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D I C A SQ U EF A Z E M AD I F E R E N Ç A

e suas TecnologiasMatemáticaENEM

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Matemática e suas Tecnologias 2

Olá, seja bem-vindo!

Este material foi elaborado com o objetivo de prepa-rá-lo ainda mais para essa reta final que se aproxima do Enem. Para isso, construímos um conteúdo que apresenta não somente os temas mais aborda-dos nas provas, mas, também, dicas que podem contribuir nos seus estudos e na aplicação dos conhecimentos adquiridos até aqui.

Todas as provas do Enem esperam que você saiba resolver situações-problema, utilizando os seus conhecimentos sobre diversas áreas. É por isso que apenas compreender cada ma-téria de forma isolada nem sempre é suficiente para ter um ótimo rendimento durante o exame. Isso significa que é necessário saber aplicar os conceitos de forma integrada, o que chamamos de interdisciplinaridade.

Para isso, o candidato deve desenvolver as habili-dades de interpretar e relacionar as informações, analisá-las, recorrer a conhecimentos de outras áreas e saber aplicar cada um deles nas decisões, a fim de solucionar as situações-problema.

É possível notar que essas habilidades estão distri-buídas ao longo de toda a prova e por esse motivo o exame pode apresentar questões muito fáceis de um tema e algumas mais difíceis de outros.

Portanto, em nossa série de e-books, você encontra-rá um material rico e completo que procura integrar as habilidades apresentadas com os conteúdos mais abordados no Enem.

Pronto para começar?

Bons estudos!

Convite ao estudo


I Estrutura da prova de Matemática e suas Tecnologias 4

Leitura e Interpretação de Gráficos 6

Porcentagem 7

Razão entre grandezas 8

Regra de três 9

Áreas de figuras planas 10

Sistemas de medidas 12

Volumes de figuras geométricas 14

Análise combinatória 16

Probabilidade 17

Sumário


T rigonometria 1%

Á lgebra 21%

G eometria 25%

E s tatís tic a 7%

Matemátic a bás ic46%

a

Estrutura da prova de Matemática

A prova de Matemática e suas Tecnologias é forma-da por 45 questões de múltipla escolha. Segundo o levantamento realizado entre 2012 e 2016, é possível destacar 5 grandes áreas abordadas pela prova. São elas:

Em Matemática Básica, área com mais representati-vidade na prova, é possível se deparar com questões que exijam conhecimento em leitura e interpretação de gráficos, porcentagem, razões e proporções, equações (do 1º e 2º grau), regra de três e sistema de medidas.

Dentro de Matemática Básica, os temas mais im-portantes para a revisão são:

• Leitura e interpretação de gráfico.• Porcentagem.• Razão entre grandezas.• Regra de três.• Sistemas de medidas.

Já na área de Geometria, as questões podem abordar tanto a geometria plana – com destaque para qua-driláteros notáveis e círculos –, quanto geometria espacial – com prismas e cilindros. Além disso, o exame pode apresentar algumas perguntas sobre geometria analítica.

Dentro de Geometria, os temas mais importantes para a revisão são:

• Áreas de figuras planas.• Volumes de figuras geométricas.

continua


Em seguida, temos as questões de Álgebra. Nesta grande área, é possível encontrar situações-proble-ma que envolvem análise combinatória, probabili-dade, funções de 1º e 2º grau, P.A e P.G, inequações, logaritmos e matemática financeira.

Dentro de Álgebra, os temas mais importantes para a revisão são:

• Análise combinatória.• Probabilidade.

Na grande área de Estatística, o Enem costuma apresentar questões sobre média, moda e mediana. Lembre-se de dar uma olhada nas aulas de me-didas para dados simples e medidas para dados agrupados.

Por fim, apesar de não aparecer de forma expressiva, as questões de Trigonometria também se fazem presentes no exame. Geralmente, elas abordam as funções trigonométricas, a trigonometria em triângulo retângulo e o ciclo trigonométrico.

Com o objetivo de direcionar os seus estudos, reuni-mos, neste e-book, informações importantes sobre os conteúdos de maior recorrência no caderno de Matemática e suas Tecnologias (Matemática básica, Geometria e Álgebra). Confira quais são os temas mais abordados e veja dicas específicas de estudos que podem contribuir para o desenvolvimento do seu aprendizado.

Estrutura da prova de Matemática


Leitura e interpretação de gráficosExercício(Enem, 2015) Um investidor inicia um dia com x ações de uma empresa. No decorrer desse dia, ele efetua apenas dois tipos de operações, comprar ou vender ações. Para realizar essas operações, ele segue esses critérios:

I. vende metade das ações que possui, assim que seu valor fica acima do valor ideal (Vi);II. compra a mesma quantidade de ações que possui, assim que seu valor fica abaixo do valor mínimo (Vm);III. vende todas as ações que possui, quando seu valor fica acima do valor ótimo (Vo).

O gráfico apresenta o período de operações e a va-riação do valor de cada ação, em reais, no decorrer daquele dia e a indicação de valores ideal, mínimo e ótimo.

Quantas operações o investidor fez naquele dia?a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

Confira a resolução dessa questão aqui.

Não é necessariamente um conteúdo matemático, pois outras disciplinas utilizam os gráficos para apresentação de dados de um determinado assunto. Mas é primordialmente um conteúdo que requer uma análise adequada das informações.

Dos diferentes tipos de gráficos existentes, os mais comuns são: barras, barras duplas, setor e seg-mento. Há também gráficos que se utilizam de desenhos para passar determinada informação. São os chamados gráficos pictóricos (pictográficos).

Como esse assunto pode ser cobrado?

Esse assunto pode ser cobrado em outras discipli-nas além da Matemática, e pode ser abordado envol-vendo diferentes conteúdos, como a porcentagem.

Dicas de estudo:

Analise os elementos contidos no gráfico (título; eixos; escala; dados).

Revise os tipos de gráficos existentes e suas princi-pais aplicabilidades.

Estude sobre contextos em que são usados gráficos de forma mais recorrente.

https://www.stoodi.com.br/materias/matematica/enem-2015/questao-139/


PorcentagemExercício(Enem, 2016 ) A fim de acompanhar o crescimento de crianças, foram criadas pela Organização Mundial da Saúde (OMS) as tabelas de altura, também adotadas pelo Ministério da Saúde do Brasil. Além de informar os dados referentes ao índice de crescimento, a tabela traz gráficos com curvas, apresentando padrões de crescimento estipulados pela OMS.

O gráfico apresenta o crescimento de meninas cuja análise se dá pelo ponto de intersecção entre o com-primento, em centímetro, e a idade, em mês completo e ano, da criança.

Disponível em: www.aprocultura.com.br. Acesso em: 22 out. 2015 (adaptado)

Uma menina aos 3 anos de idade tinha altura de 85 centímetros e aos 4 anos e 4 meses sua altura chegou a um valor que corresponde a um ponto exatamente sobre a curva p50.Qual foi o aumento percentual da altura dessa me-nina, descrito com uma casa decimal, no período considerado?a) 23,5%b) 21,2%c) 19,0%d) 11,8%e) 10,0%


A palavra “porcentagem” significa “por cem”, ou seja, refere-se a uma divisão de um número por cem. Um número expresso em porcentagem pode ser escrito na forma fracionária ou como um decimal. Veja o exemplo:

30% =

30100

= 0,30

É importante lembrar que o cálculo da porcentagem é sempre feito sob um determinado valor. Se você precisa calcular 30% de 250, por exemplo, deve fazer o seguinte cálculo:

30% de 250 = 30% . 250 = 0,30 . 250 = 75


De forma geral, esse assunto pode ser abordado em exercícios que envolvem gráficos, principalmente o de setores, e matemática financeira (aumentos e decréscimos), mas pode aparecer também em questões de outros assuntos, como áreas.

Dicas de estudo:

Fique atento ao enunciado da questão para deter-minar o valor sob o qual deve-se calcular a porcen-tagem: 30% de 250 é diferente de 30% de 400, por exemplo.

Não confunda: dar um aumento de 10% em cima de um valor e, em seguida, um desconto de 10%, não sig-nifica voltar ao valor inicial.

Resolva exercícios que envolvam a ideia de aumentos e descontos.



Razão entre grandezasExercício

(Enem, 2016) Cinco marcas de pão integral apresen-tam as seguintes concentrações de fibras (massa de fibra por massa de pão):

• Marca A: 2 g de fibras a cada 50 g de pão;• Marca B: 5 g de fibras a cada 40 g de pão;• Marca C: 5 g de fibras a cada 100 g de pão;• Marca D: 6 g de fibras a cada 90 g de pão;• Marca E: 7 g de fibras a cada 70 g de pão.

Recomenda-se a ingestão do pão que possui a maior concentração de fibras.

Disponível em: www.blog.saude.gov.br. Acesso em: 25 fev. 2013

A marca a ser escolhida é:a) Ab) Bc) Cd) De) E


A razão entre duas grandezas é obtida pela divisão entre elas. Por exemplo: a densidade é a razão entre a massa (g) e o volume (cm3) de um objeto. Podemos representar a densidade como:

d = mV


Geralmente, a prova do ENEM apresenta mais de uma questão que aborda esse conteúdo, sempre contextualizando o assunto. O enunciado pode apre-sentar diferentes situações para que você calcule a razão e compare o resultado obtido.

Dicas de estudo:

Revise os conceitos de razão entre duas grandezas.

Fique muito atento ao enunciado! Geralmente são objetivos, mas podem conter informações não tão diretas.

Selecione questões que envolvem esse conteúdo e pratique antes da prova. Você verá as diferentes for-mas que esse assunto é abordado.



Regra de trêsExercício

(Enem, 2015) A insulina é utilizada no tratamento de pacientes com diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar sua aplicação, foi desenvolvida uma “caneta” na qual pode ser inserido um refil contendo 3 mL de insulina, como mostra a imagem.

Para controle das aplicações, definiu-se a unidade de insulina como 0,001 mL. Antes de cada aplicação, é necessário descartar 2 unidades de insulina, de forma a retirar possíveis bolhas de ar.

A um paciente foram prescritas duas aplicações diá-rias: 10 unidades de insulina pela manhã e 10 à noite.

Qual o número máximo de aplicações por um refil que o paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita?a) 25b) 15c) 13d) 12e) 8


A regra de três é uma relação entre grandezas direta ou inversamente proporcionais. Além de ser usada na Matemática, pode ser aplicada na resolução de algumas questões de Química ou Física.


Sempre que houver relação entre grandezas pro-porcionais, a regra de três pode ser cobrada.

Dicas de estudo:

Só aplique a regra de três quando as grandezas são proporcionais.

Verifique sempre se elas são diretamente ou inver-samente proporcionais. Caso sejam inversamente proporcionais, não se esqueça de inverter a fração no momento do cálculo.



Áreas de figuras planas A área de uma figura é a medida de sua superfície, que pode ser expressa em m2, cm2, km2 etc. Podemos determinar a área de figuras planas por meio da aplicação de fórmulas. Veja:

• Triângulo

A= bh2

A= 12

absenθ

A= √p(p-a)(p-b)(p-c) , sendo p o semiperímetro do triângulo

• Triângulo equilátero

A=

l2√34

• Quadrado

A=l2

• Retângulo e Paralelogramo

A=bh

• Trapézio

A=

(b+B)h

2

• Círculo

A=πr2


Geralmente as questões de áreas aparecem con-textualizadas. Observe sempre se há a necessidade de ler o enunciado todo ou se as linhas finais são suficientes para responder à questão. As figuras costumam ser apresentadas ao candidato, mas, caso seja necessário fazer o desenho, preste muita atenção às informações dadas.

Dicas de estudo:

Faça uma ficha contendo as áreas das principais figuras planas para memorizá-las.

É importante saber as diferentes fórmulas da área de triângulos.

Ao estudar área, retome, também, perímetro das figuras planas.

continua


Exercício

(Enem, 2015) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunfe-rência tangenciará externamente as circunferências das áreas de coberturas menores.

Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi am-pliada em:a) 8πb) 12πc) 16πd) 32πe) 64π


Áreas de figuras planas



Sistemas de medidas As unidades de medidas do sistema métrico são:

km ham dam m dm cm mm (superfície)

Para mudar uma medida de uma unidade para outra, multiplique por 10 a cada casa que for necessário “andar” para a direita e divida por 10, no sentido contrário.

km2 ham2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 (área)


km3 ham3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 (volume)


As unidades de volume são geralmente expressas em litros (L). Caso seja necessário relacionar uma medida do sistema métrico (volume) com o volu-métrico, saiba que :

1 L = 1 dm3 e 1 mL = 1 cm3.


Em questões que envolvam:• Mudanças de unidades.• Cálculo de áreas e volumes.

Dicas de estudo:

Fique sempre atento às unidades de medidas apre-sentadas.

Verifique se a mudança de unidade é necessária.

Escreva a escala métrica sempre que for necessá-rio, para evitar possíveis erros ao fazer “cálculos de cabeça”.

continua


Exercício

(Enem, 2015) Um pesquisador, ao explorar uma flo-resta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de com-primento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.A largura e o comprimento reais da pegada, em cen-tímetros, são, respectivamente, iguais a:

a) 4,9 e 7,6.b) 8,6 e 9,8.c) 14,2 e 15,4.d) 26,4 e 40,8.e) 27,5 e 42,5.


Sistemas de medidas



Volumes de figuras geométricas O volume de uma figura geométrica é a medida do espaço ocupado por ela. Por diversas vezes, volume e capacidade são usados como sinônimos.

Volumes dos principais sólidos geométricos:

• Prismas

V=Ab∙. H

1. Cubo V=a3

2. Paralelepípedo V=abc

• Pirâmides

V= 13

Ab∙. H

• Tetraedro

V= a3 √212

• Cilindro

V= πR2H

• Cone

V= 13

πR2H

• Esfera

V= 43

πR3


Nem sempre as questões que envolvem esse conteúdo são contextualizadas. Podem aparecer questões de cálculo direto ou questões em que há a necessidade de calcular a medida de outros elementos, como arestas e áreas, para enfim, de-terminar o volume.

Dicas de estudo:

Memorize as fórmulas das principais figuras.

Fique atento ao calcular a capacidade de objetos, pois nem sempre a medida utilizada para a altura será a altura total do objeto.

continua


Volumes de figuras geométricasExercício

(Enem, 2015) A figura representa a vista superior de uma bola de futebol americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação de uma elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores a e b são, respec-tivamente, a metade do seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical.

Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por V = 4ab2.

O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado por:a) 8b3

b) 6b3

c) 5b3

d) 4b3

e) 2b3




Análise combinatóriaExercício

(Enem, 2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora re-cebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possi-bilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum seja repetido.

De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?

a) 20 x 8! + (31)2

b) 8! x 5! x 3!c) 8! x 5! x 3! / 26

d) 8! x 5! x 3! / 22

d) 16! / 28


Análise combinatória é o ramo da matemática que estuda a análise das possibilidades e combinações. Para estudá-la, foram feitas as seguintes divisões:

• Princípio fundamental da contagem (PFC).• Permutação.• Arranjo.• Combinação.


A análise combinatória pode ser abordada em qualquer assunto que envolva a combinação de elementos, as diferentes formas de se escolher algo, a formação de equipes, as possibilidades de ocupação em um pódio, entre outras.

Dicas de estudo:

Crie um método para identificar quando um pro-blema envolve arranjo ou combinação. Lembre-se: arranjo importa a ordem; combinação não.

Fique atento ao enunciado: a interpretação do texto é essencial para resolver esse tipo de questão.



ProbabilidadeExercício

(Enem, 2015) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos.

A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é:

a) 23,7%b) 30,0%c) 44,1%d) 65,7%e) 90,0%


Probabilidade é o estudo do cálculo realizado para entender quais são as chances para que uma de-terminada situação ocorra. É preciso entender os conceitos de espaço amostral e evento, pois a pro-babilidade é estudada nas seguintes interações:

• Eventos complementares.• União de eventos.• Intersecção de eventos.• Eventos independentes.• Probabilidade condicional.


A probabilidade pode ser abordada em questões que solicitem uma análise de dados de uma série de experimentos.

Dicas de estudo:

Revise os conceitos de espaço amostral, união e intersecção.

Estude a diferença de eventos independentes e complementares.


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Conteúdo:Cecília IkedoLarissa Calazans

Revisão:Giovana AlfredoLuiz Serpa

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