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XXXVII ENEMP 18 a 21 de Outubro de 2015

Universidade Federal de So Carlos

DIFUSO DE UMIDADE EM GROS DE SOJA COMO UM PROBLEMA DO

TIPO STEFAN: MODELAGEM MATEMTICA E VALIDAO

EXPERIMENTAL

D. J. NICOLIN1*

, R. M. M. JORGE1, L. M. M. JORGE

1

1

Universidade Estadual de Maring, Departamento de Engenharia Qumica *e-mail: douglas.nicolin@gmail.com

RESUMO

O processo de transporte de calor ou massa num meio pode ocasionar o

aumentou ou diminuio em seu tamanho. Para que este fenmeno seja

considerado na modelagem matemtica da difuso, considera-se que o

sistema possui contornos mveis, que refletem a variao no tamanho do

sistema. Tais problemas so tradicionalmente conhecidos como problemas

de Stefan. Gros de soja sofrem, em mdia, um aumento de 30~40% em seu

tamanho ao absorverem umidade. Para modelar matematicamente a difuso

de umidade em gros de soja foi utilizada a Segunda Lei de Fick da Difuso,

sendo que os gros foram considerados esfricos. O modelo foi resolvido

numericamente aps ter sido modificado pelo Mtodo da Malha Espacial

Varivel (MMEV), que inseriu na equao da difuso o aumento de

tamanho que os gros sofrem ao absorverem umidade. Os valores de

difusividade foram ajustados e apresentaram aumento em funo da

temperatura. Foram obtidos os perfis de umidade internos e tambm os

perfis de umidade mdios em funo do tempo, que se ajustaram

satisfatoriamente aos dados experimentais. O movimento do contorno do

sistema (raio dos gros) foi comparado com dados experimentais, obtidos

por anlise de imagem. Houve desvios entre a previso do raio em funo

do tempo pelo modelo e valores experimentais devidos, principalmente, ao

aumento irregular do tegumento dos gros numa direo preferencial em

dado momento da absoro de umidade. A abordagem deste trabalho pode

ser usada em problemas de difuso de calor.

1 INTRODUO

Originalmente os problemas do tipo

Stefan surgiram do interesse de se investigar o

movimento da interface presente no

congelamento (ou derretimento) que ocorre

num sistema gelo-gua. O contorno mvel em

tais sistemas definido como a frente de

conduo de calor na qual ocorre a transio

entre de fase (CRANK, 1984; MITROVIC,

2012; VOLLER, 2010).

A difuso de umidade em gros de soja

uma etapa importante no processo de

extrao das protenas dos gros,

principalmente visando a produo de

alimentos como o tofu, leite e molho de soja

(shoyu) (CIABOTTI et al., 2009). Devido

natureza viscoelstica dos gros, a absoro

de umidade tende a ser acompanhada pelo

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aumento dos prprios gros. Este aumento

pode chegar a 30~50% do tamanho inicial dos

gros (COUTINHO et al., 2005; URASA et

al., 2000a, 2000b). A ordem de grandeza

deste aumento motiva a considerao do raio

dos gros como sendo um contorno mvel

para o sistema que sofre difuso. Assim, o

problema da difuso de umidade em gros de

soja pode ser encarado como um problema do

tipo Stefan (BARRY; CAUNCE, 2008).

Diversos autores j se dedicaram ao

estudo e soluo de problemas de Stefan,

obtendo tanto solues analticas

(ALEXANDROV; MALYGIN, 2010;

BARRY; CAUNCE, 2008; NICOLIN;

JORGE; JORGE, 2014; VOLLER; FALCINI,

2013; VOLLER, 2014), quanto solues

numricas (AGUERRE; TOLABA;

SUAREZ, 2008; CALDWELL; KWAN,

2004; KUTLUAY; BAHADIR; ZDE,

1997; SADOUN et al., 2012) para esta classe

de problemas. Os trabalhos de Kutluay et al.

(1997) e de Sadoun et al. (2012) se destacam

pelo uso do Mtodo da Malha Espacial

Varivel (MMEV) para incluir na equao da

difuso o movimento da malha na soluo

numrica. Trabalhos tambm foram

desenvolvidos considerando-se contornos

mveis para a modelagem da hidratao de

soja (NICOLIN; JORGE; JORGE, 2014,

2015; NICOLIN et al., 2012).

Neste contexto o objetivo deste trabalho

foi modelar matematicamente a hidratao de

gros de soja utilizando-se a abordagem dos

problemas de Stefan ao se considerar o raio

dos gros como um contorno mvel para o

sistema estudado. Utilizou-se o um esquema

numrico explcito juntamente com o MMEV

para a soluo numrica do modelo. Tanto os

perfis internos quanto os perfis mdios de

umidade foram calculados e se mostraram

satisfatrios. Alm da validao dos perfis

mdios de umidade, dados experimentais de

raio em funo do tempo foram obtidos por

anlise de imagem. Assim, foi possvel

comparar os valores de raio em funo do

tempo fornecidos pelo modelo, sendo que

poucos desvios foram identificados nesta

comparao. Estes desvios foram atribudos,

principalmente, ao crescimento

desproporcional do tegumento dos gros

numa direo preferencial ao absorver

umidade.

2 TEORIA

A Segunda Lei de Fick da Difuso em

coordenadas esfricas foi utilizada para a

modelagem matemtica da absoro de

umidade pelos gros de soja e apresentada

pela Equao (1).

2

2

2X X XD

t r r r

(1)

sendo X a umidade em base seca, r a

coordenada radial, t a coordenada temporal e

D a difusividade, que neste trabalho foi

considerada constante, sendo esta hiptese

largamente utilizada em literatura.

A Figura 1 apresenta o esquema

ilustrativo da hidratao de um gro de soja

esfrico. Nesta figura tambm possvel

visualizar os termos responsveis pelo

balano de massa no gro que possibilitaram a

descrio matemtica do comportamento do

raio dos gros em funo do tempo. Uma vez

que a gua na qual os gros foram inseridos

est a uma temperatura fixa, os gros sofrem

uma variao rpida ao entraram em contato

com a mesma. Devido dimenso pequena

dos mesmos, considerou-se que o equilbrio

trmico atingido rapidamente. Assim, foi

possvel considerar que os gros presentes na

amostra se mantiveram, durante todo o

processo, mesma temperatura do banho

termosttico.

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Figura 1: Esquema ilustrativo do gro de soja

esfrico.

O MMEV inserido na Equao (1) por

meio da derivada total, apresentada pela

Equao (2). Esta mudana faz com que a

derivada temporal no seja mais avaliada em

relao a uma coordenada radial constante,

mas sim em relao a uma coordenada radial

para cada instante de tempo (MURRAY;

LANDIS, 1959).

i

i t r

drX X X

t r dt t

(2)

Na Equao (2) o movimento da

coordenada radial dado por:

( )

( )

i idr r dR t

dt R t dt (3)

sendo ( )R t o raio dos gros, que uma

funo do tempo.

Substituindo-se a Equao (3) na (2) e

inserindo a equao resultante na Equao (1)

possvel obter o modelo da difuso com um

contorno mvel como apresentado a seguir.

2

2

( ) 2

( )

irX dR t X X XDt R t dt r r r r

(4)

0( ,0)X r X r (5)

0

0 0r

Xt

r

(6)

( ( ), ) 0eqX R t t X t (7)

2 ( )

( ) SS

r R tH O

dR t XD

dt r

(8)

0(0)R R (9)

sendo SS a densidade do slido seco, 2H O a

densidade da gua, 0X a umidade inicial, eqX

a umidade de equilbrio e 0R o raio inicial

dos gros. A Equao (5) a condio inicial

do problema e estabelece que no incio da

hidratao os gros possuem umidade

conhecida ( 0X ) e uniformemente distribuda.

A Equao (6) a condio de simetria do

sistema estabelecida no centro dos gros. A

Equao (7) a condio de contorno na

superfcie dos gros, que estabelece que a

umidade de equilbrio imediatamente

atingida quando os gros entram em contato

com a gua. A Equao (8) a equao que

descreve o movimento do raio dos gros em

funo do tempo e foi obtida por um balano

de massa global nos gros. Esta equao

necessria para completar o modelo, uma vez

que o comportamento do raio dos gros com o

tempo no conhecido at que se resolva o

modelo. A Equao (9) representa a condio

inicial necessria para resolver a Equao (8)

e estabelece que, no incio da hidratao, os

gros possuem raio constante igual a 0R . As

Equaes (4) - (9) representam a modelagem

matemtica da difuso de umidade em gros

de soja quando se considera este problema

como sendo um problema de Stefan.

3 MATERIAIS E MTODOS

3.1 Dados de umidade em funo do tempo

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Os valores de umidade foram obtidos

para as temperaturas de 10, 20, 30, 40 e 50oC

e foram utilizados gros de soja do cultivar

CD 202, fornecidos pela Cooperativa

Agropecuria Mouroense Ltda (COAMO). O

volume de 1,5 L de soluo de benzoato de

sdio, 0,2% (m/m), foi preparada e o

benzoato de sdio foi utilizado para evitar a

proliferao de microrganismos durante a

submerso dos gros na soluo. A soluo

foi posta em contato com um banho

termosttico at que atingisse a temperatura

na qual seria realizado o teste. A partir deste

momento, os gros de soja foram adicionados

soluo e o tempo comeou a ser medido.

Em tempos pr-determinados amostras eram

retiradas da soluo, tinham o excesso de

umidade superficial retirados com papel

toalha e tinham sua massa aferida. Ento, as

amostras foram inseridas em estufa a 105oC,

durante 24h (LUTZ, 1985). Aps este tempo a

massa da amostra era medida novamente.

Com estes dados foi possvel obter a umidade

dos gros em cada instante de tempo.

3.2 Dados de raio em funo do tempo

Amostras de 16 gros tambm foram

retiradas da soluo em tempos pr-

determinados e o excesso de umidade

superficial foi retirado com papel toalha. As

amostras foram depositadas sobre uma

superfcie no refletiva e, por meio de uma

cmera fotogrfica com resoluo de 5 Mp,

imagens das amostras foram registradas de

uma distncia fixa com intuito de registrar a

ordem de grandeza do crescimento dos gros

ao longo da hidratao. As imagens foram

analisadas pelo programa Image-Pro Plus 5.0,

e o dimetro mdio dos gros de soja presente

nas imagens pde ser aferido. Por

conseguinte, o raio mdio dos gros foi

calculado em funo do tempo. Para que fosse

possvel comparar estas medidas com os

valores calculados pelo modelo, ajustou-se

uma equao emprica que relacionasse o raio

em funo do tempo, como mostra a Equao

(10). Os desvios entre os valores fornecidos

pelo modelo e os dados experimentais foi

calculado pela Equao (11).

exp 0( )t

R t RA Bt

(10)

exp

exp

( ) ( )(%) 100

( )

R t R tDV

R t

(11)

sendo exp ( )R t os valores de raio experimental

em funo do tempo e DV o desvio

percentual entre os valores calculados pelo

modelo e os experimentais.

3.3 Soluo numrica e ajuste dos

parmetros

O modelo proposto foi resolvido por um

esquema numrico explcito desenvolvido no

programa MATLAB. Para obter o esquema

numrico explcito as derivadas temporais

foram aproximadas por diferenas finitas para

frente. As derivadas primeiras radiais e a

derivada segunda foram aproximadas por

diferenas finitas centrais. A derivada

primeira presente na Equao (8) foi

aproximada por diferena finita de trs pontos

com intuito de aumentar a exatido dos

clculos.

Para que fosse possvel comparar os

resultados do modelo com os dados

experimentais de umidade em funo do

tempo, valores mdios de umidade foram

obtidos como uma mdia no volume dos

gros calculados pela Equao (12), sendo

que a integral presente nesta equao foi

avaliada pela comando trapz do

MATLAB.

( )

2

3

0

3( ) ( ( ), ) ( )

( )

R t

mX t X r t t r t drR t

(12)

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sendo ( )mX t os valores mdios de umidade

em base seca.

Os valores de difusividade foram

obtidos pela minimizao da funo objetivo

apresentada pela Equao (13). A

minimizao da funo objetivo foi feita

utilizando-se o comando nlinfit do

MATLAB, especfico para a soluo de

problemas de regresso no linear. Este

comando fornece informaes que podem ser

utilizadas pelo comando nlparci, tambm

do MATLAB, para o clculo das inferncias

estatsticas em relao ao ajuste dos

parmetros.

exp

2

calc exp

1

N

i i

i

X X

(13)

sendo a funo objetivo, calcX as umidades

calculadas pelo modelo, expX as umidade

experimentais e expN o nmero de dados

experimentais.

4 RESULTADOS E DISCUSSO

A Tabela 1 apresenta os valores de

umidade, inicial e de equilbrio, obtidos

experimentalmente, juntamente com os

valores da mdia dos erros quadrticos. A

definio da mdia dos erros quadrticos nada

mais do que o valor final da funo objetivo

( ) dividido pelo nmero de dados

experimentais exp( )N . Pela ordem de

grandeza da mdia dos erros quadrticos

possvel observar que o modelo se ajustou

adequadamente aos dados experimentais em

todas as temperaturas.

Os valores de difusividade so

apresentados na Figura 2 e apresentaram

aumento em funo da temperatura. Este um

resultado esperado, uma vez que se esperam

maiores taxas de transferncia de massa para

maiores temperaturas.

Tabela 1: Umidade inicial, de equilbrio e mdia

dos erros quadrticos.

T (oC) X0 Xeq

3

exp( / ).10N

10 0,126 1,651 2,037

20 0,128 1,651 2,229

30 0,122 1,727 2,065

40 0,121 1,897 4,670

50 0,103 1,791 2,819

Figura 2: Difusividade em funo da temperatura.

Os perfis de umidade apresentados a

seguir se referem hidratao dos gros de

soja na temperatura de 10oC. Para as demais

temperaturas os perfis tendem a atingir mais

rapidamente condies que tendem a um

estado de equilbrio devido ao aumento nas

taxas de difuso de umidade devido ao

aumento da temperatura.

Os perfis de umidade em funo do

tempo para vrias posies radiais so

apresentados na Figura 3. Vale ressaltar a

dependncia da coordenada radial com o

tempo, uma vez que o raio dos gros foi

considerado um contorno mvel do sistema.

Nesta figura fica ntido como a umidade se

distribui em funo do tempo para diferentes

posies radiais. possvel tambm observar

a condio de contorno na superfcie dos

gros ( ( )r R t ), a qual estabelece que a

umidade de equilbrio imediatamente

atingida na superfcie.

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Figura 3: Perfis de umidade em funo do tempo

para vrias posies radiais.

A Figura 4 apresenta os perfis de

umidade em funo da posio radial para

vrios valores de tempo. No incio da

absoro de umidade no h aumento do

tamanho dos gros e eles possuem umidade

inicial igual a 0X . Conforme o processo de

difuso avana no tempo, observa-se que o

modelo prev novas posies radiais que

surgem devido ao aumento dos gros ao

absorver gua. O modelo calcula tambm os

perfis de umidade destas novas posies

radiais. por esta razo que os perfis se

estendem alm do tamanho inicial dos gros

( 0 3 mmR ).

Figura 4: Perfis de umidade em funo da

posio radial para vrios valores de tempo.

O modelo previu perfis de umidade

mdios satisfatrios e com alta concordncia

com os dados experimentais de umidade a

partir da Equao (12) (Figura 5). As

principais caractersticas da curva cintica de

hidratao foram contempladas.

Figura 5: Perfil mdio de umidade comparado

com dados experimentais.

O mtodo de anlise de imagem dos

gros para obteno do aumento do tamanho

dos gros em funo do tempo se mostrou

adequado e forneceu resultados satisfatrios

(Figura 6). A ordem de grandeza do aumento

dos gros devido absoro de umidade foi

captada e est de acordo com a tendncia

esperada do comportamento do raio dos gros

em funo do tempo. Esperava-se que no

incio do processo, o qual caracterizado por

taxas altas de difuso de umidade devido aos

altos gradientes de umidade, os gros

aumentassem significativamente. Conforme o

gradiente de umidade fosse diminuindo,

esperava-se que o aumento dos gros tambm

diminusse gradativamente at que um valor

mximo do raio fosse atingido. Este

comportamento pode ser claramente

observado para trs diferentes temperaturas na

Figura 6. O uso da Equao (10) para

representar estes dados auxiliou na

comparao dos valores obtidos

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experimentalmente com os valores calculados

pelo modelo.

Figura 6: Raio em funo do tempo: valores

experimentais e calculados pela Equao (10).

A Figura 7 apresenta a comparao

entre os valores de raio calculados pelo

modelo e os obtidos experimentalmente

(representados pela Equao (10)). Os valores

experimentais obtidos foram maiores do que

os calculados pelo modelo. Desvios puderam

ser observados, principalmente na regio de

transio entre a difuso altamente transiente

e a condio estacionria. Conforme o tempo

de hidratao avanava, foi possvel observar

que tanto o modelo, quanto a realidade

experimental tenderam a um valor de raio

mximo, que desviaram levemente na regio

estacionria. Os gros partiram de um raio

inicial de 0 3 mmR e atingiram um valor

mximo experimental igual a mx 4,2 mmR ,

o que corresponde a um aumento de 40,6%. O

modelo previu um raio mximo igual a

mx 4,1mmR , que corresponde a um

aumento de 37,4%.

Figura 7: Comparao dos valores de raio

experimentais e calculados pelo modelo.

Os desvios entre os valores previstos

pelo modelo e obtidos experimentalmente

foram calculados pela Equao (11) e so

apresentados na Figura 8. Ficam ainda mais

claras as regies do processo de difuso de

umidade nas quais houve os maiores desvios

entre os valores de raio previstos pelo modelo

e os valores experimentais. A partir do

momento em que os gros atingem o raio

mximo, o desvio entre os valores preditos

pelo modelo e experimentais se torna

constante.

Figura 8: Desvios dos valores calculados pelo

modelo e dados experimentais.

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Devido natureza viscoelstica e

anisotrpica dos gros de soja, o tegumento

dos gros apresenta um crescimento

desproporcional numa direo preferencial a

partir de certo momento do processo de

hidratao. Esta anomalia faz com que a

forma geomtrica dos gros deixe de ser

prxima a uma esfera e se aproxime de um

elipsoide (Figura 9).

A metodologia de obteno de dados de

raio dos gros por anlise de imagem foi

capaz de captar o acrscimo de tamanho que

ocorre desproporcionalmente nos gros. Este

acrscimo representado pelas regies em

cinza na Figura 8. Este acrscimo de tamanho

foi, ento, contabilizado na estimativa do

dimetro mdio dos gros, feita pelo

programa Image-Pro Plus 5.0. Assim, foram

obtidos dimetros mdios maiores para os

gros, causando o afastamento da previso do

modelo.

Figura 9: Crescimento desproporcional do gro de soja em comparao com o crescimento de uma esfera.

5 CONCLUSO

O modelo proposto neste trabalho

apresentou concordncia satisfatria com

dados experimentais e foi capaz de modelar a

difuso de umidade em gros de soja como

sendo um problema do tipo Stefan. O modelo

tambm foi capaz de calcular as novas

posies radiais que surgiam devido ao

aumento dos gros durante a hidratao bem

como calculou os perfis de umidade para as

novas posies radiais.

Houve desvios da predio do modelo

do comportamento do raio dos gros em

funo do tempo quando comparados com

valores de raio experimentais, obtidos por

anlise de imagem. Embora o mtodo de

anlise de imagem tenha fornecido bons

resultados, os desvios de predio surgiram,

principalmente, devido ao crescimento

desproporcional do tegumento dos gros de

soja numa direo preferencial a partir de

certo momento da hidratao.

A metodologia apresentada neste

trabalho pode ser estendida a problemas de

transferncia de calor com um contorno

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mvel, que seja semelhante ao problema

abordado.

NOMENCLATURA

A Constante da equao do raio

experimental (s-1

)

B Constante da equao do raio

experimental (s)

D Difusividade (m2/s)

DV Desvio percentual (%)

i ndice (adim.)

N Nmero de dados experimentais (adim.) r Coordenada radial (m)

R Raio dos gros (m)

t Coordenada temporal (s)

T Temperatura (oC)

X Umidade em base seca ( gua SSkg /kg )

Letras gregas

Densidade (kg/m3)

Funo objetivo (2 2

guakg /kgSS )

Subscritos

0 Inicial

calc Valor calculado

eq Equilbrio

exp Experimental

m Mdio

SS Slido seco

REFERNCIAS

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AGRADECIMENTOS

O presente trabalho foi realizado com o

apoio da Coordenao de Aperfeioamento de

Pessoal de Nvel Superior CAPES Brasil.

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