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DIFRAÇÃO
Aluno: Ubiratan CustódioProf.: Homero Schiabel
Março de 2007
SEL-5705 Fundamentos Físicos dos Processos de Formação de Imagens Médicas
DIFRAÇÃO
Fonte de luz projetando uma sombra em uma tela
• Espera-se que a imagem seja nítida
• Bordas borradas
• Parte da luz desviada para dentro da sombra
• Parte da luz desviada para fora da sombra
• Franjas com mais ou menos brilho
DIFRAÇÃO
Não restrita à luz
Ocorre também com
• Ondas sonoras
• Raios-X
• Ondas de Rádio
• Ondas na água
Sempre que parte da onda é bloqueada por um obstáculo.
PRINCÍPIO DE HUYGENS“ explica como tais ondas simplesmente desviam de sua direção inicial e
curvam-se em torno de um obstáculo”
Christian Huygens (1629-1695)
• Matemático e astrônomo alemão
• Inventou o relógio de pêndulo
• Formulou leis que governam a conservação do momento, força centrífuga e momento de inércia
• Construiu telescópios de qualidade superior
• Descobriu a sexta lua de Saturno, Titan
• Em 1678 apresentou o conceito conhecido como Princípio de Huygens
PRINCÍPIO DE HUYGENS
Frente de onda“superfície hipotética que conecta pontos de mesma fase”
TIPOS DE DIFRAÇÃODependendo das distâncias envolvidas:
• Difração de FraunhoferFonte e tela distantesLuz essencialmente paralela“Difração de Campo Distante”
• Difração de FresnelFonte e tela estão próximos“Difração de Campo Próximo”
Fresnel > Mais geral e inclui a Difração de Fraunhofer como um caso especial
Fraunhofer > De mais fácil discussão
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER
Joseph Fraunhofer (1787-1826)
• Alemão
• Trabalhou como aprendiz de óptico
• Sócio em fábrica de teodolitos de precisão
• Professor na Universidade de Munique
• Nomeado cavaleiro pelo Rei Maximilian da Bavária
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER
Difração em uma fenda simples
Fig 14-3
Fig 14-4
Amplitude resultante iAA
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER
Pontos acima e abaixo de Po
2
2
sen
AA i
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER
Máximas e Mínimas – Fenda Simples
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER
Abertura circular
• Grande interesse prático
Maioria das lentes e anteparos são circulares
ResultadoMáximas e mínimas em forma de anéis concêntricos
Brilho máximo central > Disco de Airy
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER
Sir George Biddell Airy (1801-1892)
• Matemático Britânico
• Astrônomo Real
• Diretor do observatório de Greenwich
• Mais conhecido pelo disco de Airy descrito em:
“On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture” (1835)
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER
Abertura circular
• Análise matemática mais complexa que a fenda simples
Mínimas:
Fenda simples:
Abertura circular:
Sendo J derivado das Funções de Bessel de Primeira-ordem
.. msens .. Jsens
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER
Abertura circular
Funções de Bessel de Primeira-ordem
• Variam entre máxima e mínima• Diminuem amplitude saindo do centro
1ª máxima > J = 1,6352ª máxima > J = 2,6793 próximas mínimas
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER
Abertura circular
Exemplo
Difração Abertura Circular = Obstáculo CircularRazão > efeito relativo às bordas
Mais fácil de visualizarDifração de Múltiplas Aberturas ou Obstáculos
Sol em atmosfera brumosa, com gotículas ou cristais de gelo
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFERCritério de Rayleigh
Difração de Abertura Circular > limita resolução de qualquer sistema óptico
Telescópio apontado para duas estrelas próximas de igual brilho
Difração vista do plano focal da lente ou telescópio
• Separadas > estrelas aparecem separadas
• Máximas centrais se fundem > estrelas serão vistas como uma
• Máximo Central = 1ª mínima > Resolução Marginal“Critério de Rayleigh”
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER
Critério de Rayleigh
Da tabela vemos que
Uma lente de diâmetro DLuz de comprimento de onde λ
O mínimoa ângulo de resolução é:
D
.22,1min
A lente mesmo que fosse completamente corrigida de todas aberrações ainda seria limitada em difração
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER
Critério de Rayleigh
Condição do Telescópio = Microscópio
Resolução do microscópio = λ da luz usada
UV, Raios-X, elétrons > melhores e maiores
resoluções
DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Augustin Jean Fresnel (1788-1827)
• Físico Francês
• Engenheiro Civil interessado em óptica
• Apresentou 1° tratamento rigoroso sobre difração
• Inventou lentes mais leves usadas em faróis de carros, iluminação.
DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Não limitada à luz paralela
Faixas aumentam de ½ λ
Elementos de frente de onda“Zonas de Meio-período de Fresnel”
2
13
2
12
2
1''
ba
ba
baba
ba
DIFRAÇÃO DE FRESNELConsiderando o distúrbio
Causado pordW = elemento da frente de onda E agindo no ponto médio da tela
Somando as contribuições das ondas temos a Integral de Fresnel
v = comprimento da curva de vibração (variável)dv = fasor (amplitude) de elementos individuais de frente de onda
dWtvsenAdy ...2.
dvvseny
dvvx
2
2
..2
1
..2
1cos
DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Considerando o distúrbio
Direção de dv
x
ytg
e
v
.
..2
1 2
DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Espiral de Cornu
Método gráfico para solução de problemas de difração
Marie Alfred Cornu (1841-1902)
• Físico alemão
• Professor de Física experimental
• Determinou a velocidade da luz pelo método de Fizeau
DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Espiral de Cornu
Solucionando as Integrais de Fresnel entre
temos a tabela
2
1 0
v
e
v
DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Espiral de Cornu
Traçando um gráfico de x versus y temos
DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Espiral de Cornu
Amplitude total = cordaCorda ^2 = Intensidade de Luz
Olhos da EspiralSuperior :x=y=(+0,5 , +0,5)Inferior :X=y=(-0,5 , -0,5)
DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Espiral de CornuAplicações
Difração Borda da Lâmina
Amplitude Po é porporcional à cordaCorda = amplitude total(corda)2 = intensidade de luz
DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Espiral de CornuAplicações
Amplitude Po é porporcional à corda
Corda > amplitude total
(corda)2 = intensidade de luz
DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Espiral de CornuAplicações
Cor sofre variações periódicas (máximas e mínimas) não mudando monotonicamente.
DIFRAÇÃO DE FRESNELEspiral de Cornu
Em certos pontos:Amplitude > Amplitude sem obstáculos
Na sombra > Intensidade decai gradualmenteFora da Sombra > Há Franjas
DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Espiral de Cornu
ExemploCalcular a intensidade relativa (Io):
a) Onde v=-1,0 (dentro da sombra)
b) Onde v=+1,0 (fora da sombra)
Da tabela temos
V=1,00 , x = 0,7799 , y = 0,4383
DIFRAÇÃO DE FRESNELEspiral de CornuExemploa) Onde v=-1,0 (dentro da sombra)
Dentro da sombraFasor > de (-0,5 , -0,5) a (-0,7799 , -0,4383)
Io > Intensidae na máxima de ordem zero
IoI
IoI
y
x
.041,0
0617,02799,02
1
0617,04383,05,0
2799,07799,05,0
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DIFRAÇÃO DE FRESNEL
Espiral de CornuExemplob) Onde v=+1,0 (dentro da sombra)
Fora da sombra
Io > Intensidade na máxima de ordem zero
IoI
IoI
y
x
.26,1
9383,02799,12
1
9383,04383,05,0
2799,17799,05,0
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CONCLUSÕES• Vários fenômenos de difração existem
• Sombra de obstáculo circular > ponto brilhante central – “Ponto de Poisson”
Razão: Infinito números de raios que convergem no eixo
Quanto mais pontos de luz, mais Pontos de Poisson
BIBLIOGRAFIA
• Meyer-Arendt, Jurgen R.
Introduction to Classical and Modern Optics – 4ª edição
• Web site Wikipedia.com