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Dimensionamento Térmico e Dinâmico da SE

Subestação de 138/13,8 kV - 2 x 15 MVA

1 CARACTERÍSTICA DA INSTALAÇÃO

1.1 Diagrama Unifilar

1.2 Cálculos Elétricos em Regime Permanente

1.2.1 Correntes Nominais

U nmax = 138 + 2 x 2,5% = 144,9 kV

U nmin = 138 - 2 x 2,5% = 131,1 kV

FIG 1 DIAGRAMA UNIFILAR

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In = 2 x 150003 . 138

= 125,6 (A)

Inmax = 2 x 150003 . 131,1

= 132,2 (A)

1.2.2 Corrente Nominal dos Transformadores

Em 138 kV

In1 = In2 = 125 62

, = 62,8 (kA)

In1max = I n2max = 132,22

= 66,1 (kA)

Em 13,8 kV 150003 . 13,8

= 628 (A)

2 CÁCULO DE CURTO CIRCUITO

A potência de curto-circuito trifásica na entrada da subestação é conhecida, sendo

igual a 5 (GVA).

2.1 Cálculo da Impedância (Reatância) Equivalente do Sistema:

Vamos adotar SB = 100 (MVA), assim : SK= 1005000 = 50 (pu), considerando que : Sk=

ZV2

Zk= k

2

SV ou , Zk=

501 = 0,02 (pu)

2.2 Impedância dos Transformadores:

Devemos transportar a reatância dos transformadores para a base desejada:

X 1t = 8,175 x 10015

= 54,5% X 1t = 0,545 (pu)

2.3 Diagrama das Impedâncias:

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FIG 2 DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS

2.4 Cálculo das Correntes:

2.4.1 Cálculo das correntes no barramento de 138 kV.

Sabemos que no caso em estudo a fonte geradora está situada bastante longe da

subestação sendo, portanto, um caso em que podemos considerar:

I”k = I’k = IK

Consequentemente Sk”= S’k = Sk = 5000 (MVA)

I”K = I’k = IK = 50003 . 138&

= 20,9 (kA)

Devemos determinar ainda o valor da corrente de impulso no barramento de 138 kV.

IS =x . 2 . I”K (kA)

Vamos adotar x = 1,8 (Fator de Assimetria)

IS = 1,8 x 2 x 20,9 = 52,25 (kA)

Desta forma podemos resumir os valores de curto circuito na barra de 138 kV como

indicado a seguir:

2.4.2 Cálculo das correntes no barramento de 13,8 kV (3∅).

Já calculamos o valor da reatância até a barra de 13,8 kV.

S”k = S’k = Sk = B

eq

PX

= 0,2925

100 = 341,88 (MVA)

Corrente inicial de curto circuito:

Ik” = S k3 . nU

= 13,8 . 3

310 x 341,88 = 14,30 (kA)

0,02 (pu)

0,545 (pu) 0,545(pu)

0,2925(pu)

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Neste caso podemos adotar:

I”K = I’k = Ik = 14,30 (kA)

Cálculo da Corrente de impulso:

IS = x . 2 . I”K Vamos adotar x = 1,8

IS = 1,8 . 2 . 14,30 = 35,75 (kA)

IS = 35,75 (kA)

Resumindo os valores das correntes de curto-circuito na barra de 13,8 kV, teremos:

3 CÁLCULO DOS EFEITOS TÉRMICOS E DINÂMICOS

3.1 Esforços Térmicos:

Os aparelhos e condutores de uma determinada instalação, quando submetidos a um

curto-circuito, são solicitados termicamente.

A principal característica do aquecimento dos condutores durante um curto-circuito

deve-se o fato do aquecimento, ser muito rápido não havendo possibilidade de troca de

calor com o ambiente, colocando em risco toda a instalação.

Na determinação dos esforços térmicos consideramos um valor médio de corrente, que

é a corrente atuante sob ponto de vista térmico.

Esta corrente média (corrente de curto-circuito média) é dada por:

Ikm = I”k. m n+

I”k.= Corrente de curto-circuito subtransitória

m = Fator que leva em consideração a componente de corrente contínua.

n = Fator que leva em consideração a componente de corrente alternada.

Os valores de m e n são obtidos a partir dos gráficos mostrados nas figuras (3) e (4).

Os valores de m e n são determinados em função dos seguintes elementos:

Ik” = 14,30 kA S”k = 341,88 MVA

I’k = 14,30 kA S’k = 341,88 MVA

Ik=14,30 kA Sk = 341,88 MVA

Is = 35,75

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m

=

[seg]) 0,60 = (t desconexão de tempo = timpulso de Fatorx

n

= .permanente a para oriasubtransit circuito-curto de corrente da rel.Ik

Ik

[seg]) 0,60 = (t desconexao de tempo = t"

Para curto circuito distante do gerador, devido ao fato da corrente se manter

praticamente constante pode-se adotar I”k = I’k = Ik= Ikm

FIG 4

FIG 3

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A seção pode ser obtida por meio de gráficos ou a partir da equação abaixo, na qual os

gráficos estão baseados:

A = Ikm . 1000 t

4,184 C. D r .

Ln 1 + (t max - t1)ρ

ρ αα

[mm2]

Onde:

A = Seção condutora procurada [mm2]

Ikm = Corrente curto-ciruito permanente em (kA)

t = Tempo de desconexão em (seg)

C = Calor específico para cobre: 0,0925 (cal gr -1 ºC -1)

para alumínio: (0,217 cal gr -1 ºC -1)

ρD = densidade para: 8,9 (gr. com -3)

para alumínio: 2,7 (gr . cm -3)

ρr = Resistividade em Ω.mm2 . m -1 a uma temperatura t 1 º C

sendo: ρr = ρ20 [1 + α (t1 - 20])

ρ20 = Resistividade a 20º C α = 0,004

para cobre: 0,0178 ( Ω.mm2 m -1)

para alumínio : 0,0286 ( Ω.mm2 m -1) t1 = Temperatura inicial em º C.

t max = Temperatura max º C

As figuras de 5 a 15 mostram os gráficos para determinação da seção dos diversos

condutores baseados na expressão acima.

b) Determinação da seção térmica:

Vamos utilizar cabos de cobre nú para o barramento de 138 kV da subestação.

Podemos calcular pela expressão simplificada:

A = 7,0 x Ik x t (mm2)

A = 7,0 x 20,9 x 0 6, = 113 (mm2)

Consideramos t1 = 50º C e t max = 200ºC

O cabo deverá ter uma seção maior ou no minimo igual ao valor acima.

o cabo adotado tem as seguintes características:

Bitola: 120 (mm2)

A : 120 (mm2)

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Diâmetro: 14,50 (mm)

Peso específico: 1.138 (Kg / Km)

Ampacidade em Amperes = 503 (A) calculados para um aumento na temperatura

do condutor de 40º C, acima da temperatura ambiente considerada igual a 40ºC, com

vento transversal de 0,61(m/seg) e uma emissividade de 0,5 sem sol.

3.2 Transformadores de Corrente:

Os transformadores de corrente devem suportar os esforços térmicos provenientes da

corrente de curto-circuito.

Assim precisamos o fator térmico dos transformadores de corrente.

Sabemos que a corrente térmica (corrente de curto-circuito permanente tem o seguinte

valor:

IKm = 20,9 (kA)

Deveremos ter os seguintes fatores térmicos:

In = 100A → I th = 200 In → I th = 20 kA

In = 150A → I th = 140 In → I th = 21 kA

In = 200A → I th = 100 In → I th = 20 kA

In = 300A → I th = 70 In → I th = 21 kA

ou podemos elaborar a seguinte tabela:

Ith = ( ) In

GVA I n=100 (A) I n=150 (A) I n=300 (A)

2 84 56 25

3 125 84 42

4 167 112 56

5 209 140 70

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Característica dos Tc’s

Barramento de 13,8 kV

A saída em 13,8 kV dos transformadores será feita através de cabos isolados

monofásicos.

Na escolha deste cabo devemos considerar:

- Classe de tensão: 15 kV

- Tempo de desligamento: 0,60 seg

- Corrente permanente de curto-circuito = 14,30 (kA)

S = 9,0 x IK x t (mm2) (t1 = 50º C)

S = 9,0 x14,30 x 0,6 = 99,5 (mm2) (tmax = 140º C)

Da tabela de cabos escolhemos um cabo de 120 (mm2) que dependendo do tipo de

instalação que pretendemos fazer tem as seguintes ampacidades:

a) Instalação em bandejas:

a1) 3 cabos unipolares em plano, 450 (A)

a2) 3 cabos unipolares em trifólio, 411(A)

a3) 1 cabo tripolar, 380 (A)

b)Instalação em canaletas:

b1) 3 cabos unipolares em plano,382 (A)

b2) 3 cabos unipolares em trifólio, 355 (A)

b3) 1 cabo tripolar, 340 (A)

c)Instalação em eletrodutos:

c1) 1 cabo unipolar por eletroduto em plano, 396 (A)

c2) 3 cabos unipolares em trifólio, 344 (A)

c3) 1 cabo tripolar, 313 (A)

conclui-se que o cabo com uma seção S= 120 (mm2), pode conduzir no máximo 450

(A), valor abaixo da corrente nominal do circuito, devemos adotar uma seção condutora

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maior, uma vez que a corrente nominal do transformador é de 628 (A),

consequentemente, adotamos o seguinte cabo:

- Bitola: 300 (mm2)

- Capacidade de Condução: 636,0 (A)

- 3 cabos monofásicos, em uma canaleta em plano.

3.3 Esforços Dinâmicos

Devemos verificar os valores dos esforços mecânicos nos diversos condutores que

compõem o barramento da subestação.

As expressões a seguir se destinam a condutores rigidos, tais como tubo. Para cabos

os esforços são determinados através de gráficos (tridimensionais).

A força atuante em dois condutores é dada por:

FL = 2,04 x 10 –2 x (Is )2 x la

[Kgf]

Esta força é considerada como uniformemente distribuída ao longo dos pontos de

apoio.

Fig 16 Disposição do barramento

l

a

a

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Esta força atua em todos os pontos da instalação devemos a instalação suportar os

esforços, para um determinado condutor cuja seção é determinada a partir do esforço

térmico, podemos determinar o espaçamento máximo entre os pontos de apoio.

No caso dos condutores principais serem formados pela reunião de vários condutores

então devemos considerar ainda os esforços provenientes das correntes que circulam

pelos condutores de cada fase.

Figura 17 - Disposição do Barramento

Ft = 2,04 x 10 -2 .at t

)t.(i2

2 sl [kgf]

Onde t é o número de barras que compõem cada fase.

A estas duas forças corresponderão duas tensões de trabalho.

Esforços nos Condutores Principais (Fases)

σh = vó . Fh .

12 . Wl = vó 2

-3.

2

si .10 . 1,7l

aW

2cmKgf

vó = Fator de freqüência para corrente alternada trifásica. vó . ≤ 1, inicialmente vó .=

1,0.

W = Momento resistente do condutor em (cm3).

CORTE AA’

A A’

at

lt

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Esforço nas Barras de Cada Fase

Neste caso, a tensão será dada por:

σh = vó . Ft .

12 . Wtlt = vó . 2

2t

-3

tat x Wt x ) ( . I .10 . 1,7 2

s l [Kgf/ cm2]

Para corrente alternada trifásica teremos: vó .= 1,0.

Esforço Permissível

O esforço permissível nos condutores não deve exceder de:

σh + σt ≤ 2 x σ 0,2

σ 0,2 = Valor mínimo do yield point em kgf/ cm2

Para barramentos compostos por uma única barra o esforço permissível é de: σt ≤ 2 x

σ 0,2

Cálculo do comprimento máximo admissível para tubos de cobre usados em 138 kV.

Vamos utilizar na interligação entre os equipamentos tubos de cobre, fazendo uma

conexão rígida entre os equipamentos.

Tubo de Cobre utilizado:

De acordo com o esforço térmico devemos utilizar um tubo cuja seção deve ser no

mínimo igual a: S = 113 (mm2)

Vamos encontrar um tubo com as seguintes características:

- Diâmetro externo: d: = 20 (mm)

- Espessura da parede: s = 3 (mm)

- Seção do Tubo: 160 (mm2)

- Diâmetro interno: 14 (mm)

- Corrente Nominal: In = 500A

- Momento Resistente: W = 0,60 (cm3)

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σ 0,2 = (E - CuF25) = 2000 (Kgf/cm2)

Cálculo da Força entre Condutores

Fh = 2,04 x 10 -2 x 2si l

a (Kgf)

Onde:

l = distância entre apoios (cm)

a = distância entre condutores (cm)

ou a tensão:

σ h = F x 12 W

h l

Para o comprimento máximo σh = 2 x σ 0,2

Daí concluímos: σh = 4000 [Kgf/ cm2]

σh = 2,04 x 10-2 x 2si x l

a l

12W

Vamos considerar inicialmente como 3,0 (m) o valor da distância entre fases.

4000 = σh = 2,04 x 10-2 x (52,25)2 x l2

12 x 300 x 0,60

l = 2

2

)25,52(04,21060,0300124000

xxxxx −

l ≅ 3,60 [m] = 360 (cm)

Normalmente usamos até l = 4,00m

Cálculo do comprimento máximo dos tubos de 13,8 kV

Estes tubos farão a conexão entre os bornes do transformador e a mufla terminal.

Sendo escolhido o seguinte tubo:

S = 273 (mm2)

Diâmetro externo = 32 (mm)

Espessura da parede = 3 (mm)

Diâmetro interno = 26 (mm)

In = 800A

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W = 1,82 (cm3)

σ 0,2 = 2000 Kgf/ cm2

σh = 4000 Kgf/ cm2 (2 x σ 0,2)

IS = 35,75 (kA)

a = 30 (cm) (distância entre fases, tirada do próprio transformador, buchas de média

tensão)

σ h = 2,04 x 10-2 x la

2si . l

12W (Kgf/ cm2)

σh = 2,04 x 10-2 x l2

a . I

12 WS2

(Kgf/ cm2)

l = 2s

2-

h

I x 10 x 2,04

w. 12 . a . σ

l = 4000 x 30 x 12 x 1,822,04 x 10 x (35,75)-2 2 (m)

l ≅ 2,60 [m]

Poderíamos usar ainda, barras de cobre com as seguintes

características:

FIG 18 CONFIGURAÇÃO DO BARRAMENTO Dados básicos : S = 400 (mm2) , In = 760 (A) Wy= 0,667 (cm3) σh = 4.000 (Kgf/cm2) σ0,2= 2.000( Kgf/cm2)

l = 10 x I x 2,04

w. 12 . a . 2-2+

s

hσ

l = 4000 x 30 x 12 x 0,6672,04 x (35,75) 10 2 -2 m

F Y

Y’

40 (mm)

300 300

10

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l = 1,92 [m]

Esforços Dinâmicos nos Transformadores de Corrente

Os transformadores devem estar aptos a resistir os esforços dinâmicos provenientes

das correntes de curto-circuito, os transformadores de corrente são construídos para

uma corrente dinâmica dada por:

Idyn = 2,5 Ith

In Ith Idyn

100 (A) 200 In = 20 kA 50 kA

150 (A) 140 In = 21 kA 52,5 kA

300 (A) 70 In = 21 kA 52,5 kA

(a corrente para efeito dinâmico é de 35,75 kA)

Cálculo dos esforços nos isoladores

Os isoladores ficarão submetidos a esforços dados por:

Fh = 2,04 x 10-2 x la

x 2

si [Kgf]

Em 138 kV

l = distância entre apoios 360 (cm)

a = distância entre fases 300 (cm)

Fh = 2,04 x 10-2 (52,25)2 . 360300

Fh = 67 (Kgf)

Em 13,8 kV

l = distância entre apoios 260 (cm)

a = distância entre fases 30 (cm)

Fh = 2,04 x 10-2 (35,75)2 . 30260

Fh = 219,8 (Kgf)

Cálculo das Cadeias de Isoladores:

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As cadeias de isoladores podem ser determinadas da seguinte forma:

n1 = EE

n1

ni

+ 1

Cadeia de ancoragem

n2 = EE

n1

ni

+ 2

Onde:

n1 , n2 = número de isoladores

En1 = tensão máxima de serviço

Eni = tensão de cada isolador

No nosso caso usaremos: (vide catálogo VIFOSA) isolador de 10” (254 mm) de

diâmetro, tensão 17,5 kV (Eni = 17,5 kV)

Assim Teremos:

En1 =

145

kV

(tensã

o

máxima de serviço)

Vamos calcular para :

1) a = 12 (m)

2) a = 24 (m)

Comprimento da cadeia de isoladores = 2,0 (m) (Vide catálogo Sade).

Peso da cadeia de isoladores = 70 (Kgf) (vide catálogo Sade).

E2 = carga de ruptura = 4000 (Kgf).

γ = 9,48 x 10-3 (Kgf/ mxmm2) (peso unitário do condutor).

α = coeficiente de dilatação térmica = 1,7 x 10-6 (ºC).

E = módulo de elasticidade = 13.500 Kgf/ mm2.

Pv = pressão do vento = 127 (Kgf/ m2) a ºO C

Esforço máximo é de H = 750 (Kgf).

Cálculo das Flechas dos barramentos

n1 = 14517 5,

+ 1 = 9,3

n2 = 14517 5,

+ 1 = 10,3

Adotaremos para as cadeias de isoladores de ancoragem e suspensão: 10 isoladores

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No cálculo da flecha dos barramentos podemos proceder de duas maneiras:

a) Considerando o peso da cadeia de isoladores.

b) Não considerando o peso da cadeia separadamente.

As flechas e tensões normalmente são calculadas para as seguintes temperaturas:

a) Oºc - (Normalmente considerando ainda um vento cuja pressão é de 127

(Kgf/m2), valor este normalizado. Esta condição permite a verificação da tensão

máxima admissível no cabo e esforços as estruturas.

Dependendo do local da instalação da subestação podemos chegar a -5ºC.

As verificações das tensões máximas admissíveis são feitas através da equação de

estado.

Para o nosso caso os valores característicos do cabo são os seguintes:

Bitola: 120 (mm2) (CABO DE COBRE)

Secção do cabo: s0 = 120 (mm2)

Diâmetro do Cabo: 14,50 (mm)

Comprimento do vão: a (m)

F1

F2

a

α

b

L0

L’0 L’0

8500

2750

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Cálculo da Tensão Máxima no Cabo

σ0 = 120750 = 6,25 (Kgf/ mm2)

Cálculo de f1: Flecha devido a cadeia de isoladores.

f1 = l0 cos α, sendo cosα= 22 h . 4Q

Q

+

cosα=22 750.470

70+

=0,046

Assim teremos:

f1 = 2 . 0,046 = 0,092

f1 = 0,10 (m) = 10 (cm)Ø

Determinação do vão para cálculo da flecha:

b = a - 4 . l0 22 h . 4QH+ (m)

b = a - 4 . 2 750 . 4

7502

07 2 + 0 a - 4

b = a - 4

Para os vãos em questão teremos:

a = 24 m ∴ b = 24 – 4 = 20(m)

a = 12 (m) b= 12 – 4 = 8 (m)

Cálculo da flecha do condutor:

f = H. 8g . b 2

b = σγ

. 8 b 2

onde:

b = vão em (m)

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σ = tensão aplicada ao cabo em Kgf/ mm2

γ = peso unitário do condutor considerando a força do vento (Kgf/ m mm2)

f . v = d. pv (Kgf/m)

fv = 14,50 x 127 x 10 –3 = 1,450 x 1,27 = 1,8415 (Kgf/m)

fv = 120

1,8415 = 15,35 x 10 –3 (Kgf/m. mm2)

Pc = 120

1,138 = 9,48 x 10 –3 (Kgf/m. mm2)

γ = 120

1,138 = 9,48 x 10 –3 (Kgf/ m mm2)

γ1 = 22 9,48 35,15 + x 10 –3 = 20,38 x 10 –3 (Kgf/m. mm2)

As flechas terão os seguintes valores:

F =6,5 x 8

10 x 20,38 x (20) -32

= 0,163(m) = 16,3 (cm)

F =6,5 x 8

10 x 20,38 x (8) -32

= 0,0261(m) = 2,61(cm)

Teremos portanto os seguintes valores para as flechas:

a = 12 (m) f = 10 + 2,61 = 12,61 (cm) ≅ 13 (cm)

a = 24 (m) f = 10 + 16,3 = 26,3 (cm) ≅ 26 (cm)

Podemos determinar o espaçamento entre fases

Distância mínima entre fases: 1470 (mm)

Distância devido as flechas: 520 (mm)

1990 (mm)

20% de segurança: 400(mm)

2390(mm)

Adotaremos 2.500 (mm)

F’r

γ

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Temos agora todas as medidas para fixar a posição dos diversos equipamentos, e

determinação das plantas e cortes.

Determinação das alturas mínimas.

A altura mínima para a subestação, é determinada da seguinte forma:

h ≥ 3 cm/ kV, sendo a distância entre a parte viva mais baixa, correspondendo a uma

tensão disruptiva, do ar, da ordem de 21 (kV/cm).

Conhecida a altura do equipamento vamos determinar a altura da estrutura suporte

para cada equipamento. (Podemos conferir a distância acima utilizando os seguintes

valores: 2,44 (m) mais a distância fase terra para a tensão em questão).

Normalmente para dimensionamento da distância d tomamos como base a tensão

máxima de serviço.

f

dm

f

h

h1

h2

912 - EFTERMDIN

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No caso de uma instalação cuja tensão nominal é de 13,8 kV, a tensão máxima de

serviço é de 145 Kv. Assim teríamos:

h ≥ 145 x 3 = 4,35 (m)

Para os barramentos e ancoragem das linhas normalmente usamos distâncias

definidas da seguinte forma:;

h ≥ 4 a 5,5 cm/kV. (No Brasil é uma norma corrente usar 5,5 cm/kV).

Assim para 138 kV teríamos:

h = 5,5 x 145 ≅ 8,0 (m)

A altura do barramento é determinada, ou melhor verificada em função das flechas e

separação mínima entre condutores.

d1 = distância entre os condutores e o cabo guarda.

OBS.: Cálculo da flecha dos condutores não considerando o peso das cadeias de

isoladores:

F1 = 32

6,25 x 810 x 20,38 x (24) −

= 0,235 (m) = 23,5 (cm)

F2 = 32

6,25 x 810 x 20,38 x (12) −

= 0,0587 (m) = 5,87 (cm)

Equação da mudança de estado — vão isolado

Consideremos inicialmente um vão isolado de uma linha de transmissão, de comprimento A. Seja L1 o comprimento do condutor a uma temperatura conhecida t1. Admitamos que o condutor esteja apoiado entre as duas estruturas niveladas. Se a temperatura variar, passando a um valor t2 , o comprimento do condutor variará igualmente, passando a:

L2 = L1 + L1α(t2 – t1) (m) sendo ατ ([λ/°C] o coeficiente de dilatação térmica linear do condutor. Estando o cabo preso aos suportes, a variação de comprimento que irá sofrer é acompanhada de uma variação no valor da tração, que passará ao valor T02. Um aumento de temperatura provoca um aumento de comprimento do cabo e vice-versa.

912 - EFTERMDIN

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Essa variação obedece à lei de Hooke: "as deformações elásticas são proporcionais às tensões aplicadas". Sendo E [kgf/mm2] o módulo de elasticidade do condutor e S [mm2] a área da seção transversal, a deformação elástica em virtude da variação da força de tração será

( )ES

TTL 01021 +

Portanto a variação da temperatura do condutor provoca uma variação total em seu comprimento igual a

L2 – L1 = L1αt (t2 – t1 ) + ( )

ESTTL 01021 −

Antes da variação da temperatura, o comprimento do condutor era de acordo com a Eq. (1.21),

L1 = 2C1 senh 12C

A

e, após essa variação, o comprimento será ,

L2 = 2C2 senh 22C

A

sendo, respectivamente,

C1 = p

T01 e C2 = p

T02

A variação de comprimento será, então,

L2 – L1 = 2[C2 senh 22C

A – C1 senh 12C

A ]

Para o sistema em equilíbrio, obtemos, igualando

L1αt (t2 – t1 ) + ( )

ESTTL 01021 −

= 2[C2 senh 22C

A – C1 senh 12C

A ]

Essa equação é transcendente e só pode ser resolvida por processo iterativo admitindo-se valores para T02,. Podemos simplificá-la, obtendo após remanejamento,

912 - EFTERMDIN

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t2 – t1 = tα

1[(

11

22

2

2

CAsenhC

CAsenhC

-1) – ( )

ESTT 0102 −

]

O que não elimina a necessidade de processos iterativos de solução.

Exemplo

Um cabo Oriole foi estendido entre dois suportes, distanciados entre si 350 m, a uma

temperatura de 20 °C, com uma tração horizontal de l 545 kgf. Qual será o valor da

tração nesse cabo quando ocorrer um abaixamento de temperatura de 25 °.

Solução

São os seguintes os dados do cabo: p=0,7816kgf/m; S= 210,3 mm2; E= 8086kgf/mm2; αt = 18 x IO-6 1/°C. Para solucionar o problema teremos de calcular

C1= p

T01 = 7816,0545.1 = 1.976,7144 ;

12CA =

7144,976.1*2350 = 0,08853

C2 = p

T02 = 7816,0

02T = 1,27943T02 ;

22CA =

025588,2350

T =

02

78,136T

L1 = 2C1 senh 12C

A = 2*1.976,7144senh0,08853 = 350,454420 (m)

C2 senh 22C

A = 1,27943T02senh02

78,136T

= M

( )ES

TT 0102 − =

3,210*086.8)0,545.1( 02 −T

= N

t2 –t1 = ∆t = 18

106

[(22721,175M - 1) – N]

Para ∆t = -25 "C, dando diversos valores a To,, obteremos valores para ∆t, como mostra a tabela, até a convergência com o grau de precisão desejado:

T02 [Kgf] M N ∆t [ºC]

912 - EFTERMDIN

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1800 175,168467 0,000 14996 -26.9551790 175,170354 0,00014407 -26,030 1785 175,171 310 0,000 14114 -25,637 1780 175,172275 0.000 13819 -25,0951779 175.172468 0,00013761 -25,001

Resposta T02 = l.779 kgf.

Se, ao invés de calcularmos pela equação.da catenária os comprimentos desenvolvidos dos cabos, empregarmos a da parábola.

L1 = A + Af

38 2

= A + A

TpA

3

)8

(8 2

01

2

=

L2 = A(1 + 201

22

24TAp ),

A variação de comprimento será , então,

L2 – L1 = 24

32 Ap ( 202

1T

- 201

1T

),

Que igualando com a equação da variação do comprimento com a temperatura permite escrever que

L1αt (t2 – t1 ) + ( )ES

TTL 01021 − = 24

32 Ap ( 202

1T

- 201

1T

),

Como a diferença entre os valores dos vãos a e dos comprimentos dos cabos L1 é muito pequena, podemos efetuar a substituição do L1 na equação acima que tomará a forma

302T + 2

02T [ 201

22

24TAESp + ESαt(t2 + t1) – T01] =

24

22 AESp

que, como vemos,é uma equação incompleta de 2º grau, para cuja solução tambéem são necessários processos iterativos, porém de resolução mais fácil e rápida.

912 - EFTERMDIN

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Calcular usando a equação da parábola a tração no cabo e nas condições do exemplo anterior.

Solução

302T + 2

02T [ 201

22

24TAESp + ESαt(t2 + t1) – T01] =

24

22 AESp 2.000

24

22 AESp = 24

)350()7816,0(3,210*086.8 22

5,302x 10 9,

201

22

24TAESp = 2

22

)1545(24)350()7816,0(3,210*086.8 = 2.221,3142,

ESαt(t2 + t1) = 8,086x210,3x18x10 -6(-5-20) = 765,2186,

Logo 3

02T - 88,9044 202T = 5,302x109,

resolvendo por tentativas, teremos

T02 202T - 88,9044 2

02T 302T Σ

2.000 4,000x106 -0,35562x109 8,00x109 7,6444x109

1.800 3,240x106

-0,28805x109 5,832x109 5,5440x109

1.780 3,168x106 -0,28168x109 5,640x109 5,3583x109

1.778 3,161x106 -0,28105x109 5,621x109 5,3400x109

1.7754 3,151x106 -0,28014x109 5,592x109 5,3119x109

1.774 3,147x106 -0,27989x109 5,583x109 5,3031x109

Resposta: T02 = 1.774 (kgf)