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Disciplina: Cálculo Numérico

IPRJ/UERJ

Sílvia Mara da Costa Campos Victer

Aula 6 - Solução de Sistema de Equações Algébricas

Métodos diretos:

1- Eliminação de Gauss com substituição recuada

2- Decomposição LU

Métodos indiretos (ou iterativos):

1- Gauss-Jacobi

2- Gauss-Seidel

Serão vistos alguns métodos numéricos (diretos e iterativos) para resolução de sistemas de equações lineares. A resolução de sistemas lineares é um

problema que surge nas mais diversas áreas (ex. previsão do tempo, otimização de sinais de transito e linhas de metro, mecânica quântica, etc..).

Os métodos numéricos para resolução de um sistema linear podem ser divididos em

dois grupos: 1- Métodos diretos – a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução

exata do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de operações. 2- Métodos iterativos – geram uma sequência de vetores , a partir de uma

aproximação inicial . Em algumas condições esta sequência converge para

a solução x*, caso ela exista.

Sistemas Lineares:

Definição: Sistemas Lineares são sistemas de equações com m equações e n

incógnitas formados por equações lineares. Um sistema linear com m equações e n incógnitas é escrito usualmente na

forma:

onde:

são os coeficientes,

são as incógnitas,

são as constantes (ou termos independentes),

A resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de ,

, caso eles existam, que satisfaçam as m equações simultaneamente.

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Em notação matricial, o sistema linear pode ser representado por AX=B.

A matriz completa ou matriz aumentada do sistema é dada por:

A é a matriz dos coeficientes:

X é o vetor de incógnitas:

B é o vetor constante (termos independentes):

Exemplo:

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Classificação quanto ao número de soluções:

Um sistema linear pode ser classificado em:

Compatível: - Determinado (solução única)

Exemplo:

- Indeterminado (admite infinitas soluções)

Exemplo:

Incompatível:

- Não admite solução

Exemplo:

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Quando todos os termos independentes forem nulos, isto é, se ,

o sistema é dito homogêneo. Todo sistema homogêneo é compatível, pois admitirá pelo menos a solução trivial ( ).

Para analisar o caso geral, m equações e n variáveis, usaremos conceitos de Álgebra linear.

Métodos diretos (algoritmos diretos):

1- Método da Eliminação de Gauss

Este método consiste em transformar o sistema linear original num outro sistema

linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior, pois estes são de resolução imediata.

Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução. Os determinantes de sistemas lineares equivalentes são iguais.

Com passos o sistema linear AX = B é transformado num sistema

triangular equivalente: UX = C, o qual se resolve facilmente por substituições.

Cálculo da solução de AX = B em três etapas:

1ª etapa: Matriz Completa

Consiste em escrever a matriz completa ou aumentada do sistema linear original.

2ª etapa: Triangulação

Consiste em transformar a matriz A numa matriz triangular superior, mediante uma sequência de operações elementares nas linhas da matriz.

3ª etapa: Retrossubstituição

Consiste no cálculo dos componentes , solução de AX = B, a partir da

solução do último componente ( ), e então substituirmos regressivamente nas

equações anteriores.

Teorema:

Seja AX = B um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma sequência de operações elementares escolhidas entre:

i) Trocar a ordem de duas equações do sistema;

ii) Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula; iii) Adicionar um múltiplo de uma equação a outra equação;

obtemos um novo sistema UX = C e os sistemas AX = B e UX = C são equivalentes.

Resolução de sistemas triangulares:

Seja o sistema linear AX = B, onde A: matriz n x n, triangular superior, com elementos da diagonal diferentes de zero. Escrevendo as equações deste sistema,

temos:

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Da última equação deste sistema temos:

Da penúltima equação deste sistema temos:

e assim sucessivamente obtém-se e finalmente :

Estratégia de pivoteamento

O algoritmo para o método de eliminação de Gauss requer o cálculo dos

multiplicadores:

a cada etapa k do processo. O coeficiente é chamado de pivô.

O que acontece se o pivô for zero? - é impossível de se trabalhar.

E se o pivô estiver próximo de zero? - pode resultar em resultados totalmente imprecisos.

Em qualquer calculadora ou computador os cálculos são efetuados com precisão

finita, e pivôs próximos de zero dão origem a multiplicadores bem maiores que a unidade que, por sua vez, origina uma ampliação dos erros de arredondamento.

Como contornar estes problemas?

- adotar uma estratégia de pivoteamento, ou seja, adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal.

Esta estratégia consiste em:

i) no inicio da etapa k da fase de escalonamento, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes: ;

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ii) trocar as linhas k e i se for necessário.

Classificação do sistema triangular:

Seja U um sistema triangular superior escalonado de m equações e n incógnitas,

teremos as seguintes possibilidades:

i) m = n : sistema compatível e determinado; ii) m < n : sistema compatível e indeterminado.

Se durante o escalonamento surgir equações do tipo:

, então:

i) Se , então eliminaremos a equação e continuamos o escalonamento;

ii) Se , então conclui-se que o sistema é incompatível.

Exemplo: Resolução do sistema abaixo pelo método de Gauss:

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Primeira etapa: matriz completa

Segunda etapa: triangulação

E1: primeira equação, E2: segunda equação, etc.

O componente <x> indica o pivô

Terceira etapa: retrossubstituição

Da terceira linha temos: Substituindo na segunda linha temos:

Substituindo e na primeira linha temos:

A solução deste sistema é

Exercícios: Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de Gauss:

Exercício 1:

A solução deste sistema é Exercício 2:

Resolução:

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Exercício 3:

Exercício 4:

Resolução:

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Exercício 5:

Exercício 6:

Exercício 7:

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2- Método da Fatoração ou Decomposição LU

Seja o sistema linear AX=B.

O processo de fatoração para resolução deste sistema consiste em decompor a matriz

A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma sequência de sistemas lineares que nos conduzirá a solução do sistema linear

original.

Vamos supor que seja possível fatorar a matriz A dos coeficientes num produto de uma matriz triangular inferior com diagonal unitária L e uma matriz triangular

superior U, isto é: A=LU

Nestas condições, o sistema AX = B pode ser reescrito na forma LUX = B, o que

permite o desmembramento em dois sistemas triangulares:

LY=B e UX=Y

Resolvendo o primeiro sistema, calculamos Y que, usado no segundo sistema,

fornecerá o vetor procurado X.

Cálculo dos fatores L e U:

Obtenção das matrizes L e U através do método de Gauss:

Resolver o sistema linear abaixo usando a fatoração LU:

Resolução:

Para triangular A temos:

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Etapa 1:

Então:

Etapa 2:

Então:

Os fatores L e U são:

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Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:

Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:

Refazer todos os exercícios anteriores para eliminação de Gauss utilizando a fatoração LU.

Métodos iterativos (Algoritmos iterativos):

1- Método de Gauss-Jacobi

Seja o sistema abaixo:

Isola-se em cada uma das equações ordenadamente, uma das incógnitas.

onde são as atribuições iniciais do método.

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e

Critério de convergência - Critério das linhas

O método de Gauss-Jacobi gera uma sequência convergente se o sistema estiver na forma diagonalmente dominante, isto é:

independente da escolha da aproximação inicial, x(0).

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Exemplo:

Condições de parada:

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Exercício 1: Dado o sistema, pede-se sua solução por Gauss-Jacobi, com 4 casas

decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,02.

Exemplo 2: Resolva o sistema linear

pelo método de Gauss-Jacobi com:

O processo iterativo é:

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ou

Prosseguindo as iterações temos:

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Outros exemplos podem ser encontrados nos livros das referências.

2- Método de Gauss-Seidel

Não será cobrado.

Referências:

1- Livro. Cálculo numérico.

Márcia Ruggiero e Vera Lopes.

2- Livro Análise Numérica

Richard L. Burden e J. Douglas Faires

3- Apostila.

Cálculo Numérico. Faculdade de Engenharia, Arquitetura e urbanismo.

Prof. Dr. Sérgio Pilling.