determinaÇÃo das constantes elasticas de molas … · o material necessário para a realização...

Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade de Coimbra

Departamento de Física

DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES

ELASTICAS DE MOLAS E ESTUDO

DEOSCILAÇÕES HARMÓNICAS

Mestrado Integrado em Engenharia Física

Laboratórios de Física

TP1

Emanuel Duarte 2013146290

João Alves 2013136381

2013/2014

Introdução

A suspensão de um corpo de massa m na extremidade de uma mola em hélice em que a

outra extremidade está fixa, origina uma distensão até ficar na nova posição de equilíbrio. Se o

corpo for deslocado através de uma força F e se o atrito puder ser desprezado, o movimento

originado é periódico que não sofre amortecimento. A força responsável tem sentido oposto ao

movimento e, por isso, é designada de força restauradora e a sua intensidade é dado por

| ⃗| | |, em que k é a constante elástica da mola e x a elongação da mola.

O sistema corpo-mola referido anteriormente é um exemplo de um oscilador harmónico

simples e a aceleração em função do tempo, a(t), do movimento é dado por ( ) (

) ( ) As

posições no eixo vertical registadas ao longo do tempo desenham uma sinusóide em que a equação

tem a forma ( ) ( ), sendo A a amplitude do movimento, a frequência angular e

a fase na origem. Relacionando a aceleração e a força restaurador, usando a lei fundamental da

dinâmica, conseguimos a seguinte relação:

( ) ( ) √

A frequência angular do movimento relaciona-se com o período através da expressão

e com isto encontra-se uma nova relação: √

.

Nas deduções anteriores desprezou-se a massa da mola (M). No entanto, se esta for levada

em conta e através de cálculos matemáticos complexos, conclui-se que a massa responsável pela

oscilação da mola, sem qualquer corpo suspenso, é de apenas . Por isso, se a massa da mola

não for desprezável, o período do sistema massa-mola é dado por: √

.

A associação de duas molas com constantes elásticas diferentes ligadas em série tem a

seguinte relação para o período:

√(

) ( ) ( )

A associação de duas molas em paralelo em que na extremidade livre coloca-se uma barra

(de peso desprezável) e onde é suspenso um corpo de massa m tem a seguinte relação para o

período:

√(

) ( )

No caso de existir atrito no sistema atuam a força elástica e a força atrito, (desprezada nos

casos anteriores). Neste caso a equação do movimento é

Onde parâmetro e caracteriza a rapidez com que decresce a amplitude, a este

parâmetro chama-se constante de amortecimento.

Procedimento experimental

O material necessário para a realização desta actividade experimental foram: duas

molas em hélice, massas marcadas, um suporte para molas, uma régua graduada, um

cronómetro, um disco de plástico e uma balança.

Na primeira parte da actividade tínhamos como objectivo a determinação da

constante elástica de cada uma das molas através de dois processos: o método estático e o

método dinâmico. No primeiro, começámos por medir a massa da mola, M, e depois

dependurámo-la no suporte e medimos a posição inicial do extremo inferior da mola (l0). Para

finalizar, suspendemos na extremidade livre da mola uma massa mi e medimos a nova posição

do extremo inferior (li). Repetimos este processo mais 4 vezes para massas diferentes, até um

máximo de 150 gramas. Realizámos isto para as duas molas. No segundo, determinámos a

massa M só de uma mola, dependurámo-la no respectivo suporte e aplicámos no extremo

inferior uma massa mi. Depois imprimimos um movimento vibratório simples de pequena

amplitude e medimos o período deste movimento. Para tal registámos 5 vezes o tempo de 10

oscilações completas. Este procedimento foi repetido para outras 4 massas.

Na segunda parte, o intuito foi a determinação da constante elástica de duas molas

associadas em série. Para isto, aplicou-se somente o método estático e iniciou-se novamente

pelo cálculo da massa M de ambas as molas. Posteriormente, dependurámo-las no respectivo

suporte e medimos a posição inicial do extremo inferior da segunda mola (l0). Suspendemos na

extremidade livre uma massa mi e registámos a posição do extremo inferior da mola (li).

Repetiu-se este procedimento para mais 4 massas até um máximo de 150 gramas.

De seguida, o objectivo foi determinar a constante elástica de duas molas associadas

em paralelo através do método estático. Primeiro registou-se a massa das molas e depois

colocou-se as molas em paralelo no suporte de modo a que o extremo inferior destas ficasse à

mesma altura para que a barra horizontal colocada nestes extremos inferiores ficasse na

horizontal. Quando isto foi conseguido, mediu-se a posição inicial da barra (l0) e só depois se

suspendeu uma massa mi. Anotou-se a nova posição do extremo inferior da mola, li, e repetiu-

se o processo para outras 4 massas até um máximo de 150 gramas.

Por fim, teve-se como objectivo determinar a constante de amortecimento do sistema

oscilatório. Para isso, pendurou-se as molas em série e pendurámos nestas uma massa m.

Registámos a posição de equilíbrio do sistema e escolhemos como ponto de referência a face

inferior da massa. Puxámos a massa 15 cm relativamente à posição de equilíbrio e anotámos a

posição extrema a que chega a massa com um intervalo de tempo de 1 minuto e adquirimos

15 valores. Por último aplicamos um disco de plástico na parte superior da massa e repetimos

o procedimento anterior com um intervalo de tempo de 30 segundos.

Tratamento de resultados experimentais

Determinação da constante elástica de cada uma das molas

Método estático – mola 1

l0 (cm) 20,9 ± 0,05

M (g) 16,4 ± 0,1

Posição da extremidade li (cm)

25,7 ± 0,05 28,7 ± 0,05 31,9 ± 0,05 34,0 ± 0,05 37,1 ± 0,05

Δl = li - l0 (m) 0,048 ± 0,001 0,078 ± 0,001 0,110 ± 0,001 0,131 ± 0,001 0,162 ± 0,001

Massa suspensa mi (g) 50,2 ± 0,1 78,4 ± 0,1 101,8 ± 0,1 120,5 ± 0,1 144,8 ± 0,1

Mi = mi + (M/3) (g) 55,67 ± 1,33E-04 83,87 ± 1,33E-04 107,27 ± 1,33E-04 126,17 ±1,33E-04 150,27± 1,33E-04

F = Mi*g (N) 0,546 ± 0,001 0,822 ± 0,001 1,051 ± 0,001 1,236 ± 0,001 1,473 ± 0,001

ki (N/m) 11,38 ± 10,54 ± 9,55 ± 9,44 ± 9,09 ±

ki médio (N/m) 9,66 ±

ki (N/m) 7,8113

Nota: Para o cálculo da média e para a execução do gráfico, não foram considerados os valores da

massa de 50,2 g, uma vez que esta apresentava um desvio relativamente aos valores restantes.

y = 7,8113x + 0,2062

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 0,05 0,1 0,15 0,2

F=M

i*g

Δl = li - l0

Método estático – mola 2

l0 (cm) 20,6 ± 0,05

M (g) 16,5 ± 0,1


24,4 ± 0,05 28,1 ± 0,05 30,8 ± 0,05 33,5 ± 0,05 36,3 ± 0,05

Δl = li - l0 (m) 0,038 ± 0,001 0,075 ± 0,001 0,102 ± 0,001 0,129 ± 0,001 0,157 ± 0,001


Mi = mi + (M/3) (g) 55,7 ± 1,33E-04 83,9 ±1,33E-04 107,3 ± 1,33E-04 126,0 ± 1,33E-04 150,3 ± 1,33E-04 F = Mi*g (N) 0,546 ± 0,001 0,822 ± 0,001 1,052 ± 0,001 1,235 ± 0,001 1,473 ± 0,001

ki (N/m) 14,36 10,96 10,31 9,57 9,38

ki médio (N/m) 10,06

Nota: Para o cálculo da média e para a execução do gráfico, não foram considerados os valores da

massa de 50,2 g, uma vez que esta apresentava um desvio relativamente aos valores restantes.

y = 7,8255x + 0,2397

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 0,05 0,1 0,15 0,2

F=M

i*g

Δl = li - l0

ki (N/m) 7,8255

Método dinâmico

M (g) 16,5 ± 0,1


Mi = mi + (M/3) (g) 55,7 ± 83,9 ± 107,3 ± 126,0 ± 0,001 150,3 ±

Tempo de 10 oscilações – média (s)

4,71 ± 0,01 6,44 ± 0,01 7,29 ± 0,01 7,9 ± 0,01 8,59 ± 0,01

Ti (s) 0,471 ± 0,001 0,644 ±0,001 0,729 ±0,001 0,790 ±0,001 0,859 ±0,001

Ti2 0,222 ± 1,0E-6 0,415 ± 1,0E-6 0,527 ± 1,0E-6 0,624 ± 1,0E-6 0,738 ± 1,0E-6

ki (N/m) 9,90 7,98 8,04 7,97 8,04

ki médio (N/m) 8,01

Nota: Para o cálculo da média, não foram considerados os valores da massa de 50,2 g, uma vez que

esta apresentava um desvio relativamente aos valores restantes.

Determinação da constante elástica de duas molas associadas em série

l0 (cm) 42,0 ± 0,05

M (g) 32,9 ± 0,1


52,7 ± 0,05 59,9 ± 0,05 64,7 ± 0,05 70,1 ± 0,05 75,5 ± 0,05

Δl = li - l0 (m) 0,107 ± 0,001 0,179 ± 0,001 0,227 ± 0,001 0,281 ± 0,001 0,335 ± 0,001


Mi = mi + (M/3) (g) 61,17 ± 1,33E-04 89,37 ± 1,33E-04 112,77 ± 1,33E-04 131,47 ± 1,33E-04 155,77 ± 1,33E-04

F = Mi*g (N) 0,599 ± 0001 0,876 ± 0,001 1,105 ± 0,001 1,288 ± 0,001 1,527 ± 0,001

ki (N/m) 5,60 ± 4,89 4,86 4,58 4,56

Ks médio (N/m) 4,72

Ks calculado (N/m) 4,37

Nota: Para o cálculo da média, não foram considerados os valores da massa de 50,2 g, uma vez que

esta apresentava um desvio relativamente aos valores restantes.

Determinação da constante elástica de duas molas associadas em paralelo

l0 (cm) 23,9 ± 0,05

M (g) 32,9 ± 0,1


27,0 ± 0,05 28,8 ± 0,05 29,5 ± 0,05 31,5 ± 0,05 32,9 ± 0,05

Δl = li - l0 (m) 0,031 ± 0,001 0,049 ± 0,001 0,056 ± 0,001 0,076 ± 0,001 0,090 ± 0,001


Mi = mi + (M/3) (g) 61,17 ± 1,33E-04 89,37 ± 1,33E-04 112,77 ± 1,33E-04 131,47 ± 1,33E-04 155,77 ± 1,33E-04

F = Mi*g (N) 0,599 ± 0,001 0,876 ± 0,001 1,105 ± 0,001 1,288 ± 0,001 1,527 ± 0,001

ki (N/m) 19,32 17,87 19,73 16,94 16,97

Kp médio (N/m) 17,26

Kp calculado (N/m) 17,30

Nota: Para o cálculo da média, não foram considerados os valores da massa de 50,2 g e de 101,8 g,

uma vez que estas apresentavam um desvio relativamente aos valores restantes.

Determinação da constante de amortecimento do sistema oscilatório

Sem disco

X0 (cm) 15,1 ± 0,05

Ln (X0) 2,71

Tempo, t (s) 0 ± 0,01 60 ± 0,01 120 ± 0,01 180 ± 0,01 240 ± 0,01

Desvio máximo Xm (cm) 30,0 ± 0,05 24,5 ± 0,05 21,8 ± 0,05 20,4 ± 0,05 18,6 ± 0,05

Amplitude A= Xm -X0 14,9 ± 1,0E-04 9,4 ± 1,0E-04 6,7 ± 1,0E-04 5,3 ± 1,0E-04 3,5 ± 1,0E-04

Ln (A) -1,9038 -2,3645 -2,7031 -2,9375 -3,3524

Tempo, t (s) 300 ± 0,01 360 ± 0,01 420 ± 0,01 480 ± 0,01 540 ± 0,01



Ln (A) -3,6497 -3,8632 -4,1352 -4,4228 -4,7105

Tempo, t (s) 600 ± 0,01 660 ± 0,01 720 ± 0,01 780 ± 0,01 840 ± 0,01



Ln (A) -4,9618 -5,2983 -5,5215 -5,8091 -6,2146

λ (s-1) 4,88E-03

y = -4,88E-03x - 2,07E+00

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 200 400 600 800 1000

Amplitude da oscilação em função do tempo

Com disco

X0 (cm) 14,9 ± 0,05

Ln (X0) 2,70

Tempo, t (s) 0 ± 0,01 30 ± 0,01 60 ± 0,01 90 ± 0,01 120 ± 0,01



Ln (A) -1,9241 -2,3434 -3,0791 -3,3814 -3,8167

Tempo, t (s) 150 ± 0,01 180 ± 0,01 210 ± 0,01 240 ± 0,01 270 ± 0,01



Ln (A) -4,1352 -4,7105 -4,8283 -5,1160 -5,2983

Tempo, t (s) 300 ± 0,01 330 ± 0,01 360 ± 0,01 390 ± 0,01 420 ± 0,01



Ln (A) -5,5215 -5,8091 -6,2146 -6,9078 -6,9078

λ (s-1) -1,14E-02

y = -1,14E-02x - 2,28E+00

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 100 200 300 400 500

Amplitude da oscilação em função do tempo

Conclusão

Uma vez concluída a actividade experimental e serem registados e tratados os dados

verificamos que a primeira os valores relativos a primeira massa não deveriam ser considerados

nos gráficos e nas conclusões finais, uma vez que o valor da massa era demasiado pequeno, deste

modo, não era exercida força suficiente sobre a mole sendo que esta não tivesse elongação

suficiente, dando valores incorrectos. Verificámos, também, na parte da determinação da

constante elástica de duas molas associadas em paralelo que ocorreram erros de medidas

relativamente á massa de 101,8 g, uma vez o valor da constante elástica, k, sérum valor

incompatível com o esperado, decidimos, então, descartar estes dados, de modo a não influenciar

as conclusões finais. O restante tratamento dos resultados experimentais foi realizado como consta

no protocolo fornecido.

Primeiramente, com o objetivo de determinar o valor da constante elástica de cada uma

das molas, utilizou-se o método estático. Neste método, para a mola 1, calculámos o valor da

constante através da média da constante elástica de cada uma das massas, sendo este valor de

9,66 N/m, e através de um gráfico de F em função de Δl, obtendo o valor de 7,8113 N/m. Para a

mola 2, foram utilizados o método estático e o método dinâmico. No método dinâmico obtivemos,

através da média, o valor de 10,06 N/m e, com recurso ao gráfico, o valor de 7,8255 N/m para a

constante elástica. Para a mesma mola, usando o método dinâmico obtivemos um valor de 8,01

N/m com um maior erro, uma vez que tem de ser tido em consideração o erro associado á

incerteza de cada medição do tempo. Verificamos que, pela análise dos dados, no método estático

o valor mais correto será o obtido por análise do gráfico, tendo em conta a comparação dos erros

associados.

Na segunda parte da actividade, com o objetivo de determinar a constante elástica de duas

molas associadas em série, através do método estático, obtivemos um valor de 4,72 N/m para a

constante elástica. Obtivemos ainda, com recurso á equação da associação de molas em série e os

valores da constante elástica obtidos anteriormente, obtivemos um valor de 4,37 N/m para a

constante. Uma vez os valores serem relativamente próximos, pode concluir-se que a equação

apresentada se verifica.

Na terceira parte da actividade experimental, com o objetivo de determinar a constante

elástica de duas molas associadas em paralelo utilizando o método estático obtivemos como valor

da constante elástica 17,26 N/m. e, utilizando a equação de associação de molas em paralelo e os

valores da constante elástica calculados anteriormente, obtivemos um valor de 17,30 N/m. Assim,

concluímos que a equação de associação de molas em paralelo também se verifica.

No término da actividade experimental, com o objetivo de determinar a constante de

amortecimento de um sistema oscilatório. Para um peso sem disco, com menor resistência do ar, o

seu valor é de 4,88E-03 s-1 e para um peso com disco, com uma maior resistência do ar, o valor da

constant de amortecimento é de 1,14E-02 s-1. Concluímos então que a colocação do disco de

plástico fará com que a constante de amortecimento aumente levando á diminuição da amplitude

de oscilação do peso, que ocorrerá mais rápida. Diminuindo o tempo em que entra em equilíbrio.

Durante o tratamento dos dados experimentais, os erros considerados são provenientes

das incertezas das réguas e dos instrumentos de medida, como a balança. Vimos, também, que

foram cometidos erros de leitura pelos alunos, nomeadamente na parte de determinação da

constante elástica de duas molas associadas em paralelo.

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