20-09-2012

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Sumário

Unidade I – MECÂNICA

1- Mecânica da partícula

Cinemática e dinâmica da partícula em movimentos a mais do que uma dimensão

• Cálculo vetorial – Operações com vetores.

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Cálculo vetorial Grandezas escalares e grandezas vetoriais

• Grandezas Escalares:

– São grandezas que ficam completamente definidas por um valor

numérico, com ou sem unidades.

• Ex: Área, Comprimento, Massa, …

• Grandezas Vetoriais:

– São grandezas que para além do valor numérico e unidade, ficam

completamente definidas se conhecermos a sua direção e o seu

sentido.

• Ex: Posição, Velocidade, Aceleração, Força, …

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Cálculo vetorial Vetores

• Um vetor representa-se:

– Analiticamente, por uma letra sobre a qual é desenhada uma seta, a.

– Graficamente, por um segmento de reta orientado, compreendendo

direção, sentido e módulo (magnitude, intensidade).

a

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Cálculo vetorial Vetores

• A direção do vetor

– é definida pela reta suporte, ou linha de ação, que é colinear com o

próprio vetor;

• O sentido

– é o que vai da origem para a extremidade do vetor;

• O módulo, intensidade ou magnitude do vetor

– é o valor numérico que mede o comprimento do segmento de reta

orientado, representando-se por ou simplesmente por a.

• Se o módulo de um vetor for igual a zero, o vetor diz-se um vetor nulo e

representa-se por 0.

a

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Cálculo vetorial Vetores

Vetores com a

mesma direção

e sentido, mas

módulos

diferentes

a

b

Vetores com o mesmo módulo, mas

direções diferentes (logo não se podem

relacionar os sentidos)

Vetores com a

mesma direção e

módulo, mas

sentidos

diferentes

(opostos)

c

d

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Cálculo vetorial Vetor ligado

Um vetor diz-se ligado e fica completamente definido desde que se

conheça a sua origem (ponto de aplicação), a sua direção, sentido e

módulo.

Vetor Ligado

a

Origem (ponto de aplicação)

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Nota: Matematicamente a origem (ponto de aplicação) não é uma característica dum vetor.

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Cálculo vetorial Vetor deslizante

Um vetor diz-se deslizante se não depender do ponto de aplicação e se

puder ser deslocado arbitrariamente sobre a sua reta suporte.

Vetor deslizante

b

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Cálculo vetorial Vetor equipolente

Um vetor diz-se equipolente em relação a outro, se tiverem em comum a

direção, o sentido e módulo.

Vetor equipolente

a

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b

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Cálculo vetorial Vetor livre

Um vetor diz-se livre se a sua origem puder ser deslocada arbitrariamente

no espaço. Estes são definidos pela direção, sentido e módulo e entre si

são equipolentes.

Vetor livre

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

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Cálculo vetorial Adição de vetores livres

Praticar adição de vetores livres

a b

a b

c = a + b

Regra do paralelogramo

a

b

c = a + b

Regra do triângulo

a

b

c = b + a

Regra do triângulo

• Adição de dois vetores

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Cálculo vetorial Multiplicação de um vetor por um escalar

• Seja k um número real e v um vetor.

w = k v

Mesma direção de v

Mesmo sentido de v se k > 0 Sentido oposto ao de v se k < 0

v

k = 2

w = k v

k = - 0,5

w = k v

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w = k v Módulo

Exemplo:

Cálculo vetorial Subtração de vetores livres

a b a b

a b

- b c = a - b

a b

- b

• Subtração de dois vetores

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Cálculo vetorial Vetor unitário

• Um vetor cujo módulo é igual à unidade chama-se vetor unitário ou

versor;

• Um vetor unitário ou versor é utilizado para indicar uma orientação

(direção) e sentido positivo no espaço.

e y e x

e z

x

y

z

e y e x e z = = = 1

e y

e x

e z ^ k

j ^

i ^

=

=

=

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Cálculo vetorial Módulo de um vetor

• Num sistema de eixos ortogonal, o módulo dum vetor v

v = v e + v e + v e x y x y z z

é dado por:

v = v + v + v x y z 2 2 2

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Cálculo vetorial Representação cartesiana 2D

• Os versores das direções XX e YY designam-se, normalmente, por e e e

• Um vetor com origem em O e extremidade em P, representa-se

analiticamente por:

v = v e + v e x y x y

x y

v = v + v x y

ou ainda

y

x e y

e x

P

v x

v y v

O

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Cálculo vetorial Representação cartesiana 3D

• Um sistema cartesiano a três

dimensões é definido por três retas

orientadas e perpendiculares entre si;

• Os eixos designam-se normalmente

por eixo dos XX, eixo dos YY e eixo dos

ZZ;

• Um ponto P fica perfeitamente

definido por um conjunto ordenado do

tipo (x, y, z).

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Cálculo vetorial Adição analítica de vetores

v = v e + v e + v e x y x y z z

u = u e + u e + u e x y x y z z

• Para somar dois vetores analiticamente podemos proceder do seguinte modo:

= w e + w e + w e x y x y z z

w = v + u

= (v + u ) e + (v + u ) e + (v + u ) e x x x y y y z z z

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Cálculo vetorial Subtração analítica de vetores

v = v e + v e + v e x y x y z z

u = u e + u e + u e x y x y z z

• Para subtrair dois vetores analiticamente podemos proceder do seguinte modo:

= w e + w e + w e x y x y z z

w = v - u

= (v - u ) e + (v - u ) e + (v - u ) e x x x y y y z z z

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Cálculo vetorial Multiplicação por um escalar

v = v e + v e + v e x y x y z z

• Para multiplicar um vetor por um escalar procede-se do seguinte modo:

l = escalar

w = l v = w e + w e + w e x y x y z z

= l (v e + v e + v e ) x y x y z z

= l v e + l v e + l v e x y x y z z

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Cálculo vetorial Projeção de um vetor sobre dois eixos ortogonais

e y

x

y

e x

v

v x

v y

Chamam-se vetores projeção aos vetores vx e vy

v = vx + vy v = vx ex

vy ey +

vx = vx ex

vy = vy ey

• Consideremos um sistema de eixos ortogonal, como o da figura seguinte:

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Cálculo vetorial Produto escalar (ou interno)

• O produto escalar entre os vetores u e v é um escalar e é definido por:

Esta operação goza das seguintes propriedades:

• Comutativa:

• Distributiva em relação à adição:

u . v = u v cos (u v )

u . v = v . u

u . (v + w ) = u . v + u . w

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Cálculo vetorial Produto escalar (ou interno)

• Considerando os vetores:

Aplicando a propriedade distributiva do produto escalar em relação à

adição, bem como a definição de produto escalar, obtém-se facilmente

que:

v = v e + v e + v e x y x y z z u = u e + u e + u e x y x y z z

u . v = u v + u v + u v x x y y z z

Então as expressões que se seguem permitem determinar o produto escalar entre dois vetores:

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u . v = u v cos (u v )

u . v = u v + u v + u v x x y y z z

ex . ey = 0, …

ex . ex = 1, … Em que:

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Cálculo vetorial Produto vetorial (ou externo)

• O resultado do produto vetorial entre

dois vetores u e v é um vetor w

perpendicular ao plano por eles definido,

e cujo módulo é dado por:

• O sentido do vetor resultante do produto

vetorial é dado pela regra da mão direita

ou regra do saca rolhas.

|u x v |= u v sen (u v )

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Cálculo vetorial Produto vetorial (ou externo)

• Considerando os vetores:

v = v e + v e + v e x y x y z z u = u e + u e + u e x y x y z z

w = u x v = (u v - u v ) e + + x y z z y (u v - u v ) e y z x x z (u v - u v ) e z x y y x

|u x v |= u v sen (u v )

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u x v =

ex ey ez

ux uy uz

vx vy vz

Nota: mais tarde iremos aprender como se determina este vetor.

O módulo deste vetor pode ser calculado

pela raiz da soma das componentes ao

quadrado ou pela expressão da definição

de produto vetorial:

w = u x v As componentes analíticas do vetor são dadas por:

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TPC

• Concluir os exercícios, da APSA nº 01 – Operações com vetores, que não foram feitos na aula.

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