dinÂmica vetorial teoria - eesc.usp.  · 1 capÍtulo 1 cinemÁtica vetorial da partÍcula

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  • ESCOLA DE ENGENHARIA DE SO CARLOS

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA

    UNIVERSIDADE DE SO PAULO

    DINMICA VETORIAL

    TEORIA

    MARIO FRANCISCO MUCHERONI

    SO CARLOS - 2011

  • 1

    CAPTULO 1

    CINEMTICA VETORIAL DA PARTCULA

    Freqentemente a segunda lei de Newton escrita na forma clssica que

    relaciona a fora resultante com a acelerao da partcula. O estudo da cinemtica

    da partcula tem como objetivo obter as relaes matemticas entre as grandezas

    posio, velocidade e acelerao, num determinado referencial.

    1.1 VETORES POSIO, VELOCIDADE E ACELERAO

    Seja o sistema xyz da Figura 1.1 fixo num espao inercial e seja o

    movimento em relao a este referencial denominado como movimento absoluto.

    O vetor r representa a posio da partcula P no instante t, indicado por )(trr , e

    o vetor r representa a posio desta mesma partcula no instante t , indicado por

    )(trr .

    Figura 1.1 - Vetores posio e deslocamento de uma partcula P.

    z

    x

    y

    r

    r r

    P(t)

    P(t)

    S

  • 2

    Por definio, a velocidade no instante t dada por:

    vr r r r

    t t tlim

    t tlim

    t

    d

    dt

    '

    ' 0 (1.1)

    onde r r r o vetor deslocamento no intervalo de tempo ttt , conforme

    mostra a Figura 1.1. Analisando o limite dado na equao (1.1) pode-se concluir

    que o vetor velocidade v tangente curva S no instante t.

    Figura 1.2 - Vetores velocidade de uma partcula P.

    De maneira semelhante, define-se a acelerao da partcula P no instante t

    como:

    av v v v r

    t t tlim

    t tlim

    t

    d

    dt

    d

    dt'

    '

    ' 0

    2

    2 (1.2)

    onde v v v corresponde variao do vetor velocidade, conforme mostra a

    Figura 1.2. Analisando o limite na equao (1.2) pode-se concluir que o vetor

    acelerao possui uma componente tangencial e uma componente normal (exceto

    para trajetrias retilneas) em relao curva S no instante t.

    z

    x

    y

    v

    v

    r

    r r

    P(t)

    P(t)

    S

    v v

    v

    P

  • 3

    1.2 COMPONENTES TANGENCIAL E NORMAL

    Muito frequentemente desejamos trabalhar com as coordenadas tangente e

    normal curva do movimento s(t). Conforme visto na seo anterior, de uma

    forma grfica e atravs da geometria, podemos representar os vetores velocidade e

    acelerao num determinado instante, nas coordenadas mveis tangente e normal,

    conforme mostra a Figura 1.3. Vamos demonstrar de forma mais precisa estes

    afirmaes.

    Figura 1.3 - Direes tangencial e normal:

    vetores velocidade e acelerao de uma partcula P.

    Vamos tomar uma dada curva s(t) e duas posies nos instantes t e t.

    Vamos representar o deslocamento escalar sobre a curva entre est es dois instantes

    por s e o deslocamento vetorial atravs de r , conforme j definido.

    Figura 1.4 - Deslocamentos escalar e vetorial.

    Uma relao geomtrica fundamental entre estes deslocamentos, isto ,

    entre os comprimentos da corda e do arco dada por:

    z

    x

    y

    v

    a P

    S un

    ut

    P

    S

    s

    s

    P s

    r

  • 4

    1s

    lim0t

    r (1.3)

    onde r r r o vetor deslocamento e sss o comprimento do trecho da

    curva percorrido no intervalo de tempo t , conforme mostra a Figura 1.3.

    Analisando o limite dado na equao (1.3) pode-se concluir que:

    t0t ds

    d

    slim u

    rr (1.4)

    onde tu o vetor unitrio da direo tangente ou versor tangente. Lembrando que

    dt

    drv (1.5)

    ento

    tvds

    d

    dt

    ds

    dt

    du

    rrv (1.6)

    Figura 1.5 - Vetor velocidade de uma partcula P.

    Assim, podemos concluir que o vetor velocidade v tangente curva S no instante

    t. Portanto, dada s = s(t) uma funo do percurso sobre a curva S, podemos definir

    a derivada

    dt

    dsv (1.7)

    z

    x

    y

    v

    P(t)

    S

    s

    s

    P(t) s

  • 5

    como a velocidade na forma escalar, uma funo positiva ou negativa de acordo

    com o sentido do percurso sobre S.

    A acelerao da partcula P em componentes tangencial e normal pode ser

    obtida atravs de

    dt

    dva (1.8)

    Substituindo (1.6) em (1.8) obtemos

    dt

    dv

    dt

    dvv

    dt

    d

    dt

    d ttt

    uuu

    va )( (1.9)

    necessrio analisar a segunda parcela de (1.9). Inicialmente vamos decompor a

    derivada temporal do versor tangente pela regra da cadeia e, em seguida,

    aplicamos (1.7) e a relao geomtrica dds para obter

    d

    dv

    sd

    d

    dt

    sd

    dt

    d ttt uuu (1.10)

    Figura 1.5 - Versores tangentes.

    Para calcularmos a derivada do versor tangente em vamos lembrar que

    z

    x

    y

    ut

    P(t)

    S

    ut P(t)

    ut ut

    ut

    s

  • 6

    t0

    tlim

    d

    d uu (1.11)

    Vamos analisar a Figura 1.5. Verificamos que os versores nos instantes t e t, e o

    vetor da variao entre estes dois instantes, formam um tringulo issceles tendo

    os dois lados iguais de comprimento unitrio e a sua base dada por

    uu2

    sen2t (1.12)

    onde u o versor da direo de tu . Substituindo (1.12) em (1.11), obtemos

    n00

    t

    2

    2sen

    lim2

    sen2

    limd

    duuu

    u (1.13)

    Levando (1.13) em (1.10), obtemos

    nt v

    dt

    du

    u (1.14)

    O resultado obtido em (1.14) ento aplicado em (1.9)

    n

    2

    tt

    v

    dt

    dvv

    dt

    d

    dt

    duuu

    v)( (1.15)

    Assim obtemos as componentes tangencial e normal da acelerao, ou seja,

    nntt aadt

    duu

    va (1.16)

    onde

    vdt

    dvat acelerao tangencial (1.17)

    2

    n

    va acelerao normal (1.18)

  • 7

    Observemos inicialmente que em qualquer movimento retilneo a acelerao

    normal nula, enquanto que nos movimentos curvilneos esta acelerao ser

    sempre diferente de zero, mesmo quando a velocidade tiver mdulo constan te.

    Assim podemos concluir que o nico movimento possvel com acelerao total

    nula o retilneo uniforme. Neste caso tanto a acelerao tangencial como a

    acelerao normal so nulas. O movimento retilneo no uniforme ter acelerao

    tangencial diferente de zero e qualquer movimento curvilneo ter acelerao

    normal diferente de zero, alm da tangencial no caso de movimento no uniforme.

    Neste sistema de coordenadas, h uma terceira direo que perpendicular

    ao plano que contm os vetores ut e un, denominada direo binormal. Nesta

    direo a componente da acelerao sempre nula. definida pelo versor:

    ntb uuu (1.19)

    1.3 COMPONENTES RETANGULARES

    Escolhendo as coordenadas retangulares xyz e os versores de suas direes

    indicados por i, j e k, respectivamente, podemos escrever o vetor posio r = r(t)

    kjir zyx (1.20)

    Figura 1.6 - Movimento em coordenadas cartesianas.

    z

    x

    y

    v

    a P

    S

    i j

    k

    r

  • 8

    Nestas coordenadas o movimento da partcula P dado pela composio de trs

    movimentos retilneos x=x(t), y=y(t) e z=z(t). A velocidade deste movimento em

    relao ao referencial xyz dada por:

    kjikjir

    v zyxdt

    dz

    dt

    dy

    dt

    dx

    dt

    d (1.21)

    onde i , j e k so os vetores unitrios do referencial xyz. A acelerao deste

    movimento em relao a este referencial dada por

    kjikjiv

    a zyxdt

    zd

    dt

    yd

    dt

    xd

    dt

    d2

    2

    2

    2

    2

    2

    (1.22)

    Sendo a velocidade um vetor tangente trajetria, possvel obter o versor

    tangente atravs de

    222

    t

    zyx

    v

    v

    vu (1.23)

    Quando houver interesse, pode-se obter a componente tangencial da acelerao

    tta ua (1.24)

    e a acelerao normal

    2t2

    n aaa (1.25)

    ou, vetorialmente,

    tn aaa (1.26)

    Portanto, o versor da direo normal pode ser obtido atravs de

    n

    nn

    a

    au (1.27)

  • 9

    1.4 COMPONENTES CILNDRICAS

    Escolhendo as coordenadas cilndricas r, e z e os versores de suas

    direes radial ur e transversal u , ambos no plano xy, e k da direo z, podemos

    escrever o vetor posio rP = rP(t)

    kur zr rP (1.28)

    Figura 1.6 - Movimento em coordenadas cilndricas.

    Figura 1.7 - Projeo no plano xy do movimento em coordenadas cilndricas.

    Nestas coordenadas, o movimento da partcula P dado pela composio de trs

    movimentos: radial r = r(t), transversal = (t) e vertical z = z(t). A velocidade

    deste movimento dada por:

    y

    z x

    ur u

    Projeo de P

    projeo de S

    r

    z

    x

    y

    ur

    u

    S

    projeo de S r

    P

    rP

    z

  • 10

    ku

    ur

    vdt

    dz

    dt

    dr

    dt

    dr

    dt

    d rr

    P (1.29)

    A derivada da segunda parcela dada por

    d

    d

    dt

    d

    dt

    d rr uu (1.30)

    usando o resultado obtido em (1.13), por analogia, pode-se escrever que

    uu

    dt

    d

    dt

    d r (1.31)

    Aplicando (1.31) em (1.29), obtm-se a velocidade

    kuur

    vdt

    dz

    dt

    dr

    dt

    dr

    dt