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Diferenciação entre Modelos Matemáticos

Hidrodinâmicos e a Inclusão do Efeito de Águas

Rasas

Vitor Augusto Silveira Scaramelo

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Naval e Oceânica da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de

Engenheiro Naval.

Orientador: Claudio Alexis Rodríguez Castillo,

D.Sc.

Rio de Janeiro

Julho de 2017

i

Diferenciação entre Modelos Matemáticos Hidrodinâmicos e a inclusão do efeito de

Águas Rasas


PROJETO DE GRADUAÇÃO APRESENTADO AO CURSO DE ENGENHARIA

NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA, UNIVERSIDADE FEDERAL DO

RIO DE JANEIRO, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO

DO TÍTULO DE ENGENHEIRO NAVAL.

Examinada por:

___________________________________________

Prof. Claudio Alexis Rodríguez Castillo, D.Sc.

(ORIENTADOR)

___________________________________________

Prof. Edson Mesquita dos Santos, D. Sc.

___________________________________________

Prof. Marcelo de Almeida Santos Neves, Ph. D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

JANEIRO de 2017

ii

Silveira Scaramelo, Vitor Augusto

Diferenciação entre Modelos Matemáticos

Hidrodinâmicos e a inclusão do Efeito de Águas

Rasas/Vitor Augusto Silveira Scaramelo – Rio de Janeiro:

UFRJ/ Escola Politécnica, 2017.

VIII, 43p., il.; 29,7 cm

Orientador: Claudio Alexis Rodríguez Castillo

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/

Curso de Engenharia Naval e Oceânica, 2017

Referências Bibliográficas: p. 36-38

1. Manobrabilidade do navio.

I. Alexis Rodríguez Castillo,Claudio. II. Universidade

Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de

Engenharia Naval e Oceânica. III. Diferenciação entre

Modelos Matemáticos Hidrodinâmicos e a inclusão do

Efeito de Águas Rasas/.

iii

À Deus e a minha família,

sem eles nada disso seria possível.

iv

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, agradeço a Deus pelas oportunidades a mim concedidas.

Em seguida, aos meus pais Fernando Scaramelo e Maria de Lourdes pelo

ensinamento diário do que é o amor em todas as esferas, por acreditarem em mim e

por toda a espécie de suporte que é possível alguém dar ao outro. Sou eternamente

grato a eles.

Agradeço as minhas irmãs Barbara, Sarah e Verônica e meus cunhados Danilo e

Gustavo pelo apoio, carinho e incentivos dados a correr atrás dos meus sonhos.

Agradeço aos meus familiares mais presentes que sempre me incentivaram e, em

especial, ao meu primo Fernando Menezes que se tornou um irmão mais velho onde

além do suporte vital e do companheirismo, o aprendizado em cada conversa era

sempre inevitável.

Aos meus amigos do Guarujá, que mostraram não haver distâncias para uma amizade

verdadeira. Aos amigos adquiridos na UFRJ, seja no ciclo básico ou no ciclo

profissional da naval, amigos que levarei no coração e que foram imensamente

importantes para a completude dessa jornada. E aos meus irmãos em Cristo, que

ganhei ao longo dos anos vividos no Rio de Janeiro, agradeço por toda paciência,

conselhos e amor dado.

A Fernanda McComb pelo companheirismo, carinho, paciência e personificação do

amor que ela representa.

Ao Instituto de Ciências Náuticas pela oportunidade concedida de me desenvolver

como Engenheiro Naval. Ao departamento de Pesquisa e Desenvolvimento pela troca

de aprendizado diária e, em especial, ao meu gestor e amigo, Luiz Felipe Guaycuru,

pela confiança dada nesse último ano.

Agradeço ao Edson Mesquita pela troca de conhecimentos ao longo do ano, cada

encontro era como um mergulho mais fundo no conhecimento.

Agradeço ao meu orientador Claudio Alexis Rodríguez Castillo pelo apoio e privilégio

de ter assistido uma das melhores aulas que tive na faculdade.

v

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval.

Diferenciação entre Modelos Matemáticos Hidrodinâmicos e a inclusão do Efeito de

Águas Rasas


Julho/ 2017

Orientador: Claudio Alexis Rodríguez Castillo

Curso: Engenharia Naval e Oceânica

As equações de manobra lenta do navio no plano horizontal são apresentadas e

discutidas. Os modelos de Abkowitz, MARAD, INOUE,Ship Analytcs são definidos e

comparados. O algoritmo para inclusão do efeito de águas rasas é mostrado. Discute-

se também os procedimentos necessários para encontrar os coeficientes de cada

multiplicador de efeito de águas rasas inseridos nas derivadas hidrodinâmicas. São

apresentados resultados da manobra de um VLCC mostrando o uso do algoritmo e

sua aplicação à manobra.

Palavras-chave: Manobrabilidade, Abkowitz,MARAD,INOUE,Curva de Giro, Águas

Rasas, Simulador de Manobra de Navio.

vi

Abstract of undergraduate project presented to POLI/ UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Engineer.

Differentiation between Hydrodynamic Mathematical Models and an Inclusion of

the Shallow Water Effect


Julho/ 2017

Advisor: Claudio Alexis Rodríguez Castillo

Course: Naval and Ocean Engineering

Equations of slow maneuvering of the ship in the horizontal plane are presented and

discussed. The Abkowitz, MARAD, INOUE and Ship Analytics models are defined and

compared. The algorithm for inclusion of shallow water effect is shown. Procedures

required to find the coefficients of each shallow water effect multiplier are also

discussed. Results of a VLCC maneuver are presented to show the algorithm effect on

the trial.

Keywords: Maneuverability, Abkowitz, MARAD, INOUE, Turning Circle, Shallow Water,

Navigational Simulators .

vii

1. SUMÁRIO

2. INTRODUÇÃO ............................................................................................ 1

2.1. Motivação ............................................................................................ 1

2.2. Objetivo ................................................................................................ 2

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................ 3

3.1. Manobrabilidade de Navios .................................................................. 3

3.1.1. Eixos de Referência adotados ........................................................ 3

3.1.2. Equações do Movimento ................................................................ 6

3.2. Modelos Matemáticos para Manobra de Navios ................................. 11

3.2.1. Sistema Holístico X Sistema Modular ........................................... 11

3.2.2. Modelo pela formulação de Abkowitz ............................................ 12

3.2.3. Modelo pela formulação de Inoue ................................................. 14

3.2.4. Modelo pela formulação do MARAD ............................................. 16

3.2.5. Modelo pela formulação do Ship Analytics .................................... 17

4. COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS MATEMÁTICOS .............................. 18

4.1. Longitudinal ........................................................................................ 18

4.2. Transversal ........................................................................................ 19

4.3. Leme .................................................................................................. 19

4.4. Comentários Gerais acerca dos modelos ........................................... 20

5. Efeito de águas rasas................................................................................ 23

5.1. Algoritmo ............................................................................................ 23

5.2. Determinação dos coeficientes .......................................................... 24

viii

5.2.1. Processo 1 .................................................................................... 24

5.2.2. Processo 2 .................................................................................... 26

5.2.3. Processo 3 .................................................................................... 26

5.2.4. Coeficientes genéricos de águas rasas......................................... 26

5.3. Resultados Esperados ....................................................................... 28

5.4. Curva de Giro ..................................................................................... 32

5.5. Resultados ......................................................................................... 34

6. Conclusão ................................................................................................. 37

6.1. Trabalhos futuros ............................................................................... 37

7. Referências ............................................................................................... 38

8. Anexos ...................................................................................................... 41

8.1. Algoritmo implementado ..................................................................... 41

1

2. INTRODUÇÃO

O uso de simuladores em tempo real na engenharia está cada vez mais

disseminado em áreas completamente diferentes. Vemos o uso para treinamento e

formação de pilotos de aviação assim como de oficiais de náutica. Hoje com o

crescimento dos navios e consequentemente dos guindastes, vemos simuladores

também para operadores de grandes máquinas como os portêiners usados para

carregar descarregar contêiners dos navios nos portos.

Não muito recente, os simuladores de navegação têm se tornado muito mais

precisos. Haja vista que, os simuladores de voo são, geralmente, também fabricados

pelos fabricantes das aeronaves, fazendo com que o acesso a informações vitais seja

muito mais preciso, esses simuladores de voo tinham muito mais confiabilidade do que

os simuladores de manobra de navio [1]. Hoje isso já está superado e temos grandes

empresas internacionais focadas no desenvolvimento de simuladores da área

marítima com movimentos nos seis graus de liberdade e inclusive salas de passadiço

sentadas em braços hidráulicos que simulam os movimentos de “pitch”,”heave” e “roll”

durante a manobra.

2.1. Motivação

Acreditando na importância da simulação para treinamento humano, visto que

grande parte dos acidentes é devido a falha humana por falta de treinamento. No ano

passado (2016) tivemos um acidente evitado na baía de Guanabara onde um

problema na máquina do leme fez com que o leme do navio tivesse emperrado para

boreste. O prático ao perceber a falha na máquina imediatamente fez os

procedimentos corretos evitando com que o navio colidisse com a Fortaleza Santa

Cruz [2] . O prático justificou como diferencial o seu treinamento em simuladores

“Devido ao constante treinamento em simuladores (felizmente participei de 5

treinamentos nos últimos anos), tomei rapidamente as medidas necessárias para

evitar a colisão iminente. ” [3].

Desta forma, as empresas brasileiras devem investir em desenvolvimento de

simuladores, e para tal, deve-se investir em publicações e estudos nacionais para o

aprimoramento do conteúdo nacional. Temos muitas empresas brasileiras na área de

navegação, mas quase nenhuma com simulador com desenvolvimento próprio, elas

então ficam reféns de empresas internacionais que cobram caro para a manutenção

dos sistemas e novas implementações. As exceções são os convênios entre as

2

instituições tais como a USP e a transpetro, em que desenvolveram um simulador para

treinamento da tripulação desta. Fora isso, temos algumas empresas e instituições

que tem atualmente desenvolvendo simuladores para treinamento e outros fins

comerciais tais como os do LabOceano da COPPE/UFRJ e o Instituto de Ciências

Náuticas [4].

2.2. Objetivo

Visto que temos poucas publicações nacionais com modelos matemáticos

disponibilizados. Vemos uma das primeiras teses publicadas expondo a “caixa preta”

do coração dos simuladores no Brasil por Mesquita(1999) [5] , depois temos Marco

Aurélio [6], ambos falando do modelo matemático de manobras lentas no plano

horizontal.

Neste trabalho, queremos mostrar algumas diferenciações entre os modelos de

manobra lenta no plano horizontal que foram estudadas ao longo dos anos, mas não

são de fácil acesso bem como a implementação do efeito da profundidade na

manobra, fator crucial no treinamento visto que os momentos de maior risco são na

atracação e desatracação que acontece em regiões portuárias que se encaixam na

faixa de ocorrência de efeito de águas rasas.

3

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Nesta seção há uma breve revisão sobre as equações que envolvem as

manobras de navio e posteriormente os modelos clássicos propostos para o uso em

simuladores de manobra de navios.

3.1. Manobrabilidade de Navios

Antes da descrição das equações que envolvem as manobras de navio é

necessário se fazer uma definição dos eixos de referência adotados.

3.1.1. Eixos de Referência adotados

Para a representação dos movimentos dos navios são necessários dois eixos

de referência, sendo um inercial ao corpo rígido e outro solidário ao corpo, ou seja,

que está fixo em relação ao corpo e se movimenta com ele.

Figura 1 eixo inercial OXYZ e eixo Cxyz solidário ao corpo rígido

As equações de movimento clássica oriundas da 2ª Lei de Newton para os 6

graus de liberdade são estabelecidas em relação ao eixo inercial e se dão por:

∑𝐴𝑗𝑘 ∗ 𝛼𝑘(t) = Fj(t) sendo j = 1,2,… ,6

4

Equação 1

Sendo,

Fj – Forças e Momentos externos atuando sobre o corpo na direção j.

αk - Acelerações na direção k do movimento.

𝐴𝑗𝑘 – Componentes da matriz de inércia.

Vale ressaltar que o uso do referencial solidário é conveniente aos cálculos de

propriedades físicas que são sensíveis a variação da distância do corpo ao sistema de

referência como, por exemplo, o momento de inércia que varia quando o referencial

varia, desta forma, ao adotar um referencial do corpo podemos manter fixo no tempo

tais valores.

Portanto, é necessário fazer a transformação entre os eixos.

Figura 2 Eixo Solidário ao corpo (0 x y z) e eixo inercial (0 X0 Y0 Z0).

Eixo inercial O X0 Y0 Z0 sistema utilizado para realizar a trajetória do

corpo e sabermos a sua posição em relação a terra (por exemplo, uma

estação de comando).

o O plano (X0 Y0) se refere ao plano da superfície livre não

perturbada, com o eixo vertical Z0 apontado para baixo da

superfície.

o �⃗⃗� 0 , �⃗⃗� 0 , 𝐾⃗⃗ ⃗0 são os vetores unitários associados.

Eixo 0 X Y Z é o sistema fixo ao corpo

o Sendo X positivo para a proa.

5

o Y positivo para a boreste.

o Z positivo para o fundo do navio

o �⃗⃗� , �⃗⃗� , 𝐾⃗⃗ ⃗ são os vetores unitários associados.

o Não necessariamente o eixo fixo ao corpo está posicionado no

centro de gravidade (Cg) do corpo.

Então, a matriz T de transformação entre os eixos de inércia e fixo ao corpo é:

Sendo os ângulos de Euler Ψ θ Φ referentes a rotação em torno de Z, Y e X

respectivamente. Vale ressaltar que se chegou a essa matriz com a rotação dos eixos

na ordem escrita anteriormente Z, Y e X. Se omite aqui o procedimento de como

chegou-se a essa matriz pois ela se encontra largamente disponível em inúmeras

referências utilizadas tais como [7] , [8] e [9].

Portanto, a transformação entre o eixo inercial e o eixo fixo ao corpo fica:

[𝐼

𝐽

�⃗⃗�

] = T(Ψ, θ, Φ) [𝐼0⃗⃗ ⃗

𝐽0⃗⃗ ⃗

𝐾0⃗⃗⃗⃗ ⃗

]

6

3.1.2. Equações do Movimento

Antes de apresentar as equações, deve-se relembrar a nomenclatura mais

utilizada entre os Engenheiros Navais para os movimentos dos navios.

Figura 3 Eixo fixo ao corpo e nomenclatura dos movimentos

Figura 4 Nomenclatura adotada pela SNAME(1950)

7

Figura 5 Orientação entre o eixo inercial e o eixo fixo ao corpo

Sendo XG, YG, ZG a posição do centro de gravidade do navio em relação ao

eixo inercial, podemos representar as equações de movimento do navio oriundas da

mecânica clássica no equilíbrio dinâmico como :

m * 𝐴 G = X 𝑖 + Y 𝑗 + Z �⃗�

Sendo AG aceleração no centro de gravidade do navio.

X força externa ao longo do eixo x.

Y força externa ao longo do eixo y.

Z força externa ao longo do eixo z.

Utilizando a nomenclatura adotada na Figura 4 Nomenclatura adotada pela

SNAME(1950). E nos abstendo da demonstração que se encontra em [7] temos.

Equação 2

8

E da mesma maneira, também temos as equações da dinâmica em relação aos

momentos externos.

Equação 3

9

As forças X, Y,Z e momentos K,M,N são resultantes das interações externas ao

casco, podendo ser compostas em interação hidrodinâmica da resistência causada

entre casco e água, leme e água, propulsor e água bem como vento, correntes e onda.

Existe ainda as forças oriundas de agentes como rebocadores e thrusters.

Como não sabemos as funções que governam tais fenômenos, mas sabemos

que para movimentos suaves elas se comportam razoavelmente bem, podemos

aproximar fazendo uma expansão em série de Taylor para cada variável em função

dos parâmetros relativos à dinâmica do movimento, que são, as velocidades lineares

u,v,w, velocidades angulares p,q,r, as acelerações que são as derivações no tempo de

tais variáveis.

𝐴(𝑡) = 𝑓(𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑝, 𝑞, 𝑟, �̇�, 𝑣,̇ �̇�, �̇�, �̇�, �̇�)

Equação 4

Sendo,

A(t) – X,Y,Z,K,M,N

𝑓(𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑝, 𝑞, 𝑟, �̇�, 𝑣,̇ �̇�, �̇�, �̇�, �̇�) - Expansão em série de Taylor em função dos

parâmetros, truncamento até a primeira ordem.

Exemplo para 𝑋(𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑝, 𝑞, 𝑟, �̇�, 𝑣,̇ �̇�, �̇�, �̇�, �̇�)

𝑋 = 𝜕𝑋

𝜕𝑢(𝑢 − 𝑢0) +

𝜕𝑋

𝜕𝑣(𝑣 − 𝑣0) +

𝜕𝑋

𝜕𝑤(𝑤 − 𝑤0) +

𝜕𝑋

𝜕𝑝(𝑝 − 𝑝0) + ⋯+

𝜕𝑋

𝜕�̇�(�̇� − 𝑟0)

Sendo que a nomenclatura comumente usada para 𝜕𝐴

𝜕𝑏= 𝐴𝑏 ,que significa a

variação da força A em função do parâmetro b.

Essa expansão em série de Taylor é usada por muitos autores com diferentes

ordens de truncamento, por exemplo, Abkowitz(1964) recomenda desprezar os termos

dependentes de potência das acelerações de ordem superior à primeira pois as forças

inerciais hidrodinâmicas dependem fracamente dos efeitos viscosos. Já Oltman e

Sharma (1984), trabalham com um modelo holístico em que o truncamento se dá na

quinta ordem, incorporando o efeito do balanço do navio na avaliação das

características de manobra de navios conteneiros.

10

Vamos discutir os diferentes modelos de equações de manobra de navios

aplicados a simuladores mais à frente, aqui nos ativemos em lembrar ao leitor alguns

conceitos utilizados no desenvolvimento de tais equações.

11

3.2. Modelos Matemáticos para Manobra de Navios

Como dito anteriormente, as forças oriundas dos agentes externos como

hidrodinâmica do casco, propulsor, ondas etc. São difíceis de formular por uma função

única, e, portanto, ao logo da literatura encontramos diversos autores que encontraram

formulações muitas vezes que funciona muito bem para um caso específico, mas não

funciona para outro. Essas formulações são encontradas com base em procedimentos

empíricos que por meio de ajustes matemáticos encontrou-se formulações que

pudessem servir para uma série de navios e determinadas condições. Aqui se fará um

resumo dos modelos de Abkowitz, Inoue , Marad e da Ship Analytics. Mas vale

ressaltar que existem muitos outros com grande importância para a Engenharia Naval.

3.2.1. Sistema Holístico X Sistema Modular

Antes de iniciarmos a apresentação dos principais modelos matemáticos, faz-

se necessário uma breve explicação do conceito de sistema holístico e sistema

modular aplicado as equações de manobra de navio.

O sistema holístico é basicamente aquele que modela as manobras de um

navio como um sistema completo e fechado. As equações são derivadas de uma

suposição de que a manobra como um todo é o resultado de uma superposição de

diversos movimentos derivados de um movimento de referência, geralmente esse

movimento é o retilíneo uniforme de avanço. Eda e Crane (1965) [10] demonstraram

que para coeficientes obtidos por modelos reduzidos essas equações tem boa

capacidade de descrever os movimentos não lineares. Esse sistema sofre limitação

devido à falta de flexibilidade em obter resultados de partes separadas do modelo, e

dificuldade de acrescentar novos agentes externos como um efeito de interação entre

dois cascos, por exemplo.

Entretanto, o sistema modular busca dividir o sistema de modo que cada

componente tenha autonomia em cada cálculo. Isso embora perca congruência

matemática, ganha-se o poder de adicionar e remover sem grandes complicações

efeitos externos, tais como, correntes, ventos, cabo de reboque etc. Sendo que o

navio também é dividido em partes como casco, propulsor e leme. Nesse tipo de

sistema, encontra-se a maioria dos modelos matemáticos aplicados a simulador, isso

porque, essa flexibilidade é muito atraente para o devido fim do simulador que é poder

se enquadrar à realidade de uma determinada demanda de um usuário, como, por

12

exemplo, uma tripulação de um determinado tipo de navio que pratica uma

determinada manobra. O sistema de Inoue, Marad e de Ship Analytics são sistemas

modulares, mas cada um com suas peculiaridades.

3.2.2. Modelo pela formulação de Abkowitz

O modelo que será apresentado e que fora proposto por Abkowitz [11] foi

deduzido da expansão em série de Taylor com termos até a terceira ordem das

variáveis independentes que governam as ações hidrodinâmicas atuantes no casco;

trata-se das equações para simulação de manobras em águas calmas, em uma

velocidade considerada normal. O modelo é famigerado como clássico não linear para

manobras e considera apenas os três graus de liberdade no plano X-Y, a saber:

Surge – X

Sway – Y

Yaw – N

São considerados termos de até terceira ordem nas ações hidrodinâmicas.

Nos abstendo da demonstração, as equações de manobra proposto por Abkowitz [11]

no plano horizontal são:

(𝑚 − 𝑋�̇�)�̇� = 𝑋0 + 𝑋𝑢∆𝑢 + 1

2𝑋𝑢𝑢∆𝑢2 +

1

6𝑋𝑢𝑢𝑢∆𝑢3 +

1

2𝑋𝑣𝑣𝑣

2 +1

2𝑋𝑟𝑟𝑟

2 +1

2𝑋𝛿𝑅𝛿𝑅

𝛿𝑅2

+1

2𝑋𝑣𝑣𝑢𝑣

2∆𝑢 +1

2𝑋𝑟𝑟𝑢𝑟2∆𝑢 +

1

2𝑋𝛿𝑅𝛿𝑅𝑢𝛿𝑅

2∆𝑢 + (𝑋𝑣𝑟 + 𝑚)𝑣𝑟 + 𝑋𝑣𝛿𝑅𝑣𝛿𝑅

+ 𝑋𝑟𝛿𝑅𝑟𝛿𝑅 + 𝑋𝑣𝑟𝑢𝑣𝑟∆𝑢 + 𝑋𝑣𝛿𝑅𝑢𝑣𝛿𝑅∆𝑢 + 𝑋𝑟𝛿𝑅𝑢𝑟𝛿𝑅∆𝑢

Equação 5

13

(𝑚 − 𝑌�̇�)�̇� − 𝑌�̇��̇�

= 𝑌0 + 𝑌𝑢0∆𝑢 + 𝑌𝑢𝑢

0 ∆𝑢2 + 𝑌𝑣𝑣 +1

6𝑌𝑣𝑣𝑣𝑣

3 +1

2𝑌𝑣𝑟𝑟𝑣𝑟

2 +1

2𝑌𝑣𝑢𝑣∆𝑢

+1

2𝑌𝑣𝛿𝑅𝛿𝑅

𝑣𝛿𝑅2 +

1

2𝑌𝑣𝑢𝑢𝑣∆𝑢2 + (𝑌𝑟 + 𝑚𝑢)𝑟 +

1

6𝑌𝑟𝑟𝑟𝑟

3 +1

2𝑌𝑟𝑣𝑣𝑟𝑣

2

+1

2𝑌𝑟𝛿𝑅𝛿𝑅

𝑟𝛿𝑅2 + 𝑌𝑟𝑢𝑟∆𝑢 +

1

2𝑌𝑟𝑢𝑢𝑟∆𝑢2 + 𝑌𝛿𝑅

𝛿𝑅 +1

6𝑌𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅

𝛿𝑅3

+1

2𝑌𝛿𝑅𝑣𝑣𝛿𝑅𝑣2 +

1

2𝑌𝛿𝑅𝑟𝑟𝛿𝑅𝑟2 + 𝑌𝛿𝑅𝑢𝛿𝑅∆𝑢 +

1

2𝑌𝛿𝑅𝑢𝑢𝛿𝑅∆𝑢2 + 𝑌𝑣𝑟𝛿𝑅

𝑣𝑟𝛿𝑅

Equação 6

−𝑁�̇��̇� + (𝐼𝑍 − 𝑁�̇�)�̇�

= 𝑁0 + 𝑁𝑢0∆𝑢 + 𝑁𝑢𝑢

0 ∆𝑢2 + 𝑁𝑣𝑣 +1

6𝑁𝑣𝑣𝑣𝑣

3 +1

2𝑁𝑣𝑟𝑟𝑣𝑟

2 +1

2𝑁𝑣𝑢𝑣∆𝑢

+1

2𝑁𝑣𝛿𝑅𝛿𝑅

𝑣𝛿𝑅2 +

1

2𝑁𝑣𝑢𝑢𝑣∆𝑢2 + 𝑁𝑟𝑟 +

1

6𝑁𝑟𝑟𝑟𝑟

3 +1

2𝑁𝑟𝑣𝑣𝑟𝑣

2

+1

2𝑁𝑟𝛿𝑅𝛿𝑅

𝑟𝛿𝑅2 + 𝑁𝑟𝑢𝑟∆𝑢 +

1

2𝑁𝑟𝑢𝑢𝑟∆𝑢2 + 𝑁𝛿𝑅

𝛿𝑅 +1

6𝑁𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅

𝛿𝑅3

+1

2𝑁𝛿𝑅𝑣𝑣𝛿𝑅𝑣2 +

1

2𝑁𝛿𝑅𝑟𝑟𝛿𝑅𝑟2 + 𝑁𝛿𝑅𝑢𝛿𝑅∆𝑢 +

1

2𝑁𝛿𝑅𝑢𝑢𝛿𝑅∆𝑢2 + 𝑁𝑣𝑟𝛿𝑅

𝑣𝑟𝛿𝑅

Equação 7

Lembrando que,

𝑿𝒖𝒖 = 𝝏²𝑿

𝝏𝒖𝝏𝒖 ; e assim por diante.

𝜹𝑹 é a deflexão no Leme

∆𝒖 = (𝒖 − 𝒖𝟎) Sendo u velocidade do navio e u0 velocidade normal de referência.

X0 Força em x devido a uma velocidade constante u, e 𝒗 = 𝜹𝑹 = 𝟎.

𝒀𝟎 Força em y devido a uma velocidade constante u, e 𝒗 = 𝜹𝑹 = 𝟎.

𝑵𝟎 Momento em z devido a uma velocidade constante u, e 𝒗 = 𝜹𝑹 = 𝟎.

A força Y0 e o momento N0 são induzidos pela rotação do propulsor (ou de vários) com

o mesmo sentido de rotação.

14

3.2.3. Modelo pela formulação de Inoue

As equações de manobra formuladas por Inoue [12] são formulações de ordem

menor que a de Abkowitz, são na verdade, hibridas sendo até segunda ordem na

equação de Sway e termos de segunda e terceira ordem nas ações de Yaw.

O modelo matemático é do tipo modular e as equações são apresentadas

abaixo conforme proposto em Inoue et al. (1981) [12].

Surge:

𝑚(�̇� − 𝑣𝑟) = 𝑋𝐻 + 𝑋𝑃 + 𝑋𝑅

Equação 8

𝑋𝐻 = −𝑋�̇� + (𝑌𝑣 + 𝑋𝑣𝑟)𝑣𝑟 + 𝑋(𝑢)

𝑋𝑝 = (1 − 𝑡𝑃𝑂)𝜌𝑛2𝐷4𝐾𝑡(𝐽𝑝)

𝐽𝑝 =𝑢(1 − 𝑤𝑃)

𝑛𝐷

𝑤𝑃 = 𝑤𝑃𝑂 exp(𝐾1𝛽𝑃2)

𝛽𝑃 = 𝛽 − 𝑥𝑃′𝑟′

𝐾1 = −4.0

𝑋𝑅 = −𝐹𝑁𝑠𝑒𝑛𝛿𝑅

Sendo que,

XH força em surge da hidrodinâmica do casco

XP força em surge do Propulsor

XR força em surge do Leme

X(u) resistência ao avanço longitudinal

D diâmetro do propulsor

tP0 coeficiente de redução da força propulsiva

n é a rotação do propulsor

xP é a coordenada longitudinal do propulsor

𝛽 é o ângulo de deriva

15

FN força normal ao Leme definida ao final da seção em página 15.

r’ = 𝑟

𝑅 sendo R o raio da curva de giro

Sway:

𝑚(�̇� + 𝑢𝑟) = 𝑌𝐻 + 𝑌𝑅

Equação 9

𝑌𝐻 = 𝑌�̇��̇� + 𝑋�̇�𝑢𝑟 +1

2𝜌𝐿𝑇𝑈2(𝑌′

𝑣𝑣′ + 𝑌′

𝑟𝑟′ + 𝑌′

𝑣|𝑣|𝑣′|𝑣′| + 𝑌′

𝑣|𝑟|𝑣′|𝑟′| + 𝑌′

𝑟|𝑟|𝑟′|𝑟′|)

𝑌𝑅 = −(1 + 𝑎𝐻)𝐹𝑁𝑐𝑜𝑠𝛿𝑅

Yaw:

𝐼𝑧�̇� = 𝑁𝐻 + 𝑁𝑅

Equação 10

𝑁𝐻 = 𝑁�̇��̇� +1

2𝜌𝐿𝑇𝑈2(𝑁′

𝑣𝑣′ + 𝑁′

𝑟𝑟′ + 𝑁′

𝑣𝑣𝑟𝑣′²𝑟′ + 𝑁′

𝑣𝑟𝑟𝑣′𝑟′² + 𝑁′

𝑟|𝑟|𝑟′|𝑟′|)

𝑁𝑅 = −(1 + 𝑎𝐻)𝑥𝑅𝐹𝑁𝑐𝑜𝑠𝛿𝑅

Sendo que,

𝐹𝑁 =1

2𝜌

6.13𝜆

𝜆 + 2.25𝐴𝑅𝑉𝑅²𝑠𝑒𝑛𝛼𝑅

Equação 11 Força normal ao leme

𝑉𝑅2 = 𝑢²𝑅 + 𝑣²𝑅

𝛼𝑅 = 𝛿𝑅 − 𝛾𝛽𝑅

𝛽𝑅 = 𝛽 − 2𝑥′𝑅𝑟

16

3.2.4. Modelo pela formulação do MARAD

O modelo da série sistemática do MARAD [13] é um modelo do tipo modular

com termos de até segunda ordem. É comumente usado na literatura como aferidor de

desempenhos de cascos a serem desenvolvidos visto que tem como parte integrante

uma série de tabelas com coeficientes hidrodinâmicos de diferentes cascos de

modelos reduzidos para navios tanques com formas cheias [14].

Força em X (Surge):

(𝑚′ − 𝑋′�̇�)𝑢′̇ = 𝑚′𝑣′𝑟′ + 𝑋′

𝑢𝑢 + 𝑋′𝑣𝑟𝑣

′𝑟′ +1

2𝑋′

𝑣𝑣𝑣′2 + 𝑋′

𝑟𝑟𝑟′2 + 𝑚′𝑋′𝐺𝑟′̇

+ (𝑋′𝛿𝑅𝛿𝑅

+ 𝑋′𝛿𝑅𝛿𝑅𝑛𝑛𝑛2)𝛿𝑅

2

Equação 12

Força em Y (Sway):

(𝑚′ − (𝑌′�̇�))�̇� − 𝑌′

�̇��̇�

= −𝑚′𝑢′𝑟′ + 𝑌′𝑣𝑣′ + 𝑌′

𝑟𝑟′ + 𝑌′𝑣|𝑟|𝑣′|𝑟

′|

+ 𝑌′𝑣|𝑣|𝑣′|𝑣

′| + 𝑌′𝑟|𝑟|𝑟′|𝑟′| − 𝑚′(𝑋′𝐺𝑟′̇)

+ 𝑌′𝛿𝑅

𝛿𝑅

Equação 13

Momento em Z (Yaw):

(𝐼′𝑍 − 𝑁′�̇�)�̇� − 𝑁′

�̇�𝑣′̇

= 𝑁′𝑣𝑣′ + 𝑁′

𝑟𝑟′ + 𝑁′𝑟|𝑣|𝑟′|𝑣

′| + 𝑁′𝑟|𝑟|𝑟′|𝑟

′| + 𝑁′𝑣|𝑣|𝑣′|𝑣′|

− 𝑚′𝑋′𝐺(𝑣′̇ + 𝑢′𝑟′) + 𝑁′𝛿𝑅𝛿𝑅

Equação 14

17

3.2.5. Modelo pela formulação do Ship Analytics

Sistema modular de até terceira ordem.

Força em X (Surge):

(𝑚′ − 𝑋′�̇�)𝑢′̇ = 𝑚′𝑣′𝑟′ + 𝑋′


′𝑟′ +1

2𝑋′

𝑣𝑣𝑣′2

+ (𝑋𝑢𝑢𝛿𝑅𝑢2 + 𝑋𝑢𝑛𝛿𝑅

𝑢𝑛 + 𝑋𝑛𝑛𝛿𝑅𝑛²)𝛿𝑅

2

Equação 15

Força em Y (Sway):

(𝑚′ − 𝑌′�̇�)𝑣

′̇ − 𝑌′�̇��̇�

= −𝑚′𝑢′𝑟′ + 𝑌′𝑣𝑣

′ + 𝑌′𝑟𝑟

′ +1

2𝑌′

𝑣𝑣𝑟𝑣′2𝑟′ +

1

2𝑌′

𝑣𝑟𝑟𝑣′𝑟′2 +

1

6𝑌′

𝑣𝑣𝑣𝑣′3

+1

6𝑌′

𝑟𝑟𝑟𝑟′3 + (𝑌𝑢𝑢𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅

𝑢2 + 𝑌𝑢𝑛𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅𝑢𝑛 + 𝑌𝑛𝑛𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅

𝑛2)𝛿𝑅3

+ (𝑌𝑢𝑢𝛿𝑅𝑢2 + 𝑌𝑢𝑛𝛿𝑅

𝑢𝑛 + 𝑌𝑛𝑛𝛿𝑅𝑛²)𝛿𝑅

Equação 16

Momento em Z (Yaw):

(𝐼′𝑍 − 𝑁′�̇�)�̇� − 𝑁′

�̇�𝑣′̇

= 𝑁′𝑣𝑣

′ + 𝑁′𝑟𝑟

′ +1

2𝑁′


1

2𝑁′


1

6𝑁′

𝑣𝑣𝑣𝑣′3 +

1

6𝑁′

𝑟𝑟𝑟𝑟′3

+ (𝑁𝑢𝑢𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅𝑢2 + 𝑁𝑢𝑛𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅

𝑢𝑛 + 𝑁𝑛𝑛𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅𝑛2)𝛿𝑅

3

+ (𝑁𝑢𝑢𝛿𝑅𝑢2 + 𝑁𝑢𝑛𝛿𝑅

𝑢𝑛 + 𝑁𝑛𝑛𝛿𝑅𝑛2)𝛿𝑅

Equação 17

18

4. COMPARAÇÃO QUALITATIVA ENTRE MODELOS

MATEMÁTICOS

4.1. Longitudinal

Nas representações da força em Surge:

(𝑚 − 𝑋�̇�)�̇� = 𝑋0 + 𝑋𝑢∆𝑢 + 1

2𝑋𝑢𝑢∆𝑢2 +

1

6𝑋𝑢𝑢𝑢∆𝑢3 +

1

2𝑋𝑣𝑣𝑣

2 +1

2𝑋𝑟𝑟𝑟

2 +1

2𝑋𝛿𝑅𝛿𝑅

𝛿𝑅2 +

1

2𝑋𝑣𝑣𝑢𝑣2∆𝑢 +

1

2𝑋𝑟𝑟𝑢𝑟2∆𝑢 +

1

2𝑋𝛿𝑅𝛿𝑅𝑢𝛿𝑅

2∆𝑢 + (𝑋𝑣𝑟 + 𝑚)𝑣𝑟 + 𝑋𝑣𝛿𝑅𝑣𝛿𝑅 + 𝑋𝑟𝛿𝑅

𝑟𝛿𝑅 +

𝑋𝑣𝑟𝑢𝑣𝑟∆𝑢 + 𝑋𝑣𝛿𝑅𝑢𝑣𝛿𝑅∆𝑢 + 𝑋𝑟𝛿𝑅𝑢𝑟𝛿𝑅∆𝑢 𝐴𝐵𝐾𝑂𝑊𝐼𝑇𝑍 Equação 5

(𝑚′ − 𝑋′�̇�)𝑢′̇ = 𝑚′𝑣′𝑟′ + 𝑋′


′𝑟′ +1

2𝑋′

𝑣𝑣𝑣′2 + 𝑋′

𝑟𝑟𝑟′2 + 𝑚′𝑋′

𝐺𝑟′̇ + (𝑋′

𝛿𝑅𝛿𝑅+

𝑋′𝛿𝑅𝛿𝑅𝑛𝑛𝑛2)𝛿𝑅

2 MARAD Equação 12

(𝑚′ − 𝑋′�̇�)𝑢′̇ = 𝑚′𝑣′𝑟′ + 𝑋′


′𝑟′ +1

2𝑋′

𝑣𝑣𝑣′2

+ (𝑋𝑢𝑢𝛿𝑅𝑢2 + 𝑋𝑢𝑛𝛿𝑅

𝑢𝑛 + 𝑋𝑛𝑛𝛿𝑅𝑛²)𝛿𝑅

2 𝑆𝐻𝐼𝑃 𝐴𝑁𝐴𝐿𝑌𝑇𝐼𝐶𝑆 Equação 15

Nota-se que as formulações pela Ship Analytics tem a mesma representação da

resistência ao avanço que a formulação pelo MARAD , já Abkowitz usa termos de

ordens superiores. Se desconsideramos os termos acoplados com a velocidade

longitudinal em Abkowitz temos que todas as formulações são idênticas, com a

observação que o termo Xrr é nulo pela formulação de Ship Analytics. Strom Tejsen e

Chislett (1964) [15] mostraram que esses termos podem ser desprezados sem perda

de precisão.

19

4.2. Transversal

(𝑚 − 𝑌�̇�)�̇� − 𝑌�̇��̇� = 𝑌0 + 𝑌𝑢0∆𝑢 + 𝑌𝑢𝑢

0 ∆𝑢2 + 𝑌𝑣𝑣 +1

6𝑌𝑣𝑣𝑣𝑣

3 +1

2𝑌𝑣𝑟𝑟𝑣𝑟

2 +

1

2𝑌𝑣𝑢𝑣∆𝑢 +

1

2𝑌𝑣𝛿𝑅𝛿𝑅

𝑣𝛿𝑅2 +

1

2𝑌𝑣𝑢𝑢𝑣∆𝑢2 + (𝑌𝑟 + 𝑚𝑢)𝑟 +

1

6𝑌𝑟𝑟𝑟𝑟

3 +1

2𝑌𝑟𝑣𝑣𝑟𝑣

2 +

1

2𝑌𝑟𝛿𝑅𝛿𝑅

𝑟𝛿𝑅2 + 𝑌𝑟𝑢𝑟∆𝑢 +

1

2𝑌𝑟𝑢𝑢𝑟∆𝑢2 + 𝑌𝛿𝑅

𝛿𝑅 +1

6𝑌𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅

𝛿𝑅3 +

1

2𝑌𝛿𝑅𝑣𝑣𝛿𝑅𝑣2 +

1

2𝑌𝛿𝑅𝑟𝑟𝛿𝑅𝑟2 + 𝑌𝛿𝑅𝑢𝛿𝑅∆𝑢 +

1

2𝑌𝛿𝑅𝑢𝑢𝛿𝑅∆𝑢2 + 𝑌𝑣𝑟𝛿𝑅

𝑣𝑟𝛿𝑅 ABKOWTIZ Equação 6

(𝑚′ − (𝑌′�̇�))�̇� − 𝑌′

�̇��̇� = −𝑚′𝑢′𝑟′ + 𝑌′𝑣𝑣′ + 𝑌′

𝑟𝑟′ + 𝑌′𝑣|𝑟|𝑣′|𝑟

′| +

𝑌′𝑣|𝑣|𝑣′|𝑣

′| + 𝑌′𝑟|𝑟|𝑟′|𝑟′| − 𝑚′(𝑋′𝐺𝑟′̇) + 𝑌′

𝛿𝑅𝛿𝑅 MARAD Equação 13

(𝑚′ − 𝑌′�̇�)𝑣

′̇ − 𝑌′�̇��̇� = −𝑚′𝑢′𝑟′ + 𝑌′

𝑣𝑣′ + 𝑌′

𝑟𝑟′ +

1

2𝑌′


1

2𝑌′


1

6𝑌′

𝑣𝑣𝑣𝑣′3 +

1

6𝑌′

𝑟𝑟𝑟𝑟′3 + (𝑌𝑢𝑢𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅

𝑢2 + 𝑌𝑢𝑛𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅𝑢𝑛 +

𝑌𝑛𝑛𝛿𝑅𝛿𝑅𝛿𝑅𝑛2)𝛿𝑅

3 + (𝑌𝑢𝑢𝛿𝑅𝑢2 + 𝑌𝑢𝑛𝛿𝑅

𝑢𝑛 + 𝑌𝑛𝑛𝛿𝑅𝑛²)𝛿𝑅

SHIP ANALYTICS Equação 16

Nas ações transversais, seja na força em Sway seja no momento em

Yaw, desprezando os termos da velocidade longitudinal acoplados aos outros

dois parâmetros temos que os três modelos estão idênticos.

Mas nos outros termos já não se pode dizer o mesmo, o modelo de

MARAD aparece com termos inferiores e distintos aos outros dois. Esse

aspecto na modelagem dos navios aplicados à simulação de manobra é

relevante, pois o ajuste dos coeficientes do modelo da Ship Analytics é muito

mais dispendioso do que o do MARAD que tem termos de ordens menores

assim como o modelo de INOUE Equação 8 abaixo.

𝑚(�̇� − 𝑣𝑟) = = −𝑋�̇� + (𝑌𝑣 + 𝑋𝑣𝑟)𝑣𝑟 + 𝑋(𝑢) + 𝑋𝑃 + 𝑋𝑅 Equação 8

4.3. Leme

Já na formulação do leme, os sistemas modulares representam grande vantagem e

praticidade quando comparadas com as de Abkowitz visto que a velocidade de rotação

do propulsor e giro do leme podem variar em sinal, o sistema modular permite separar

em diferentes regiões que o sistema clássico não tem a capacidade de reproduzir. Por

exemplo, navio parado com propulsor operando.

20

4.4. Comentários gerais acerca dos modelos

O modelo de Abkowitz [16], comumente chamado de modelo clássico não-

linear foi demonstrado por Strom-Tejsen e Chislett (1964) [15] e Eda e Crane (1965)

[10] tem boa capacidade para descrever manobras não lineares em manobras típicas,

quando os coeficientes são obtidos em testes com modelos reduzidos. Em

contrapartida, o modelo peca para manobras de grandes variações, dado que o

modelo matemático advém de uma expansão em série de Taylor de um movimento de

referência. Outra desvantagem é a enorme quantidade de coeficientes hidrodinâmicos

que se deve determinar.

Segundo o relatório final do trabalho entre a COPPETEC e o CIAGA [14] o

sistema de INOUE tem quase os mesmos resultados para a curva de giro (Figura 6)

que o modelo da Ship Analytics, porém, esse último tem um grande trabalho de

sintonização dos coeficientes. O modelo de INOUE já difere nos resultados para as

manobras de ZIG-ZAG quando comparados com as do Ship Analytics (Figura 7), isso

porque o modelo de INOUE leva em conta os movimentos planares que causam

mudanças no ângulo de ataque, dessa forma, esse modelo reproduz muito bem a

interação casco/propulsor/leme. Ausência disso no modelo da Ship Analytics faz com

que muitas vezes os ajustes dos coeficientes na curva de Giro sejam incompatíveis

com os ajustes na manobra de Zig-Zag e vice versa, fazendo com que seja difícil a

sintonização.

Em contrapartida, o modelo da Ship Analytics oferece uma maior

compatibilidade com a inclusão dos seis graus de liberdade, ou seja, ao se acoplar os

movimentos no plano vertical, movimentos de “heave”,”pitch” e “roll” as equações de

manobra. Portanto, para fins de treinamento onde se realiza diferentes manobras, o

modelo da Ship Analytics se torna mais precioso que o de Inoue que é uma referência

nas manobras padronizadas de giro, zig-zag e parada brusca.

21

Figura 6 Relatório Final COPPETEC. Curva de Giro: INOUE linha contínua,Ship Analytics

linha pontilhada.

22

Figura 7 Relatório Final COPPETEC. Manobra Zig-Zag: INOUE linha contínua.Ship

Analytics linha pontilhada.

23

5. EFEITO DE ÁGUAS RASAS

O algoritmo para efeito de águas rasas proposto pela Ship Analytics [17] nada

mais é que uma modificação nos coeficientes hidrodinâmicos usados nos modelos

matemáticos nas equações de manobra do navio. Cada coeficiente hidrodinâmico de

cada eixo de movimento (Surge,Sway e Yaw) sofre uma modificação por um

coeficiente que é um multiplicador para efeito de águas rasas, esse multiplicador tem

valor igual a um quando em águas profundas (ou seja, os coeficientes hidrodinâmicos

não são alterados) e valor máximo (varia de navio pra navio) quando no limite do efeito

de águas rasas.

5.1. Algoritmo

𝑀𝐴𝑖 = 1 + 𝛼1𝐴𝑖𝑇 + 𝛼2𝐴𝑖𝑇² + 𝛼3𝐴𝑖𝑇3

Onde,

A = {

𝑎 → 𝑆𝑢𝑟𝑔𝑒𝑏 → 𝑆𝑤𝑎𝑦𝑐 → 𝑌𝑎𝑤

𝑅 → 𝑅𝑢𝑑𝑑𝑒𝑟

i = número do coeficiente (derivada hidrodinâmica)

𝛼1𝐴𝑖 ; 𝛼2𝐴𝑖; 𝛼3𝐴𝑖 → São os coeficientes do multiplicador de águas rasas 𝑀𝐴𝑖 de

cada derivada hidrodinâmica Ai

Então, 𝑀𝐴𝑖 é o multiplicador do coeficiente Ai.

Onde,

𝑇 = 𝐻

𝐷0− 𝑇0

T0 Relação 𝐶𝑎𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑇

𝑃𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 “offset”, limita o início do efeito de águas rasas.

0 →𝐻

𝐷0→ 1

𝑉𝑒𝑟𝑦 𝐷𝑒𝑒𝑝 →𝐻

𝐷0→ 𝑉𝑒𝑟𝑦 𝑆ℎ𝑎𝑙𝑙𝑜𝑤

D0 Profundidade da água

24

H Calado Real do navio. H = T - Zheave. Zheave é a correção para o movimento

de “heave” do navio caso o simulador tenha os seis graus de liberdade no modelo

matemático. No presente trabalho, Zheave é igual a zero pois estamos trabalhando

apenas no plano horizontal.

Exemplo, o multiplicador de águas rasas em negrito na Equação 15 de Surge:

𝑋 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒 = 𝑴𝑿𝒖𝒖𝑋′

𝑢𝑢+ 𝑴𝑿𝒗𝒓

𝑋′𝑣𝑟

𝑣′𝑟′ + 𝑴𝑿𝒗𝒗

1

2𝑋′

𝑣𝑣𝑣′2

+ 𝑴𝑹𝑿(𝑋𝑢𝑢𝛿𝑅

𝑢2 + 𝑋𝑢𝑛𝛿𝑅𝑢𝑛 + 𝑋𝑛𝑛𝛿𝑅

𝑛²)𝛿𝑅2

MRX Multiplicador dos coeficientes do leme em Surge.

5.2. Determinação dos coeficientes

O processo de determinação dos coeficientes 𝛼1𝐴𝑖 ; 𝛼2𝐴𝑖; 𝛼3𝐴𝑖 de cada

multiplicador 𝑀𝐴𝑖 usado para modificar os coeficientes hidrodinâmicas e incutir o efeito

da profundidade nas equações é dado a seguir em 3 procedimentos diferentes.

5.2.1. Processo 1

Quando o desenvolver tem os multiplicadores dos coeficientes hidrodinâmicos

para três profundidades de águas rasas. Nesse caso, os coeficientes de águas rasas

são encontrados diretamente resolvendo as equações.

Portanto, se é conhecido:

D1,D2,D3 e T0.

D1,D2,D3 são três profundidades diferentes.

T0 é o “offset” para o início do efeito de águas rasas.

𝑀1𝐴𝑖 para uma dada profundidade D1



25

Sendo, 𝑀1𝐴𝑖; 𝑀2𝐴𝑖 ; 𝑀3𝐴𝑖 três listas1 de multiplicadores de águas rasas para

três profundidades diferentes.

Passo 1:

Montar as seguintes equações:

𝑀1𝐴𝑖 = 1 + 𝛼1𝐴𝑖𝑇1 + 𝛼2𝐴𝑖𝑇1² + 𝛼3𝐴𝑖𝑇13



Equação 18

Onde,

𝑇1 = 𝐻

𝐷1− 𝑇0

𝑇2 = 𝐻

𝐷2− 𝑇0

𝑇3 = 𝐻

𝐷3− 𝑇0

Observação:

0 ≤ T1 ≤ (1 − T0)

0 ≤ T2 ≤ (1 − T0)

0 ≤ T3 ≤ (1 − T0)

Equação 19

A Equação 19 deve ser verdadeira, caso contrário os valores devem ser

resolvidos para que estejam dentro do limite. Se após os ajustes, T1,T2 ou T3

conterem o mesmo valor, a equação não poderá ser resolvida.

Passo 2:

Resolver a Equação 18 para encontrar 𝛼1𝐴𝑖 ; 𝛼2𝐴𝑖; 𝛼3𝐴𝑖 usando qualquer método de

resolução de equação conhecido. Fazer isso para cada multiplicador de cada

coeficiente hidrodinâmico de águas profundas.

1 Listas de multiplicadores porque cada coeficiente hidrodinâmico de águas profundas

tem o seu respectivo multiplicador. Por exemplo, Xvr tem o seu 𝑀𝑋𝑣𝑟.

26

5.2.2. Processo 2

Quando os valores dos coeficientes reais não são conhecidos, mas os testes

de prova de mar são conhecidos para três profundidades de águas rasas. Então,

utiliza-se valores genéricos para os coeficientes do multiplicador de águas rasas e

então os multiplicadores dos coeficientes hidrodinâmicos podem ser calculados para

cada profundidade. Modificando os valores até que se atinja os resultados das provas

de mar de maneira satisfatória. Com esses valores em mãos, pode-se utilizar o

procedimento 1 para completar todo o processo.

5.2.3. Processo 3

Quando não se conhece nenhum valor real para os coeficientes e nem mesmo

dados de prova de mar. Desta maneira, só resta encontra-los por meio de coeficientes

de águas rasas genéricos.

Na próxima seção, explicamos como isso é feito.

5.2.4. Coeficientes genéricos de águas rasas

Baseado em bibliotecas de navios já simulados e métodos empíricos, valores

genéricos são gerados e pode-se prover um efeito de águas rasas.

A seguir, mostra-se uma tabela (Figura 8) exemplo com os coeficientes de um

multiplicador M do coeficiente hidrodinâmico Xuu e o gráfico (Figura 9) desse

multiplicador M x T. Os valores genéricos são encontrados com base no tipo/forma do

navio.

Tendo uma tabela e gráfico para cada coeficiente hidrodinâmico, encontra-se

multiplicadores para formas genéricas de cada coeficiente hidrodinâmico.

27

Figura 8 Coeficientes para formas genéricas para o multiplicador M do coeficiente

hidrodinâmico Xuu (𝑴𝑿𝒖𝒖).

Figura 9 Gráfico de 𝑴𝑿𝒖𝒖 x T para algumas formas genéricas.

28

5.3. Resultados Esperados

O manual da Ship Analytics [17] mostra alguns resultados de curva de giro para

navios tanques.

Condições:

1. 80.000 DWT Tanker. Totalmente carregado. Máquinas em 50 % “half

ahead speed” e leme máximo a boreste em 35º. (Figura 10)

2. 400.000 DWT Tanker. Totalmente carregado. Máquinas em 50 % “half

ahead speed” e leme máximo a boreste em 35º. (Figura 11)

Figura 10 Condição 1 .Efeito da profundidade na curva de giro. Curva mais internas tem a

profundidade maior que as curvas mais externas.

29

Figura 11 Condição 2. Efeito da profundidade na curva de giro. Curva mais interna está em

águas profundas e curva mais externa em águas rasas.

30

A série sistemática do MARAD [13] nos mostra os efeitos da variação de

𝑃𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

𝐶𝑎𝑙𝑎𝑑𝑜 nos adimensionais de velocidade permanente na curva de giro

𝑉

𝑉0,

diâmetro da curva de giro/ Lpp, diâmetro tático/Lpp , transferência/Lpp e avanço/Lpp

em um navio tanque de 200.000 ton de deslocamento à 35 graus para boreste com

uma velocidade de aproximação de 8 nós. Figura 12.

31

Figura 12 Marad. Parâmetros adimensionais da Curva de Giro pela variação de

Profundidade/Calado.

32

5.4. Curva de Giro

Aqui, relembra-se algumas definições da curva de giro. Utilizando da imagem

encontrada na página 548 do Basic Ship theory de Rawson e Tupper [18]

Figura 13 Curva de Giro. Página 548 Basic Ship Theory

Tem-se as seguintes definições:

Velocidade de aproximação: É a velocidade na qual o navio encontra-se

imediatamente antes de acionar o leme. Essa velocidade deve ser uma

velocidade retilínea uniforme e em equilíbrio permanente.

Avanço (advance) : É a distância da linha percorrida pelo centro de

gravidade em uma direção paralela ao curso original do instante em

que o leme foi acionado até um ponto qualquer. Comumente chama-se

de avanço a distância até o ponto onde o aproamento girou em 90

graus do curso original.

Transferência (transfer): É a distância da linha percorrida pelo centro de

gravidade em uma direção perpendicular ao curso original do instante

em que o leme foi acionado até um ponto qualquer. Comumente

33

chama-se de transferência a distância até o ponto onde o aproamento

girou em 90 graus do curso original.

Diâmetro tático (tatical diameter): É o valor da transferência para

quando o aproamento variou em 180 graus do curso original. Vale

ressaltar que essa distância não é o valor máximo da transferência.

Diâmetro do círculo de curvatura constante (Steady turning diameter):

Após o navio atingir o regime permanente o círculo no qual representa a

trajetória do seu centro de gravidade tem o diâmetro chamado dessa

forma.

34

5.5. Resultados

A fim de demonstrar a eficácia do algoritmo de águas rasas apresentado

anteriormente, fizeram-se testes nas seguintes condições.

1. Curva de giro à 35 graus para bombordo em águas profundas. Navio

VLCC 220 k de Porte Bruto. Máquinas em 100%.(Full Ahead).

2. Curva de giro à 35 graus para bombordo em águas rasas (profundidade

de 50 pés, 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

𝐶𝑎𝑙𝑎𝑑𝑜= 1,11). Navio VLCC 220.000 de Porte Bruto.

Máquinas em 100%.(Full Ahead).

3. Curva de giro à 35 graus para bombordo em águas profundas. Navio

VLCC 220 k de Porte Bruto. Máquinas em 50%.(Half Ahead).

4. Curva de giro à 35 graus para bombordo em águas rasas (profundidade

de 50 pés, 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

𝐶𝑎𝑙𝑎𝑑𝑜= 1,11 ). Navio VLCC 220 k de Porte Bruto.

Máquinas em 50%.(Half Ahead).

Os resultados encontram-se na Figura 14.

Figura 14 Resultados dos testes feitos

Vemos que o avanço para uma mudança de aproamento em 90 graus

diminui em águas rasas, e se esperava que ele aumenta-se. Mas isso é

explicado porque ao rodar o programa medimos os valores em velocidade

permanente em linha reta antes de fazer a curva de giro, e a situação de

100 % de máquinas ahead em águas profundas tem velocidade máxima

maior do que em águas rasas a 50 pés. A saber, a velocidade máxima em

águas profunda é de 16,7 nós e em 50 pés é de 9,9 nós, isso porque os

coeficientes são multiplicados por valores maiores que um, e

Profundidade Avaliação Curva de Giro Full Ahead Half Ahead Unidade

Advance at 90 576,0 550,6 m

Max Advance 570,2 545,2 m

Transfer at 90 466,3 469,5 m

Tactical Diameter 982,5 986,3 m

Steady Turning Radius 945,6 945,5 m

Advance at 90 600,4 566,5 m

Max Advance 605,4 570,6 m

Transfer at 90 343,5 359,5 m

Tactical Diameter 805,1 822,4 m

Steady Turning Radius 691,9 692,2 m

50 ft ( 15,24 m)

Águas Profundas

35

consequentemente, os coeficientes que representam a resistência do casco

são aumentados e, portanto, perde-se velocidade, consequentemente, a

inércia do movimento de avanço é menor e, então, o avanço do navio é

diminuído devido à diminuição de sua velocidade.

Já todos os outros parâmetros da curva se comportaram de acordo com o

esperado, a transferência, diâmetro tático e diâmetro da curva em regime

permanente aumentaram significativamente.

36

Os resultados acima foram medidos separadamente, mas para mostrar o efeito

da profundidade, tirou-se um “print screen” da tela quando foi feito o seguinte

procedimento. Primeiro fez-se uma curva de giro em águas profundas em 50 % de

máquinas (Half Ahead) e 35º de leme a bombordo, após atingir o regime permanente,

mudou-se a profundidade para 50 pés, manteve-se o leme e esperou-se entrar em

regime permanente e então tirou-se a foto da tela (Figura 15). A curva mais interna

representa o giro em águas profundas e a curva mais exterior o giro em águas rasas.

Figura 15 Curva de giro para bombordo de águas profundas para águas rasas em 50 pés

de profundidade (profundidade/calado igual a 1,11).

37

6. CONCLUSÃO

O presente projeto passou por uma demonstração de grandes modelos

matemáticos que foram propostos há alguns bons anos, mas que ainda se perpetuam

como referência no mundo da manobrabilidade de navios. Ativemos-nos em uma

análise sucinta dos modelos como forma de trazer à luz algumas peculiaridades de

cada modelo.

Passou-se também por uma demonstração do algoritmo usado proposto pela

Ship Analytics para incluir o efeito de águas rasas nos coeficientes hidrodinâmicos das

equações de manobra lenta e consequentemente incluir o efeito da profundidade na

dinâmica dos simuladores. Além disso, foi mostrado resultados para a curva de giro

onde se deixa claro o quanto o efeito do fundo afeta a manobra , de maneira geral, o

raio é aumentado de tal forma, que o comandante do navio sempre deve saber que

em situações de curva em rios e canais a curva será sempre mais aberta do que seria

em águas profundas e por isso ,deve ser feita com muita atenção e perícia e em

muitos casos em velocidades mais baixas, de modo que essa abertura seja a menor

para que não haja risco de colisão ou perda do controle da manobra.

Além da demonstração dos efeitos de águas rasas, foi demonstrado como o

desenvolvedor deve proceder para adquirir os coeficientes usados na equação do

multiplicador de águas rasas.

6.1. Trabalhos futuros

A inclusão do efeito de águas rasas é apenas mais um efeito que aproxima um

simulador da realidade, existem ainda outros efeitos tais como interação entre dois

cascos, interação entre o casco e as laterais de um canal, bancos de areia, cabos de

reboque, balanços de Roll, Heave e Pitch, ondas , correntes, vento etc.

38

7. REFERÊNCIAS

[

1]

E. M. d. Santos, “Avaliação Técnica de Simuladores de Manobra,”

CONAPRA.

[

2]

“Portos e Navios,” Junho 2016. [Online]. Available:

https://www.portosenavios.com.br/noticias/navegacao-e-marinha/34916-acao-de-

pratico-evita-acidente-na-baia-de-guanabara.

[

3]

“Praticagem do Brasil,” 01 junho 2016. [Online]. Available:

https://www.praticagemdobrasil.org.br/acao-de-pratico-evita-desastre-na-baia-da-

guanabara/.

[

4]

“Instituto de Ciências Náuticas,” [Online]. Available:

http://www.cienciasnauticas.org.br/simulador/simulador.html.

[

5]

E. M. d. Santos, “Uma abordagem sobre Modelos Matemáticos para

simulação de manobras de Navios em tempo real,” COPPE/UFRJ, 1999.

[

6]

M. A. F. Rodrigues, “Desenvolvimento de um Simulador de Manobras

Auxiliar em Tempo Real para Micro Computadores,” COPPE/UFRJ, 1999.

[

7]

G. R. Assi, H. L. Brinati, M. B. D. conti e M. Szajnbok, Applied Topics in

Marine Hydrodynamics, São Paulo: USP, 2016.

[

8]

M. S. Neves, Dinâmica do Navio, UFRJ, 2006.

[

9]

T. I. Fossen, Handbook of Marine Craft Hydrodynamics and Motion Control,

2011.

[ H. Eda e C. Crane Jr., “Steering Characteristics of Ships in Calm Water and

39

10] Waves,” TSNAME vol 3, 1965.

[

11]

M. Abkowitz, “Stability and motion Control of Ocean Vehicles,” M.I.T. Press,

Massachussets Institute of Technology, Cambridge., 1969.

[

12]

S. Inoue, M. Hirano e K. Kijima, “Hydrodynamic Derivatives on Ship

Manoeuvring,” International Shipbuilding Progress, No. 321, Vol. 28, 1981.

[

13]

D. P. Roseman, The MARAD systematic series of full-form ship models,

SNAME, 1987.

[

14]

M. Neves, L. Valerio e O. Pereira., “Desenvolvimento de procedimentos

numéricos de apoio à simulação de manobras de navios-tanque em águas

calmas,” 1997.

[

15]

J. Strom Tejsen e M. Chislett, “A model testing technique and Method of

analysis for the prediction of steering and maneuvering qualities of surface ships,”

Hydro Og Aerodynamisk Laboratorium Report No. HyA 7,Lyngby, Denmark, 1964.

[

16]

Abkowitz, “Measurement of Hydrodynamic Characteristics from Ship

Maneuvering Trials,” TSNAME, 1980.

[

17]

I. Ship Analytics, “Scientific Documentation Volume II,” 1992.

[

18]

K. Rawson e E. Tupper, Basic Ship Theory, Butternworth Heinemann.

[

19]

NPTEL, “Canal Youtube Universidade NPTEL,” [Online]. Available:

https://www.youtube.com/watch?v=6zUByhe6d4U&list=PLF29953E04820E290&in

dex=24. [Acesso em 2017].

[

20]

M. d. A. S. Neves, “Manobra Lenta de Navios em Águas Calmas,”

PENO/COPPE/UFRJ, 2006.

41

8. ANEXOS

8.1. Algoritmo implementado

O algoritmo utilizado para implementar o efeito de águas rasas escrito em

linguagem orientada a objeto C#.

/// <summary>

/// Calculate the Shallow Water Multiplier. Made by Vitor

Scaramelo.

/// </summary>

public class ShallowWaterBase

{

#region Fields

private bool _SW_AVAIL;

//Shallow Water Avaiable

private bool _SW_active;

//Shallow Water Active

private double _TAU;

private double _OSDRAFT; //Calado

do Navio

private double _Z_Heave;

//Posição Z do navio quando há movimento de Heave

private double _D0anterior;

//Profundidade no instante anterior

private double _D0;

//Profundidade atual da agua (deve ser enviada a cada iteracao)

private double _TAUPSI; //É a

razão calado/profundidade que limita o efeito de águas rasas

para cada navio

private double [] _ASMULT = new double[19];

//Multiplicador nos coef de YAW

private double[] _BSMULT = new double[19];

//Multiplicador nos coef de SWAY

private double[] _CSMULT = new double[9];

//Multiplicador nos coef de SURGE

#endregion

#region Constructor

#endregion

#region Methods

42

public void UpdateSWMultiplier(Ship myship)

{

if (_D0 ==_D0anterior)

return;

_D0anterior = _D0;

_OSDRAFT = myship.HullBaseCoefs.Draft; //Draft

in ft

_Z_Heave = 0.0; // PHR

is not avaiable

_TAUPSI = myship.HullBaseCoefs.TAUPSI;

// _SW_AVAIL = myship.HullBaseCoefs.SW_AVAIL;

_SW_active = true;

if(_SW_active)

{

_TAU = (_OSDRAFT - _Z_Heave)/_D0 - _TAUPSI;

//in feet

if (_TAU <0)

_TAU = 0.0;

if (_TAU > (1.0 - _TAUPSI))

_TAU = 1.0 - _TAUPSI;

for (int i = 1; i <= 18; i++)

{

_ASMULT[i] = 1.0 +

myship.HullBaseCoefs.ASCOEF[i, 1] * _TAU +

myship.HullBaseCoefs.ASCOEF[i, 2] * _TAU * _TAU +

myship.HullBaseCoefs.ASCOEF[i, 3] * _TAU * _TAU * _TAU;

_BSMULT[i] = 1.0 +

myship.HullBaseCoefs.BSCOEF[i, 1] * _TAU +

myship.HullBaseCoefs.BSCOEF[i, 2] * _TAU * _TAU +

myship.HullBaseCoefs.BSCOEF[i, 3] * _TAU * _TAU * _TAU;

}

for (int i = 1; i <= 8; i++)

_CSMULT[i] = 1.0 +

myship.HullBaseCoefs.CSCOEF[i,1]*_TAU +

myship.HullBaseCoefs.CSCOEF[i,2]*_TAU*_TAU +

myship.HullBaseCoefs.CSCOEF[i,3]*_TAU*_TAU*_TAU;

}

else // not Avaiable or not active SW effect

43

{

for (int i = 1; i <= 18; i++)

{

_ASMULT[i] = 1.0 ;

_BSMULT[i] = 1.0 ;

}

for (int i = 1; i <= 8; i++)

{

_CSMULT[i] = 1.0;

}

}

diferenciação entre modelos matemáticos hidrodinâmicos ... · agradeço ao edson mesquita pela...

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