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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
CIVIL
RODOLFO CARLOS ALVARADO MONTOYA
DESENVOLVIMENTO DE ALGORITMO E
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
PARA A ANÁLISE DINÂMICA DE PONTES
FERROVIÁRIAS CONSIDERANDO INTERAÇÃO
VEÍCULO-ESTRUTURA
Belém
2009
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
CIVIL
RODOLFO CARLOS ALVARADO MONTOYA
DESENVOLVIMENTO DE ALGORITMO E
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
PARA A ANÁLISE DINÂMICA DE PONTES
FERROVIÁRIAS CONSIDERANDO INTERAÇÃO
VEÍCULO-ESTRUTURA
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Civil,
como requisito para a obtenção do título
de Mestre em Engenharia Civil.
Orientador: Remo Magalhães de Souza
Belém
2009
iii
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
Biblioteca Central/UFPA, Belém - PA
MOISÉS MESSIAS SÁ DA CUNHA
Montoya, Rodolfo Carlos Alvarado, 1981– Desenvolvimento de algoritmo e implementação computacional para a análise dinâmica de pontes ferroviárias considerando interação veículo-estrutura / Rodolfo Carlos Alvarado Montoya ; orientador, Remo Magalhães de Souza. – 2009.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Pará, Instituto de
Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Belém, 2009.
1. Engenharia de estruturas. 2. Pontes ferroviárias. 3. Dinâmica
estrutural. 4. Análise modal. I. Título.
CDD: 22. ed. 624.17
iv
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
CIVIL
RODOLFO CARLOS ALVARADO MONTOYA
DESENVOLVIMENTO DE ALGORITMO E
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
PARA A ANÁLISE DINÂMICA DE PONTES
FERROVIÁRIOS CONSIDERANDO INTERAÇÃO
VEÍCULO-ESTRUTURA
Aprovado em ..........de ........................de ..............
BANCA EXAMINADORA
______________________________
Prof. Ph.D. Remo Magalhães de Souza
Presidente e Orientador/PPGEC-UFPA
______________________________
Prof. Dra. Regina Augusta Campos Sampaio
Examinardor Interno/PPGEC-UFPA
______________________________
Prof. Dr. Newton Sure Soeiro
Examinardor Externo/PPGEM-UFPA
______________________________
Prof. Dr. Ronaldson José de F. M. Carneiro
Examinardor Interno/PPGEC-UFPA
.
Belém
2009
v
Dedicatória
Aos meus pais Herminia e Rodolfo, à minha
esposa Caroline e aos meus filhos.
vi
Agradecimentos
Ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil pela oportunidade, ao
corpo docente desse programa, em particular ao professor Remo Magalhães de Souza,
meu orientador.
À minha esposa Caroline que é minha força, meu espírito de luta e minha
companheira eterna. Em todo este tempo vencemos, perdemos e nos levantamos juntos,
e apesar de ter passado tantas coisas, teremos que passar tantas mais e onde estivermos
sempre estaremos unidos. Nesta vida cheia de permissões imposta por nós mesmos, não
me permitirei estar sem você mais. Ao Cainã e Caíque, que sempre serão meu motivo
de superação, minha alegria e meu respeito.
À minha mãe Herminia e meu pai Rodolfo que sempre serão meu modelo de
vida a seguir. A Maribel, Claudia, Luciana e Ivan, que compreenderam todas minhas
decisões, ajudaram com informações e sempre esperaram muito de mim. Ao Carlos e
Miguel dos quais absorvi muitos conhecimentos de vida.
À minha sogra Celme, pela ajuda incondicional.
À Vale e o Núcleo de Instrumentação e Computação Aplicado a Engenharia
(NICAE) da Universidade Federal do Pará (UFPA), por permitir-me participar do
desenvolvimento de novas metodologias de avaliação da integridade das pontes na
Estrada de Ferro Carajás.
A CAPES pelo apoio financeiro dispensado para elaboração desta dissertação.
vii
A vida dá o que peço
viii
RESUMO
Rodolfo Montoya. Desenvolvimento de Algoritmo e Implementação
Computacional Para a Análise Dinâmica de Pontes Ferroviários considerando a
interação veículo-estrutura. Belém, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil,
Universidade Federal do Pará, 2009, 134 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia
Civil).
Este trabalho apresenta uma metodologia numérica para a análise estrutural dinâmica de
pontes ferroviárias, considerando a interação entre a estrutura e veículo. Mostram-se
todas as deduções para obter as equações de movimento do veículo, considerando desde
os tipos de veículos mais simples, tais como os representados por cargas concentradas
móveis, até os que representam a interação completa (com consideração de massa,
rigidez e amortecimento do veículo).
Foram desenvolvidas também as equações que descrevem o movimento de todo o
sistema estrutural (estrutura mais veículo) considerando os diferentes tipos de veículos e
as irregularidades da via. Apresentam-se também desenvolvimentos analíticos para
vigas isostáticas baseadas na teoria de Euler-Bernoulli, sujeitas a cargas móveis.
Ademais, é apresentado o método clássico de análise dinâmica para pontes, baseado na
integração temporal dos modos de vibração da estrutura e um método que leva em conta
a interação completa, considerando-se todos os graus de liberdade do modelo estrutural
e do veículo.
São mostrados as implementações computacionais destes modelos, e são elaborados
testes de validação com aplicações em pontes ferroviárias, analisando-se a influência da
interação entre estrutura e veículo, a influência das irregularidades na via, os tempos de
execução para os modelos, a possibilidade de ocorrência de ressonância para veículos
que trafeguem em alta velocidade, e aspectos relativos ao coeficiente de amplificação
dinâmica.
Observa-se que os parâmetros que posuem a maior influência são a massa e o
amortecimento do veículo.
ix
O veículo correspondente à análise que apresentou melhor desempenho (relação entre
precisão e tempo de processamento) foi o modelo simplificado.
Pode-se observar também que as maiores amplificações dinâmicas da estrutura
geralmente são produzidas anteriormente ao instante de saída do veículo, o que pode ser
interpretado como a aplicação de um impacto sobre a estrutura.
Finalmente, apresentam-se algumas considerações sobre o trabalho elaborado e
sugerem-se vários aspectos que poderão ser desenvolvidos no futuro.
Palavras-Chave: Pontes Ferroviárias; Análise dinâmica, Análise modal; Interação
veículo-estrutura.
x
ABSTRACT
Rodolfo Montoya. Algorithm Development and Computer Implementation for
Dynamic Analysis of Railway Bridges Considering Vehicle Structure Interaction.
Belém, Graduate Program in Civil Engineering, Federal University of Pará, 2009. 134
p. Master Thesis (Master’s Degree in Civil Engineering).
This work presents a numerical procedure for dynamic structural analysis of railway
bridges, considering the interaction between structure and vehicle. All derivations
necessary for obtaining the equations of motion of the vehicle are presented,
considering several types of vehicles: from the simplest models, such as those
represented by moving concentrated loads up to those which represent a complete
interaction (considering the mass, stiffness and damping of the vehicle).
The equations that describe the movement of the whole system (structure plus vehicle),
considering different types of vehicle models and irregularities of the track, are also
presented. In addition, analytical solutions for isostatic beams based on the Euler-
Bernoulli theory, subject to moving loads, are also developed. Moreover, this work also
presents the traditional method for dynamic analysis of bridges, based on the temporal
integration of the structure vibration modes, as well as a method which take into
account the complete vehicle-structure interaction, considering all degrees of freedom
of the structural model and vehicle.
The implementations of these computational models are shown, and some validation
tests were performed, with railway bridges, analyzing the influence of the interaction
between structure and vehicle, the influence of irregularities of the line, the execution
time for each model, the possibility of resonance for high speed vehicles, and other
aspects related to the dynamic amplification factor.
Observe that the parameters that most influence are the mass and damping of the
vehicle.
The vehicle that got better results due to the cost-benefit model was simplified.
xi
One can also observe that the larger dynamic amplifications of the structure are usually
produced prior to the instant of exit from the vehicle, which can be interpreted as
applying an impact on the structure.
The calculation methods based on the use of impact coefficient in the current version of
the standard are valid for dimensioning of structures where vehicles travel with speed
relatively low. When the speed is high, this methodology is not acceptable.
Finally some comments are made concerning the work that was developed and possible
future developments are proposed.
Keywords: Railway Bridge; Dynamic Analysis; Modal Analysis; Interaction Vehicle-
Structure.
xii
RESUMEN
Rodolfo Montoya. Desarrollo de Algoritmo e Implementación Computacional
Para el Análisis Dinámico de Puentes Ferroviarios considerando la Interacción
Vehículo-Estructura. Belém, Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Federal de Pará,
2009 134 p. Tésis (Maestría en Ingeniería Civil).
Este trabajo muestra uma metodología numérica para el análisis dinámico estructural de
puentes de ferrocarril, teniendo en cuenta la interacción entre la estructura y el
vehículo. Son mostradas todas las deducciones de las ecuaciones de movimiento del
vehículo, teniendo en cuenta los tipos de vehículos desde simples, como los
representados por una carga concentrada móvil, hasta los que representan la interacción
completa (con la consideración de la masa, rigidez y amortiguamiento de vehículo).
También se desarrolló las ecuaciones que describen el movimiento de la estructura,
teniendo en cuenta los tipos de vehículos y las irregularidades de la vía. Son mostrados
os desarrollos analíticos de vigas isostáticas basado en la teoría de Euler-Bernoulli.
Además son mostrados los métodos tradicionales para el análisis dinámico de puentes,
sobre la base de la integración temporal de los modos de vibración de la estructura y
com la integración total de los grados de libertad y el modelo estructural del vehículo.
Se muestra el desarrollo de estos modelos computacionales, en las aplicaciones de
puentes de ferrocarril, analizando la influencia de la interacción entre la estructura y el
vehículo, la influencia de las irregularidades de vía, los tiempos de ejecución para los
modelos, las posibilidades de que suceda resonancia para el tráfico de automóviles de
alta velocidad y los aspectos de el coeficiente de impacto.
Observamos que los parámetros que influencian más son la masa y el amortiguamiento
del vehículo.
El vehículo que obtuvimos mejores resultados en función al costo-beneficio fue el
modelo simplificado.
xiii
Se puede observar también que las mayores amplificaciones dinámicas de la estructura
generalmente son producidas anteriormente al instante de la salida del vehículo, lo que
puede ser interpretado como la aplicación de un impacto sobre la estructura.
Finalmente, se presentan algunas consideraciones sobre el trabajo elaborado y se
sujieren vários aspectos que poderan ser desarrollados en el futuro.
Palabras-Clave: Puentes de Ferrocarril; Análisis dinámico, Análisis modal; Interacción
vehículo-estructura.
xiv
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – APRESENTAÇÃO ................................................................................ 1
1.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 1
1.2 OBJETIVOS ............................................................................................................. 2
1.3 JUSTIFICATIVA ..................................................................................................... 2
1.4 METODOLOGIA ..................................................................................................... 3
1.5 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................. 6
1.6 CONTEÚDO DA DISSERTAÇÃO ....................................................................... 10 CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DINÂMICA E MODAL DE ESTRUTURAS
APORTICADAS ............................................................................................................ 12
2.1 FORMULAÇÃO DO ELEMENTO DE VIGA ...................................................... 12
2.2 MATRIZES DO ELEMENTO ............................................................................... 17
2.3 MATRIZES DO ELEMENTO NO SISTEMA GLOBAL ..................................... 19
2.4 MATRIZES DA ESTRUTURA ............................................................................. 21
2.5 ANALISE MODAL................................................................................................ 24 CAPÍTULO 3 – MODELOS PARA A ANÁLISE DA INTERAÇÃO VEÍCULO
ESTRUTURA ................................................................................................................. 28
3.1 PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT E AS EQUAÇÕES DE LAGRANGE ............... 28
3.2 MODELOS DO VEÍCULO .................................................................................... 37 3.2.1 Modelos sem interação veículo-estrutura ....................................................... 37 3.2.2 Modelos com interação veículo-estrutura....................................................... 38
3.3 MODELAGEM DAS IRREGULARIDADES DA VIA ........................................ 53 CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA DE SOLUÇÃO ...................................................... 55
4.1 SOLUÇÃO EM PROBLEMAS SEM INTERAÇÃO ............................................ 55 4.1.1 Modelo com carregamento pontual ................................................................ 55 4.1.2 Modelo com carregamento distribuído ........................................................... 61
4.2 SOLUÇÃO EM PROBLEMAS COM INTERAÇÃO ........................................... 63
4.3 SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA PROBLEMAS COM INTERAÇÃO VEÍCULO-
ESTRUTURA ......................................................................................................... 67 CAPÍTULO 5 – DESENVOLVIMENTO DOS ALGORITMOS COMPUTACIONAIS
........................................................................................................................................ 73
5.1 MÓDULO GERAL PARA ANÁLISE ESTÁTICA .............................................. 73
5.2 MÓDULO PARA A SOLUÇÃO DE VETORES PRÓPRIOS .............................. 81
5.3 MÓDULO PARA A SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
CONSIDERANDO A INTERAÇÃO ..................................................................... 93 CAPÍTULO 6 – TESTES DE VALIDAÇÃO DOS ALGORITMOS E EXEMPLOS DE
APLICAÇÃO ............................................................................................................... 103
6.1 TESTES PARA O ALGORITMO DA ANÁLISE ESTÁTICA........................... 103
6.2 TESTES PARA O ALGORITMO DA ANÁLISE MODAL ............................... 104
xv
6.3 TESTES PARA O ALGORITMO DA ANÁLISE DINÂMICA ......................... 106
6.4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS .... 115 CAPÍTULO 7 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
...................................................................................................................................... 122
xvi
Lista de Figuras
Figura 1-1 - Modelo com carregamento móvel pontual.......................................... 4
Figura 1-2 - Modelo com carregamento móvel distribuído .................................... 5
Figura 1-3 - Modelo com massa pontual................................................................. 5
Figura 1-4 - Modelo com interação simplificada .................................................... 6
Figura 1-5 - Modelos com interação completa tipo I e II ....................................... 6
Figura 2-1 - Barra com carregamentos distribuídos qx e qy ................................. 12
Figura 2-2 - Elemento com carregamento qx e elemento com carregamento qy .. 12
Figura 2-3 - Deslocamentos para um elemento de barra....................................... 15
Figura 2-4 - Deslocamentos e forças no sistema global e local ............................ 20
Figura 2-5 - Deslocamentos globais na barra e na estrutura ................................. 21
Figura 3-1 - Forças de restrição sobre uma partícula ............................................ 30
Figura 3-2 - Modelo massa-mola-amortecedor ..................................................... 36
Figura 3-3 - Viga simplesmente apoiada com elementos de interação de massa . 39
Figura 3-4 - Modelo de interação simplificado ..................................................... 39
Figura 3-5 - Deslocamentos para um elemento interação simplificado ................ 40
Figura 3-6 - Modelo de interação completa tipo I................................................. 42
Figura 3-7 - Descrição da parte inferior do modelo .............................................. 42
Figura 3-8 - Deslocamentos para um elemento interação completa tipo I ............ 43
Figura 3-9 - Modelo de interação completa tipo II ............................................... 46
Figura 3-10 - Descrição truque traseiro e dianteiro do modelo completo tipo II .. 46
Figura 3-11 - Deslocamentos para um elemento interação completa tipo II ........ 47
Figura 3-12 – Modelo considerado para as irregularidades de via ....................... 54
Figura 4-1 - Viga simplesmente apoiada com carregamento pontual ................... 56
Figura 4-2 - Viga simplesmente apoiada com carregamento distribuído ............. 62
Figura 4-3 - Elemento Bernoulli com interação .................................................... 67
xvii
Figura 4-4 - Casos de veículos sobre estrutura ..................................................... 69
Figura 6-1 - Introdução de dados ........................................................................ 104
Figura 6-2 - Modos de vibração de uma viga simplesmente apoiada ................. 105
Figura 6-3 - Modos de vibração de um pórtico plano ......................................... 106
Figura 6-4 – Análise dinâmica de um problema com um grau de liberdade, com
passo de tempo de 0.1 segundo ........................................................................... 107
Figura 6-5 - Análise dinâmica de um problema com um grau de liberdade, com
passo de tempo de 0,01 segundo ......................................................................... 107
Figura 6-6 – Viga com carga móvel, sem amortecimento, com passo de tempo de
0,1 segundo ......................................................................................................... 108
Figura 6-7 - Viga com carga móvel, sem amortecimento, com passo de tempo de
0,01 segundo ....................................................................................................... 108
Figura 6-8 - Viga com carga móvel, com amortecimento, com passo de tempo de
0,1 segundo ......................................................................................................... 109
Figura 6-9 - Viga com carga móvel, com amortecimento, com passo de tempo de
0,01 segundo ....................................................................................................... 109
Figura 6-10 - Análise pseudo-estático e resposta para carregamento fora da ponte
............................................................................................................................. 110
Figura 6-11 - Trem Eurostar 373,1 v=255 km/h ................................................. 110
Figura 6-12 - Deslocamentos no meio do vão para uma velocidade de 53 m/s,
utilizando um modelo de carregamento pontual ................................................. 112
Figura 6-13 - Deslocamentos no meio do vão para uma velocidade de 53 m/s,
utilizando um modelo com interação simplificada ............................................. 112
Figura 6-14 - Tempo de Execução dos Algoritmos ............................................ 113
Figura 6-15 – Espectro de resposta ..................................................................... 114
Figura 6-16 – Espectros de resposta para diferentes variações de tempo ........... 114
Figura 6-17 - Resposta para os Modelos CMC e CMD ...................................... 116
Figura 6-18 - Tempo de Execução dos Algoritmos CMC e CMD ..................... 116
Figura 6-19 - Resposta para os Modelos CMM, MIS e MIC ............................. 117
Figura 6-20 - Tempo de Execução dos Algoritmos CMM, MIS e MIC ............. 117
Figura 6-21 - Resposta para os Modelos CMC e MIS ........................................ 118
xviii
Figura 6-22 - Resposta para os Modelos CMC e MIC2 ..................................... 118
Figura 6-23 - Resposta para os Modelos MIS e MIC2 ....................................... 119
Figura 6-24 - Resposta para os Modelos CMM e MIS ....................................... 119
Figura 6-25 – Influência dos parâmetros na análise............................................ 120
Figura 6-26 – Influência dos gdl na resposta dinâmica....................................... 120
Figura 8-7-1 - Diagrama de corpo livre para elemento interação simplificado .. 125
Figura 8-7-2 - Diagrama de corpo livre do modelo de interação completo tipo I126
Figura 8-7-3 - Diagrama de corpo livre do modelo de interação completa tipo II
............................................................................................................................. 128
xix
Lista de abreviatura, siglas e símbolos.
xq yq Carregamentos distribuídos por unidade de comprimento.
dx Elemento diferencial em x.
, ,r fN M V Esforço normal, momento flexor e esforço cortante.
0( )x Deformação axial no eixo de referência da seção.
( )x Curvatura da seção.
( )ou x Deslocamento longitudinal do eixo de referência da seção.
( )ov x Deslocamento transversal do eixo de referência da seção.
( )xe Vetor de deformações generalizadas da seção.
Operador diferencial.
( )xU Vetor de deslocamentos da seção.
( )xS Vetor de forças internas na seção.
sk Matriz de rigidez da seção.
E Modulo de elasticidade do material.
A Área da seção do elemento.
I Momento de inércia da seção do elemento.
0 1 0 1 2 3, , , , ,a a b b b b Constantes de integração.
X Matriz de variáveis com exponenciais.
L Comprimento da barra.
xx
G Matriz de coeficientes constantes.
c Vetor das constantes a determinar.
d Vetor de deslocamentos nodais do elemento.
( )xN Vetor das funções de forma de elemento.
( )xB Matriz que relaciona as deformações generalizadas da seção
com os deslocamentos nodais do elemento.
( )xU Deslocamentos virtuais.
( )m x Massa por unidade de comprimento do elemento.
( )c x Amortecimento por unidade de comprimento do elemento.
intδW Trabalho virtual interno.
( )xq Vetor contendo as cargas distribuídas na direção x e y.
d Vetor de deslocamentos nodais virtuais.
P Vetor de forças aplicadas nos nós do elemento.
m Matriz de massa consistente.
c Matriz de amortecimento.
k Matriz de rigidez.
tp Vetor de forças nodais do elemento.
gp Forças no sistema global.
xxi
p Forças no sistema local.
R Matriz de rotação.
elH Matriz de incidência cinemática.
g
eld Vetor de deslocamento global.
D Vetor de deslocamento da estrutura.
eln Número de elementos da estrutura.
,i aF F e eF
Forças inerciais, de amortecimento e de deformação
elásticas.
jφ Vetor de deslocamentos nodais.
( )jq t Solução proposta para a equação diferencial de
movimento livre.
j Freqüência circular natural de vibração.
jA e jB Constantes a ser determinadas.
2 Matriz diagonal de freqüências modais elevadas ao
quadrado.
Φ Matriz modal.
Φ̂ Matriz modal com escala modificada.
i Escalar que multiplica à matriz modal.
p Impulso linear da partícula.
im Massa da partícula.
xxii
iv Vetor velocidade da partícula.
ir Deslocamento virtual arbitrário.
dt Diferencial de tempo.
iF Força total que atua sobre cada partícula.
( )aiF Força aplicada.
if Força de restrição.
ir Vetor translação.
,iq t Graus de liberdade e variável de tempo.
jQ Trabalho realizado pela partícula ao deslocar-se como
resultado do cambio da coordenada.
jq Componentes da força generalizada associada com a sua
respectiva coordenada.
T Energia cinética do sistema.
V Energia potencial do sistema.
L Lagrangeano ou energia total do sistema.
R Função dissipativa de Rayleigh.
vJ Energia cinética rotacional.
Velocidade angular.
rT Energia cinética rotacional.
vv rrM ,M Sub-matrizes de massas para veículo e rodas.
xxiii
vv vr rv rrC ,C ,C ,C Sub-matrizes de amortecimento para veículo e rodas.
vv vr rv rrK ,K ,K ,K Sub-matrizes de rigidez para veículo e rodas.
v r v r v ry ,y ,y ,y ,y ,y Vetores deslocamentos, velocidades e acelerações do
veículo e a roda respectivamente.
rm Massa da roda.
vy Deslocamento vertical do centro da gravidade do veículo.
ry Deslocamento vertical da roda.
id Deslocamento generalizado.
vm Massa do veículo suspensa.
1c Constante do amortecimento viscoso para cada roda.
1k Rigidez da suspensão para cada roda.
Rotação da massa suspensa do veículo.
riy Deslocamento vertical para cada roda.
L Distancia entre centro de gravidade da massa suspensa do
veículo e rodas.
1sy Deslocamento vertical do centro de gravidade do truque
traseiro.
1 Rotação do truque traseiro.
2sy Deslocamento vertical do centro de gravidade do truque
dianteiro.
2 Rotação do truque dianteiro.
xxiv
riy Deslocamento vertical de cada roda.
d Distancia entre o centro de gravidade do truque e roda.
siJ Momento de inércia rotacional do truque.
sim Massa suspensa do truque.
py Deslocamentos e rotações dos graus de liberdade da
estrutura.
,q x t Carga distribuída sobre a estrutura.
,x t Variáveis de localização sobre a estrutura e de tempo.
tjY Deslocamentos modais da estrutura.
j x Forma modal da estrutura.
M Número de modos de vibração utilizados para a
aproximação.
ˆim Massa para cada modo de vibração.
ˆik Rigidez para cada modo de vibração.
i Freqüência angular para cada modo de vibração.
Np Numero de cargas sobre a estrutura.
kP Cargas sobre a estrutura.
Função delta de Dirac.
v Velocidade do veículo.
kt Tempo de entrada na estrutura. k kt d v .
xxv
di Freqüência angular amortecida para cada modo.
i Taxa de amortecimento para cada modo.
kq Carga distribuída sobre a área de contato da roda.
H Função Heaviside.
tF( ) Forças de interação entre veículo estrutura.
gvF Forças de gravidade do veículo.
grF Forças de gravidade da roda.
pM Matriz de massas modal.
pC Matriz de amortecimento modal.
pK Matriz de rigidez modal.
A(t) Matriz de interpolação modal.
tvz Deslocamentos e rotações medidos a partir da posição de
equilíbrio.
, ,
, ,
c c bd
bd bt bt
z t t z t
t z t t
Graus de liberdade veículo considerando uma posição de
equilíbrio estático.
v0y Deslocamento estático do veículo.
InteraçãoM Matriz de massa considerando interação.
InteraçãoC Matriz de amortecimento considerando interação.
InteraçãoK Matriz de rigidez considerando interação.
T Matriz de transformação.
xxvi
M Matriz de massa da estrutura.
C Matriz de amortecimento da estrutura.
K Matriz de rigidez da estrutura.
Mv Matriz de massa do veículo.
Cv Matriz de amortecimento do veículo.
Kv Matriz de rigidez do veículo.
Nt Matriz formada por vetores linhas N.
F(t) Forças de interação na estrutura.
Q Matriz que pode ser a massa, amortecimento ou rigidez.
Q = M,C,K .
D(t) Deslocamentos dos graus de liberdade para cada instante
de tempo.
ll lr rl rrk ,k ,k ,k Matrizes particionadas da matriz de rigidez da estrutura.
l ru ,u Deslocamentos dos graus de livres e restritos.
l rP ,P Forças nos graus livres e restritos.
d, l Matrizes diagonal e inferior.
KP Matriz ortogonal.
kif Forças nas molas.
aif Forças nos amortecedores.
If Forças de inércia.
CMC Modelo de carregamento pontual.
xxvii
CMD Modelo de carregamento distribuído.
CMM Modelo de massa pontual.
MIS Modelo de interação simplificado.
MIC1 MIC2 Modelo de interação completa tipo I e tipo II.
PEST Modelo pseudoestático.
1
CAPÍTULO 1
Apresentação
1.1 INTRODUÇÃO
A qualidade dos resultados obtidos pelos métodos numéricos para a análise de
estruturas depende da capacidade de obter as características fundamentais do fenômeno
que estes métodos tentam simular. Idealmente, estes métodos devem apresentar a maior
precisão possível com o menor custo computacional.
Na análise dinâmica de pontes ferroviárias, são vários os fatores determinantes
para a correta simulação do comportamento da estrutura. Em uma visão muito simples,
se pode observar que as pontes ferroviárias são estruturas solicitadas por um veículo
com massa muito grande, o que provoca mudanças consideráveis no comportamento da
estrutura.
Mais especificamente, em pontes isostáticas, os aspectos mais importantes que
devem ser considerados no modelo numérico são (Romero, 2002):
O modelo deve possuir uma adequada representação da rigidez e massa
para cada modo de vibração quando o veículo está sobre a estrutura. Este é
o aspecto predominante na maioria de pontes isostáticas;
Em pontes de vias duplas e em pontes esconsas de via única é importante
a consideração da torção na estrutura;
A dissipação de energia pelo atrito no lastro pode ser importante em
pontes de pequenos comprimentos;
Devem ser consideradas as irregularidades da via, pois elas podem ser
importantes em pontes de pequeno comprimento e com freqüências de
vibração médias e altas.
Os aspectos acima relacionados dizem respeito principalmente à interação
entre ponte e veículo, mas existem outros fatores que não foram enumerados, tais como
reológicos ou sísmicos.
2
1.2 OBJETIVOS
O objetivo geral deste trabalho consiste no desenvolvimento de uma
formulação geral e desenvolvimento de um programa computacional para a análise
dinâmica de pontes ferroviárias considerando a interação entre o veículo e a estrutura.
Os objetivos específicos são:
Expor as diferenças entre diversos modelos de veículo utilizados na
análise dinâmica de pontes e encontrar o modelo mais adequado;
Analisar o comportamento dinâmico de pontes ferroviárias, possibilitando
a verificação de ocorrência de ressonância e quantificação da amplificação
da resposta;
Estudar de uma visão geral os coeficientes de impacto (coeficientes de
amplificação dinâmica) para este tipo de estrutura;
Implementar os algoritmos computacionais para a análise de pontes
ferroviárias, de modo que o programa desenvolvido possa ser usado como
ferramenta na engenharia;
Disponibilizar o programa em um código aberto, com a finalidade que ele
possa ser usado como referência de aprendizagem.
1.3 JUSTIFICATIVA
O avanço do conhecimento sobre o comportamento das pontes ferroviárias é
muito importante para a mineração no Brasil. Além disso, este avanço também é
importante em nível mundial, pois existe a necessidade de se criar mais linhas
ferroviárias para poder contribuir com o desenvolvimento das economias também de
outros países.
As pontes e viadutos são estruturas complexas solicitadas por cargas móveis
que induzem efeitos dinâmicos na estrutura e que é função de vários fatores, tais como:
o tipo e velocidade do veículo; defeitos na via; propriedades dinâmicas do sistema
(freqüências naturais, modos de vibração e taxas de amortecimento) (Sampaio, 2007).
3
Este trabalho é justificado pela necessidade de desenvolver uma metodologia
para a análise de pontes ferroviárias mais precisa, e que garanta a simulação do
comportamento das estruturas de forma mais realista, contribuindo assim para a
segurança e viabilidade econômica dessas obras.
Na atualidade, é muito importante para o projeto de pontes ferroviárias, o
conhecimento da resposta dinâmica da estrutura, em função dos carregamentos móveis
produzidos pelo veículo, os quais podem levar à ocorrência de ressonância,
prejudicando sobremaneira o conforto nos veículos, e até mesmo, colocando em risco a
integridade da estrutura.
Este trabalho foi concebido como atividade de um convênio de cooperação
estabelecido entre a Vale e o Núcleo de Instrumentação e Computação Aplicado à
Engenharia (NICAE) da Universidade Federal do Pará (UFPA), o qual foi iniciado em
junho de 2007, tendo como objetivo o desenvolvimento de uma metodologia para
avaliação da integridade das pontes na Estrada de Ferro Carajás.
1.4 METODOLOGIA
De uma maneira geral, a metodologia proposta nesta dissertação abrange o
desenvolvimento analítico e numérico para a análise dinâmica de pontes ferroviárias
considerando o carregamento móvel associado à passagem de veículos. Este
desenvolvimento é baseado em diversos trabalhos e a partir das quais feitas as deduções
para obter as equações que formulam o problema proposto. Para a dedução das
equações de movimento do veículo utiliza-se como base o princípio de D’Alembert e as
equações de Lagrange. Nas deduções destas equações, não foi considerada nemhuma
interação entre veículos. Para a solução analítica da viga simplesmente apoiada, utiliza-
se uma superposição modal. Em seguida, é mostrada a solução numérica do problema, a
qual é baseada no Método da Rigidez Direta, comumente utilizada em programas de
elementos finitos.
Neste trabalho considera-se o comportamento das pontes de via única com
traçado em tangente, e, portanto, não há a necessidade de se levar em conta os efeitos da
torção no tabuleiro. Os modelos numéricos utilizados são modelos bidimensionais
baseados na viga ideal de Euler-Bernoulli. Não se considerou neste trabalho a influência
da via, na rigidez da ponte, mas isso pode ser incorporado de forma simples nos
4
programas desenvolvidos. Com isso, será possível a modelagem completa do sistema,
considerando a interação Veículo-Pavimento-Estrutura.
No que diz respeito à dissipação de energia, considera-se um amortecimento
viscoso associado a cada modo de vibração.
A diferença entre cada modelo estudado diz respeito ao grau de refinamento
considerado para a representação do veículo. Desta forma, foram considerados seis tipos
de veículos, quais sejam:
Modelo de carregamento pontual: neste modelo, o veículo é representado
como uma série de cargas pontuais de valor constante que trafegam sobre a
ponte a uma velocidade constante. Este modelo não apresenta nenhuma
interação veículo-estrutura, sendo o vetor de carregamento um vetor externo que
varia para cada instante de tempo, de acordo com a movimentação das cargas
transitando a uma velocidade constante sobre a ponte. O modelo é mostrado na
Figura 1-1.
Figura 1-1 - Modelo com carregamento móvel pontual
Modelo de carregamento distribuído: este modelo é semelhante ao anterior,
exceto pelo fato de que se consideram cargas distribuídas sobre certo
comprimento, representando assim o efeito de espraiamento da carga,
proporcionado pela via (trilhos, dormentes, lastro, laje, etc). O modelo é
mostrado na Figura 1-2.
5
Figura 1-2 - Modelo com carregamento móvel distribuído
Modelo com massa pontual: neste modelo, o veículo é representado como uma
série de cargas pontuais com massas de valor constante que trafegam sobre a
ponte a uma velocidade constante. Este modelo apresenta certo grau de interação
veículo-estrutura, já que ele considera a massa do veículo pontualmente
movimentando-se sobre os elementos da estrutura, através de uma interpolação
entre os nós dos elementos para cada instante de tempo. O vetor de
carregamento é um vetor externo obtido a partir do produto da massa pontual
pela aceleração da gravidade. O modelo é mostrado na Figura 1-3.
Figura 1-3 - Modelo com massa pontual
Modelo de interação simplificado: neste modelo, o veículo é representado
como um conjunto de eixos independentes, com cada um associado à posição de
uma roda. Neste tipo de modelo não é considerado o efeito do momento de
inércia de massa do veículo, sendo somente considerado um carregamento
dinâmico pontual. A interação entre a massa, a rigidez e o amortecimento de
cada veículo é obtida a partir das características do veículo, levando-se em conta
o seu sistema de amortecimento. O modelo é mostrado na Figura 1-4.
6
Figura 1-4 - Modelo com interação simplificada
Modelo de interação completa: neste tipo de modelo, o veículo é representado
com uma serie de massas não pontuais conectadas por elementos elásticos
lineares (molas) e dissipadores viscosos, sendo considerado o momento de
inércia de massa de cada veículo. São considerados dois tipos de veículos com
interação completa. Estes modelos são mostrados na Figura 1-5.
Figura 1-5 - Modelos com interação completa tipo I e II
1.5 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
No presente estudo, foi desenvolvida uma revisão bibliográfica bastante
ampla, já que o tema da pesquisa é muito importante em nível mundial, e tem
despertado o interesse de diversos pesquisadores.
Esta revisão bibliográfica teve o propósito de estudar o estado da arte no
âmbito da análise dinâmica de pontes ferroviárias, em especial para estruturas
7
simplesmente apoiadas. Analisou-se o comportamento das estruturas isostáticas de via
única, e pontes não consideradas esconsas. As pontes analisadas são solicitadas com
carregamento móvel com a finalidade de obter as respostas para estas solicitações
dinâmicas.
Durante a revisão realizada, houve principalmente o interesse em encontrar
um método simples para avaliar a possibilidade de ressonância em pontes ferroviárias e
permitir uma estimativa teórica de valores mais precisos para os coeficientes de
impacto, de forma a melhor representar a realidade.
A seguir são apresentadas, de forma resumida, algumas das principais
contribuições encontradas na revisão bibliográfica realizada:
Vu-Quoc e Olsson (1989) mostram uma formulação extensa e rigorosa das
equações de movimento do sistema veículo-estrutura, assim como algoritmos eficientes
para sua resolução. O artigo tem várias contribuições originais, das quais cabe destacar
as seguintes: O veículo não circula a uma velocidade constante, mas entra na ponte a
uma velocidade dada e evoluciona livremente de acordo com as leis do movimento;
mostram-se exemplos numéricos nos quais se demonstra que a velocidade do veículo
diminui e que a perda em energia cinemática equivale à energia que retém a viga na sua
vibração livre.
Olsson (1991) mostra a dedução básica do problema da carga móvel, dando
especial ênfase nas hipóteses iniciais e suas implicações. O modelo utilizado é a viga de
Euler-Bernoulli, na qual a relação altura/vão da viga deve ser pequena. Além disso, se
despreza a inércia à rotação na dedução da equação de equilíbrio, supondo-se que os
modos superiores não são excitados significativamente. O autor indica que esta última
hipótese somente é verificada se a velocidade de passo não é excessivamente elevada,
mas não apresenta limites indicativos para a mesma. A solução analítica obtida na
habitual forma de série infinita depende unicamente de fatores adimensionais. Uma das
conclusões importantes é o fato de que quando uma determinada velocidade
adimensional é maior que um, a máxima resposta produz-se quando a carga deixa a
ponte, o que corresponde a um impacto.
Yang et al. (1997) estudaram a vibração de vigas simples submetidas a
veículos de alta velocidade. Os veículos são modelados como a composição dos dois
subsistemas de cargas de roda espaçados em intervalos constantes. Através de uma
8
abordagem analítica, os principais parâmetros que regem a dinâmica das respostas das
vigas são identificados, considerando a carga em movimento. A avaliação do efeito de
inércia dos veículos em movimento é obtida através de simulações numéricas utilizando
o Método de Newmark.
Henchi e Fafard (1999) mostram um método numérico avançado para a
análise dinâmica das pontes. A deformada da estrutura é aproximada mediante uma
combinação de funções de forma trigonométricas e hiperbólicas, e se obtém uma matriz
de rigidez dinâmica que permite a obtenção das freqüências exatas da ponte com um
único elemento.
Frýba (2001) desenvolveu expressões simples para avaliar as velocidades
críticas para a máxima amplitude de deslocamento, momento fletor e aceleração vertical
devido à passagem de um trem de cargas. Para isso, foi utilizado um modelo de cargas
pontuais, e se supôs que a máxima amplitude de deslocamento e aceleração se dá
quando a última carga sai da ponte. Na primeira parte do artigo o autor apresenta um
desenvolvimento clássico do problema da carga móvel, passando posteriormente a
deduzir as expressões simples que finalmente utiliza para formar outros tipos de
critérios.
Romero (2002) apresentou diversos aspectos do comportamento dinâmico de
pontes isostáticas ferroviárias para trens de alta velocidade. Nesta tese, foram estudados
os fatores mais importantes para a predição das respostas dinâmica das pontes, quais
sejam os modos e os modelos de veículos que são considerados. O autor apresentou a
análise de várias tipologias de pontes, realizando principalmente uma investigação sobre
os fenômenos de ressonância, e mostrando a redução das respostas previstas com
modelos de interação. Para que o modelo do veículo seja adequado, este precisa
apresentar certas características importantes, quais sejam:
Ações da gravidade que os veículos exercem sobre a ponte, pois o peso do
veículo corresponde obviamente à principal força variável sobre a
estrutura;
Efeitos inerciais das massas não suspendidas do veículo, que baixam um
pouco a freqüência de vibração da estrutura;
Vibrações nos veículos, que são influenciadas pela presença dos
amortecedores primários;
9
Dissipação de energia nos dissipadores primários e secundários.
Também são mostrados e identificados os fatores que poderiam favorecer uma
diminuição excessiva da força de interação. Neste trabalho, a principal conclusão é a
importância de se ter em conta os fenômenos de ressonância na análise dinâmica de
pontes isostáticas, assim como, a conveniência de se empregar os modelos de interação.
Ju e Lin (2002) investigaram as características da ressonância tridimensional
de pontes de alta velocidade. Pontes de vários vãos simplesmente apoiados foram
consideradas na análise dinâmica por elementos finitos. Os autores concluíram que para
evitar a ressonância, as freqüências do veículo que atua sobre a ponte, e as freqüências
naturais da ponte devem ser tão diferentes quanto possível, especialmente para o
primeiro modo de vibração. Se as duas primeiras freqüências são semelhantes, a
ressonância da ponte pode ser grave. Este estudo indica também que uma adequada
rigidez axial entre apoios simples pode reduzir as vibrações em uma condição de quase
ressonância. A rigidez axial da estrutura e a fricção entre a roda e o trilho devem ser
suficientes para proporcionar essa rigidez axial.
Correa (2003) estudou as vibrações em pontes ferroviárias produzidas pelos
trens utilizados nas vias férreas urbanas no Brasil. Para a modelagem dos veículos
foram apresentados alguns modelos desde carregamento pontual até um sistema massa-
mola-amortecedor com alguns graus de liberdade. Também são mostradas todas as
equações de equilíbrio para um sistema trem-trilhos-estrutura, além de serem analisados
dois tipos de lastros. O trabalho considera alguns tipos de irregularidades geométricas
entre trilho e roda. Finalmente, é avaliado o valor do coeficiente de impacto prescrito na
norma brasileira frente aos obtidos pelos deslocamentos dinâmicos da resposta.
Zhang et al. (2005) estudaram um modelo tridimensional para o cálculo de
pontes tendo em conta a interação veículo-estrutura e as irregularidades da via. As
conclusões mais significativas deste trabalho foram: as forças residuais na integração
são desprezíveis se o tempo adotado é pequeno; os resultados obtidos para o modelo
plano e espacial são muito similares.
Lee et al. (2005) apresentaram um procedimento analítico para deduzir as
equações de movimento para a interação veículo-ponte baseada na formulação de
Lagrange, e investigaram as vibrações e o conforto dentro do veículo. O trabalho é
baseado no método dos elementos finitos para a análise modal usando modelos
10
tridimensionais da ponte. O comportamento dinâmico de uma ponte com interação é
investigado em comparação com os de uma ponte convencional utilizando o método
analítico.
Goicolea (2005) mostra a importância dos fenômenos dinâmicos em pontes
ferroviárias, especialmente os devidos ao tráfego de alta velocidade. Explica-se o
fenômeno de impacto devido a uma carga móvel e ressonância para um trem de cargas.
Também se oferece uma descrição e discussão resumida das características dos diversos
métodos de análise dinâmica, incluindo sua consideração nas atuais normas de ações de
projeto.
Machado e Bernardes (2007) tiveram como principal objetivo o de estudar e
desenvolver um modelo para a análise de pontes com interação veículo-estrutura. O
veículo é modelado como um grupo de massa, amortecedor e mola, conectados aos
elementos. A ponte é reta, possui muitos vãos, eixo contínuo e secção transversal
constante. O sistema veículo-ponte é representado através do método dos elementos
finitos. O foco principal da discussão é a interação entre o veículo e a forma da ponte.
Devido à localização das cargas variáveis que se deslocam continuamente sobre a ponte,
as equações diferenciais que regem o problema tornam-se bastante complicadas. O
acoplamento entre as equações características do veículo e as da ponte é considerado, e
para resolver o problema do acoplamento são aplicados os algoritmos de Newmark.
1.6 CONTEÚDO DA DISSERTAÇÃO
Nesta dissertação o conteúdo foi agrupado da seguinte forma:
No primeiro capítulo apresentam-se uma introdução, os objetivos, as
justificativas, metodologia e uma revisão bibliográfica, onde são mostradas algumas
pesquisas importantes realizadas acerca do tema.
No segundo capítulo é feita uma revisão dos fundamentos básicos para a
análise estática, dinâmica e modal de estruturas aporticadas.
No terceiro capítulo mostram-se as deduções do principio de D’Alembert e as
deduções das equações de Lagrange, para poder desenvolver as equações de movimento
dos veículos.
11
No quarto capítulo mostra-se o desenvolvimento da metodologia que foi
utilizada na análise com ou sem interação veículo-estrutura, utilizando uma
superposição modal e a metodologia numérica empregada.
No quinto capítulo são mostrados os algoritmos de solução que foram
utilizados, para um caso geral de um programa típico de análise estática estrutural com
elementos de barras. Depois é mostrado o algoritmo de Stodola para a solução do
problema de valores próprios e o algoritmo de Newmark para a solução das equações de
equilíbrio no domínio do tempo.
No sexto capítulo são mostrados os testes de comprovação para os algoritmos
propostos, apresentando-se também as respostas dinâmicas de algumas estruturas.
No sétimo capítulo são mostrados às conclusões e sugestões para trabalhos
futuros.
12
CAPÍTULO 2
Análise dinâmica e modal de estruturas aporticadas
Neste capítulo são mostrados os fundamentos teóricos para realização da
análise dinâmica e modal de estruturas aporticadas utilizando aproximações de
elementos finitos para elementos barras.
2.1 FORMULAÇÃO DO ELEMENTO DE VIGA
A Figura 2-1 mostra uma viga de comprimento L, com referência a um
sistema de coordenadas (x,y), submetido a carregamentos distribuídos xq e yq , e um
elemento infinitesimal de comprimento dx.
dx
y
x
L
Figura 2-1 - Barra com carregamentos distribuídos qx e qy
A Figura 2-2 mostra os diagramas de corpo livre do elemento infinitesimal
submetido aos esforços internos e ao carregamento externo
d x d x
N r N r+dN rM f
V
V+dV
M f +dM f
q x
q y
Figura 2-2 - Elemento com carregamento qx e elemento com carregamento qy
13
As equações diferenciais de equilíbrio podem ser obtidas impondo-se que os
somatórios das forças na direção x, na direção y, e momentos em torno do eixo z são
nulos (ver Figura 2-2)
dd d
+ = 0, + = 0, + = 0d d d
frx y
MN Vq q V
x x x (2.1)
onde , ,r fN M V representam o esforço normal, o momento flexor e o esforço cortante,
respectivamente. Para a teoria de Euler-Bernoulli, desprezam-se as deformações
cisalhantes e, por conseguinte, deve-se eliminar o esforço cortante das equações (2.1),
de modo que as equações diferencias de equilíbrio podem ser expressas como
2
2
d ( )d ( )0, - 0
d d
frx y
M xN xq q
x x
(2.2)
A deformação axial 0( )x no eixo de referência da seção, e a curvatura ( )x
podem ser obtidas como
2
2
d ( ) d ( )( ) , ( )
d d
o oo
u x v xx x
x x (2.3)
onde ( )ou x é o deslocamento longitudinal (na direção x) e ( )ov x é o deslocamento
transversal (na direção y) do eixo de referência da seção.
A eq. (2.3) pode ser expressa na forma matricial como
( ) ( )x x e U (2.4)
onde
0( )( )
( )
xx
x
e
(2.5)
é o vetor de deformações generalizadas da seção,
2
2
d0
d
d0
d
x
x
(2.6)
é um operador diferencial, e
14
0
0
( )( )
( )
u xx
v x
U
(2.7)
é o vetor de deslocamentos da seção.
Considerando material linear elástico e seção constante, tem-se a relação entre
esforços e deformações generalizadas da seção
( ) ( )sx xS k e
(2.8)
onde
( )( )
( )
r
f
N xx
M x
S
(2.9)
é o vetor de forças internas na seção, e
0
0
EA
EI
sk (2.10)
é a matriz de rigidez da seção, com E sendo o modulo de elasticidade do material, A
área, e I o momento de inércia da seção.
Substituindo ( ), ( )r fN x M x de (2.8) em (2.2) se obtém
2
2
d d( ) 0, ( ) 0
d do x yEA x q EI x q
x x (2.11)
Substituindo as equações (2.3) em (2.11) e considerando caso particular de
que ( )xq x , ( )yq x sejam zero, chega-se a
22
2 2
d ( ) d ( )d d0, 0
d d d d
o ou x v x
x x x x
(2.12)
As soluções para estes equações diferenciais são funções polinomiais de grau
respectivo ao da equação diferencial correspondente
0 1
2 3
0 1 2 3
( )
( )
o
o
u x a a x
v x b b x b x b x
(2.13)
onde 0 1 0 1 2 3, , , , ,a a b b b b são constantes de integração, a serem definidas mediantes as
condições de contorno.
15
As equações (2.13) podem ser organizadas na forma matricial como
( ) ( )x xU X c (2.14)
onde
2 3
1 0 0 0 0
0 0 1
x
x x x
X (2.15)
0
1
0
1
2
3
a
a
b
b
b
b
c (2.16)
A Figura 2-3 representa as condições de contorno em termos de
deslocamentos.
x
d3
d2
y
d1
(x,y)
d4
d5
d6
Figura 2-3 - Deslocamentos para um elemento de barra
A partir da Figura 2-3 podem-se definir as condições de contorno da seguinte
maneira
1 4 2
5 3 6
(0) , ( ) , (0)
( ) , (0) , ( )
o o o
o o o
u d u L d v d
v L d v d v L d
(2.17)
onde L é o comprimento da barra.
16
Aplicando as condições de contorno, podem-se determinar as relações entre os
coeficientes (constantes) das soluções para as equações diferenciais com os
deslocamentos nodais do elemento
Gc d (2.18)
onde
2 3
2
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 0 1
0 0 0 1 2 3
L
L L L
L L
G (2.19)
é o vetor das constantes que se deseja determinar, e
1
2
3
4
5
6
d
d
d
d
d
d
d (2.20)
é o vetor de deslocamentos nodais do elemento. Assim, as constantes c podem ser
determinadas como
1c G d (2.21)
Substituindo a eq. (2.21) em (2.14), chega-se a
( ) ( )x xU N d (2.22)
onde
1( ) ( )x x N X G (2.23)
é denominada matriz das funções de forma de elemento, que permite a determinação
dos deslocamentos xU , de um ponto x qualquer a partir dos deslocamentos nodais d
do elemento.
Desenvolvendo a eq. (2.23), obtem-se a matriz de funções de forma do
elemento
17
3 2 2 3 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
1 0 0 0 0
( )2 3 2 3 2
0 1 0
x x
L Lx
x x x x x x x xx
L L L L L L L L
N (2.24)
Substituindo a eq. (2.22) em (2.4), tem-se que
( )x x x e N d B d (2.25)
onde
3 2 2 2 3 3
1 10 0 0 0
( )12 6 4 6 6 12 6 2
0 0
L Lx
x x x x
L L L L L L L L
B (2.26)
é a matriz que relaciona as deformações generalizadas da seção com os deslocamentos
nodais do elemento.
2.2 MATRIZES DO ELEMENTO
As equações de movimento de um sistema de múltiplos graus de liberdade
podem ser estabelecidas a partir do equilíbrio direto das forças associadas a cada grau
de liberdade, ou através do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) o qual pode ser
expresso no contexto para um elemento de barra como (Belytschko, 2000)
T T
int
0 0
T T
0
( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d
( ) ( )d
L L
L
x m x x x x c x x x W
x x x
U U U U
U q d p
(2.27)
onde
( )xU são os deslocamentos virtuais;
( )m x é a massa por unidade de comprimento do elemento;
( )c x é o amortecimento por unidade de comprimento do elemento;
intδW é o trabalho virtual interno;
( )xq é o vetor contendo as cargas distribuídas na direção x e y;
18
d é o vetor de deslocamentos nodais virtuais;
p é o vetor de forças aplicadas nos nós do elemento.
Podem-se aproximar os deslocamentos virtuais com as mesmas funções de
interpolação ( )xN utilizadas para interpolação dos deslocamentos reais
x x U N d
(2.28)
Assim, podem-se definir as deformações virtuais internas como
( ) ( )x x x x e U N d B d (2.29)
Tem-se que o trabalho virtual interno intδW de um elemento de barra é dado
pelo somatório dos produtos dos esforços reais internos da estrutura multiplicados pelas
respectivas deformações virtuais, como segue
T
int 0 0
0 0
T T
0
( ) ( ) d ( ) ( ) d
( ) ( ) d
L L
r f
L
W N x M x x x x x
x x x
e S
d B S
(2.30)
Considerando o caso particular de seção homogênea e material linear elástico
(ver eqs. (2.8) e (2.10)), chega-se a
T T
int
0
( ) ( ) d
L
W x x x sd B k B d (2.31)
Derivando a eq. (2.22) em relação ao tempo, tem-se que
,x x x x U N d U N d (2.32)
Substituindo as eqs. (2.28), (2.31) e (2.32) em (2.27) chega-se a
T TT
0 0
T T
0 0
( ) d ( ) d
( )d ( )d
L L
L L
s
x m x x x x c x x x
x x x x x x
d N N d N N d
B k B d N q p 0
(2.33)
Considerando que os deslocamentos virtuais nodais Td são arbitrários, tem-
se que
19
T T
0 0
T T
0 0
( ) ( )
( ) ( )
L L
L L
s
x m x x dx x c x x dx
x x dx x x dx
N N d N N d
B k B d N q p
(2.34)
ou de forma mais compacta,
tmd +cd +kd = p (2.35)
onde
T T
0 0
T T
0 0
( ) ( ) ( )d , ( ) ( ) ( )d
( ) d , ( ) ( )d
L L
L L
t
x m x x x x c x x x
x x x x x x
s
m N N c N N
k B K B p N q p
(2.36)
São, respectivamente, a matriz de massa consistente, a matriz de
amortecimento, a matriz de rigidez, e o vetor de forças nodais do elemento (incluindo as
forças nodais equivalentes às cargas distribuídas).
2.3 MATRIZES DO ELEMENTO NO SISTEMA GLOBAL
As matrizes apresentadas na seção anterior foram formuladas em relação a um
sistema de coordenadas cujo eixo x coincide com o eixo da própria viga. Este sistema é
usualmente denominado sistema local de coordenadas, já que cada elemento da
estrutura possui um sistema local auxiliar próprio. Entretanto, considera-se também
outro sistema de coordenadas, denominado sistema global, comum a todos os elementos
da estrutura.
A Figura 2-4 apresenta os sistemas local e global de coordenadas para o
elemento, indicando os deslocamentos nodais em relação a estes dois sistemas:
20
d3,p3
Deslocamentos e forças
locais na barra.
Deslocamentos e forças
globais na barra.
d2,p2
d1,p1
d6,p6
d5,p5
d4,p4
d3,p3
d2,p2
d1,p1
d6,p6
d5,p5
d4,p4
g g
g g g g
g gg g
g g
Figura 2-4 - Deslocamentos e forças no sistema global e local
A partir da Figura 2-4 e empregando relações trigonométricas elementares se
obtém as expressões que relacionam as forças no sistema global gp com as forças no
sistema local p
1 1 2 4 4 5
2 1 2 5 4 5
3 3 6 6
cos - sin , cos - sin
sin cos , sin cos
,
g g
g g
g g
p p p p p p
p p p p p p
p p p p
(2.37)
Na forma matricial pode-se reescrever esta equação (2.37) como
Tgp = R p (2.38)
onde
cos sin 0 0 0 0
sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos sin 0
0 0 0 sin cos 0
0 0 0 0 0 1
R (2.39)
é a matriz que relaciona as forças no sistema global com as forças no sistema local,
chamada matriz de rotação. Pode-se verificar que esta matriz é ortogonal, ou seja,
1 T R R . Da mesma forma, se obtém a seguinte relação para os deslocamentos
Tg gd = R d, d = Rd (2.40)
Derivando-se a segunda das eqs. (2.40) em relação ao tempo, tem-se
21
g gd = Rd , d = Rd (2.41)
Substituindo as eqs (2.40) e (2.41) em (2.35), multiplicando todos os termos
por TR , e considerando a eq. (2.38), chega-se a
g g g g g g g
tm d +c d +k d = p (2.42)
onde
T T T, ,g g gm = R mR c = R cR k = R kR (2.43)
2.4 MATRIZES DA ESTRUTURA
Para poder formar a matriz de massa, amortecimento ou de rigidez da
estrutura deve relacionar-se o vetor de deslocamentos da estrutura e o vetor de
deslocamentos das barras em relação ao sistema global. Para isto devem ser
considerados os graus de liberdade do elemento e da estrutura, conforme exemplificado
na Figura 2-5
d3
Deslocamentos
globais na barraDeslocamentos globais
da Estrutura
d2
d1
d6
d5
d4
D9
D8
D7
D3
D2
D1
Figura 2-5 - Deslocamentos globais na barra e na estrutura
Para poder relacionar os deslocamentos globais da barra com os
deslocamentos da estrutura, pode-se usar uma matriz de incidência cinemática formada
por zeros e uns, que permitem obter o vetor de deslocamentos globais de uma barra a
partir dos deslocamentos da estrutura. A título de ilustração, considerando a barra da
Figura 2-5, a relação entre os graus de liberdade (gdl) da barra e da estrutura é
apresentada na Tabela 2-1.
22
Tabela 2-1 - Relação entre os graus de liberdade da barra e da estrutura
gdl da Barra GDL da Estrutura
1 7
2 8
3 9
4 1
5 2
6 3
Pode-se usar uma matriz de incidência cinemática elH que permite obter o
vetor de deslocamento globais g
eld , de uma barra qualquer el a partir do vetor de
deslocamento D da estrutura
g
el eld = H D (2.44)
de tal modo que o número de linhas da matriz elH é igual ao número de graus de
liberdade da barra, e o numero de colunas é igual ao número de graus de liberdade da
estrutura. Para a barra ilustrada na Figura 2-5, tem-se (ver Tabela 2-1)
g1a1
g2a 2
g3a3
g4a 4
g
a5
gNa 6
D0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0d
D0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0d
D0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0d=
D1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0d
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0d
D0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0d
(2.45)
Derivando-se a eq. (2.44) em relação ao tempo, obtêm-se as expressões para
as velocidades e acelerações nodais
,g g
el el el eld = H D d = H D (2.46)
Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, tem-se que os trabalhos virtuais
externo e interno são dados por
T T
int
1
,eln
g g
ext el el
el
W W
D P d p (2.47)
onde eln é o número de elementos da estrutura.
23
De acordo com o Princípio dos Trabalhos Virtuais, o trabalho produzido pelo
carregamento externo é igual ao trabalho produzido pelas forças internas, ou seja, os
trabalhos virtuais internos e externos são iguais, intW Wext .
Substituindo a eq. (2.44) na segunda das eqs. (2.47), e igualando os trabalhos,
obtém-se
T T T T T
1 1
nel nelg g
el el el el
el el
D P D H p D H p (2.48)
já que TD independe do índice el no somatório, e sabendo que estes deslocamentos
devem ser arbitrários para que se cumpra a igualdade dos trabalhos virtuais, obtem-se o
vetor de forças nodais da estrutura
T
1
nelg
el el
el
P H p (2.49)
Substituindo as eqs. (2.44) e (2.46) em (2.42), e o resultado em (2.49), chega-
se a equação do movimento para a estrutura como um todo
MD + CD + KD = P (2.50)
onde
T T T
1 1 1
, ,nel nel nel
g g g
el el el el el el el el el
el el el
M H m H C H c H K H k H (2.51)
são, respectivamente, as matrizes de massa, amortecimento e rigidez da estrutura.
Como interpretação física da matriz de rigidez, tem-se que uma componente
ijK corresponde à força que surge no gdl i quando é imposto um deslocamento unitário
no gdl j mantendo-se os demais deslocamentos nulos. Uma interpretação análoga pode
ser feita para as matrizes de amortecimento e de massa, substituindo-se o termo
deslocamento por velocidade e aceleração, respectivamente.
O sistema de equações de equilíbrio dinâmico para um sistema de N graus de
liberdade pode ser escrito de uma maneira mais genérica como
1 1 1 1
2 2 2 2
( )
( )
( )
i a e
i a e
iN aN eN N
F F F P t
F F F P t
F F F P t
(2.52)
24
onde ,i aF F e eF são, respectivamente, as forças inerciais, de amortecimento e de
deformação elásticas. Cada um destes vetores de forças depende das respectivas
variáveis que descrevem o movimento as quais são: o deslocamento, a velocidade e
aceleração em cada grau de liberdade. Estas relações podem ser descritas, de forma
expandida, através das seguintes expressões para um sistema linear
1 11 12 1 1
2 12 22 1 2
1 2
1 11 12 1 1
2 12 22 1 2
1 2
1
2
i N
i N
iN N N NN N
a N
a N
aN N N NN N
e
e
F M M M D
F M M M D
F M M M D
F C C C D
F C C C D
F C C C D
F
F
11 12 1 1
12 22 1 2
1 2
N
N
eN N N NN N
K K K D
K K K D
F K K K D
(2.53)
Introduzindo as equações (2.53) em (2.52) se pode obter o sistema de
equações de equilíbrio dinâmico
11 12 1 11 12 11 1
12 22 1 12 22 12 2
1 2 1 2
11 12 1 1
12 22 1 2
1 2
N N
N N
N N NN N N NNN N
N
N
N N NN N
M M M C C CD D
M M M C C CD D
M M M C C CD D
K K K D
K K K D
K K K D
1
2
( )
( )
( )N
P t
P t
P t
(2.54)
2.5 ANALISE MODAL
O problema da identificação das freqüências de vibração de um determinado
sistema é resolvido com base na análise do movimento de vibrações livres (com
excitação nula) e sem amortecimento. Nestas condições as equações de equilíbrio
dinâmico tomam uma forma mais simplificada (Chopra, 1995).
25
MD + KD 0 (2.55)
Assume-se que a solução desse problema pode ser uma somatória do tipo
(Chopra, 1995)
1
( ) ( )N
j j
j
t q t
D φ (2.56)
onde o vetor jφ não muda no tempo, e o escalar ( )jq t é uma solução proposta para a
equação diferencial mostrada na equação (2.55). A função ( )jq t e sua segunda derivada
têm as seguintes formas, respectivamente
2 2
( ) cos( ) sin( )
( ) cos( ) sin( )
j j j j j
j j j j j j j
q t A t B t
q t A t B t
(2.57)
onde j é a j-ésima freqüência circular natural de vibração, e jA e jB são constantes a
ser determinadas. Substituindo (2.57) em (2.56) e esta em (2.55), chega-se a
2 cos( ) sin( ) 0j j j j j j jA t B t M φ Kφ (2.58)
Considerando que ( ) cos( ) sin( )j j j j jq t A t B t foi definido como uma
solução para a equação (2.55), então,
2 ( ) 0j j j jK q t M φ φ (2.59)
Para este problema têm-se duas possíveis soluções: a primeira é que ( )jq t seja
zero, a qual implica em ausência de movimento, e por isso não pode ser tomada como
uma solução; a segunda solução é que o primeiro termo seja nulo, o qual corresponde a
um problema de valores próprios
2
j j j M φ Kφ (2.60)
ou
2
j j K M φ 0 (2.61)
Para a solução deste tipo de problema, calcula-se o determinante da matriz de
coeficientes, e impõe-se que ele deve ser nulo, para que o sistema tenha solução não
trivial
26
2det 0j K M (2.62)
Quando o determinante é expandido, obtém-se um polinômio de ordem N em
2
j . Esta equação, conhecida como equação característica, tem N raízes reais positivas
para 2
j , porque as matrizes de massa M e de rigidez K são simétricas e positivas
definidas. As soluções podem ser agrupadas em uma matriz diagonal
2
1
2
2 2
2
0 0
0 0
0 0 N
(2.63)
As N raízes correspondem às N freqüências de vibração j . Quando uma
freqüência j é conhecida, a equação característica pode ser resolvida para o
correspondente vetor jφ a menos de uma constante multiplicativa. O problema de
valores próprios não determina o valor absoluto dos vetores jφ , mas apenas a forma do
vetor é dada pelos valores relativos dos N deslocamentos jφ . Em correspondência às N
freqüências de vibração natural jφ de um sistema com N graus de liberdade, existem N
vetores independentes jφ que são designados modos de vibração natural, e que podem
se agrupados em uma matriz, denominada matriz modal
11 12 1N
21 22 2 N
N1 N 2 NN
Φ (2.64)
Em resumo, um sistema vibratório com N graus de liberdade possui: N
freqüências de vibração naturais j (as quais podem ser organizadas em seqüência da
menor para a maior 1 2 ... N ); correspondentes períodos naturais jT ; e modos
naturais j . O termo natural é utilizado para qualificar cada uma destas propriedades de
vibração e para reforçar o fato de que estas são propriedades naturais da estrutura em
vibração livre, e elas dependem apenas das suas propriedades de massa e rigidez. O
índice j indica o número do modo e o primeiro modo (j=1) é também conhecido como o
27
modo fundamental. Uma propriedade importante de Φ é a sua ortogonalidade, com
base na qual se pode estabelecer as seguintes relações
1 1
2 2T T
0 0 0 0
0 0 0 0,
0 0 0 0N N
m k
m k
m k
Φ MΦ Φ KΦ (2.65)
Uma prática bastante comum na análise modal é modificar a escala de Φ de
modo que
T T 2ˆ ˆ ˆ ˆ,Φ MΦ= I Φ KΦ =Ω (2.66)
onde a Φ̂ é uma matriz que corresponde à matriz modal multiplicada por um escalar
denominado i . Esta relação pode ser expressa como ˆ i i iφ φ , onde i altera o
módulo dos vetores modais de modo que as equações (2.66) sejam satisfeitas. Então,
substituindo a matriz modal modificada em (2.66), tem-se
T 2 T 2 1i i i i i i i i im φ M φ φ Mφ (2.67)
onde o valor do escalar i é, finalmente, determinado da seguinte forma
1
iim
(2.68)
28
CAPÍTULO 3
Modelos para a análise da interação veículo-estrutura
Neste capítulo são desenvolvidos os modelos analíticos e numéricos dos
veículos. Foram desenvolvidos seis modelos numéricos diferentes de veículos, sendo
dois sem interação e quatro com interação com a estrutura. Para cada um dos modelos
dos veículos, são desenvolvidas as matrizes de massa, rigidez e amortecimento para as
equações de movimento, a partir das equações de Lagrange.
3.1 PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT E AS EQUAÇÕES DE
LAGRANGE
Para uma partícula tem-se a seguinte expressão que relaciona a força que atua
em uma massa em função da sua aceleração (Goldstein, 2002)
d
d
pF p
t (3.1)
onde F é a força e p é o impulso linear da partícula, tendo sido inicialmente
denominado por Isaac Newton como quantidade de movimento (Newton, 1686). O
impulso linear, por sua vez, é dado por
p mv (3.2)
onde m é a massa e v é o vetor velocidade da partícula.
Substituindo (3.2) em (3.1), se obtém a segunda lei de Newton, ou, “Lex
Secunda”, a qual estabelece que “A mudança do movimento é proporcional à ação da
força motriz e se realiza na direção daquela linha reta na qual atua esta força”.
d d d
d d d
p vF mv m
t t t
(3.3)
Entende-se como um deslocamento virtual infinitesimal de um sistema, a
mudança da configuração do sistema como resultado de qualquer mudança infinitesimal
29
de coordenadas arbitrariamente realizado ir
, que são compatíveis com as forças e as
condições de restrições ao qual o sistema encontra-se sujeito em um determinado
instante de tempo t (Goldstein, 2002).
O deslocamento denomina-se virtual para diferenciá-lo de uma mudança
verdadeira do sistema que pode ocorrer em um intervalo de tempo dt , durante o qual as
forças e as condições de restrições podem mudar.
Como premissas, exigir que o sistema esteja em equilíbrio é dizer que a força
total que atua sobre cada partícula desapareça 0iF . Então, logicamente desaparece o
produto escalar i iF r , que representa o trabalho da força iF sobre o deslocamento ir .
Considerando todas as partículas do sistema, tem-se que a soma de todos os respectivos
produtos também deve ser zero
0i i
i
F r (3.4)
Pode-se subdividir a força iF em uma força aplicada ( )a
iF e a força de
restrição if , de modo que
( )a
i i iF F f (3.5)
Substituindo a eq. (3.5) na eq. (3.4), chega-se a eq. (3.6) que representa o
trabalho das forças que atuam sobre as partículas, e o trabalho das forças de restrição
para um deslocamento virtual
( ) 0a
i i i i
i i
F r f r (3.6)
Limita-se o desenvolvimento a seguir, aos sistemas para os quais o trabalho
virtual das forças de restrição é zero.
30
Força de restrição
sobre a partícula.
Partículas obrigada
a movimentar-se em um plano.
Sistema onde ocorre a restrição.
Plano Euclídeo.
Figura 3-1 - Forças de restrição sobre uma partícula
Assim, se uma partícula é obrigada a mover-se em um plano, então a
respectiva força de restrição atua perpendicularmente sobre este plano, mas o
deslocamento virtual se realiza tangencialmente a esta força de restrição. Devido a isto,
o trabalho virtual associado à força de restrição desaparece. Tem-se então, para o
equilíbrio do sistema, a condição de que o trabalho virtual das forças que atuam sobre as
partículas seja nulo
( ) 0a
i i
i
F r (3.7)
A equação (3.7) é denominada com freqüência, como Principio de Trabalho
Virtual (Goldstein, 2002), para um sistema de partículas. Constata-se que a afirmação
de que os coeficientes ir não sejam iguais à zero, é dizer em geral que ( ) 0a
iF . Isto
ocorre porque os deslocamentos virtuais ir não são plenamente independentes, já que
eles devem satisfazer as condições de restrição. Para fazer desaparecer os coeficientes,
deve-se levar esse Princípio de Trabalho Virtual a uma forma que contenha os
deslocamentos virtuais em termos de coordenadas generalizadas, que são independentes
entre si. As equações dos trabalhos virtuais satisfazem esta exigência através da
exclusão das forças if , mas somente para o caso estático. Aplica-se então uma
estratégia que foi primeiramente realizada por Jakob Bernoulli (1654-1705) e logo foi
31
desenvolvida e ampliada por Jean D’Alembert (1717-1783). Pode-se reescrever a
eq.(3.1) para uma partícula, a fim de se obter a equação do movimento
0i iF p
(3.8)
Esta ultima equação considera que a partícula de um sistema encontra-se em
equilíbrio se a força que atua sobre elas é igual à soma da força realmente exercida mais
uma força efetiva contrária ip . De acordo com esta consideração, a dinâmica se reduz
aqui à estática, sendo um dos conceitos mais importante da física. Esta consideração é
aceita quando as forças são aplicadas a uma velocidade relativamente pequena, de tal
forma que a força efetiva contrária ip é zero, e então o sistema não se movimenta pelas
ações dinâmicas. Assim, substituindo a eq. (3.8) na eq. (3.6) e considerando as forças de
restrição tem-se
( ) 0a
i i i i i
i i
F p r f r (3.9)
Outra vez, limita-se o desenvolvimento a seguir, aos sistemas nos quais o
trabalho virtual das forças de restrição desaparece, conforme mostrado por D’Alembert
(1758), em Traité de Dynamique (apud Goldstein, 2002).
( ) 0a
i i i
i
F p r (3.10)
A eq. (3.10) denomina-se Principio de D’Alembert. Portanto, pode-se
interpretar a inércia dos corpos, como a oposição às mudanças de movimento, ou seja,
dito de maneira mais simples, como inércia resistente (oposta). A inércia resistente está
vetorialmente em equilíbrio com a força exterior (D’Alembert, 1758, apud Goldstein,
2002).
Pode-se definir a translação das partículas de um sistema em função aos graus
de liberdade e ao instante de tempo no sistema (Goldstein, 2002)
1 2( , , , , , , )i i j nr r q q q q t (3.11)
onde 1 2, , , , ,j nq q q q são os graus de liberdade do sistema.
Para o cálculo das velocidades pode-se fazer simplesmente uma soma de
velocidades, onde além da velocidade clássica de Newton de uma partícula, contribuem
32
à velocidade final total da partícula cada característica ou propriedade da mesma.
(Goldstein, 2002). Utilizando o principio de superposição da física para j graus de
liberdade tem-se
d
d
ji ii
j j
qr rv
q t t
(3.12)
onde a somatória representa as contribuições das propriedades ou características da
partícula, sujeitas ao tempo, durante uma trajetoria finita temporal como é mostrada na
eq. (3.12). Considerando-se que d ,j jq q são suficientemente pequenos, pode-se
ii j
j j
vv q
q
(3.13)
Analogamente, podem-se desenvolver os deslocamentos virtuais arbitrários
ir como (Goldstein, 2002)
ii j
j j
rr q
q
(3.14)
Considerando que o tempo é a verdadeira variável independente em todo o
sentido da palavra e com a ajuda das coordenadas generalizadas, pode-se escrever o
trabalho da força iF sobre a partícula i, como
,
ii i i j
i i j j
rF r F q
q
(3.15)
Ao comparar os dois tipos de trabalho, o trabalho realizado sobre
deslocamentos das coordenadas generalizadas, e o trabalho realizado pela partícula ao
deslocar-se como resultado da mudança da coordenada, então se denomina jQ as
componentes da força generalizada associada com a sua respectiva coordenada jq
(Goldstein, 2002)
ij i
i j
rQ F
q
(3.16)
Deve-se considerar que as coordenadas jq não devem necessariamente ter a
dimensão de uma longitude e os jQ não devem necessariamente ter as dimensões de
33
uma força, mas o produto de ambas sempre deve ter a dimensão de trabalho.
Substituindo a eq. (3.16) na eq. (3.15), tem-se
i i j j
i j
F r Q q (3.17)
Substituindo a eq. (3.17) na eq. (3.10), tem-se
0j j i i
j i
Q q p r (3.18)
Desenvolvendo a parcela direita da eq. (3.18) e utilizando a eq. (3.2) e
substituindo os deslocamentos virtuais obtidos da eq. (3.14)
ii i i i j
i i j
rp r m r q
q
(3.19)
Aplicando as regras de produto para derivadas na parcela direita da equação
(3.19) tem-se
d d d d
d d d d
d d
d d
i i i ii i i i i i i i
j j j j
i i ii i i i i i
i ij j j
r r r rm r m r m r m r
t q t q t q t q
r r rm r m r m r
q t q t q
(3.20)
Analisando o último termo da eq. (3.20) e fazendo uma analogia com a eq.
(3.13), levando em conta que i iv r (Goldstein, 2002), tem-se
i i
j j
v r
q q
(3.21)
Utilizando o operador d
d t como um multiplicador, se obtém uma relação
muito importante a qual permite relacionar as velocidades com os deslocamentos, com
suas respectivas coordenadas generalizadas
i i
j j
v r
q q
(3.22)
Substituindo a eq. (3.22) na eq. (3.20) e sabendo que d
d
i i
j j
v r
q t q
, obtem-se
34
d
d
i i ii i i i i i
i ij j j
r v vm r m v m v
q t q q
(3.23)
Sabendo que
2
d d d d2
d d d d
d d 1
d d 2
v v vv v v v v
t t t t
vv v
t t
(3.24)
Pode-se fazer um desenvolvimento análogo a este para qualquer tipo de
derivada. Então,
2 2d 1 1
d 2 2
ii i i i i i
i i i ij j j
rm r m v m v
q t q q
(3.25)
Denomina-se T a energia cinética do sistema que depende da massa e
velocidade da partícula.
21
2i i
i
T m v (3.26)
Substituindo (3.26) em (3.25) e multiplicando-se ambos os lados da equação
por jq , chega-se a
d
di i j
i i j j
Tp r T q
t q q
(3.27)
Substituindo (3.27) em (3.18) obtem-se uma vez mais o Princípio de
D’Alembert mostrado em Traité de Dynamique (D’Alembert, 1758, apud Goldstein,
2002).
d0
dj j
j j j
TT Q q
t q q
(3.28)
Como a equação (3.28) deve ser satisfeita para qualquer jq , se tem então que
a única parcela que pode ser zero é
d0
dj
j j
TT Q
t q q
(3.29)
35
Em geral para descrever um sistema há n destas equações, as quais são
denominadas usualmente como Equações de Lagrange. Já que jQ é uma força
generalizada, pode-se defini-la como a variação da energia potencial do sistema em
relação à coordenada generalizada. Para sistemas conservativos estas forças podem ser
obtidas a partir da função V que é denominada energia potencial do sistema (Goldstein,
2002). Esta fórmula representa a força necessária para vencer o campo
j
j
VQ
q
(3.30)
Adicionando uma parcela que representa a força própria da partícula, ou seja,
a força que precisava para fazê-la chegar onde estava em um dado instante, a equação
(3.30) é modificada como segue
d
dj
j j
V VQ
q t q
(3.31)
Então pode-se reescrever a equação (3.29), substituindo a equação que
representa as forças generalizadas.
d d
d d
d0
d
j j j j
j j j j
T V VT
t q q q t q
T V T V
t q q q q
(3.32)
Em um sistema conservativo, para o qual se deve cumprir que todas as forças
que atuam são dedutíveis a partir de uma função potencial, obtem-se
d0
d j j
T V T V
t q q
(3.33)
Denomina-se lagrangeano T V L à diferença da energia cinética ou do
estado cinético de um sistema menos a energia potencial ou estado energético da
posição do sistema em um campo. Esta equação resultante é uma equação de equilíbrio
tanto físico como matemático, sendo conhecida como Equação de Euler-Lagrange
d0
d j jt q q
L L
(3.34)
36
A equação (3.34) descreve o movimento de um sistema de uma maneira
estática de forma similar ao Princípio de D’Alembert, mas em termos de energia. É
possível utilizar várias formas de funções dissipativas, quando o sistema não for
conservativo. Quando parte da energia do sistema for dissipada por elementos
submetidos a forças que sejam proporcionais a sua velocidade, é possível acrescentar
uma parcela à equação de Lagrange utilizando uma função dissipativa R.
d0
d j j j
R
t q q q
L L
(3.35)
onde R é denominada função de dissipação de Rayleigh (Barbosa, 1999), a qual é uma
função que depende da velocidade e representa a dissipação do sistema.
21
2R cv (3.36)
Um modelo que representa o sistema de suspensão do veículo é mostrado na
Figura 3-2 -, sendo composto por massa, mola e amortecedor. A massa representada na
figura pode produzir uma resistência à translação, portanto terá uma energia cinética
translacional.
m
m
x
k
c
Figura 3-2 - Modelo massa-mola-amortecedor
Para este sistema, tem-se que a energia cinética, energia potencial e a função
de dissipação são (Gere, 2006)
2 2 21 1 1, ,
2 2 2T mx V kx R cx
(3.37)
onde m é a massa, k é a rigidez, e c é o amortecimento do sistema.
37
Há situações em que o movimento ocorre em torno de um eixo, de tal modo
que a massa pode produzir uma resistência à rotação, e neste caso estará associada a
uma energia cinética rotacional. Neste caso, pode-se definir a energia cinética rotacional
da massa a partir do momento de inércia rotacional de massa vJ e a velocidade angular
(Gere, 2006)
2 21, ,
2v v vJ m r r T J
(3.38)
onde é o ângulo de rotação e r é o raio em relação ao eixo de rotação.
3.2 MODELOS DO VEÍCULO
Os modelos do veículo podem ser obtidos a partir do princípio de D’Alembert,
onde é realizado um equilíbrio dinâmico de forças considerando-se as forças de inércia
que aparecem no sistema (são mostradas as deduções nos anexos 1, 2 e 3), ou pelas
equações de Lagrange, que também correspondem à equação de equilíbrio dinâmico,
mas em termos de energia. Esta última forma foi utilizada para o desenvolvimento das
equações de movimento que serão apresentadas a seguir.
Foram consideradas certas hipóteses para a análise dos veículos, tais como: O
veículo é simétrico tanto longitudinal como transversalmente; as molas de suspensão se
comportam de uma maneira linear; os deslocamentos angulares são pequenos e por isso
o seno e a tangente de um ângulo de giro são considerados iguais ao próprio ângulo;
todos os componentes do veículo movem-se na mesma velocidade; é considerado que
não ocorre descontinuidade no movimento entre a roda e a ponte, ou seja, que a roda
não se separa do elemento da estrutura sobre o qual ela se movimenta.
3.2.1 Modelos sem interação veículo-estrutura
Neste caso, a ação vertical é modelada somente com forças aplicadas sobre a
ponte, podendo ser aplicadas sobre um ponto ou distribuídas sobre uma pequena área
simulando o efeito de espraiamento do carregamento. É considerado também que estas
forças movimentam-se a uma velocidade constante sobre a estrutura. Não existe
qualquer interação entre veículo e estrutura neste modelo.
38
3.2.2 Modelos com interação veículo-estrutura
Nestes modelos a ação vertical é representada por elementos que simulam a
suspensão primária, secundária e, em alguns casos, a inércia rotacional do veículo. As
forças que atuam sobre o sistema são impostas pela interação entre o veículo e estrutura,
assumindo-se que as forças são aplicadas sobre a estrutura de modo concentrado.
De uma forma geral, podem-se escrever as equações de equilíbrio para
qualquer tipo de veículo em vibração livre que irá interagir com a estrutura, da seguinte
maneira (Romero, 2002).
0 0
0 0
vv vr vv vrvv v v v
rv rr rv rrrr r r r
C C K KM y y y+ +
C C K KM y y y (3.39)
onde
vv rrM ,M são sub-matrizes de massas para veículo e rodas;
vv vr rv rrC ,C ,C ,C são sub-matrizes de amortecimento para veículo e rodas;
vv vr rv rrK ,K ,K ,K são sub-matrizes de rigidez para veículo e rodas;
v r v r v ry ,y ,y ,y ,y ,y são vetores de deslocamentos, velocidades e acelerações do
veículo e a roda respectivamente;
Na nomenclatura adotada, denominam-se cada parcela com um subscrito “v”
que representa os graus de liberdade do veículo, ou “r” que representa os graus de
liberdade da roda.
3.2.2.1 Modelo com elemento de massa
O modelo com elemento de massa é o modelo de interação mais simples, no
qual é considerada a massa do veículo como um elemento externo à estrutura.
Interagindo com a estrutura, esta massa será acoplada ao sistema convenientemente e
aplicará à estrutura uma força de interação. Este modelo de veículo não possui
amortecimento ou rigidez.
39
d 1 = 0d 2
d N = 0
m r m r m r
Figura 3-3 - Viga simplesmente apoiada com elementos de interação de massa
Neste caso, de acordo com a eq. (3.39), tem-se as seguintes matrizes de massa,
amortecimento e rigidez, para cada veículo isolado (massa)
0 , 0 , 0
0 0 , 0 , 0
rm
vv rr vv vr rv
rr vv vr rv rr
M M , C C C
C , K K = K K (3.40)
Onde rm é a massa da roda.
3.2.2.2 Modelo de interação com elemento simplificado
No modelo de interação simplificado (Figura 3-4), considera-se a massa
suspensa da caixa vm , a rigidez
1k e o amortecimento 1c do sistema de suspensão.
Também é modelada a massa rm das rodas que estão em contato com a estrutura, sendo
acopladas à estrutura.
mv
k1
mr
c1
Figura 3-4 - Modelo de interação simplificado
A Figura 3-5 ilustra os dois graus de liberdade deste modelo de veículo, e o
deslocamento generalizado (deslocamento relativo) entre as duas massas.
40
mv
d1
yv
yr mr
Figura 3-5 - Deslocamentos para um elemento interação simplificado
Utilizam-se as equações de Lagrange mostradas em (3.35), para se obter as
matrizes do veículo. Neste modelo, tem-se 2 graus de liberdade, portanto existem 2
equações de Lagrange. O deslocamento generalizado pode ser determinado como
1 -v rd y y
(3.41)
onde
vy é o deslocamento vertical do centro da gravidade do veículo;
ry é o deslocamento vertical da roda;
1d é o deslocamento generalizado.
As equações de Lagrange que determinam o equilíbrio do sistema para este
veículo são
d0
dt
d0
dt
v v v
r r r
R
y y y
R
y y y
L L
L L
(3.42)
A energia cinética produzida pela massa do veículo suspensa, a energia
potencial produzida pela deformação da mola e a função de dissipação do veículo são
41
2 2
2
1
2
1
1 1
2 2
1-
2
1-
2
v v r r
v r
v r
T m y m y
V k y y
R c y y
(3.43)
O Lagrangeano do veículo é por definição T V L , ou seja, a energia total
do veículo sem considerar a dissipação será
22 2
1
1 1 1
2 2 2v v r r v rm y m y k y y L (3.44)
Desenvolvendo por partes cada uma das equações de Lagrange (3.42), tem-se
1 1
1 1
d, - , -
dt
d, - , -
dt
v v v r v r
v v v
r r v r v r
r r r
Rm y k y y c y y
y y y
Rm y k y y c y y
y y y
L L
L L
(3.45)
Substituindo (3.45) em (3.42), obtem-se as equações de movimento para o
veículo com 2 graus de liberdade
1 1
1 1
0
0
v v v r v r
r r v r v r
m y c y y k y y
m y c y y k y y
(3.46)
Escrevendo esta equação na forma matricial, e considerando a eq. (3.39),
obtêm-se as seguintes matrizes de massa, amortecimento e rigidez
1 1 1
1 1 1
,
, ,
, - ,
v rm m
c c c
k k k
vv rr
vv vr rv rr
vv vr rv rr
M M
C C C C
K K K K (3.47)
onde
,v rm m são a massa da caixa e da roda do veículo respectivamente;
1c é constante do amortecimento viscoso do veículo;
1k é a rigidez da suspensão do veículo.
42
3.2.2.3 Modelo com elemento completo tipo I
No modelo de interação completa tipo I o veículo é representado mediante
uma massa com inércia à translação vertical e com inércia rotacional, sendo também
considerados os sistemas de amortecimento para cada uma das rodas. No modelo de
interação completa tipo I, o veículo é modelado com 4 graus de liberdade, conforme
mostrado nas Figura 3-6 e Figura 3-7.
L
m v,J v
L
yr1 yr2
yv
Figura 3-6 - Modelo de interação completa tipo I
l/2
L
k1 c1 k2 c2
mr mr
ks Cs
mc,Jc
l/2
yr4
ybt
bt
yr3
ks Cs
yr2
ybd
bd
yr1
c
yc
L
Figura 3-7 - Descrição da parte inferior do modelo
Os símbolos empregados na Figura 3-6 e na Figura 3-7 têm os seguintes
significados:
vy é o deslocamento vertical do centro de gravidade da massa suspensa do
veículo;
é a rotação da massa suspensa do veículo;
riy é o deslocamento vertical para cada roda;
43
L é a distância entre o centro de gravidade da massa suspensa do veículo e
rodas;
vJ é o momento de inércia rotacional da massa suspensa do veículo;
vm é a massa suspensa do veículo;
rm é a massa de cada roda;
ik é a rigidez da suspensão para cada roda;
ic é a constante do amortecedor viscoso para cada roda.
Utiliza-se as equações de Lagrange (3.35), considerando os deslocamentos
generalizados mostrados na Figura 3-8, para a determinação das matrizes deste modelo
de veículo.
L L
d1 d2
Figura 3-8 - Deslocamentos para um elemento interação completa tipo I
Neste modelo, tem-se 4 graus de liberdade, e portanto existem 4 equações de
Lagrange. Os deslocamentos generalizados podem ser determinados como
1 1 2 2,v r v rd y L y d y L y (3.48)
As equações de Lagrange que determinam o equilíbrio do sistema para este
veículo serão
44
1 1 1 2 2 2
d d0, 0
dt dt
d d0, 0
dt dt
v v v
r r r r r r
R R
y y y
R R
y y y y y y
L L L L
L L L L
(3.49)
A energia cinética translacional e rotacional produzida pela massa suspensa do
veículo, a energia potencial correspondente à energia de deformação das molas em cada
roda, e a função de dissipação do veículo são
2 2 2 2
1 2
2 2
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
v v v r r r r
v r v r
v r v r
T m y J m y m y
V k y L y k y L y
R c y L y c y L y
(3.50)
O Lagrangeano do veículo é por definição T V L , ou seja, a energia total
do veículo, sem considerar a dissipação será
2 2 2 2
1 2
2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
v v v r r r r
v r v r
m y J m y m y
k y L y k y L y
L (3.51)
Desenvolvendo por partes cada uma das equações de Lagrange em (3.49) tem-
se
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1
1 1
d,
dt
d,
dt
d,
dt
v v v r v r
v v
v r v r
v
v v r v r
v r v r
r r v
r r
m y k y L y k y L yy y
Rc y L y c y L y
y
J k L y L y k L y L y
Rc L y L y c L y L y
m y k y Ly y
L L
L L
L L
1 1 1
1
2 2 2 2 2
2 2 2
,
d, ,
dt
r v r
r
r r v r v r
r r r
Ry c y L y
y
Rm y k y L y c y L y
y y y
L L
(3.52)
Substituindo (3.52) em (3.49) obtem-se as equações de movimento para o
veículo com 4 graus de liberdade
45
1 1 2 2 1 1
2 2
1 1 2 2 1 1
2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
0
0
0
0
v v v r v r v r
v r
v v r v r v r
v r
r r v r v r
r r v r v r
m y c y L y c y L y k y L y
k y L y
J Lc y L y Lc y L y Lk y L y
Lk y L y
m y c y L y k y L y
m y c y L y k y L y
(3.53)
Escrevendo esta equação na forma matricial, e considerando a eq. (3.39),
obtêm-se as seguintes matrizes de massa, amortecimento e rigidez
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
1
2
0 0,
0 0
,
0,
0
v r
v r
T
m m
J m
c c c c L c c
c c L c c L c L c L
c
c
vv rr
vr
rv vr rr
M M
C
C C C
vvC (3.54)
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
1
2
1
2
,
0,
0
,
T
rv
r
k k k k L k k
k k L k k L k L k L
k
k
yy
y
vv vr
rv vr rr
v r
K K
K = K K
y y
(3.55)
3.2.2.4 Modelo com elemento completo tipo II
No modelo de interação completa tipo II o veículo é modelado com 10 graus
de liberdade. Neste caso são modeladas a massa suspensa do veículo e as massas dos
truques traseiro e dianteiro. Estas massas têm as propriedades de deslocar-se
verticalmente e girar ao redor de seu próprio eixo. Também é modelado o sistema de
suspensão, com dois dispositivos, primário e secundário, para os quais são definidas
propriedades de rigidez e amortecimento. O modelo é mostrado na Figura 3-9 e na
Figura 3-10.
46
L
mv,Jv
L
yr1
ys1s1
yr2 yr3
ys2s2
yr4
yv
ms1,Js1 ms2,Js2
Figura 3-9 - Modelo de interação completa tipo II
l/2
d
mS1,JS1
k3 c3 k4 c4
mr
ks Cs
mc,Jc
l/2
yr4
ybt
bt
yr3
ks Cs
yr2
ybd
bd
yr1
c
yc
k1 c1
mS2,JS2
k5 c5 k6 c6
k2 c2
mr mr mr
d d d
Figura 3-10 - Descrição truque traseiro e dianteiro do modelo completo tipo II
Os símbolos empregados na Figura 3-9 e na Figura 3-10 têm os seguintes
significados:
vy é o deslocamento vertical do centro de gravidade da massa suspensa do
veículo;
é a rotação da massa suspensa do veículo;
1sy é o deslocamento vertical do centro de gravidade do truque traseiro;
1 é a rotação do truque traseiro;
2sy é o deslocamento vertical do centro de gravidade do truque dianteiro;
47
2 é a rotação do truque dianteiro;
riy é o deslocamento vertical de cada roda;
L é a distancia entre os centros de gravidades da massa suspensa e truque;
d é a distancia entre o centro de gravidade do truque e a roda;
siJ é o momento de inércia do truque frente à rotação;
vm é a massa suspensa do veículo;
sim é a massa suspensa do truque;
vJ é o momento de inércia da massa suspensa do veículo frente à rotação;
rm é a massa de cada roda;
ik é a rigidez da suspensão;
ic é a constante do amortecedor viscoso.
Utiliza-se as equações de Lagrange (3.35), considerando os deslocamentos
generalizados mostrados na Figura 3-11 -, para a determinação das matrizes deste
modelo de veículo.
L L
d1
d d d d
d2
d3 d4 d5 d6
Figura 3-11 - Deslocamentos para um elemento interação completa tipo II
48
Neste modelo tem-se 10 graus de liberdade, e portanto, existem 10 equações
de Lagrange. Os deslocamentos generalizados podem ser determinados como
1 1 2 2
3 1 1 1 4 1 1 2
5 2 2 3 6 2 2 4
,
,
,
v s v s
s r s r
s r s r
d y L y d y L y
d y d y d y d y
d y d y d y d y
(3.56)
As equações de Lagrange para este veículo que determinam o equilíbrio do
sistema são
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2
d d0, 0
dt dt
d d0, 0
dt dt
d d0, 0
dt dt
d d0,
dt dt
v v v
s s s
s s s
r r r r r
R R
y y y
R R
y y y
R R
y y y
R R
y y y y y
L L L L
L L L L
L L L L
L L L L
2
3 3 3 4 4 4
0
d d0, 0
dt dt
r
r r r r r r
y
R R
y y y y y y
L L L L
(3.57)
A energia cinética translacional e rotacional produzida pelas massas suspensas
do veículo, a energia potencial produzida pelas molas de cada roda e a função de
dissipação do veículo são
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 2
1 1 2 2 3 1 1 1
2 2 2
4 1 1 2 5 2 2 3 6 2 2 4
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
v v v s s s s s s
r r r r r r r r
v s v s s r
s r s r s r
T m y J m y J m y J
m y m y m y m y
V k y L y k y L y k y d y
k y d y k y d y k y d y
R
2 2 2
1 1 2 2 3 1 1 1
2 2 2
4 1 1 2 5 2 2 3 6 2 2 4
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
v s v s s r
s r s r s r
c y L y c y L y c y d y
c y d y c y d y c y d y
(3.58)
O Lagrangeano do veículo é por definição T V L , ou seja, a energia total
do veículo sem considerar a dissipação será
49
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
22 2 2 2
1 2 3 4 1 1
2 2 2
2 2 3 1 1 1 4 1 1 2
2 2
5 2 2 3 6 2 2 4
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
v v v s s s s s s
r r r r r r r r v s
v s s r s r
s r s r
m y J m y J m y J
m y m y m y m y k y L y
k y L y k y d y k y d y
k y d y k y d y
L
(3.59)
Desenvolvendo por partes cada uma das equações de Lagrange em (3.57) tem-
se
50
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1
1
1
1
d,
dt
d,
dt
d
dt
v v v s v s
v v
v s v s
v
v v s v s
v s v s
s s
s
v
s
m y k y L y k y L yy y
Rc y L y c y L y
y
J k L y L y k L y L y
Rc L y L y c L y L y
m yy
k y Ly
L L
L L
L
L
1 3 1 1 1 4 1 1 2
1 1 3 1 1 1 4 1 1 2
1
1 1 3 1 1 1 4 1 1 2
1 1
3 1 1 1 4 1 1 2
1
2
2
d,
dt
d
dt
s s r s r
v s s r s r
s
s s r s r
s r s r
s
s
y k y d y k y d y
Rc y L y c y d y c y d y
y
J k d y d y k d y d y
Rc d y d y c d y d y
Lm
y
L L
2
2 2 5 2 2 3 6 2 2 4
2
2 2 5 2 2 3 6 2 2 4
2
2 2 5 2 2 3 6 2 2 4
2 2
5 2 2 3 6 2 2
2
d,
dt
s
v s s r s r
s
v s s r s r
s
s s r s r
s r s
y
Lk y L y k y d y k y d y
y
Rc y L y c y d y c y d y
y
J k d y d y k d y d y
Rc d y d y c d y d
L L
4
1 3 1 1 1 3 1 1 1
1 1 1
2 4 1 1 2 4 1 1 2
2 2 2
3 5 2 2 3 5 2 2 3
3 3 3
d, ,
dt
d, ,
dt
d, ,
dt
d
d
r
r r s r s r
r r r
r r s r s r
r r r
r r s r s r
r r r
y
Rm y k y d y c y d y
y y y
Rm y k y d y c y d y
y y y
Rm y k y d y c y d y
y y y
L L
L L
L L
4 6 2 2 4 6 2 2 4
4 4 4
, ,t
r r s r s r
r r r
Rm y k y d y c y d y
y y y
L L
(3.60)
Substituindo (3.60) em (3.57) obtem-se as equações de movimento para o
veículo com 10 graus de liberdade
51
1 1 2 2 1 1
2 2
1 1 2 2 1 1
2 2
1 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 2
1 1 3
0
0
v v v s v s v s
v s
v v s v s v s
v s
s s v s s r s r
v s
m y c y L y c y L y k y L y
k y L y
J Lc y L y Lc y L y Lk y L y
Lk y L y
m y c y L y c y d y c y d y
k y L y k y
1 1 1 4 1 1 2
1 1 3 1 1 1 4 1 1 2 3 1 1 1
4 1 1 2
2 2 2 2 5 2 2 3 6 2 2 4
2 2 5 2 2 3 6 2 2 4
0
0
0
s r s r
s s r s r s r
s r
s s v s s r s r
v s s r s r
d y k y d y
J dc y d y dc y d y dk y d y
dk y d y
m y c y L y c y d y c y d y
k y L y k y d y k y d y
2 2 5 2 2 3 6 2 2 4 5 2 2 3
6 2 2 4
1 3 1 1 1 3 1 1 1
2 4 1 1 2 4 1 1 2
3 5 2 2 3 5 2 2 3
0
0
0
0
s s r s r s r
s r
r r s r s r
r r s r s r
r r s r s r
r
J dc y d y dc y d y dk y d y
dk y d y
m y c y d y k y d y
m y c y d y k y d y
m y c y d y k y d y
m y
4 6 2 2 4 6 2 2 4 0r s r s rc y d y k y d y
(3.61)
Escrevendo esta equação na forma matricial, e considerando a eq. (3.39),
obtêm-se as seguintes matrizes de massa, amortecimento e rigidez
1
1
2
2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0,
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
v
v r
s r
s r
s r
s
m
J m
m m
J m
m m
J
vv rrM M
(3.62)
52
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 3 4 3 4
2 2
3 4 3 4
2 2 2 5 6 5 6
2 2
5 6 5 6
3 4
3 4
5 6
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0
c c c L c L c c
c L c L c L c L c L c L
c c L c c c c d c d
c d c d c d c d
c c L c c c c d c d
c d c d c d c d
c c
dc dc
c c
vv
vr
C
C
3
4
5
6
5 6
0 0 0
0 0 0, ,
0 0 0
0 0 0
0
T
c
c
c
c
dc dc
rv vr rrC = C C
(3.63)
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 3 4 3 4
2 2
3 4 3 4
2 2 2 5 6 5 6
2 2
5 6 5 6
3 4
3 4
5 6
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0
k k k L k L k k
k L k L k L k L k L k L
k k L k k k k d k d
k d k d k d k d
k k L k k k k d k d
k d k d k d k d
k k
dk dk
k k
vv
vr
K
K
3
4
5
6
5 6
1
1 2
1 3
2 4
2
0 0 0
0 0 0, = ,
0 0 0
0 0 0
0
,
T
v
r
s r
r
s r
k
k
k
k
dk dk
y
y
y y
y
y y
rv vr rr
v r
K K K
y y
(3.64)
53
3.3 MODELAGEM DAS IRREGULARIDADES DA VIA
Na iteração entre veículo e estrutura, é importante considerar as
irregularidades da via que podem ocorrer devido ao fato da estrutura estar submetida à
ação de temperatura, desgaste ou a estrutura não estiver perfeitamente ancorada. Por
estas razões a via pode sofrer deformações no seu plano vertical.
Neste trabalho, para a representação das irregularidades da via é utilizado o
método de somatória de modos com funções do tipo seno (Fryba, 2001), onde poderá
ser considerada a irregularidade transversal. A função utilizada é
l
vtnsenAxu nr
)( (3.65)
onde
ru é o deslocamento produzido pelas irregularidades da via;
nA é o valor da amplitude da irregularidade básica;
n é o numero de meias onda em l ;
l é o comprimento com irregularidades;
v é a velocidade do veículo expressada em m/s.
Também se pode definir como freqüência das irregularidades, a seguinte relação
n v
l
(3.66)
Portanto, a equação que será utilizada neste trabalho para a representação das
irregularidades na viga pode ser expressa na forma
r nu x A sen t
(3.67)
Este modelo apresentado é simplesmente aproveitando os nos dos elementos finitos que
simulam a estrutura, modificando assim as coordenadas dos nos em função à eq. (3.67).
54
O modelo numérico que simula a geometria com irregularidades da via é mostrada na
Figura 3-12.
Figura 3-12 – Modelo considerado para as irregularidades de via
55
CAPÍTULO 4
Metodologia de solução
Os métodos de solução aplicados a vigas simplesmente apoiadas estão
baseados na integração no tempo do modelo estrutural considerando a ação do trem
como um carregamento móvel. Estes cálculos podem ser realizados seguindo diferentes
metodologias: uma delas considera o modelo como um sistema discreto com N graus de
liberdade e integradores temporais. Outras metodologias são baseadas na superposição
modal, para os modos mais significativos. Em ambos os casos, quando se leva em conta
a interação veículo-estrutura, a complexidade da solução aumenta, sendo muito mais
interessante para a pesquisa, porém com maior custo para a elaboração de um projeto
estrutural.
Neste capítulo, mostra-se uma solução analítica por superposição modal para
os modos mais significativos. Para a solução numérica, será utilizada uma aproximação
com funções de formas polinomiais.
4.1 SOLUÇÃO EM PROBLEMAS SEM INTERAÇÃO
O modelo sem interação foi o mais utilizado desde os primordios da análise
dinâmica de pontes ferroviárias. Este tipo de solução foi a mais utilizada pela
simplicidade e relevância dos resultados obtidos, sendo usualmente tomada como
modelo geral para a análise de projetos de engenharia (Romero, 2002). As equações
diferenciais neste modelo são obtidas considerando-se uma viga em flexão, conforme
mostrado a seguir.
4.1.1 Modelo com carregamento pontual
Mostra-se a equação fundamental de uma viga em flexão (Romero, 2002).
2 2
2 2 2,
p py ym EI q x t
t x x
(4.1)
56
onde
m é a massa distribuída em todo o comprimento da viga;
py são os deslocamentos transversais ao longo da viga;
E é o módulo de elasticidade do material;
I é o momento de inércia da seção da viga;
,q x t é a carga distribuída sobre a viga;
x é a variável de localização sobre a viga.
A Figura 4-1 mostra uma viga simplesmente apoiada sujeita a cargas pontuais.
YP 1
X
P 2P n
y ( x , t )
V t - d 2
V t - d n x
V t - d 1
Figura 4-1 - Viga simplesmente apoiada com carregamento pontual
Os modos naturais de vibração de uma viga simplesmente apoiada de
comprimento L com rigidez à flexão e massa constante são da família de senos (Clough,
2003).
j
j xx sen
L
(4.2)
Então, os deslocamentos verticais de cada ponto são aproximados através de
uma superposição baseada na família de senos, utilizando um deslocamento temporal
modal multiplicado pela função modal que representa o movimento da viga
1 1
, ( ) ( ) ( )senM M
p j j j
j j
j xy x t Y t x Y t
L
(4.3)
onde
57
( )jY t são os deslocamentos modais da viga;
( )j x é a forma modal da viga;
L é o comprimento da viga;
M é o número de modos de vibração utilizados para a aproximação.
Utilizando esta aproximação, podem-se desenvolver as derivadas desta função
para poder introduzí-las na equação fundamental (4.1) da viga.
2
21
4 4
4 41
44
4
,
,
Mp
j j
j
Mp j
j
j
j
j
y x tY t x
t
y x t xY t
x x
x jx
x L
(4.4)
Substituindo estas equações na equação diferencial (4.1), multiplicando pela
forma modal da estrutura i x , e integrando, tem-se
4
1 10 0
0
( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d
( ) , d
L LM M
i j j i j j
j j
L
i
jm x Y t x x EI x Y t x x
L
x q x t x
(4.5)
Considera-se que a massa por unidade de comprimento, o módulo de
elasticidade e o momento de inércia sejam constantes em todo o comprimento da ponte.
Levando-se em conta a ortogonalidade da família de senos, tem-se
0
0
Para , ( ) ( )d / 2
Para , ( ) ( )d 0
L
i j
L
i j
i j x x x L
i j x x x
(4.6)
Obtem-se assim a equação diferencial para a amplitude de cada modo de
vibração
4
3
0
, d2 2
L
i i
mL EI i xY t i Y t q x t sen x
L L
(4.7)
58
A expressão fundamental sem amortecimento de um sistema massa mola
simples é a seguinte
0mu t ku t
(4.8)
onde ( )u t é o deslocamento, m é a massa e k é a rigidez da mola.
Fazendo uma analogia entre as eqs. (4.8) e (4.7), pode-se obter a massa,
rigidez e a freqüência natural para cada modo de vibração da viga
2
4
3
ˆˆˆ , ,
ˆ2 2
ii i i
i
kmL EI i EIm k i
L m L m
(4.9)
onde
ˆim é a massa para cada modo de vibração;
ˆik é a rigidez para cada modo de vibração;
i é a freqüência angular para cada modo de vibração.
Substituindo a expressão para a freqüência angular da eq. (4.9) na eq. (4.7)
obtém-se o seguinte
2
0
2, d
L
i i i
i xY t Y t q x t sen x
mL L
(4.10)
O termo do lado esquerdo da equação pode representar um carregamento
móvel aplicado sobre um ponto em um determinado instante no tempo. Dependendo da
velocidade do veículo, isto pode ser avaliado através do emprego de uma função delta
de Dirac, da seguinte maneira (Romero, 2002)
10 0
, sen senpNL L
k k
k
i x i xq x t dx P x v t t dx
L L
(4.11)
onde
pN é o numero de cargas sobre a estrutura;
kP é o valor da k-ésima carga sobre a estrutura;
v é a velocidade do veículo;
59
kt é o instante de entrada da carga na estrutura;
é a função delta de Dirac, definida como:
0
1
x ax a
x a
(4.12)
O sinal negativo na eq. (4.11) deve-se ao fato de que as cargas atuam contra a
gravidade, ou seja, no sentido negativo do eixo y. Pelas propriedades da função delta de
Dirac, a integral converte-se no valor da função integrada particularizada em
( )kx v t t . Assim,
10
,pNL
k
k
k
i v t ti xq x t sen dx P sen
L L
(4.13)
Substituindo a eq. (4.13) na eq. (4.10) obtem-se a equação diferencial que
permite obter a amplitude de cada modo de vibração para um carregamento que se
movimenta ao longo de todo o comprimento da viga simplesmente apoiada.
2
1
2 pN
k
i i i k
k
i v t tY t Y t P sen
mL L
(4.14)
Em função deste carregamento, a viga apresenta duas respostas, quais sejam:
uma oscilação forçada devido à presença da carga sobre a ponte, cuja duração é limitada
pelo intervalo de aplicação da carga; uma oscilação livre, correspondente à solução da
equação homogeneizada.
A oscilação livre é tal que, somada à oscilação forçada, produz condições
iniciais nulas na entrada da carga na ponte. Quando a carga abandona a ponte, a
oscilação forçada transforma-se em uma segunda oscilação livre de forma que se
conserva o deslocamento e velocidade entre os instantes imediatamente anterior e
posterior à saída da carga. Assim, uma vez que a carga deixa a ponte, a resposta de cada
modo compõe-se da soma das oscilações livres de freqüências ni . O caso de uma única
carga P que entra na ponte no instante 0t é a base para construir a resposta por
superposição de uma ponte isostática para uma série de cargas.
A solução da equação que governa a amplitude dos modos de vibração para
um tempo onde as cargas estão dentro da ponte será (Chopra, 1995).
60
221
2 1sen sen
pN
ki k i k
k ii
P i v i vY t t t t t
mL L Li v L
(4.15)
Deve-se destacar que a solução correspondente à amplitude do modo de
vibração proporciona diretamente o valor do deslocamento no centro do vão com a
contribuição somente do modo utilizado.
A partir desta expressão, pode-se obter a solução correspondente a t L v , ou
seja, após as cargas terem abandonado a ponte.
221
2 1
1
pN
ki
k ii
i
i k i k
P i vY t
mL Li v L
sen t t L v sen t t
(4.16)
Podem-se desenvolver de uma maneira similar as soluções para as equações
diferenciais considerando amortecimento no sistema. Neste caso, a equação tem a
seguinte forma
( ) 0mu t cu t ku t
(4.17)
A solução deste tipo de equação pode ser resolvida tendo como base as eqs.
(4.15) e (4.16), as quais são mostradas em Chopra (1995). Desenvolvendo a equação
diferencial (4.17), para a situação em que o carregamento esteja sobre a viga ( t L v ),
obtém-se a solução
221
( - )
2 1
di k
Np
ki
k di
t t
k di k
di
PY t
mL i v L
i v i vsen t t e sen t t
L L
(4.18)
Para t L v a solução será
221
( - - / ) ( - )
2 1
1 sen / sen
p
di k di k
N
ki
k didi
i t t L v t t
di k di k
P i vY t
mL Li v L
e t t L v e t t
(4.19)
As eqs. (4.18) e (4.19) correspondem a oscilações amortecidas de freqüência
61
21di i i
(4.20)
onde
di é a freqüência angular amortecida para cada modo;
i é a taxa de amortecimento para cada modo.
As equações (4.15), (4.16), (4.18) e (4.19) representam os deslocamentos
modais através do tempo. Deve-se lembrar que estes deslocamentos deverão ser
multiplicados pela função modal correspondente para obter a resposta total do sistema
de acordo com a eq. (4.3) (Chopra, 1995).
4.1.2 Modelo com carregamento distribuído
O modelo de cargas distribuídas é, na essência, similar ao modelo de cargas
pontuais. A diferença entre ambos reside no fato de que no primeiro deles as ações se
distribuíem sobre certo comprimento e no segundo as ações atuam de forma
concentrada em uma seção da ponte. Na verdade, o caso do carregamento concentrado
consiste em uma maior idealização da situação real, já que as forças que atuam em uma
estrutura são sempre distribuídas em uma determinada região. Portanto, tenta-se simular
o efeito de difusão de rodas até o nível do eixo neutro da viga. O efeito de espraiamento
das cargas é devido à presença do trilho, dormentes, lastro e espessura dos elementos
estruturais (laje e vigas).
Tendo em conta que as cargas representadas são de sinal negativo, o valor da
carga em qualquer seção e instante do tempo é dado por (Romero, 2002):
1
,Np
k k k
k
q x t q H x v t t H x v t t a v
(4.21)
onde
kq é a carga distribuída associada a um eixo do veículo;
H é a função Heaviside, de modo que
0
1
x aH x a
x a
(4.22)
62
Dada à expressão da carga distribuída ,q x t , a integral no segundo membro
da eq. (4.10) resulta em uma excitação do tipo senoidal e, portanto, uma resposta similar
que se compõe de oscilação livre e forçada. A freqüência da vibração forçada é
determinada pelo avanço das cargas a velocidade V e em conseqüência, resulta ser
também /i v L . No modelo de cargas distribuídas, produz-se uma diminuição da
resposta, fenômeno que resulta mais evidente em pontes de menor comprimento.
Y
X
y ( x , t )
V t - d 2
V t - d n x
V t - d 1
q 1q 2q n
a a
Figura 4-2 - Viga simplesmente apoiada com carregamento distribuído
Podem-se desenvolver de uma maneira similar as soluções para as equações
diferenciais considerando amortecimento no sistema. Neste caso, a equação tem a forma
da eq. (4.23), onde a solução da equação diferencial considerando este tipo de
carregamento é
221
( - )
2 1
di k
Np
ki
k di
t t
k di k
di
q aY t
mL i v L
i v i vsen t t e sen t t
L L
(4.24)
Para t L v a solução será
221
( - - / ) ( - )
2 1
1 sen / sen
p
di k di k
N
ki
k didi
i t t L v t t
di k di k
q a i vY t
mL Li v L
e t t L v e t t
(4.25)
63
4.2 SOLUÇÃO EM PROBLEMAS COM INTERAÇÃO
Geralmente, para qualquer tipo de veículo e estrutura, a equação matricial para
a solução de problemas com interação entre veículo estrutura é (Romero, 2002)
t
gvvv vr vv vrvv v v v
grrv rr rv rrrr r r r
F 0C C K KM 0 y y y+ + = +
F FC C K K0 M y y y (4.26)
onde
tF( ) são as forças de interação entre veículo estrutura;
gvF são as forças estáticas que atuam no veículo;
grF são as forças estáticas que atuam na roda;
v v vy ,y ,y são, respectivamente, os deslocamentos, velocidades e acelerações
dos graus de liberdade da massa suspensa do veículo;
r r ry ,y ,y são, respectivamente, os deslocamentos, velocidades e acelerações
das rodas do veículo.
Neste caso, as forças ( )tF que produzem o movimento são representadas
como forças concentradas sobre a estrutura e são justamente as forças de interação. Na
eq. (4.26) são mostradas as equações de movimento do sistema com interação mais as
forças que atuam sobre o sistema gvF e grF .
Pode-se expressar o equilíbrio da ponte mediante a seguinte equação matricial,
que é somente outra maneira de mostrar a equação (4.14) aumentando a parcela do
amortecimento do sistema e substituindo as forças kP pelo vetor de forças de interação
( )tF
T
t t t t tp p pM Y +C Y +K Y = -A F (4.27)
com
64
1
2
1 1 1
2
2 2 2
1
42
3
ˆ 0 0
ˆ0 0ˆ,
2
ˆ0 0
ˆ2 0 0
ˆ0 2 0,
ˆ0 0 2
ˆ 0 0
ˆ0 0 ˆ,2
ˆ0 0
i
M
i
M M M
i
M
m
m mLm
m
m
m i EI
L m
m
k
EIkk i
L
k
p
p
p
M
C
K
(4.28)
1
2 sen 0,
0 em qualquer outro caso
k
k
M
Y ti vt d
Y t vt d Lt t L
Y t
kiY A (4.29)
onde
pM é a matriz de massas modal da estrutura;
pC é a matriz de amortecimento modal da estrutura;
pK é a matriz de rigidez modal da estrutura;
( )tA é a matriz de interpolação modal.
A matriz de interpolação ( )tA mostrada na eq. (4.29) tem tantas linhas como
eixos do veículo e tantas colunas como modos. Admitindo que os eixos dos veículos
permaneçam sempre em contato com a ponte, seus deslocamentos verticais podem ser
interpolados utilizando esta matriz (Romero, 2002)
t t try = A Y (4.30)
As forças de interação são as que acoplam o comportamento do veículo e
ponte e serão transmitidas para a estrutura pela interação do veículo. Para obter a
equação do sistema, procede-se do seguinte modo.
Em primeiro lugar obtem-se as forças de interação a partir da eq. (4.26).
65
t gr rr r rv v rr r rv v rr r
gv vv v vv v vr r vv v vr r
F = -F + M y + C y + C y + K y + K y
F = M y + C y + C y + K y + K y (4.31)
Em seguida, deriva-se à equação (4.30) em relação ao tempo obtendo-se uma
interpolação para a velocidade e aceleração vertical dos eixos. Pode-se introduzir uma
simplificação eliminando as derivadas da função de interpolação ( )tA , considerando
que a rigidez da ponte ferroviária é suficientemente elevada (Blakeley, 1968)
t t t
t t t
r
r
y A Y
y A Y (4.32)
Pode-se apreciar na expressão anterior que a derivada temporal da matriz
( )tA é em efeito função dependente da deformada e também da velocidade de
passagem dos veículos. Substituindo (4.32) em (4.31) obtem-se
t t t t t
t t
t t t t
gr rr rv v rr rv v
rr
gv vv v vv v vr vv v vr
F = -F + M A Y + C y + C A Y + K y +
K A Y
F = M y + C y + C A Y + K y + K A Y
(4.33)
Substituindo ( )tF da eq. (4.33) na eq. (4.27) e reordenando grF mostrada
também na eq. (4.33), chega-se à equação que mostra a interação entre veículo e a
estrutura
T T T
p rr p rr rv
v vvv vr vv
TT Tgrp rr rv
vvr vv gv
Y YM + A M A 0 C + A C A A C+
y y0 M C A C
A FYK + A K A A K+ =
yK A K F
(4.34)
A equação é não linear, pois as matrizes de coeficientes do sistema dependem
do tempo através da matriz ( )tA . Pelos métodos interativos, a escolha de um passo de
integração temporal suficientemente reduzido elimina a necessidade de empregar
esquemas não lineares. A equação pode ser modificada com o objetivo de expressar os
deslocamentos verticais e rotações das massas suspensas e caixa a partir de sua posição
de equilíbrio estático. Pode-se definir um novo vetor de deslocamentos para os graus de
liberdade das massas suspensas e caixa, ainda que os deslocamentos dos eixos ou rodas
permaneçam inalterados. Desta forma,
66
t tv v0 vy = y + z (4.35)
onde
-1
v0 vv gvy = K F (4.36)
é o deslocamento estático do veículo, e tvz são os deslocamentos e rotações medidos
a partir da posição de equilíbrio estático. Assim, para o caso do veículo com interação
completa do tipo II (ver Figura 3-9), tem-se
1
2
3
4
,
c
c r
bd r
bd r
bt r
bt
z t
t y t
z t y tt t
t y t
z t y t
t
v rz y (4.37)
onde
, , , , ,c c bd bd bt btz t t z t t z t t são os graus de liberdade novos para
o veículo considerando uma posição de equilíbrio estático.
Derivando a eq. (4.35) em relação ao tempo tem-se
t t t tv v v vy = z y = z (4.38)
Substituindo as eqs. (4.35) e (4.38) na eq. (4.34), considerando a eq. (4.36), e
reordenando, chega-se a
T T T
p rr p rr rv
v vvv vr vv
T -1T Tgr rv vv gvp rr rv
vvr vv
Y YM + A M A 0 C + A C A A C+
z z0 M C A C
Y A F - K K FK + A K A A K+ =
zK A K 0
(4.39)
Para o caso dos elementos de interação simplificada, já que vrK e
vvK é
simétrica e igual, a segunda parte da equação anterior se converte em um vetor
composto por T
gr gvA F + F e zero. Ao realizar a integração da equação, as forças de
interação podem ser perto de zero ou negativas, o que não teria sentido físico, já que
67
indicaria uma força de tração provocada pela roda na estrutura. Na prática, caso isto
aconteça, deve-se estudar estas zonas com mais atenção (Romero, 2002).
4.3 SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA PROBLEMAS COM
INTERAÇÃO VEÍCULO-ESTRUTURA
O modelo empregado para a integração do sistema completo, considerado
todos os graus de liberdade, é baseado em um elemento de viga de Bernoulli, acoplado a
um sistema correspondente ao eixo do veículo, tal como é mostrado na Figura 4-3 para
um veículo simplificado (Gabaldón, 2005).
x
d 3
d 2
d 6
d 5
yv
yr
Figura 4-3 - Elemento Bernoulli com interação
Nas discussões seguintes, fica limitada a presença de apenas uma roda em
cada elemento de viga.
Denota-se id os graus de liberdade dos nós do elemento de viga, e
vy , ry os
graus de liberdade correspondentes à massa suspensa e à roda do veículo,
respectivamente. A equação geral dos veículos com interação (4.26) pode ser reescrita
de modo mais compacto como
0
t
gvv v v
v v v
grr r r
Fy y yM + C + K = +
F Fy y y (4.40)
onde
vM é a matriz de massa do veículo;
vC é a matriz de amortecimento do veículo;
68
vK é a matriz de rigidez do veículo.
As matrizes deverão ser associadas às correspondentes matrizes do elemento
de viga de Bernoulli, para obter as matrizes do elemento de viga com interação, sendo
que isto deverá ser considerado para cada localização da roda de cada veículo na ponte.
As matrizes dos elementos devem ser recalculadas em cada passo de tempo,
dependendo se há ou não solicitação sobre o elemento, para qualquer tipo de veículo.
Nesta análise utilizam-se somente os deslocamentos verticais e as rotações do elemento
de viga, adicionando-se os graus de liberdade do veículo. Os deslocamentos ry de cada
roda são os que interagem com a estrutura, e para determiná-los, usa-se simplesmente
uma função de interpolação, que dependerá da localização da roda sobre o elemento
(ver Figura 4-3).
2
3
22 23 25 26
5
6
,r r
d
dy y N N N N
d
d
Nd (4.41)
onde as funções de forma
3 2 2 3
22 233 2 2
2 3 3 2
25 262 3 2
2 3 21,
3 2,
x x x xN N x
L L L L
x x x xN N
L L L L
(4.42)
são comumente utilizadas para interpolação de deslocamentos em elementos de viga, e
representarão à forma deformada dos elementos (ver eq. (2.24)); e os deslocamentos d
estão indicados na Figura 4-3.
Para realizar a interação para todo o sistema se utiliza uma matriz de
transformação T, tal que
v
r
y= TD
y (4.43)
onde D são os deslocamentos do sistema completo (considerando os graus de liberdade
da ponte e das massas suspensas), e
1
2
TT
T (4.44)
69
sendo 1 2,T T sub-matrizes, de tal forma que
1T possui uma sub-matriz diagonal
identidade e tem tantas linhas quanto o número de graus de liberdade das massas
suspensas; 2T tem tantas linhas quanto o número de rodas do veículo. O número de
colunas das duas submatrizes é igual ao número de graus de liberdade da estrutura mais
o número de graus de liberdade das massas suspensas.
Para cada veículo deve avaliar-se a localização das rodas, de acordo com o
caso correspondente conforme mostrado na Figura 4-4.
i i j
i j k m
CASO I
CASO II
CASO III
1 2
4321
Figura 4-4 - Casos de veículos sobre estrutura
Para o primeiro caso tem-se uma matriz de transformação T
22 23 25 26
0 0 0 0 1
0i i i iN N N N
T (4.45)
Os elementos da primeira linha estão associados ao grau de liberdade da
massa suspensa, e os elementos da segunda linha estão associados à roda do veículo que
está sobre o elemento de viga i. Pode-se dizer que
22 23 25 26i i i i iN N N NN = (4.46)
Portanto, a matriz T pode ser mostrada como
70
0
0i
IT
N (4.47)
onde I é uma matriz identidade, com tantas linhas e colunas quanto os graus de
liberdade das massas suspensas.
Para o veículo completo do tipo I, que na Figura 4-4 é mostrado como caso II,
tem-se a seguinte matriz T
22 23 25 26
22 23 25 26
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
i i i i
j j j j
N N N N
N N N N
T
(4.48)
A primeira e segunda linhas referem-se aos graus de liberdade das massas
suspensas. A terceira linha refere-se à roda 1 que está sobre o elemento i e a quarta linha
refere-se à roda 2 que esta sobre o elemento j (ver Figura 4-4).
Portanto, a matriz T pode ser reprentada como
i
j
0 0 I
T N 0 0
0 N 0
(4.49)
Analogamente, para o modelo completo tipo II (caso III), a matriz T fica
i
j
k
l
0 0 0 0 I
N 0 0 0 0
0 N 0 0 0T
0 0 N 0 0
0 0 0 N 0
(4.50)
Para realizar a interação do veículo com a estrutura, as matrizes de massa, de
amortecimento e de rigidez dos veículos e o vetor de forças que atua sobre a estrutura
deverão ser transformados para que estas possam ser somadas às respectivas matrizes
dos elemento de viga Bernoulli, da seguinte maneira (Gabaldón, 2005).
t t
T T
Interação v Interação v
T T
Interação v
M = M + T M T, C = C + T C T,
K = K + T K T, F( ) = T P( ) (4.51)
71
onde
M é a matriz de massa expandida da estrutura;
C é a matriz de amortecimento expandida da estrutura;
K é a matriz de rigidez expandida da estrutura;
( )tF é o vetor de forças de interação transformadas;
InteraçãoM é a matriz de massa do sistema com interação;
InteraçãoC é a matriz de amortecimento do sistema com interação;
InteraçãoK é a matriz de rigidez do sistema com interação.
As matrizes M,C,K antes de serem somadas na eq. (4.51) devem ser
expandidas, adicionando-se linhas e colunas nulas referentes aos graus de liberdade das
massas suspensas dos veículos, de modo que estas matrizes possuam ordem igual ao do
vetor D considerado na eq. (4.43).
Pode-se observar nas eqs. (4.47), (4.49) e (4.50) que para cada roda que esteja
em contato com algum elemento se terá que interpolar com o vetor N, formando assim
uma matriz, denominada 2T . Esta matriz terá tantas linhas como rodas do veículo, mas
se alguma roda não estiver em contato com a estrutura, a linha respectiva será
preenchida por zeros.
Usando a matriz de interpolação 2T podem-se aproximar os deslocamentos
das rodas e as forças que atuam sobre a estrutura
T
2 2
2 2
t x t t x t
t x t t x t
r
r r
y = T D , P = -T F( )
y = T D , y = T D (4.52)
onde:
( )tD são os deslocamentos da estrutura e das massas suspensas, para cada
instante de tempo;
( )tF são as forças de interação entre veículo e estrutura que serão calculadas de
forma análoga como foram deduzidas as equações (4.33).
72
Assim, a equação (4.27) pode ser reescrita na seguinte forma
2t t t x tTMD + CD + KD = -T F (4.53)
Desenvolvendo e substituindo em (4.31) as derivadas mostradas em (4.52),
obtém-se as equações que determinam as forças de iteração ( )tF que atuarão sobre a
estrutura como um carregamento móvel pontual
2 2 2
2
2 2
t x t x t x t
x t
gr rr rv rr
rv v rr
gv vv v vv v vr vv v vr
F = -F + M T D + C T D + C T D
+K y + K T D
F = M y + C y + C T x D t + K y + K T x D t
(4.54)
Substituindo as equações (4.54) na equação de movimento proposta em (4.53),
reordenando as equações resultantes e dando uma forma de matrizes e vetores têm-se
2 2 22 2
2
22 2 2
2
x x xx x
x
xx x x
x
T TT
rr rvrr
vr vvvv
TT T
grrr rv
gvvr vv
C + T C T T CM + T M T 0D + D
T C C0 M
T FK + T K T T K+ D =
FT K K
(4.55)
73
CAPÍTULO 5
Desenvolvimento dos algoritmos computacionais
Neste capítulo serão apresentados os principais algoritmos para o
desenvolvimento de um programa computacional para a análise estática, dinâmica, com
interação veículo-estrutura e modal de estruturas planas. São mostradas as rotinas e os
critérios utilizados para desenvolvê-las. Estes algoritmos foram implementados em
linguagem Visual Basic, associados a uma planilha de Excel.
5.1 MÓDULO GERAL PARA ANÁLISE ESTÁTICA
O programa para análise estática é baseado no Método da Rigidez Direta,
comumente utilizado em programas de elementos finitos (Bathe 1996). Inicialmente,
são obtidas todas as propriedades geométricas da estrutura como: coordenadas dos nós,
restrições nos nós, conectividade para cada elemento, forças aplicadas nos nós ou sobre
os elementos, propriedades dos elementos e dos veículos. Todos estes dados são
armazeados em matrizes para o uso interno do programa. Para obtê-los, programou-se a
rotina dadosentrada, e em seguida utiliza-se a rotina seções onde se atribui a cada um
dos elementos e veículos as suas propriedades, tais como: momento de inércia, módulo
de elasticidade, densidade, massa dos veículos, amortecimento e rigidez dos sistemas de
suspensão de cada veículo. Depois, se inicia a análise com a rotina inicio e finalmente
mostram-se os resultados em gráficos e tabelas com a rotina resultados.
Esta estrutura é a básica para o desenvolvimento de qualquer tipo de programa
de análise estrutural. Nos demais módulos somente serão adicionados certos algoritmos
específicos.
Para contar as variáveis da estrutura ou veículo dentro das matrizes ou vetores
de dados informados pelo usuário, é verificado se existe algum dado preenchido. Se isto
estiver ocorrendo, passa-se a aumentar a variável de contagem.
numElems=0
Repetir Desde i=1 até nae
74
Se etiquetaelemento(i)<>Vazio
Verdadeiro Fazer
numElems=numElems+1
Fim Se
Fim Repetir i
onde
numElems é denominada número de elementos da estrutura.
Para atribuição das restrições de cada nó especificadas pelo usuário, avaliam-
se as matrizes de restrições para saber se estão vazias ou se contém algum dado. Caso
estejam vazias, é utilizado para sua localização, o número zero. Caso contrário, utiliza-
se o número um. Também é realizada aqui uma contagem para saber quantas restrições
existem na estrutura.
nr=0
Repetir Desde ij=1 até numNós
Repetir Desde i=1 até 3
Se restrs(ij,i)=Vazio
Verdadeiro fazer
rs(ij,i)=0
Falso fazer
rs(ij,i)=1
nr=nr+1
Fim Se
Fim Repetir i
Fim Repetir ij
onde
numNós é o numero de nós da estrutura;
restrs é a matriz de restrições que contém os dados fornecidos pelo usuário;
rs é a matriz interna do programa que contém as restrições de cada nó;
NGLN é o número de graus de liberdade para cada nó (neste caso, 3);
nr é o número de graus de liberdade restringidos.
No módulo seções, utiliza-se um conjunto de dados para cada elemento,
procurando suas propriedades físicas e geométricas.
75
O módulo inicio começa com a obtenção dos graus de liberdade dos
elementos. Aqui se avalia a restrição de cada nó em ordem dada pelo usuário e
enumeram-se os graus de liberdade da estrutura, iniciando-se pelos graus que não estão
restringidos e depois os que estão. O sentido da enumeração para cada grau de liberdade
por nó é 1: horizontal eixo x, 2: vertical eixo y e 3: rotação sobre o eixo z. Os graus de
liberdade são seguidamente armazenados em uma matriz gdl.
aux=0
Repetir Desde j=1 até numNós
Repetir Desde i=1 até NGLN
Se rs(j,i)=0
Verdadeiro fazer
aux=aux+1
gdl(j,i)=aux
Fim Se
Fim Repetir i
Fim Repetir j
NGLLE=aux
Repetir Desde j=1 até numNós
Repetir Desde i=1 até NGLN
Se rs(j,i)=1
Verdadeiro fazer
aux=aux+1
gdl(j,i)=aux
Fim Se
Fim Repetir i
Fim Repetir j
onde
NGLLE é o número de graus livres da estrutura;
NGLRE é o número de graus restritos da estrutura.
Para a obtenção das propriedades dos elementos, determinam-se as
coordenadas dos nós e as conectividades do elemento solicitado, consultando dentro da
matriz que foi introduzida pelo usuário que contém as coordenadas de cada nó e as
conectividades dos elementos, avaliando para cada grau de liberdade do nó
76
Repetir Desde i=1 até 2
coordNoI(i)=coords(noI(el),i)
coordNoJ(i)=coords(noJ(el),i)
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até 3
grLibElem(i)=gdl(noI(el),i)
grLibElem(i+3)=gdl(noJ(el),i)
Fim Repetir i
onde
coords é a matriz de coordenadas introduzidos pelo usuário;
noI, noJ são vetores de conectividade dos elementos;
coordNoI, coordNoJ são as coordenadas dos nós do elemento solicitado;
grLibElem é o vetor de graus de liberdade do elemento.
Para obter a matriz de rigidez global de cada elemento e o vetor de forças
globais de cada elemento, realizam-se multiplicações e somatórios simples. O número
de graus de liberdade para cada elemento é seis.
Repetir Desde el=1 até numElems
Repetir Desde i=1 até 6
Repetir Desde ij=1 até 6
aux=0
Repetir Desde j=1 até 6
aux=aux+r(j, i)*kl(j,ij)
Fim Repetir j
rtkl(i,ij)=aux
Fim Repetir ij
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até 6
Repetir Desde ij=1 até 6
aux=0
Repetir Desde j=1 até 6
aux=aux+rtkl(i,j)*r(j,ij)
Fim Repetir j
kgl(i,ij)=aux
77
Fim Repetir ij
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até 6
aux=0
Repetir Desde j=1 até 6
aux=aux+r(j,i)*peql(j)
Fim Repetir j
peqgl(i)=aux
Fim Repetir i
Fim Repetir el
onde
r é a matriz de rotação;
rtkl é o produto da matriz transposta de rotação pela matriz de rigidez local;
peql, peqgl são vetores equivalentes de forças locais e globais;
kgl, pgl são a matrizes de rigidez global do elemento e o vetor de forças
globais do elemento.
Avaliando cada elemento e seus respectivos graus de liberdade, monta-se a
matriz de rigidez global da estrutura. Utilizando um algoritmo de localização do grau de
liberdade do elemento na estrutura, adiciona-se a rigidez do elemento ao respectivo grau
de liberdade da estrutura. Obtém-se assim as matrizes de rigidez e o vetor de forças da
estrutura.
Repetir Desde el=1 até numElems
Repetir Desde i=1 até 6
gl=grLibElem(i)
Repetir Desde j=1 até 6
ij=grLibElem(j)
k(gl,ij)=k(gl,ij)+kgl(i,j)
Fim Repetir j
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até 6
gl=grLibElem(i)
Peq(gl)=Peq(gl)+peqgl(i)
Fim Repetir i
78
Fim Repetir el
onde
k é a matriz de rigidez da estrutura;
Peq é o vetor de forças equivalentes da estrutura;
NGLE é o número de graus de liberdade da estrutura.
Para a solução do sistema de equações se resolve as matrizes mostradas na eq.
(5.1) a qual permitirá obter os deslocamentos livres e as forças nos graus de liberdade
restrigindos (reações de apoio).
lll lr l
rl rr rr
-1
l ll l lr r
r rl l rr r
uk k P=
k k Pu
u = k P - k u
P = k u + k u
(5.1)
onde
ll lr rl rrk ,k ,k ,k são as matrizes particionadas da matriz de rigidez da estrutura;
l ru ,u são os vetores deslocamentos dos graus livres e restringidos;
l rP ,P são os vetores forças nos graus livres e restringidos.
Para resolver o sistema de equações utilizou-se uma factorização TLDL .
Porém, como a matriz K da estrutura não possui inversa, ela deve ser particionada para
a obtenção de uma matriz llk , referente aos graus de liberdade livres, e que possui
inversa (Dahlquist, 2003).
i-12
ii ii kk ik ii
k=1
i-1
ji kk jk ik
k=1ji
ii
d = kll - d l , l = 1
kll - d l l
l =d
(5.2)
di(1,1)=kll(1,1)
Repetir Desde i=2 até NGLLE
L(i,1)=kll(i,1)/di(1,1)
Fim Repetir i
Repetir Desde i=2 até NGLLE
79
Repetir Desde j=2 To i
aux=0
Repetir Desde ij=1 até j-1
aux=aux+di(ij,ij)*L(i,ij)*L(j,ij)
Fim Repetir ij
Se i=j
Verdade fazer
di(i,i)=kll(i,i)-aux
Falso fazer
L(i,j)=(kll(i,j)-aux)/di(j,j)
Fim Se
Fim Repetir j
Fim Repetir i
onde
di é a matriz diagonal;
L é a matriz inferior;
kll é a matriz de rigidez composta pelos graus de liberdade livres.
A partir da decomposição, a solução geral para um sistema de ordem n é dada
por uma substituição ao frente LDY = faux . Para a solução de sistemas convertidos a
TLDL utilizou-se o algoritmo seguinte (Dahlquist, 2003)
1 1 11
i-1
i i ik kk k ii
k=1
y = faux d
y = faux - l d y d , i > 1 (5.3)
Retro-substituição: T
L dl Y
n n
n
i i ki k
k=i+1
dl = y
dl = y - l x , i < n (5.4)
y(1)=faux(1)/di(1,1)
Repetir Desde i=2 até NGLLE
aux=0
Repetir Desde ij=1 até i-1
aux=aux+L(i,ij)*di(ij,ij)*y(ij)
80
Fim Repetir ij
y(i)=(faux(i)-aux)/di(i,i)
Fim Repetir i
dl(NGLLE)=y(NGLLE)
Repetir Desde i=NGLLE até 1 Passo-1
aux=0
Repetir Desde ij=i+1 até NGLLE
aux=aux+L(ij,i)*dl(ij)
Fim Repetir ij
dl(i)=y(i)-aux
Fim Repetir i
onde
y é um vetor auxiliar;
faux é uma força auxiliar para poder resolver o sistema inicial;
dl é o vetor dos deslocamentos estáticos livres da estrutura.
Posteriormente, é calculado o vetor Pr que representa o vetor das forças
restringidas da estrutura, as quais são justamente as reações de apoio, que são
produzidas nos graus de liberdade restringidos da estrutura.
Repetir Desde i=1 até NGLRE
praux=0
Repetir Desde ij=1 até NGLLE
praux=praux+krl(i, ij)*dl(ij)
Fim Repetir ij
praux2=0
Repetir Desde j=1 até NGLRE
praux2=praux2+krr(i, j)*dr(j)
Fim Repetir j
pr(i)=praux+praux2
Fim Repetir i
onde
praux, praux2 são vetores forças auxiliares;
krl é uma parcela da matriz de rigidez composta pelos graus de liberdade
livres e restringidos da estrutura;
81
krr é a parcela da matriz de rigidez da estrutura composta pelos graus de
liberdade restringidos da estrutura.
Para o cálculo das forças locais no elemento, convertem-se os deslocamentos
globais nos graus de liberdade do elemento para o sistema local da barra, para logo
calcular as forças no elemento e armazená-las em uma matriz interna denominada S.
Repetir Desde el=1 até numElems
Repetir Desde i=1 até 6
dg(i)=d(grLibElem(i))
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até 6
aux=0
Repetir Desde j=1 até 6
aux=aux+r(i, j)*dg(j)
Fim Repetir j
dlo(i)=aux
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até 6
aux=0
Repetir Desde j=1 até 6
aux=aux+kl(i, j)*dlo(j)g
Fim Repetir j
S(i,el)=aux-peql(i)
Fim Repetir i
Fim Repetir el
5.2 MÓDULO PARA A SOLUÇÃO DE VETORES
PRÓPRIOS
Considera-se o problema de vetores próprios de uma matriz quadrada D de
ordem n, sobre R (conjunto dos números reais). Diz-se que um escalar é um valor
próprio de D se existe um vetor não nulo também em R, para o qual 0 D I e
0 . Os valores próprios e vetores próprios de D são exatamente aqueles que
satisfazem à eq. (5.5). Assim, a única maneira de se obter vetores próprios é ter a
82
determinante 0 D I . Impondo esta condição, determinam-se, primeiramente, os
valores próprios λ que satisfazem a equação inicial e depois os vetores próprios a eles
associados. Os vetores próprios são determinados após a substituição do valor próprio
em 0 D I . O vetor próprio, associado a um valor próprio, não é único, ou seja,
se é um vetor próprio, qualquer escalar c multiplicado por será solução do
problema (Elishakoff, 2005).
D (5.5)
Para o caso de análise modal estrutural, no qual tem-se um sistema de
equações da forma mostrada em (2.62), deve-se calcular a matriz diagonal de
freqüências naturais , e os modos de vibração da estrutura (Bathe, 1996):
2K ω M (5.6)
Avaliando as eqs. (5.5) e (5.6), pode-se observar as seguintes relações:
-1D = K M, ω = λ (5.7)
O método iterativo escolhido para avaliar os modos e as freqüências de
vibração da estrutura foi o método de Stodola, no qual é utilizado um vetor iterativo e
para cada passo de iteração o vetor é normalizado utilizando o maior valor do vetor de
interação como é mostrado em (5.8) (Clough, 2003)
(1) (0)
1 1v = Dv (5.8)
onde
(1)1v é o vetor de iteração novo;
(0)1v é o vetor de iteração anterior.
Para atualizar os vetores é normalizado o vetor (1)
1v , para obter o seguinte
vetor e voltar a utilizar a eq. (5.9).
)
(1)(1) 1
1 (1)1
vv =
max(v (5.9)
Continua-se com as iterações até obter o primeiro modo de vibração e a
correspondente freqüência natural.
83
)
1 (s)1
1=
max(v (5.10)
onde
1 é a freqüência natural do primeiro modo;
s é a última iteração que foi realizada.
Para a obtenção dos modos altos se realiza as mesmas iterações, sendo que a
matriz D é modificada em função aos modos anteriores de modo que
nT
i=1 i
1
M
n+1 n
n
D = S D
S = I - mi iφ φ (5.11)
onde
nS é a matriz de transformação modal;
I é a matriz de identidade;
iφ é a forma modal do modo i;
m é a matriz massa do sistema;
iM é a massa para o modo i.
Finalmente pode-se determinar a freqüência natural para o modo calculado.
)
n (s)n
1=
max(v (5.12)
Algoritmos principais para a implementação no programa CarTool vs 1.0.
Para a solução do problema de valores próprios, inicialmente renumeram-se os
graus de liberdade, de modo que os primeiros graus de liberdade sejam aqueles aos
quais está associada inércia. Posteriormente, é realizada uma condensação estática para
poder reduzir os graus de liberdade que não oferecem inércia.
aux=0
Repetir Desde i=1 até NGLN
Repetir Desde j=1 até numNós
84
Se rs(j,i)=0
Verdade Fazer
aux=aux+1
gdl(j,i)=aux
Fim Se
Fim Repetir j
Se i=2
Verdade Fazer
NGLI=aux
Fim Se
Fim Repetir i
NGLLE=aux
Repetir Desde i=1 até NGLN
Repetir Desde j=1 até numNós
Se rs(j,i)=1
Verdade Fazer
aux=aux+1
gdl(j,i)=aux
Fim Se
Fim Repetir j
Fim Repetir i
onde
NGLI é o numero de graus de liberdade que oferecem inércia.
Para realizar a condensação, pode-se fazer uma simplificação dos graus de
liberdade que não oferecem inércia da seguinte maneira (Cook, 1989)
t tt to ttt t
o ot oo o
u k k um 0 p (t)+ =
u k k u0 0 0 (5.13)
Desenvolvendo as equações, obtem-se
tt t tt t to o t
ot t oo o
m u +k u +k u = p (t)
k u +k u = 0 (5.14)
Finalmente, podem-se obter os deslocamentos através das equações
ˆ
tt t tt t t
-1
o oo ot t
m u + k u = p (t)
u = -k k u (5.15)
85
onde a matriz de condensação é
ˆ T -1
tt tt ot oo otk = k - k k k (5.16)
Repetir Desde i=1 até NGLI
Repetir Desde j=1 até NGLI
ktt(i,j)=k(i,j)
Fim Repetir j
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até NGLLE-NGLI
Repetir Desde j=1 até NGLI
kot(i,j)=k(NGLI+i,j)
Fim Repetir j
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até NGLLE-NGLI
Repetir Desde j=1 até NGLLE-NGLI
koo(i,j)=k(NGLI+i,j+NGLI)
Fim Repetir j
Fim Repetir i
di(1,1)=koo(1,1)
Repetir Desde i=2 até NGLLE-NGLI
L(i,1)=koo(i,1)/di(1,1)
Fim Repetir i
Repetir Desde i=2 até NGLLE-NGLI
Repetir Desde j=2 Até i
aux=0
Repetir Desde ij=1 até j-1
aux=aux+di(ij, ij)*L(i,ij)*L(j,ij)
Fim Repetir ij
Se i=j
Verdade Fazer
di(i,i)=koo(i,i)-aux
Falso Fazer
L(i,j)=(koo(i,j)-aux)/di(j,j)
Fim Se
Fim Repetir j
86
Fim Repetir i
Repetir Desde ii=1 até NGLLE-NGLI
Repetir Desde i=1 até NGLLE-NGLI
Viden(i)=0
Fim Repetir i
Viden(ii)=1
y(1)=Viden(1)/di(1,1)
Repetir Desde i=2 até NGLLE-NGLI
aux=0
Repetir Desde ij=1 até i-1
aux=aux+L(i,ij)*di(ij,ij)*y(ij)
Fim Repetir ij
y(i)=(Viden(i)-aux)/di(i,i)
Fim Repetir i
ikoo(ii, NGLLE-NGLI)=y(NGLLE-NGLI)
Repetir Desde i=NGLLE-NGLI até 1 Step-1
aux=0
Repetir Desde ij=i+1 até NGLLE-NGLI
aux=aux+L(ij,i)*ikoo(ii,ij)
Fim Repetir ij
ikoo(ii,i)=y(i)-aux
Fim Repetir i
Fim Repetir ii
Repetir Desde ij=1 até NGLI
Repetir Desde ii=1 até NGLLE-NGLI
aux=0
Repetir Desde jj=1 até NGLLE-NGLI
aux=aux+kot(jj,ij)*ikoo(jj,ii)
Fim Repetir jj
kotikoo(ij,ii)=aux
Fim Repetir ii
Fim Repetir ij
Repetir Desde ij=1 até NGLI
Repetir Desde ii=1 até NGLI
aux=0
87
Repetir Desde jj=1 até NGLLE-NGLI
aux=aux+kotikoo(ij,jj)*kot(jj,ii)
Fim Repetir jj
kkk(ij,ii)=aux
Fim Repetir ii
Fim Repetir ij
Repetir Desde i=1 até NGLI
Repetir Desde j=1 até NGLI
kc(i,j)=ktt(i,j)-kkk(i,j)
Fim Repetir j
Fim Repetir i
onde
kc,ktt,kkk são as matrizes de condensação e auxiliares;
kot,ikoo,kotikoo são matrizes auxiliares.
Cálculo da matriz inversa da ridigez, a qual será seguidamente multiplicada pela
matriz de massa.
di(1,1)=kc(1,1)
L(1,1)=1
Repetir Desde i=2 até NGLI
L(i,1)=kc(i,1)/di(1,1)
Fim Repetir i
Repetir Desde i=2 até NGLI
Repetir Desde j=2 até i
aux=0
Repetir Desde ij=1 até j-1
aux=aux+di(ij,ij)*L(i,ij)*L(j,ij)
Fim Repetir ij
Se i=j
Verdadeiro fazer
di(i,i)=kc(i,i)-aux
L(i,i)=1
Falso fazer
L(i,j)=(kc(i,j)-aux)/di(j,j)
88
Fim Se
Fim Repetir j
Fim Repetir i
Repetir Desde ii=1 até NGLI
Viden(ii)=1
y(1)=Viden(1)/di(1,1)
Repetir Desde i=2 até NGLI
aux=0
Repetir Desde ij=1 até i-1
aux=aux+L(i, ij)*di(ij,ij)*y(ij)
Fim Repetir ij
y(i)=(Viden(i)-aux)/di(i,i)
Fim Repetir i
ik(ii,NGLI)=y(NGLI)
Repetir Desde i=NGLI até 1 Passo-1
aux=0
Repetir Desde ij=i+1 até NGLI
aux=aux+L(ij,i)*ik(ii,ij)
Fim Repetir ij
ik(ii,i)=y(i)-aux
Fim Repetir i
Fim Repetir ii
Repetir Desde ij=1 até NGLI
Repetir Desde ii=1 até NGLI
aux=0
Repetir Desde jj=1 até NGLI
aux=aux+ik(ij,jj)*m(jj,ii)
Fim Repetir jj
ikm(ij,ii)=aux
Fim Repetir ii
Fim Repetir ij
onde
m é a matriz de massas dos graus de liberdade livres da estrutura;
Viden é o vetor auxiliar que é utilizado no calculo da inversa da matriz kc;
89
ik é a matriz inversa de rigidez.
ikm é a matriz inversa de rigidez multiplicada pela matriz de massa.
Cálculo da matriz de freqüências naturais, utilizando o algoritmo de Stodola, para
a solução do problema de vetores próprios.
it=1
tol=1
Repetir Desde i=1 até NGLI
vp(i,it)=1
Fim Repetir i
Fazer ainda que tol>=10^-8
Repetir Desde ij=1 até NGLI
aux=0
Repetir Desde jj=1 até NGLI
aux=aux+ikm(ij,jj)*vp(jj,it)
Fim Repetir jj
vpp(ij,it +1)=aux
Fim Repetir ij
j=1
Repetir Desde ii=j até NGLI
Repetir Desde i=j+1 até NGLI
Se Abs(vpp(j,it+1))>Abs(vpp(i,it+1))
Falso Fazer
j=i
Ir fin
Fim Se
Fim Repetir i
fin
Fim Repetir ii
vpmax=vpp(j,it+1)
Repetir Desde i=1 até NGLI
vp(i,it+1)=vpp(i,it+1)/vpmax
Fim Repetir i
tol=Abs(vpp(j,it+1)-vpp(j,it))
90
it=it+1
Quando
itm(1)=it
w(1)=(1/vpmax)^0.5
Repetir Desde i=1 até NGLI
modo(i,1)=vp(i,itm(1))
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até NGLI
aux=0
Repetir Desde j=1 até NGLI
aux=aux+modo(j,1)*m(j,i)
Fim Repetir j
modom(i,1)=aux
Fim Repetir i
aux=0
Repetir Desde ii=1 até NGLI
aux=aux+modom(ii,1)*modo(ii,1)
Fim Repetir ii
mtotal(1)=aux
Repetir Desde i=1 até NGLI
Repetir Desde j=1 até NGLI
Se i=j
Verdadeiro fazer
Iden(i,j)=1
Falso fazer
Iden(i,j)=0
Fim Se
Fim Repetir j
Fim Repetir i
Repetir Desde nmod=2 até nummodos
Repetir Desde i=1 até NGLI
Repetir Desde j=1 até NGLI
mm(i,j,nmod-1)=modo(i,nmod-1)*modo(j,nmod-1)
Fim Repetir j
Fim Repetir i
91
Repetir Desde i=1 até NGLI
Repetir Desde jj=1 até NGLI
aux=0
Repetir Desde j=1 até NGLI
aux=aux+mm(i,j,nmod-1)*m(j,jj)
Fim Repetir j
auxS(i,jj,nmod-1)=aux/mtotal(nmod-1)
Fim Repetir jj
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até NGLI
Repetir Desde j=1 até NGLI
aux=0
Repetir Desde ii=1 até nmod-1
aux=aux+auxS(i,j,ii)
Fim Repetir ii
Saux(i,j,nmod-1)=aux
Fim Repetir j
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até NGLI
Repetir Desde j=1 até NGLI
S(i,j,nmod)=Iden(i,j)-Saux(i,j,nmod-1)
Fim Repetir j
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até NGLI
Repetir Desde jj=1 até NGLI
aux=0
Repetir Desde j=1 até NGLI
aux=aux+ikm(i,j)*S(j,jj,nmod)
Fim Repetir j
Dikm(i,jj,nmod)=aux
Fim Repetir jj
Fim Repetir i
it=1
tol=1
Repetir Desde i=1 até NGLI
92
vp(i,it)=1
Fim Repetir i
Fazer ainda que tol>=10^-8
Repetir Desde ij=1 até NGLI
aux=0
Repetir Desde jj=1 até NGLI
aux=aux+Dikm(ij,jj,nmod)*vp(jj,it)
Fim Repetir jj
vpp(ij,it+1)=aux
Fim Repetir ij
j=1
Repetir Desde ii=j até NGLI
Repetir Desde i=j+1 até NGLI
Se Abs(vpp(j,it+1))>Abs(vpp(i,it+1))
Falso fazer
j=i
Ir fin2
Fim Se
Fim Repetir i
fin2
Fim Repetir ii
vpmax=vpp(j,it+1)
Repetir Desde i=1 até NGLI
vp(i,it+1)=vpp(i,it+1)/vpmax
Fim Repetir i
tol=Abs(vpp(j,it+1)-vpp(j,it))
it=it+1
Quando
itm(nmod)=it
w(nmod)=Abs((1/vpmax))^0.5
Repetir Desde i=1 até NGLI
modo(i,nmod)=vp(i,itm(nmod))
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até NGLI
aux=0
93
Repetir Desde j=1 até NGLI
aux=aux+modo(j,nmod)*m(j,i)
Fim Repetir j
modom(i,nmod)=aux
Fim Repetir i
Aux=0
Repetir Desde ii=1 até NGLI
aux=aux+modom(ii,nmod)*modo(ii,nmod)
Fim Repetir ii
mtotal(nmod)=aux
Fim Repetir nmod
onde
s é o numero de dígitos de precisão;
mtotal é o vetor de massas modais;
vpp,vp são os vetores de interação;
auxS,Saux, Dikm são matrizes auxiliares;
vpmax é o valor maximo dentro do vetor interação;
Iden é a matriz identidade;
it, tol1, aux, nmod são variáveis de contagem e tolerância;
w é a matriz de freqüências naturais da estrutura;
modom, mm, itm são matrizes e vetores auxiliares;
modo é a matriz de modos da estrutura.
5.3 MÓDULO PARA A SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE
MOVIMENTO CONSIDERANDO A INTERAÇÃO
O método empregado para a solução das equações do movimento é o método
de Newmark. Este método é fundamentado na escolha da variação da aceleração, tendo
sido desenvolvido por N. M. Newmark em 1959 baseados nas seguintes equações
(Chopra, 1995).
94
2 2
1
0.5
t t
t t t
i+1 i i i+1
i+1 i i i i+1
u = u u u
u = u u u u (5.17)
Os parâmetros β e γ são os que definem como a aceleração varia em certo
intervalo de tempo, a estabilidade e a precisão características do método. A seleção
típica destes valores é 1
2 e
1 1
6 4 , sendo a mais satisfatória de acordo com as
condições de precisão e estabilidade para o método. O método iterativo pode-se
descrever como segue.
Pode-se converter a equação diferencial de movimento em uma equação
incremental, onde se tem que
Δ Δ Δ Δ
Δ Δ
Δ Δ
i
i i i i
i i+1 i i+1 i
i i+1 i i i+1 i
m u + c u + k u = p
u u - u , u u - u
u u - u , p p - p
(5.18)
Substituindo as eqs. (5.18) em (5.17) obtem-se
220.5
t t
t t t
i i i
i i i i
u u u
u u u u (5.19)
onde na eq. (5.19) pode-se obter Δ iu
2
2 2
2
0.5 1 1 1
2
1 1 1
2
t t
tt t
tt
i i i
i i i i
i i i i
u u uu u u u
u u u u
(5.20)
Substituindo a eq. (5.20) na eq. (5.19) se pode obter a variável Δ iu
2
1 1 1
2
12
t ttt
tt
i i i i i
i i i i
u u u u u
u u u u
(5.21)
Substituindo a eq. (5.21) na equação de equilíbrio incremental (5.18), chega-
se a
95
2
2
1 1 11
2 2
1 1 1
2
12
ˆ ˆ
c tt tt
t tt
t
i i i i i i
i i
i i i i
i i
i i
m u u u u u u
k u p
m c k u p u u m
u u c
k u p
(5.22)
onde
2
1ˆ ,
1 1ˆ 1
2 2
t t
tt
i i i i
k = m c k
p p m c u m c u
(5.23)
Como os erros acumulam-se a cada intervalo de tempo, deve-se garantir a
satisfação da equação de movimento com a seguinte equação obtida das equações de
movimento geral do sistema
i+1 i+1 i+1i+1
p - cu - kuu =
m (5.24)
Será desenvolvida a seguir a metodologia para a solução das equações de
movimento pelo método de Newmark de sistemas lineares com interação de veículo-
estrutura.
Inicialmente, resolvem-se as condições iniciais da estrutura, com as matrizes
de massa, amortecimento e rigidez iniciais da estrutura, sem nenhuma interação com
veículo, já que o veículo esta na posição zero
0 00
P - Cu - Kuu =
M (5.25)
onde 0u são os deslocamentos da estrutura iniciais e P, C, K e M são as matrizes inicias
da estrutura. Logo depois, seleciona-se a variação de tempo Δt , para fazer a integração.
96
Para cada instante de tempo, as matrizes de massa, amortecimento e rigidez,
mudam dependendo do número de veículos que estão sobre a ponte. Assim, as seguintes
grandezas são calculados, usando os coeficientes 1
2 e
1
4
2
1ˆ
1 1, 1
2 2
t t
A B tt
pv pv pv pv
pv pv pv pv
K = M C K
M C M C
(5.26)
onde pv pv pvM , C , K são as matrizes de interação e serão de dimensões variáveis,
dependendo do número de veículos que estão sobre a ponte.
Calculam-se as forças equivalentes do sistema para cada instante de tempo
ˆ A B pvi pvi i iP P u u
(5.27)
Calculam-se as variações dos deslocamentos para cada instante de tempo
ˆ
ˆ
pvi
i
pv
Pu
K (5.28)
Calculam-se as variações das velocidades e acelerações para cada instante de
tempo
2
12
1 1 1
2
tt
tt
i i i i
i i i i
u u u u
u u u u
(5.29)
Calculam-se os deslocamentos, velocidades e acelerações para o instante de
tempo 1i
, , i+1 i i i+1 i i i+1 i iu = u u u = u + u u = u + u
(5.30)
Dá-se prosseguimento à análise, para o seguinte passo de tempo substituindo
1ii , até integrar todo o sistema.
97
Algoritmos principais para a implementação no programa CarTool vs 1.0.
Inicialmente calculam-se todos os carregamentos equivalentes, a matriz de
interpolação denominada e por conseqüência as matrizes de rigidez, amortecimento e
massa interpoladas. Particionam-se todas as matrizes, utilizando somente a parte
associada aos graus de liberdade livres. Inicia-se com as iterações para a integração com
os dados iniciais propostos e o cálculo para os intervalos de tempo tc que depende da
velocidade dos veículos vt e do comprimento total da viga, mais a distância de entrada
do veículo denominada danterior. Logo se calcula o número de passos np que serão
utilizados nas repetições.
delta=0.5
beta=0.25
tc=((xmax-xmin)+danterior(numvei))/vt
np=tc/at
ti(1)=0
Calculam-se as propriedades dos elementos sobre os quais está posicionada
uma roda do veículo, tais como a distância desde o inicio do elemento au, o
comprimento do elemento, as coordenadas e graus de liberdade.
Repetir Desde i=1 até 3
grLibElem(i)=gdl(noI(força_no_el),i)
grLibElem(i+3)=gdl(noJ(força_no_el),i)
Fim Repetir i
coordNoI(1)=coords(noI(força_no_el),1)
coordNoJ(1)=coords(noJ(força_no_el),1)
le=coordNoJ(1)-coordNoI(1)
au=xu(az+1,nv)-coordNoI(1)
Calculam-se a localização do veículo e o número de veículo que estão no
instante do tempo. Estes veículos podem estar em um nó ou em um elemento.
numveinp=0
Repetir Desde nv=1 até numvei
xu(az+1,nv)=vt*ti(az+1)-danterior(nv)
Se xu(az+1,nv)>=0 E xu(az+1,nv)<=xmax-xmin
Verdadeiro Fazer
numveinp=numveinp+1
98
xup(az+1,numveinp)=xu(az+1,nv)
lnv(numveinp)=nv
Fim Se
Se xu(az+1,nv)<0
Verdadeiro Fazer
Ir Etiqueta Fim
Fim Se
Fim Repetir nv
Etiqueta Fim
onde
numveinp é o numero de veículos que estejam sobre esse instante de tempo na
estrutura;
numvei é o número total de veículos.
No caso dos veículos que tenham mais rodas, como são os modelos completo
tipo I e II, a metodologia é igual, mudando somente que para os elementos da matriz
que interagem com as rodas serão avaliadas pelo número de rodas e os elementos que
não interagem, serão avaliados com o número de veículos. Portanto, o algoritmo
anterior foi modificado conforme mostrado a seguir
numrodanp=0
numveinp=0
Se nro<4
Verdadeiro Fazer
Repetir Desde nv=1 até numvei
Repetir Desde i=1 até nro
dant(nv,i)=danterior(nv)+(i-1)*2*datosvc1(nv,4)
Fim Repetir i
Fim Repetir nv
Falzo Fazer
Repetir Desde nv=1 até numvei
dant(nv,1)=danterior(nv)
dant(nv,2)=danterior(nv)+2*datosvc2(nv,7)
dant(nv,3)=danterior(nv)+2*datosvc2(nv,4)-datosvc2(nv,7)
dant(nv,4)=danterior(nv)+2*datosvc2(nv,4)+datosvc2(nv,7)
99
Fim Repetir nv
Fim Se
Repetir Desde nv=1 até numvei
Repetir Desde ii=1 Até nro
xu(az+1,nv,ii)=vt*Ti(az+1)-dant(nv,ii)
Se xu(az+1,nv,ii)>=0 And xu(az+1,nv,ii) <=xmax-xmin
Verdadeiro Fazer
numrodanp=numrodanp+1
lnv(numrodanp)=nv
Se ii=1
Verdadeiro Fazer
numveinp=numveinp+1
Fim Se
xup(az+1,numrodanp)=xu(az+1,nv,ii)
etroda(numrodanp)=numveinp
Fim Se
Se xu(az+1,nv,ii)<0
Verdadeiro Fazer
Ir Etiqueta fin
Fim Se
Fim Repetir ii
Fim Repetir nv
Etiqueta fin
onde
numrodanp é o numero de rodas dentro da ponte;
etroda é a etiqueta para cada roda, que identificará o veículo;
dant é o vetor novo de distancias de entrada para cada roda.
Determina-se em que elemento a força é aplicada, podendo ser sobre um
elemento ou sobre um nó.
Repetir Desde el=1 até numElems
Se coords(noI(cse(el)),1)<xup(az+1,nv)E
coords(noJ(cse(el)),1)>xup(az+1,nv)
100
Verdadeiro Fazer
força_el=cse(el)
Fim Se
Se força_el<>0
Verdadeiro Fazer
Ir finlocalizar
Fim Se
Se força_el=0
Verdadeiro Fazer
Seleçõar Caso xup(az+1,nv)
Caso coords(noI(cse(el)),1)
força_no=noI(cse(el))
Caso coords(noJ(cse(el)),1)
força_no=noJ(cse(el))
Fim Seleçõar
Fim Se
Se força_no<>0
Verdadeiro Fazer
Ir Etiqueta finlocalizar
Fim Se
Fim Repetir el
Etiqueta Finlocalizar
onde
força_no é o nó que esta aplicada a força;
força_el é o elemento que esta aplicada a força;
cse é o vetor no qual contem os elementos que foram aplicadas as cargas
móveis.
Para esta localização, calculam-se todas as matrizes novas de massa,
amortecimento e rigidez, e os vetores de carregamento para o intervalo de tempo para
cada veículo somente nos graus de liberdade solicitados. Calculam-se antes as funções
de interpolação denominadas N22, N23, N25 e N26. Para cada caso será necessário
fazer uma soma com a matriz da estrutura sem interação, tendo dois casos: a soma de
forças ou matrizes.
101
gle =grLibElem(i)
f(az+1,gle)=f(az+1,gle)+datosvm(lnv(nv),1)*Nij
Q(az+1,gle,gle)=Q(az+1,gle,gle)+datosvm(lnv(nv),i)*Nij*Nij
onde
datosvm é o vetor que contém as propriedades de cada tipo de veículo;
Q é uma uma matriz genérica, representando tanto as matrizes de massa,
amortecimento ou rigidez.
Os índices i e j podem ser 2,3,5 ou 6, que são os graus de liberdade do
elemento solicitado.
Em seguida inicia-se o algoritmo de Newmark calculando os valores efetivos
da matriz de rigidez e forças efetivas.
Repetir Desde az=1 até np
Repetir Desde i=1 até NGLLE
Repetir Desde j=1 até NGLLE
kef(az,i,j)=Kt(az,i,j)+delta/(beta*at)*Ct(az,i,j)+1/(beta*at
^2)*Mt(az,i,j)
Fim Repetir j
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até NGLLE
df(az,i)=f(az+1,i)-f(az,i)
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até NGLLE
Repetir Desde j=1 até NGLLE
auxa(az,i,j)=1/(beta*at)*Mt(az,i,j)+delta/beta*Ct(az,i,j)
auxb(az,i,j)=1/(2*beta)*Mt(az,i,j)+at*(delta/(2*beta)-
1)*Ct(az,i,j)
Fim Repetir j
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até NGLLE
aux=0
Repetir Desde j=1 até NGLLE
aux=aux+auxa(az,i,j)*dU(az,j)+auxb(az,i,j)*d2U(az,j)
Fim Repetir j
fef(az,i)=df(az,i)+aux
102
Fim Repetir i
Fim Repetir az
Finalmente, calculam-se todas as demais variações, como velocidades e
acelerações, somando os vetores iniciais, obtendo-se os deslocamentos, velocidades e
acelerações para o intervalo do tempo.
Repetir Desde az=1 até np
Repetir Desde i=1 até NGLLE
deltadU(az,i)=delta/(beta*at)*deltaU(az,i)-delta/beta*dU(az,i)+at*(1-
delta/(2*beta))*d2U(az,i)
deltad2U(az,i)=1/(beta*at^2)*deltaU(az,i)-1/(beta*at)*dU(az,i)-
1/(2*beta)*d2U(az,i)
Fim Repetir i
Repetir Desde i=1 até NGLLE
U(az+1,i)=U(az,i)+deltaU(az,i)
dU(az+1,i)=dU(az,i)+deltadU(az,i)
d2U(az+1,i)=d2U(az,i)+deltad2U(az,i)
Fim Repetir i
Fim Repetir az
103
CAPÍTULO 6
Testes de validação dos algoritmos e exemplos de aplicação
Neste capítulo foram desenvolvidos os testes de comprovação para validar
teoricamente os algoritmos apresentados, comparando os resultados obtidos com
soluções analíticas mostradas nas referências ou desenvolvidas pelo autor. Foram
desenvolvidas comprovações para o algoritmo estático, para a análise modal e para os
algoritmos dinâmicos, considerando carregamentos dinâmicos com ou sem interação
veículo-estrutura.
6.1 TESTES PARA O ALGORITMO DA ANÁLISE
ESTÁTICA
O exemplo utilizado como teste de validação para a análise estática foi
analisado por Chopra (1995) (exemplo 8.4). Neste exemplo, considera-se uma viga
simplesmente apoiada com comprimento de 60,96m , módulo de elasticidade de
26 t/m2,81x10 , inércia da seção de 45,67m e com um carregamento móvel,
correspondente a uma carga pontual de 4 t em sentido contrário ao da gravidade. O
deslocamento central estático é dado por 30( / 2) / 48u L p L EI . Utilizou-se para a
análise 20 elementos. A Figura 6-1 ilustram a entrada de dados do programa CarTool.
104
Figura 6-1 - Introdução de dados
Pode-se observar que o deslocamento máximo obtido foi -0.001185m o qual
coincide com o resultado teórico 001185,0/(48EI)L-pu(l/2) 3
o m, satisfazendo
assim o teste de validação para a análise estática.
6.2 TESTES PARA O ALGORITMO DA ANÁLISE MODAL
Para a análise modal foi utilizado o mesmo exemplo anterior, e foram obtidos
os modos e as freqüências de vibração da estrutura, os quais são comparados com os
seguintes resultados analíticos
2
2
1 2
sin ,
8.48 / , 33.91 /
i x i EI
L L m
rad s rad s
(6.1)
Com o programa foram obtidas as duas primeiras freqüências 8.48 rad/s e
33.91 rad/s respectivamente. Os modos obtidos numericamente são mostrados na Figura
6-2. Verifica-se assim que os resultados satisfazem o teste de validação para a análise
modal.
105
Modo de vibração 1 Modo de vibração 2
Modo de vibração 3 Modo de vibração 4
Figura 6-2 - Modos de vibração de uma viga simplesmente apoiada
Foi realizado também uma verificação da análise modal com um modelo de
pórtico plano, o qual também foi analisado com o programa SAP2000. Utilizou-se um
pórtico com duas colunas com 6 metros de altura, e uma viga com 6 metros de vão,
módulo de elasticidade de 2531050.7 t/m2, e massa por unidade de volume de 2.4028
t/m3.
Realizou-se uma discretização em 6 elementos por cada barra. Os resultados
obtidos com o programa SAP2000 e o programa desenvolvido neste trabalho são
mostrados na Figura 6-3. A partir dos resultados apresentados, conclui-se que estes
apresentam boa concordância.
106
Modelo Sap Modo 1 T=0.120 s Algoritmo Modo 1 T=0.117 s
Modelo Sap Modo 2 T=0.033 s Algoritmo Modo 2 T=0.030 s
Figura 6-3 - Modos de vibração de um pórtico plano
6.3 TESTES PARA O ALGORITMO DA ANÁLISE
DINÂMICA
Para a comprovação dos algoritmos para análise dinâmica, analisaram-se três
exemplos, os quais são descritos a seguir.
O primeiro exemplo teve como objetivo testar o algoritmo de Newmark e foi
analisado por Chopra (1995), (exemplo 5.3). Este exemplo consiste em um sistema de
um grau de liberdade, com t/m781k , /mseg-t523.4m 2 , seg/m-t843.2c e as
forças variam de forma senoidal )sen(pt/0,610p . Os resultados obtidos
numericamente foram comparados com os resultados analíticos mostrados na referência.
Os resultados são mostrados na Figura 6-4 obtendo-se para um passo de tempo de 0,1
segundo:
107
Figura 6-4 – Análise dinâmica de um problema com um grau de liberdade, com passo de tempo de
0.1 segundo
Reduzindo o passo de tempo para 0,01 segundos, pode-se observar que o
algoritmo coverge para a solução analítica, conforme mostrado na Figura 6-5:
Figura 6-5 - Análise dinâmica de um problema com um grau de liberdade, com passo de tempo de
0,01 segundo
O segundo teste foi realizado com o mesmo exemplo de Chopra (1995),
testado para análise estática, e mostrado anteriormente na seção 6.1. Neste novo teste, é
realizada uma análise dinâmica sem amortecimento com o algoritmo de Newmark
utilizando somente um carregamento pontual móvel a uma velocidade de 90 km/h, para
um passo de tempo de 0,1 segundos. Os resultados são mostrados na Figura 6-6
108
Figura 6-6 – Viga com carga móvel, sem amortecimento, com passo de tempo de 0,1 segundo
Reduzindo o passo de tempo para 0,01 segundos, pode se observar que o
algoritmo converge satisfatoriamente (Figura 6-7).
Figura 6-7 - Viga com carga móvel, sem amortecimento, com passo de tempo de 0,01 segundo
O coeficiente de amplificação dinâmica obtida por Chopra (1995) foi 1,156.
No presente estudo o coeficiente obtido foi 1,150.
No terceiro teste considera-se uma taxa de amortecimento de 5%, e utilizando
as equações diferenciais desenvolvidas pelo autor, foram obtidos resultados mostrados
na Figura 6-8, para um passo de tempo de 0,1 segundo.
109
Figura 6-8 - Viga com carga móvel, com amortecimento, com passo de tempo de 0,1 segundo
Reduzindo o passo de tempo para 0,01 segundos, pode-se observar que o
algoritmo converge satisfatoriamente (Figura 6-9).
Figura 6-9 - Viga com carga móvel, com amortecimento, com passo de tempo de 0,01 segundo
A analise pseudo-estático é um procedimento de realizar vários analises
estáticos deslocando o carregamento para cada instante de tempo, com este podemos
obter um registro no tempo dos deslocamentos estáticos.
Os resultados dos testes descritos acima podem ser comparados com
resultados obtidos através da análise pseudo-estática, a fim de permitir a determinação
110
do fator de amplificação dinâmica da resposta. Pode-se também apresentar a vibração
da ponte, após o carregamento sair da ponte (Figura 6-10).
Figura 6-10 - Análise pseudo-estático e resposta para carregamento fora da ponte
Para a comprovação do modelo dinâmico com interação simplificada do
veículo, foi implementado um exemplo tomado da tese de doutorado de Romero (2002),
na qual se analisa uma ponte de 40 metros de comprimento com massa por metro linear
de 30 t/m, rigidez à flexão da seção (EI) de 220,2 GN.m2 e taxa de amortecimento de
1%. O veículo utilizado para a análise foi um trem Eurostar (255 km/h), mostrado na
Figura 6-11.
Figura 6-11 - Trem Eurostar 373,1 v=255 km/h
111
As propriedades para este tipo de veículo, referentes a um modelo com
interação simplificada, são mostradas na Tabela 6-1.
Para um modelo com carregamento pontual pode-se usar a distribuição dos
eixos e um carregamento de Qk é 170 kN.
Tabela 6-1 - Características dos veículos simplificados para o trem Eurostar (Romero, 2002)
Para esta estrutura tem-se o máximo deslocamento dinâmico a uma velocidade
de 53 m/s, que equivale a 191,52 km/h. Pode-se observar na Figura 6-12 que as
diferenças entre a curva da análise pseudo-estática e a curva da análise dinâmica
correspondem às amplificações dinâmicas para cada instante de tempo.
112
Figura 6-12 - Deslocamentos no meio do vão para uma velocidade de 53 m/s, utilizando um modelo
de carregamento pontual
O máximo deslocamento para o modelo com carregamento pontual é 0,0112m,
ocorrendo no momento da saída do veículo.
Na Figura 6-13 são mostrados os deslocamentos no meio de vão, considerando
um veículo com interação simplificada.
Figura 6-13 - Deslocamentos no meio do vão para uma velocidade de 53 m/s, utilizando um modelo
com interação simplificada
Da mesma forma que para o carregamento móvel, o maior deslocamento para
o modelo de veículo com iteração ocorre em um momento próximo à saída do veículo
da ponte e tem um valor máximo de 0,0104m. Observa-se que no modelo com interação
113
simplificada existe uma redução da resposta de 7,14 % com respeito ao modelo com
carregamento pontual usado nos projetos.
A Figura 6-14 apresenta o tempo de execução dos algoritmos em segundos, em
função do passo de tempo utilizado para as análises dos modelos com carregamento
pontual (CMC) e o modelo com interação simplificado (MIS).
Figura 6-14 - Tempo de Execução dos Algoritmos
Avaliando o deslocamento dinâmico máximo no meio do vão, pode-se mostrar
a resposta da estrutura para diferentes velocidades. Esta curva dependerá do número de
elementos da estrutura e da variação de tempo, sendo que neste trabalho a estrutura foi
discretizada em 20 elementos, e o passo de tempo foi de 0,01 segundo.
A Figura 6-15 apresenta o gráfico de deslocamento versus velocidade do
veículo, indicando a que velocidades ocorrem os maiores coeficientes de amplificação
dinâmica. São comparados os resultados obtidos por Romero (2002) com os resultados
do programa proposto no presente trabalho. Pode-se observar que a uma velocidade de
53 m/s acontece uma ressonância, a qual amplifica o deslocamento em 3,85 vezes o
deslocamento estático.
114
Figura 6-15 – Espectro de resposta
Observa-se na Figura 6-15 que as duas curvas têm aproximadamente a mesma
forma, mas não têm os mesmos valores para cada velocidade. Esta divergência é devida
a diferenças em relação à discretização da geometria (número de elementos utilizados) e
do tempo (tamanho do passo do tempo), já que estes valores não foram indicados no
trabalho de Romero (2002).
Para esclarecer as causas da divergência encontrada, foram feitas novas
análises considerando passos de tempo de 0,02 e 0,04s. Os resultados são mostrados na
Figura 6-16, onde se pode observar que para cada variação de tempo a resposta
produzida no presente trabalho é diferente e mais perto da obtida por Romero (2002).
20 elementos e t=0.02 segundo. 20 elementos e t=0.04 segundo.
Figura 6-16 – Espectros de resposta para diferentes variações de tempo
115
Pode-se dizer que é recomendável que o trem trafegue na ponte evitando as
velocidades compreendidas entre 180 km/h e 195 km/h.
A comparação dos resultados com o trabalho de Romero foi satisfatória, sendo
que as diferenças encontradas podem ter sido causadas pela diferença de discretização
de elementos ou de tempo, as quais não foram indicadas no exemplo de validação da
referência. Deve-se destacar que para validar um modelo computacional seria mais
apropriado utilizar resultados de testes experimentais.
6.4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO E INTERPRETAÇÃO
DOS RESULTADOS
Em seguida é mostrado um exemplo de uma viga simplesmente apoiada com
48 eixos, para comparar todos os algoritmos, tempos de execução, irregularidades da
via, e verificar a importância de cada parâmetro. Considera-se uma velocidade de 53
m/s, que equivale a 191,52 km/h. A Tabela 6-2 apresenta os parâmetros das análises
realizadas com diferentes modelos de veículos.
Tabela 6-2 – Dados do Exemplo Analisado
onde
CMC é o modelo de carregamento pontual;
CMD é o modelo de carregamento distribuído;
CMM é o modelo de massa pontual;
MIS é o modelo de interação simplificado;
MIC1 e MIC2 são os modelos de interação completa tipo I e tipo II;
PEST é o modelo pseudoestático.
116
Para os modelos sem interação pode ser observado na Figura 6-17 que os
resultados são similares. Para o modelo CMD há uma diminuição na resposta de 1,0%.
Figura 6-17 - Resposta para os Modelos CMC e CMD
Na Figura 6-18 observa-se o tempo de execução para cada modelo com
diferentes passos de tempo. Observa-se que o tempo execução é praticamente o mesmo
para ambos os modelos.
Figura 6-18 - Tempo de Execução dos Algoritmos CMC e CMD
117
Para os modelos com interação, pode ser observado que a maior amplitude na
vibração ocorre no modelo de CMM. O modelo MIC1 apresenta deslocamentos
menores que os modelos MIC1 e CMM. Os resultados são mostrados na Figura 6-19.
Figura 6-19 - Resposta para os Modelos CMM, MIS e MIC
Os tempos de execução para cada um dos algoritmos são diferentes, como era
de se esperar, sendo muito maior para o modelo MIC2 (Figura 6-20). Os algoritmos que
resultaram em tempos de execução menores foram os correspondentes aos modelos
CMM e MIS.
Figura 6-20 - Tempo de Execução dos Algoritmos CMM, MIS e MIC
Na Figura 6-21 são realizadas comparações entre os resultados dos modelos
CMC e dos modelos MIS, observando-se que para o modelo MIS no momento de saída
118
do veículo os deslocamentos diminuem rapidamente. Observa-se um comportamento
análogo na Figura 6-21, quando comparam-se os modelos CMC e MIC2.
Figura 6-21 - Resposta para os Modelos CMC e MIS
Figura 6-22 - Resposta para os Modelos CMC e MIC2
Para os modelos MIS e MIC2, observa-se que a forma da resposta é similar,
sendo que apenas na fase da entrada do veículo, a amplitude do modelo MIC2 é menor.
119
Figura 6-23 - Resposta para os Modelos MIS e MIC2
Pode-se observar que os modelos com interação completa têm menor
amplitude da resposta, o que acontece pela dissipação de energia produzida pelos
amortecedores.
É interessante destacar as semelhanças entre as amplitudes e a forma dos
modelos CMM e MIS mostrados na Figura 6-24.
Figura 6-24 - Resposta para os Modelos CMM e MIS
Em seguida, será analizadas a influência na resposta dinâmica dos parâmetros
para o veículo (massa, amortecimento, rigidez), e para a estrutura (irregularidades da via
e elementos discretizados da estrutura) utilizando o modelo de interação simplificado, já
120
que foi comprovado que o mesmo possui menor custo computacional e com o qual se
obtém bons resultados.
A Figura 6-25, mostram a influência dos parâmetros M, K, e C. Os gráficos
estão compostos pelos deslocamentos na direção Y e o parâmetro analisado na direção
X, onde cada coluna do gráfico representa uma análise com um veículo simplificado e
os parâmetros estudados modificados aumentados em 10 vezes em relação ao anterior.
Figura 6-25 – Influência dos parâmetros na análise
Pode-se observar que os parâmetros do veículo que tiveram maior influência
na resposta dinâmica foram massa e o amortecimento, sendo que estes valores não
podem ser muitos altos ou irreais.
Figura 6-26 – Influência dos gdl na resposta dinâmica
121
A influência dos graus de liberdade da estrutura na resposta dinâmica é
mostrada na Figura 6-26.
A consideração das irregularidades geométricas no modelo, foi feita
modificando a geometria da estrutura e considerando a eq. (3.67), obtendo assim uma
amplificação da resposta dinâmica aproximada de 3,77 %. Observa-se também que as
diferenças na resposta dinâmica dos modelos com ou sem irregularidades vão
aumentando quando o veículo sai da ponte.
122
CAPÍTULO 7
Conclusões e sugestões para trabalhos futuros
Com base nos estudos desenvolvidos e no programa computacional implementado
pode-se observar as muitas possibilidades de gerar modelos com interação, utilizando
ferramentas computacionais simples e eficientes.
O desenvolvimento deste estudo permitiu que fossem obtidas as seguintes conclusões:
Os algoritmos desenvolvidos nesta dissertação foram testados e mostraram que
convergem. Ao serem desenvolvidos em planilhas de Microsoft Excel, estas
mostraram que podem ser utilizadas como uma ferramenta para o cálculo
estrutural no projeto e na pesquisa, deixando também claro que pode-se
modificar as planilhas para atender as necessidades do usuário;
As deduções realizadas pelas equações de Lagrange foram comprovadas pelo
principio de D’Alembert, tendo resultados satisfatórios (ver Anexos);
Os modelos sem interação levam a amplitudes das respostas maiores do que os
modelos com interação. O modelo com massa e modelo com interação
simplificado são modelos mais refinados, que utilizam interação da massa e
dissipação de energia (no modelo simplificado) e modelam o comportamento da
estrutura de uma maneira mais real. Neste caso, o custo computacional é maior
que nos modelos sem interação;
Ao utilizarem-se modelos com carregamento pontual distribuído, obteve-se uma
redução pequena da resposta dinâmica da estrutura. Aqui se pode mostrar o
efeito de espraiamento das cargas devido à presença do trilho, dormentes, lastro
e espessura dos elementos estruturais (laje e vigas);
A redução da resposta dinâmica pelos modelos de interação simplificados, em
relação ao calculado com os modelos pontuais, é maior quanto mais elevada a
taxa de amortecimento estrutural, mas não é muito notória para reduções
pequenas das características dos amortecimentos dos veículos;
123
Os parâmetros mais importantes para a interação entre veículo e estrutura foram
a massa e o amortecimento do veículo, sendo que quando esta massa é muito
grande, esta influencia significativamente os resultados;
As rigidezes e os amortecedores dos truques são importantes para dissipar
energia e diminuir as amplificações dos deslocamentos na estrutura. Os valores
característicos dos amortecedores não podem ser muito altos (fora da realidade)
já que isso afetaria o conforto dos passageiros e porque também o
amortecimento é um fator importante na resposta dinâmica da estrutura;
As maiores amplificações dinâmicas da estrutura geralmente são produzidas
anteriormente ao instante de saída do veículo da estrutura. Isto pode ser
interpretado como a aplicação de um impacto sobre a estrutura;
Os espectros de resposta são muito importantes para a avaliação dos coeficientes
de impacto para cada estrutura, sendo preciso que as considerações dos
coeficientes de impacto dependam também da velocidade;
Os métodos de cálculo baseados no uso do coeficiente de impacto normativos
usualmente são válidos para dimensionamentos de estruturas em que trafegam
veículos com velocidade relativamente baixa. Quando a velocidade é alta, esta
metodologia não é adequada. Isto se deve aos fatores de ressonância que podem
acontecer em determinadas velocidades de tráfego, quando o tempo para cada
passagem de grupo de cargas repetidas coincide ou é múltiplo de um período
fundamental da estrutura;
O modelo com interação simplificada resultou em melhor desempenho, no que
se refere à relação entre precisão e custo computacional;
O estudo das vibrações e as amplificações deste tipo de estrutura são de grande
importância para a engenharia. Portanto, é preciso estudá-los com maior
precisão, de modo a permitir a obtenção de resultados mais reais.
O tema estudado pode servir como ferramenta para muitas outras pesquisas, tais
como: a fadiga nos elementos para diferentes velocidades; o conforto nos passageiros;
interação entre via-veículo-estrutura; ressonância para veículos de alta velocidade, etc.
A seguir são propostas algumas sugestões para trabalhos futuros e para melhoria do
programa desenvolvido:
124
Estender o programa para analisar estruturas tridimensionais, de modo que
permita o estudo mais detalhado das acelerações e deslocamentos no interior do
trem;
Estudar o conforto dos passageiros, utilizando os modelos como os de tipo
completo I ou II e outros mais sofisticados que produzam adequadamente o
comportamento das acelerações dos veículos;
Realizar estudos mais detalhados sobre o coeficiente de amplificação dinâmica
para diversos tipos de estrutura utilizando o programa desenvolvido;
Realizar análise de fadiga utilizando diferentes velocidades de passagens,
gerando para cada uma, gráficos de velocidades vs. vida útil;
Estudar a interação veículo-estrutura tendo em conta forças de frenagem,
aceleração e as não linearidades dos sistemas de suspensão dos veículos;
Obter experimentalmente os valores de amortecimento e de rigidez dos veículos
ferroviários, assim permitindo a comparação dos resultados da metodologia
proposta com os resultados experimentais;
Estudar no momento da ressonância a perda de contato entre as rodas e a
estrutrura, já que este fenômeno pode produzir um aumento da resposta
dinâmica.
Avaliar a possibilidade de sugerir à ABNT (Associação Brasileira de Normas
Técnicas) a introdução da metodologia apresentada na norma de pontes.
125
Anexo A: Obtenção das equações de movimento para o veículo
simplificado, mediante o Principio de D’ Alembert.
Pelo principio de D’Alembert como segue somando as forças verticais no sistema
Figura 8-7-1 - Diagrama de corpo livre para elemento interação simplificado
1 1- , -k v v r a v v rf k y y f c y y
(8.1)
Equilíbrio para o grau de liberdade vy
1 1 0I k af f f (8.2)
Substituindo e reordenando as equações (8.1) em (8.2)
0v v v v r v v rm y c y y k y y
(8.3)
Equilíbrio para o grau de liberdade ry
1 1 0I k af f f (8.4)
Substituindo e reordenando as equações (8.1) em (8.4)
0r r v v r v v rm y c y y k y y
(8.5)
Finalmente agrupando todas as equações de equilíbrio para os 4 graus de liberdade tem-
se matricialmente
1 1 1
1 1 1
,
, ,
, - ,
v rm m
c c c
k k k
vv rr
vv vr rv rr
vv vr rv rr
M M
C C C C
K K K K (8.6)
126
Anexo B: Obtenção das equações de movimento para o veículo
completo tipo I, mediante o Principio de D’ Alembert.
Pelo principio de D’Alembert como segue somando as forças verticais no sistema
L L
fk1 fc1
fk1 fc1
fk2 fc2
fk2 fc2
Figura 8-7-2 - Diagrama de corpo livre do modelo de interação completo tipo I
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
,
,
k v r k v r
a v r a v r
f k y L y f k y L y
f c y L y f c y L y
(8.7)
Equilíbrio para o grau de liberdade vy
1 2 1 2 0I k k a af f f f f (8.8)
Substituindo e reordenando as equações (8.7) em (8.8)
1 1 2 2 1 1
2 2 0
v v v r v r v r
v r
m y c y L y c y L y k y L y
k y L y
(8.9)
Equilíbrio para o grau de liberdade θ
1 2 1 2 0IR k k a af Lf Lf Lf Lf (8.10)
Substituindo e reordenando as equações (8.7) em (8.10)
1 1 2 2 1 1
2 2 0
v v r v r v r
v r
J Lc y L y Lc y L y Lk y L y
Lk y L y
(8.11)
Equilíbrio para o grau de liberdade r1y
127
1 1 0I k af f f (8.12)
Substituindo e reordenando as equações (8.7) em (8.12)
1 1 1 1 1 0r r v r v rm y c y L y k y L y (8.13)
Equilíbrio para o grau de liberdade r2y
2 2 0I k af f f (8.14)
Substituindo e reordenando as equações (8.7) em (8.14)
2 2 2 2 2 0r r v r v rm y c y L y k y L y (8.15)
Finalmente agrupando todas as equações de equilíbrio para os 4 graus de liberdade tem-
se matricialmente
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
1
2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
1
2
0 0,
0 0
,
0,
0
,
0,
0
v r
v r
T
T
m m
J m
c c c c L c c
c c L c c L c L c L
c
c
k k k k L k k
k k L k k L k L k L
k
k
vv rr
vr
rv vr rr
vv vr
rv vr rr
M M
C
C C C
K K
K = K K
vvC
(8.16)
128
Anexo C: Obtenção das equações de movimento para o veículo
completo tipo II, mediante o Principio de D’ Alembert.
Pelo principio de D’Alembert como segue somando as forças verticais no sistema
L L
fk1 fc1
fk1 fc1
fk2 fc2
fk2 fc2
fk3 fc3 fk4 fc4 fk5 fc5 fk6 fc6
d d d d
fk3 fc3 fk4 fc4 fk5 fc5 fk6 fc6
Figura 8-7-3 - Diagrama de corpo livre do modelo de interação completa tipo II
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
3 3 1 1 1 4 4 1 1 2
3 3 1 1 1 4 4 1 1 2
5 5 2 2 3 6 6 2 2 4
5 5 2 2 3
,
,
,
,
,
,
k v s k v s
a v s a v s
k s r k s r
a s r a s r
k s r k s r
a s r
f k y L y f k y L y
f c y L y f c y L y
f k y d y f k y d y
f c y d y f c y d y
f k y d y f k y d y
f c y d y
6 6 2 2 4a s rf c y d y
(8.17)
Equilíbrio para o grau de liberdade vy
1 2 1 2 0I k k a af f f f f (8.18)
Substituindo e reordenando as equações (8.17) em (8.18)
1 1 2 2 1 1
2 2 0
v v v s v s v s
v s
m y c y L y c y L y k y L y
k y L y
(8.19)
Equilíbrio para o grau de liberdade θ
1 2 1 2 0IR k k a af Lf Lf Lf Lf (8.20)
129
Substituindo e reordenando as equações (8.17) em (8.20)
1 1 2 2 1 1
2 2 0
v v s v s v s
v s
J Lc y L y Lc y L y Lk y L y
Lk y L y
(8.21)
Equilíbrio para o grau de liberdade s1y
1 1 3 4 3 4 0I k a k k a af f f f f f f (8.22)
Substituindo e reordenando as equações (8.17) em (8.22)
1 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 2
1 1 3 1 1 1 4 1 1 2 0
s s v s s r s r
v s s r s r
m y c y L y c y d y c y d y
k y L y k y d y k y d y
(8.23)
Equilíbrio para o grau de liberdade 1θ
3 4 3 4 0IR k k a af df df df df (8.24)
Substituindo e reordenando as equações (8.17) em (8.24)
1 1 3 1 1 1 4 1 1 2
3 1 1 1 4 1 1 2 0
s s r s r
s r s r
J dc y d y dc y d y
dk y d y dk y d y
(8.25)
Equilíbrio para o grau de liberdade s2y
2 2 5 6 5 6 0I k a k k a af f f f f f f (8.26)
Substituindo e reordenando as equações (8.17) em (8.26)
2 2 2 2 5 2 2 3 6 2 2 4
2 2 5 2 2 3 6 2 2 4 0
s s v s s r s r
v s s r s r
m y c y L y c y d y c y d y
k y L y k y d y k y d y
(8.27)
Equilíbrio para o grau de liberdade 2θ
5 6 5 6 0IR k k a af df df df df (8.28)
Substituindo e reordenando as equações (8.17) em (8.28)
2 2 5 2 2 3 6 2 2 4
5 2 2 3 6 2 2 4 0
s s r s r
s r s r
J dc y d y dc y d y
dk y d y dk y d y
(8.29)
Equilíbrio para o grau de liberdade r1y
3 3 0I k af f f (8.30)
130
Substituindo e reordenando as equações (8.17) em (8.30)
1 3 1 1 1 3 1 1 1 0r r s r s rm y c y d y k y d y (8.31)
Equilíbrio para o grau de liberdade r2y
4 4 0I k af f f (8.32)
Substituindo e reordenando as equações (8.17) em (8.32)
2 4 1 1 2 4 1 1 2 0r r s r s rm y c y d y k y d y (8.33)
Equilíbrio para o grau de liberdade r3y
5 5 0I k af f f (8.34)
Substituindo e reordenando as equações (8.17) em (8.34)
3 5 2 2 3 5 2 2 3 0r r s r s rm y c y d y k y d y (8.35)
Equilíbrio para o grau de liberdade r4y
6 6 0I k af f f (8.36)
Substituindo e reordenando as equações (8.17) em (8.36)
4 6 2 2 4 6 2 2 4 0r r s r s rm y c y d y k y d y (8.37)
Finalmente agrupando todas as equações de equilíbrio para os 10 graus de liberdade
tem-se matricialmente
1
1
2
2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0,
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
v
v r
s r
s r
s r
s
m
J m
m m
J m
m m
J
vv rrM M
(8.38)
131
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 3 4 3 4
2 2
3 4 3 4
2 2 2 5 6 5 6
2 2
5 6 5 6
3 4
3 4
5 6
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0
c c c L c L c c
c L c L c L c L c L c L
c c L c c c c d c d
c d c d c d c d
c c L c c c c d c d
c d c d c d c d
c c
dc dc
c c
vv
vr
C
C
3
4
5
6
5 6
0 0 0
0 0 0, ,
0 0 0
0 0 0
0
T
c
c
c
c
dc dc
rv vr rrC = C C
(8.39)
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 3 4 3 4
2 2
3 4 3 4
2 2 2 5 6 5 6
2 2
5 6 5 6
3 4
3 4
5 6
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0
k k k L k L k k
k L k L k L k L k L k L
k k L k k k k d k d
k d k d k d k d
k k L k k k k d k d
k d k d k d k d
k k
dk dk
k k
vv
vr
K
K
3
4
5
6
5 6
0 0 0
0 0 0, = ,
0 0 0
0 0 0
0
T
k
k
k
k
dk dk
rv vr rrK K K
(8.40)
132
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