da mesma.
Exercício 5: Verifique se as séries convergem ou divergem
a) ∑∞
= +12
2
1
3
n n
n
b) ∑∞
=−
113
2
nn
c) ∑∞
=
1
1ln
n n
d) ∑∞
=
−
1n
ne
e) ∑∞
=1n
ne
f) ( )∑∞
=
− +1n
nn ee
10
h) ∑∞
=
++
1 )1(
1
8
1
nn nn
SÉRIE HIPERHARMÔNICA
Uma série-p ou hiperharmônica é da forma:
LL +++++++=∑∞
=ppppp
np nn
1
5
1
4
1
3
1
2
11
1
1
p inteiro positivo.
A série ∑∞
=1
1
npn
• converge se 1>p ;
• diverge 1≤p
SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOS
Teste 2: Teste da Comparação: Se ∑ na e
∑ nb são séries de termos não negativos:
• Se ∑ nb converge e nn ba ≤ para todo
n inteiro então ∑ na converge
• ii) Se ∑ nb diverge e nn ba ≥ para
todo n inteiro então ∑ na diverge
Exemplo 9: Mostre que a série ∑∞
=1
1
n n é
divergente.
Sabe-se que a série ∑∑ =n
bn1
é divergente e
que nn
11 ≤ ⇒ nn ≤
Logo, pelo teste da comparação a série ∑∞
=1
1
n n é
divergente.
Exemplo 10: Mostre que a série ∑∞
=1
2
2nn
nsen é
convergente.
Sendo nnnnn bnsennsen
a =≤==2
1
2
1
22
2
⇒
nn ba ≤ .
Como ∑∑ =nnb
2
1 é a série geométrica
convergente
<= 12
1r , logo, pelo teste da
comparação a série ∑∞
=1
2
2nn
nsen é convergente.
A seguinte afirmação foi dada em sala de aula:
A série harmônica
LL ++++++++=∑∞
= nnn
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
1
1
é divergente.
Segue abaixo uma demonstração da afirmação:
Observa-se qu
e 01 →n
quando ∞→n não implica que a série
é convergente. Para isto faz-se necessário uma investigação melhor.
Considerando apenas 16 termos, isto é:
++++
+++=∑= 8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
116
1nn
∑=
=++++>
+++5
0 2
1
16
1
8
1
4
1
2
11
16
1
9
1
nn
L
Sendo ∑∑ =nnb
2
1 uma série geométrica
convergente, comparando nnb
2
1= e n
an1=
pode-se observar que nn 2
11 > não satisfaz a
condição nn ba ≤ logo a série ∑∞
=1
1
nn
é
divergente.
11
Teste 3: Teste Limite da Comparação: Sejam
∑ na e ∑ nb séries de termos não negativos se
0lim >=∞→
cb
a
n
n
n então ambas as séries convergem
ou ambas as séries divergem.
Exemplo 11: Determine se a série ∑∞
= +13
2
14n n
n
converge ou diverge comparando com a série
∑∞
=1
1
n n
Solução: usando o teste limite da comparação temos:
14114
3
33
2
+=+=
n
n
n
n
n
b
a
n
n , logo,
04
1
14limlim
3
3
>=+
=∞→∞→ n
n
b
ann
n
n
Como a série ∑∞
=1
1
n n é divergente, tem-se pelo
teste limite da comparação que a série
∑∞
= +13
2
14n n
n também é divergente.
Tabela 1: Exemplos de como escolher nb
na Termo de maior magnitude nb
14 3
2
+n
n
nn
n
n
n
4
1
414 3
2
3
2
==+
n
1
24
1323 −+
+nn
n
2323 4
3
4
3
24
13
nn
n
nn
n ==−+
+
2
1
n
2
22 ++ nn
16
42
3 2
−−
+
nn
n
Exercício 6: Determine se a série converge ou diverge:
a) ∑∞
= −13 54
1
n n
b) ∑ ++
5
ln12n
nn
OBS: nn
n
n
nn 1lnln2
>= , para 3≥n , como pode-
se verificar na Figura 1.
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f x( )
f1 x( )
x
1
x
x ln x( )⋅
x2
Figura 7: Gráfico das funções 21
ln)(
n
nnxf = e
nxf
1)(2 = .
12
Teste 4: Teste da Razão: Seja ∑ na uma série
de termos não negativos. Supondo que
La
a
n
n
n=+
∞→1lim
• se ⇒< 1L a série é convergente
• se 1>L ou ∞=+∞→ n
n
n a
a 1lim ⇒ a série é
divergente
• se ⇒= 1L o teste da razão nada pode afirmar. Deve-se aplicar outro teste.
Teste 5: Teste da Raiz: Seja ∑ na uma série
de termos não negativos. Supondo que
Lann
n=
∞→lim
• se ⇒< 1L a série é convergente
• se 1>L ou ∞=∞→
nn
nalim ⇒ a série é
divergente
• se ⇒= 1L o teste da raiz nada pode afirmar. Deve-se aplicar outro teste.
Lista 1 de Exercícios: Use um dos testes: comparação, limite da comparação, da integral, da raiz ou o da razão, para determinar se a série converge ou diverge:
1- ∑+n
n
2
13 2- ∑ nn
1
3- ∑ +1
2
n
n
4-∑ nn
n!
5- ( )∑ −++
12
34 nnn
n 6- ∑ − 2
12n
7-∑ + 2)23(
1
n 8- ∑ n
nln
9- ∑nnln
1 10- ∑ +− 125 3 nn
n
11- ∑ 2
)!(n
n
n
n 12- ∑ n
n
n
7
13-∑≥ −−
+
24 1
25
n nn
n 14- ∑ 2
4
n
n
15- ( )
∑ nn
n n
!
2 16-∑ nn
n
7
8
17- ∑ −−
2
134n
n 18-
[ ]∑ +
−5
34 2
14
6
n
nnn
OBS: nnn
n
nn
nn
n
+
=
+=
+ 11
1
1
1
)1( e
1 →
quando ∞→n ,
como pode ser observado nas Figuras 8 e 9
0 20 40 60 80 1002
2.2
2.4
2.6
2.8
3
f x( )
f1 x( )
x
e 2.718=
11
x+
x
Figura 8: Gráfico das funções n
xxf
+= 11)(
e )1exp()(1 =xf .
0 20 40 60 80 1000.3
0.34
0.38
0.42
0.46
0.5
f2 x( )
f3 x( )
x
1
11
x+
x
1
e0.368=
Figura 9: Gráfico das funções n
x
xf
+
=1
1
1)(2
e e
xf1
)(3 = .
13
0 9.75 19.5 29.25 391.5
0.75
0
0.75
1.5
f x( )
x
x!
xx
Figura 10: Gráfico das funções xx
xxf
!)( = e
0!
lim =∞→ xx x
x (gráfico e limite referente ao
exercício 4 da Lista 1 de Exercícios)
0 9.75 19.5 29.25 391.5
0.75
0
0.75
1.5
f x( )
x
1 ln x( )−x
Figura 11: Gráfico das funções x
linxxf
−= 1)(
(gráfico referente ao exercício 8 da Lista 1 de Exercícios)
Lista 2 de Exercícios:: Use o seguinte resultado:
"Se 0lim ≠∞→ n
na a série ∑ na é divergente" para
mostrar que a série dada é divergente.
1- ∑≥ −
+
21
1
nn
n 2- ∑ −12n
n
3- ∑ n
n
ln 4- ∑n
5- ∑ −+−12
12
n
nn 6- ∑
+−2
1)1( n
7- ∑ − n)1(
TESTE DA INTEGRAL
Seja { }na uma sequência de termos positivos.
Supondo )(xfan = onde f é uma função de x
contínua, positiva e decrescente para todo Nx ≥ (N é intero positivo). Então tanto a série
∑ na quanto a integral ∫∞
Ndxxf )( convergem ou
tanto uma quanto a outra divergem.
Exemplo 12: Aplique o teste da integral para
verificar se a série ∑∞
=1
1
n nn é convergente ou
divergente.
Solução:
Verifica-se primeiro se o teste da integral pode ser utilizado, isto é, verifica-se se a função de x é contínua, positiva e decrescente para todo Nx ≥ .
• xx
xf1
)( = ⇒ domínio de f é todos
os Reais positivos exceto o zero ⇒
{ }0−= +RD f . Portanto f é contínua
para todo 0>x .
• f é positiva para todo 0>x .
• f é decrescente para todo 0>x , de fato:
xxxf
1)( =
⇒ 2/3
2/32/1
11)( −=== x
xxxxf
⇒
02
3
2
3
2
3
2
3)(
5
2/5
2/512/3
<−=
−=−=−=′ −−−
x
xxxxf
e pelo teste da derivada primeira, se 0)( <′ xf para todo x em um intervalo, )(xf
é decrescente neste intervalo.
logo, a função xx
xf1
)( = é decrescente.
Sendo então f contínua, positiva e decrescente para todo 0>x , pode-se aplicar o teste da integral para verificar se a série dada é convergente ou divergente.
14
∫∞
Ndxxf )( ⇒ 1=N
∫∫∫−
∞→
∞−
∞==
t
tdxxdxxdx
xx 1
2/3
1
2/3
1lim
1
( )
21
2lim
2lim
1
22lim
2lim2lim
11
2/1
=
+
−=
+−=
−=−=
∞→∞→∞→
∞→
−
∞→
ttt
t
t
t
t
tt
xx
pois 02
lim =
−
∞→ tt.
Como a integral ∫∞
1
1dx
xx converge, logo a
série ∑∞
=1
1
n nn
também converge.
SÉRIES ALTERNADAS
L−+−+−=−∑∞
=4321
1
)1( aaaaann
n
L+−+−=−∑∞
=
−4321
1
1)1( aaaaann
n
Teste 6: Teste da Série Alternada: A série alternada é convergente se:
• 1+≥ nn aa para todo n ( na é
decrescente)
• 0lim =∞→ n
na
Exemplo 13: Mostre que a série alternada
∑∞
=
−1
1)1(
n
n
n é convergente.
Verificando:
• na é decrescente,
nan
1= e 1
11 +
=+ nan
como nn
1
1
1 <+
ou 1
11
+>
nn tem-se que
na é decrescente.
Uma outra forma para verificar se na é
decrescente é obtida utilizando o teste da derivada primeira, onde
0)( ≤′ naf ⇒ que na é decrescente,
assim, 2
1)(
naf n −≤′ que, para qualquer n
sempre será negativa.
• 0lim ≠∞→
nn
a ,
01
limlim ==∞→∞→ n
an
nn
Portanto, pelo teste de séries alternadas, a série
∑∞
=
−1
1)1(
n
n
n é convergente.
Exemplo 14: Determine se a série alternada
∑∞
≥
−−2
1 ln)1(
n
n
n
n converge ou diverge.
x
xxf
ln)( = ⇒
( )0
ln/1)(
2<−=′
x
xxxxf para
que f seja decrescente, assim:
( ) 0ln10ln/1 <−⇒<− xxxx
xln1<⇒ ou 1ln >x . Como 1ln >x para 3>x (ver Tabela 1 e Figura 6), temos que
x
xxf
ln)( = é decrecente para 3>x e
consequentemente,a série alternada
∑∞
>
−−3
1 ln)1(
n
n
n
n será decrescente para 3>n .
Resta verificar se 0lim =∞→
nn
a para garantir a
convergência da série dada.
Sendo n
nan
ln= , temos que 0ln
lim =∞→ n
nn
, como
pode ser verificado usando a Regra de L’Hopital, ou seja:
01
lim1
/1lim
lnlim ===
∞→∞→∞→ n
n
n
nnnn
15
Tabela 1: Valores de xln
x xln
1 0
2 0.693
3 1.098
4 1.386
1 10.5 20 29.5 390
0.1
0.2
0.3
0.4
f x( )
x
ln x( )
x
Figura 6: Gráfico da função x
xxf
ln)( = .
Portanto, graficamente a função é decrescente para 3>x .
Definição: Uma série ∑ na é absolutamente
convergente se a série
nn aaaaa ++++=∑ L321
for convergente.
Exemplo 15: Verifique se a série alternada
∑∞
=
−−1
2
1 1)1(
n
n
n é absolutamente convergente.
Solução:
∑∑∞
=
∞
=
− =−1
21
2
1 11)1(
nn
n
nn
que é a série-p com 12 >=p e portanto
convergente. Como a série dada converge em módulo, logo ela é absolutamente convergente.
Definição: Uma série ∑ na é condicionalmente
convergente se a série ∑ na for convergente, e
se a série ∑ na for divergente .
Teorema: Se a série ∑ na é absolutamente
convergente ⇒ que a série ∑ na é
convergente.
OBS: a convergência da não implica na convergente absoluta da mesma. Exemplo 16: Vimos que a série alternada
∑∞
=
−1
1)1(
n
n
n é convergente, mas
∑∑∞
=
∞
=
=−11
11)1(
nn
n
nn é divergente (série
Harmônica).
Lista 3 de Exercícios: 1) Determine se a série alternada converge ou diverge:
a) ∑∞
≥
−
−−
2
1
14
3)1(
n
n
n
n b) ∑
∞
≥
−
+−
23
21
1)1(
n
n
n
n
2) Para quais valores de p cada série é convergente?
a) ∑∞
=
−−1
1 1)1(
np
n
n b) ∑
∞
= +−
1
1)1(
n
n
pn
3) Mostre que a série ∑∞
=
−−1
1)1(n
n
n b , onde
nbn /1= se n for ímpar e 2/1 nbn = se n for par, é
divergente. Porque o teste de série alternada não se aplica? 4) Determine se a série
L+++=∑∞
=22
12 3
3cos
2
2cos
1
1coscos
n n
n
é convergente ou divergente.
16
5) Teste a série para convergência absoluta
∑∞
=
−−1
31
3)1(
nn
n n
6) Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
a)∑∞
=
−−1
1)1(
n
n
nn b) ∑
∞
=
−1
3
)3(
n
n
n
c)∑∞
= +−
1 5)1(
n
n
n d) ∑
∞
= +−
1 51
)1(n
n
n
e)∑∞
=1 )!2(1
n n f) ∑
∞
=+
1313nn
nn
7) Para quais inteiros positivos k a série
∑∞
=1
2
)!()!(
n kn
n
17
SÉRIES DE POTÊNCIAS
Vimos que a série geométrica
( )LL ++++++=∑∞
=
− n
n
n rrrrara 32
1
1 1
converge para a r
aS
−=
1, se 1 <r .
Considerando 1=a e xr = , podemos observar que
LL ++++++=−
nxxxxx
3211
1
para 1 <x , logo, escrevemos a
funçãox
xf−
=1
1)( como um polinômio infinito
equivalente a LL ++++++ nxxxx 321 . ou simplesmente, temos )(xf representada por uma série de potências.
Para achar um valor particular desta função, basta
fazer cx = . Por exemplo, para 2
1=x , tem-se:
22/11
1
2
1
2
1
2
1
2
11
2
132
=−
=
+
++
+
+
+=
LL
n
f
Definição: Uma série de potências de x, x uma variável, é da forma
LL ++++++=∑∞
=
nn
n
nn xaxaxaxaaxa 3
32
2100
onde cada ka é um número real.
OBS: toda série de potencias em x converge se 0=x pois:
LL ++++++=∑∞
=
nn
n
nn aaaaaa 00000 3
32
2100
00 =a
Para encontrar outros valores que produzem a convergencia utiliza-se o teste da razão para convergência absoluta.
Exemplo 17: Ache todos os valores de x para os quais a série abaixo é absolutamente convergente.
n
n
xn∑
∞
=
+0
4
1
Solução:
LL +
+++++=
+∑∞
=
nn
n
xn
xxxn 4
1
6
1
5
1
4
1
4
1 2
0
Fazendo
4+=
n
xa
n
n ⇒4)1(
1
1 ++=
+
+ n
xa
n
n
e usando o teste da razão para convergencia absoluta, tem-se:
xn
nx
n
n
x
n
n
x
x
nn
x
a
an
n
n
n
n
n
5
4
5
4
4
4)1(44)1( 1
1
1
++=
++=
+++
=+++=
+
+
+
Logo
xxn
n
a
ann
n
n=
++=
∞→+
∞→
5
4limlim 1
Pelo teste da razão para convergencia absoluta, tem-se que a série é convergente se 1<L , como dada xL = , consequentemente 1<= xL para
que a série dada seja convergente )1 ,1(−∈x .
Os valores dos extremos 1−=x e 1=x , devem ser estudados separadamente.
1−=x ⇒ n
nn
)1( 4
1
0
−
+∑∞
=
é a série alternada.
• 1+≥ nn aa para todo n ( na é
decrescente)
• 0lim =∞→ n
na
De fato:
1+≥ nn aa ⇒ 4)1(
1
4
1
++>
+ nn
⇒ 5
1
4
1
+>
+ nn
18
⇒ 45 +>+ nn o que é verdade. Logo na é
decrescente
Ou poderia analisar usando o fato de que a primeria derivada é negativa.
1)4(4
1)( −+=
+= x
xxf
xx
xxf ∀<+
−=+−=′ − ,0)4(
1)4()(
22
E portanto f é decrescente.
Resta agora avaliar o nn
a∞→
lim
04
1limlim =
+=
∞→∞→ na
nn
n
Portanto a série alternada é convergente.
1=x ⇒ ∑∑∞
=
∞
=
+=
+00
4
1)1(
4
1
n
n
nnn
44444 344444 21LL
4 para Harmônica série0
4
1
7
1
6
1
5
1
4
1
4
1
≥
∞
=
++
+++++=
+∑n
nnn
Como
∑∑∞
=
∞
≥
=
+04
1
4
1
nnnn
a série de potências para
1=x é divergente.
Portanto a série de potências n
n
xn∑
∞
=
+0
4
1
converge para todo )1 ,1[−∈x .
Definição: Uma série de potências de ( )cx − é da
forma
+−++−+
−+−+=−∑∞
=n
n
n
nn
cxacxa
cxacxaacxa
)()(
)()()(
33
2210
0
L
onde cada ka é um número real.
Teorema:
i) Se uma série de potências ∑∞
=0
n
nn xa é
convergente para um número 0≠c , então é
absolutamente convergente sempre que cx < .
ii) Se uma série de potências ∑∞
=0
n
nn xa é
divergente para um número 0≠d , então é
divergente sempre que . dx >
Teorema: Se ∑∞
=0
n
nn xa é uma série de potências,
então ou:
i) a série converge somente se 0=x ,
ii) a série é absolutamente convergente para todo x.
iii) existe um número 0>r tal que a série é absolutamente convergente se ( )rrx ,−∈
e diverge se rx −< ou rx > .
OBS: r é o raio de convergência da série.
Exemplo 18: Ache intervalo de convergência da série.
n
n
xn
∑∞
=
+02
1
1
Solução: Fazendo
12 +=
n
xa
n
n ⇒1)1( 2
1
1 ++=
+
+n
xa
n
n
e usando o teste da razão para convergencia absoluta, tem-se:
xnn
nx
n
nx
n
n
x
n
n
x
x
n
n
x
a
an
n
n
n
n
n
22
1
1)1(
1
1)1(
1
1
1)1(1
1)1(
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
+++=
+++=
+++=
+++
=+
++=+
+
+
19
Logo
xxnn
n
a
ann
n
n=
+++=
∞→+
∞→
22
1limlim
2
21
Pelo teste da razão para convergencia absoluta, tem-se que a série é convergente se 1<L , como dada xL = , consequentemente 1<= xL para
que a série dada seja convergente )1 ,1(−∈x .
Os valores dos extremos 1−=x e 1=x , devem ser estudados separadamente.
1−=x ⇒ n
n n)1(
1
1
02
−
+∑∞
=
é a série alternada.
• 1+≥ nn aa para todo n ( na é
decrescente)
• 0lim =∞→ n
na
De fato:
1+≥ nn aa ⇒ 1)1(
1
1
122 ++
>+ nn
⇒ 1)1(
1
1
122 ++
>+ nn
⇒ 11)1( 22 +>++ nn o que é verdade. Logo
na é decrescente
Ou poderia analisar usando o fato de que a primeria derivada é negativa.
122
)1(1
1)( −+=
+= x
xxf
xx
xxxxf ∀<
+−=+−=′ − ,0
)1(
2)1( 2)(
2222
E portanto f é decrescente.
Resta agora avaliar o nn
a∞→
lim
01
1limlim
2=
+=
∞→∞→ na
nn
n
Portanto a série alternada é convergente.
1=x ⇒ ∑∑∞
=
∞
=
+=
+ 02
02
1
1)1(
1
1
n
n
n nn
LL ++
+++++=
+∑∞
= 1
1
10
1
5
1
2
11
1
12
02 nnn
Usando o teste da comparação, observa-se que:
∑∞
=02
1
n n, que é a série-p, 2=p , logo série
convergente, e verificando que
22
1
1
1
nn<
+, tem-se que a série dada é
convergente. Logo o intervalo de convergência da série
n
n
xn
∑∞
=
+02
1
1 é ]1 ,1[− e o raio de convergência
é 1=r .
Lista 1 de Exercícios (Séries de Potências): 1) Ache intervalo de convergência da série.
a) ∑∞
=0
2
2n
nn
xn
b) ∑∞
=
−+
0
)4(10
1
n
nn
xn
c) ∑∞
=0
1
n
nxn
d) ∑∞
=0
!
1
n
nxn
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES POR SÉRIES DE POTÊNCIAS
Uma série de potências ∑∞
=0
n
nn xa define uma
função f cujo domínio é o intervalo de convergência da série. Especificamente, para cada x nesse intervalo, tem-se
LL ++++++= nnxaxaxaxaaxf 3
32
210)(
Se uma função f é assim definida, dizemos aque
∑∞
=0
n
nn xa é uma representação de funções por
séries de potências.
20
Teorema: Suponha que uma série de potências
∑∞
=0
n
nn xa tenha raio de convergência 0>r , e f
definida por:
LL ++++++==∑∞
=
nn
n
nn xaxaxaxaaxaxf 3
32
2100
)(
para todo x no intervalo de convergência. Se rxr <<− , então:
i) LL +++++=′ −12321 32)( n
nxnaxaxaaxf
∑∞
=
−=1
1 n
nnxna
ii) LL ++
++++=+
∫ 132)(
13
2
2
100 n
xa
xa
xaxadttf
n
n
x
∑∞
=
+
+=
0
1
1
n
n
n n
xa
Similarmente:
Teorema: Suponha que uma série de potências
( )∑∞
=
−0
n
nn cxa tenha raio de convergência 0>r , e
f definida por:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) LL +−++−+
−+−+=−=∑∞
=n
n
n
nn
cxacxa
cxacxaacxaxf
33
2210
0
)(
para todo x no intervalo de convergência. Se rxr <<− , então:
i) ( )∑∞
=
−−=′1
1)( n
nn cxnaxf
ii) ( )∑∫
∞
=
+
+−==
0
1
0 1)(
n
n
n
x
n
cxadttf
Exemplo 19: Use a reprensentação em série de
potências de x
xf−
=1
1)( para obter uma
representação para a série ( )21
1)(
xxg
+= , se
.1<x
Solução:
LL
LL
++++++=
++++++=−
n
n
xxxxx
xxxxx
3210
32
11
1
Logo
LL +−++−+−+−=−−
nxxxxx
)()()()()(1
1 210
ou
LL +−++−+−=+
nn xxxxx
)1(11
1 32 , .1<x
( ) LL +−++−+−=+ − nn xxxxx )1(11 321
Derivando ambos os lados, tem-se:
( ) LL +−++−+−=+− −− 122 n )1(3211 nn xxxx
ou
( )LL +−++−+−=
+− −12
2n )1(321
1
1 nn xxxx
ou ainda
( )LL +−++−+−=
+−132
2n )1(4321
1
1 nn xxxxx
Portanto a representação em série de
( )21
1)(
xxg
+= é
( ) ∑∞
=
−−=+ 1
12
n )1(1
1
n
nn xx
, 1 <x
21
Exemplo 20: Encontre a reprensentação em série de potências da função )1ln()( xxg −= .
Solução: Sabe-se que
dtt
xxgx
∫ −−=−=
0 1
1)1ln()( ,
mas
LL ++++++=−
nxxxxx
3211
1
Agora, integrando ambos os lados, obtemos
( )∫∫ ++++++=−
tn
xdtttttdt
t 0
32
01
1
1LL
xnx
n
ttttdt
t0
32
0 321
1
+++++=
−∫ LL
+++++=
−∫ LLn
xxxxdt
t
nx
321
1 32
0
∑∑∫∞
=
+∞
= +==
−0
1
10 11
1
n
n
n
nx
n
x
n
xdt
t
logo
∑∫∞
=
+
+−=
−−=−=
0
1
0 11
1)1ln()(
n
nx
n
xdt
txxg
Tabela 2: funções e séries de potências
LL +++++==− ∑
∞
=
n
n
n xxxxx
2
0
11
1
LL +++++==∑∞
= !!2!11
!
2
0 n
xxx
n
xe
n
n
nx
L+++−=+
−=∑∞
=
+
!7!5!3)!12()1(
753
0
12 xxxx
n
xsenx
n
nn
L+++−=−=∑∞
= !6!4!21
)!2()1(cos
642
0
2 xxx
n
xx
n
nn
∑∞
=
+− +++−=
+−=
0
753121
!7!5!312)1(tan
n
nn xxx
xn
xx L
APROXIMAÇÕES DA FUNÇÃO
L+++−=+
−=∑∞
=
+
!7!5!3)!12()1(
753
0
12 xxxx
n
xsenx
n
nn
Exemplo 1: Mostre que a representação em série
de potências da função x1tan− é ∑∞
=
+
+−
3
12
12)1(
n
nn
n
x
Solução: Para mostrar, observa-se que:
duuaa
utg
a ∫ +=−
22
1 11,
no exemplo 1=a e xxu =)( , logo:
dxx
xtg ∫ +=−
2
1
1
1
como
∑ −=+−++−+−=+
nnnn xxxxxx
)1()1(11
1 32 LL
logo
LL +−++−+−=+
nn xxxxx
)()1()()(11
1 232222
2
∑ −=+−++−+−= nnnn xxxxx 22642 )1()1(1 LL
22
Portanto
dxx
xtg ∫ +=−
2
1
1
1
( )dxxxxx nn
∫ +−++−+−= LL 2642 )1(1
xnn
n
xxxxx
0
12753
12)1(
753
++
−++−+−=+
LL
∑ +−=
+
12)1(
12
n
xn
n
Assim, mostrou-se que =− x1tan ∑∞
=
+
+−
3
12
12)1(
n
nn
n
x.
Exemplo 2: Mostre que a representação em série
de potências da função x1tan− é
∑ +−=
+
12)1(
2/)12(
n
x nn
Solução: Para mostrar usa-se o fato de que
( ) dttt
xxfx
+== ∫
−2
0
1
1
1
2
1tan)(
ou
dttt
xxfx
+== ∫
−
11
2
1tan)(
0
1
mas
LL +−++−+−=+
nnttttt
)1(11
1 32
( )LL +−++−+−=
+nntttt
ttt)1(1
2
11
1
2
1 32
( )LL +−++−+−=−
nn ttttt
)1(12
322/1
( )LL +−++−+−= −− 2/)12(2/52/32/12/1 )1(2
1 nnttttt
Logo,
dxtt
x
∫
+0 1
1
2
1
( )dxttttx
nn∫ +−+−+−= −−
0
2/)12(2/32/12/1 )1(2
1LL
x
nn tn
tt0
2/)12(2/32/1
12
2)1(
3
22
2
1
++
−++−= + LL
∑ +−=
+
12)1(
2/)12(
n
x nn
Assim, dxtt
x
∫
+0 1
1
2
1∑ +
−=+
12)1(
2/)12(
n
x nn
Lista 2 de Exercícios (Séries de Potências, série de Maclaurin, série de Taylo): 1) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série:
a) ∑∞
=1n
n
n
x b) ∑
∞
=1 !n
n
n
x
c) ∑∞
=
+−1
)2()1(
nn
nn
n
x
2) Mostre que a representação em série de potências das funções são:
a) ∑∞
=+
−=+ 0
12)1(
21
n
n
n
n
xx
b) n
nn
n
xx
x∑
∞
=−
−−=+ 3
2
13
2)1(
2
c) ∑∞
=
+−
+−=
0
121
12)1(
tann
nn
xn
x
3) Encontre a série de Taylor para xexf =)( em
2=c . 4) Represente senxxf =)( como a soma de uma
série de Taylor centrada em 3/π . 5) Usando a Tabela 1, determine a representação das funções em séries de potências:
a) 2xe− b) senxex
c) xx 2cos d) xπcos 6) Calcule e com um erro menor que 610− . 7) Mostre que a série de Taylor gerada por
xexf =)( em 0=c converge para )(xf para
todo valor real de x.
OBS: use o fato de que 0!
lim =∞→ n
xn
x