determinação de coeﬁcientes em edp e geração de imagens...

Determinação de Coeficientes em EDP eGeração de Imagens para Diagnóstico

Médico

R. Cipolatti

Sextas Matemáticas

Instituto de MatemáticaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

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Técnicas para Geração de Imagens

• Radiografia;

• Tomografia por Transmissao – CT;• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);• Ultra-sonografia;• Ressonancia Magnetica – MRI.

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• Radiografia;• Tomografia por Transmissao – CT;

• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);• Ultra-sonografia;• Ressonancia Magnetica – MRI.

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• Radiografia;• Tomografia por Transmissao – CT;• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);

• Ultra-sonografia;• Ressonancia Magnetica – MRI.

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• Radiografia;• Tomografia por Transmissao – CT;• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);• Ultra-sonografia;

• Ressonancia Magnetica – MRI.

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• Radiografia;• Tomografia por Transmissao – CT;• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);• Ultra-sonografia;• Ressonancia Magnetica – MRI.

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CT: um “ε” de história

Nada disso existiria se . . .

• Ondas eletromagneticas nao tivessem sidoprevistas por James Clark Maxwell em 1862 eobservadas experimentalmente por HeinrichHertz em 1887;

• Os Raios-X nao tivessem sido descobertosacidentalmente por W. K. Roentgen, em 1895.Por esta descoberta, ele ganhou o Premio Nobelem 1901;

• As primeiras tecnicas de reconstrucao naotivessem sido desenvolvidas por Bracewell(1956), em radio-astronomia;

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• Uma etapa fundamental para o desenvolvimentodos processos de reconstrucao de imagens foiatingida em 1963, a partir do trabalho de AllanCormack, da Universidade de Tufts, quandodesenvolveu modelos matematicos quepermitiram obter imagens muito mais precisas;

• Esses modelos foram utilizados no primeiroequipamento de tomografia por Raios-X,construıdo em 1972, por Hounsfield, noslaboratorios EMI, Inglaterra. Por essesdesenvolvimentos, Cormack e Hounsfieldreceberam o Premio Nobel de medicina em 1979.

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• Uma etapa fundamental para o desenvolvimentodos processos de reconstrucao de imagens foiatingida em 1963, a partir do trabalho de AllanCormack, da Universidade de Tufts, quandodesenvolveu modelos matematicos quepermitiram obter imagens muito mais precisas;

• Esses modelos foram utilizados no primeiroequipamento de tomografia por Raios-X,construıdo em 1972, por Hounsfield, noslaboratorios EMI, Inglaterra. Por essesdesenvolvimentos, Cormack e Hounsfieldreceberam o Premio Nobel de medicina em 1979.

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Tipos de interação de Raios-X com a matéria

• Espalhamento Coerente (raios-X de baixaenergia);

• Efeito Fotoeletrico (raios-X de alta energia –CT);

• Espalhamento de Compton (raios-X de altaenergia – CT);

• Producao de Pares (raios-X de altıssima energia –ECT);

• Foto-desintegracao (raios-X de altıssima energia– ECT).

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• Efeito Fotoeletrico (raios-X de alta energia –CT);

• Espalhamento de Compton (raios-X de altaenergia – CT);

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• Efeito Fotoeletrico (raios-X de alta energia – CT);• Espalhamento de Compton (raios-X de alta

energia – CT);

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energia – CT);• Producao de Pares (raios-X de altıssima energia –

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energia – CT);• Producao de Pares (raios-X de altıssima energia –

ECT);• Foto-desintegracao (raios-X de altıssima energia

– ECT).

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Espalhamento Coerente

foton incidente

foton espalhado

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Efeito fotoelétrico

foton incidente

eletrofoton

radiacao caracterıstica

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Espalhamento de Compton

foton incidente

foton espalhado

eletron

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O Modelo Matemático para CT

ϕ(t, ω, x) e a densidade de partıculas (por unidade devolume) no ponto x ∈ R

3 e no instante t,deslocando-se na direcao ω ∈ S.

Gerador de Raios-X

Receptores

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• Os fotons que nao estao interagindo com o corposatisfazem a equacao do transporte:

∂t(t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) = 0

cuja solucao explıcita e:

ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x − tω).

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• No caso da interacao com o corpo, masdesconsiderando-se o espalhamento, temos aequacao do transporte com termo de absorcao:

∂t(t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) + q(x)ϕ(t, ω, x) = 0,

cuja solucao explıcita e:

ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x − tω)e−

0q(x−sω)ds

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• No caso da interacao com o corpoconsiderando-se o espalhamento, temos aequacao linear de Boltzmann:

∂t(t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) + q(x)ϕ(t, ω, x)

f(x, ω, ω′)ϕ(t, ω′, x) dω′

cuja solucao e da forma:

ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x − tω)e−

0q(x−sω)ds + R(t, ω, x)

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A Transformada Raios-X

• Na pratica, considera-se R(t, ω, x) como ruıdo eo problema se reduz a questao de determinar q(x)a partir do conhecimento de Pω[q](x), para todoω ∈ S e para todo x ∈ ω⊥, onde

Pω[q](x) =

∫ ∞

−∞

q(x − sω) ds

• A solucao deste problema foi obtida em 1917pelo matematico austrıaco J. Radon, nos seusestudos de reconstrucao de imagens para asequacoes do campo gravitacional.

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A Transformada Raios-X

• Na pratica, considera-se R(t, ω, x) como ruıdo eo problema se reduz a questao de determinar q(x)a partir do conhecimento de Pω[q](x), para todoω ∈ S e para todo x ∈ ω⊥, onde

Pω[q](x) =

∫ ∞

−∞

q(x − sω) ds

• A solucao deste problema foi obtida em 1917pelo matematico austrıaco J. Radon, nos seusestudos de reconstrucao de imagens para asequacoes do campo gravitacional.

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O Problema da Determinação de Parâmetros

ϕt + ω∇x · ϕ + q(x)ϕ = Kf [ϕ]

ϕ(0, ω, x) = 0, (ω, x) ∈ S × Ω

ϕ(t, ω, σ) = g(t, ω, σ), t > 0, (ω, σ) ∈ Σ−

Kf [ϕ](t, ω, x) =

f(x, ω′, ω)ϕ(t, ω′, x) dω′

O operador Albedo:

Aq,f [g](t, ω, σ) = ϕ(t, ω, σ), t > 0, (ω, σ) ∈ Σ+

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• O Problema de Identificacao:Aq1,f1

[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2

• Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96);

• O Problema de Estabilidade:‖q1 − q2‖ + ‖f1 − f2‖ ≤ Ψ

(‖Aq1,f1

−Aq2,f2‖)

• Resultados Parciais; Tese C. Mathias

• Mathias-Roberty-Eu, a aparecer (05-06);

• O Problema de Identificacao com um NumeroFinito de Medicoes de Fronteira:

• Ivo Lopez-Eu, em andamento (2005);

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[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2

(‖Aq1,f1

−Aq2,f2‖)

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[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2

(‖Aq1,f1

−Aq2,f2‖)

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[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2

(‖Aq1,f1

−Aq2,f2‖)

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[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2

(‖Aq1,f1

−Aq2,f2‖)

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[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2

(‖Aq1,f1

−Aq2,f2‖)

. – p.15/19

[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2

(‖Aq1,f1

−Aq2,f2‖)

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Resultados (Ivo Lopez + Eu)

ϕt + ω∇x · ϕ + q(x)ϕ = Kf [ϕ]

f(x, ω′, ω) = q(x)h(x, ω′, ω)

Teorema: Sejam T > diam(Ω),ρ1, ρ2, . . . , ρk

um conjunto de funcoes linearmente independentes

definidas em Ω. Seja X = spanρ1, ρ2, . . . , ρk

Entao, para todo M > 0, existem g1, g2, . . ., gk tais

que toda q ∈ X tal que ‖q‖∞ ≤ M e unicamente de-

terminada por Aq,f [gj], j = 1, . . . , k.

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• Sejaρ1, ρ2, . . . , ρk

um conjunto de funcoes

linearmente independentes definidas em Ω.

• Pω[ρi](x) =

∫ ∞

−∞

ρi(x − sω) ds

• Ωε =x ∈ R

N \ Ω ; dist(x, Ω) < ε

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• Sejaρ1, ρ2, . . . , ρk

• Pω[ρi](x) =

∫ ∞

−∞

ρi(x − sω) ds

• Ωε =x ∈ R

. – p.17/19

• Sejaρ1, ρ2, . . . , ρk

• Pω[ρi](x) =

∫ ∞

−∞

ρi(x − sω) ds

• Ωε =x ∈ R

. – p.17/19

Resultados (Ivo Lopez + C)

Teorema: Para cada ε > 0, existe ωj ∈ S eϕj ∈ C∞

0 (Ωε), j = 1, . . . , k, tais que a matrizA = (aij) com coeficientes definidos por

Pωj[ρi](x)ϕ2

j(x) dx

e invertıvel.

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Referências

• K.K. Shung, M.B Smith, B. Tsui: “Principles ofMedical Imaging”, Academic Press, 1992.

• G.T. Herman: “Image Reconstruction formProjections”, Academic Press, 1980.

• F. Natterer: “The Mathematics of ComputerizedTomography”, B.G. Teubner, 1986

• R. Cipolatti, Ivo F. Lopez: “Determination ofcoefficients for a dissipative wave equations viaboundary measurements”, J. MathematicalAnalysis and Appli., 2005.

• R. Cipolatti, C.M. Motta, N. Roberty: “Stabilityestimates for an inverse problem for the linearBoltzmann equation”, to appear in Rev. Compl.de Matem. . – p.19/19

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