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LUÍS FERNANDO KAEFER
DESENVOLVIMENTO DE UMA FERRAMENTA GRÁFICA PARA
ANÁLISE DE PÓRTICOS DE CONCRETO ARMADO
Dissertação apresentada à EscolaPolitécnica da Universidade de São Paulopara a obtenção do título de Mestre emEngenharia.
São Paulo2000
LUÍS FERNANDO KAEFER
DESENVOLVIMENTO DE UMA FERRAMENTA GRÁFICA PARA
ANÁLISE DE PÓRTICOS DE CONCRETO ARMADO
Dissertação apresentada à EscolaPolitécnica da Universidade de São Paulopara a obtenção do título de Mestre emEngenharia.
Área de Concentração:Engenharia de Estruturas
Orientador:Túlio Nogueira Bittencourt
São Paulo2000
a
À Deus,
aos meus pais, Libório e Iolanda,
aos meus irmãos, Lígia e Leonardo,
à minha namorada, Elka.
b
Agradecimentos
AGRADECIMENTOS
Faltam-me palavras para agradecer a todos que me ajudaram neste trabalho assim como
àqueles que me deram suporte para simplesmente chegar ao ponto de poder começá-lo.
Só posso agradecer pelas pessoas maravilhosas que tive o prazer de conhecer ao longo
de minha vida e mais especificamente ao longo desta jornada.
Apresento então os meus agradecimentos
ao meu orientador Prof. Túlio Nogueira Bittencourt pelo incentivo e apoio na execução
deste trabalho,
ao meu “co-orientador” Prof. Luiz Fernando Martha, pelo entusiasmo contagiante com
relação a este trabalho e pela confiança depositada em mim,
c
aos professores do PEF (Departamento de Estruturas e Fundações) da EPUSP (Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo), em especial aos professores Miguel Luiz
Bucalem, Ricardo Leopoldo e Silva França e Lauro Modesto dos Santos, cuja troca de
idéias em muito enriqueceu este trabalho,
aos amigos de Pós-Graduação e do LMC, em especial à Adriane, Christian, Carlos,
Célio, Eduardo Prado, Estela, Gustavo, Irani, Mara e Odulpho, pela troca de
informações e pelas palavras amigas que sempre me ajudaram a seguir adiante,
aos meus amigos de Curitiba, em especial ao Alexandre, Eduardo Torres e Raul, pelo
apoio e pelos momentos de descontração,
ao grande amigo Paulo, pelo incentivo constante,
aos funcionários do PEF, em especial à Marly e à Wady, pelas palavras amigas e pelo
apoio “burocrático”,
aos professores da UFPR (Universidade Federal do Paraná) aonde me formei, que me
encorajaram a começar esta jornada, em especial aos professores Marcos José Tozzi,
Mauro Lacerda Santos Filho, Mildred Ballin Hecke, Roberto Dalledone Machado e
Sérgio Scheer,
ao LMC (Laboratório de Mecânica Computacional) do PEF/EPUSP pelas instalações
físicas,
ao Tecgraf/PUC-Rio (Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica) pelos toolkits
essenciais para a confecção da ferramenta gráfica proposta,
à FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) pelo suporte
financeiro, sem o qual seria impossível a realização deste trabalho,
e a todas as outras pessoas não citadas aqui que muitas vezes, de uma maneira singela
fizeram parte desta jornada.
d
Índice
ÍNDICE
AGRADECIMENTOS............................................................................................................. B
ÍNDICE ...................................................................................................................................... D
LISTA DE FIGURAS..............................................................................................................K
LISTA DE TABELAS .............................................................................................................O
LISTA DE SÍMBOLOS, ABREVIATURAS E SIGLAS...................................................Q
Símbolos...................................................................................................................................qLetras romanas maiúsculas...................................................................................................... qLetras romanas minúsculas.......................................................................................................sLetras gregas............................................................................................................................ t
Siglas e Abreviaturas ............................................................................................................... v
RESUMO................................................................................................................................... X
ABSTRACT................................................................................................................................Z
e
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................1
1.1 Objetivos ........................................................................................................................ 11.2 O FTOOL....................................................................................................................... 31.3 Organização do Texto ................................................................................................... 3
2 HIPÓTESES BÁSICAS E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS............................6
2.1 Introdução ...................................................................................................................... 62.2 Concreto......................................................................................................................... 7
2.2.1 Classes ...................................................................................................................... 72.2.2 Massa Específica....................................................................................................... 72.2.3 Coeficiente de Dilatação Térmica .............................................................................. 72.2.4 Resistência à Tração .................................................................................................. 72.2.5 Módulo de Elasticidade ............................................................................................. 92.2.6 Diagramas Tensão-Deformação................................................................................11
2.2.6.1 Compressão ..........................................................................................................112.2.6.2 Tração ..................................................................................................................12
2.3 Aço ............................................................................................................................... 132.3.1 Categoria..................................................................................................................132.3.2 Coeficiente de Dilatação Térmica .............................................................................132.3.3 Módulo de Elasticidade ............................................................................................132.3.4 Diagrama Tensão-Deformação .................................................................................13
2.3.4.1 Aços de Dureza Natural ........................................................................................132.3.4.2 Aços Encruados a Frio ..........................................................................................14
2.3.5 Alongamento e Encurtamento Máximo Permitido para a Armadura..........................16
3 ANÁLISE ESTRUTURAL .............................................................................................17
3.1 Introdução .................................................................................................................... 173.2 Objetivo da Análise Estrutural.................................................................................... 173.3 Hipóteses Simplificadoras no Projeto de Edifícios ................................................... 183.4 Modelagem do Edifício ............................................................................................... 193.5 Determinação do Carregamento Vertical................................................................... 213.6 Modelagem das Lajes.................................................................................................. 223.7 Modelagem dos Elementos Lineares – Vigas e Pilares............................................. 243.8 Modelagem das Estruturas de Contraventamento..................................................... 25
3.8.1 Carregamento Horizontal..........................................................................................263.8.1.1 Vento....................................................................................................................263.8.1.2 Consideração das Imperfeições Construtivas.........................................................273.8.1.3 Assimetria da Estrutura ou do Carregamento.........................................................28
3.8.2 Definição da Estrutura de Contraventamento ............................................................283.8.3 Deslocabilidade........................................................................................................29
3.8.3.1 Rigidez Mínima das Estruturas Indeslocáveis........................................................293.8.4 Análise Não-Linear ..................................................................................................32
3.9 Modelagem de Vigas Isoladas .................................................................................... 363.10 Modelagem de Pilares Isolados .................................................................................. 38
3.10.1 Critério para a Dispensa dos Efeitos de 2ª Ordem......................................................403.10.2 Solicitações Iniciais..................................................................................................433.10.3 Momento Decorrente de Imperfeições Construtivas..................................................443.10.4 Métodos para o Dimensionamento dos Pilares Isolados ............................................44
f
3.10.4.1 Método Geral ....................................................................................................453.10.4.2 Métodos Aproximados ......................................................................................45
3.10.4.2.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada..................................................... 453.10.4.2.2 Método do Pilar Padrão com rigidez Κ (kapa) aproximada............................................ 46
3.10.4.3 Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r ....................................46
4 DIMENSIONAMENTO..................................................................................................47
4.1 Introdução .................................................................................................................... 474.2 Hipóteses Básicas ........................................................................................................ 484.3 Domínios de Deformações.......................................................................................... 494.4 Parâmetros Adimensionais Utilizados ....................................................................... 524.5 Equações de Compatibilidade..................................................................................... 534.6 Limites entre Domínios............................................................................................... 564.7 Resultante de Compressão do Concreto..................................................................... 574.8 Flexão Normal Composta – Dimensionamento com armadura em duas bordas –Proporção entre armaduras superior e inferior variáveis..................................................... 60
4.8.1 Hipóteses Básicas.....................................................................................................604.8.2 Equações de Equilíbrio.............................................................................................614.8.3 Zonas de Solicitação.................................................................................................624.8.4 Determinação de βx ..................................................................................................624.8.5 Limites entre as Zonas de Solicitação .......................................................................644.8.6 Roteiro – Procedimento de Cálculo ..........................................................................66
4.9 Flexão Normal Composta – Dimensionamento com a proporção entre asdiversas faces pré-estabelecida ............................................................................................. 67
4.9.1 Hipóteses Básicas.....................................................................................................674.9.2 Equações de Equilíbrio.............................................................................................684.9.3 Cálculo da Taxa de Armadura ..................................................................................704.9.4 Zonas de Solicitação.................................................................................................714.9.5 Limites entre as Zonas..............................................................................................724.9.6 Roteiro.....................................................................................................................73
4.10 Limites para a taxa de armadura longitudinal............................................................ 734.10.1 Vigas........................................................................................................................73
4.10.1.1 Armadura Mínima.............................................................................................734.10.1.2 Armadura Máxima ............................................................................................73
4.10.2 Pilares ......................................................................................................................744.10.2.1 Armadura Mínima.............................................................................................744.10.2.2 Armadura Máxima ............................................................................................74
4.11 Cisalhamento - Dimensionamento ............................................................................. 744.11.1 Taxa Mínima de Armadura.......................................................................................744.11.2 Verificação no Estado Limite Último........................................................................74
4.12 Implementação Computacional .................................................................................. 754.13 Exemplos de Aplicação ............................................................................................... 76
4.13.1 Exemplos de [SANTOS-2] .......................................................................................774.13.2 Exemplos de [FUSCO-1]..........................................................................................784.13.3 Exemplos de [SÜSSEKIND-1] .................................................................................804.13.4 Exemplos de [ISHITANI-1] .....................................................................................814.13.5 Exemplos de [ISHITANI-2] .....................................................................................824.13.6 Cisalhamento – Exemplos de [ISHITANI-2].............................................................83
4.14 Conclusões ................................................................................................................... 83
g
5 ANÁLISE...........................................................................................................................84
5.1 Introdução .................................................................................................................... 845.2 Análise Interna............................................................................................................. 85
5.2.1 Análise Linear ..........................................................................................................855.3 Análise Externa (ADINA)........................................................................................... 86
5.3.1 Consideração sobre Cargas Distribuídas e de Temperatura .......................................865.3.2 Análise Linear ..........................................................................................................875.3.3 Análise Não Linear...................................................................................................87
5.3.3.1 Análise Não Linear Geométrica ............................................................................905.3.3.2 Análise Não Linear Física e Geométrica................................................................915.3.3.3 Geração dos Diagramas N-M-1/r...........................................................................93
5.4 Exemplos de Validação do Algoritmo de Geração dos Diagramas N-M-1/r .......... 945.4.1 Notação e Expressões Utilizadas...............................................................................955.4.2 Arranjos de Armadura utilizados ..............................................................................955.4.3 Tabelas.....................................................................................................................96
5.5 Conclusões .................................................................................................................100
6 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL..............................................................101
6.1 Introdução ..................................................................................................................1016.2 Histórico .....................................................................................................................1016.3 Implementação...........................................................................................................1036.4 Estrutura de Dados ....................................................................................................1036.5 Interface Gráfica ........................................................................................................108
7 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO ..................................................................................113
7.1 Introdução ..................................................................................................................1137.2 Viga 1 [SOLER-1].....................................................................................................114
7.2.1 Dados.....................................................................................................................1147.2.2 Resultados Obtidos ................................................................................................1147.2.3 Discussão dos Resultados.......................................................................................116
7.3 Viga 2 [SOLER-1].....................................................................................................1177.3.1 Dados.....................................................................................................................1177.3.2 Resultados Obtidos ................................................................................................1187.3.3 Discussão dos Resultados.......................................................................................119
7.4 Pilar 1[GARCIA-1] ...................................................................................................1197.4.1 Dados.....................................................................................................................1207.4.2 Resultados..............................................................................................................1207.4.3 Discussão dos Resultados.......................................................................................123
7.5 Pilar 2[SANTOS-1]...................................................................................................1237.5.1 Dados.....................................................................................................................1247.5.2 Considerações sobre os tipos de análise ..................................................................1257.5.3 Comentários sobre Efeitos de Instabilidade e Ruptura da Seção de Concreto ..........1287.5.4 Resultados Obtidos para o Último Ponto da Curva ANLFG (1)...............................129
7.6 Pórtico Plano [GARCIA-1].......................................................................................1317.6.1 Dados.....................................................................................................................1317.6.2 Resultados..............................................................................................................1327.6.3 Discussão dos Resultados.......................................................................................134
7.7 Conclusões .................................................................................................................134
h
8 EXEMPLO DE APLICAÇÃO .....................................................................................135
8.1 Introdução ..................................................................................................................1358.2 Pórtico de Edifício [OLIVEIRA-1]..........................................................................136
8.2.1 Geometria ..............................................................................................................1368.2.2 Materiais ................................................................................................................1378.2.3 Carregamento.........................................................................................................1378.2.4 Modelo...................................................................................................................1398.2.5 Deslocabilidade da Estrutura ..................................................................................1418.2.6 Análise...................................................................................................................141
8.2.6.1 Análise Não-Linear.............................................................................................1428.2.7 Resultados..............................................................................................................144
8.3 Conclusões .................................................................................................................151
9 CONCLUSÕES...............................................................................................................152
10 BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................155
ANEXO I - TUTORIAL DO FTOOL .......................................................................................I
A1.1 Generalidades .............................................................................................................. iA1.2 Manipulação de Arquivos.......................................................................................... iiA1.3 Criação e Manipulação da Geometria do Modelo .................................................. iv
A1.3.1 Menu de Edição ....................................................................................................... ivA1.3.2 Menu de Undo e Redo ............................................................................................... vA1.3.3 Menu Transform ....................................................................................................... v
A1.4 Controles de Visualização ......................................................................................... vA1.4.1 Menu de Controle de Visualização ............................................................................ vA1.4.2 Menu de Controle de Coordenadas ........................................................................... viA1.4.3 Menu Display........................................................................................................... vi
A1.5 Configurações...........................................................................................................viiA1.5.1 Menu Options ......................................................................................................... viiA1.5.2 Janela de Configuração do Solver ........................................................................... viiiA1.5.3 Janela de Configuração de Unidades e Formato de Numeração............................... viiiA1.5.4 Janela de Controle do Estabelecimento dos Pontos de Cálculo, doDimensionamento e da Análise Não-Linear ............................................................................ ix
A1.6 Atributos de Nós e Barras.........................................................................................xiA1.6.1 Menu de Controle dos Atributos dos Nós e Barras.................................................... xiA1.6.2 Características comuns aos submenus...................................................................... xiiA1.6.3 Submenu de Propriedades dos Materiais ................................................................. xiiiA1.6.4 Submenu de Propriedades das Seções Transversais................................................. xiiiA1.6.5 Submenu de Propriedades do Dimensionamento..................................................... xivA1.6.6 Submenu de Aplicação de Área de Aço ................................................................... xvA1.6.7 Submenu das Propriedades de Apoio....................................................................... xvA1.6.8 Submenu das Propriedades dos Apoios Elásticos .................................................... xviA1.6.9 Submenu das Propriedades de Articulação das Barras............................................ xvii
A1.7 Atribuição do Carregamento ................................................................................xviiiA1.7.1 Seleção do Caso de Carregamento ........................................................................ xviiiA1.7.2 Manipulação dos Casos de Carregamento............................................................. xviii
i
A1.7.3 Menu de Controle dos Carregamentos .....................................................................xixA1.7.4 Submenu do Carregamento Nodal ...........................................................................xixA1.7.5 Submenu do Carregamento Uniforme.......................................................................xxA1.7.6 Submenu do Carregamento Linear............................................................................xxA1.7.7 Submenu do Carregamento de Temperatura ............................................................xxi
A1.8 Processamento.........................................................................................................xxiA1.8.1 Seleção da Combinação de Casos de Carga Corrente ...............................................xxiA1.8.2 Configuração das Combinações de Carregamento....................................................xxiA1.8.3 Menu de Processamento ........................................................................................ xxii
A1.9 Pós-Processamento ...............................................................................................xxivA1.9.1 Menu de Pós-Processamento .................................................................................xxivA1.9.2 Listagem de Resultados (Inquiry) ..........................................................................xxivA1.9.3 Visualização dos Resultados...................................................................................xxv
A1.9.3.1 Convenção de Sinais – Notação.......................................................................xxvA1.9.3.2 Telas de Resultados.......................................................................................xxvii
ANEXO II - COMUNICAÇÃO ENTRE ADINA E FTOOL ........................................XXIX
A2.1 Introdução ..............................................................................................................xxixA2.2 Arquivo Batch ........................................................................................................xxxA2.3 Sintaxe do Arquivo .in (ADINA Input File) ........................................................xxxi
A2.3.1 Controles Principais da Análise .............................................................................xxxiA2.3.2 Hipóteses Cinemáticas..........................................................................................xxxiiA2.3.3 Método de Iteração..............................................................................................xxxiiiA2.3.4 Definição da Função de Carregamento ................................................................xxxiiiA2.3.5 Definição dos Incrementos de Carga....................................................................xxxiiiA2.3.6 Definição das Coordenadas dos Nós....................................................................xxxivA2.3.7 Condições de Apoio ............................................................................................xxxivA2.3.8 Suportes Inclinados ..............................................................................................xxxvA2.3.9 Propriedades do Material......................................................................................xxxvA2.3.10 Seção Transversal............................................................................................xxxviA2.3.11 Liberações de Extremidade: End-Release.........................................................xxxviA2.3.12 Curva Momento-Curvatura.............................................................................xxxviiA2.3.13 Relação Força Normal – Momento – Curvatura ..............................................xxxviiA2.3.14 Rigidez..........................................................................................................xxxviiiA2.3.15 Definição do tipo de elemento .......................................................................xxxviiiA2.3.16 Criação dos Elementos.....................................................................................xxxixA2.3.17 Atribuição de Propriedades aos Elementos.......................................................xxxixA2.3.18 Cargas Concentradas ............................................................................................ xlA2.3.19 Cargas Distribuídas.............................................................................................. xliA2.3.20 Deslocamentos Prescritos .................................................................................... xliA2.3.21 Apoio Elástico .................................................................................................... xliiA2.3.22 Formatação do Arquivo de Resultados................................................................ xliiA2.3.23 Ativação do Solver............................................................................................. xliiiA2.3.24 Saindo do AUI – QUIT ...................................................................................... xliiiA2.3.25 Observações ...................................................................................................... xliv
A2.4 Exemplo de arquivo .in ..........................................................................................xlivA2.4.1 Análise Linear ....................................................................................................... xlivA2.4.2 Análise Não-linear Geométrica............................................................................... xlvA2.4.3 Análise Não-linear Física e Geométrica ................................................................. xlvi
A2.5 Formato do arquivo de resultados (porthole) .......................................................xlix
j
ANEXO III - VALORES NUMÉRICOS COMPLEMENTARES AOS EXEMPLOSDE VALIDAÇÃO ...................................................................................................................LII
A3.1 Introdução ..................................................................................................................liiA3.2 Pilar [GARCIA-1].....................................................................................................lii
A3.2.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura.................................................... liiA3.2.2 Valores Numéricos das Curvas Força - Deslocamento .............................................. lv
A3.3 Pilar [SANTOS-1]..................................................................................................... lvA3.3.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura.................................................... lv
A3.3.1.1 ANLFG(1) ....................................................................................................... lviA3.3.1.2 ANLFG(2) ..................................................................................................... lviii
A3.3.2 Curvas Momento – Deslocamento (Valores Numéricos) .......................................... lixA3.3.3 Diagramas de Interação (Valores numéricos)............................................................ lx
A3.4 Exemplo de Pórtico [GARCIA-1].........................................................................lxiiiA3.4.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura................................................. lxiiiA3.4.2 Valores Numéricos das Curvas Força - Deslocamento .......................................... lxvii
ANEXO IV - TABELAS ADIMENSIONAIS PARA RELAÇÕES FORÇA NORMAL- MOMENTO - CURVATURA ......................................................................................LXVIII
A4.1 Introdução .............................................................................................................lxviiiA4.2 Relações N-M-1/r [SANTOS-3] .........................................................................lxviii
k
Lista de Figuras
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Comparação dos valores para a resistência à tração do concreto prescritosem [ABNT-1] e [ABNT-2]............................................................................................ 8
Figura 2.2 – Comparação entre os módulos de elasticidade do concreto definidos em[ABNT-1] e [ABNT-2] ................................................................................................ 10
Figura 2.3 – Diagrama tensão-deformação para o concreto............................................. 11Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação para aços de dureza natural ......................... 14Figura 2.5 – Diagrama tensão-deformação para aços encruados a frio ........................... 15
Figura 3.1 – Estrutura de concreto armado de um edifício............................................... 19Figura 3.2 – Decomposição do edifício em elementos básicos........................................ 21Figura 3.3 – Configuração das fissuras de uma laje de concreto armado retangular sob
carga uniforme no estado de ruptura [LEONHARDT-1] .......................................... 24Figura 3.4 – Exemplo de Edifício [OLIVEIRA-1]............................................................ 26Figura 3.5 – Consideração das imperfeições geométricas globais [ABNT-2] ................ 27Figura 3.6 – Estrutura de contraventamento do exemplo proposto em [OLIVEIRA-1]. 29Figura 3.7 – Efeito de imperfeição geométrica em um viga que liga um pilar
contraventado a um pilar de contraventamento [ABNT-2] ....................................... 35Figura 3.8 – Modelo básico para a determinação da envoltória para uma viga contínua
de três tramos (somente “q” é mostrada) .................................................................... 36Figura 3.9 – Modelo simplificado para a consideração do efeito de pilar de extremidade
....................................................................................................................................... 37
l
Figura 3.10 – Consideração da solidariedade dos pilares com as vigas........................... 38Figura 3.11 – Determinação do comprimento de flambagem nos casos usuais de
estruturas de edifícios................................................................................................... 39Figura 3.12 – Critérios para a modelagem dos pilares isolados conforme o índice de
esbeltez.......................................................................................................................... 40Figura 3.13 – Variação de λ1 para pilares em balanço...................................................... 42Figura 3.14 – Variação de λ1 para pilares biapoiados....................................................... 42Figura 3.15 – Pilares de extremidade (Modelo simplificado) .......................................... 43Figura 3.16 – Falta de retilinidade no pilar [ABNT-2] ..................................................... 44Figura 3.17 – Desaprumo do pilar [ABNT-2] ................................................................... 44
Figura 4.1 – Domínios de Deformação.............................................................................. 50Figura 4.2 – Regiões de deformação [SANTOS-2] ......................................................... 52Figura 4.3 – Deformações na Região I [SANTOS-2]....................................................... 54Figura 4.4 – Deformações na Região II [SANTOS-2]...................................................... 55Figura 4.5 – Deformações na Região III [SANTOS-2] .................................................... 56Figura 4.6 – Resultante de compressão do concreto......................................................... 57Figura 4.7 – Transformação da seção transversal na poligonal de cálculo...................... 58Figura 4.8 – Hipóteses Básicas [SANTOS-2] ................................................................... 61Figura 4.9 – Zonas de Solicitação ...................................................................................... 64Figura 4.10 – Disposição da armadura............................................................................... 67Figura 4.11 – Forças atuantes na seção [SANTOS-2] ...................................................... 68Figura 4.12 – Zonas de Solicitação .................................................................................... 72Figura 4.13 – Notação Utilizada......................................................................................... 77
Figura 5.1 – Comportamento de um pilar submetido a uma carga vertical constante e auma carga horizontal variável...................................................................................... 87
Figura 5.2 – Método de Newton-Raphson Completo ....................................................... 90Figura 5.3 – Conjunto de curvas momento-curvatura [ADINA-3] .................................. 91Figura 5.4 – Modelo para a entrada de uma curva momento-curvatura .......................... 92Figura 5.5 – Relação momento-curvatura.......................................................................... 94Figura 5.6 – Disposições das armaduras............................................................................ 96Figura 5.7 – Relação M x 1/r (σcd = 0,85 fcd) .................................................................... 97Figura 5.8 – Relação M x 1/r (σcd = 1,10 fcd) .................................................................... 98Figura 5.9 – Comparação entre diagramas M x 1/r........................................................... 99
Figura 6.1 – Estrutura de dados – versão FTOOL com suporte para uma únicacombinação de carregamento. ................................................................................... 105
Figura 6.2 – Estrutura de dados – versão FTOOL/RC com suporte para múltiplascombinações de carregamento................................................................................... 107
Figura 6.3 – Estrutura de dados para armazenar os valores das relações N – M – 1/r.. 108Figura 6.4 – Tela do FTOOL – Pré-processamento (em detalhe as alterações na
interface). .................................................................................................................... 109Figura 6.5 – Configurando o solver e o tipo de análise. ................................................. 110Figura 6.6 – Load Case Manager / Load Combination Manager. .................................. 111Figura 6.7 – Visualização de resultados: configuração deformada................................ 112
Figura 7.1 – Geometria da viga 1 ..................................................................................... 114Figura 7.2 – Gráfico comparativo do deslocamento da extremidade livre da viga 1.... 115
m
Figura 7.3 – Evolução da deformação da viga com o aumento do carregamento.(Resultados obtidos pelo FTOOL) ............................................................................ 115
Figura 7.1 – Geometria da Viga 2 .................................................................................... 117Figura 7.2 – Comparação do deslocamento na extremidade livre da viga 2. ................ 118Figura 7.3 – Evolução da deformação da viga com o aumento do carregamento
(Resultados obtidos pelo FTOOL). ........................................................................... 118Figura 7.4 – Geometria do Pilar 1 [GARCIA-1]............................................................. 120Figura 7.5 – Valores publicados em [GARCIA-1].......................................................... 121Figura 7.6 – Valores obtidos pelo FTOOL-ADINA. ...................................................... 122Figura 7.7 – Gráficos comparativos: [GARCIA-1] e FTOOL-ADINA......................... 122Figura 7.8 – Geometria do Pilar 2[SANTOS-1].............................................................. 124Figura 7.9 – Curvas “Deslocamento em Função do Momento Aplicado” .................... 126Figura 7.10 – Diagramas de interação para a seção transversal e para pilares de
comprimento variável................................................................................................. 128Figura 7.11 – Resultado impressos pelo FTOOL: Deformada, Força Normal (kN), Força
Cortante (kN), Momento Fletor (kNcm), Área de aço longitudinal calculada (cm2),Área de aço transversal calculada (cm2/m)............................................................... 130
Figura 7.12 – Geometria do Pórtico Plano [GARCIA-1] ............................................... 131Figura 7.13 – Curvas Força Horizontal – Deslocamento a............................................. 132Figura 7.14 – Dimensionamento da armadura longitudinal (Discretização em três
elementos por barra – F = 99,27 kN)......................................................... 133Figura 7.15 – Dimensionamento da armadura longitudinal (Discretização em três
elementos por barra – F = 95,7 kN).......................................................... 133
Figura 8.1 – Planta baixa do Edifício [OLIVEIRA-1].................................................... 136Figura 8.2 – Corte vertical esquemático [OLIVEIRA-1] ............................................... 137Figura 8.3 – Estrutura de contraventamento do exemplo proposto em [OLIVEIRA-1].
..................................................................................................................................... 139Figura 8.4 – Carregamento vertical aplicado a todos os pavimentos [OLIVEIRA-1].. 140Figura 8.5 - Deformada..................................................................................................... 145Figura 8.6 – Esforço Normal (kN) ................................................................................... 146Figura 8.7 – Momento Fletor (kN.m).............................................................................. 147Figura 8.8 – Força Cortante (kN) ..................................................................................... 148Figura 8.9 – Armadura Longitudinal (cm2) .................................................................... 149Figura 8.10 – Armadura transversal (cm2/m).................................................................. 150
Figura A1.1 – Tela do FTOOL 2.06..................................................................................... iiFigura A1.2 – Tela do FTOOL/RC ...................................................................................... iiFigura A1.3 – Menu File...................................................................................................... iiiFigura A1.4 – Comandos principais do menu File ............................................................ iiiFigura A1.5 – Menu de Edição............................................................................................ ivFigura A1.6 – Definição de nós e elementos através do teclado....................................... ivFigura A1.7 – Menu de Undo e Redo .................................................................................. vFigura A1.8 – Menu Transform ........................................................................................... vFigura A1.9 – Menu de Controle de visualização .............................................................. viFigura A1.10 – Menu de Controle de Coordenadas........................................................... viFigura A1.11 – Menu Display ............................................................................................ viiFigura A1.12 – Menu Options............................................................................................ viiFigura A1.13 – Janela de Configuração dos programas de análise.................................viiiFigura A1.14 – Janela de configuração de unidades e formatos de numeração............... ix
n
Figura A1.15 – Configuração da divisão dos elementos .................................................... xFigura A1.16 – Menu de controle dos atributos de nós e barras ....................................... xiFigura A1.17 – Lista drop-down ........................................................................................ xiiFigura A1.18 – Manipulação dos conjuntos de propriedades .......................................... xiiFigura A1.19 – Criação de um novo conjunto de propriedades......................................xiiiFigura A1.20 – Submenu Material Parameters...............................................................xiiiFigura A1.21 – Submenu Section Properties ................................................................... xivFigura A1.22 – Submenu Reinforced Concrete Parameters............................................ xvFigura A1.23 – Submenu Steel Area Member Parameters .............................................. xvFigura A1.24 – Submenu das propriedades de apoio....................................................... xviFigura A1.25 – Submenu das propriedades de apoio elástico ........................................xviiFigura A1.26 – Submenu das propriedades de articulação das barras...........................xviiFigura A1.27 – Seleção do caso de carregamento .........................................................xviiiFigura A1.28 – Manipulação dos casos de carregamento .............................................xviiiFigura A1.29 – Menu de controle do carregamento ........................................................xixFigura A1.30 – Submenu Nodal Loading.........................................................................xixFigura A1.31 – Submenu Uniform Loading ......................................................................xxFigura A1.32 – Submenu Linear Loading .........................................................................xxFigura A1.33 – Submenu Thermal Loading .....................................................................xxiFigura A1.34 – Seleção da combinação de carregamentos .............................................xxiFigura A1.35 – Configuração das combinações de carregamento.................................xxiiFigura A1.36 – Configuração dos casos de carregamento .............................................xxiiFigura A1.37 – Menu de Processamento........................................................................xxiiiFigura A1.38 – Processamento utilizando o ADINA.....................................................xxiiiFigura A1.39 – Menu de pós-processamento .................................................................xxivFigura A1.40 – Inquiry .....................................................................................................xxvFigura A1.41 – Desenho dos diagramas de momento fletor para uma viga contínua.xxviiFigura A1.42 – Visualização das envoltórias de momento fletor para uma viga contínua
...................................................................................................................................xxviiFigura A1.43 – Desenho das configurações deformadas obtidas para três casos ......xxviiiFigura A1.44 – Visualização da envoltória obtida para a área de aço longitudinal
superior e..................................................................................................................xxviii
Figura A2.1 – Fluxograma do esquema de comunicação FTOOL – ADINA ..............xxxFigura A2.2 – Elemento de barra ..............................................................................xxxivFigura A2.3 – Sistema de coordenadas local do elemento de viga ...........................xxxviFigura A2.4 – End-Release's criados ........................................................................xxxviiFigura A2.5 – Sentido de aplicação das cargas distribuídas no elemento ......................xliFigura A2.6 – Convenção para os esforços de extremidade do elemento de barraXXHermitiano do ADINA..............................................................................................li
o
Lista de Tabelas
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Categoria dos aços para armadura passiva................................................... 13
Tabela 4.1 – Valores para ωmín........................................................................................... 73
Tabela 5.1 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 0,10)[SANTOS-3]................................................................................................................. 96
Tabela 5.2 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 0,10;σcd = 0,85 fcd) (FTOOL)............................................................................................... 97
Tabela 5.3 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 0,10;σcd = 1,10 fcd ) (FTOOL).............................................................................................. 97
Tabela 7.1 – Resultados obtidos por [SOLER-1] e utilizando o ADINA (Coordenadasda extremidade da viga para diversos níveis de carregamento). ............................. 116
Tabela 7.2 – Exemplo de Pilar [GARCIA-1]. ................................................................. 121Tabela 7.3 – Comparação da Carga Última (Md) de [SANTOS-1] e da curva ANLFG
(1)................................................................................................................................. 130Tabela 7.4 – Exemplo de pórtico plano [GARCIA-1]. ................................................... 132
Tabela 8.1 – Carregamento do Vento .............................................................................. 138Tabela 8.2 – Combinações de Carregamento .................................................................. 140Tabela 8.3 – Comparação dos valores de γz [OLIVEIRA-1]................................................... 141
p
Tabela 8.4 – Tentativa 1 – Processamento 1 ................................................................... 142Tabela 8.5 – Tentativa 1 – Processamento 2 ................................................................... 143Tabela 8.6 – Tentativa 2 – Passo 1................................................................................... 143Tabela 8.7 – Tentativa 2 – Processamento 2 ................................................................... 143Tabela 8.8 – Tentativa 2 – Processamento 3 ................................................................... 143
q
Lista de Símbolos
LISTA DE SÍMBOLOS, ABREVIATURAS E SIGLAS
Símbolos
Letras romanas maiúsculas
A - área
Ac - área da seção transversal bruta de concreto
As - área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada
- área de aço total da seção
As’ - área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida
Asi - área da seção transversal de uma barra de aço genérica
Asw - área de aço de armadura transversal
Ec - módulo de elasticidade do concreto
Ecs - módulo de elasticidade secante do concreto
(EI)sec - rigidez secante
r
Es - módulo de elasticidade do aço
F - vetor das forças resistentes internas
Fd - valor de cálculo das ações
Fgk - valor característico das ações permanentes diretas
Fk - valor característico das ações
Fqk - valor característico das ações variáveis
Fq1k - valor característico das ações variáveis principais diretas
Htot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um
nível pouco deslocável do subsolo
Ic - momento de inércia da seção de concreto
K - matriz de rigidez
- matriz de rigidez tangente
M - momento fletor
M0 - momento na viga em apoio de extremidade
M1,tot,d - momento de tombamento (soma dos momentos de todas as forças
horizontais de cálculo em relação à base da estrutura)
M1d,mín - momento mínimo de cálculo
MA,MB - momentos fletores de 1ª ordem de cálculo nas extremidades A e B do pilar
MC - momento fletor de cálculo de 1ª ordem no meio do pilar
Md - momento fletor de cálculo
Meng - momento de engastamento perfeito
MRd - momento fletor resistente de cálculo
MSd - momento solicitante de cálculo
N - força normal
Nd - força normal total de cálculo
Nk - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do
nível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico
NRd - força normal resistente de cálculo
NSd - força normal solicitante de cálculo
R - vetor das forças externas aplicadas
Rcc - resultante das tensões de compressão do concreto
Rst - força de tração na armadura
Sd - esforço solicitante de cálculo
s
Vc - parcela de força cortante resistida por mecanismos complementares ao
modelo de treliça
Vd - força cortante de cálculo
VRd2 - força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais
comprimidas de concreto
Letras romanas minúsculas
a - distância de Rcc à borda mais comprimida da seção transversal
ah, av - deslocamentos horizontais no nível do centro de gravidade das cargas
verticais da estrutura. O deslocamento horizontal av é o decorrente somente
das ações verticais e o deslocamento horizontal ah é decorrente somente das
ações horizontais.
b - largura
bf - largura da mesa das vigas de seção T
bw - largura das vigas de seção retangular ou da nervura das vigas de seção T
d’ - distância do centro da armadura à borda mais próxima da seção transversal
de concreto (recobrimento)
e1 - excentricidade de 1a ordem
e1,mín - excentricidade de 1a ordem mínima
f - resistência
fcd - resistência de cálculo do concreto à compressão
fck - resistência característica do concreto à compressão
fctk - resistência característica do concreto à tração
fctk,inf - resistência característica do concreto inferior à tração
fctk,sup - resistência característica do concreto superior à tração
fctm - resistência característica do concreto média à tração direta
fyc - resistência de escoamento do aço à compressão
fycd - resistência de cálculo do aço à compressão
fyck - resistência característica do aço à compressão
fyd - resistência de cálculo do aço à tração
fyk - resistência característica do aço à tração
g - carga permanente
t
h - altura total da seção transversal
hf - espessura da mesa das vigas de seção T
i - raio de giração da seção geométrica da peça (seção de concreto não se
considerando a presença da armadura)
l - altura total da estrutura ou de um lance de pilar
- vão
le - comprimento equivalente de flambagem
linf - comprimento do tramo inferior de pilar
lsup - comprimento do tramo superior de pilar
lvig - comprimento do tramo de viga
n - número de barras de aço
- número total de elementos verticais contínuos
- número de andares acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do
subsolo
n’ - número de camadas de barras de aço (número de linhas)
n1 - número de barras da primeira camada (igual à última)
r - raio de curvatura;
rinf - rigidez de tramo inferior de pilar em uma ligação tramo inferior de pilar –
viga – tramo superior de pilar
rsup - rigidez de tramo superior de pilar em uma ligação tramo inferior de pilar –
viga – tramo superior de pilar
rvig - rigidez da viga em uma ligação tramo inferior de pilar – viga – tramo
superior de pilar
q - carga acidental
s - espaçamento dos estribos medido segundo o eixo longitudinal da peça
x - distância da linha neutra à borda mais comprimida em uma seção transversal
de um elemento
Letras gregas
α - relação tensão de cálculo na armadura / tensão de cálculo do concreto
β - coeficiente adimensional que leva em conta a posição relativa (vertical)
u
das armaduras superior, inferior e lateral de um elemento, além de d’ e x.
δ - distância do centro da armadura à borda mais próxima da seção transversal
de concreto (adimensional)
∆Mtot,d soma dos produtos de todas as forças verticais de cálculo atuantes na
estrutura pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de
aplicação, obtidos na análise de 1ª ordem
∆R - vetor dos incrementos de carga
∆U - vetor dos deslocamentos incrementais
ε - deformação específica
εc - deformação específica do concreto
- deformação específica na borda superior (ou mais comprimida) da seção
de concreto
εc1 - deformação específica do início do trecho retangular do concreto no
diagrama parábola retângulo
- deformação específica na borda inferior da seção de concreto
εcu - deformação específica convencional da ruptura do concreto comprimido
εs - deformação específica do aço
εy - deformação específica de escoamento do aço
εycd - deformação específica de escoamento de cálculo do aço na compressão
εyd - deformação específica de escoamento de cálculo do aço na tração
εycu - deformação específica convencional de ruptura do aço na compressão
εyu - deformação específica convencional de ruptura do aço na tração
η - força normal resistente do concreto reduzida adimensional
η’ - momento fletor resistente do concreto reduzido adimensional
γc - coeficiente de minoração da resistência do concreto
γs - coeficiente de minoração da resistência do aço
γf - coeficiente de majoração das ações
γf3 - parte de γf que considera os desvios gerados nas construções e as
aproximações feitas em projetos do ponto de vista das solicitações
γz - coeficiente de majoração dos esforços globais finais de 1ª ordem para a
obtenção dos esforços finais globais de 2ª ordem
v
λ - índice de esbeltez
λ1 - valor limite para λ para que não se considerem os efeitos localizados de 2ª
ordem
κ - rigidez secante adimensional ou relativa
µ - momento fletor relativo ou reduzido adimensional
µf - momento de ruptura (reduzido adimensional)
ν - coeficiente de Poisson
- força normal relativa ou reduzida adimensional
νo - valor reduzido adimensional da força normal de ruptura no caso ideal de
compressão centrada
θ1 - desaprumo de um elemento vertical contínuo
- desaprumo de um lance de pilar de altura l.
θa - desaprumo a ser considerado para um conjunto de elementos verticais
contínuos da estrutura aporticada
θf - curvatura majorada adimensional correspondente ao momento de ruptura
ρ - taxa geométrica de armadura
σ - tensão normal
σc - tensão normal de compressão no concreto
σcd - tensão de cálculo do concreto
σs - tensão normal de tração na armadura
σsd - tensão de cálculo na armadura
ω - taxa mecânica da armadura
Siglas e Abreviaturas
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas
ADINA - Automatic Dynamic Incremental Non-Linear Analysis
CD - Canvas Draw – Biblioteca Gráfica 2D
CEB - Comite Européen du Béton
ELU - Estado Limite Último
EPUSP - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
FEMOOP - Finite Element Method – Object Oriented Programming
w
FTOOL - Frame Tool Program – Programa Gráfico-Interativo para Ensino de
Comportamento de Estruturas
IUP - Sistema Portátil de Interface com o Usuário
LED - Linguagem de Especificação de Diálogos
LMC - Laboratório de Mecânica Computacional
PEF - Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações
PUC-Rio - Pontíficie Universidade Católica do Rio de Janeiro
Tecgraf - Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica
UFPR - Universidade Federal do Paraná
x
Resumo
RESUMO
O objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de uma ferramenta gráfica interativa para
a modelagem e dimensionamento de pórticos planos de concreto armado que seja capaz
de lidar com múltiplos casos e combinações de carregamento e efetuar análises não-
lineares físico-geométricas das estruturas.
Utilizamos como base o programa FTOOL, que é um sistema gráfico interativo cujo
objetivo principal é fornecer ao estudante de engenharia estrutural uma ferramenta para
aprender o comportamento estrutural de pórticos planos.
Desta forma, apresentamos uma nova versão do programa FTOOL, que agora incorpora
ferramentas para a inserção de múltiplos casos de carga; múltiplas combinações de
carregamento; o dimensionamento das seções de concreto armado à flexão normal
composta e ao cisalhamento; o traçado de envoltórias de esforços e de área de aço; o
cálculo de diagramas força normal – momento – curvatura e integração com o programa
y
(solver) comercial ADINA, permitindo a obtenção de esforços e a verificação do
dimensionamento sob não-linearidade geométrica e física (acoplada a diagramas força
normal – momento – curvatura).
O trabalho de implementação computacional é complementado pela apresentação das
características dos materiais concreto e aço recomendadas pela ABNT e utilizadas para
o dimensionamento, de um roteiro para a modelagem dos pórticos planos, vigas e
pilares sob efeitos de 2ª ordem, do método utilizado para a confecção das rotinas de
dimensionamento e de um breve relato sobre as análises linear e não-linear efetuadas e
geração de diagramas força normal – momento – curvatura. São apresentados também
vários exemplos de aplicação e finalmente, um manual de utilização do programa e a
documentação sobre o formato de comunicação entre o FTOOL e o ADINA.
z
ABSTRACT
ABSTRACT
The objective of this work is the development of an interactive graphics tool for the
modeling and designing of reinforced concrete plane frames. This tool is also capable of
handling multiple loading combinations and perform material and geometrical non
linear analyses of plane frames.
The program FTOOL has been used as the platform for this work. This program is an
interactive graphics educational system. Its main purpose is to provide a tool for better
understanding the structural behavior of plane frames.
In that way, a new version of the program FTOOL has been developed. This version
now incorporates tools for handling: multiple load cases and loading combinations, the
design of concrete linear elements subjected to normal bending and shear, the automatic
sketching of internal forces diagrams and steel areas envelopes, the computation of
interaction diagrams (N-M-1/r) and the integration with the commercial package
aa
ADINA. The new FTOOL allows the calculation of internal forces necessary for the
design of concrete frames taking into account material and geometrical nonlinearities.
The computer implementation addresses: the definition of properties of concrete and
steel, recommended by ABNT and necessary for design; the script for the modeling of
plane frames, beams and columns under 2nd order effects; the algorithm used in the
reinforced concrete design routines; a brief description of the linear and non linear
analyses performed and the generation of interaction (N-M-1/r) diagrams. Finally, some
application examples, the system tutorial and the documentation about the format of the
interface communication between FTOOL and ADINA are presented.
1
1. Introdução
1 INTRODUÇÃO
1.1 Objetivos
O presente trabalho busca o desenvolvimento de um sistema computacional utilizando a
programação gráfica interativa, proporcionando com isso, um meio efetivo para
visualização de eventos ligados tanto à construção de modelos e entrada de dados,
quanto à interpretação e análise de resultados na análise de pórticos bi-dimensionais de
concreto armado. Este sistema será capaz de simular efeitos não-lineares decorrentes da
relação momento-curvatura das peças (não-linearidade física), bem como da evolução
da deformação da estrutura (não-linearidade geométrica). Além disso, o sistema será
capaz de dimensionar os elementos de concreto armado à flexão normal composta e ao
cisalhamento.
O objetivo básico deste trabalho foi ampliar as capacidades do programa FTOOL
(Frame Tool Program – Programa Gráfico-Interativo para Ensino de Comportamento
2
de Estruturas) de maneira que este pudesse lidar com a análise e dimensionamento de
pórticos planos de concreto armado. Resumidamente, implementamos:
§ a possibilidade da inserção de múltiplos casos de carga e da posterior combinação
destes em combinações de carga, que serão processadas, gerando uma envoltória de
esforços, deslocamentos e áreas de aço para cada elemento;
§ a alteração da interface gráfica do FTOOL de modo a permitir a entrada dos novos
dados necessários à análise e ao dimensionamento (materiais: aço e concreto,
geometria da seção transversal);
§ a adaptação do FTOOL, possibilitando a comunicação com um solver externo
(programa ADINA – Automatic Dynamic Incremental Non-Linear Analysis),
permitindo análises lineares, sob não-linearidade geométrica (pré-dimensionamento)
e sob não-linearidade física e geométrica (verificação do dimensionamento) do
pórtico, criando um sistema integrado ADINA-FTOOL;
§ a geração de diagramas esforço normal – momento – curvatura como dados para o
programa ADINA proceder à análise não-linear (física e geométrica) do problema;
e apresentando a documentação do sistema computacional proposto. A presente
dissertação complementa este trabalho, organizando os fundamentos teóricos
necessários para a modelagem dos pórticos planos.
Todo procedimento adotado neste trabalho se baseia nas diretrizes apontadas pela
Norma Brasileira NBR6118/2000 [ABNT-2] – Projeto de Estruturas de Concreto, a ser
publicada em novembro de 2000, para a análise das estruturas no estado limite último
(ELU). Embora tenhamos consultado uma versão preliminar, pelo fato da revisão desta
norma estar praticamente concluído, acreditamos que nada mude em relação ao exposto
neste trabalho. Para efeito de comparação, em vários pontos desse texto traçaremos
paralelos entre ela e a norma vigente, a NB1/1978 [ABNT-1] – Projeto e Execução de
Obras de Concreto Armado, lembrando entretanto, sempre que a norma que deve ser
seguida é a NBR6118/2000.
3
1.2 O FTOOL
O FTOOL é um sistema gráfico interativo cujo objetivo principal é fornecer ao
estudante de engenharia estrutural uma ferramenta para aprender o comportamento
estrutural de pórticos planos. O sistema consiste de uma interface gráfica com o usuário
baseada em manipulação direta, utilizando um sistema de janelas, com menus em
cascata e botões. Graças à utilização do sistema de interface IUP/LED
(http://www.tecgraf.puc-rio.br/manuais/iup) e o sistema gráfico CD (Canvas Draw –
http://www.tecgraf.puc-rio.br/manuais/cd), ambos desenvolvidos no Tecgraf/PUC-Rio,
o FTOOL pode ser executado em praticamente em qualquer plataforma, de
microcomputadores a estações gráficas de trabalho, bastando recompilá-lo na
plataforma desejada e ligá-lo com as bibliotecas gráficas apropriadas.
O estudante tem controle total sobre o modelo estrutural sendo analisado. A
manipulação no modelo é feita através de entrada via mouse ou teclado. O programa
integra todas as fases do processo de análise estrutural: criação e manipulação do
modelo com aplicação de atributos (pré-processamento), resolução pelo método da
rigidez direta e visualização de resultados (pós-processamento). Uma estrutura de dados
bastante eficiente, baseada em topologia computacional, permite uma integração natural
entre estas fases e uma poderosa capacidade de modelagem e visualização. Esta
integração é o aspecto fundamental no processo de aprendizagem, permitindo ao
estudante experimentar com rapidez diferentes concepções estruturais para uma
estrutura e assim entender melhor o seu comportamento estrutural [KAEFER-1].
1.3 Organização do Texto
Esta dissertação de mestrado é constituída por dez capítulos, incluindo este capítulo
introdutório, e de quatro anexos.
O Capítulo "Materiais" tem por objetivo apresentar os parâmetros utilizados neste
trabalho para a modelagem dos materiais concreto e aço.
No Capítulo "Análise Estrutural" abordamos o processo do estabelecimento de um
modelo matemático que representa uma estrutura real de edifício. Procuramos sempre,
4
quando conveniente, traçar um paralelo entre as recomendações da norma brasileira
vigente para o cálculo estrutural e as recomendações de sua nova redação a ser
publicada no final de 2000. Acreditamos que este capítulo possui o mérito de
sistematizar de uma maneira simples a forma usual de se dimensionar estruturas de
contraventamento compostas por quadros planos.
O processo descrito em [SANTOS-2] e utilizado para o dimensionamento dos
elementos (vigas e pilares) é descrito no Capítulo 4 – Dimensionamento. Também
apresentamos os critérios para o dimensionamento ao cisalhamento e para o
estabelecimento dos limites mínimos e máximos de armadura para as seções de concreto
implementados e baseados na NBR6118/2000. No final do capítulo, apresentamos
exemplos simples de validação (seções isoladas de concreto armado) para as rotinas de
dimensionamento implementadas.
O Capítulo 5 – Análise, contém informações sobre as análises feitas pelo FTOOL-
ADINA e sobre como foram confeccionadas as rotinas para a geração das relações força
normal – momento – curvatura . No último tópico deste capítulo apresentamos um
exemplo de validação constituído por uma tabela de valores adimensionais para um
diagrama N-M-1/r , apresentando exemplos adicionais no Anexo IV.
Maiores detalhes sobre a implementação computacional realizada, como as estruturas de
dados implementadas e as alterações na interface gráfica básica (FTOOL 2.06), são
encontradas no Capítulo 6 – Implementação Computacional.
Os Capítulos 7, 8 e 9 concluem o trabalho. No Capítulo 7, apresentamos os exemplos de
validação constituídos por análises de vigas, pilares e de um pórtico simples. Os
aspectos da discretização da malha de elementos finitos e da detecção de pontos limite
de instabilidade são abordados. No Capítulo 8 apresentamos um exemplo maior, de um
pórtico simplificado de um edifício de 20 andares, visando mostrar o grande potencial
de modelagem do programa implementado. Finalmente, o Capítulo 9 apresenta as
conclusões obtidas.
5
No primeiro anexo apresentamos o manual de utilização do programa. Neste anexo
pretendemos mostrar o funcionamento do FTOOL e as novas implementações.
O segundo anexo contém a sintaxe utilizada para a comunicação entre ADINA e
FTOOL através de arquivos texto. É particularmente importante o item que trata da
leitura do arquivo de resultados do ADINA, pois não há documentação deste formato.
O Anexo III contém os valores numéricos dos gráficos apresentados e das relações
força normal – momento – curvatura utilizadas no Capítulo 7.
No Anexo IV apresentamos mais algumas tabelas adimensionais com diagramas
força normal – momento – curvatura complementares às apresentadas no Capítulo 5.
6
2. Hipóteses Básicas
2 HIPÓTESES BÁSICAS E PROPRIEDADES DOSMATERIAIS
2.1 Introdução
Neste capítulo apresentamos as características para os materiais concreto e aço
utilizadas neste trabalho. Tais características se baseiam na Norma Brasileira
NBR6118/2000 [ABNT-2] – Projeto de Estruturas de Concreto, a ser publicada em
novembro de 2000. Em vários pontos do texto traçaremos paralelo entre ela e a norma
vigente, a NB1/1978 [ABNT-1] – Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado.
Entretanto, lembramos sempre que a norma que deve ser seguida é a NBR6118/2000.
Ressaltamos que nada impede que outros conjuntos de características, baseados em
outros códigos internacionais, para o concreto e para o aço sejam introduzidas no futuro,
pois todos os algoritmos de dimensionamento foram desenvolvidos visando uma grande
generalidade e uma possível posterior expansão dos modelos de materiais disponíveis.
7
Acreditamos que esta possibilidade seria bastante interessante, permitindo futuras
comparações.
Assim sendo, neste capítulo, apresentaremos as características físicas (módulo de
elasticidade, diagramas tensão-deformação, módulo de dilatação, ...) do concreto e do
aço recomendadas por [ABNT-1] e [ABNT-2] e utilizadas nas rotinas do FTOOL.
2.2 Concreto
2.2.1 Classes
A norma brasileira se aplica a concretos de massa específica normal, das classes do
grupo I, indicadas na NBR8953, com resistência à compressão característica (fck)
especificada para a idade de 28 dias variando de 10 a 50 MPa (concretos C10, C15,
C20, C25, C30, C35, C40, C45 e C50).
A NBR6118/2000 relaciona a resistência do concreto à durabilidade das estruturas e por
isto estabelece valores mínimos da resistência à compressão, que deverá ser no mínimo
20 MPa para concretos que contenham apenas armadura passiva, 25 MPa para concretos
com armadura ativa e 15 MPa para fundações e obras provisórias.
2.2.2 Massa Específica
A massa específica dos concretos, para efeito de cálculo, pode ser adotada como sendo
de 2400 kg/m3 para o concreto simples e de 2500 kg/m3 para o concreto armado.
2.2.3 Coeficiente de Dilatação Térmica
Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido
como sendo igual a 10-5 /ºC.
2.2.4 Resistência à Tração
Na falta de ensaios, a resistência à tração pode ser avaliada por meio das equações (2.1)
a (2.3) [ABNT-2].
8
32
ckctm f3,0f ⋅= (fctm, fck,inf, fctk,sup e fck em MPa) (2.1)
ctminf,ctk f7,0f ⋅= (2.2)
ctmsup,ctk f3,1f ⋅= (2.3)
[ABNT-1] prescreve o seguinte valor para fctk:
>+⋅≤⋅
=MPa18fpara7,0f06,0
MPa18fparaf1,0f
ckck
ckckctk (fctk e fck em MPa)
(2.4)
Resistência à Tração do Concreto
0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
0 10 20 30 40 50 60
Resistência à Compressão (fck-MPa)
Res
istê
ncia
à T
raçã
o (M
Pa)
fctk,inf
fctm
fctk,sup
fctk
fck fctk,inf fctm fctk,sup fctk
10 0.975 1.392 1.810 1.00015 1.277 1.825 2.372 1.50018 1.442 2.060 2.679 1.80020 1.547 2.210 2.874 1.90025 1.795 2.565 3.334 2.20030 2.028 2.896 3.765 2.50035 2.247 3.210 4.173 2.80040 2.456 3.509 4.561 3.10045 2.657 3.795 4.934 3.40050 2.850 4.072 5.293 3.700
Figura 2.1 – Comparação dos valores para a resistência à tração do concreto prescritos
em [ABNT-1] e [ABNT-2]
9
2.2.5 Módulo de Elasticidade
Na ausência de dados experimentais sobre o módulo de elasticidade inicial do concreto
utilizado, na idade de 28 dias, a NBR6118/2000 permite estimá-lo através da equação
(2.5).
ckc f5600E ⋅= (MPa) (2.5)
O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto,
especialmente para a determinação de esforços solicitantes e verificação de estados
limite de serviço, deve ser calculado por (2.6), entretanto, na avaliação do
comportamento global da estrutura permite-se utilizar em projeto o módulo inicial
fornecido pela equação (2.5).
ckccs f4760E85,0E ⋅=⋅= (MPa) (2.6)
A NB1/78 prescreve outra expressão para o cálculo do módulo de elasticidade do
concreto à compressão, no início da deformação efetiva, correspondente ao primeiro
carregamento:
5,3f6600E ckc +⋅= (MPa) (2.7)
Na flexão, quando a deformação lenta for nula ou desprezível, por serem de curta
duração, o módulo de deformação Ec a ser adotado pela NB1/78 é o módulo secante do
concreto (Ecs), suposto igual a 0,9 do módulo na origem:
5,3f5940E ckcs +⋅= (MPa) (2.8)
10
Módulo de Elasticidade do Concreto
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
0 20 40 60
fck (MPa)
E (G
Pa)
Ec (1982) Ec (2000) Ecs (1982) Ecs (2000)
fck Ec (1982) Ec (2000) Ecs (1982) Ecs (2000)10 24.25 17.71 21.82 15.0515 28.39 21.69 25.55 18.4420 31.99 25.04 28.80 21.2925 35.23 28.00 31.71 23.8030 38.20 30.67 34.38 26.0735 40.95 33.13 36.86 28.1640 43.53 35.42 39.18 30.1045 45.96 37.57 41.37 31.9350 48.27 39.60 43.45 33.66
Figura 2.2 – Comparação entre os módulos de elasticidade do concreto definidos em [ABNT-1] e
[ABNT-2]
A Figura 2.2 permite que observemos a grande redução do módulo de elasticidade
introduzida pela NBR6118/2000. Os módulos de elasticidade e elasticidade secante das
novas estruturas de concreto estão respectivamente e em média 20% e 25% menores
que os módulos definidos pela NB1/78. Este fato se deve à evolução dos cimentos, que
permitem que se obtenha concretos com grande resistência com teores menores de
cimento, o que entretanto, torna a estrutura interna do material menos compacta e
consequentemente as estruturas como um todo, mais flexíveis.
11
2.2.6 Diagramas Tensão-Deformação
2.2.6.1 Compressão
Para análises no estado limite último, pode ser empregado o diagrama tensão-
deformação idealizado mostrado na Figura 2.3.
Neste e nos próximos diagramas é adotada a convenção de que tensões e deformações
positivas representam compressão.
Parábola do 2 grauoσc
fck
σcd
εc1= 2‰ εc
Diagrama de Cálculo
Diagrama Característico
Figura 2.3 – Diagrama tensão-deformação para o concreto.
O diagrama é descrito por uma parábola, para deformações entre 0 e εc1 e por uma reta
( cdc σ=σ ) entre εc1 e εcu, sendo σcd dado pela expressão:
c
ckcdcd
ff
γ⋅α=⋅α=σ (2.9)
onde:
γc é o coeficiente de minoração da resistência do concreto, tendo para os
casos normais valor 1,4 definido pela NBR6118 e 1,5 pelo CEB/90.
α assume o valor 0,85 (consideração a deformação lenta do concreto
(Efeito Rüsch)) e é utilizado para o dimensionamento no estado limite
último ou 1,10 na análise não-linear física ([ABNT-2] item 15.2).
12
As equações (2.10) e (2.11) fornecem a relação entre tensão e deformação para o
diagrama de cálculo.
ε−ε⋅σ=σ
4
2c
ccdc (εc em ‰) para 1cc0 ε<ε< (2.10)
cdc σ=σ para cuc1c ε<ε<ε (2.11)
A NBR6118 permite a utilização deste diagrama para concretos com fck máximo de
50 MPa, entretanto, o CEB/90 permite que se utilize o mesmo diagrama para concretos
com fck compreendido entre 50 e 80 MPa, alterando-se o valor de εcu conforme a
expressão (2.12).
ckcu f
505,3 ⋅=ε (fck em MPa) (2.12)
A deformação específica εcu é o valor convencional para o qual se admite a ruptura do
concreto comprimido. Segundo [ABNT-1], para o encurtamento de ruptura do concreto
(εcu) nas seções não inteiramente comprimidas considera-se o valor convencional de
3,5‰ (domínios 3 e 4a cuja definição é encontrada no item 4.3). Nas seções
inteiramente comprimidas (domínio 5) admite-se que o encurtamento da borda mais
comprimida, na ocasião da ruptura, varie de 3,5‰ a 2‰, mantendo-se inalterada e igual
a 2‰ a deformação a 3/7 da altura total da seção, a partir da borda mais comprimida.
No caso particular da compressão centrada o encurtamento de ruptura do concreto é de
2‰.
2.2.6.2 Tração
No estado limite último o concreto tracionado se encontra fissurado não se considera
nesta situação resistência à tração nas rotinas de dimensionamento e geração de
diagramas força normal – momento – curvatura.
13
2.3 Aço
2.3.1 Categoria
De acordo com o valor característico da resistência de escoamento, as barras e os fios
são classificados atualmente nas categorias CA-25, CA-50, CA-60.
Aço fyk (MPa)
CA-25 250
CA-50 500
CA-60 600
Tabela 2.1 – Categoria dos aços para armadura passiva
2.3.2 Coeficiente de Dilatação Térmica
O coeficiente de dilatação térmica vale 10-5 /ºC para intervalos de temperatura entre –
20 e 150ºC.
2.3.3 Módulo de Elasticidade
Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, admite-se o módulo de
elasticidade do aço igual a 210 GPa ([ABNT-1], [ABNT-2]) ou 200 GPa (CEB/90).
2.3.4 Diagrama Tensão-Deformação
Na falta de determinação experimental, são admitidos os seguintes diagramas tensão-
deformação para os aços de dureza natural e encruados a frio.
A NBR6118/2000 permite que o diagrama da Figura 2.3 seja utilizado para cálculos nos
estados-limite de serviço e último para aços com ou sem patamar de escoamento.
2.3.4.1 Aços de Dureza Natural
São os aços ditos de classe A. Possuem patamar de escoamento bem definido.
14
Es
εycd
εyd
εs
Traç
ãoC
ompr
essã
o
fyck
fycd
fyk
fyd
Diagrama de Cálculo
Diagrama Característico
εycu
εyu
σs
Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação para aços de dureza natural
O início do patamar de escoamento é dado pela equação (2.13).
s
ydycdyd E
f=ε=ε ,onde
s
ykyd
ff
γ= (2.13)
γs é o coeficiente de minoração da resistência do aço, tendo o valor 1,15
definido tanto pela NBR6118 como pelo CEB/90.
As equações (2.14) e (2.15) fornecem a relação entre tensão e deformação para o
diagrama de cálculo.
sss E ε⋅=σ para
ε≤ε≤≤ε≤ε
ycds
syd
00
(2.14)
yds f=σ para ( )
( )
=ε≤ε≤εε≤ε≤=ε
ooo
ycusycd
ydsooo
yu
5,310
(2.15)
2.3.4.2 Aços Encruados a Frio
São os aços ditos de classe B. Possuem patamar de escoamento convencional para o
valor de tensão correspondente à deformação permanente de 2‰.
15
Es
εycd εs
fyck
fycd
Diagrama de Cálculo
Diagrama Característico
2‰
0,7 fyck
0,7 fycd
εyd
fyk
fyd
Parábola do 2 grauo
εyu -2 ‰
0,7 fyk
0,7 fyd
σs
εycu
Figura 2.5 – Diagrama tensão-deformação para aços encruados a frio
O início do patamar de escoamento é dado pela equação (2.16):
000
s
ydycdyd 2
E
f+=ε=ε onde
s
ykyd
ff
γ= (2.16)
O diagrama é descrito por uma reta, para deformações situadas nos intervalos [ 0,7εyd ;
0 ] e [ 0 ; 0,7εycd ], por uma parábola para os intervalos [εyd ; 0,7εyd] e [ 0,7εycd ; εycd ] e
por retas horizontais (σs constante) para os intervalos [ εyu ; εyd ] e [ εycd ; εycu ]. As
equações (2.17), (2.18) e (2.19) fornecem a relação entre tensão e deformação para o
diagrama de cálculo.
sss E ε⋅=σ para
≤ε≤
≤ε≤
s
ycds
ss
yd
E
f7,00
0E
f7,0
(2.17)
16
ε−=
−⋅
=
⋅=
⋅⋅⋅−+=σ
sd
syd
2yd
2
s
4549,0C
E1
f454,1
B
f45
1A
com
A2CA4BB
para
ε≤ε≤⋅
⋅≤ε≤ε
ycdss
ycd
s
ydsyd
E
f7,0
E
f7,0
e εs adimensional.
(2.18)
yds f=σ para
ε≤ε≤εε≤ε≤ε
ycusycd
ydsyu (2.19)
2.3.5 Alongamento e Encurtamento Máximo Permitido para a Armadura
Os valores para εyu e εycu são iguais para os aços de dureza natural e para os aços
encruados a frio. Tanto εyu como εycu são valores convencionais. Segundo [ABNT-1], o
alongamento máximo permitido (εyu) ao longo da armadura de tração é de 10‰
(domínios 1 e 2), a fim de prevenir deformação plástica excessiva. εycu deve ser limitado
a um valor inferior a 3,5‰ em virtude do limite convencional de ruptura do concreto à
compressão.
17
3. Análise Estrutural
3 ANÁLISE ESTRUTURAL
3.1 Introdução
Abordaremos neste capítulo o processo de análise estrutural de um edifício. Nosso
primeiro passo será identificar em um prédio os elementos estruturais que podem ser
calculados e dimensionados pelo FTOOL. Em seguida, discutiremos o processo
recomendado pela norma brasileira [ABNT-2] para a obtenção da envoltória de esforços
para cada um destes elementos (ou sub-estruturas) no estado limite último, sem
considerar os efeitos da fluência.
3.2 Objetivo da Análise Estrutural
O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com
a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço. A análise
estrutural permite estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões,
deformações e deslocamentos em uma parte ou em toda a estrutura [ABNT-2].
18
Em geral as estruturas das construções são excessivamente complexas para
possibilitarem um tratamento numérico global. Desta forma, faz parte da análise
estrutural a divisão das estruturas em elementos mais simples, identificando o
comportamento estrutural principal destas partes simples para associá-las aos modelos
da Teoria das Estruturas.
Deve-se ressaltar, entretanto, que o projetista da estrutura terá sempre limitações quanto
às simplificações a serem adotadas, pois ele não poderá ignorar o comportamento real
da mesma como um todo. A análise estrutural será tanto mais eficaz quanto mais os
resultados do tratamento numérico simplificado aproximarem-se dos valores reais
esperados [ISHITANI-1].
3.3 Hipóteses Simplificadoras no Projeto de Edifícios
Em geral o comportamento das estruturas de concreto armado é bastante difícil de ser
representado. São inúmeros os aspectos a serem considerados, entre eles:
a) o emprego de materiais (concreto e aço) com diagramas tensão-deformação não
lineares, com características físicas que variam conforme a idade do concreto
(fluência do caso do concreto e relaxação para os aços);
b) o processo de construção artesanal, que pode inserir diversas imperfeições na
construção: “bicheiras” devidas a uma má vibração do concreto, falta de prumo em
pilares, cobrimentos insuficientes e concretos com características diferentes nos
diversos pontos da construção;
c) o processo de construção incremental, que faz com que existam concretos com
diversas idades na construção, com características físicas diferentes, o que ocasiona
uma grande redistribuição de esforços pela estrutura [ISHITANI-1];
d) a interação entre o solo e a estrutura;
e) os esforços de vento;
f) as exigências quanto à durabilidade da estrutura;
g) a grande quantidade de elementos básicos (a saber: vigas, lajes, pilares, ... );
h) a presença constante de elementos complementares (escadas, caixas d’água) e de
fundação (blocos, estacas, cortinas, ...).
19
Percebe-se que sem uma análise estrutural adequada, o projeto das estruturas de
concreto assume proporções “épicas”. Deve-se considerar, entretanto, que com o grande
aumento da capacidade de processamento dos computadores, a custos cada vez
menores, a cada dia há maior poder de processamento nos escritórios de engenharia, o
que torna análises globais e a utilização modelos não-lineares uma possibilidade real
para o projeto das estruturas de concreto.
3.4 Modelagem do Edifício
Um edifício pode ser modelado como um pórtico espacial ao qual são acrescentadas
placas em diversos níveis (ou pavimentos).
Figura 3.1 – Estrutura de concreto armado de um edifício
Observa-se que a estrutura de um edifício é composta por elementos com funções
estruturais bem definidas, sendo os elementos estruturais básicos [ISHITANI-1]:
a) Laje
Elemento estrutural bidimensional, geralmente horizontal. Constitui os pisos dos
compartimentos. Suporta diretamente as cargas verticais do piso, e é solicitado
predominantemente à flexão (placa). No caso mais usual, as lajes descarregam as cargas
verticais do piso e o seu peso próprio a vigas de apoio, embora existam casos (lajes
cogumelo) aonde as lajes apoiam-se diretamente nos pilares;
20
b) Viga
Elemento unidimensional (barra), geralmente horizontal, que vence os vãos entre os
pilares dando apoio às lajes, às alvenarias de tijolos e, eventualmente, a outras vigas. É
solicitado predominantemente à flexão. As vigas devem ainda ser dimensionadas para
absorver esforços de cisalhamento decorrentes de seu carregamento e de esforços
devidos à torção se suportarem platibandas ou pertencerem a estruturas tridimensionais;
c) Pilar
Elemento unidimensional (barra), geralmente vertical, que garante o vão vertical dos
compartimentos (pé-direito) fornecendo apoio às vigas, e é solicitado
predominantemente à compressão.
Além dos elementos básicos podemos citar também os elementos de fundação (sapatas,
radiers e blocos sobre estacas) responsáveis pelo encaminhamento da carga total da
estrutura para o solo e elementos complementares como escadas, caixas de água e
muros de arrimo.
Na próxima figura apresentamos o esquema convencional de estrutura de um edifício,
destacando seus elementos básicos:
21
Laje
Pilar
Viga
Edifício
Pórticode
Contraventamento
Figura 3.2 – Decomposição do edifício em elementos básicos
Desta forma, dentro do processo de análise da estrutura, tendo em vista diminuir a
complexidade da estrutura de forma que possamos modelá-la, o primeiro passo é
identificar os elementos principais, eliminando do modelo os elementos secundários
(em muitos casos substituídos por um sistema de forças equivalentes), de menor
importância para o comportamento global da estrutura. Resulta então, um modelo
tridimensional composto por elementos de barra e de placa.
Para que o problema possa ser resolvido pelo sistema computacional proposto, as lajes
devem ser destacadas da estrutura e modeladas a parte. Após a análise das lajes, seu
carregamento deve ser transferido para as vigas ou pilares, que podem estar sendo
modelados individualmente ou fazer parte de uma estrutura plana de contraventamento.
3.5 Determinação do Carregamento Vertical
O carregamento vertical atuante na estrutura pode ser considerado permanente ou
acidental.
22
O carregamento permanente é constituído em geral pelo peso próprio da estrutura e pelo
peso dos revestimentos e fechamentos. O carregamento acidental é decorrente do tipo
de utilização da estrutura e será representado por cargas normalizadas uniformemente
distribuídas sobre as lajes. Os valores para tais cargas são encontradas na
NBR6120/1990 – Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações.
Deve-se lembrar que durante todos os cálculos, as cargas permanentes devem ser
mantidas em um caso de carga diferente do das cargas acidentais, facilitando
combinações futuras com outros tipos de carregamento, como o efeito do vento e da
excentricidade acidental global.
Primeiramente deve-se fazer a estimativa das cargas atuantes nas lajes. A análise das
lajes fornecerá reações de apoio que deverão ser somadas ao carregamento aplicado
diretamente sobre as vigas (seu peso próprio e alvenarias por exemplo), constituindo o
carregamento final das vigas.
3.6 Modelagem das Lajes
As estruturas de placas (lajes) podem ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses
[ABNT-2]:
a) manutenção da seção plana após a deformação, em faixas suficientemente estreitas;
b) representação dos elementos por seu plano médio.
Os apoios das lajes são em geral constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o
cálculo das lajes pode ser feito de maneira simplificada como se elas fossem isoladas
das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação,
considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contíguas. Em geral, podem ser
desprezados os efeitos da interação com as vigas. De fato, normalmente as flechas
apresentadas pelas vigas de apoio são desprezíveis quando comparadas às das lajes,
justificando a consideração dos apoios como irrecalcáveis. Além disso, também a
rigidez à torção das vigas é relativamente pequena face à rigidez à flexão da laje,
permitindo-se, em geral, desprezar-se a solicitação resultante desta interação. É
23
obrigatória, entretanto, a consideração de esforços de torção inseridos nas vigas por
lajes em balanço, aonde a compatibilidade entre a flexão na laje e a torção na viga é
responsável pelo equilíbrio da laje [ISHITANI-1].
As cargas das lajes são constituídas pelo seu peso próprio, pela carga das alvenarias e
dos revestimentos que nela se encontrarem e pelas ações acidentais.
As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em um única
direção podem ser calculadas como vigas de largura unitária (maiores detalhes podem
ser encontrados em [ABNT-1], item 3.3.2.6). Já as lajes armadas em duas direções,
podem ser modeladas com elementos de placa, utilizando o coeficiente de Poisson ν =
0,2 para o material elástico linear. Dentro desta sistemática, inicialmente as lajes são
calculadas isoladamente, observando-se as condições de apoio de bordo engastado ou de
charneira, conforme haja continuidade ou não entre as lajes. Posteriormente é feita a
compatibilização entre os momentos de bordo de lajes contíguas. Os valores dos
momentos fletores máximos no vão e de engastamento para as formas e condições de
apoio mais comuns encontram-se tabelados, existindo tabelas publicadas por diversos
autores (Kalmanock, Barès, Czèrny, Timoshenko).
Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme,
permite-se que as reações em cada apoio correspondam às cargas atuantes nos
triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à
análise efetivada com os critérios do item 14.6.5 – Análise Plástica [ABNT-2]. Estas
reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas por retas inclinadas, a partir
dos vértices com os ângulos:
a) 45o entre dois apoios de mesmo tipo;
b) 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado
simplesmente apoiado;
c) 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
24
Face superior da laje Face inferior da laje
Figura 3.3 – Configuração das fissuras de uma laje de concreto armado retangular sob carga uniforme no
estado de ruptura [LEONHARDT-1]
Além das lajes usuais, temos as lajes nervuradas e as lajes cogumelo (que se apoiam em
pilares com capitéis) e lajes planas (apoiadas diretamente sobre pilares).
Embora a forma de modelar as lajes apresentada possa não ser a mais exata, ela permite
que as lajes sejam modeladas de uma forma simples, com a obtenção de esforços
condizentes com a realidade e que estes esforços resultantes (reações de apoio) possam
ser aplicados de maneira consistente às vigas e pilares modeladas utilizando-se o
FTOOL.
3.7 Modelagem dos Elementos Lineares – Vigas e Pilares
Após a análise das lajes e da transferência das reações destas para as vigas e pilares,
passamos para a análise dos elementos lineares.
Estruturas ou partes de estruturas que possam ser assimiladas a elementos lineares
poderão ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses [ABNT-2]:
a) manutenção da seção transversal plana após a deformação;
b) representação dos elementos por seus eixos longitudinais;
c) comprimento limitado pelo centro de apoios ou pelo cruzamento com o eixo de
outro elemento estrutural.
25
Dentre o conjunto de vigas e pilares da estrutura de um edifício, deveremos identificar
sempre elementos que resistam aos esforços horizontais formando um sistema chamado
de estrutura de contraventamento. A estrutura de contraventamento pode ser formada
por pilares de maior rigidez (como a caixa dos elevadores), pela associação destes a
vigas e a outros pilares, formando conjuntos de pórticos planos em cada direção
considerada, ou finalmente por todos os pilares e vigas principais do edifício. É
interessante fazer com que todos os pilares e vigas principais participem do modelo de
contraventamento, pois por menor rigidez que possuam, sempre contribuirão para a
rigidez global da estrutura.
Após a análise global da estrutura de contraventamento, cada elemento deverá ser
analisado individualmente. Nesta análise local, são introduzidas as excentricidades
acidentais locais, e quando necessário, modelados os efeitos localizados de 2ª ordem.
Os demais elementos serão calculados individualmente, como elementos
contraventados, utilizando o processo de modelagem apresentado em [ABNT-2].
3.8 Modelagem das Estruturas de Contraventamento
Deste ponto em diante, visando facilitar a compreensão do problema de modelagem de
um edifício, utilizaremos um exemplo, extraído de [OLIVEIRA-1]. A estrutura em
questão possui 20 andares, com distância entre lajes de 2,80 m. Todos os andares
possuem a mesma planta baixa apresentada na Figura 3.4, observando que as lajes e
vigas em balanço são substituídas por suas forças equivalentes sobre o pilar P2 e P4 e
sobre a viga V4, obtendo o modelo simplificado da direita.
26
L1h=12
V1 (18/70)
V2 (18/70)
V3(
18/7
0)
V4(
18/7
0)
V5(
18/7
0)
P1(60/60) (60/60)
P2
(60/60)P4
(60/60)P5
(35/35)P3
800
800 230
y
x
h=12L2
P1 P2
P4 P5
P3
740
740
V2
V3
V1
V4
Figura 3.4 – Exemplo de Edifício [OLIVEIRA-1]
3.8.1 Carregamento Horizontal
O carregamento horizontal é constituído pelo vento, pela consideração do desaprumo
global e pelo efeito da assimetria da geometria ou do carregamento do edifício.
O desaprumo global não precisa ser superposto ao carregamento de vento. Dentre os
dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas aquele mais desfavorável,
permitindo-se escolher o mais desfavorável como sendo o que provoca o maior
momento total na base de construção.
3.8.1.1 Vento
A consideração do efeito do vento nas edificações é obrigatória segundo [ABNT-2]
sendo que este efeito pode ser calculado com base na NBR6123/1988 – Forças Devidas
ao Vento em Edificações.
Em geral, pela introdução da ação do vento, deve-se levar em conta sempre duas
combinações de carga levando em conta a simultaneidade das ações acidentais verticais
e o caráter acidental do vento. Segundo [ABNT-2] apud [OLIVEIRA-1], a primeira
combinação considera a carga acidental como a ação variável principal e a segunda
combinação considera a carga horizontal de vento como a ação variável principal. As
combinações são dadas por :
27
F F F Fd g gk q q k q j qjk
n
= + + ∑γ γ γ ψ1 02
(3.1)
onde
Fd representa os valores de cálculo das ações;
Fgk representa as ações permanentes diretas;
Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal;
γg, γq representam os coeficientes de ponderação aplicados às ações
permanentes e variáveis;
ψ0 representa o coeficiente que leva em conta a simultaneidade de atuação
das ações.
As combinações ficam assim determinadas:
Fd = 1,4 Cargas Perm. + 1,4 Cargas Var. + 1,4⋅0,4 Ações horizontais
Fd = 1,4 Cargas Perm. + 1,4⋅0,4 Cargas Var. + 1,4 Ações horizontais(3.2)
3.8.1.2 Consideração das Imperfeições Construtivas
Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser
considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Figura 3.5
[ABNT-2].
l
θa
n prumadas de pilaresFigura 3.5 – Consideração das imperfeições geométricas globais [ABNT-2]
Aonde:
28
1001
1l
=θ (3.3)
21 n
1
1a+
θ=θ (3.4)
tal que,
l é a altura da estrutura em metros;
n é o número total de elementos verticais contínuos.
=θ
3001
4001
min1
para estruturas de nós fixos;
para estruturas de nós móveis e imperfeições locais.(3.5)
2001
máx1 =θ
3.8.1.3 Assimetria da Estrutura ou do Carregamento
Este efeito pode ser facilmente compreendido visualizando o exemplo [OLIVEIRA-1].
As lajes e vigas em balanço tornam a estrutura assimétrica na direção x, fazendo com
que a estrutura se deforme naturalmente na direção positiva do eixo x.
3.8.2 Definição da Estrutura de Contraventamento
Deve-se considerar o efeito do vento e das imperfeições construtivas pelo menos nas
direções principais x e y. Desta forma devem existir dois sistemas de contraventamento
ortogonais entre si. Na direção x associaremos dois pórticos, o primeiro formado pelas
vigas V1, V11, ... e V201 e pelos pilares P1 e P2 e o segundo formado pelas vigas V2,
V12, ... e V202 e pelos pilares P4 e P5 com o pilar contraventado P3. Na direção y
adotaremos arranjo similar. A compatibilização dos deslocamentos dos pilares e
transferência dos esforços horizontais em cada pavimento é feita com a introdução de
uma série de barras rígidas articuladas nas extremidades, conforme pode ser visto na
Figura 3.6.
29
Figura 3.6 – Estrutura de contraventamento do exemplo proposto em [OLIVEIRA-1]
3.8.3 Deslocabilidade
Considerando o deslocamento dos nós das estruturas reticuladas perante cargas
horizontais, elas podem ser classificadas como de nós fixos ou de nós deslocáveis:
a) Estruturas de nós fixos: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais
dos nós são pequenos e por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são
desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem); nestas
estruturas basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem;
b) Estruturas de nós móveis: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais
não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2a ordem são importantes
(superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nestas estruturas devem
ser obrigatoriamente considerados os esforços globais, locais e localizados de 2ª
ordem [ABNT-2].
3.8.3.1 Rigidez Mínima das Estruturas Indeslocáveis
Dois processos aproximados são indicados pela NBR6118/2000 (e são transcritos a
seguir) para garantir a rigidez mínima das estruturas de nós fixos. Lembramos que a
avaliação da deslocabilidade da estrutura deve ser feita para todas as combinações de
carga aplicadas à estrutura.
30
a) Parâmetro de Instabilidade
Uma estrutura reticulada simétrica poderá ser considerada como sendo de nós fixos se
seu parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1 definido a seguir:
1α≤α (3.6)
cc
ktot IE
NH=α (3.7)
n1,02,01 ⋅+=α se n ≤ 3
6,01 =α se n ≥ 4(3.8)
onde:
n - número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou
de um nível pouco deslocável do subsolo;
Htot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um
nível pouco deslocável do subsolo;
Nk - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do
nível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico.
Ec Ic - somatória da rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso
de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez
variável ao longo da altura, permite-se considerar produto de rigidez Ec Ic
de um pilar equivalente de seção constante. Para Ec permite-se adotar,
nessa expressão e em todas as análises de estabilidade global, o valor do
módulo de elasticidade inicial (equação (2.5)). O valor de Ic é calculado
considerando as seções brutas dos pilares.
Para determinar a rigidez equivalente (Ec Ic) em pórticos planos e estruturas treliçadas,
procede-se da seguinte maneira:
§ calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do
carregamento horizontal característico;
31
§ calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e
livre no topo, de mesma altura Htot, tal que, sob a ação do mesmo carregamento,
sofra o mesmo deslocamento no topo da estrutura de contraventamento.
O valor limite α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de
edifícios. Vale para associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilares-
parede. Ele pode ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído
exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver
pórticos.
b) Coeficiente γz
É possível determinar de forma aproximada o coeficiente γz de majoração dos esforços
globais finais com relação aos de primeira ordem. Essa avaliação é efetuada a partir dos
resultados de uma análise linear de primeira ordem, adotando-se os valores de rigidez
dados nas equações (3.6), que estimam o efeito da não-linearidade física.
para lajes : ( ) ccsec IE3,0EI ⋅=
para vigas : ( ) ccsec IE4,0EI ⋅= para A’s ≠ As e
( ) ccsec IE5,0EI ⋅= para A’s = As
para pilares : ( ) ccsec IE8,0EI ⋅=
para estruturas de contraventamento compostas exclusivamente por vigas e
pilares, pode-se considerar para ambas:
( ) ccsec IE7,0EI ⋅=
sendo
Ec : o módulo de elasticidade inicial do concreto (2.5) e
Ic : o momento de inércia da seção bruta de concreto
(3.9)
32
O valor de γz é:
a
a a .
MM
1
1
h
vh
d,tot,1
d,totz +∆
−=γ
(3.10)
sendo:
M1,tot,d - momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas
as forças horizontais, com seus valores de cálculo, em relação à base
da estrutura;
∆Mtot,d - soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na
estrutura, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos
horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da
análise de 1ª ordem;
ah, av - são os deslocamentos horizontais no nível do centro de gravidade
das cargas verticais da estrutura. O deslocamento horizontal av é o
decorrente somente das ações verticais e o deslocamento horizontal ah
é decorrente somente das ações horizontais.
Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γz ≤ 1,1, sendo
que neste caso é possível desconsiderar os efeitos de 2ª ordem. Solução aproximada para
a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, válida para estruturas regulares
consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) pela multiplicação por
0,95 γz dos momentos de 1ª ordem, desde que γz ≤ 1,3. Para valores de γz maiores que
1,3 é necessária a análise de 2ª ordem adequada, permitindo-se a adoção do processo P-
∆ para a avaliação da não-linearidade geométrica em conjunto com os valores de rigidez
dados por (3.9) representativos do efeito da não-linearidade física [ABNT-2].
3.8.4 Análise Não-Linear
A análise estrutural com efeitos de 2ª ordem deve assegurar que as combinações mais
desfavoráveis das ações de cálculo não ocasionem perda de estabilidade ou esgotamento
da capacidade resistente de cálculo [ABNT-2]. Assim sendo, neste tópico mostraremos
como proceder a uma análise não-linear de um pórtico plano utilizando o FTOOL.
33
Num primeiro momento, não é possível utilizar a análise não-linear física e geométrica,
pois com o pré-dimensionamento temos apenas as dimensões das peças, mas não as
armaduras.
Desta forma, primeiro devemos processar todas as combinações utilizando a opção de
análise não-linear geométrica, adotando valores de rigidez aproximados para a seção
transversal fissurada de concreto. Os valores de rigidez para vigas e pilares
recomendados em [ABNT-2] podem ser vistos em (3.9). Outras referências indicam
valores levemente diferentes para a avaliação da rigidez da seção fissurada de concreto,
ficando a cargo do projetista a utilização dos valores mais adequados:
Vasconcelos & Franco ( [VASCONCELOS-1] apud [ANTUNES-1] )
( ) ccsec IE50,0EI ⋅= para vigas
( ) ccsec IE80,0EI ⋅= para pilares
MacGregor & Hage ( [MACGREGOR-1] apud [ANTUNES-1] )
( ) ccsec IE40,0EI ⋅= para vigas
( ) ccsec IE80,0EI ⋅= para pilares
ACI-318-95 ( apud [ANTUNES-1] )
( ) ccsec IE30,0EI ⋅= para vigas
( ) ccsec IE70,0EI ⋅= para pilares
(3.11)
A seguir, dimensionamos todos os elementos da estrutura para a envoltória de esforços
(no FTOOL calculam-se as áreas de aço para cada combinação e depois comparam-se
estes valores para o traçado da envoltória).
Após o dimensionamento passamos a ter os valores para a taxa de armadura em cada
elemento, permitindo que se proceda à verificação do dimensionamento recalculando os
esforços atuantes através de análises não-lineares físico-geométricas para todas as
combinações de carga. Nesta análise, o sistema pode resultar instável, por falta de
rigidez. Neste caso, a falta de rigidez da estrutura é ocasionada por terem sido adotados
34
valores muito altos para a rigidez da seção de concreto fissurado nos cálculos não-
lineares geométricos (pré-dimensionamento). Assim sendo, deve-se estimar uma
rigidez inicial menor para as vigas e pilares e efetuar uma nova análise não-linear
geométrica com o posterior redimensionamento das armaduras.
Havendo rigidez suficiente, o sistema convergirá para todas as combinações de carga,
originando mais uma envoltória de esforços solicitantes. Observa-se que no cálculo não-
linear físico e geométrico haverá uma redistribuição de rigidez ao longo da estrutura
conforme o dimensionamento das armaduras efetuado. Esta redistribuição poderá alterar
significativamente os esforços solicitantes em toda a estrutura ou em parte dela. Por
causa disto, mais uma vez deve-se proceder ao dimensionamento das armaduras das
seções de concreto armado. Se os valores obtidos para as armaduras calculadas com os
esforços provenientes da análise não-linear física e geométrica forem muito diferentes
dos obtidos pela análise não-linear geométrica, deve-se proceder a novos cálculos (com
a nova distribuição de armadura) que considerem a não-linearidade física e geométrica
até que se tenha a estabilização (convergência) da distribuição da armadura nos diversos
elementos.
Lembramos que segundo [ABNT-2] poderá ser considerada também a formulação de
segurança em que se calculam os efeitos de 2ª ordem das cargas majoradas de γf/γf3 que
posteriormente são majorados de γf3, com γf3 = 1,1. O fator γf3 considera as incertezas
provenientes do método de análise e deve ser aplicado aos valores finais dos esforços.
Nos problemas não-lineares, a consideração deste fator em γf poderia conduzir a
deformações e consequentemente a esforços de 2ª ordem superavaliados.
Finalmente, deve-se ainda avaliar os efeitos de 2ª ordem e decorrentes de desaprumos
locais em cada tramo de pilar da estrutura de contraventamento. O processo é análogo
ao dimensionamento de elementos contraventados.
Os efeitos localizados de 2ª ordem tornam-se presentes apenas quando o índice de
esbeltez do pilar definido entre dois pavimentos superar os valores de λ1 estabelecidos
no tópico 3.10.1. Caso haja necessidade da avaliação destes efeitos, ela pode ser feita de
várias maneiras:
35
§ no modelo global, discretizando-se cada tramo de pilar em pelo menos três
elementos;
§ criando um modelo local com os esforços de extremidade provenientes do pórtico,
discretizado em pelo menos três elementos com a posterior análise não-linear física
e geométrica;
§ criando um modelo local com os esforços de extremidade provenientes do pórtico e
utilizando métodos aproximados baseados no método do pilar padrão (ver item
3.10.4.2).
As excentricidades acidentais podem ser introduzidas no modelo localizado através de
momentos mínimos de extremidade (M1d,mín).
Deve-se também efetuar a análise local de vigas que liguem pilares contraventados a
pilares de contraventamento, considerando a tração decorrente do desaprumo do pilar
contraventado [ABNT-2]. O valor de θ1 para a avaliação de imperfeições locais é
considerado como l/300.
l
θ1
θ1
Pilar decontraventamento
Pilarcontraventado
Figura 3.7 – Efeito de imperfeição geométrica em um viga que liga um pilar contraventado a um pilar de
contraventamento [ABNT-2]
Finalmente, a última recomendação é ressaltar o fato de que quando o FTOOL constrói
os diagramas M-1/r utilizados para estimar a não-linearidade física, ele utiliza taxas de
armadura constantes (valores máximos calculados da área de aço) em todo o elemento.
36
Desta forma, para uma avaliação da rigidez um pouco mais refinada, convém dividir
cada tramo de viga em pelo menos três elementos.
Dimensionada a estrutura de contraventamento, deve-se calcular as vigas e pilares
contraventados. A análise destes elementos restantes é feita através de modelos
localizados supondo que estes façam parte de estruturas indeslocáveis.
3.9 Modelagem de Vigas Isoladas
O modelo básico para a consideração das cargas verticais é a análise linear de uma viga
contínua. A caracterização da geometria das vigas pode ser vista no item 14.5.2 da
NBR6118/2000.
O carregamento das vigas é composto pelas reações das lajes (admite-se que estas sejam
consideradas uniformes sobre cada viga de bordo), pelo seu peso próprio e pelo peso
das alvenarias. Permite-se supor que a posição das cargas acidentais uniformemente
distribuídas (q) com a qual se obtém a situação mais desfavorável para a seção
considerada, seja determinada com cada tramo totalmente carregado ou totalmente
descarregado. Dispensa-se o cálculo das envoltórias quando a carga acidental for menor
que 20% da carga total.
Figura 3.8 – Modelo básico para a determinação da envoltória para uma viga contínua de três tramos
(somente “q” é mostrada)
No modelo básico de viga contínua, é desconsiderada a solidariedade da viga aos pilares
e por isso, devemos utilizar modelos adicionais de forma a estimar esta influência.
37
Quando um pilar interno for muito rígido (largura na direção da viga maior que o pé-
direito dividido por 5 [ABNT-1] ou 4 [ABNT-2]), não poderá ser considerado momento
negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio.
O efeito de pilar de extremidade pode ser estimado através do modelo constituído por
três barras convergentes, todas consideradas engastadas nas extremidades (pode-se
considerar a viga simplesmente apoiada no pilar interno, dependendo de sua rigidez). O
esquema básico é representado na próxima figura.
lsup
linf
lFigura 3.9 – Modelo simplificado para a consideração do efeito de pilar de extremidade
engsupinfvig
supinf0 M
rrr
rrM
++
+= (momento na viga, apoio de extremidade) (3.12)
12)qg(
M2
engl⋅+
= (momento de engastamento perfeito) (3.13)
lvig
vig
EI4r = (rigidez da viga) (3.14)
inf
infinf
EI4r
l= (rigidez do pilar inferior) (3.15)
sup
supsup
EI4r
l= (rigidez do pilar superior) (3.16)
Em certas situações, a articulação perfeita junto a pilares internos pode subestimar o
momento positivo em um vão pequeno ou pouco carregado face a vãos adjacentes mais
carregados. Costuma-se então comparar os valores dos momentos positivos em cada
tramo, obtidos engastando-se todos os apoios internos.
38
Todo este processo de modelagem de viga contínua pode ser substituída pela análise de
um pórtico plano que considere a solidariedade dos pilares com as vigas, o que conduz a
uma modelagem muito mais simples e eficaz da viga.
Figura 3.10 – Consideração da solidariedade dos pilares com as vigas.
Sobre os apoios, os momentos fletores poderão ser arredondados conforme o item
14.5.3 da NBR6118/2000. Pode também ser considerado no cálculo das vigas o
momento fletor de 2ª ordem dos pilares a que ela está rigidamente ligada [ABNT-1].
Na análise local de vigas que liguem pilares contraventados a pilares de
contraventamento, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar
contraventado [ABNT-2] (ver Figura 3.7).
3.10 Modelagem de Pilares Isolados
As funções dos pilares são as de conduzir as cargas verticais dos pavimentos para as
fundações, donde decorre seu comportamento primário de barra comprimida, e de
fornecer estabilidade ao edifício quanto aos esforços horizontais (vento e terremotos).
As simplificações possíveis (tanto do seu comportamento, como do método de
modelagem) de serem adotadas no projeto de pilares estão diretamente relacionadas
com o índice de esbeltez λ do pilar.
iel
=λ (3.17)
c
c
AI
i = (3.18)
39
onde
le = comprimento de flambagem
i = raio de giração da seção geométrica da peça (seção de concreto não se
considerando a presença da armadura)
Ic = momento de inércia da seção transversal do pilar em relação ao eixo
principal de inércia na direção considerada
Ac = área da seção transversal do pilar
Nas estruturas de edifícios consideradas indeslocáveis, o comprimento de flambagem le
dos pilares é determinado conforme a Figura 3.11 e a Equação (3.19). Nas estruturas de
nós móveis, rigorosamente o comprimento de flambagem é medido entre pontos de
inflexão da configuração deformada do pilar. Entretanto, uma boa aproximação é
considerar o mesmo critério adotado para os pilares de estruturas indeslocáveis.
h0
Figura 3.11 – Determinação do comprimento de flambagem nos casos usuais de estruturas de edifícios
O comprimento equivalente le do elemento comprimido suposto vinculado em ambas as
extremidades é o menor dos seguintes valores:
+
≤ll
lh0
e (3.19)
40
A próxima figura mostra os critérios para a modelagem dos pilares isolados em função
de seu índice de esbeltez.
Consideração dos efeitos de 2 ordema
Consideração da Fluência
Método Geral
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximadaΚ
Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r
λ1 90 140 2000
Figura 3.12 – Critérios para a modelagem dos pilares isolados conforme o índice de esbeltez
As duas primeiras barras indicam o intervalo onde há obrigatoriamente a necessidade da
consideração dos efeitos de 2ª ordem e de fluência e nas quatro barras seguintes o
intervalo de validade de cada método de solução recomendado pela NBR6118/2000.
Devemos ainda complementar que o valor λ1 é um valor que determina o início da
consideração dos efeitos de 2ª ordem e será discutido com mais detalhe no Tópico
3.10.1 e que não são permitidos pilares usuais com índice de esbeltez maior que 200.
3.10.1 Critério para a Dispensa dos Efeitos de 2ª Ordem
A NBR6118/2000 estabelece novos critérios para a dispensa dos efeitos de 2ª ordem.
Ela estabelece que os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser
desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1 (ao invés do
valor fixo de 40 utilizado anteriormente).
O valor de λ1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são:
§ a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h;
§ a vinculação dos extremos da coluna isolada;
§ a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem.
41
Desta forma, são estabelecidas expressões que visam levar em conta a influência de
cada um dos fatores citados acima. Assim sendo, o valor de λ1 é calculado pela
expressão:
α≥
≤
α+
=λ
bb
11 35
90 /h)e 12,5 (
25
(3.20)
O parâmetro αb é determinado em função da vinculação dos extremos da coluna e da
forma do diagrama de momentos de 1ª ordem:
a) Para pilares biapoiados
40,0M
M 40,060,0
A
Bb ≥+=α para pilares biapoiados sem cargas transversais (3.21)
αb = 1,0 para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo
da altura.
Sendo,
MA e MB os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, tomando-se para MA
o maior valor absoluto ao longo do pilar e adotando para MB o sinal
positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso
contrário.
b) Para em pilares em balanço
85,0M
M 20,080,0
A
Cb ≥+=α (3.22)
Sendo,
MA o momento de 1ª ordem no engaste, e
MC o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço.
c) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento
mínimo
Deve-se tomar αb = 1 se o maior momento ao longo da coluna for menor que o
momento mínimo definido em (3.26).
42
Nas figuras seguintes apresentamos curvas representativas do valor de λ1 para pilares
em balanço e biapoiados para diversos fatores e1/h (excentricidade relativa de 1ª ordem)
e para diversas formas do diagrama de momentos de primeira ordem (MA/MB ou
MC/MA).
λ 1 x Mc/Ma
20.0
25.0
30.0
35.0
40.0
45.0
50.0
55.0
60.0
65.0
-3 -2 -1 0 1 2 3
Mc /Ma
2.20
1.80
e1 /h
1.40
1.00
0.00 - 0.80
Figura 3.13 – Variação de λ1 para pilares em balanço
λ 1 x Mb/Ma
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
100.0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Mb /Ma
λ
2.20
1.80
1.401.000.00 - 0.80
e 1 /h
Figura 3.14 – Variação de λ1 para pilares biapoiados
43
3.10.2 Solicitações Iniciais
A solicitação inicial é composta pela força normal de cálculo (Nd) e pelos momentos
iniciais de cálculo (M1d,A e M1,B) aplicados às extremidades das barras.
O momento inicial é introduzido nos pilares em virtude da sua solidariedade com as
vigas. Para pilares de edifícios com cargas previstas na NBR6120, sem a consideração
de cargas transversais (vento), admite-se:
a) que para pilares intermediário, não há momento aplicado, desde que não haja grande
variação de rigidez ou carregamento nos tramos das vigas de uma direção, pois neste
caso pode haver um momento fletor expressivo aplicado ao pilar;
b) para pilares extremos, serão aplicados os momentos fletores provenientes da
solidariedade viga-pilar; os pilares de canto, com momentos fletores de duas vigas
ortogonais será solicitado à flexão oblíqua.
Msup
M inf
Mvig
12
Minf12
Msup
Figura 3.15 – Pilares de extremidade (Modelo simplificado)
engsupinfvig
infinf M
rrrr
M++
= (3.23)
engsupinfvig
supsup M
rrr
rM
++=
onde as definições de rinf, rsup, rvig podem ser vistas nas equações (3.14) a (3.16).
(3.24)
Deve-se ressaltar que os momentos iniciais nas extremidades podem ser oriundos de
uma análise de 1ª ordem ou de 2ª ordem (constituídos pelos esforços de extremidade da
análise não-linear de um pórtico).
44
O momento inicial deve ainda respeitar um momento mínimo inicial decorrente da
consideração de imperfeições construtivas conforme será visto no item 3.10.3.
3.10.3 Momento Decorrente de Imperfeições Construtivas
A NBR6118/2000 recomenda que sejam considerados os efeitos decorrentes da falta de
retilinidade e de desaprumo no pilar.
l2
θ1
Figura 3.16 – Falta de retilinidade no pilar [ABNT-2]
lθ1
Figura 3.17 – Desaprumo do pilar [ABNT-2]
A excentricidade acidental mínima deve respeitar a relação (3.25), admitindo-se para as
estruturas reticuladas que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for
respeitado este valor.
h03,05,1e mín,a += (dimensões em cm)
h = dimensão do pilar paralelo à excentricidade acidental considerada(3.25)
A consideração desta excentricidade gera M1d,mín, o momento de 1a ordem acrescido dos
efeitos das imperfeições locais que sempre deve respeitar o valor mínimo dado por
(3.26)
( )h03,05,1NeNM dmín,admín,d1 +⋅=⋅= (dimensões em cm) (3.26)
3.10.4 Métodos para o Dimensionamento dos Pilares Isolados
A NBR6118/2000 estabelece alguns métodos que podem ser utilizados para a obtenção
de esforços utilizados para o dimensionamento de pilares. A seguir apresentamos a
transcrição destes métodos.
45
3.10.4.1 Método Geral
Consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da
barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção e consideração da
não-linearidade geométrica de maneira não aproximada, sendo obrigatório para λ >140.
Na modelagem de um pilar utilizando o FTOOL discretizado em mais de três elementos
e selecionando a opção “análise não-linear física e geométrica”, estamos empregando o
método geral com a avaliação rigorosa do efeito de 2a ordem geométrico.
3.10.4.2 Métodos Aproximados
A determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos
aproximados como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado.
3.10.4.2.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada
É permitido para λ ≤ 90, em pilares de seção constante e de armadura simétrica e
constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de forma
aproximada, supondo que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é
levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica.
O momento total máximo na coluna é dado por:
A1d,
2e
dA 1d,btot ,d M r1
10 . N M M ≥+α=l (3.27)
sendo 1/r a curvatura, que na seção crítica pode ser avaliada pela expressão aproximada:
h0,005
0,5) ( h
0,005
r1
≤+ν
= (3.28)
onde,
h = altura da seção na direção considerada;
ν = força normal adimensional, dada pela expressão f A
N
cdc
Sd=ν
46
M1d,A deve respeitar o valor mínimo estabelecido em (3.26) (M1d,A ≥ M1d,min). O
momento M1d,A e o coeficiente αb têm as mesmas definições do item 3.10.1, sendo
M1d,A o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA.
3.10.4.2.2 Método do Pilar Padrão com rigidez Κ (kapa) aproximada
É permitido para λ ≤ 90 nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e
constante ao longo do eixo.
A não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo que a
deformada da barra seja senoidal. A não linearidade física é levada em conta através de
uma expressão aproximada da rigidez.
O momento total máximo na coluna é dado por:
M M
/ 1201
M M min1d,A1d,2
A1d,btot,d ≥≥
νκλ
−
α=
(3.29)
sendo o valor da rigidez adimensional Κ (kapa) dado aproximadamente por:
ν
+=Κ
h.N
M . 5 1 32
d
totd, (3.30)
As variáveis h, ν, M1d,A e αb são as mesmas definidas no item anterior e o processo é
iterativo, sendo usualmente 2 ou 3 iterações suficientes.
3.10.4.3 Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r
A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com λ ≤ 140 pode ser feita
pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando para a curvatura da
seção crítica valores obtidos de diagramas M – N – 1/r específicos para o caso.
47
4. Dimensionamento
4 DIMENSIONAMENTO
4.1 Introdução
Neste capítulo apresentaremos os métodos e as considerações utilizados pelo FTOOL
para dimensionar os elementos de concreto armado.
As prescrições para a quantidade mínima e máxima de armadura e o dimensionamento
quanto ao cisalhamento seguem [ABNT-2].
As rotinas para o dimensionamento das seções de concreto submetidas à flexão normal
composta do FTOOL foram confeccionadas de acordo com os procedimentos propostos
em [SANTOS-2] e respeitam as prescrições da NBR6118/2000 [ABNT-2].
Tais procedimentos foram adotados por considerarmos muito eficiente o método de
separar os casos de dimensionamento em “regiões” caracterizadas pelos pólos de ruína
48
(pontos A, B e C da Figura 4.1) e não com base nos domínios de deformação da
NBR6118. Os algoritmos são capazes de identificar a região em que se encontra a peça
e, através de procedimentos diretos ou iterativos, de dimensionar a peça para qualquer
combinação de força e momento para distribuições de armadura bastante variadas. Além
disso, as seções são dimensionadas pelo método mais exato possível, aproveitando a
facilidade do cálculo automático pelo computador.
Nos vários processos iterativos utilizados, as funções que relacionam as diversas
grandezas são bastante “caprichosas” e por isto o prof. Lauro Modesto evita o uso de
técnicas de cálculo numérico, como o procedimento de Newton-Raphson para acelerar a
convergência, trabalhando com intervalos encaixantes com o conhecimento prévio de
cada trecho por onde a iteração segue.
Pelo fato do concreto e dos pilares (principais peças submetidas à flexão composta)
trabalharem basicamente à compressão, o prof. Lauro Modesto inverte a convenção de
sinais para forças, tensões e deformações. Desta forma, neste capítulo seguimos a
mesma convenção:
forças e tensões de compressão
encurtamentos
sinal positivo (+)
forças e tensões de compressão
alongamentos
sinal negativo (-)
4.2 Hipóteses Básicas
A NBR6118 estabelece certas hipóteses básicas para o cálculo dos elementos lineares
sujeitos a solicitações normais nos Estados Limite Últimos. Para o dimensionamento
das armaduras passivas são consideradas as seguintes hipóteses:
a) as seções transversais se mantém planas após a deformação (Hipótese de Navier);
b) a deformação das barras aderentes, em tração ou compressão, é a mesma do
concreto em seu entorno;
49
c) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser
desprezadas;
d) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola
retângulo definido no item 2.2.6.1 com pico igual a 0,85 fcd. Permite-se, embora
utilizemos em nossas rotinas o diagrama parábola retângulo, a substituição desse
diagrama pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a profundidade da linha neutra)
com a seguinte tensão:
§ 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra,
aumentar a partir desta para a borda comprimida;
§ 0,80 fcd no caso contrário.
e) a tensão nas armaduras será obtida a partir dos diagramas tensão-deformação do
aço. Segundo [ABNT-2], os valores de cálculo utilizados são os definidos no item
2.3.4.1, tanto para aços com ou sem patamar de escoamento. Entretanto, [ABNT-1]
estabelece distinção entre os tipos de aço, devendo ser utilizados os valores
prescritos em 2.3.4.1 para os aços de classe A e os valores prescritos em 2.3.4.2 para
os aços de classe B. Foram implementadas rotinas para se obter as tensões nas
armaduras a partir os diagramas definidos em 2.3.4.1 e 2.3.4.2;
f) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na
seção transversal pertencer a um dos domínios de deformações caracterizados pelos
pólos de ruptura definidos na Figura 4.1.
4.3 Domínios de Deformações
Os domínios de deformação definidos pelas [ABNT-1] e [ABNT-2] podem ser vistos na
Figura 4.1.
50
1
2a
2b2 4
3
4a
5
h
C
B
A
3h7
-10ooo
alongamentos (-) encurtamentos (+)
reta
a
reta
b
Figura 4.1 – Domínios de Deformação
O domínio 1 representa a tração não uniforme (cujo caso particular é a tração uniforme
⇔ reta a). É caracterizado pelas retas representativas do estado de deformação da seção
transversal passarem necessariamente pelo pólo de ruína C que caracteriza o
alongamento máximo permitido para a armadura de tração e pelo fato de toda a seção de
concreto estar tracionada.
O domínio 2 representa a flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do
concreto. É caracterizado pelo pólo de ruptura C e pelo fato de existirem fibras de
concreto comprimidas. A deformação específica da fibra mais comprimida fica
compreendida entre 0 e o limite εcu.
O domínio 3 representa a flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à
compressão do concreto e com escoamento do aço (εs ≥ εyd). Desta forma, este domínio
é caracterizado pelo pólo de ruptura A, ou seja, o estado limite último é caracterizado
pelo esmagamento do concreto e pela deformação da armadura mais tracionada se
encontrar entre 10‰ e εyd.
51
O domínio 4 representa a flexão simples (peça superarmada) ou composta com ruptura
à compressão do concreto (caracterizada pelo pólo de ruptura A) e aço tracionado sem
escoamento (εs ≤ εyd).
O domínio 4a representa a flexão composta com armaduras comprimidas. Este domínio
é, pois, caracterizado pelo pólo de ruína A e por toda armadura estar comprimida.
O domínio 5, representa a compressão não uniforme (cujo caso particular é a
compressão uniforme ⇔ reta b). É caracterizado pelo pólo de ruptura C e pelo fato de
toda seção transversal e consequentemente todas as armaduras estarem comprimidas. O
encurtamento máximo do concreto varia de 2‰ na compressão centrada a 3,5‰,
mantendo-se sempre o encurtamento de 2‰ a uma distância de 3h / 7 da borda mais
comprimida.
Conforme [SANTOS-2], a divisão dos estados limite últimos em domínios de
deformação facilita o tratamento teórico, entretanto, do ponto de vista do
dimensionamento, dos domínios de deformação só nos interessam as regiões para as
quais são válidas cada pólo de ruptura, pois é a partir do estabelecimento destes pólos
que se estabelecem as equações de compatibilidade que caracterizam a deformação
específica ao longo da seção transversal. Desta forma serão estabelecidas três regiões
caracterizadas pelos três pólos de ruína.
52
alongamentos (-) encurtamentos (+)
Região II
Região II Região I
h
-10ooo
3h7
C
B
A
Região I
Região II
Região III
⇒ pólo de ruína B
⇒ pólo de ruína A
⇒ pólo de ruína C
Figura 4.2 – Regiões de deformação [SANTOS-2]
4.4 Parâmetros Adimensionais Utilizados
Apresentamos as variáveis adimensionais utilizadas para a dedução das expressões deste
capítulo. Para uma melhor compreensão ver a representação das variáveis envolvidas na
Figura 4.8.
hx
x =βcoeficiente adimensional que representa a distância da linha
neutra à borda superior da seção(4.1)
hd
=βcoeficiente adimensional que representa a distância de uma fibra
genérica à borda superior da seção
ccd
cc
AR
⋅σ=η força normal resistente do concreto reduzida adimensional (4.2)
ccd
cc
AaR
'⋅σ⋅
=ηmomento fletor resistente do concreto, em relação à borda mais
encurtada, reduzido adimensional
53
c
1s1 A
A=ρ
c
2s2 A
A=ρ (4.3)
h'd 1
1 =δh'd 2
2 =δ (4.4)
he1
1e =βhe2
2e =β (4.5)
hc1
1c =βhc2
2c =β (4.6)
cd
1sd1 σ
σ=α
cd
2sd2 σ
σ=α
cd
sdii σ
σ=α (4.7)
ccd
d
AN
⋅σ=ν
hAM
ccd
d
⋅⋅σ=µ
Esforços solicitantes adimensionais (4.8)
c
ckcdcd
f85,0f85,0
γ⋅=⋅=σ (4.9)
11e1c22e2c 11 δ−β−=β−=δ+β=β (4.10)
2c11e 1 β−δ−=β 22c2e δ−β=β (4.11)
4.5 Equações de Compatibilidade
O princípio básico para o estabelecimento das equações de compatibilidade é o de que a
Hipótese de Navier seja válida. Desta forma, as deformações ao longo da seção
transversal do elemento (supostas constantes para retas paralelas à linha neutra) podem
ser dadas por retas.
A equação de uma reta precisa que dois coeficientes sejam definidos. No nosso caso, o
primeiro é dado pela deformação no pólo de ruptura e o segundo pela posição da linha
neutra (x). Desta forma, precisaremos estabelecer três equações de compatibilidade,
uma para cada região de deformação ou pólo de ruína. Pela hipótese de que há perfeita
aderência entre concreto e armadura, as expressões aqui deduzidas servem para que se
obtenha tanto a deformação para o concreto como para o aço a uma dada altura
(posição).
54
Abaixo apresentamos as equações deduzidas em [SANTOS-2] para as equações de
compatibilidade:
a) Região I
O diagrama de deformações é do tipo apresentado na Figura 4.3, onde x é a
profundidade da linha neutra. O encurtamento na borda mais comprimida (ou superior
no caso padrão) é εc e na borda inferior εc1. Todas as deformações serão dadas em ‰.
εc
ε
εc1
x
h
L N
x - d i
d
3h72
Pólo B
Figura 4.3 – Deformações na Região I [SANTOS-2]
Por semelhança de triângulos (e utilizando parâmetros adimensionais vistos no item 4.4)
na Figura 4.3 obtém-se a expressão geral:
( )37
14
x
x
−ββ−β
=ε (4.12)
que permite que se calcule a deformação nas duas bordas da seção:
3714
x
xc −β
β=ε (4.13)
( )37114
x
x1c −β
−β=ε (4.14)
e reciprocamente, a partir de (4.13) e (4.14):
55
1473
c
cx −ε
ε=β (4.15)
147143
1c
1cx −ε
−ε=β (4.16)
A deformação ε pode ainda ser dada por:
xdxcε
=−ε
donde,x
xc β
β−βε=ε (4.17)
É necessário tomar cuidado, pois quando εc1 = 2‰, βx tende ao infinito como mostra
(4.15).
b) Região II
L Nh
Pólo A
d
εc = 3,5
εx
Figura 4.4 – Deformações na Região II [SANTOS-2]
x
x5,3x
dx5,3
ββ−β
=−
=ε (4.18)
Observe-se que (4.18) é a mesma (4.17) com εc = 3,5‰.
56
c) Região III
Pólo C
x
εc
d
d’
h-d’
|10|
Figura 4.5 – Deformações na Região III [SANTOS-2]
Da Figura 4.5:
( ) ( )x
x
110
x'dhdx10
β−δ−β−β
=−−
−=ε (4.19)
Donde as relações entre εc e βx:
x
xc 1
10β−δ−
β=ε (4.20)
( )10
1
c
cx +ε
δ−ε=β (4.21)
Levando (4.20) em (4.19) resulta (4.17). Desta forma, (4.17) é geral e vale em todas as
regiões. Em todas as fórmulas apresentadas, o sinal de ε resulta automaticamente.
Na região III também é preciso tomar cuidado. A equação (4.21) mostra que quando
εc = -10‰ (tração centrada), βx tende para o infinito.
4.6 Limites entre Domínios
Pode-se determinar βx correspondente a cada limite entre dois domínios. No
dimensionamento das vigas é particularmente necessário o conhecimento de βx
correspondente ao limite entre os domínios 3 e 4 (dimensionamento econômico).
57
De (4.18):
( )yd
43lim,x 5,315,3
ε+δ−⋅
=β − (4.22)
4.7 Resultante de Compressão do Concreto
A determinação dos esforços resistentes do concreto (força normal e momento fletor
resistidos pelo concreto) são fundamentais para a verificação e dimensionamento das
seções de concreto armado. Na flexão normal de seções transversais com um eixo de
simetria, os esforços resistentes ficam caracterizados quando se determina a resultante
Rcc de tensões de compressão no concreto e a sua posição a em relação à borda mais
comprimida.
x
Borda 2
Borda 1
As2
As1
c1e2
e1
d'1
d'2
c2
h
εc
εsd2
εc1
εsd1
aRs2
ccR
s1R
Figura 4.6 – Resultante de compressão do concreto
A resultante de compressão é obtida pela integração do diagrama tensão-deformação do
concreto (Figura 2.3) sobre a seção transversal para um determinado estado de
deformação da seção.
O primeiro passo é então transformarmos a seção transversal genérica numa poligonal
representativa do seu semi-contorno (Figura 4.7).
58
εc = 0
εc = 2
y
x
pi-1
pi
pi-1(x ,y )i-1 i-1
p(x,y)i i i
y
x
B(x)i
Segmento 1 B(x)1
Figura 4.7 – Transformação da seção transversal na poligonal de cálculo
−⋅−⋅
=
−−
=
+⋅=
−
−−
−
−
1ii
i1i1iii
1ii
1iii
iii
xxyxyx
b
xxyy
a
bxa)x(B
B(x)i é válida no intervalo [pi-1, pi] (4.23)
A seguir temos de caracterizar o estado de deformação. Utilizando a Hipótese de
Navier, a seção transversal deformada pode ser caracterizada por uma reta (Figura 4.6).
Esta reta pode ser caracterizada por βx (posição da linha neutra) e εc2 (deformação na
borda mais comprimida), pela deformação εc2 e pela curvatura 1/r ou algum outro par de
valores que consigam representar o estado de deformação. Estes valores devem ser
convertidos através das equações de compatibilidade para as deformações na borda 1
(εc1) e borda 2 (εc2). Em termos de εc1 e εc2 a equação da reta das deformações da seção
transversal assume a forma:
ε=
ε−ε=
+⋅=ε
2c
1c2c
dh
c
dxc)x(
(4.24)
Vemos nas equações (2.10) e (2.11) transcritas abaixo que o comportamento do
concreto é representado por três diferentes equações para o domínio de deformação.
59
Desta forma devemos inserir quando necessário dois pontos a mais na poligonal da
seção transversal referente às deformações 0 e 2 ‰ para procedermos à integração das
tensões, conforme pode ser visto na Figura 4.7.
para ε ≤ 0
para 0 < ε < 2‰( )
⋅α
ε+
ε⋅α=εσ
cd
2
cd
f
4f
0
)x(
para ε ≥ 2‰
(4.25)
onde α pode assumir os valores 0,85 e 1,10.
Assim sendo a resultante de compressão é dada por:
( )
⋅=⋅
=
∑
∑segmentosn
iccicc
segmentosn
iccicc
rxRa
rR(4.26)
onde rcci é a resultante de compressão do concreto para obtida para segmento
§ 1o caso: para ε ≤ 0 ⇒ 0rcci =
=
=
0rx
0r
ccii
cci (4.27)
60
§ 2o caso: para 0 < ε < 2‰
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
−+
+
+−++++
−++
+−
⋅α=
=⋅
ε+
ε⋅α⋅=⋅εσ⋅=
=
−+
+
+−++++
+−++
+−
⋅α=
=⋅
ε+
ε⋅α⋅=⋅εσ=
=
−
−
−−
−
−
−−
∫∫
∫∫
−−
−−
21i
2i
31i
3i
2
41i
4i
25
1i5i
2
cd
x
x
2
cdx
x ic
ccii
1ii
21i
2i
2
31i
3i
24
1i4
i
2
cd
x
x
2
cdx
x ic
cci
xx2
d4bd
xx6
ad2bcd2ad4bc4
xx8
acd2bcac4xx
10ac
f
dx)x(Bx4x
f2dx)x(Bxx2
rx
xx2
d4bd
xx4
adbcd2ad4bc4
xx6
acd2bcac4xx
8ac
f
dx)x(Bx4x
f2dx)x(Bx2
r
i
1i
i
1i
i
1i
i
1i
(4.28)
§ 3o caso: para ε ≥ 2‰
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
−+−⋅⋅⋅α=⋅⋅⋅α=
+−⋅⋅−⋅⋅α=⋅⋅α=
−−
−−
∫
∫
−
−
31i
3i
21i
2icd
x
x cdccii
1ii1iicdx
x cdcci
xx3a2xxbf2dx)x(Bxf2rx
b2xxaxxf2dx)x(Bf2r
i
1i
i
1i (4.29)
4.8 Flexão Normal Composta – Dimensionamento com Armadura emduas bordas – Proporção entre Armaduras Superior e InferiorVariáveis
É o caso usual do dimensionamento de vigas.
4.8.1 Hipóteses Básicas
A seção transversal é qualquer, mas com um eixo de simetria, que coincide com o traço
do plano do momento. Supõe-se que os esforços solicitantes de cálculo, Nd e Md,
61
estejam aplicados no ponto O, centro geométrico da seção de concreto. Md é suposto
sempre positivo, tracionando As1 e comprimindo As2.
x
Borda 2
Borda 1
As2
As1
c1e2
e1
d'1
d'2
c2
h
εc
εsd2
εc1
εsd1
aRs2
ccR
s1R
Md
Nd
O
Figura 4.8 – Hipóteses Básicas [SANTOS-2]
4.8.2 Equações de Equilíbrio
Equilíbrio das forças normais
dSd NN =
2s1sccd RRRN ++=
2sd2s1sd1sccdd AAAN σ+σ+ησ= (4.30)
Equilíbrio de momentos em relação à borda 2:
( ) 22sd2s11sd1sccd2d 'dA'dhAaRMcN σ+−σ+=− (4.31)
Dividindo ambos os membros de (4.30) e de (4.31) por ccdAσ e por hAccdσ , obtemos
respectivamente:
2211 αρ+αρ+η=ν (4.32)
( ) 2221112c 1' δαρ+δ−αρ+η=µ−νβ (4.33)
62
Considerando ρ1 e ρ2 como incógnitas, (4.32) e (4.33) formam um sistema de duas
equações que resolvido fornece:
( )211
22e1 1
'δ−δ−α
η−ηδ+µ−νβ=ρ (4.34)
( )( )211
11e2 1
'1δ−δ−α
η+ηδ−−µ+νβ=ρ (4.35)
e daí as respostas,
c11s AA ρ= c22s AA ρ= (4.36)
Examinando (4.34) e (4.35), vemos que ρ1 e ρ2 dependem de α1, α2, η e η' que por sua
vez são funções de βx, ou seja, as armaduras são determinadas quando se define a
posição da linha neutra.
4.8.3 Zonas de Solicitação
Quando se procuram as duas armaduras As1 e As2, ocorrem cinco situações principais. O
conjunto dos pares (ν, µ) para cada um destes casos formam conjuntos chamados zonas
de solicitação:
§ Zona A: as duas armaduras são comprimidas;
§ Zona B: só há uma armadura (As2) comprimida; o equilíbrio é conseguido sem a
armadura As1;
§ Zona C: As1 é tracionada, As2 é comprimida;
§ Zona D: só há uma armadura (As1) tracionada; o equilíbrio é conseguido sem a
armadura As2;
§ Zona E: as duas armaduras são tracionadas;
§ Zona 0: teoricamente não há necessidade de armadura.
4.8.4 Determinação de βx
Da consideração das zonas de solicitação, decorrem dois casos de dimensionamento.
63
No primeiro (zonas B e D), só há uma incógnita em relação à armadura. A segunda
incógnita, βx, tem valor único e determinável por equação de equilíbrio:
§ Na zona B, As1 = 0 e portanto ρ1 = 0. Pela (4.34):
0' 22e =ηδ+η−µ−νβ ou ηδ−η=µ−νβ 22e ' (4.37)
resulta βx calculado por tentativas.
§ Analogamente, na zona D, As2 = 0 e portanto ρ2 = 0. Pela (4.35):
( ) 0'1 11e =η+ηδ−−µ+νβ ou ( ) '1 11e η−ηδ−=µ+νβ (4.38)
que também resulta βx calculado por tentativas.
No segundo caso, (zonas A, C e D), há duas incógnitas (As1 e As2) e o sistema de
equações formado pelas equações de equilíbrio torna-se indeterminado e passa a ser
necessário escolher um valor para βx. Da infinidade de soluções possíveis, deve-se
escolher a mais econômica. Demonstra-se que βx econômico é dado por:
§ na zona A: βx → ∞ (compressão uniforme) (4.39)
§ na zona C: βx = βx,lim 3-4 (4.40)
§ na zona E: βx → -∞ (tração uniforme) (4.41)
na expressão (4.40), βx,lim 3-4 corresponde ao limite entre os domínios 3 e 4 e é dado por
(4.22).
Aqui vale a menção de que a NBR6118/2000 recomenda que em regiões de apoio das
vigas ou de ligações com outros elementos estruturas, quando não fizerem
redistribuições de esforços solicitantes, deve-se garantir para a posição da linha neutra
no estado limite último os valores:
50,0x ≤β para concretos com fck ≤ 35 Mpa
40,0x ≤β para concretos com fck > 35 Mpa (4.42)
64
Desta forma, foi implementada a opção de, na zona C, limitar a posição da linha neutra
aos valores indicados em (4.42) (em todo o elemento de viga), ocasionando um
consumo um pouco maior de armadura, porém, aumentando a capacidade de rotação das
seções da viga. Desta forma:
§ na zona C: βx = 0,5 ou 0,4 (4.43)
4.8.5 Limites entre as Zonas de Solicitação
Criando um gráfico ν-µ, podemos determinar os limites entre as zonas.
CC
D
O
B
AE
µ
νB
0
A
µνDE( )
µνCD( ) µ
νBC( )
µν
AB( )
βx,lim = βx,lim 3-4
βx,lim = 0,4 ou 0,5
Figura 4.9 – Zonas de Solicitação
§ Limite AB
No limite entre A e B, devemos ter ρ1 = 0, característica da zona B e ao mesmo
tempo βx → ∞, que corresponde à zona A. Temos, pois, que satisfazer (4.37), sendo
aqui ν = 1 e η' = βc2 (correspondente a βx → ∞ - compressão uniforme).
Chamando de µAB(ν) a equação da reta que determina o limite entre as zonas A e B,
(4.37) fornece:
'22e η−ηδ+νβ=µ ;
( ) 2c22eAB β−δ+νβ=νµ (4.44)
A abscissa νA do ponto A pode ser determinada a partir de (4.37):
65
2e
2e
2e
22cA22e 0'
ββ
=β
δ−β=ν∴=η−ηδ+νβ ou seja, 1A =ν (4.45)
§ Limite BC
No limite entre B e C, devemos ter ρ1 = 0, característica da zona B e ao mesmo tempo
βx = βx,lim que corresponde à zona C ( dado por (4.40) ou (4.43)). Chamando ηlim e η'lim
respectivamente os valores de η e η' para βx = βx,lim, de (4.37) resulta:
( ) limlim22eBC 'η−ηδ+νβ=νµ (4.46)
§ Limite CD
Combinando βx = βx,lim 3-4, característica da zona C, com ρ2 = 0, característica da zona D
(equação (4.38)) resulta:
( ) ( ) limlim11eCD '1 η−ηδ−+νβ−=νµ (4.47)
§ Limite DE
Corresponde a ρ2 = 0 combinado com βx → -∞. Neste caso η = 0 e η' = 0. De (4.38)
resulta:
( ) νβ−=νµ 1eDE (4.48)
§ Coordenadas do ponto B
O ponto B é definido pela interseção das retas BC e CD. Igualando as expressões das
duas retas (4.46) e (4.47) , resultam:
limB η=ν (4.49)
limlim2cB 'η−ηβ=µ (4.50)
§ Limite da zona O
Na zona O temos ρ1 = ρ2 = 0. Substituindo ρ1 = ρ2 = 0 em (4.32) e (4.33) resultam
respectivamente:
66
η=ν0 e
'2c0 η−ηβ=µ
(4.51)
(4.52)
Vemos que µ0 é função de βx, uma vez que η e η' o são. A curva limite da zona O é
dada pelas equações paramétricas (4.51) e (4.52) com pontos (ν0, µ0). Desde já podemos
observar que:
a) a curva passa pela origem 0: De fato, para βx → -∞, η = η' = 0, resultando ν0 = 0
e µ0 = 0;
b) a curva passa pelo ponto A: Para βx → +∞, η = 1, donde ν0 = 0 e
µ0 = βc2 - βc2 = 0;
c) a curva passa pelo ponto B: Basta observar que (4.49) e (4.50) são (4.51) e (4.52)
tomados para βx,lim.
4.8.6 Roteiro – Procedimento de Cálculo
Calcula-se previamente as características dos materiais e os adimensionais da seção. Em
seguida, para cada seção de cálculo em todo elemento (viga) da estrutura, adota-se o
procedimento:
a) dada a solicitação (Nd, Md), calculam-se ν e µ;
b) determinam-se os limites entre as zonas;
c) verifica-se a localização do ponto (ν, µ), isto é, em que zona se encontra a
solicitação dada;
d) fixa-se ou determina-se o valor de βx, conforme a zona;
e) tendo βx, têm-se η, η' e as deformações e consequentemente as tensões e daí α1 e
α2;
f) aplicam-se as fórmulas (4.34) a (4.36) para o cálculo das áreas de aço.
67
4.9 Flexão Normal Composta – Dimensionamento com a Proporçãoentre as Diversas Faces Pré-Estabelecida
É o caso usual do dimensionamento de pilares.
4.9.1 Hipóteses Básicas
A seção transversal é retangular e deve-se definir o arranjo da armadura. O eixo de
simetria coincide com o traço do plano do momento. Supõe-se que os esforços
solicitantes de cálculo, Nd e Md, estejam aplicados no ponto O, centro geométrico da
seção de concreto. Md é suposto sempre positivo, tracionando a borda 1 e comprimindo
a borda 2.
x
Borda 2
Borda 1 As1
c1e2
e1
d'
d'
c2
hO
Figura 4.10 – Disposição da armadura
68
4.9.2 Equações de Equilíbrio
d i
L
N
x
a Rcc
Asi σsdi
Md Nd
e2 e1
d' d'
c2 c1
h
Borda2
Borda1
Figura 4.11 – Forças atuantes na seção [SANTOS-2]
Equilíbrio das forças normais:
0NN Rdd =−
∑ σ+='n
1sdisiccd ARN
(4.53)
como as barras utilizadas são de mesma bitola, a área de uma só barra é:
tot
tot,sunit,s n
AA = (4.54)
a soma das áreas das barras da camada i, Asi, será:
69
tot
tot,siunit,sisi n
AnAnA == (4.55)
A equação de equilíbrio das forças normais fica:
∑ σ+='n
1sdii
tot
tot,sccd n
n
ARN (4.56)
n' = número de camadas
Equilíbrio de momentos em relação à borda mais encurtada (borda 2):
0dAaRMcN'n
1isdisiccd2d =σ−−− ∑
0dnn
AaRMcN
'n
1isdii
tot
tot,sccd2d =σ−−− ∑ (4.57)
Dividindo ambos os membros de (4.56) e de (4.57) por ccdAσ e por hAccdσ ,
respectivamente, vem:
sdi
'n
1i
cdtot
nn
σσρ
+η=ν ∑ (4.58)
isdi
'n
1i
cdtot2c n
n' βσ
σρ
+η=µ−νβ ∑ (4.59)
onde, c
tot,s
A
A=ρ (4.60)
e,hdi
i =β (4.61)
Introduzindo os coeficientes com dimensão:
70
tot
isdi
'n
1i
n
nA
βσ=
∑ (4.62)
tot
sdi
'n
1i
n
nB
σ=
∑ (4.63)
e o coeficiente adimensional:
BA
=κ (4.64)
as equações de equilíbrio (4.58) e (4.59) podem ser rescritas como:
Bcdσρ
+η=ν (4.65)
A'cd
2c σρ
+η=µ−νβ (4.66)
4.9.3 Cálculo da Taxa de Armadura
A taxa geométrica de armadura ρ pode ser determinada de duas maneiras. Na primeira,
a taxa geométrica de armadura resulta de (4.65):
( )cdB
ση−ν
=ρ (4.67)
Desta forma, ρ depende de η e B, que por sua vez dependem de βx, que expressa a
profundidade da linha neutra. Levando (4.67) em (4.66), obtemos:
( )η−νκ+η=µ−νβ '2c (4.68)
fazendo,
κη−η=Ω ' (4.69)
(4.68) pode ser escrita:
71
( ) 02c =Ω−µ−νκ−β (4.70)
Uma vez satisfeita a equação (4.70), tem-se o valor de βx, e daí η e B, podendo-se
calcular ρ pela equação (4.67). Conhecido ρ tem-se As,tot pela (4.60) e o problema fica
resolvido.
Utilizamos a segunda solução quando B = 0. Nela, todo o processo é análogo à primeira
solução, entretanto ρ é isolado de (4.66), donde:
( )A
' cd2c ση−µ−νβ=ρ (4.71)
fazendo:
'C 2c η−µ−νβ= (4.72)
resulta:
AC cdσ
=ρ (4.73)
que levada em (4.65) resulta:
κ+η=ν
Cou 0
C=
κ−η−ν (4.74)
4.9.4 Zonas de Solicitação
Pode ocorrer um dos seguintes casos:
§ Zona A: todas as barras de aço são comprimidas;
§ Zona C: parte da armadura é tracionada, parte é comprimida;
§ Zona E: todas as barras são tracionadas;
§ Zona 0: teoricamente, não há necessidade de armadura.
72
CC
0
AE
µ
ν0 ηEC ηAC
µ0
βδx =
β
δ
x = 1 -
1,0Figura 4.12 – Zonas de Solicitação
Em qualquer uma das zonas, βx é variável e constitui a segunda incógnita do problema
(a primeira é a taxa ρ).
4.9.5 Limites entre as Zonas
§ Limite AC
Na zona A, βx varia desde o infinito (compressão uniforme) até um valor limite com a
zona C, a partir do qual começa a existir tração. É fácil ver que tal limite corresponde a
βx,AC = 1 - δ. Dando a βx o valor (1 - δ), determina-se η, η' e κ, que serão chamados de
ηAC, η'AC e κAC, de maneira que a equação da reta que divide as zonas A e C é dada por:
( ) ( ) ACACACAC2cAC ' ηκ−η−νκ−β=νµ ou
( ) ( ) ACAC2cAC Ω−νκ−β=νµ (4.75)
§ Limite EC
Analogamente, na zona E, βx varia desde -∞ (tração uniforme) até um valor limite com
a zona C, a partir do qual todas as barras ficam tracionadas, o que corresponde a βx,EC =
δ. Dando a βx o valor δ, determina-se η, η' e κ, que serão chamados de ηEC, η'EC e κEC,
de maneira que a equação da reta que divide as zonas E e C é dada por:
( ) ( ) ECECECEC2cEC ' ηκ−η−νκ−β=νµ ou
( ) ( ) ECEC2cEC Ω−νκ−β=νµ (4.76)
73
§ Limite da zona O
O limite da zona O independe da disposição da armadura, tal que o processo é igual ao
descrito no dimensionamento de armadura disposta em duas bordas.
4.9.6 Roteiro
A seqüência de cálculo é análoga ao dimensionamento de armadura disposta em duas
bordas.
4.10 Limites para a taxa de armadura longitudinal
4.10.1 Vigas
4.10.1.1 Armadura Mínima
yd
cdcmínmín,s f
fAA
⋅⋅ω= (4.77)
onde Ac é a área total de concreto, considerando-se a mesa colaborante nas vigas T e fcd
e fyd respectivamente as resistências de cálculo do concreto e do aço.
Forma da Seção ωmín
Retangular 0,035T (mesa comprimida) 0,024T (mesa tracionada) 0,031
Tabela 4.1 – Valores para ωmín
4.10.1.2 Armadura Máxima
( ) ( ) c2s1s A%4AA ⋅≤+ (4.78)
considerando os trechos fora da região de emendas. As1 e As2 são as áreas de aço
situadas respectivamente nas seções inferior e superior da viga.
74
4.10.2 Pilares
4.10.2.1 Armadura Mínima
cyd
dmín,s A%40,0
fN
15,0A ⋅≥⋅= (4.79)
4.10.2.2 Armadura Máxima
cmáx,s A%)8(A ⋅≤ (4.80)
inclusive nas regiões de emenda.
4.11 Cisalhamento - Dimensionamento
O cálculo à força cortante segue a NBR6118/2000, considerando-se sempre os estribos
dispostos perpendicularmente ao eixo dos elementos [KAEFER-2].
4.11.1 Taxa Mínima de Armadura
Exige-se em todos os elementos a taxa mínima de armadura dada por:
ywk
ctm
w
swsw f
f2,0
sbA
≥⋅
=ρ ∴ywk
wctmsw
fbf
2,0s
A ⋅≥ (4.81)
onde,
32
ckctm f3,0f = , com fctm e fck em MPa (2.1) e
fywk ≤ 500 Mpa
Ressalta-se que para elementos de fundação e pilares estes valores mínimos podem ser
dispensados conforme o item 17.3.1.1.b da NBR6118/2000. Em nosso trabalho, não
contemplamos esta possibilidade.
4.11.2 Verificação no Estado Limite Último
Utilizamos o modelo de cálculo I conforme o item 17.3.2.1 [ABNT-2].
75
+=<<
swc3RdSd
2RdSd
VVVV
VV Verificação das diagonais comprimidas deconcreto
Verificação relativa à tração diagonal
(4.82)
em que:
Vsd = força cortante solicitante de cálculo na seção
Verificação da compressão diagonal do concreto:
dbf250f
127,0V wcdck
2Rd ⋅⋅
−= (4.83)
Cálculo da armadura transversal:
ywd
cSdsw
fd9,0VV
sA
⋅⋅−
=
(4.84)
nas peças tracionadas quando a linha neutra sesitua fora da seção
⋅⋅⋅==
dbf6,0V
0V
wctd0c
cnos demais casos
(4.85)
onde
c
ctm
c
inf,ctkctd
f7,0
ff
γ=
γ=
nas peças tracionadas quando a linha neutra se
situa fora da seção (4.86)
Há ainda a possibilidade de aumentar Vc na flexo-compressão aproveitando o efeito
favorável da força de compressão, principalmente nos casos de peças protendidas.
Todavia este efeito não é levado em conta em nossos algoritmos.
4.12 Implementação Computacional
Apesar da forte presença de processos iterativos, percebe-se que estes são extremamente
rápidos. Tendo testado exemplos de pequenas estruturas, com pelo menos 4 seções de
cálculo em cada elemento, com a plataforma utilizada para desenvolvimento (Pentium II
e III) nem se percebe o tempo de cálculo.
No FTOOL, deve-se caracterizar cada elemento como viga ou pilar, o que condicionará
o dimensionamento, respectivamente, ao disposto em 4.8 e 4.9. Para o dimensionamento
como viga foram implementadas as opções de seção retangular e T, para pilar, foram
76
implementadas as opções de armadura uniformemente distribuída nas quatro faces,
armadura distribuída nas faces laterais e armadura distribuída nas faces superior e
inferior para seções retangulares.
No que se refere ao dimensionamento de vigas, a opção de termos outras seções com
um eixo de simetria podem ser facilmente implementadas, bastando alterar a interface
gráfica e criar novas rotinas para transformar estas seções em poligonais.
No caso dos pilares, o procedimento proposto em [SANTOS-2] foi simplificado para
seções transversais com duplo eixo de simetria. Desta forma, novos arranjos de
armadura para o pilar retangular seriam facilmente implementadas, através da alteração
da interface gráfica e da função responsável por alojar a armadura na seção transversal.
A opção de seções diferentes, mas com duplo eixo de simetria seriam implementadas
analogamente ao procedimento adotado para novas seções de vigas. Para
disponibilizarmos a opção de seções com apenas um eixo para pilares, além das
modificações citadas anteriormente para criação de novas seções transversais de pilares,
teríamos de modificar o algoritmo de cálculo segundo [SANTOS-2].
4.13 Exemplos de Aplicação
Apresentamos nas próximas tabelas, exemplos de dimensionamento de seções de
concreto submetidas à flexão normal composta de diversos autores acompanhadas dos
valores obtidos pelo FTOOL.
N
M +
As2
As1
bf
hf
bw
h
d’
d’
As2
As1
77
Unidades dos Exemplos
Momento fletor – kN.m
Esforço Normal – kN
Resistência do Concreto – MPa
Dimensões – cm
Área de aço – cm2 ou cm2/m
Figura 4.13 – Notação Utilizada
4.13.1 Exemplos de [SANTOS-2]
a) Armadura sem disposição fixa (vigas)
[Santos-1] FTOOL
fck Aço bw h bf hf d’ Nd Md As1 As2 As1 As2
6.1 20 50A 20 50 3 -400 300 22,80 1,37 22,80 1,37
6.2 20 50A 20 50 3 -400 100 9,80 0,00 9,80 0,00
6.3 20 50A 20 50 3 -800 100 14,43 3,97 14,43 3,97
6.4 20 50A 20 30 4 0 100 11,28 4,51 11,28 4,51
6.5 20 50A 20 50 3 500 10 0,00 0,00 0,00 0,00
6.6 20 50A 20 50 3 1000 500 17,16 27,92 17,16 27,92
6.7 20 50A 20 40 40 10 4 1100 2 0,00 0,00 0,00 0,00
6.8 20 50A 20 40 40 10 4 1500 2 3,57 5,60 3,57 5,60
6.9 20 50A 20 40 40 10 4 -500 200 18,98 0,00 18,98 0,00
6.10 20 50A 20 40 40 10 4 0 200 16,07 1,49 16,07 1,49
γs=1,15 γc=1,5 Es=200GPa
b) Armadura com disposição fixa (pilares)
[Santos-1] FTOOL
fck Aço bw h n’ n1 d’ Nd Md As As
7.1 20 50A 20 50 2 2 3 400 100 3,79 3,79
7.2 20 50A 20 50 4 2 3 400 100 6,24 6,24
7.3 20 50A 20 50 2 2 3 -400 100 19,61 19,61
7.4 20 50A 20 30 2 2 3 3000 30 47,26 47,26
7.5 20 50A 20 50 2 2 3 1000 5 0,00 0,00
γs=1,15 γc=1,5 Es=200GPa (As = As1 + As2)
78
c) Discussão dos resultados
Como esperado, os valores dos exemplos e os calculados pelo FTOOL foram
exatamente iguais, pois no FTOOL utilizamos o procedimento de dimensionamento
proposto em [SANTOS-2].
4.13.2 Exemplos de [FUSCO-1]
a) Seções sem disposição fixa para as armaduras (vigas)
[FUSCO-1] FTOOL
fck Aço bw h bf hf d’ Nd Md As1 As2 As1 As2
1(1) 50A - 50 4 -1175 117,520
(19,94)
10
(7,07)19,95 7,08
2 - 50A - 60 4 -700 140 14,3 1,86 14,24 1,86
3(2) 18 50A 25 50 4 0 126 7,26 7,23
4(3) 18 50A 12 50 4 0 126 8,19 1,22 8,25 1,19
5(2) 18 50A 25 50 4 0 126 7,12 7,23
6(3) 18 50A 12 50 4 0 126 8,24 1,11 8,25 1,19
7(4) 18 50B 12 50 4 0 126 7,60 2,56 7,50 2,54
8(5) 13,5 50A 30 50 4,5 0 318,3 18,9 9,45 20,22 7,13
9(6) 25 50A 25 70 5 700 560 18,9 6,82 19,18 6,43
10(7) 25 50B 25 70 5 700 560 15,99 12,18 16,07 11,96
11(6) 25 50A 25 70 5 700 560 18,9 7,02 19,18 6,43
12(7) 25 50B 25 70 5 700 560 16,4 12,6 16,07 11,96
13(8) 25 50A 25 70 5 2800 28011,46
(12,42)13,21
14(8) 25 50B 25 70 5 2800 280 12,17 14,14
15(9) 25 50A 25 70 5 4200 420 34,22 1,71 35,04 1,71
16(9) 25 50B 25 70 5 4200 420 41,50 2,07 41,41 2,02
17(9) 15 50B 12 45 112 7 5 0 84 5,03 5,03
γs=1,15 γc=1,4 Es=210GPa
79
b) Discussão dos resultados
Pelo fato dos resultados serem calculados manualmente e com a utilização de tabelas,
ocorreram inevitavelmente diferenças nas áreas de aço calculadas. Além disso, podemos
fazer as seguintes observações:
(1) Flexo-tração. Neste problema de verificação pede-se a máxima força de tração com
excentricidade de 10cm que pode ser aplicada dadas As1 = 10cm2 e As2 = 20cm2.
Verifica-se que As1 não alcançou o limite de escoamento, pois ao dimensionarmos
para o par Nd = 1175kN e Md = 117,5 kN.m obtemos os valores entre parênteses
(cálculo manual – equação de equilíbrio) que coincidem com os calculados pelo
FTOOL.
(2) Observa-se que o par de esforços é o mesmo para os dois problemas, mas que os
valor de referência do primeiro exemplo aproxima-se mais da solução do FTOOL.
Isto se deve ao fato de no primeiro exemplo o prof. Fusco utilizar tabelas de
dimensionamento que utilizam o diagrama tensão-deformação parábola-retângulo
para o concreto e no segundo tabelas que utilizam o diagrama retangular
simplificado.
(3) Vide observações em (2). Observa-se que, novamente, comparando a soma das
áreas de aço, os valores do exemplo 4 aproximam-se mais dos valores calculados
pelo FTOOL.
(4) Diferenças provenientes do fato do exemplo ter sido resolvido com tabelas de
dimensionamento que utilizam o diagrama tensão-deformação simplificado
retangular para o concreto.
(5) A diferença entre as áreas de aço calculadas pelo Prof. Fusco e as calculadas pelo
FTOOL advém deste ser um problema de verificação, além de ter sido adotado para
a solução de referência o diagrama retangular simplificado.
80
(6) Vide observações em (2). Observa-se, que novamente, comparando-se a soma das
áreas de aço, os valores do exemplo 9 aproximam-se mais dos valores calculados
pelo FTOOL.
(7) Vide observações em (2). Observa-se, que novamente, comparando-se a soma das
áreas de aço, os valores do exemplo 10 aproximam-se mais dos valores calculados
pelo FTOOL.
(8) O valor entre parênteses do exemplo 13 foi obtido utilizando-se o diagrama
retangular (ver exemplo 5 – [ISHITANI-2]). Considerando o fato das áreas de aço
obtidas com a utilização do diagrama retangular nos cálculos sempre ficarem mais
distantes dos obtidos pelo FTOOL, acredita-se que o processo adotado pelo prof.
Fusco, utilizando vários valores interpolados de valores tabelados introduziu algum
desvio no resultado final.
(9) Nestes exemplos, de flexo-compressão com pequena excentricidade, foi utilizado o
diagrama parábola-retângulo. Dada a utilização da mesma formulação na referência
e no FTOOL são obtidos valores idênticos.
4.13.3 Exemplos de [SÜSSEKIND-1]
Os exemplos apresentados em [SÜSSEKIND-1] utilizam o diagrama tensão-deformação
retangular simplificado.
a) Seções sem disposição fixa para as armaduras (vigas)
[Süssekind-1] FTOOL
fck Aço bw h bf hf d’ Nd Md As1 As2 As1 As2
1 18 50B 25 60 3 250 175 6,00 6,02
2 18 50B 25 60 500 200 4,50 3,10 4,75 3,05
3(1) 20 50B 20 60 100 10 3 -150 37518,3
(17,6)17,72
4 18 50B 30 50 170 9 3 420 450,5 21,80 21,35
81
5 18 50B 40 80 4 4000 600 28,00 27,99
6 18 50B 40 80 4 5500 600 4,60 50,40 4,73 51,61
7 18 50B 40 80 4 5500 0 27,50 27,50 28,17 28,17
γs=1,15 γc=1,4 Es=210GPa
b) Discussão dos resultados
(1) O resultado em parênteses foi calculado segundo o procedimento descrito em
[ISHITANI-2].
4.13.4 Exemplos de [ISHITANI-1]
Nesta referência encontramos exemplos de seções de vigas submetidas à flexão normal
simples. O modelo para o diagrama tensão-deformação do concreto utilizado é o
retangular simplificado, que conduz sempre a áreas de aço um pouco menores, como
pode ser visto no quadro comparativo.
a) Seções sem disposição fixa para as armaduras (vigas)
[ISHITANI-1] FTOOL
fck Aço bw h bf hf d’ Nd Md As1 As2 As1 As2
1 18 50A 12 40 4 0 55,6 4,47 4,52
2 15 50A 12 40 4 0 18,2 1,18 1,19
3 15 50A 20 100 100 7 10 0 602 16,10 16,15
4 15 50A 12 50 87 7 5 0 54,18 2,82 2,86
5 15 50A 12 50 5 0 96,32 5,99 1,47 6,04 1,46
γs=1,15 γc=1,4 Es=210GPa
82
b) Discussão dos resultados
Percebe-se que a diferença entre os valores para uma mesma seção é muito pequena, da
ordem de 1%, o que nos faz concluir que a substituição do diagrama parábola-retângulo
pelo diagrama retangular é perfeitamente aceitável na flexão simples.
4.13.5 Exemplos de [ISHITANI-2]
Nesta referência temos seções submetidas à flexão normal composta. As seções são
resolvidas para distribuição fixa de armadura ou não.
a) Seções sem proporção pré-definida entre As1 e As2 (vigas)
[ISHITANI-2] FTOOL
fck Aço bw h bf hf d’ Nd Md As1 As2 As1 As2
1 15 50A 20 40 4 100 50 2,77 2,80
2 15 50A 20 40 4 100 100 7,23 1,95 7,33 1,96
3 15 50A 20 40 4 -100 82 7,37 7,40
4(1) 25 50A 25 70 5 4200 280 7,27 29,49 7,27 29,49
5 25 50A 25 70 5 2800 280 12,42 13,21
6 25 50A 25 70 5 2600 280 10,42 11,16
7(2) 25 50A 25 70 5 1000 2803,90
-
-
8,674,25
8(3) 25 50A 25 70 5 -1000 100 15,33 7,67 15,33 7,67
γs=1,15 γc=1,4 Es=210GPa
b) Discussão dos resultados
(1) A seção está muito próxima da compressão centrada, com todas as fibras da seção
submetidas à uma deformação muito próxima de εc = 2,0‰, aonde não há
influência dos diferentes diagramas adotados.
83
(2) Dois arranjos de armadura são possíveis para equilibrar o sistema. No primeiro, a
armadura é posicionada na borda tracionada e no segundo a armadura está
comprimida. Observa-se que entre as duas opções, o FTOOL escolhe o
dimensionamento mais econômico.
(3) Com a seção totalmente tracionada, sem a participação do concreto, não há
influência dos diferentes diagramas tensão-deformação do concreto e
consequentemente os valores calculados são exatamente iguais.
4.13.6 Cisalhamento – Exemplos de [ISHITANI-2]
Verifica-se que as diretrizes apontadas por [ABNT-2] para a verificação e
dimensionamento das seções de concreto ao cisalhamento resultam em valores menores
para as armaduras que as obtidas em [ISHITANI-2] que utiliza [ABNT-1].
[ISHITANI-2] FTOOL
fck Aço bw h d’ Q Asw/s Asw,mín/s Asw/s Asw,mín/s
15 50A 12 50 4 85,5 3,32 1,68 3,07 0,88
15 50A 12 50 4 64,1 2,08 1,68 1,88 0,88
4.14 Conclusões
Concluímos que o procedimento indicado em [SANTOS-2], apresentado neste capítulo,
para o dimensionamento das peças submetidas à flexão normal composta é bastante
eficiente, pois estabelece um método que permite tratar todos os casos de solicitação
normal de uma maneira consistente para as seções transversais e arranjos de armadura
testados.
A utilização do diagrama parábola-retângulo para o concreto comparado ao diagrama
retangular simplificado conduz a um maior consumo de armadura. Esta diferença é da
ordem de no máximo 5%, o que não acarreta mudança significativa no detalhamento das
armaduras.
84
5. Análise
5 ANÁLISE
5.1 Introdução
Neste capítulo abordaremos os diversos tipos de análise que podem ser disparados a
partir do sistema computacional desenvolvido. O enfoque será bem simples, pois nosso
objetivo é fornecer o subsídio mínimo para a compreensão das análises efetuadas pelo
FRAMOOP e pelo ADINA, já que não foi objetivo principal deste trabalho
confeccionar solvers lineares e não-lineares. O leitor que necessitar de maiores
esclarecimentos deverá consultar as referências [ADINA-3], [BATHE-1], [BATHE-2],
[CRISFIELD-1] e [MCGUIRE-1].
Os elementos de viga utilizados são sempre retos, com seção transversal constante e que
suas seções transversais permanecem planas durante a deformação e perpendiculares ao
eixo neutro.
85
O elemento pode sofrer grandes deslocamentos e rotações (na análise não-linear) mas
sempre apenas pequenas deformações são consideradas. Assim sendo, a área da seção
transversal e o comprimento do elemento de viga não mudam durante a deformação.
5.2 Análise Interna
O solver interno disponível é capaz de realizar análises lineares empregando o método
da rigidez direta. Este solver é um módulo independente (FRAMOOP) que é compilado
junto com o FTOOL.
5.2.1 Análise Linear
O elemento bidimensional utilizado é derivado do elemento de viga tridimensional,
utilizando apenas as linhas e colunas correspondentes aos graus de liberdade x, y e θz.
Assume-se que os deslocamentos, rotações e deformações são infinitesimalmente
pequenos, e é utilizado o material elástico isotrópico, sendo a matriz de rigidez
calculada em forma fechada.
As matrizes de rigidez de cada elemento são determinadas primeiramente no sistema de
coordenadas local do elemento e em seguida, estas matrizes são transformadas do
sistema de coordenadas local para o sistema de coordenadas global e então somada à
matriz de rigidez global da estrutura.
Matriz de rigidez do elemento bidimensional:
−
−−−
−
−
−
−
=
llll
llll
ll
llll
llll
ll
z2zz
2z
2z
3z
2z
3z
z2zz
2z
2z
3z
2z
3z
EI4
EI60
EI2
EI60
EI6
EI120
EI6
EI120
00EA
00EA
EI2
EI60
EI4
EI60
EI6
EI120
EI6
EI120
00EA
00EA
K (5.1)
86
A matriz de rigidez e o vetor de esforços final do elemento são obtidos a partir da
condensação estática das matrizes e vetores básicos, de maneira a considerar as
liberações de extremidade.
5.3 Análise Externa (ADINA)
O ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis) é um programa
comercializado pela empresa ADINA R & D, Inc. (http://www.adina.com), fundada em
1986 pelo Prof. Dr. K.J. Bathe e outros associados.
O ADINA é um sistema integrado utilizado para a análise de estruturas e escoamento de
fluidos. Cada um dos módulos de solução (ADINA, ADINA-F (fluid) e ADINA-T
(thermal) ) utiliza o mesmo pré e pós-processador (ADINA-IN e ADINA-PLOT)
acoplados ao ADINA-AUI (Adina User Interface).
Em nosso trabalho utilizamos diretamente o módulo de solução ADINA. A
comunicação entre o FTOOL e o ADINA é feita através de arquivos neutros (arquivos
texto). Inicialmente alimentamos o ADINA com a geometria e carregamento do pórtico
e após o processamento lemos o arquivo de resultados (o processo de comunicação
entre o FTOOL e o ADINA é explicado em detalhe no Anexo II).
5.3.1 Consideração sobre Cargas Distribuídas e de Temperatura
O ADINA não lida bem com cargas distribuídas, pois ele faz a redução das cargas
distribuídas em forças nodais equivalentes considerando sempre o elemento
biengastado, que desconsidera liberações de extremidade. Ele também não possui a
opção de aplicar gradientes térmicos aos elementos. Por isto, todas as cargas
distribuídas são transformadas em esforços nodais equivalentes que então serão
enviados para o ADINA. Os algoritmos utilizados para esta transformação são os
mesmos utilizados pelo FRAMOOP.
87
5.3.2 Análise Linear
Os elementos finitos de viga assumem a mesma forma daqueles obtidos pela teoria das
estruturas (item 5.2.1).
5.3.3 Análise Não Linear
O comportamento real dos pórticos de concreto armado é não-linear. Este efeito advém
da combinação do efeito P-∆ da estrutura com o comportamento não-linear do concreto.
Desta forma a solução para um pórtico de concreto armado é obtida da resolução de um
sistema de equações não-lineares.
F
a
Ponto de Instabilidade do Equilíbrio
ELU
F
N
l
a
y
Figura 5.1 – Comportamento de um pilar submetido a uma carga vertical constante e a uma carga
horizontal variável
A Figura 5.1 ilustra o comportamento típico das estruturas civis. Com o incremento da
força horizontal a estrutura vai perdendo rigidez até atingir um ponto de instabilidade do
equilíbrio. Como a capacidade de carga diminui a partir deste ponto, considera-se este
ponto como um ponto limite último. Em estruturas pouco esbeltas, este ponto pode não
ser atingido, alcançando-se antes o limite de ruptura para a seção de concreto mais
solicitada.
Nas análises não-lineares, assumimos que as equações não-lineares de equilíbrio podem
ser reduzidas a um conjunto para o qual podemos adaptar técnicas utilizadas para a
88
resolução de sistemas de equações lineares, onde o comportamento pode ser traçado
incrementalmente [MCGUIRE-1]:
RUK ∆=∆ (5.2)
onde
K é a matriz de rigidez tangente,
∆U é o vetor dos deslocamentos incrementais e
∆R é o vetor dos incrementos de carga
O problema essencial nas análises não lineares é então garantir o equilíbrio das forças
internas e externas para um determinado incremento de carga [ADINA-3]:
0FR ii =− (5.3)
onde,iR é o vetor das forças externas aplicadas no final do passo (incremento de
carga) i, eiF é o vetor das forças resistentes internas no final do passo (incremento de
carga) i.
Existem diversas estratégias para a obtenção da resposta não-linear. Podemos dividi-las
em dois grupos principais, o primeiro controlando a carga aplicada e o segundo os
deslocamentos impostos. O ADINA fornece diversas opções de processo de solução
para as duas estratégias. O método de controle de deslocamentos é mais vantajoso pois
conseguimos captar o comportamento das estruturas após pontos de instabilidade do
equilíbrio. Entretanto, optamos por utilizar controle de carga, que se adapta melhor com
a estrutura de dados implementada no FTOOL, no qual aplicamos a carga final da
estrutura em vários incrementos de carga configuráveis. Além disso nas análises mais
usuais, nosso principal interesse é na carga máxima da estrutura, não nos importando o
comportamento pós-pico. Ressaltamos, entretanto, que com algumas modificações na
estrutura de dados do FTOOL, seriamos capazes de lidar com o controle de
deslocamentos.
89
Dos métodos baseados no controle de carga, optamos por utilizar um método iterativo, o
método de Newton-Raphson Completo. A vantagem dos métodos iterativos em relação
ao método do incremento de carga sem iteração é que estes garantem o equilíbrio a cada
incremento de carga, evitando que a solução calculada desvie da solução real.
Dentre os métodos iterativos disponíveis no ADINA (Newton-Raphson Completo e
Modificado e BFGS), o método de Newton-Raphson Completo é o mais custoso
computacionalmente por incremento de carga, pois atualiza a matriz de rigidez tangente
a cada incremento de carga e a cada iteração. No entanto, é também o mais exato (sendo
inclusive o mais indicado quando as não-linearidades forem muito fortes), fazendo com
que seja necessário utilizar menos incrementos de carga. Desta forma, como foi
detectado um custo computacional para a solução do problema insignificante quando
comparado com as operações de I/O entre ADINA-FTOOL optamos por este método:
Método de Newton-Raphson Completo)1j(ii)j()1j(i FRUK −− −=∆ (5.4)
)j()1j(i)j(i UUU ∆+= − (5.5)
onde,iK(j-1) é a matriz de rigidez tangente baseada na solução calculada para a
iteração (j-1) do incremento de carga i,
∆U(j) é o incremento do vetor dos deslocamentos na iteração j,iR é o vetor das forças externas aplicadas no final do passo (incremento de
carga) i,iF(j-1) é o vetor das forças resistentes internas para a iteração (j-1) do passo
(incremento de carga) i,iU(j) é o vetor dos deslocamentos para a iteração (j) do passo i, e,iU(j-1) é o vetor dos deslocamentos para a iteração (j-1) do passo i.
90
Carga
iR
i-1R
Deslocamento
iR - i (0)F iR - i (1)F
iK(0)
iK(1)
i-1U iU
∆U(1) ∆U(2)
Figura 5.2 – Método de Newton-Raphson Completo
(representação para um modelo com um grau de liberdade)
Todo processo iterativo necessita de um mecanismo que o interrompa quando o nível de
acerto exigido for atingido. O ADINA possui diversas opções, critérios de convergência
baseados na avaliação das forças, deslocamentos ou energia a cada incremento de carga.
Em testes não foi verificada menor ou maior vantagem na adoção de um método em
particular. Como em [ADINA-3] indica como mais efetivo o critério baseado na
energia, que leva em conta deslocamentos e forças, optamos por utilizar este método:
[ ][ ] ETOL
FRU
FRUii)1(
)1j(ii)j(
T
T
≤−∆
−∆ −
(5.6)
onde,
ETOL é a tolerância na norma de energia.
5.3.3.1 Análise Não Linear Geométrica
Utilizamos o elemento de viga hermitiano de dois nós, que utiliza funções cúbicas para
interpolar os deslocamentos transversais e interpolação linear dos deslocamentos
longitudinais. O material é considerado elástico isotrópico e a formulação utilizada é a
lagrangeana incremental, sendo que este tipo de elemento é recomendado para análise
de estabilidade elástica.
91
O elemento admite grandes deslocamentos e rotações, mas apenas pequenas
deformações. Observamos que apesar do fato de que apenas pequenas deformações
serem permitidas, não há problema para as análises de estruturas de concreto, pois o
concreto é um material frágil, com deformação de ruptura baixa, atingindo então sua
carga de ruptura com a aplicação de deformações muito pequenas.
Maiores detalhes sobre a formulação dos elementos pode ser vista em [BATHE-2].
5.3.3.2 Análise Não-Linear Física e Geométrica
Na prática da engenharia, os dados disponíveis para descrever o comportamento dos
elementos de viga (planos) podem ser dados somente na forma de relações entre o
momento fletor e a curvatura. O ADINA oferece a capacidade de usarmos diretamente
estes dados sem ter que se definir uma relação tensão-deformação equivalente e a forma
exata da seção transversal da viga como dados de entrada. Desta forma, empregamos o
mesmo elemento descrito em 5.3.3 com a diferença de fornecermos a rigidez de cada
elemento através de relações força normal – momento – curvatura.
Na figura abaixo vemos a forma típica destas relações e como elas são fornecidas para o
ADINA.
Conjunto típico de relaçõesMomento-Curvatura para uma viga
MomentoNi+1
Ni
Ni-1
Força Axial - N(pode ser positivaou negativa)
i
Curvatura
Entrada para o ADINA
Momento
Curvatura
F5
F4
F3
Força axial
Figura 5.3 – Conjunto de curvas momento-curvatura [ADINA-3]
92
Último pontofornecido
Extrapolação feita pelo Adina
Curvatura
Momento
Primeiro pontofornecido
Primeiro e último pontosnão são consideradoscomo pontos de ruptura
Conjunto de dados para uma determinada força axial
Figura 5.4 – Modelo para a entrada de uma curva momento-curvatura
para uma determinada força normal [ADINA-3]
O comportamento descrito pelas curvas momento-curvatura para rotações negativas
pode ser diferente do que para rotações positivas. Deve-se notar que os últimos
segmentos de uma curva momento-curvatura são extrapolados se necessário, de maneira
a calcular o momento quando a curvatura encontra-se fora da abrangência da curva
fornecida, sendo que desta forma os pontos finais das curvas não representam pontos de
ruptura. Por causa disto, na geração dos diagramas pelo FTOOL, utilizamos o
procedimento de traçar uma reta horizontal com a abscissa do último (momento fletor)
do último ponto fornecido, garantindo que não haja aumento da capacidade de carga
com a extrapolação.
Para o cálculo da matriz de rigidez tangente do elemento de viga e do vetor de forças
internas, é utilizada integração numérica (Newton-Cotes) para integrar ao longo do
comprimento do elemento e uma solução fechada é usada ao longo da seção transversal.
A rigidez axial do elemento é suposta constante e é calculada por:
( ) sscsc EAEAAAxialRigidez ⋅+⋅−= (5.7)
93
5.3.3.3 Geração dos Diagramas N-M-1/r
Utilizamos para a confecção dos diagramas momento-curvatura o procedimento semi-
analítico apresentado em [SANTOS-1], utilizando para descrever o concreto o diagrama
parábola-retângulo com tensão máxima 0,85 fcd ou 1,10 fcd (item 2.2.6) e as leis tensão-
deformação para os aços de classes A e B (item 2.3.4).
Simplificadamente, o procedimento adotado é:
1) variam-se os valores para a força normal (ν) da força normal resistente à tração
uniforme até o valor limite para a compressão uniforme;
§ para um determinado valor para a força normal (ν);
2) variam-se os valores para a curvatura (θ) de zero até a curvatura máxima
positiva (θmáx) e negativa (θmín);
§ para uma determinada curvatura (θ);
3) escolhe-se um valor inicial para a deformação na borda mais comprimida
(εc);
4) calcula-se a posição da linha neutra (determinada pela curvatura e pela
deformação na borda mais comprimida);
5) fixados εc e θ, determinam-se a força e momento resistente pelo concreto;
6) calculam-se as deformações (εsi) para cada posição da armadura;
7) com os valores de εsi obtemos as tensões (σsi) nas armaduras;
8) determinadas as forças resistentes pelo concreto e pelas armaduras,
calcula-se a força normal resistida pela seção (νi);
9) se (νi ≠ ν fixado), repete-se o ciclo de cálculos a partir de 3), alterando-
se εc;
10) quando (νi = ν fixado) a menos de uma tolerância, calcula-se µi, que é
momento fletor associado à curvatura e força normal atuais.
Ao final de cada iteração, antes de se definir um ponto para a curva M-1/r, verifica-se se
o estado limite último não foi alcançado. Neste caso calcula-se o ponto final da curva
M-1/r a partir do ELU.
Tem-se então um conjunto de curvas com a aparência da representada na Figura 5.4.
94
Observamos que a NBR6118/2000 no item 15.2.1 recomenda que as relações momento-
curvatura sejam obtidas a partir do diagrama tensão-deformação do concreto com tensão
máxima de 1,10 fcd. A curva obtida utilizando os diagramas de cálculo do concreto e do
aço (curva tracejada da figura 8) será utilizada somente para definir os esforços
resistentes Nrd e Mrd (ponto B) últimos.
Momento
Curvatura
Curva obtida com 0,85 fcd
Curva obtida com 1,10 fcd
ELUB
Figura 5.5 – Relação momento-curvatura
Esta consideração da norma leva em conta que para caracterizar a capacidade portante
de um elemento é determinante a característica física da pior seção. Entretanto, no
cálculo de seu alongamento, importam as características de todas as seções e não faz
sentido imaginar que toda a peça seja constituída por um material com dimensões e
valores correspondentes a quantis estatísticos inferiores (característicos ou de projeto).
O alongamento obtido com esta postura possui uma probabilidade de ocorrência muito
menor do que a suposta no cálculo da capacidade portante [FRANÇA-2], sendo a
adoção de σcd,máx = 1,10 fcd mais coerente e realista.
5.4 Exemplos de Validação do Algoritmo de Geração dosDiagramas N-M-1/r
A validação do algoritmo foi feita comparando-se os valores obtidos pelo FTOOL com
tabelas [SANTOS-3] que contêm relações força normal – momento – curvatura. Neste
tópico apresentamos em detalhe a comparação com a primeira destas tabelas e no
Anexo IV, comparações adicionais.
95
5.4.1 Notação e Expressões Utilizadas
n’ : número de camadas de barras de aço (número de linhas);
n1 : número de barras da primeira camada (igual à última);
µf : momento de ruptura (reduzido adimensional);
θf : curvatura majorada adimensional correspondente ao momento de ruptura;
νo : valor reduzido adimensional da força normal de ruptura no caso ideal de
compressão centrada.
c
ckcd
f85,0
γ=σ (5.8)
h'd
=δ (5.9)
rh
1000=θ (5.10)
ccd
d
AN
⋅σ=ν (5.11)
hAM
ccd
d
⋅⋅σ=µ (5.12)
cdc
yds
A
fA
σ⋅
⋅=ω (5.13)
rh
1000=θ (5.14)
5.4.2 Arranjos de Armadura Utilizados
As tabelas foram implementadas para três arranjos de armadura:
a) Armadura em duas bordas b ( n’ = 2; n1 = 2);
b) Armadura ao longo de todo o perímetro (n’ = 10; n1 = 8);
c) Armadura em duas bordas h (n’ = 10; n1 = 2 ).
96
Arranjo 1
Armadura nas duas bordas b
Arranjo 2
Armadura distribuída
Arranjo 3
Armadura nas duas bordas h
Figura 5.6 – Disposições das armaduras
Os arranjos de armadura são iguais aos implementados no FTOOL. Entretanto, para o
arranjo de armadura distribuída nas quatro faces, no FTOOL utilizamos n’ = 10 e n1 =
10 e por isto, para efeito de comparação com as tabelas, estes valores foram alterados
para n’ = 10 e n1 = 8.
5.4.3 Tabelas
Nas tabelas de [SANTOS-3], fez-se a força normal ν variável de 0 a 2,4; a taxa
mecânica ω de 0,1 até 2,0; a curvatura θ, de 1,0 a 8,0. Nas tabelas geradas pelo FTOOL,
para uma taxa de armadura ω, o algoritmo varre ν do limite de resistência da seção à
tração centrada ao limite de resistência da seção à compressão centrada com passo 0,1.
A curvatura θ varia de 0 a θf.
Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 0,10
[SANTOS-3] ν0 = 1.10θ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .015 .042 .060 .070 .072 .067 .061 .055 .048 .039 .0272.0 .029 .058 .082 .099 .109 .114 .111 .101 .085 .064 .0363.0 .042 .072 .097 .116 .129 .135 .134 .122 .101 .0724.0 .042 .080 .111 .130 .143 .148 .142 .1295.0 .042 .081 .113 .139 .153 .1546.0 .042 .082 .115 .141 .1577.0 .043 .082 .116 .143 .1588.0 .043 .083 .117 .143µef .043 .084 .119 .144 .158 .158 .147 .130 .106 .073 .037θef 12.5 13.8 14.2 9.4 7.1 5.8 4.9 4.3 3.8 3.2 2.2
Tabela 5.1 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 0,10) [SANTOS-3]
97
FTOOL (σcd = 0,85 fcd)θ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .015 .042 .060 .070 .072 .067 .061 .055 .048 .039 .0272.0 .029 .058 .082 .099 .109 .114 .111 .101 .085 .064 .0363.0 .042 .073 .097 .116 .129 .135 .134 .122 .101 .0724.0 .042 .080 .111 .130 .143 .148 .142 .1295.0 .042 .081 .113 .139 .153 .1546.0 .043 .082 .115 .141 .1577.0 .043 .083 .116 .143 .1588.0 .043 .083 .117 .1439.0 .043 .083 .118 .14410.0 .043 .084 .11811.0 .043 .084 .11812.0 .043 .084 .11913.0 .084 .11914.0 .119µef .043 .084 .119 .144 .158 .158 .147 .130 .106 .073 .037θef 12.5 13.8 14.2 9.44 7.08 5.77 4.94 4.3 3.79 3.22 2.17
Tabela 5.2 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 0,10; σcd = 0,85 fcd)
(FTOOL)
Relações M x 1/r Adimensionais
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
teta
mi
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Figura 5.7 – Relação M x 1/r (σcd = 0,85 fcd)
FTOOL (σcd = 1,10 fcd)θ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .015 .045 .067 .081 .089 .091 .087 .081 .075 .0682.0 .030 .061 .088 .109 .125 .136 .142 .1183.0 .042 .076 .104 .127 .1464.0 .042 .082 .115 .1425.0 .043 .083 .1186.0 .043 .0837.0 .0438.09.010.011.012.013.014.0µef .043 .084 .119 .144 .157 .157 .147 .130 .106 .073 .037θef 8.0 7.0 6.0 4.1 3.8 2.9 2.2 1.72 1.45 1.1 .59
Tabela 5.3 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 0,10; σcd = 1,10 fcd )
(FTOOL)
98
Relações M x 1/r Adimensionais
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0 2 4 6 8 10
teta
mi
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Figura 5.8 – Relação M x 1/r (σcd = 1,10 fcd)
ni = 0.0
00.010.020.030.040.05
0 5 10 15
teta
mi
ni = 0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0 5 10 15
teta
mi
ni = 0.2
00.020.040.060.080.1
0.120.14
0 5 10 15
teta
mi
ni = 0.3
00.020.040.060.08
0.10.120.140.16
0 5 10
teta
mi
99
ni = 0.4
00.020.040.060.08
0.10.120.140.160.18
0 2 4 6 8
teta
mi
ni = 0.5
00.020.040.060.080.1
0.120.140.160.18
0 2 4 6 8
teta
mi
ni = 0.6
00.020.040.060.080.1
0.120.140.16
0 2 4 6
teta
mi
ni = 0.7
00.020.040.060.080.1
0.120.14
0 2 4 6
tetam
i
ni = 0.8
00.020.040.060.080.1
0.12
0 1 2 3 4
teta
mi
ni = 0.9
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0 1 2 3 4
teta
mi
0.85 fcd
1.10 fcd
ni = 1.0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0 1 2 3
teta
mi
Figura 5.9 – Comparação entre diagramas M x 1/r
100
5.5 Conclusões
As tabelas do tópico anterior mostram que os resultados obtidos pelo FTOOL são
precisos quando comparados com os valores das tabelas de [SANTOS-3]. No Anexo IV
encontram-se outras tabelas, que cobrem um grande número de situações.
101
6. Implementação
6 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
6.1 Introdução
Neste capítulo apresentaremos um breve histórico sobre o FTOOL e em seguida
explicaremos como funcionam e como foram feitas as alterações em sua estrutura de
dados e em sua interface gráfica.
Não abordaremos aspectos mais específicos, relacionados à implementação das rotinas
de dimensionamento, à geração dos diagramas N-M-1/r e à comunicação com o
ADINA. Maiores esclarecimentos sobre estes assuntos podem ser encontrados
respectivamente nos Capítulos 4, 5 e Anexo II.
6.2 Histórico
O FTOOL (Frame Tool Program) nasceu em 1991, fruto de um projeto integrado de
pesquisa o do Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica (Tecgraf/PUC-Rio). No
102
ponto de partida do programa foi importante o desenvolvimento da biblioteca de
funções HED (Half-Edge Data Structure), para representação interna dos dados, e do
programa MTOOL, cuja interface gráfica e estrutura de dados foram aproveitados. O
programa, desenvolvido na plataforma DOS, sofreu alguns aprimoramentos até abril de
1995.
Durante o período do final de 1997 ao início de 1998, o FTOOL foi remodelado,
utilizando o sistema de interface IUP e o sistema gráfico CD, desenvolvidos pelo
Tecgraf/PUC-Rio. Esta interface gráfica permite que o programa seja executado tanto
no ambiente Windows quanto no ambiente Unix/X-windows. Em fevereiro de 1998 foi
lançada a versão 2.00 do FTOOL. Deste então sucessivas versões do FTOOL foram
lançadas, cada uma com pequenos melhoramentos, até a última versão 2.08 de junho de
2000.
Neste período, o FTOOL demonstrou ser uma valiosa ferramenta para o ensino de
engenharia, sendo utilizado nos cursos de Análise Estrutural, Estruturas de Concreto
Armado e Estruturas de Aço dos cursos de Engenharia Civil de diversas universidades,
brasileiras (PUC-Rio, EPUSP, UERJ, UNICAMP) e estrangeiras (BUCKNELL,
CORNELL, Universidade de Alberta).
Seu ponto forte vem dele ser um programa que se destina ao ensino do comportamento
estrutural de quadros planos, ocupando um espaço pouco explorado por programas
educativos, que se preocupam mais com o ensino das técnicas numéricas de análise e
por versões educacionais de programas comerciais, mais preocupados em introduzir os
estudantes a sua interface [KAEFER-1]. Seu objetivo básico é motivar o aluno a
aprender a teoria dos métodos de análise mostrando como o modelo se comporta
realmente.
Do seu objetivo básico decorre a necessidade do FTOOL ser uma ferramenta simples
(mesmo com as novas implementações), unindo em uma única plataforma recursos para
uma eficiente criação e manipulação do modelo (pré-processamento), de uma análise
numérica rápida (não mais transparente), e de uma visualização de resultados rápida e
efetiva (pós-processamento) [MARTHA-].
103
Esta nova versão, chamada FTOOL/RC (Ftool – Reinforced Concrete Version), é
particularmente voltada para os cursos de concreto armado. Ela incorpora novos
recursos como a possibilidade de termos simultaneamente múltiplas combinações de
carregamento, de efetuarmos análises não-lineares físicas e geométricas, e de
dimensionarmos os elementos à flexão normal composta e ao cisalhamento
[KAEFER-2].
6.3 Implementação
O trabalho de programação se divide na alteração da interface gráfica, que é feita
usando o IUP e o CD e na programação em C que fornece operacionalidade à interface.
O FTOOL é constituído por diversos módulos. Existe um módulo principal (ftooldrv.c),
que faz a ligação dos elementos da interface com restante do programa e diversos
módulos (arquivos) independentes que agrupam conjuntos de funções responsáveis por
tarefas similares.
Durante a implementação de rotinas para o suporte aos múltiplos casos e combinações
de carga, fizemos muitas alterações nos módulos já existentes.
Ao estabelecermos a comunicação com o ADINA e ao programarmos rotinas para o
dimensionamento das seções de concreto armado e para a geração dos diagramas
momento-curvatura, optamos por criar módulos independentes, pensando em facilitar a
linkagem destes módulos a outros programas.
6.4 Estrutura de Dados
Os objetivos do FTOOL impuseram severos requisitos no projeto de sua estrutura de
dados. Primeiro, era necessário uma estrutura de dados que fosse comum a todas as
fases da simulação das estruturas de quadros: pré-processamento (criação do modelo),
análise estrutural e pós-processamento (visualização de resultados de análise).
Segundo, ela deveria propiciar uma interface com usuário consistente e com fácil
navegação entre estas fases. Além disso, a estrutura de dados deveria possibilitar a
detecção de inconsistências na definição do modelo, permitindo uma forma eficiente de
104
se registrar relações de adjacência entre as entidades do modelo (por exemplo, quais
barras compartilham um determinado nó). Finalmente, ela deveria propiciar operadores
geométricos eficientes, incluindo detecção automática de interseção de membros.
O grupo que desenvolveu o FTOOL, no Tecgraf, optou por uma estrutura de dados
centralizada em uma representação topológica completa de uma subdivisão planar, com
busca eficiente de informações de adjacência, percebendo que a topologia não só era um
meio conveniente de armazenar as informações necessárias, mas também um poderoso
agente organizador dos dados. A representação topológica completa provê um
mecanismo através do qual todas as relações necessárias podem ser armazenadas e
manipuladas de forma matematicamente consistente. No caso de modelagem de pórticos
planos, os vértices da subdivisão planar são relacionados com os nós do quadro e as
curvas (arestas) da subdivisão são relacionadas com os membros (elementos de barra)
do quadro [MARTHA-1]. Observa-se que este tipo de representação acaba sendo um
caso particular da representação de sólidos, isto é, do problema de criar e manter uma
subdivisão planar, que se refere ao problema de “Representação de Fronteiras” da
Modelagem de Sólidos [MÄNTYLÄ-1]. A estrutura de dados topológica usada no
FTOOL é descrita nas referências [CARVALHO-1], [CAVALCANTI-1].
Dessa forma, o FTOOL utiliza uma biblioteca de modelagem chamada HED (Half-Edge
Data Structure) [CAVALCANTI-1], que implementa a referida representação
topológica completa. O HED é uma ferramenta bastante poderosa que isenta o cliente
programador de grande parte do trabalho de confecção de funções para a manipulação
do modelo. Por outro lado, o HED impõe um padrão na definição e na organização da
estrutura de dados do programa cliente. No caso do FTOOL, os registros de dados para
forças e condições de apoio aplicados a nós, forças distribuídas aplicadas a barras, etc.,
são blocos de atributos “pendurados” nas entidades topológicas do HED: solid
(modelo), edge (aresta, que corresponde a uma barra) e vertex (vértice, que corresponde
a um nó).
Portanto, com a utilização da biblioteca HED para gerenciar as subdivisões planares, o
trabalho no desenvolvimento da estrutura de dados do FTOOL consistiu em acrescentar
registros de dados de cliente, que ficam relacionados às entidades topológicas do HED.
105
A Figura 6.1 descreve simplificadamente a estrutura de dados do FTOOL, projetada
inicialmente para lidar com apenas um caso de carregamento (versão 2.07). No
fluxograma desta figura, omitiu-se o registro de dados da entidade tolopológica Half-
edge (semi-aresta), que é uma entidade de ligação entre as diversas entidades
topológicas, vertex, edge e loop, do HED [MÄNTYLÄ-1]. Os retângulos pretos no
fluxograma representam os nomes dos registros principais, os retângulos cinza, os
conjuntos de dados armazenados no FTOOL, e os brancos, com as variáveis precedidas
por um asterisco, os ponteiros que relacionam as entidades e registros de dados.
Matpa Sprop
Nforc
Uload
Lload
Tpvar
Tmember
*unif*line*edval
*spro*matp*temp
VERTEX VERTEXVERTEX
*prevv *nextv
*vedge
*u_atrib
SOLID SOLIDSOLID
*prevs *nexts
*sedges
*sverts
*u_atrib
Nforc
*next
Nforc
*next
Uload Uload
*next
Lload Lload
*next
Tpvar Tpvar
*next
Matpa Matpa
Tmodel
*nodforce*unifload*lineload
*tempevar*matparam*sectprop
*next
Sprop Sprop
Tnode
*forceHalfedge
EDGE EDGEEDGE
*preve *nexte
*he1 *he2
*u_atribHalfedge
Figura 6.1 – Estrutura de dados – versão FTOOL com suporte para uma única combinação de
carregamento.
A Figura 6.2, na qual adota-se a mesma convenção da Figura 6.1, ilustra a estrutura de
dados implementada para suportar os múltiplos casos e combinações de carregamento e
o dimensionamento das seções. A montagem do vetor carregamento é definida a partir
das informações contidas em cada combinação de carregamento. Cada combinação é
composta de parâmetros como nome, visibilidade e cor, e pelo ponteiro *lcaselst que
aponta para uma lista encadeada que relaciona casos de carregamento a um fator de
ponderação. Os casos de carregamento se relacionam com as cargas (forças
106
concentradas, forças distribuídas e variação de temperatura). Este relacionamento é feito
pelo usuário na fase de pré-processamento. Cada vez que se aplica uma carga ao
modelo, relaciona-se à mesma um caso de carregamento (dito corrente ou atual).
Dessa forma, no registro de dados que corresponde ao bloco de atributos de um modelo
(Tmodel), foram criados dois novos ponteiros, *loadcase e *loadcomb, que apontam
para listas encadeadas que abrigam os casos de carregamento e as combinações entre os
casos de carregamento definidos. Ainda em Tmodel foi criado o ponteiro *rcparam, que
aponta para a lista encadeada com dados para o detalhamento e dimensionamento das
seções de concreto armado.
No bloco de atributos das barras (Tmember), os ponteiros diretos para as cargas foram
substituídos por uma lista encadeada de registros de cargas de barra (Lmember), que
contêm ponteiros para as cargas distribuídas uniformes e lineares (*unif e *line), para a
variação de temperatura (*temp) e para um caso de carregamento (*lcase), permitindo,
assim, que se apliquem os casos de carregamento às barras. Além disso, todas as
variáveis responsáveis por armazenar os resultados da análise foram movidas do
registro Tmember para uma lista encadeada de registros de esforços de barras (Meffort).
Esta lista encadeada contém uma célula para cada combinação de carregamento
definida. Os valores das envoltórias são armazenados no registro de dados Tmember.
Alterações análogas foram processadas no bloco de atributos de nós (Tnode): o ponteiro
para carga concentrada (*force) foi substituído por uma lista encadeada de registros de
cargas de nó (Lnode) e os campos responsáveis por guardar os deslocamentos nodais
foram substituídos por uma lista encadeada de registros de deslocamentos (e rotações)
nodais (Ndispl).
107
Matpa Sprop
Nforc
Tmember
*loadlst
*spro*matp
*efflst
VERTEX VERTEXVERTEX
*prevv *nextv
*vedge
*u_atrib
SOLID SOLIDSOLID
*prevs *nexts
*sedges
*sverts
*u_atrib
Tmodel*nodforce*unifload*lineload
*tempevar*matparam*sectprop
Tnode
*loadlstHalfedge
EDGE EDGEEDGE
*preve *nexte
*he1 *he2
*u_atrib
Halfedge
*next
Ccomb Ccomb
*lcase
*loadcase*loadcomb
Nforc
*next
Nforc
*next
Uload Uload
*next
Lload Lload
*next
Tpvar Tpvar
*next
Matpa Matpa
*next
Sprop Sprop
*next
Lcase Lcase
*next
Lcomb Lcomb
*lcaselst
*displst
Lcase
Lnode*next*force*lcase
Lnode
Ndispl*nextndisp
Ndispl
Uload
Lload
Lmember*next*unif*line
Lmember
*temp*lcase
Tpvar
Lcase
Meffort*next
*edval
Meffort
edval[]
Rcpar *rcpar *brig
*rcparam
*next
Rcpar Rcpar
BeamRigid
Figura 6.2 – Estrutura de dados – versão FTOOL/RC com suporte para múltiplas combinações de
carregamento.
Tendo em vista o cálculo dos diagramas força normal – momento – curvatura, em
Tmember ainda foi criada a variável axrig para armazenar a rigidez axial do elemento e
o ponteiro *brig para uma lista encadeada de registros Tbeamrigid. Cada registro
Tbeamrigid armazena uma curva M x 1/r. Cada um destes registros armazena um
esforço normal (ν) e possui um ponteiro *curvmom que aponta para uma lista encadeada
108
de registros Tcurvmom. Cada registro Tcurvmom armazena um ponto (ν,µ) de uma
determinada curva M-1/r. A memória para estas estruturas é alocada no cálculo dos
diagramas M-1/r e é automaticamente liberada após a escrita do arquivo de dados de
entrada para o ADINA.
*brig
BeamRigid
*curvmom
Curvmom
*next
Curvmom
*next
BeamRigid
*curvmom*next
BeamRigid
Curvmom
*next
Curvmom
Figura 6.3 – Estrutura de dados para armazenar os valores das relações N – M – 1/r
6.5 Interface Gráfica
Os elementos gráficos para interação com o usuário (diálogos, botões, caixas de texto,
etc.) do FTOOL são confeccionados utilizando elementos e funções do IUP. O IUP é
um sistema portátil de interface com usuário composto por uma Linguagem de
Especificação de Diálogos (LED) e uma biblioteca de aproximadamente 60 funções
para a criação e a manipulação de diálogos. A proposta do toolkit IUP é permitir que um
programa possa ser executado sem modificações em vários ambientes de interface,
conferindo ao programa uma alta portabilidade. Os ambientes suportados atualmente
são: DOS, X-Windows/Motif, Microsoft Windows (http://www.tecgraf.puc-
rio.br/manuais/iup).
A disposição dos elementos de interface dentro da tela do FTOOL é guardada em um
arquivo texto escrito em LED que é lido ao se executar o programa. Este arquivo LED
pode ser também convertido em um arquivo “C” que é compilado com o restante do
código do FTOOL, dispensando-se os arquivos LED.
Para dar suporte a esta nova versão, a janela principal do FTOOL precisou sofrer
algumas modificações (Figura 6.4).
109
Figura 6.4 – Tela do FTOOL – Pré-processamento (em detalhe as alterações na interface).
Em primeiro lugar, foram criados dois conjuntos contendo uma lista dropdown e um
botão cada uma. As listas dropdown servem para que o usuário possa selecionar o caso
de carregamento e a combinação ativa ou atual, e os botões servem para o acesso às
janelas de configuração dos casos e combinações de carregamento.
Em seguida, foram alterados os menus responsáveis pela entrada de dados referentes ao
material utilizado e à seção transversal para que se possa agora entrar com os novos
dados do concreto e do aço e dos elementos de pilar e viga. Além disso, foram criados
dois novos menus, um responsável pelos parâmetros necessários para o
dimensionamento das seções (Reinforced Concrete Parameters) e outro para que se
possa atribuir armaduras diretamente aos elementos (recurso indispensável em
problemas de verificação).
O próximo passo foi criar o botão Solve e o botão Design . Pressionando o botão
Design é disparado o algoritmo de dimensionamento para toda a estrutura e para todas
as combinações de carregamento calculadas. Cada combinação de carregamento terá um
110
conjunto de armaduras calculado. A envoltória de armaduras é calculada comparando-se
estes diversos conjuntos de cada combinação, ou seja, não se calculam as armaduras
para os valores finais das envoltórias de esforços. O botão Solve foi criado para separar
o processamento do pós-processamento. Isto foi feito tendo em vista a utilização do
FTOOL com o solver não-linear externo (ADINA), que necessita de um tempo maior de
processamento e que não é transparente para o usuário, o que tornaria o processo de
visualização de resultados bastante lento, pois toda vez que se acessasse o pós-
processamento todas as combinações de carregamento precisariam ser recalculadas.
Pressionando o botão Solve é disparado o processo de análise para a combinação ativa.
Desta forma, cada combinação é calculada individualmente, possibilitando a
comparação entre resultados obtidos com diferentes formulações.
Na seqüência criamos itens (no menu Options) e uma janela para configurarmos os
solvers e o tipo de análise.
Figura 6.5 – Configurando o solver e o tipo de análise.
No menu Options foi adicionado o item Options. O selecionamento deste item dispara
um diálogo de interface através do qual o usuário pode definir parâmetros para guiar a
subdivisão das barras para cálculo de resultados e definir parâmetros utilizados na
análise não-linear e no dimensionamento. Nas versões anteriores, esta subdivisão era
feita transparentemente com base no tamanho da tela, visando sempre uma boa
visualização. Na versão atual, como as envoltórias são calculadas comparando-se os
valores dos esforços de cada combinação em pontos fixos do elemento, há a necessidade
de que estes pontos sejam bem estabelecidos. O diálogo de subdivisão de barras
possibilita ao usuário informar comprimentos mínimos e máximos entre os pontos de
cálculo, assim como os números mínimo e máximo de subdivisões por barra.
111
Dois novos diálogos, Load Case Manager e Load Combination Manager, foram criados
(Figura 4) para que o usuário possa escolher a cor e a visibilidade de forças e de
diagramas, assim como adicionar, renomear e remover casos de carregamento e
combinações. No diálogo de combinações ainda há o recurso de incluir ou não uma
combinação nas envoltórias e a possibilidade de disparar uma janela para aplicar fatores
de ponderação aos casos de carregamento.
Figura 6.6 – Load Case Manager / Load Combination Manager.
Finalmente, foram criados os botões Envelope , que ativa a exibição das envoltórias
de esforços, Transversal Steel Area e Longitudinal Steel Area para visualização
das áreas de aço transversal e longitudinal calculadas.
Após o processamento, pode-se selecionar qualquer botão do pós-processamento e os
resultados da estrutura serão automaticamente atualizados na tela. Foram criados
algoritmos que captam qualquer alteração no modelo e limpam as listas de resultados,
solicitando que o usuário reprocesse a estrutura.
112
Figura 6.7 – Visualização de resultados: configuração deformada.
113
7. Exemplos de Validação
7 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO
7.1 Introdução
Este capítulo contém exemplos que complementam os exemplos de dimensionamento e
de elaboração de tabelas momento-curvatura já apresentados.
Nos dois primeiros exemplos apresentaremos resultados de análises não-lineares
puramente geométricas, comprovando o bom funcionamento do ADINA para este tipo
de análise. Nos exemplos seguintes pretendemos validar o processo de análise não-
linear físico-geométrica implementada, discutindo aspectos como pontos de
instabilidade do equilíbrio e nível de discretização das barras.
114
7.2 Viga 1 [SOLER-1]
M
l
x
y
Figura 7.1 – Geometria da viga 1
7.2.1 Dados
b = 0,5774cm A = 20 cm2
h = 34,641cm I = 2000 cm2
Obs.: Os valores para b e h foram obtidos para uma seção transversal retangular
equivalente a partir dos valores de A e I apresentados na referência.
l = 500 cm
Es = 200 GPa
A viga foi dividida em 10 elementos, tanto na referência como na modelagem utilizando
o FTOOL. Foram utilizados 50 passos iguais (análise incremental) de carregamento
para cada análise efetuada.
7.2.2 Resultados Obtidos
Na Figura 7.2 apresentamos um gráfico mostrando as coordenadas da extremidade livre
da viga para os diversos níveis de carregamento apresentados na Tabela 7.1.
115
Deslocamento da ponta da viga
0
50
100
150
200
250
300
350
-150 -50 50 150 250 350 450 550
x (cm)
y (c
m)
Exato Soler ADINA
Figura 7.2 – Gráfico comparativo do deslocamento da extremidade livre da viga 1.
Figura 7.3 – Evolução da deformação da viga com o aumento do carregamento.
(Resultados obtidos pelo FTOOL)
116
Solução Exata [SOLER-1] 10 elem. [SOLER-1] ADINAM
(kNcm) x (cm) y (cm) θ (rad) x (cm) y (cm) θ (cm)
M
(kNcm) x (cm) y (cm) θ (cm)
500 499.997 1.562 0.00625 499.997 1.562 0.00625 500 499.997 1.563 0.00625
1413 499.974 4.416 0.01766 499.974 4.416 0.01766 1413 499.974 4.416 0.01766
3079.5 499.876 9.622 0.03849 499.877 9.622 0.03849 3079.5 499.877 9.622 0.0385
5000 499.675 15.620 0.0625 499.675 15.620 0.0625 5000 499.675 15.620 0.0625
50265.5 467.745 151.979 0.6283 467.745 151.980 0.06283 50265.5 467.822 152.005 0.6283
138029 286.340 334.408 1.725 286.313 334.421 1.725 138029 278.685 333.618 2.0497
290987 -65.388 258.379 3.637 -65.400 258.373 3.637 273000 55.852 100.167 6.1289
367491 -108.08 121.742 4.594 -108.98 121.784 4.594
443945 -60.346 23.194 5.549 -60.088 23.195 5.549
502655 0.000 0.000 6.283 0.000 0.000 6.283
Tabela 7.1 – Resultados obtidos por [SOLER-1] e utilizando o ADINA (Coordenadas da extremidade da
viga para diversos níveis de carregamento).
7.2.3 Discussão dos Resultados
Observa-se que até o carregamento de 1380,29 kNm os resultados do ADINA são muito
bons. A partir deste ponto, com o aumento da carga, as rotações são muito grandes e a
formulação adotada no ADINA, recomendada apenas para pequenas deformações e
rotações impede que se capte com exatidão o comportamento da viga para cargas
maiores e por isto os resultados desviam-se dos de Soler, que utilizou em sua
dissertação formulação que permite que as vigas sejam submetidas a grandes
deslocamentos, rotações de deformações.
Observamos entretanto, que estes níveis de carregamento nunca seriam obtidos numa
análise de uma estrutura de concreto, pois o material romperia muito antes disto, o que
valida os resultados obtidos com o ADINA para os problemas normais em projetos de
estruturas de concreto armado.
117
7.3 Viga 2 [SOLER-1]
F
l
x
y
Figura 7.1 – Geometria da Viga 2
7.3.1 Dados
A geometria, o material e a discretização são os mesmos do exemplo anterior:
b = 0,5774cm A = 20 cm2
h = 34,641cm I = 2000 cm2
Obs.: Os valores para b e h foram obtidos para uma seção transversal retangular
equivalente a partir dos valores de A e I apresentados na referência.
l = 500 cm
Es = 200 GPa
A viga foi dividida em 10 elementos, tanto na referência como na modelagem utilizando
o FTOOL. Foram utilizados 50 passos iguais de carregamento para cada análise
efetuada.
118
7.3.2 Resultados Obtidos
Deslocamento da ponta da viga
-500
-450
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
00 100 200 300 400 500
x (cm)
y (c
m)
[SOLER-1] ADINA
Figura 7.2 – Comparação do deslocamento na extremidade livre da viga 2.
Figura 7.3 – Evolução da deformação da viga com o aumento do carregamento
(Resultados obtidos pelo FTOOL).
119
[SOLER-1] ADINAF (kN)
x (cm) y (cm) θ (rad) x (cm) y (cm) θ (rad)
0 500.00 0.00 0.000 500.00 0.00 0.000
48 497.06 -49.50 -0.147 497.06 -49.50 -0.149
96 488.78 -96.19 -0.291 488.80 -96.19 -0.291
144 476.53 -138.13 -0.421 476.57 -138.15 -0.421
227.808 450.16 -198.20 -0.615 450.25 -198.24 -0.615
307.824 423.72 -241.35 -0.762 423.85 -241.43 -0.763
387.84 398.75 -273.88 -0.880 398.91 -274.00 -0.880
427.824 387.14 -287.11 -0.929 387.32 -287.25 -0.930
480 372.94 -301.98 -0.986 373.13 -302.14 -0.987
1416 236.20 -399.96 -1.402 236.55 -400.35 -1.403
1920 203.83 -416.25 -1.468 204.22 -416.72 -1.468
2676 173.07 -430.85 -1.516 173.52 -431.43 -1.517
3209.76 158.15 -437.87 -1.534 158.63 -438.51 -1.534
3876.96 144.00 -444.62 -1.547 144.52 -445.33 -1.548
4710.72 130.73 -451.15 -1.557 131.28 -451.96 -1.557
4800 129.51 -451.77 -1.557 130.07 -452.58 -1.558
7.3.3 Discussão dos Resultados
Observa-se que, neste exemplo, conseguimos bons resultados com o ADINA para todos
os níveis de deslocamento, pois as rotações das seções das barras são menores.
Da análise dos resultados obtidos com estes dois exemplos percebe-se que a formulação
utilizada pelo ADINA para simular os efeitos não-lineares geométricos pode ser
utilizada tranqüilamente para estruturas aporticadas.
7.4 Pilar 1[GARCIA-1]
Apresentamos neste exemplo uma comparação entre os resultados fornecidos pelo
FTOOL-ADINA, quando, na análise do pilar considerado se utiliza um número variável
de elementos. Para tanto, o pilar em questão será dividido em 1, 2, 4 e 10 elementos.
120
h
d’
d’
b
As
2
As
2
y
F
N
l
a
y
Figura 7.4 – Geometria do Pilar 1 [GARCIA-1].
7.4.1 Dados
b = 40cm A = 1600 cm2 N = 1280 kN (compressão)
h = 40cm I = 213333 cm2 F = variável
d’ = 4cm δ = 0,10 l = 400 cm
λ = 69,28 λ1 =38,89
As = 30,2 cm2
Aço Classe A γs = 1,1905 Es = 210 GPa
Concreto: fck = 32,941 MPa γc = 1,4 Ec = 32,141 GPa
Na geração dos diagramas força normal – momento – curvatura foi adotado σcd = 0,85
fcd e γf3 = 1,0 para manter a compatibilidade com os resultados da bibliografia. As
curvas utilizadas na análise estão transcritas no Anexo III.
7.4.2 Resultados
Na próxima tabela apresentamos os valores máximos para a carga suportada pelo pilar
com a respetiva flecha a obtidas por Garcia e pelo FTOOL .
121
[GARCIA-1] FTOOL
Fmáx a Fmáx a
1 elemento 76,1 8,24 82,2 8,47
2 elementos 71,4 7,00 72,9 6,88
4 elementos 70,1 6,70 70,3 6,84
10 elementos 68,9 6,36 69,1 6,44
Tabela 7.2 – Exemplo de Pilar [GARCIA-1].
Para cada situação de discretização do pilar foram traçadas curvas relacionando a carga
horizontal F com a flecha a (deslocamento horizontal da ponta do pilar) mantendo-se
sempre N constante e igual a -1280 kN. Primeiro apresentamos as curvas apresentadas
em [GARCIA-1], em seguida as obtidas em nosso trabalho e finalmente quatro gráficos
relacionando os nossos resultados com os de [GARCIA-1] para cada situação.
[GARCIA-1]
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00
a (cm)
F (k
N)
1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 10 Elementos
Figura 7.5 – Valores publicados em [GARCIA-1]
122
FTOOL
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00
a (cm)
F (k
N)
1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 10 Elementos
Figura 7.6 – Valores obtidos pelo FTOOL-ADINA.
1 Elemento
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00
a (cm)
F (k
N)
Garcia Ftool
2 Elementos
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00
a (cm)
F (k
N)
Garcia Ftool
4 Elementos
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00
a (cm)
F (k
N)
Garcia Ftool
10 Elementos
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
a (cm)
F (k
N)
Garcia Ftool
Figura 7.7 – Gráficos comparativos: [GARCIA-1] e FTOOL-ADINA.
123
7.4.3 Discussão dos Resultados
Os resultados de [Garcia-1] foram obtidos utilizando um programa de sua autoria que
utiliza um processo iterativo constituído por etapas lineares de cálculo, levando em
conta a não-linearidade dos diagramas tensão-deformação dos materiais e os efeitos de
segunda ordem decorrentes da interação esforço axial – flexão.
Observa-se que com o mesmo nível de discretização obtém-se resultados compatíveis
com os da bibliografia. Além disso nota-se que para valores da força horizontal menores
que 35kN, os resultados independem do número de elementos e que para valores de F
superiores, há um aumento da rigidez da estrutura ao empregarmos um número menor
de elementos. Neste caso (pilar engastado na base) observa-se que já com um número
reduzido de elementos (3 ou 4) obtemos resultados bastante próximos dos valores
considerados exatos (obtidos com 10 elementos).
Baseados em outros testes não publicados, percebemos que a exigência de uma maior
discretização dos pilares aumentará conforme haja também um aumento do índice de
esbeltez (λ), acentuando-se esta necessidade quando λ superar λ1.
7.5 Pilar 2[SANTOS-1]
O objetivo deste exemplo é discutir tipo de resposta que pode ser obtida utilizando a
análise linear, não-linear geométrica e a não-linear física e geométrica, bem como
comentar sobre a influência da utilização do fator γf3, dos diagramas normal – momento
– curvatura com σcd = 1,10 fcd, e da esbeltez da coluna.
124
h
d’
d’
b
As
2
As
2
y
Md
Nd
l
a
yFigura 7.8 – Geometria do Pilar 2[SANTOS-1].
7.5.1 Dados
b = 20cm A = 1000 cm2 Nd = 605 kN
h = 50cm I = 208330 cm2
d’ = 5cm δ = 0,10 l = 500 cm ⇒ λ = 69,28
As = 12 cm2
Aço CA50B γs = 1,15 Es = 210 GPa
Concreto C20 γc = 1,4
Os módulos de elasticidade do concreto foram calculados utilizando as expressões (2.5)
e (2.6):
Ec = 25,044 GPa
Ecs = 21,287 GPa
O pilar foi dividido em cinco elementos, tanto na referência como na modelagem
utilizando o FTOOL.
125
7.5.2 Considerações sobre os tipos de análise
Os resultados deste tópico ilustram as grandes diferenças entre resultados que podem ser
obtidos conforme se mude o tipo de análise ou seus parâmetros, mostrando o cuidado
que deve ser tomado durante a análise de uma estrutura, principalmente quando forem
efetuadas análises não-lineares.
Mostra-se também que, quando o modelo for calibrado para as mesmas condições dos
cálculos efetuados pelo prof. Lauro Modesto, obtemos curvas bastante semelhantes,
validando os resultados do FTOOL.
Embora nas análises no estado limite último estejamos interessados em esforços e nas
respectivas armaduras obtidas, por simplicidade os comentários serão efetuados em
termos de curvas que representem o deslocamento da extremidade superior do pilar em
função do momento variável aplicado, mantendo sempre constante a força normal de
605 kN. Por conveniência, os deslocamentos serão apresentados no eixo das
coordenadas e os momentos no eixo das ordenadas.
Os valores numéricos das curvas e os valores dos diagramas momento-curvatura podem
ser encontrados no Anexo III.
126
0
20
40
60
80
100
120
140
0 2 4 6 8 10 12 14
Deslocamento no topo do pilar (cm)
Mom
ento
Fle
tor
Apl
icad
o (k
N.m
)
AL (1) AL (2) AL (3) ANLG (1) ANLG (2) SANTOS[1] ANLFG (1) ANLFG (2)
Figura 7.9 – Curvas “Deslocamento em Função do Momento Aplicado”
As curvas AL foram obtidas através de análise linear do problema. AL(1) utiliza o
módulo de elasticidade tangente Ecs. AL(2) e AL(3) utilizam respectivamente os
produto de rigidez (EI)sec = 0,80 EcIc e (EI)sec = 0,70 EcIc (ver relações (3.9) e (3.11))
para estimar o efeito da não-linearidade física. Analisando as curvas obtidas, percebe-se
obviamente que a análise elástica não é capaz de captar um momento máximo
suportável pelo pilar (decorrente de uma situação de ruptura ou de instabilidade
elástica), tampouco capta o trecho inicial (praticamente linear) obtido por análise não-
linear. Deve-se ressaltar que o índice de esbeltez da coluna na direção considerada (λ) é
de 69,28, tendo para este nível de solicitação λ1 = 35 o que já indica que os efeitos de 2ª
ordem são importantes e desta forma de maneira alguma poderia ser utilizada apenas
uma análise linear para a modelagem da coluna.
As curvas ANLG foram obtidas através de análise não-linear geométrica, utilizando-se
10 incrementos de carga. ANLG(1) e ANLG(2) utilizam respectivamente os produto de
rigidez (EI)sec = 0,80 EcIc e (EI)sec = 0,70 EcIc. Para este nível de carregamento, as
curvas podem ser representadas por duas retas. ANLG(2) consegue representar bem o
127
trecho inicial da curva ANLFG(2) (ver comentários a seguir), o que sugere que a análise
não-linear física com a estimativa do efeito da não-linearidade geométrica através da
redução do produto rigidez é um bom método para a obtenção de esforços que possam
ser utilizados para o pré-dimensionamento das seções de concreto que depois poderão
ser verificadas através de análises não-lineares físico-geométricas.
Finalmente, as curvas ANLFG foram obtidas através de análise não linear física e
geométrica utilizando 10 incrementos de carga e os diagramas momento-curvatura do
Anexo III. As respostas diferem em virtude da adoção de valores diferentes para o σcd
utilizado para a construção das curvas força normal – momento – curvatura e para o
valor de γf3. ANLFG(1) utiliza σcd = 0,85 fcd e γf3 = 1,0 e ANLFG(2) σcd = 1,10 fcd e
γf3 = 1,10.
ANLFG(1) pode ser comparada à curva apresentada em [SANTOS-1], pois as duas
utilizam os mesmos dados. Desta comparação percebe-se que os valores obtidos pelo
FTOOL representam com extrema fidelidade os valores obtidos pelo Prof. Lauro
Modesto, (que utilizou o “Método Geral”, associado ao método das diferenças finitas e
ao diagrama M-1/r para a força normal de compressão de 605 kN) excetuando-se o
trecho final, aonde há diminuição da carga, que não somos capazes de captar por
enquanto, pois estamos utilizando algoritmos baseados em controle de carga e não de
deslocamentos.
ANLFG(2) utiliza novos critérios introduzidos em [ABNT-2], e descritos com maior
detalhe em [FRANÇA-2], que permitem uma avaliação mais racional do
comportamento das estruturas de concreto (ver item 5.3.3.3). Uma observação
importante é que γf3 deve ser utilizado com bastante cuidado. Observando os diagramas
apresentados no item A3.3, em certos casos, que serão melhor comentados no próximo
tópico, ao dividirmos a força normal por γf3 podemos passar a utilizar outra curva
momento-curvatura (associada a um esforço normal mais baixo) com momento-fletor
último mais elevado, induzindo a valores mais elevados para a capacidade de carga do
pilar (que levariam à ruptura da seção de concreto mais solicitada). Este fato pode ser
percebido dimensionando os elementos com os esforços obtidos da análise não-linear.
128
Se a partir do cálculo das armaduras resultar uma taxa de armadura maior, ocorreu o
problema destacado acima.
7.5.3 Comentários sobre Efeitos de Instabilidade e Ruptura da Seção deConcreto
Na próxima figura apresentamos o diagrama de interação completo para a seção
transversal de concreto do pilar em questão e outras curvas de interação para força
normal de compressão e momento fletor positivo para pilares de diferentes
comprimentos.
Para o pilar com comprimento de 5,0 m geramos duas respostas. A primeira associada à
utilização de σcd = 0,85 fcd e γf3 = 1,0, e a segunda a σcd = 1,10 fcd e γf3 = 1,10. As curvas
de interação dos pilares representam o momento fletor máximo (na seção do apoio)
suportável pelo pilar para cada nível de solicitação normal. No Anexo III apresentamos
os valores numéricos das curvas da Figura 7.13 e os momentos solicitantes associados a
cada ponto dos diagramas dos pilares.
Diagramas de Interação
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
M,máx (kN.m)
N (
kN)
Seção Transversal Coluna 5,0m (1) Coluna 5,0m (2) Coluna 2,5m Coluna 10,0m
Figura 7.10 – Diagramas de interação para a seção transversal e para pilares de comprimento variável
129
Analisando o gráfico percebemos que para colunas com comprimento de 5,0m (1) e
10,0m (λ = 138,56) a ruptura do pilar se dá por instabilidade do equilíbrio para todo o
nível de solicitação normal, pois suas curvas de interação são internas à curva da seção
transversal. Não há, portanto, esgotamento da capacidade das seções. O mesmo não
acontece para o pilar curto, com comprimento de 2,5 m (λ = 34,64), pois vemos que sua
curva coincide com o diagrama de interação da seção transversal que comanda seu
processo de ruptura.
Comparando agora as duas curvas obtidas para o pilar com comprimento de 5,0m
percebemos que a utilização de σcd = 1,10 fcd ao invés de 0,85 fcd realmente enrigesse a
coluna. Vemos também que a utilização de γf3 = 1,10 conduz a momentos resistentes
superiores aos suportados pela seção transversal de concreto para forças normais mais
elevadas. Isto se dá pelo fato de que ao dividirmos a força normal aplicada à coluna pelo
fator γf3 = 1,10 acabamos utilizando uma curva momento-curvatura que suporta um
momento máximo mais elevado, como pode ser visto nos diagramas momento-
curvatura apresentados no Anexo III.
7.5.4 Resultados Obtidos para o Último Ponto da Curva ANLFG (1)
Neste tópico apresentamos os resultados que podem ser obtidos pelo FTOOL para um
dado carregamento. Para isto tomaremos o nível de carregamento do último ponto da
Curva ANLFG(1) (Item 7.5.2), aproveitando para comparar com mais detalhe com o
valor para a carga última apresentada em [SANTOS-1].
130
Figura 7.11 – Resultado impressos pelo FTOOL: Deformada, Força Normal (kN), Força Cortante (kN),
Momento Fletor (kNcm), Área de aço longitudinal calculada (cm2), Área de aço transversal calculada
(cm2/m).
Carga Última (Md) a (cm)
[SANTOS-1] 9129,5 10,91
FTOOL 9270 10,97
Tabela 7.3 – Comparação da Carga Última (Md) de [SANTOS-1] e da curva ANLFG (1).
131
7.6 Pórtico Plano [GARCIA-1]
h
d’
d’
b
As
2
As
2
y
Arranjo das armaduras
P P
Fa
yy
y
F
Figura 7.12 – Geometria do Pórtico Plano [GARCIA-1]
7.6.1 Dados
P = 128 tf
F = 9,40 tf
Aço Classe A γs = 1,1905 Es = 210 GPa
Concreto: fck = 32,941 MPa γc = 1,4 Ec = 37,88 GPa
Viga
b = 40cm h = 60cm
d’ = 4cm δ = 0,067 l = 606 cm
As = 33,4 cm2
Pilares
b = 40cm
h = 40cm
d’ = 4cm δ = 0,10 l = 303 cm
As = 30,2 cm2
Na geração dos diagramas força normal – momento – curvatura, foi adotado σcd = 0,85
fcd e γf3 = 1,0 para manter a compatibilidade com os resultados da bibliografia. As
curvas utilizadas são apresentadas no Anexo III.
132
7.6.2 Resultados
Na próxima tabela apresentamos os valores máximos para a carga suportada pelo
pórtico com a respetiva flecha a, publicadas em [GARCIA-1] e calculadas pelo FTOOL
.
Fmáx (kN) a (cm)
Garcia [GARCIA-1] 100,0 5,46
Frame Analysis [GARCIA-1] 94,00 5,30
FTOOL ( 3 elem.) 99,27 5,90
FTOOL (10 elem.) 95,70 5,21
Tabela 7.4 – Exemplo de pórtico plano [GARCIA-1].
A próxima figura mostra curvas relacionando a flecha a com a carga horizontal F. Os
valores numéricos de cada curva estão transcritos no Anexo III.
0
20
40
60
80
100
120
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
a (cm)
F (k
N)
TABORDA FRAME ANALYSISFTOOL - 3 elem. FTOOL - 10 elem.
Figura 7.13 – Curvas Força Horizontal – Deslocamento a
133
A seguir, apresentamos duas telas de computador com a representação gráfica das
armaduras longitudinais calculadas para os esforços provenientes da carga máxima
aplicada ao pórtico para pilares e vigas discretizadas respectivamente em 3 e 10
elementos.
Figura 7.14 – Dimensionamento da armadura longitudinal (Discretização em três elementos por
barra – F = 99,27 kN)
Figura 7.15 – Dimensionamento da armadura longitudinal (Discretização em três elementos por
barra – F = 95,7 kN)
134
7.6.3 Discussão dos Resultados
Os valores obtidos pelo programa de computador desenvolvido em [GARCIA-1] para o
pórtico foi modelado dividindo-se vigas e pilares em 3 elementos. Com o mesmo nível
de discretização o FTOOL-ADINA obteve resultados praticamente iguais.
Entretanto, para este exemplo, os valores de referência são os obtidos utilizando o
programa Frame Analysis. O processo de solução deste programa se baseia num
processo iterativo constituído por etapas lineares de análise pelo método da rigidez com
controle de deslocamentos.
Os resultados do programa Frame Analysis também foram publicados em [GARCIA-1].
Não se menciona o nível de discretização utilizado para a obtenção destes resultados,
entretanto, vê-se que com 10 elementos nos aproximamos muito da resposta publicada.
As Figuras 7.17 e 7.18 mostram a diferença no resultado final que pode ser obtido
utilizando diferentes níveis de discretização. Na primeira tela percebe-se que os valores
obtidos são bastante diferentes do dimensionamento inicial proposto, o que já não se
verifica na segunda figura.
7.7 Conclusões
O sistema computacional proposto mostra-se muito eficiente para a modelagem de
estruturas de concreto armado, captando bem os efeitos decorrentes da não-linearidade
física e geométrica, desde que haja uma modelagem criteriosa.
A qualidade das respostas depende do modelo adotado. Para um mesmo problema, as
respostas podem variar bastante conforme o tipo de análise, os parâmetros adotados e o
grau de refinamento da malha de elementos finitos. É de responsabilidade do usuário
avaliar o nível de não-linearidade da estrutura. Deve-se ater principalmente à
verificação do nível de esbeltez das colunas e se há inversão de momento-fletor ao
longo do elemento. Quanto mais esbelto o elemento e se houver inversão do diagrama
de momento-fletor, maior será necessidade de refinamento da malha. Às vezes torna-se
interessante testar mais de um nível de discretização antes de proceder à análise final.
135
8. Exemplo de Aplicação
8 EXEMPLO DE APLICAÇÃO
8.1 Introdução
Neste capítulo apresentaremos um exemplo com o objetivo de demonstrar as
capacidades de modelagem do FTOOL em estruturas de edifícios.
Ressaltamos que o programa tem um grande potencial, mas ainda não é muito indicado
para a prática corriqueira dos escritórios. As análises ainda são um pouco demoradas,
com tempo de processamento para cada combinação de carregamento do exemplo em
questão, variando de 3 a 5 minutos, dependendo do grau de refinamento. Entretanto,
identificamos que em vários pontos os algoritmos de geração e exportação das relações
N-M-1/r poderiam ser otimizados, fazendo com que facilmente reduzíssemos o tempo
de processamento a 1/3 do tempo atual. Faltam também recursos para a manipulação
simultânea de muitos elementos, como listagens de esforços, deslocamentos e áreas de
136
aço. Podemos dizer que este é o início de um trabalho, que ainda pode ser muito
melhorado.
8.2 Pórtico de Edifício [OLIVEIRA-1]
O problema apresentado aqui foi inicialmente proposto por Rogério M. Oliveira em sua
dissertação de mestrado [OLIVEIRA-1]. Este problema já foi discutido parcialmente no
Capítulo 3 e desta forma omitiremos vários aspectos que já tenham sido abordados.
8.2.1 Geometria
A estrutura em questão possui 20 andares, com distância entre lajes de 2,80 m. Todos os
andares possuem a mesma planta baixa apresentada na Figura 8.1 e o corte esquemático
vertical na figura Figura 8.2, observando-se que as lajes e vigas em balanço são
substituídas por suas forças equivalentes sobre o pilar P2 e P4 e sobre a viga V4, sendo
que a planta resultante pode ser vista à direita.
L1h=12
V1 (18/70)
V2 (18/70)
V3(
18/7
0)
V4(
18/7
0)
V5(
18/7
0)
P1(60/60) (60/60)
P2
(60/60)P4
(60/60)P5
(35/35)P3
800
800 230
y
x
h=12L2
P1 P2
P4 P5
P3
740
740
V2
V3
V1
V4
Figura 8.1 – Planta baixa do Edifício [OLIVEIRA-1]
137
Figura 8.2 – Corte vertical esquemático [OLIVEIRA-1]
Utilizou-se para todas as vigas seção T com largura da mesa igual a 73 cm.
8.2.2 Materiais
Foi utilizado concreto C25 (desconsiderando-se efeitos de fluência) e aço CA50-A em
toda a estrutura, com demais características dos materiais definidas segundo [ABNT-2].
8.2.3 Carregamento
O carregamento vertical considerado [OLIVEIRA-1] é igual em todos os pavimentos e é
dado por:
§ Lajes:
Carga permanente por área (revestimento) = 1,00 kN/m2
Carga acidental por área = 1,50 kN/m2
138
§ Vigas:
Carga permanente linear = 6,00 kN/m nas vigas V1 a V4 em toda a extensão.
Carga permanente linear = 2,00 kN/m na viga V5 em toda a extensão.
O carregamento horizontal é constituído apenas pelo vento e é apresentado na Tabela
8.1. Desconsiderou-se o carregamento horizontal decorrente da avaliação do desaprumo
global do edifício por se considerar o efeito do vento num edifício alto preponderante.
Andar Vento (kN)
20º 9,60
19º 19,10
18º 19,0
17º 18,90
16º 18,40
15º 17,90
14º 17,80
13º 17,30
12º 16,70
11º 16,60
10º 16,10
9º 15,50
8º 15,30
7º 14,70
6º 14,10
5º 13,50
4º 12,50
3º 11,40
2º 10,20
1º 11,90
Tabela 8.1 – Carregamento do Vento
139
8.2.4 Modelo
Neste trabalho, tendo-se em vista o caráter didático, procedemos apenas à análise da
estrutura de contraventamento da estrutura na direção x, analisando o pórtico plano
formado pela associação de dois pórticos, o primeiro formado pelas vigas V1, V11, ... e
V201e pelos pilares P1 e P2 e o segundo formado pelas vigas V2, V12, ... e V202 e
pelos pilares P4 e P5 com o pilar P3 (pilar contraventado). A compatibilização dos
deslocamentos dos pilares e transferência dos esforços horizontais em cada pavimento
foi feita com a introdução de uma série de barras rígidas articuladas nas extremidades,
conforme pode ser visto no modelo plano apresentado na próxima figura. Considerou-se
os pilares engastados na fundação.
Figura 8.3 – Estrutura de contraventamento do exemplo proposto em [OLIVEIRA-1].
O carregamento que solicita o pórtico plano foi dividido em três casos:
§ Caso 1 – Cargas permanentes;
§ Caso 2 – Cargas acidentais;
§ Caso 3 – Cargas horizontais (vento).
A carga vertical das lajes foi distribuída para as vigas e o pilar P3. Como não aparecem
no pórtico plano, as vigas V3, V4 , V5 e os balanços das vigas V1 e V2, tiveram seus
carregamentos representados por meio de suas reações nos pilares [OLIVEIRA-1]. A
140
figura Figura 8.4 mostra o esquema de carregamento final imposto em cada pavimento
em decorrência das cargas permanentes e acidentais verticais.
Figura 8.4 – Carregamento vertical aplicado a todos os pavimentos [OLIVEIRA-1]
Desta forma, considerando a simultaneidade das ações acidentais (3.8.1.1) e a
incidência do vento nas direções positiva e negativa do eixo x, devemos adotar 4
combinações de carregamento:
Caso 1 Caso 2 Caso 3 (Vento)
Combinação 1 1,4 1,4 0,4 ⋅ 1,4
Combinação 2 1,4 0,4 ⋅ 1,4 1,4
Combinação 3 1,4 1,4 -(0,4 ⋅ 1,4)
Combinação 4 1,4 0,4 ⋅ 1,4 -(1,4)
Fator de Ponderação
Tabela 8.2 – Combinações de Carregamento
141
Finalmente, cada lance de pilar foi representado por apenas um elemento. Isto é possível
porque os efeitos localizados de 2ª ordem podem ser desconsiderados em virtude da
esbeltez pequena dos pilares (λ = 16,2 para P1, P2, P4 e P5 e λ = 27,7 para P3 sendo
bem menores que λ1,mín ≅ 46 para os dois tipos de pilar). Cada viga foi dividida em 3
elementos.
8.2.5 Deslocabilidade da Estrutura
A avaliação da deslocabilidade da estrutura pode ser realizada através da consideração
do coeficiente γz, cujo processo de obtenção foi descrito em 3.8.3.1.
Utilizando (EI)sec = 0,4 EcIc para vigas e (EI)sec = 0,8 EcIc para pilares para a avaliação
da não-linearidade física, obtivemos os seguintes valores [OLIVEIRA-1]:
γz
Combinação 1 – Sentido (+) de x 3,64
Combinação 2 – Sentido (+) de x 1,41
Combinação 3 – Sentido (-) de x 1,00
Combinação 4 – Sentido (-) de x 1,05
Tabela 8.3 – Comparação dos valores de γz [OLIVEIRA-1]
É interessante mencionar que, embora γz indique que a estrutura é indeslocável para a
combinação 4, verifica-se um comportamento não-linear bastante pronunciado da
estrutura como será visto a seguir.
8.2.6 Análise
É muito difícil comparar elemento a elemento os resultados obtidos, pois as armaduras
determinadas aqui e na referência são diferentes (na referência, as armaduras utilizadas
na verificação decorrem do detalhamento dos elementos). Desta forma, utilizaremos
como parâmetro de controle global (qualitativo) o deslocamento horizontal no topo do
edifício.
142
Nos processamentos sempre foram utilizados 10 incrementos de carga, σcd = 1,10 fcd
para a confecção dos diagramas M-1/r, γf3 = 1,10. As curvas M-1/r utilizadas
distanciam-se entre si de 0,05 ν e foram consideradas as curvas distanciadas de ± 0,08 ν
do esforço normal da análise anterior.
8.2.6.1 Análise Não-Linear
O processo da análise não-linear é iterativo. Primeiro faz-se um pré-dimensionamento
das armaduras do pórtico e em seguida processa-se (análise não-linear físico-
geométrica) a estrutura quantas vezes forem necessárias até que não haja mais alteração
significativa dos esforços internos e consequentemente da disposição das armaduras.
§ Tentativa 1
Em nossa primeira tentativa, adotamos os parâmetros para a da rigidez reduzida secante
indicadas em [ABNT-2] (tópico 3.8.3.1, equações (3.9)), obtendo o seguinte quadro de
deslocamentos (topo do pilar P1 no 20º andar) e armadura resultante para o pilar mais
solicitado:
Combinação Deslocamento (cm) As,máx P2 (cm2)
1 17,56 89,54
2 25,90
3 4,84
4 -5,55
Tabela 8.4 – Tentativa 1 – Processamento 1
Com as armaduras dimensionadas procedeu-se à análise não-linear físico-geométrica da
estrutura, observando-se que não se obteve convergência para a combinação 4 (Tabela
8.5). Por causa disto, iniciamos uma nova tentativa, reduzindo um pouco mais a rigidez
inicial da estrutura.
143
Combinação Deslocamento (cm) As,máx P2 (cm2)
1 26,79 105,25
2 43,13
3 3,90
4 -
Tabela 8.5 – Tentativa 1 – Processamento 2
§ Tentativa 2
Nesta tentativa adotamos os valores para a rigidez secante reduzida determinados pelo
ACI-318/95 (ver tópico 3.8.4) para a análise não-linear geométrica, iniciando uma nova
tentativa de dimensionamento:
Combinação Deslocamento (cm) As,máx P2 (cm2)
1 22,72 97,11
2 33,88
3 5,62
4 -8,20
Tabela 8.6 – Tentativa 2 – Passo 1
Combinação Deslocamento (cm) As,máx P2 (cm2)
1 24,56 104,45
2 39,31
3 3,02
4 -23,21
Tabela 8.7 – Tentativa 2 – Processamento 2
Combinação Deslocamento (cm) As,máx P2 (cm2)
1 24,10 107,54
2 38,60
3 3,31
4 -18,96
Tabela 8.8 – Tentativa 2 – Processamento 3
144
Nas tabelas acima, os processamentos 2 e 3 constituem de análises não-lineares físico-
geométricas, que utilizam a armadura determinada no passo imediatamente anterior para
a geração dos diagramas N-M-1/r.
O processo é interrompido no processamento 3, pois verifica-se que há pouca alteração
nos esforços e consequentemente nas armaduras. Tal diferença seria suprida no
detalhamento dos elementos, aonde sempre há um acréscimo na área de aço.de cada
elemento.
8.2.7 Resultados
Apresentamos a seguir telas de programa com a configuração deformada para todos as
combinações de carregamento obtidas no processamento 3 da tentativa 2 e gráficos dos
esforços obtidos apenas para a combinação de carregamento 2.
Comparando os deslocamentos, obtivemos 38,60cm de deslocamento horizontal final
máximo (combinação 2) para o pórtico contra 35,27cm obtidos em [OLIVEIRA-1].
Nota-se que os resultados obtidos são muito parecidos e acreditamos que esta diferença
advenha de termos utilizado menos armadura, pois não fizemos o detalhamento de cada
peça antes das análises não-lineares físico-geométricas.
145
Figura 8.5 - Deformada
Combinação 1
Combinação 2
Combinação 4
Combinação 3
146
Figura 8.6 – Esforço Normal (kN)
147
Figura 8.7 – Momento Fletor (kN.m)
148
Figura 8.8 – Força Cortante (kN)
149
Figura 8.9 – Armadura Longitudinal (cm2)
150
Figura 8.10 – Armadura transversal (cm2/m)
151
8.3 Conclusões
Já era esperado que o valor para o deslocamento do topo da estrutura (combinação 2)
fosse superior ao da referência, pois neste trabalho não detalhamos as vigas e pilares. O
detalhamento ocasiona um aumento da armadura, que na análise não-linear aumenta a
rigidez dos elementos e as torna consequentemente menos deslocáveis. Desta forma
podemos dizer mais uma vez que o sistema computacional proposto é eficiente para o
dimensionamento e verificação de pórticos planos de concreto armado, inclusive os
mais complexos, com maior quantidade de elementos.
Deste exemplo, concluímos também que o trabalho de modelagem seria bastante
facilitado com a confecção de rotinas que permitam automatizar o processo de cálculo
utilizado, constituído por sucessivas análises não-lineares até que haja estabilização da
armadura dos diversos elementos e de rotinas para a impressão de listagens com
esforços, deslocamentos e áreas de aço.
152
9. Conclusões
9 CONCLUSÕES
Resumindo as conclusões parciais apresentadas no desenvolver deste trabalho,
concluímos que:
§ o procedimento indicado em [SANTOS-2], para o dimensionamento das seções
simétricas com disposição pré-definida das armaduras submetidas à flexão normal
composta é bastante eficiente, pois estabelece um método que permite tratar todos
os casos de solicitação de uma maneira consistente (Capítulo 4);
§ a utilização do diagrama parábola-retângulo para o concreto, ao invés do retangular
simplificado, conduz a um maior consumo de armadura. Esta diferença de consumo
é pequena, não ocasionando mudança significativa no detalhamento (Capítulo 4);
§ os algoritmos para confecção das relações N-M-1/r geram resultados precisos
quando comparados com os valores das tabelas de [SANTOS-3] (Capítulo 5);
153
§ o sistema computacional proposto mostra-se muito eficiente para a modelagem de
estruturas de concreto armado, captando bem os efeitos decorrentes da não-
linearidade física e geométrica, desde que haja uma modelagem criteriosa (Capítulos
6 e 7).
Podemos registrar também que o programa desenvolvido pode ser um grande aliado no
ensino do comportamento das estruturas de concreto. Há muitos outros problemas
planos, e também espaciais, que podem ser modelados e melhor explicados utilizando o
FTOOL. Seria inviável abordar todos estes problemas nesta dissertação, mas
acreditamos que, uma vez criada a ferramenta, a confecção de exemplos didáticos torna-
se mais simples.
Sugestões para Trabalhos Futuros
Sempre há a possibilidade de melhorar. O FTOOL pode ser aperfeiçoado para
aplicações acadêmicas incluindo a possibilidade de fazer animações, de visualizar os
diagramas força normal – momento – curvatura, de gerar diagramas de interação e de
imprimir os resultados.
Para sua aplicação no âmbito profissional, é interessante elaborar rotinas para:
§ a consideração da fluência, elaborando modelos considerando as alterações das
características mecânicas do concreto ao longo do tempo, e permitindo o tratamento
de peças mais esbeltas (λ > 90);
§ a automatização do processo de cálculo utilizado, constituído por sucessivas análises
não-lineares até que haja estabilização da armadura dos diversos elementos;
§ a impressão de listagens com esforços, deslocamentos e áreas de aço;
§ o detalhamento de vigas e pilares ou para a integração com softwares de
detalhamento (como o Strakon);
154
§ a automatização de certas tarefas, como o cálculo do peso próprio e do efeito de
vento;
§ a resolução dos problemas não-lineares internos sem a utilização de solvers
comerciais.
Desta forma, acreditamos que o nosso trabalho abre a possibilidade de diversas outras
pesquisas dentro da mesma interface, sempre buscando uma modelagem cada vez mais
fiel dos pórticos planos e quiçá do comportamento global dos edifícios com uma
interface que proporcione o tratamento tridimensional das estruturas de concreto
armado.
155
10. Bibliografia
10 BIBLIOGRAFIA
[ABNT-1]ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto eexecução de obras de concreto armado - NB1 / NBR6118. Rio deJaneiro, 1978.
[ABNT-2]ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto deestruturas de concreto - NBR6118. Rio de Janeiro, a ser publicada em2000.
[ADINA-1]ADINA R & D Inc.. ADINA user interface - primer. Watertown, MA,1996.
[ADINA-2]ADINA R & D Inc.. ADINA user interface - command reference manual(model definition). Watertown, MA, 1996.
156
[ADINA-3]ADINA R & D Inc.. ADINA - Automatic dynamic incremental nonlinearanalysis - Theory and modeling guide. Watertown, MA, 1996.
[ANTUNES-1]ANTUNES, H. M. C.; SILVA, R. M.. Numerical evaluation of designmethods to consider the non-linearity on plane frames. Proceedings.Fourth World Congress on Computational Mechanics. CD-ROM. BuenosAires, Argentina, June 1998.
[BATHE-1]BATHE, K. J.. Finite element procedures. Englewood Cliffs. Prentice-Hall, 1996.
[BATHE-2]BATHE, K. J.; BOLOURCHI, S.. Large displacement analysis of three-dimensional beam structures. International Journal for NumericalMethods in Engineering. v. 14, p. 961-86, 1979.
[CARVALHO-1]CARVALHO, P. C. P.; GATTASS, M.; MARTHA, L. F.. A software toolwhich allows interactive creation of planar subdivisions, and applications toeducational programs. Proceedings. CATS’90 – International Conferenceon Computer Aided Training in Science and Technology. Barcelona,Espanha, p. 201-07, July 1990.
[CAVALCANTI-1]CAVALCANTI, P.R., CARVALHO, P. C. P.; MARTHA, L. F.. Criação emanutenção de subdivisões planares. Anais. IV Simpósio Brasileiro deComputação Gráfica e Processamento de Imagens. São Paulo, SP, p. 13-24,jul. 1991.
[CRISFIELD-1]CRISFIELD, M.A.. Non-linear finite element analysis of solids andstructures Vol. 1. Englewood Cliffs. John Willey & Sons, 1991.
[FRANÇA-1]FRANÇA, R. L. S.. Relações momento-curvatura em peças de concretoarmado submetidas à flexão oblíqua composta. Dissertação (Mestrado).Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo, 1984.
[FRANÇA-2]FRANÇA, R. L. S.. Contribuição ao estudo dos efeitos de segundaordem em pilares de concreto armado. Tese de doutorado. EscolaPolitécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo, 1991.
[FUSCO-1]FUSCO, P. B.. Estruturas de concreto – solicitações normais. Rio deJaneiro. Ed. Guanabara Dois, 1981.
157
[GARCIA-1]GARCIA, L. F. Taborda.. Análise não-Linear de pórticos planos deconcreto armado. Dissertação (Mestrado). Universidade Federal do Rio deJaneiro (COPPE-UFRJ). Rio de Janeiro, 1974.
[ISHITANI-1]ISHITANI, H. et al.. Estruturas de concreto I (notas de aula). Apostilada Disciplina PEF-311. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.São Paulo, 1998.
[ISHITANI-2]ISHITANI, H. et al.. Estruturas de concreto II (notas de aula). Apostilada Disciplina PEF-312. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.São Paulo, 1998.
[KAEFER-1]KAEFER, L. F.; MARTHA, L. F.; BITTENCOURT, T. N.. FTOOL:Ensino de comportamento de estruturas com múltiplos casos e combinaçõesde carregamento. Anais. IV SIMMEC – Simpósio Mineiro de MecânicaComputacional, Uberlândia, MG, p. 305-12, mai. 2000.
[KAEFER-2]KAEFER, L. F.; MARTHA, L. F.; BITTENCOURT, T. N.. FTOOL:Ensino de comportamento de estruturas de concreto armado sob não-linearidade física e geométrica. Anais. IV Simpósio EPUSP sobreEstruturas de Concreto, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.CD-ROM. São Paulo – SP, ago. 2000.
[LEONHARDT-1]LEONHARDT, F. e MÖNNIG, E.. Construções de concreto – volume 1.Rio de Janeiro. Livraria Interciência Ltda., 1977.
[KERNIGHAN-1]KERNIGHAN, B. W. e RITCHIE, D. M.. C, A linguagem deprogramação. Porto Alegre, EDISA, 1988.
[LEVY-1]LEVY, C. H.. IUP/LED - Uma ferramenta portátil de interface comusuário. Dissertação (Mestrado). Pontífice Universidade Católica do Rio deJaneiro (PUC-Rio). Rio de Janeiro, 1993.
[MACGREGOR-1]MACGREGOR, J. G.; HAGE, S.. Stability analysis and design of concreteframes. Journal of Structural Division. v. 103, n. 10, p. 1953-1970, Oct.,1977.
[MCGUIRE-1]MCGUIRE, W.; GALLAGER, R. H.; ZIEMIAN, R. D.. Matrix structuralanalysis. 2.ed. Englewood Cliffs. John Wiley & Sons, 2000.
158
[MARTHA-1]MARTHA, L.F.. FTOOL: A structural analysis educational interactive tool.Proceedings. Workshop in Multimedia Computer Techniques inEngineering Education. Institute for Structural Analysis, TechnicalUniversity of Graz, Áustria, p. 51-65, Feb. 1999.
[OLIVEIRA-1]OLIVEIRA, R. M.. Contribuição ao estudo da rigidez de vigas deconcreto armado em análises de 2ª ordem. Dissertação (Mestrado).Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo, 2000.
[SANTOS-1]SANTOS, L. M.. Estado limite último de instabilidade. Apostila. EscolaPolitécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo, 1988.
[SANTOS-2]SANTOS, L. M.. Sub-rotinas básicas do dimensionamento de concretoarmado. São Paulo. Ed. Thot, 1994.
[SANTOS-3]SANTOS, L. M.. Tabelas momento-curvatura – seção retangular.Boletim Técnico BT/PEF- 8815. Escola Politécnica da Universidade de SãoPaulo. São Paulo, 1988.
[SOLER-1]SOLER, J. G. M.. Análise não-Linear de pórticos planos de concretoarmado. Dissertação (Mestrado). Escola Politécnica da Universidade deSão Paulo. São Paulo, 1989.
[SÜSSEKIND-1]Süssekind, J. C.. Curso de concreto – volume II. Rio de Janeiro. Ed.Globo, 1984.
[TECGRAF-1]TECGRAF/PUC-RIO. IUP - Sistema portátil de interface com o usuário- versão 1.8. Documentação "Online". (http://www.tecgraf.puc-rio.br/manuais/cd/). Rio de Janeiro. TecGraf / PUC-Rio, 1998.
[TECGRAF-2]TECGRAF/PUC-RIO. CD - Canvas draw - uma biblioteca gráfica 2D -versão 3.6. Documentação "Online". (http://www.tecgraf.puc-rio.br/manuais/iup/). Rio de Janeiro. TecGraf / PUC-Rio, 1998.
[VASCONCELOS-1]VASCONCELOS, A. C.; FRANCO, M.. Practical assessment of secondorder effects in tall buildings. Proceedings. Colloquium on the CEB-FIPModel Code 90, Rio de Janeiro, 1991.
159
i
11. Anexo I
A1 ANEXO I
TUTORIAL DO FTOOL
A1.1 Generalidades
Neste anexo mostraremos todas as características do FTOOL, implementadas ou não
nesta dissertação, pois o objetivo principal é ensinar como utilizar o FTOOL. O texto foi
organizado da maneira mais didática possível, colocando as explicações sobre os
diversos controles na ordem em que eles são utilizados normalmente ao criarmos um
modelo.
Nas próximas figuras apresentamos duas telas, uma da versão básica do FTOOL e outra
do FTOOL implementado nesta dissertação, visando a identificação, a grosso modo, dos
novos recursos e particularidades.
ii
Figura A1.1 – Tela do FTOOL 2.06
Figura A1.2 – Tela do FTOOL/RC
A1.2 Manipulação de Arquivos
A manipulação de arquivos no FTOOL se dá através do menu suspenso File.
iii
Figura A1.3 – Menu File
O Menu File contém opções de informações sobre o programa (About FTOOL) e
opções para criar um novo modelo (New), carregar na memória o modelo gravado em
um arquivo armazenado em disco (Open), gravar o modelo corrente em um arquivo em
disco com o mesmo nome (Save) ou com um nome diferente (Save as), exportar a
imagem da tela (Export Screen) para a área de transferência do Windows (Clipboard)
ou arquivos com formatos específicos, verificar o número total de barras e nós
existentes no modelo (Totals), determinar o limite da janela de trabalho (Limits) e por
fim a opção de saída do programa (Exit). A opção Read Results serve para lermos
arquivos de resultados gravados em disco.
Os comandos mais utilizados do menu File foram agrupados no conjunto de botões
abaixo do menu File.
Novo arquivo Copiar tela para o Clipboard
Abrir arquivo Imprimir
Gravar arquivo
Figura A1.4 – Comandos principais do menu File
iv
A1.3 Criação e Manipulação da Geometria do Modelo
A1.3.1 Menu de Edição
O menu de edição reúne as principais ferramentas para a criação do modelo.
Seleciona um grupo de barras ou nósInsere uma barraInsere um nóModo tecladoElimina os objetos selecionados
Figura A1.5 – Menu de Edição
A criação de uma entidade se faz de maneira direta. Para inserir uma barra, basta
pressionar o botão e “clicar” em dois pontos do canvas. Instantaneamente são
criados os nós nas extremidades da barra. Ao criarmos duas barras que se interceptem, o
nó da interseção dos dois elementos é automaticamente criado. Analogamente, para
criarmos um nó, selecionamos e “clicamos” em um ponto do canvas. O FTOOL
possui também um sistema parecido com o Osnap do AutoCAD, que automaticamente
seleciona um nó para a definição das barras. O processo de criação pode ser auxiliado
pelo uso do Snap (A1.4.2).
Adicionalmente, selecionando o modo teclado, podemos criar nós e elementos digitando
suas coordenadas nos diálogos da Figura A1.6:
Figura A1.6 – Definição de nós e elementos através do teclado
v
Finalmente, o botão coloca o FTOOL em modo de seleção. Neste modo, “clicando”
com o botão direito do mouse sobre barras ou nós, pode-se visualizar seus atributos na
área do menu lateral. Usando o botão esquerdo selecionamos a entidade e em conjunto
com a tecla shift podemos selecionar mais de uma entidade (precisamos selecionar as
entidades para lhes aplicar atributos).
A1.3.2 Menu de Undo e Redo
Permitem desfazer as últimas ações, ou refazê-las.
Undo Redo
Figura A1.7 – Menu de Undo e Redo
A1.3.3 Menu Transform
Figura A1.8 – Menu Transform
O menu Transform nos fornece opções para manipular entidades já criadas. Existem as
opções de mover (Move), espelhar (Mirror), rotacionar (Rotate), aplicar um fator de
escala (Scale) e repetir a última transformação (Repeat). Selecionando Leave Original, é
feita uma cópia do elemento, que é então transformada. Desta forma Leave Original
associado com o comando Move é responsável por fazer cópias dos elementos.
A1.4 Controles de Visualização
A1.4.1 Menu de Controle de Visualização
Este menu agrupa todos os controles para definição da janela de visualização do
modelo.
vi
Redesenha o modeloAjusta o modelo à telaÁrea de visualização definida por um retânguloAproxima (Mais Zoom)Afasta (Menos Zoom)
Dial para definição da escala do desenho (Afasta ou aproxima o observador)
Figura A1.9 – Menu de Controle de visualização
A1.4.2 Menu de Controle de Coordenadas
Neste menu se encontram as informações sobre a superfície de visualização. Os campos
H e V armazenam o tamanho da janela de visualização e permitem a alteração destes
valores. As labels X e Y mostram a posição do cursor na tela. Disponibiliza-se também
a opção do usuário definir um Grid (pontos na tela) e ativar o Snap, que faz com que
somente os pontos espaçados uniformemente pela tela (do Grid) possam ser
selecionados.
Tamanho da área de trabalho Aciona o Grid
Espaçamento dos pontos doGrid
Posição do cursor Aciona o Snap
Figura A1.10 – Menu de Controle de Coordenadas
A1.4.3 Menu Display
Neste menu o usuário pode escolher de acordo com sua preferência, qual a cor de fundo
de tela, tendo para cada cor de fundo selecionada diferentes cores relacionadas com as
barras e nós do modelo. Outra opção do usuário é trabalhar com todos os elementos do
modelo com a cor preta e fundo de tela branco. Isto permite que a imagem do modelo
possa ser impressa em uma impressora monocromática. Pode-se também especificar
vii
quais os atributos que devem ser mostrados na tela durante o manuseio do programa,
devendo-se observar que certas opções aplicam-se somente ao pré-processamento e
outras somente ao pós-processamento.
BrancoCinzaFundo de telaPerto
Modelo com todos elementos pretosOrientação do ElementoCarregamentoCarregamento e ResultadosValores do carregamentoSuportesValores dos resultadosReações nos apoiosValores das reaçõesNumeração dos nós
Mos
trar
Numeração dos elementos
Figura A1.11 – Menu Display
A1.5 Configurações
A1.5.1 Menu Options
O menu Options agrupa os controles para configurar o tipo de análise efetuada (Linear,
Não-linear geométrica e Não-linear geométrica e física), qual programa efetuará a
análise (ADINA ou Femoop/Framoop), além de chamar as janelas de configuração das
Unidades e Formatação de Números (Units & Number Formatting) e do
estabelecimento dos pontos de cálculo dos diagramas dos elementos e configuração do
dimensionamento e da análise não-linear (Options).
Figura A1.12 – Menu Options
viii
A1.5.2 Janela de Configuração do Solver
Esta janela permite que se selecione o programa que efetuará a análise. São disponíveis
a análise interna (linear) Femoop e a análise externa (com a opção não-linear) efetuada
pelo Adina.
Figura A1.13 – Janela de Configuração dos programas de análise
Os campos AUI e Adina devem ser preenchidos com os diretórios, aonde
respectivamente estão instalados o ADINA-AUI (Adina User Interface) e o ADINA
(solver).
Deve-se ainda instalar o ADINA em diretórios com nomes com menos de 8 caracteres
sem a utilização de caracteres acentuados. A mesma prescrição se faz para os diretórios
de trabalho, pois dependendo do caso, o ADINA pode não reconhecer a posição dos
arquivos de dados.
A1.5.3 Janela de Configuração de Unidades e Formato de Numeração
Com o objetivo de tornar a interface com o usuário mais amigável, permite-se que
sejam definidas unidades para as diversas grandezas envolvidas, bem como um formato
para exibição para os números.
ix
Figura A1.14 – Janela de configuração de unidades e formatos de numeração
A1.5.4 Janela de Controle do Estabelecimento dos Pontos de Cálculo,do Dimensionamento e da Análise Não-Linear
Na ficha R. C. Config encontram-se controles para que se estabeleça um fator γf3 (ver
tópico 3.8.4) diferente de 1,0 para as análises não-lineares, limitar a posição da linha
neutra (βx,lim) conforme 4.8.4 e determinar a tensão máxima de cálculo para o concreto
(σcd) no cálculo dos diagramas momento-curvatura (ver item 5.3.3.3).
x
Figura A1.15 – Configuração da divisão dos elementos
A ficha N. L. Analysis contém controles para a configuração da análise não-linear. Os
elementos para a configuração do ADINA permitem que se opte entre uma função de
carregamento constante (toda a carga já é aplicada no início) ou linear (o carregamento
varia linearmente entre o primeiro e o último incremento de carga) e que se estabeleça o
número de incrementos de carga. As configurações do FTOOL referem-se à geração dos
diagramas força normal – momento – curvatura. ∆ν define o incremento de variação da
força normal e ∆θ da curvatura para o traçado das curvas (em termos adimensionais).
Além disso pode ser estabelecido um intervalo (também em termos adimensionais) em
torno da força normal obtida de uma análise linear (ou não-linear geométrica)
preliminar para o qual serão geradas os diagramas momento-curvatura.
A ficha Memb. Subdiv. controla o estabelecimento dos pontos de cálculo dos diagramas
e da deformada. Estabelece-se um número mínimo e máximo de divisões, bem como
um comprimento mínimo e máximo para o espaçamento entre as seções. Ao dividir as
xi
barras, o FTOOL procurará respeitar estes critérios, buscando adequar a divisão a
tamanhos diferentes de barras.
A configuração do número de subdivisões dos elementos foi necessária ao inserirmos o
cálculo das envoltórias e dimensionamento das seções de concreto armado, quando
detectamos a necessidade de o passo de cálculo dos diagramas ser feito não com base
em critérios de uma boa visualização, mas como critério de projeto.
A1.6 Atributos de Nós e Barras
A1.6.1 Menu de Controle dos Atributos dos Nós e Barras
Os botões deste menu nos permitem visualizar os diversos submenus responsáveis pela
criação e atribuição de propriedades às entidades do modelo.
Aciona o submenu com as possibilidades de articulação dasbarras
Aciona o submenu que permite a aplicação dos apoios de molanos nós
Aciona o submenu que permite a aplicação das condições deapoio dos nós
Aciona o submenu que fixa as áreas de aço dos nós
Aciona o submenu responsável pela criação das propriedadespara o cálculo de concreto armado
Aciona o submenu responsável pela criação das seçõestransversais das barras.
Aciona o submenu responsável pela criação das propriedadesdos materiais.
Figura A1.16 – Menu de controle dos atributos de nós e barras
xii
A1.6.2 Características comuns aos submenus
Os submenus para manipulação dos materiais, seções transversais, parâmetros de
detalhamento e carregamentos possuem funcionamento básico igual.
A lista drop-down (Figura A1.17) permite que seja selecionado um conjunto de
propriedades através de seu nome. Os valores desta propriedade serão automaticamente
visualizadas nos campos do submenu, permitindo sua edição.
Figura A1.17 – Lista drop-down
Os botões da próxima figura permitem a manipulação destes conjuntos de propriedade.
Aplica o conjunto de propriedades corrente ao elemento.
Seleciona elementos que possuírem o conjunto de propriedadescorrente ou atual.
Condensa o conjunto de propriedades, excluindo aquelas que nãoestiverem sendo usadas.
Exclui o conjunto de propriedades corrente.
Altera o nome do conjunto de propriedades corrente.
Cria um novo conjunto de propriedades.
Figura A1.18 – Manipulação dos conjuntos de propriedades
Para criar um novo conjunto de propriedades, deveremos pressionar e atribuir um
nome diferente das outras propriedades.
xiii
Figura A1.19 – Criação de um novo conjunto de propriedades
A1.6.3 Submenu de Propriedades dos Materiais
Ao criarmos um novo conjunto de propriedades de material deveremos atribuir os
valores das características do concreto e do aço. A notação utilizada é a mesma desta
dissertação. O tipo do aço deverá ser selecionado entre os aços padronizados pela
ABNT através de uma lista expansível.
Figura A1.20 – Submenu Material Parameters
A1.6.4 Submenu de Propriedades das Seções Transversais
Deve-se escolher a que tipo de elemento se aplicará esta seção transversal. Selecionando
viga (Beam) o dimensionamento seguirá conforme o disposto em 4.8, caso contrário,
assinalando pilar (Column) o dimensionamento será realizado segundo 4.9.
xiv
Conforme o elemento estrutural selecionado poderemos escolher entre duas formas
básicas: retangular para vigas e pilares e T somente para vigas. Para os pilares
disponibilizamos três arranjos simétricos de armadura: armadura uniformemente
distribuída nas quatro faces, armadura distribuída nas laterais e armadura distribuída nas
faces superior e inferior.
Nos demais campos editáveis devemos digitar os valores das medidas da seção,
conforme a próxima figura e nos campos A, I e y temos os valores para a área,
momento de inércia em relação ao centro geométrico e distância do centróide à face
inferior da seção .
Figura A1.21 – Submenu Section Properties
A1.6.5 Submenu de Propriedades do Dimensionamento
O parâmetro d’ é a distância do centro geométrico armadura longitudinal às faces dos
elementos.
xv
Figura A1.22 – Submenu Reinforced Concrete Parameters
A1.6.6 Submenu de Aplicação de Área de Aço
Neste submenu e nos demais desta seção, não há a criação de conjuntos de propriedades
que então serão atribuídas aos elementos (ou nós). Os atributos são armazenados
diretamente nas entidades.
Este submenu é muito importante para problemas de verificação. Através dele podemos
aplicar às barras áreas de aço independentemente dos valores calculados. Selecionando
Lock, os parâmetros a serem atribuídos (se Apply As’s estiver selecionado) ou atuais
serão conservados, independentemente de novos processamentos e novos
dimensionamentos das armaduras.
Figura A1.23 – Submenu Steel Area Member Parameters
A1.6.7 Submenu das Propriedades de Apoio
Através deste submenu, o usuário define as componentes de deslocamentos na direção x
e y e a rotação em torno do eixo z estão liberados ou não. Define-se também o ângulo
do apoio, bem como se há algum deslocamento ou rotação prescrita.
xvi
Fixa/Libera o deslocamento no eixo “X” global.
Fixa/Libera o deslocamento no eixo “Y” global.
Fixa/Libera o rotação em torno do eixo “Z”.
Ângulo de rotação do apoio
Prescreve deslocamentos
Deslocamento aplicado (no eixo “X” global).Deslocamento aplicado (no eixo “Y global).Rotação aplicada.
Limpa os parâmetrosSeleciona nós que possuírem a mesma condição de apoio atual.Aplica os parâmetros definidos aos nós.
Figura A1.24 – Submenu das propriedades de apoio
OBSERVAÇÃO:
Os fatores de ponderação das combinações de carregamento não são aplicados a
deslocamentos de apoio ou molas. O fator γf3 é aplicado nas cargas, deslocamentos
prescritos e fatores de mola.
A1.6.8 Submenu das Propriedades dos Apoios Elásticos
Permite que sejam aplicados apoios elásticos aos nós das estruturas. O princípio é
similar ao disposto no item A1.6.7.
xvii
Figura A1.25 – Submenu das propriedades de apoio elástico
OBSERVAÇÃO:
Os fatores de ponderação das combinações de carregamento não são aplicados a
deslocamentos de apoio ou molas. O fator γf3 é aplicado nas cargas, deslocamentos
prescritos e fatores de mola.
A1.6.9 Submenu das Propriedades de Articulação das Barras
Este submenu permite que se atribuam rótulas a barras ou nós.
Articula / Remove articulação de um nó.Articula as duas extremidades da barra.Articula a extremidade inicial da barra.Articula a extremidade final da barra.Remove articulações das barras.
Seleciona barras com o tipo de articulação corrente.Aplica situação de articulação aos elementos.
Figura A1.26 – Submenu das propriedades de articulação das barras
xviii
A1.7 Atribuição do Carregamento
O sistema de atribuição dos carregamentos é aproximadamente igual ao disposto no
item A1.6.2. Entretanto, além do já disposto, ao aplicar um carregamento, deve-se
sempre selecionar um caso de carregamento, ao qual este será relacionado.
A1.7.1 Seleção do Caso de Carregamento
O caso de carregamento corrente (ao qual serão relacionado os carregamentos aplicados
posteriormente) pode ser escolhido através da lista drop-down mostrada na próxima
figura.
Figura A1.27 – Seleção do caso de carregamento
A1.7.2 Manipulação dos Casos de Carregamento
Pressionando o botão da Figura A1.27 abre-se a janela de configuração dos casos de
carregamento.
Figura A1.28 – Manipulação dos casos de carregamento
Através dos botões pode-se criar (Add) ou remover (Del) casos de carga. O botão OK
confirma alterações processadas. A criação ou remoção de um caso de carregamento
não pode ser cancelada (Cancel). Os dados de cada caso de carregamento podem ser
xix
vistos e alterados diretamente na tabela. Pode-se alterar o nome (Label) e a cor (Color)
com a qual os carregamentos de cada caso serão mostrados ou não (Visible).
A1.7.3 Menu de Controle dos Carregamentos
Os botões deste menu nos permitem visualizar os diversos submenus responsáveis pela
criação e atribuição de carregamentos às entidades do modelo. Os carregamentos
disponíveis são os de força concentrada aplicada aos nós, carga uniformemente ou
linearmente distribuída e carga de gradiente térmico sobre as barras.
Carregamento de temperatura
Carregamento linearmente distribuído
Carregamento uniformemente distribuído
Carregamento Nodal
Figura A1.29 – Menu de controle do carregamento
A1.7.4 Submenu do Carregamento Nodal
Permite que sejam criadas e aplicadas cargas concentradas aos nós da estrutura. O
sistema de coordenadas é o global.
Figura A1.30 – Submenu Nodal Loading
xx
A1.7.5 Submenu do Carregamento Uniforme
Permite que sejam criados e aplicados carregamentos uniformes aos elementos. Pode-se
adotar como sistema de referência o sistema de coordenadas global ou local (da barra).
Figura A1.31 – Submenu Uniform Loading
A1.7.6 Submenu do Carregamento Linear
Permite que sejam criados e aplicados carregamentos lineares aos elementos. Pode-se
adotar como sistema de referência o sistema de coordenadas global ou local (da barra).
Figura A1.32 – Submenu Linear Loading
xxi
A1.7.7 Submenu do Carregamento de Temperatura
Permite que sejam criados e aplicados carregamentos ocasionados por gradientes
térmicos aos elementos.
Figura A1.33 – Submenu Thermal Loading
A1.8 Processamento
A1.8.1 Seleção da Combinação de Casos de Carga Corrente
A seleção da combinação de carregamento ativa, que será calculada pressionando o
botão que dispara o processamento pode ser feita através da lista drop-down mostrada
na próxima figura.
Figura A1.34 – Seleção da combinação de carregamentos
A1.8.2 Configuração das Combinações de Carregamento
A configuração das combinações de carregamento é análoga à dos casos de
carregamento. Acresce-se apenas a manipulação dos atributos Envelope e Load Cases.
xxii
Figura A1.35 – Configuração das combinações de carregamento
A opção Envelope indica se a combinação é incluída ou não no cálculo das envoltórias.
“Clicando” com o botão direito do mouse sobre uma das células da coluna Load Cases,
visualizamos a janela abaixo, aonde podemos atribuir fatores de ponderação aos
diversos casos de carregamento. Todo caso de carregamento que possuir coeficiente de
ponderação diferente de zero será incluído na respectiva combinação.
Figura A1.36 – Configuração dos casos de carregamento
pertencentes às combinações de carregamento
A1.8.3 Menu de Processamento
Nesta versão do FTOOL, cada combinação de carregamento deverá ser calculada
individualmente (combinação corrente) o que permite que se configure tipos de análise
diferentes (linear ou não) para cada combinação. O dimensionamento das seções de
concreto armado é realizado para todas as combinações previamente calculadas.
xxiii
Resolve a estrutura para a combinação decarregamento ativa
Dimensiona as seções de concretoarmado para todas as combinaçõescalculadas
Figura A1.37 – Menu de Processamento
ATENÇÃO:
Antes de se analisar uma estrutura sob não linearidade física e geométrica, deve-se
primeiramente definir ou calcular as áreas de aço dos elementos e armazenar na
combinação aonde pretende-se gravar os resultados da análise não-linear primeiramente
os valores obtidos por uma análise linear.
Figura A1.38 – Processamento utilizando o ADINA
xxiv
A1.9 Pós-Processamento
A1.9.1 Menu de Pós-Processamento
Seleciona a visualização em modo envoltória.
Mostra os diagramas de áreas de aço (longitudinal etransversal).
Mostra as deformadas.
Mostra os diagramas de momento fletor.
Mostra os diagramas de força cortante.
Mostra os diagramas de força normal.
Figura A1.39 – Menu de pós-processamento
A1.9.2 Listagem de Resultados (Inquiry)
“Clicando” sobre um elemento com o botão direito do mouse no pós-processamento,
visualiza-se o valor do diagrama neste ponto e lista-se na caixa de mensagens acima do
canvas o respectivo valor. Utilizando o botão esquerdo sobre nós ou elementos, o menu
lateral se transforma numa caixa de texto aonde são exibidos os valores mínimos,
máximos e das extremidades do esforço área de aço ou deslocamento que está sendo
exibido para cada combinação ou da envoltória.
xxv
Figura A1.40 – Inquiry
A1.9.3 Visualização dos Resultados
Todos os resultados podem ser visualizados, inclusive as áreas de aço. Existe a opção de
se visualizar os diagramas ou apenas os valores mínimos e máximos destes
(envoltórias).
A1.9.3.1 Convenção de Sinais – Notação
Transcrevendo texto do Prof. Luiz Fernando Martha (disponível em
http://www.tecgraf.puc-rio/ftool):
A convenção de sinais depende da definição de um sistema de coordenadas local para as
barras. Neste sistema o eixo x local coincide com o eixo da barra. No FTOOL, o eixo y
(para o traçado dos diagramas) fica definido da seguinte maneira:
a) Barras horizontais e inclinadas
eixo y no sentido do eixo Y global (eixo vertical da tela com sentido para cima);
xxvi
b) Barras verticais
eixo y no sentido contrario ao eixo global X, isto é o eixo y tem a direção horizontal
com sentido da direita para esquerda.
A definição de um sistema de eixos locais para cada barra serve para definir fibras
inferiores (do lado negativo do eixo y local) e fibras superiores (do lado positivo do eixo
y local) para a barra. Assim, nas barras horizontais e inclinadas as fibras inferiores são
as fibras de baixo quando se olha o eixo vertical da tela na sua orientação natural
(cabeça do observador para cima). Nas barras verticais as fibras inferiores são as da
direita.
Uma vez definido o sistema de eixos locais, o FTOOL adota é a seguinte convenção
para desenho do diagrama:
a) Esforços normais (axiais)
Valores positivos são desenhados do lado das fibras superiores (do lado positivo do
eixo x local) e negativos do outro lado. Esforços normais positivos são de tração e
negativos de compressão. Na linha de mensagem, além do sinal do valor do esforço
normal, também é indicado se ele é de compressão ou tração;
b) Esforços cortantes
Esforços cortantes são positivos quando entrando com as forcas à esquerda de uma
seção transversal (no seu sistema de eixos locais) a resultante das forças na direção
vertical local for no sentido positivo do eixo y local. O sinal aparece na linha de
mensagens quando um ponto na barra é selecionado;
c) Momentos fletores
O diagrama de momentos fletores é sempre desenhado do lado da fibra tracionada.
O sinal que aparece na linha de mensagem adota a convenção de que momentos são
positivos quando tracionam as fibras inferiores e negativos quando tracionam as
fibras superiores.
xxvii
A1.9.3.2 Telas de Resultados
Apresentamos a seguir algumas telas do FTOOL com representações gráficas que
podem ser obtidas.
Figura A1.41 – Desenho dos diagramas de momento fletor para uma viga contínua.
Figura A1.42 – Visualização das envoltórias de momento fletor para uma viga contínua
xxviii
Figura A1.43 – Desenho das configurações deformadas obtidas para três casos
de carregamento aplicados à uma viga contínua.
Figura A1.44 – Visualização da envoltória obtida para a área de aço longitudinal superior e
inferior para uma viga contínua (As,mín e As,máx não calculados).
xxix
12. Anexo II
A2 ANEXO II
COMUNICAÇÃO ENTRE ADINA E FTOOL
A2.1 Introdução
Neste anexo descreveremos o procedimento utilizado para se estabelecer a comunicação
entre o FTOOL e o programa ADINA - Automatic Dynamic Incremental Non-Linear
Analysis. Ressaltamos que o procedimento descrito aqui é geral e salvo as devidas
modificações inerentes a cada tipo de problema que possa a ser resolvido com o
ADINA, pode ser utilizado para estabelecer a comunicação entre quaisquer pré e pós-
processadores e o ADINA. Lembramos que estes procedimentos referem-se à utilização
do ADINA versão 7.3 em ambiente Windows NT, que podem não ser totalmente
válidos utilizando-se versões diferentes do ADINA ou de sistema operacional.
A comunicação entre o FTOOL e o ADINA é feita através de arquivos padrão ASCII.
Quando uma análise através do ADINA é disparada pelo FTOOL, é criado um arquivo
tipo texto com a extensão .in (ADINA-IN Command File) e um arquivo batch com as
instruções para se executar o ADINA. O arquivo .in é processado pelo AUI, que gera
xxx
um arquivo .dat (ADINA Input File) com as informações do modelo, que será lido e
processado pelo ADINA, que gravará um arquivo .por (ADINA Porthole File), em
formato texto ou binário com os resultados da análise. Finalmente o arquivo .por,
gravado como texto, com os deslocamentos e esforços nodais é lido pelo FTOOL e os
resultados podem ser visualizados em sua própria interface.
FtoolPré-ProcessamentoPós-Processamento
AUIAdina User Interface
AdinaProcessamento
modelo.in modelo.dat
resultados.por
Figura A2.1 – Fluxograma do esquema de comunicação FTOOL - ADINA
A2.2 Arquivo Batch
1 d:
2 cd \Program Files\adina\adina73\aui
3 aui -b C:\Models\model-001.in
4 d:
5 cd \Program Files\adina\adina73\adina
6 adina C:\Models\model-001.datArquivo batch gerado pelo FTOOL (adina.bat)
Tanto o AUI, como o ADINA devem ser executados de dentro do seu diretório de
instalação (instruções 1-2 e 4-5 do arquivo batch), pois caso contrário não reconhecerão
a licença de utilização.
A instrução 3 dispara o AUI, que lerá o arquivo .in gerado pelo FTOOL e gerará um
arquivo texto .dat (ADINA Input File) para processamento no ADINA através da linha
de comando 6. A sintaxe para a execução do AUI e ADINA é:
aui -bmodo não gráfico
path_do-arquivo\arquivo.in
adina path_do_arquivo\arquivo.dat
xxxi
A2.3 Sintaxe do Arquivo .in (ADINA Input File)
A interface do ADINA e consequentemente seus comandos e manuais são mais voltados
para a geração automática da malha de elementos finitos, através da definição da
geometria dos problemas através de linhas, superfícies e volumes. Entretanto, esta
sistemática não pôde ser adotada, pois no FTOOL a geometria já está discretizada em
nós e elementos, com uma numeração já definida, que deve ser respeitada para que os
programas possam se comunicar adequadamente. Desta forma foram utilizados apenas
comandos, ainda que mais limitados, que funcionassem dentro de uma geração direta da
geometria.
Abaixo apresentamos um "esqueleto" de Input File, dispondo os comandos na seqüência
que consideramos ser mais lógica, mostrando e comentando apenas o que é fundamental
para se modelar pórticos planos e analisá-los estaticamente, sob hipóteses de linearidade
física e geométrica, não-linearidade geométrica e não-linearidade físico-geométrica.
Para a resolução de outros tipos de problema recomendamos a consulta ao ADINA User
Interface Command Reference Manual: Adina Model Definition [ADINA-2].
A2.3.1 Controles Principais da Análise
MASTER ANALYSIS=STATIC MODEX=EXECUTE, IDOF=100011 REACTIONS=YES AUTOMATIC=OFF, SOLVER=SPARSE SINGULAR=YES STIFFNES=1000
ANALYSIS=STATIC Define que a análise é estática.
MODEX=EXECUTE Define o modo de execução: o ADINA checa os dados e executa.
IDOF=100011 Graus de liberdade do problema. Cada dígito indica se o grau de
liberdade é livre (0) ou não (1).
xxxii
Dígito Grau de Liberdade
1 Translação segundo X
2 Translação segundo Y
3 Translação segundo Z
4 Rotação segundo X
5 Rotação segundo Y
6 Rotação segundo Z
Observe-se que a geometria é definida no plano YZ.
REACTIONS=YES Indica se as reações de apoio são calculadas (YES) ou não (NO).
AUTOMATIC=... Seleciona um método de incremento automático durante a análise:
OFF Usuário define a seqüência dos timesteps
ATS Automatic Time-Stepping
LDC Automatic Load-Displacement
SOLVER=... Seleciona o algoritmo de solução utilizado para resolver o sistema
de equações de equilíbrio:
DIRECT Algoritmo direto (Eliminação de Gauss)
SPARSE Sparse Matrix Solver
SINGULAR=YES Força a resolução de uma matriz de rigidez singular.
STIFFNES=1000 Multiplicador da rigidez.
A2.3.2 Hipóteses Cinemáticas
KINEMATICS DISPLACE=LARGE STRAINS=SMALL PRESSURE=NO INCOMPAT=NO
DISPLACE=... Define se é considerada a não-linearidade geométrica:
SMALL Análise linear geométrica
LARGE Análise não-linear geométrica
STRAINS=SMALL A formulação do elemento de viga do ADINA só possibilita aconsideração de pequenas deformações.
xxxiii
A2.3.3 Método de Iteração
ITERATION METHOD=FULL-NEWTON LINE-SEA=DEFAULT MAX-ITER=15,PRINTOUT=LAST
No caso de uma análise não linear, define o método iterativo.
TOLERANCES ITERATION CONVERGE=ENERGY ETOL=0.00100000000000000RCTOL=0.0500000000000000 STOL=0.500000000000000RCONSM=0.0100000000000000
Define os parâmetros de tolerância para o método iterativo na análise não linear.
A2.3.4 Definição da Função de Carregamento
TIMEFUNCTION NAME=1 IFLIB=1 FPAR1=0.00, FPAR2=0.00 FPAR3=0.00, FPAR4=0.00 FPAR5=0.00, [email protected] 0.000000000000001.00000000000000 1.00000000000000@
Utilizamos TIMEFUNCTION para estabelecer uma função para o carregamento
aplicado. O código acima cria uma função com nome 1 (NAME=1) linear, estabelecendo
que para o tempo 0 o carregamento aplicado é zero e que para o tempo 1, aplica-se a
totalidade do carregamento (fator 1).
Podemos ter mais de uma função de carregamento e desta forma quando aplicarmos
cargas à estrutura deveremos associá-las a funções de carregamento diferentes.
A2.3.5 Definição dos Incrementos de Carga
TIMESTEP NAME=DEFAULT@CLEAR5 0.20@
Dada uma função de carregamento, deve-se definir os tempos aonde serão processadas
análises, estabelecendo assim incrementos de carga. No código anterior criamos 5
TIMESTEP’s com um intervalo de 0,20. Desta forma o último TIMESTEP
corresponderá ao tempo e carregamento 1.
xxxiv
A2.3.6 Definição das Coordenadas dos Nós
COORDINATES NODE SYSTEM=0@CLEAR1 0 0 02 0 10 03 0 0 2@
COORDINATES NODE SYSTEM=0 Demarca o início da definição das coordenadas dos
nós, no sistema de coordenadas 0 (usamos um
único sistema de coordenadas).
@ Demarca o início da entrada dos dados dos nós
CLEAR Limpa a lista de nós.
1 0 0 0 Define o nó 1 com coordenadas x=0, y=0 e z=0.
@ Demarca o fim da entrada dos dados dos nós.
Lembrando que os pórticos são definidos no plano YZ, o código exemplo acima define
os nós necessários para a definição de um elemento. Os nós 1 e 2 definem o elemento e
o nó auxiliar 3 a orientação e consequentemente a face superior da barra.
1 2
3
Y
Z
Face superior
Figura A2.2 – Elemento de barra
A2.3.7 Condições de Apoio
BOUNDARIES@CLEAR1 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED'2 'FIXED' 'FREE' 'FREE' 'FREE' 'FIXED' 'FIXED'3 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED'@
BOUNDARIES Assinala o início da definição das restrições nodais.
xxxv
2 'FIXED' 'FREE' 'FREE' 'FREE' 'FIXED' 'FIXED'
Restrições do nó 2, deslocamentos segundo y e z e rotação em
torno do eixo x liberados.
A sintaxe do comando é: nodei uxi uyi uzi rxi ryi rzi,
aonde ux, uy e uz representam os deslocamentos segundo os eixo
x, y e z e rx, ry e rz as rotações em torno dos eixos x, y e z. Cada
posição pode assumir o valor 'FREE' (livre) ou 'FIXED' (fixo).
A2.3.8 Suportes Inclinados
SKEWSYSTEMS EULERANGLES@CLEAR1 30.0 0.0 0.0@
DOF-SYSTEM NODES@CLEAR3 1@
SKEWSYSTEMS EULERANGLES Define um sistema de coordenadas cartesianas
"rotacionado" em função dos ângulos de Euler.
1 30.0 0.0 0.0 Define o sistema de coordenadas 1 (rótulo de
identificação) rotacionando o sistema local alinhado com o
sistema de coordenadas 30º em torno do eixo x,
perpendicular ao plano y-z que contém o pórtico plano.
Em problemas planos sempre os dois últimos ângulos
serão iguais a zero.
DOF-SYSTEM NODES Aplica os sistemas de coordenadas rotacionados a nós.
3 1 Aplica o skewsystem 1 ao nó 3.
Observação:
Ao aplicarmos um sistema de coordenadas rotacionado a um nó, as cargas aplicadas a
este nó e resultados nodais terão como referência este novo sistema.
A2.3.9 Propriedades do Material
MATERIAL ELASTIC 1 E=20000 NU=.3 DENSITY=2500
xxxvi
MATERIAL ELASTIC Define um material isótropo elástico linear.
1 Rótulo ("número indicando o nome") do material
E=20000 Módulo de Elasticidade
NU=.3 Coeficiente de Poisson
DENSITY=2500 Densidade (massa/volume)
A2.3.10 Seção Transversal
CROSS-SECTION PROPERTIES 1 TINERTIA=200 AREA=50
CROSS-SECTION PROPERTIES Define uma seção transversal genérica em termos
dos momentos principais de inércia e áreas.
1 Rótulo ("número indicando o nome") da seção transversal.
TINERTIA = 200 Momento de inércia em relação ao eixo local t do elemento.
AREA= 50 Área da seção transversal.
N1
N2
Aux
t
sr
O nó Aux determina o plano .r-s
O eixo representa o eixo da viga,mas não necessariamente o eixoprincipal da seção.
r
X
Y
Z
Figura A2.3 – Sistema de coordenadas local do elemento de viga
A2.3.11 Liberações de Extremidade: End-Release
ENDRELEASE NAME=1ENDRELEASE NAME=2 MOMENT1=6ENDRELEASE NAME=3 MOMENT1=12ENDRELEASE NAME=4 MOMENT1=6 MOMENT2=12
xxxvii
ENDRELEASE Define um conjunto de liberações de graus de liberdade de um elemento,
prescrevendo que as forças ou momentos selecionados são zero.
NAME=1 Define um rótulo para o ENDRELEASE.
MOMENT1=6 Lista com até seis identificadores MOMENTi=j, (i=1,...,6) indicando
quais graus de liberdade (j) são liberados.
i j1
i j2
i j3
i j4
Rotação Liberada
Rotação Restrita
Figura A2.4 – End-Release's criados
A figura representa a situação de vinculação para as condições de vinculação criadas no
quadro anterior.
A2.3.12 Curva Momento-Curvatura
CURVATURE-MOMENT NAME=18@CLEAR -0.002948 -16.947 -0.00268 -16.947 -0.002 -13.957 0.000 0.000 0.002 13.957 0.00268 16.947 0.002948 16.947@
CURVATURE-MOMENT Cria uma curva momento-curvatura.
NAME=18 Número (ou nome) da relação momento-curvatura.
-0.002948 -16.947 Especifica um ponto da curva: (curvatura, momento).
A2.3.13 Relação Força Normal – Momento – Curvatura
MOMENT-CURVATURE-FORCE NAME=1@CLEAR -485.71 9 -607.14 10
xxxviii
-728.57 11@
MOMENT-CURVATURE-FORCE Cria um conjunto de relações força normal – momento –
curvatura , associando as curvas definidas por CURVATURE-
MOMENT a suas respectivas forças normais.
NAME=1 Número (ou nome) da relação força normal-momento-
curvatura.
-485.71 9 Adiciona uma relação M/1r (definida por CURVATURE-
MOMENT), associando-a a uma força normal.
A2.3.14 Rigidez
RIGIDITY-MOMENT-CURVATURE NONLINEAR-ELASTIC NAME=1,RIGIDITY=2.2315e+006 MOMENT-T=1
RIGIDITY-MOMENT-CURVATURE NONLINEAR-ELASTIC
Cria uma rigidez, constituída por curvas momento-
curvatura e uma rigidez axial constante.
NAME=1 Número (ou nome) da rigidez.
RIGIDITY=2.2315e+006 Especifica o valor da rigidez axial.
MOMENT-T=1 Associa um conjunto força normal-momento-curvatura à
rigidez do elemento à flexão ao redor do eixo local t.
A2.3.15 Definição do tipo de elemento
§ Linear
EGROUP BEAM 1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACEMENTS=SMALL RESULTS=FORCES, MOMENT-CURVATURE=NO
§ Não Linear (Geométrico)
EGROUP BEAM 1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACEMENTS=LARGE RESULTS=FORCES MOMENT-CURVATURE=NO
§ Não Linear (Físico e Geométrico)
EGROUP BEAM 1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACEMENTS=LARGE RESULTS=FORCES
xxxix
MOMENT-CURVATURE=YES RIGIDITY=1
EGROUP BEAM Cria um novo grupo de elementos baseado no elemento
Hermitiano de viga.
1 Rótulo do EGROUP.
SUBTYPE=TWO-D Indica o tipo do elemento de viga. TWO-D define que o
problema será bidimensional.
DISPLACEMENTS=... Indica se a formulação cinemática deve levar em conta
grandes deslocamentos (DISPLACEMENTS=LARGE) ou não
(DISPLACEMENTS=SMALL).
RESULTS=FORCES Define que os resultados (esforços nodais) devem ser
dados em termos de forças.
MOMENT-CURVATURE=... Especifica se as propriedades de momento-curvatura são
utilizadas (YES/NO).
RIGIDITY=1 Especifica a rigidez aplicada ao elemento (definida por
RIGIDITY-MOMENT-CURVATURE).
A2.3.16 Criação dos Elementos
ENODES GROUP=1@CLEAR1 3 2 4@
ENODES GROUP=1 Define a conectividade nodal para o grupo de elementos
especificado (GROUP=1) definido pelo comando EGROUP.
1 3 2 4 Cria o elemento 1, com nó auxiliar 3 do nó 2 ao nó 4, ou seja, a
sintaxe para criação de elementos é eli auxi n1i n2i, aonde eli é
o número do nó, auxi o número do nó auxiliar, n1i o nó inicial e n2i
o nó final.
A2.3.17 Atribuição de Propriedades aos Elementos
EDATA GROUP=1@CLEAR1 2 3 4@
xl
EDATA GROUP=1 Atribui as propriedades material (MATERIAL), seção transversal
(CROSS-SECTION) e liberação de extremidade (ENDRELEASE) para
elementos pertencentes ao grupo de elementos 1 (GROUP=1).
1 2 3 4 Atribui ao elemento 1, pertencente ao grupo 1 o material 2, a
seção transversal tipo 3 e a liberação de extremidade tipo 4. A
sintaxe é eli materiali cross-sectioni endreleasei
(elemento - material - seção transversal – situação de vinculação
das extremidades).
A2.3.18 Cargas Concentradas
APPLY CONCENTRATED-LOADS@CLEAR2 3 -101 2 -52 2 -5@
APPLY CONCENTRATED-LOADS Demarca o início da definição da aplicação de
cargas (forças ou momentos) concentradas aos nós
da estrutura.
2 3 -10 Aplica ao nó 2 uma carga concentrada com valor -10 segundo a direção 3
(eixo z). A sintaxe para a aplicação de cargas é nodei directioni
factori (nó - direção da carga - valor da carga). A definição da direção
das forças segue a sintaxe da tabela abaixo.
Flag
1 Força aplicada na direção do eixo local x (rotacionado ou não).
2 Força aplicada na direção do eixo local y (rotacionado ou não).
3 Força aplicada na direção do eixo local z (rotacionado ou não).
4 Momento aplicado em torno do eixo local x (rotacionado ou não).
5 Momento aplicado em torno do eixo local y (rotacionado ou não).
6 Momento aplicado em torno do eixo local z (rotacionado ou não).
xli
A2.3.19 Cargas Distribuídas
LOADS-ELEMENT@CLEAR5 1 -2 -3@
LOADS-ELEMENT Demarca o início da definição de cargas distribuídas transversais
sobre elementos.
5 1 -2 -3 Aplica ao elemento 5, segundo a direção 1 (carga atuante no
plano r-s), uma carga distribuída com intensidade -2 no nó i e -3
no nó j.
+
i jFigura A2.5 – Sentido de aplicação das cargas distribuídas no elemento.
Observação:
O ADINA transforma o carregamento distribuído em ações equivalentes nos nós,
entretanto, isto se dá sempre tendo como base o elemento biengastado. No caso de
rótulas internas isto poderá introduzir diferenças nos resultados obtidos pela teoria das
estruturas.
A2.3.20 Deslocamentos Prescritos
APPLY DISPLACEMENTS@ CLEAR1 2 10@
APPLY DISPLACEMENTS Demarca o início da definição da aplicação de cargas (forças
ou momentos) concentradas aos nós da estrutura.
1 2 10 Aplica ao nó 1 um deslocamento de 10 segundo a direção 2 (eixo local
y). A sintaxe para a aplicação de cargas é nodei directioni factori
(nó - direção do deslocamento - valor do deslocamento). A definição da
direção das forças segue a sintaxe da tabela abaixo.
xlii
Flag
1 Translação na direção do eixo local x (rotacionado ou não).
2 Translação na direção do eixo local y (rotacionado ou não).
3 Translação na direção do eixo local z (rotacionado ou não).
4 Rotação em torno do eixo local x (rotacionado ou não).
5 Rotação em torno do eixo local y (rotacionado ou não).
6 Rotação em torno do eixo local z (rotacionado ou não).
A2.3.21 Apoio Elástico
PROPERTYSET NAME=1 K=1000.00 M=0.0 C=0.0 S=0.0 NONLINEA=NO
EGROUP SPRING NAME=1 PROPERTY=1 RESULT=FORCES, NONLINEA=NO SKEWSYST=NO BOLT=NO
ENODES SUBSTRUC=0 GROUP=1@CLEAR 1 3 4 0 0@
PROPERTYSET NAME=1 Cria o conjunto de propriedades número 1.
K=1000.00 Atribui o valor da rigidez da mola.
EGROUP SPRING NAME=1 PROPERTY=1
Cria um grupo de elemento de mola (número 1) e aplica o
PROPERTYSET 1 a este conjunto (PROPERTY=1).
ENODES SUBSTRUC=0 GROUP=1
Inicia a geração de elementos de mola (para EGROUP=1).
1 3 4 0 0 Cria o elemento de mola 1, no nó 3 com a mola na direção 4 (mesma
convenção de direções usada para a prescrição de deslocamento).
A2.3.22 Formatação do Arquivo de Resultados
PORTHOLE FORMATTED=YES INPUT-DATA=0, VELOCITIES=NO ACCELERATIONS=NO, TEMPERATURES=NO
xliii
PORTHOLE Controla a formatação do arquivo de resultados escrito pelo
ADINA.
FORMATTED=YES Grava os resultados num arquivo em formato texto.
INPUT-DATA=0 Define o nível de "gravação" dos dados da malha. Definindo
INPUT-DATA=0 salva-se apenas as informações principais.
VELOCITIES=NO Não escreve as velocidades (iniciais ou calculadas) no arquivo de
resultados.
ACCELERATIONS=NO Não escreve as acelerações (iniciais ou calculadas) no arquivo de
resultados.
TEMPERATURES=NO Não escreve as temperaturas (iniciais ou calculadas) no arquivo
de resultados.
A2.3.23 Ativação do Solver
ADINA OPTIMIZE=SOLVER FILE='C:\Ex\x-001.dat', FIXBOUNDARY=YES OVERWRITE=YES
ADINA Inicia a validação do modelo e se o modelo for válido, cria
o arquivo de entrada para o ADINA indicado por FILE.
OPTIMIZE=SOLVER Renumeração nodal é feita levando-se em conta o
SOLVER utilizado.
FILE='C:\Ex\x-001.dat' Define o nome do arquivo de entrada de dados para o
ADINA a ser gerado.
FIXBOUNDARY=YES Apaga graus de liberdade que não estejam sendo usados.
OVERWRITE=YES Escreve o novo arquivo de dados mesmo que já exista um
outro arquivo com o mesmo nome. Sobrescreve-se o
arquivo antigo.
A2.3.24 Saindo do AUI – QUIT
QUIT IMMEDIATE=YES
QUIT Requisita o término do programa.
IMMEDIATE=YES Dispensa confirmação para encerrar o AUI.
xliv
A2.3.25 Observações
Um asterisco (*) faz com que o AUI pule a linha de comando, permitindo a inserção de
comentários.
Para continuar comandos em outra linha deve-se inserir um vírgula ( , ).
A2.4 Exemplo de arquivo .in
A2.4.1 Análise Linear
*** 'Two-Dimensional Analysis of a Frame'
MASTER ANALYSIS=STATIC MODEX=EXECUTE, IDOF=100011 REACTIONS=YES AUTOMATIC=OFF, SOLVER=SPARSE SINGULAR=YES STIFFNES=1000*COORDINATES NODE SYSTEM=0@CLEAR1 0 0 02 0 0 53 0 -1 0@*BOUNDARIES@CLEAR1 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED'2 'FIXED' 'FREE' 'FREE' 'FREE' 'FIXED' 'FIXED'3 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED'@*MATERIAL ELASTIC 1 E=2.0035e+007
CROSS-SECTION PROPERTIES 1 TINERTIA=0.00208333 AREA=0.1
ENDRELEASE NAME=1ENDRELEASE NAME=2 MOMENT1=6ENDRELEASE NAME=3 MOMENT1=12ENDRELEASE NAME=4 MOMENT1=6 MOMENT2=12*EGROUP BEAM 1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACE=SMALL RESULTS=FORCES, MOMENT-CURVATURE=NO*ENODES GROUP=1@CLEAR1 3 1 2@*EDATA GROUP=1@CLEAR1 1 1 1
xlv
@*APPLY CONCENTRATED-LOADS@CLEAR2 3 -6052 4 -130@*PORTHOLE FORMATTED=YES INPUT-DATA=0, VELOCITIES=NO ACCELERATIONS=NO, TEMPERATURES=NO ACCELERATIONS=NO*ADINA OPTIMIZE=SOLVER FILE='C:\Comum\anexoII\pilar01-001.dat', FIXBOUNDARY=YES OVERWRITE=YES*QUIT IMMEDIATE=YES
A2.4.2 Análise Não-linear Geométrica
*** 'Two-Dimensional Analysis of a Frame'
MASTER ANALYSIS=STATIC MODEX=EXECUTE, IDOF=100011 REACTIONS=YES AUTOMATIC=OFF, SOLVER=SPARSE SINGULAR=YES STIFFNES=1000*KINEMATICS DISPLACE=LARGE STRAINS=SMALL PRESSURE=NO INCOMPAT=NO*ITERATION METHOD=FULL-NEWTON LINE-SEA=DEFAULT MAX-ITER=15, PRINTOUT=LAST*TOLERANCES ITERATION CONVERGE=ENERGY ETOL=0.00100000000000000, RCTOL=0.0500000000000000 STOL=0.500000000000000, RCONSM=0.0100000000000000*TIMEFUNCTION NAME=1 IFLIB=1 FPAR1=0.00000000000000, FPAR2=0.00000000000000 FPAR3=0.00000000000000, FPAR4=0.00000000000000 FPAR5=0.00000000000000, [email protected] 0.000000000000001.00000000000000 1.00000000000000@*TIMESTEP NAME=DEFAULT@CLEAR5 0.20@*COORDINATES NODE SYSTEM=0@CLEAR1 0 0 02 0 0 53 0 -1 0@*BOUNDARIES@CLEAR1 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED'
xlvi
2 'FIXED' 'FREE' 'FREE' 'FREE' 'FIXED' 'FIXED'3 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED'@*MATERIAL ELASTIC 1 E=2.0035e+007*CROSS-SECTION PROPERTIES 1 TINERTIA=0.00208333 AREA=0.1*ENDRELEASE NAME=1ENDRELEASE NAME=2 MOMENT1=6ENDRELEASE NAME=3 MOMENT1=12ENDRELEASE NAME=4 MOMENT1=6 MOMENT2=12*EGROUP BEAM 1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACE=LARGE RESULTS=FORCES, MOMENT-CURVATURE=NO*ENODES GROUP=1@CLEAR1 3 1 2@*EDATA GROUP=1@CLEAR1 1 1 1@*APPLY CONCENTRATED-LOADS@CLEAR2 3 -6052 4 -130@*PORTHOLE FORMATTED=YES INPUT-DATA=0, VELOCITIES=NO ACCELERATIONS=NO, TEMPERATURES=NO ACCELERATIONS=NO*ADINA OPTIMIZE=SOLVER FILE='C:\Comum\anexoII\pilar01-002.dat', FIXBOUNDARY=YES OVERWRITE=YES*QUIT IMMEDIATE=YES
A2.4.3 Análise Não-linear Física e Geométrica
*** 'Two-Dimensional Analysis of a Frame'
MASTER ANALYSIS=STATIC MODEX=EXECUTE, IDOF=100011 REACTIONS=YES AUTOMATIC=OFF, SOLVER=SPARSE SINGULAR=YES STIFFNES=1000*TIMEFUNCTION NAME=1 IFLIB=1 FPAR1=0.00000000000000, FPAR2=0.00000000000000 FPAR3=0.00000000000000, FPAR4=0.00000000000000 FPAR5=0.00000000000000, [email protected] 0.000000000000001.00000000000000 1.00000000000000@*
xlvii
TIMESTEP NAME=DEFAULT@CLEAR5 0.20@*COORDINATES NODE SYSTEM=0@CLEAR1 0 0 02 0 0 53 0 -1 0@*BOUNDARIES@CLEAR1 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED'2 'FIXED' 'FREE' 'FREE' 'FREE' 'FIXED' 'FIXED'3 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED'@*MATERIAL ELASTIC 1 E=2.0035e+007*CROSS-SECTION PROPERTIES 1 TINERTIA=0.00208333 AREA=0.1*ENDRELEASE NAME=1ENDRELEASE NAME=2 MOMENT1=6ENDRELEASE NAME=3 MOMENT1=12ENDRELEASE NAME=4 MOMENT1=6 MOMENT2=12*CURVATURE-MOMENT NAME=9@CLEAR -0.015532 -166.17 -0.01412 -166.17 -0.014 -165.89 -0.012 -161.12 -0.01 -154.91 -0.008 -143.87 -0.006 -122.48 -0.004 -94.565 -0.002 -59 0 0 0.002 59 0.004 94.565 0.006 122.48 0.008 143.87 0.01 154.91 0.012 161.12 0.014 165.89 0.01412 166.17 0.015532 166.17@*CURVATURE-MOMENT NAME=10@CLEAR -0.013112 -163.09 -0.01192 -163.09 -0.01 -156.12 -0.008 -142.87 -0.006 -125.28 -0.004 -98.403 -0.002 -58.571
xlviii
0 0 0.002 58.571 0.004 98.403 0.006 125.28 0.008 142.87 0.01 156.12 0.01192 163.09 0.013112 163.09@*CURVATURE-MOMENT NAME=11@CLEAR -0.01166 -153.09 -0.0106 -153.09 -0.01 -150.16 -0.008 -138.86 -0.006 -124.03 -0.004 -99.925 -0.002 -55.956 0 0 0.002 55.956 0.004 99.925 0.006 124.03 0.008 138.86 0.01 150.16 0.0106 153.09 0.01166 153.09@*MOMENT-CURVATURE-FORCE NAME=1@CLEAR -485.71 9 -607.14 10 -728.57 11@*RIGIDITY-MOMENT-CURVATURE NONLINEAR-ELASTIC NAME=1,RIGIDITY=2.2315e+006 MOMENT-T=1*EGROUP BEAM NAME=1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACE=LARGE RESULTS=FORCES,MOMENT-C=YES RIGIDITY=1*ENODES GROUP=1@CLEAR1 3 1 2@*EDATA GROUP=1@CLEAR1 1 1 1@*APPLY CONCENTRATED-LOADS@CLEAR2 3 -6052 4 -100@*PORTHOLE FORMATTED=YES INPUT-DATA=0, VELOCITIES=NO ACCELERATIONS=NO,
xlix
TEMPERATURES=NO ACCELERATIONS=NO*ADINA OPTIMIZE=SOLVER FILE='C:\Comum\anexoII\pilar01-003.dat', FIXBOUNDARY=YES OVERWRITE=YES*QUIT IMMEDIATE=YES
A2.5 Formato do arquivo de resultados (porthole)
Descrevemos neste item o procedimento para se ler o arquivo de resultados do ADINA
gravado como texto (ASCII).
O arquivo de resultados é criado com o mesmo nome do arquivo de dados processado
pelo ADINA (com extensão .dat), mudando-se apenas a extensão para .por. O arquivo
de resultados contém diversos dados sobre o problema, como a geometria e informações
sobre o processamento. Estas informações variam conforme a configuração do arquivo
de resultados (volume).
No nosso caso, nos interessa o trecho do arquivo aonde estão gravados os resultados.
Abaixo apresentamos a transcrição do trecho correspondente aos resultados de um time
step.
NEW STEP 0 11 0 1 0 0 0 0 0.10000000E+00 0DISP-XYZ 15 0.11274504E-03-0.28421102E-04-0.22549009E-03 0.45098019E-03-0.56842204E-04-0.45098019E-03 0.10147054E-02-0.85263306E-04-0.67647028E-03 0.18039207E-02-0.11368440E-03-0.90196038E-03 0.28186262E-02-0.14210551E-03-0.11274504E-02ELEMBIRT 0 1NEWSTEP4 0 1 1 1 4 5 0 0 0 0 3 2 5 3 1 1 -1 12 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1000000000000E+00OUTPUT-4 1 12 0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00-0.10000000E+02-0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.10000000E+02OUTPUT-4 2 12
l
0.60500000E+02-0.14210854E-13 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00-0.10000000E+02-0.60500000E+02 0.14210854E-13 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.10000000E+02OUTPUT-4 3 12 0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00-0.10000000E+02-0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.10000000E+02OUTPUT-4 4 12 0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00-0.10000000E+02-0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.10000000E+02OUTPUT-4 5 12 0.60500000E+02-0.22737367E-12 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00-0.10000000E+02-0.60500000E+02 0.22737367E-12 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.10000000E+02REACFORC 1 3REACFOR1 1REACFOR2 0.0000000000000E+00 0.6050000000000E+02 0.1000000000000E+02
O bloco de dados de um passo de carregamento é marcado com a instrução NEW STEP.
Duas linhas abaixo é registrado o valor do passo de carregamento (0.10000000E+00 por
exemplo).
A instrução DISP-XYZ marca o início da transcrição dos deslocamentos. A seguir consta
o número de graus de liberdade da estrutura e consequentemente de deslocamentos (no
exemplo 15 deslocamentos). Os valores seguintes são os valores destes deslocamentos,
que são gravados seguindo a numeração crescente dos nós e na seqüência das direções
dos esforços de extremidade dos elementos, indicadas na Figura A2.6. Deve-se lembrar
que caso o sistema de coordenadas do nó tiver sido girado, os deslocamentos referir-se-
ão a este sistema e deverão pois ser transformados para o sistema global.
li
Z
YX
sr
tS4
S1
S5
S2
S11
S8S10S7
S9 S12
S3
S6
1
2
Figura A2.6 – Convenção para os esforços de extremidade do elemento de barra Hermitiano do ADINA
Os esforços internos de cada barra são gravados após a instrução OUTPUT-4. Na linha
seguinte consta o número da barra e o número de graus de liberdade. Nas linhas
seguintes são gravados os esforços (no nosso caso 12) segundo a notação da Figura
A2.6.
As reações são gravadas ao final.
lii
13. Anexo III
A3 ANEXO III
VALORES NUMÉRICOS COMPLEMENTARES AOSEXEMPLOS DE VALIDAÇÃO
A3.1 Introdução
Neste anexo apresentamos os valores numéricos de diagramas força normal – momento
– curvatura e dos gráficos do Capítulo 7
A3.2 Pilar [GARCIA-1]
A3.2.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura
As unidades utilizadas nos diagramas são o quilo-Newton (kN) e o metro (m). O sinal
negativo representa força de tração e o positivo compressão.
liii
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = -959,99 N = -640 N = -320 N = 0,0 N = 320 N = 640
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,0394 -257,89 -0,0389 -304,67
-0,0373 -208,4 -0,0358 -257,89 -0,0354 -304,67
-0,0333 -103,21 -0,0353 -156,78 -0,0339 -208,4 -0,035 -257,82 -0,035 -304,54
-0,0308 -49,332 -0,0303 -103,21 -0,0321 -156,78 -0,0325 -208,36 -0,0325 -257,54 -0,0325 -304,28
-0,028 -49,332 -0,03 -103,14 -0,03 -156,7 -0,03 -208,24 -0,03 -257,23 -0,03 -303,63
-0,0275 -49,352 -0,0275 -102,94 -0,0275 -156,51 -0,0275 -208,04 -0,0275 -256,8 -0,0275 -302,64
-0,025 -49,212 -0,025 -102,86 -0,025 -156,31 -0,025 -207,78 -0,025 -256,27 -0,025 -301,57
-0,0225 -49,212 -0,0225 -102,56 -0,0225 -156,12 -0,0225 -207,39 -0,0225 -255,64 -0,0225 -300,27
-0,02 -49,212 -0,02 -102,3 -0,02 -155,96 -0,02 -206,99 -0,02 -254,82 -0,02 -298,74
-0,0175 -49,212 -0,0175 -102,17 -0,0175 -155,66 -0,0175 -206,46 -0,0175 -253,78 -0,0175 -296,81
-0,015 -49,212 -0,015 -101,91 -0,015 -155,38 -0,015 -205,76 -0,015 -252,22 -0,015 -294,22
-0,0125 -49,212 -0,0125 -101,78 -0,0125 -154,96 -0,0125 -204,66 -0,0125 -250,09 -0,0125 -290,66
-0,01 -49,212 -0,01 -101,44 -0,01 -154,53 -0,01 -203,23 -0,01 -246,87 -0,01 -276,53
-0,0075 -49,212 -0,0075 -101,23 -0,0075 -153,74 -0,0075 -180,82 -0,0075 -203,06 -0,0075 -222,88
-0,005 -49,212 -0,005 -81,178 -0,005 -97,448 -0,005 -121,92 -0,005 -145,58 -0,005 -166,25
-0,0025 -40,589 -0,0025 -40,589 -0,0025 -40,589 -0,0025 -61,586 -0,0025 -85,783 -0,0025 -104,56
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,0025 40,589 0,0025 40,589 0,0025 40,589 0,0025 61,586 0,0025 85,783 0,0025 104,56
0,005 49,212 0,005 81,178 0,005 97,448 0,005 121,92 0,005 145,58 0,005 166,25
0,0075 49,212 0,0075 101,23 0,0075 153,74 0,0075 180,82 0,0075 203,06 0,0075 222,88
0,01 49,212 0,01 101,44 0,01 154,53 0,01 203,23 0,01 246,87 0,01 276,53
0,0125 49,212 0,0125 101,78 0,0125 154,96 0,0125 204,66 0,0125 250,09 0,0125 290,66
0,015 49,212 0,015 101,91 0,015 155,38 0,015 205,76 0,015 252,22 0,015 294,22
0,0175 49,212 0,0175 102,17 0,0175 155,66 0,0175 206,46 0,0175 253,78 0,0175 296,81
0,02 49,212 0,02 102,3 0,02 155,96 0,02 206,99 0,02 254,82 0,02 298,74
0,0225 49,212 0,0225 102,56 0,0225 156,12 0,0225 207,39 0,0225 255,64 0,0225 300,27
0,025 49,212 0,025 102,86 0,025 156,31 0,025 207,78 0,025 256,27 0,025 301,57
0,0275 49,352 0,0275 102,94 0,0275 156,51 0,0275 208,04 0,0275 256,8 0,0275 302,64
0,02803 49,332 0,03 103,14 0,03 156,7 0,03 208,24 0,03 257,23 0,03 303,63
0,03083 49,332 0,03029 103,21 0,03213 156,78 0,0325 208,36 0,0325 257,54 0,0325 304,28
0,03332 103,21 0,03534 156,78 0,03391 208,4 0,035 257,82 0,035 304,54
0,0373 208,4 0,03578 257,89 0,0354 304,67
0,03935 257,89 0,03894 304,67
liv
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = 959,99 N = 1280 N = 1600 N = 1920 N = 2240 N = 2560
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,026 -335,78
-0,0236 -335,78
-0,0225 -335,51 -0,0195 -353,73
-0,02 -335,06 -0,0177 -353,73
-0,0175 -334,38 -0,0175 -353,59 -0,0162 -348,61 -0,0147 -321,84
-0,015 -331,19 -0,015 -352,55 -0,0147 -348,61 -0,0133 -321,84 -0,0133 -293,61 -0,0121 -262,83
-0,0125 -325,68 -0,0125 -343,72 -0,0125 -333,42 -0,0125 -317,35 -0,0121 -293,61 -0,011 -262,83
-0,01 -291,47 -0,01 -302,7 -0,01 -309,97 -0,01 -300,77 -0,01 -283,44 -0,01 -259,52
-0,0075 -239,67 -0,0075 -252,71 -0,0075 -261,58 -0,0075 -265,7 -0,0075 -264,81 -0,0075 -245,62
-0,005 -183,22 -0,005 -195,87 -0,005 -203,86 -0,005 -206,87 -0,005 -204,51 -0,005 -196,48
-0,0025 -116,9 -0,0025 -122,54 -0,0025 -121,4 -0,0025 -115,74 -0,0025 -109,66 -0,0025 -103,1
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,0025 116,9 0,0025 122,54 0,0025 121,4 0,0025 115,74 0,0025 109,66 0,0025 103,1
0,005 183,22 0,005 195,87 0,005 203,86 0,005 206,87 0,005 204,51 0,005 196,48
0,0075 239,67 0,0075 252,71 0,0075 261,58 0,0075 265,7 0,0075 264,81 0,0075 245,62
0,01 291,47 0,01 302,7 0,01 309,97 0,01 300,77 0,01 283,44 0,01 259,52
0,0125 325,68 0,0125 343,72 0,0125 333,42 0,0125 317,35 0,01208 293,61 0,01096 262,83
0,015 331,19 0,015 352,55 0,01473 348,61 0,01334 321,84 0,01329 293,61 0,01205 262,83
0,0175 334,38 0,0175 353,59 0,0162 348,61 0,01467 321,84
0,02 335,06 0,0177 353,73
0,0225 335,51 0,01947 353,73
0,0236 335,78
0,02596 335,78
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = 2880 N = 3200 N = 3520 N = 3840 N = 4160
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,011 -228,9 -0,01 -188,87 -0,0086 -143,13
-0,01 -228,9 -0,0091 -188,87 -0,0078 -143,13 -0,0065 -95,461
-0,0075 -218,4 -0,0075 -183,59 -0,0075 -142,56 -0,0059 -95,461 -0,0039 -47,416
-0,005 -182,51 -0,005 -165,17 -0,005 -132,2 -0,005 -94,084 -0,0035 -47,416
-0,0025 -96,002 -0,0025 -88,215 -0,0025 -79,362 -0,0025 -68,855 -0,0025 -46,084
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,0025 96,002 0,0025 88,215 0,0025 79,362 0,0025 68,855 0,0025 46,084
0,005 182,51 0,005 165,17 0,005 132,2 0,005 94,084 0,0035 47,416
0,0075 218,4 0,0075 183,59 0,0075 142,56 0,00588 95,461 0,00385 47,416
0,00998 228,9 0,00908 188,87 0,00778 143,13 0,00646 95,461
0,01097 228,9 0,00999 188,87 0,00855 143,13
lv
A3.2.2 Valores Numéricos das Curvas Força - Deslocamento
[GARCIA-1]
1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 10 Elementos
a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN)
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
1.50 27.50 1.50 27.50 1.50 27.50 1.50 27.50
3.00 46.05 3.00 45.52 3.00 45.48 3.00 45.45
4.50 58.20 4.50 57.48 4.50 57.40 4.50 57.35
6.00 68.00 6.00 67.00 6.00 66.52 6.00 66.52
7.30 73.60 7.00 71.40 6.70 70.10 6.36 68.90
8.24 76.10
(Valores aproximados, extraídos graficamente do gráfico publicado.)
FTOOL
1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 10 Elementos
a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN)
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
1.40 27.50 1.43 27.50 1.44 27.50 1.44 27.50
2.80 46.00 2.91 46.00 2.96 46.00 2.97 46.00
4.02 57.50 4.24 57.50 4.33 57.50 4.36 57.50
5.22 67.00 5.63 67.00 5.78 67.00 5.82 67.00
6.22 73.50 6.88 72.90 6.84 70.30 6.44 69.10
8.47 82.20
A3.3 Pilar [SANTOS-1]
A3.3.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura
As unidades utilizadas nos diagramas são o quilo-Newton (kN) e o metro (m). O sinal
negativo representa força de tração e o positivo compressão.
lvi
A3.3.1.1 ANLFG(1)
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = -485,71 N = -364,29 N = -242,86 N = -121,43 N = 0,0 N = 121,43
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,032 -130,290
-0,030 -106,920 -0,029 -130,290
-0,027 -57,295 -0,029 -82,541 -0,027 -106,920 -0,028 -130,230
-0,025 -31,627 -0,025 -57,295 -0,026 -82,541 -0,026 -106,850 -0,026 -130,090
-0,023 -31,627 -0,024 -57,229 -0,024 -82,468 -0,024 -106,800 -0,024 -129,920
-0,021 -7,110 -0,022 -31,599 -0,022 -57,165 -0,022 -82,403 -0,022 -106,680 -0,022 -129,710
-0,019 -7,110 -0,020 -31,499 -0,020 -57,077 -0,020 -82,337 -0,020 -106,570 -0,020 -129,430
-0,018 -7,132 -0,018 -31,449 -0,018 -56,966 -0,018 -82,232 -0,018 -106,400 -0,018 -129,090
-0,016 -7,132 -0,016 -31,510 -0,016 -56,922 -0,016 -82,099 -0,016 -106,150 -0,016 -128,670
-0,014 -7,132 -0,014 -31,510 -0,014 -56,767 -0,014 -82,009 -0,014 -105,860 -0,014 -128,120
-0,012 -7,132 -0,012 -31,510 -0,012 -56,683 -0,012 -81,832 -0,012 -104,900 -0,012 -124,370
-0,010 -7,132 -0,010 -31,510 -0,010 -56,402 -0,010 -78,367 -0,010 -99,097 -0,010 -118,080
-0,008 -7,132 -0,008 -31,142 -0,008 -50,477 -0,008 -71,930 -0,008 -92,029 -0,008 -110,110
-0,006 -7,132 -0,006 -26,027 -0,006 -43,452 -0,006 -63,755 -0,006 -82,422 -0,006 -98,086
-0,004 -6,781 -0,004 -20,000 -0,004 -34,798 -0,004 -48,687 -0,004 -60,077 -0,004 -71,044
-0,002 -3,380 -0,002 -12,417 -0,002 -20,160 -0,002 -20,203 -0,002 -30,351 -0,002 -41,623
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,002 3,380 0,002 12,417 0,002 20,160 0,002 20,203 0,002 30,351 0,002 41,623
0,004 6,781 0,004 20,000 0,004 34,798 0,004 48,687 0,004 60,077 0,004 71,044
0,006 7,132 0,006 26,027 0,006 43,452 0,006 63,755 0,006 82,422 0,006 98,086
0,008 7,132 0,008 31,142 0,008 50,477 0,008 71,930 0,008 92,029 0,008 110,110
0,010 7,132 0,010 31,510 0,010 56,402 0,010 78,367 0,010 99,097 0,010 118,080
0,012 7,132 0,012 31,510 0,012 56,683 0,012 81,832 0,012 104,900 0,012 124,370
0,014 7,132 0,014 31,510 0,014 56,767 0,014 82,009 0,014 105,860 0,014 128,120
0,016 7,132 0,016 31,510 0,016 56,922 0,016 82,099 0,016 106,150 0,016 128,670
0,018 7,132 0,018 31,449 0,018 56,966 0,018 82,232 0,018 106,400 0,018 129,090
0,019 7,110 0,020 31,499 0,020 57,077 0,020 82,337 0,020 106,570 0,020 129,430
0,021 7,110 0,022 31,599 0,022 57,165 0,022 82,403 0,022 106,680 0,022 129,710
0,023 31,627 0,024 57,229 0,024 82,468 0,024 106,800 0,024 129,920
0,025 31,627 0,025 57,295 0,026 82,541 0,026 106,850 0,026 130,090
0,027 57,295 0,029 82,541 0,027 106,920 0,028 130,230
0,030 106,920 0,029 130,290
0,032 130,290
lvii
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = 242,86 N = 364,29 N = 485,71 N = 607,14 N = 728,57 N = 850
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,027 -150,240
-0,024 -150,240
-0,024 -150,130
-0,022 -149,840
-0,020 -149,480 -0,019 -164,140
-0,018 -149,060 -0,017 -164,140 -0,016 -166,170
-0,016 -148,510 -0,016 -162,810 -0,014 -166,170
-0,014 -146,820 -0,014 -158,730 -0,014 -165,890 -0,013 -163,090 -0,012 -153,090
-0,012 -141,690 -0,012 -153,890 -0,012 -161,120 -0,012 -163,090 -0,011 -153,090 -0,011 -139,750
-0,010 -134,950 -0,010 -147,730 -0,010 -154,910 -0,010 -156,120 -0,010 -150,160 -0,010 -139,750
-0,008 -125,820 -0,008 -138,460 -0,008 -143,870 -0,008 -142,870 -0,008 -138,860 -0,008 -131,860
-0,006 -108,570 -0,006 -116,370 -0,006 -122,480 -0,006 -125,280 -0,006 -124,030 -0,006 -119,240
-0,004 -80,686 -0,004 -88,637 -0,004 -94,565 -0,004 -98,403 -0,004 -99,925 -0,004 -98,147
-0,002 -50,447 -0,002 -56,257 -0,002 -59,000 -0,002 -58,571 -0,002 -55,956 -0,002 -53,123
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,002 50,447 0,002 56,257 0,002 59,000 0,002 58,571 0,002 55,956 0,002 53,123
0,004 80,686 0,004 88,637 0,004 94,565 0,004 98,403 0,004 99,925 0,004 98,147
0,006 108,570 0,006 116,370 0,006 122,480 0,006 125,280 0,006 124,030 0,006 119,240
0,008 125,820 0,008 138,460 0,008 143,870 0,008 142,870 0,008 138,860 0,008 131,860
0,010 134,950 0,010 147,730 0,010 154,910 0,010 156,120 0,010 150,160 0,010 139,750
0,012 141,690 0,012 153,890 0,012 161,120 0,012 163,090 0,011 153,090 0,011 139,750
0,014 146,820 0,014 158,730 0,014 165,890 0,013 163,090 0,012 153,090
0,016 148,510 0,016 162,810 0,014 166,170
0,018 149,060 0,017 164,140 0,016 166,170
0,020 149,480 0,019 164,140
0,022 149,840
0,024 150,130
0,024 150,240
0,027 150,240
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = 971,43 N = 1092,9 N = 1214,3 N = 1335,7 N = 1457,1 N = 1578,6
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,010 -125,320
-0,009 -125,320 -0,009 -109,070 -0,008 -90,544 -0,007 -68,026
-0,008 -122,050 -0,008 -109,070 -0,007 -90,544 -0,006 -68,026 -0,005 -43,189
-0,006 -111,010 -0,006 -99,280 -0,006 -84,425 -0,006 -67,112 -0,005 -43,189 -0,003 -16,947
-0,004 -91,962 -0,004 -81,924 -0,004 -69,799 -0,004 -56,128 -0,004 -40,098 -0,003 -16,947
-0,002 -50,062 -0,002 -46,722 -0,002 -42,929 -0,002 -36,374 -0,002 -27,264 -0,002 -13,957
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,002 50,062 0,002 46,722 0,002 42,929 0,002 36,374 0,002 27,264 0,002 13,957
0,004 91,962 0,004 81,924 0,004 69,799 0,004 56,128 0,004 40,098 0,003 16,947
0,006 111,010 0,006 99,280 0,006 84,425 0,006 67,112 0,005 43,189 0,003 16,947
lviii
0,008 122,050 0,008 109,070 0,007 90,544 0,006 68,026 0,005 43,189
0,009 125,320 0,009 109,070 0,008 90,544 0,007 68,026
0,010 125,320
A3.3.1.2 ANLFG(2)
σcd = 1,10 fcd; γf3 = 1,10
N = -485,71 N = -364,29 N = -242,86 N = -121,43 N = 0,0 N = 121,43
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,009 -52,086 -0,010 -75,037 -0,010 -97,201 -0,010 -118,440
-0,008 -28,751 -0,008 -52,086 -0,009 -75,037 -0,009 -97,201 -0,009 -118,440
-0,007 -28,751 -0,008 -50,716 -0,008 -72,831 -0,008 -93,706 -0,008 -112,890
-0,0042 -6,463 -0,006 -26,027 -0,006 -43,563 -0,006 -64,609 -0,006 -84,298 -0,006 -101,700
-0,004 -6,463 -0,004 -20,000 -0,004 -34,798 -0,004 -49,995 -0,004 -62,798 -0,004 -75,258
-0,002 -3,380 -0,002 -12,417 -0,002 -20,160 -0,002 -20,216 -0,002 -31,704 -0,002 -44,441
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,002 3,380 0,002 12,417 0,002 20,160 0,002 20,216 0,002 31,704 0,002 44,441
0,004 6,463 0,004 20,000 0,004 34,798 0,004 49,995 0,004 62,798 0,004 75,258
0,0042 6,463 0,006 26,027 0,006 43,563 0,006 64,609 0,006 84,298 0,006 101,700
0,007 28,751 0,008 50,716 0,008 72,831 0,008 93,706 0,008 112,890
0,008 28,751 0,008 52,086 0,009 75,037 0,009 97,201 0,009 118,440
0,009 52,086 0,010 75,037 0,010 97,201 0,010 118,440
σcd = 1,10 fcd; γf3 = 1,10
N = 242,86 N = 364,29 N = 485,71 N = 607,14 N = 728,57 N = 850
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,010 -136,590 -0,010 -149,220
-0,009 -136,590 -0,009 -149,220 -0,008 -151,060 -0,007 -148,260
-0,008 -130,100 -0,008 -145,090 -0,007 -151,060 -0,007 -148,260 -0,0062 -139,170 -0,0052 -127,050
-0,006 -115,840 -0,006 -125,610 -0,006 -133,830 -0,006 -140,460 -0,006 -139,170 -0,005 -127,050
-0,004 -86,550 -0,004 -96,292 -0,004 -104,380 -0,004 -110,600 -0,004 -114,890 -0,004 -117,150
-0,002 -54,940 -0,002 -62,836 -0,002 -68,011 -0,002 -70,474 -0,002 -70,214 -0,002 -67,662
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,002 54,940 0,002 62,836 0,002 68,011 0,002 70,474 0,002 70,214 0,002 67,662
0,004 86,550 0,004 96,292 0,004 104,380 0,004 110,600 0,004 114,890 0,004 117,150
0,006 115,840 0,006 125,610 0,006 133,830 0,006 140,460 0,006 139,170 0,005 127,050
0,008 130,100 0,008 145,090 0,007 151,060 0,007 148,260 0,0062 139,170 0,0052 127,050
0,009 136,590 0,009 149,220 0,008 151,060 0,007 148,260
0,010 136,590 0,010 149,220
lix
σcd = 1,10 fcd; γf3 = 1,10
N = 971,43 N = 1092,9 N = 1214,3 N = 1335,7 N = 1457,1 N = 1578,6
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,0043 -113,930 -0,004 -99,154 -0,0033 -82,312 -0,003 -61,842
-0,004 -113,930 -0,003 -99,154 -0,003 -82,312 -0,002 -61,842 -0,0017 -39,262 0,00075 -15,407
-0,002 -64,749 -0,002 -61,639 -0,002 -58,365 -0,002 -54,829 -0,0015 -39,262 -0,0007 -15,407
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,002 64,749 0,002 61,639 0,002 58,365 0,002 54,829 0,0015 39,262 0,0007 15,407
0,004 113,930 0,003 99,154 0,003 82,312 0,002 61,842 0,0017 39,262 0,00075 15,407
0,0043 113,930 0,004 99,154 0,0033 82,312 0,003 61,842
A3.3.2 Curvas Momento – Deslocamento (Valores Numéricos)
AL(1) AL(2) AL(3)
a (cm) Md (kNm) a (cm) Md (kNm) a (cm) Md (kNm)
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
3,6647 130,0 3,8938 130,0 4,4499 130,0
ANLG(1) ANLG (2)
a (cm) Md (kNm) a (cm) Md (kNm)
0,0 0,0 0,0 0,0
3,5189 100,0 4,1242 100,0
4,5745 130,0 5,3614 130,0
SANTOS[1]
a (cm) Md (kNm)
0,0 0,0
1,22 22,869
2,51 45,315
2,818 48,718
6,52 81,554
10,00 90,75
10,44 91,113
10,91 91,295
lx
11,49 90,811
11,96 90,387
ANLFG (1)
a (cm) Md (kNm)
0,0 0,0
1,0834 20,0
2,1668 40,0
3,7628 60,0
6,1283 80,0
9,3438 91,3
10,6048 92,65
10,9664 92,7
ANLFG(2)
a (cm) M (kNm)
0,0 0,0
0,862 20,0
1,724 40,0
2,5859 60,0
4,2419 80,0
5,2987 91,3
6,3779 100
7,7236 110
8,8761 115,1
8,907 115,15
A3.3.3 Diagramas de Interação (Valores numéricos)
Diagrama de Interação da Seção Transversal
lxi
Md (kNm) Nd (kN)
0 -521,78
7,1096 -485,71
31,627 -364,29
57,295 -242,86
82,541 -121,43
106,92 0,00
130,29 121,43
150,24 242,86
164,14 364,29
166,17 485,71
163,09 607,14
153,09 728,57
139,75 850
125,32 971,43
109,07 1092,9
90,544 1214,3
68,026 1335,7
43,189 1457,1
16,947 1578,6
0,00 1641,6
-16,947 1578,6
-43,189 1457,1
-68,026 1335,7
-90,544 1214,3
-109,07 1092,9
-125,32 971,43
-139,75 850
-153,09 728,57
-163,09 607,14
-166,17 485,71
-164,14 364,29
lxii
-150,24 242,86
-130,29 121,43
-106,92 0,00
-82,541 -121,43
-57,295 -242,86
-31,627 -364,29
-7,1096 -485,71
0,00 -521,78
Diagramas de Interação para os diversos comprimentos de pilar
Coluna 5,0m (1) Coluna 5,0m (2)
Mmáx,base Md Nd Mmáx,base Md Nd
92,55 92,55 0 100,68 100,68 0
145,79 108,8 300 152,48 122,3 300
158,98 92,70 605 164,15 115,15 605
116,91 59,23 900 140,79 92,10 900
37,655 6,948 1350 88,504 43,58 1350
0,0 0,0 1578,6 0,0 0,0 1641,6
Coluna 2,5m Coluna 10,0m
Mmáx,base Md Nd Mmáx,base Md Nd
103,05 103,05 0 86,83 86,83 0
155,94 141,81 300 112,16 37,34 300
165,55 146,21 450 62,964 8,311 605
163,22 142,42 605 0,00 0,00 702,7
133,99 109,97 900
65,248 42,56 1350
0,00 0,00 1641,6
lxiii
A3.4 Exemplo de Pórtico [GARCIA-1]
A3.4.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura
As unidades utilizadas nos diagramas são o quilo-Newton (kN) e o metro (m). O sinal
negativo representa força de tração e o positivo compressão.
Pilares
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = 960 N = 640 N = 320 N = 0,0 N = 320 N = 640
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,03935 -257,89 -0,03894 -304,67
-0,0373 -208,4 -0,03578 -257,89 -0,0354 -304,67
-0,03332 -103,21 -0,03534 -156,78 -0,03391 -208,4 -0,035 -257,82 -0,035 -304,54
-0,03083 -49,332 -0,03029 -103,21 -0,03213 -156,78 -0,0325 -208,36 -0,0325 -257,54 -0,0325 -304,28
-0,02803 -49,332 -0,03 -103,14 -0,03 -156,7 -0,03 -208,24 -0,03 -257,23 -0,03 -303,63
-0,0275 -49,352 -0,0275 -102,94 -0,0275 -156,51 -0,0275 -208,04 -0,0275 -256,8 -0,0275 -302,64
-0,025 -49,212 -0,025 -102,86 -0,025 -156,31 -0,025 -207,78 -0,025 -256,27 -0,025 -301,57
-0,0225 -49,212 -0,0225 -102,56 -0,0225 -156,12 -0,0225 -207,39 -0,0225 -255,64 -0,0225 -300,27
-0,02 -49,212 -0,02 -102,3 -0,02 -155,96 -0,02 -206,99 -0,02 -254,82 -0,02 -298,74
-0,0175 -49,212 -0,0175 -102,17 -0,0175 -155,66 -0,0175 -206,46 -0,0175 -253,78 -0,0175 -296,81
-0,015 -49,212 -0,015 -101,91 -0,015 -155,38 -0,015 -205,76 -0,015 -252,22 -0,015 -294,22
-0,0125 -49,212 -0,0125 -101,78 -0,0125 -154,96 -0,0125 -204,66 -0,0125 -250,09 -0,0125 -290,66
-0,01 -49,212 -0,01 -101,44 -0,01 -154,53 -0,01 -203,23 -0,01 -246,87 -0,01 -276,53
-0,0075 -49,212 -0,0075 -101,23 -0,0075 -153,74 -0,0075 -180,82 -0,0075 -203,06 -0,0075 -222,88
-0,005 -49,212 -0,005 -81,178 -0,005 -97,448 -0,005 -121,92 -0,005 -145,58 -0,005 -166,25
-0,0025 -40,589 -0,0025 -40,589 -0,0025 -40,589 -0,0025 -61,586 -0,0025 -85,783 -0,0025 -104,56
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,0025 40,589 0,0025 40,589 0,0025 40,589 0,0025 61,586 0,0025 85,783 0,0025 104,56
0,005 49,212 0,005 81,178 0,005 97,448 0,005 121,92 0,005 145,58 0,005 166,25
0,0075 49,212 0,0075 101,23 0,0075 153,74 0,0075 180,82 0,0075 203,06 0,0075 222,88
0,01 49,212 0,01 101,44 0,01 154,53 0,01 203,23 0,01 246,87 0,01 276,53
0,0125 49,212 0,0125 101,78 0,0125 154,96 0,0125 204,66 0,0125 250,09 0,0125 290,66
0,015 49,212 0,015 101,91 0,015 155,38 0,015 205,76 0,015 252,22 0,015 294,22
0,0175 49,212 0,0175 102,17 0,0175 155,66 0,0175 206,46 0,0175 253,78 0,0175 296,81
0,02 49,212 0,02 102,3 0,02 155,96 0,02 206,99 0,02 254,82 0,02 298,74
0,0225 49,212 0,0225 102,56 0,0225 156,12 0,0225 207,39 0,0225 255,64 0,0225 300,27
0,025 49,212 0,025 102,86 0,025 156,31 0,025 207,78 0,025 256,27 0,025 301,57
0,0275 49,352 0,0275 102,94 0,0275 156,51 0,0275 208,04 0,0275 256,8 0,0275 302,64
0,028025 49,332 0,03 103,14 0,03 156,7 0,03 208,24 0,03 257,23 0,03 303,63
0,030828 49,332 0,030287 103,21 0,032125 156,78 0,0325 208,36 0,0325 257,54 0,0325 304,28
0,033316 103,21 0,035337 156,78 0,033912 208,4 0,035 257,82 0,035 304,54
0,037304 208,4 0,035775 257,89 0,0354 304,67
0,039352 257,89 0,03894 304,67
lxiv
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = 959,99 N = 1280 N = 1600 N = 1920 N = 2240 N = 2560
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,02596 -335,78
-0,0236 -335,78
-0,0225 -335,51 -0,01947 -353,73
-0,02 -335,06 -0,0177 -353,73
-0,0175 -334,38 -0,0175 -353,59 -0,0162 -348,61 -0,01467 -321,84
-0,015 -331,19 -0,015 -352,55 -0,01473 -348,61 -0,01334 -321,84 -0,01329 -293,61 -0,01205 -262,83
-0,0125 -325,68 -0,0125 -343,72 -0,0125 -333,42 -0,0125 -317,35 -0,01208 -293,61 -0,01096 -262,83
-0,01 -291,47 -0,01 -302,7 -0,01 -309,97 -0,01 -300,77 -0,01 -283,44 -0,01 -259,52
-0,0075 -239,67 -0,0075 -252,71 -0,0075 -261,58 -0,0075 -265,7 -0,0075 -264,81 -0,0075 -245,62
-0,005 -183,22 -0,005 -195,87 -0,005 -203,86 -0,005 -206,87 -0,005 -204,51 -0,005 -196,48
-0,0025 -116,9 -0,0025 -122,54 -0,0025 -121,4 -0,0025 -115,74 -0,0025 -109,66 -0,0025 -103,1
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,0025 116,9 0,0025 122,54 0,0025 121,4 0,0025 115,74 0,0025 109,66 0,0025 103,1
0,005 183,22 0,005 195,87 0,005 203,86 0,005 206,87 0,005 204,51 0,005 196,48
0,0075 239,67 0,0075 252,71 0,0075 261,58 0,0075 265,7 0,0075 264,81 0,0075 245,62
0,01 291,47 0,01 302,7 0,01 309,97 0,01 300,77 0,01 283,44 0,01 259,52
0,0125 325,68 0,0125 343,72 0,0125 333,42 0,0125 317,35 0,012077 293,61 0,010955 262,83
0,015 331,19 0,015 352,55 0,01473 348,61 0,013335 321,84 0,013285 293,61 0,01205 262,83
0,0175 334,38 0,0175 353,59 0,016203 348,61 0,014669 321,84
0,02 335,06 0,0177 353,73
0,0225 335,51 0,01947 353,73
0,0236 335,78
0,02596 335,78
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = 2880 N = 3200 N = 3520 N = 3840 N = 4160
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,01097 -228,9 -0,00999 -188,87 -0,00855 -143,13
-0,00998 -228,9 -0,00908 -188,87 -0,00778 -143,13 -0,00646 -95,461
-0,0075 -218,4 -0,0075 -183,59 -0,0075 -142,56 -0,00588 -95,461 -0,00385 -47,416
-0,005 -182,51 -0,005 -165,17 -0,005 -132,2 -0,005 -94,084 -0,0035 -47,416
-0,0025 -96,002 -0,0025 -88,215 -0,0025 -79,362 -0,0025 -68,855 -0,0025 -46,084
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,0025 96,002 0,0025 88,215 0,0025 79,362 0,0025 68,855 0,0025 46,084
0,005 182,51 0,005 165,17 0,005 132,2 0,005 94,084 0,0035 47,416
0,0075 218,4 0,0075 183,59 0,0075 142,56 0,005875 95,461 0,00385 47,416
0,009975 228,9 0,009083 188,87 0,007775 143,13 0,006463 95,461
0,010972 228,9 0,009991 188,87 0,008553 143,13
lxv
Vigas
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = -960 N = 480 N = 0,0 N = 480 N = 960 N = 1440
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,026 -593,6
-0,0244 -487,75 -0,0236 -593,6
-0,023 -368,67 -0,0222 -487,75 -0,0233 -593,32
-0,0215 -243,44 -0,0209 -368,67 -0,0217 -487,54 -0,0217 -593,12
-0,0196 -115,31 -0,0196 -243,44 -0,02 -368,47 -0,02 -486,77 -0,02 -592,78
-0,0178 -115,31 -0,0183 -243,55 -0,0183 -368,15 -0,0183 -485,64 -0,0183 -592,34 -0,0173 -663,61
-0,0167 -115,19 -0,0167 -243,24 -0,0167 -367,69 -0,0167 -484,53 -0,0167 -591,8 -0,0157 -663,61
-0,015 -114,89 -0,015 -243,16 -0,015 -367,15 -0,015 -483,1 -0,015 -588,95 -0,015 -663
-0,0133 -114,95 -0,0133 -242,98 -0,0133 -366,4 -0,0133 -481,13 -0,0133 -585,18 -0,0133 -662
-0,0117 -115,19 -0,0117 -242,73 -0,0117 -365,57 -0,0117 -478,72 -0,0117 -580,63 -0,0117 -660,45
-0,01 -114,89 -0,01 -242,48 -0,01 -364,36 -0,01 -475,58 -0,01 -574,95 -0,01 -658,07
-0,0083 -114,95 -0,0083 -242,33 -0,0083 -362,52 -0,0083 -471,15 -0,0083 -566,87 -0,0083 -648,16
-0,0067 -115,19 -0,0067 -241,83 -0,0067 -360,15 -0,0067 -464,65 -0,0067 -555,5 -0,0067 -605,4
-0,005 -114,89 -0,005 -241,51 -0,005 -351,54 -0,005 -409,63 -0,005 -460,64 -0,005 -503,05
-0,0033 -114,95 -0,0033 -174,81 -0,0033 -236,46 -0,0033 -297,05 -0,0033 -349,19 -0,0033 -390,47
-0,0017 -79,024 -0,0017 -79,024 -0,0017 -119,24 -0,0017 -180,07 -0,0017 -225,47 -0,0017 -253,53
0,00 0.00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00167 79,024 0,00167 79,024 0,00167 119,24 0,00167 180,07 0,00167 225,47 0,00167 253,53
0,00333 114,95 0,00333 174,81 0,00333 236,46 0,00333 297,05 0,00333 349,19 0,00333 390,47
0,005 114,89 0,005 241,51 0,005 351,54 0,005 409,63 0,005 460,64 0,005 503,05
0,00667 115,19 0,00667 241,83 0,00667 360,15 0,00667 464,65 0,00667 555,5 0,00667 605,4
0,00833 114,95 0,00833 242,33 0,00833 362,52 0,00833 471,15 0,00833 566,87 0,00833 648,16
0,01 114,89 0,01 242,48 0,01 364,36 0,01 475,58 0,01 574,95 0,01 658,07
0,01167 115,19 0,01167 242,73 0,01167 365,57 0,01167 478,72 0,01167 580,63 0,01167 660,45
0,01333 114,95 0,01333 242,98 0,01333 366,4 0,01333 481,13 0,01333 585,18 0,01333 662
0,015 114,89 0,015 243,16 0,015 367,15 0,015 483,1 0,015 588,95 0,015 663
0,01667 115,19 0,01667 243,24 0,01667 367,69 0,01667 484,53 0,01667 591,8 0,01573 663,61
0,01782 115,31 0,01833 243,55 0,01833 368,15 0,01833 485,64 0,01833 592,34 0,01731 663,61
0,0196 115,31 0,01957 243,44 0,02 368,47 0,02 486,77 0,02 592,78
0,02153 243,44 0,0209 368,67 0,02167 487,54 0,02167 593,12
0,02299 368,67 0,02221 487,75 0,02333 593,32
0,02443 487,75 0,0236 593,6
0,02596 593,6
lxvi
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = 1920 N = 2400 N = 2880 N = 3360 N = 3840 N = 4320
1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M 1/r M
-0,013 -703,99
-0,0118 -703,99
-0,0117 -703,68 -0,0106 -703,94 -0,0094 -646,02
-0,01 -701,35 -0,0096 -703,94 -0,0086 -646,02 -0,0085 -582,93 -0,0076 -511,54
-0,0083 -697,42 -0,0083 -677,57 -0,0083 -641,92 -0,0077 -582,93 -0,0069 -511,54 -0,0069 -426,29
-0,0067 -633,72 -0,0067 -634,89 -0,0067 -609,89 -0,0067 -567,71 -0,0067 -508,34 -0,0063 -426,29
-0,005 -534,89 -0,005 -554,88 -0,005 -561,51 -0,005 -532,55 -0,005 -480,63 -0,005 -410,33
-0,0033 -420,14 -0,0033 -437,01 -0,0033 -440,42 -0,0033 -429,48 -0,0033 -402,7 -0,0033 -363,01
-0,0017 -264,15 -0,0017 -257,7 -0,0017 -243,78 -0,0017 -228,78 -0,0017 -212,46 -0,0017 -194,22
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00167 264,15 0,00167 257,7 0,00167 243,78 0,00167 228,78 0,00167 212,46 0,00167 194,22
0,00333 420,14 0,00333 437,01 0,00333 440,42 0,00333 429,48 0,00333 402,7 0,00333 363,01
0,005 534,89 0,005 554,88 0,005 561,51 0,005 532,55 0,005 480,63 0,005 410,33
0,00667 633,72 0,00667 634,89 0,00667 609,89 0,00667 567,71 0,00667 508,34 0,00626 426,29
0,00833 697,42 0,00833 677,57 0,00833 641,92 0,0077 582,93 0,00693 511,54 0,00688 426,29
0,01 701,35 0,00961 703,94 0,00859 646,02 0,00847 582,93 0,00763 511,54
0,01167 703,68 0,01057 703,94 0,00945 646,02
0,0118 703,99
0,01298 703,99
σcd = 0,85 fcd; γf3 = 1,00
N = 4800 N = 5280 N = 5760
1/r M 1/r M 1/r M
-0,0061 -327,56
-0,0055 -327,56 -0,0046 -217,54
-0,005 -322,3 -0,0042 -217,54 -0,0028 -105,96
-0,0033 -292,9 -0,0033 -208,73 -0,0025 -105,96
-0,0017 -173,82 -0,0017 -149,58 -0,0017 -99,777
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00167 173,82 0,00167 149,58 0,00167 99,777
0,00333 292,9 0,00333 208,73 0,00252 105,96
0,005 322,3 0,0042 217,54 0,00277 105,96
0,00552 327,56 0,00462 217,54
0,00607 327,56
lxvii
A3.4.2 Valores Numéricos das Curvas Força - Deslocamento
FTOOL[GARCIA-1] Frame Analysis
[GARCIA-1] 3 elementos 10 elementos
F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm)
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
27.0 1.00 29.3 1.00 25.0 0.99 25.0 0.93
49.5 2.00 52.0 2.00 50.0 1.99 50.0 1.99
67.5 3.00 67.5 3.00 75.0 3.43 75.0 3.45
83.3 4.00 83.3 4.00 85.0 4.13 85.0 4.15
93.0 4.78 91.3 4.78 95.0 4.9672 95.0 5.0472
96.5 5.11 93.6 5.11 99.0 5.6888 95.7 5.2108
98.3 5.28 94 5.30 99.27 5.90
100 5.46 92.3 5.77
(Os valores de [GARCIA-1] e Frame Analysis foram obtidos graficamente.)
lxviii
14. Anexo IV
A4 ANEXO IV
TABELAS ADIMENSIONAIS PARA RELAÇÕES FORÇANORMAL – MOMENTO - CURVATURA
A4.1 Introdução
Apresentamos neste anexo exemplos de validação adicionais ao apresentado no tópico
5.4, constituídos também por tabelas adimensionais com relações N-M-1/r para diversos
arranjos e taxas de armadura em pilares para os aços classe A e B.
A4.2 Relações N-M-1/r [SANTOS-3]
Aço CA50A; d = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 1,0
[SANTOS-3] ν0 = 1.97θ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .101 .113 .124 .132 .138 .141 .141 .138 .135 .131 .127 .124 .119 .115 .111 .106 .100 .095 .0772.0 .200 .211 .221 .231 .238 .245 .249 .252 .253 .251 .248 .242 .234 .225 .215 .185 .1533.0 .296 .306 .315 .323 .330 .336 .340 .343 .344 .344 .340 .317 .291 .261 .229 .1944.0 .389 .397 .405 .411 .417 .421 .424 .422 .403 .382 .357 .3315.0 .395 .429 .461 .491 .499 .485 .466 .445 .4216.0 .397 .432 .466 .498 .517 .5087.0 .399 .435 .469 .503 .5188.0 .400 .437 .472 .503µef .403 .442 .479 .504 .518 .509 .480 .451 .422 .393 .363 .333 .301 .268 .232 .194 .156 .117 .079 .040θef 14.3 14.7 14.2 9.4 7.1 6.0 5.7 5.4 5.1 4.8 4.5 4.2 4.0 3.7 3.5 3.0 2.5 2.0 1.4 .7
lxix
FTOOLθ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .101 .113 .124 .132 .138 .141 .141 .138 .135 .131 .128 .124 .119 .115 .111 .106 .1 .095 .0782.0 .2 .211 .221 .231 .238 .245 .249 .252 .253 .251 .248 .242 .234 .225 .215 .186 .1533.0 .296 .306 .315 .323 .33 .336 .34 .343 .344 .344 .34 .317 .291 .261 .228 .1944.0 .389 .397 .405 .411 .417 .421 .424 .422 .403 .382 .358 .335.0 .395 .429 .461 .491 .499 .485 .466 .445 .4216.0 .397 .432 .466 .498 .517 .5087.0 .399 .435 .469 .503 .5188.0 .4 .437 .472 .5039.0 .401 .438 .474 .50410.0 .401 .439 .47611.0 .402 .44 .47712.0 .402 .44 .47813.0 .403 .441 .47914.0 .403 .441 .479µef .403 .442 .479 .504 .518 .509 .48 .451 .422 .393 .363 .333 .301 .267 .232 .194 .155 .117 .078 .039θef 14.3 14.7 14.2 9.44 7.08 6.04 5.71 5.39 5.08 4.77 4.49 4.22 3.01 3.47 3.71 3.96 2.5 1.96 1.35 .66
Aço CA50A; d = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 2,0
[SANTOS-3] ν0 = 2.93θ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .183 .191 .198 .205 .210 .214 .217 .219 .219 .217 .215 .212 .210 .207 .204 .202 .199 .196 .193 .190 .187 .181 .1742.0 .363 .370 .376 .382 .388 .393 .397 .401 .404 .406 .407 .407 .407 .405 .403 .399 .394 .389 .383 .377 .371 .308 .2363.0 .538 .544 .549 .554 .559 .563 .567 .570 .572 .574 .576 .576 .576 .576 .574 .549 .520 .490 .458 .424 .3894.0 .709 .713 .717 .721 .725 .728 .730 .732 .734 .735 .711 .685 .657 .629 .599 .568 .5365.0 .786 .821 .855 .883 .885 .873 .848 .821 .794 .766 .7376.0 .791 .827 .862 .897 .917 .9047.0 .794 .831 .867 .903 .9188.0 .796 .834 .870 .903µef .802 .841 .879 .904 .918 .907 .873 .840 .806 .773 .739 .706 .673 .639 .605 .571 .537 .502 .466 .430 .392 .315 .237θef 14.6 14.9 14.2 9.4 7.1 6.1 5.9 5.7 5.5 5.3 5.2 5.0 4.8 4.6 4.4 4.3 4.1 3.9 3.8 3.6 3.4 2.8 2.2
FTOOLθ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .183 .191 .198 .205 .21 .214 .217 .219 .219 .217 .215 .212 .21 .207 .204 .202 .199 .196 .193 .19 .187 .181 .1742.0 .363 .37 .376 .382 .388 .393 .397 .401 .404 .406 .407 .407 .407 .405 .403 .399 .394 .389 .383 .377 .371 .308 .2373.0 .538 .544 .549 .554 .559 .563 .567 .57 .572 .574 .576 .576 .576 .576 .574 .549 .521 .49 .458 .425 .3894.0 .709 .713 .717 .721 .725 .728 .73 .732 .734 .735 .711 .685 .658 .628 .599 .568 .5355.0 .786 .821 .855 .883 .885 .873 .848 .821 .794 .766 .7376.0 .791 .827 .862 .897 .917 .9047.0 .794 .831 .867 .903 .9188.0 .796 .834 .87 .9039.0 .798 .836 .873 .90410.0 .799 .837 .87511.0 .8 .838 .87612.0 .801 .839 .87813.0 .801 .84 .87914.0 .802 .841 .879µef .802 .841 .879 .904 .918 .907 .873 .84 .806 .773 .739 .706 .673 .639 .605 .571 .537 .501 .466 .43 .393 .315 .236θef 14.6 14.9 14.2 9.44 7.08 6.11 5.91 5.72 5.53 5.34 5.15 4.97 4.79 4.61 4.44 4.26 4.1 3.93 3.77 3.62 3.44 2.82 2.16
FTOOLθ\ν 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.91.0 .187 .184 .181 .178 .174 .171 .157 .1192.0 .371 .342 .308 .272 .2373.0 .389 .3524.05.06.0µef .393 .353 2.82 2.5 2.16 1.82 1.46 1.08 .7 .28θef 3.44 3.13 .315 .276 .236 .198 .158 .118 .080 .039
lxx
Aço CA50B; d = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 0,10
[SANTOS-3] ν0 = 1.08θ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .015 .042 .060 .070 .072 .067 .061 .055 .048 .038 .0232.0 .029 .058 .082 .099 .109 .114 .110 .099 .081 .059 .0323.0 .035 .070 .097 .116 .129 .134 .130 .118 .097 .0694.0 .039 .075 .105 .128 .141 .144 .139 .1265.0 .042 .079 .110 .134 .148 .1526.0 .042 .082 .114 .137 .1517.0 .043 .082 .116 .140 .1548.0 .043 .083 .117 .142µef .043 .084 .119 .143 .154 .155 .145 .128 .103 .070 .033θef 12.5 13.8 13.6 9.3 7.1 5.8 4.9 4.3 3.8 3.2 2.1
FTOOLθ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .015 .042 .060 .070 .072 .067 .061 .055 .048 .038 .0232.0 .029 .058 .082 .099 .109 .114 .110 .099 .081 .059 .0323.0 .035 .070 .097 .116 .129 .134 .130 .118 .097 .0694.0 .039 .075 .105 .128 .141 .144 .139 .1265.0 .042 .079 .110 .134 .148 .1526.0 .043 .082 .114 .137 .1517.0 .043 .083 .116 .140 .1548.0 .043 .083 .117 .1429.0 .043 .083 .117 .14210.0 .043 .084 .11811.0 .043 .084 .11812.0 .043 .084 .11813.0 .084 .118
µef .043 .084 .119 .143 .154 .155 .145 .128 .103 .070 .033θef 12.5 13.8 13.6 9.26 7.08 5.75 4.92 4.28 3.77 3.19 2.1
Aço CA50B; d = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 1,0
[SANTOS-3] ν0 = 1.82θ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .101 .113 .124 .132 .138 .141 .141 .138 .135 .131 .127 .124 .119 .114 .104 .090 .072 .0502.0 .200 .211 .221 .231 .238 .245 .249 .252 .253 .248 .238 .223 .204 .184 .161 .136 .1093.0 .291 .306 .315 .323 .330 .336 .335 .330 .321 .308 .292 .272 .249 .224 .1954.0 .333 .359 .382 .400 .406 .400 .390 .378 .364 .346 .326 .3045.0 .362 .390 .415 .432 .441 442 .432 .4156.0 .385 .414 .437 .453 .463 .4657.0 .399 .433 .455 .470 .4808.0 .400 .436 .467 .485µef .403 .440 .470 .487 .480 .469 .451 .423 .395 .367 .338 .307 .276 .242 .204 .161 .116 .070 .018θef 14.3 14.9 10.7 8.2 7.0 6.2 5.6 5.3 5.0 4.7 4.4 4.1 3.9 3.6 3.3 2.8 2.2 1.6 0.6
FTOOLθ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .200 .211 .221 .231 .238 .245 .249 .252 .253 .248 .238 .223 .205 .184 .161 .136 .1102.0 .291 .306 .315 .323 .330 .336 .335 .330 .321 .308 .292 .272 .250 .224 .1963.0 .333 .359 .382 .400 .406 .400 .391 .378 .364 .346 .326 .3044.0 .362 .390 .415 .432 .441 .442 .432 .4155.0 .385 .414 .437 .453 .463 .4656.0 .399 .433 .455 .470 .4807.0 .400 .436 .467 .4858.0 .401 .437 .4689.0 .401 .438 .47010.0 .402 .43911.0 .402 .43912.0 .403 .44013.0 .403 .44014.0µef .403 .440 .470 .487 .480 .469 .451 .423 .395 .367 .338 .307 .275 .243 .204 .161 .116 .070 .016θef 14.3 14.9 1.7 8.18 7.05 6.19 5.59 5.26 4.96 4.67 4.39 4.12 3.87 3.64 3.31 2.8 2.23 1.6 .61
lxxi
Aço CA50B; d = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 2,0
[SANTOS-3] ν0 = 2.64θ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .183 .191 .18 .205 .210 .214 .217 .219 .219 .217 .215 .212 .210 .207 .204 .202 .199 .196 .193 .184 .172 .139 .0982.0 .363 .370 .376 .382 .388 .393 .397 .401 .404 .406 .407 .407 .404 .396 .384 .369 .350 .331 .310 .287 .263 .2123.0 .538 .544 .549 .554 .559 .563 .567 .566 .561 .552 .540 .527 .511 .493 .474 .453 .430 .405 .379 .352 .3234.0 .643 .665 .686 .700 .696 .684 .671 .655 .639 .621 .601 .580 .558 .535 .5115.0 .703 .729 .748 .761 .767 .768 .761 .744 .724 .703 .6816.07.0 .788 .808 .824 .835 .8418.0 .795 .828 .853µef .801 .834 .861 .857 .842 .825 .804 .778 .746 .714 .682 .650 .617 .584 .551 .518 .484 .450 .415 .379 .334 .241 .145θef 15.0 11.7 9.0 7.8 7.0 6.4 5.9 5.6 5.4 5.2 5.0 4.8 4.7 4.5 4.3 4.1 4.0 3.8 3.7 3.5 3.2 2.5 1.8
FTOOLθ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .183 .191 .198 .205 .210 .214 .217 .219 .219 .217 .215 .212 .210 .207 .204 .202 .199 .196 .193 .184 .172 .140 .0982.0 .363 .370 .376 .382 .388 .393 .397 .401 .404 .406 .407 .407 .404 .396 .384 .369 .351 .331 .310 .287 .264 .2133.0 .538 .544 .549 .554 .559 .563 .567 .566 .561 .552 .540 .527 .511 .493 .474 .453 .430 .405 .379 .352 .3234.0 .643 .665 .686 .700 .704 .696 .684 .671 .655 .639 .621 .601 .581 .559 .535 .5115.0 .703 .729 .748 .761 .767 .768 .761 .744 .725 .704 .6826.0 .751 .773 .790 .802 .809 .8107.0 .788 .808 .824 .835 .8418.0 .795 .828 .8539.0 .796 .830 .86110.0 .797 .83211.0 .798 .83312.0 .79913.0 .80014.0 .800µef .801 .834 .861 .857 .842 .825 .804 .778 .746 .714 .682 .649 .617 .584 .551 .518 .484 .449 .415 .379 .334 .241 .145θef 15.0 11.7 9.01 7.78 7.03 6.41 5.92 5.57 5.37 5.19 5.01 4.83 4.65 4.48 4.31 4.15 3.98 3.82 3.67 3.52 3.21 2.52 1.76
FTOOLθ\ν 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.61.0 .172 .157 .14 .12 .098 .0742.0 .264 .239 .213 .1863.0 .3234.05.06.0µef 3.21 2.87 2.52 2.15 1.76 1.35θef .334 .287 .241 .193 .145 .095
Aço CA50A; d = 0,10; n’ = 10; n1 = 8; ω = 0,3
[SANTOS-3] ν0 = 1.29θ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .028 .050 .065 .075 .079 .077 .072 .067 .061 .055 .047 .039 .0272.0 .056 .077 .096 .110 .120 .126 .127 .123 .114 .101 .084 .0623.0 .083 .104 .121 .136 .147 .154 .156 .154 .142 .124 .0994.0 .099 .125 .145 .159 .169 .175 .173 .166 .1525.0 .106 .134 .158 .176 .187 .187 .1836.0 .110 .140 .165 .184 .195 .1977.0 .113 .143 .169 .188 .1988.0 .115 .146 .172 .190µef .120 .153 .176 .191 .198 .197 .186 .172 .155 .132 .104 .069 .034θef 14.2 13.9 10.5 8.4 7.1 6.1 5.4 4.9 4.3 .3.9 3.5 2.8 1.8
lxxii
FTOOLθ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .029 .050 .065 .075 .079 .077 .072 .067 .061 .055 .048 .039 .0282.0 .056 .077 .096 .110 .120 .126 .127 .123 .114 .101 .084 .0623.0 .083 .104 .121 .136 .147 .154 .156 .154 .142 .124 .0994.0 .099 .125 .145 .159 .169 .175 .173 .166 .1525.0 .106 .134 .158 .176 .187 .187 .1836.0 .110 .140 .165 .184 .195 .1977.0 .113 .143 .169 .188 .1988.0 .115 .146 .172 .1909.0 .116 .148 .17410.0 .117 .149 .17511.0 .118 .15112.0 .119 .15113.0 .120 .15214.0 .120µef .120 .153 .176 .191 .198 .197 .186 .172 .155 .132 .104 .069 .034θef 14.2 13.9 1.5 8.44 7.06 6.08 5.43 4.85 4.35 3.91 3.54 2.78 1.75
Aço CA50A; d = 0,10; n’ = 10; n1 = 2; ω = 0,3
[SANTOS-3] ν0 = 1.29θ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .023 .045 .060 .070 .074 .071 .067 .061 .056 .049 .042 .034 .0232.0 .046 .067 .085 .100 .110 .116 .117 .113 .104 .090 .075 .0563.0 .068 .088 .106 .121 .132 .139 .141 .138 .129 .114 .0924.0 .085 .107 .125 .138 .148 .154 .155 .150 .1405.0 .094 .118 .138 .152 .161 .164 .1636.0 .100 .125 .146 .161 .169 .1727.0 .104 .130 .150 .166 .1758.0 .106 .133 .154 .169µef .114 .139 .157 .169 .175 .174 .167 .157 .142 .123 .098 .065 .031θef 14.9 11.9 9.7 8.2 7.0 6.2 5.5 4.9 4.4 4.0 3.6 2.9 1.9
FTOOLθ\ν 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.41.0 .023 .045 .060 .070 .074 .071 .067 .061 .056 .049 .042 .034 .0232.0 .046 .067 .085 .100 .110 .116 .117 .113 .104 .090 .075 .0563.0 .068 .088 .106 .121 .132 .139 .141 .138 .129 .114 .0924.0 .085 .107 .125 .138 .148 .154 .155 .150 .1405.0 .094 .118 .138 .152 .161 .164 .1636.0 .100 .125 .146 .161 .169 .1727.0 .104 .130 .150 .166 .1758.0 .106 .133 .154 .1699.0 .108 .135 .15610.0 .110 .13711.0 .111 .13812.0 .11213.0 .11314.0 .113µef .114 .139 .157 .169 .175 .174 .167 .157 .142 .123 .098 .065 .031θef 14.9 11.9 9.66 8.16 7.05 6.2 5.53 4.95 4.43 3.98 3.6 2.9 1.85