desenvolvimento de soluÇÕes para problemas de

PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

DESENVOLVIMENTO DE SOLUÇÕES

PARA PROBLEMAS DE

ADVECÇÃO-DIFUSÃO COMBINANDO

TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL E

MÉTODOS DISCRETOS

DANIEL JOSÉ NAHID MANSUR CHALHUB

MARÇO DE 2011

DANIEL JOSÉ NAHID MANSUR CHALHUB

DESENVOLVIMENTO DE SOLUÇÕES PARAPROBLEMAS DE ADVECÇÃO-DIFUSÃO

COMBINANDO TRANSFORMAÇÃO INTEGRALE MÉTODOS DISCRETOS

Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânicada UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção dotítulo de Mestre em Ciências em EngenhariaMecânica

Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D.Leonardo Santos de Brito Alves, Ph.D.

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, MARÇO DE 2011

DESENVOLVIMENTO DE SOLUÇÕES PARAPROBLEMAS DE ADVECÇÃO-DIFUSÃO

COMBINANDO TRANSFORMAÇÃO INTEGRALE MÉTODOS DISCRETOS

Esta tese foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma finalpela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:

Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D (Orientador)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Leonardo Santos de Brito Alves, Ph.D (Orientador)Instituto Militar de Engenharia – PGED/IME

Maria Laura Martins-Costa, D.ScUniversidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Renato Machado Cotta, Ph.DUniversidade Federal do Rio de Janeiro – COPPE/UFRJ

Resumo

O presente trabalho tem como objetivo analisar e comparar diversos tipos de abor-

dagem utilizando a Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) e o Método

de Volumes Finitos (FVM) e o desenvolvimento de metodologias mistas.

Diversos problemas de advecção-difusão são considerados: Convecção forçada de

calor entre placas paralelas de fluidos newtonianos e não newtonianos (Power-law e

fluido de Bingham), convecção forçada em microcanais, convecção forçada em dutos

retangulares e equação de Burgers. Em todos os casos foram considerado o regime

de escoamento laminar, desenvolvido hidrodinamicamente e em desenvolvimento tér-

mico. As condições de contorno clássicas de temperatura prescrita na parede foram

utilizadas. Nos problemas desenvolvidos, foi considerado a simplificação de difusão

axial desprezível (Pe À 1).

A equação de Burgers também foi solucionada por utilizando uma abordagem

mista envolvendo GITT e métodos discretos, onde cinco aproximações discretas fo-

ram propostas para o termo advectivo.

Em todas as comparações realizadas entre FVM e GITT, a integração da equação

no método de FVM é sempre realizada na mesma direção da transformação integral de

GITT. Desse modo os sistemas de equações diferenciais ordinárias de ambas metodo-

logias são resolvidos utilizando a mesma rotina numérica na direção de marcha.

Todos os sistemas de equações diferenciais ordinárias foram solucionados pela ro-

tina numérica NDSolve do software Mathematica. Esse programa também foi utili-

zado no auxílio de manipulações simbólicas em todas as formulações.

iv

Abstract

This study aims to analyze and compare different types of approaches using the Ge-

neralized Integral Transform Technique (GITT) and the Finite Volume Method (FVM)

as well the development of mixed methodologies.

Several advection-diffusion problems are considered: Forced heat convection bet-

ween parallel plates of non-Newtonian and Newtonian fluids (Power-law and Bingham

fluid), forced convection in microchannel, forced convection in rectangular ducts and

Burgers equation. The flow is laminar as well as hydrodynamically developed and

thermally developing. The classical prescribed temperature boundary conditions were

used on the wall. In all problems, wed considered negligible axial diffusion (Pe À 1).

The Burgers equation was also solved using a mixed approach involving discrete

methods and GITT, where five discrete approximations were proposed for the advec-

tive term.

In all comparisons done between FVM and GITT, the integration of the equation by

FVM is always performed at the same direction as the integral transformation of GITT.

Thus the systems of ordinary differential equations from both methods are solved using

the same time marching numerical routine.

All ordinary differential equation systems were solved by the routine NDSolve

from Mathematica Software. This program was also used to aid all symbolic manipu-

lation.

v

Sumário

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Histórico da Técnica da Transformada Integral . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Revisão bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Formulação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Convecção forçada entre placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Convecção forçada entre placas paralelas - Hagen-Poiseuille . 16

2.1.2 Convecção forçada em microcanais . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3 Convecção forçada em fluidos não newtonianos . . . . . . . . . 18

2.2 Convecção forçada em dutos retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Equação de Burgers não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Soluções pela Técnica da Transformada Integral . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Introdução a Técnica da Transformada Integral . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Convecção forçada entre placas paralelas - Hagen-Poiseuille . . . . . . 27

3.3 Convecção forçada em microcanais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Problema de Autovalor de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2 Problema de autovalor com a velocidade como função peso . . 33

3.4 Convecção forçada em fluidos não newtonianos . . . . . . . . . . . . . 35



vi

3.6.1 Problema Filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6.2 Problema de Autovalor e Par Transformada . . . . . . . . . . . 44

4. Soluções pelo Método de Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47





5. Formulação Mista Envolvendo Expansão em Autofunções e Metodologias

Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58



5.2.1 Aproximação atrasada de primeira ordem: Formulação Padrão

(UDS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.2 Aproximação atrasada de primeira ordem: Formulação Hí-

brida (UDS*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2.3 Aproximação centrada de segunda ordem (CDS) . . . . . . . . 64

5.2.4 Aproximação totalmente atrasada de segunda ordem (UDS2) . 64

5.2.5 Aproximação parcialmente atrasada de terceira ordem (UDS3) 65

6. Resultados e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.1 Implementação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


6.3 Convecção forçada em microcanais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71



6.5.1 Comparação entre GITT e FVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.5.2 Formulação mista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.6 Equação de Burgers não linear - Comparação entre GITT e FVM . . . 91

6.7 Equação de Burgers não linear - Formulação Mista . . . . . . . . . . . 100

vii

7. Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8. Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

A. Tabelas da Equação de Burgers - Abordagem Mista . . . . . . . . . . . . 135

viii

Lista de Figuras

6.1 Perfil das funções filtro utilizadas na implementação computacional

para todas as formulações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2 Erro vs. tempo computacional para GITT e FVM com Re = 1 e ξ= 0,1. 98




6.6 Perfil das condições iniciais utilizadas para a implementação compu-

tacional para a formulação GITT mista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.7 Gráficos do campo de velocidade comparando a influência da variação

do parâmetro δ. Mantendo todos os outros parâmetros constantes (α=50, t0 = 0,5, Re = 100, τ= 0,5 e nmax = 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


do parâmetro δ. Mantendo todos os outros parâmetros constantes (α=10000, t0 = 0, Re = 100, τ= 0,5 e nmax = 15). . . . . . . . . . . . . . . . 104


do parâmetro δ. Mantendo todos os outros parâmetros constantes (α=10000, t0 = 0, Re = 100, τ= 1,5 e nmax = 15). . . . . . . . . . . . . . . . 105

ix

Lista de Tabelas

6.1 Temperatura adimensional para η= 0 e η= 0,5. (GITT). . . . . . . . . . 68

6.2 Temperatura adimensional para η= 0 e η= 0,5 (FVM). . . . . . . . . . 69

6.3 Número de Nusselt (GITT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4 Número de Nusselt (FVM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5 Número de Nusselt local para o problema de autovalor de Helmholtz

(w = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.6 Número de Nusselt local para o problema de autovalor com velocidade

(w(η) = u∗(η)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.7 Número de Nusselt para diferentes fluidos Power-law (FVM). . . . . . 75

6.8 Número de Nusselt para diferentes fluidos de Bingham (FVM). . . . . 76

6.9 Número de Nusselt para diferentes fluidos Power-law (GITT). . . . . . 77

6.10 Número de Nusselt para diferentes fluidos de Bingham (GITT). . . . . 78

6.11 Estimativa do erro para FVM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.12 Estimativa do erro para GITT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.13 Convergência da velocidade para algumas posições críticas(CITT). . . 82

6.14 Convergência da velocidade para algumas posições críticas (FVM). . . 83

6.15 Número de Nusselt local (GITT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.16 Número de Nusselt médio (GITT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.17 Número de Nusselt local (FVM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.18 Número de Nusselt médio (FVM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.19 Comparação dos resultados na região de entrada térmica calculada,

com a trabalho feito por Chandrupatla e Sastri [1]†. . . . . . . . . . . . 85

6.20 Número de Nusselt local para o esquema A, calculado para diferentes

ordens de truncamento (lmax) e diferentes malhas (kmax) para dutos

quadrados (K0 = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

x

6.21 Número de Nusselt médio para o esquema A, calculado para diferentes


quadrados (K0 = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.22 Número de Nusselt local para o esquema B, calculado para diferentes


quadrados (K0 = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.23 Número de Nusselt médio para o esquema B, calculado para diferentes


quadrados (K0 = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.24 Comparação dos resultados para a região termicamente desenvolvida

com os trabalhos realizados por Rohsenow et al. [2], Kays et al. [3],

Bejan e Krauss [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.25 Resultados por FVM para Re = 1 e τ = 1: velocidades em diferentes

posições. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.26 Resultados por GITT para Re = 1 e τ = 1: velocidades em diferentes

posições para diferentes filtros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.27 Resultados por FVM para Re = 10 e τ = 1: velocidades em diferentes

posições. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.28 Resultados por GITT para Re = 10 e τ= 1: velocidades em diferentes

posições para diferentes filtros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.29 Parâmetros das figuras 6.7, 6.8 e 6.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.30 Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições

e abordagens para α= 50, t0 = 0,5, δ= 0,00001, τ= 1 e Re = 1. . . . . 107


e abordagens para α= 10000, t0 = 0, δ= 0,00001, τ= 1 e Re = 10. . . . 108


e abordagens para α= 50, t0 = 0,5, δ= 0,001, τ= 1 e Re = 10. . . . . . 109


e abordagens para α= 10000, t0 = 0, δ= 0,001, τ= 1 e Re = 10. . . . . 110

xi


e abordagens para α= 50, t0 = 0,5, x = 0,8, δ= 0,00625, τ= 1 e Re = 1. 111


e abordagens para α= 10000, t0 = 0, δ= 0,00625, τ= 1 e Re = 1. . . . 112

6.36 Convergência da velocidade em função de δ para diversas posições e

abordagens para α= 50, t0 = 0,5, nmax = 20 τ= 1 e Re = 10. . . . . . . 113


abordagens para α= 10000, t0 = 0, nmax = 20, τ= 1 e Re = 10. . . . . . 114


e abordagens para α= 50, t0 = 0,5 δ= 0,0125, τ= 0,5 e ℜ= 10. . . . . 115


e abordagens para α= 50, t0 = 0,5, δ= 0,0125, τ= 1,5 e Re = 10. . . . 116


abordagens para α= 50, t0 = 0,5, nmax = 30, τ= 0,5 e Re = 10. . . . . . 117


abordagens para α= 50, t0 = 0,5, nmax = 30, τ= 1,5 e Re = 10. . . . . . 118


e abordagens para α= 10000, t0 = 0 δ= 0,0125, τ= 0,5 e Re = 10. . . . 119


e abordagens para α= 10000, t0 = 0, δ= 0,0125, τ= 1,5 e Re = 10. . . 120


abordagens para α= 10000, t0 = 0, nmax = 30, τ= 0,5 e Re = 10. . . . . 121


abordagens para α= 10000, t0 = 0, nmax = 30, τ= 1,5 e Re = 10. . . . . 122

A.1 Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições

e abordagens para α= 50; t0 = 0,5; δ= 0,025; τ= 1 e Re = 1. . . . . . . 135


e abordagens para α= 50; t0 = 0,5; δ= 0,00625; τ= 1 e Re = 1. . . . . 136

xii


e abordagens para α= 50; t0 = 0,5; δ= 0,001; τ= 1 e Re = 1. . . . . . . 137


e abordagens para α= 50; t0 = 0,5; δ= 0,0001; τ= 1 e Re = 1. . . . . . 138













A.11 Convergência da velocidade em função de δ para diversas posições e

abordagens para α= 50; t0 = 0,5; nmax = 10; τ= 1 e Re = 1. . . . . . . . 145






abordagens para α= 50; t0 = 0,5; nmax = 10; τ= 1 e Re = 10. . . . . . . 148





xiii


e abordagens para α= 10000; t0 = 0; δ= 0,025; τ= 1 e Re = 1. . . . . . 151


e abordagens para α= 10000; t0 = 0; δ= 0,00625; τ= 1 e Re = 1. . . . 152


e abordagens para α= 10000; t0 = 0; δ= 0,001; τ= 1 e Re = 1. . . . . . 153


e abordagens para α= 10000; t0 = 0; δ= 0,0001; τ= 1 e Re = 1. . . . . 154














abordagens para α= 10000; t0 = 0; nmax = 10; τ= 1 e Re = 1. . . . . . . 161






abordagens para α= 10000; t0 = 0; nmax = 10; τ= 1 e Re = 10. . . . . . 164

xiv





xv

Nomenclatura

x, y , z Coordenadas cartesianas clássicas

t Tempo

u Velocidade

u∗ Velocidade adimensional

u Velocidade média

u∗0 Condição inicial para a velocidade

ui n Velocidade de entrada

T Temperatura

Tm Temperatura média de mistura

T0 Temperatura de entrada no canal

Ts Temperatura na parede do canal

p Pressão

∆p∗ Gradiente de pressão adimensional

nmax, lmax Ordens de truncamento para GITT

imax, jmax, kmax Número de divisões por FVM

F , G Parâmetros da formulação de placas paralelas

n Expoente Power-law

η0 Posição na qual ocorre a tensão limite de escoamento

h Coeficiente de filme

w Função peso

L(•), B(•) Operadores diferenciais lineares

Λ(•) Operador diferencial discreto

N Norma

t0, α Parâmetros da condição inicial da formulação de Burgers

xvi

H Distância entre placas

L Comprimento

Dh Diâmetro hidráulico

λ Caminho médio livre entre as moléculas

K0, K1, K2 Razões de aspecto para dutos retangulares

a, b Dimensões das paredes do duto retangular nas direções x e y

µ Coeficiente de viscosidade

ν Viscosidade cinemática

γ Taxa de cisalhamento

k Condutividade térmica

α Difusividade térmica

Pe Número de Peclet

Nu Número de Nusselt

Kn Número de Knudsen

Re Número de Reynolds

Símbolos Gregos

ξ, η, ϕ Coordenadas cartesianas adimensionais

τ Tempo adimensional

θ Temperatura adimensional

θm Temperatura média de mistura adimensional

βv Coeficiente de escorregamento na parede

βt Coeficiente de salto na temperatura na parede

λ, µ, γ Autovalores

X , Y , Ω, ψ Autofunções

ψ Autofunções normalizadas

∆ξ, ∆η Distâncias entre o centro de dois volumes finitos adjacentes

xvii

Subscritos

n, m, i , j , k, r , s, l , p Índices para diferentes equações e variáveis

( )H Potencial filtrado

( )F Função filtro

Sobrescritos

¯( ) Potencial transformado

xviii

Capítulo 1

Introdução

Por séculos, técnicas analíticas foram as únicas soluções disponíveis para a solução

de problemas difusivos e convectivo-difusivos, porém essas metodologias só podem

ser aplicadas a uma pequena classe desses problemas, na maioria das vezes lineares.

Métodos discretos também se originaram há muito tempo, mas a sua aplicação em larga

escala e desenvolvimento começou apenas há algumas décadas com a disponibilidade

de computadores com maior capacidade de processamento.

No âmbito dos métodos discretos, o Método dos Volumes Finitos (FVM)1 [5, 6]

aparece como opção amplamente utilizada para uma variedade de problemas de di-

fusão e convecção, devido à sua natureza implicitamente conservativa e facilidade de

aplicação. No entanto, como acontece com qualquer método discreto, aproximações

das derivadas e integrais em termos de pontos nodais em um domínio computacional

são necessárias, resultando em um erro de truncamento, que decai com o refinamento

da malha.

A Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT)2 [7–14] lida com ex-

pansões da solução buscada em termos de infinitas bases ortogonais de auto-funções,

mantendo o processo de solução sempre dentro de um domínio contínuo. No entanto,

ao contrário da Transformada Integral Clássica [15], o método pode ser aplicado a sis-

1 a sigla se origina da lingua inglesa, Finite Volume Method2 a sigla se origina da lingua inglesa, Generalized Integral Transform Technique

1

temas não transformáveis incluindo problemas não lineares, tornando o método aplicá-

vel a um número virtualmente infinito de problemas. O sistema resultante é geralmente

composto de um conjunto de equações diferenciais acopladas, que pode ser facilmente

resolvido por rotinas numéricas bem estabelecidas que permitem o controle da preci-

são. Porém, como as séries infinitas devem ser truncadas para que qualquer aplicação

possível seja feita, um erro de truncamento está envolvido. Este erro decresce quando

o número de termos aumenta, e a solução converge para um valor final. Devido à

natureza da representação em séries, a estimativa do erro pode ser facilmente obtida,

que resulta em um melhor controle do erro global da solução. A desvantagem associ-

ada a essa abordagem é a necessidade de uma manipulação analítica mais elaborada.

No entanto, este esforço pode ser consideravelmente minimizado com o emprego de

computação simbólica [16].

1.1 Histórico da Técnica da Transformada Integral

As ideias inicias que conduziram a criação da Técnica da Transformada Integral,

segundo Cotta [13], foram introduzidas por Koshlyakov em 1936. Grimnberg [17],

em 1948, progrediu a teoria através de aplicações em classes de problemas elétricos e

magnéticos. Após algumas décadas os autores Özisik [18] e Tranter [19] já concebiam

a ideia.

Segundo Özisik e Murray [20], em 1974, durante o período da corrida espacial,

a Rússia e outros países do Leste Europeu proporcionaram um grande avanço no de-

senvolvimento e aplicação de métodos analíticos, tal como a transformada integral.

Concomitantemente, Estados Unidos e Europa concentravam-se no desenvolvimento

de métodos denominados puramente numéricos (diferenças finitas e elementos finitos).

Posteriormente, os cálculos desenvolvidos no ocidente requisitavam um crescente es-

forço computacional, enquanto que as metodologias do Leste Europeu concentravam

esforços em extensas manipulações analíticas.

Isso durou até meados dos anos setenta. Mikhailov [21], em 1972 deu uma con-

tribuição definitiva para a consolidação do método da transformada integral, quando

2

propôs um núcleo de processamento geral que unificou as várias transformações indi-

viduais desenvolvidas até aquele momento, a obtenção da solução geral para a equação

de difusão linear em regiões finitas.

Özisik e Murray [20], em 1974, aplicaram pela primeira vez a teoria da transfor-

mada integral em problemas de difusão com condições de contorno variáveis com a

posição e com o tempo. O problema proposto se caracterizava pela presença de ter-

mos não transformáveis pela CITT, que mesmo assim foram inseridos na fórmula de

inversão, o que resultou em um sistema infinito de equações diferenciais ordinárias

de primeira ordem para o potencial transformado. Para a recuperação do potencial

original, foram obtidas soluções aproximadas deste sistema de equações diferenciais,

nascendo aí a natureza híbrida analítico-numérica do procedimento adotado e dando

os primeiros passos na Técnica Transformada Integral Generalizada.

Outro estudo que também contribuiu consideravelmente para a evolução da teoria

da transformada integral foi publicada por Mikhailov [22], em 1975. Esse trabalho

solucionou problemas de difusão com coeficientes dependentes do tempo. O que ge-

rou termos que também não eram transformáveis pela CITT. Usando um problema de

autovalor auxiliar, dependendo do tempo e aplicando o mesmo procedimento usado

por Özisik e Murray [20], Mikhailov obteve um sistema infinito de equações diferen-

ciais com coeficientes variáveis para o potencial de transformação.

Ambos os trabalhos, Özisik e Murray [20] e Mikhailov [22], criaram as condições

necessárias para o desenvolvimento de uma nova metodologia capaz de resolver pro-

blemas de difusão, até então, insolúveis pelas técnicas clássicas, estabelecendo assim

os princípios da Técnica da Transformada Integral Generalizada - GITT.

Neste contexto, Shah e London [23], em 1978, já chamavam a atenção para o fato

de que a aplicação de métodos clássicos era limitada na solução para problemas de

convecção. Depois de uma extensa compilação de documentos e análise relacionada

ao problema clássico de Graetz [2], verificou-se que as soluções dos problemas de

escoamento de fluidos, representado por modelos mais realistas, sempre eram mais

difíceis de encontrar, ou tinham soluções incompletas. Sabendo disso, Shah e London

3

indicaram a necessidade de um novo método capaz de resolver problemas com estas

características.

Em 1984, Mikhailov e Özisik [15] apresentaram uma maneira sistemática de apli-

cação da técnica da transformada integral para a solução de diversos problemas lineares

de difusão, divididos em sete grandes classes. Desse trabalho surgiram os formalismos

da Técnica Transformada Integral Clássica (CITT). Segundo Cotta [10], as caracte-

rísticas da abordagem da CITT, comparadas às metodologias numéricas, geram uma

variedade de vantagens, conforme é mostrado abaixo:

• Metodologia sistemática de solução;

• Redução do tempo de processamento;

• Controle prescrito de erro;

• Aceleração da taxa de convergência numérica;

• Inexistência de malhas;

• Obtenção de soluções de benchmark;

• Determinação numérica direta da função em um ponto (para valores definidos

de tempo e espaço) sem necessidade de cálculo numérico de estados temporais

anteriores ou de outros pontos do domínio espacial;

• Versatilidade do método em se associar com outros, devido às suas característi-

cas analítico-numéricas.

Devido ao processo evolutivo encontrado no método de transformada integral,

Cotta [10], apresentou uma revisão dos formalismos clássicos, que são agora esten-

didos com ênfase na resolução de problemas não lineares e fortemente acoplados, e

sugeriu técnicas para melhorar a eficiência da solução. Desde então, a GITT começou

a ser disseminada rapidamente e se destacou como uma poderosa ferramenta híbrida

para resolução de problemas difusivos e difusivo-convectivos. Mais tarde, um livro

foi desenvolvido especificamente para aplicações da GITT em problemas difusivos e

difusivos-convectivos [13].

4

1.2 Revisão bibliográfica

Recentemente, diversos trabalhos recentes utilizaram o método da Transformada

Integral Generalizada para a resolução de diversos tipos de problemas.

Cheroto et al. [24] apresentaram um estudo teórico da convecção forçada laminar

transiente para um escoamento entre placas paralelas em desenvolvimento térmico. O

escoamento é submetido a uma variação periódica da temperatura de entrada e a GITT

é utilizada para fornecer uma solução híbrida. A análise periódica é realizada usando

dois problemas similares acoplados. O problema é analisado por meio da solução

das equações da camada-limite térmica para convecção forçada laminar usando uma

formulação complementar que consiste em dividir o problema em duas partes, sendo

uma real e outra imaginária. Ao final, os resultados obtidos foram comparados com

outros já existentes na literatura para validação.

Almeida e Cotta [25] investigaram a solução de problemas de difusão-convecção

dentro de um domínio sem fronteiras através da Técnica da Transformada Integral Ge-

neralizada. A GITT foi testada em domínio sem fronteira por meio de dois esquemas:

procedimento de truncamento de domínio simples e um método de transformação de

coordenadas. Um problema clássico unidimensional baseado na Equação de Burgers

foi utilizado, onde, apesar de sua simplicidade, é provido de importantes características

que permitem uma eficiente análise, além de possuir diversas aplicações práticas.

Mikhailov e Cotta [26], apresentaram o problema de transferência de calor por con-

vecção em regime permanente para o escoamento laminar no interior de microcanais

formados por placas paralelas foi resolvido analiticamente, fazendo uso do método

da transformada integral e da solução analítica exata do problema de autovalor cor-

respondente em termos da função hipergeométrica confluente. Um algoritmo misto

simbólico-numérico foi desenvolvido sob a plataforma do Mathematica. O documento

também foi preparado no formato de notebook do Mathematica e disponibilizado, per-

mitindo a reprodução imediata dos resultados e a compreensão das regras simbólica e

computacional desenvolvido.

A principal hipótese utilizada no trabalho de Maia et al. [27] é de um escoamento

5

laminar potencial dentro do tubo elíptico, sob uma condição de contorno de primeira

espécie constante, com propriedades físicas constantes e difusão de calor axial despre-

zível axial (número de Peclet elevado). Para resolver o problema térmico em desenvol-

vimento, foi utilizada a GITT. Os eixos foram algebricamente transformados a partir

do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas elípticas, a fim

de evitar a forma irregular da parede do duto elíptico. A GITT em seguida, foi aplicada

para transformar e resolver o problema e para obter o campo de temperatura. Depois

disso, foi possível calcular e apresentar as quantidades de interesse prático, tais como

a temperatura do fluido, o número de Nusselt local e do número de Nusselt médio para

várias seções transversais.

O trabalho de de Queiroz [28] apresentou soluções para problemas de convecção

forçada utilizando a GITT. O objetivo principal foi de analisar diferentes estratégias

para solução de escoamentos em desenvolvimento térmico utilizando a GITT, a fim

de determinar que solução é mais eficiente para diferentes configurações. O escoa-

mento laminar entre placas paralelas, desenvolvido do ponto de vista hidrodinâmico,

foi considerado, e o problema mais simples de escoamento uniforme foi analisado

para comparar os resultados com a convergência de soluções analíticas. As duas con-

dições clássicas de aquecimento na parede (parede isotérmica e com fluxo constante)

foram utilizadas. Além disto, diferentes valores do número de Péclet foram analisa-

dos, levando à situação simplificada sem difusão axial (Peclét grande) até situações

com Péclet unitário. Diferentes problemas de autovalor foram analisados, gerando três

possibilidades de transformação integral do problema. Também foram analisadas di-

ferentes estratégias para a solução do sistema transformado. A comparação entre as

diferentes estratégias de solução foi realizada por meio da análise da taxa de conver-

gência do número de Nusselt. Foram analisados também o tempo computacional gasto

por diferentes estratégias de solução do sistema transformado, assim como a taxa de

convergência para a temperatura em diferentes posições.

Gondim et al. [29] analisou a convecção-difusão transiente empregando GITT com-

binada com uma função filtro transiente, de modo a melhorar a convergência. A ideia

6

foi considerar aproximações analíticas do problema original, assim como as soluções

das funções filtro. Uma função filtro local-instantânea é então considerada para ofere-

cer uma formulação híbrida, analítico-numérica para problemas de convecção-difusão

lineares ou não lineares.

A dissertação de mestrado de Pelegrini [30] visou dar uma contribuição para o

desenvolvimento e disseminação da GITT como uma ferramenta qualificada para a

resolução de problemas difusivos complexos, o autor obteve a solução de problemas

difusivos de natureza parabólica em domínios de geometria elíptica e retangular que

apresentam propriedades termofísicas variáveis. Para facilitar o tratamento analítico,

a equação da difusão foi linearizada fazendo uso da Transformada de Kirchhoff sobre

o potencial temperatura e, quando necessário, as variáveis espaciais também foram

convenientemente transformadas para facilitar a aplicação das condições de contorno

do problema. Para uma melhor compreensão dos problemas estudados, parâmetros

físicos de interesse foram determinados para diversas razões de aspecto. Para a visu-

alização e análise do comportamento transiente, foram construídos, então, diagramas

para representação de problemas cujos meios apresentam propriedades com diversos

tipos de dependência com a temperatura. Posteriormente, para fins de comparação, os

problemas propostos para o presente trabalho foram resolvidos numericamente pela

técnica de elementos finitos com o auxílio do programa computacional Ansys®. A

partir dos resultados obtidos, observou-se que a GITT foi aplicada com sucesso para

a obtenção de solução de problemas difusivos transientes multidimensionais que não

admitem soluções pelas técnicas analíticas clássicas.

O artigo de Damean e Regtien [31] apresenta um estudo sobre o campo de veloci-

dade laminar e desenvolvido em dutos hexagonais. Esse tipo de duto é a principal parte

da estrutura de um atuador-sensor usado pra determinação dos parâmetros do fluido e

do escoamento. O assunto central do trabalho de Damean e Regtien [31] é a constru-

ção de um formulação analítica para o campo de velocidade. Duas abordagens foram

implementadas: A primeira é baseada no método do ponto correspondente e a segunda

é baseada na GITT. Ambas abordagens ofereceram similar credibilidade porém mos-

7

trando que a segunda abordagem é mais apropriada para dutos de maiores razões de

aspecto.

Lima et al. [32] aplicaram GITT para a solução do escoamento bidimensional de-

senvolvido de fluidos não newtonianos do tipo Power-law em dutos retangulares. A

característica automática e simples do controle de erro da técnica permitiu a deter-

minação de resultados de benchmark para comparar com o desempenho de técnicas

puramente numéricas. Resultados numéricos para o produto fator de atrito de Fan-

ning e número de Reynolds generalizado foram computados para diferentes valores do

índice Power-law e razões de aspecto, que foram comparados com resultados previa-

mente obtidos na literatura, fornecendo comparações críticas entre eles. Os perfis de

velocidade computados usando GITT também foram comparados com outras técnicas

de aproximação numéricas.

Nascimento et al. [33] se concentraram em solucionar o escoamento de fluidos de

Bingham em dutos anulares analiticamente usando CITT. Na análise da região de en-

trada térmica, quatro tipos de condições de contorno foram adotadas e prescritas no

interior ou exterior da parede duto, e o escoamento é considerado laminar e hidrodi-

namicamente desenvolvido. O número de Nusselt local foi computado ao longo do

comprimento do canal com uma elevada precisão para diferentes razões de aspecto e

tensões limite de escoamento. Foram realizadas também comparações com trabalhos

anteriores para validar os códigos numéricos desenvolvidos.

Um modelo de advecção-difusão de duas dimensões para descrever a dispersão de

poluentes foi solucionado por de Almeida et al. [34] por GITT, utilizando dois esque-

mas diferentes. O primeiro utiliza a integração numérica do sistema transformado para

o problema de valor inicial. O segundo esquema utiliza a solução totalmente analítica

sendo mais robusta e computacionalmente mais econômica, porém pouco flexível.

Uma solução analítica para o problema transiente bidimensional de dispersão de

poluentes atmosféricos foi apresentada por Cassol et al. [35]. A abordagem utilizada

neste problema utiliza a GITT, a Transformada de Laplace e diagonalização de matri-

zes. Além disso, os filtros matemáticos são utilizados devido à existência de condições

8

de contorno não-homogêneas. Os resultados obtidos foram comparados com dados ex-

perimentais para a dispersão de curto alcance na direção do vento, utilizando dois co-

nhecidos conjuntos de dados de dispersão experimental (Copenhagen e Prairie Grass).

É mostrado que a presente abordagem analítica gerou bons resultados para a concen-

tração na direção do vento, exceto para os receptores muito próximos dos pontos de

lançamento.

Cotta et al. [36], Sphaier et al. [37] resumem a teoria e descrevem o algoritmo rela-

cionado a construção de um código computacional misto, simbólico-numérico aberto,

chamado UNIT (UNified Integral Transforms), que fornece uma plataforma de de-

senvolvimento para se obter soluções de equações diferenciais parciais (EDP) linea-

res e não-lineares, via transformadas integrais. O UNIT foi desenvolvido no sistema

de computação simbólica Mathematica, versão 7.0, em conjunto com a metodologia

numérico-analítica da GITT. O objetivo do trabalho foi ilustrar uma robusta simulação

com controle de precisão em problemas de convecção-difusão transientes, não-lineares

e multidimensionais. Casos teste foram selecionados baseados em formulações não-

lineares multidimensionais das equações de Burgers, fornecendo resultados de refe-

rência para valores numéricos específicos dos parâmetros de governo.

Nos trabalhos de Guedes e Ozisik [38, 39], os autores analisaram a convecção

forçada transiente em um escoamento laminar entre placas paralelas. Este problema

é resolvido usando um esquema híbrido que combina GITT com diferenças finitas

de segunda ordem. Os resultados semi-analíticos são apresentados para variações na

amplitude da temperatura média de mistura e o fluxo de calor ao longo do comprimento

do canal para diferentes frequências. Uma formula aproximada para o decaimento dos

picos amplitude da temperatura média de mistura é desenvolvida.

Em Cotta e Gerk [40], a transformada integral é usada em conjunto com diferenças

finitas de segunda ordem para resolver a classe de problemas parabólicos-hiperbólicos

que aparecem em problemas de convecção forçada em dutos. Aplicações típicas em

geometrias de duas e três dimensões são consideradas. São examinados a estabilidade

e a convergência da abordagem mista proposta.

9

Castellões e Cotta [41] analisaram a convecção laminar interna incompressível

em desenvolvimento térmico em microcanais. Variações de entrada na temperatura e

campo de velocidade foram também consideradas. Essa formulação considera efeitos

de rarefação existentes no regime de escorregamento na parede. Efeitos de condução

axial e dissipação viscosa são considerados. A solução é obtida usando transforma-

ção integral parcial e o sistema resultante é resolvido numericamente pelo método das

linhas.

O trabalho de Naveira et al. [42] apresentou uma solução híbrida numérico-analí-

tica para convecção laminar forçada transiente entre placas planas de espessura não

desprezível, submetida a variações arbitrárias no tempo do fluxo de calor aplicado na

parede na interface fluido-sólido. Este problema conjugado de convecção-condução

é primeiramente formulado através do emprego da abordagem de equações integrais

acopladas (CIEA) para simplificar o problema da condução de calor na placa através

da média da equação de energia relacionada na direção transversal. Como resultado,

uma formulação diferencial parcial melhorada para a temperatura da parede transver-

sal média é obtida, enquanto uma condição de contorno terceiro tipo é aplicada para o

líquido pelo balanço de energia na interface sólido-líquido. A partir do perfil de velo-

cidade disponível, uma solução híbrida baseada na Técnica da Transformada Integral

Generalizada é então proposta, combinada com o método das linhas e implementada

no Mathematica 5.2 utilizando a rotina NDSolve. Assim, os coeficientes de transfe-

rência de calor são facilmente determinados a partir das distribuições de temperatura

na parede, bem como os valores da temperatura em qualquer ponto desejado dentro

do fluido. Alguns casos de teste de diferentes materiais e espessuras das paredes são

definidos para permitir uma melhor interpretação física, em contraste com o modelo

simplificado, sem conjugação.

O trabalho de Guerrero et al. [43] apresentou uma solução formal exata da equa-

ção linear de advecção-difusão de transporte com coeficientes constantes em ambos os

regimes transiente e permanente. Foi utilizado uma substituição matemática clássica,

que transformou a equação de advecção-difusão original em uma equação exclusiva-

10

mente difusiva. Esse novo problema difusivo foi resolvido analiticamente usando a

versão clássica da GITT, resultando em uma solução explícita formal. A nova solu-

ção se mostrou capaz de convergir mais rapidamente do que uma solução analítico-

numéricos anteriormente obtidos através da aplicação da GITT diretamente para a

equação de transporte de advecção-difusão.

Em sua tese de doutorado, de Oliveira [44] elaborou um método para simulação

computacional de escoamentos viscosos, incompressíveis e laminares em duas ou três

dimensões. O procedimento para discretização das equações de Navier-Stokes em

duas dimensões baseou-se no método dos elementos finitos de Galerkin, sendo ainda

utilizado o método da projeção para desacoplar a pressão e a velocidade. A inte-

ração fluido-estrutura é abordada para analisar-se o fenômeno de vibrações induzi-

das por vórtices, empregando-se o procedimento arbitrário Lagrangeano-Euleriano. A

extensão do problema para escoamentos tridimensionais incorporou a transformação

integral generalizada das equações diferenciais que governam o problema, de modo

a reduzi-las a um conjunto de equações bidimensionais transformadas. As autofun-

ções deste problema foram utilizadas para fazer a expansão da velocidade, utilizando

a expressão inversa da transformada integral. No caso bidimensional estudou-se es-

coamentos fechados em cavidades e canais, bem como em torno de cilindros fixos

ou moveis. No caso tridimensional utilizou-se os comandos do MPI para processa-

mento em computadores paralelos e estudou-se canais, cilindros fixos, com o objetivo

de analisar a transição para a tridimensionalidade da esteira, e cilindros rígidos moveis

apoiados em base elástica, para a investigação das vibrações induzidas por vórtices.

Outras aplicações já desenvolvidas podem ser encontradas, como aplicações em

geometrias irregulares [45–49], secagem em meio poroso capilar [50], problemas de

injeção de traçadores em poços injetores [51], expansão assimétrica [52], escoamento

em cavidade quadrada [53], escoamento de fluidos não newtonianos com reações quí-

micas [54] e secagem de produtos agrícolas [55].

11

1.3 Organização do Trabalho

O presente trabalho tem como objetivo avaliar e comparar o desenvolvimento de

esquemas de soluções pela Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) e o

método discreto de Volumes Finitos (FVM) e desenvolver uma formulação mista, utili-

zando combinações do método híbrido (GITT) e métodos discretos tradicionais como

o Método dos Volumes Finitos (FVM) ou o Método de Diferenças Finitas (MDF).

A finalidade desta combinação de diferentes metodologias é obter esquemas de so-

lução que consigam unir as vantagens de métodos com características bastante diferen-

tes, proporcionando assim, um método misto aprimorado para solucionar problemas de

advecção-difusão mais eficientemente.

No capítulo 2 é apresentada a formulação matemática dos problemas a serem solu-

cionados pelas metodologias. Diversos problemas de difusão-advecção foram escolhi-

dos para servirem como base de análise dos esquemas de solução.

No capítulo 3 é mostrado o esquema de solução dos problemas utilizando pura-

mente a Técnica da Transformada Integral. Utilizando variações nas abordagens dos

problemas de autovalor e problemas filtros envolvidos. No capítulo 4 é realizada a

aproximação dos problemas anteriores pelo Método de Volumes Finitos.

Já no capítulo 5 são mostrados os esquema mistos desenvolvidos utilizando a trans-

formada integral e metodologias discretas.

No capítulo 6 são mostrados os resultados numéricos obtidos por todas as formu-

lações. Esses resultados consistem basicamente de tabelas com valores dos potenciais

e números de Nusselt em diversas posições

12

Capítulo 2

Formulação Matemática

2.1 Convecção forçada entre placas paralelas

Para a modelagem matemática da convecção de calor entre placas paralelas são ne-

cessárias as equações da conservação da quantidade de movimento linear e a equação

de conservação da energia. Como o escoamento é desenvolvido hidrodinamicamente,

a equação do momentum linear tem a seguinte simplificação:

d

dy

(µ(γ)

du

dy

)= dp

dxpara 0 ≤ y ≤ H

2e x ≥ 0 (2.1a)(

du

dy

)y=0

= 0 (2.1b)

u (H/2) + F

(du

dy

)y=H/2

= 0 (2.1c)

onde µ representa a viscosidade, que em um caso mais geral pode ser função da taxa

de cisalhamento (γ = du/dy) dependendo do tipo de fluido, H é a distância entre as

placas e F é um parâmetro que controla as condições de contorno que são impostas ao

escoamento.

A equação de energia para propriedades constantes e desconsiderando os termos

13

de aquecimento viscoso, é apresentada da seguinte forma:

u(y)∂T (x, y)

∂x= α

(∂2T (x, y)

∂x2+ ∂2T (x, y)

∂y2

)(2.2a)

para 0 ≤ y ≤ H

2e x ≥ 0 (2.2b)

G

(∂T

∂y

)y=H/2

= Ts −T (x, H/2) (2.2c)(∂T

∂y

)y=0

= 0, (2.2d)

T (0, y) = T0, (2.2e)(∂T

∂x

)x→∞

= 0, (2.2f)

onde α é a difusividade térmica, T0 e Ts são constantes e respectivamente a temperatura

de entrada do canal e a temperatura da parede to canal e G , assim como F , é um

parâmetro é um parâmetro que controla as condições de contorno da convecção forçada

de calor.

Para adimensionalizar o problema, introduz-se as seguintes variáveis adimensio-

nais:

η = y

H/2, (2.3)

ξ = x

L, (2.4)

θ(ξ,η) = T (x, y)−Ts

T0 −Ts, (2.5)

u∗(η) = u(y)

u, (2.6)

onde:

u = 1

2H

∫ 2H

0u(y)d y (2.7)

e o valor de L é escolhido através da análise de escala da região de entrada térmica:

L = H

2PeH , (2.8)

14

PeH = u H

α, (2.9)

A introdução desses parâmetros leva à formulação adimensional da energia:

1

2u∗(η)

∂θ(ξ,η)

∂ξ= Pe−2

H∂2θ(ξ,η)

∂ξ2+ ∂2θ(ξ,η)

∂η2, (2.10a)

2G

H

(∂θ

∂η

)η=1

+ θ(ξ,1) = 0, (2.10b)(∂θ

∂η

)η=0

= 0, (2.10c)

θ(0,η) = 1, (2.10d)(∂θ

∂ξ

)ξ→∞

= 0 (2.10e)

Considerando os casos onde a difusão axial pode ser negligenciada, ou seja, os

casos para elevados números de Peclet, a equação governante é simplificada para a

seguinte formulação:

1

2u∗(η)

∂θ(ξ,η)

∂ξ= ∂2θ(ξ,η)

∂η2, (2.11a)

2G

H

(∂θ

∂η

)η=1

+ θ(ξ,1) = 0, (2.11b)(∂θ

∂η

)η=0

= 0, (2.11c)

θ(0,η) = 1, (2.11d)

assim, somente a condição de entrada (ξ= 0) é necessária para a direção axial, ou seja,

a condição de contorno (2.10e) não é mais necessária.

Finalmente, o número de Nusselt, em termos das variáveis adimensionais, é calcu-

lado a partir da expressão:

NuDh (ξ) = −4(∂θ/∂η)η=1

θm(ξ)(2.12)

15

a temperatura média de mistura adimensional θm á dada por:

θm(ξ) =∫ 1

0u∗θdη (2.13)

e o diâmetro hidráulico para placas paralelas é dado por:

Dh = 2 H (2.14)

Em todos os casos considerados nessa seção, a convecção de calor ocorre em es-

coamento laminar incompressível, hidrodinamicamente desenvolvido e termicamente

em desenvolvimento entre placas paralelas.

2.1.1 Convecção forçada entre placas paralelas - Hagen-Poiseuille

Solucionando a formulação geral da quantidade de movimento (2.1) e considerando

o caso de escoamento laminar de fluidos newtonianos entre placas paralelas (F = 0),

encontra-se o perfil de velocidade:

u∗(η) = u

u= 3

2

[1−

( y

H/2

)2]= 3

2

(1−η2) , (2.15)

com a velocidade média dada por:

u =− 1

µ

H 2

12

dp

dx. (2.16)

A conservação da energia, considerando o tipo de escoamento estudado (G = 0)

resulta na seguinte formulação normalizada:

3

4

(1−η2) ∂θ

∂ξ= ∂2θ

∂η2, (2.17a)

θ(ξ,1) = 0, (2.17b)(∂θ

∂η

)η=0

= 0, (2.17c)

θ(0,η) = 1, (2.17d)

16

O número de Nusselt em termos das variáveis adimensionais é dado pela equa-

ção (2.12).

2.1.2 Convecção forçada em microcanais

O problema desenvolvido nessa seção é a convecção de calor em microcanais for-

mados por placas paralelas, no qual o número de Knudsen é definido por:

Kn = λ

Dh(2.18)

onde λ é o caminho médio livre entre as moléculas e Dh é o diâmetro hidráulico, dado

pela equação (2.14)

O regime de escorregamento na parede é considerado, onde 10−3 ≤ Kn ≤ 10−1, de

maneira que a hipótese de contínuo ainda é valida. Desse modo as equações de Navier-

Stokes (2.1) podem ser empregadas, com as modificações apropriadas nas condições

de contorno (F = 2 H βv Kn), que resulta no seguinte perfil de velocidade:

u∗( y

H/2

)= u(y)

u= 3

2

(1+8Knβv −

( yH/2

)2

1+12Knβv

), (2.19a)

com a velocidade média dada por:

u =−H 2 dp

dx

(1+12Knβv

12νρ

). (2.19b)

onde βv é o coeficiente de escorregamento na condição de contorno na parede.

A equação da conservação da energia (2.11) para esse problema, desconsiderando

aquecimento viscoso e condição de salto na temperatura nas paredes (G = 2 H Knβt ) é

representada pela formulação já simplificada para elevados números de Peclet. Deve

ser ressaltado que os parâmetros F e G são escolhidos para uma aproximação da ordem

17

de Knudsen ao quadrado (O[Kn2]).

3

4

(1+8Knβv −η2

1+12Knβv

)∂θ(ξ,η)

∂ξ= ∂2θ(ξ,η)

∂η2, (2.20a)

4Knβt

(∂θ

∂η

)η=1

= −θ(ξ,1), (2.20b)(∂θ

∂η

)η=0

= 0, (2.20c)

θ(0,η) = 1, (2.20d)

onde βt é o coeficiente de salto na temperatura na condição de contorno na parede.

O número de Nusselt, baseado no diâmetro hidráulico, é calculado pela expres-

são (2.12).

2.1.3 Convecção forçada em fluidos não newtonianos

Dois diferentes tipos de fluidos newtonianos generalizados serão considerados nesse

trabalho, levando aos seguintes perfis de velocidade desenvolvidos:

• Modelo de Power-law [56].

u∗ = u

u= 1+2n

1+n(1−η 1+1

n ), 0 ≤ η≤ 1 (2.21)

• Fluido de Bingham [56]:

u∗ = u

u= 3

2

[(1−η2)−2η0(1−η)

1− 32 η0 + 1

2 η30

], η0 ≤ η≤ 1 (2.22a)

u∗ = u

u= 3

2+η0, 0 ≤ η< η0 (2.22b)

Onde n é o expoente de Power-law e η0 é a posição na qual ocorre a tensão limite de

escoamento do fluido de Bingham.

A formulação de conservação da energia é obtida substituindo os perfis de veloci-

dade mostrados na equação geral da energia adimensional (2.11) e considerando G = 0.

O número de Nusselt é dado pela expressão (2.12) já mencionada anteriormente.

18

2.2 Convecção forçada em dutos retangulares

Nessa seção será modelada a convecção laminar em regime permanente e incom-

pressível de fluidos newtonianos em dutos retangulares. O escoamento é considerado

hidrodinamicamente desenvolvido e em desenvolvimento térmico.

O problema para o perfil de velocidade é dado pela seguinte formulação adimensi-

onal da equação de momentum linear:

∂2u∗(ξ,η)

∂ξ2+K 2

0∂2u∗(ξ,η)

∂η2= ∆p∗, em 0 ≤ η≤ 1, 0 ≤ ξ≤ 1 (2.23a)

u∗(1,η) = 0,

(∂u∗

∂ξ

)ξ=0

= 0, em 0 ≤ η≤ 1, (2.23b)

u∗(ξ,1) = 0,

(∂u∗

∂η

)η=0

= 0 em 0 ≤ ξ≤ 1, (2.23c)

onde ∆p∗ é o gradiente de pressão adimensional e é calculado de forma a garantir que

u∗ seja normalizado com a velocidade média na seção ortogonal, que pode ser obtida

da seguinte relação:

u =∫ 1

0

∫ 1

0u∗(ξ,η) dξdη = 1 (2.24)

A equação adimensional da conservação da energia e suas condições de contorno,

desprezando os efeitos de aquecimento devido a dissipação viscosa, assumindo propri-

edades constantes e desprezando a difusão axial (Pe À 1), é dada a seguir:

u∗(ξ,η)∂θ

∂ϕ= K 2

1∂2θ

∂ξ2+ K 2

2∂2θ

∂η2em 0 ≤ η≤ 1, 0 ≤ ξ≤ 1, ϕ≥ 0 (2.25a)(

∂θ

∂ξ

)ξ=0

= 0, θ(1,η,ϕ) = 0, em 0 ≤ η≤ 1, ϕ≥ 0 (2.25b)(∂θ)

∂η

)η=0

= 0 θ(ξ,1,ϕ) = 0, em 0 ≤ ξ≤ 1, ϕ≥ 0 (2.25c)

θ(ξ,η,0) = 1, em 0 ≤ η≤ 1, 0 ≤ ξ≤ 1 (2.25d)

19

As variáveis e parâmetros adimensionais são apresentadas abaixo.

ξ = x

a, (2.26)

η = y

b, (2.27)

ϕ = αz

D2h u

, (2.28)

θ = T −TS

T0 −TS(2.29)

∆p∗ = a2

u

dp

dz(2.30)

e as razões de aspecto são dadas da seguinte forma:

K0 = a

b, (2.31)

K1 = Dh

a, (2.32)

K2 = Dh

b, (2.33)

onde a/2 e b/2 são as dimensões das paredes do duto nas direções x e y respectiva-

mente e Dh é o diâmetro hidráulico, dado por:

Dh = 4 a b

a +b(2.34)

Com as variáveis adimensionais adotadas, o número de Nusselt baseado no diâme-

tro hidráulico tem a seguinte formulação:

NuDh (ϕ) = h Dh

k=

( −K1K2

K1 + K2

) K −10

∫ 10

(∂θ∂ξ

)ξ=1

dη + K0∫ 1

0

(∂θ∂η

)η=1

dξ

θm(ϕ)(2.35)

onde o valor de h é dado na media no perímetro da seção transversal do duto, de

maneira que h = h(ϕ).

A temperatura média de mistura, necessária para o cálculo de Nusselt, é obtida de:

θm(ϕ) =∫ 1

0

∫ 1

0u∗θdξdη (2.36)

20

2.3 Equação de Burgers não linear

Uma simplificação bastante conhecida da equação de Navier-Stokes é chamada de

equação de Burgers, que é uma equação diferencial parcial fundamental da mecânica

dos fluidos e ocorre também em diversas áreas da matemática aplicada. A equação de

Burgers é bastante interessante do ponto de vista computacional pois ela avalia difusão

e advecção não linear na mesma direção.

A formulação de Burgers para velocidade é apresentada abaixo com suas condições

iniciais e de contorno:

∂u∗(ξ,η)

∂τ+ u∗(ξ,η)

∂u∗(ξ,η)

∂ξ= 1

Re

∂2u∗(ξ,η)

∂ξ2(2.37a)

u∗(0,τ) = 1, (2.37b)

u∗(1,τ) = 0, (2.37c)

u∗(ξ,0) = u∗0 (ξ). (2.37d)

onde u∗0 (ξ) é a função que corresponde a condição inicial do problema e os parâmetros

e variáveis adimensionais são dados por:

ξ = x

L, (2.38a)

τ = t ui n

L(2.38b)

Re = ui n L

ν, (2.38c)

u∗ = u

ui n, (2.38d)

onde ui n é a velocidade de entrada, ν é a viscosidade cinemática e L é o comprimento

do domínio na direção x.

21

Capítulo 3

Soluções pela Técnica da Transformada Integral

3.1 Introdução a Técnica da Transformada Integral

As equações diferenciais que governam os processos de difusão dos problemas que

aqui foram propostos apresentam uma estrutura que, em geral, não permitem a obten-

ção de solução analítica pelas técnicas clássicas conhecidas. Assim, para a obtenção

de solução destes problemas decidiu-se, como já foi dito anteriormente, pela aplicação

da técnica híbrida analítico-numérica GITT, a Técnica da Transformada Integral Ge-

neralizada. Em síntese, a aplicação da GITT envolve uma seqüência de procedimentos

que pode ser sistematizada nas seguintes etapas:

• Escolha de um problema auxiliar de autovalor, que guarda o máximo de infor-

mações do problema original relativo à geometria e aos operadores;

• Desenvolver o par transformação;

• Transformar a EDP1 original, através do uso de operadores apropriados, em um

sistema de EDOs2 infinito;

• Truncar e resolver o sistema de EDOs, segundo a precisão preestabelecida;

• Obter os potenciais originais, através do uso da fórmula de inversão.

1 Equação Diferencial Parcial2 Equações Diferenciais Ordinárias

22

As ideias básicas referentes à Técnica da Transformada Integral Generalizada de-

rivam da versão clássica da Transformada Integral. De uma maneira geral, a Técnica

da Transformada Integral Clássica (CITT), que é uma extensão do método da sepa-

ração de variáveis, consiste no estabelecimento do par transformada-inversa de cada

potencial em termos de uma base ortogonal de autofunções, que são obtidas a par-

tir de um problema auxiliar de autovalor escolhido adequadamente. A transformação

integral clássica da equação diferencial original do problema é obtida através de opera-

dores adequados que promovem a remoção das derivadas parciais espaciais de segunda

ordem. Fazendo uso da fórmula de transformação, obtém-se um sistema infinito e de-

sacoplado de equações diferenciais ordinárias para o potencial transformado, que pode

ser resolvido analiticamente. Assim, através da própria fórmula de inversão, obtém-se

a solução analítica de cada potencial. Este procedimento (CITT) somente se aplica

quando todos os termos da equação diferencial original são transformáveis, para que

se produza o sistema de equações desacoplado relativo ao potencial transformado.

A partir dos trabalhos de Özisik e Murray [20] e de Mikhailov [22] (1975), a Téc-

nica da Transformada Integral adquiriu uma estrutura semi-analítica que generalizou a

aplicabilidade do método. Na realidade, a GITT, faz uso de um procedimento similar

àquele aplicado na CITT. A distinção reside no fato de, após a aplicação da transfor-

mada, se persistir na aplicação da fórmula de inversão sobre os termos não transformá-

veis da equação diferencial original correspondente a um dado problema. Com isto,

obtém-se um sistema de equações diferenciais ordinárias acoplado e infinito para o

potencial transformado. O sistema é, então, resolvido numericamente truncando-se a

expansão em uma dada ordem que garanta a precisão desejada. Após a solução dos po-

tenciais transformados, aplica-se a formula de inversão para a obtenção dos potenciais

originais. Este procedimento é que caracteriza a natureza híbrida analítico-numérica

da GITT.

23

3.1.1 Metodologia

A seguir apresentam-se os procedimentos matemáticos utilizados na GITT. Con-

sidere um problema difusivo-convectivo unidimensional, transiente, não linear e com

termo fonte, definido em uma região Ω com superfície de contorno Γ:

w(x)∂T (x, t )

∂t+ v (x, t ,T ) ·∇T (x, t ) + L (T (x, t )) = P (x, t ) x ∈Ω, t ≥ 0 (3.1a)

com w(x) > 0 (3.1b)

T (x,0) = f (x), x ∈Ω (3.1c)

B (T (x, t )) =φ(x, t ) x ∈ Γ, t ≥ 0 (3.1d)

onde os operadores diferenciais são dados por:

L(•) = −∇·k(x)∇(•) + d(x)(•) (3.2a)

B(•) = a(x)(•)+b(x)k(x)∂(•)

∂η(3.2b)

w(x) representa a função peso, η denota a componente normal a superfície Γ e k(x) > 0.

A Equação (3.1a) representa uma generalização incluindo advecção dos proble-

mas definidos como de Classe I, por Mikhailov e Özisik [15], e que são capazes de

representar uma grande variedade de problemas difusivos-convectivos. Em particular,

quando o termo convectivo v (x, t ,T ) se anula, a Equação (3.6) representa problemas

puramente difusivos. Quando o vetor v (x, t ,T ) é não nulo, o problema apresentado é

não transformável pela CITT.

Para estabelecer o par transformada-inversa o potencial T (x, t ) é escrito em termos

de uma base ortogonal de autofunções obtidas a partir do seguinte problema auxiliar

de autovalor:

L∗ (ψi (x)

) − µ2i w∗(x)ψi (x) = 0, x ∈Ω (3.3a)

B∗ (ψi (x)

) = 0, x ∈ Γ, t > 0 (3.3b)

24

Deve-se observar que para GITT a função peso w∗(x) do problema de auto valor,

assim como os operadores L∗ e B∗ não necessitam ser iguais ao do problema original

w(x), L e B , porém quanto mais informações esses parâmetro carregarem do problema

original, melhor será o desempenho da técnica. Problemas representados pela Equa-

ção (3.3a) com a condição de contorno dada pela Equação (3.3b) são conhecidos como

problemas de Sturm-Liouville, onde as autofunções ψi (x) e os autovalores µi cor-

respondentes são aqui considerados conhecidos através da solução de tais equações.

Assim, define-se o seguinte par transformação:

Transformada =⇒ Ti (t ) =∫Ω

w∗(x)ψi (x)T (x, t )dΩ (3.4a)

Inversa =⇒ T (x, t ) =∞∑

i=1ψi (x) Ti (t ) (3.4b)

onde ψi (x) representa as autofunções normalizadas, ou seja:

ψi (x) = ψi (x)pNi

, (3.5)

e Ni representa as normas:

Ni =∫Ω

w∗(x)ψ2i (x)dΩ (3.6)

Para fins de demonstração da técnica, as seguintes considerações são realizadas:

w∗(x) = w(x) (3.7)

L∗(•) = L(•) (3.8)

B∗(•) = B(•) (3.9)

A transformação integral da equação diferencial que governa o problema é ob-

tida efetuando o produto interno das autofunções normalizadas ψi (x) com a Equa-

25

ção (3.1a).

dT (t )

dt+

∫Ωψi (x) (v (x, t ,T ) ·∇T (x, t ))dΩ + µ2

i Ti (t ) = gi (t ) (3.10)

onde:

gi (t ) =∫Ωψi (x)P (x, t )dΩ +

∫Γ

k(x)

(ψi (x)

∂T (x, t )

∂η−T (x, t )

∂Ki (x)

∂η

)dΓ (3.11)

Utilizando a fórmula de inversão no termo não transformável podemos simplificar

a equação anterior para:

dT (t )

dt+

∞∑j=1

ai j (t ,T ) T (t ) + µ2i Ti (t ) = gi (t ), para i = 1,2,3 . . . (3.12)

ai j (t ,T ) =∫Ωψi (x)

(v (x, t ,T ) ·∇ψ j (x)

)dΩ (3.13)

Para a solução da equação transformada (3.12) É necessária a transformação da

condição inicial (3.1c):

Ti (0) =∫Ω

w(x)ψi (x) f (x)dΩ = fi (3.14)

Como pode ser observado, a Equação (3.12) representa um sistema infinito de

equações diferenciais ordinárias, acoplado e não linear para os potenciais transfor-

mados Ti (t ). Para obtenção de solução numérica, a expansão do potencial T (x, t ) é

truncada para uma dada ordem nmax suficientemente alta a fim de garantir a precisão

desejada. Existem vários métodos de solução para problemas de valor inicial descritos

pela Equação (3.12) junto com a condição inicial transformada (3.14). Após o cálculo

dos potenciais transformados Ti (t ), aplica-se a fórmula de inversão para a reconstrução

do potencial T (x, t ) que é a base de cálculo dos diversos parâmetros físicos de interesse

do problema original. Estes procedimentos formais que permitem a obtenção da solu-

ção para a classe de problemas representados pela Equação (3.1a). Esse procedimento

pode ser generalizado para o caso multidimensional, utilizando os mesmos conceitos,

26

como poder ser visto em [10].

É importante frisar que para GITT, diferentemente da CITT, é possível a utilização

de qualquer problema de autovalor auxiliar. Cada problema de autovalor utilizado,

resultará em diferentes ordens de truncamento (nmax) necessárias para a convergência.

Outro fator que melhora o desempenho é a utilização de uma função filtro adequada,

ou seja, que contenha o máximo de informações possíveis do problema original.

Nas próximas seções serão realizadas as formulações por transformada integral,

utilizando o problema de autovalor e a função filtro específica para cada caso desen-

volvido, dos diversos problemas de difusão-convecção, já apresentados anteriormente.

3.2 Convecção forçada entre placas paralelas - Hagen-Poiseuille

A solução pela transformada integral do problema considerado é realizada empre-

gando a Técnica da Transformada Integral Generalizada [10]. O processo de solução é

iniciado definindo o par transformação:

Transformada =⇒ θn(ξ) =∫ 1

0θ(ξ, η)Yn(η) dη, (3.15a)

Inversa =⇒ θ(ξ, η) =∞∑

n=1θn(ξ) Yn(η), (3.15b)

onde Yn são as soluções ortogonais do problema de autovalor de Sturm-Liouville. Para

o problema de convecção-difusão considerado, o seguinte problema de autovalor é

selecionado:

Y ′′n (η) + λ2

nYn(η) = 0, para 0 ≤ η≤ 1, (3.16a)

ψ′(0) = 0 ψ(1) = 0. (3.16b)

27

Que resulta em infinitas soluções não-triviais na forma:

Yn(η) = cos(λn η), (3.17)

e com os seguintes autovalores:

λn =(n − 1

2

)π, para n = 1,2,3, . . . (3.18)

A norma de Yn é dada por:

Nn =∫ 1

0Y 2

n (η) dη = 1

2. (3.19)

As autofunções normalizadas são:

Yn = YnpNn

(3.20)

A transformação do problema é realizada multiplicando a equação (2.17a) por Yn ,

integrando no domínio 0 ≤ η≤ 1 e aplicando a formula de inversão (3.15b) nos termos

não transformáveis. Este processo resulta:

∞∑k=1

An,k θ′k (ξ) + λ2

n θn(ξ) = 0. (3.21)

com as seguintes condições iniciais:

θn(0) = bn =∫ 1

0Yn(η) dη, (3.22)

onde os coeficientes An,k são dados por:

An,k = 3

4

∫ 1

0

(1−η2) Yk (η) Yn(η) dη (3.23)

A formulação resultante é um sistema de equações diferenciais ordinárias de pri-

meira ordem acoplado, que pode ser resolvida numericamente. Alternativamente pode-

28

se reescrever a equação transformada (3.21) na forma matricial.

A·θ′(ξ) + D ·θ(ξ) = 0, (3.24)

com a condição inicial:

θ(0) = b, (3.25)

onde a matriz A é dada pelos coeficientes An,k e D é a matriz diagonal dada por:

Dn,n = 4

3λ2

n (3.26)

Uma versão alternativa da equação (3.24) é obtida usando a matriz inversa A:

θ′(ξ) = M ·θ(ξ), (3.27)

onde:

M = −A−1·D (3.28)

Essa equação admite uma solução analítica da seguinte forma:

θ(ξ) = C (ξ)·b, (3.29)

onde:

C (ξ) = exp(M ξ) (3.30)

os coeficientes b são dados pela equação (3.22) e C é a matriz exponencial [57]. Uma

vez que essa solução é computada, o numero de Nusselt pode ser calculado pela ex-

29

pressão obtida aplicando a formula de inversão (3.15b) na fórmula do Nusselt (2.12).

Nu(ξ) =−4

∞∑n=1

θn(ξ) Y ′n(1)

∞∑n=1

θn(ξ)∫ 1

0 u∗(η) Yn(η)dη(3.31)

3.3 Convecção forçada em microcanais

A solução desse problema por transformada integral, se inicia definindo o par trans-

formação:


0w(η)θ(ξ, η)Yn(η) dη, (3.32a)


n=1θn(ξ) Yn(η), (3.32b)

onde Yn são as soluções do problema de autovalor definido no domínio 0 ≤ η ≤ 1, e

w(η) é a função peso associada. A norma é dada pela seguinte expressão:

Nn =∫ 1

0w(η)Y 2

n (η) dη (3.32c)


Yn = YnpNn

(3.33)

3.3.1 Problema de Autovalor de Helmholtz

A primeira formulação por transformada integral utiliza o problema de auto valor

unidimensional de Helmholtz.

Ω′′n(η) + λ2

nΩn(η) = 0, para 0 ≤ η≤ 1, (3.34a)

Ω′n(0) = 0, (3.34b)

4Knβt Ω′n(1)+Ωn(1) = 0. (3.34c)

30

Que leva a infinitas soluções não triviais na forma.

Ωn(η) = cos(λn η), (3.35a)

onde os autovalores relacionados as autofunções são dados pela solução da seguinte

equação transcendental.

tan(λn) = 1

4Knβt λn, para n = 1,2,3, . . . (3.35b)

Assim, para esse caso, a função peso e as autofunções, na formulação geral (3.32)

são substituídas por:

w(η) −→ 1 (3.36a)

Yn(η) −→ Ωn(η) (3.36b)

A transformação do problema é efetuada multiplicando a equação (2.20) pela au-

tofunção normalizada Ωn , integrando no domínio 0 ≤ η ≤ 1 e aplicando a formula de

inversão (3.32b) aos termos não transformáveis. Esse processo resulta no seguinte

sistema de equações diferenciais ordinárias acoplado:

∞∑m=1

An,m θ′m +λ2n θn = 0, (3.37a)

com a seguinte condição de entrada transformada:

θn(0) = bn =∫ 1

0Ωn(η) dη, (3.37b)

para n = 1,2, . . . ,∞. Os coeficientes Am,n são dados por:

An,m = 1

2

∫ 1

0u∗(η)Ωm(η)Ωn(η) dη. (3.38)

Para resolver o sistema (3.37a)-(3.37b), é necessário a realização de um trunca-

31

mento para um número finito de termos no somatório (mmax) e no número de equações

(nmax), que denota uma ordem de truncamento. Após truncar as equações a seguinte

forma vetorial é introduzida:

A·θ′(ξ) + D ·θ(ξ) = 0, (3.39a)

θ(0) = b, (3.39b)

onde θ é o vetor que contem os potenciais transformados:

θ(ξ) = (θ1(ξ), θ2(ξ), . . . , θnmax(ξ)

), (3.40)

A matriz A é dada pelos coeficientes Am,n e D é a matriz diagonal que contém os

autovalores elevados ao quadrado, como é mostrado a seguir:

Dn,n = λ2n (3.41)

O acoplamento na derivada na equação eleva o nível de complexidade na solução

numérica; Portanto, uma versão alternativa dessa equação é proposta usando a inversa

da matriz A:

θ′(ξ) = M ·θ(ξ), (3.42)

M = −A−1·D (3.43)

Esta equação pode ser resolvida utilizando qualquer solver de sistema de equa-

ções ordinárias disponível. Embora o sistema seja numericamente solucionado, a sua

linearidade permite a seguinte solução analítica:

θ(ξ) = C (ξ)·b, (3.44)

C (ξ) = exp(M ξ) (3.45)

onde os coeficientes b são dados pela equação (3.37b) e C é a matriz exponencial [57].

32

Depois de obter a solução para os potenciais transformados, a solução final pode

ser obtida aplicando a formula de inversão (3.32b). O número de Nusselt é computado

aplicando a formula:

Nu(ξ) =−4

∞∑n=1

θn(ξ)Ω′n(1)

∞∑n=1

θn(ξ)∫ 1

0 u∗(η)Ωn(η)dη(3.46)

3.3.2 Problema de autovalor com a velocidade como função peso

O segundo problema de autovalor utilizado para a solução do problema de convecção-

difusão leva em consideração o perfil de velocidade, usando-o como a função peso para

o processo de transformação, que é dado pela seguinte forma:

ψ′′n(η) + µ2

n u∗(η)ψn(η) = 0, para 0 ≤ η≤ 1, (3.47a)

ψ′n(0) = 0, (3.47b)

4Knβt ψ′n(1)+ψn(1) = 0. (3.47c)

Assim como o problema de autovalor anterior, esse problema conduz a infinitas

soluções não triviais da seguinte forma:

ψn(η) = ipπDσn (ητn) + p

2 Γ(σn)D−σn (ητn) sin(ζn)(−i + tan(ζn)), (3.48a)

onde Dv é a função cilíndrico parabólica [58] (também conhecida como função de

Weber) e os coeficientes da expressão acima são definidas por:

σn = −p6µn(8Knβv +1)−2√

12Knβv +1

4√

12Knβv +1, (3.48b)

τn =pµn 61/4

(1+12Knβv )1/4, (3.48c)

33

ζn = 1

8π

(p6µn(8Knβv +1)√

12Knβv +1+2

). (3.48d)

Os autovalores associados às autofunções mostradas acima são dados pela solução

da equação transcendental derivada da substituição da condição de contorno (3.47c) na

expressão (3.48)

Para esse caso, a função peso e as auto funções na formulação geral (3.32) são

substituídos por:

w(η) −→ u∗(η) (3.49a)

Yn(η) −→ ψn(η) (3.49b)

Transformando a equação original e a condição de entrada (2.20) utilizando as

autofunções normalizadas ψn da mesma forma que na subseção 3.3.1, conduz-se ao

sistema infinito de equações diferenciais ordinárias:

θ′n(ξ) + 2µ2n θn(ξ) = 0, (3.50a)

θn(0) = cn =∫ 1

0u∗(η)ψn(η)dη. (3.50b)

Comparado ao sistema transformado obtido com o problema de autovalor de Helm-

holtz (3.37a), uma nítida vantagem é observada, uma vez que o sistema acima é desa-

coplado e de solução analítica apresentada abaixo:

θn(ξ) = cn exp(−2µ2n ξ). (3.51)

Com essa solução, o perfil de temperatura adimensional pode ser recuperado em-

pregando a fórmula de inversão (3.32b). Naturalmente, como já visto anteriormente,

uma ordem de truncamento nmax deve ser estabelecida. Depois de calcular a tem-

peratura adimensional, o número de Nusselt pode ser obtido diretamente da equação

34

abaixo:

Nu(ξ) =−4

∞∑n=1

θn(ξ)ψ′n(1)

∞∑n=1

θn(ξ)∫ 1

0 u∗(η)ψn(η)dη(3.52)

3.4 Convecção forçada em fluidos não newtonianos

A formulação por transformada integral para a convecção de calor de fluidos não

newtonianos em placas paralelas é cumprida primeiramente definindo o par transfor-

mação:


0θ(ξ, η)Yn(η) dη, (3.53a)


n=1θn(ξ) Yn(η), (3.53b)

onde Yn são as soluções ortogonais do problema de autovalor normalizado de Sturm-

Liouville. Para o problema de convecção-difusão considerado, o seguinte problema de

autovalor é selecionado:

Y ′′n (η) + λ2

nYn(η) = 0, para 0 ≤ η≤ 1, (3.54a)

Y ′(0) = 0, Y (1) = 0. (3.54b)

O problema anterior conduz a infinitas soluções não triviais na forma:

Yn(η) = cos(λn η), (3.55)

λn =(n − 1

2

)π, para n = 1,2,3, . . . (3.56)

A norma das autofunções Yn são dadas por:

Nn =∫ 1

0Y 2

n (η) dη = 1

2. (3.57)

35


Yn = YnpNn

(3.58)

A transformação desse problema é realizada multiplicando a equação (2.11) pelas

auto funções normalizadas Yn , integrando no domínio 0 ≤ η≤ 1, e aplicando a fórmula

de inversão (3.53b) nos termos não transformáveis, resultando:

∞∑m=1

An,m θ′m(ξ) + λ2n θn(ξ) = 0, (3.59)

com a seguinte condição de entrada:

θn(0) = bn =∫ 1

0Yn(η) dη, (3.60)

onde os coeficientes An,m são dados por:

An,m = 1

2

∫ 1

0u∗(η) Yn(η) Ym(η) dη (3.61)

O número de Nusselt pode ser ser calculado usando a expressão abaixo:

NuDH =−4

∞∑n=1

θn Y ′n(1)

∞∑n=1

θn∫ 1

0 u∗Yndη(3.62)


Nesta seção, considera-se o escoamento laminar desenvolvido hidrodinamicamente

e em desenvolvimento térmico em dutos retangulares.

Uma vez que o perfil de velocidade é plenamente desenvolvido, uma solução to-

talmente analítica usando expansões da solução em termos de autofunções ortogonais

36

infinitas pode ser empregada, resultando na seguinte perfil:

u∗(ξ,η) = u∗F (ξ) + u∗

H (ξ,η) (3.63a)

u∗F (ξ) = ∆p∗ξ2

2− ∆p∗

2(3.63b)

u∗H (ξ,η) =

∞∑n=1

Anψn(ξ)cosh

(µnη

K0

)(3.63c)

onde as autofunções (ψn) e os autovalores (µn) são dados por

ψn(ξ) = cos(µnξ) (3.64a)

µn = π (n −1/2) para n = 1,2,3, ... (3.64b)

e os coeficientes An e as normas Nn são dadas abaixo:

An = −∫ 1

0 u∗F (ξ)cos(µn ξ)dξ

Nn cosh(µnK0

) ; (3.65)

Nn =∫ 1

0ψ2

n(ξ)dξ = 1

2(3.66)

A solução por transformada integral do problema térmico é realizada empregando a

Técnica da Transformada Integral Generalizada. Esse processo se inicia pela definição

do par transformação:

Transformada ⇒ θi r (ϕ) =∫ 1

0

∫ 1

0θ(ξ,η,ϕ) Xr (ξ) Yi (η)dξdη (3.67a)

Inversa ⇒ θ(ξ,η,ϕ) =∞∑

i=1

∞∑r=1

θi r (ϕ) Xr (ξ) Yi (η) (3.67b)

onde Xr e Yi são as soluções ortogonais normalizadas dos problemas de autovalores

37

de Sturm-Liouville que, para esse problema, são selecionados:

X ′′r (ξ) + γ2

r Xr (ξ) = 0, em 0 ≤ ξ≤ 1, (3.68a)

X ′r (0) = 0, Xr (1) = 0, (3.68b)

Y ′′i (η) + λ2

i Yi (η) = 0, em 0 ≤ η≤ 1, (3.69a)

Y ′i (0) = 0, Yi (1) = 0, (3.69b)

Esses problemas de autovalor levam a infinitas soluções não triviais, mostradas

abaixo:

Xr (ξ) = cos(γr ξ), (3.70a)

γr = π (r −1/2) , para r = 1,2,3, ... (3.70b)

Yi (η) = cos(λi η), (3.71a)

λi = π (i −1/2) , para i = 1,2,3, ... (3.71b)

As normas das autofunções Xr (ξ) e Yi (η) são dadas por:

Nxr =∫ 1

0X 2

r (ξ)dξ = 1

2(3.72)

Nyi =∫ 1

0Y 2

i (η)dη = 1

2(3.73)


Xn = XnpNxn

(3.74)

Yi = Yi√Nyi

(3.75)

O problema é transformado usando o operador definido na equação (3.67a). A

maioria dos termos podem ser diretamente transformados e para os termos não trans-

38

formáveis a formula de inversão (3.67b) é aplicada.

∞∑i=1

∞∑r=1

(B j ,s,i ,r θ

′i ,r (ϕ)

)+ F j ,s θ j ,s(ϕ) = 0 (3.76)

A equação transformada consiste de um sistema acoplado de equações diferenci-

ais de primeira ordem. Suas condições de contorno na entrada do canal (ϕ = 0), são

obtidas pela transformação da equação (2.25a).

θi r (0) =∫ 1

0

∫ 1

0Xr Yi dξdη (3.77)

Os coeficientes da equação transformada são dados por:

B j ,s,i ,r =∫ 1

0

∫ 1

0u∗ Yi Xr Y j Xs dξdη; (3.78)

F j ,s = K 21 γ

2s + K 2

2 λ2j (3.79)

Após a solução do sistema (3.76), a temperatura adimensional θ(ξ,η,ϕ) pode ser

prontamente calculado através da formula de inversão (3.67b). A solução do sistema

acoplado pode ser facilmente resolvido computacionalmente; no entanto, é necessário

que o somatório infinito seja truncado.

Uma vez que está presente um somatório duplo na equação transformada (3.76), o

truncamento da representação infinita deve ser precedido por um esquema de reorde-

namento, a fim de assegurar um comportamento de convergência eficiente. O esquema

de reordenamento consiste no mapeamento de combinações de pares i e r em um único

índice, l , e similarmente ao par j e s, em um único índice p, como descrito abaixo:

l ←→ (i ,r ) (3.80)

p ←→ ( j , s) (3.81)

onde as associações de reordenamento são escolhidas de com o objetivo de que os

termos maior magnitude sejam somados primeiro. Esta escolha é feita baseando-se

39

nos valores numéricos dos coeficientes F j ,s , de modo que as combinações ( j , s) que

produzam maiores valores de F j ,s sejam somadas antes.

Com o procedimento de reordenamento, o problema transformado fica:

∞∑l=1

θ′l Bl p − θp Fp = 0 (3.82a)

θl (0) = Gl (3.82b)

Gl =∫ 1

0

∫ 1

0Xr (ξ) Yi (η)dηdξ (3.82c)

Alternativamente, o sistema reordenado pode ser escrito na seguinte forma matri-

cial:

B θ′ − F θ = 0; θ(0) = G (3.83)

onde B representa a matriz B , G representa o vetor constante Gl e F representa a matriz

diagonal contendo o vetor Fp , em outras palavras:

Fl p = Fp δl p (3.84)

Usando a definição de matriz inversa, encontra-se uma equação explicita simplifi-

cada, como mostrada abaixo:

θ′ = B−1 F θ (3.85)

Esse sistema é então numericamente resolvido usando uma rotina de solução de

equações diferenciais ordinárias e a temperatura é calculada usando a formula de in-

versão (3.67b). Alternativamente, uma pode ser obtida, como mostrado abaixo:

θ(ξ) = C (ξ)·b, (3.86)

C (ξ) = exp(M ξ) (3.87)

40

onde os coeficientes b são dados pela equação (3.37b) e C é a matriz exponencial [57].

Enfim encontra-se o número de Nusselt através da expressão:

Nu(ϕ) = −1

θm

(K1K2

K1 + K2

) (K −1

0

∞∑i=1

∞∑r=1

θi ,r (ϕ)Qi ,r + K0

∞∑i=1

∞∑r=1

θi ,r (ϕ)Wi ,r

)(3.88a)

Qi ,r = X ′r (1)

∫ 1

0Yi dη (3.88b)

Wi ,r = Y ′i (1)

∫ 1

0Xr dξ (3.88c)

Aplicando a formula de inversão (3.67b) na formula da temperatura média de mis-

tura (2.36) obtém-se:

θm(ϕ) =∞∑

i=1

∞∑r=1

θi ,r

∫ 1

0

∫ 1

0u∗ Xr Yi dξdη (3.89)

Usando o mesmo esquema de reordenamento explicado anteriormente, a expressão

do Nusselt pode ser simplificada para incluir um único somatório, resultando em:

Nu(ϕ) = −1

θm

(K1K2

K1 + K2

) (K −1

0

∞∑l=1

θl (ϕ)Ql + K0

∞∑l=1

θl (ϕ)Wl

)(3.90)

e a temperatura média de mistura reordenada é mostrada a seguir:

θm(ϕ) =∞∑

l=1θl

∫ 1

0

∫ 1

0u∗ Xr Yi dξdη (3.91)


Para a solução desse problema da equação de Burgers não linear foi utilizado a

seguinte condição inicial (2.37d).

u∗(ξ,0) = u∗0 (ξ) = 0 (3.92)

Para remover a não homogeneidade das condições de contorno da formulação de

Burgers (2.37), o potencial u∗ é dividido em uma soma de dois termos: uma função

41

filtro (u∗F ) e um potencial filtrado (u∗

H ), como mostrado abaixo.

u∗(ξ,τ) = u∗F (ξ) + u∗

H (ξ,τ) (3.93)

onde as condições de contorno da função filtro são escolhidas de forma a serem as

mesmas da formulação original de Burgers (2.37).

u∗F (0) = 1, (3.94)

u∗F (1) = 0 (3.95)

Desse modo transfere-se as não homogeneidades das condições de contorno para a

função filtro e o potencial filtrado tem as suas condições de contorno homogeneizadas.

u∗H (0,τ) = 0, (3.96)

u∗H (1,τ) = 0 (3.97)

Utilizando a definição (3.93) na equação (2.37).

∂u∗H

∂τ+ (u∗

H +u∗F )∂u∗

H

∂ξ+ u∗

H

du∗F

dξ= 1

Re

∂2u∗H

∂ξ2+ P (ξ), (3.98a)

u∗H (0,τ) = 0, (3.98b)

u∗H (1,τ) = 0, (3.98c)

u∗H (ξ,0) = −u∗

F (ξ) (3.98d)

onde o termo não-homogêneo que é introduzido na equação diferencial devido à filtra-

gem é dado por:

P (ξ) = 1

Re

d2u∗F

dξ2−u∗

F

du∗F

dξ(3.99)

42

3.6.1 Problema Filtro

A escolha do problema filtro pode ser feita de diversas maneiras. Deve-se observar

que o quão mais próximo a função filtro estiver da solução real do problema u∗(ξ,τ)

melhor será o desempenho da técnica. Nesta seção serão utilizados quatro tipos dife-

rentes de problemas filtro, assim como é mostrado abaixo.

• Filtro Linear (LF3):

0 = 1

Re

d2u∗F

dξ2(3.100a)

u∗F (ξ) = 1−ξ (3.100b)

• Filtro para o Regime Permanente Linearizado (LSF4):

du∗F

dξ= 1

Re

d2u∗F

dξ2(3.101a)

u∗F = exp(Re)−exp(Reξ)

exp(Re)−1(3.101b)

• Filtro para o Regime Permanente com Velocidade Linear (LVSF5):

(1−ξ)du∗

F

dξ= 1

Re

d2u∗F

dξ2(3.102a)

u∗F = erf(

pRe/2(ξ−1))

erf(p

Re/2)(3.102b)

• Filtro para o Regime Permanente Real (RSF6):

1

2

du∗F

2

dξ= 1

Re

d2u∗F

dξ2, (3.103a)

3 a sigla se origina da lingua inglesa, Linear Filter4 a sigla se origina da lingua inglesa, Linearized Steady Filter5 a sigla se origina da lingua inglesa, Linear Velocity Steady Filter6 a sigla se origina da lingua inglesa, Real Steady Filter

43

em que, apesar desta equação ser não linear, pode ser integrada:

1

2u∗

F2 + c1 = Re−1 du∗

F

dξ, (3.103b)

dξ = Re−1 (u∗F

2/2 + c1)−1 du∗F , (3.103c)

produzindo a seguinte solução:

u∗F = −2 a

Retanh(a b +aξ), (3.103d)

onde aplicando as devidas condições de contorno chega-se ao sistema abaixo:

−2 a + Re coth(a) = 0 (3.103e)

cosh(a b) sinh(a) + cosh(a) sinh(a b) = 0, (3.103f)

que ao ser resolvido numericamente encontra-se as constantes a e b originadas

da integração da equação.

3.6.2 Problema de Autovalor e Par Transformada

O problema de autovalor selecionado está apresentado abaixo:

ψ′′(ξ) + µ2ψ(ξ) = 0, (3.104a)

ψ(0) = 0, (3.104b)

ψ(1) = 0. (3.104c)

As auto-funções e os autovalores são dados por:

ψn(ξ) = sin(µnξ) (3.105a)

µn = nπ para n = 1,2,3 . . . (3.105b)

44

Onde a norma é dada por:

Nn =∫ 1

0ψn(ξ)2 dξ = 1

2(3.106)

onde ψi (x) representa as autofunções normalizadas, ou seja:

ψn(x) = ψn(x)pNn

, (3.107)

E por fim o par transformada:

Transformada ⇒ Un(τ) =∫ 1

0u∗

H (ξ,τ)ψn(ξ) dξ (3.108a)

Inversa ⇒ u∗H (ξ,τ) =

∞∑n=1

Un(τ)ψn(ξ) (3.108b)

Transformação do problema:

∫ 1

0

∂u∗H

∂τψn dξ +

∫ 1

0

((u∗

H +u∗F )∂u∗

H

∂ξ+ u∗

H

du∗F

dξ

)ψn dξ =

= 1

Re

∫ 1

0

∂2u∗H

∂ξ2ψn dξ +

∫ 1

0P (ξ)ψn dξ, (3.109)

dUn

dτ+

∫ 1

0

((u∗

H +u∗F )∂u∗

H

∂ξ+ u∗

H

du∗F

dξ

)ψn dξ = − 1

Reµ2

n Un + Pn (3.110)

A substituição da formulação inversa nos termos não transformáveis fornece:

dUn

dτ+

∞∑m=1

∞∑l=1

An,m,l Um Ul +∞∑

m=1Bn,m Um = − 1

Reµ2

n Un + Pn (3.111a)

45

no qual:

An,m,l =∫ 1

0ψn ψm ψ′

l dξ (3.111b)

Bn,m =∫ 1

0ψn (u∗

F ψ′m +u∗

F′ψm) dξ (3.111c)

Pn =∫ 1

0ψn P (ξ) dξ (3.111d)

Transformação da condição inicial fornece:

Un(0) = fn = −∫ 1

0u∗

F ψn dξ. (3.112)

46

Capítulo 4

Soluções pelo Método de Volumes Finitos


A solução do problema pelo método de Volumes Finitos é iniciada integrando

a equação (2.11) na forma conservativa dentro de um volume finito de altura ∆η =1/imax:

1

2

d

dξ

∫ ηn

ηs

u∗(η)θ(ξ,η) dη =(∂θ(ξ,η)

∂η

)ηn

ηs

. (4.1)

Assim, aproximações centradas (CDS)1 de segunda ordem são empregadas para as

integrações e interpolações:

∫ (η)n

(η)s

θdη≈ θP ∆η, (4.2)(∂θ

∂η

)n≈ θN −θP

∆η, (4.3)(

∂θ

∂η

)s≈ θP −θS

∆η, (4.4)

onde P , N , S, n e s são coordenadas tradicionais de volumes finitos [5].

Empregando as regras anteriores na equação integrada, resulta na equação discre-

1 a sigla se origina da lingua inglesa, Central Difference Scheme

47

tizada:

1

2u∗

P θ′P = θN −2θP +θS

∆η2 (4.5)

Essa equação é valida para volumes finitos internos do domínio e não adjacentes

aos contornos.

Para volumes adjacentes aos contornos η= 0 e η= 1, as equações discretizadas são

respectivamente:

1

2u∗

P θ′P = θN −θP

∆η2 (4.6)

1

2u∗

P θ′P = θS −3θP +2θWall

∆η2 (4.7)

onde θ′ representa a derivada dθ/dξ e θWall é a temperatura adimensional prescrita na

parede do canal, que é θWall = 0.

Denotando as variáveis discretas com acento circunflexo, as equações discretizadas

para todos os volumes são reescritas, já utilizando índices computacionais, em uma

forma compacta:

dθi

dξ= Fi (ξ), (4.8)

θi (0) = 1, (4.9)

para i = 1,2, . . . , imax e u∗i são as velocidades discretas em ηi , que são dadas pela

discretização do perfil de velocidade (2.15) já apresentado .

As funções Fi (ξ), que carregam todas as informações de discretização, são dadas

por:

Fi (ξ) = 2θi+1 − θi

u∗i ∆η

2 , para i = 1, (4.10)

48

Fi (ξ) = 2θi+1 −2 θi + θi−1

u∗i ∆η

2 , para 1 < i < imax, (4.11)

Fi (ξ) = 2θi−1 −3 θi +2θWall

u∗i ∆η

2 , para i = imax, (4.12)

com θi = θ(ξ,ηi ).

A equação (4.8) pode ser reescrita na forma alternativa matricial, como mostrada

abaixo:

θ′(ξ) = M ·θ(ξ) (4.13)

onde os coeficientes de M são dados por:

• Para i = 1:

Mi ,i = −2

ui ∆η2 , Mi ,i+1 = 2

ui ∆η2 , (4.14a)

• Para 1 < i < imax:

Mi ,i−1 = 2

ui ∆η2 , Mi ,i = −4

ui ∆η2 , Mi ,i+1 = 2

ui ∆η2 , (4.14b)

• Para i = imax

Mi ,i−1 = 2

ui ∆η2 , Mi ,i = −6

ui ∆η2 , (4.14c)

e os coeficientes remanescentes Mi , j são iguais a zero. A solução analítica para a

temperatura adimensional nas posições discretas podem então ser escritas na seguinte

forma:

θ(ξ) = C (ξ)·b, (4.15a)

49

onde,

C (ξ) = exp(M ξ). (4.15b)

onde os coeficientes b são valores discretos da condição de entrada. Portanto, bi =θi (0) = 1.

Usando a solução anterior, o número de Nusselt é calculado pela equação (2.12),

aplicando as derivadas e integrais numericamente. As integrais e derivadas numéri-

cas foram aplicadas utilizando as rotinas NIntegrate e D do Mathematica na solução

interpolada pelas função Interpolation. A ordem de interpolação utilizada foi linear

para se manter de acordo com a ordem utilizada na discretização por volumes finitos.


A solução do problema pelo método de Volumes Finitos é iniciada, assim como na

seção anterior, integrando a equação (2.11) na forma conservativa dentro de um volume

finito de altura ∆η= 1/imax e empregando aproximações CDS de segunda ordem para

as integrais e interpolações, conduzindo ao mesmo sistema da seção anterior reescrito

abaixo:

dθi

dξ= Fi (ξ), (4.16)

θi (0) = 1, (4.17)

para i = 1,2, . . . , imax e u∗i são as velocidades discretas em ηi , que são dadas pela discre-

tização dos perfis de velocidade (2.21) e (2.22) para os dois fluidos não newtonianos

analisados já apresentados.

As funções Fi (ξ) que carregam as discretizações são dadas por

Fi (ξ) = 2θi+1 − θi

u∗i ∆η

2 , para i = 1, (4.18a)

50

Fi (ξ) = 2θi+1 −2 θi + θi−1

u∗i ∆η

2 , para 1 < i < imax, (4.18b)

Fi (ξ) = 2θi−1 −3 θi +2θWall

u∗i ∆η

2 , para i = imax, (4.18c)

novamente θWall = 0 é a temperatura adimensional prescrita na parede.

Assim como o caso anterior, pode-se resolver esse sistema de equações diferencias

aplicando alguma rotina conhecida ou usando a solução analítica da formulação ma-

tricial alternativa. Para enfim computar o valor do número de Nusselt, basta calcular

a fórmula (2.12) aplicando a derivada e integral numericamente de maneira similar a

descrita no problema anterior.


Para esse problema a solução por volumes finitos é realizada integrando a equação

do momentum (2.23a) e energia (2.25a) em um volume finito de altura ∆η = 1/ jmax

e comprimento ∆ξ = 1/imax e novamente empregando aproximações CDS de segunda

ordem para integrações e derivações, que conduz ao seguinte sistema discretizado

usando notações de volumes finitos padrões para a equação do movimento linear e

da energia respectivamente:

u∗k+1 − 2 u∗

k + u∗k−i

∆ξ2+ K 2

0

u∗k+imax

− 2 u∗k + u∗

k−imax

∆η2= ∆p∗ (4.19)

u∗k

∂θk

∂ϕ= K 2

1θk+1 − 2 θk + θk−i

∆ξ2+ K 2

2

θk+imax − 2 θk + θk−imax

∆η2(4.20)

onde k é o índice do volume discreto e imax e o número total de subdivisões na dire-

ção ξ.

Esta equação é válida para os volumes internos do domínio. Para os volumes peri-

féricos, as aplicações das condições de contorno conduzem à:

51

• Para 1 < i < imax e j = 1:

u∗k+1 − 2 u∗

k + u∗k−i

∆ξ2+ K 2

0

u∗k+imax

− u∗k

∆η2= ∆p∗ (4.21a)

u∗k

∂θk

∂ϕ= K 2

1θk+1 − 2 θk + θk−i

∆ξ2+ K 2

2

θk+imax − θk

∆η2(4.21b)

• Para 1 < i < imax e j = jmax:

u∗k+1 − 2 u∗

k + u∗k−i

∆ξ2+ K 2

0

−3 u∗k + u∗

k−imax

∆η2= ∆p∗ (4.21c)

u∗k

∂θk

∂ϕ= K 2

1θk+1 − 2 θk + θk−i

∆ξ2+ K 2

2

−3 θk + θk−imax

∆η2(4.21d)

• Para i = 1 e 1 < j < jmax:

u∗k+1 − u∗

k

∆ξ2+ K 2

0

u∗k+imax

− 2 u∗k + u∗

k−imax

∆η2= ∆p∗ (4.21e)

u∗k

∂θk

∂ϕ= K 2

1θk+1 − θk

∆ξ2+ K 2

2


∆η2(4.21f)

• Para i = imax e 1 < j < jmax:

3 u∗k + u∗

k−i

∆ξ2+ K 2

0

u∗k+imax

− 2 u∗k + u∗

k−imax

∆η2= ∆p∗ (4.21g)

u∗k

∂θk

∂ϕ= K 2

1−3 θk + θk−i

∆ξ2+ K 2

2


∆η2(4.21h)

• Para i = 1 e j = 1:

u∗k+1 − u∗

k

∆ξ2+ K 2

0

u∗k+imax

− u∗k

∆η2= ∆p∗ (4.21i)

u∗k

∂θk

∂ϕ= K 2

1θk+1 − θk

∆ξ2+ K 2

2

θk+imax − θk

∆η2(4.21j)

52

• Para i = imax e j = 1:

−3 u∗k + u∗

k−i

∆ξ2+ K 2

0

u∗k+imax

− u∗k

∆η2= ∆p∗ (4.21k)

u∗k

∂θk

∂ϕ= K 2

1−3 θk + θk−i

∆ξ2+ K 2

2

θk+imax − θk

∆η2(4.21l)

• Para i = 1 e j = jmax:

u∗k+1 − u∗

k

∆ξ2+ K 2

0

−3 u∗k + u∗

k−imax

∆η2= ∆p∗ (4.21m)

u∗k

∂θk

∂ϕ= K 2

1θk+1 − θk

∆ξ2+ K 2

2


∆η2(4.21n)

• Para i = imax e j = jmax:

−3 u∗k + u∗

k−i

∆ξ2+ K 2

0

−3 u∗k + u∗

k−imax

∆η2= ∆p∗ (4.21o)

u∗k

∂θk

∂ϕ= K 2

1−3 θk + θk−i

∆ξ2+ K 2

2


∆η2(4.21p)

A condição de entrada para a equação da energia na direção axial ϕ é dada por:

θk (0) = 0 (4.22)

Esse sistema de equações diferenciais ordinárias de valor inicial, assim como os

anteriores, pode ser facilmente resolvido por uma rotina conhecida e o número de

Nusselt é obtido pela aproximação numérica da deriva e integral da fórmula (2.35).


A solução do problema de Burgers pelo Método de Volumes Finitos é iniciada pela

integração da equação (2.37a) em sua forma conservativa dentro de um volume finito

53

de tamanho ∆ξ= 1/imax, levando à seguinte equação:

∂

∂τ

∫ ξe

ξw

u∗ dξ + 1

2(u∗2|ξe − u∗2|ξw ) = 1

Re

(∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξe

− ∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξw

), (4.23)

que pode ser reescrita na forma:

d

dτ

∫ ξe

ξw

u∗ dξ + 1

2(u∗|ξe + u∗|ξw ) (u∗|ξe − u∗|ξw ) = 1

Re

(∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξe

− ∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξw

). (4.24)

onde as coordenadas tradicionais de volumes finitos (P , E , W , e e w) são empregadas.

Então, uma aproximação de segunda ordem é empregada para a integração e para

a interpolação da velocidade no termo advectivo:

∫ ξe

ξw

u∗ dξ≈∆ξ u∗P ,

1

2(u∗|ξe + u∗|ξw ) ≈ u∗

P (4.25)

levando à seguinte equação:

du∗P

dτ+ u∗

P

u∗|ξe − u∗|ξw

∆ξ= 1

Re∆ξ

(∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξe

− ∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξw

). (4.26)

Assim, a aproximação CDS de segunda ordem pode ser aplicada às interpolações

remanescentes

u∗|ξe ≈u∗

E + u∗P

2, (4.27a)

u∗|ξw ≈ u∗P + u∗

W

2, (4.27b)

∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξe

≈ u∗E − u∗

P

∆ξ, (4.27c)

∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξw

≈ u∗P − u∗

W

∆ξ, (4.27d)

Alternativamente uma simples aproximação atrasada (UDS)2 de primeira ordem pode

2 a sigla se origina da lingua inglesa, Upwind Differencing Scheme

54

ser utilizada para os termos advectivos:


∆ξ≈ u∗

P − u∗W

∆ξ. (4.27e)

As condições de contorno são empregadas na entrada e na saída, de maneira que

as seguintes aproximações são obtidas para as derivadas advectivas e difusivas nos

volumes adjacentes as posições:

• CDS → Entrada:


∆ξ≈ (u∗

P + u∗E )/2−1

∆ξ, (4.28a)

∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξw

≈ u∗P −1

∆ξ/2, (4.28b)

• CDS → Saída:


∆ξ≈ 0 − (u∗

W + u∗P )/2

∆ξ, (4.28c)

∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξe

≈ 0− u∗P

∆ξ/2, (4.28d)

• UDS → Entrada:


∆ξ≈ u∗

P −1

∆ξ/2, (4.28e)

∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξw

≈ u∗P −1

∆ξ/2, (4.28f)

• UDS → Saída:


∆ξ≈ u∗

P − u∗W

∆ξ, (4.28g)

∂u∗

∂ξ

∣∣∣∣ξe

≈ 0− u∗P

∆ξ/2. (4.28h)

Então, o seguinte mapeamento é utilizado para traduzir as coordenadas de FVM

55

em índices computacionais:

P = i , W = i −1, E = i +1, (4.29)

que permite ao sistema discretizado ser escrito na seguinte forma geral:

du∗i

dτ= Fi (τ), (4.30a)

u∗i (0) = 0, (4.30b)

para i = 1,2, . . . , imax.

As funções Fi , carregam todas as informações de discretização, que são dadas, para

a aproximação CDS, por:

Fi = − u∗i

u∗i + u∗

i+1 −2

2∆ξ+ 2−3 u∗

i + u∗i+1

Re∆ξ2para i = 1 (4.31a)

Fi = − u∗i

u∗i+1 − u∗

i−1

2∆ξ+ (u∗

i+1 −2 u∗i + u∗

i−1)

Re∆ξ2, para 1 < i < imax (4.31b)

Fi = − u∗i

0− (u∗i−1 + u∗

i )

2∆ξ+ u∗

i−1 −3 u∗i

Re∆ξ2para i = imax (4.31c)

e para a aproximação UDS por:

Fi = − u∗i

u∗i −1

∆ξ/2+ 2−3 u∗

i + u∗i+1

Re∆ξ2para i = 1 (4.32a)

Fi = − u∗i

u∗i − u∗

i−1

∆ξ+ (u∗

i+1 −2 u∗i + u∗

i−1)

Re∆ξ2, para 1 < i < imax (4.32b)

Fi = − u∗i

u∗i − u∗

i−1

∆ξ+ u∗

i−1 −3 u∗i

Re∆ξ2para i = imax (4.32c)

56

Similarmente ao que foi feito para solucionar esse problema por GITT, o sistema de

equações diferenciais ordinárias encontrado após a discretização é resolvido utilizando

o mesmo solver numérico, o NDSolve do software Mathematica.

57

Capítulo 5

Formulação Mista Envolvendo Expansão em

Autofunções e Metodologias Discretas


Após apresentar as formulações anteriores para convecção de calor em dutos re-

tangulares tanto pelo Método de Volumes Finitos como pela Técnica da transformada

Integral, dois esquemas mistos são propostos. Esses esquemas são baseados em resol-

ver a equação de movimento linear, usando um método e depois solucionar a equação

da energia utilizado outra técnica. Como dois métodos foram usados, duas formula-

ções combinadas são analisadas.

A primeira, denotada esquema A, emprega expansão em autofunções para a equa-

ção do movimento linear e FVM para a equação da energia. A segunda alternativa,

denotada esquema B, consiste no uso de FVM para resolver o perfil de velocidade e

GITT para a equação da energia.

Para a formulação A, uma pequena modificação no algorítimo de FVM é neces-

sária. Basicamente é requerido que o perfil de velocidade encontrado por um método

contínuo espectral (3.63a) seja discretizado em cada nó computacional;

u∗k = u∗ (ξk , ηk ) (5.1)

58

e inserido na formulação de FVM para a energia (4.21).

Para a obtenção do esquema B, modificações mais complexas necessitam ser re-

alizadas, porém prontamente implementadas, bastando simplesmente usar os valores

discretos para os perfis de velocidade para calcular os coeficientes requeridos B j si r

(Equação 3.78) para completar a solução por transformada integral da equação da ener-

gia. Uma vez que a formulação de FVM com discretização espacial de segunda ordem

é usada, a velocidade nos centros dos volumes é considerada igual a velocidade média

no volume. Portanto, a integração espacial é realizada dividindo a integral em cada

volume finito e usando o valor da velocidade constante em cada volume, de acordo

com a expressão:

B j si r =kmax∑k=1

u∗k

∫ ξk+∆ξ/2

ξk−∆ξ/2

Xr Xs

Nxrdξ

∫ ηk+∆η/2

ηk−∆η/2

Yi Y j

Nyidη (5.2)

onde kmax = imax jmax.


A condição inicial (2.37d) utilizada para a solução desse problema foi escolhida de

forma a ser mais abrangente variando os parâmetros α e t0.

u∗(ξ,0) = u∗0 (ξ) = arctan(α(ξ− t0)) a + b (5.3a)

para

a = −1

arctan(α (1− t0)) + arctan(t0α)(5.3b)

b = arctan(α (1 − t0))

arctan(α (1− t0)) + arctan(t0α)(5.3c)

Para esse esquema proposto, serão realizadas aproximações discretas apenas nos

59

termos advectivos da equação.

u∗ ∂u∗

∂ξ= u∗Λ(u∗,δ) (5.4)

onde Λ(u∗,δ) é o operador derivada discreto e δ é o parâmetro de discretização.

O problema de autovalor selecionado está apresentado abaixo:

ψ′′(ξ) + µ2ψ(ξ) = 0, (5.5a)

ψ(0) = 0, (5.5b)

ψ(1) = 0. (5.5c)

As auto-funções e os autovalores são dados por:

ψn(ξ) = sin(µnξ) (5.6a)

µn = nπ para n = 1,2,3 . . . (5.6b)

onde a norma é dada por:

Nn =∫ 1

0ψn(ξ)2 dξ = 1

2(5.7)

Por fim, o par transformação:

Transformada ⇒ Un(τ) =∫ 1

0u∗

H (ξ,τ)ψn(ξ) dξ (5.8)

Inversa ⇒ u∗H (ξ,τ) =

∞∑n=1

Un(τ)ψn(ξ) (5.9)

e as autofunções normalizadas obedecem a equação:

ψn(ξ) = ψn(ξ)pNn

(5.10)

60

Saindo do formulação geral de Burgers (2.37) e filtrando a equação para elimi-

nar as não homogeneidades, chega-se na seguinte formulação já substituindo o termo

advectivo pelo mostrado acima.

∫ 1

0

∂u∗H

∂τψn dξ +

∫ 1

0

((u∗

H +u∗F )Λ(u∗

H ,δ) + u∗H Λ(u∗

F ,δ))ψn dξ =

= 1

Re

∫ 1

0

∂2u∗H

∂ξ2ψn dξ +

∫ 1

0P (ξ)ψn dξ, (5.11)

dUn

dτ+

∫ 1

0

((u∗

H +u∗F )Λ(u∗

H ,δ) + u∗H Λ(u∗

F ,δ))ψn dξ = − 1

Reµ2

n Un + Pn (5.12)

A substituição da formulação inversa nos termos não transformáveis fornece:

dUn

dτ+

∞∑m=1

∞∑l=1

A∗n,m,l Um Ul +

∞∑m=1

B∗n,m Um = − 1

Reµ2

n Un + Pn (5.13a)

no qual:

A∗n,m,l =

∫ 1

0ψn ψmΛ(ψl ,δ) dξ (5.13b)

B∗n,m =

∫ 1

0ψn (u∗

F Λ(ψm ,δ)+Λ(u∗F ,δ)ψm) dξ (5.13c)

Pn =∫ 1

0ψn P (ξ) dξ (5.13d)

onde o coeficiente P (ξ) é dado pela equação (3.99) e está repetido abaixo por conveni-

ência.

P (ξ) = 1

Re

d2u∗F

dξ2−u∗

F

du∗F

dξ(5.14)

Nota-se que a formulação (5.13) é exatamente igual à formulação por GITT clás-

sica (3.111) exceto devido aos coeficientes A e B , que nessa equação são substituídos

pelos coeficientes A∗ e B∗ que carregam as informações de discretização.

61

As seguintes considerações devem ser feitas ao aplicar a derivada discreta:

ψ(ξ) = 0 para ξ≤ 0 (5.15a)

u∗F (ξ) = u∗

F (0) para ξ≤ 0 (5.15b)

u∗H (ξ) = u∗

H (0) para ξ≤ 0 (5.15c)

Transformação da condição inicial fornece:

Un(0) = fn = −∫ 1

0u∗

F ψn dξ. (5.16)

O problema filtro escolhido para essa formulação é uma função linear (LF) já apre-

sentada na equação (3.100a) e repetida aqui por conveniência:

u∗F (ξ) = 1−ξ (5.17)

Diversas aproximações para a derivada discreta serão mostradas a seguir.

5.2.1 Aproximação atrasada de primeira ordem: Formulação Padrão (UDS)

A aproximação upwind de primeira ordem mostra que:

∂ f

∂ξ≈ f (ξ)− f (ξ−δ)

δ+ δ

2

∂2 f

∂ξ2+ δ2

6

∂3 f

∂ξ3+ O(δ3) (5.18)

para uma função f qualquer e eonde O(δ3) representa a ordem de grandeza dos termos

desprezados.

O primeiro termo do erro de truncamento, associado a segunda derivada, representa

o erro dissipativo dominante. Toda derivada de ordem par no erro de truncamento

contribui apenas para o erro dissipativo enquanto que as derivadas de ordem ímpar

contribuem apenas para o erro dispersivo total. Os erros dissipativos atuam de modo a

suavizar os gradientes na solução. Já os erros dispersivos atuam de maneira a alterar a

fase ou velocidade de propagação da solução.

62

Desse modo o operador derivada para essa aproximação fica da seguinte maneira:

Λ( f ,δ) = f (ξ)− f (ξ−δ)

δ(5.19)

5.2.2 Aproximação atrasada de primeira ordem: Formulação Híbrida (UDS*)

A formulação upwind pode ser escrita como uma aproximação centrada mais um

termo conhecido como dissipação artificial. Logo, a equação (5.18) pode ser reescrita

da seguinte forma:

∂ f

∂ξ≈ f (ξ+δ)− f (ξ−δ)

2δ− f (ξ+δ)−2 f (ξ)+ f (ξ−δ)

2δ+ O(δ) (5.20)

Deve ser ressaltado que as equações (5.18) e (5.20) são equivalentes, porém sabe-se

que:

∂ f

∂ξ≈ f (ξ+δ)− f (ξ−δ)

2δ− δ2

6

∂3 f

∂ξ3− δ4

120

∂5 f

∂ξ5+ O(δ6) (5.21)

e também que

∂2 f

∂ξ2≈ f (ξ+δ)−2 f (ξ)+ f (ξ−δ)

δ2− δ2

12

∂4 f

∂ξ4− δ4

360

∂6 f

∂ξ6+ O(δ8) (5.22)

Deve se observar que o primeiro termo da equação (5.18) não possui erro dissi-

pativo. Além disso, todo o erro dissipativo desta aproximação está concentrado no

segundo termo, que não possui erro dispersivo.

A ideia proposta é utilizar (5.22) para reescrever a aproximação (5.20) como

∂ f

∂ξ≈ f (ξ+δ)− f (ξ−δ)

2δ− δ

2

∂2 f

∂ξ2+ O(δ) (5.23)

Desse modo a derivada discreta fica da seguinte forma:

Λ( f ,δ) = f (ξ+δ)− f (ξ−δ)

2δ− δ

2

∂2 f

∂ξ2(5.24)

63

O que permite reescrever a equação (2.37a) como:

∂u∗

∂ξ+ u∗ u∗(ξ+δ, t )−u∗(ξ−δ, t )

2δ=

(δ

2u∗+ 1

Re

)∂2u∗

∂ξ2+ O(δ) (5.25)

Para esta análise foi considerado apenas o caso em que a dissipação artificial intro-

duzida pela discretização do termo advectivo é máxima, resultando na seguinte equa-

ção.

∂u∗

∂ξ+ u∗ u∗(ξ+δ, t )−u∗(ξ−δ, t )

2δ=

(δ

2+ 1

Re

)∂2u∗

∂ξ2(5.26)

5.2.3 Aproximação centrada de segunda ordem (CDS)

As aproximações centradas não são adequadas para os termos advectivos, pois elas

propagam as informações igualmente em todas as direções. Isto é uma característica

dos termos difusivos e não convectivos, que sempre têm uma direção preferencial de

propagação. Mesmo assim para fins de comparação, será aplicada a seguinte aproxi-

mação centrada.

Λ( f ,δ) = f (ξ+δ)− f (ξ−δ)

2δ(5.27)

5.2.4 Aproximação totalmente atrasada de segunda ordem (UDS2)

Para esta aproximação origina se da expansão em série de Taylor da seguinte deri-

vada:

∂ f

∂ξ≈ 3 f (ξ)−4 f (ξ−δ)+ f (ξ−2δ)

2δ+ δ2

3

∂3 f

∂ξ3− δ3

4

∂4 f

∂ξ4+ O(δ4) (5.28)

Essa aproximação possui erro dominante dispersivo. Assim a derivada discreta da

formulação geral (5.13) se torna:

Λ( f ,δ) = 3 f (ξ)−4 f (ξ−δ)+ f (ξ−2δ)

2δ(5.29)

64

5.2.5 Aproximação parcialmente atrasada de terceira ordem (UDS3)

Para essa aproximação, utiliza-se:

∂ f

∂ξ≈ 2 f (ξ+δ)+3 f (ξ)−6 f (ξ−δ)+ f (ξ−2δ)

6δ− δ3

12

∂4 f

∂ξ4+ δ4

30

∂5 f

∂ξ5+ O(δ5) (5.30)

O que leva a seguinte derivada discreta:

Λ( f ,δ) = 2 f (ξ+δ)+3 f (ξ)−6 f (ξ−δ)+ f (ξ−2δ)

6δ(5.31)

que possui um erro dissipativo dominante.

65

Capítulo 6

Resultados e discussão

6.1 Implementação

Como forma de analisar a implementação do método utilizado neste trabalho, pri-

meiramente será apresentado um resumo simples sobre o programa Mathematica. O

Mathematica [16] é um programa com ambiente que possui em sua constituição uma

linguagem de computação simbólica. Diferentemente de linguagens de programação

mais usuais como o Fortran ou C, o Mathematica tem como característica a habili-

dade de trabalhar com expressões matemáticas e ao mesmo tempo de apresentar uma

linguagem interpretativa.

Na computação simbólica é usual a representação de objetos matemáticos através

de símbolos possibilitando que a mesma seja feita através de cálculos algébricos. Po-

rém essas operações costumam consumir muito mais tempo do que quando se utiliza

um ambiente exclusivamente numérico como é o caso do Fortran.

O Mathematica é capaz de executar um trabalho que se faz necessário a utilização

de cálculos analíticos e numéricos nos quais contenham diversas funções matemáticas,

além de ser hábil para apresentar visualização gráfica dos resultados. Logo, o Mathe-

matica consegue unir em sua plataforma de trabalho a manipulação simbólica, uma

linguagem flexível, a realização de cálculos numéricos, a geração de gráficos e tabelas

em um único ambiente, sendo assim um ótimo programa para a implementação dos

66

problemas desenvolvidos.

As próximas seções apresentam os resultados numéricos obtidos para os diver-

sos problemas propostos usando a Técnica da Transformada Integral e o Método dos

Volumes Finitos. As manipulações analíticas feitas nesse trabalho foram realizadas

com o auxilio de computação simbólica devido às grandes facilidades já mencionadas

anteriormente. Para solucionar o sistema de equações diferenciais tranasformado foi

utilizado a rotina NDSolve desse mesmo software.

Diversos problemas de advecção-difusão foram utilizados para avaliar o desem-

penho de GITT e FVM: Convecção forçada de calor entre placas paralelas de fluidos

newtonianos e não newtonianos (Power-law e fluido de Bingham), convecção forçada

em microcanais, convecção forçada em dutos retangulares e equação de Burgers. Em

todos os casos foram considerado o regime de escoamento laminar, desenvolvido hi-

drodinamicamente e em desenvolvimento térmico. As condições de contorno clássicas

de temperatura prescrita na parede foram utilizadas. Nos problemas desenvolvidos, foi

considerado a simplificação de difusão axial desprezível (Pe >> 1).

A equação de Burgers também foi solucionada utilizando uma abordagem mista

envolvendo GITT e métodos discretos, onde cinco aproximações discretas foram pro-

postas para o termo advectivo.


Esta seção apresenta os resultados para a formulação clássica de convecção forçada

entre placas paralelas (Hagen-Poiseuille) pelos métodos de GITT e FVM [59].

A tabela 6.1 mostra a temperatura adimensional calculada pela GITT para diferen-

tes ordens de truncamento, denotadas nmax. Como pode-se observar, uma ordem de

truncamento de 25 é, em geral, o suficiente para a obtenção de cinco algarismos signi-

ficativos convergidos. Para o centro do canal (η = 0) uma convergência ainda melhor

é obtida, principalmente para menores valores de ξ, onde com apenas 20 equações é

obtido uma convergência de cinco algarismos.

A tabela 6.2 mostra a temperatura adimensional calculada por FVM para diferentes

67

Tab. 6.1: Temperatura adimensional para η= 0 e η= 0,5. (GITT).

nmax ξ= 0,001 ξ= 0,01 ξ= 0,1 ξ= 1η= 0 05 1,032450 1,000180 0,819983 0,0276883

10 0,997633 1,000010 0,819586 0,027674115 1,000320 0,999997 0,819543 0,027672620 0,999983 0,999999 0,819533 0,027672225 0,999999 0,999998 0,819529 0,027672130 1,000000 0,999999 0,819528 0,027672035 1,000000 0,999998 0,819527 0,027672040 1,000000 0,999998 0,819526 0,027672045 1,000000 0,999998 0,819526 0,027671950 1,000000 0,999998 0,819526 0,0276719

η= 0,5 05 1,000910 0,966868 0,563921 0,018809210 1,001650 0,963947 0,563593 0,018799115 0,999707 0,963841 0,563561 0,018798120 1,000010 0,963813 0,563553 0,018797825 1,000000 0,963802 0,563550 0,018797730 0,999999 0,963798 0,563549 0,018797735 1,000000 0,963795 0,563549 0,018797740 1,000000 0,963794 0,563548 0,018797745 1,000000 0,963793 0,563548 0,018797650 1,000000 0,963793 0,563548 0,0187976

tamanhos de malha, descritas pelo número de divisões do domínio, imax. É obtida uma

excelente taxa convergência para posições perto da entrada do canal, especialmente

para η= 0. Porém para ξ≥ 0,01, até 400 divisões são necessárias para a convergência

de cinco dígitos. Alguns casos, imax = 800 ainda não é suficiente para obter cinco

dígitos convergidos.

As tabelas seguintes ilustram o número de Nusselt em função da posição, calculado

por ambas as metodologias. A tabela 6.3 mostram os valores de Nusselt para diferen-

tes ordens de truncamento. Como pode ser visto, os resultados de Nusselt apresentam

taxas de convergência por GITT mais pobres quando comparados com os resultados

de temperatura. Isso acontece devido à diferenciação da série de inversão necessária

para o cálculo do número de Nusselt. No entanto, a taxa de convergência obtida foi

satisfatória. Para a maioria dos casos, com 40 termos na série, quatro dígitos convergi-

dos são obtidos para todas as posições axiais. Além disso, com a exceção de ξ= 0,001,

quinze termos são suficientes para garantir uma precisão de três a quatro algarismos

68

Tab. 6.2: Temperatura adimensional para η= 0 e η= 0,5 (FVM).

imax ξ= 0,001 ξ= 0,01 ξ= 0,1 ξ= 1η= 0 12 1,000000 1,000020 0,825498 0,0280326

25 1,000000 0,999999 0,820910 0,027755150 1,000000 0,999998 0,819872 0,0276927

100 1,000000 0,999998 0,819612 0,0276771200 1,000000 0,999998 0,819547 0,0276732400 1,000000 0,999998 0,819531 0,0276723800 1,000000 0,999998 0,819527 0,0276720

η= 0,5 12 0,999988 0,959583 0,562803 0,018861125 1,000000 0,963719 0,563633 0,018820350 1,000000 0,963544 0,563505 0,0188013

100 1,000000 0,963730 0,563537 0,0187986200 1,000000 0,963776 0,563545 0,0187979400 1,000000 0,963788 0,563547 0,0187977800 1,000000 0,963791 0,563547 0,0187977

significativos, enquanto 60 a 70 termos garantem seis dígitos convergidos.

Tab. 6.3: Número de Nusselt (GITT).

imax ξ= 0,001 ξ= 0,01 ξ= 0,1 ξ= 1 ξ= 105 29,9759 12,1145 7,63797 7,54528 7,54528

10 25,2425 12,0299 7,63289 7,54128 7,5412815 24,7955 12,0191 7,63237 7,54087 7,5408720 24,7301 12,0165 7,63224 7,54077 7,5407725 24,7096 12,0155 7,63220 7,54074 7,5407430 24,7006 12,0151 7,63218 7,54072 7,5407235 24,6960 12,0149 7,63217 7,54071 7,5407140 24,6934 12,0147 7,63216 7,54071 7,5407145 24,6919 12,0147 7,63216 7,54071 7,5407150 24,6909 12,0146 7,63216 7,54071 7,5407155 24,6902 12,0146 7,63216 7,54070 7,5407060 24,6898 12,0146 7,63215 7,54070 7,5407065 24,6894 12,0146 7,63215 7,54070 7,5407070 24,6892 12,0145 7,63215 7,54070 7,5407075 24,6890 12,0145 7,63215 7,54070 7,5407080 24,6888 12,0145 7,63215 7,54070 7,5407085 24,6887 12,0145 7,63215 7,54070 7,5407090 24,6887 12,0145 7,63215 7,54070 7,5407095 24,6886 12,0145 7,63215 7,54070 7,54070100 24,6885 12,0145 7,63215 7,54070 7,54070

Em seguida, a tabela 6.4 apresenta o cálculo do número de Nusselt utilizando o

69

Método de Volumes Finitos para diferentes tamanhos de malha. Como se pode obser-

var, 50 divisões são necessárias para a obtenção de quatro dígitos convergidos, e para

atingir seis dígitos convergidos mais de 400 divisões são necessárias.

Deve-se salientar que para posições na região termicamente desenvolvida (ξ ≥ 1),

para ambos os métodos, o número de Nusselt converge para o valor tradicional exis-

tente na literatura [3], ou seja, NuDH = 7,54.

Tab. 6.4: Número de Nusselt (FVM).

imax ξ= 0,001 ξ= 0,01 ξ= 0,1 ξ= 1 ξ= 1012 24,6389 12,0319 7,63281 7,53727 7,5372725 24,7000 12,0183 7,63264 7,54026 7,5402750 24,6908 12,0155 7,63231 7,54063 7,54063100 24,6888 12,0147 7,63225 7,54074 7,54068200 24,6883 12,0146 7,63217 7,54070 7,54070400 24,6882 12,0145 7,63216 7,54070 7,54070800 24,6882 12,0145 7,63215 7,54070 7,54070

1600 24,6882 12,0145 7,63215 7,54070 7,54070

Comparando os resultados das diferentes metodologias, analisando o número de

equações no sistema diferencial ordinário (3.21) necessário para obter a mesma preci-

são, é visto que a solução por transformada integral rende uma taxa de convergência

muito superior ao de volumes finitos. Na verdade, o número de equações necessárias

por GITT é de cerca de uma ordem de grandeza menor do que o número exigido pela

solução por FVM. Isso acontece por causa da taxa de convergência de segunda ordem

obtida pelas aproximações empregadas em FVM. Se uma ordem maior de aproximação

fosse usada, melhores taxas de convergência por FVM seriam encontradas, no entanto,

isso aumentaria a complexidade de implementação da técnica, que é uma das principais

vantagens no emprego da abordagem discreta. Apesar desta grande diferença no tama-

nho do sistema de EDOs, o tempo computacional consumido por número de EDOs é

superior na solução por GITT, devido ao maior acoplamento entre as incógnitas.

Outra comparação interessante que deve ser feita diz respeito à mudança na taxa de

convergência obtidas para diferentes posições axiais. Para os resultados da tempera-

tura, a convergência do FVM piora com o aumento de ξ, enquanto que com a GITT, a

70

solução apresenta uma melhora com o aumento da posição axial ξ. Essa melhora com

o aumento de ξ na solução por GITT é devida ao comportamento exponencial decres-

cente dos potenciais transformados θn , especialmente para os autovalores maiores. No

entanto, perto da entrada do canal, o desempenho de GITT piora devido à proximidade

da condição de entrada descontínua (θ = 1 para 0 ≤ η< 1, e θ = 0 para η= 1).

6.3 Convecção forçada em microcanais

Esta seção apresenta os resultados para a formulação de convecção forçada em mi-

crocanais para duas abordagens de GITT, utilizando dois problemas de autovalor [60].

Todos os casos foram resolvidos utilizando os parâmetros Knβv = 0,1 e βt /βv = 1,

assim como foi feito no trabalho de Mikhailov e Cotta [26].

As primeiras tabelas exibem resultados do número de Nusselt calculado com a Téc-

nica de Transformada Integral para os dois tipos de solução consideradas e diferentes

ordens de truncamento, conforme indicado pelo número de termos nmax. A tabela 6.5

mostra a convergência do número de Nusselt obtida com a formulação usando o pro-

blema de autovalor de Helmholtz. Como pode ser visto, a taxa de convergência é muito

lenta na entrada do microcanal, e gradualmente melhora com o aumento de ξ (simi-

lar ao comportamento observado na seção anterior). Para a maioria dos números de

Knudsen, vê-se que até mesmo nmax = 100 não é suficiente para uma convergência de

seis dígitos em ξ= 10−3. Tabela 6.6 apresenta o número de de Nusselt calculado com

a solução usando o problema de autovalor com o perfil de velocidade como a função

peso. Como se vê claramente, há uma melhora significativa da convergência.

Comparando os resultados de ambas as metodologias (examinando a ordem de

truncamento necessária para obter a mesma precisão), vê-se que a transformada inte-

gral utilizando a velocidade como função peso gera uma taxa de convergência muito

superior do que o problema de Helmholtz. Na verdade, a ordem de truncamento ne-

cessária, para seis dígitos convergidos, pelo problema de autovalor com a velocidade

nunca excede 25, na entrada do canal (ξ= 10−3). Além disso, para locais longe da en-

trada do canal, um comportamento de notável convergência é visto: com apenas uma

71

equação no sistema truncado a convergência total de seis dígitos é obtida, para todos

os números Kndusen.

Tab. 6.5: Número de Nusselt local para o problema de autovalor de Helmholtz (w = 1).

nmax ξ= 10−3 ξ= 10−2 ξ= 10−1 ξ= 100 ξ= 101

Kn = 0 5 29,9759 12,1145 7,63797 7,54528 7,5452810 25,2425 12,0299 7,63289 7,54128 7,5412820 24,7301 12,0165 7,63224 7,54077 7,5407540 24,6934 12,0147 7,63215 7,54071 7,5407160 24,6898 12,0147 7,63216 7,54070 7,5407080 24,6888 12,0145 7,63215 7,54070 7,54070

100 24,6885 12,0145 7,63215 7,54070 7,54070Kn = 0,0001 5 29,9667 12,1111 7,63506 7,54226 7,54226

10 25,2363 12,0265 7,62998 7,53826 7,5381520 24,7234 12,0130 7,62933 7,53776 7,5377640 24,6868 12,0114 7,62925 7,53769 7,5376460 24,6831 12,0111 7,62924 7,53769 7,5376980 24,7072 12,0111 7,62924 7,53768 7,53768

100 24,7066 12,0111 7,62924 7,53767 7,53768Kn = 0,001 5 29,8569 12,0800 7,60874 7,51497 7,51497

10 25,1695 11,9951 7,60368 7,51100 7,5110020 24,6596 11,9818 7,60304 7,51051 7,5102340 24,6247 11,9802 7,60297 7,51045 7,5104560 24,6215 11,9801 7,60296 7,51044 7,5104480 24,6208 11,9800 7,60296 7,51044 7,51044

100 24,6205 11,9800 7,60295 7,51044 7,51044Kn = 0,01 5 26,9244 11,7176 7,33846 7,23497 7,23497

10 23,9592 11,6451 7,33444 7,23191 7,2319120 23,5975 11,6367 7,33404 7,23161 7,2316140 23,5798 11,6358 7,33400 7,23158 7,2315760 23,5781 11,6357 7,33400 7,23158 7,2315880 23,5777 11,6357 7,33399 7,23157 7,23157

100 23,5776 11,6357 7,33400 7,23160 7,23157Kn = 0,1 5 8,47831 6,75872 4,9438 4,82002 4,82002

10 8,59013 6,74206 4,94293 4,8195 4,8195020 8,57788 6,74097 4,94283 4,81945 4,8195640 8,57711 6,74085 4,94282 4,81944 4,8194460 8,57704 6,74084 4,94282 4,81944 4,8194580 8,57703 6,74084 4,94282 4,81944 4,81944

100 8,57702 6,74083 4,94282 4,81944 4,81944

72

Tab. 6.6: Número de Nusselt local para o problema de autovalor com velocidade(w(η) = u∗(η)).

nmax ξ= 10−3 ξ= 10−2 ξ= 10−1 ξ= 100 ξ= 101

Kn = 0 1 7,54070 7,54070 7,54070 7,54070 7,540705 19,6739 12,0080 7,63215 7,54070 7,5407010 24,1309 12,0145 7,63215 7,54070 7,5407015 24,6630 12,0145 7,63215 7,54070 7,5407020 24,6878 12,0145 7,63215 7,54070 7,5407025 24,6882 12,0145 7,63215 7,54070 7,5407030 24,6882 12,0145 7,63215 7,54070 7,54070

Kn = 0,0001 1 7,53768 7,53768 7,53768 7,53768 7,537685 19,6668 12,0046 7,62924 7,53768 7,5376810 24,1238 12,0111 7,62924 7,53768 7,5376815 24,6563 12,0111 7,62924 7,53768 7,5376820 24,6811 12,0111 7,62924 7,53768 7,5376825 24,6815 12,0111 7,62924 7,53768 7,5376830 24,6815 12,0111 7,62924 7,53768 7,53768

Kn = 0,001 1 7,51044 7,51044 7,51044 7,51044 7,510445 19,6025 11,9734 7,60296 7,51044 7,5104410 24,0589 11,9800 7,60296 7,51044 7,5104415 24,5947 11,9800 7,60296 7,51044 7,5104420 24,6199 11,9800 7,60296 7,51044 7,5104425 24,6203 11,9800 7,60296 7,51044 7,5104430 24,6203 11,9800 7,60296 7,51044 7,51044

Kn = 0,01 1 7,23157 7,23157 7,23157 7,23157 7,231575 18,8265 11,6279 7,33400 7,23157 7,2315710 23,0523 11,6357 7,33400 7,23157 7,2315715 23,5537 11,6357 7,33400 7,23157 7,2315720 23,5770 11,6357 7,33400 7,23157 7,2315725 23,5775 11,6357 7,33400 7,23157 7,2315730 23,5775 11,6357 7,33400 7,23157 7,23157

Kn = 0,1 1 4,81944 4,81944 4,81944 4,81944 4,819445 8,23733 6,73924 4,94282 4,81944 4,8194410 8,55810 6,74083 4,94282 4,81944 4,8194415 8,57640 6,74083 4,94282 4,81944 4,8194420 8,57701 6,74083 4,94282 4,81944 4,8194425 8,57702 6,74083 4,94282 4,81944 4,8194430 8,57702 6,74083 4,94282 4,81944 4,81944

Perto da entrada do canal, o desempenho piora nas duas formulações devido à

proximidade de descontinuidades e grandes gradientes causados pelas diferentes con-

73

dições de contorno de Dirichlet em ξ= 0 e η= 1, além de menores valores de ξ.

Por fim, deve-se mencionar que, para o caso que representa o perfil de velocidade

clássico de Hagen-Poiseuille (obtido com Kn = 0), o valor de Nusselt, na região ter-

micamente desenvolvida (ξ ≥ 1), corresponde ao valor tradicional de 7,54, que pode

ser encontrado em muitas referências [2, 61, 62]. Ainda deve-se notar que os valores

obtidos para Kn = 0 recaem nos mesmo obtidos na seção anterior.


Para essa seção, são utilizadas as formulações da convecção forçada em fluidos

não newtonianos (Bingham e Power-law) para comparar a performance dos métodos

de GITT e FVM [63].

Antes de calcular os resultados usando os perfis de velocidade não newtonianos, os

algoritmos propostos foram validados usando o perfil de Hagen-Poiseulle tradicionais

obtidos para o escoamento laminar newtoniano. Os resultados estavam em perfeito

acordo com dados da literatura.

A Tabela 6.7 apresenta os resultados de diferentes fluidos Power-law calculado por

Volumes Finitos. A integração numérica com NDSolve foi empregada para resolver o

sistema de EDOs resultante. Como pode ser visto, em geral, a taxa de convergência é

espacialmente uniforme e não depende do expoente Power-law n. A tabela 6.8 apre-

senta resultados semelhantes de Nusselt calculado para diferentes fluidos Bingham.

Como se pode observar, a taxa de convergência praticamente não é alterada com a va-

riação de η0. A tabela 6.9 exibe os resultados de Nusselt calculado com a Técnica de

Transformada Integral. Como pode ser visto, a convergência é pior para as posições

perto da entrada, onde mais de 100 termos são necessários para a obtenção de seis

algarismos significativos convergidos. No entanto, uma taxa de convergência muito

melhor é obtida para as outras posições. A mesma observação pode ser feita com

relação a tabela 6.10, onde Nusselt é calculado para fluidos de Bingham.

As tabelas 6.11 e 6.12 apresentam uma comparação entre o erro relativo estimado

para casos selecionados. As colunas indicam as estimativas do erro relativo em cada

74

Tab. 6.7: Número de Nusselt para diferentes fluidos Power-law (FVM).

imax ξ= 0,001 ξ= 0,01 ξ= 0,1 ξ= 1n = 0,5 25 26,6409 12,8973 8,04642 7,93629

50 26,8171 12,9068 8,04848 7,93899100 26,8413 12,9080 8,04891 7,93959200 26,8444 12,9082 8,04900 7,93972400 26,8448 12,9082 8,04902 7,93975800 26,8448 12,9082 8,04903 7,93976

1600 26,8448 12,9082 8,04903 7,93976n = 1 25 24,5393 12,0064 7,62977 7,53754

50 24,6685 12,0134 7,63164 7,53998100 24,6857 12,0144 7,63204 7,54054200 24,6879 12,0145 7,63212 7,54066400 24,6882 12,0145 7,63214 7,54069800 24,6882 12,0145 7,63215 7,54070

1600 24,6882 12,0145 7,63215 7,54070n = 2 25 23,2731 11,4551 7,35664 7,27489

50 23,3782 11,4608 7,35841 7,27721100 23,3921 11,4616 7,35879 7,27773200 23,3938 11,4617 7,35887 7,27786400 23,3940 11,4618 7,35890 7,27789800 23,3941 11,4618 7,35890 7,27790

1600 23,3941 11,4618 7,35890 7,27790n = 10 25 22,1113 10,9413 7,09375 7,02135

50 22,1972 10,9461 7,09539 7,02350100 22,2084 10,9468 7,09575 7,02399200 22,2099 10,9469 7,09584 7,02411400 22,2101 10,9469 7,09586 7,02414800 22,2101 10,9469 7,09586 7,02415

1600 22,2101 10,9469 7,09586 7,02415n = 50 25 21,8591 10,8289 7,03536 6,96496

50 21,9412 10,8335 7,03696 6,96706100 21,9519 10,8342 7,03731 6,96754200 21,9533 10,8343 7,03739 6,96765400 21,9535 10,8343 7,03741 6,96768800 21,9535 10,8343 7,03742 6,96769

1600 21,9535 10,8343 7,03742 6,96769

posição, calculados para o Método de Volumes Finitos, por

εFVM = |Nu2 imax −Nuimax |Nu2imax

, (6.1)

75

Tab. 6.8: Número de Nusselt para diferentes fluidos de Bingham (FVM).

imax ξ= 0,001 ξ= 0,01 ξ= 0,1 ξ= 1η0 = 0 25 24,5393 12,0064 7,62977 7,53753

50 24,6685 12,0134 7,63164 7,53998100 24,6857 12,0144 7,63204 7,54054200 24,6879 12,0145 7,63212 7,54066400 24,6882 12,0145 7,63214 7,54069800 24,6882 12,0145 7,63215 7,5407

1600 24,6882 12,0145 7,63215 7,54073200 24,6882 12,0145 7,63215 7,5407

η0 = 0,25 25 25,8499 12,6181 7,96895 7,8652650 26,0076 12,6267 7,97097 7,86788

100 26,0289 12,6279 7,97138 7,86846200 26,0316 12,6280 7,97147 7,86859400 26,0319 12,6280 7,97149 7,86862800 26,0319 12,6280 7,97150 7,86863

1600 26,0319 12,6280 7,97150 7,868633200 26,0319 12,6280 7,97150 7,86863

η0 = 0,5 25 28,3295 13,7627 8,51352 8,3803050 28,5519 13,7749 8,51583 8,38330

100 28,5829 13,7765 8,51628 8,38395200 28,5868 13,7767 8,51638 8,38409400 28,5873 13,7767 8,51640 8,38412800 28,5873 13,7767 8,51640 8,38413

1600 28,5874 13,7767 8,51640 8,384143200 28,5874 13,7767 8,51640 8,38414

η0 = 0,75 25 33,7999 15,9977 9,23878 9,0649350 34,2116 16,0212 9,24200 9,06893

100 34,2757 16,0243 9,24257 9,06973200 34,2839 16,0247 9,24267 9,06990400 34,2849 16,0247 9,24270 9,06994800 34,2850 16,0247 9,24270 9,06994

1600 34,2850 16,0247 9,24270 9,069953200 34,2850 16,0247 9,24270 9,06995

e para a Técnica da Transformada Integral por:

εGITT = |Nunmax+10 −Nunmax |Nunmax+10

. (6.2)

Estas equações fornecem uma estimativa do erro local.

76

Tab. 6.9: Número de Nusselt para diferentes fluidos Power-law (GITT).

nmax ξ= 0,001 ξ= 0,01 ξ= 0,1 ξ= 1n = 0,5 10 28,0266 12,9309 8,05013 7,94062

20 26,9060 12,9111 8,04917 7,9398730 26,8630 12,9091 8,04907 7,9398040 26,8525 12,9086 8,04904 7,9397850 26,8488 12,9084 8,04904 7,9397770 26,8462 12,9083 8,04903 7,9397780 26,8458 12,9082 8,04903 7,9397790 26,8455 12,9082 8,04903 7,93976

100 26,8453 12,9082 8,04903 7,93976n = 1 10 25,2425 12,0299 7,63289 7,54128

20 24,7301 12,0165 7,63224 7,5407730 24,7006 12,0151 7,63218 7,5407240 24,6934 12,0147 7,63216 7,5407150 24,6909 12,0146 7,63216 7,5407170 24,6892 12,0145 7,63215 7,5407080 24,6888 12,0145 7,63215 7,5407090 24,6887 12,0145 7,63215 7,54070

100 24,6885 12,0145 7,63215 7,54070n = 2 10 23,7099 11,4739 7,35940 7,27826

20 23,4274 11,4633 7,35897 7,2779530 23,4038 11,4622 7,35892 7,2779140 23,3982 11,4620 7,35891 7,2779050 23,3962 11,4619 7,35891 7,2779070 23,3948 11,4618 7,35890 7,2779080 23,3946 11,4618 7,35890 7,2779090 23,3944 11,4618 7,35890 7,27790

100 23,3943 11,4618 7,35890 7,27790n = 10 10 22,4064 10,9570 7,09595 7,02410

20 22,2373 10,9482 7,09588 7,0241530 22,2178 10,9473 7,09587 7,0241540 22,2134 10,9471 7,09587 7,0241550 22,2118 10,9470 7,09586 7,0241570 22,2107 10,9469 7,09586 7,0241580 22,2105 10,9469 7,09586 7,0241590 22,2104 10,9469 7,09586 7,02415

100 22,2103 10,9469 7,09586 7,02415n = 50 10 22,1354 10,8440 7,03737 6,96749

20 21,9796 10,8355 7,03741 6,9676630 21,9609 10,8346 7,03742 6,9676840 21,9566 10,8344 7,03742 6,9676850 21,9551 10,8344 7,03742 6,9676970 21,9541 10,8343 7,03742 6,9676980 21,9539 10,8343 7,03742 6,9676990 21,9538 10,8343 7,03742 6,96769

100 21,9537 10,8343 7,03742 6,96769

77

Tab. 6.10: Número de Nusselt para diferentes fluidos de Bingham (GITT).

nmax ξ= 0,001 ξ= 0,01 ξ= 0,1 ξ= 1η0 = 0 10 25,2425 12,0299 7,63289 7,54128

20 24,7301 12,0165 7,63224 7,5407730 24,7006 12,0151 7,63218 7,5407240 24,6934 12,0147 7,63216 7,5407150 24,6909 12,0146 7,63216 7,5407160 24,6898 12,0146 7,63215 7,5407070 24,6892 12,0145 7,63215 7,5407080 24,6888 12,0145 7,63215 7,5407090 24,6887 12,0145 7,63215 7,54070

100 24,6885 12,0145 7,63215 7,5407η0 = 0,25 10 26,9423 12,6474 7,97251 7,86944

20 26,0843 12,6305 7,97162 7,8687330 26,0475 12,6288 7,97154 7,8686640 26,0385 12,6283 7,97152 7,8686550 26,0353 12,6282 7,97151 7,8686460 26,0339 12,6281 7,97150 7,8686470 26,0332 12,6281 7,97150 7,8686480 26,0328 12,6281 7,97150 7,8686490 26,0325 12,6281 7,97150 7,86864

100 26,0324 12,6281 7,97150 7,86864η0 = 0,5 10 30,4416 13,8057 8,51789 8,38528

20 28,6656 13,7804 8,51659 8,3842830 28,6106 13,7778 8,51646 8,3841840 28,5972 13,7772 8,51643 8,3841650 28,5924 13,7770 8,51642 8,3841560 28,5903 13,7769 8,51641 8,3841470 28,5892 13,7768 8,51641 8,3841480 28,5886 13,7768 8,51641 8,3841490 28,5882 13,7768 8,51641 8,38414

100 28,5880 13,7768 8,51640 8,38414η0 = 0,75 10 38,4557 16,0866 9,24541 9,07194

20 34,4457 16,0331 9,24311 9,0702530 34,3367 16,0273 9,24283 9,0700440 34,3070 16,0258 9,24275 9,0699950 34,2963 16,0252 9,24273 9,0699760 34,2916 16,0250 9,24272 9,0699670 34,2892 16,0249 9,24271 9,0699680 34,2878 16,0248 9,24271 9,0699590 34,2870 16,0248 9,24271 9,06995

100 34,2865 16,0248 9,24270 9,06995

78

Tab. 6.11: Estimativa do erro para FVM.

imax ξ= 0,001 ξ= 0,01 ξ= 0,1 ξ= 1

Fluido de Binghamη0 = 0 25 3,4×10−02 4,8×10−03 1,4×10−03 1,7×10−03

50 5,2×10−03 5,8×10−04 2,5×10−04 3,3×10−04

100 7,0×10−04 8,3×10−05 5,2×10−05 7,4×10−05

200 8,9×10−05 8,3×10−06 1,1×10−05 1,6×10−05

400 1,2×10−05 0,0×10+00 2,6×10−06 4,0×10−06

800 0,0×10+00 0,0×10+00 1,3×10−06 1,3×10−6

1600 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

3200 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

η0 = 0,5 25 2,5×10−02 6,8×10−03 1,7×10−03 2,0×10−03

50 7,8×10−03 8,6×10−04 2,7×10−04 3,6×10−04

100 1,1×10−03 1,2×10−04 5,3×10−05 7,8×10−05

200 1,4×10−04 1,5×10−05 1,2×10−05 1,7×10−05

400 1,8×10−05 0,0×10+00 2,4×10−06 3,6×10−06

800 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00 1,2×10−06

1600 3,5×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00 1,2×10−06

3200 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

Fluido Power-lawn = 0,5 25 3,3×10−02 5,7×10−03 1,5×10−03 1,9×10−03

50 6,6×10−03 7,4×10−04 2,6×10−04 3,4×10−04

100 9,0×10−04 9,3×10−05 5,3×10−05 7,6×10−05

200 1,2×10−04 1,5×10−05 1,1×10−05 1,6×10−05

400 1,5×10−05 0,0×10+00 2,5×10−06 3,8×10−06

800 0,0×10+00 0,0×10+00 1,2×10−06 1,3×10−06

1600 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

n = 2 25 3,1×10−02 4,2×10−03 1,4×10−03 1,7×10−03

50 4,5×10−03 5,0×10−04 2,4×10−04 3,2×10−04

100 5,9×10−04 7,0×10−05 5,2×10−05 7,1×10−05

200 7,3×10−05 8,7×10−06 1,1×10−05 1,8×10−05

400 8,5×10−06 8,7×10−06 4,1×10−06 4,1×10−06

800 4,3×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00 1,4×10−06

1600 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

79

Tab. 6.12: Estimativa do erro para GITT.

imax ξ= 0,001 ξ= 0,01 ξ= 0,1 ξ= 1

Fluido de Binghamη0 = 0 20 2,0×10−02 1,1×10−03 8,5×10−05 6,8×10−05

30 1,2×10−03 1,2×10−04 7,9×10−06 6,6×10−06

40 2,9×10−04 3,3×10−05 2,6×10−06 1,3×10−06

50 1,0×10−04 8,3×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00

60 4,5×10−05 0,0×10+00 1,3×10−06 1,3×10−06

70 2,4×10−05 8,3×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00

80 1,6×10−05 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

90 4,1×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

100 8,1×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

η0 = 0,5 20 5,8×10−02 1,8×10−03 1,5×10−04 1,2×10−04

30 1,9×10−03 1,9×10−04 1,5×10−05 1,2×10−05

40 4,7×10−04 4,4×10−05 3,5×10−06 2,4×10−06

50 1,7×10−04 1,5×10−05 1,2×10−06 1,2×10−06

60 7,3×10−05 7,3×10−06 1,2×10−06 1,2×10−06

70 3,9×10−05 7,3×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00

80 2,1×10−05 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

90 1,4×10−05 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

100 7,0×10−06 0,0×10+00 1,2×10−06 0,0×10+00

Fluido Power-lawn = 0,5 20 4,2×10−02 1,5×10−03 1,2×10−04 9,4×10−05

30 1,6×10−03 1,5×10−04 1,2×10−05 8,8×10−06

40 3,9×10−04 3,9×10−05 3,7×10−06 2,5×10−06

50 1,4×10−04 1,5×10−05 0,0×10+00 1,3×10−06

70 9,7×10−05 7,7×10−06 1,2×10−06 0,0×10+00

80 1,5×10−05 7,7×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00

90 1,1×10−05 0,0×10+00 0,0×10+00 1,3×10−06

100 7,5×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

n = 2 20 1,2×10−02 9,2×10−04 5,8×10−05 4,3×10−05

30 1,0×10−03 9,6×10−05 6,8×10−06 5,5×10−06

40 2,4×10−04 1,7×10−05 1,4×10−06 1,4×10−06

50 8,5×10−05 8,7×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00

70 6,0×10−05 8,7×10−06 1,4×10−06 0,0×10+00

80 8,5×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

90 8,5×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

100 4,3×10−06 0,0×10+00 0,0×10+00 0,0×10+00

80


Esta seção apresenta os resultados das formulações de convecção forçada em dutos

retangulares. Além da comparação entre GITT e FVM [64], também é mostrado os

resultados da formulação mista [65] apresentada do capítulo 5.

6.5.1 Comparação entre GITT e FVM

Depois de apresentar a formulação do problema usando as duas diferentes metodo-

logias consideradas no capítulo 5, foram desenvolvidas implementações computacio-

nais e os resultados numéricos são apresentados para comparações. A malha utilizada

para resolver a equação da energia pelo FVM é o mesma utilizada para resolver a

equação da quantidade de movimento linear e, para uma comparação justa, o número

de termos utilizados com a GITT para solucionar o perfil de velocidade é a mesmo que

o utilizado para o perfil de temperatura.

A tabela 6.13 apresenta a convergência de velocidade para determinadas posições

usando a GITT. Como pode ser visto, a convergência se torna mais difícil nas proximi-

dades das paredes do duto. Em algumas posições, só é necessário apenas cinco termos

para a obtenção de seis dígitos convergidos. Outro aspecto interessante a se observar é

que a velocidade média apresenta um comportamento de convergência excelente.

A tabela 6.14 mostra a convergência da velocidade FVM nas mesmas posições

que a tabela 6.13, onde kmax é número total de divisões discretas do domínio, dado

pela multiplicação de imax e jmax. Os resultados mostram que esta técnica apresenta a

mesma tendência da GITT, em que a convergência é melhor longe dos limites físicos,

especialmente dos cantos.

O número de Nusselt local e médio, baseado no diâmetro hidráulico para a região

de entrada térmica é calculado pela Técnica da Transformada Integral e é mostrado nas

tabelas 6.15 e 6.16. Observando os dados nas tabelas, pode-se notar que os resultados

têm a tendência de convergir mais rapidamente nas posições distantes da entrada do

canal. Além disso, as razões de aspecto, K0, que se afastam de 1, causam piores taxas

de convergência. As mesmas observações podem ser feitas a respeito das tabelas 6.17

81

Tab. 6.13: Convergência da velocidade para algumas posições críticas(CITT).

lmax ξ= 0; η= 0,99 ξ= 0,99; η= 0,99 ξ= 0,99; η= 0 ξ= 0; η= 0 UavgK0 = 1 5 0,0462064 0,00403787 0,0476841 2,09626 1,00002

10 0,0478488 0,00289441 0,0476841 2,09626 1,0000020 0,0476993 0,00244196 0,0476841 2,09626 1,0000030 0,0476874 0,00234024 0,0476841 2,09626 1,0000040 0,0476851 0,00230695 0,0476841 2,09626 1,0000050 0,0476844 0,00229439 0,0476841 2,09626 1,0000060 0,0476842 0,00228938 0,0476841 2,09626 1,0000070 0,0476841 0,00228739 0,0476841 2,09626 1,0000080 0,0476841 0,00228663 0,0476841 2,09626 1,00000

K0 = 12 5 0,0630276 0,00345703 0,0404520 1,99180 1,00001

10 0,0638741 0,00289054 0,0404520 1,99180 1,0000020 0,0638053 0,00270850 0,0404520 1,99180 1,0000030 0,0638011 0,00267899 0,0404520 1,99180 1,0000040 0,0638005 0,00267197 0,0404520 1,99180 1,0000050 0,0638004 0,00267004 0,0404520 1,99180 1,0000060 0,0638003 0,00266947 0,0404520 1,99180 1,0000070 0,0638003 0,00266931 0,0404520 1,99180 1,0000080 0,0638003 0,00266926 0,0404520 1,99180 1,00000

K0 = 14 5 0,102491 0,00424850 0,0353250 1,77368 1,00000

10 0,102978 0,00394732 0,0353250 1,77368 1,0000020 0,102947 0,00388253 0,0353250 1,77368 1,0000030 0,102946 0,00387706 0,0353250 1,77368 1,0000040 0,102946 0,00387637 0,0353250 1,77368 1,0000050 0,102946 0,00387627 0,0353250 1,77368 1,0000060 0,102946 0,00387625 0,0353250 1,77368 1,0000070 0,102946 0,00387625 0,0353250 1,77368 1,0000080 0,102946 0,00387625 0,0353250 1,77368 1,00000

e 6.18, que mostram resultados similares para o FVM. A convergência ruim perto da

entrada do duto pode estar ligada a gradientes elevados nesta região.

Simulações por GITT usando a perfil de velocidade totalmente convergidos (com

pelo menos 6 dígitos) foram desenvolvidas para calcular o número de Nusselt. Esta

abordagem resultou nos mesmos valores apresentados nas tabelas 6.15 e 6.16. Isto

ocorre devido ao fato de que o perfil de velocidade converge, com apenas alguns ter-

mos, em quase todos os pontos do domínio físico, exceto em situações críticas, que

estão mostrados na tabela 6.13.

82

Tab. 6.14: Convergência da velocidade para algumas posições críticas (FVM).

kmax ξ= 0; η= 0,99 ξ= 0,99; η= 0,99 ξ= 0,99; η= 0 ξ= 0; η= 0 UavgK0 = 1 25 0,0487418 0,00149349 0,0487418 2,22222 1,01220

100 0,0482089 0,00180884 0,0482089 2,12771 1,00158400 0,0480810 0,00212309 0,0480810 2,10412 1,00047625 0,0480658 0,00222419 0,0480658 2,10129 1,00018

2500 0,0480455 0,00253815 0,0480455 2,09751 1,0000110000 0,0476862 0,00226995 0,0476862 2,09657 1,00001

K0 = 12 25 0,0643124 0,00166496 0,0405975 2,04704 0,999311

100 0,0645948 0,00205599 0,0406528 2,00264 1,00041400 0,0646514 0,00244309 0,0406663 1,99373 1,00006625 0,0646578 0,00256747 0,0406679 1,99287 0,999870

2500 0,0646663 0,00295358 0,0406699 1,99194 0,99999010000 0,0638025 0,00264893 0,0404521 1,99180 1,00005

K0 = 14 25 0,0957254 0,00213787 0,0354688 1,83914 1,00317

100 0,103320 0,00279521 0,0354935 1,78963 1,00122400 0,105195 0,00342974 0,0355008 1,77755 1,00060625 0,105400 0,00363276 0,0355017 1,77613 0,999911

2500 0,105669 0,00426221 0,0355027 1,77427 1,0000210000 0,102943 0,00384313 0,0353250 1,77382 1,00003

Tab. 6.15: Número de Nusselt local (GITT).ϕ

lmax 10−3 10−2,5 10−2 10−1,5 10−1 100

K0 = 1/4 20 12,8440 8,30897 5,59702 4,81074 4,57258 4,4518230 12,7311 8,14621 5,59476 4,80942 4,57267 4,4529640 12,4780 7,59011 5,56874 4,80099 4,56530 4,2501550 12,3044 7,58249 5,56731 4,80069 4,56522 4,4470360 12,2556 7,58118 5,56693 4,80058 4,56518 4,4458870 11,3671 7,49885 5,55824 4,79751 4,56251 4,4441080 11,3509 7,49803 5,55804 4,79746 4,56250 4,44337

K0 = 1/2 20 11,9250 7,03468 4,74042 3,73709 3,43697 3,3972030 11,5315 6,92651 4,73617 3,73561 3,43644 3,3967840 10,9281 6,70854 4,72650 3,73252 3,43433 3,4055350 10,3026 6,67719 4,72082 3,73099 3,43332 3,4013460 10,2317 6,67489 4,72013 3,73082 3,43326 3,3937170 9,90737 6,66729 4,71708 3,73004 3,43276 3,4927780 9,88674 6,66585 4,71671 3,72994 3,43272 3,39319

K0 = 1 20 11,3155 6,64788 4,37650 3,28482 2,98606 2,9813830 10,7680 6,38035 4,36613 3,28141 2,98499 2,9804140 10,1572 6,30958 4,35946 3,27959 2,98415 2,9788750 9,68994 6,29783 4,35535 3,27856 2,98366 2,9787760 9,44564 6,29093 4,35284 3,27793 2,98337 2,9673770 9,40274 6,28813 4,35208 3,27773 2,98328 2,9781180 9,35783 6,28482 4,35128 3,27753 2,98319 2,97495

83

Tab. 6.16: Número de Nusselt médio (GITT).ϕ

lmax 10−3 10−2,5 10−2 10−1,5 10−1 100

K0 = 1/4 20 14,9580 11,6796 8,11173 6,01356 5,08591 4,5276230 15,2696 11,6359 8,07010 5,99933 5,08119 4,5266040 17,0124 11,7121 7,98895 5,96563 5,06528 4,6143650 17,0133 11,6712 7,97470 5,96068 5,06363 4,5184860 16,9767 11,6521 7,96820 5,95849 5,06289 4,5108270 17,4065 11,5235 7,91501 5,93858 5,05470 4,5153080 17,3735 11,5112 7,91083 5,93719 5,05424 4,51519

K0 = 1/2 20 15,0530 10,8215 7,18675 5,05496 4,00961 3,4598830 15,3172 10,7218 7,14206 5,03904 4,00404 3,4589640 16,0091 10,6243 7,08004 5,01584 3,99512 3,4560450 16,1629 10,5221 7,04134 5,00173 3,98989 3,4535060 16,0879 10,4888 7,02990 4,99789 3,98862 3,4546470 15,9840 10,4142 7,00266 4,98831 3,98520 3,4367880 15,9329 10,3955 6,99625 4,98616 3,98448 3,45375

K0 = 1 20 14,4892 10,3164 6,78050 4,64768 3,55811 3,0391430 15,2421 10,2186 6,70978 4,62129 3,54839 3,0366340 15,5057 10,1038 6,66376 4,60444 3,54234 3,0352050 15,5014 10,0155 6,63148 4,59291 3,53828 3,0345660 15,3802 9,94787 6,60700 4,58436 3,53532 3,0340970 15,3061 9,91998 6,59719 4,58101 3,53418 3,0338080 15,2019 9,88181 6,58402 4,57659 3,53271 3,03359

Tab. 6.17: Número de Nusselt local (FVM).ϕ

kmax 10−3 10−2,5 10−2 10−1,5 10−1 100

K0 = 1/4 25 10,3925 7,29505 5,56481 4,69828 4,44549 4,35031100 10,9709 7,58127 5,51930 4,76039 4,52930 4,41402400 10,6992 7,45385 5,54022 4,78535 4,55180 4,43342625 10,6822 7,45524 5,54264 4,78842 4,55457 4,43593

2500 10,6853 7,45718 5,54601 4,79256 4,55830 4,4393610000 10,6847 7,45781 5,54687 4,79360 4,55924 4,44020

K0 = 1/2 25 10,7105 6,94796 4,72800 3,67922 3,38212 3,33964100 9,96081 6,63006 4,70047 3,71436 3,41684 3,37625400 9,74144 6,63927 4,70784 3,72470 3,42774 3,38638625 9,73811 6,63960 4,70886 3,72602 3,42916 3,38835

2500 9,73526 6,64025 4,71028 3,72781 3,43110 3,3915710000 9,73475 6,64045 4,71064 3,72826 3,43158 3,39209

K0 = 1 25 10,9719 6,50712 4,28184 3,22028 2,90188 2,89361100 9,24292 6,25534 4,33128 3,26036 2,96023 2,95440400 9,28795 6,26214 4,34270 3,27218 2,97681 2,97149625 9,28711 6,26334 4,34417 3,27368 2,97889 2,97363

2500 9,28665 6,26506 4,34618 3,27573 2,98171 2,9765310000 9,28665 6,26552 4,34669 3,27623 2,98241 2,97725

84

Tab. 6.18: Número de Nusselt médio (FVM).ϕ

kmax 10−3 10−2,5 10−2 10−1,5 10−1 100

K0 = 1/4 25 15,0686 10,4644 7,55066 5,79149 4,92546 4,41662100 15,9606 11,1075 7,77664 5,86941 5,00876 4,48408400 16,2592 11,0527 7,74751 5,87642 5,02731 4,50357625 16,1886 11,0323 7,74242 5,87677 5,02943 4,50604

2500 16,0904 11,0018 7,73480 5,87700 5,03219 4,5092510000 16,0635 10,9935 7,73271 5,87701 5,03287 4,51024

K0 = 1/2 25 14,2808 10,1873 7,01440 4,96364 3,94205 3,40131100 15,3338 10,1952 6,91885 4,95129 3,96253 3,43639400 14,9752 10,0613 6,88086 4,94549 3,96816 3,44741625 14,9204 10,0436 6,87580 4,94470 3,96887 3,44885

2500 14,8437 10,0190 6,86887 4,94361 3,96984 3,4508210000 14,8238 10,0127 6,86710 4,94332 3,97007 3,45132

K0 = 1 25 13,8929 10,0105 6,59659 4,54151 3,47293 2,95173100 14,7371 9,70437 6,51203 4,54171 3,50767 3,00983400 14,3604 9,59124 6,48341 4,54052 3,51730 3,02616625 14,3124 9,57647 6,47971 4,54036 3,51851 3,02821

2500 14,2463 9,55634 6,47469 4,54013 3,52015 3,0309810000 14,2295 9,55122 6,47342 4,54007 3,52056 3,03166

.Finalmente, para fins de validação, a tabela 6.19 apresenta uma comparação do nú-

mero de Nusselt calculado neste trabalho com o trabalho realizado por Chandrupatla e

Sastri [1] para o caso do duto quadrado (K0 = 1). Como se pode observar, os resultados

estão em perfeita conformidade com a literatura.

Tab. 6.19: Comparação dos resultados na região de entrada térmica calculada, com atrabalho feito por Chandrupatla e Sastri [1]†.

ϕ Nu† Nu Nu†m Num

0,1000 2,976 2,983 3,514 3,5310,0500 3,074 3,077 4,024 4,0520,0400 3,157 3,158 4,253 4,2870,0250 3,432 3,431 4,841 4,8950,0200 3,611 3,608 5,173 5,2400,0125 4,084 4,080 5,989 6,0960,0100 4,357 4,350 6,435 6,5680,0075 4,755 4,745 7,068 7,2460,0050 5,412 5,397 8,084 8,349

Observando a tabela de comparação 6.19 pode-se notar uma pequena diferença en-

tre os resultados encontrados neste trabalho e os apresentados em [1]. Isso deve-se

provavelmente a erros numéricos devido a limitações da época em que [1] foi apresen-

85

tado e uma vez que ambos resultados, por GITT e FVM, convergiram para o mesmo

valor.

6.5.2 Formulação mista

Esta subseção fornece os resultados pela formulação mista para convecção laminar

forçada na região de entrada térmica em dutos retangulares mostrada na seção 5.2.

Todos os casos mostrados nesta subseção consideram a razão de aspecto para duto

quadrado, ou seja, K0 = 1. As tabelas 6.13 e 6.14 da subseção anterior mostram a

convergência da velocidade para GITT e FVM. Estes resultados serão introduzidos

da equação da energia, como já mencionado, utilizando os esquemas A, que emprega

expansão em autofunções para a equação do momentum e FVM para a equação da

energia e o esquema B, que consiste no uso de FVM para a velocidade e GITT para a

equação da energia.

As tabelas 6.20 e 6.21 mostram a convergência do número de Nusselt para o es-

quema A. Como já observado para resolver o problema com uma metodologia única,

em geral, as piores situações são aquelas próximas de ϕ= 0. É interessante notar que,

para lmax superiores a 5, a seguintes sub-tabelas mostram quase nenhuma mudança.

Em outras palavras, os seis dígitos de convergência para a velocidade usando a GITT,

para a maioria dos casos, é alcançado com apenas uma ordem de truncamento de ape-

nas lmax = 5 e a convergência por FVM torna-se exatamente a mesma para os seguintes

casos. O caso com lmax = 0 corresponde à solução do filtro apenas.

Após os resultados anteriores, as tabelas 6.22 e 6.23 apresentam o comportamento

de convergência para o número de Nusselt para o esquema B. Novamente, como ob-

servado nas tabelas 6.15 e 6.17 a convergência é pior para ϕ’s menores.

Comparando os resultados dos esquema A com B, pode-se dizer que, para posições

muito próximas da entrada do canal, o primeiro esquema tem desempenho melhor.

Para os outros pontos, ambos os esquemas fornecem resultados precisos de forma se-

melhante. Novamente, para ambos os esquemas, um número considerável de equações

e necessário para o cálculo da parte por FVM da solução.

86

Tab. 6.20: Número de Nusselt local para o esquema A, calculado para diferentes or-dens de truncamento (lmax) e diferentes malhas (kmax) para dutos quadrados(K0 = 1).

ϕ

kmax 10−3 10−2,5 10−2 10−1,5 10−1 100

lmax = 0 25 6,03211 3,87559 2,38006 1,77660 1,48622 1,45498100 5,13920 3,52814 2,46204 1,80156 1,50126 1,47215400 5,22268 3,56520 2,47665 1,80786 1,50565 1,47719625 5,23461 3,56945 2,47833 1,80863 1,50620 1,47783

2500 5,24982 3,57486 2,48055 1,80966 1,50696 1,4787010000 5,25320 3,57619 2,48111 1,80992 1,50715 1,47892

lmax = 3 25 10,9613 6,46237 4,33173 3,27512 2,96290 2,9553100 9,23191 6,26388 4,34420 3,27433 2,97581 2,97007400 9,29093 6,26537 4,34605 3,27570 2,98073 2,97544625 9,29126 6,26584 4,34636 3,27594 2,98140 2,97617

2500 9,29219 6,26655 4,34681 3,27631 2,98235 2,9771910000 9,29251 6,26675 4,34693 3,27638 2,98258 2,97742

lmax = 5 25 10,9494 6,46070 4,33162 3,27511 2,96290 2,95531100 9,22609 6,26271 4,34409 3,27432 2,97580 2,97010400 9,28519 6,26424 4,34595 3,27569 2,98072 2,97550625 9,28554 6,26470 4,34625 3,27593 2,98140 2,97607

2500 9,28649 6,26542 4,34670 3,27630 2,98234 2,9771710000 9,28682 6,26562 4,34682 3,27637 2,98257 2,97741

lmax = 10 25 10,9476 6,46049 4,33160 3,27510 2,96290 2,95525100 9,22581 6,26270 4,34408 3,27432 2,97580 2,97010400 9,28492 6,26422 4,34594 3,27569 2,98072 2,97545625 9,28527 6,26469 4,34625 3,27593 2,98140 2,97631

2500 9,28622 6,26541 4,34670 3,27629 2,98234 2,9771710000 9,28655 6,26560 4,34682 3,27637 2,98257 2,97741

lmax = 20 25 10,9476 6,46050 4,33161 3,27510 2,96290 2,95529100 9,22580 6,26269 4,34408 3,27432 2,97580 2,97010400 9,28491 6,26422 4,34594 3,27569 2,98072 2,97544625 9,28527 6,26469 4,34625 3,27593 2,98140 2,97616

2500 9,28622 6,26541 4,34670 3,27629 2,98234 2,9771710000 9,28655 6,26560 4,34682 3,27637 2,98257 2,97741

lmax = 30 25 10,9476 6,46050 4,33161 3,27510 2,96290 2,95533100 9,22580 6,26269 4,34408 3,27432 2,97580 2,97010400 9,28491 6,26422 4,34594 3,27569 2,98072 2,97544625 9,28527 6,26469 4,34625 3,27593 2,98140 2,97616

2500 9,28622 6,26541 4,34670 3,27629 2,98234 2,9771710000 9,28655 6,26560 4,34682 3,27637 2,98257 2,97741

87

Tab. 6.21: Número de Nusselt médio para o esquema A, calculado para diferentes or-dens de truncamento (lmax) e diferentes malhas (kmax) para dutos quadrados(K0 = 1).

ϕ

kmax 10−3 10−2,5 10−2 10−1,5 10−1 100

lmax = 0 25 6,94604 5,46802 3,68894 2,53223 1,87830 1,49823100 8,20149 5,40721 3,66380 2,55371 1,89673 1,51543400 7,98297 5,38538 3,67214 2,56247 1,90270 1,52053625 7,96838 5,38547 3,67388 2,56375 1,90350 1,52118

2500 7,95654 5,38753 3,67676 2,56564 1,90464 1,5220810000 7,95602 5,38873 3,67770 2,56618 1,90494 1,52230

lmax = 3 25 14,0898 10,0305 6,61975 4,58508 3,52688 3,01260100 14,6589 9,68196 6,51295 4,55126 3,52094 3,02529400 14,3523 9,59084 6,48555 4,54355 3,52084 3,03007625 14,3154 9,57949 6,48222 4,54266 3,52089 3,03073

2500 14,2653 9,56420 6,47776 4,54150 3,52100 3,0316510000 14,2526 9,56034 6,47664 4,54120 3,52102 3,03186

lmax = 5 25 14,0695 10,0209 6,61638 4,58400 3,52653 3,01256100 14,6366 9,67311 6,50989 4,55027 3,52062 3,02525400 14,3314 9,58248 6,48265 4,54261 3,52053 3,03004625 14,2948 9,57120 6,47934 4,54173 3,52059 3,03069

2500 14,2449 9,55602 6,47492 4,54058 3,52071 3,0316110000 14,2323 9,55220 6,47381 4,54029 3,52073 3,03183

lmax = 10 25 14,0660 10,0193 6,61585 4,58383 3,52648 3,01255100 14,6320 9,67159 6,50941 4,55011 3,52057 3,02524400 14,3271 9,58107 6,48220 4,54247 3,52049 3,03003625 14,2906 9,56982 6,47890 4,54159 3,52055 3,03069

2500 14,2409 9,55468 6,47449 4,54044 3,52066 3,0316010000 14,2283 9,55087 6,47338 4,54015 3,52069 3,03182

lmax = 20 25 14,0661 10,0194 6,61587 4,58383 3,52648 3,01255100 14,6316 9,67148 6,50937 4,55001 3,52057 3,02524400 14,3268 9,58097 6,48217 4,54246 3,52049 3,03003625 14,2903 9,56973 6,47887 4,54158 3,52054 3,03069

2500 14,2406 9,55459 6,47446 4,54044 3,52066 3,0316010000 14,2280 9,55079 6,47336 4,54015 3,52068 3,03182

lmax = 30 25 14,0661 10,0194 6,61587 4,58383 3,52648 3,01255100 14,6317 9,67148 6,50937 4,55001 3,52057 3,02524400 14,3268 9,58097 6,48217 4,54246 3,52049 3,03003625 14,2902 9,56972 6,47887 4,54158 3,52054 3,03069

2500 14,2406 9,55459 6,47446 4,54044 3,52066 3,0316010000 14,2280 9,55078 6,47335 4,54014 3,52068 3,03182

88

Tab. 6.22: Número de Nusselt local para o esquema B, calculado para diferentes or-dens de truncamento (lmax) e diferentes malhas (kmax) para dutos quadrados(K0 = 1).

ϕ

lmax 10−3 10−2,5 10−2 10−1,5 10−1 100

kmax = 100 10 10,3847 7,39420 4,58311 3,29957 2,99019 2,9803920 11,3154 6,65237 4,37505 3,28144 2,98202 2,9551130 10,7736 6,38260 4,36445 3,27799 2,98039 2,9604940 10,1574 6,31002 4,35757 3,27612 2,97952 2,9747050 9,67916 6,29721 4,35322 3,27503 2,97901 2,9737760 9,42536 6,28924 4,35045 3,27434 2,97869 2,9722770 9,38037 6,28585 4,34956 3,27410 2,97858 2,9733280 9,33391 6,28192 4,34861 3,27387 2,97848 3,08610

kmax = 400 10 10,3988 7,39655 4,58388 3,30207 2,99366 2,9880720 11,3172 6,64995 4,37633 3,28402 2,98548 2,9804630 10,7732 6,38207 4,36593 3,28061 2,98386 2,9714340 10,1637 6,31091 4,35925 3,27879 2,98302 2,9778250 9,69617 6,29902 4,35512 3,27775 2,98254 2,9806560 9,45082 6,29207 4,35260 3,27712 2,98224 2,9771170 9,40753 6,28924 4,35184 3,27692 2,98215 2,9769680 9,36221 6,28590 4,35103 3,27672 2,98206 2,97688

kmax = 625 10 10,4004 7,39668 4,58392 3,30236 2,99407 2,9884820 11,3167 6,64927 4,37640 3,28431 2,98588 2,9806430 10,7716 6,38153 4,36601 3,28090 2,98427 2,9790640 10,1617 6,31052 4,35934 3,27909 2,98343 2,9785650 9,69446 6,29869 4,35523 3,27805 2,98294 2,9777660 9,44954 6,29176 4,35271 3,27742 2,98265 2,9774470 9,40640 6,28895 4,35196 3,27722 2,98255 2,9773880 9,36123 6,28563 4,35114 3,27702 2,98247 2,97729

kmax = 2500 10 10,4024 7,39682 4,58394 3,30274 2,99461 2,9890220 11,3159 6,64825 4,37648 3,28470 2,98643 2,9811830 10,7690 6,38067 4,36610 3,28128 2,98481 2,9796140 10,1584 6,30984 4,35944 3,27947 2,98397 2,9838750 9,69124 6,29808 4,35532 3,27843 2,98349 2,9783160 9,44680 6,29118 4,35281 3,27780 2,98319 2,9783170 9,40384 6,28837 4,35206 3,27760 2,98301 2,9779380 9,35887 6,28506 4,35125 3,27741 2,98301 2,97784

kmax = 10000 10 10,4024 7,39682 4,58394 3,30274 2,99461 2,9890220 11,3159 6,64825 4,37648 3,28470 2,98643 2,9811830 10,7690 6,38067 4,36610 3,28128 2,98481 2,9796140 10,1584 6,30984 4,35944 3,27947 2,98397 2,9838750 9,69124 6,29808 4,35532 3,27843 2,98349 2,9783160 9,44680 6,29118 4,35281 3,27780 2,98319 2,9783170 9,40384 6,28837 4,35206 3,27760 2,98310 2,9779380 9,35887 6,28506 4,35125 3,27741 2,98301 2,97784

89

Tab. 6.23: Número de Nusselt médio para o esquema B, calculado para diferentes or-dens de truncamento (lmax) e diferentes malhas (kmax) para dutos quadrados(K0 = 1).

ϕ

lmax 10−3 10−2,5 10−2 10−1,5 10−1 100

kmax = 100 10 11,5325 9,59379 6,86498 4,71356 3,58307 3,0446720 14,4678 10,3131 6,77977 4,64562 3,55458 3,0343930 15,2282 10,2173 6,70908 4,61918 3,54483 3,0322940 15,4891 10,0992 6,66163 4,60181 3,53859 3,0310150 15,4665 10,0028 6,62645 4,58929 3,53420 3,0298960 15,3056 9,92095 6,59714 4,57913 3,53071 3,0292870 15,1936 9,88049 6,58317 4,57442 3,52912 3,0290180 15,0499 9,82928 6,56569 4,56859 3,52719 3,02916

kmax = 400 10 11,5536 9,60503 6,86896 4,71609 3,58603 3,0482220 14,4851 10,3169 6,78102 4,64745 3,55734 3,0380130 15,2422 10,2209 6,71076 4,62120 3,54766 3,0357540 15,5093 10,1071 6,66499 4,60443 3,54163 3,0342950 15,5074 10,0193 6,63283 4,59293 3,53758 3,0334360 15,3873 9,95174 6,60837 4,58438 3,53462 3,0329070 15,3133 9,92379 6,59853 4,58102 3,53348 3,0327180 15,2091 9,88558 6,58535 4,57659 3,53200 3,03248

kmax = 625 10 11,5560 9,60626 6,86934 4,71634 3,58637 3,0486220 14,4866 10,3168 6,78088 4,64755 3,55762 3,0383830 15,2424 10,2202 6,71049 4,62126 3,54793 3,0361340 15,5085 10,1062 6,66466 4,60448 3,54190 3,0349450 15,5061 10,0183 6,63250 4,59298 3,53785 3,0338560 15,3861 9,95091 6,60809 4,58445 3,53490 3,0332870 15,3123 9,92307 6,59829 4,58110 3,53376 3,0331080 15,2084 9,88497 6,58515 4,57669 3,53229 3,03287

kmax = 2500 10 11,5593 9,60786 6,86981 4,71666 3,58681 3,0491620 14,4886 10,3165 6,78061 4,64766 3,55799 3,0389530 15,2423 10,2190 6,70998 4,62129 3,54828 3,0365340 15,5065 10,1045 6,66402 4,60447 3,54223 3,0356150 15,5028 10,0163 6,63179 4,59294 3,53818 3,0343860 15,3821 9,94881 6,60734 4,58441 3,53523 3,0338370 15,3081 9,92095 6,59754 4,58106 3,53409 3,0336680 15,2041 9,88283 6,58439 4,57665 3,53261 3,03341

kmax = 10000 10 11,5601 9,60825 6,86992 4,71674 3,58691 3,0493020 14,4890 10,3164 6,78053 4,64768 3,55808 3,0388430 15,2421 10,2187 6,70983 4,62129 3,54836 3,0367040 15,5059 10,1039 6,66383 4,60445 3,54231 3,0353550 15,5018 10,0157 6,63156 4,59292 3,53825 3,0345060 15,3807 9,94812 6,60709 4,58437 3,53530 3,0340470 15,3067 9,92023 6,59728 4,58102 3,53416 3,0337580 15,2025 9,88208 6,58412 4,57661 3,53268 3,03340

90

Para a verificação, os resultados para o número de Nusselt termicamente desen-

volvido foi comparado com a atual literatura [2–4] e a tabela ref 6.24 mostra que os

resultados obtidos estão em perfeito acordo.

Tab. 6.24: Comparação dos resultados para a região termicamente desenvolvida comos trabalhos realizados por Rohsenow et al. [2], Kays et al. [3], Bejan eKrauss [4].

Referência Nusselt

Esquema A 2,977

Esquema B 2,978

Ref. [2] 2,97

Ref. [3] 2,98

Ref. [4] 2,89

6.6 Equação de Burgers não linear - Comparação entre GITT e

FVM

Esta seção apresenta resultados de GITT e FVM para a equação de Burgers não

linear [66]. Tabelas comparativas são apresentadas e discutidas.

Antes de iniciar a apresentação dos resultados da implementação computacional

são apresentados na figura 6.1 o perfil de todos os filtros utilizados na solução do

problema.

A tabela 6.25 apresenta os resultados da convergência por FVM com o numero de

divisões de malha (imax) para as aproximações CDS (segunda ordem) e UDS (primeira

ordem), respectivamente, para Re = 1 e τ= 1. Como pode-se observar, a convergência

por UDS é claramente pior do que CDS, como esperado, com FVM-CDS apresentando

seis algarismos convergidos para uma malha de 100 divisões e FVM-UDS não conver-

gindo com 12800 divisões de malha. A principal razão para essa diferença é a baixa

ordem empregada em UDS comparada ao CDS.

91

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0uF HΞL

RSF

LVSF

LSF

LF

(a) Re = 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0uF HΞL

RSF

LVSF

LSF

LF

(b) Re = 10

Fig. 6.1: Perfil das funções filtro utilizadas na implementação computacional para to-das as formulações.

92

Tab. 6.25: Resultados por FVM para Re = 1 e τ = 1: velocidades em diferentes posi-ções.

posição, ξimax 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 CPU(s)

FVM-CDS 6 0,928948 0,761388 0,567462 0,351067 0,119049 0,0012 0,927488 0,761426 0,567546 0,351205 0,118871 0,0225 0,927534 0,761193 0,567684 0,351090 0,118876 0,0550 0,927394 0,761059 0,567571 0,351015 0,118849 0,13100 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 0,20200 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 0,42400 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 0,90800 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 1,86

1600 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 4,353200 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 11,306400 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 27,19

12800 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 57,66FVM-UDS 6 0,927350 0,758060 0,563929 0,348513 0,118138 0,02

12 0,926709 0,759714 0,565730 0,349892 0,118406 0,0325 0,927154 0,760363 0,566797 0,350452 0,118649 0,0550 0,927204 0,760642 0,567125 0,350694 0,118735 0,11100 0,927299 0,760851 0,567349 0,350855 0,118793 0,20200 0,927347 0,760955 0,567461 0,350935 0,118821 0,45400 0,927371 0,761008 0,567517 0,350976 0,118836 1,48800 0,927382 0,761034 0,567545 0,350996 0,118843 2,09

1600 0,927388 0,761047 0,567559 0,351006 0,118846 5,983200 0,927391 0,761054 0,567566 0,351011 0,118848 13,256400 0,927393 0,761057 0,567569 0,351014 0,118849 30,05

12800 0,927394 0,761059 0,567571 0,351015 0,118849 62,01

Em seguida, a tabela 6.26 apresenta a convergência para a solução por GITT, para

todos os filtros considerados, em função da ordem de truncamento nmax. Como pode

se observar, considerando todos os casos de solução por GITT, a convergência de-

pende fortemente do filtro adotado. O filtro RSF é nitidamente superior comparado

aos outros filtros, fornecendo a convergência de seis dígitos em menos de 10 termos.

Essa superioridade pode ser explicada pelo fato de que esse filtro abrange a solução

real não-linear em regime permanente, e que o tempo adimensional considerado está

próximo do regime permanente.

O segundo melhor filtro é o LVSF, fornecendo seis dígitos convergidos com 50 ter-

mos perto da entrada (ξ= 0.1 e ξ= 0.3) e melhorando a convergência ao se distanciar da

93

Tab. 6.26: Resultados por GITT para Re = 1 e τ = 1: velocidades em diferentes posi-ções para diferentes filtros.

posição, ξnmax 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 CPU(s)

LF 0 0,900000 0,700000 0,500000 0,300000 0,100000 0,0010 0,927470 0,761095 0,567591 0,351025 0,118853 0,2720 0,927380 0,761055 0,567570 0,351014 0,118849 13,9930 0,927399 0,761062 0,567574 0,351016 0,118850 21,9540 0,927392 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 31,1250 0,927396 0,761061 0,567573 0,351016 0,118850 41,8160 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 56,1370 0,927395 0,761061 0,567573 0,351016 0,118850 74,3880 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 101,7890 0,927395 0,761061 0,567573 0,351016 0,118850 137,92

100 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 185,14LSF 0 0,938793 0,796390 0,622459 0,410020 0,150545 0,00

10 0,927401 0,761042 0,567529 0,350930 0,118666 0,8020 0,927393 0,761063 0,567579 0,351028 0,118882 16,6630 0,927395 0,761060 0,567571 0,351013 0,118839 26,4440 0,927394 0,761061 0,567574 0,351018 0,118855 40,2250 0,927395 0,761060 0,567573 0,351015 0,118847 54,0760 0,927394 0,761061 0,567573 0,351017 0,118851 69,3070 0,927395 0,761060 0,567573 0,351016 0,118849 85,7980 0,927394 0,761061 0,567573 0,351016 0,118850 106,2790 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118849 130,39

100 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 152,55LVSF 0 0,925574 0,755941 0,560906 0,345432 0,116679 0,00

10 0,927393 0,761060 0,567572 0,351016 0,118850 2,2320 0,927395 0,761061 0,567573 0,351016 0,118850 23,0930 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 36,4740 0,927395 0,761061 0,567573 0,351016 0,118850 51,4350 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 67,7860 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 87,1770 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 107,8980 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 133,5190 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 158,34

100 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 188,45RSF 0 0,927410 0,761104 0,567630 0,351065 0,118869 0,00

10 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 0,5520 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 19,4430 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 30,6740 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 43,1450 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 57,3560 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 73,4970 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 92,8280 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 113,4390 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 137,16

100 0,927394 0,761060 0,567573 0,351016 0,118850 162,65

94

entrada, onde menos de 20 são necessários para a convergência da solução em ξ= 0.9.

Entre os dois outros filtros, ambos apresentam um comportamento de convergência

oscilatória, especialmente perto da saída, porém o LSF é pior do que o LF, exigindo

mais termos de convergência e apresentando convergência oscilatória também perto da

entrada.

Comparando as soluções por GITT com as soluções por FVM, em geral, a GITT

requer um menor número de equações do sistema EDO transformado (dada pela or-

dem de truncamento nmax) do que o número de equações do sistema EDO de FVM

discretizado (dado pelo número de divisões de malha, imax). Esta diferença é ainda

mais evidente quando FVM-UDS é considerada ou quando as melhores soluções con-

vergentes de GITT são usadas. No entanto, as soluçõs FVM-CDS se tornam mais

competitivas com as soluções por GITT (em termos do número de equações) se um

filtro ruim é selecionado.

A tabela em seguida 6.27 apresenta as comparações dos resultados para o número

de Reynolds igual a 10. Novamente, como esperado, a performance de CDS é sig-

nificativamente melhor do que UDS devido à alta ordem de aproximação dos termos

de derivada advectiva. No entanto, quando comparado com as soluções de menores

números de Reynolds, 800 divisões são requeridas para a convergência de seis dígitos

perto da entrada do canal (ξ = 0,1 e ξ = 0,3), e este número é gradualmente elevado

para posições perto da saída do canal (até 6400 equações para ξ= 0,9).

A tabela 6.28 ilustra o comportamento da convergência das soluções por GITT,

usando todos os filtros propostos, para Re = 10 e τ = 1. Como pode ser visto, o com-

portamento da convergência é pior do que o observado para o número de Reynolds

menor. Isso pode ser justificado pelo aumento da razão advecção/difusão, no entanto,

quando se olha para a solução em regime permanente (dado pela solução GITT-RSF

com zero termos) também é visto que o valor do tempo adimensional τ = 1, nesse

caso, corresponde a um tempo mais distante do regime permanente, que também é

responsável por fornecer piores taxas de convergência.

Como resultado, mesmo para o caso RSF (que rendeu boas taxas de convergência

95

Tab. 6.27: Resultados por FVM para Re = 10 e τ= 1: velocidades em diferentes posi-ções.

posição, ξimax 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 CPU(s)

FVM-CDS 6 0,992561 0,905878 0,662089 0,337621 0,090384 0,0212 0,988553 0,911974 0,692239 0,364978 0,100120 0,0325 0,988264 0,911705 0,699858 0,373707 0,102434 0,0550 0,987921 0,911216 0,700693 0,375883 0,103388 0,13100 0,987906 0,911271 0,701071 0,376336 0,103529 0,25200 0,987902 0,911285 0,701165 0,376449 0,103565 0,47400 0,987902 0,911288 0,701188 0,376478 0,103574 1,39800 0,987901 0,911289 0,701194 0,376485 0,103576 2,18

1600 0,987901 0,911289 0,701196 0,376487 0,103576 5,883200 0,987901 0,911289 0,701196 0,376487 0,103576 13,966400 0,987901 0,911289 0,701196 0,376487 0,103577 30,69

12800 0,987901 0,911289 0,701196 0,376487 0,103577 74,63FVM-UDS 6 0,973449 0,849544 0,625818 0,343967 0,098752 0,02

12 0,978638 0,878126 0,659697 0,360474 0,102900 0,0325 0,983506 0,894063 0,680500 0,369240 0,103351 0,0650 0,985516 0,902019 0,690173 0,373115 0,103731 0,17100 0,986701 0,906561 0,695573 0,374828 0,103676 0,23200 0,987299 0,908900 0,698355 0,375664 0,103632 0,50400 0,987600 0,910088 0,699768 0,376078 0,103606 1,50800 0,987750 0,910687 0,700480 0,376283 0,103591 2,42

1600 0,987826 0,910988 0,700838 0,376385 0,103584 6,413200 0,987864 0,911138 0,701017 0,376436 0,103580 14,186400 0,987882 0,911214 0,701107 0,376462 0,103578 38,03

12800 0,987892 0,911251 0,701151 0,376474 0,103577 71,67

para Re = 1), um pior desempenho é visto. De um modo geral, para Re = 10, o filtro

LSF fornece as piores taxas de da convergência, enquanto que para as outras opções

de filtro um comportamento de convergência similar é visto.

Agora, para dar uma melhor visão sobre o desempenho computacional dos dife-

rentes tipos de esquemas de solução considerados, gráficos de erro relativo da solução

contra o tempo de CPU são construídos. Os gráficos aqui apresentados são ainda de

resultados preliminares e o tempo computacional da GITT pode ser melhorado através

da otimização do código computacional.

As figuras 6.2-6.5 apresentam os resultados obtidos para diferentes posições para

o numero de Reynolds igual a 1. Como pode ser visto, o desempenho das soluções de

96

Tab. 6.28: Resultados por GITT para Re = 10 e τ= 1: velocidades em diferentes posi-ções para diferentes filtros.

posição, ξnmax 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 CPU(s)

LF 0 0,900000 0,700000 0,500000 0,300000 0,100000 0,0010 0,987887 0,911069 0,700726 0,376029 0,103416 0,2720 0,987876 0,911248 0,701123 0,376418 0,103552 14,7930 0,987902 0,911280 0,701175 0,376466 0,103569 23,1240 0,987898 0,911284 0,701187 0,376478 0,103573 32,7150 0,987902 0,911287 0,701192 0,376483 0,103575 44,3860 0,987900 0,911288 0,701193 0,376484 0,103576 58,6670 0,987901 0,911288 0,701195 0,376485 0,103576 78,5680 0,987901 0,911289 0,701195 0,376486 0,103576 105,6490 0,987901 0,911289 0,701195 0,376486 0,103576 141,10

100 0,987901 0,911289 0,701196 0,376487 0,103576 189,20LSF 0 0,999922 0,999133 0,993307 0,950256 0,632149 0,00

10 0,988812 0,910924 0,699196 0,371672 0,092603 0,7520 0,987978 0,911506 0,701579 0,377210 0,105574 18,9930 0,987903 0,911239 0,701078 0,376252 0,102905 30,4840 0,987908 0,911313 0,701241 0,376578 0,103870 43,4850 0,987900 0,911277 0,701169 0,376434 0,103420 58,3160 0,987903 0,911296 0,701209 0,376514 0,103667 73,2170 0,987900 0,911284 0,701186 0,376468 0,103518 91,2680 0,987902 0,911292 0,701202 0,376499 0,103615 114,0590 0,987901 0,911287 0,701191 0,376478 0,103549 136,55

100 0,987902 0,911291 0,701199 0,376493 0,103596 157,94LVSF 0 0,997134 0,974669 0,887543 0,658249 0,248559 0,00

10 0,987881 0,911073 0,700734 0,376036 0,103418 1,4820 0,987880 0,911251 0,701126 0,376419 0,103552 21,7830 0,987902 0,911280 0,701176 0,376467 0,103569 34,3840 0,987898 0,911284 0,701187 0,376478 0,103573 48,7250 0,987901 0,911287 0,701192 0,376483 0,103575 64,5860 0,987900 0,911288 0,701193 0,376484 0,103576 83,1570 0,987901 0,911288 0,701195 0,376486 0,103576 103,7180 0,987901 0,911289 0,701195 0,376486 0,103576 128,4190 0,987901 0,911289 0,701196 0,376486 0,103576 152,49

100 0,987901 0,911289 0,701196 0,376487 0,103576 182,13RSF 0 0,999844 0,998270 0,986710 0,905255 0,462195 0,00

10 0,987892 0,911065 0,700714 0,376008 0,103400 0,4820 0,987876 0,911248 0,701124 0,376418 0,103552 19,6230 0,987902 0,911280 0,701175 0,376466 0,103569 30,9140 0,987898 0,911284 0,701187 0,376478 0,103573 43,2660 0,987900 0,911288 0,701193 0,376484 0,103576 56,9950 0,987902 0,911287 0,701192 0,376483 0,103575 72,7070 0,987901 0,911288 0,701195 0,376485 0,103576 91,2280 0,987901 0,911289 0,701195 0,376486 0,103576 111,6490 0,987901 0,911289 0,701195 0,376486 0,103576 132,38

100 0,987901 0,911289 0,701196 0,376487 0,103576 155,46

97

10 20 30 40 50 60CPU

10-7

10-6

10-5

10-4

Ε

Re=1, Τ=1, Ξ=0.1

FVM-UDSFVM-CDSGITT-RSFGITT-LVSFGITT-LSFGITT-LF

Fig. 6.2: Erro vs. tempo computacional para GITT e FVM com Re = 1 e ξ= 0,1.

10 20 30 40 50 60CPU

10-7

10-6

10-5

10-4

0.001

Ε

Re=1, Τ=1, Ξ=0.3



FVM não têm dependência com a posição espacial, enquanto as soluções GITT signi-

ficativamente dependem do local considerado. A abordagem CDS-FVM e as soluções

GITT-RSF notavelmente têm o melhor desempenho, com a solução FVM-CDS sendo

98

10 20 30 40 50 60CPU

10-7

10-6

10-5

10-4

0.001

Ε

Re=1, Τ=1, Ξ=0.5



10 20 30 40 50 60CPU

10-7

10-6

10-5

10-4

0.001

Ε

Re=1, Τ=1, Ξ=0.7



melhor do que a solução GITT-RSF somente em ξ = 0,3. Os esquemas FVM-UDS e

GITT-LSF têm os piores desempenhos, com as soluções por GITT sendo melhor do

que a solução FVM-UDS para ξ= 0,3 e ξ= 0,5. A única exceção é em ξ= 0,1, onde

99

a solução LF também se desempenha de forma equivalente à FVM-UDS e as soluções

GITT-LSF.

A solução GITT-LVSF apresenta-se como uma alternativa razoável, em geral, apre-

sentando um desempenho melhor do que LSF e LF, e se aproximando de GITT-RSF e

FVM-CDS para alguns casos.

Deve-se observar que o FVM, devido a utilizar mais equações consomem mais

memória que GITT.

6.7 Equação de Burgers não linear - Formulação Mista

Nesta seção serão a apresentados os resultados da solução da equação de Burgers

pela formulação mista de GITT discretizando o termo advectivo. Como já mostrado na

formulação matemática, foram consideradas cinco aproximações de diferentes ordens:

aproximação atrasada de primeira ordem (UDS), aproximação atrasada de primeira

ordem: formulação mista (UDS*), aproximação centrada de segunda ordem (CDS),

aproximação totalmente atrasada de segunda ordem (UDS2), aproximação parcial-

mente atrasada de terceira ordem (UDS3).

Antes de iniciar a apresentação dos gráficos e tabelas de convergência, é mostrado

na figura 6.6 o perfil das duas funções filtro (Equação 5.3) utilizadas na implementação

computacional do problema.

Como pode ser visto, um aumento do parâmetro t0 desloca a frente de onda para a

direita, enquanto que um aumento do parâmetro α, torna a onda mais quadrada (menos

suave).

Para a implementação computacional são escolhidos dois casos: mais suave com

α= 50 e t0 = 0,5 e menos suave com α= 10000 e t0 = 0.

Primeiramente as figuras 6.7, 6.8 e 6.9 apresentam gráficos mostrando a influencia

da variação da discretização do termo advectivo no campo de velocidade, onde a curva

"Conv." representa o perfil de velocidade convergido. Em cada uma das três figuras

varia-se apenas o parâmetro de discretização δ, mantendo todas as outras constantes,

conforme mostrado na tabela 6.29:

100

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0uF HΞL

t0=1

t0=0.75

t0=0.5

t0=0.25

t0=0

(a) α= 50

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0uF HΞL

t0=1

t0=0.75

t0=0.5

t0=0.25

t0=0

(b) α= 10000

Fig. 6.6: Perfil das condições iniciais utilizadas para a implementação computacionalpara a formulação GITT mista.

Na figura 6.7 pode-se observar que as curvas UDS* e UDS apresentam menores

amplitudes de oscilação comparadas às outras, com destaque maior para a aproxima-

ção UDS*. As outras aproximações ficam bem próximas de GITT, havendo pouca

diferença. Nota-se também, como esperado, que todas as curvas convergem para a

101

Tab. 6.29: Parâmetros das figuras 6.7, 6.8 e 6.9.

α t0 Re τ nmax

Figura 6.7 50 0,5 100 0,5 5

Figura 6.8 10000 0 100 0,5 15

Figura 6.9 10000 0 100 1,5 15

solução de GITT ao diminuir δ.

As figuras 6.8 e 6.9 são bem similares à anterior porem com uma maior ordem

de truncamento (nmax = 15). Observa-se que devido a maior ordem de truncamento,

as oscilações têm uma amplitude menor, porém maior frequência espacial. Pode-se

perceber, novamente, que as curvas UDS* e UDS oscilam muito pouco para δ’s mais

elevados, menos ainda que na figura anterior. Mais uma vez, UDS* destaca-se ainda

mais por praticamente não oscilar nos patamares u∗ = 1 e u∗ = 0. Devido a introdução

de difusão numérica, ocorre uma menor inclinação na frente de onda além do retardo

da mesma, como pode-se observar claramente na curva UDS. As curvas UDS3 e CDS

têm uma amplitude ligeiramente maior que da solução por GITT devido à alta ordem

dessas aproximações.

102

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2u*

Re

=10

0,Τ

=0.

5,n m

ax=

5,∆

=0.

025

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2u*

Re

=10

0,Τ

=0.

5,n m

ax=

5,∆

=0.

0125

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2u*

Re

=10

0,Τ

=0.

5,n m

ax=

5,∆

=0.

0062

5

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2u*

Re

=10

0,Τ

=0.

5,n m

ax=

5,∆

=0.

0001

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

Fig.

6.7:

Grá

ficos

doca

mpo

deve

loci

dade

com

para

ndo

ain

fluên

cia

dava

riaç

ãodo

parâ

met

roδ

.M

ante

ndo

todo

sos

outr

ospa

râm

etro

sco

nsta

ntes

(α=

50,t

0=

0,5,

Re=

100,τ=

0,5

en

max

=5)

.

103

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0u*

Re

=10

0,Τ

=0.

5,n m

ax=

15,

∆=

0.02

5

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0u*

Re

=10

0,Τ

=0.

5,n m

ax=

15,

∆=

0.01

25

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0u*

Re

=10

0,Τ

=0.

5,n m

ax=

15,

∆=

0.00

625

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0u*

Re

=10

0,Τ

=0.

5,n m

ax=

15,

∆=

0.00

01

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

Fig.

6.8:

Grá

ficos

doca

mpo

deve

loci

dade

com

para

ndo

ain

fluên

cia

dava

riaç

ãodo

parâ

met

roδ

.M

ante

ndo

todo

sos

outr

ospa

râm

etro

sco

nsta

ntes

(α=

1000

0,t 0

=0,

Re=

100,τ=

0,5

en

max

=15

).

104

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0u*

Re

=10

0,Τ

=1.

5,n m

ax=

15,

∆=

0.02

5

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0u*

Re

=10

0,Τ

=1.

5,n m

ax=

15,

∆=

0.01

25

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0u*

Re

=10

0,Τ

=1.

5,n m

ax=

15,

∆=

0.00

625

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0u*

Re

=10

0,Τ

=1.

5,n m

ax=

15,

∆=

0.00

01

Con

v.G

ITT

UD

S3U

DS2

CD

SU

DS*

UD

S

Fig.

6.9:

Grá

ficos

doca

mpo

deve

loci

dade

com

para

ndo

ain

fluên

cia

dava

riaç

ãodo

parâ

met

roδ

.M

ante

ndo

todo

sos

outr

ospa

râm

etro

sco

nsta

ntes

(α=

1000

0,t 0

=0,

Re=

100,τ=

1,5

en

max

=15

).

105

As tabelas 6.30 e 6.31 mostram a convergência da velocidade em função da ordem

de truncamento nmax para δ = 0,00001 e Re = 1. Nota-se que, devido ao pequeno

valor de δ, a convergência é praticamente homogênea para todos os métodos. Esta

convergência melhora com o aumento de ξ, mostrando-se um pouco mais pobre nas

aproximações de baixa ordem como UDS e UDS*. A convergência também é melhor

para o caso de condição inicial mais suave (α= 50 e t0 = 0,5).

As tabelas 6.32 e 6.33 mostram os mesmos tipos de dados das tabelas anteriores

porém para δ = 0,001. Pode-se perceber que a formulação UDS2 se destaca, con-

vergindo com menos termos do que a solução por GITT para todas as posições da

condição inicial menos suave (α= 10000 e t0 = 0). Para ξ= 0,2; UDS2 converge com

6 algarismos com nmax = 80, enquanto a solução por GITT converge com nmax = 90;

para ξ = 0,8; a formulação UDS2 converge com 80 termos e a GITT converge com

mais de 100 termos.

Pode-se observar, nas tabelas 6.34 e 6.35, devido ao baixo número de Reynolds,

que a convergência das abordagens discretizadas de alta ordem se equivalem a solução

por GITT e as de baixa ordem são muito pobres. Isso acontece devido a maior rele-

vância dos termos difusivos, fazendo com que a solução sem discretização tenha uma

ótima convergência, com no máximo 50 termos.

As tabelas 6.36 e 6.37 mostram a convergência do campo de velocidade em função

de δ. Como pode ser visto, as aproximações de ordem superior convergem normal-

mente com δ = 0,001, enquanto que as aproximações de menor ordem precisam de

um δ menor que 0,00001. Além disso, pode-se observar uma tendência onde a con-

vergência piora com o aumento de ξ; porém, quando a condição inicial é menos suave

(α= 10000 e t0 = 0), UDS3, UDS2 e CDS, apesar de ordens de aproximações diferen-

tes, têm convergência similar.

As tabelas 6.38 e 6.39 mostram a convergência da velocidade em função de nmax

para α = 50 e t0 = 0,5 variando o tempo adimensional de 0,5 para 1,5. Enquanto

as tabelas 6.42 e 6.43 mostram resultados similares para α = 10000 e t0 = 0. Em

ambos os casos, pode-se observar que não há mudança significativa na convergência

106

Tab. 6.30: Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições eabordagens para α= 50, t0 = 0,5, δ= 0,00001, τ= 1 e Re = 1.

nmax UDS UDS* CDS UDS2 UDS3 GITTξ= 0,2 10 0,847714 0,847714 0,847714 0,847714 0,847714 0,847714

20 0,847763 0,847763 0,847764 0,847764 0,847764 0,84776430 0,847769 0,847769 0,847769 0,847769 0,847769 0,84776940 0,847771 0,847771 0,847771 0,847771 0,847771 0,84777150 0,847771 0,847771 0,847772 0,847772 0,847772 0,84777260 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,84777270 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,84777280 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,84777290 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772

100 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772Convergido 0,847772

ξ= 0,5 10 0,567644 0,567644 0,567644 0,567644 0,567644 0,56764420 0,567623 0,567622 0,567623 0,567623 0,567623 0,56762330 0,567626 0,567626 0,567627 0,567627 0,567627 0,56762740 0,567625 0,567625 0,567625 0,567625 0,567625 0,56762550 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762660 0,567625 0,567625 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762670 0,567626 0,567625 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762680 0,567626 0,567625 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762690 0,567626 0,567625 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626

100 0,567626 0,567625 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626Convergido 0,567626

ξ= 0,8 10 0,236325 0,236325 0,236325 0,236325 0,236325 0,23632520 0,236332 0,236332 0,236332 0,236332 0,236332 0,23633230 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633340 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633350 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633360 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633370 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633380 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633390 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333

100 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333Convergido 0,236333

da velocidade ao alterar o tempo; porém nota-se que a convergência piora para o caso

de condição inicial menos suave (α= 10000 e t0 = 0).

As tabelas 6.40, 6.41, 6.44 e 6.45 mostram dados similares aos anteriores porém a

convergência é mostrada em função de δ. Observa-se uma ligeira melhora na conver-

gência com o aumento do tempo adimensional τ.

107

Tab. 6.31: Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições eabordagens para α= 10000, t0 = 0, δ= 0,00001, τ= 1 e Re = 10.


20 0,961512 0,961513 0,961515 0,961515 0,961515 0,96151530 0,961532 0,961533 0,961535 0,961535 0,961535 0,96153540 0,961537 0,961538 0,961540 0,961540 0,961540 0,96154050 0,961539 0,961540 0,961542 0,961542 0,961542 0,96154260 0,961540 0,961541 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154370 0,961540 0,961541 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154380 0,961541 0,961541 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154390 0,961541 0,961542 0,961544 0,961544 0,961544 0,961544

100 0,961541 0,961542 0,961544 0,961544 0,961544 0,961544Convergido 0,961544

ξ= 0,5 10 0,700827 0,700834 0,700832 0,700832 0,700832 0,70083220 0,701224 0,701231 0,701230 0,701230 0,701230 0,70123030 0,701276 0,701284 0,701282 0,701282 0,701282 0,70128240 0,701287 0,701295 0,701293 0,701293 0,701293 0,70129350 0,701292 0,701300 0,701298 0,701298 0,701298 0,70129860 0,701294 0,701302 0,701300 0,701300 0,701300 0,70130070 0,701295 0,701303 0,701301 0,701301 0,701301 0,70130180 0,701296 0,701303 0,701302 0,701302 0,701302 0,70130290 0,701296 0,701304 0,701302 0,701302 0,701302 0,701302

100 0,701296 0,701304 0,701302 0,701302 0,701302 0,701302Convergido 0,701303

ξ= 0,8 10 0,226075 0,226086 0,226075 0,226075 0,226075 0,22607520 0,226360 0,226371 0,226361 0,226361 0,226361 0,22636130 0,226394 0,226405 0,226394 0,226394 0,226394 0,22639440 0,226403 0,226414 0,226403 0,226403 0,226403 0,22640350 0,226406 0,226417 0,226406 0,226406 0,226406 0,22640660 0,226407 0,226419 0,226408 0,226408 0,226408 0,22640870 0,226408 0,226419 0,226408 0,226408 0,226408 0,22640880 0,226409 0,226420 0,226409 0,226409 0,226409 0,22640990 0,226409 0,226420 0,226409 0,226409 0,226409 0,226409

100 0,226409 0,226420 0,226409 0,226409 0,226409 0,226409Convergido 0,226410

Assim como os casos anteriores, ocorre uma tendência na convergência dos resul-

tados em piorar em posições perto das condições de contorno, isso ocorre devido a

descontinuidade nesta região. Diversas tabelas para casos de Re = 1 e Re = 10 podem

ser encontradas no apêndice A deste trabalho.

108

Tab. 6.32: Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições eabordagens para α= 50, t0 = 0,5, δ= 0,001, τ= 1 e Re = 10.


20 0,996140 0,996140 0,996218 0,996218 0,996218 0,99621830 0,996142 0,996141 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621940 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621950 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621960 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621970 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621980 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621990 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219

100 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219Convergido 0,996219

ξ= 0,5 10 0,954117 0,954097 0,954686 0,954685 0,954686 0,95468620 0,954094 0,954074 0,954663 0,954662 0,954663 0,95466330 0,954096 0,954076 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466540 0,954096 0,954076 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466550 0,954096 0,954076 0,954666 0,954665 0,954665 0,95466560 0,954096 0,954076 0,954666 0,954665 0,954665 0,95466570 0,954096 0,954077 0,954666 0,954665 0,954665 0,95466580 0,954096 0,954076 0,954666 0,954665 0,954665 0,95466590 0,954096 0,954077 0,954666 0,954665 0,954665 0,954665

100 0,954096 0,954077 0,954666 0,954665 0,954665 0,954665Convergido 0,954665

ξ= 0,8 10 0,644558 0,644279 0,646012 0,646011 0,646012 0,64601220 0,644501 0,644222 0,645955 0,645954 0,645954 0,64595430 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595740 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595750 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595760 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595770 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595780 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595790 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,645957

100 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,645957Convergido 0,645957

109



20 0,961221 0,961310 0,961515 0,961515 0,961515 0,96151530 0,961241 0,961330 0,961535 0,961535 0,961535 0,96153540 0,961247 0,961335 0,961540 0,961540 0,961540 0,96154050 0,961249 0,961337 0,961542 0,961542 0,961542 0,96154260 0,961249 0,961338 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154370 0,961250 0,961338 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154380 0,961250 0,961338 0,961543 0,961544 0,961543 0,96154390 0,961250 0,961339 0,961544 0,961544 0,961544 0,961544

100 0,961250 0,961339 0,961544 0,961544 0,961544 0,961544Convergido 0,961544

ξ= 0,5 10 0,700262 0,701001 0,700831 0,700833 0,700832 0,70083220 0,700656 0,701393 0,701228 0,701230 0,701230 0,70123030 0,700708 0,701444 0,701280 0,701282 0,701282 0,70128240 0,700719 0,701455 0,701292 0,701293 0,701293 0,70129350 0,700724 0,701460 0,701297 0,701299 0,701298 0,70129860 0,700726 0,701462 0,701298 0,701300 0,701300 0,70130070 0,700727 0,701463 0,701299 0,701301 0,701301 0,70130180 0,700728 0,701464 0,701300 0,701302 0,701302 0,70130290 0,700728 0,701464 0,701300 0,701302 0,701302 0,701302

100 0,700728 0,701464 0,701301 0,701303 0,701302 0,701302Convergido 0,701303

ξ= 0,8 10 0,226051 0,227157 0,226074 0,226076 0,226075 0,22607520 0,226334 0,227439 0,226359 0,226361 0,226361 0,22636130 0,226368 0,227473 0,226393 0,226395 0,226394 0,22639440 0,226377 0,227481 0,226402 0,226404 0,226403 0,22640350 0,226380 0,227485 0,226405 0,226407 0,226406 0,22640660 0,226381 0,227486 0,226406 0,226408 0,226408 0,22640870 0,226382 0,227487 0,226407 0,226409 0,226408 0,22640880 0,226383 0,227487 0,226408 0,226410 0,226409 0,22640990 0,226383 0,227487 0,226408 0,226410 0,226409 0,226409

100 0,226383 0,227487 0,226408 0,226410 0,226409 0,226409Convergido 0,226410

110

Tab. 6.34: Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições eabordagens para α= 50, t0 = 0,5, x = 0,8, δ= 0,00625, τ= 1 e Re = 1.


20 0,847659 0,847617 0,847764 0,847764 0,847764 0,84776430 0,847665 0,847623 0,847769 0,847769 0,847769 0,84776940 0,847667 0,847624 0,847771 0,847771 0,847771 0,84777150 0,847667 0,847625 0,847771 0,847771 0,847771 0,84777260 0,847668 0,847625 0,847772 0,847772 0,847772 0,84777270 0,847668 0,847625 0,847772 0,847772 0,847772 0,84777280 0,847668 0,847625 0,847772 0,847772 0,847772 0,84777290 0,847668 0,847625 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772

100 0,847668 0,847626 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772Convergido 0,847772

ξ= 0,5 10 0,567503 0,567418 0,567644 0,567644 0,567644 0,56764420 0,567482 0,567397 0,567622 0,567623 0,567623 0,56762330 0,567485 0,567400 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762740 0,567484 0,567399 0,567625 0,567625 0,567625 0,56762550 0,567485 0,567400 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762660 0,567485 0,567400 0,567625 0,567626 0,567626 0,56762670 0,567485 0,567400 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762680 0,567485 0,567400 0,567625 0,567626 0,567626 0,56762690 0,567485 0,567400 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626

100 0,567485 0,567400 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626Convergido 0,567626

ξ= 0,8 10 0,236255 0,236198 0,236325 0,236325 0,236325 0,23632520 0,236261 0,236205 0,236332 0,236332 0,236332 0,23633230 0,236262 0,236205 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633340 0,236262 0,236205 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633350 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633360 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633370 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633380 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633390 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333

100 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333Convergido 0,236333

111



20 0,847632 0,847590 0,847736 0,847736 0,847736 0,84773630 0,847638 0,847596 0,847742 0,847742 0,847742 0,84774240 0,847639 0,847598 0,847743 0,847743 0,847743 0,84774350 0,847640 0,847598 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774460 0,847640 0,847598 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774470 0,847640 0,847598 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774480 0,847640 0,847599 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774490 0,847640 0,847599 0,847744 0,847744 0,847744 0,847744

100 0,847640 0,847599 0,847744 0,847744 0,847744 0,847744Convergido 0,847744

ξ= 0,5 10 0,567451 0,567367 0,567591 0,567591 0,567591 0,56759120 0,567430 0,567345 0,567570 0,567570 0,567570 0,56757030 0,567433 0,567349 0,567573 0,567573 0,567574 0,56757440 0,567432 0,567348 0,567572 0,567572 0,567573 0,56757350 0,567433 0,567349 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757360 0,567433 0,567348 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757370 0,567433 0,567348 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757380 0,567433 0,567348 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757390 0,567433 0,567348 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573

100 0,567433 0,567348 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573Convergido 0,567573

ξ= 0,8 10 0,236222 0,236165 0,236292 0,236292 0,236292 0,23629220 0,236229 0,236172 0,236299 0,236299 0,236299 0,23629930 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630040 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630050 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630060 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630070 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630080 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630090 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300

100 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300Convergido 0,236300

112

Tab. 6.36: Convergência da velocidade em função de δ para diversas posições e abor-dagens para α= 50, t0 = 0,5, nmax = 20 τ= 1 e Re = 10.

δ UDS UDS* CDS UDS2 UDS3ξ= 0,2 0,025 0,994138 0,994122 0,996301 0,996235 0,996219

0,0125 0,995214 0,995209 0,996239 0,996222 0,9962180,00625 0,995725 0,995723 0,996223 0,996219 0,9962180,001 0,996140 0,996140 0,996218 0,996218 0,996218

0,0001 0,996210 0,996210 0,996218 0,996218 0,9962180,00001 0,996217 0,996217 0,996218 0,996218 0,996218

GITT(n = 20) 0,996218

ξ= 0,5 0,025 0,940534 0,939834 0,955134 0,954570 0,9546630,0125 0,947570 0,947273 0,954780 0,954641 0,954663

0,00625 0,951111 0,950977 0,954692 0,954658 0,9546630,001 0,954094 0,954074 0,954663 0,954662 0,954663

0,0001 0,954606 0,954604 0,954663 0,954663 0,9546630,00001 0,954657 0,954657 0,954663 0,954663 0,954663

GITT(n = 20) 0,954663

ξ= 0,8 0,025 0,612569 0,605855 0,646529 0,645562 0,6458710,0125 0,628528 0,625106 0,646098 0,645878 0,645943

0,00625 0,637044 0,635317 0,645990 0,645938 0,6459530,001 0,644501 0,644222 0,645955 0,645954 0,645954

0,0001 0,645808 0,645780 0,645954 0,645954 0,6459540,00001 0,645939 0,645937 0,645954 0,645954 0,645954

GITT(n = 20) 0,645954

113

Tab. 6.37: Convergência da velocidade em função de δ para diversas posições e abor-dagens para α= 10000, t0 = 0, nmax = 20, τ= 1 e Re = 10.


0,0125 0,957912 0,959046 0,961522 0,961541 0,9615090,00625 0,959696 0,960256 0,961516 0,961522 0,9615140,001 0,961221 0,961310 0,961515 0,961515 0,961515

0,0001 0,961485 0,961494 0,961515 0,961515 0,9615150,00001 0,961512 0,961513 0,961515 0,961515 0,961515

GITT(n = 20) 0,961515

ξ= 0,5 0,025 0,687500 0,704257 0,700299 0,701134 0,7010380,0125 0,694201 0,702997 0,700996 0,701247 0,701208

0,00625 0,697675 0,702184 0,701171 0,701239 0,7012270,001 0,700656 0,701393 0,701228 0,701230 0,701230

0,0001 0,701172 0,701246 0,701230 0,701230 0,7012300,00001 0,701224 0,701231 0,701230 0,701230 0,701230

GITT(n = 20) 0,701230

ξ= 0,8 0,025 0,225401 0,249866 0,225624 0,226523 0,2262680,0125 0,225949 0,238984 0,226174 0,226436 0,226351

0,00625 0,226175 0,232903 0,226314 0,226383 0,2263590,001 0,226334 0,227439 0,226359 0,226361 0,226361

0,0001 0,226358 0,226469 0,226361 0,226361 0,2263610,00001 0,226360 0,226371 0,226361 0,226361 0,226361

GITT(n = 20) 0,226361

114

Tab. 6.38: Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições eabordagens para α= 50, t0 = 0,5 δ= 0,0125, τ= 0,5 e ℜ= 10.


20 0,986771 0,986763 0,988909 0,988870 0,988857 0,98885730 0,986774 0,986766 0,988912 0,988873 0,988860 0,98886040 0,986775 0,986767 0,988912 0,988874 0,988861 0,98886150 0,986775 0,986767 0,988912 0,988874 0,988861 0,98886160 0,986775 0,986767 0,988912 0,988874 0,988861 0,98886170 0,986775 0,986767 0,988912 0,988874 0,988861 0,98886180 0,986775 0,986767 0,988912 0,988874 0,988861 0,98886190 0,986775 0,986767 0,988912 0,988874 0,988861 0,988861

100 0,986775 0,986767 0,988912 0,988874 0,988861 0,988861Convergido 0,988861

ξ= 0,5 10 0,853420 0,854112 0,863390 0,863283 0,863301 0,86331020 0,853313 0,854030 0,863293 0,863181 0,863199 0,86320830 0,853315 0,854034 0,863297 0,863185 0,863203 0,86321340 0,853314 0,854033 0,863297 0,863184 0,863203 0,86321350 0,853315 0,854034 0,863297 0,863184 0,863203 0,86321360 0,853314 0,854034 0,863297 0,863184 0,863203 0,86321370 0,853315 0,854034 0,863297 0,863184 0,863203 0,86321380 0,853315 0,854034 0,863297 0,863184 0,863203 0,86321390 0,853315 0,854034 0,863297 0,863184 0,863203 0,863213

100 0,853315 0,854034 0,863297 0,863184 0,863203 0,863213Convergido 0,863213

ξ= 0,8 10 0,378792 0,384219 0,384756 0,384821 0,384857 0,38486820 0,378699 0,384165 0,384694 0,384751 0,384790 0,38480330 0,378698 0,384168 0,384697 0,384752 0,384792 0,38480540 0,378697 0,384167 0,384696 0,384752 0,384792 0,38480550 0,378697 0,384168 0,384696 0,384752 0,384792 0,38480560 0,378697 0,384168 0,384696 0,384752 0,384792 0,38480570 0,378697 0,384168 0,384696 0,384752 0,384792 0,38480580 0,378697 0,384168 0,384696 0,384752 0,384792 0,38480590 0,378697 0,384168 0,384696 0,384752 0,384792 0,384805

100 0,378697 0,384168 0,384696 0,384752 0,384792 0,384805Convergido 0,384805

115

Tab. 6.39: Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições eabordagens para α= 50, t0 = 0,5, δ= 0,0125, τ= 1,5 e Re = 10.


20 0,998106 0,998079 0,998631 0,998619 0,998619 0,99861830 0,998106 0,998079 0,998631 0,998619 0,998619 0,99861940 0,998106 0,998079 0,998631 0,998619 0,998619 0,99861950 0,998106 0,998079 0,998631 0,998619 0,998619 0,99861960 0,998106 0,998079 0,998631 0,998619 0,998619 0,99861970 0,998106 0,998079 0,998631 0,998619 0,998619 0,99861980 0,998106 0,998079 0,998631 0,998619 0,998619 0,99861990 0,998106 0,998079 0,998631 0,998619 0,998619 0,998619

100 0,998106 0,998079 0,998631 0,998619 0,998619 0,998619Convergido 0,998619

ξ= 0,5 10 0,973962 0,973364 0,979049 0,978885 0,978934 0,97893120 0,973944 0,973356 0,979035 0,978869 0,978919 0,97891630 0,973945 0,973356 0,979035 0,978870 0,978920 0,97891740 0,973945 0,973356 0,979035 0,978870 0,978920 0,97891750 0,973945 0,973357 0,979036 0,978870 0,978920 0,97891760 0,973945 0,973357 0,979036 0,978870 0,978920 0,97891770 0,973945 0,973357 0,979036 0,978870 0,978920 0,97891780 0,973945 0,973357 0,979036 0,978870 0,978920 0,97891790 0,973945 0,973357 0,979036 0,978870 0,978920 0,978917

100 0,973945 0,973357 0,979036 0,978870 0,978920 0,978917Convergido 0,978917

ξ= 0,8 10 0,712164 0,706312 0,732462 0,731836 0,732098 0,73210220 0,712173 0,706310 0,732464 0,731838 0,732100 0,73210430 0,712174 0,706312 0,732465 0,731839 0,732102 0,73210540 0,712174 0,706312 0,732465 0,731839 0,732102 0,73210550 0,712174 0,706312 0,732465 0,731839 0,732102 0,73210560 0,712174 0,706312 0,732465 0,731839 0,732102 0,73210570 0,712174 0,706312 0,732465 0,731839 0,732102 0,73210580 0,712174 0,706312 0,732465 0,731839 0,732102 0,73210590 0,712174 0,706312 0,732465 0,731839 0,732102 0,732105

100 0,712174 0,706312 0,732465 0,731839 0,732102 0,732105Convergido 0,732105

116

Tab. 6.40: Convergência da velocidade em função de δ para diversas posições e abor-dagens para α= 50, t0 = 0,5, nmax = 30, τ= 0,5 e Re = 10.


0,0125 0,986774 0,986766 0,988912 0,988873 0,9888600,00625 0,987821 0,987816 0,988873 0,988863 0,9888600,001 0,988694 0,988693 0,988860 0,988860 0,988860

0,0001 0,988844 0,988843 0,988860 0,988860 0,9888600,00001 0,988858 0,988858 0,988860 0,988860 0,988860

GITT(n = 30) 0,988860

ξ= 0,5 0,025 0,843925 0,845417 0,863550 0,863028 0,8631420,0125 0,853315 0,854034 0,863297 0,863185 0,863203

0,00625 0,858197 0,858547 0,863234 0,863209 0,8632120,001 0,862401 0,862456 0,863214 0,863213 0,863213

0,0001 0,863132 0,863137 0,863213 0,863213 0,8632130,00001 0,863205 0,863206 0,863213 0,863213 0,863213

GITT(n = 30) 0,863213

ξ= 0,8 0,025 0,372847 0,382928 0,384370 0,384469 0,3847050,0125 0,378698 0,384168 0,384697 0,384752 0,384792

0,00625 0,381719 0,384572 0,384778 0,384796 0,3848040,001 0,384307 0,384780 0,384805 0,384805 0,384805

0,0001 0,384756 0,384803 0,384805 0,384805 0,3848050,00001 0,384800 0,384805 0,384805 0,384805 0,384805

GITT(n = 30) 0,384805

117

Tab. 6.41: Convergência da velocidade em função de δ para diversas posições e abor-dagens para α= 50, t0 = 0,5, nmax = 30, τ= 1,5 e Re = 10.


0,0125 0,998106 0,998079 0,998631 0,998619 0,9986190,00625 0,998372 0,998361 0,998622 0,998619 0,9986190,001 0,998581 0,998579 0,998619 0,998619 0,998619

0,0001 0,998615 0,998615 0,998619 0,998619 0,9986190,00001 0,998618 0,998618 0,998619 0,998619 0,998619

GITT(n = 30) 0,998619

ξ= 0,5 0,025 0,968805 0,967439 0,979392 0,978744 0,9789420,0125 0,973945 0,973356 0,979035 0,978870 0,978920

0,00625 0,976456 0,976186 0,978947 0,978905 0,9789170,001 0,978527 0,978487 0,978918 0,978917 0,978917

0,0001 0,978878 0,978874 0,978917 0,978917 0,9789170,00001 0,978913 0,978913 0,978917 0,978917 0,978917

GITT(n = 30) 0,978917

ξ= 0,8 0,025 0,693916 0,682375 0,733548 0,731014 0,7320830,0125 0,712174 0,706312 0,732465 0,731839 0,732102

0,00625 0,721914 0,718963 0,732195 0,732040 0,7321050,001 0,730443 0,729968 0,732107 0,732104 0,732105

0,0001 0,731938 0,731891 0,732105 0,732105 0,7321050,00001 0,732088 0,732084 0,732105 0,732105 0,732105

GITT(n = 30) 0,732105

118

Tab. 6.42: Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições eabordagens para α= 10000, t0 = 0 δ= 0,0125, τ= 0,5 e Re = 10.


20 0,813986 0,818434 0,817962 0,818089 0,818105 0,81812930 0,814062 0,818503 0,818037 0,818173 0,818188 0,81821540 0,814081 0,818518 0,818054 0,818193 0,818207 0,81823650 0,814088 0,818523 0,818059 0,818200 0,818214 0,81824460 0,814091 0,818525 0,818061 0,818203 0,818216 0,81824870 0,814092 0,818526 0,818062 0,818204 0,818217 0,81825080 0,814093 0,818526 0,818062 0,818205 0,818218 0,81825190 0,814093 0,818526 0,818062 0,818205 0,818218 0,818251

100 0,814094 0,818526 0,818062 0,818206 0,818218 0,818252Convergido 0,818253

ξ= 0,5 10 0,245676 0,260340 0,244031 0,244421 0,244192 0,24419620 0,245847 0,260498 0,244218 0,244655 0,244403 0,24441230 0,245904 0,260543 0,244266 0,244717 0,244458 0,24447040 0,245909 0,260542 0,244265 0,244722 0,244461 0,24447450 0,245916 0,260546 0,244269 0,244729 0,244466 0,24448160 0,245917 0,260545 0,244268 0,244729 0,244466 0,24448170 0,245919 0,260545 0,244269 0,244732 0,244467 0,24448380 0,245919 0,260545 0,244268 0,244732 0,244467 0,24448390 0,245920 0,260545 0,244268 0,244733 0,244467 0,244483

100 0,245919 0,260545 0,244268 0,244733 0,244467 0,244483Convergido 0,244484

ξ= 0,8 10 0,021770 0,026135 0,021432 0,021609 0,021444 0,02144420 0,021825 0,026180 0,021475 0,021661 0,021490 0,02149130 0,021833 0,026185 0,021480 0,021668 0,021496 0,02149740 0,021836 0,026186 0,021481 0,021670 0,021497 0,02149850 0,021837 0,026187 0,021482 0,021671 0,021498 0,02149960 0,021838 0,026187 0,021482 0,021672 0,021498 0,02149970 0,021838 0,026187 0,021482 0,021672 0,021498 0,02149980 0,021838 0,026187 0,021482 0,021672 0,021498 0,02149990 0,021838 0,026187 0,021482 0,021672 0,021498 0,021500

100 0,021838 0,026187 0,021482 0,021673 0,021498 0,021500Convergido 0,021500

119

Tab. 6.43: Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições eabordagens para α= 10000, t0 = 0, δ= 0,0125, τ= 1,5 e Re = 10.


20 0,989069 0,989358 0,990753 0,990747 0,990733 0,99073430 0,989074 0,989363 0,990758 0,990752 0,990738 0,99073940 0,989075 0,989364 0,990759 0,990753 0,990739 0,99074150 0,989075 0,989364 0,990759 0,990753 0,990740 0,99074160 0,989075 0,989364 0,990759 0,990753 0,990740 0,99074170 0,989075 0,989364 0,990759 0,990754 0,990740 0,99074180 0,989075 0,989364 0,990759 0,990754 0,990740 0,99074190 0,989075 0,989364 0,990759 0,990754 0,990740 0,990741

100 0,989075 0,989364 0,990759 0,990754 0,990740 0,990742Convergido 0,990742

ξ= 0,5 10 0,899588 0,901836 0,908039 0,908039 0,908011 0,90801720 0,899726 0,901968 0,908186 0,908197 0,908166 0,90817430 0,899744 0,901982 0,908202 0,908216 0,908185 0,90819440 0,899748 0,901985 0,908205 0,908220 0,908189 0,90819850 0,899749 0,901986 0,908206 0,908221 0,908190 0,90820060 0,899750 0,901986 0,908206 0,908222 0,908191 0,90820170 0,899750 0,901986 0,908206 0,908222 0,908191 0,90820180 0,899750 0,901986 0,908206 0,908222 0,908191 0,90820290 0,899750 0,901986 0,908206 0,908222 0,908191 0,908202

100 0,899750 0,901986 0,908206 0,908222 0,908191 0,908202Convergido 0,908202

ξ= 0,8 10 0,514882 0,519248 0,525998 0,526189 0,526127 0,52614220 0,515148 0,519495 0,526295 0,526510 0,526441 0,52645930 0,515179 0,519520 0,526324 0,526546 0,526476 0,52649640 0,515187 0,519525 0,526330 0,526555 0,526484 0,52650650 0,515190 0,519526 0,526332 0,526558 0,526487 0,52650960 0,515191 0,519526 0,526332 0,526559 0,526487 0,52651170 0,515191 0,519526 0,526332 0,526559 0,526488 0,52651180 0,515192 0,519526 0,526332 0,526560 0,526488 0,52651290 0,515192 0,519526 0,526332 0,526560 0,526488 0,526512

100 0,515192 0,519526 0,526332 0,526561 0,526488 0,526512Convergido 0,526513

120

Tab. 6.44: Convergência da velocidade em função de δ para diversas posições e abor-dagens para α= 10000, t0 = 0, nmax = 30, τ= 0,5 e Re = 10.


0,0125 0,814062 0,818503 0,818037 0,818173 0,8181880,00625 0,816123 0,818380 0,818170 0,818208 0,8182110,001 0,817878 0,818244 0,818213 0,818214 0,818214

0,0001 0,818181 0,818218 0,818214 0,818214 0,8182150,00001 0,818211 0,818215 0,818215 0,818215 0,818215

GITT(n = 30) 0,818215

ξ= 0,5 0,025 0,247056 0,275325 0,243673 0,245205 0,2443610,0125 0,245904 0,260543 0,244266 0,244717 0,244458

0,00625 0,245227 0,252678 0,244419 0,244539 0,2444690,001 0,244597 0,245807 0,244468 0,244472 0,244470

0,0001 0,244483 0,244604 0,244470 0,244470 0,2444700,00001 0,244471 0,244483 0,244470 0,244470 0,244470

GITT(n = 30) 0,244470

ξ= 0,8 0,025 0,022148 0,031154 0,021433 0,022153 0,0214880,0125 0,021833 0,026185 0,021480 0,021668 0,021496

0,00625 0,021668 0,023802 0,021493 0,021540 0,0214970,001 0,021525 0,021860 0,021497 0,021498 0,021497

0,0001 0,021500 0,021533 0,021497 0,021497 0,0214970,00001 0,021497 0,021500 0,021497 0,021497 0,021497

GITT(n = 30) 0,021497

121

Tab. 6.45: Convergência da velocidade em função de δ para diversas posições e abor-dagens para α= 10000, t0 = 0, nmax = 30, τ= 1,5 e Re = 10.


0,0125 0,989074 0,989363 0,990758 0,990752 0,9907380,00625 0,989911 0,990051 0,990744 0,990743 0,9907390,001 0,990608 0,990629 0,990739 0,990739 0,990739

0,0001 0,990726 0,990728 0,990739 0,990739 0,9907390,00001 0,990738 0,990738 0,990739 0,990739 0,990739

GITT(n = 30) 0,990739

ξ= 0,5 0,025 0,891627 0,895906 0,908231 0,908222 0,9081180,0125 0,899744 0,901982 0,908202 0,908216 0,908185

0,00625 0,903927 0,905069 0,908196 0,908201 0,9081930,001 0,907505 0,907691 0,908194 0,908194 0,908194

0,0001 0,908125 0,908143 0,908194 0,908194 0,9081940,00001 0,908187 0,908189 0,908194 0,908194 0,908194

GITT(n = 30) 0,908194

ξ= 0,8 0,025 0,504657 0,512068 0,525816 0,526543 0,5263230,0125 0,515179 0,519520 0,526324 0,526546 0,526476

0,00625 0,520734 0,523085 0,526453 0,526513 0,5264940,001 0,525560 0,525963 0,526495 0,526497 0,526496

0,0001 0,526402 0,526443 0,526496 0,526496 0,5264960,00001 0,526487 0,526491 0,526496 0,526496 0,526496

GITT(n = 30) 0,526496

122

Capítulo 7

Conclusões

Este trabalho teve como objetivo principal analisar e comparar diversos tipos de

abordagem utilizando a Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) e mé-

todos baseados em discretizações, principalmente o Método de Volumes Finitos (FVM).

Assim como propor abordagens mistas envolvendo combinações de GITT e métodos

discretos. Para a comparação das metodologias, diversos problemas de advecção difu-

são foram considerados; convecção forçada de calor entre placas paralelas de fluidos

newtonianos e não newtonianos, convecção forçada em microcanais, convecção for-

çada em dutos retangulares, assim como a equação de Burgers não linear. Em todos os

casos, foi considerado o regime de escoamento laminar, desenvolvido hidrodinamica-

mente e em desenvolvimento térmico. As condições de contorno clássicas de Dirichlet

foram utilizadas. Todos os casos foram considerados sem difusão axial (Pe À 1).

Para a comparação de soluções do problema de convecção forçada em placas para-

lelas de fluidos newtonianos, utilizou-se GITT com o problema de autovalor clássico

de Helmholtz e o Método de Volumes Finitos. Foram calculados a temperatura adi-

mensional para diversas posições e o número de Nusselt local. Os resultados foram

apresentados e comparações sobre a convergência de ambos os métodos foram realiza-

das, mostrando as vantagens e desvantagens de cada método e em que situações cada

metodologia se destaca. Os resultados indicam regiões com diferentes taxas de conver-

gência, mostrando que a convergência da GITT melhora sensivelmente para posições

123

axiais distantes da entrada do canal, enquanto que o FVM permanece com convergên-

cia homogênea no domínio.

Para o segundo caso, convecção em microcanais, foram utilizadas duas abordagens

diferentes para a aplicação de GITT, utilizando dois problemas de autovalor distintos.

O problema de autovalor de Helmholtz e um problema de autovalor utilizando o campo

de velocidade como função peso foram considerados. Os valores encontrados para

número de Nusselt local foram apresentados e foi também realizada uma análise de

convergência de cada caso. Os resultados demonstraram que a formulação que utiliza

a velocidade como função peso supera a abordagem clássica de Helmholtz em termos

do número de equações do sistema de EDOs que precisam ser resolvidas para para

convergência, para todos os casos analisados. Este efeito pode ser associado ao fato de

que o problema de autovalor com a velocidade com função peso tem mais informações

do problema original do que a forma mais simples de Helmholtz.

Na solução da convecção forçada entre placas paralelas de fluidos não newtonianos

foi utilizado FVM, e para a aplicação da GITT foi novamente empregado o problema

clássico de Helmholtz. Dois tipos de fluidos não newtonianos foram considerados:

Power-law e plástico de Bingham. Na seção de resultados foram apresentados os nú-

meros de Nusselt e tabelas para a estimativa de erro para ambas metodologias. Os

resultados mostraram que, em geral, as soluções por Volumes Finitos precisam de uma

malha muito refinada para atingir a convergência, enquanto por GITT uma baixa ordem

de truncamento é necessária.

Para o problema da convecção forçada em dutos retangulares, além das soluções

clássicas de GITT e FVM, foi também realizada uma formulação mista envolvendo as

duas técnicas. Nesse caso, a solução pela transformada integral da equação de mo-

mentum é transformada completamente (CITT). São mostrados, ao final, tabelas apre-

sentando a convergência da velocidade em diversas posições e dos número de Nusselt

médio e local. Tabelas comparando os números de Nusselt com resultados encontrados

na literatura também é mostrada. Os resultados mostraram que, em geral, o perfil de

velocidade, o FVM requer uma malha muito refinada para atingir a convergência igual

124

à obtida com a abordagem de transformação integral com uma ordem de truncamento

relativamente pequena. Para obter o número de Nusselt, o FVM precisa de uma malha

ainda mais refinada, e a GITT também exige mais termos para obtenção de taxas de

convergência satisfatórias. Para as formulações mistas, os resultados revelam que o

esquema que emprega o FVM para resolver a equação de energia apresentaram maior

convergência para posições muito perto o entrada do canal, e para outras posições am-

bos os esquemas forneceram precisão similar. O resultado final mostra que as soluções

estão em boa concordância com a literatura para a região onde o desenvolvimento tér-

mico foi atingido.

Na comparação das soluções para a equação de Burgers não linear foram utiliza-

das quatro abordagens para GITT, utilizando o problema clássico de Helmholtz porém

alternando o problema filtro. Os problemas filtros utilizados são: Filtro linear, filtro

para o regime permanente linearizado, filtro para o regime permanente com velocidade

linear e filtro para o regime permanente real. Os resultados da análise mostram que a

convergência das soluções por GITT geralmente requerem um menor número de equa-

ções no sistema de EDO transformado do que o número de equações no sistema EDO

produzido pela discretização do FVM. Isto implica que a GITT pode consumir menos

memória que o FMV uma vez que menor quantidade de incógnitas são necessárias.

Por outro lado, um maior tempo de CPU por número de equações é observado nas

soluções por GITT devido ao maior acoplamento entre as equações transformadas.

Finalmente, uma formulação mista para a equação de Burgers foi proposta, uti-

lizando uma aproximação discreta para o termo advectivo. A transformação integral

do problema com o termo discreto foi realizada e cinco aproximações discretas foram

propostas: aproximação atrasada de primeira ordem, aproximação atrasada de primeira

ordem: formulação mista, aproximação centrada de segunda ordem, aproximação to-

talmente atrasada de segunda ordem e aproximação parcialmente atrasada de terceira

ordem. O principal objetivo dessa formulação é de tentar aprimorar a convergência de

GITT introduzindo uma difusão numérica nos termos advectivos. Foi observado que

as soluções com o termo advectivo discreto, UDS* e UDS, produzem uma significativa

125

redução na oscilação das soluções de maiores número de Reynolds.

Em todos os casos foi observado uma piora na convergência por GITT para as po-

sições próximas às condições de entrada. Isso ocorre devido a descontinuidade nesta

região. É importante frisar que todas as comparações realizadas entre FVM e GITT,

a integração da equação no método de FVM é sempre realizada somente na mesma

direção da transformação integral de GITT. Desse modo os sistemas de equações dife-

renciais de ambas metodologias são resolvidos utilizando a mesma rotina.

Todos os sistemas de equações diferenciais ordinárias foram solucionados pela ro-

tina numérica NDSolve do software Mathematica. Esse programa também foi utili-

zado no auxilio de manipulações simbólicas em todas as formulações.

Finalizando, observa-se que os problemas foram implementados com sucesso e

os resultados obtidos têm boa concordância com a literatura. Para trabalhos futuros,

pode-se sugerir a continuação no desenvolvimento de metodologias mistas com GITT e

métodos discretos em problemas mais complexos como as equações de Navier-Stokes.

Além disso, pode-se utilizar uma discretização (δ) não homogênea espacialmente e

diferentes problemas de autovalor e funções filtro.

126

Capítulo 8

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134

Apêndice A

Tabelas da Equação de Burgers - Abordagem Mista

Tab. A.1: Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições eabordagens para α= 50; t0 = 0,5; δ= 0,025; τ= 1 e Re = 1.


20 0,847349 0,847182 0,847762 0,847763 0,847762 0,84776430 0,847355 0,847188 0,847768 0,847769 0,847768 0,84776940 0,847357 0,847189 0,847770 0,847770 0,847770 0,84777150 0,847357 0,847190 0,847770 0,847771 0,847770 0,84777260 0,847357 0,847190 0,847770 0,847771 0,847770 0,84777270 0,847357 0,847190 0,847770 0,847771 0,847770 0,84777280 0,847357 0,847190 0,847770 0,847771 0,847771 0,84777290 0,847357 0,847190 0,847770 0,847771 0,847771 0,847772

100 0,847358 0,847190 0,847771 0,847771 0,847771 0,847772Convergido 0,847772

ξ= 0,5 10 0,567081 0,566746 0,567641 0,567642 0,567643 0,56764420 0,567060 0,566724 0,567619 0,567620 0,567622 0,56762330 0,567063 0,566728 0,567623 0,567624 0,567625 0,56762740 0,567062 0,566727 0,567622 0,567623 0,567624 0,56762550 0,567063 0,566728 0,567622 0,567624 0,567625 0,56762660 0,567062 0,566727 0,567622 0,567623 0,567625 0,56762670 0,567063 0,566727 0,567622 0,567623 0,567625 0,56762680 0,567062 0,566727 0,567622 0,567623 0,567625 0,56762690 0,567063 0,566727 0,567622 0,567623 0,567625 0,567626

100 0,567063 0,566727 0,567622 0,567623 0,567625 0,567626Convergido 0,567626

ξ= 0,8 10 0,236042 0,235818 0,236323 0,236324 0,236325 0,23632520 0,236049 0,235825 0,236330 0,236331 0,236332 0,23633230 0,236050 0,235826 0,236330 0,236331 0,236333 0,23633340 0,236050 0,235826 0,236330 0,236332 0,236333 0,23633350 0,236050 0,235826 0,236331 0,236332 0,236333 0,23633360 0,236050 0,235826 0,236331 0,236332 0,236333 0,23633370 0,236050 0,235826 0,236331 0,236332 0,236333 0,23633380 0,236050 0,235826 0,236331 0,236332 0,236333 0,23633390 0,236050 0,235826 0,236331 0,236332 0,236333 0,236333

100 0,236050 0,235826 0,236331 0,236332 0,236333 0,236333Convergido 0,236333

135



20 0,847659 0,847617 0,847764 0,847764 0,847764 0,84776430 0,847665 0,847623 0,847769 0,847769 0,847769 0,84776940 0,847667 0,847624 0,847771 0,847771 0,847771 0,84777150 0,847667 0,847625 0,847771 0,847771 0,847771 0,84777260 0,847668 0,847625 0,847772 0,847772 0,847772 0,84777270 0,847668 0,847625 0,847772 0,847772 0,847772 0,84777280 0,847668 0,847625 0,847772 0,847772 0,847772 0,84777290 0,847668 0,847625 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772

100 0,847668 0,847626 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772Convergido 0,847772

ξ= 0,5 10 0,567503 0,567418 0,567644 0,567644 0,567644 0,56764420 0,567482 0,567397 0,567622 0,567623 0,567623 0,56762330 0,567485 0,567400 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762740 0,567484 0,567399 0,567625 0,567625 0,567625 0,56762550 0,567485 0,567400 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762660 0,567485 0,567400 0,567625 0,567626 0,567626 0,56762670 0,567485 0,567400 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762680 0,567485 0,567400 0,567625 0,567626 0,567626 0,56762690 0,567485 0,567400 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626

100 0,567485 0,567400 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626Convergido 0,567626

ξ= 0,8 10 0,236255 0,236198 0,236325 0,236325 0,236325 0,23632520 0,236261 0,236205 0,236332 0,236332 0,236332 0,23633230 0,236262 0,236205 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633340 0,236262 0,236205 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633350 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633360 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633370 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633380 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633390 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333

100 0,236262 0,236206 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333Convergido 0,236333

136



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100 0,236322 0,236313 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333Convergido 0,236333

137



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100 0,847770 0,847770 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772Convergido 0,847772

ξ= 0,5 10 0,567642 0,567640 0,567644 0,567644 0,567644 0,56764420 0,567620 0,567619 0,567623 0,567623 0,567623 0,56762330 0,567624 0,567623 0,567627 0,567627 0,567627 0,56762740 0,567623 0,567622 0,567625 0,567625 0,567625 0,56762550 0,567624 0,567622 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762660 0,567623 0,567622 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762670 0,567624 0,567622 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762680 0,567623 0,567622 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762690 0,567624 0,567622 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626

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138



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100 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772 0,847772Convergido 0,847772

ξ= 0,5 10 0,567644 0,567644 0,567644 0,567644 0,567644 0,56764420 0,567623 0,567622 0,567623 0,567623 0,567623 0,56762330 0,567626 0,567626 0,567627 0,567627 0,567627 0,56762740 0,567625 0,567625 0,567625 0,567625 0,567625 0,56762550 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762660 0,567625 0,567625 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762670 0,567626 0,567625 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762680 0,567626 0,567625 0,567626 0,567626 0,567626 0,56762690 0,567626 0,567625 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626

100 0,567626 0,567625 0,567626 0,567626 0,567626 0,567626Convergido 0,567626

ξ= 0,8 10 0,236325 0,236325 0,236325 0,236325 0,236325 0,23632520 0,236332 0,236332 0,236332 0,236332 0,236332 0,23633230 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633340 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633350 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633360 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633370 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633380 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,23633390 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333

100 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333Convergido 0,236333

139



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100 0,994140 0,994124 0,996302 0,996236 0,996220 0,996219Convergido 0,996219

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140



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ξ= 0,5 10 0,951137 0,950997 0,954715 0,954681 0,954686 0,95468620 0,951111 0,950977 0,954692 0,954658 0,954663 0,95466330 0,951113 0,950979 0,954694 0,954660 0,954665 0,95466540 0,951113 0,950979 0,954694 0,954660 0,954665 0,95466550 0,951113 0,950979 0,954694 0,954660 0,954665 0,95466560 0,951113 0,950979 0,954694 0,954660 0,954665 0,95466570 0,951113 0,950979 0,954694 0,954660 0,954665 0,95466580 0,951113 0,950979 0,954694 0,954660 0,954665 0,95466590 0,951113 0,950979 0,954694 0,954660 0,954665 0,954665

100 0,951113 0,950979 0,954694 0,954660 0,954665 0,954665Convergido 0,954665

ξ= 0,8 10 0,637101 0,635367 0,646047 0,645996 0,646010 0,64601220 0,637044 0,635317 0,645990 0,645938 0,645953 0,64595430 0,637046 0,635320 0,645993 0,645941 0,645956 0,64595740 0,637046 0,635320 0,645993 0,645941 0,645956 0,64595750 0,637046 0,635320 0,645993 0,645941 0,645956 0,64595760 0,637046 0,635320 0,645993 0,645941 0,645956 0,64595770 0,637046 0,635320 0,645993 0,645941 0,645956 0,64595780 0,637046 0,635320 0,645993 0,645941 0,645956 0,64595790 0,637046 0,635320 0,645993 0,645941 0,645956 0,645957

100 0,637046 0,635320 0,645993 0,645941 0,645956 0,645957Convergido 0,645957

141



20 0,996140 0,996140 0,996218 0,996218 0,996218 0,99621830 0,996142 0,996141 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621940 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621950 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621960 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621970 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621980 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621990 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219

100 0,996142 0,996142 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219Convergido 0,996219

ξ= 0,5 10 0,954117 0,954097 0,954686 0,954685 0,954686 0,95468620 0,954094 0,954074 0,954663 0,954662 0,954663 0,95466330 0,954096 0,954076 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466540 0,954096 0,954076 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466550 0,954096 0,954076 0,954666 0,954665 0,954665 0,95466560 0,954096 0,954076 0,954666 0,954665 0,954665 0,95466570 0,954096 0,954077 0,954666 0,954665 0,954665 0,95466580 0,954096 0,954076 0,954666 0,954665 0,954665 0,95466590 0,954096 0,954077 0,954666 0,954665 0,954665 0,954665

100 0,954096 0,954077 0,954666 0,954665 0,954665 0,954665Convergido 0,954665

ξ= 0,8 10 0,644558 0,644279 0,646012 0,646011 0,646012 0,64601220 0,644501 0,644222 0,645955 0,645954 0,645954 0,64595430 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595740 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595750 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595760 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595770 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595780 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,64595790 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,645957

100 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957 0,645957Convergido 0,645957

142



20 0,996210 0,996210 0,996218 0,996218 0,996218 0,99621830 0,996211 0,996211 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621940 0,996211 0,996211 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621950 0,996212 0,996212 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621960 0,996212 0,996212 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621970 0,996212 0,996212 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621980 0,996212 0,996212 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621990 0,996212 0,996212 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219

100 0,996212 0,996212 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219Convergido 0,996219

ξ= 0,5 10 0,954629 0,954627 0,954686 0,954686 0,954686 0,95468620 0,954606 0,954604 0,954663 0,954663 0,954663 0,95466330 0,954608 0,954606 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466540 0,954608 0,954606 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466550 0,954608 0,954606 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466560 0,954608 0,954606 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466570 0,954608 0,954606 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466580 0,954608 0,954606 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466590 0,954608 0,954606 0,954665 0,954665 0,954665 0,954665

100 0,954608 0,954606 0,954665 0,954665 0,954665 0,954665Convergido 0,954665

ξ= 0,8 10 0,645866 0,645838 0,646012 0,646012 0,646012 0,64601220 0,645808 0,645780 0,645954 0,645954 0,645954 0,64595430 0,645811 0,645784 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595740 0,645811 0,645784 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595750 0,645812 0,645784 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595760 0,645812 0,645784 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595770 0,645812 0,645784 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595780 0,645812 0,645784 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595790 0,645812 0,645784 0,645957 0,645957 0,645957 0,645957

100 0,645812 0,645784 0,645957 0,645957 0,645957 0,645957Convergido 0,645957

143



20 0,996217 0,996217 0,996218 0,996218 0,996218 0,99621830 0,996218 0,996218 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621940 0,996218 0,996218 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621950 0,996218 0,996218 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621960 0,996218 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621970 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621980 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219 0,99621990 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219

100 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219 0,996219Convergido 0,996219

ξ= 0,5 10 0,954680 0,954680 0,954686 0,954686 0,954686 0,95468620 0,954657 0,954657 0,954663 0,954663 0,954663 0,95466330 0,954659 0,954659 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466540 0,954659 0,954659 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466550 0,954659 0,954659 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466560 0,954659 0,954659 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466570 0,954659 0,954659 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466580 0,954659 0,954659 0,954665 0,954665 0,954665 0,95466590 0,954659 0,954659 0,954665 0,954665 0,954665 0,954665

100 0,954659 0,954659 0,954665 0,954665 0,954665 0,954665Convergido 0,954665

ξ= 0,8 10 0,645997 0,645994 0,646012 0,646012 0,646012 0,64601220 0,645939 0,645937 0,645954 0,645954 0,645954 0,64595430 0,645943 0,645940 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595740 0,645943 0,645940 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595750 0,645943 0,645940 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595760 0,645943 0,645940 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595770 0,645943 0,645940 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595780 0,645943 0,645940 0,645957 0,645957 0,645957 0,64595790 0,645943 0,645940 0,645957 0,645957 0,645957 0,645957

100 0,645943 0,645940 0,645957 0,645957 0,645957 0,645957Convergido 0,645957

144

Tab. A.11: Convergência da velocidade em função de δ para diversas posições e abor-dagens para α= 50; t0 = 0,5; nmax = 10; τ= 1 e Re = 1.


0,0125 0,847507 0,847422 0,847714 0,847714 0,8477140,00625 0,847610 0,847568 0,847714 0,847714 0,8477140,001 0,847698 0,847691 0,847714 0,847714 0,847714

0,0001 0,847713 0,847712 0,847714 0,847714 0,8477140,00001 0,847714 0,847714 0,847714 0,847714 0,847714

GITT(n = 10) 0,847714

ξ= 0,5 0,025 0,567081 0,566746 0,567641 0,567642 0,5676430,0125 0,567362 0,567193 0,567643 0,567644 0,567644

0,00625 0,567503 0,567418 0,567644 0,567644 0,5676440,001 0,567621 0,567608 0,567644 0,567644 0,567644

0,0001 0,567642 0,567640 0,567644 0,567644 0,5676440,00001 0,567644 0,567644 0,567644 0,567644 0,567644

GITT(n = 10) 0,567644

ξ= 0,8 0,025 0,236042 0,235818 0,236323 0,236324 0,2363250,0125 0,236184 0,236071 0,236325 0,236325 0,236325

0,00625 0,236255 0,236198 0,236325 0,236325 0,2363250,001 0,236314 0,236305 0,236325 0,236325 0,236325

0,0001 0,236324 0,236323 0,236325 0,236325 0,2363250,00001 0,236325 0,236325 0,236325 0,236325 0,236325

GITT(n = 10) 0,236325

145



0,0125 0,847556 0,847471 0,847763 0,847763 0,8477640,00625 0,847659 0,847617 0,847764 0,847764 0,8477640,001 0,847747 0,847740 0,847764 0,847764 0,847764

0,0001 0,847762 0,847761 0,847764 0,847764 0,8477640,00001 0,847763 0,847763 0,847764 0,847764 0,847764

GITT(n = 20) 0,847764

ξ= 0,5 0,025 0,567060 0,566724 0,567619 0,567620 0,5676220,0125 0,567341 0,567172 0,567622 0,567622 0,567623

0,00625 0,567482 0,567397 0,567622 0,567623 0,5676230,001 0,567600 0,567586 0,567623 0,567623 0,567623

0,0001 0,567620 0,567619 0,567623 0,567623 0,5676230,00001 0,567623 0,567622 0,567623 0,567623 0,567623

GITT(n = 20) 0,567623

ξ= 0,8 0,025 0,236049 0,235825 0,236330 0,236331 0,2363320,0125 0,236191 0,236077 0,236332 0,236332 0,236332

0,00625 0,236261 0,236205 0,236332 0,236332 0,2363320,001 0,236321 0,236312 0,236332 0,236332 0,236332

0,0001 0,236331 0,236330 0,236332 0,236332 0,2363320,00001 0,236332 0,236332 0,236332 0,236332 0,236332

GITT(n = 20) 0,236332

146



0,0125 0,847561 0,847477 0,847769 0,847769 0,8477690,00625 0,847665 0,847623 0,847769 0,847769 0,8477690,001 0,847753 0,847746 0,847769 0,847769 0,847769

0,0001 0,847768 0,847767 0,847769 0,847769 0,8477690,00001 0,847769 0,847769 0,847769 0,847769 0,847769

GITT(n = 30) 0,847769

ξ= 0,5 0,025 0,567063 0,566728 0,567623 0,567624 0,5676250,0125 0,567344 0,567175 0,567626 0,567626 0,567626

0,00625 0,567485 0,567400 0,567626 0,567626 0,5676260,001 0,567604 0,567590 0,567627 0,567627 0,567627

0,0001 0,567624 0,567623 0,567627 0,567627 0,5676270,00001 0,567626 0,567626 0,567627 0,567627 0,567627

GITT(n = 30) 0,567627

ξ= 0,8 0,025 0,236050 0,235826 0,236330 0,236331 0,2363330,0125 0,236191 0,236078 0,236332 0,236333 0,236333

0,00625 0,236262 0,236205 0,236333 0,236333 0,2363330,001 0,236322 0,236313 0,236333 0,236333 0,236333

0,0001 0,236332 0,236331 0,236333 0,236333 0,2363330,00001 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333 0,236333

GITT(n = 30) 0,236333

147



0,0125 0,995205 0,995200 0,996232 0,996216 0,9962110,00625 0,995718 0,995716 0,996216 0,996212 0,9962110,001 0,996134 0,996133 0,996211 0,996211 0,996211

0,0001 0,996203 0,996203 0,996211 0,996211 0,9962110,00001 0,996210 0,996210 0,996211 0,996211 0,996211

GITT(n = 10) 0,996211

ξ= 0,5 0,025 0,940565 0,939847 0,955153 0,954597 0,9546880,0125 0,947597 0,947291 0,954802 0,954665 0,954686

0,00625 0,951137 0,950997 0,954715 0,954681 0,9546860,001 0,954117 0,954097 0,954686 0,954685 0,954686

0,0001 0,954629 0,954627 0,954686 0,954686 0,9546860,00001 0,954680 0,954680 0,954686 0,954686 0,954686

GITT(n = 10) 0,954686

ξ= 0,8 0,025 0,612622 0,605883 0,646575 0,645631 0,6459320,0125 0,628585 0,625148 0,646153 0,645937 0,646001

0,00625 0,637101 0,635367 0,646047 0,645996 0,6460100,001 0,644558 0,644279 0,646012 0,646011 0,646012

0,0001 0,645866 0,645838 0,646012 0,646012 0,6460120,00001 0,645997 0,645994 0,646012 0,646012 0,646012

GITT(n = 10) 0,646012

148



0,0125 0,995214 0,995209 0,996239 0,996222 0,9962180,00625 0,995725 0,995723 0,996223 0,996219 0,9962180,001 0,996140 0,996140 0,996218 0,996218 0,996218

0,0001 0,996210 0,996210 0,996218 0,996218 0,9962180,00001 0,996217 0,996217 0,996218 0,996218 0,996218

GITT(n = 20) 0,996218

ξ= 0,5 0,025 0,940534 0,939834 0,955134 0,954570 0,9546630,0125 0,947570 0,947273 0,954780 0,954641 0,954663

0,00625 0,951111 0,950977 0,954692 0,954658 0,9546630,001 0,954094 0,954074 0,954663 0,954662 0,954663

0,0001 0,954606 0,954604 0,954663 0,954663 0,9546630,00001 0,954657 0,954657 0,954663 0,954663 0,954663

GITT(n = 20) 0,954663

ξ= 0,8 0,025 0,612569 0,605855 0,646529 0,645562 0,6458710,0125 0,628528 0,625106 0,646098 0,645878 0,645943

0,00625 0,637044 0,635317 0,645990 0,645938 0,6459530,001 0,644501 0,644222 0,645955 0,645954 0,645954

0,0001 0,645808 0,645780 0,645954 0,645954 0,6459540,00001 0,645939 0,645937 0,645954 0,645954 0,645954

GITT(n = 20) 0,645954

149



0,0125 0,995215 0,995210 0,996240 0,996223 0,9962190,00625 0,995727 0,995725 0,996224 0,996220 0,9962190,001 0,996142 0,996141 0,996219 0,996219 0,996219

0,0001 0,996211 0,996211 0,996219 0,996219 0,9962190,00001 0,996218 0,996218 0,996219 0,996219 0,996219

GITT(n = 30) 0,996219

ξ= 0,5 0,025 0,940534 0,939835 0,955135 0,954570 0,9546650,0125 0,947571 0,947275 0,954782 0,954643 0,954665

0,00625 0,951113 0,950979 0,954694 0,954660 0,9546650,001 0,954096 0,954076 0,954665 0,954665 0,954665

0,0001 0,954608 0,954606 0,954665 0,954665 0,9546650,00001 0,954659 0,954659 0,954665 0,954665 0,954665

GITT(n = 30) 0,954665

ξ= 0,8 0,025 0,612568 0,605856 0,646530 0,645560 0,6458720,0125 0,628529 0,625108 0,646101 0,645880 0,645946

0,00625 0,637046 0,635320 0,645993 0,645941 0,6459560,001 0,644504 0,644226 0,645958 0,645957 0,645957

0,0001 0,645811 0,645784 0,645957 0,645957 0,6459570,00001 0,645943 0,645940 0,645957 0,645957 0,645957

GITT(n = 30) 0,645957

150

.

Tab. A.17: Convergência da velocidade em função de nmax para diversas posições eabordagens para α= 10000; t0 = 0; δ= 0,025; τ= 1 e Re = 1.


20 0,847323 0,847158 0,847735 0,847735 0,847735 0,84773630 0,847329 0,847163 0,847740 0,847741 0,847740 0,84774240 0,847331 0,847165 0,847742 0,847742 0,847742 0,84774350 0,847331 0,847165 0,847742 0,847743 0,847742 0,84774460 0,847331 0,847165 0,847742 0,847743 0,847743 0,84774470 0,847331 0,847165 0,847743 0,847743 0,847743 0,84774480 0,847331 0,847166 0,847743 0,847743 0,847743 0,84774490 0,847331 0,847166 0,847743 0,847743 0,847743 0,847744

100 0,847332 0,847166 0,847743 0,847743 0,847743 0,847744Convergido 0,847744

ξ= 0,5 10 0,567032 0,566699 0,567588 0,567589 0,567590 0,56759120 0,567010 0,566678 0,567566 0,567568 0,567569 0,56757030 0,567014 0,566681 0,567570 0,567571 0,567573 0,56757440 0,567013 0,566680 0,567569 0,567570 0,567571 0,56757350 0,567013 0,566681 0,567569 0,567571 0,567572 0,56757360 0,567013 0,566680 0,567569 0,567570 0,567572 0,56757370 0,567013 0,566681 0,567569 0,567570 0,567572 0,56757380 0,567013 0,566680 0,567569 0,567570 0,567572 0,56757390 0,567013 0,566681 0,567569 0,567570 0,567572 0,567573

100 0,567013 0,566680 0,567569 0,567570 0,567572 0,567573Convergido 0,567573

ξ= 0,8 10 0,236011 0,235789 0,236290 0,236291 0,236292 0,23629220 0,236018 0,235796 0,236296 0,236298 0,236299 0,23629930 0,236019 0,235796 0,236297 0,236298 0,236299 0,23630040 0,236019 0,235796 0,236297 0,236298 0,236300 0,23630050 0,236019 0,235796 0,236297 0,236298 0,236300 0,23630060 0,236019 0,235796 0,236297 0,236298 0,236300 0,23630070 0,236019 0,235796 0,236297 0,236298 0,236300 0,23630080 0,236019 0,235796 0,236297 0,236298 0,236300 0,23630090 0,236019 0,235796 0,236297 0,236298 0,236300 0,236300

100 0,236019 0,235796 0,236297 0,236298 0,236300 0,236300Convergido 0,236300

151



20 0,847632 0,847590 0,847736 0,847736 0,847736 0,84773630 0,847638 0,847596 0,847742 0,847742 0,847742 0,84774240 0,847639 0,847598 0,847743 0,847743 0,847743 0,84774350 0,847640 0,847598 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774460 0,847640 0,847598 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774470 0,847640 0,847598 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774480 0,847640 0,847599 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774490 0,847640 0,847599 0,847744 0,847744 0,847744 0,847744

100 0,847640 0,847599 0,847744 0,847744 0,847744 0,847744Convergido 0,847744

ξ= 0,5 10 0,567451 0,567367 0,567591 0,567591 0,567591 0,56759120 0,567430 0,567345 0,567570 0,567570 0,567570 0,56757030 0,567433 0,567349 0,567573 0,567573 0,567574 0,56757440 0,567432 0,567348 0,567572 0,567572 0,567573 0,56757350 0,567433 0,567349 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757360 0,567433 0,567348 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757370 0,567433 0,567348 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757380 0,567433 0,567348 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757390 0,567433 0,567348 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573

100 0,567433 0,567348 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573Convergido 0,567573

ξ= 0,8 10 0,236222 0,236165 0,236292 0,236292 0,236292 0,23629220 0,236229 0,236172 0,236299 0,236299 0,236299 0,23629930 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630040 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630050 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630060 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630070 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630080 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630090 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300

100 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300Convergido 0,236300

152



20 0,847719 0,847713 0,847736 0,847736 0,847736 0,84773630 0,847725 0,847718 0,847742 0,847742 0,847742 0,84774240 0,847727 0,847720 0,847743 0,847743 0,847743 0,84774350 0,847727 0,847720 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774460 0,847727 0,847721 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774470 0,847727 0,847721 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774480 0,847728 0,847721 0,847744 0,847744 0,847744 0,84774490 0,847728 0,847721 0,847744 0,847744 0,847744 0,847744

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100 0,567550 0,567537 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573Convergido 0,567573

ξ= 0,8 10 0,236281 0,236272 0,236292 0,236292 0,236292 0,23629220 0,236288 0,236279 0,236299 0,236299 0,236299 0,23629930 0,236289 0,236280 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630040 0,236289 0,236280 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630050 0,236289 0,236280 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630060 0,236289 0,236280 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630070 0,236289 0,236280 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630080 0,236289 0,236280 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630090 0,236289 0,236280 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300

100 0,236289 0,236280 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300Convergido 0,236300

153



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100 0,847743 0,847742 0,847744 0,847744 0,847744 0,847744Convergido 0,847744

ξ= 0,5 10 0,567589 0,567588 0,567591 0,567591 0,567591 0,56759120 0,567568 0,567566 0,567570 0,567570 0,567570 0,56757030 0,567571 0,567570 0,567574 0,567574 0,567574 0,56757440 0,567570 0,567569 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757350 0,567571 0,567569 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757360 0,567571 0,567569 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757370 0,567571 0,567569 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757380 0,567571 0,567569 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757390 0,567571 0,567569 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573

100 0,567571 0,567569 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573Convergido 0,567573

ξ= 0,8 10 0,236291 0,236290 0,236292 0,236292 0,236292 0,23629220 0,236298 0,236297 0,236299 0,236299 0,236299 0,23629930 0,236299 0,236298 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630040 0,236299 0,236298 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630050 0,236299 0,236298 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630060 0,236299 0,236298 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630070 0,236299 0,236298 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630080 0,236299 0,236298 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630090 0,236299 0,236298 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300

100 0,236299 0,236298 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300Convergido 0,236300

154



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100 0,847744 0,847744 0,847744 0,847744 0,847744 0,847744Convergido 0,847744

ξ= 0,5 10 0,567591 0,567591 0,567591 0,567591 0,567591 0,56759120 0,567570 0,567569 0,567570 0,567570 0,567570 0,56757030 0,567573 0,567573 0,567574 0,567574 0,567574 0,56757440 0,567572 0,567572 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757350 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757360 0,567573 0,567572 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757370 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757380 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573 0,56757390 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573

100 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573 0,567573Convergido 0,567573

ξ= 0,8 10 0,236292 0,236292 0,236292 0,236292 0,236292 0,23629220 0,236299 0,236299 0,236299 0,236299 0,236299 0,23629930 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630040 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630050 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630060 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630070 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630080 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,23630090 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300

100 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300Convergido 0,236300

155



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100 0,954471 0,956771 0,961561 0,961613 0,961481 0,961544Convergido 0,961544

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100 0,687542 0,704271 0,700315 0,701184 0,701072 0,701302Convergido 0,701303

ξ= 0,8 10 0,225207 0,249699 0,225414 0,226240 0,226013 0,22607520 0,225401 0,249866 0,225624 0,226523 0,226268 0,22636130 0,225424 0,249874 0,225634 0,226546 0,226286 0,22639440 0,225430 0,249873 0,225633 0,226553 0,226288 0,22640350 0,225432 0,249872 0,225632 0,226557 0,226288 0,22640660 0,225433 0,249872 0,225631 0,226560 0,226289 0,22640870 0,225434 0,249872 0,225631 0,226561 0,226289 0,22640880 0,225434 0,249872 0,225631 0,226561 0,226289 0,22640990 0,225434 0,249872 0,225631 0,226561 0,226289 0,226409

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156



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100 0,959724 0,960283 0,961544 0,961551 0,961543 0,961544Convergido 0,961544

ξ= 0,5 10 0,697307 0,701825 0,700781 0,700839 0,700830 0,70083220 0,697675 0,702184 0,701171 0,701239 0,701227 0,70123030 0,697725 0,702231 0,701221 0,701291 0,701279 0,70128240 0,697736 0,702240 0,701231 0,701303 0,701290 0,70129350 0,697741 0,702244 0,701235 0,701308 0,701295 0,70129860 0,697743 0,702245 0,701236 0,701310 0,701297 0,70130070 0,697745 0,702246 0,701237 0,701311 0,701298 0,70130180 0,697745 0,702246 0,701237 0,701311 0,701298 0,70130290 0,697746 0,702246 0,701238 0,701312 0,701299 0,701302

100 0,697746 0,702246 0,701238 0,701312 0,701299 0,701302Convergido 0,701303

ξ= 0,8 10 0,225906 0,232638 0,226033 0,226095 0,226074 0,22607520 0,226175 0,232903 0,226314 0,226383 0,226359 0,22636130 0,226208 0,232933 0,226346 0,226418 0,226393 0,22639440 0,226217 0,232940 0,226354 0,226427 0,226402 0,22640350 0,226220 0,232943 0,226356 0,226430 0,226405 0,22640660 0,226222 0,232944 0,226357 0,226432 0,226406 0,22640870 0,226223 0,232944 0,226358 0,226433 0,226407 0,22640880 0,226223 0,232944 0,226358 0,226433 0,226407 0,22640990 0,226224 0,232944 0,226358 0,226433 0,226407 0,226409

100 0,226224 0,232944 0,226358 0,226434 0,226408 0,226409Convergido 0,226410

157



20 0,961221 0,961310 0,961515 0,961515 0,961515 0,96151530 0,961241 0,961330 0,961535 0,961535 0,961535 0,96153540 0,961247 0,961335 0,961540 0,961540 0,961540 0,96154050 0,961249 0,961337 0,961542 0,961542 0,961542 0,96154260 0,961249 0,961338 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154370 0,961250 0,961338 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154380 0,961250 0,961338 0,961543 0,961544 0,961543 0,96154390 0,961250 0,961339 0,961544 0,961544 0,961544 0,961544

100 0,961250 0,961339 0,961544 0,961544 0,961544 0,961544Convergido 0,961544

ξ= 0,5 10 0,700262 0,701001 0,700831 0,700833 0,700832 0,70083220 0,700656 0,701393 0,701228 0,701230 0,701230 0,70123030 0,700708 0,701444 0,701280 0,701282 0,701282 0,70128240 0,700719 0,701455 0,701292 0,701293 0,701293 0,70129350 0,700724 0,701460 0,701297 0,701299 0,701298 0,70129860 0,700726 0,701462 0,701298 0,701300 0,701300 0,70130070 0,700727 0,701463 0,701299 0,701301 0,701301 0,70130180 0,700728 0,701464 0,701300 0,701302 0,701302 0,70130290 0,700728 0,701464 0,701300 0,701302 0,701302 0,701302

100 0,700728 0,701464 0,701301 0,701303 0,701302 0,701302Convergido 0,701303

ξ= 0,8 10 0,226051 0,227157 0,226074 0,226076 0,226075 0,22607520 0,226334 0,227439 0,226359 0,226361 0,226361 0,22636130 0,226368 0,227473 0,226393 0,226395 0,226394 0,22639440 0,226377 0,227481 0,226402 0,226404 0,226403 0,22640350 0,226380 0,227485 0,226405 0,226407 0,226406 0,22640660 0,226381 0,227486 0,226406 0,226408 0,226408 0,22640870 0,226382 0,227487 0,226407 0,226409 0,226408 0,22640880 0,226383 0,227487 0,226408 0,226410 0,226409 0,22640990 0,226383 0,227487 0,226408 0,226410 0,226409 0,226409

100 0,226383 0,227487 0,226408 0,226410 0,226409 0,226409Convergido 0,226410

158



20 0,961485 0,961494 0,961515 0,961515 0,961515 0,96151530 0,961505 0,961514 0,961535 0,961535 0,961535 0,96153540 0,961511 0,961519 0,961540 0,961540 0,961540 0,96154050 0,961513 0,961521 0,961542 0,961542 0,961542 0,96154260 0,961513 0,961522 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154370 0,961514 0,961523 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154380 0,961514 0,961523 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154390 0,961514 0,961523 0,961544 0,961544 0,961544 0,961544

100 0,961514 0,961523 0,961544 0,961544 0,961544 0,961544Convergido 0,961544

ξ= 0,5 10 0,700775 0,700849 0,700832 0,700832 0,700832 0,70083220 0,701172 0,701246 0,701230 0,701230 0,701230 0,70123030 0,701224 0,701298 0,701282 0,701282 0,701282 0,70128240 0,701236 0,701310 0,701293 0,701293 0,701293 0,70129350 0,701241 0,701315 0,701298 0,701298 0,701298 0,70129860 0,701242 0,701316 0,701300 0,701300 0,701300 0,70130070 0,701244 0,701318 0,701301 0,701301 0,701301 0,70130180 0,701244 0,701318 0,701302 0,701302 0,701302 0,70130290 0,701245 0,701318 0,701302 0,701302 0,701302 0,701302

100 0,701245 0,701319 0,701302 0,701302 0,701302 0,701302Convergido 0,701303

ξ= 0,8 10 0,226073 0,226184 0,226075 0,226075 0,226075 0,22607520 0,226358 0,226469 0,226361 0,226361 0,226361 0,22636130 0,226392 0,226503 0,226394 0,226394 0,226394 0,22639440 0,226400 0,226511 0,226403 0,226403 0,226403 0,22640350 0,226404 0,226515 0,226406 0,226406 0,226406 0,22640660 0,226405 0,226516 0,226408 0,226408 0,226408 0,22640870 0,226406 0,226517 0,226408 0,226408 0,226408 0,22640880 0,226406 0,226517 0,226409 0,226409 0,226409 0,22640990 0,226407 0,226517 0,226409 0,226409 0,226409 0,226409

100 0,226407 0,226518 0,226409 0,226409 0,226409 0,226409Convergido 0,226410

159



20 0,961512 0,961513 0,961515 0,961515 0,961515 0,96151530 0,961532 0,961533 0,961535 0,961535 0,961535 0,96153540 0,961537 0,961538 0,961540 0,961540 0,961540 0,96154050 0,961539 0,961540 0,961542 0,961542 0,961542 0,96154260 0,961540 0,961541 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154370 0,961540 0,961541 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154380 0,961541 0,961541 0,961543 0,961543 0,961543 0,96154390 0,961541 0,961542 0,961544 0,961544 0,961544 0,961544

100 0,961541 0,961542 0,961544 0,961544 0,961544 0,961544Convergido 0,961544

ξ= 0,5 10 0,700827 0,700834 0,700832 0,700832 0,700832 0,70083220 0,701224 0,701231 0,701230 0,701230 0,701230 0,70123030 0,701276 0,701284 0,701282 0,701282 0,701282 0,70128240 0,701287 0,701295 0,701293 0,701293 0,701293 0,70129350 0,701292 0,701300 0,701298 0,701298 0,701298 0,70129860 0,701294 0,701302 0,701300 0,701300 0,701300 0,70130070 0,701295 0,701303 0,701301 0,701301 0,701301 0,70130180 0,701296 0,701303 0,701302 0,701302 0,701302 0,70130290 0,701296 0,701304 0,701302 0,701302 0,701302 0,701302

100 0,701296 0,701304 0,701302 0,701302 0,701302 0,701302Convergido 0,701303

ξ= 0,8 10 0,226075 0,226086 0,226075 0,226075 0,226075 0,22607520 0,226360 0,226371 0,226361 0,226361 0,226361 0,22636130 0,226394 0,226405 0,226394 0,226394 0,226394 0,22639440 0,226403 0,226414 0,226403 0,226403 0,226403 0,22640350 0,226406 0,226417 0,226406 0,226406 0,226406 0,22640660 0,226407 0,226419 0,226408 0,226408 0,226408 0,22640870 0,226408 0,226419 0,226408 0,226408 0,226408 0,22640880 0,226409 0,226420 0,226409 0,226409 0,226409 0,22640990 0,226409 0,226420 0,226409 0,226409 0,226409 0,226409

100 0,226409 0,226420 0,226409 0,226409 0,226409 0,226409Convergido 0,226410

160

Tab. A.27: Convergência da velocidade em função de δ para diversas posições e abor-dagens para α= 10000; t0 = 0; nmax = 10; τ= 1 e Re = 1.


0,0125 0,847480 0,847396 0,847686 0,847686 0,8476860,00625 0,847583 0,847541 0,847686 0,847686 0,8476860,001 0,847670 0,847663 0,847686 0,847686 0,847686

0,0001 0,847685 0,847684 0,847686 0,847686 0,8476860,00001 0,847686 0,847686 0,847686 0,847686 0,847686

GITT(n = 10) 0,847686

ξ= 0,5 0,025 0,567032 0,566699 0,567588 0,567589 0,5675900,0125 0,567311 0,567143 0,567590 0,567591 0,567591

0,00625 0,567451 0,567367 0,567591 0,567591 0,5675910,001 0,567569 0,567555 0,567591 0,567591 0,567591

0,0001 0,567589 0,567588 0,567591 0,567591 0,5675910,00001 0,567591 0,567591 0,567591 0,567591 0,567591

GITT(n = 10) 0,847686

ξ= 0,8 0,025 0,236011 0,235789 0,236290 0,236291 0,2362920,0125 0,236152 0,236039 0,236291 0,236292 0,236292

0,00625 0,236222 0,236165 0,236292 0,236292 0,2362920,001 0,236281 0,236272 0,236292 0,236292 0,236292

0,0001 0,236291 0,236290 0,236292 0,236292 0,2362920,00001 0,236292 0,236292 0,236292 0,236292 0,236292

GITT(n = 10) 0,847686

161



0,0125 0,847529 0,847445 0,847736 0,847736 0,8477360,00625 0,847632 0,847590 0,847736 0,847736 0,8477360,001 0,847719 0,847713 0,847736 0,847736 0,847736

0,0001 0,847734 0,847734 0,847736 0,847736 0,8477360,00001 0,847736 0,847736 0,847736 0,847736 0,847736

GITT(n = 20) 0,847736

ξ= 0,5 0,025 0,567010 0,566678 0,567566 0,567568 0,5675690,0125 0,567290 0,567122 0,567569 0,567569 0,567570

0,00625 0,567430 0,567345 0,567570 0,567570 0,5675700,001 0,567547 0,567534 0,567570 0,567570 0,567570

0,0001 0,567568 0,567566 0,567570 0,567570 0,5675700,00001 0,567570 0,567569 0,567570 0,567570 0,567570

GITT(n = 20) 0,567570

ξ= 0,8 0,025 0,236018 0,235796 0,236296 0,236298 0,2362990,0125 0,236159 0,236046 0,236298 0,236299 0,236299

0,00625 0,236229 0,236172 0,236299 0,236299 0,2362990,001 0,236288 0,236279 0,236299 0,236299 0,236299

0,0001 0,236298 0,236297 0,236299 0,236299 0,2362990,00001 0,236299 0,236299 0,236299 0,236299 0,236299

GITT(n = 20) 0,236299

162



0,0125 0,847535 0,847451 0,847741 0,847742 0,8477420,00625 0,847638 0,847596 0,847742 0,847742 0,8477420,001 0,847725 0,847718 0,847742 0,847742 0,847742

0,0001 0,847740 0,847739 0,847742 0,847742 0,8477420,00001 0,847742 0,847741 0,847742 0,847742 0,847742

GITT(n = 30) 0,847742

ξ= 0,5 0,025 0,567014 0,566681 0,567570 0,567571 0,5675730,0125 0,567293 0,567126 0,567573 0,567573 0,567574

0,00625 0,567433 0,567349 0,567573 0,567573 0,5675740,001 0,567551 0,567538 0,567574 0,567574 0,567574

0,0001 0,567571 0,567570 0,567574 0,567574 0,5675740,00001 0,567573 0,567573 0,567574 0,567574 0,567574

GITT(n = 30) 0,567574

ξ= 0,8 0,025 0,236019 0,235796 0,236297 0,236298 0,2362990,0125 0,236159 0,236047 0,236299 0,236299 0,236300

0,00625 0,236230 0,236173 0,236300 0,236300 0,2363000,001 0,236289 0,236280 0,236300 0,236300 0,236300

0,0001 0,236299 0,236298 0,236300 0,236300 0,2363000,00001 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300 0,236300

GITT(n = 30) 0,236300

163



0,0125 0,957746 0,958885 0,961356 0,961369 0,9613360,00625 0,959525 0,960087 0,961345 0,961349 0,9613400,001 0,961048 0,961137 0,961341 0,961341 0,961341

0,0001 0,961312 0,961321 0,961341 0,961341 0,9613410,00001 0,961338 0,961339 0,961341 0,961341 0,961341

GITT(n = 10) 0,961341

ξ= 0,5 0,025 0,687250 0,704045 0,700004 0,700757 0,7006820,0125 0,693869 0,702682 0,700625 0,700845 0,700814

0,00625 0,697307 0,701825 0,700781 0,700839 0,7008300,001 0,700262 0,701001 0,700831 0,700833 0,700832

0,0001 0,700775 0,700849 0,700832 0,700832 0,7008320,00001 0,700827 0,700834 0,700832 0,700832 0,700832

GITT(n = 10) 0,700832

ξ= 0,8 0,025 0,225207 0,249699 0,225414 0,226240 0,2260130,0125 0,225703 0,238748 0,225909 0,226142 0,226068

0,00625 0,225906 0,232638 0,226033 0,226095 0,2260740,001 0,226051 0,227157 0,226074 0,226076 0,226075

0,0001 0,226073 0,226184 0,226075 0,226075 0,2260750,00001 0,226075 0,226086 0,226075 0,226075 0,226075

GITT(n = 10) 0,226075

164



0,0125 0,957912 0,959046 0,961522 0,961541 0,9615090,00625 0,959696 0,960256 0,961516 0,961522 0,9615140,001 0,961221 0,961310 0,961515 0,961515 0,961515

0,0001 0,961485 0,961494 0,961515 0,961515 0,9615150,00001 0,961512 0,961513 0,961515 0,961515 0,961515

GITT(n = 20) 0,961515

ξ= 0,5 0,025 0,687500 0,704257 0,700299 0,701134 0,7010380,0125 0,694201 0,702997 0,700996 0,701247 0,701208

0,00625 0,697675 0,702184 0,701171 0,701239 0,7012270,001 0,700656 0,701393 0,701228 0,701230 0,701230

0,0001 0,701172 0,701246 0,701230 0,701230 0,7012300,00001 0,701224 0,701231 0,701230 0,701230 0,701230

GITT(n = 20) 0,701230

ξ= 0,8 0,025 0,225401 0,249866 0,225624 0,226523 0,2262680,0125 0,225949 0,238984 0,226174 0,226436 0,226351

0,00625 0,226175 0,232903 0,226314 0,226383 0,2263590,001 0,226334 0,227439 0,226359 0,226361 0,226361

0,0001 0,226358 0,226469 0,226361 0,226361 0,2263610,00001 0,226360 0,226371 0,226361 0,226361 0,226361

GITT(n = 20) 0,226361

165



0,0125 0,957931 0,959063 0,961540 0,961561 0,9615280,00625 0,959716 0,960275 0,961536 0,961542 0,9615340,001 0,961241 0,961330 0,961535 0,961535 0,961535

0,0001 0,961505 0,961514 0,961535 0,961535 0,9615350,00001 0,961532 0,961533 0,961535 0,961535 0,961535

GITT(n = 30) 0,961535

ξ= 0,5 0,025 0,687533 0,704273 0,700318 0,701169 0,7010690,0125 0,694247 0,703034 0,701038 0,701299 0,701257

0,00625 0,697725 0,702231 0,701221 0,701291 0,7012790,001 0,700708 0,701444 0,701280 0,701282 0,701282

0,0001 0,701224 0,701298 0,701282 0,701282 0,7012820,00001 0,701276 0,701284 0,701282 0,701282 0,701282

GITT(n = 30) 0,701282

ξ= 0,8 0,025 0,225424 0,249874 0,225634 0,226546 0,2262860,0125 0,225980 0,239007 0,226201 0,226471 0,226383

0,00625 0,226208 0,232933 0,226346 0,226418 0,2263930,001 0,226368 0,227473 0,226393 0,226395 0,226394

0,0001 0,226392 0,226503 0,226394 0,226394 0,2263940,00001 0,226394 0,226405 0,226394 0,226394 0,226394

GITT(n = 30) 0,226394

166

desenvolvimento de soluÇÕes para problemas de

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