dinâmica cap17b

MECÂNICA - DINÂMICA

Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido:

Força e AceleraçãoCap. 17

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2

Objetivos

Introduzir os métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo

Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico

Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral


17.3 Equações de Movimento: Translação

Translação retílinea:

Todas as partículas do corpo possuem a mesma aceleração e a aceleração angular é nula.

yGy

xGx

am

am

F

F

0 GM

dmaM GA



Translação curvílinea:

Todas as partículas do corpo descrevem um trajeto curvo paralelo.

0

n G n

t G t

G

B G Gt n

m a

m a

M

M e ma h ma

F

F


Exemplo 17.8a

A viga BD de 100 kg é suportada por duas hastes de massa desprezível. Determine a força criada em cada haste no instante que q = 300 e w = 6 rad/s.


16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo

Movimento do Ponto P

2

2

n

t

P

P P

v ωr

a r

a r

ω

ω

v ω r v ω r

a α r ω ω r a α r r

Resumo:


Exemplo 17.8a - Solução

A viga BD move-se em movimento curvilíneo, desde que os pontos B, D e o centro de massa G se movem ao longo de trajetórias circulares de raio 0.5m. Usando coordenadas normais e tangenciais:

2 22(6) (0.5) 18.000 m/sG G nnr aa


Exemplo 17.8a - Solução

Equações de movimento:

0

0

2

2

0 0

18.000

4.900

1.32 kN

981.00cos30 100( )

981.00sin 30 100

0 cos30 0.4 cos30 0.4 0

Resolvendo o sistema de equações:

0 m/s

18.000 m/s

n G B Dn

t G Gt t

G B D

G t

n

B D

G

a

F m a T T

T

F a

T

m

T

a

a

M T


Exemplo 17.8b

A viga BD de 100 kg é suportada por duas hastes de massa desprezível. Determine a força criada em cada haste no instante t=0.2 s sendo que no instante t=0 as hastes fazem um ângulo de 450 e estão em repouso.

450


Exemplo 17.8b - Solução

A viga BD move-se em movimento curvilíneo, desde que os pontos B, D e o centro de massa G se movem ao longo de trajetórias circulares de raio 0.5m. Usando coordenadas normais e tangenciais:



Translação curvílinea:

Todas as partículas do corpo descrevem um trajeto curvo paralelo.

0

B G Gt n

n G n

t G t

G

m a

m a

M

M e ma h ma

F

F




2

2

n

t

P

P P

v ωr

a r

a r

ω

ω

v ω r v ω r


Resumo:




2 2 2

2

2

2

( ) (0.5) 0.5

981.00cos 100(0.5 )

981.00sin 100

0 cos 0.4 cos 0.4 0

2 981.0

25 490.50cos

9.810

0cos 100(0.5 )

981.00sin 10

0sin

0

G Gn n

n G B Dn

t G Gt t

G B D B D

B

G t

B

G t

a r a

F m a T T

F m a a

M T T T T

T

a

T

a




2

2

n

P

P P

t

v ωr

a

a

ω

r

r

ω

v ω r v ω r


Resumo:



Movimento Angular

Posição Angular:

dDeslocamento Angular:

dt

d

Velocidade Angular:

d

dt

Aceleração Angular:



Equação do movimento do pêndulo:

2

219.620sin

dt t

dt

ver solução exata em: http://www.phy.davidson.edu/StuHome/BeKinneman/pendulum/report.htm(arquivo mht incluso) e no arquivo Maple incluso.

http://www.phy.davidson.edu/StuHome/BeKinneman/pendulum/report.htm



N 584 9909.583

5208.0cos5.490)5181.2(25cos5.49025

m/s 8812.45208.0sin81.9sin81.9

m/s 1704.35.0

rad/s 5181.2

rad/s 7624.95208.0sin62.19

84.29rad 5208.02.0

22

2

22

2

0

BB

B

tGtG

nGnG

TT

T

aa

aa



Objetivos





17.4 Eq. de Movimento: Rotação em Torno de um Eixo Fixo

O corpo rígido (ou disco), sujeito a forças e momentos externos, possui um movimento tal que o centro de massa G gira numa trajetória circular em torno de O. Assim a aceleração é representada pelas componentes normal e tangencial.



Diagrama de corpo livre:

Equações de Movimento:

2n G Gn

t G Gt

m a m r

m a m r

F

F

GG αIM

Momento em relação ao centro de massa



Diagrama de corpo livre:


O OM αI

Momento em relação ao centro de rotação

2n G Gn

t G Gt

m a m r

m a m r

F

F


Exemplo 17.10

A barra esbelta de 20 kg está em movimento planar de rotação e no instante mostrado com uma velocidade angular de 5 rad/s. Determine a aceleração angular e as componentes horizontal e vertical da reação de apoio no pino neste instante.


Exemplo 17.10 - Solução

Diagrama de corpo livre e cinético:




2 2

2

2

(20)(5) (1.5)

20(9.81) 20( )(1.5)

11.5 60 (20)(3)

12

Resolvendo o sistem

750 N

19.0 N

5.

a de equaç

90 rad/s

ões:

n G n

t G

n

t

t

G G t

F m r O

F m r O

M I O

O

O



Equação do momento em relação ao centro de rotação:

2

2

160 20(9.81)(1.5) (20)(3)

3

5.90 rad/s

O OM I


Objetivos





17.5 Equações de Movimento: Movimento Plano Geral

O corpo rígido (ou disco), sujeito a forças e momentos externos, possui um movimento de rotação e translação.



Diagramas de corpo livre e cinético:




x G x

y G y

G G

P k P

m a

m a

M αI

M

F

F

M



Problemas de rolamento com atrito

x G x

y G y

G G

m a

m a

M αI

F

FG

G

P F ma

N mg

Fr αI

Ga αr

Uma quarta equação é necessária para encontrar as quatro incógnitas.



Problemas de rolamento com atritoSem deslizamento

sF NSe esta condição não for satisfeita então o problema deve ser tratado como segue



Problemas de rolamento com atritoCom deslizamento

kF N


Exemplo 17.15

A roda de 50 lb possui um raio de giração de 0.70 ft. Se um momento de 35 lb.ft for aplicado na roda, determine a aceleração do seu centro de massa G. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre a roda e o plano A são ms=0.3 e mk=0.25, respectivamente



O disco não possui espessura constante, pois se assim fosse seu raio de giração seria:

22

112 0.707112

0.88388 m

G

G

mrI rk r

m mk



2

2 2

( )

50(0.7) 0.76087 slug.ft

32.2

GG G G

G G

Ik I m k

m

I I

Assim podemos estimar o valor de I a partir do raio de giração dado:




35 1.25( ) (0.76087)G G

A

M αI

F

yGy

xGx

am

am

F

F50

32.250 0

A G

A

F a

N

A quarta equação é dada pela cinemática. Supondo que não exista deslizamento:

(1.25)Ga αr α



2 2

50.000 lb 21.315 lb

=10.982 rad/s 13.727 ft/s

A A

G

N F

a

Supondo que não exista deslizamento e resolvendo as equações anteriores:

sF NVerificando

21.315 0.3(50) 21.315 15

Como esta condição não foi satisfeita então o problema deve ser tratado como segue



2 2

50.000 lb

0.25 12.500 lb

Resolven

=25

do novamente:

.5 rad/s 8.05 ft/s

A

A A A

G

N

F N F

a

Supondo que exista deslizamento:

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