desenho técnico

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RElACAO FORMA-FUN9AO

u ADE 3

REPRESENTAQAO TECNI

IilINTRODUQAO

Desde tempos recuados que 0 ho rtruiu os seus temples e patacio .

De inlcio. procurou resolver 0 prohl

no pr6prio local sem recorrer b r prusuru 9

desenhada.

Com 0 aparecirnento des elv III If 0 • , I II

avc lufdas, as suas eonstruodes pU ,Uri I I I

rea lizadas median te ' u rn es t~ tlo dnl I I) (I

Modernamente , nada se faz s m lin pi

neamento e laborado segundo a' n

des a satisfazer.

0'; 0 central ou conica:

c9 0 paralela ou cilrndrica.

Q do escala ern que estao execu-

',d . rhos, a representacao de cor-

, \ J I na~ao das cotas sao tambem

nu r II i utlill das na representacso tecnica

, ,, ' tuiudo urna linguagem universal para a

Ir J u , I t il PUv a executar.

..

, .

~

42

R EP RE SE NT A< ;A O T EC NI CA D E F O RM A S- Un ld . 3

I:XPlANACAO

ROGRAMATICA

1. A falta deplaneamento urbenistico e os 10 -

eais de construciio escolhidos srbitrsriemente

da~, norma/mente. fugar a tormeciio de oovoe-

90es desorganizadas:

Se repararmos em certas construcoes, de-

duzimos que elas devem ter sido fei tas sem

obedecer a um estudo antecipado (proiecto).

Osproblemas que fcram surgindo eram resolvi-

dos conforme ascircunstancias do momenta

e no propr io local, 0 que nem sempre e faoll.a mesmo se podera observar na formacao

de certas cidades ou povoacoes queforarn cres-

cendo desordenadamente, f ig. 1, sem obede-

cerern a um plano previo (planode urbanizacao),

Desde ha ssculos que e utilizada a represen-

t898:0 desenhada para a construcao de certosediffcios e cidades, A ausencia de programa-

cao. nos casos apontados, foi dev ida cer ta -

mente ao desconhec imento dos processos

tecnicos de representacao par parte dos seus

realizadores. Mas tarnbern pode ter s ide cau-

sada pelo deficiente funcionamento das estru-

turas legais, as quais cabe discipl inar a orga-

niza9ao dosespacos construtivos e proceder

a uma f isca lizacso ef icaz, que evi te a cons -

t rucao c landes tina e desordenada, f ig. 2 .

2. A falta de ptenesmento e 0deficiente fun-

cionamento das estruturas legals podem tam-

bem dar Jugar ao apareeimento de construe

r;:oes clendestines,

Pode dizer-se que, modernamente, nada se

faz sem urn planeamento do que se pretende

realizar, desde os utensfl ios mais pequenos

ate aos barcos ou avioes , desde as casas as

cidades.

Nos projectos, recorre-se a representacao

taeniea das formas por .seresta a melhor rna-

neira de interpretar 0 que se quer construir ,

desde 0 conjunto aos rnais pequencs porrne-

nares.

Assim, as representacoes sub ject ivas do

desenho artls tico, outrora usadas, sao subs-

titufdas por uma rspresentacao objectiva que

segue normas e regras estabelecidas interna-

cionalmente.

Isto parmlte que em todas as act iv idades

ccnstrutivas se uti lize urn tipo dedesenho es-

tritarnente tecnico que, devido as suas regras,

pode ser interp retado por qua lquer pessoa

,_ mesmo falando uma l ingua d iferente.

43

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" " " . . , . . . . ' ' ' '' ', , ', I ' ' '~ " ' mcososo

2.2. OE SEN HO R IGOROSO

a desenho de observacao, que acabaste de estudar e

praticar, permite representar 0 que observas e imagi-

nas c om c ri ati vi dade e exp ressao. N o ent an to , por

vezes. 0 rigor tarnbern e nacsssario.o pro jecto de um arqui tecto. por exemplo . obedece a

medidas r igorosas ; caso contra r io . 0 const ru tor nao

sabera asdirnensoes dosespacos.

Qualquer objecto au utensi lio que uti lizes no teu die-a--dia, para que seja produzido industrialmente, precise

de um pro jecto com ind icacdes e medidas r iqorosas .

Alguns espacosdesportivos. par exempLo ascampos de

futebol, basqueteboL, as piscinas. au 0 pavilhao da tua

escola sao div ididos de uma forma riqorosa, com traca-

dos geometr icos , para que ' possam funcionar de um

modo organizado.

Toda a inlor rnacao necessaria para a reprasentacao

com rigor e apresenlada nas paqinas seguintesdeste

teu manual: geometr ia no p lano, geometr ia noespaco

e rapresentacao tecnica . Deves consutt a- ta sempre

que necessites ou teseja sugerido.

o r i go r d o desenho g e om e tr ic o f az p ar te d a nossa organ izas iio social,

G EO M ET R IA N O P LA NO

A geometria no plano refere-se a todas asconstrucoes

qeornetricas feitas no espace bidimensional- 0 plano.

Ponto e a unidade mais pequena quese conhece. a par-

t ir da qual tudo seconstroi. Um ponto def ine-se rigoro-

s amente pel a in te rs ecc ao ou c ru zament o de duas

l inhas. sejam elas rec tas ou curvas, e representa-se

por uma letra rnaiuscula.

L inha sao va ri es pon te s l ig ados num p lano e numa

dirnensao. Uma l inha pode ser recta, curva, continua.

quebrada, aberta oufechada. Urna l inha def ine-se rigo-

rosamente por dois pontes unidos par um t race.

~B

Recta e uma l inha sem princ ip ia nem f im que sedefine

por urn t race d ire i to e que serepresenta por urna let ra

rninuscula,

Segmento de rec ta e uma l lnha d irei ta com princ ip io e

rim. que se represents por duas tet ras rnaiuscutas,

AI------------lB

A posi~ao das rectas no espaco def ine a sua orientacao

ou djrec~ao: horizontal, vertical e obl iqua.

a

b

R E P RE S E NT A i; A O E E X P R ES S AO O E S EN H OR I G O RO SO GEO t -l ETR IA NOPLANO

A pos icao relat ive de duas rec tas def ine a relacso que

existe entre eLas.

Recta s paral el as s ao rec la s que man te rn semp re a

mesma distanc ia entre s ie nunca secruzam.

Rec tas concorrentes. sao rec tas que se c ruzam nurn

ponto.

Rec tas perpend iculares sao rec tas concorrentes que

formam ent re s iangu los de900 ou angLllos rectos.

~~

d

e

Di vls ao de u rn segmen to de rec ta em 2 par te s i guai s

lnocao de mediatrizl

F az cent ro nopon to A e nopon to S e com abe rt ur a do

compasso superior a metade deAB descreve dois arcos

que, ao 58 intersectarem. determinam 05 pontos por

onde passa arecta m.Chama-se media tr iz a esta rec ta

porque divide 0 segmento Aa em duas par tes iguais:

AM e igual a MB.

I~----~~M----~B

aD iv isao de urn segmento derecta em 4 par tes iguais

Determine amediatriz deAB. Emsequida, fazendo cen-

tro nos pontos A e C. e com aber tura do compasso

superior a metade deAC. descreve dols arcos que aose

intersectarern determinam ospontos por onde passa a

mediatriz do seqrnento, de recta AC. Repet indo 0 pro-

cesso para 0 s egmento ca . a s egmento de rect a AS

ricara div idido em quatro partes iguais.

(

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lACAO FORMA-FUNC;A .O

1 0D O S D E R EP R ES E NT AC ;A o

Nas lnterpretacoes do real (fot09rafia, de-

l nho de observacao, erc.) os objectos apa-

rt cern representados como a observador as

V , lsto e , numa visao globa' e com deforma-r ; : O Q S aparentes, segundo as pcslcoes do ob-

Iicto e do observador, f ig. 3.

Aeconheceu-se, oorern, que esta represen-

r ,l ia nern sempre permitia compreender de-

rrnlnadas partes do objecto representado, a

qlJe impedia a sua realiza<;;aocorrecta na in-

histria au na construcao civil.

Para resolver a problemaapontado, recorre-

-se aosistema de proieccoes, que consists no

metoda de projectar as objectos em determi-

nados planas.

Este metodo, que tern a sua eplicacao na

vida pratica em todas as actividades constru-

tivas, permite uma interpretaceo correcta enarmalizada, fig. 4.

--J4

•Ima~iio fotografica de um eutomo-

J inrm8f;Oes aparentes (perspectiva)

I IJ 10Angu lo de vtsso do obser-

4. Representa9i! iQItecnics do eutomovet da fi-

gure 3, segundo normas esta'belecidas inter-

necionelmente. Vista de lado, de cima, de

frente e de trss,

REPRESENTAQAo ttCNICA DE FORMAS-Unld. 3

Para que se entenda rnelhor a metoda de

,rojectar, atras c itado, comecemos por uma

)( rnpllftcacso rnuito simples:

Se considerarmos um circulo no espaco, pa-

lela a um plano vertical eo observarmosa

'llfta distancia verificamos que as linhas que

Iarrern da nossa vista e tocam (1) bordo do err-

ulo (circunferenoial sao divergentes e deter-

rulnarn, par interseccao com esse plano, uma

projeec;;aomaior que 0 cfrculo oriqinal que se

designa por PAOJECC;:AO CENTRAL OU co -NICA, fig. 6.

Com efeito, a projeccao central au c6nica

obre um plano, chamado plano de projeccao,

!a tnterseccao das rectas que unem um ponto

lxo chamado centra de projeccao com cad a

PlflrlO verllc~1

ponto da f igura (roetas pro jocton tes). Oaf a

nome de projecc;:ao cOnIc

Como casa parl icLiI r d I "I'ojoel;: 0 central

au c6nica surglu a PAOJr: CA O PARALELA

ou CILiNDRICA. No t • .u p I' contra de

projecc;;aono infinito lcctoc l e i f l C In,dll cyao

determinada) .

Neste caso, como

Plano vertical

6

5. Projecr.;:aocentral au conics de um ctrculo.

As projectentes que pertem do centro depro-

ject ;i !ioe passam pelo "bordo" do c itculo for-

mam um cone.

o6.. Projeccso parDI J Ial t al/lm/rlru. (Iesignada

oblique, porque {J prOlf lcr 11115!1 0 obllquas

eo plano de project; o .

7'. Project;iJo pare/olll au cll lndric8, designada

ortogonal, porque as proJoc'8ntes saoperpen-

diculares 80 plano de projecpBo.

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A S ! f . f ,

t RElA9AO FORMA·FUNQAo

Em resumo:

A PROJEC<;AO CENTRAL ou CONICA ecn-

duz ao estudo da perspectiva c6nica, Que

abordaremos rnais adiante na pagina 56 e ra

sulta do cone v isua l formado ent re 0 obser-

vador e 0 objecto, fig. 8. Esta perspective. ,mais usada em desenho de arqultectura.

A PROJECCAO PARALELA ou CIUNDRICAconduz ao estudo das pro jecf ;:oes obi qU08,

f ig . 9 , e das pro ject ;:oes ortogonais. f igs. 10

e 11.

Pro l c e; :O o bli qu as

A pro)ocQoobUqua e uma projeccao para-

loin cu i p1 l08~A opratica conduziu, por exem-pIa, f pr ntac;:io de abjectos em represen-

t It 0C 1I I Ira. fig. 9, que estudaremos maisldl mt n p gina 64. Esta representacso emulto U Ida om desenho de rnaqulnas .

8 PV

9

8. Cubo no especo, most rando-se como sa

obtem a perspective c6nica (projecr;8o cen-

tral ou c6nicaJ.

46

9. Cubo no especo, mostrando-se como se

obtem a represent8r;80 cavaleira (projecr;ao

obliaus}.

R EP RE SE NT A< :;A O T EC N1 CA D E F OR M AS -U nld . 3

• Projeccces ortogonals

A projec(fao ortogonal e uma proieccao para-

lela em que asreetas pro jectantes sao. como

o nome indica, perpendicula res ao plano de

projeccao

€entral

a u

coniCB

I ProJec~iiQ t

Paralll la

ou

clHndrica

[ O n o go n al I -

A sua apl icacao pratica conduziu, par exam-

plo, ao desenho tecnico de rnaquinas, no qual

seprojeetam as pecas em var ies p lanas orto-

gonais. f ig. -10, e as representacces axono-

metricas. fig. 11, nas quais S8 proiectam as

pecas num s6 plano.

11

PerspeclivB Unean

o u

0 6 1 1 1 c I I

~

Sistema 1 -ProjecQillls

oi1ogpnaisillAdrico

Oo s en n o c o ta _ lI o

RepresenlllQii0

- isorruitrica

(j;KIrspeC11'101

tislema8xonomi!lrico Representsc;; i lo

- monod!mtllrica

(persp,O(:thllll

RepreSlllltllc;;lIo

c a ' l 8 1 e i r B

(perspectival

10. Paraleleprpedo no especo, mostrando-se

as SUBS projeccoes nos tres pIanos ortoqoneis

(horizontal , vertical e lateral direi to}.

11. Cuba pro jectado num 56 plano deprojec-

C;aosituado em talposic;ao que se obtem uma

represen tar;:ao sxonometric«,

47

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~1 RElAC;Ao FORMA-FUN9AO

• Projecc ;:oes ortogonais num pi no

Secolocarmos no espaco, nas pos!Qc5o','"d icadas nas figuras em baixo, urn cIrellI . .mcilindro e uma esfera e determinarmo .10 t 1 1 I I

orojeccoes num plano vertical, f iga. l? I

ver if icamos que as proj~c93es obt '" n

iguais-neste ease. clrcuntsrenolas, r {I

a 17.

o5

1 2, 1 3 e 14. Projec9ao, num 56 plano, de um

ctrcuio, cilindro e esters.

48

D (lui S9 conc lu l que, em alguns casos , se

Ilill(,prmos u rn s6 p lano de pro ieccao, na~ f i-

e mo sUl!olen ternente informados acerca da

clltlflUlIrlll(i:io de certos modelos.

Como resolver 0 problema?

ontlnuernos na pag ina segu in te e obser-

v rn-uc S respectivas fiquras,

o6 o7

15, 16e 17. As projeceoes do clrculo, c il in-

dro e esfera sao todas iguais (circunferencias).

14

REPRESENTAGAO TECN ICA DE F OR MA S-U nid. 3

• Projec~oes ortogona is am dois p lanas

Como verificarnos no examplo anter ior, um

s6 plano de projeccao nem sempre traduz ca-

pazmente 0 modelo que se pre tende repre-

sentar.

Par isso , para def in ir conven ientemente a

forma de certos model os, usam-se, geral-

mente , dois pianos de projeccao . .

Corn e fe ito, se observarmos as f iguras 18a 20, ver if icamos, que 0emprego de mais um

plano (nes te caso . um plano horizon ta l) nos

perrnite dis tinguir cada um dos modelos pro-

jectados.

Estes planes (vert ical e hor izontal} , que sao

perpendiculares entre s i, intersectam-se se-

gundo uma l lnha que se des igna por l inha de

terra.

Como jf! dissemos anter iormente, para de-

terminarmos as projeccoes num planar temos

que considerar ~ existencia dum observador

s ituado no centro de proieccsc. No case das

projecc;:6es com dais planes, este observador

des locar-se-a do seu ponto de v ia ta .

Assirn, para obter a projecc;ao vertical. 0 ob-

servador tera que ver 0 modelo defrente, f igs.

18 a 20.

Para obter a projecc;:ao horizontal. ten~ quever 0modele de cima para baixo, f igs. 18a 20.

Desta maneira, obtemos as projecc;:c'5eser-

tica I e horizo ntal, figs. 21 a 23. A represen-

tacao no plano vertical Iproieecao vertical) ,

em desenho de rnaquinas. chama-sa vista de

frente; em desenho de const rucao c ivi l, cha-

rna-sa alcado.

A representacao no plano hor izontal (pro-

ieccao hor izontal) em desenho de maqutnas

chama-se vista de cima; em desenho de cons-

trucao civ il chama-se planta.

21

1 8, 19 e 20. Ctrcuto, cilindro e esters no 'es-

oeco e suas proieccties (vertical e horizontal).

E.V-2-a~-4

,.

22

21, 22 e 23. Projecr;oes, vertical e horizon-

ta l, do c lrcuto , ci lindro e esfera .

49

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R EP RE SE NT AI t; 'O E E XP R£ S$ .l .O D ES EN HO R IG OR OS O G EO M ET RI A N O I 'L liN O

Const rucao do pentaqono

dado asegmento derecta A B [ la do l

Prolonga A s par;' !a direi ta. Fazcentro no ponto B ecorn

abertura do compasso ate A desereve a semidrcunfe-

renda AP e d iv ide-a em c inco par tes iguais tracando

cinco anguLos de 36°. Une a pon to Baa pon to C, que ea

segunda divisao da sernicircunferencia [72"1 e t race as

media tr izes dos LadasAB e BCque se interseclam no

ponto O. Fazendo centro nests ponto D, descreve uma

circunferencia que pass e nos pon to s A, B·e C. Toma

com a compas so a med ida do l ado AS e marca na cir-

cunterencia as pontes 0 e E. Une estes pontos eobtans

um pentaqono,

o

E

p

Construcao do hexaqono

dado asegmento derecta A S H a de l

Fazendo centro nos pontosAe B,com abertura iguaLao

ladoAB, descreve areas que, intersectando-se. deter-

m inam a ponte O. Faz centro no ponto a e com a rnes-

rna abertura do compasso descreve uma circonteren-

c ia que. passando pelos pontos A e B ,vai i nt ersectar as

dois arcos t racadcs nos pontes C e F.Fazendo centro

nestes pontes C e F. e sempre com a mesma abertura,

descreve arcos que vao intersectar ac ircunferencia nos

pontos 0 e E .Ao uni r t odos os pontos obtens um hexa-

gono.

12 4

Const ruca o do oct oqono

dado 0segmeri to de recta A S l la do l

Prolonga AB para ambos os ladas .A par i i r dospantosA

e B , levari ta duas perpend icularas . Com~ntrQ em A e

em B e abert ura iguaL a medida do LadoAB. trsca duas

sernicircunterencias que intersectam a recta proLonga-

da nos pontos P e Q e as duas redas perpen.dicula!"es

em ReS. Trar; :aas bissectrizes dos angulos PARe S8Q.

A intersaccao das bissectrizes com as sernicircunfe-

r enci as det ermi na as pont os CeO. Po r este s pon to s

tracarn-se paralelas .as duas rectas perpendiculares

Levantadas, rnarcando-se cam a medida do lado AB os

pontos E e G . Com centro nes tes pontes, e com a mes -

ma abert ura do cornpasso, t raca areas que vao inter -

sectar as primeiras duas rectas Levantadas nos pontos

Fe H .Ao uni r t odos aspontos obtens urn octoqono.

p Q

Espirais

EspiraL e uma l inha curva que, descrevendo vol t-as ,

pode ser atravessada por uma recta em varies pontes.

Espiral bicentrica (com dais centres]

Oesenha a recta r hor izonta l e mares nela ascent res 1

e 2 com uma dis lanc ia quaLquer entre eLes.Com centro

docompasso em 1 eabertura ate 2, descreve a arcoZA.

Com centro do compasso em 2 e abertura 2A descreveo arco AB . Volta a colocar a centro docompasso em 1e

com abertura fB descreve 0 area BCe assim sucessiva-

mente.

c

Espiral t ri cent rica lcorn t res centres]

Desenha um t rianqu lo equ it at ern com osvert ices 1.2e

3 l c o ns t ru c ao do triangulO equlLatera na paq ina 12 1 J.

ProLonga os lades dotriangulo. Com centro docornpas-

sonoponto 1e abert ura iguat a medida dolado dotrian-guLodescreve a arco 3 1 \ . Com centro do compasso no

ponte 2 e abertura 2A descreve a arco AB. Com centro do

compasso no ponte 3e abertura 38 descreve a arco S C .Volta a cotocar 0centro docompasso em 1e com aber-

tura 1Cdescreve a arca COe assirn sucessivamente.

R fP R ES EN T li it Ao E E X ~E S5 A O O E SE N HO R IG O RO S OG E O l o lE T R IANO PL ANO

EspiraL quadricentrica (com quatro centrosl

Desenha urn quadrado com asver ti ces 1,2 ,3 e 4 (cons-

t rucao doquadrado napagina 122! . Prolonga osLadasdo

quadrado. Com centro docompasso no ponte 1 e aber-

~ra iguaL a medida dolado doquadrado descreve a area

4A Com centro docompassono ponto 2 e abertura 2A

descreve a arcoAB. Com centro docompasso noponto:3

e abertura 3B, descreve aarco S C . Com centro do com-

passe no ponte 4eabertura 4C.descreve 0arco (0: Voi-

l aa colocar a centro docornpasso em 1 e com abertura

1Ddescreve 0 areo DEe.assim sucessivamente.

E

r

A

o

c

c

125

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REPRESEHTAC10 fE XPR ESS AO , O ES EN HO RIG OH OSD G EO ME TR IA NO P LA NO

Arcos

Areo devolta inteira lromanol

Este arco e uma sernic ircunterencia perfeita. Ospantas

A e Bsaoas pantos ande nasce 0arco ea segmento AS

chama-so abert ura auvao. Nes te t ipo dearea a f leeha

au altura Ih l emetade dovao,A recta re a rec ta deapo io

do area.

A B

Arco em ogiva perfeito

Marca avaoAS sabre .arec ta de apo io r. Com abertura

igual aAB ecentro nos pontos Ae Bdesenha daisarcos

de circunterencia que se intersectarn no ponto V ,que e

overtice do area.

A o B

Areo em ogiva alongado

Dada aabertura auvaodo area Isegmento AB] ea medi-

dada ! lecha aua l tu ra [ segmento OVl , une aspontes Ae

Beam 0 ponto Ve as rnediatrizes desses dais segmen-

tos,AV e BV, que prolongadas ate a recta r a intersects-

rao, respeetivamente, nos pontos 1e 2.Estes dais port-

t os s ao as centr os dos a reas AVe B y . A medida 01 e

Igual a02.

v

12 6

Arco em ogiva encurtado

5e a ogiva for encur lada, i st o e, se a vao for maior do

que a a ltu ra , a s pon to s 1e 2 , c en tr es dos a rcos dec ir -

cunterencia, s ituarn-se entre osextremos A e B.Apro-

vei tando a oonstrucao geometriea do exercfc io anterior

eompleta a tracado do area em ogiva encurtado.

v

r

r

Arco eantraeurvado au dequerena

Dada aaber tura ou vao doarco [ segmento ASJ . t raca a

sua media tr iz edeterminao seu ponto media O.Fazeh-

do centro em 0, t raca urna serni ci rcunterenc ia de raio

DA.Com centro nos pontes Ae B'eraio igual aoda semi-

c ircunferencia, desenha as areas D C e 6 0 , respeetiva-

mente. Com centro nos pontos CeO e raio igual ao

ante ri or , desenha dai s a reas que se in le rseet am no

ponto V .Com amesmo raio ecent ro em Veneont ras as

pon to s Ee F .Os pon te s Ee Fs ao os c en tr es dos a reas

cujo t racado faz com que f ique complete a const rucao

do area eontracurvado.

Area eontraeurvado dados 0 vao e a f leeha

Desenha 0vao e a I lecha, Estes segmentos sao perpen-

diculares entre s i.

Une aspori tes Ae Bcom 0ponte V,vertice doarco. Tra-

< ; 0 1 a rnediatriz de.AVe determina 0 seu ponto media , a

ponto C.Faza mesmo para a segmento BV e determina

: :. ponto D .Trace a media tr iz deACque intersecta avao

AB noponto 1.A rec ta que une a ponto 1a C in tersec ta

G E DM ET RI A N O P U NOE PR ES EN TA "l o E E X PR ES SA O O E SE NH O R IG O RO SO

A 2 o 8

v

A o 8

Area abatido

Nes te arco a I lecha e menor do que me tade da su a

abertura 'auva'o. Traca a seqrnento-Afi ea SU<; l media-

tr iz e marea sabre e le , a par ti r d opon to 0 , a a lt ur a do

arco. Une as pontes A e B com a ponte C. T raca uma

se rn ic ir cunf er encia c om c en tr o em 0 e abe rt ur a no

ponto Aque vai determinar, narned ia tr iz deAB, a pon-

t o D .Com centro em C,desenha uma c ircunferencia

cujo raio e igual a medida CD. Esta c ircunferencia

int ersecta ACe Be nos pon to s Pe Q. Traca as media-

l rizes deAP eSO que intersectarn As nos pon te s 1e 2 ,

ass irn como a media tr iz deAS no ponte 3.Com centro

em 1 e 2 d esenha as arcos AR e 85 . Com cen tr o em 3

desenha a arco R S .

o

13

uma rec ta parale la a AB . que pas sa par V , no pon to 3 .

Com cenl ro emVe abe rt ur a no ponte 3, marea a ponto

4 no lado oposto.

l Jne4 a0 eencontr as a pon to 2 nov aoAB. as pontos 1,

2 , 3e 4 saoos qua tr o cent ro s dea rcos cu jo t racado Iaz

com que f ique eompleta a const rucao do area contra-

curvado,

A 2 B

12 7

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GE DME TR I A H OP L AN D

OvuLo

Tracado de urn ovule sendo dado 0 eixo rnanor ldiarne-

t r o d a c i rc u n fe r e n ci a l

Tra ca u ma e ir e u nfere nc ia dediarnetro ABe deterrni naa

s u a r ne di at ri z, q u e v a i i n te rs ec ta r a c ir cu n le re n ci a no

p on te 2 . Une aspan los A e B ao ponto 2e p ro to nq a -o s

para lora da c i rcun fe renc ia . as pontos A . B e 2 sao as

centres dos areas de circunfersncia que vals utilizer

paraconstruir 0 cvuto.

Tracado deum ovulo sendo dados asdais a ixos

Traca um<J,cireunferencia de diarnatro ABe determina a

sua rnediatriz , ande iras rnarcar 0 eixo CD, Une ospon-

t os Ae B ao ponto D. Fazendo c en tr o em A e B e com

abertura iguaL a ED marc-a .os pontes Fe G, respective-

mente, sabre as segmentosAOe SO, ob tendoassi rn as

pontes Fe G.Traca as rnad ia tr iz ss dos segmentos FDe

GOe laz com que intersectem a proLongamento dod ia~

metro h o r iz o n ta l d a c ir c un t e re n c ia d e te r rn i na n do as

pontes 2 e 3. 0 ponte deinterseccao entre essas med ia~

trizes e o eixo ma iordeterrni na 0ponto 4. aspontos 2"3

e 4 sao Ciscentres 005 areas de clrcunferencia quevais

utilizar para eonstruir 0 ovule .

2

128

A 8

' , jt tp RE S ENT A ( :AO E E X PR :E S SA o tiESEH H OR IG oROS O GEOMETR IAHO P LAHO

A

A 8

Oval

Tracado de uma ova lsendo dado 0 eixo maier

Dado 0 eixo maier AB. div ide~o ern tres partesiquais,

t racando logo de seguida duas c ircunferencias com os

se usce ntros nos poritos 1 e '2 e ' ra io iguaLa 1/3 do eixo

maior. A interseccao dss duas circunterencias deterrni-

naas porites 3e 4, T ra ce se rn i- r e ct a s que par tam dos

pontes 3e 4, passern pelos pontos 1 e 2 e interssctern

as circu nferenejas nos pontes de c!:lncordancia T 1, T 2, 1 .3

e To . a ponto 1 e a centro doarea Tl T2, 0 ponte 2 e 0 cen-I ro doareat31 , ; ,a ponto.~ eo centro doarea t ;T r , e 0 pon-

to 4 e 0 centro do area T 1T 3.

Tracado de u r na o v al s e nd o dado 0eixo menor

Dado 0 e ixo menor CD. , divide-o em qualro partes

iquals, t racando logo de sequida tres c ircunferencias

com as seus centros nos pontos 1,2 e3 e raio igual'a l/LI

do eixo menor. A c ircunterencia central daterrnina, no

sixo rnaior.ns pontos E e F.Traca serni-rectas que par-

tam dos pontes 1 e3 e passern petos pontos E e F.Com

cen tr o no pon te l :e abe rtu ra em D. ,rraca 0 area T2T,,"

Com centr o no ponto 3 e aberturaern C, traca a area

T0 " 3 . 0 pan t o .~ e a cen tro do areo 1 " 0 " 2e 0 ponto F e 0 cen-

Ir a do area T3 T 4•

c o

,.--,

C

o

c oB

A

o

T racado de u rna ova l s endo dados 0 eixo

maier e0eixo rnenor

Dad o a eixo r naior AS e 0 e ixo menor GO,

une os pon to sA e B aos pontes Ce D. Com

cen tr o no pon to 0 traca a area de circunfe-

rendaCE. Sabre as segmentosAC,AD, B G e

SO marca, a par ti r dos pontos G e D, a dis-

1.3ncia que vai de A a E . p a r a o b te r es as p en ~

los F, G, H e I.Trace as mediatrizes do s seg~

mentos AF, AH., BG e 81 que vao intersectar

a proLongamento db eixo menor detarrni-

nando os pontos 1 e 2. Os pontos de inter-

seccao entre essas mediatrizese 0 eixomaior vao determiner as pontes 3 e 4.. as

pontes 1, 2 ,3 e z sao oscentros dos areas decircunferancia que vais utiLizar para cons-

truir a oval .

2

---AB

A B

c o

129

-- ---

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R EP RE SE NT Ac AO E E XP RE SS AO O ES EN HO R IG OR OS O G ED MET RI II N O PL AN O

D iv isao de um segmento de rec ta em qualquer mime-

10 de partes iguais [metoda geraLl

Pelo ponto A Iaz passer uma rec ta obl iqua qua lquer.

Sobre esta recta ea part i r daponto A rnarca tantos seg-

mentos iguais de uma medida qualquer [desde queseja

sempre iguaU quantas asparies em que pretendes div i-

d ir asegmenta dado. Une aext rema dou l timo segmen-

t omarcado sabre a rec ta obl iqua com a ponto S .Com a

aux il io da requa e do esquadro t raca paralelas a esta

rec ta que, ao passarem pelos out ros pontos, vao d iv i-

dindo aseqrnento de recta AB em partes iguais.

Como t ra ca r paralelas a u r na d a da r ec ta c o m 0 auxilio da r egua

e esquadre.

\ngulo recto

n e s ta p a s; ~ ~0 \ fa zcr d es llz ar 0esquadro

, - - m anter a r Cgua Iix a

A.ngulos O ivi sao, de um angul o qua lque r em 2 partes iguais

lnocao de bissectrizl

Fazendo centro no ponto V lverticel e com uma abertura

qualquer. t racao area AB. Fazendo centro nos pontes A

e S , c om a abe rtu ra AB. des cr eve dai s a rc os que se

intersectern no ponto C.Une aponto Caovertice e teras

aangulo AVS div idido em duas partes iguais. 0 segmen-

t ode rec ta obt ido CVe a bissectriz doangulo AVB.

Angulo e a porcao de p lano compreend ida ent re duas

semi-rectas los l adosl com a mesma o ri gem V [ ve r-

tical, H,3varias unidades de medida .oos angulos, mas

neste manuaL.utilizamos 0 grau !0l, que e a mesma uni-

dade do teu tr ansfe ri do r. Urn angul o r ect o t em 900

[noventa qrausl.

n

90·

vVLI~----L-------m-

m

Para rnedi r um angulo Iaz coinc id ir 0 centr o do teu

I ra nsfer ioo r com a ver ti eedo angu10 e a l inha 0 - 1 8 00

com urn dos lados doangulo, Depais basta veres adiv i-

s ao do tr ansfe rid or que co in cide com a out ro lado do

angUlo, fazendo a lei tura correspondente. em graus.

vB n

D iv isao de um angulo qua lquer em4 par tes iguais

5eguindo 0 processo anterior, determina a bissectriz

CVpara dividir 0 angulo em duas partes iguais . Dlv idin-

do osda is angulos obt idas pelo mesmo processo. 0

angulo A V e l icara div idido em quatro partes iguais.

m

Ctassif lcacao dos varles t ipos de angulos

D iv isao deurnangu lo rec to em 3 par tes iguais

Com uma abert ura qua lquer docompasso t raca 0arco

A B . Com essa mesrna abertura 13 fazendo centro em A.

desereve urn areo que, partindo dovert ice, vai intersec-

tar a arco anterior no ponte C.Repete 0 proeesso fazen-

docentro noponto B ,para determinares aponto D .Une

as pontos CeO <3 0 vertice e a angulo recto f icara div idi-

do em Ires partes iguais.

A n g ul o a g ud o Angulo recto

mA n g ul o o b tu s e A n gu lo r as a

Angu t o g i ro

n

G E O ME T R IA N O P L A N OEPRESENT~ E E X P R E S S l o D E SE N H O R I GO R O S O

Circunferencia

Circunferencla e uma l inha curva plana, fechada, cujos

pontesestao todos a mesma dis tanc ia deum ponto f ixo

interior IO J chamado centro.

circunferenc,ia

Raia e a segmento derecta cujos pontos ext remos sao

o centro 13 qualquer ponto da circunferencia.

Dlarnetro e a segmento de recta que passa pelo centro,

d iv ide a c ircunferencia em duas par tes iguais e tern a

medida de dais raios.

Corda e qua lquer segmenlo derecta l im it ado par dois

pontos da circunferencia. a diarnetro e a maier das

cordas.

Arco e uma porcao da circunterencia,

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GEOMETR IA NO PLANOR E PR E SE N T AC A OE ~ P R ~O O E S EH H OR IG O R OS O

CircutaPosicaa relative de duas circunferencias

Circ~nferencias concentrlcas sao circunferencias que

tem 0 mesmo centro.Circulo e a superflcie plana ousspaco interior l imitado

pela circunterencia.

cirtulo

cirtulo sern ic ir cu \o

s e gm e nl O c i rc u la r z o n a c l r cu l a r

sector circular

c o r e a c i r cu l a r

Posic;ao reLativa de rectas a urna circunferencia

Recta secante a uma circunferencia e uma rec ta que

intersecta ou atravessa a c lrcunterencie em dois pon-

tos quaisquer.

Recta tangente a uma clrcunterencia e uma rec ta que

toea a c lrcunferencia apenas num ponto - 0 ponto de

tangenda. 0 raio que passa nesse ponte e perpendi-

cular a recta tangente.

110

Circunferencias secantes sao cireunfereneias que se

intersectam em dais pontos.

Circunferencias e)(centricas {interiores e exterioresl

sao circunferencias que temeentros dis tintos.

Circunferencias tangentes Onteriores eexterioresl sao

circunferencias que setoeam num ponto lponto detan-

gencial.

Concordfincias entre rectas

Tracado de um arco de c ircunferencia concardante

com duas rectasconcorrentes

Dadas as rectas coneorrentes a e b eos pontos deeon-

cordancia A e B.t race a bisseetriz lver divlsao do angu-

lo na paqina 1091doanguLo farmado pelas duas rectas.

PeLospontos Ae B"trace duas perpendieulares a eada

recta que vila· interseetar a bissectriz no ponto ·0.Este

ponte e a centro da c ircunterencia eujo area uni ra os

pontosAe B .

il

Tracado deum area decircunlerencia, deralodado, con-

cordante em dois pontos de duas.rectas concorrentes

Dadas as reetas eoncorrentes, a e b, traca a bissectriz

doangu lo por e las formado. Perpend ieularmente aum

dos lados do angUlo, e num ponto qua lquer, rnarca 0

raio do arco pretendido l x l . Traca uma l inha paralela a

esse l ade do angulo que pass e pel a medi da do rai o e

que intersecte a bissectriz no ponto O. Traca duas per-

pendi cu la re s aos l ados do angul o. que pass em pel o

ponto 0, ef ieam determinados os pontos deconcordan-

c ia Ae B .Fazendo centro noponto D ,comaber tura em

A au B,t raca oarco de clrcunferencia pedido.

x

b

R E i >R E S E N T A~ O E E X l > R E SS l o , D E S E N H OR I 6{ lR 0 5 0 GEOM ETR.IA NO P L A N 0

Tangencias e concordancias entre clrcunterencias

Traeado de uma l inha concordante ent re duas c ireun-

ferencias tangentes exteriores

Dada a circunferencia de centro A, prolonga 0 raio AC

para fora da c ircunferencia, Nes te pro longamenta .

marca 0 raio da c ircunfersncia B . Fazendo centro no

ponto B ecom abert ura doeompasso ateC, desereve a

circunterencia tangente exterior.

Aprovei tando a const rucao qeornet ri ca do exerc ic io

anterior, obteras as concordanclas.

b

Tracado de uma Linha cancordante entre duas clrcun-

lerencias tangentes interiores

Dada a c ircunferencia de centro A , t raca 0 r aio AC. A

par ti r do ponto C ,marca 0 raio da c ircuntersncia B .no

interior da c lrcunterencia de centro A. Fazendo centro

noponto Be com abert ura docompasso ate C ,descre-

vea circunferencia tangente interior.

c

Aprovei tando a const rucao geometr ica do exerc ic io

anterior. obteras as conccrdancias.

111

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R EP RE SE NTA I;A O E EX PR ES SA O O ES EN HO R IG OR OS O G EO ME TR IA N O P LA NO

Tracado de rectas tangentes a circunferenclas

Tracado de uma tangente a uma circunferencia, sendo

conhecido 0ponto de tangencia

Dadaa circunferencia decentro ° ea ponto detangencia

T. fazcentro neste ponto T ecom abertura docompasso

ate ° t raca urnarco que intersecte a circunferencia dada

no ponto R. Une a ponte a ao ponto Re protonqa-o para

fora da c ircunferencia. Faz centro no porno R e com a

abert ura iqual ao raio da c ircunlerencia t raca um area

que intersecte a recta prolongada. determinando assim

oponto S .Une aponto 5 aoponlo T eobteras uma rec ta

tangente a circunterencia no ponte dado.

Tracado de tangentes interiores com uns

a duas circunterencias

Dadas asc i rcunterenc ias decent res 0, e

02. une estes centres, Traca a mediatriz

de 0,°2 e dete rm ina a pon to M (pont e

rnediol . Com centro nes te ponto M t raca

uma c ircunferencia aux it ia r que passe

par 0 , e02 ' F azendo cent ro em 0 , t ra ca

uma segunda o ircunferencia aux il ia r

l concen t r i ca c om a ci rcunt er enci a de

centro 0,1 cujo raio seja igual a soma dosraios das duasc ircunterencias dadas

If = r2 + r,). Esta circunlerencia intersec-

t a a pri rnei ra c ircunterencia aux il ia r nospon to s Ae B .U ne a cent ro 0 , aopon te A --t---l-------,::-Ii------I·-:-7-II--*:

e dete rmi nas a pon to de tanqencia T ,.

Une a mesmo centro aoponte B edeter-

m inas a ponto detangencia T2 Passando

pel o cent ro 02 t ra ca parale la s a 01T , e

° 1T2. determi nandaOS pontos detangen-

ci aT3e T4. Ao uni res T1com T3eT2com

T4obtens as tangentes interiores comuns

as duas circunterencias dadas,

G E O ME T RI A N O P L AN OE P RE S EN TA If AO E E X P RE S SA O D E SE N HO R IG O RO S O

Tracado de tangentes exter io res comuns a duas clr-

cunferencias

Dadas as circunlerencias de centros 01 e 02. une estes

centros. Traca a rnediatriz de ° 1° 2 e determina a ponte

M [ponte medial. Com centro neste ponto Mtrac; :a limp

c ircunferencia aux il ia r que passe par 0 , e02 'Com cen-

tro em 01 traca uma segunda circunfersncia auxil iar

cujo raio seja igual ' a diferenca dos raios das circunle-

rencias dadas (I' = r2- rll . Esta c ircunferencia intersec-

t aa primeira c ircunferencla aux il ia r nos pontos A e B .

Une 0centro 01aoponte Ae determinas aponto detan-

gel lc ia T1 . Une a mesmo centro ao ponto 8 e determi -

nas 0 ponto de tangenc ia T2. Passando pelo centro °2,

t raca paralelas a OlTl e 0,T2• determinando as pontes

de tanqencia T3 e T i t ' Ao unires T1 com T3e T2com T I,

obtens aslangentes exteriores comuns asduas circun-

fere-ncias dadas.

Poligonos

Polfgono Idagrego polis au "rnoitos" egonos "fmgulos"J

e u rna f ig ur a qeo rnet ri ca p lana que pode te l' va ri es

angulos e varies Ladas.

Pollqono reguLar e uma f igura p lana que tem todos os

angulos e lados iguais. Todos as pol igonos regulares

sao convexos porque a pro longamento de qua isquer

dos seus lados nunca intersecta a superficie pol igonal

(0espaco interior do poligonol.

TrifmguLos au poligonos trianguLares

Trilatero e uma Figura formada par I res segmentos de

recta consecutivos - os lados - que l irni tarn uma porcao

de p lano - a tr ia nguLo. Num t ri angu lo exi stem tr es

lades, Ires aogulos lcuja sua soma e igual a 1800J e Ires

vertices. Considera-se 0 lado horizontal do triangulo

como a base.

Ctass if lcacao de um triangulo quanto aos seus Ladas

cc

B

c

A B A B A

EquiLaler o

T o dc s c s l ad o s ; gu ai s.

T od os o s a n gu L o s iguaisl60'1.

Escateno

Todos 05 lades dilerentes.

Todos o s ang ulos d ,I " IT l1 te s,

I o scelesD a is l a de s i q ua l s e u rn d l fl 1 r£ !n t e,

Do i s a n g u lo s 'g lla ;s C um dilenmle.

Ctessif lcacao deurn triangulo quanto aos seus angulos

c c c

(

A B B A

Acutangulo

Tres angu los ~glIdos.

Reclangulo

U rn a o g li l o I1lCIO 190'1.

Obtusanqulo

U r n a n g u l o o b t us o ,

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REPRESEHT - loCAOEEXPRESSAO OESEHHOR I GOROSO GEOHETRI A NOPLANO

A lt ura de um t rianqu lo e 0 segmento tracado dssde 0

vertice ate ao seu lade oposto, sabre ,uma perpendicu-

Lara esse Lado.Um trianguLo tem tres alturas eo ponto

ondeeLas se cruzarn charna-se ortocentro [OJ.

Al lu ras e ortocantro A\.luras e ortocentro

Mediana de um triariqulo e 0 segmento tracado desde

um vertice ate aoponto medic do Ladooposto. Umtrian-

guLotern I res medianas e 0 ponte onde etas secruzam

chamam baricentro ou centro de gravidade (81.

Medianas e baricsmro

Potigonos quadrangulares

Ouadr i te ter o e uma f igura formada por quatro segmen-

t os derecta consecuti vos - os lados - que l im it am uma

pO'n;:aode pLano - 0 quadranqulo, Num quadranguLo

existem quatro ladas, quatro angulos e quatro vertices.

Diagonal de um quadranqulo Ii! asegmento derecta que

une dois vertices opostos.

ParaleLogramos sao poLigonos quadrileteros que tem

oslados opostos iguais e paraleLos.

ctassltlcacao dos paraleLogramos

B ,-,------r"""1C

_j L

A

h Io

auadrado

T o do s o s lades IQua ls .

l odos os ilngu los rectos l l ad o s c o n tl q uo s perpendiculares]

114

Mediatriz ou eixo deum trianquto e a recta perpendicu-t ar aoponto medi0dequa lquer um dos lados , Umt r ia n-

gulo tern t res rnediatrizes e 0 ponto onde elas seencon-

tram chama-se drcuncentro lei.

M e d i al ri z e s e c i rc u nc e n tr o

Bissectriz de urn trianqulo e a recta que divide qualquerurn dos seus anguLos ernduas partes iguais. Urn trian-

gulo tem tres bissectrizes e 0 ponto onde etas seencon-

t ram chama-se incentro Ill.

B i s se c t ri z es e i n ce n tr o

B~ ~~C

_j

f J CAL !- ____----'

P a ra l el o g ra m o o b l iq u 5 ng u lo

La de s iguais d ols a dois .

A n g u lo ; i g u ai s da is a dcis,

Trapezlos SaO polfgonos quadrilateros que 56 tern dois

lados paraLelos [abase maior e a base menor! .

B ~ " " ,C ,

AL._--------......l.O

Pol igonos regulares com rnais de 4lados

Pentagono

5 lades Iguais

5 a n gu l o s 1 9 u ai s

Eneagono

9 l a do s I g ua is

9 1 i ng u l os l q ua i s

H ex a g o n o

6 l a dos iguais

6 l ingu los Igu8LS

Oocagono

10 l ad e s i gu a is

1 0 i i n g u lo s igua;s

REPRESEtlT~i;:AO E ~ P RE S sA O · O E S EN H O R I GO RO ~O G E OM E TR I A N O PUNO

A o

B

.A C

Reclanguto

l.adcs Iguais dais a d o i s.

lodos cs a n gu le s r e ct o s llados cont iguos perpendleu lar es l.

D

L e sa nq o o u r om b o

L a d as t o d os i g ua is .

Angu los 'guais d ai s a d o is ,

H ep l a g o n o

7 l ad e s i ,g u ai s

7angu l o s iguais

Un d Q c :agono

1 1 l s d c s ; g ua is

1 1 a n g ul o s I gu a is

Oc lo g o n o

8 lades Iguals

8 angu!o 5 Iguais

D o d e c a g o n o

1 2 lo d o s i gu a is

1 2angu lo s i qual s

115

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R E P RE S E NT A ~ AO E E X P R ES s AO D E S EN H O R I G O R O S. O GEOMETRIA NO P lANO

Div isao da circunterencia em partes iguais

Pol igonos regulares inscritos na c l rcun te renc ia

Pol igonos regulares em estrela lou pol igonos requla-

res estreladosl inscritos na ci r cunter eneia

Div isao daclrcunferencia em 3partes iguais econstru-

~aodo polig.ono inscrito

Dada a c lrcunterencia de centro D , t raca 0 diarnetro

horizontal AB. Como centro docompasso em Be aber-

t ura igual ao raio da c lrcunfersncia dada, t raca 0 arco

C D . 05pontes A ,CeO div idem a c ircunfersncia em 3

areos au partes iguais. Se(mires esses rnesmos pontes

obtens urn trianqulo equilatero,

B

Polfgono regular estreladc.e urnpol igono regular cujos

lados tomam a forma de est re la . Todos os pol fgonos

regula res estrelados saoconcavos, porque 0 prolonga-

menta dos seus lados intersecta a superficie poLigonal

[0 espaco interior do poliqcno],

GEOMEmA "0 P lANO

Div isao daclrcunferencla em 4 partes iguais e constru-

c,:aodo poligono inscrito

Dada a ci r cunter encia de centr o 0 , traca 0 diarnetro

hor izontal AB e t r ac a t a rnb e r n a sua rnediatriz. Ospon-

los A B ,CeO sao aspontos dad ivi sao dac i rcunteren-

c ia em 4 areas ou par tes iguais. Se uni res esses mes -

mos pontos obtens um quadrado.

Div isao dacircunfersnc ia em 5 partes iguais econstru-

c,:aodo poligono inscrito

Dada a c lrcunfersncia de centro d, trace 0 diametro

horizontal ABe traca tarnbern a sua rnediat riz. Div ide oraloAD aorneio e, f azendo centro em E, com abertura

docompasso ate C, descreve 0 arcoCF. Com centro em

C e abertura do compasso correspondente a dfslanciaCF deterr nina os pontos G e H. Continuando com a

medida CFmarca os pontos I e J, fazendo centro, res-

pectivarnente, ern H e G . C, G , H, I e J sao 05 pontos da

div isao da circunterencia em 5 paries iguais, Seunires

esses pontos obtens urn pentaqono.

R EP R ESEHTA c A O EEXPRESsAo DESEN HO R I GO R O SO

Dlv isao dacircunferencia em 6 partes iguais econstru-

c,:aodo poligono inscrito

Dada a c ircunferencia de centro 0, traca 0 dlarnetro

hor izontal AB, C om centr o emA ee rn S, e com abertu-

ra igual ao raio da c ircunferencia dada, t raca osareos

C O eEF.as pontos A,B, C, D, E e F sao os po~tos dadlvi-

sao da circunterencla em 6 arcos.ou partes iguais. Ao

unires os 6pontos obtens urn hexaqono.

Os6 vertices do hexaqono tarnbern permitem construir

um poll gono regul ar em est re la cr uzado , com 6 pon -

tas.

as 5vert ices do pentaqono tam bern permitem construir

um poUgono regular em estrel.a, com 5 pontas.

Pol igono regular est re lado c ruzado e urn poLigonoreqular em forma dees treLa, const ru ido a par ti r de2 ou

mais poligonos regulares concentricos, sobrepostos.

aos quais foi apt icada uma delerminada rotacao,

5

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GEOMETR I ANOPLANOREPRESEHTAQAOE I ' )( PRESS10 ' O I iSENHO R I GOROSO

Div isao dacircunferencta em 7partes iguais econstru-

~aodo poLigonoinscrito

Dada a drcunferencla de cent ro 0 " t ra ce 0 diarnetro

horizontal AB. Com centro em Be abertura igual aoraio

dacirconterencie dada, t raca um arco que vai intersec-

t ar a c ircunferencia nos pontos CeO. a segmento CO

intersecta a diarnetrc A s no ponto M. Fazendo centro

em C e com abertur a do cornpasso ate ao ponto lvi,

intersecta aclrcunlerencia para obteres 0 ponto E.Com

a mesma rnedida, f azendo centro em E,obteras a pon-to F e assim sucessivarnente, ate que a clrcunferencis

esteja d iv id ida em 7 areas au par tes iguais. Seun ires

esses 7 pontes obtens urn heptaqono.

E

B

Os 7 ver ti ces do heptaqono tarnbern permi tem cons-

t ru ir um pol igono reguLar em est re la , com 7 pontas.

7

118

Div isao da ctrcunterencia em 8partes iguais econstru-

<;aodo poHgono inscrito

Dada acl rcun lerenc ia de centro 0, t raca 0 diarnetro

hor izontaL AB e t ra ca t ar nbern a sua med ia tr iz. Em

seguida iraca asbissectrizes dos quatro angu(os rectos

t o rrnados pales dois d iametros perpend icuLares AB e

CD,fazendo-as intersectar a c ircunferencia dada. Estes

8 pontes sao as pontos dadiv isaa da clrcunterencts em

8 arcos ou partes iguais. Seunires eSses mesmos pon-

tos obtens um octoqono.

Os8 vertices do octcqono tarnbern permitem construir

um poUgono reguLar em estreta, com 8 pontas.

7

65

Div isao dacircunferencia em 9partes iguais e constru-

~aodo poLfgono inscrito

Dada a c ircunferencia de centro O. t raca 0 diarnetro

horizontal AB, div idindo-o em nove partes iguais lpelo

metoda geral exp li cado na paq ina 108). Com centro no

por to ' A e nopon to Be abe rtu ra doc ornpasso i gual ao

diarnetro da circunferencia, descreve arcos que. inter-

sectando-se, determinem 0 ponto P . Par ti ndo des te

ponte ; t race uma rec ta que passe noponto ext reme da

segunda div isao do diametro [ 2 1 . prolongando-a ate acircunferencia para determinar 0 ponto C. ApUcando

sucessi varnente a medida AC na c ircunferencia, vai s

obter 9 pontos, que sao os pontes da div isao dacircun-

f erencia em 9 arcos ou par tes iguais. Se uni res esses

mesmos pontos.obtens um eneagono.

o

\ ~ E

\o

A-~-'--1=--.-~~S---r-~--~-I~

!

GEOMETRIA NO PI . : ; \NO

3

059 vertices do eneaqono tarnbern permitem construir

um poLigono regular em estrela cruzado, com 9pontas.

7

8

R E P RE S E NT A ~ O E E X P R I: S SA o O E S EN H O R I G ORO SO

D iv isao dac i rcunferenc ia em 10part es iguais e cons-

trucao do poLfgono inscrito

Dadaa clrcunferencia decentro 0, div ide-a primeiro em

cinco partes iquais para obteres um pen taqono , Deter-

m ina a media tr iz de cada lado do pentaqono e pro ton-

qa-aate int ersectar a ' ci rcunfersnc ia . Esses novas 5

pontos acrescentados aos out ros 5 ja determinados

div idern a circunterencia em 10areos au partes iguais.

Se unires esses 10 pontos obtens um dacaqono.

B

c

~D

I

as 10 ver ti ces do decaqono tarnbern permi tem cons-

t ruir urn pol iqcnc reguLarem estrela, com 10pontes.

1\

10

119

5

9~~3

6

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D iv isao da c ircunferencia em 11part es iguais e cons-

t rucao do pot igono inscrito

Dada a circunterencla decentro 0, trac;ao'diarnetro hori-

zontal AB. div idindo-o em 11partes iguais Ipelo rnetcdo

geraL explicado na pagina 1 0 8 1 . Com centro noponto A e

noponto Be abertura docornpasso iguaLao diametro da

circunferencia. descreve dois arcos que, intersectando-

-se, determinem 0 ponto P.Part indo deste ponto. t raca

urna recta que passe no ponto extreme da segunda div i-

saodo diametro. prolongando-a ate a circunlerencia para

determinar 0 ponto C.Aplicando sucessivamente a rnedi-

daAC na circunferencia, vais obter 11 pontes que sao os

pontes da divisao da circunferencia er n 11areas ou paries

iguais. Seun ires esses pontos obtens urn undecaqono.

A

Os 11 vertices doundecaqono tarnbern permitem cons-

t ruir um poLigono reguLar em estreLa, com 11pontas.

5

8

120

D iv isao da c ircunterencia em 12 par tes iguais e cons-

trucao do poLigono inscrito

Dada a c ircunferencia de centro 0, t raca 0 diametro

hor iz on ta l AB e t ra ca ta rnbe rn a s ua rnedi atr iz . Em

seguida, utilizando 0 processo de div isao da circunfe-

r encl a em 6 par te s i guai s l descr it o na pag ina 117l.

determina ospontos E . F,Ge H.Com amesmaabertu-

ra do cornpasso, mas fazendo centro nos pontos CeO.

t raca arcos que VaG delerminar os pontos I , J, K e L

Estes 12pontos sao os pontos da d iv isao da c ircunfe-

r enci a em 12a r cos ou par te s i guai s. S eun ir es esses

pontos obtens urn dodecaqono.

as 12vert ices dododecaqono tarnbern perrnitern cons-

t ru ir u rn poL igono regular em est re la c ruzado, com 12

pontes.

8

Uti li zando t in tas de aqua, recor tes de papel var iado ou

papel autocolante colorido e transparente, podes obter

l iguras deestrelas multo interessantes e coloridas.

pollgono regular em cstrela com 11ponias

pOlfgonoregular em estrela com20 pontas

R E 'P R ES E NT A ~D E E X P R. ES S AO D E SE N HO R I GO R OS O G E O ME T RI II N O P L A ND

6

Construcao de poLfgonos regulares a parti r da medida

dos lades , dos angulos ou da s diagonais

Construcao do trjangulo equilatero

dado 0 segmento de recta AB lbasel

Fazendo centro nos pontes Ae B,descreve dois arcos de

circonlerencia de raio iqual a base, os quais. intersec-tendo-sa no ponto C.deterrriinam 0 vertice do trianqulo.

Une ospontos A.Bee eobtens um trianguto equilatero,

A B

A B

Construcao do trianqulo isosceles- ~

dadas a baseAB ea alt ura CD

Determina a media tr iz dabase.A par ti r doponlo medic

da base, 0 ponte 0, marea urn segmento de rec ta per -

pendicu lar, com compr imento iguaL a CD[al tu ra ]. Une

ospontos A ,Bee eobtens um t rianqu lo i sosceles .

c

B

A B

c o

A

Construcao do trianguLo eseaLeno

dados um angulo eda is lados

Tr_?c;auma recta sobre a qual vais construir 0 angulo

RAS. Marca sobre os lados deste anqulo comprimentos

iguais aos segmentos dadosAC eAB. Une 0 ponto Caoponte Be obtens um triangulo escaleno.

A B

fA C

QA

A 8S

121

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G E O M ET R I A N O P L A N O, RE PR E SE N TA .9 l0 E E XP R ES sA O O E SE N HO R I GO R O SO

Cons t ru cao do t r ia n qul o a c u ta n qul o

dados dois angulos e urn lado

Traca 0 segmento de recta AS e,em cada extrernidade,• A A

constr6i cada urn dos angll los dados RAS e UST.Ouan-

doas lados des tes angulos se in tersec tam no ponto C ,

formam urn triangulo acutanqulo.

A B

QA 5

AB

A 5

Cons t ru cao do triangulo rectanqulo

dados dois Lados

Traca 0 segrnento de r ecta A8 e a partir do ponto A,

levanta uma recta perpendicular l v e r c o n s tr u c ao do

quadrado sendo dada a medida do ladol . Marca nes ta

rec ta ' perpend icular , a par ti r do ponto A ,a medida do

segmentoAC. Une aspontos Ce B e obteras urn t ri an-

gulo re<:tangulo.

A B

A c

constrocao do triangulo obtusanqulo

dados tres lades

Traca 0 l adoABe, t azendo centro noponto A eno ponto

S .l rac;a dois arcos com aaber tura dos lados ACeBC. 0

cruzarnento dos dois arcos deterrnina 0 ponte C ,que

unindoa A e B cornpleta urn lriangulo obtusanqulo.

A B

A c

B c

A

122

Construcao do quadrado

dado 0 segmento derecta AB ltadel

Marca u rn p o nt e O. proximo doex trema A,de onde se

preLende levantar a perpendicular. Por este ponto 0 e

com abertura do compasso ale A,descreve uma circun-

ferencia que vai intersectar 0 segmento dado no ponto

M. Une este ponto M ao ponte 0 e prolonga a rectaate

intersectar a c ircunlerencia noponto N. Unindo 0ponto

A a N ob tens a recta perpend icuLa r que va i cante r 0

seg,undo lade doquadrado. Fazendo centro emA e comsbertura AB. intarsectas esta recta no pon to C. Com

abe rt ur a AS e c en tr o em SeC traca dois a rc o s cuja

intersec<_:aodeterminao ponto 0, que te permite feehar

o quadrado.

Construcao do paraleLogramo rectanqulo

dados os.lados

Traca 0 s egmento de rect a AS e. a par ti r do pon to A.

Levanta urna perpendicular pelo processo que jit eslu-

das te anter io rmente . Marca nessa rec ta a medida do

segmento AC. Com asaberturas AS e ACmarca a par-

t ir dos pontes, respect ivamente , B e C ,dais arcos cuja

interseccao determina 0 ponto O.que tepermite fechar

o r e c ta n qu lo .

A 8

A C

C 0

G E O M ET I iI A N O P I A N O

c 0~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ ,

B

B

Cons t ru cao do paraleLogramo rectanqulo

dada ad iagonal ea compr imento de um lado

Marca asegmento derecta AS Idiaqonal do rectanqulol

e t ra c a a s ua mediatriz determinando 0 ponto O . Fazen-

do centro no ponto 0, descreve u rn a c i rc u n f er e n c ia que

passe pelos pontos A e B .A par ti r des tes dais pontos

marca sobre a clrcunferencia 0 comprimento dos lados

ACe BO. Une aspontes e obtens 0 paraLelogramo rec-

languLo.

A 8

x

R E P R ES E N lA ' fA O E E X P R E SS A O O E S EN H O R . lG O R O S O

Construcao do paraletoqrarno obliquangulo

dados dois lados e urn anguLo

Sobre os Ladosdo anguLoRAs. marca oscornprirnentos

AS e AC . Com a aberlura AB ec entr o em C. rnarca um

arco, Com a abert ura AC e a centro em e . marca outroarco que intersectara 0anter io r noponto O.

A B

A C

QA 5

A B

8

Construc;ao do quadrado

dada a diagonal

Constr6i 0 quadrado seguindo a divlsao da circunferen-

c ia em 4 partes iguais [paqina 1191.

A c

A 8

Construcao do Losango

dadas as diagonals

Marca 0 segmento de rec ta AS [diaqonal do losanqol e

t raca a sua mediatriz . .Sabre esta mediatriz , marca 0

comprimento dadiagonal CO.Uneos 4 pontose obtens

urn l osanqo,

B

A Bc

c o

8

Const rucao de um trapezio

dados dois angulos e tres Ladas

Marca 0 segmento derecta ASe traca em cada extremo

as a ngulos H A S e U E l T . Com asabe; tu rasACe BDe fa-

zenda c ent ro nos pon lo s A e 8 . ma rc a asmed idas dos

lados noangu lo respect ivo.Une os4 pontos e ootens a

figura do trapezio,

Q_6A 5 T 8

A 8

A c

B D

D

5

123

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• Cots e afsstamento

Como se observou nas figuras 18, 19 e 20,

o cfrculo, 0cil lndro e a esfera situavam-se no

espaco.

Se observarmos a,f igura 24, veri,ficamos

que 0 ponte A tarnbern se s itua no espaco auma certa distancia do plano horizonta l e ver-

tical. A distancta do ponto A aoplano horizon-

tal chama-se cora de altura ou apenas cota.Esta distancia corresponde a rnedlda que vai

da projeccao vertical.do ponto a linha de terra.

24. Cora e afasfamento do ponto A.

26. Pere le leploedo com afastamento nuto ,

50

A distancia do ponto A aoplano vertical cha-

ma-se cota de frente ou afastarnanto. Esta

distancia corresponde a medida que vai da

I'rojecc;ao horizontal do ponto a linha de terra.

Quando os objectos estao assentes num au

noutro plano de projeccao, dizernos que tern,respectlvamente, cota ou afastamento nulos.

figs. 25 a 27.

27

25. Paralelep fpedo com cota nule.

27. Para/efepfpedo com cots e afastamento

nulos.

RE~RESENTA< ;AO TECNICA DE FORMA~-Unld. 3

• Rebatimento

Com a que .ficou dito arras, verificarnos que

a utilizat;:ao de dois pIanos perpendiculares en-

tre si nos fornece C I possibilidade de identifi-

car os modelos duma rnaneira mais pracisa,

fig. 28.

Mas como representar na nossa folha de pa-

pel as vistas dos modelos situados no espaco?

Paraisso.fsmos que recorrer aorebatimentodo plano horizontal: roda-se a plano horizontal

PV

30H

28. Para le lepfpedo no especo com faces pa-

ralelas aos o ienos de oroiecceo,

30. Plano vertical e horizontal rebstidos, mas

ainda limitados para mais taei/ compreensiio.

em torno da linha de terra ate este assentar

no plano vertical, fig. 29. Oesta maneira, as

duas repressntacoes do hrodeto ficam no

mesmo plano como se fossa a nossa folha de

papel, tornando-se assim possfve Idesenhar as,

proieccoes num unlco plano, f ig. 30 .

Como os planes deprojsccao nao tern limi-

tes, apenas se desenha a l inha de terra e asrespectivas projecc;6es, fig. 31.

-

L T

31

29. Rebatimento do p lano hor izonta l (PH) .

31. Resultado f inal: l inha de terra, project ;f io

vertical e horizontal.

G E OM E TR I A N O E S PA ~ G E OH E TR I A N O E S P A ~ .O

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GEOMETR IA NO ES PA (: O

Solidos geometrkos

P o li ad r os s a o s o li d os l im i ta d os p o r s u pe r fl ct e s. pt an a s

a u f a c e s, q u e p o dems e r p o L ig o no s i r r eg u L ar e so w r e g u -

la re s. O s la do s d os p olfg on os fo rm am a s a re st as d o

p oL ie d ro e a s v er ti ca sd o s p ol ig on os s ao t am b er no s

verticesdo po l iedro .

Pcliedros.irreqularessao p o li e dr o s c u ja s f ac e s n a o s a o

t o das i g ua i s.

p o l i e d ro I r re g u l . ar

P o li e dr o s r e .g u la r es s a o p o li ed r o s c u ja s .l ac e s s a o p o H -

q on os r eg ul ar es i qu ai s, H e a pa na s c in co p ol ie d ro s

regu la res.T e t r ae d ro : c om 4 f a c es i 9 u ai s ( t ri a ng u lo se q ui la t e r osJ

Cu b e- com 6 f ac e s i gu a is l qu a dr a do s l

O c ta e dr o : c o m 8 f ac e s i gu a i5 [ Ir ia n gu lo s e q ui ta t er o sl

D o d e ca e dr o : c o m 1 2 f a c es i qu a is lpentaqonos]

I co s ae d r o: c o m 2 0 f a c e s i gu a is ( tr ia n gu lo s e q ui la te r cs l

)-rctraedro cubo ectaedro

130

do!lcC<ledro

P r is rn ae u rn p ot ie d ro c o m e rn n or ne ro m u , io v e r ia ve l d e

f ac es , c om p re e nd :i da s e nt re o ut ra s d ua s l ac e s i gu ai s e

p a rat e t as . c harnadas base s . Se asarestas l a te ra ls f o r em

p e rp e nd i cu la r es a s b a se s , 0 p r isma e r ec to , S e a s b as esf o re m p o li go n os r e gu la r es ; a p r isma r e ct o e r e gu L ar .

P ir ar nid e e u rn p ot ie dr o c om u rn n ur ne ro v ar ia ve td e

f ac es c om p re e nd id as e n tr e u rn a f ac e c ha m ad a b as e e

u m p on te c h am a do vertice, Q ua nd o u m a l in ha p er pe n-

d ic ul ar a o c e n tr o d a b as e p as sa n o v e rt ic a, a p i ramlde e

r ec ta . S e a b as e d a p l rs rn ld e r ec ta e u rn p ol lq on o r eg u-l ar , a p ir am id e e r ec ta e r eg ul ar .

Para le lep . ipedo e u rn p ri sm a c uj as b as es s ao p ar al el o-

g ramos.

venice

prisrna octogonal r egu lar

v&r.t 'ce

p i ra r ni d e c c to q n na l r e gu l ar

icosaeuro

1

paralelepipedo

So l id o s de re v o lu c ; :a o

C i L in d ro e u m s o li d o l im i ta d o por um a superffcie cu rva

c il in dr ic a e p ar d ua s b as es c ir cu la re s. i gu ai s e p ar aL e -

l as . . S u p er fi ci e c ll in d ri ca d e r e vo lu c ao e a su p e rf i ci e

q er ad a p or u ma r ec ta , a g e ra tr iz , q ue r od ae m t or na d e

urns o u tr a r e ct a p a ra le la , 0 e ix o, a te f az er u ma v olta

comp le !a .

Cone e u rn s olid o lim ita do po r u ma s up er flc ie c ur va ,

c o nl ca , e p ar u rn a b as e c ir cu la r. S u pe rf fc ia c on lc a d er ev o lu ca o e .a s u p er fi ci e g er ad a p ar u m a r ec ta q ue t em

um p o nt e l ix o lverticel e o u tr o a p oi ad o s a br e u ma c ir c un -

f en en ci a. E s la r ec ta r od a e m l or na d e u m a o ut ra q ue c on -

te m 0 p on t o f ix o , 0 e ix o , a t e f in e r u ma v o lt e comp le t a.

cilindrc

vo!r lice

cone

Esfe ra e u rn s ol id o l im . it ad o p ar u m a s up er fi ci e c ur va

e s te ri cs . A s up er fl cl e e sf er ic a e o L ug ar q eo rn et ri co d e

t od os o s p o nt es n o e s pa co q ue s ee nc on tr am a m e sm a

d i st an c ia d o p o nt e c e nt ra l d a e sf e ra .

esfera

131

A A £ , .

1 RELAC;AOFORMA-FUN9AOR E PR E SE N TA <;A O T EC N IC A D E F O RM A S- Un id . 3

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• Project,;:oes ortogonais em nEls pianos

Ver iticarnos que asprojeccoes em dois pi •

nos ortogonais sao suficientes para dafln r ocr

tas formas. No entanto, nalgunsc~sOR devo -mas recor rer a um tercsl rc plano.

Assirn. para representar a peca de fI ur 3~.

pelas suas projeccdes, alern do plano v rtl 01

(PV) e do plano horizontal (PH) de qu a f I

mas, util izamos agora um plano lator I (P 1

A lnterssccao deste plano lateral dlr '. 0 I F ' 01com 0 plano vertical chama-sa trl1QO v rtl 01

direito (TVD). A sua lnterseocac com 0pi'"

horizontal chama-se traco horlzon] ellr Ito

(THO).

Para efectuar 0 rebat imento dos dol p i nO!.

PV IUJ

r-,~

, I

PH 34

32. Tres plenos e a pece no.eepeco,

34. Planas, vertical (PV), horizontal (PH) e tete-ral direito (PLD)rebatidos,. mas ainda limilados.

52

(PHI (PLDI, procede-se como no caso que

catudamos anteriormente. Assim, rebate-se 0

plano horizontal em torno dalinha deterra ate

ssntar no plano vertical e rebate-se 0 plano

I 1 ral dl rei to em torno do seu trace ver tica l

assenrar no plano ver tical , fig. 33.

o s tu rnane l r a, temos todos os pianos reba-

lido, As respectivas proieccoes=-prcjeccaov rtica l (vista defrente au alcado): pro jeccao

horilonlal (vista de cirna au plants): e proieccao

I II Iil (vista de lado ou.aleado lateral) -ficam

1 lm rapresantadas num s6 plano, fig. 34.

R t lr 'undo as l imi tes dos p ianos, temas as

proj O C ; 61}s, como se mostra na f ig. 35.

T

THO

33. Rebat imento dos pIanos, horizontal (PH)

8 lateral direito (PLD).

35. Resultado final: Ifnha de terra, treco ver-

tical direito, treco horizontal direito e teepee-

tlvss oroieccoe« da pees,

• Arestas lnvlsjvets

Considerarnos ate aqui as projeccoes de so-

lidos simples numa posicao tal que a sua

forma era def in ida par arestas visiveis. Mas,

se quisermos obter as projeccoes do prisma

representado na figura 36, teremos que COn-

siderar tarnbem as arestas invisiveis.

Estas. distinguem-se da seguinte maneira:

considerando 0s61idovista de frente, f ig . 37,

o observador nao ve a aresta AB .

Par isso, a sua projeccao no plano vertica l

representa-se a trace intertompido. Diz-se que

a aresta A B e invisivel na projeccso vertical.

Considerando 0 selido vista delado, f ig . 38,

o observador nao ve a aresta CD. Por isso,

a sua proieccao no plano lateral d ireito repre-

sen ta-se a t race inter rompido. Oiz-se que a

aresta CD e invisfvel na projeccao lateral direita.

A

"· ·,· ···· ·: ·e

B IL

!)T

....0

-/- - 37

1

36. Prisma de base quadrangular, no especo

e em oosicso tal que origina algumas arestas

invtstveis.

c c

~:

···ID

L

!)

-I I em

- 38

T

37 e 38. Projecr;oes do prisma e respectivas

arestas inv istve is.

53

REPRES£NTA i ;: l o EEXPRESsAO ' OESENHOR I GQROSOREPRESENtACAOTECNICA R E P RE S E NT A ~Q E E X P I tE S S Ao O E S EN H O R I GO RO SO

REPRESENTACAoTtCNICA

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Si stema de p ro je ccao europeu ou rne todo do c ubo

envolvente

E um s is tema de p r o j e cc a o p a ra l e lo e ort ogonal que

pro jecta as seis vi st as de um det ermi nado obj ecto

sobre as faces de urn cubo que contern au que envolve

esse objecto.

Quando se planifica 0 cuba, as seis v is tas do objec to

f icam ordenadas e permi tem uma lei tu ra c lara eob jec-

t ivada sua forma e das suasmedidas.

'l\\'\-'::' d . .L ~ Ii \I..

'>J i. \ .: \- 0 .. ~ . .. .. .. .\ ~ o - < L

Axonometrias

As axonometr ias sao s is temas de projeccao paraleLa

mu lt o simp le s - ta rnbe rn chamadas per spec ti va s - ,

por que a sua r e pr e se n ta c ao q ra fi ca e semelhante arealidade. Ao cont r ar io das p r o j ec c o e s o r t oqonai s , que

tem que se "reconstruir" mentalmente, as axoneme-

t ri as produzem a ilusao de tridimensionalidade.

Asaxonomet ri as podem ser i sornet ri cas, d imet ri cas e

cavaleiras.

Podes observer a construcao de um cuba nos tres t iposde axonometrias:

Axonometria lsornetrica 300/300

Todas as medidas das arestas sao marcadas sobre oseixos axonornetricos x, y e zcom valoras reais.

z

a

Axonometria dirnetrica 7°/420

Asmedidas das arestas a42° sao.rnarcadas com metade doseuva lor rea l; t odas asoutras arestas sao marcadas

com valores reais.

';\~~o.~ ~ILU..~ c u . .

' I I i \ \ " " ~-\UD.. l. ~\-uJ.~

142

Axonometria cavaleira 00/45 0

Asmedidas das arestas a 45° sau marcadas com metade doseuva lor rea l; t odas asoutras arestas sao marcadas

com valores reais,

o

143

\ J i ' ~ \ ' " & : l . . "~I>jA<.\.o-. 1M - ,; \L\.u..,~ cQ~ 1M

l,/iI.k \g\~ ~uM,_ . & . o . . - ' " - I . _ , . _ ' > . . . : · I . . = I - - o _ = - > - - _ i - = - = - - ~ ; _ · Q N . . _ · _ C H a . . . . . . : : . . . . - - - - ,

z

~,----------~--_L--------xy

0 o

RHAQAO FORMA.FUNc;AO R EP RE SE NT AC ;A o T EC N IC A D E F O RM AS -. Un id . 3

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r pecnvo

Emsentido generico, designa-sa por perspec-

tiva 0 aspecto dos objectos vistas de lange.

Com efeito, se nos encontrarmos no maio dl inha de um cornboio, numa estrsds recta

mul to cornpr lda, ou ate mesrno nurna vonld ,

verificamos que, ao longe. estas nos p re om

rnais estreitas, fig. 45. As arvcrea, c

todos 05 objectos e pessoaa dlrnlnu m d

rnanho conforme a distancia a quo 90 nCOn-

tram do observador.

o que acabernos de expor, pod r c onUr

mado pela simples observacao d UIl II fat

45

45. Embora a rua seja sempre da mesm« 18r-

gUra, as-no» a impressiio de ser msis esrrslta

ao longe.

56

gratia. como nas figuras 45e 46, comparando

o ob jec tos do pr imeiro plano com os que se

situam em pianos rnais recuados.

N a se sabe ainda sea ausencia de perspec-

t lv nas plnturas murals daAntiguidade resul-

IO U do simples desconhecimento daforma de

r prasemar a defcrrnacso aparente dos objec-

10 vistas a distilncia QU, pelo ccntrsr io . car-

r pondla a padroes esteticos, socials e reliqio-

os que as ar tistas nao podiam fugi r, f ig. 47.

46. Numa fotografi a, podemos distinguir e

comparar perfeitamente as dimensoes dos ob-

iectos do prime iro plano e os que se situam

em planas recuados.

A procura da perspectiva, isto e, a expres-

sao visual criando a ilusao de profundidade,

foi, ao longo dos tempos, um problema que

o homem tentou resolver pelos mais variados

processos.

Assim, no Ocidente, varnos encontrar, a par-

ti r da Idade Media, uma tenta tiva no sant idc

de obter efe lros de profundidade, colocando

as elementos rnais afastados do observador

em pos icoes super iores , lsto e, em patarna-

res, fig. 48.

Por volta de 1404, Brunelieschi toma cons-

ciencia dos princlpios fundamentais da perspec-

t iva linear (perspect iva com pontos defuga ou

perspective conical, fig. 49. As suas pesqui-

sas exerceram uma lnfluencia determinante

sobre os artistas da Benascenca (ver pag..58).

A perspective linear dominou aexpressao

ar tf stica no Ocidente ate ao seculo xx.Entretanto, a perspective nao toi com preen-

dida da mesma maneira em todas as civil iza-

<;:oes.Estas estabeleceram as suas pr6prias re-

gras de representacso da realidade conforme

as seus valores espir ituais e cultura is.

Estas regras estao ligadas a POSi<;:80 do ob-

servador em referenda a linha do horizonte(ver nas paqs, 60 e 61, perspectivas chinesa

e indiana).

47. Pintura mural egfpcia com suseneie de

perspective. As dimensoee das figuras trsdu-

zem nao os efeitos da distancia empianos re-

cuados, mas 0grau de ;mporta 'ncia das per-sonagens.

48. Parlamento ingles ..A cotocecso em pa-

tamares das figuras ioi 0processo encontredo

para traduzir profundidade nas representat;i5es

da Idade Media.

49. "Escoie de Atenas". Pintura da Benes-

cence, oruie se pode observer a converqen-

c ia de cer tes l inhas para um ponte de fuga,

situado na linha do horizonte.

47

l o R E "

1 RELA9AO FORMA-FUN9AOR E PR ES EN TA <;A O T E CN IC A D E F O RM A S- Un ld . 3

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• P ro je c c; :a es ortogonais em quatro pianos

Temas vindo a sentir a necessidade de nos

servirmos de varlos pianos para represantar

oertos s6lidos.Nocaso presente daf igura 39, para urns let-

tura clara da peca, recor reu-se a urn quar 0

plano, ou seja, a urn p lano lateral esquerdo

(PLEI.

T

39. Oustro planas de pro jec(j iio e 8 pB(:9 no

esosco,

54

Paraetectuar a rebatimento dos pianos, pro-

ced -se como nos casos estudados anterior-

monte , Isto C§ . rebate-se 0plano horizontal (PH),

o plano lateral d ireito (PLO) e a plano lateral

e qu tdo (PlE), f ig. 40.

o s maneira. podemos desenhar as pro-

;ocQOes nurn s6 plano, f ig . 41.

l

40. Bebatimento dos plenos, horizontal (PH),

Isteral direito (PLD) e lateral esquerdo (PLE).41. Resultado tinet: .linhade terra, trscos ver-

t iesis e borizontsls e respect ivas orojeccoes

da oece.

• Proiecc;:oes ortogonats em seis planes

Cubo envolvente

Ao longo das paqinas anteriores, mostrarnos

a necessidade de recorrer a mais que um plano

de preieccso quando pretendemos represen-

tar tecnicamente determinados objsctos.

o nurnero de planes a utilizer varia canformeascaracterfsticas desses mesmos objectos e

as vistas a representar.

No caso presente, f ig . 42. podemos consi-derar seis pianos, istoe. plano vertical ou vista

de f rente; plano ver tica l poster ior au v ista de

tras: p lano horizonta l ou vista de cima; plano

hor izonta l super io r ou v is ta de baixo; plano

lateral d ireito ou vista lateralesquerda; p lano

lateral esquerdo ou vista lateral d lreita .

Estes pianos (definindo um cuba como que

contendo 0 objecto) tornarn 0 nome de cuba

envolvente. Defacto, este cuba erwolve 0es-

pace exter ior do objec to, f ig. 42.

Oepois de rebat idos os pianos, conforme

estudarnos anteriormente e como se mostranas figuras 43 e 44, abtemos as vi stas cor-

respondentes. permi tindo-nos uma lei tura

clara do objecto.

42.. Seis pianos contendo a per;a (cubo en-

volvente) .

43. Desmontagem do cuba envolvente.

O J

[S

D2 JB

O J44

44. Os seis pianos rebat idos num s6 plano,

mas ainda limitados para msis facil comoreen-

sao.

55

A A U .m RE LA9 AO FORMA -F UNC ;A oR EP RE SE NT A< ;A o T EC NIC A D E FORMAS-Un ld . 3

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• Perspectiva ocidental

Projsccao central ou c6nica

Parase chegar a perspective dita ocidental, osartistas pre-renascentistas e rem:iscentistas

observaram exaustivamente a Natureza e daf

infer iram certas regras de rapresentacao-que

Ihes permitiram traduzir, nas suas pinturas, a

realidade visual.

As I In ha s d e fuga, partindo detodos a s p on -

tos dum primeiro plano, convergem em dlrec-

Qao a l inha do hor izon te sernpre ao fundo da

pal sagem [panoramical, f igs. 50 a 54.

A perspectiva l inear da, portanto, meios de

representar formas e volumes e de as s ituar

no espaco.Rectasparalelasentre si convergem no mesmo

ponto de fuga. Davida a converqencia das l i-

nhas de fuga, obtern -se um resu itado mui to

sernelhantea visao dos objectos pelo obser-

vador, figs. 52 a 54.

Assim:

'Segundo a perspective ccldentat, isto e , li-

near, com pontos de fuga a LI c o ntc e, a linha

do hor izonte fica sltuada 80 nlvel dos olhes,

figs. 50 a 54.

50

U N H A D O HOR IZONTE

51

PONTO D E FUGA

50. Fatogra.fia como exemplo de um ponto

de fuga.

58

51. Fotografia como exempto de dois pontes

de fuga.

62 53

l lN H A D O H O RI ZO N TE

54

52. Desenho de corredor em perspectiva

com um ponto de fuga.

PONT0 DEFUGA

53. Desenho de uma vivenda em perspectiva

com dais pontas de fuga.

54. Desenho do cuba em perspectiva, de-

monstrendo-ee a processo geometrico f3qj~

obter a a/ipse tcircunterenoie em persp,er

61

R£PRE$ENT(d; ; 'O E'El IPRESsAO OE S E NH O RIDOROSa

REPRE5ENTAI;AO

TECNICII R £ PR E SE N TA r ;A O E E X PR E S5 A o D E SE N HO R I OO R OS O

REPRESENTA! ;AO

T E CN ICA

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Perspectiva conica -7 Perspectiva central conica.

Henri Labrouste, Biblioleca Nacionat. Paris, 1858·1968,.

A perspectiva c6nica e um sistema de projeccao centra L

que nos d a um aspecto bastante real dos objectos. por-

que se baseia no funcionamento do olho humano.

Numa perspectiva conics, todas as l inhas que na reali -

dade sao paralelas ao plano do chao [quaLquer que seja

a sua d lreccaol convergem. no desenho, para pontes

que secharnarn pontes de fuga (PFI. Todos estes pon-

t os defuga ses i tuarn numa l inha rec ta lmaqinaria que

se chama t inha do hor izonte ILHI e que esta a alturados olhos do observador;

LH

Parspactiva centra! c6niCil.

J o s ep h P a x to n . Crys tal P a la c e. lo n d re s , 1 8 5 1.

14 4

~ S i za V i ei ra . C a s a V i ei ra d e C a s t ro . Farnallcao. 19810-1998 .

' 1 4 5

I . s > £ A

C D RELA9AO FORMA-FUN9AO R EP RE SE NT A< ;A O T EC NIC A D E F OR MA S-U hld . 3

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• Perspec tiva chinesa

Deacordo com asantigas teorias chinesas,

a l inha do hor izonte esta colocada atras do ob-

servador.

Os pontos de fuga convergem em dlrecc;:ao

a esta l inha e sao projectados sobre 0quadro,

divergindo em direcc;;ao ao longfnquo. lsto e.afastando-se em direccao ao infin ite.

o pintor ch lnes abre 0 hor lzonte em dirac-

9aO ao inf inite, fig. 55.

55. Na perspective chinese. oponto de fuga

s itue-se st rss do observador; dar a persaec-

tiva parecer invertida, teletivemente a oci-

dental.

60

Aarte ocidental , herde ira de urna civi li za -

cao classlca. manteve durante ssculos a pers-

psctiva com pontos de fuga.

Modernarnenre, estudando outras civiliza-

r;:oes.os artistes desligaram-se desses concel-t os, fig. 56.

56

56. Osartistas modernos, estudando outrssciv il ita90es, int roduzir:am nas suas obras de

arte outros conceitos de perspective. (Pintura

de Picasso}

• Perspec tiva ind iana

Segundo a ccnceito da perspective indiana,

a representacao grat ica faz -se sem ponto de

fuga. 0 artista transforms os volumes em for-

mas praticamante planas.

o pintor indiano nao uti liza l inhas de fuga.

As formas apareeem como sefossem vistasde c irna e as arestas dos objectos represen-

tam -se para le las, f ig . 57.

57. Na perspec tive ind iana, nao existem /i-

nhas de fuga. As formas aparecem pratica-

mente planas.

o estudo de civiliz;:u;oes a lh e la s a s tradicoes

classicas levou 0 homem a compreender me-

Ihor a arte de outros povos.

Certas correntes artis ticas modernas, com

base nesse estudo, int roduzi ram na arts urnnovo concei to est st ico. fi g. 58.

58

58. Certss correntes sntstice« modernas nao

utilizam a oersoecuve. (Pintura deAmadeo de

Souza Cardoso)

61

A R E A

m RELAC;AO FORMA ·FUN< ;: :AO R EP RE SE NT AC ;A O T E CN IC A D E F O RM A S- Un ld . 3

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• Perspectivas tscntces

Hoje em dia, nos desenhos eminentemente

tecnicos, usa-sa um processo de projeccao

paralela a que se chama tambern perspectiva,

dada a forma como osobjectos ass im repre-

sentados se assemelham arealldade.

Entre as representacces assirn obtidas, fi-guram a isometrica, a dimetrica e a cavaleira.

Nas representacoes isornetrica e dimetrica,

o objecto, um cubo, per exemplo, e projectadonum s6 plano, segundo rectas perpendicula-

res ao plano; na representacao cavaleira, es-

sas rec tas sao ob liquas ao plano.

• Aapresentalfao isornetrlca

Proieccao paralela au clllndrica (ortogonal)

Dado lim cube, coloque-se esse cubo de

torrna a que 0angulo triedro definido por tres

das suas faces se projecte no plano de pro-

jeoc ;:ao sequndo reetas que formem entre s i

i lngulos de 1200, figs. 59 e 60.

E que, nes ta poslcao, todas as arestas do

cuba se projectam segundo comprimentosiguais.

Na pratica, um cubo assim projectado pode

ser desenhado a par ti r de 3 eixos na posicao

indicada na figura 61, sabre os Quais se mar-

cam, por convencao, 0comprimento real das

arestas.

Atraves de rectas paralelas obtsm-se as res-

tantes projeccces das arestas docubo, f ig. 62,

au da peca a executar, fig. 63.

60

• Representa9ao dirnetrica

Projeccao paralela au cilindrica (ortogona!)

Na represeotacao dimetrica . a posicao do

cuba relativamente ao plano de projeccao va-

r ia l igeiramente, f ig. 64.

Assim, obtern-se uma projeccao que, na

pratica, se pode executar a part ir de 3 eixos,

situados na posicao indicada na figura 65, sa-

bre os quais se marcam arestas em verdadeiragrandeza (aresta a 7 graus e aresta vertical)

e ares tas reduzidas a 1/2 (aresta a 41 graus

e 30minutos, na pratica a 42 graus). Atraves

de reetas paralelas obtsm-se as restantes pro-

[eccoes das arestas do cubo, fig. 66, ou da

peca a executar, f ig. 67.

Resumindo, temos:

-Arestas a 70 em verdadeira grandeza.

-Arestas verticals em verdadeira ~{andeza.

- Arestas a 420 (410 e 30) reduzidas a 1/2(metade).

~,.a-61

62 6365 67

59. Cuba no especo e respective projecr;ao

ortogonal num 56 plano.

61. Eixos qU,e servem de base a coastruceo

das figuras 62 e 63.

62

60. As arestas db cube, orojectsnao-se no

plano, formam entre si angulos de 1200•

62 e 63. Cuba e per;;8 simples, executedos

a partir dos eixos da figura 61.

64. Cuba no especo e respectiva projecciio

ortogonal, num s6 plano.

65. Eixos que servetn de base a construciio

das figuras 66.8 67.

66 e 67. Cuba e pee» Simples, executsdos

a partir dos eixas da figura 65.

63

~

C I l RELA t. ;AO FORMA - f tJN9AOR EP RE SE NT AC ;A O TE CN IC A D E F OR M AS -U nid . 3

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• Represental;:ao cavaleira

Projeccao paralela au cil indr ica lobllqual

At raves de rectas paralelas, obtern-ss as

restant ss projsccdes das arestas do cuba,

fig. 70, ou da peca a executar, tifj. 71.

A representacao cavaleira I II0 resultado de

urna pro jeccao para le la ou c ilmdrica em que

as rectas projectantes fazem angulos de

63,4 D com 0 plano de projeccao. E , portanto,

urna projeccjio obJiqua. 0 modele, um cuba,

deve apresentar duas faces psralelas ao plano

de pro jeecao, f ig . 68.Napratica. um cube assim projectado pode

ser desenhada a par ti r de 3 e ixos na posicao

indicada na figura 69, sobre asquais se mar -

cam arestas em verdadeira g~andeza (arestss

hor izon ta ls e vert ica ls ] e arestas rsduz idas a

1/2 (a restas a 45 graus ).

Resumindo, temos:

-Ares tas horizontais em verdadei ra gran-

deza.

-Arestas verticaisem verdadeira grandeza.

-Arestas a 45D reduzidas a 1/2 (rnetadel.

~,. 70

69

68

71

70 e 71.. Cubo.e pees simples, execurados

a partir dos eixos da figura 69.68. Cuba no esoeco e respective projecr;iio

obttqus, num s6 plano.

69. £Eixosque servem de base a construcsodas figuras 70 e 71.

64

Cortes

As projecc;:6es ortogonais, ou vistas, dao-

-nos, convencionalmente, a representacao do

exter ior de urns peca. Mas, se pretendermos

mostra r por rnenores do interior duma peca

oca. f ig. 72, teremos que recorrer a cortes .

A escolha deum corteefei ta em funcao do

que se pre tende ver. Para representa r no pa-

pel 0 objecto cor tado, p rocede-se como se a

peca fosse intersectada por pianos paralelos

aos pianos de pro ieccao , ret irando depo is a

par te cortada que f ica en tre 0 observador e

o que se pretende ver, fig. 73.

72. Tijolo uti lizado na construci io c iv il , 0seu

interior e oco.

74, 75 e 76. Pianos normalmente utilizsdas

nos cortes. Plano de nivel , plano de frente e

plana de perfi l.

E.V.-2-R·-!;

Assirn, par exemplo, secciona-se a peca por

um plano de nlvel (paralelo ao plano horizon-

tal), f ig. 74. por um plano de frente (para le lo

ao plano vert ica l) , f ig . 75, au por um plano de

perfil (paralelo aos pianos laterals). f ig . 76.

Este processo de cottar as pecas utl llza-se:

quando e las sao ocas e queremos represen-

tar a espessura das suas paredes; quando'no

seu inter io r ha pormenores que III praclso ca-

racterizar; au mesmo quando as pecas sao

rnacicas e se pretende demonst rar que sao

constitufdas por urn bloco sol ldo.

73. Ti joio cortado por um p lano de fren te

para se poder observer 0 seu interior.

6.5

R EP !IE 5E NT ~cA O E ~ O D ES EtlH O R IG OR OSOREPRESEt lTAcAOTt ,C t l ICA

R E~ R ESEN TA ~ A OTECt l lCAR EP f i E S £N T~ E E X P It E SS l Q D E S E tl H O R I G O RO S O

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Tracado

Quando se pre tende representar d il erentes p lanas,

f aces , arestas e ver ti ces de urna f igura l indi cando se

estao a vis ta ou escondidos e assinalando as respect i-

vas medidasl. e multo importante conhecer as normas

da espessura e da natureza-des varies t races uti llzados

no desenho.

Trace grosso continuo utitiza-se para l inhas e arestas

decontorno v is ivei s e para as l inhas dadas ou ped idas

da construcao qeornetrlca.

T race g rosso i nt er romp ido u ti li za -s e para li nhas e

arestas decontorno invisiveis.

Trace f ino continuo uti liza-se para as l inhas auxi liares

dec onstr uc ao , par a as l i nhas de co ta e dec hamada e

para a padrao de l inhas paralelas utiLizado nopreenchi-

mento dos cortes.

Trace f ino misto uti liza-se para oseixose planos decorte.

Cotagem

A cotagem e um processo que permite indicar asrnedi-

das [ou c ota sl e xacta s de um voLume ou obje cLo no

desenho e que obedece a normas pr6prias.

Unidades de medida. As medidas, normalmente, indi-

cam-sa em milimelros [ r n r n l e osanguLos em graus (0) '

Nume ros de cota sao os nurner osque indicam as

dimens6es reais do objecto. Sao coLocados aprox ima-

damente a meio docomprimenLo da l i nha decota . Nas

l inhas de cota hor izonta is , os nurneros de cota f ieam

por c irna: nas verticais f icarn a esquerda,

Linhas de cota sao segmentos de recta desenhados em

tracofino continuo, paraLetos aos contornos dos dese-

nhos, cujas dimens6es se pretendem indicar. As Linhasde cota podem ser limitadas por setas. pontos ou

pequenos traces obliquos.

L inhas dechamada sao pequenos segmentos derecta

desenhados em traco f ino continuo, perpendiculares

aos contornos que se pretendem eotar. NormaLmente,

ult rapassam Ligeiramenle as l inhas de cota.

140

Cortes

Oscor tes permi tem-nos ver pormenores do in teri or do

volume oudo objec to , t al como 0 cor te oua fat ia deum

pao nospermite ver a rniolo,

Podemos rec or re r aos co rt es semp re que as pac as

sejam ocas e pre tendemos representar a espessura

das sues paredes ; sempre que exist am pormenores no

seu inter io r; sempre que aspecas sejam rnacicas e se

pre tenda demonst rar que sao const it uidas por um blo-

eo s6Lido.

o pLano de corte representa-se par um trace f ino misto

e a par te cor tada preenche-se com t races f ines conti -

nuos, obliques e paralelos.

Sistemas de projeccao

Ossis temas de projeccao permitem desenhar asvistas

de um objeeto em planos.de referencia e conduzem aos

processos de desenho em perspectiva.

Projeccao centralou conlca

As ract as de p ro je ccao conve rgem para um pon to - 0

vertice ou centro do cone de projeccao.

cone de pr o je co ; fi o

Projeccao para lela ou ciLfndrica

As r ect as de p ro je ccao sao t odas paral el as entr e s i,

como a superfk ie de um cil indro.

:~~30_1_ t = = l o l = n m = ~50mm 1

p la no d e c or te

141

30mm ZOmm

750mm

3Dmm ,Om"

~Om",

A R O A

1 RElAGAo fORMA-FUNGAo REPRESEN TA< ;AO TECNI C A D E FO RMAS -l Jn ld . 3

Page 29: desenho técnico

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Cotagem

Para, a partir de urn desenho tecnlco. seexe-

cutar urn objecto, e necessarlo Que esse de-

senho contenha indicscdes sabre asmedidas

do objecto.

D processo da inscricao dessas medidas no

desenho desiqna-se por cotagem.

As normas uti lizada's nacotagem dos dese-

nhos estao contldasna Norma PortuguesaNP-297, de 1961. Trata-se de normas bastante

complexas que requerem lima especiallzacao

e saem do ambi to desta disc ip lina .

Noentanto, podemos ficar com nocoes multo

elementares para resolver as casas mais co-

muns.

Assim:

• As cotas au medidas referentes a PS98S de

maquinas serao expressas em milfmetros e os

anqulos emgraus.

• As cotas serao d is tr ibuldas par todas as

vistas, evitando-se a sua repetir ;;ao.

• Tan to quanta possive l, serao ind icadas no

espaco exter ior envolvente da peca para uma

leitura rnals faci!.

• A linha de cota nao devera ser interrompida

para colocar a respectiva medida, mas sim em

nurneros desenhados sernpre do lada de cima

da li nha de cora.

• Deve evitar-se a cruzamento de l inhas de

cota.

COlf) em

mil tme1ros

~

'"" Unha de C018

~28 a

;~Sela

Comaqern dos

78 ilngutos em graus

77 e 78. Processos de cotagem de acordo

com a Norma Portuguesa.

66

79 Errado

o..,

30 20

~ t50

80 Certo

81 Er~ado

'"q

82 Certo

79 e 81. Processos errados de cotagem.

80 e 82. Processos correctos de cotagem.

~ colas

Quando as pecas a construir sao-multo gran-

des, como, por exemplo, uma easa, uma fa -brica, urn estadio desportivo, urn barco, urn

aviao, etc.. e evidente que assuas projeccoesnao cabem em verdadeira grandeza nurna fa-

Iha de papel vulgar.

Como resolver 0 problema?

Essas pecas terao que ser representadas no

papel em tamanho reduzido, isto e, a uma de-terminada eseata.

Eseata" portanto, a relac;:ao entre as dimen-

soes de urn desenho e as correspondentes di-

mens6es do objecto a representar.

Podemempregar-se varfas escalas, conforrne

as conveniencias e as dirnensoes do objecto.

As mais hab itua is sao as esealas de 1/10,

1/20, 1/50, 1/100, etc., s ignificando isto que

a 1 em no papel eor respondem, respective-

mente, 10, 20, 50, 100 cm na realidade.

Considerarn-se estas escalas de reduC;ao

porque a objecto representado no papel surge

reduzido em retacso as suas dirnensoes reais.

Mas nao existem $6 escalas de reducao.Quando asobjeetos sao muito pequenos, au pre-

tendemos destacar porrnenores extrafdos dum

conjunto, reeorremos a escalas de ampfiaeao.

Escalas deste tipo sao, par exemplo, as se-

guintes: 2/1, 5/1, 10/1, significando lsto que

a 1 COl na realidade correspondem, respecti-

vamente, 2, 5 ou 10 em no papel.

Ci ta rnos a lgumas escalas de reducao e de

arnpliaceo, porsrn, quando asdimens6es a per-

mitem. representa-se a obiecto em verdadeira

grandeza, isto e , sem reducao hem arnpliacfio,

Pode tarnbern charnar-ss a esta represen-

tacso, eseata natural au eseala 1 /1 .

A representacao a escala, seja de reducao,de arrrpllacao au de verdadeira grandeza, da-

-nos sernpre a correspondenoia entre 0 tama-

nho da f igura desenhada ea d im ensao rea ldo

objecto ..

0" uso de escalas na representacao tecnica,

princ ipalmente no desenho de rnaquinas. nao

evita a indlcacao.das respectivas medidas (co-

tagem), sendo estas rnenclonadas em nurne-

ros Que correspond em el l dlmensao rea l e nao

em nurneros convertidos a escala.

o0

'"

- ~ - n -__11 _

83Esc. 1/2 Ese.1/1 Esc. 2/1

84

Esc. 1!1

83. Exemp/o deesceles de um objecto de usa

comum.

84. E>!empfode um desenno a e5calsde 1/100.

67

R£PRESEHTA ' I ; . i . o E E X PRE S S AO DESEN HO R I GO R OSOREPRESENTAI ;AoTli'CN IC A . R E PR E SE N T At ;A O E E X P R E SS l o O E S EN H O R I GO R O SO

REPR ESENTA~ . i .OTECNICA

Page 30: desenho técnico

5/11/2018 desenho t cnico - slidepdf.com

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Convem;oes OU no rma t l zacoes

A Direccao-Geral da Qualidade e a orqanizacao que se

encar reqa dee laborar asnormas por tuquesas para os

desenhos tecnicos. Estas normas sao regras de medi-

9aOe de tracado que seestabelecem para urna melhor

cornpreensao dos objectos representados,

Escalas

Nem sempre e possiveL representar os voLumesou

objec tos na sua dirnensao real. Comparados com as

dimens6es do papeL, aLguns sao demasiado grandes,

outros demasiado pequenos.

As escaLas sao calculos de r educso au de ampliscao

das dimensiies naturals para que possam ser repre-

sentadas numa folha depapel sem aLterar assuas pro-

porccss.

Asescalas representarn-se do seguinte modo:

"ccrrasponde il-

l. - - - - - · 1 : 5 , _ _ _ _ _ _ , l'MaqlJill<l de deseoner. G r av u ra d e D u b re u i l, s e cu l o X V I I.

T e st e v al o r] n o paper - L e s te v a l o rl n i l r e a li d a ll e -

N 'e st e e xe rn pl o, I e m n o p a pa l c cr re sp en de a 5 e m n i l r e a tl d ad e .

o u s e ja , 0 o b je c to l o i r e dc zl dc 5 v e z es .

Tamanho real

Na escaLa1:1 todas asdimens6es do objectoaparecem

com valores rea is no desenho. Ass im, a verdadeira

grandeza das dimensi ies e exactamente igual a que

vemos no papeL

Escala 1:1

13 8

Escala de reducao

Na escala 1:5 todas asdimens6es reais do objecto apa-

reeem com vaLores 5 vezes menores no desenho.

Assim, qualquer dirnensao nodesenho devera ser rnul-

t ipLicada por 5 para seobter asua verdadeira grandeza.

Escala 1:5

Escala de arnptiacao

Na escala 2:1 todas as dimensoes reais do objeeto apa-

recem com vaLores 2 vezes rnaiores no desenho. Assim,

qualquerd i rnensao no desenho devera ser div idida par

2 para se obter asua verdadeira grarideza.

Escala 2:1

139