determinação do campo de deslocamentos a partir de imagens...
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Universidade do Porto Faculdade de Ciências e Faculdade de Engenharia
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos
Deformáveis
Raquel Ramos Pinho
Dezembro - 2002
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos
Deformáveis
Dissertação submetida para efeito de atribuição do grau de Mestre em Métodos
Computacionais em Ciências e Engenharia pela Universidade do Porto
Raquel Ramos Pinho
Licenciada em Matemática – Ramo Educacional pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto (2001)
Orientador
João Manuel R. S. Tavares
Prof. Auxiliar do Departamento de Mecânica e Gestão Industrial da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Agradecimentos
Ao Prof. João Tavares pelo s/ incansável apoio, total disponibilidade, e orientação que
permitiram que esta dissertação se concretizasse.
Á minha família, pais e irmão, pelo incentivo e apoio sempre demonstrados ao longo desta
caminhada.
A todos os que me ajudaram.
Sumário
Esta dissertação está inserida no domínio da visão computacional, e visa a resolução numérica da
equação dinâmica de equilíbrio para determinar o campo de deslocamentos entre objectos
deformáveis.
Dadas duas imagens determinam-se imagens intermédias, atendendo às propriedades físicas do
material virtual utilizado na modelação. Desta forma, recorrendo a uma simulação física,
representam-se as deformações sofridas em cada intervalo de tempo, pela resolução da equação
dinâmica de equilíbrio. Este processo poderá ser aplicado entre imagens de um objecto em
instantes diferentes ou entre imagens de objectos distintos.
Pressupondo a modelação física dos objectos por intermédio do Método dos Elementos Finitos, e
que foi utilizada análise modal para emparelhar alguns nodos entre as imagens, resolveu-se a
equação dinâmica de equilíbrio de forma incremental. Para tal, utilizou-se o método da Diferença
Central, o método de Newmark e o método da Sobreposição de Modos. Também se calcularam e
analisaram os valores da energia de deformação no decurso do movimento/deformação.
O trabalho realizado foi implementado e integrado numa plataforma, sumariamente apresentada
nesta dissertação, de desenvolvimento e ensaio de algoritmos de processamento, análise de
imagem e de computação gráfica.
Serão, também, apresentadas a modelação utilizada, a metodologia considerada para a
determinação dos emparelhamentos, os métodos usados para a resolução numérica da equação de
equilíbrio, as soluções encontradas para estimar de forma adequada o deslocamento e velocidade
iniciais, as cargas aplicadas na transformação, assim como os procedimentos empregues para
resolver os problemas associados aos nodos não emparelhados com êxito pela análise modal.
Ainda, serão relatados vários exemplos de resultados experimentais obtidos e as respectivas
conclusões.
O interesse do trabalho desenvolvido é testemunhado pela diversidade de aplicações, das quais se
poderá destacar, por exemplo, a área da imagem médica. Podendo ser utilizado para fazer o
morphing entre dados segundo princípios físicos, a segmentação de regiões em imagens, a
reconstrução tridimensional de objectos a partir de cortes (imagens bidimensionais), etc.
Résumé
Cette dissertation est inséré dans le domaine de la vision par ordinateur, et vise la résolution
numérique de la équation dynamique de équilibre pour déterminer le champ de déplacements des
objets déformables.
Ils sont donnés deux images pour déterminer les images intermédiaires, basée sur des propriétés
physiques du matériau élastique simulé utilisé par le modelage. On utilise une simulation
physique par représenter les déformations à chaque intervalle de temps, avec le résolution de la
équation dynamique de équilibre. Cette procédure poivre être appliquée avec images du même
objet aux instants différents, ou avec images de objets distincts.
Est présupposée la modélisation physique des objets selon le méthode des éléments finis, le
détermination de correspondances de une partie des nœuds des deux images avec le analyse des
leur déplacements à le respectif espace modale, pour résoudre à devant la équation dynamique de
équilibre. Par ceci, on utilise le méthode de la Différence Central, le méthode de Newmark et le
méthode de la Sobreposition des Modes. Aussi, on a évalue le énergie de déformation sur le
mouvement.
Le travaille effectué à été préparé et intégré sur une application pour développement et essai des
algorithmes pour le traitement et l’analyse d’images, qui est sommairement présentée dans cette
dissertation.
Nous présenterons la modélisation utilisée, la méthodologie considère pour le détermination des
correspondances, les méthodes utilisée pour estimer le déplacement initial, la vélocité initiale, les
charges appliqués, et les procédures utilisées pour résoudre problèmes relatifs aux nœuds non
empareillé par l’analyse modal avec succès. Encore, on mentionne divers exemples des résultats
obtenue e ses respectifs conclusions.
L’intérêt du travaille développée est attestée par la diversité de applications, ou se évidence, par
exemple, l’imagerie médicale. Il poivre être applique par faire le morphing entre data sur
principes physiques, la segmentation des régions en images, la reconstruction de objets
tridimensionnels avec images bidimensionnelles, etc.
Abstract
This dissertation is included in the computer vision domain, and its aim is to numerically solve
the dynamic equilibrium equation, in order to determine the displacement field between
deformable objects.
Given two images intermediate images are determined attending to the physical properties of the
virtual material that is used to model the objects. Thus through a physical simulation we
represent the strains in each break of time by solving the dynamic equilibrium equation. This
process can be applied between images of the same object in different instants of time or between
images of distinct objects.
Supposing that the Finite Element Method was used to physically model the objects, and modal
analysis was used to match some nodes between images, we increasingly solve the dynamic
equilibrium equation. To do this the Central Difference, Newmark and the Mode Superposition
methods were used. The systems’ strain energy during motion was also computed and analysed.
The realised project was implemented and integrated on a platform, hereby breifly presented, that
allows the development and testing of some algorithms for image processing and computer
graphics.
In this dissertation we will present the used FEM, the method used to match nodes between
images, the methods used to numerically solve the dynamic equilibrium equation; the solutions
found to estimate the initial displacement and velocity; the applied charges, as well as the
proceedings used to solve problems concerned with unsuccessful modal analysis’ matched nodes.
Also, we will show some examples of the experimental results and their conclusions.
The interest of the developed project is testified by the diversity of applications, such as in
medical image. It can be used to do morphing between images attending to the physical
properties of the virtual material considered, segmentation of regions in images, three-
dimensional reconstruction of objects using two-dimensional images, etc.
Índice
1 INTRODUÇÃO 1
1.1 VISÃO COMPUTACIONAL 3
1.2 DETERMINAÇÃO DO CAMPO DE DESLOCAMENTOS 4
1.3 ESTRUTURA ORGANIZATIVA DA DISSERTAÇÃO 5
1.4 PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO DESENVOLVIDO 6
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 7
2.1 BREVE INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 9
2.1.1 Elemento Isoparamétrico de Sclaroff 9
2.2 AMORTECIMENTO 12
2.3 EMPARELHAMENTO MODAL 13
2.4 DESCRIÇÃO MODAL 14
2.4.1 Determinação das deformações via alinhamento modal 15
2.4.2 A Solução Dinâmica 17
2.5 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 18
3 RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DINÂMICA DE EQUILÍBRIO 21
3.1 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 23
3.1.1 Métodos de Integração Directa 24
3.1.1.1 Método da Diferença Central 24
3.1.1.2 Método de Newmark 26
3.1.2 Método da Sobreposição de Modos 28
3.1.2.1 Mudança de Base para Deslocamentos Modais Generalizados 28
3.2 ADAPTAÇÕES 30
3.2.1 Cargas nos nodos não emparelhados 31
3.2.2 Critério de Proximidade 33
3.2.3 Estimação do Deslocamento e Velocidade iniciais 34
3.2.4 Aplicação da Transformação Rígida 35
3.3 CONCLUSÕES 36
4 IMPLEMENTAÇÃO 37
4.1 BIBLIOTECAS DE DOMÍNIO PÚBLICO INTEGRADAS 39
4.2 INTERFACE E ENTIDADES SUPORTADAS 40
4.3 INTEGRAÇÃO DA FUNÇÃO DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DINÂMICA DE EQUILÍBRIO 41
i
5 PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS E DISCUSSÃO 47
5.1 PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS 49
5.1.1 Paragem da resolução da Equação de Lagrange 49
5.1.1.1 Critério de Proximidade 51
5.1.1.2 Equilíbrio 57
5.1.2 Intensidade das Cargas Aplicadas 58
5.1.3 Intervalos de Tempo 59
5.1.4 Amortecimento 61
5.1.5 Deslocamento e/ou velocidade iniciais não nulos 62
5.1.6 Métodos de Integração 64
5.1.6.1 Parâmetros associados ao método de Newmark 65
5.1.6.2 Percentagem de modos considerados pelo método de Sobreposição de Modos 66
5.1.7 Parâmetros que afectam o emparelhamento 68
5.1.7.1 Sigma Gaussiano 69
5.1.7.2 Material Virtual 69
5.1.8 Aplicação da Transformação Rígida antes da Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio
70
5.1.9 Procedimento utilizado para estimar cargas nos nodos não emparelhados 71
5.1.10 Energia de Deformação Global 74
5.1.11 Energia de Deformação Local 76
5.2 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS 77
5.2.1 Paragem da resolução da Equação de Lagrange 77
5.2.1.1 Critério de Proximidade 78
5.2.1.2 Equilíbrio 80
5.2.2 Intensidade das Cargas Aplicadas 80
5.2.3 Intervalos de Tempo 81
5.2.4 Amortecimento 82
5.2.5 Deslocamento e/ou velocidade iniciais não nulos 82
5.2.6 Métodos de Integração 83
5.2.6.1 Parâmetros associados ao método de Newmark 83
5.2.6.2 Percentagem de modos considerados pelo método de Sobreposição de Modos 84
5.2.7 Parâmetros que afectam o emparelhamento 84
5.2.7.1 Sigma Gaussiano 84
5.2.7.2 Material Virtual 85
5.2.8 Aplicação da Transformação Rígida antes da Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio
85
5.2.9 Procedimento utilizado para estimar as cargas nos nodos não emparelhados 86
5.2.10 Energia de Deformação Global 86
5.2.11 Energia de Deformação Local 87
5.3 CONCLUSÕES 88
ii
6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS DE TRABALHO FUTURO 91
6.1 CONCLUSÕES FINAIS 93
6.2 PERSPECTIVAS DE TRABALHO FUTURO 96
BIBLIOGRAFIA 97
iii
Capítulo 1
Introdução
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
2
1. Introdução
1 Introdução
1.1 Visão Computacional
A visão computacional é, hoje em dia, um campo da ciência em grande desenvolvimento dada a
diversidade e utilidade das suas aplicações. Na área da análise de imagens pretende-se criar
sistemas automáticos ou semi-automáticos que possam melhorar/auxiliar/complementar, em certa
medida, a visão humana, como por exemplo através da implementação de sistemas de segurança,
criação de bases de dados de imagens cuja pesquisa se baseie nas propriedades das imagens,
possibilitar o estudo de características como pode ser a detecção e posterior análise de pólipos,
análise de padrões para controlo de qualidade,...
A utilidade destas aplicações é inquestionável, se atendermos às melhorias introduzidas, por
exemplo, na medicina através da detecção de tecidos cancerígenos, análise do movimento do
ventrículo esquerdo, detecção de deformações cerebrais,... A visão artificial também pode ser útil
na medicina, por exemplo, para analisar os movimentos cardíacos a partir de sequências de
imagens obtidas por raio-X, ou até mesmo estabelecer correspondências entre pontos do
ventrículo durante os batimentos ([Coppini,1992]). Na tomografia, por morphing são
interpoladas superfícies das quais se extraíram contornos de regiões cujas características não são
conhecidas a priori. Esta técnica pode ser utilizada, por exemplo, na análise de tecidos
cancerosos ([Golosio, 2001]).
A visão artificial pode também, por exemplo, ser utilizada para auxiliar na inspecção industrial,
através da criação de sistemas computorizados que possam substituir a inspecção visual humana.
Também, na meteorologia, a visão computacional pode ser usada para ajudar a prever o estado
do tempo através da análise do movimento das nuvens ([Tavares, 2000]).
A imensidão de aplicações desta área é testemunhada inclusive pela existência de softwares que
através de um modelo de rosto simulam o discurso do texto introduzido, incluindo os
movimentos dos olhos e da cabeça ([Karla, 2001]) .
Esta dissertação concentra-se na equação dinâmica de equilíbrio. Esta equação pode traduzir uma
grande diversidade de sistemas, dos quais podemos destacar a análise da elasticidade, efeitos de
grandes deformações, e interacção de fluidos em estruturas 2D e 3D ([Shantaram, 1976]), análise
de impactos em compostos laminares ([Pradhan, 2000]). No domínio da visão computacional
existem imensas aplicações baseadas na equação dinâmica de equilíbrio, como é, por exemplo, a
3
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis análise dos padrões da chuva através de emparelhamento modal e processamento de dados
([DellAcqua, 1997]).
1.2 Determinação do Campo de Deslocamentos
Esta dissertação visa analisar o campo de deslocamentos entre imagens de objectos deformáveis.
Existindo já um vasto trabalho no âmbito do estabelecimento de correspondências entre pontos
de imagens distintas, nem sempre a estimação do movimento das imagens é feita de forma
coerente quer com as propriedades físicas dos objectos associados, quer com as forças aplicadas
em alguns pontos dos mesmos. Devido às necessidades da visão computacional em estimar
alterações na posição, na orientação e na forma dos objectos em estudo, pode ser utilizada uma
formulação física para modelisar o contorno dos objectos.
Tomando por base o trabalho realizado por Nastar, Sclaroff e Tavares, utilizamos a discretização
via método dos elementos finitos pelo elemento finito isoparamétrico de Sclaroff, consideramos
determinadas parte das correspondências nodais entre imagens de dois objectos, e calculadas as
matrizes de massa e rigidez. Desta forma, representamos o alinhamento entre imagens dadas, de
acordo com as restrições físicas dos objectos associados. Foi nosso objectivo, através de uma
simulação física, determinar e representar as deformações aplicadas em cada intervalo de tempo
através da resolução da equação dinâmica de equilíbrio. Isto é, as equações do elemento finito
foram integradas no tempo até que fossem satisfeitas as condições determinadas pelo utilizador.
Para tal recorremos a vários métodos de integração utilizados em análise dinâmica e averiguamos
a sua eficácia e exactidão neste caso concreto.
Nesta dissertação desenvolvemos uma forma de estimar as forças aplicadas em nodos não
emparelhados, o que permitiu que pudéssemos considerar imagens cujos nodos não estivessem
todos emparelhados. Também, acrescentamos uma opção que permite que seja aplicada a
transformação rígida envolvida aos nodos da imagem inicial, e só então se proceda à resolução da
equação dinâmica de equilíbrio. Esta opção pode ser utilizada nos casos em que seja útil
visualizar apenas as componentes não rígidas do movimento/deformação.
Também, foi calculada e, posteriormente, analisada a variação da energia de deformação global e
local ao longo da resolução da equação de Lagrange.
Na prática, foi implementada uma técnica computacional com um interface gráfico, que pode ser
utilizada para fazer o morphing (transformação de uma imagem noutra) segundo princípios
físicos, a segmentação de regiões de objectos, a reconstrução de objectos tridimensionais a partir
de alguns cortes bidimensionais... Este processo pode ser aplicado quer a objectos distintos, quer
4
1. Introdução a imagens diferentes do mesmo objecto. Este trabalho foi integrado numa plataforma de
desenvolvimento e ensaio de visão computacional já existente, sumariamente, apresentada nesta
dissertação (uma apresentação detalhada pode ser encontrada em [Tavares, 2000]).
1.3 Estrutura organizativa da dissertação Esta dissertação está organizada segundo a ordem sequencial das ideias mencionadas na secção
anterior.
No segundo capítulo é feita uma breve introdução aos fundamentos do trabalho que se pretende
desenvolver. Começamos por fazer uma revisão ao método dos elementos finitos, em particular,
apresenta-se o elemento finito isoparamétrico de Sclaroff. De seguida, é apresentada a construção
da matriz de massa e de rigidez, necessárias ao estabelecimento de correspondências entre nodos
de duas imagens, assim como também é descrita a composição da matriz de amortecimento
utilizada. Também são apresentadas algumas formas para descrever as deformações sofridas
pelos modelos. Ainda, são enunciadas as fórmulas de energia de deformação global e local.
No terceiro capítulo apresenta-se uma solução dinâmica para descrever o campo deslocamentos
entre imagens, sendo introduzidos e analisados alguns métodos de integração necessários à
implementação das ideias mencionadas. Também, são descritas algumas opções que foram
implementadas, que podem permitir a utilização de imagens com nodos não emparelhados, a
paragem da resolução da equação de Lagrange devido a um critério de proximidade, e a
aplicação da transformação rígida existente antes de se proceder à resolução. Ainda, uma vez que
se pretendeu resolver a equação dinâmica de equilíbrio a partir de duas imagens sem informações
adicionais das mesmas, descreveremos neste capítulo a forma encontrada para estimar o
deslocamento e a velocidade iniciais.
No quarto capítulo é, sumariamente, apresentada a plataforma na qual se implementou o trabalho
desenvolvido. Depois, para além de ser descrita a forma como foi integrada a função de
resolução da equação de Lagrange, também são apresentados os diálogos disponíveis para o
utilizador controlar e analisar todos os passos de estimação do movimento entre as imagens
dadas, segundo princípios físicos.
No capítulo cinco são apresentados os procedimentos experimentais utilizados, os resultados
obtidos em cada ensaio, e é feita a análise dos resultados. Assim, são testados e analisados os
efeitos dos diversos parâmetros que intervém e/ou contribuem para a resolução da equação
dinâmica de equilíbrio.
5
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis No sexto capítulo são apresentadas as conclusões a que se chegaram, e também são enunciados
alguns rumos pelos quais se pode prolongar o trabalho desenvolvido no decorrer da elaboração
desta dissertação.
1.4 Principais contribuições do trabalho desenvolvido
Conforme foi exemplificado, a visão computacional e a análise de imagem têm aplicações muito
vastas. Assim, o trabalho desenvolvido nesta dissertação poderá ser utilizado de muitas formas
diferentes, pelo que se optou pela abstracção de aplicações concretas. Então, partindo, apenas, de
duas imagens quaisquer, foi necessário estimar alguns dados indispensáveis à resolução da
equação dinâmica de equilíbrio. Neste sentido, foi necessário encontrar uma forma satisfatória de
controlar os valores do deslocamento e velocidade iniciais.
Também, alargou-se o âmbito de imagens resolúveis, ao permitir que possam ser consideradas
imagens com nodos não emparelhados (quer na imagem inicial quer na imagem objectivo),
através da estimativa de cargas aplicadas sobre estes nodos.
A paragem do processo resolutivo pode ser decretado pelo facto do sistema ter atingido o
equilíbrio. Contudo, nesta dissertação foi incluído um critério de proximidade que também
possibilita a paragem da resolução. Esta inclusão poderá ter interesse se não houver necessidade
que o sistema atinja o equilíbrio, mas em que apenas se pretenda obter uma imagem final,
relativamente, próxima da imagem objectivo, uma vez que o número de iterações utilizado é
significativamente menor.
Mais, foi implementada a aplicação da transformação rígida envolvida entre as imagens inicial e
objectivo (sugerida por [Tavares, 2000] e [Horn, 1997]), por forma a estudar apenas a
componente não rígida associada à transformação das imagens.
Também, o trabalho desenvolvido permite a representação das deformações que os objectos vão
sofrendo ao longo do movimento, sendo possível apresentá-las por intensidades de energia de
deformação (global ou local) ou por intensidade de forças aplicadas.
6
Capítulo 2
Fundamentos Teóricos
7
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
8
2. Fundamentos Teóricos
2 Fundamentos teóricos Uma vez que os resultados apresentados neste capítulo suportam o trabalho desenvolvido
fazemos uma breve revisão dos mesmos, mas recomendamos para uma análise mais aprofundada,
por exemplo, [Bathe, 1996], [Nastar, 1994], [Sclaroff, 1995] e [Tavares, 2000].
2.1 Breve Introdução ao Método dos Elementos Finitos
O método dos elementos finitos é utilizado em diversos domínios da ciência. O seu objectivo é
modelar o sistema em estudo por um número finito de elementos mais simples, de forma a obter
uma aproximação para o sistema a partir dos vários elementos agrupados.
Em visão computacional, este método pode ser utilizado, por exemplo, para modelizar o objecto
em estudo (técnica descrita em [Pentland, 1990] e [Pentland, 1991]), para determinar as
correspondências nodais ([Sclaroff, 1995]) , ou até mesmo para determinar o campo de
deslocamentos.
O interesse da utilização do método dos elementos finitos prende-se com o facto de este
desenvolver funções de interpolação, que permitem que o modelo tenha propriedades contínuas,
tal como a massa e a rigidez, o que torna admissível a integração ao longo de toda a região de
estudo. Também, este método pode garantir a convergência para uma solução.
2.1.1 Elemento isoparamétrico de Sclaroff
Usando o método de Galerkin para discretizar os elementos finitos, obtemos um sistema de
funções de forma que relacionam o deslocamento de um único ponto com o deslocamento de
todos os outros nodos do objecto. Este conjunto de formas descreve um elemento finito
isoparamétrico ([Sclaroff, 1995]).
Dados m pontos amostrais de um objecto Xi, constroem-se as matrizes de massa, M, e de rigidez,
K. Para tal, é necessário escolher um conjunto de funções de interpolação deriváveis e que
originarão as matrizes H (matriz de proximidade que indica as distâncias entre os pontos do
objecto) e B (matriz de deformação).
Na construção da matriz H utilizamos
2 2/(2 )( ) iX X
ig X e σ− −= , (2.1)
9
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis onde Xi é o centro de dimensão n da função gaussiana e σ é o desvio padrão que controla a
interacção entre os dados do objecto. Assim, as funções de interpolação, hi, são dadas por
, (2.2) 1
( ) ( )m
i ik kk
h X a g X=
= ∑
onde aik são coeficientes tais que hi tome valores não-nulos apenas no nodo i. Existe ainda um
outro critério ao qual as funções hi, devem obedecer: a soma de todas as m funções de forma seja
um em qualquer ponto do objecto. Este critério nem sempre é satisfeito, e neste caso pode ser
incluído um termo de normalização:
1
1 1
( )( )
( )
m
ik kk
i m m
jk kj k
a g Xh X
a g X
=
= =
=∑
∑∑. (2.3)
A matriz dos coeficientes de interpolação, A, pode ser determinada por inversão da matriz G
definida como:
. (2.4) 1 1 1
1
( ) ( )
( ) ( )
m
m m
g X g XG
g X g X
⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦m
⎥⎥
⎥
O interesse da utilização de interpoladores gaussianos para funções de forma surge do facto de
estes serem factorizáveis, o que permite que sejam obtidos elementos finitos de qualquer
dimensão à custa de elementos finitos de menor dimensão.
A matriz de interpolação será portanto, para um objecto 2D, da forma
. (2.5) 1
1
0 0( )
0 0m
m
h hH x
h h⎡ ⎤
= ⎢⎣ ⎦
Agora porque a matriz de massa M é dada por:
T
A
M H HdAρ= ∫ , (2.6)
onde ρ representa a densidade do material utilizado, e A é o elemento de área, a matriz de massa
que tem a seguinte forma:
, (2.7) 0
0M
Μ⎡= ⎢ Μ⎣ ⎦
⎤⎥
onde M é uma submatriz m x m, definida positiva simétrica. Os termos de M são:
2
, ,
( ) ( )ij ik jl k l ik jl klk l k l
m a a g X g X dxdy a aρ ρπ+∞ +∞
−∞ −∞
= =∑∫ ∫ gσ ∑ ,
(2.8)
10
2. Fundamentos Teóricos
1 1
A
onde gkl=gk(Xl) é um elemento da matriz G determinada em (2.4) ([Sclaroff, 1995]).
Sob a forma matricial pode-se escrever:
M= 2 2 , (2.9) TA A G Gρπσ ρπσ − −Γ = Γ
onde os elementos de são as raízes quadradas dos elementos de G. Γ
Vejamos agora como se obtém a matriz de rigidez, K, para elementos finitos bidimensionais.
Sabendo que
, (2.10) T
A
K B DBdρ= ∫
onde B é a matriz de deformação e D é a matriz de elasticidade. Para um problema
bidimensional, a matriz B tem dimensão (3 x 2m):
1
1
1 1
0 0
( ) 0 0
m
m
m m
h hx x
B x hy y
h h h hy y x x
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ∂
= ⎢ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
h⎥∂⎥ , (2.11)
onde
21
1 ( ) (m
i k ikk
h x x a gx σ =
∂= −
∂ ∑ )k x (2.12)
e
21
1 ( ) (m
i k ikk
h y y a gy σ =
∂= −
∂ ∑ )k x . (2.13)
Se o material do objecto for elástico e isotrópico, então
1 0
1 00 0
Dα
β αξ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, (2.14)
onde as constantes ,α β e ξ são funções do módulo de elasticidade de Young, E, e do
coeficiente de Poisson,υ :
1
υαυ
=−
, (1 )
(1 )(1 2 )E υβυ υ
−=
+ − e
1 22(1 )
υξυ
−=
−. (2.15)
Obtendo-se assim
, (2.16) aa ab
ba bb
K KK
K K⎡
= ⎢⎣ ⎦
⎤⎥
11
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis onde cada matriz mxm é semi-definida positiva simétrica (pelo que = ), e os elementos de
têm a seguinte forma:
abK baK
aaK
,
ij
k l k laa ik jl
k l
g g g gk a ax x y y
β ξ+∞ +∞
−∞ −∞
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂= +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
∑∫ ∫ dxdy . (2.17)
Reorganizando e integrando a equação acima obtemos:
2 2
2,
ˆ ˆ(12 4ij
kl klaa ik jl kl
k l
x yk a a ξξπβσ
⎡ ⎤++= −⎢ ⎥
⎣ ⎦∑ g , (2.18)
onde ˆ ( )kl k lx x x= − e . ˆ ( )kl k ly y y= −
De forma análoga ([Tavares, 2000]),
2 2
2,
ˆ ˆ(12 4ij
kl klbb ik jl kl
k l
y xk a a ξξπβσ
⎡ ⎤++= −⎢
⎣ ⎦∑ g⎥ , (2.19)
e,
,
2,
( ) ˆ ˆ4
ij
k l k lab ik jl
k l
ik jl kl kl klk l
g g g gk a a dx y y x
a a x y g
β α ξ
πβ α ξσ
+∞ +∞
−∞ −∞
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂= +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
+= −
∑∫ ∫
∑
xdy = . (2.20)
2.2 Amortecimento
O amortecimento de estruturas é, usualmente, aproximado pelo amortecimento viscoso,
revelando-se esta aproximação como suficientemente precisa na maioria dos casos ([Cook,
1989]).
Em análise computacional, o amortecimento pode dever-se aos mecanismos físicos dissipativos
(como por exemplo a fricção de juntas) ou, a métodos espectrais em que o amortecimento
viscoso é introduzido por meio de fracções específicas de amortecimento crítico.
Os fenómenos físicos requerem modelos para os mecanismos dissipativos e quase sempre
originam análises não lineares (pelo que são pouco utilizados segundo [Bathe, 1996]). Nas
aproximações espectrais do amortecimento fazem-se observações da resposta vibratória de
estruturas para se atribuir uma fracção de amortecimento crítico como função da frequência, ou
mais usualmente, uma única fracção de amortecimento para a amplitude de frequência da
estrutura. O coeficiente de amortecimento, ξ , depende do material e do nível de tensão.
12
2. Fundamentos Teóricos Um método de amortecimento espectral bastante utilizado é o amortecimento de Rayleigh (ou
amortecimento proporcional), segundo o qual a matriz de amortecimento, C, é combinação linear
das matrizes de massa e rigidez:
ˆˆC M Kα β= + , (2.21)
onde α e β são, respectivamente, as constantes de massa e rigidez do amortecimento
proporcional.
A matriz C obtida a partir de (2.21) é ortogonal, uma vez que permite que os modos estejam
desacoplados pelos vectores próprios associados ao problema de valores próprios sem
amortecimento. A relação entre α e β , e ξ à frequência ω é dada por:
ˆ1ˆ ˆ
2αξ βωω
⎛= +⎜⎝ ⎠
⎞⎟ . (2.22)
As constantes α e β são determinadas pela escolha de fracções de amortecimento crítico ( 1ξ e
2ξ ) a duas frequências distintas ( 1ω e 2ω ), e resolvendo equações simultâneas para α e β :
( )1 2 1 2 2 1
2 22 1
ˆ ˆ2ˆ
ω ω ξ ω ξ ωα
ω ω
−=
−, (2.23)
( )2 2 1 1
2 22 1
ˆ ˆ2ˆ
ξ ω ξ ωβ
ω ω
−=
−. (2.24)
Geralmente, 1ω é a mais baixa frequência da estrutura e 2ω é a frequência máxima na resposta.
2.3 Emparelhamento modal
Para se estabelecerem correspondências entre os m e n nodos de dois modelos t e t+1,
respectivamente, utilizar-se-ão as matrizes de massa, M, e de rigidez, K, de cada um ([Sclaroff,
1995] e [Tavares, 2000]). Começa-se por resolver o problema de valores próprios generalizado
para cada modelo:
2i i iK Mφ ω φ= , (2.25)
onde iφ é o vector de forma do modo i e iω é a frequência de vibração correspondente. A equação
acima pode ser compilada em
K MΦ = ΦΩ , (2.26)
onde (para o modelo de m nodos)
13
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
⎥
e [ ]
1
1 21
| |
T
Tm
m T
Tm
u
uv
v
φ φ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
Φ = = ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
21
22m
O
O
ω
ω
⎡ ⎤⎢ ⎥Ω = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, (2.27)
sendo que o vector coluna iφ descreve o deslocamento (u, v) do modo i para objectos 2D, e na
matriz diagonal os quadrados das frequências de vibração são ordenados de forma crescente. Ω
Para o modelo de n nodos a resolução do problema de valores próprios é inteiramente análogo.
Construídas as matrizes modais e tΦ 1t+Φ , para os modelos t e t+1 respectivamente, as
correspondências obtém-se por comparação dos vectores de forma. Assim, as afinidades entre
dois conjuntos de vectores característica (cujos elementos constituem a matriz de afinidade, Z)
são dadas por:
2
1, 2, 1, 2,ij i j i jZ u u v v= − + −2. (2.28)
De salientar que a afinidade entre os pontos i e j será nula se o emparelhamento for perfeito, e
aumentará à medida que o emparelhamento piora. Pelo que, facilmente se podem identificar os
nodos correspondentes nas duas imagens, já que os melhores emparelhamentos são indicados
pelos mínimos da linha e da coluna ([Tavares, 2000]).
Para a aplicação deste processo convém referir que se deve estabelecer um limite superior de
confiança, acima do qual se considera que o emparelhamento não será fiável. Também, como o
número de nodos dos modelos t e t+1 pode não ser o mesmo, ou até porque se pretende obter
resultados resistentes a ruído, e às variações locais da forma, é usual a truncatura das matrizes Φ
nas colunas referentes às frequências mais baixas. Também, se se pretender que a computação
seja invariante aos movimentos rígidos (translação e rotação) devem eliminar-se as primeiras três
colunas para modelos 2D ([Sclaroff, 1995]).
2.4 Descrição Modal
Um benefício da técnica proposta por Sclaroff em [Sclaroff, 1995], é que os valores próprios
determinados para o estabelecimento de correspondências modais, servem também para
descrever as deformações rígidas ou não, necessárias ao alinhamento de um objecto com outro.
14
2. Fundamentos Teóricos
i
2.4.1 Determinação das deformações via alinhamento modal
Pretendemos determinar os parâmetros de deformação U que transportam um conjunto de
pontos de uma imagem (inicial) no conjunto de pontos correspondente da segunda (ou objectivo).
Dadas as matrizes de forma, e , com as correspondências estabelecidas entre os nodos dos
modelos associados, então pode-se determinar o deslocamento modal directamente. Notando que
os deslocamentos nodais U que alinham pontos correspondentes podem ser descritos por:
1Φ 2Φ
, (2.29) 2, 1,i iU X X= −
onde 1,iX é o i-ésimo nodo da primeira forma, e 2,iX o da segunda forma, e Ui é o deslocamento
do nodo i.
A matriz é uma transformação de coordenadas generalizada utilizada para transformar os
deslocamentos modais, U , nos nodais, U, e vice-versa:
Φ
. (2.30) U ΦU=
Sabendo também que T M IΦ Φ = resulta,
. (2.31) 1 TU U M−= Φ = Φ U
Uma das dificuldades geralmente encontradas consiste em não haver um emparelhamento de um
para um entre os nodos dos dois objectos. Mas o que se pretende é que os dados não
emparelhados se movam de forma coerente com as propriedades do material constituinte do
objecto, e com as forças aplicadas nos nodos emparelhados. Este tipo de solução pode ser obtido
de diversas formas.
Numa abordagem mais simples, dados os deslocamentos nodais dos nodos emparelhados Ui,
podem-se considerar nulas todas as entradas do vector de forças aplicadas, R, correspondentes a
nodos não emparelhados. A equação de equilíbrio será então dada por
KU=R, (2.32)
onde o número de incógnitas iguala o número de dados. Resolvendo a equação de equilíbrio
acima, e substituindo em (2.31), encontramos os valores dos deslocamentos modais.
Ainda que a aplicação desta técnica seja simples, ela pressupõe que as forças aplicadas aos nodos
não emparelhados é nula, o que pode não ser uma assumpção válida.
Outra forma de determinar os deslocamentos modais consiste em truncar os nodos considerados.
Suponhamos que p dos m nodos estão emparelhados. Assim sendo são conhecidos alguns
vectores de forma, pelo que podemos reorganizar as colunas de 1−Φ do seguinte modo:
15
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
1 1|0
conhecido desconhecidoconhecida desconhecida
desconhecido
U UU
− − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤Φ Φ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.33)
onde é o vector dos deslocamentos dos p nodos emparelhados, é o vector dos
deslocamentos nodais não emparelhados, e é o vector das amplitudes modais que se
pretende determinar. Segundo esta formulação, assumimos que as amplitudes dos modos que
descartamos são nulas.
conhecidoU desconhecidoU
desconhecidoU
Reagrupando os termos obtemos:
1 100 0
conhecido desconhecidoconhecida desconhecida
desconhecido
U I UI U
− − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤Φ = Φ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦. (2.34)
Invertendo a matriz da direita obtêm-se, directamente, as amplitudes modais desejadas. De notar
que, neste processo, assumimos que os deslocamentos modais =0, para i >p. iU
Um outro processo de resolução poderá ser a consideração de uma restrição adicional segundo a
qual são encontradas amplitudes modais que minimizam a energia de deformação:
212
TIE U U= Ω . (2.35)
Assim, é contornado o inconveniente dos processos anteriormente mencionados, já que não é
obrigatório que as forças aplicadas nos nodos não emparelhados sejam nulas. Mas, na equação de
energia de deformação acima as frequências correspondentes a modos mais elevados contribuem
substancialmente para o valor da energia de deformação (ainda que estas sejam responsáveis por
deslocamentos de baixas amplitudes). Assim, deve-se ponderar a participação dos modos mais
elevados da seguinte forma:
2
Energia de Erro de ajuste Deformaçãoquadrático
T TErro U U U U U Uλ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − Φ − Φ + Ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (2.36)
onde λ é o parâmetro de Lamé para o material adoptado:
(1 )(1 2 )
Eυλυ υ
=+ −
. (2.37)
Derivando em relação ao vector dos deslocamentos modais, U , a equação acima obtemos a
equação de minimização de energia pelo método dos mínimos quadrados:
. (2.38) 1TU λ
−⎡ ⎤= Φ Φ + Ω Φ⎣ ⎦
TU
16
2. Fundamentos Teóricos
2T U
t
)i
Com este método pode-se prever, de forma razoável, os deslocamentos dos nodos não
emparelhados.
Também, e porque o algoritmo para a determinação das correspondências entre nodos forneceu o
grau de certeza para os emparelhamentos feitos, podemos utilizar estes dados na fase do
alinhamento, pela inclusão de uma matriz diagonal W:
. (2.39) 12TU W Wλ
−⎡ ⎤= Φ Φ + Ω Φ⎣ ⎦
As entradas de W são inversamente proporcionais às medidas de afinidade, sendo nulas as
entradas dos nodos não emparelhadas ([Scaloff, 1995]).
2.4.2 A Solução Dinâmica
Na secção anterior vimos duas formas de determinar os deslocamentos modais entre duas
imagens.
Vamos agora debruçar-nos sobre o objectivo principal desta dissertação: a determinação do
campo de deslocamentos via simulação física.
A ideia básica consiste em fazer o alinhamento de dois modelos por simulação física, o que é
conseguido através da integração no tempo da equação do elemento finito, até que seja atingido o
equilíbrio. Por este processo as deformações são calculadas a cada instante através da equação
dinâmica de equilíbrio de Lagrange:
(2.40) t t t TU CU U R+ + Ω = Φ
onde e U são, respectivamente, a segunda e primeira derivadas temporais do vector dos
deslocamentos modais e é a matriz diagonal de amortecimento global.
U
C
Desta forma são calculadas as deformações intermédias, de uma forma coerente com as
propriedades físicas do objecto, que foram tidas em conta através do método dos elementos
finitos. Assim sendo, as deformações intermédias permitem que se estime o movimento segundo
princípios físicos.
Ao resolver a equação dinâmica de Lagrange pretende-se que sejam utilizados os dados de um
modelo t+1 (objectivo), para exercer forças no modelo t (inicial) por forma a que este se
transforme no segundo. Para tal, consideraram-se as cargas dinâmicas R(t) como sendo
proporcionais à distância entre nodos correspondentes:
( ) ( 2, 1,i iR t t k X X+ ∆ = − (2.41)
17
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis onde k é uma constante global de rigidez e 1,iX é a posição do nodo i no instante de tempo
anterior. Estas forças actuam como se fossem forças elásticas sobre os nodos dos objectos, e vão
diminuindo de intensidade à medida que o objecto em causa se ajusta aos dados.
O sistema modal de equilíbrio pode ser decomposto em 2m equações independentes com o
seguinte formato:
(2.42) ( )t t ti i i i i iu c u u r tω+ + =
onde são as componentes do vector de cargas transformado,( )ir t ( ) ( )TR t R= Φ t , que têm de ser
actualizadas a cada instante de tempo, através da equação (2.41).
É este sistema de equações de equilíbrio independentes que se pretende resolver através de
métodos numéricos de integração. Considerar-se-á que o sistema está em equilíbrio sempre que
ao integrar no tempo para a frente, a diferença no deslocamento obtido no último passo iterativo
seja inferior a um dado δ :
( )U t δ< . (2.43)
Convém referir que o critério de equilíbrio utilizado pode ser traduzido em função das forças
aplicadas, isto é, segundo o critério acima apresentado, o equilíbrio é atingido se e só se a
diferença entre as forças aplicadas nas últimas duas iterações for inferior a kδ , onde k é a
constante global de rigidez.
2.5 Energia de Deformação
Conforme já vimos a energia de deformação é dada por:
21
2T
IE U U= Ω , (2.44)
onde representa o vector de deslocamentos modais e U Ω a matriz de valores próprios, ou de
forma equivalente por,
TIE U KU= , (2.45)
onde U representa o vector de deslocamentos nodais.
Assim se
, (2.46)
1
2
n
uu
U
u
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
e,
18
2. Fundamentos Teóricos
⎟⎟
j
, (2.47)
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
k k kk k k
K
k k k
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜=⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
então
1 1
n n
I l ljl j
E u k u= =
= ∑ ∑ . (2.48)
Como a energia de deformação global é dada pelo somatório das suas componentes locais, a
energia de deformação local, no nodo l, é dada por:
,1
n
I l l lj jj
E u k u=
= ∑ . (2.49)
19
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
20
Capítulo 3
Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio
21
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
22
3. Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio
3 Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio
Neste capítulo serão apresentados os métodos de integração utilizados na dissertação para
resolver a equação dinâmica de equilíbrio.
Também serão apresentadas as opções que foram implementadas, que podem permitir a
utilização de imagens com alguns nodos não emparelhados, a paragem da resolução da equação
de Lagrange devido a um critério de proximidade, a aplicação da transformação rígida envolvida
antes de se proceder à referida resolução. Ainda, uma vez que pretendemos resolver a equação
dinâmica de equilíbrio a partir de duas imagens, mas não possuímos informações adicionais das
mesmas, tornou-se necessário encontrar uma forma de estimar, satisfatoriamente, o deslocamento
e a velocidade iniciais.
3.1 Métodos de Integração
Como já foi referido, esta dissertação debruça-se sobre a resolução de:
MU CU KU R+ + = , (3.1)
um sistema de equações diferenciais de segunda ordem, o que pode ser resolvido através de
procedimentos standard. Contudo, esses métodos não tiram partido das características das
matrizes K, C e M, o que se pode tornar muito dispendioso, do ponto de vista computacional, se
as referidas matrizes forem de grandes dimensões ([Bathe, 1996]). Assim sendo, utilizamos
alguns métodos de integração dinâmicos, e averiguamos a sua eficácia e precisão na
determinação do campo de deslocamentos entre imagens de objectos deformáveis.
A eficácia da resolução de equações depende em larga escala dos procedimentos numéricos a
utilizar. A exactidão, geralmente, é melhorada se se refinar a malha utilizada, contudo isto
implica um custo adicional no cálculo da solução ([Bathe, 1996]).
Utilizamos dois tipos de processos: a integração directa, e a sobreposição de modos. Veremos
que ainda que possam parecer distintas estas duas técnicas, elas são muito semelhantes, e a
escolha é determinada pela eficácia numérica ([Cook, 1989]).
23
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
3.1.1 Métodos de integração directa
Pelos métodos de integração directa as equações são integradas passo-a-passo, isto é, em vez de
satisfazer a equação (3.1) para todo o t, procurar-se-á uma solução que satisfaça a referida
equação em intervalos de tempo discretos separados entre si de t∆ . Mais, estes métodos
concebem que haja variação nos valores de deslocamentos, velocidades, e acelerações em cada
intervalo de tempo.
Também, as equações são resolvidas sem que seja alterado o seu formato, daí que estes métodos
de integração se digam directos.
De seguida serão apresentados dois destes métodos. Assumiremos que são dados os vectores
deslocamento, velocidade e aceleração no instante t=0 (instante inicial), denotados por ,
e , respectivamente. Supondo que se pretende calcular a solução da equação acima no instante
T, subdividiremos o tempo em n intervalos com o mesmo comprimento, isto é, =T/n As
soluções serão obtidas nos instantes , 2
0U 0U0U
t∆
t∆ t∆ , ... , t, ... , T=n t∆ .
3.1.1.1 Método da Diferença Central
Se na equação de Lagrange (3.1) os coeficientes são constantes, pode-se utilizar qualquer
diferença finita para expressar as acelerações e velocidades em termos do deslocamento. Para
este método considera-se
( )2
1 2t t t tt tU U U Ut
−∆ +∆= − +∆
. (3.2)
O erro de truncatura associado à expansão acima é da ordem de 2t∆ , e para que na expansão da
velocidade tenhamos um erro da mesma ordem consideramos:
(12
t t t ttU U Ut
−∆ +∆= − +∆
) . (3.3)
A solução do campo de deslocamentos para t+ t∆ é obtida a partir da consideração de (3.1) no
instante t,
t t t tMU CU KU R+ + = , (3.4)
onde se substituem as igualdades (3.2) e (3.3) para obter
2 2 2
1 1 2 1 12 2
t tt t t tM C U R K M U M C Ut t t t t
−∆+∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ = − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∆ ∆ ∆ ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎞⎟⎠
(3.5)
24
3. Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio que devemos resolver em ordem a . t tU +∆
Para encontrar a solução em qualquer instante t∆ pode-se construir um ciclo, que deve ser
inicializado com os valores do deslocamento e velocidade iniciais (notar que sabendo estes,
recorrendo à equação (3.1) podemos obter a aceleração inicial). Mas também é necessário o valor
de (uma vez que o cálculo de tU −∆ t tU +∆ é feito a partir dos dois instantes de tempo
imediatamente anteriores, e ), o que pode ser calculado a partir de (3.2) e (3.3), obtendo-
se
tU t tU −∆
2
0 0
2t
i i itU U tU U−∆ ∆
= − ∆ + 0i , (3.6)
onde o índice i indica a i-ésima componente do vector considerado.
Este método geralmente só é aplicado quando se pode assumir que matriz de massa é diagonal e
o amortecimento pode ser negligenciado, uma vez que nestas circunstâncias o seu custo
computacional é menor ([Bathe, 1996]). Caso as matrizes de massa e de rigidez sejam diagonais,
(3.1) representa um sistema de equações desacopladas, e neste caso o método apresentado é
economicamente competitivo com os métodos ímplicitos ([Cook,1989]).
Contudo, a matriz de amortecimento de Rayleigh, determinada no capítulo anterior, não é
diagonal, e o método da Diferença Central tal como foi descrito acima é mais preciso para
matrizes de massa, M, e de amortecimento, C, diagonais ([Cook, 1989]). Este problema é
contornado, substituindo as aproximações da aceleração e velocidade em (3.2) e (3.3) por
2 21 t tt ttU U Ut
∆ ∆+ −⎛ ⎞
= −⎜∆ ⎝ ⎠⎟ (3.7)
e,
(2 1tt t t tU U Ut
∆− −∆= −
∆) . (3.8)
Assim a equação (3.1) sofre um atraso na velocidade em meio intervalo de tempo:
2ttt t tMU CU KU R
∆−
+ + = . (3.9)
Fazendo as substituições de (3.8) e (3.7) em (3.9), obtemos o esquema do método da Diferença
Central adequado às situações em que C e M não são diagonais:
22 2
1 1 t ttt t t t tMU R KU M U tU CUt t
2t∆ ∆
−+∆ ⎛ ⎞= − + + ∆ −⎜ ⎟∆ ∆ ⎝ ⎠
−, (3.10)
sendo que 2tt
U∆
−é actualizado em cada iteração através de (3.8).
Para ser inicializado, este método requer e 0U 2t
U∆
− (podendo este ser aproximado por ). 0U
25
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis Ainda que as fórmulas (3.7) e (3.8) sejam de segunda ordem, este esquema tem precisão de
primeira ordem quando a matriz de amortecimento é não nula, uma vez que as forças viscosas,
2tt
CU∆
−, estão atrasadas meio intervalo de tempo. Contudo, para estruturas sem grande
amortecimento, os dois esquemas do método da Diferença Central apresentados têm quase a
mesma precisão ([Cook, 1989]).
Contudo, uma desvantagem do método da Diferença Central é o tamanho do passo de tempo, que
deve ser relativamente reduzido, já que este método é condicionalmente estável ([Bathe, 1996]).
Se para o esquema (3.5) era necessário que
max
2tω
∆ ≤ , (3.11)
já o esquema (3.10) é mais restritivo uma vez que
( )2
max
2 1t ξ ξω
∆ ≤ + − , (3.12)
onde ξ é a fracção de amortecimento crítico na maior frequência natural sem amortecimento,
maxω .
Será conveniente notar que este método é explícito, ao contrário do que será apresentado de
seguida.
3.1.1.2 Método de Newmark
Para este esquema são utilizadas as seguintes aproximações da velocidade e aceleração:
(1 )t t t t t tU U U Uδ δ+∆ +∆ t⎡ ⎤= + − + ∆⎣ ⎦ , (3.13)
e,
212
t t t t t t tU U U t U Uα α+∆ +∆⎡ ⎤⎛ ⎞= + ∆ + − + ∆⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦t , (3.14)
onde α e δ são parâmetros a determinar por forma a que sejam obtidos resultados exactos e
estáveis ([Bathe, 1996]).
Resolvendo a equação (3.14) em ordem a t tU +∆ , e depois substituindo na equação (3.13),
obtemos expressões para e , ambas em termos det tU +∆ t tU +∆ t tU +∆ .
Estas duas expressões são, seguidamente, substituídas na equação de Lagrange para se obter
: t tU +∆
26
3. Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio
( )
2 2
1 1
1 1
1 11 1 12 2
t t t t
t
t
M C K U R M C Ut t t t
M C Ut
M t t
δ δα α α α
δα α
δ δα α
+∆⎛ ⎞ ⎛+ + = + +⎜ ⎟ ⎜∆ ∆ ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝⎛ ⎞⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎜ ∆ ⎝ ⎠⎝
⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − ∆ − − ∆⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠C U
⎞⎟⎠
⎟⎠
. (3.15)
Em cada iteração e são actualizados através de (3.13) e (3.14). t tU +∆ t tU +∆
O método da Diferença Central dissipa automaticamente o ruído numérico causado pelas altas
frequências, tal como por vezes é desejável. Mas o método de Newmark em alguns casos possui
amortecimento numérico (ou viscosidade artificial) ([Cook, 1989]).
Segundo [Bathe, 1996], o método de Newmark constitui uma família de métodos de integração,
consoante os valores atribuídos a α e a δ . A estabilidade do método depende desses valores da
seguinte forma:
- é incondicionalmente estável para
2α ≥ δ ≥0.5; (3.16)
- é condicionalmente estável se
α ≥0.5, δ <0.5 e
22
max
1 12 2 2
2
t
δξ δ α ξ δ
δω α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∆ ≤
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
; (3.17)
- é instável para
δ <0.5. (3.18)
Tomando α =0.25 e δ =0.5, estamos perante a regra do trapézio, que tem precisão de segunda
ordem (a menos que C seja nula, caso em que tem precisão de quarta ordem). Se α = 16
e δ =0.5,
este esquema transforma-se no que é, usualmente, designado por método de aceleração linear.
De facto, para qualquer valor de α , se δ =0.5, o método não possui amortecimento numérico. Se
δ >0.5, é introduzido amortecimento artificial, mas também, se obtém valores menos exactos,
uma vez que os resultados obtidos têm precisão de primeira ordem.
Quando
α =21 1
4 2δ⎛ +⎜⎝ ⎠
⎞⎟ , (3.19)
é maximizada a dissipação de alta frequência para qualquer valor de δ >0.5 ([Cook, 1989]).
27
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis A desvantagem do método de Newmark, conforme foi apresentado, é que o amortecimento
numérico é conseguido através da diminuição da precisão.
3.1.2 Método da Sobreposição de Modos
Pelo método implícito apresentado anteriormente, se a matriz de massa for diagonal e o
amortecimento for ignorado, o número de operações para cada passo de tempo é maior do que
2nmk, onde n e mk são a ordem e metade da largura de banda da matriz de rigidez considerada,
respectivamente. A factorização da matriz triangular inicial de rigidez requer ainda mais algumas
operações. Mais, se for considerada uma matriz de massa consistente, ou se se incluir
amortecimento na análise, o número de operações envolvidas ainda será maior, uma vez que têm
de ser adicionadas em número proporcional a nmk operações por cada passo de tempo. Portanto,
negligenciando as operações iniciais, contabilizam-se cerca de knm sα operações para a
integração, onde α depende das características das matrizes usadas, e do número de espaços
de tempo ([Bathe, 1996]).
s
Usando o método da diferença central o número de operações por passo é muito menor.
Podemos, assim, ver que o número de operações feitas na integração directa é directamente
proporcional ao número de passos de tempo, e que o uso de métodos implícitos pode ser
considerado eficaz apenas quando estudamos um curto intervalo de tempo (isto é, não sejam
necessários muitos passos de tempo). Caso seja necessário estudar a transformação do objecto
durante muitos passos de tempo, torna-se mais eficaz transformar as equações de equilíbrio por
forma a que a solução em cada passo de tempo seja menos custosa. Para reduzir a largura de
banda das matrizes dos sistemas podemos reordenar os nodos, contudo existe um limite inferior
para o número mínimo de largura de banda pelo que se torna necessário recorrer a outro processo
([Bathe, 1996]).
3.1.2.1 Mudança de base para deslocamentos modais generalizados
Este processo propõe transformar as equações de equilíbrio no sentido de tornar a integração
directa mais eficaz , usando a seguinte transformação no elemento finito com n deslocamentos
nodais em U,
U(t)=PX(t), (3.20)
28
3. Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio onde P é uma matriz quadrada de dimensão nxn e X(t) é um vector de ordem n dependente do
tempo cujos componentes são os deslocamentos generalizados. A matriz de transformação P vai
ser determinada.
Substituindo a equação acima (3.20) na equação de Lagrange (3.1) obtém-se multiplicando por
PT à esquerda:
( ) ( ) ( ) ( )MX t CX t KX t R t+ + = , (3.21)
onde TM P MP= , , e tC P CP= tK P KP= tR P R= .
O objectivo desta transformação consiste em obter novas matrizes de rigidez, massa e
amortecimento com menor largura de banda. Convém, apenas, referir que a matriz P deve ser
não-singular, para que haja uma única relação entre os vectores U e X.
Ainda que em teoria ([Bathe,1996]) existam muitas matrizes de transformação que reduzem a
largura de banda, na prática uma matriz eficaz pode ser obtida se se negligenciar o
amortecimento,
. (3.22) 0MU KU+ =
A solução para a equação anterior (3.22) pode ser assumida como sendo da forma
0sin ( )U t tφ ω= − , (3.23)
onde φ é um vector de ordem n, t é uma variável temporal, t0 é uma constante, e ω é uma
constante identificada para representar a frequência de vibração (radianos por segundo) do vector
φ .
Substituindo a solução na equação diferencial (3.22) obtemos um problema de valores próprios
generalizado, com n soluções a partir do qual se tem de determinar φ e ω :
2K Mφ ω φ= , (3.24)
onde o vector iφ é o i-ésimo vector de forma, e iω é a respectiva frequência de vibração
(radianos por segundo).
Atendendo à definição da matriz podemos escrever as n soluções como Φ
. (3.25) 2K MΦ = ΦΩ
Uma vez que os vectores próprios são M-ortonormais, tem-se que
e 2T KΦ Φ = Ω T M IΦ Φ = . (3.26)
Nota-se agora que a matriz Φ poderá ser uma matriz de transformação, P, adequada. Usando
(3.27) ( ) ( )U t X t= Φ
obtemos como equações de equilíbrio correspondentes aos deslocamentos modais generalizados
29
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
2( ) ( ) ( ) ( )T TX t C X t X t R t+Φ Φ +Ω = Φ . (3.28)
As condições iniciais sobre X(t) obtém-se por recurso à M-ortonormalidade da matriz Φ e à
penúltima equação, isto é, para o instante t=0 (instante inicial) temos:
0 0TX MU= Φ e 0 T 0X MU= Φ . (3.29)
Neste trabalho utilizamos o método da Diferença Central ou o método de Newmark para resolver
(3.28). Assim, a resolução do método da Sobreposição de Modos usando o método da Diferença
Central é feita através de
22 2
2
1 1 22
1 12
T t t T t
T t
t
t
I C X R I Xt t t
I C Xt t
+∆
−∆
⎛ ⎞ ⎛+ Φ Φ = Φ − Ω −⎜ ⎟ ⎜∆ ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝⎛ ⎞− − Φ Φ⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠
⎞⎟⎠ , (3.30)
onde I representa a matriz identidade.
De salientar que quando se resolve a equação (3.28) pelo método da Diferença Central o esquema
a utilizar é o primeiro apresentado ((3.5)), uma vez que tCΦ Φ é uma matriz diagonal.
Quando se utiliza o método de Newmark para resolver a equação dada pelo método de
Sobreposição de Modos (de maneira análoga ao que foi feito para o método da Diferença
Central), utiliza-se o esquema proposto anteriormente para o método de Newmark, com
substituição das matrizes M, C e K por I, tCΦ Φ e 2Ω respectivamente.
A grande vantagem deste método é que possibilita que apenas alguns modos sejam utilizados nos
cálculos, já que em alguns problemas os modos de alta frequência participam pouco no
movimento, e apenas uma parte dos modos de baixa frequência precisam de ser usados.
A escolha entre este método ou pelos métodos de integração directa é feita com base na eficácia
numérica, uma vez que os resultados obtidos são semelhantes ([Bathe, 1996]).
3.2 Adaptações Ao longo do desenvolvimento deste trabalho foram verificadas algumas adaptações que
poderiam ser consideradas. Neste âmbito, tentamos diminuir as restrições associadas às imagens
utilizadas, ao determinar uma forma satisfatória de estimar as cargas para os nodos não
emparelhados pelo método modal. Também, acrescentamos uma forma de parar a resolução da
equação dinâmica de equilíbrio, baseada na proximidade dos resultados obtidos relativamente à
imagem objectivo, e que poderá ser útil nalguns casos. Ainda, encontramos uma forma de
30
3. Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio estimar o deslocamento inicial e a velocidade inicial em função do deslocamento pretendido, e
cuja especificação fosse cómoda ao utilizador da plataforma de desenvolvimento e ensaio. E
porque poderá ser do interesse do referido utilizador, visualizar e analisar apenas as componentes
não rígidas de um movimento, acrescentamos uma opção para que seja feita a transformação
rígida existente entre as imagens dadas, antes de ser resolvida a equação dinâmica de equilíbrio.
3.2.1 Cargas nos nodos não emparelhados
Começamos este estudo por supor que todos os nodos das imagens dadas estavam emparelhados
de um para um. Mas poderia dar-se o caso de existirem nodos não emparelhados.
Como foi visto anteriormente, a determinação das matrizes de massa, amortecimento e rigidez
não depende do facto dos nodos estarem ou não emparelhados, pelo que não se registarão
diferenças nestas matrizes. Contudo, as cargas que utilizamos, até ao momento, são directamente
proporcionais ao deslocamento pretendido,
2, ,( ) ( )i j iR i k X X= − , (3.31)
onde ( )R i representa a i-ésima componente do vector de cargas quando é i um nodo
emparelhado pelo método modal, X2,i são as coordenadas na imagem final do nodo i, Xj,i
representa as coordenadas do nodo i na imagem j, e k é a constante global de rigidez (nesta
dissertação consideramos a constante global de rigidez igual para todos os componentes de R). O
problema associado aos nodos não emparelhados da imagem inicial consiste em não serem
conhecidas as coordenadas desses nodos na imagem objectivo.
A solução que encontramos baseia-se no critério de vizinhança, segundo o qual todos os nodos
vizinhos na imagem inicial mantêm-se vizinhos ao longo do movimento/deformação.
Para as componentes do vector de cargas dos nodos não emparelhados, atribuímos uma força
resultante, que consiste na média ponderada das forças que atraem este ponto para os nodos da
imagem final, compreendidos entre os nodos que correspondem aos nodos emparelhados
adjacentes a este ponto. Assim, se por exemplo B for um nodo não emparelhado entre A e C,
respectivamente emparelhados com A´ e C´, a B será atribuída uma força resultante da média
ponderada das forças de atracção de B a todos os nodos compreendidos entre A´ e C´ na imagem
final (figura 3.1). O peso atribuído a cada nodo, I, contemplado neste somatório é inversamente
proporcional à distância a que se encontra de B:
( )t I
t
D DD−
, (3.32)
31
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis onde Dt representa a soma das distâncias de todos os nodos envolvidos no cálculo do vector de
cargas para o nodo não emparelhado, e DI representa a distância do nodo I ao nodo não
emparelhado.
A´
A
B
C
C´
Figura 3.1 - Estimação das cargas para nodos não emparelhados.
Assim, se B for o i-éssimo nodo da imagem inicial, a i-éssima componente do vector de cargas
referente a este nodo será dada por:
( 2, 1,I nodo
entre ' e '
( ) t II B
tA C
D DR i k X XD
⎛ ⎞⎡ ⎤−⎜= ⎢⎜⎜ ⎟⎣ ⎦
⎝ ⎠∑ ) ⎟− ⎥ ⎟ . (3.33)
Esta técnica está limitada pelo facto de ter de existir pelo menos um par de nodos emparelhados
para que possa ser aplicada. Mas outras limitações estão associadas à sua eficácia,
nomeadamente, quando se trata de uma imagem com poucos nodos. Nestes casos, se o
deslocamento do nodo não emparelhado só for influenciado pelos nodos intermédios dos
emparelhados, isto é, sem os nodos extremos (emparelhados), os resultados poderão ser
melhorados. Pelo que, também foi inserida essa opção na implementação realizada.
Se, por exemplo, todos os nodos não emparelhados estiverem na imagem objectivo a equação de
Lagrange poderá ser resolvida como até aqui, uma vez que não foram acrescidas incógnitas ao
sistema. Contudo, uma vez que usufruímos de mais informações acerca da imagem objectivo, os
resultados obtidos poderiam ser melhorados. Nestas situações poderemos incluir no processo de
resolução, a informação dada pelos nodos não emparelhados da imagem que se pretende
aproximar. Por exemplo, na figura que se segue tomamos como imagem inicial [ABC], e imagem
final [A´I B´C´], sendo A emparelhado com A´, B com B´ e C com C´, o nodo I não influenciaria
o deslocamento dos nodos A, B e C. Assim, foi adicionada uma opção nos algoritmos
implementados que permite que se considerem todos os nodos da imagem final, quer estejam ou
32
3. Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio não emparelhados. A solução encontrada assemelha-se ao que foi feito anteriormente para os
nodos não emparelhados da imagem inicial: o nodo não emparelhado da imagem objectivo, I, vai
contribuir para a força resultante aplicada sobre os dois nodos correspondentes aos nodos
emparelhados adjacentes a I (que no caso da figura representada designamos por A e B). Assim,
para os nodos A e B, a carga consiste na média ponderada da força já calculada (que para o nodo
A será a força entre A e A´), com a força de atracção para o nodo I. Caso existissem outros nodos
não emparelhados adjacentes a I, então também esses nodos seriam contemplados no cálculo das
forças que actuam sobre A e B.
A
B
C
A´
B´ C´
I
Figura 3.2 - Nodos não emparelhados da imagem final afectam a
carga aplicada sobre nodos emparelhados iniciais.
3.2.2 Critério de Proximidade No capítulo anterior apresentamos uma forma de determinar a paragem da resolução da equação
dinâmica de equilíbrio, baseada no facto de se ter atingido o equilíbrio. Mas também poderá ser
do interesse do utilizador que o cálculo termine quando seja satisfeito um critério de
proximidade, segundo o qual, o processamento termina se se obteve uma aproximação da
imagem objectivo a menos de ε :
2, ,i j ii
X X ε− <∑ , (3.34)
onde i são os nodos da imagem inicial, Xj,i a posição do i-ésimo nodo do contorno obtido na
iteração j, e X2,i é a posição do mesmo nodo mas na posição final.
Assim, para determinar a paragem da resolução da equação de Lagrange utilizamos ou o
equilíbrio, ou a proximidade da imagem objectivo. Ser atingido o equilíbrio continua a ser uma
assumpção válida quando se consideram os nodos não emparelhados, porque nestes casos apenas
se alteram as componentes no somatório dos deslocamentos, e o equilíbrio atinge-se quando o
33
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis deslocamento total feito na última iteração foi inferior do que um determinado δ ( o que é
equivalente à diferença das cargas aplicadas nas últimas duas iterações ser menor do que kδ
onde k representa a constante global de rigidez). Já quando se utiliza o critério de proximidade (e
este se baseia na distância a que os nodos se encontram dos respectivos pares), como não se tem
conhecimento das coordenadas que os nodos não emparelhados tomam na imagem objectivo,
torna-se necessário adaptar o critério de proximidade a estes casos. Assim, nesta dissertação, para
o critério de proximidade só foram contabilizadas as distâncias entre nodos emparelhados, isto é,
o critério de proximidade é dado por:
2, , nodo
emparelhado
i j ii
X X ε− <∑ . (3.35)
De salientar que no caso representado na figura 3.2, o critério de proximidade da imagem obtida
relativamente à imagem final, poderá não ser o que conduz à paragem da resolução da equação
de movimento (uma vez que o deslocamento de alguns nodos emparelhados é influenciado pelos
nodos não emparelhados, o que poderá fazer com que o nodo emparelhado não se aproxime do
respectivo par à distância pretendida). Nestes casos, se os resultados não divergirem, a paragem
dar-se-á quando for atingido o equilíbrio.
3.2.3 Estimação do Deslocamento e Velocidade iniciais
Para resolver a equação dinâmica de equilíbrio, para todos os métodos apresentados nesta
dissertação, são necessárias como condições iniciais o deslocamento e velocidade no instante de
tempo em que se iniciam os cálculos. Uma vez que pretendemos estimar o movimento de
imagens, mas não possuímos informação adicional das mesmas que nos possam indicar o
deslocamento ou velocidade iniciais, tornou-se necessário encontrar uma forma para estimar
satisfatoriamente estes parâmetros. Assim, a solução encontrada para indicar o deslocamento
inicial, consiste em afectar de uma constante o deslocamento total pretendido. Isto é,
, (3.36) 02, 1,( ) ( )u i iU i c X X= −
onde representa a i-ésima componente do vector deslocamento inicial, e c( )0U i u é uma
constante compreendida entre 0 e 1 (especificada pelo utilizador).
A velocidade inicial é calculada em função do deslocamento inicial da seguinte forma:
, (3.37) ( ) ( )0vU i c U i= 0
onde cv é uma constante definida pelo utilizador.
34
3. Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio Era nosso intuito que a introdução das condições iniciais fosse cómoda, independentemente do
número de nodos das imagens utilizadas. Pelo que, nesta dissertação utilizamos os mesmos
valores de cu e cv para todos os nodos.
Mas, a fórmula (3.36) não está definida para os nodos não emparelhados da imagem final. O que
se optou por fazer, atendendo a que esta mesma dificuldade já foi ultrapassada no cálculo dos
vectores de cargas aplicadas para nodos não emparelhados, foi escrever o deslocamento inicial
em função do vector de cargas inicial.
Tomando,
( ) ( )
( )
0
0
se 0
0 se 0
ucU i R i kk
U i k
⎧ = ≠⎪⎨⎪ = =⎩
, (3.38)
notamos que (a menos que k seja nulo) o deslocamento inicial dos nodos emparelhados é idêntico
ao que foi estipulado em (3.36). Para cada nodo não emparelhado da imagem inicial, o
deslocamento inicial vai ser influenciado, tal como as cargas, pelos nodos da imagem final que
estão compreendidos entre os nodos que emparelham os adjacentes ao nodo não emparelhado. O
peso atribuído a cada nodo da imagem final para o vector de deslocamento inicial será igual ao
que foi atribuído na constituição do vector de cargas para nodos não emparelhados.
Calculado o vector deslocamento inicial quando existem nodos não emparelhados na imagem
final, não existe problema algum em calcular o vector velocidade pela fórmula (3.37).
3.2.4 Aplicação da Transformação Rígida Existem várias situações em que o trabalho desenvolvido ao longo de esta dissertação pode ser
aplicado. Em algumas destas, poderá ser útil estimar apenas o comportamento dinâmico das
componentes não rígidas do movimento/deformação. Nesse sentido, foi introduzida uma opção
nos algoritmos implementados, segundo a qual, antes de se proceder à resolução da equação
dinâmica de equilíbrio, se poderá aplicar aos nodos da imagem inicial a transformação rígida
existente entre as imagens dadas.
A transformação aplicada consiste na componente rígida do movimento produzido pela alteração
da forma entre as imagens inicial e objectivo. Começa-se por aplicar uma rotação em torno da
origem, afectada pelos factores de escala, seguindo-se uma translação (segundo o que foi feito
em [Tavares, 2000] e [Horn, 1987]).
Aplicada esta sequência de movimentos rígidos, a imagem obtida é considerada como sendo a
imagem inicial e a resolução da equação de Lagrange prossegue normalmente.
35
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis 3.3 Conclusões
Foram apresentados dois métodos de integração directa, sendo um explícito – método da
diferença central, e o outro implícito – método de Newmark. Nestes métodos o número de
operações a fazer é directamente proporcional ao número de iterações efectuadas. Pelo que se dá
ênfase nestes processos à escolha adequada do passo de integração: se por um lado o passo deve
ser pequeno para obter resultados exactos, pelo outro devem ser suficientemente grandes de
modo a reduzir o custo computacional.
Salientamos, contudo, que o método de Newmark com α =0.25 e 0.5δ = tem precisão de
segunda ordem, tal como o método de Sobreposição de Modos. Já para o método da Diferença
Central quando a matriz de amortecimento não é diagonal, a solução por integração numérica é
afectada por erros de primeira ordem.
Também, encontramos uma forma de poder resolver a equação dinâmica de equilíbrio para
imagens com nodos não emparelhados. Acrescentamos um critério de proximidade que poderá
ser útil para terminar o processo de resolução da equação de Lagrange. Mais, porque
pretendemos estimar o movimento de objecto partindo das suas imagens, sem informações
adicionais, tornou-se necessário estimar o deslocamento e velocidade iniciais de forma
satisfatória. Ainda, acrescentamos uma opção às implementações realizadas que permite que seja
estimado apenas o comportamento dinâmico das componentes não rígidas do movimento entre as
imagens dadas.
36
Capítulo 4
Implementação
37
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
38
4. Implementação
4 Implementação
O trabalho desenvolvido no decurso desta dissertação foi integrado numa plataforma genérica de
desenvolvimento e ensaio de algoritmos de processamento, análise de imagem e computação
gráfica.
Neste capítulo faremos uma, sumária, apresentação da referida plataforma (uma apresentação
mais detalhada poderá ser encontrada em [Tavares, 2000]), e mostraremos o que foi acrescentado
à mesma ao longo desta dissertação.
Esta plataforma, desenvolvida em linguagem C++ no sistema integrado de desenvolvimento
Microsoft Visual C++ para sistemas operativos Microsoft Windows, foi concebida de forma que
fosse permitido o processamento e na análise de imagem dos mais diversos tipos mas também,
para que outros investigadores pudessem desenvolver, ensaiar e integrar outros algoritmos. No
caso concreto desta dissertação, implementaram-se alguns algoritmos para a resolução dinâmica
da equação de equilíbrio, que podem, por exemplo, permitir o morphing segundo princípios
físicos entre duas imagens (quer de objectos distintos ou do mesmo objecto). Não se seleccionou
um único algoritmo para implementar, uma vez que nos propusemos a averiguar quer a eficácia
quer a exactidão, de cada um dos algoritmos mencionados nesta dissertação.
A estruturação da plataforma é modular. Assim, existe um módulo principal que contém as
funções básicas necessárias a qualquer sistema mínimo de processamento e análise de imagem, e
outros módulos que disponibilizam funções mais específicas a determinadas aplicações. Ainda,
esta estrutura possibilita que sejam integrados módulos de funções orientadas para o
processamento e análise de imagem, para o tratamento de sequências de imagens (de movimento
e/ou de deformação), e de ferramentas de computação (e visualização) gráfica.
A plataforma foi concebida com o intuito de que o utilizador especifique os parâmetros a utilizar,
e possa visualizar de forma adequada os resultados obtidos, permitindo, desta forma, o ensaio
pormenorizado dos métodos utilizados.
4.1 Bibliotecas de domínio público integradas
Para maximizar a reutilização de código, a plataforma de desenvolvimento incorpora no seu
sistema algumas bibliotecas de domínio público existentes e que disponibilizam funções que
podem ser de grande utilidade na área onde este software se encontra integrado.
39
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis Como se pode verificar em [Tavares, 2000], para cálculo matricial a plataforma utilizada inclui a
biblioteca Newmat escrita em C++, na sua versão 10, [Davies, 1999]; desta forma, as seguintes
operações matriciais tornaram-se disponíveis: multiplicação, soma, diferença, concatenação,
inversão, transposição, conversão entre tipos diferentes, submatrizes, cálculo de determinantes,
decomposição de Cholesky, triangulação QR, decomposição SVD, cálculo de valores e vectores
próprios de uma matriz simétrica, ordenação, transformada rápida de Fourier, e interface para os
algoritmos do livro Numerical Recipes in C ([Press, 1992]). Os tipos de matrizes definidas nesta
biblioteca são: rectangulares, triangulares superior e inferior, diagonais, simétricas, de banda, de
banda superior e inferior, simétricas de banda, vectores linha e coluna. Mais, esta plataforma
permite a escrita em ficheiro e apresentação dos elementos para cada um destes tipos de matriz.
Também estão integradas neste software algumas estruturas e ferramentas normalmente
utilizadas no domínio da computação gráfica utilizando a biblioteca VTK, The Visualization
Toolkit ([Schroeder, 1999]), das quais podem ser destacadas:
• classes definidoras de entidades poligonais 2D e 3D;
• funções para escrita, leitura e representação dessas entidades;
• triangulação de um conjunto de pontos não estruturados;
• simplificação e suavização de malhas poligonais;
• extracção de contornos de isonível;
• segmentação e amostragem de uma entidade poligonal;
• identificação dos vértices e dos centros das células que constituem uma dada
entidade;
• determinação de algumas características de um objecto poligonal;
• filtragem de uma estrutura;
• representação das normais nos vértices de um objecto; etc.
4.2 Interface e Entidades suportadas
A interface da plataforma é semelhante às demais aplicações desenvolvidas para os sistemas
operativos Microsoft Windows. Suporta entidades do tipo Bitmap e do tipo vectorial (incluí
estruturas definidas para pontos, para linhas, para contornos, para superfícies e para as entidades
definidas na biblioteca VTK).
40
4. Implementação
4.3 Integração da função de resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio
Pela forma como esta plataforma foi criada, para incorporar a função que permite a resolução da
equação dinâmica de equilíbrio, foi necessário:
1. Acrescentar os ficheiros de implementação da nova função ao projecto do sistema no
Microsoft Visual C++;
2. No Microsoft Visual C++, acrescentar um item para a função no menu apropriado;
3. Utilizando o MFC ClassWizard do Microsoft Visual C++, associar o item criado com
uma das classes principais da plataforma2 e definir a função dessa classe a ser chamada
quando o item for seleccionado;
4. Identificar quais as condições a serem verificadas para a função ser considerada como
disponível;
5. Identificar qual o módulo da plataforma que contem a função;
6. Desenhar no Microsoft Visual C++ a caixa de diálogo para entrada dos parâmetros da
função e escolha do método de integração a aplicar; utilizando o MFC ClassWizard do
Microsoft Visual C++, criar a classe responsável pela interface desse diálogo com o
utilizador; definir os parâmetros por omissão na classe CMainFrame e efectuar a sua
inicialização na função defaultValues() da mesma;
7. Utilizar um diálogo de progresso com a indicação da fase de processamento a cada
instante;
8. Construir, no Microsoft Visual C++, uma caixa de diálogo que permite fazer as opções
de visualização das imagens produzidas pelos resultados obtidos; criar a classe que
controla os parâmetros deste diálogo;
9. Recompilar a plataforma de desenvolvimento e ensaio no Microsoft Visual C++.
Uma vez que a resolução da equação dinâmica de equilíbrio, tal como foi feita nesta dissertação,
pressupõe o emparelhamento de pelo menos um par de nodos entre de duas imagens, a chamada
da função de resolução de equação dinâmica de equilíbrio foi integrada na caixa de diálogo que
apresenta os resultados do emparelhamento das imagens dadas (figura 4.1).
41
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
Figura 4.1 - Caixa de diálogo com resultados da determinação das correspondências
entre dois contornos.
Quando o utilizador pretende proceder à resolução da equação dinâmica de equilíbrio é aberta
uma nova caixa de diálogo (figura 4.2) em que deve ser especificado o método de integração a
ser utilizado, e consoante o método seleccionado podem ser alterados os parâmetros específicos a
cada um. Também, têm de ser introduzidos os parâmetros utilizados na resolução da equação de
Lagrange, isto é, o número de passos a ser utilizados, o intervalo de tempo, a constante global de
rigidez, as constantes que afectam o deslocamento e velocidade iniciais, o factor de controlo do
critério de proximidade, e ainda os coeficientes das matrizes de massa e rigidez na matriz de
amortecimento de Rayleigh. Ainda neste diálogo, podem ser activadas as opções correspondentes
à aplicação da transformação rígida envolvida antes da resolução, à utilização de todos os nodos
no processo resolutivo, e à consideração dos extremos dos nodos não emparelhados.
Enquanto é feita a resolução da equação dinâmica de equilíbrio são apresentados diálogos com a
indicação do progresso do processamento e da etapa que está a ser processada (figura 4.3).
Após a resolução da equação dinâmica de equilíbrio, é apresentada a caixa de diálogo
representada na figura 4.4, onde constam os resultados obtidos. Assim, é possível verificar se foi
ou não atingido o equilíbrio, o número de iterações utilizadas, o tempo de processamento, o
número de modos usados (no caso do método de integração escolhido ter sido o de Sobreposição
de Modos).
42
4. Implementação
Figura 4.2 - Caixa de diálogo de introdução de parâmetros
para a resolução da equação dinâmica de equilíbrio.
Figura 4.3 - Exemplo de um diálogo de progresso utilizado na plataforma.
Também, para cada nodo e passo de integração o utilizador pode visualizar as coordenadas do
ponto, a intensidade da carga aplicada, o subtotal de cargas aplicadas nesse nodo até esse passo (e
respectiva percentagem), o total de cargas aplicadas nesse nodo até ao fim da computação (e
respectiva percentagem), a energia de deformação global e local com respectivos subtotais, totais
e percentagens. Este diálogo permite, ainda, que sejam criadas as imagens de resultados obtidos,
isto é, que sejam representadas imagens de todas as iterações, apenas das imagens inicial e final,
apenas da iteração seleccionada, ou de iterações intervaladas de um número a definir pelo
utilizador (por exemplo, de 10 em 10). Caso se pretenda que os resultados obtidos sejam escritos
num ficheiro é necessário activar a respectiva opção deste diálogo.
A criação das imagens com os resultados obtidos pressupõe a escolha das intensidades de
representação dos referidos resultados, o que motivou o uso da caixa de diálogo representada na
figura 4.5. Assim, o utilizador pode escolher vários níveis da escala de cinzentos para distinguir
nas imagens os nodos emparelhados, os nodos não emparelhados,... Também é possível
representar os contornos obtidos em cada iteração, ou conectar as posições de cada nodo ao longo
do processo resolutivo. Nesta caixa de diálogo foram incorporadas opções que permitem que os
níveis de cinzentos utilizados sejam representativos das intensidades da energia de deformação
global ou local, ou ainda, da intensidade das forças aplicadas. Para tal, considerou-se que aos
valores máximos dos resultados (energia de deformação global ou local, intensidade das forças
43
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis aplicadas) seria atribuída intensidade máxima na escala de cinzentos, enquanto que aos valores
mínimos corresponderiam a intensidade mínima da mesma escala.
Figura 4.4 - Resultados obtidos na resolução da equação de Lagrange.
Figura 4.5 - Caixa de diálogo com os parâmetros de representação
dos resultados em imagens.
Na figura 4.6 estão representadas duas imagens e o emparelhamento modal dos respectivos nodos
(os pares emparelhados ligados por segmentos de recta), sendo os resultados obtidos pela
resolução da equação dinâmica de equilíbrio apresentados nas figuras 4.7 a 4.10.
44
4. Implementação
Figura 4.6 - Emparelhamento modal de duas imagens (100% emparelhadas).
Figura 4.7 - Resultados da resolução da equação dinâmica de equilíbrio representados com intensidades de cinzentos escolhidos por defeito.
Figura 4.8 - Resultados da resolução da equação dinâmica de equilíbrio representados de acordo com os valores de energia de deformação global.
Figura 4.9 - Resultados da resolução da equação dinâmica de equilíbrio representados de acordo com os valores de energia de deformação local.
Figura 4.10 - Resultados da resolução da equação dinâmica de equilíbrio representados de acordo com as intensidades das cargas aplicadas.
45
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
46
Capítulo 5
Procedimentos Experimentais e Discussão
47
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
48
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
5 Procedimentos Experimentais e Discussão
Este capítulo encontra-se dividido em três secções. Na primeira secção testemunharemos alguns
procedimentos experimentais utilizados e os respectivos resultados obtidos. Na segunda secção
deste capítulo, faremos a discussão dos resultados obtidos na primeira parte. Na última secção
apresentaremos, resumidamente, as principais conclusões dos ensaios e análises feitas.
5.1 Procedimentos Experimentais Nesta secção far-se-á um estudo comparativo dos resultados obtidos quando a paragem do
esquema de resolução da equação de Lagrange se deve ao critério de proximidade, ou se se deve
a ter sido atingido o equilíbrio, verificaremos a influência da intensidade de cargas aplicadas, do
passo de tempo utilizado, dos níveis de amortecimento. Também apresentaremos as diferenças
encontradas quando se consideram valores distintos de deslocamentos e velocidades iniciais.
Compararemos as estimativas do deslocamento obtidas por cada um dos métodos de integração
estudados, analisando a influência dos parâmetros de cada um.
Uma vez que este trabalho pressupôs o emparelhamento dos nodos por análise modal utilizando
elementos finitos, também se averiguam a influência dos parâmetros que afectam, directamente,
a resolução da equação dinâmica de equilíbrio.
No sentido de poder ampliar as aplicações do trabalho desenvolvido, consideram-se casos em que
é aplicada a transformação rígida envolvida antes de se proceder à resolução da equação de
equilíbrio, e também se utilizam imagens cujos nodos não estão todos emparelhados.
Ainda, serão descritas as distribuições de energia de deformação global e local ao longo da
resolução da equação dinâmica de equilíbrio para os exemplos estudados.
Convém, contudo, salientar que os resultados apresentados poderão não igualar a imagem final,
mas tiveram apenas o propósito de ensaiar e verificar a influência dos vários parâmetros e
métodos.
5.1.1 Paragem da resolução da Equação de Lagrange
Neste trabalho foram considerados duas formas que podem determinar a paragem do processo de
resolução da equação dinâmica de equilíbrio. O critério de proximidade, tal como o nome indica,
49
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis baseia-se na proximidade entre os resultados obtidos e os resultados pretendidos, sendo ε a
diferença máxima admissível para que a computação termine. Por outro lado, consideramos que
o equilíbrio foi atingido quando o deslocamento dado na última iteração realizada foi inferior a
um valor pré-determinado (nesta dissertação estabelecemos para este valor 10-5, uma vez que é
pequeno relativamente às dimensões das imagens – menores do que 256x256). A escolha do
critério a utilizar dependerá do que se pretende em cada caso individual. Contudo, apresentamos,
de seguida, as diferenças entre os resultados obtidos quando se utilizam os critérios
separadamente.
Para as imagens A e B (representadas na figura 5.1), se o material virtual utilizado for aço
podemos admitir que os valores de amortecimento crítico vão de 2% a 15% ([Bathe, 1996]).
Sabendo que as frequências de vibração estão compreendidas entre 0.026123 e 0.042473, a
matriz de amortecimento será a seguinte combinação linear das matrizes de massa e rigidez:
0.0006 10.4053C M= − + K .
B A
Figura 5.1 - Emparelhamento modal das imagens A e B.
Sabendo que os nodos das imagens A e B estão emparelhados de acordo com a figura 5.1,
utilizamos como sigma gaussiano 0.5 ( 0.5σ = ). Fixamos a constante global de rigidez em 1
( ), e utilizamos como passo de tempo a unidade (1k = 1t∆ = ), para poder comparar os resultados
obtidos quando a paragem da resolução depende de cada um dos critérios.
Nas condições referidas são necessárias 48572 iterações (23 segundos é o tempo de
processamento) para que seja atingido o equilíbrio (isto é, o deslocamento obtido na última
iteração foi menor do que 10-5), enquanto que se interrompermos a computação devido à
proximidade a menos de 10 pixels ( 10ε = ), então serão utilizadas apenas 17308 iterações (10
segundos).
50
5. Procedimentos Experimentais e Discussão Conforme se pode constatar pelas figuras 5.2 e 5.3, ainda que a partir das cerca de 17000
iterações as posições dos nodos distem cerca de 10 pixels da imagem objectivo, para o equilíbrio
são necessárias quase o triplo das iterações.
De salientar que em todas as figuras deste capítulo estão representadas os pixels das imagens
inicial e objectivo. Também, quando se representam os resultados obtidos entre intervalos de
iterações, como por exemplo nas figuras 5.2 e 5.3, a última iteração é sempre incluída.
Figura 5.2 - Iterações (por passos de 2000) do método da Diferença Central para aço, com
e usando o critério de proximidade
1k = 1t∆ =10ε = .
Figura 5.3 - Iterações (por passos de 2000) do método da Diferença Central para aço, com 1k = e 1t∆ = até atingir o equilíbrio.
5.1.1.1 Critério de Proximidade
Para o conjunto de imagens A e B tomamos agora 0.25σ = , o valor máximo de correlação igual
a um, e utilizamos como material virtual polietileno. Admitindo, ainda, que os valores de
amortecimento crítico variam entre 0.5% e 3% para o material utilizado, e sabendo que as
frequências de vibração variam entre 0.026123 e 0.042473, obtemos como coeficiente da matriz
de massa 0.001α = − , e para coeficiente da matriz de rigidez 2.035β = . Assim, a matriz de
amortecimento de Rayleigh será dada por:
0.001 2.035C M K= − + .
Assumindo que deslocamento e velocidade iniciais são nulos, e impondo como critério de
paragem 10ε = , obtivemos os resultados seguintes:
Supondo o intervalo de tempo igual à unidade e 100k = , notamos que o método da diferença
central diverge, enquanto que o método de Newmark, e o método da Sobreposição de Modos
(quando se consideram a totalidade dos modos) convergem em apenas 4 iterações. Se se tiver em
51
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis consideração apenas uma parte dos modos neste último método, os resultados obtidos são
análogos aos do método da Diferença Central.
Pelas figuras 5.4 a 5.7 podemos notar que utilizando o mesmo número de iterações, os resultados
obtidos pelos métodos de Newmark e de Sobreposição de Modos são distintos, apesar das
aproximações à imagem final parecerem qualitativamente semelhantes.
Figura 5.4 - Imagens inicial e final do método de Sobreposição de Modos usando método da Diferença Central para 10ε = , sendo 1t∆ = e
. 100k =
Figura 5.5 - Imagens inicial e final do método de Sobreposição de Modos usando método de Newmark para 10ε = , sendo e 1t∆ =
100k = .
Contudo fazendo a representação das primeiras 4 iterações do método da diferença central (figura
5.6) notamos que os resultados da quarta iteração (que melhor aproximam os resultados
pretendidos) estão mais distantes do que os resultados obtidos pelo método de Newmark na
quarta iteração (figura 5.7). Como utilizamos 10ε = , a quarta aproximação da imagem B pelo
método de Newmark dista em menos de 10 pixels a imagem pretendida. Contudo, o facto do
método da Diferença Central não parar também nesta iteração deve-se à aproximação conseguida
distar em mais do que 10 pixels de B.
Até à 10ª iteração do método da diferença central notamos que as aproximações para a imagem B
se afastam cada vez mais desta, ainda que o vector de cargas se intensifique devido ao
desfasamento das coordenadas objectivo. Nesta altura, os vectores velocidade igualam os
sentidos dos vectores de cargas, mas entretanto as cargas quase quadriplicaram de intensidade
relativamente ao estado inicial. Na 12ª iteração notamos que ainda que se obtenha novamente
uma aproximação por defeito da imagem objectivo, houve uma troca da posição relativa dos
nodos (figuras 5.8, 5.9 e 5.10). Nos passos seguintes a imagem comprime e descomprime-se, mas
não se volta a aproximar tanto da imagem objectivo.
52
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
Figura 5.6 - Quatro primeiras iterações do método da Diferença Central com 10ε = , sendo e . 1t∆ = 100k =
Figura 5.7 - Imagens inicial e final do método de Newmark com 10ε = , sendo e 1t∆ =
100k = .
Figura 5.8 - Dez primeiras iterações do método da Diferença Central com 10ε = , sendo 1t∆ = e 100k = .
Figura 5.9 - Décima-primeira iteração do método da Diferença Central para 10ε = , com
e . 1t∆ = 100k =
Figura 5.10 - Décima-segunda iteração do método da Diferença Central para 10ε = , com
1t∆ = e 100k = .
53
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis Diminuindo a intensidade da carga para 10k = , notamos que nenhum dos métodos utilizados
neste trabalho converge. O mesmo sucede quando se toma 1k = .
Mas para , o método da diferença central converge em 49 iterações (figura 5.11), e os
métodos de Newmark (figura 5.12), e da Sobreposição de Modos (com a totalidade dos modos)
convergem em 47 iterações (figuras 5.13 e 5.14). Se se considerar apenas uma parte dos modos
na Sobreposição de Modos o sistema diverge (de salientar que neste caso existem seis modos no
total).
0.1k =
Figura 5.11 - Imagens inicial e final do método da Diferença Central com e . 1t∆ = 0.1k =
Figura 5.12 - Imagens inicial e final do método de Newmark com 1t∆ = e . 0.1k =
Figura 5.13 - Imagens inicial e final do método da Sobreposição de Modos (100% dos modos) com método da Diferença Central para 1t∆ = e . 0.1k =
Figura 5.14 - Imagens inicial e final do método da Sobreposição de Modos (100% dos modos) com método de Newmark para
1t∆ = e 0.1k = .
O método da Diferença Central utilizou mais iterações do que os restantes métodos. Mas as
melhores aproximações são conseguidas pelo método da Sobreposição dos Modos, não sendo
verificadas diferenças relevantes das aproximações conseguidas nas figuras 5.13 e 5.14.
54
5. Procedimentos Experimentais e Discussão Para todos os métodos apresentaram resultados a menos de 10 pixels dos nodos de B.
Mas se se atenuar ainda mais as cargas para
0.1k =
0.05k = notamos que o método da Diferença
Central também não converge, enquanto que os restantes métodos atingem a imagem final em 61
iterações (figuras 5.15 e 5.16). Na figura 5.17, podemos ver os resultados dados pela 75ª iteração
do método da Diferença Central (que consiste na melhor aproximação, dada por este método, da
imagem final), e notar que os pixels obtidos por esta iteração estão mais afastados dos de B do
que nos resultados das figuras 5.15 e 5.16.
Figura 5.15 - Imagens inicial e final do método de Newmark quando e . 1t∆ = 0.05k =
Figura 5.16 - Imagens inicial e final do método de Sobreposição de Modos usando método da Diferença Central quando e . 1t∆ = 0.05k =
Figura 5.17 - Iteração nº 75 do método da Diferença Central quando e . 1t∆ = 0.05k =
Mantendo k=0.05 mas diminuindo o intervalo de tempo para 0.9t∆ = , no método da Diferença
Central obtemos na iteração nº 23068 (13 segundos) uma aproximação de B a menos de 10
pixels. Enquanto que nos restantes métodos obtemos aproximações com precisão análoga em 65
iterações (figuras 5.18 e 5.19).
55
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis Tomando 55ε = obtemos maior convergência de resultados, sendo necessário menor número de
iterações, mas a precisão é claramente afectada (figuras 5.20 e 5.21).
Figura 5.18 - Imagem inicial e final (nº de iterações: it=23068) do método da Diferença Central quando e . 0.9t∆ = 0.05k =
Figura 5.19 - Imagem inicial e final (it=65) do método de Newmark quando e 0.9t∆ =
0.05k = .
Figura 5.20 - Imagem inicial e final (it=3) do método da Diferença Central quando 100k = ,
e 1t∆ = 55ε = .
Figura 5.21 - Imagem inicial e final (it=8) do método da Diferença Central quando 10k = ,
1t∆ = e 55ε = .
Determinamos como passo de tempo crítico para o Método da Diferença Central , e
passo de tempo máximo aceitável (uma vez que depois é afectada a precisão). Assim, vejamos o
que acontece se aumentarmos o intervalo de tempo, mantendo fixos
45.7t∆ =
1k = , 55ε = , e as restantes
constantes inalteradas.
56
5. Procedimentos Experimentais e Discussão Tomando , o método da Diferença Central converge em 3 iterações, enquanto que os
métodos de Newmark e de Sobreposição de Modos com o de Newmark convergem em 11
iterações, e o de Sobreposição de Modos com o da Diferença Central converge em 12 iterações.
2t∆ =
Analisando as figuras 5.22 e 5.23, podemos verificar que a evolução se dá muito mais
rapidamente nas aproximações dadas pelo método da Diferença Central, do que nos restantes
métodos, o que justifica o número de iterações verificados.
Figura 5.22 - Todas as iterações do método da Diferença Central quando , 1k = 55ε = e
. 2t∆ =
Figura 5.23 - Todas as iterações do método de Newmark quando 1k = , 55ε = e . 2t∆ =
5.1.1.2 Equilíbrio
Para os casos apresentados na secção anterior em que não houve convergência de resultados
quando se utilizou o critério de proximidade, vejamos o que acontece se a paragem da
computação depender do facto do equilíbrio ser atingido.
Na tabela 5.1 constatamos que quando o material virtual é polietileno, para as intensidades de
carga aplicadas e intervalos de tempo utilizados, na quase totalidade dos casos, os resultados
divergiram antes que se atingisse o equilíbrio. Já na tabela 5.2, vemos que para os mesmos
valores de intensidade de carga, mas utilizando como material virtual o aço, existem mais
combinações de parâmetros de entrada que originam a convergência de resultados.
57
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
Iterações dos Métodos de Integração t∆ k DC N SM-DC SM-N 1 100 NC NC NC NC 1 10 NC NC NC NC 1 1 NC NC NC NC 1 0.1 NC NC NC NC 1 0.05 NC NC NC NC
0.9 0.05 59227 NC NC NC Legenda: DC – Diferença Central; N – Newmark; SM – Sobreposição de Modos; NC – Não converge.
Tabela 5.1 - Número de iterações entre as imagens A e B utilizando o critério de
equilíbrio sendo o material virtual polietileno.
Iterações dos Métodos de Integração t∆ k DC N SM-DC SM-N 1 100 NC NC NC NC 1 10 6486 1156 1170 1156 1 1 48572 9874 9882 9874 1 0.1 +300000 72910 72915 72910
Tabela 5.2 - Número de iterações entre as imagens A e B utilizando o critério de
equilíbrio sendo o material virtual aço.
Para os estudos que seguidamente apresentamos, utilizamos na paragem da resolução da equação
dinâmica de equilíbrio, salvo menção explícita do contrário, o critério de proximidade.
5.1.2 Intensidade das Cargas Aplicadas
Nas figuras anteriores vemos que quanto maior a intensidade da carga aplicada, maior será o
desfasamento entre os resultados das iterações e o número de iterações tem tendência a diminuir.
Contudo quando a carga é excessiva os resultados obtidos podem ser deformados de forma
inesperada (conforme acontece nas figuras 5.9 e 5.10). De notar que quando consideramos as
imagens D (composta por 32 nodos) e E (composta por 28 nodos), cujos nodos se encontram
emparelhados conforme representado na figura 5.24, sendo o sigma gaussiano de 0.15 e o
material utilizado polietileno. Sabendo que as frequências de vibração variam entre 0.0272 e
0.29, na matriz de amortecimento de Rayleigh, o coeficiente da matriz de massa toma o valor de
1.2x10-4 e o coeficiente da matriz de rigidez é dado por 0.205. Supondo , conforme se
pode constatar pela figura 5.25, a carga excessiva também resultou numa deformação inesperada.
200k =
58
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
Figura 5.24 - Emparelhamento modal das imagens D e E com 0.15σ = e o material virtual polietileno.
Figura 5.25 - Iteração do método da Diferença Central (entre D e E) quando se considera
200k = para 30ε = e 1t∆ = .
D E
Por outro lado, na tabela 5.2 é evidente o aumento do número de iterações utilizadas, à medida
que os valores de intensidade de carga vão diminuindo.
Analisando localmente as forças aplicadas constatamos que, como seria de esperar, a intensidade
destas é proporcional às distâncias entre o nodo e a sua posição final (como se pode ver, por
exemplo, na figura 5.26).
Figura 5.26 - Iterações do método da Diferença Central entre as imagens A e B, representando em escala de cinzentos a intensidade das cargas aplicadas em cada nodo (correspondendo aos níveis mais claros intensidades maiores), sendo 10k = , 55ε = e 1t∆ = .
5.1.3 Intervalos de Tempo
Atendendo aos valores de frequência de vibração máxima e amortecimento crítico máximo das
imagens A e B torna-se possível determinar o passo de tempo crítico para o método da Diferença
59
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis Central, . Quando se tomam valores de cr 45.7t∆ = 5t∆ = , notamos que o método da Diferença
Central diverge, e que a melhor aproximação que se obtém é a da primeira iteração (figura 5.27).
Pelas figuras 5.28 e 5.29 podemos ver que quanto maior o intervalo de tempo, maior os
desfasamentos entre as diversas iterações. Assim o número de iterações até atingir a imagem
objectivo poderá ser menor, se o ε pré-estabelecido for suficientemente grande para comportar
este aumento sucessivo do deslocamento entre as iterações (relembramos que estamos a recorrer
à paragem da resolução devido ao critério de proximidade).
Se tomarmos o intervalo de tempo igual a 108, e mantivermos os restantes coeficientes, para o
método de Newmark, obtemos ainda uma estimativa aceitável da imagem objectivo (figura 5.30).
O mesmo já não se pode referir do método da Diferença Central, como se pode ver, por exemplo,
para na figura 5.31. 7.5t∆ =
Figura 5.27 - Primeira iteração do método da Diferença Central entre A e B
quando 1k = , 55ε = e 5t∆ = .
Figura 5.28 - Todas as iterações do método de Newmark quando , 1k = 55ε = e . 10t∆ =
Figura 5.29 - Todas as iterações do método de Newmark quando 1k = , 55ε = e . 15t∆ =
60
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
Figura 5.30 - Iteração do método de Newmark entre A e B, para com e 810t∆ = 1k = 55ε = .
Figura 5.31 - Iteração do método da Diferença Central entre A e B, para com 7.5t∆ = 1k = ,
55ε = .
Ainda que o passo de tempo crítico para o método da Diferença Central seja, neste caso, de 45.7,
não se distinguem, grandes diferenças entre as estimativas que se obtêm, por exemplo, para os
intervalos de tempo de 40 e 50 (tabela 5.3), uma vez que ambos são desadequados (os objectos
foram representados em imagens com dimensões 256x256).
Nodo 1 Nodo 2 Nodo 3 x y x y x y Coordenadas
iniciais 126 74 174 118 74 156
40t∆ = (1ª it.) -4189.8 -73042.2 84967.8 9301.8 -88236.5 69809.2 50t∆ = (1ª it.) -9724.8 -176440.6 205189.8 21854.7 -213953.7 168926.5
Tabela 5.3 - Coordenadas dos nodos de A quando se lhes aplica o método da Diferença
Central com e 40t∆ = 50t∆ = , sendo 1k = e 55ε = .
5.1.4 Amortecimento
Temos vindo a considerar que as fracções de amortecimento crítico variam entre 0.5% e 3%
(para o polietileno), mas suponhamos agora que as mesmas estavam compreendidas entre 0.05%
e 1%. Então para as imagens A e B, a matriz de amortecimento de Rayleigh será dada por:
0.0009 0.7324C M= − + K .
Ainda que não sejam muito evidentes as diferenças para os conjuntos de dados das figuras 5.32 e
5.33 (que utilizam, respectivamente, os valores de amortecimento crítico utilizados até aqui e os
valores introduzidos acima), nota-se que a imagem objectivo é melhor aproximada pela figura da
61
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis direita onde os níveis de amortecimento são menores. É possível chegar à mesma conclusão,
analisando as figuras 5.34 e 5.35.
Figura 5.32 - Todas as iterações do método de Newmark entre A e B, para polietileno, quando e sendo 1 0.005ξ = 2 0.03ξ = 5t∆ = ,
e 1k = 30ε = .
Figura 5.33 - Todas as iterações do método de Newmark entre A e B, para polietileno, quando e , sendo 1 0.0005ξ = 2 0.01ξ = 5t∆ = ,
1k = e 30ε = .
Figura 5.34 - Iterações (por passos de 5) do método da Diferença Central quando se supõe que o material utilizado foi aço com
e , sendo , 1 0.005ξ = 2 0.05ξ = 1t∆ = 100k = e 30ε = .
Figura 5.35 - Iterações (por passos de 5) do método da Diferença Central quando se supõe que o material utilizado foi aço com
e , sendo 1 0.02ξ =
2 0.15ξ = 1t∆ = , e 100k = 30ε = .
5.1.5 Deslocamento e/ou velocidade iniciais não nulos
Até ao momento admitimos sempre que o sistema estava inicialmente com deslocamento e
velocidade nulos. Contudo, existe a possibilidade do sistema partir de deslocamentos e/ou
velocidades não nulos. De assinalar que, de acordo com a equação dinâmica de equilíbrio, é
62
5. Procedimentos Experimentais e Discussão possível determinar a aceleração inicial a partir dos valores de deslocamento e velocidades
iniciais inseridos.
Consideremos as imagens F e G, constituídas por 61 nodos - todos eles emparelhados, conforme
representado na figura 5.36. Se tomarmos como material virtual o polietileno, com
amortecimento crítico entre 0.5% e 3%, sabendo que as frequências de vibração estão
compreendidas entre 0.0136 e 0.1008, a matriz de amortecimento é dada por:
0.00002 0.59264C M K= + .
Usando 0.25σ = , , com 1k = 1t∆ = 140ε = , com deslocamento e velocidade iniciais nulas (isto
é, as constantes que controlam o deslocamento e a velocidades são nulas, ) o método
da Diferença Central pára em 8 iterações (figura 5.37). Quando o deslocamento inicial
corresponde a 0.2 do deslocamento verificado entre as imagens inicial e objectivo (isto é,
), mas a velocidade inicial é nula, o processo termina em 4 iterações (figura 5.38).
Todavia se , bastam 3 iterações para que seja satisfeito o critério de proximidade
(figura 5.39).
0u vc c= =
0.2uc =
0.2u vc c= =
Como se pode constatar pelas figuras seguintes, e como intuitivamente seria de esperar, quanto
maior o deslocamento inicial, maior será o desfasamento entre os resultados obtidos em cada
iteração, o que faz com que o sistema evolua mais rapidamente, e com menor número de
iterações. Um comportamento análogo é obtido quando se incrementam os valores da velocidade
inicial.
Figura 5.36 - Emparelhamento modal das imagens F e G.
Figura 5.37 - Iterações (it=8) do método da Diferença Central entre F e G, quando
0u vc c= = sendo 1t∆ = , e 1k = 140ε = .
G F
63
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
Figura 5.38 - Iterações (it=4) do método da Diferença Central entre F e G, quando
e sendo , 0.2uc = 0vc = 1t∆ = 1k = e 140ε = .
Figura 5.39 - Iterações (it=3) do método da Diferença Central entre F e G, quando
0.2u vc c= = sendo 1t∆ = , e 1k = 140ε = .
5.1.6 Métodos de Integração
A equação dinâmica de equilíbrio representa um sistema linear de equações diferenciais de
segunda ordem, podendo a sua solução ser determinada por vários procedimentos. Ao longo
desta dissertação foram utilizados o Método da Diferença Central, o Método de Newmark e o
Método da Sobreposição de Modos.
Pelo que vimos até aqui notamos que existem algumas diferenças nas aproximações obtidas por
cada um dos métodos. O método da Diferença Central distinguiu-se na generalidade dos casos,
por ser o mais demorado a obter a solução pretendida. Contudo, quando se utilizam intervalos de
tempo maiores (mas ainda dentro dos limites decretados pelo intervalo de tempo crítico), existem
grandes desfasamentos nos resultados obtidos, levando nalguns casos à divergência de resultados
(como se pode ver pela figura 5.31, e pela tabela 5.3).
O método de Newmark e o método de Sobreposição de Modos (resolvido quer pelo método da
Diferença Central, quer pelo método de Newmark, quando se consideraram a totalidade dos
modos), obtiveram resultados em tudo semelhantes, com um número análogo de iterações. A
única excepção encontrou-se quando se utilizou o método de Sobreposição de Modos com o
Método da Diferença Central com o intervalo de tempo t∆ =108 onde o método não convergiu,
mas o passo de tempo utilizado ultrapassa o intervalo de tempo crítico.
64
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
5.1.6.1 Parâmetros associados ao método de Newmark
Nalguns exemplos testados, não se identificaram diferenças, quaisquer que fossem os valores de
α e δ que tornam o método de Newmark incondicionalmente estável, como podemos ver pelas
figuras 5.41 e 5.42, onde estão representadas as imagens H e I (ambas com 7 nodos – todos eles
emparelhados conforme representado na figura 5.40). Utilizou-se como material virtual o
polietileno, cujas frequências variam entre 0.0022 e 0.057, pelo que supondo níveis de
amortecimento crítico entre 0.5% e 3%, se obteve
0.00002 1.0474C M= + K .
Contudo, por exemplo no caso da figura 5.44, obtida pelo método de Newmark com 0.56α = e
1δ = , sendo 30ε = , 1k = e , os resultados obtidos diferem de tal forma dos que se
obtém com
10t∆ =
0.25α = e 0.5δ = (figura 5.43), que nem sequer convergem, ao contrário destes que
convergem à quarta iteração.
I H
Figura 5.40 - Emparelhamento modal das imagens H e I.
Figura 5.41 - Primeira e última iteração (it=9) do método de Newmark entre H e I, quando
0.25α = e 0.5δ = , com k , 5= 15ε = e . 1t∆ =
Figura 5.42 - Primeira e última iteração do método de Newmark entre H e I, quando
0.56α = e 1δ = , com k , 5= 15ε = e 1t∆ = .
65
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
Figura 5.43 - Todas as iterações do método de Newmark entre A e B, com 0.25α = e
0.5δ = , sendo 30ε = , e . 1k = 10t∆ =
Figura 5.44 - Primeiras quatro iterações do método de Newmark entre A e B, com
0.56α = e 1δ = , sendo 30ε = , 1k = e 10t∆ =
5.1.6.2 Percentagem de modos considerados pelo método de Sobreposição de Modos
Para as comparações dos métodos de integração utilizamos o método de Sobreposição de Modos
com todos os modos. Notou-se que quando se utilizam a totalidade dos modos, geralmente, os
resultados obtidos por este método não diferem dos obtidos pelo método de Newmark. Contudo,
quando se considera apenas uma parte dos nodos o mesmo já não se verifica, conforme se pode
constatar pela Tabela 5.4.
Método da Sobreposição de Modos Todos os Modos 2/3 dos Modos t∆ k DC N DC N
1 100 4 4 NC NC 1 10 8 8 NC NC 1 1 18 18 NC NC 1 0.1 40 40 NC NC 1 0.05 52 52 NC NC
0.9 0.05 56 56 NC NC
Tabela 5.4 - Número de Iterações das Imagens A e B quando 55ε = .
Pela análise das figuras 5.45 e 5.46, podemos ainda reparar que quando se considera uma parte
dos modos nas figuras A e B, até mesmo as aproximações que se vão obtendo da solução estão
muito distantes da mesma. Contudo, convém salientar que, na totalidade, existem apenas seis
modos.
66
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
Figura 5.45 - Quarta iteração do método da Sobreposição de Modos pelo método da Diferença Central quando se consideram 2/3 dos modos para 100, 55 e 1k tε= = ∆ = .
Figura 5.46 - Oitava iteração do método da Sobreposição de Modos pelo método da Diferença Central quando se consideram 2/3 dos modos para 10, 55 e 1k tε= = ∆ = .
Figura 5.47 - Primeira e última iterações (it=4) do método da Sobreposição de Modos com o método da Diferença Central quando se considerem todos os modos para
100, 55 e 1k tε= = ∆ = . Já nas imagens D e E, notamos que nas condições das figuras (que levam à convergência de
resultados), a consideração de percentagens de modos ainda que não tenha alterado o número de
iterações, afectou a precisão com que a imagem objectivo foi aproximada. De facto, e como seria
de esperar, se a percentagem de modos considerados for muito baixa então as aproximações que
se vão obtendo da imagem objectivo são de fraca qualidade. Contudo, analisando em pormenor
as figuras 5.48 a 5.52, verificaram-se pequenas diferenças, e as aproximações conseguidas por
70% e 80% dos modos revelaram-se bastante razoáveis, uma vez que quase não se distinguem os
resultados obtidos na última iteração dos nodos que compõem a imagem objectivo.
67
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
Figura 5.48 - Primeira e última (9ª) iterações do método da Sobreposição de Modos quando se utiliza o método da Diferença Central com 50% dos modos para 1, 35 e 1k tε= = ∆ = .
Figura 5.49 - Primeira e última (9ª) iterações do método da Sobreposição de Modos quando se utiliza o método da Diferença Central com 70% dos modos para 1, 35 e 1k tε= = ∆ = .
Figura 5.50 - Primeira e última (9ª) iterações do método da Sobreposição de Modos quando se utiliza o método da Diferença Central com 80% dos modos para 1, 35 e 1k tε= = ∆ = .
Figura 5.51 - Primeira e última (9ª) iterações do método da Sobreposição de Modos quando se utiliza o método da Diferença Central com 100% dos modos para 1, 35 e 1k tε= = ∆ = .
5.1.7 Parâmetros que afectam o emparelhamento Na plataforma em que foi implementada a resolução da equação dinâmica de equilíbrio, utiliza-se
o método dos elementos finitos para construir as matrizes de massa e rigidez, e o
emparelhamento é feito com base em análise modal (conforme foi descrito no segundo capítulo).
Assim, também averiguamos a influência do sigma gaussiano e do material virtual utilizado.
68
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
5.1.7.1 Sigma Gaussiano
O valor de σ (nas funções interpoladoras gaussianas) intervém na construção das matrizes de
massa e rigidez dos objectos associados às imagens em estudo. Afectando, por isso, também o
emparelhamento dos nodos. Utilizamos para as imagens A e B o valor de σ igual a 0.25,
contudo se utilizarmos valores maiores para este coeficiente, sem alterar os emparelhamentos,
notamos que as matrizes de massa e rigidez foram alteradas, o que afectou a resolução da
equação dinâmica de equilíbrio. Também, quanto menor o valor de sigma, maior é o
deslocamento entre as diversas iterações, além de que as aproximações obtidas também
melhoram (figuras 5.52 e 5.53).
Figura 5.52 - Todas as (18) iterações do método da Diferença Central quando
0.25σ = , para , e 1k = 1t∆ = 55ε = .
Figura 5.53 - Todas as (37) iterações do método da Diferença Central quando
0.75σ = , para 1k = , 1t∆ = e 55ε = .
5.1.7.2 Material Virtual
Alterando o material virtual utilizado para modelar o objecto entre polietileno, borracha,
alumínio, latão, cobre ou aço, verificamos algumas diferenças nos resultados (tabela 5.5). Assim,
notamos que quando o material do corpo é latão, cobre ou aço, o deslocamento dá-se de uma
forma mais lenta. Enquanto que para o alumínio, a borracha e o polietileno o número de iterações
é menor.
69
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
Material Virtual Número de Iterações Polietileno 27 Borracha 28 Alumínio 819
Latão 1227 Cobre 1375 Aço 1985
Tabela 5.5 - Número de iterações em função do material virtual utilizado quando se aplica o método da Diferença Central às imagens A e B com 0.5σ = , para 1k = , 1t∆ = e 55ε = .
Os dados referentes à tabela anterior utilizaram a matriz de amortecimento adequada ao
polietileno, pelo que têm valor meramente teórico. Se adequarmos a matriz de amortecimento ao
material em causa, os resultados obtidos distribuir-se-ão da mesma forma. Por exemplo, para o
aço, supondo que os níveis de amortecimento crítico entre 2% e 15% obtemos , e
, mantendo as restantes condições referidas na tabela 5.5, utilizam-se 6156 iterações
entre as imagens A e B.
-4ˆ 6.2 x 10α = −
ˆ 10.4053β =
5.1.8 Aplicação da Transformação Rígida antes da Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio
Poderá ser útil no estudo do campo de deslocamentos entre imagens de dois objectos, analisar
apenas as componentes não rígidas do movimento. Assim, foi criada uma opção que permite que
a transformação rígida envolvida seja aplicada previamente, e só então se procede à resolução da
equação dinâmica de equilíbrio.
Consideremos o par de imagens J e K, onde as frequências de vibração variam entre 0.0253 e
0.0438. Assumindo que os valores de amortecimento crítico do polietileno variam entre 0.5% e
3%, obtemos que a matriz de amortecimento de Rayleigh tem como coeficiente da matriz de
massa 9x10-4, e o coeficiente da matriz de rigidez é 1.858. Assim, tendo em consideração que os
quatro nodos de J e K estão emparelhados segundo a figura 5.54, aplicando a cada nodo (antes de
se proceder à resolução da equação de equilíbrio) a transformação rígida existente, obtemos os
resultados apresentados na figura 5.55.
70
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
Fip
5e
P
q
P
u
s
o
S
c
d
5
J
n
f
q
igura 5.54 - Emparelhamento modal das
magens J e K para 0.25σ = , sendo o material olietileno.
Figura 5.55 - Primeira e última (7ª) iterações do método da Diferença Central entre J e K, quando se aplica de início a transformação rígida, sendo 10k = , 1t∆ = e 30ε = .
K J
.1.9 Procedimento utilizado para estimar cargas nos nodos não mparelhados
ara as imagens inicias A e B usando um factor de correlação máximo de 0.0002 consegue-se
ue apenas dois dos três nodos estejam emparelhados da forma representada pela figura 5.56.
ela comparação dos resultados obtidos nas figuras 5.57 e 5.58 notamos que 55ε = revela ser
m parâmetro de paragem muito relaxado, sendo os resultados obtidos por 15ε =
ignificativamente melhores uma vez que aproximam de forma mais adequada a imagem
bjectivo.
e a aproximação dos nodos emparelhados aos correspondentes nodos da imagem final pode ser
ontrolada pelo factor ε , a intensidade das cargas nos nodos não emparelhados é a única maneira
e poder melhorar as aproximações feitas nestes nodos (como se pode ver pelas figuras 5.58 e
.59, onde são utilizados e respectivamente). 10k = 50k =
á na figura 5.60 podemos ver que a consideração dos deslocamentos dos nodos adjacentes ao
odo não emparelhado não revela ter interesse no caso das imagens em estudo. Mas já nas
iguras 5.61 e 5.62 podemos ver que não existem diferenças significativas nos resultados obtidos,
uer se considerem ou não, os nodos adjacentes ao nodo não emparelhado.
71
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
Figura 5.56 - Emparelhamento dos nodos de A e B, com factor de correlação máximo 0.0002.
Figura 5.57 - Iterações do método de Diferença Central entre A e B, quando só dois nodos estão emparelhados para , e 10k = 1t∆ =
55ε = .
Figura 5.58 - Iterações do método da Diferença Central entre A e B, quando só dois nodos estão emparelhados para , 10k = 1t∆ = e
15ε = .
Figura 5.59 - Iterações do método da Diferença Central entre A e B, quando só dois nodos estão emparelhados para , e 50k = 1t∆ =
15ε = .
Figura 5.60 - Iterações do método da Diferença Central entre A e B, quando só dois nodos estão emparelhados mas se consideram os extremos na força aplicada no nodo não emparelhado com
, e 50k = 1t∆ = 15ε = .
72
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
Figura 5.61 - Primeira e última iterações do método da Diferença Central para 1k = ,
e 1t∆ = 35ε = .
Figura 5.62 - Primeira e última iterações do método da Diferença Central quando se consideram os nodos emparelhados adjacentes para estimar cargas nos nodos não emparelhados, sendo 1k = , e 1t∆ = 35ε = .
Consideremos agora a transformação do objecto entre as imagens A e K, segundo o
emparelhamento representado na figura 5.63. Por defeito o deslocamento dos nodos da imagem
inicial será feito de acordo com os nodos emparelhados (obtendo-se o resultado da figura 5.64).
Mas também pode ter interesse estimar o deslocamento dos nodos iniciais de acordo com todos
os nodos da imagem final (caso da figura 5.65).
Fem
igura 5.63 - Emparelhamentos das imagens A K quando o material é aço ( 0.5σ = , valor ínimo para ser simetria=0.01) para 50k = ,
e 1t∆ = 20ε = .
Figura 5.64 - Iterações inicial e final (it=9696) do método da Diferença Central entre A e K, nas condições da figura 5.63.
K A
73
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
Figura 5.65 - Iterações inicial e final (it=74959, 34segundos) do método da Diferença Central entre A e K, quando se consideram todos os nodos da imagem final, nas condições da figura 5.63.
Conforme se pode ver pelas figuras apresentadas, ainda que o resultado da última iteração seja
distinto da imagem objectivo (os nodos obtidos distam 101 pixels dos nodos respectivos da
imagem objectivo), o cálculo termina porque foi atingido o equilíbrio.
1
3 2
5.1.10 Energia de Deformação Global
Associada a cada iteração da resolução da equação dinâmica de equilíbrio existe a energia de
deformação global. Conforme se pode ver pelas figura 5.66 e 5.67, e pelo gráfico 5.1, a energia
de deformação global vai aumentando de valores nulos até pouco mais de 0.6, sendo metade da
energia de deformação global acumulada entre o primeiro e último passos gasta nas últimas
quatro iterações (gráfico 5.2).
Todavia quando a paragem da resolução da equação de Lagrange se deve ao critério de equilíbrio
(caso das imagens A e K) notamos que ainda que haja um aumento significativo da energia de
deformação global no início, a partir de um determinado número de iterações a energia global
decresce, para voltar a crescer muito ligeiramente, após o que descresce (com máximo relativo
muito inferior ao anterior). Desta forma temos uma tendência global decrescente, atingindo
valores da ordem de 10-6 às 56000 iterações (gráficos 5.3, 5.4 e 5.5). De salientar que metade da
energia global de deformação acumulada gasta nesta transformação é utilizada antes das
primeiras 5000 iterações.
74
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
Figura 5.66 - Todas as iterações do método da Diferença Central quando , e 1k = 1t∆ =
55ε = .
Figura 5.67 - Todas as iterações do método da Diferença Central entre A e B, em escala de cinzentos de acordo com intensidade da energia global de deformação quando 1k = ,
1t∆ = e 55ε = .
Energia de Deformação Global de A em B
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 5 10 15 20
Iterações
Energia
Energia de Deformação Global Acumulada de A em B
00.5
11.5
22.5
33.5
0 5 10 15 20
Iterações
Energia
Gráfico 5.1 - Energia de Deformação Global na transformação de A em B segundo as condições da figura 5.66.
Gráfico 5.2 - Energia de Deformação Global Acumulada na transformação de A em B segundo as condições da figura 5.66.
Energia de Deformação Global de A em K
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
Iterações
Energia
Energia de Deformação Global de A em K
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 100 200 300
Iterações
Energia
Gráfico 5.3 - Energia de Deformação Global na transformação de A em K segundo as condições da figura 5.63.
Gráfico 5.4 – Ampliação da zona do gráfico 5.3 referente às primeiras 300 iterações.
75
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
Energia de Deformação Global Acumulada de A em K
0
50
100
150
200
250
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
Iterações
Energia
Gráfico 5.5 - Energia de Deformação Global Acumulada na transformação de A em K
segundo as condições da figura 5.63.
5.1.11 Energia de Deformação Local
Conforme se pode ver pelas figuras 5.68 e 5.69, inicialmente todos os nodos partem de níveis de
energia nulos. Mas com o evoluir do tempo vão adquirindo valores cada vez maiores, com maior
ênfase no nodo inferior esquerdo (nodo 3) que acaba por atingir os maiores valores de energia de
deformação local (cf. gráfico 5.6).
Mas também no caso das imagens A e K, o comportamento da energia de deformação local se
assemelha ao comportamento da energia de deformação global (gráficos 5.7 e 5.8).
Podemos ver que inicialmente o nodo 2 é o que apresenta maiores níveis de energia, mas a partir
das primeiras 3000 iterações é ultrapassado pelos valores de energia do nodo 1. O nodo 3, por
sua vez apresenta sempre valores de energia muito baixos.
Gráfico 5.6 - Energia de Deformação Local entre A e B, nas condições da figura 5.68.
Energia de Deformação Local entre A e B
05
101520253035
0 5 10 15 20
Iterações
Ener
gia Nodo 2
Nodo 3Nodo 1
76
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
Figura 5.68 - Todas as iterações do método da Diferença Central entre A e B, em escala de cinzentos de acordo com intensidade da energia local de deformação quando 1k = ,
e 1t∆ = 55ε = .
Figura 5.69 - Primeira e última iterações do método da Diferença Central entre A e B, em escala de cinzentos de acordo com intensidade da energia local de deformação quando 1k = ,
1t∆ = e 55ε = .
Energia de Deformação Local de A em K
-0.010
0.010.020.030.040.050.060.070.08
0 10000 20000 30000Iterações
Energia
Energia de Deformação Localde A em K
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
-100 100 300 500
Iterações
Energia
Nodo 2Nodo 3Nodo 1
Gráfico 5.7 - Energia de Deformação Local na transformação de A em K segundo as condições da figura 5.63.
Gráfico 5.8 - Ampliação da zona do gráfico 5.8 referente às primeiras 500 iterações.
1
2
3
5.2 Discussão dos resultados obtidos
Nesta secção faremos a análise dos resultados apresentados anteriormente.
5.2.1 Paragem da resolução da Equação de Lagrange
Foram incorporados no trabalho desenvolvido duas formas de parar a resolução da equação
dinâmica de equilíbrio. Quando a paragem da resolução se deve ao critério de proximidade, isto
77
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis significa que as aproximações da localização dos nodos obtidas na última iteração do processo de
resolução distam menos de um factor determinado pelo próprio utilizador, ε , dos respectivos
nodos da imagem objectivo.
Quando dizemos que a paragem da resolução se deve ao facto do sistema ter atingido o
equilíbrio, isto significa que os resultados obtidos nas últimas iterações distam entre si menos do
que um valor predeterminado. Neste trabalho optamos por considerar que o sistema está em
equilíbrio se os resultados distam entre si menos do que 10-5, por este valor ser pequeno
relativamente ao tamanho das imagens estudadas (256x256).
Convém, contudo assinalar que o critério utilizado para se considerar se o sistema se encontra em
equilíbrio baseia-se no deslocamento dos nodos na última iteração. Mas, como as cargas
aplicadas sobre os nodos são calculadas em função da posição de cada nodo relativamente ao(s)
correspondente(s) nodo(s) da imagem final, o sistema atinge o equilíbrio segundo o critério
utilizado, se e só se a diferença das cargas aplicadas nas últimas duas iterações for inferior a
, onde é o factor de rigidez global. 510 k− k
A opção de fazer com que o esquema resolutivo termine por ter sido atingido o equilíbrio ou por
se ter obtido uma solução suficientemente próxima da solução, poderá depender do que se
pretende analisar, e os resultados obtidos, naturalmente, irão variar consoante o critério utilizado.
Em todos os casos estudados, o número de iterações entre a satisfação do critério de proximidade
ou do de equilíbrio é substancial.
5.2.1.1 Critério de proximidade
Para , 10 e 1, nas imagens A e B, notamos que a convergência dos resultados para a
solução pretendida não foi unânime (tabela 5.6). De facto, notou-se que a maioria dos métodos
não conseguiu obter aproximações, a menos de 10 pixels, da imagem final, B, antes de divergir.
100k =
Testando a aplicação de cargas nulas para quaisquer combinações dos referidos dados não trouxe
qualquer alteração aos dados iniciais, logo descartamos a hipótese de divergência de resultados
devido aos factores que não são directamente afectados pela consideração de cargas não nulas.
Os factores que podem originar a não convergência dos resultados são a intensidade das cargas
aplicadas e, consequentemente, o limite de proximidade,ε , que se podem revelar inadequados ao
material utilizado.
Admitindo que os valores de intensidade de carga a serem aplicados são necessariamente esses,
nota-se que ao estabelecer o valor de ε , estamos a limitar as soluções obtidas pela resolução da
equação dinâmica de equilíbrio, aceitando apenas que o cálculo termine se a aproximação
78
5. Procedimentos Experimentais e Discussão conseguida estiver a menos de ε da solução pretendida. Como se pode constatar pelas figuras
5.22 e 5.23, as soluções obtidas para valores maiores de ε também são bastante razoáveis.
Iterações dos Métodos de Integração t∆ k DC N SM-DC SM-N 1 100 NC 4 4 4 1 10 NC NC NC NC 1 1 NC NC NC NC 1 0.1 49 47 47 47 1 0.05 NC 61 61 61
0.9 0.05 23068 65 65 65 Legenda: DC - Diferença Central; N – Newmark; SM –Sobreposição de Modos; NC – Não converge
Tabela 5.6 - Número de Iterações das Imagens A e B quando 10ε = .
As diferenças dos resultados obtidos entre as tabelas 5.6 e 5.7 devem-se apenas ao limite pré-
estabelecido para ε . De facto, quanto maior o ε , maiores possibilidades de determinar uma
solução aproximada (a menos deste valor) da solução exacta. Contudo, não será conveniente que
este factor seja demasiado grande, uma vez que possibilita que o sistema pare mais cedo, e como
tal, se obtenham soluções não tão precisas.
Iterações dos Métodos de Integração t∆ k DC N SM-DC SM-N 1 100 3 4 4 4 1 10 8 8 8 8 1 1 18 18 18 18 1 0.1 41 40 40 40 1 0.05 56 52 52 52
0.9 0.05 8688 56 56 56
Tabela 5.7 - Número de Iterações das Imagens A e B quando 55ε = .
Mas a alteração dos parâmetros de entrada, pode contribuir para a convergência da solução,
conforme se pode constatar pela tabela 5.8, em que o material virtual utilizado foi o aço, com
sigma gaussiano de valor igual a 0.5 (foi necessário alterar este parâmetro para que se mantivesse
a mesma correspondência entre nodos).
Iterações dos Métodos de Integração t∆ k DC N SM-DC SM-N 1 100 170 NC NC NC 1 10 1728 260 263 260 1 1 17308 2778 2781 2778 1 0.1 173108 173108 27950 27947 1 0.05 346219 55913 55915 55913
Tabela 5.8 - Número de Iterações das Imagens A e B quando 10ε = ,
sendo o material virtual aço e 0.5σ = .
79
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
5.2.1.2 Equilíbrio
Se paragem da resolução se dever apenas a ter sido atingido o equilíbrio, notamos que o número
de iterações utilizadas é significativamente maior, mas regra geral, caso haja convergência,
obtemos aproximações muito melhores da imagem objectivo.
Nos exemplos apresentados foram alguns os casos em que não se obteve convergência dos
resultados. Notou-se que ainda que existam algumas combinações de parâmetros possam
conduzir a resultados relativamente próximos da imagem final, o que origina a paragem do
esquema de resolução devido ao critério de proximidade, nem sempre se atinge o equilíbrio.
Todavia, constatamos que quando se mudou de material virtual de polietileno para aço, houve
maior número de casos em que se deu a convergência. Este facto leva-nos a concluir que, quando
os resultados divergem antes que se tenha obtido a solução pretendida, a escolha de parâmetros
poderá não ter sido a mais adequada.
5.2.2 Intensidade das Cargas Aplicadas
Quando se aplicam cargas não nulas, está-se a atribuir dinamismo ao sistema em estudo, uma vez
que este adquire velocidade e aceleração não nulas.
Analisando os valores da tabela 5.7, notamos que mantendo os restantes factores, quanto maior a
intensidade da carga, menor será o número de iterações necessárias para que a resolução da
equação de equilíbrio termine, o que se justifica pelo facto da intensidade da carga aplicada em
cada nodo, influenciar a velocidade com que o sistema evolui para o seu destino.
O controlo da intensidade das cargas, feito pelos valores atribuídos à constante global de rigidez,
k, pressupõe que a estrutura seja resistente à intensidade das forças que se vão aplicar. As
mudanças extremamente acentuadas e inesperadas que se verificam nas figuras 5.9, 5.10 e 5.25,
levam a supor a desadequação da intensidade da carga aplicada, caso o sistema tenha de evoluir
até aos referidos estados. Mas, se a utilização de cargas menos intensas pode parecer mais
acertada, quanto menor a intensidade da carga, mais tempo será necessário para que se obtenha a
solução pretendida.
Localmente, de acordo com a forma como construímos os vectores de cargas, notamos que a
intensidade das forças aplicadas é proporcional à distância que separa cada nodo do(s) nodo(s)
correspondente(s).
80
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
5.2.3 Intervalos de Tempo
Se se preferir a exactidão de resultados em detrimento do número de iterações a utilizar, também
se poderá utilizar um intervalo de tempo de menor amplitude.
Quanto maior o passo de tempo utilizado, mais desfasados estão os contornos obtidos em cada
iteração. E quanto mais próximo da imagem inicial menor o espaçamento entre os contornos.
Este facto deve-se ao facto de o sistema em consideração partir de deslocamento e velocidade
nulas, e à medida que o tempo avança, o sistema vai adquirindo velocidade graças às cargas
aplicadas.
Na tabela 5.9 podemos ver que quanto maior o intervalo de tempo, menor o número de iterações
necessárias até à paragem da resolução. Mais, nestas circunstâncias, o método da Diferença
Central (quando não diverge) parece evoluir mais rapidamente que os demais métodos, uma vez
que utiliza menos iterações que estes. De salientar que o método de Newmark e o método da
Sobreposição de Modos (considerando-se a totalidade dos modos), obtêm aproximações muito
semelhantes, e como tal utilizam quase sempre o mesmo número de iterações, exceptuando casos
pontuais como os das figuras 5.70 e 5.71, em que os nodos obtidos pela 11ª iteração do método
da Sobreposição de Modos estão ligeiramente acima do ε utilizado.
Iterações dos Métodos de Integração t∆ k DC N SM-DC SM-N 2 1 3 11 12 11 5 1 NC 6 6 6 10 1 NC 4 4 4 15 1 NC 3 3 3
100000000 1 NC 1 NC 1
Tabela 5.9 - Número de Iterações das Imagens A e B quando 55ε = .
81
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
Figura 5.70 - Todas as iterações (it=12) do método da Sobreposição de Modos com o método da Diferença Central quando 2t∆ = ,
e 1k = 55ε = .
Figura 5.71 - Todas as iterações (it=11) do método da Sobreposição de Modos com o método de Newmark quando , 2t∆ = 1k = e
55ε = .
Não se verificaram diferenças nos resultados obtidos para intervalos de tempo de 40 e 50 da
tabela 5.3, porque ainda que 40 seja menor do que o intervalo de tempo crítico, na prática é
conveniente utilizar um intervalo de tempo abaixo do intervalo de tempo crítico.
5.2.4 Amortecimento
Como seria de esperar, à medida que o amortecimento aumenta, diminui o desfasamento das
posições de cada nodo entre iterações. As diferenças obtidas a partir do amortecimento crítico
utilizado, são mais evidentes em estruturas mais rígidas, uma vez que a rigidez do próprio
material contribui para as realçar (isto porque quanto maior a rigidez do material, maiores serão
as entradas que compõem a matriz de rigidez).
5.2.5 Deslocamento e/ou velocidade iniciais não nulos
Já foi visto que os primeiros resultados obtidos pela equação dinâmica de equilíbrio são
geralmente menos desfasadas do que os resultados das iterações que lhes seguem.
Quando se utilizam valores do deslocamento ou velocidade iniciais não nulos (e
consequentemente da aceleração também), verificamos que o desfasamento entre as iterações
iniciais, e consequentemente das restantes, é ampliado. Isto acontece porque se o sistema já está
acelerado, os efeitos das forças aplicadas serão visíveis mais rapidamente do que caso contrário.
82
5. Procedimentos Experimentais e Discussão 5.2.6 Métodos de Integração
Com excepção do método de Diferença Central, os restantes métodos de integração utilizados
neste trabalho mostraram comportar-se, salvo raras excepções, de forma muito semelhante. Uma
excepção deveu-se ao facto de ter sido utilizado um intervalo de tempo muito para além do
intervalo de tempo crítico do método da Diferença Central, o que afectou o método da
Sobreposição de Modos quando utilizou o método da Diferença Central.
O grande inconveniente do método da Diferença Central é o de ser condicionalmente estável, o
que limita os passos de tempo que possamos querer utilizar. Além de que se os intervalos de
tempo têm de ser menores do que um determinado valor crítico, então necessariamente a
evolução do sistema será feita de acordo com essas limitações (vistas anteriormente).
Pelo que se pode analisar, o método da Diferença Central (quando não diverge) não obtém
aproximações tão distintas quanto a diferença do número de iterações nos pode levar a crer.
Aliás, quando analisados em pormenor os resultados que advém deste método, notamos que pode
não conseguir, em alguns casos, a mesma precisão que os outros métodos com o mesmo número
de iterações, mas que os resultados obtidos são visualmente análogos.
O método da Diferença Central mostrou-se como o menos preciso porque o algoritmo utilizado,
para o caso em que a matriz de amortecimento não é diagonal, tem precisão de primeira ordem
(já que as forças viscosas estão desfasadas em meio passo de tempo).
O método de Newmark, para 0.5δ = (como foi usado até aqui), tem precisão O( 2t∆ ) se o
amortecimento for não nulo. Quando se utiliza o método da Diferença Central para resolver a
equação de equilíbrio transformada pelo método da Sobreposição de Modos, a matriz de
amortecimento já é diagonal, o que explica que também, neste caso, a precisão seja de O( t∆ 2).
5.2.6.1 Parâmetros associados ao método de Newmark
Os parâmetros associados ao método de Newmark, α e δ , influenciam (segundo [Bathe, 1996]
e [Cook, 1989]) a estabilidade e precisão do método. Contudo tomando valores para estes
parâmetros que originem estabilidade incondicional, quanto maior o valor de δ , maior será a
dissipação das altas frequências vibratórias do sistema (designado por amortecimento numérico),
o que reduz a precisão do método de Newton aos termos de primeira ordem. Se δ for igual a 0.5
(valor mínimo para que o esquema de Newton seja incondicionalmente estável), então não existe
amortecimento numérico, e a precisão do método é de segunda ordem.
83
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
5.2.6.2 Percentagem de modos considerados pelo método de Sobreposição de Modos
Quando nas imagens A e B (com 3 nodos cada) se consideraram apenas dois terços dos modos os
resultados obtidos eram muito piores do que os obtidos com a totalidade dos modos. Tal facto,
deve-se ao número de modos associados às imagens em causa ser relativamente reduzido, o que
faz com que os modos de alta frequência se revelem mais importantes para estimar o
deslocamento dos objectos.
Já nas imagens D (com 32 nodos) e E (com 28 nodos), notamos que a omissão de alguns (cerca
de 1/3) dos modos pode piorar ligeiramente os resultados obtidos. Assim, quando o número de
nodos é significativo, a consideração de apenas 2/3 dos nodos para a resolução da equação
dinâmica de equilíbrio através do método da Sobreposição de Modos é uma alternativa viável,
uma vez que o custo computacional será reduzido.
Poder-se-ão considerar percentagens inferiores a 66% dos modos, contudo, pelos resultados
observados, as vantagens adquiridas pela redução do custo computacional, não compensam o
agravamento da qualidade dos resultados obtidos.
5.2.7 Parâmetros que afectam o emparelhamento
5.2.7.1 Sigma Gaussiano
Quando se variam os sigmas gaussianos, σ (das funções interpoladores de Gauss), por forma a
não alterar o emparelhamento estabelecido, verificam-se alterações nos valores que compõem as
matrizes de massa e rigidez. Então, necessariamente, existem diferenças nos resultados obtidos
na resolução da equação dinâmica de equilíbrio. O que se verificou na prática é que quanto
maiores os valores de σ , piores as aproximações obtidas e menos desfasados os resultados
obtidos por cada iteração (o que significa que o sistema evolui mais lentamente). Assim, uma vez
que este parâmetro controla a rigidez do elemento finito, constatamos que quanto maior a
dependência entre nodos, piores serão as aproximações conseguidas para a imagem final pela
resolução da equação dinâmica de equilíbrio.
84
5. Procedimentos Experimentais e Discussão
5.2.7.2 Material Virtual
Atendendo às propriedades do materiais virtuais utilizados para modelizar os objectos
representados nas imagens A e B (tabela 5.10), notamos que (com excepção do alumínio) quanto
maior o coeficiente de Poisson do material virtual utilizado, menor o número de iterações
necessárias até à paragem da resolução da equação de equilíbrio (cf. tabela 5.5). Com excepção
do aço, também notamos que quanto maior a densidade do material, maior o número de iterações
aplicadas. Exceptuando a borracha, também constatamos que o módulo de elasticidade é
proporcional ao número de iterações utilizadas.
Assim, podemos concluir que o número de iterações utilizado na resolução da equação dinâmica
de equilíbrio (com raras excepções) será tanto maior quanto maior for a densidade e o módulo de
elasticidade do material. O número de iterações também aumenta com a diminuição do
coeficiente de Poisson do material utilizado para modelizar os objectos das imagens dadas.
Material Densidade Módulo de Elasticidade Coeficiente de Poisson
Polietileno 0.91 0.26 0.45 Borracha 1.12 0.00243 0.45 Alumínio 2.77 73.3 0.33
Latão 8.43 105 0.345 Cobre 8.955 117.5 0.345 Aço 7.79 206.5 0.275
Tabela 5.10 - Propriedades físicas de alguns materiais.
5.2.8 Aplicação da Transformação Rígida antes da Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio
Aplicando a transformação rígida existente entre as imagens inicial e objectivo à imagem inicial,
faz com que os nodos desta imagem se aproximem dos correspondentes nodos da imagem
objectivo. E, assim, a resolução da equação dinâmica de equilíbrio é utilizada para estimar
apenas as componentes locais da deformação global.
Assim, o número de iterações necessárias até à convergência será menor, e o desfasamento entre
os resultados que se vão obtendo também é menor.
85
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
5.2.9 Procedimento utilizado para estimar as cargas nos nodos não emparelhados
Quando menos nodos estão emparelhados, menor deve ser o valor que controla a paragem do
cálculo por proximidade, ε , uma vez que este coeficiente apenas controla as distâncias entre os
nodos emparelhados e os correspondentes nodos da imagem final.
Tal como nos restantes nodos, o deslocamento dos nodos não emparelhados depende das cargas
aplicadas. Assim sendo, quanto maior a carga aplicada, mais rapidamente se dá a evolução do
sistema para as coordenadas objectivo (desde que o objecto suporte essa intensidade).
A consideração dos deslocamentos dos nodos adjacentes ao nodo emparelhado piora os
resultados obtidos nas imagens A e B, porque estas têm poucos nodos o que faz com que os
nodos adjacentes sofram deslocamentos muito diferentes do que deveria ser o deslocamento do
nodo não emparelhado. Já nas imagens D e E já não se distinguem grandes diferenças. A
consideração dos nodos emparelhados adjacentes para se construir o vector de cargas para os
nodos não emparelhados, é tanto melhor, quanto maior for o número de nodos da imagem.
Quando se toma em consideração todos os nodos não emparelhados da imagem final o critério
responsável pela paragem não deverá ser o de proximidade uma vez que o deslocamento dos
nodos emparelhados é afectado pelos nodos que não foram emparelhados, o que geralmente não
permite que os nodos da imagem inicial se aproximem a menos de ε dos respectivos nodos da
imagem final. Nestes casos, o cálculo só termina quando se considera que foi atingido o
equilíbrio, isto é, o deslocamento dos nodos entre iterações não foi superior a 10-5 (valor utilizado
nas experiências realizadas desta dissertação). Como vimos, quando a paragem da resolução da
equação de Lagrange está dependente do equilíbrio ser atingido, o número de iterações utilizadas
é significativamente maior, uma vez que, geralmente, esta condição é mais demorada de
satisfazer do que o critério de proximidade da imagem final.
5.2.10 Energia de Deformação Global
No caso da transformação de A em B, nota-se que a energia de deformação global por iteração
sofre incrementos graduais, atingindo o valor máximo de energia na última iteração. Este
comportamento é justificado pelo facto do deslocamento entre iterações ser cada vez maior.
Quando a paragem da resolução da equação de Lagrange se deve ao equilíbrio ter sido atingido,
nota-se que os valores de energia sobem acentuadamente no início, mas a partir de uma
86
5. Procedimentos Experimentais e Discussão determinada altura decrescem, e voltam a crescer ligeiramente, para descrescer, até valores
aproximadamente nulos.
O incremento inicial justifica-se da mesma forma que no caso em que a paragem se deve ao
critério de proximidade. Contudo, e uma vez que o sistema não pára devido a este critério de
proximidade, o sistema evolui, tornando-se o deslocamento entre iterações sucessivamente
menor, o que justifica a diminuição da energia de deformação entre iterações. As ligeiras
variações que compõem esta parte decrescente da curva de energia de deformação devem-se ao
abrandamento do deslocamento dos nodos (cf. gráficos 5.9 e 5.10).
Energia de Deformação Globalentre A e K
0100200300400500600700800900
0 10 20 30 40 50
Iterações
Energia
Deslocamento Total dos Nodos por Iteração entre A e K
0
2
4
6
8
10
12
0 10 20 30 40 50
Iterações
Deslocamento
Gráfico 5.9 - Energia de Deformação Global entre A e K nas primeiras 50 iterações, segundo as condições da figura 5.63.
Gráfico 5.10 - Deslocamento total dos nodos das imagens A e K nas primeiras 50 iterações, segundo as condições da figura 5.63.
5.2.11 Energia de Deformação Local
O comportamento da energia de deformação local assemelha-se ao da energia de deformação
global. Assim, também para imagens em que a paragem se baseia no critério de proximidade a
energia de deformação local aumenta em cada nodo. Nota-se que o crescimento dos valores da
energia está associado ao deslocamento percorrido pelos nodos em causa.
Nas imagens em que a paragem se deve ao equilíbrio ter sido atingido, a seguir ao aumento
acentuado inicial da energia de deformação, assiste-se à diminuição da mesma, após o que estes
valores sofrem um ligeiro aumento, para voltar a decrescer até valores quase nulos.
O nodo 2 da figura 5.63 está emparelhado, e não sofre influência dos nodos não emparelhados.
Assim, inicialmente, o deslocamento deste nodo entre iterações é cada vez maior, o que justifica
o aumento da energia de deformação nas primeiras iterações (até ao valor de 0.069 na 12ª
iteração). Até à iteração nº 29, os valores de energia neste nodo decrescem até 0.0044, após o que
se verifica um novo aumento até à 45ª iteração com a energia a valer 0.0049. A partir desta
87
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis iteração os valores de energia de deformação decrescem. Estas variações nos valores da energia
de deformação devem-se às variações do deslocamento do nodo.
A energia local de deformação do nodo 1 sofre um comportamento semelhante ao nodo 2, ainda
que este seja influenciado pelo nodo não emparelhado da imagem objectivo.
Mas o nodo 3 distingue-se dos restantes por ter valores de energia de deformação muito
reduzidos, que se explicam pelo deslocamento reduzido que vai sofrendo relativamente ao dos
restantes nodos.
5.3 Conclusões
Consoante os parâmetros introduzidos, naturalmente, obtemos resultados diferentes. Contudo, de
uma forma geral, podemos estabelecer alguns padrões comuns nos deslocamentos que se obtém
em cada iteração da resolução da equação dinâmica de equilíbrio.
Partindo apenas de duas imagens, para se proceder à resolução da equação dinâmica de
equilíbrio, são necessários vários parâmetros. Caso não tenhamos informações acerca desses
parâmetros é preciso estima-los. A escolha dos parâmetros é determinante para a evolução da
resolução da equação dinâmica de equilíbrio. Assim, notamos que se os resultados divergirem,
então a escolha dos parâmetros de entrada poderá não ser adequada.
Se os parâmetros de entrada levarem à convergência para a imagem objectivo, notamos que o
critério de proximidade (para ε adequado ao caso em estudo) é mais fácil de satisfazer do que o
critério de equilíbrio, porque antes de ser atingido o equilíbrio, os resultados aproximam-se da
imagem objectivo. Poderão contudo surgir casos em que os nodos iniciais se desloquem mas não
para os respectivos pares (por exemplo quando consideramos os nodos não emparelhados na
imagem objectivo), e então o critério de proximidade (para ε razoável) não será satisfeito, e a
paragem dever-se-à ao equilíbrio ter sido atingido.
Suponhamos que estamos nos casos em que a paragem da resolução se deu porque foi atingido o
equilíbrio. Assim, notamos que nas primeiras iterações o desfasamento dos resultados vai sendo
sucessivamente maior. Mas a partir de uma determinada altura, esta tendência inverte-se.
Para os casos em que foi possível aplicar ambos os critérios para a paragem da resolução
notamos que o número de iterações entre a satisfação do critério de proximidade ou do de
equilíbrio é substancial, sendo que o critério de equilíbrio implica (para estes casos) maior
proximidade dos nodos da imagem objectivo.
88
5. Procedimentos Experimentais e Discussão A satisfação do critério de equilíbrio não implica que as forças aplicadas sejam nulas (basta ver o
caso em que consideramos os nodos não emparelhados da imagem objectivo), mas que as forças
resultantes aplicadas sobre cada nodo levam a que estes se desloquem no total menos de 10-5.
A intensidade das cargas a aplicar influencia o número de iterações utilizadas e a evolução do
sistema entre iterações. Assim, não é conveniente utilizar intensidades demasiado altas para o
objecto em causa, uma vez que a mesma pode entrar em ruptura. Mas por outro lado, a utilização
de forças exteriores pouco intensas leva a que o sistema evolua mais lentamente, o que aumenta,
substancialmente, o número de iterações utilizadas, e portanto, o custo computacional em atingir
a solução pretendida.
De modo análogo, os intervalos de tempo se demasiado pequenos levam a que a solução seja
obtida com número maior de iterações, mas o uso de intervalos demasiado grandes (dentro dos
limites estabelecidos teoricamente) aumentam o desfasamento dos resultados obtidos em cada
passo. Assim, é necessário escolher o intervalo de tempo que melhor se adequa ao que se
pretende obter.
O amortecimento contribui para que a evolução do sistema se faça mais lentamente. Essas
diferenças são tanto mais visíveis, quanto mais rígido for o material virtual utilizado.
A velocidade e deslocamento iniciais são factores que podem acelerar a resolução da equação
dinâmica de equilíbrio, isto porque, quanto maiores os valores de velocidade e deslocamento
iniciais mais desfasadas serão os resultados obtidos nas sucessivas iterações. De salientar que não
é necessária a introdução dos valores de aceleração inicial uma vez que estes podem ser
calculados através da equação de equilíbrio no instante inicial.
Quanto à eficácia dos métodos de integração utilizados, verificou-se que, salvo raras excepções,
todos os métodos obtiveram resultados análogos, a menos do método da Diferença Central, já
que quando se utiliza o algoritmo com as forças viscosas desfasadas em meio passo de tempo,
este método tem precisão de primeira ordem. Os restantes métodos têm precisão de O( t∆ 2).
A resolução da equação dinâmica de equilíbrio neste trabalho foi antecedida pela discretização
dos objectos pelo método dos elementos finitos, e com o método baseado na análise modal
obtiveram-se emparelhamentos entre nodos das duas imagens. Ainda, que o estudo aqui feito seja
válido para dados cuja origem não seja a mesma, nesta dissertação também analisamos os efeitos
que a variação dos parâmetros que influenciam os emparelhamentos, e alteram as matrizes de
massa e rigidez associadas ao objecto, provoca nos resultados que se obtêm da equação dinâmica
de equilíbrio.
A alteração do sigma gaussiano, das funções interpoladoras, controla a dependência entre nodos,
tendo-se verificado que quanto maior a dependência entre nodos, piores as aproximações
conseguidas para a imagem final pela resolução da equação dinâmica de equilíbrio.
89
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis Quanto ao material virtual utilizado, o número de iterações utilizados até à paragem da resolução
será tanto maior, quanto maior for a densidade e o módulo de elasticidade do material. O número
de iterações também aumenta com a diminuição do coeficiente de Poisson do material utilizado
para modelizar os objectos representados nas imagens dadas.
Poderá haver situações em que se pretenda estimar apenas as componentes não rígidas do
movimento, assim, nestes casos aplica-se à imagem inicial a transformação rígida existente que
transforma os nodos desta imagem nos nodos da imagem objectivo. Só então se procede à
resolução da equação dinâmica de Lagrange. Nestes casos, e como seria de esperar o número de
iterações até à convergência para a solução é menor, sendo os resultados obtidos bastante menos
desfasados.
Nesta dissertação o deslocamento é impulsionado pela aplicação de cargas sobre os nodos da
imagem inicial. Se os nodos emparelhados sofrem uma carga proporcional à distância até nodo
correspondente, o mesmo já não se pode dizer dos nodos não emparelhados uma vez que se
desconhecem as coordenadas deste ponto na imagem final. A alternativa encontrada foi
influenciar o deslocamento destes nodos de acordo com os nodos da imagem final que satisfaçam
os critérios de vizinhança (isto é, pontos vizinhos na imagem inicial mantêm-se vizinhos na
imagem final). As hipóteses de se considerarem os nodos emparelhados adjacentes para estimar
as cargas, ou atender a todos os nodos não emparelhados da imagem final melhoram as
aproximações obtidas, possibilitando estimativas mais adequadas para o campo de
deslocamentos, se o número de nodos da imagem inicial for relativamente grande.
A energia de deformação global e local têm comportamentos semelhantes. Verificando-se que se
a paragem da resolução da equação de equilíbrio se deve à satisfação do critério de proximidade,
a resolução termina com elevados valores de energia, uma vez que o deslocamento entre
iterações é relativamente grande. Contudo se a paragem do sistema se deve ao equilíbrio ter sido
atingido, os valores finais de energia são quase nulos, verificando-se que este requisito também
pode constituir um critério de paragem. Como seria de esperar, a nível local, a energia de
deformação é tanto maior quanto maior for o deslocamento do nodo em causa.
90
Capítulo 6
Conclusões e Perspectivas de Trabalho Futuro
91
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
92
6. Conclusões e Perspectivas de Trabalho Futuro
6 Conclusões e perspectivas de trabalho futuro
6.1 Conclusões finais
Visando criar mecanismos que possam, por exemplo, auxiliar/melhorar/complementar a visão
humana, o domínio da visão computacional tem sofrido uma grande expansão ao longo dos
últimos anos. Este movimento é exemplificado pelo vasto leque de aplicações que algoritmos de
processamento e análise de imagem têm vindo a ter.
Nesta dissertação propusemo-nos a estimar o campo de deslocamentos entre imagens de objectos
deformáveis, atendendo às propriedades físicas dos modelos utilizados. Caso as imagens dadas
tenham todos os nodos emparelhados então as cargas aplicadas, nesta dissertação, são
proporcionais às distâncias de cada nodo e o seu correspondente na imagem final. Mas, também
utilizamos uma forma que permite alargar o domínio de aplicabilidade da resolução da equação
de Lagrange a imagens cujos nodos não estejam todos emparelhados. Assim, para os nodos não
emparelhados aplicamos uma força resultante, que consiste na média ponderada das forças que
atraem este ponto para os nodos da imagem final, compreendidos entre os nodos que
correspondem aos nodos emparelhados adjacentes a este ponto. Desta forma, utilizamos para os
nodos não emparelhados um critério de vizinhança, segundo o qual pontos vizinhos na imagem
inicial, mantêm-se vizinhos. Assim, afinando os valores da constante global de rigidez, podem
obter-se aproximações bastante razoáveis da imagem objectivo, mesmo quando as imagens dadas
não foram totalmente emparelhadas com sucesso pela análise modal. As hipóteses de se
considerarem os nodos emparelhados adjacentes para estimar as cargas, ou atender a todos os
nodos não emparelhados da imagem final podem melhorar as aproximações obtidas,
possibilitando estimativas mais adequadas do campo de deslocamentos, se o número de nodos da
imagem inicial for relativamente grande.
Ao variar os valores atribuídos à constante global de rigidez, controlamos a intensidade das
cargas aplicadas, e assim verificamos influenciar o número de iterações utilizadas no processo de
resolução, mas também, alteramos a evolução do sistema entre iterações. Assim, verificamos que
não é conveniente utilizar intensidades demasiado altas para o objecto em causa, uma vez que o
mesmo pode entrar em ruptura. Mas por outro lado, a utilização de forças exteriores pouco
intensas leva a que o sistema evolua mais lentamente, o que aumenta, substancialmente, o
93
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis número de iterações utilizadas, e portanto, o custo computacional em atingir a solução
pretendida.
Quando é atingido o equilíbrio o processo resolutivo termina, contudo as forças aplicadas não são
necessariamente nulas (basta ver o caso em que consideramos os nodos não emparelhados da
imagem objectivo), mas que as forças resultantes aplicadas sobre cada nodo levam a que estes se
desloquem no total menos de 10-5 (valor utilizado nesta dissertação). O critério de equilíbrio
utilizado baseia-se no deslocamento da última iteração, mas pode ser traduzido em função da
intensidade das cargas aplicadas.
Nos casos em que a paragem da resolução se deu por ter sido atingido o equilíbrio notamos que
nas primeiras iterações o desfasamento dos resultados vai sendo sucessivamente maior, mas a
partir de uma determinada altura esta tendência inverte-se.
Contudo, uma vez que o número de iterações utilizadas até ser atingido o equilíbrio pode ser
muito elevado, e a partir de uma determinada altura os resultados obtidos já poderão aproximar
de forma suficientemente próxima a imagem objectivo, incluímos um critério (o critério de
proximidade) que pode fazer com que a paragem da resolução se dê, substancialmente, mais
cedo. Isto porque, de uma forma geral, antes de ser atingido o equilíbrio, os resultados
aproximam-se da imagem objectivo. Poderão, contudo, surgir casos em que os nodos iniciais não
se desloquem para os respectivos pares (por exemplo quando consideramos os nodos não
emparelhados na imagem objectivo), e então o critério de proximidade (para ε razoável) não
será satisfeito, e a paragem dever-se-á ao equilíbrio ter sido atingido.
A resolução da equação dinâmica de equilíbrio permite estimar o movimento/deformação dos
objectos entre as imagens dadas. Mas poderá ser útil analisar apenas a componente dinâmica não
rígida associada ao movimento/deformação. Assim, incluímos uma opção na implementação que
permite que seja aplicada a transformação rígida envolvida sobre os dados iniciais, e só então se
proceda à resolução da equação de Lagrange.
Nesta dissertação fizemos o estudo da influência de cada um dos parâmetros envolvidos na
resolução da equação dinâmica de equilíbrio, e assim, pudemos estabelecer alguns padrões
comuns.
Se os intervalos de tempo utilizados forem demasiado pequenos levam a que a solução seja
obtida com número maior de iterações (e portanto maior custo computacional), mas o uso de
intervalos demasiado grandes (dentro dos limites estabelecidos teoricamente) aumentam o
desfasamento dos resultados obtidos em cada passo. Assim, é necessário escolher o intervalo de
tempo que melhor se adequa ao caso das imagens utilizadas.
O amortecimento contribui para que a evolução do sistema se faça mais lentamente. Essas
diferenças são tanto mais visíveis, quanto mais rígido for o material virtual utilizado.
94
6. Conclusões e Perspectivas de Trabalho Futuro
Partindo apenas de duas imagens, para se proceder à resolução da equação dinâmica de
equilíbrio, tornou-se necessário, nesta dissertação, estimar o deslocamento e velocidade iniciais.
A solução utilizada nesta dissertação consiste em afectar as cargas iniciais aplicadas sobre cada
nodo de uma constante para o deslocamento inicial. E a velocidade inicial é obtida ao afectar de
outra constante o deslocamento inicial.
A velocidade e deslocamento iniciais são factores que podem acelerar a resolução da equação
dinâmica de equilíbrio, isto porque, quanto maiores os valores de velocidade e deslocamento
iniciais mais desfasadas serão os resultados obtidos nas sucessivas iterações. De salientar que não
é necessária a introdução dos valores de aceleração inicial uma vez que estes podem ser
calculados através da equação de equilíbrio no instante inicial.
Nesta dissertação a equação dinâmica de equilíbrio foi resolvida com o método da Diferença
Central, com o método de Newmark e com o método de Sobreposição de Modos.
Quanto à eficácia dos métodos de integração utilizados, verificou-se que, salvo raras excepções,
todos os métodos obtiveram resultados análogos, a menos do método da Diferença Central, já
que quando se utiliza o algoritmo com as forças viscosas desfasadas em meio passo de tempo,
este método tem precisão de primeira ordem. Os restantes métodos utilizados têm precisão de
O( 2t∆ ) (de salientar que utilizamos o método de Newmark com 0.5δ = ).
A resolução da equação dinâmica de equilíbrio neste trabalho pressupôs a discretização dos
objectos pelo método dos elementos finitos, e o emparelhamento de alguns nodos entre duas
imagens com recurso à análise modal. Ainda que o estudo aqui feito possa valer para dados cuja
origem poderá não ser a mesma, nesta dissertação também analisamos os efeitos que a variação
dos parâmetros que alteram as matrizes de massa e rigidez associadas ao objecto.
A alteração do sigma gaussiano, das funções interpoladoras, controla a dependência entre nodos,
tendo-se verificado que quanto maior a rigidez do elemento isoparamétrico de Sclaroff, piores as
aproximações conseguidas para a imagem final através resolução da equação dinâmica de
equilíbrio.
Quanto ao material virtual utilizado para modelizar os objectos representados nas imagens dadas,
notamos que com excepção de alguns casos pontuais, o número de iterações utilizados até à
paragem da resolução será tanto maior quanto maior for a densidade e ao módulo de elasticidade
do material; e, o número de iterações também aumenta à medida que o coeficiente de Poisson
diminui.
Nesta dissertação também analisamos os valores da energia de deformação global e local ao
longo do movimento/deformação. Assim, notamos que as energias de deformação global e local
têm comportamentos semelhantes, verificando-se que se a paragem da resolução da equação de
equilíbrio se deve à satisfação do critério de proximidade (para ε razoável), a resolução termina
95
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis com elevados valores de energia, uma vez que o deslocamento entre iterações é relativamente
grande. Contudo se a paragem do sistema se deu porque foi atingido o equilíbrio, os valores
finais de energia são quase nulos, verificando-se que este requisito também pode constituir um
critério de paragem da resolução da equação dinâmica de equilíbrio. Notamos também que a
energia de deformação é tanto maior quanto maior for o deslocamento dos nodos em causa.
6.2 Perspectivas de trabalho futuro
Nesta dissertação fizemos a análise do campo de deslocamentos entre imagens bidimensionais de
objectos deformáveis. O trabalho desenvolvido pode, em trabalhos futuros, ser expandido para
imagens tridimensionais. Mais, segundo [Jin, 2001], a estimativa dos efeitos da deformação de
objectos a partir de imagens 3D pode ser uma tarefa facilitada se se utilizar a técnica das
coordenadas polares direccionais, pelo que o trabalho a desenvolver poderá recorrer a esta nova
técnica.
Para estimar as cargas aplicadas sobre os nodos utilizamos uma constante de rigidez global e um
intervalo de tempo fixo. Contudo poder-se-á fazer um estudo análogo ao que foi feito nesta
dissertação, mas em que se vão acrescentando as informações obtidas acerca do comportamento
do objecto em cada iteração, e afinar os parâmetros introduzidos inicialmente, no sentido de,
eventualmente, poder melhorar os resultados obtidos.
Nesta dissertação foi necessário estimar as cargas aplicadas sobre os nodos constituintes da
imagem inicial. Assim, este trabalho poderia ser desenvolvido através da procura de modelos
representativos das forças aplicadas (atendendo à possibilidade de existência de nodos não
emparelhados), e fazer a comparação com a forma aqui utilizada.
Seguimos a resolução da equação dinâmica de equilíbrio usando o método dos elementos finitos,
contudo em [Yang, 1996] é apresentado o método da função de transferência distribuída por tiras,
que também pode ser usando na resolução da equação de Lagrange. O trabalho desenvolvido
nesta dissertação pode ser comparado com os resultados obtidos pelo método supracitado.
Também, o trabalho desenvolvido nesta dissertação poderá ser enriquecido se se tornarem mais
explícitos os elos de ligação a outros domínios do conhecimento, e se se concretizarem as suas
aplicações aos diversos ramos (como poderá ser a imagem médica).
96
Bibliografia
97
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis
98
Bibliografia
Bibliografia [Bathe, 1996] - Bathe K. FINITE ELEMENT PROCEDURE PRENTICE HALL - 1996 [Cook, 1989] - Cook R, Malkus D, Plesha M. CONCEPTS AND APPLICATIONS OF FINITE ELEMENT ANALYSIS WILEY - 1989 [Coppini, 1992] - Coppini G, Demi M, Calamai R, Valli G. ARTIFICIAL VISION APPROACH TO THE UNDERSTANDING OF HEART MOTION JOURNAL OF BIOMEDICAL ENGINEERING -VOL.14 p. 321/328 - JUL 1992 [Davies, 1999] - Davies R. NEWMAT, A MATRIX LIBRARY IN C++, HTTP://WEBNZ.CO.NZ/ROBERT/ 1999 [DellAcqua, 1997] - DellAcqua F, Gamba P, Mecocci A. MODAL MATCHING FOR RAINFALL PATTERNS SHAPE EVALUATION AT DIFFERENT SCALES PROCEEDINGS OF THE SOCIETY OF PHOTO-OPTICAL INSTRUMENTATION ENGINEERS (SPIE), 2959 p. 118/128 - 1997 [Golosio, 2001] - Golosio B, Brunetti A, Amendolia SR. A NOVEL MORHOLOGICAL APPROACH TO VOLUME EXTRACTIONIN 3D TOMOGRAPHY COMPUTER PHYSICS COMMUNICATIONS -VOL. 141 p. 217/224 - 2001 [Jin, 2001] - Jin XG, Wang HG, Peng QS. GEOMETRIC DEFORMATIONS BASED ON 3D VOLUME MORPHING JOURNAL OF COMPUTER SCIENCE AND TECHNOLOGY-VOL. 16 p. 443/449 - 2001 [Kalra, 2001] - Kalra P, Kapoor A, Goyal UK. VTALK: A SYSTEM FOR GENERATING TEXT-TO-AUDIO-VISUAL SPEECH IETE TECHNICAL REVIEW -VOL. 8 p.307/314 - 2001 [Horn, 1987] - Horn B. CLOSED-FORM SOLUTION OF ABSOLUTE ORIENTATION USING UNIT QUATERNIONS JOURNAL OF THE OPTICAL SOCIETY OF AMERICA A.-VOL. 4 p. 629/642 - 1987 [Nastar, 1994] - Nastar C. THESE POUR LE GRADE DE DOCTEUR: MODELES PHYSIQUES DEFORMABLES ET MODES VIBRATOIRES POUR L’ANALYSE DU MOUVEMENT NON-RIGIDE DANS LES IMAGES MULTIDIMENSIONNELLES L’ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES - 1994 [Pentland, 1990] - Pentland A. AUTOMATIC EXTRACTION OF DEFORMABLE PART MODELS INTERNATIONAL JOURNAL OF COMPUTER VISION-VOL. 4 p. 107/126 - 1990 [Pentland, 1991] - Pentland A, Sclaroff S. CLOSED-FORM SOLUTIONS FOR PHYSICALLY BASED SHAPE MODELING AND RECOGNITION IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE-VOL.13, N 7 p. 715/729 – 1991
99
Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis [Pradhan, 2000] - Pradhan, B., Kumar, S. FINITE ELEMENT ANALYSIS OF LOW-VELOCITY IMPACT DAMAGE IN COMPOSITE LAMINATES JOURNAL OF REINFORCED PLASTICS AND COMPOSITES-VOL. 19, N 4 p. 322/339 - 2000 [Press, 1992] - Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. NUMERICAL RECIPES IN C - THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS - 1992 [Sclaroff, 1995] - Sclaroff S. PHD THESIS: MODAL MATCHING: A METHOD FOR DESCRIBING, COMPARING, AND MANIPULATING DIGITAL SIGNALS MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY - 1995 [Segerlind, 1984] - Segerlind LE. APPLIED FINITE ELEMENT ANALYSIS JOHN WILLEY & SONS, INC. – 1984 [Schroeder, 1999] - Schroeder W, Martin K. THE VTK USER’S GUIDE KITWARE INC. - JUN 1999 [Shantaram, 1976] - Shantaram, D, Owen D, Zienkiewicz, O. DYNAMIC TRANSIENT BEHAVIOUR OF TWO- AND THREE-DIMENSIONAL STRUCTURES INCLUDING PLASTICITY, LARGE DEFORMATION EFFECTS AND FLUID INTERACTION EARTHQUAKE ENGINEERING & STRUCTURAL DYNAMICS-VOL. 4, Nº 6 p. 561/578 - 1976 [Tavares, 2000] - Tavares J. TESE DE DOUTORAMENTO: ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL FEUP - 2000 [Yang, 1996] - Yang B, Zho J. SEMI-ANALYTICAL SOLUTION OF 2-D ELASTICITY PROBLEMS BY THE STRIP DISTRIBUTED TRANSFER FUNCTION METHOD INTERNATIONAL JOURNAL OF SOLIDS AND STRUCTURES-VOL. 33, Nº 27 p 3983/4005 - 1996
100
Bibliografia
7 BIBLIOGRAFIA ..............................................................................................................................................97
101