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Ideias para pessoas que estão estudando gráfico de funções no ensino médio

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  • Bizu para construir qualquer grco

    Roney Duarte da Silva

    February 3, 2016

    Part I

    Ideia central

    Para construir grco podemos criar duas tabelas, um com os valores dos domnio x e outra com os valores

    da funo nos respectivos domnios, tambm conhecido como imagem f(x). com posse do conjunto do para

    (x, f(x)) facilmente tem-se a curva.

    Caso estivermos trabalhando com funes bem conhecidas como sen(x) e cos(x), facilita o aprendizado, a

    1

  • posse de trs conceitos importantes:

    Translao, Homotetia e Reexo.Com posse desses conceitos podemos facilmente manipular alguns tipos de funes e prever sua forma.

    2 UFABC-SBC

  • 1 TRANSLAO

    1 Translao

    A translao ocorre quando o grco deslocado para baixo ou deslocado para cima ou para os lados como

    na gura (1.1). Podemos ver que a curva mantm o mesmo padro mas pode ser deslocada com auxilio de

    artifcios matemticos.

    fundamental entender o que ocorre na translao, isto , o que de fato alterado. E de incio importante

    notar que observar as mudanas com estgios, ou seja, como apenas uma translao por vez, facilita muito.

    Por exemplo, caso o grco

    3 UFABC-SBC

  • 1 TRANSLAO

    Figure 1.1: Translao

    4 UFABC-SBC

  • 1.1 Translao vertical 1 TRANSLAO

    1.1 Translao vertical

    Ao transladar verticalmente apenas alteramos os valores da imagem, i. e., os valores de y. Ou seja se queremos,

    ou notamos, que o grco est deslocado positivamente, ou negativamente, basta que somemos ou subtramos

    esse valor. Tomemos como exemplo a funof(x) = sen(x), essa funo descolada uma unidade positivamente

    ao somar uma unidade na imagem da mesma, na gura (1.2) temos a representao de f(x) = sen(x) e a

    funo transladada verticalmente p(x) = sen(x) + 1, assim a translao vertical obtida com

    f(x) + constante

    5 UFABC-SBC

  • 1.1 Translao vertical 1 TRANSLAO

    Figure 1.2: Translao vertical

    6 UFABC-SBC

  • 1.2 Translao Horizontal 1 TRANSLAO

    1.2 Translao Horizontal

    A translao horizontal envolve um procedimento com o domnio, deferente da translao vertical que tem a

    imagem incrementada ou subtrada de um valor. Podemos tomar a funo sen(x) novamente e ver o que

    acontece quando somamos aos valores da imagem e calculamos aps a soma no mais sen(x), mais sim

    sen(x+ constante)

    f(x+ constante)

    . Na gura (1.3) pode-se repara que se a constante for positiva, o grco deslocado para a esquerda, e se a

    constante for positiva o grco deslocado para a direita.

    7 UFABC-SBC

  • 1.2 Translao Horizontal 1 TRANSLAO

    Figure 1.3: Translao horizontal

    Observao 1. Como vimos a translao no altera o jeito da curva, mas altera suas razes na maioria das

    vezes.

    8 UFABC-SBC

  • 2 HOMOTETIA

    2 Homotetia

    Ocorre quando temos uma compresso ou esticamento de uma determinada curva. Podemos ver a funo

    f(x) = sen(x) plotada na gura (2.1).

    2.1 Homotetia vertical

    Ocorre quando alteramos a imagem com um produto, representada pela curva azul da gura (2.1). Esse tipo

    de homotetia mantm a posio dos pontos mximos e mnimos, alm das razes se manterem iguais. Isso ocorre

    quando aumentamos o volume sonoro de um aparelho de som, ou televisor. A curva ampliada se zermos

    constante f(x)

    Caso a constante multiplicadora for maior que 1 amplicamos a funo, se for menor que 1 diminumos a

    amplicao.

    9 UFABC-SBC

  • 2.1 Homotetia vertical 2 HOMOTETIA

    Figure 2.1: Homotetia vertical

    10 UFABC-SBC

  • 3 REFLEXO

    2.1.1 Homotetia horizontal

    Agora chegou a hora de achatar ou esticar a funo. Como esse procedimento est na direo x o que voc

    meu caro amigo sugere que deveria mudar? Acredito que pensou no x pois este est na direo horizontal. A

    curva vermelha realizou uma homotetia horizontal

    f(constante x)

    como a constante > 1, os valores foram adiantados na funo, por isso o encurtamento ocorreu.

    3 Reexo

    A reexo bem intuitiva, essa reexo se d ao redor dos eixos, mudando de quadrantes.

    11 UFABC-SBC

  • 3 REFLEXO

    Fonte: http://migre.me/sSGo5

    Figure 3.1: Quadrantes cartesianos

    Para mudar simplesmente dos quadrantes que a imagem positiva (quadrantes 1 e 2 para quadrantes 3 e

    4) podemos multiplicar a funo inteira por 1

    12 UFABC-SBC

  • 3 REFLEXO

    Figure 3.2: Reexo ao redor do eixo x

    Caso queiramos reetir ao redor do eixo y basta multiplicadora o domnio por 1.

    13 UFABC-SBC

  • 3 REFLEXO

    Figure 3.3: Reexo ao redor do eixo y

    14 UFABC-SBC

  • 4 APLICAES

    4 Aplicaes

    Para aplicar o que foi meio jogado para voc meu amiguinho, vamos usar a sua dvida.

    1. f(x) = sen(2x+ pi

    3

    )Ora, pelo que vimos, podemos pensar que essa funo ser dada por uma multiplicao do domnio por

    uma constante homotetia horizontal , e logo aps, uma translao horizontal.

    sen(x) Hom. hor.

    sen(2x) Trans.Hor.

    sen(2x+

    pi

    3

    )O grco da funo

    15 UFABC-SBC

  • 4 APLICAES

    Figure 4.1: sen(2x+ pi

    3

    )pode-se notar que a funo tem conjunto Im = [1, 1], o que confere com a funo seno que limitadade 1 a 1 .16 UFABC-SBC

  • 4 APLICAES

    2. g(x) = 1 + 2sen(x2 pi

    6

    )Esse caso podemos perceber que alm das alteraes feitas acima, foi somado uma unidade, logo esper-

    amos tambm uma translao vertical.

    sen(x) Homhor

    sen(x

    2

    )

    Transhor

    sen(x

    2 pi

    6

    )

    Homvert

    2sen(x

    2 pi

    6

    )

    Transvert

    1+ 2sen(x2 pi6

    )

    17 UFABC-SBC

  • 4 APLICAES

    Figure 4.2: sen(x) Homhor

    sen(x2

    ) Transhor

    sen(x2 pi

    6

    )

    18 UFABC-SBC

  • 4 APLICAES

    Figure 4.3: sen(x2 pi

    6

    ) Homvert

    2sen(x2 pi

    6

    ) Transvert

    1+ 2sen(x2 pi

    6

    )19 UFABC-SBC

  • 4 APLICAES

    Assim chegamos a curva.

    20 UFABC-SBC

  • 4 APLICAES

    Figure 4.4: 1+ 2sen(x2 pi

    6

    )

    21 UFABC-SBC

  • 5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS

    5 Mtodo encontrando alguns pontos

    Vale lembrar que esse mtodo serve como guia, as funes trigonomtricas, polinomiais, exponenciais, logartmi-

    cas entre outras tem uma curva padro, a partir dessas podemos ter uma ideia da cara da bixa. Mas temos que

    ser malandros o suciente para saber onde essa curva vai tocar. Por exemplo, na funo g(x) = 1+2sen(x2 pi

    6

    )podemos facilmente encontrar onde g(x) = 0

    g(x) = 0 1 + 2sen(x

    2 pi

    6

    )= 0

    1 + 2sen(x

    2 pi

    6

    )= 0

    2sen(x

    2 pi

    6

    )= 1

    sen(x

    2 pi

    6

    )= 1

    2

    Basta lembrar do crculo trigonomtrico (gura (5.1)) , vericar para quais valores de x, sen(x) = 12, vimos

    que em 7pi/6 ou 11pi/6 sen(x) assume valores de 12. Assim quando

    x

    2 pi

    6=

    7pi

    6 x = 8pi

    3

    22 UFABC-SBC

  • 5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS

    e

    x

    2 pi

    6=

    11pi

    6 x = 4pi

    Com esse resultado sabemos onde a funo cruza o eixo x, agora basta saber o mnimos da funo e o mximo.

    Como g(x) = 1+2sen(x2 pi

    6

    )a parcela 2sen

    (x2 pi

    6

    )vai variar, lembrando que 1 sen(qualquer merda)

    1 ,vemos que quando

    sen(x

    2 pi

    6

    )= maximo = 1 g(x) = 1 + 2 1 = 3

    e quando

    sen(x

    2 pi

    6

    )= mnimo = 1 g(x) = 1 + 2 (1) = 1

    O ponto xdo mximo

    sen(x

    2 pi

    6

    )= maximo = 1

    x

    2 pi

    6=

    pi

    2

    x =4pi

    3

    23 UFABC-SBC

  • 5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS

    esse valor indica que a primeira para cima do sen(x) estudado est antes da curva para baixo. Colocando os

    pontos no grco temos

    Figure 5.2: Montagem do grco

    24 UFABC-SBC

  • 5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS

    A funo sen(x) oscila de uma forma padro, assim como no temos razes entre zero e o ponto B,

    lembre-se que o ponto B representa a raiz da funo. basta traar a curva suavemente e manter o padro de

    distncias.

    Figure 5.3: Resultado

    25 UFABC-SBC

  • 5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS

    Fonte: http://migre.me/sSJrd

    Figure 5.1: Crculo trigonomtrico

    26 UFABC-SBC

    I Ideia centralTranslaoTranslao verticalTranslao Horizontal

    HomotetiaHomotetia verticalHomotetia horizontal

    ReflexoAplicaesMtodo encontrando alguns pontos