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Integrais Exponenciais e Logarítmicas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Integrais Exponenciais e Logarítmicas

1.Aplicação da regra exponencial

2.Aplicação da regra log

1. Aplicação da regra expo-nencial

Cada uma das regras de diferenciação defunções exponenciais tem sua regra de integraçãocorrespondente.

1. Aplicação da regra expo-nencial

Integração de Funções Exponenciais

Seja u uma função diferenciável de x.

= +∫x xe dx e C

= = +∫ ∫u u udu

e dx e du e Cdx

Regra Exponencial Simples

Regra Exponencial Geral

1. Aplicação da regra expo-nencial

Exemplo 1: Calcule as integrais indefinidas

∫a. 2 xe dx

∫2b. 2 xe dx

( )+∫c. xe x dx

1. Aplicação da regra expo-nencial

=∫ ∫a. 2 2x xe dx e dx

( )=∫ ∫2 2b. 2 2x xe dx e dx

Regra do Múltiplo Constante

= +2 xe C Regra Exponencial Simples

Seja u = 2x, então u ’ = 2dx

′= ∫ue u dx

= +2xe C Regra Exponencial Geral

2

1. Aplicação da regra expo-nencial

( )+ = +∫ ∫ ∫c. x xe x dx e dx x dx

Regra da Soma

Regra Exponencial Simples e da Potência

= + +2

2x x

e C

1. Aplicação da regra expo-nencial

Exemplo 2: Calcule a integral indefinida

+∫

3 1xe dx

1. Aplicação da regra expo-nencial

Fazendo u = 3x + 1, então du/dx = 3. O fatorausente 3 pode ser introduzido no integrandomediante multiplicação e divisão por 3.

( )+ +=∫ ∫3 1 3 11

33

x xe dx e dx Multiplicar e dividir por 3

= ∫13

u due dx

dx

= +13

ue C

+= +3 113

xe C

Introduzir u e du/dx

Regra Exponencial Geral

Substituir u

1. Aplicação da regra expo-nencial

Exemplo 3: Calcule a integral indefinida

−∫

2

5 xxe dx

1. Aplicação da regra expo-nencial

Fazendo u = - x2, du/dx = - 2x. Introduzimoso fator (-2x) no integrando multiplicando edividindo por -2.

( )− − = − −

∫ ∫2 25

5 22

x xxe dx e x dx

( )−= − −∫25

22

xe x dxPôr a constante -5/2 em evidência

Multiplicar e dividir por -2

1. Aplicação da regra expo-nencial

= − ∫52

u due dx

dx

Regra Exponencial Geral

Introduzir u e du/dx

= − +52

ue C

−= − +25

2xe C

Substituir u

3

1. Aplicação da regra expo-nencial

OBS: Lembre-se de que não é possível introduziruma variável no integrando. Assim é que nãopodemos obter

∫2xe dx

multiplicando e dividindo por 2x e fatorando 1/(2x)na integral; isto é,

( )≠∫ ∫2 21

22

x xe dx e x dxx

2. Aplicação da regra log

Quando introduzimos as Regras da Potênciapara integração nas aulas anteriores, vimos queelas não são válidas para n = -1.

+

= + ≠ −+∫

1

, n 11

nn x

x dx Cn

+

= + ≠ −+∫

1

, n 11

nn du u

u dx Cdx n

Regra Simples da Potência

Regra Geral da Potência

2. Aplicação da regra log

As Regras Log permitem integrar funçõesda forma

− −∫ ∫

1 1 e x dx u du

OBS: Observe os valores absolutos nas RegrasLog. Para os casos especiais em que u ou x não podeser negativo, podemos omitir o sinal de valorabsoluto.

2. Aplicação da regra log

Integrais de Funções Logarítmicas

Seja u uma função diferenciável de x.

= +∫1

lndx x Cx

′= = +∫ ∫

1ln

udx du u C

u u

Regra Logarítmica Simples

Regra Logarítmica Geral

2. Aplicação da regra log

Podemos verificar essas regras pordiferenciação. Por exemplo, para verificar que

[ ] ( ) − = − = = −

1 1 1ln e ln

d dx x

dx x dx x x

= 1

ln ,d

xdx x

notemos que

2. Aplicação da regra log

Exemplo 4: Calcule as integrais indefinidas

∫4

a. dxx

∫ 2

2b.

xdx

x

+∫3

c. 3 1

dxx

4

2. Aplicação da regra log

=∫ ∫4 1

a. 4dx dxx x

′=∫ ∫2

2b.

x udx dx

x u

= +4ln x C

= +ln u C

= +2ln x C

Regra do Múltiplo Constante

Regra Logarítmica Simples

Fazendo u = x2, então u ’ = 2x

Regra Logarítmica Geral

Substituir u

2. Aplicação da regra log

Fazendo u = 3x + 1, então u ’ = 3

Regra Logarítmica Geral

′=

+∫ ∫3

c. 3 1

udx dx

x u

= +ln u C

= + +ln 3 1x C Substituir u

2. Aplicação da regra log

Exemplo 5: Calcule a integral indefinida

−∫1

2 1dx

x

2. Aplicação da regra log

Fazendo u = 2x – 1, temos du/dx = 2.Podemos introduzir o fator necessário 2 nointegrando multiplicando e dividindo por 2.

=− −∫ ∫

1 1 22 1 2 2 1

dx dxx x

Multiplicar e dividir por 2

′= ∫

12

udx

u

= +1ln

2u C

= − +1ln 2 1

2x C

Introduzir u e u ’

Regra Logarítmica Geral

Substituir u

2. Aplicação da regra log

Exemplo 6: Calcule a integral indefinida

+∫ 2

61

xdx

x

2. Aplicação da regra log

Com u = x2 + 1, vem du/dx = 2x. Podemoscriar o fator 2x necessário no integrandocolocando 3 em evidência.

=+ +∫ ∫2 2

6 23

1 1x x

dx dxx x

Fatorar 3 no integrando

′= ∫3

udx

u

= +3ln u C

( )= + +23ln 1x C

Introduzir u e u ’

Regra Logarítmica Geral

Substituir u

5

2. Aplicação da regra log

OBS: As integrais às quais se pode aplicar a RegraLog costumam ser dadas em forma disfarçada. Porexemplo, se uma função racional tem numerador degrau não inferior ao do denominador, devemosprimeiro efetuar a divisão, obtendo uma parteinteira e uma parte fracionária. Observe o exemploabaixo:

+ + = + + + ∫ ∫

2

2 2

6 1 61

1 1x x x

dx dxx x

( ) = + = + + + + ∫ ∫

22

63ln 1

1x

dx dx x x Cx

2. Aplicação da regra log

Exemplo 7: Calcule as integrais indefinidas

+ −∫

2

2

3 2 1a.

x xdx

x

−+∫1

b. 1 x

dxe

+ +−∫

2 1c.

1x x

dxx

2. Aplicação da regra log

a. Comecemos escrevendo o integrando como asoma de três frações

+ − = + −

∫ ∫2 2

2 2 2 2

3 2 1 3 2 1x x x xdx dx

x x x x

= + − ∫ 2

2 13 dx

x x

= + + +13 2lnx x C

x

2. Aplicação da regra log

b. Inicialmente, vamos multiplicar e dividir ointegrando por ex.

− −

= + +

∫ ∫1 1

1 1

x

x x x

edx dx

e e e

=+∫ 1

x

x

edx

e

( )= + +ln 1xe C

2. Aplicação da regra log

c. Dividindo o numerador pelo denominador:

+ + = + + − − ∫ ∫

2 1 32

1 1x x

dx x dxx x

( ) = + + − ∫ ∫

32

1x dx dx

x

= + + − +2

2 3ln 12x

x x C