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Dependência entre as ações americanas e os setores da economia brasileira

Mariana Bartels1

Resumo

O desempenho da economia norte-americana influencia de forma direta e significativa as bolsas de valores mundiais, inclusive a brasileira. O objetivo deste trabalho é verificar como oscilações na bolsa de valores dos Estados Unidos refletem nos diversos setores da economia brasileira. Para tanto, utilizou-se a metodologia de cópulas com parâmetros fixos e tempo-variantes, proposta por Patton (2006), para relacionar a série do índice S&P500 (Standard and Poor 500 Index), que retrata a dinâmica da economia norte-americana, com cada uma das séries dos diversos setores da Bolsa de Valores de São Paulo, buscando identificar aquelas que possuem maior dependência com a primeira. Os resultados sugerem que, em geral, as séries dos setores da economia brasileira apresentam maior dependência com a economia norte-americana em períodos em que ambas estão em recessão do que em ascensão. Além disso, os setores que aparentam maior dependência com as ações das empresas americanas ao longo de toda a série são os setores financeiro, industrial e de materiais; por outro lado, os setores que apresentam menor relação são o de energia elétrica e o de utilidade pública. Palavras-chave: cópulas, EGARCH, dependência, índices de ações. 1 Introdução

Dada a importância dos Estados Unidos da América dentro do contexto

econômico mundial, observa-se que o desempenho da economia norte-americana influencia de forma direta e significativa as bolsas mundiais. Isto ocorre pois a nação norte-americana, além de ser uma grande potência mundial em termos militares, tecnológicos e científicos, também é a maior compradora do comércio mundial. Assim, quando a economia dos Estados Unidos cresce, suas compras aumentam e ocorre um movimento benéfico para a evolução de todas as economias do globo. Por outro lado, quando a economia norte-americana entra em crise, esta é propagada também internacionalmente.

O objetivo deste trabalho é verificar como oscilações na Bolsa de Valores dos Estados Unidos refletem nos diversos setores da economia brasileira. Para tanto, propõe-se verificar a estrutura de dependência entre a série do índice S&P500 (Standard and Poor 500 Index), que retrata a dinâmica da economia norte-americana, com cada uma das séries dos diversos setores da Bolsa de Valores de São Paulo (BM&F BOVESPA).

É necessário, portanto, modelar a distribuição conjunta destas séries. O método mais utilizado para tal é a utilização de uma distribuição Normal multivariada.

1 Fundação de Economia e Estatística e Programa de Pós-Graduação em Economia - UFRGS

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Entretanto, esta abordagem ignora diversas características típicas de séries financeiras. Devido a sua simplicidade, a distribuição Normal apresenta dependência somente linear, simetria e caudas leves.

Uma característica frequentemente presente em séries financeiras é a dependência assimétrica: os mercados ou ações podem tender a ser mais fortemente relacionados em períodos de recessão do que em períodos de ascensão. Além disso, os processos geradores de cada uma das séries ao longo do tempo podem ser não-estacionários, heterocedásticos, não lineares ou apresentar caudas pesadas. Portanto, é necessário modelar as séries de forma que seja possível captar ou a maior quantidade possível destas características.

Uma forma bastante difundida na literatura de dependência entre séries financeiras é a utilização de funções cópulas. A principal vantagem deste tipo de modelagem é permitir separar a estimação das distribuições marginais das séries da estimação de sua estrutura de dependência. Assim, toda a complexidade possivelmente presente na distribuição marginal da cada variável é eliminada no primeiro passo da estimação, permitindo que a modelagem e estimação da cópula se concentre apenas na relação entre as variáveis. Assim, se torna possível, através deste método, recuperar distribuições conjuntas de variáveis financeiras sem restrições de normalidade sobre suas distribuições marginais. Isto permite reproduzir melhor fatos estilizados de séries financeiras como excesso de curtose e assimetria de retornos, como pontua Colombo et al. (2011).

Outro aspecto a ser considerado é que a estrutura de dependência entre as séries pode ser dinâmica. Na literatura de cópulas há diversos estudos sobre a estrutura de dependência das variáveis, porém somente recentemente têm sido desenvolvidos modelos que permitem que esta estrutura mude ao longo do tempo, como é o caso de Mendes (2005), Patton (2006) e Oh e Patton (2013). Patton (2006) propõe um modelo que possibilita gerar dependência tempo-variante, permitindo que o parâmetro de dependência evolua ao longo do tempo segundo um processo restrito ARMA, com as distribuições marginais modeladas como processos GARCH definidos por Bollerslev (1986).

Silva Filho, Ziegelmann e Dueker (2014) utilizaram a metodologia de cópulas com parâmetros tempo-variantes proposta por Patton (2006) para analisar a dinâmica temporal da estrutura de dependência entre índices dos mercados de ações do Brasil, Estados Unidos, Inglaterra e México. Jondeau e Rockinger (2006) também utilizaram modelos de cópulas com marginais GARCH para estudar a dependência entre os mercados financeiros internacionais. Colombo et al. (2011) modelaram a estrutura de dependência intra e inter-setorial de ativos e setores cotados na Bolsa de Valores de São Paulo (BM&F BOVESPA) através de funções cópulas, como o objetivo de verificar quais estão mais relacionadas entre si.

Neste trabalho, tem-se o intuito de verificar quais os setores da economia brasileira são mais influenciados pelo comportamento da economia norte-americana como um todo. Ferreira e Mattos (2012) avaliaram o efeito contágio da crise do subprime nos setores do mercado acionário brasileiro através de modelagem GARCH-BEKK. Aqui, utilizar-se-á a metodologia de cópulas para relacionar a série do índice S&P500 (Standard and Poor 500 Index), que retrata a dinâmica da economia norte-americana, com cada uma das séries dos diversos setores da Bolsa de Valores de São Paulo (BM&F BOVESPA), buscando identificar aquelas que possuem maior dependência com a primeira. O método para modelagem das séries de índices utilizada neste trabalho é inspirado no modelo cópula-GARCH tempo-variante descrito em Patton (2006), porém com marginais com média condicional seguindo processos

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ARMA e variância condicional seguindo processos EGARCH definidos por Nelson (1991). Este modelo foi escolhido por ser flexível na modelagem das séries, permitindo abranger suas principais características, em especial a dependência caudal variante no tempo.

2 Metodologia Tendo em vista modelar a distribuição conjunta dos pares de séries temporais

(dados pela combinação do S&P500 com cada setor da BM&F BOVESPA), procedeu-se uma sequência de análises. Primeiramente, buscou-se o modelo de séries temporais que melhor se ajustasse à série temporal de cada índice, para modelar as distribuições marginais da cópula. Com base nos resíduos dos modelos escolhidos para cada série, foram então ajustadas as cópulas, a fim de se avaliar a estrutura de dependência entre os pares de séries de interesse.

2.1 Modelos de séries temporais Para ajustar as séries temporais dos retornos da S&P500 e dos setores da BM&F

BOVESPA, os modelo candidatos foram ARMA-GARCH e ARMA-EGARCH. Os processos ARMA-GARCH e ARMA-EGARCH têm por característica modelar tanto a média condicional da série (através de sua parte ARMA) quanto a variância condicional (através da parte GARCH ou EGARCH).

2.1.1 Média condicional Para modelar a média condicional das séries, utilizaram-se modelos ARMA. O

modelo autorregressivo médias-móveis 퐴푅푀퐴(푝 , 푞 ) pode ser descrito por:

(푌 − 휇) = 휙 푌 − 휇 + 휃 휀 + 휀 ,(1)

onde 휀 são as inovações, que neste trabalho assumiu-se que podem apresentar variância condicional não-constante. Para tanto, modelou-se estas inovações através de um processo GARCH ou EGARCH, formando processos ARMA-GARCH ou ARMA-EGARCH, descritos a seguir. 2.1.2 Variância condicional

O modelo autorregressivo generalizado condicionalmente heterocedástico,

퐺퐴푅퐶퐻(푝 , 푞 ), definido por Bollerslev (1986) e utilizado para modelar a variância condicional de 휀 , pode ser escrito como:

휀 = 휎 푍 (2)

휎 = 휔 + 훼 휀 + 훽 휎 ,(3)

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onde 푍 ~퐷푖푠푡(0,1) são os resíduos padronizados, os quais são independentes de 휀 , 푘 ≥ 1, para todo 푡. Além disso, 휎 = 푉푎푟(휀 |휀 , 휀 , … ) denota a variância condicional, 휔 ≥ 0 o intercepto e 휀 os resíduos do modelo de média condicional discutido anteriormente.

O modelo autorregressivo generalizado condicionalmente heterocedástico exponencial, 퐸퐺퐴푅퐶퐻(푝 ,푞 ), definido por Nelson (1991) e que também é utilizado para modelar a variância condicional de 휀 , pode ser descrito por:

휀 = 휎 푧 (5)

ln(휎 ) = 휔 + 훼 푍 + 훾 푍 − 퐸 푍 + 훽 ln(휎 ) ,(6)

onde 푍 ~퐷푖푠푡(0,1) são os resíduos padronizados, os quais são independentes de 휀 , 푘 ≥ 1, para todo 푡, e 퐸 푍 denota a esperança do módulo de 푍 . Além disso, 휎 = 푉푎푟(휀 |휀 , 휀 , … ) denota a variância condicional, 휔 ≥ 0 o intercepto e 휀 os resíduos do modelo de média condicional discutido anteriormente. Perceba que o coeficiente 훼 capta o efeito do sinal e 훾 o efeito do tamanho da inovação.

Note também que os resíduos padronizados 푍 para os modelos ARMA-GARCH ou ARMA-EGARCH podem ser escritos também como:

푍 =푌 − 퐸(푌 |푊 )푉푎푟(푌 |푊 )

=푌 − 퐸(푌 |푊 )

휎,(4)

onde 푊 = {푌 ,휀 ,푌 , 휀 , … }. Assim, temos que 퐹 | (푦 |푤 ) = ℙ(푌 ≤ 푦 |푤 ) = ℙ(푍 ≤ 푧 |푤 ) =퐹 | (푧 |푤 ), onde 푧 = ( | ) são os resíduos padronizados observados, 푦 são os retornos dos índices observados, 퐹 | é a função de distribuição dos retornos dos índices e 퐹 | a função de distribuição dos resíduos padronizados. Isto implica que a integral de probabilidade transformada dos resíduos padronizados observados (퐹 | (푧 |푤 )) seja equivalente à integral de probabilidade transformada dos retornos dos índices observados (퐹 | (푦 |푤 )). Este resultado será importante na parte da estimação das cópulas, que será melhor detalhado mais adiante. 2.1.3 Distribuição dos erros

Os resíduos padronizados 푍 podem seguir qualquer distribuição com média zero

e variância 1. Usualmente, supõe-se que eles seguem uma distribuição Normal padrão. Porém, eles podem apresentar caudas mais pesadas, seguindo então uma distribuição t-student, por exemplo, ou ainda apresentar assimetria, que pode ser modelada por uma distribuição Normal assimétrica ou t-student assimétrica. Estas quatro distribuições foram testadas para modelar os resíduos padronizados, e serão descritas a seguir.

A distribuição Normal padrão é simétrica e possui curtose zero. Sua função densidade de probabilidade é dada por:

푓 (푧) =exp(−0,5푧 )

√2휋(7)

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O modelo GARCH-Student foi descrito pela primeira vez por Bollerslev (1987) como uma alternativa à distribuição Normal como modelo para os resíduos padronizados. A função densidade de probabilidade da distribuição t-student com 휈 graus de liberdade, padronizada para apresentar média zero e variância 1, é dada por:

푓 (푧) =Γ 휈 + 1

2휋(휈 − 2)Γ 휈

21 +

푧(휈 − 2) .(8)

Esta distribuição também é simétrica, porém apresenta caudas mais pesadas, com curtose igual a 6/(휈 − 4) para 휈 > 4.

Fernandez e Steel (1998) propuseram introduzir assimetria a distribuições unimodais simétricas introduzindo fatores de escala inversa 휉 à sua parte positiva e negativa. Assim, as distribuições Normal assimétrica e t-student assimétrica foram obtidas a partir da função de densidade da distribuição Normal e da t-student, respectivamente, através da seguinte fórmula:

푓 (푧|휉) =2

휉 + 휉[푓 (휉푧)퐻 (−푧) + 푓 (휉 푧)퐻 (푧)],(9)

onde 퐻 é a função Heaviside, dada por 퐻 (푥) = ( ), 푓 é a função densidade da distribuição simétrica e 푓 a função densidade da respectiva distribuição assimétrica. Após este procedimento, esta função densidade é padronizada para ter média zero e variância 1. Observe que, quando 휉 = 1, a distribuição é simétrica. Se 휉 ∈ (0,1) a distribuição apresenta assimetria à esquerda, e se 휉 ∈ (1, +∞), à direita. 2.1.4 Critérios de seleção do modelo

Para cada série temporal, foram testados os modelo ARMA-GARCH e ARMA-

EGARCH com 푝 , 푞 , 푝 e 푞 podendo assumir os valores 0, 1 ou 2, combinados com ditrsibuições Normal, Normal assimétrica, t-student e t-student assimétrica para os resíduos, resultando em 648 modelos testados para cada série.

Os critérios para seleção do melhor modelo para cada série foram os seguintes: primeiro, dentro de cada combinação de modelo (ARMA-GARCH e ARMA-EGARCH) com distribuição dos erros (Normal, t-student, Normal assimétrica e t-student assimétrica), selecionou-se a combinação de ordens 푝 , 푞 , 푝 e 푞 com menor critério de informação de Akaike (AIC), dado por:

퐴퐼퐶 =−2퐿퐿 + 2푚

푛 ,(10) onde 푚 é o número de parâmetros estimados, 푛 é o tamanho da amostra e 퐿퐿 é o logaritmo natural da verossimilhança do modelo.

Escolhidos então os 8 melhores modelos para cada série, observou-se os resíduos padronizados observados 푧 para cada um deles. A escolha final do modelo mais apropriado para as séries foi feita levando-se em conta a integral de probabilidade transformada. A integral de probabilidade transformada de uma variável 푋é definida como 퐹 (푥)~푈[0,1], onde 퐹 é a função de distribuição de 푋 e 푥 são as observações da variável (CHERUBINI, LUCIANO e VECCHIATO., 2004). Se o modelo está bem especificado, então a integral de probabilidade transformada de 푧 terá distribuição uniforme [0,1], que é um resultado necessário para utilizar a metodologia de cópulas condicionais (SILVA FILHO, ZIEGELMANN e DUEKER, 2014). Assim,

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transformou-se os resíduos padronizados através de sua função de distribuição com os parâmetros estimados e procedeu-se o teste Kolmogorov-Smirnov nessa nova variável (a integral de probabilidade transformada). Escolheu-se por fim, para cada série, o modelo que gerou resíduos com maior p-valor neste teste.

2.2 Cópulas Com as distribuições marginais das séries modeladas, ajustou-se cópulas aos

seus resíduos padronizados transformados (para apresentarem distribuições uniformes [0,1]), tendo em vista obter a distribuição conjunta dos pares de séries temporais. Note que os resíduos padronizados transformados são equivalentes aos retornos dos índices transformados, tendo em vista que 퐹 | (푧 |푤 ) = 퐹 | (푦 |푤 ), como mostrado na seção 2.1.2. Utilizam-se então os resíduos padronizados transformados por facilidade, pois sua distribuição possui forma fechada.

A metodologia de cópulas será detalhada a seguir.

2.2.1 Conceitos básicos Cópulas podem ser definidas como funções que unem as distribuições marginais

de um conjunto de variáveis de forma a se obter sua função de distribuição conjunta, ou, de outra forma, são funções de distribuição multivariadas com distribuições marginais uniformes [0,1] (SCHWEIZER e SKLAR, 2005 apud COSTER, 2013). Assim, uma cópula bidimensional 퐶 pode ser dada pela expressão:

퐶(푢 , 푢 ) = ℙ(푈 ≤ 푢 ,푈 ≤ 푢 ),(11) onde 푈 e 푈 são variáveis aleatórias com distribuição uniforme [0,1]. Assim, pode-se modelar conjuntamente quaisquer duas variáveis aleatórias através de cópulas bidimensionais, pois qualquer variável aleatória pode ser tranformada em uma variável com distribuição uniforme [0,1] através de sua própria função de distribuição, gerando-se a integral de probabilidade transformada. Este resultado é mostrado através do Teorema de Sklar, como apresentado por Nelsen (2006).

Teorema 1 (Teorema de Sklar): Seja 퐻 uma função de distribuição conjunta com marginais 퐹 e 퐹 . Então existe uma cópula 퐶 tal que, para todos 푦 e 푦 em 푹 = [−∞, +∞],

퐻(푦 , 푦 ) = 퐶 퐹 (푦 ),퐹 (푦 ) .(12) Se 퐹 e 퐹 são contínuas, então 퐶 é única; se não, 퐶 é unicamente determinada em 퐼푚퐹 푥퐼푚퐹 . Por outro lado, se 퐶 é uma cópula e 퐹 e 퐹 são funções de distribuição, então a função 퐻 definida acima é uma função de distribuição conjunta com marginais 퐹 e 퐹 .

A função cópula pode assumir diversas formas, dependendo da estrutura de correlação entre as variáveis que estão sendo unidas. Neste trabalho, utilizou-se as cópulas Normal e Joe-Clayton Simetrizada, cujas características serão detalhadas mais adiante.

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2.2.2 Cópulas condicionais Segundo Silva Filho, Ziegelmann e Dueker (2014), em muitos casos, a dinâmica

geral das séries temporais pode ser melhor captada através de distribuições condicionais nas suas observações passadas. Então uma extensão do teorema de Sklar para o em que as distribuições marginais são condicionais pode ser muito útil, principalmente na análise de séries temporais. Para o caso bidimensional, o Teorema de Sklar condicional apresentado em Patton (2006) torna-se o seguinte.

Teorema 2 (Teorema de Sklar condicional): Sejam 푌 |푊 e 푌 |푊 variáveis aleatórias com distribuições condicionais 퐹 | e 퐹 | , respectivamente, e distribuição conjunta condicional 퐻 de 푌|푊, onde 푌 = (푌 ,푌 ) e 푊 tem espaço amostral Ω. Então, existe uma cópula 퐶 tal que, para quaisquer 푦 e 푦 em 푹 e 푤 em Ω, temos:

퐻(푦 ,푦 |푤) = 퐶 퐹 | (푦 |푤),퐹 | (푦 |푤) 푤 .(13) Se 퐹 | e 퐹 | são contínuas, então 퐶 é única; se não, 퐶 é unicamente determinada em 퐼푚퐹 | 푥퐼푚퐹 | . Por outro lado, se 퐶 é uma cópula bidimensional e 퐹 | e 퐹 | são funções de distribuição, então a função 퐻 definida acima é uma função de distribuição condicional conjunta bidimensional com marginais 퐹 | e 퐹 | .

No caso de séries temporais, em geral, 푊 representa o passado das variáveis, ou seja, 푊 = 푌 ,푌 ,푌 ,푌 , … , considerando que 푌 = 푌 e 푌 = 푌 . Note que o conjunto de informações 푊 deve ser o mesmo que condiciona as marginais de 푌 e 푌 . Em modelos de séries temporais, muitas vezes condicionamos cada variável no seu próprio passado e não no passado da outra variável. Entretanto, para modelar corretamente as variáveis de forma a obter uma cópula verdadeira, devemos condicionar cada série no seu passado e no passado da outra também. Porém, como neste trabalho considerou-se que o passado de uma variável não influencia na outra, dado seu próprio passado, desconsiderou-se este fato e modelou-se cada variável separadamente através de modelos ARMA-GARCH ou ARMA-EGARCH sem variáveis exógenas.

2.2.3 Estimação A estimação dos parâmetros das cópulas é feita através da maximização do

logaritmo natural da verossimilhança da distribuição conjunta dos pares de séries em questão.

A função de distribuição conjunta das duas séries é dada por: 퐻(푦 ,푦 |푤) = 퐶 퐹 | (푦 |푤),퐹 | (푦 |푤) 푤 .(14)

Assim, a função densidade conjunta das séries é dada por:

ℎ(푦 , 푦 |푤) =휕 퐻(푦 , 푦 |푤)

휕푦 휕푦 = 푓 | (푦 |푤) ∙ 푓 | (푦 |푤) ∙ 푐(푢 ,푢 |푤),(15)

onde 푢 = 퐹 | (푦 |푤) e 푢 = 퐹 | (푦 |푤).

A partir dela, podemos obter a função de verossimilhança, dada por:

퐿(휃 ,휃 , 휃 |푤) = 푓 | (푦 |푤,휃 ) ∙ 푓 | (푦 |푤,휃 ) ∙ 푐(푢 ,푢 |푤, 휃 ) ,(16)

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onde 휃 é o vetor de parâmetros da distribuição de 푌 , 휃 é o vetor de parâmetros da distribuição de 푌 e 휃 é o vetor de parâmetros da cópula que une as distribuições marginais das séries 푌 e 푌 .

Tirando o logaritmo, obtemos:

푙(휃 ,휃 , 휃 |푤) = ln 푓 | (푦 |푤, 휃 ) + ln(푓 | (푦 |푤, 휃 )) +

+ ln 푐(푢 , 푢 |푤,휃 ) = 푙 |(휃 |푤) + 푙 |

(휃 |푤) + 푙 (휃 |휃 , 휃 ,푤).(17)

Estimar todos os parâmetros do modelo conjuntamente pelo método da máxima

verossimilhança, entretanto, pode ser um processo computacionalmente pesado. Para solucionar este problema, utiliza-se o método IFM (Inference Function for Margins), proposto por Joe e Xu (1996), o qual, ao invés de maximizar a verossimilhança da distribuição conjunta com relação a todos os parâmetros, maximiza cada uma das suas três partes componentes separadamente.

Primeiramente, se estimam os parâmetros das marginais 푓 | e 푓 | , dados por 휃 e 휃 , através de:

휃 = 푎푟푔푚푎푥푙 |(휃 |푤)푒(18)

휃 = 푎푟푔푚푎푥푙 |(휃 |푤).(19)

A partir destas estimativas, pode-se obter estimativas de 푢 = 퐹 | (푦 |휃 ,푤)

e 푢 = 퐹 | (푦 |휃 ,푤), a partir das quais é possível estimar os parâmetros da cópula: 휃 = 푎푟푔푚푎푥푙 휃 푤, 휃 ,휃 =

= 푎푟푔푚푎푥 ln 푐 퐹 | 푦 |휃 ,푤 ,퐹 | 푦 |휃 ,푤 푤, 휃 .(20)

Assim, na prática, o processo completo de estimação é composto pelas seguintes

etapas: estimar os modelos ARMA-GARCH ou ARMA-EGARCH das marginais das séries pelo método da máxima verossimilhança, obter seus resíduos padronizados, aplicar neles sua função de distribuição (com os parâmetros estimados) para obter 푢 e 푢 . Com estes valores, estima-se então a cópula respectiva pelo método IFM.

2.2.4 Dependência caudal As cópulas frequentemente utilizadas na literatura, em especial no campo das

finanças, assumem formas elípticas, como, por exemplo, as cópulas gaussiana (Normal) e t-student, como mencionam Silva Filho, Ziegelmann e Dueker (2012). Estas cópulas levam em cosideração a correlação linear entre as variáveis, mas não levam em conta que a correlação pode ser diferente nos diferentes intervalos de seus possíveis valores. Em séries de ações, por exemplo, as séries podem apresentar níveis de correlação diferentes quando estão em baixa do que quando estão em alta. Para captar este tipo de comportamento, introduz-se o conceito de dependência caudal, como definido por Joe (1997).

Definição 1 (Dependência caudal): Em uma cópula bivariada 퐶, se lim → ℙ(푈 ≤ 휖,푈 ≤ 휖) = lim →

( , ) = 휏 existe e 휏 ∈ (0,1], a cópula 퐶 possui

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dependência caudal inferior. Da mesma maneira, se lim → ℙ(푈 > 휖,푈 > 휖) =lim →

( , ) = 휏 existe e 휏 ∈ (0,1], a cópula 퐶 possui dependência caudal superior.

Portanto, a dependência caudal pode ser interpretada como a probabilidade de uma série apresentar um valor extremo positivo (ou negativo) dado que a outra série apresentou também um valor extremo positivo (ou negativo). Esta medida é importante pois acredita-se que séries financeiras estão mais fortemente correlacionadas em períodos de baixa do que de alta ou de estabilidade.

2.2.5 Modelos de cópulas Neste trabalho, além da cópula Normal, que não apresenta dependência caudal,

utilizou-se a cópula Joe-Clayton Simetrizada, que apresenta dependência caudal superior e inferior independentes, ou seja, o nível de dependência das séries em momentos de alta não depende da dependência em momentos de baixa.

A cópula Normal tem origem na distribuição normal, é simétrica e não apresenta dependência caudal. É dada por:

퐶 (푢 ,푢 |휌) =1

2휋 1 − 휌∙ exp −

푟 − 2휌푟푠 + 푠2(1 − 휌 )

( )푑푟

( )푑푠,(21)

onde 휌 representa a correlação entre as variáveis e varia de -1 (correlação negativa perfeita) a 1 (correlação positiva perfeita), e Φ é a função inversa da função de distribuição de uma Normal padrão.

A cópula Joe-Clayton Simetrizada apresenta tanto dependência caudal superior quanto inferior, e uma é independente da outra. Ela é uma variação da cópula Joe-Clayton, e é dada por:

퐶 (푢 ,푢 |휏 , 휏 ) =

=퐶 (푢 ,푢 |휏 , 휏 ) + 퐶 (1 − 푢 , 1 − 푢 |휏 , 휏 ) + 푢 + 푢 − 1

2 ,(22) onde:

퐶 (푢 , 푢 |휏 , 휏 ) =

1 − 1 − {[1 − (1 − 푢 ) ] + [1 − (1 − 푢 ) ] − 1} ,(23)

휅 = 1/log (2 − 휏 ),(24) 훾 = −1/log (휏 ),(25)

e 휏 , 휏 ∈ (0,1). 2.2.6 Parâmetros tempo-variantes

Embora os coeficientes de dependência das cópulas sejam em geral considerados

fixos, isto pode não retratar devidamente a realidade: os coeficientes de dependência das cópulas podem variar ao longo do tempo. Para captar esta dinâmica, Patton (2006)

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propôs modelos de cópulas em que os parâmetros seguem um modelo restrito ARMA(1,10). Estes modelos são descritos no Quadro 1 para as cópulas Normal e a Joe-Clayton Simetrizada.

Assim, Patton (2006) sugeriu que os coeficientes fossem modelados através de três componentes, sendo uma parte constante (휔), uma dependente do passado do coeficiente de dependência (훽) e outra dependente do passado das séries (훼), para identificar mudanças na dependência entre as séries, como menciona Coster (2013).

Quadro 1. Modelos para a dinâmica dos parâmetros de dependência das cópulas

CÓPULA EQUAÇÕES

Normal 휌 = Λ 휔 + 훽 휌 + 훼 ∙1

10 Φ (푢 , )Φ (푢 , )

Joe-Clayton

Simetrizada

휏 = Λ 휔 + 훽 휏 + 훼 ∙1

10|푢 , − 푢 , |

휏 = Λ 휔 + 훽 휏 + 훼 ∙1

10 |푢 , − 푢 , |

Para que os parâmetros permanecessem em seu espaço paramétrico, com 휏 ∈ (0,1], 휏 ∈ (0,1] e 휌 ∈ [−1,1], foram propostas as seguintes transformações:

Λ (푥) =1 − 푒1 + 푒 푒(26)

Λ (푥) =1

1 + 푒 .(27) Estes parâmetros e seu comportamento ao logo do tempo são o foco do trabalho, dado que eles permitem avaliar a relação entre as variáveis de interesse. 3 Resultados

A análise dos dados foi feita no software R, através dos pacotes fGARCH,

rugarch, copula e CDVine. Nesta seção, primeiro apresenta-se a descrição das séries de dados utilizadas, para em seguida mostrar-se os modelos utilizados para as distribuições marginais das séries e finalmente os resultados referentes às cópulas que relacionam cada par de variáveis.

3.1 Descrição dos dados Os dados utilizados neste trabalho foram as séries temporais do índice norte-

americano S&P500 (Standard and Poor 500 Index) e dos índices dos setores da Bolsa de Valores de São Paulo: IEE (Índice de Energia Elétrica), ICON (Índice de Consumo),

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IMOB (Índice Imobiliário), UTIL (Índice Utilidade Pública), IMAT (Índice de Materiais Básicos), INDX (Índice do Setor Industrial) e IFNC (Índice Financeiro). Foram obtidos os valores diários dos índices de 01/01/2008 a 31/12/2013, período para o qual todas as séries estavam disponíveis. Excluindo-se os dias em que não havia informação para alguma das séries, restaram 1447 observações para cada série.

As Figuras 1 e 2 mostram o comportamento das séries destes índices no período selecionado. Pode-se observar a grande queda de todos os índices no período da crise americana, no fim de 2008, e sua posterior recuperação nos anos seguintes.

Figura 1. Índices S&P500, IEE, ICON e IMOB

S&P500

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

800

1400

IEE

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1500

030

000

ICON

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1000

2000

IMOB

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

200

600

1000

12

Figura 2. Índices UTIL, INDX, IFNC e IMAT

Para fins de análise e modelagem, utilizou-se os retornos dos índices, obtidos a partir da transformação:

푌 = ln(퐼 )− ln(퐼 ) ,(28) onde 푌 são os retornos da série de índices 퐼 .

Os gráficos dos retornos dos índices são mostrados nas Figuras 3 e 4. Eles também mostram a instabilidade do índice americano, bem como dos brasileiros, no segundo semestre de 2008, quando ocorreu a crise da economia americana, mostrando que a economia brasileira está fortemente relacionada com a americana. Pode-se perceber, também, que alguns setores da economia brasileira, como imóveis, materiais e o setor financeiro, são mais instáveis que os demais.

UTIL

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1500

3000

INX

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

6000

1000

0

IFNC

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1500

3000

4500

IMAT

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

1000

2000

3000

INDX

13

Figura 3. Retornos dos índices S&P500, IEE, ICON e IMOB

Retorno S&P500

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

-0.2

0.0

0.2

Retorno IEE

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

-0.2

0.0

0.2

Retorno ICON

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

-0.2

0.0

0.2

Retorno IMOB

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

-0.2

0.0

0.2

14

Figura 4. Retornos dos índices UTIL, INDX, IFNC e IMAT

3.2 Modelos de séries temporais Para cada série temporal em estudo, foram testados os modelos ARMA-GARCH

e ARMA-EGARCH com cada uma de suas ordens variando de 0 a 2, com distribuição de erros Normal, Normal assimétrica, t-student e t-student assimétrica. Para cada série, dentro de cada combinação de modelo com distribuição dos erros, foi escolhida aquela com o menor critério de Akaike (AIC). Posteriormente, foi escolhido então o melhor modelo com sua respectiva distribuição de erro através da melhor adaptação dos resíduos à sua distribuição com os parâmetros estimados, com base no p-valor de um teste Kolmogorov-Smirnov (KS). Os modelos escolhidos para cada série, seus respectivos parâmetros estimados e o p-valor do teste KS encontram-se nas Tabelas 1 e 2.

Retorno UTIL

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

-0.2

0.0

0.2

Retorno INX

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

-0.2

0.0

0.2

Retorno IFNC

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

-0.2

0.0

0.2

Retorno IMAT

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

-0.2

0.0

0.2

INDX

15

Tabela 1. Modelos ajustados às séries temporais S&P500, IEE, ICON e IMOB SÉRIE S&P500 IEE ICON IMOB

Modelo ARMA(0,1)-EGARCH(2,1)

ARMA(2,2)-EGARCH(2,2)

ARMA(2,2)-EGARCH(1,1)

ARMA(0,1)-EGARCH(1,1)

Dist. Erro T-student assimétrica T-student T-student assimétrica T-student 0,0004 ** 0,0006 *** 0,0005 * -0,0006 0,338704 *** 1,618158 *** -0,991924 *** -0,946808 *** -0,0654 *** -0,3346 *** -1,6363 *** 0,0946 *** 0,997161 *** 0,954727 *** -0,2073 *** -0,1402 *** -0,1364 *** -0,0915 *** -0,3166 *** -0,1301 *** -0,0729 *** -0,0557 *** 0,1404 *** 0,0720 *** 0,9772 *** 1,0000 *** 0,9846 *** 0,9884 *** -0,015073 *** -0,1777 *** 0,2471 *** 0,1530 *** 0,1873 *** 0,3147 *** -0,1272 *** 0,8434 *** 0,9658 *** 7,1848 *** 8,5806 *** 11,0823 *** 11,2432 *** KS (p-valor) 0,611 0,955 0,926 0,739 Nota: *, ** e *** representam significância a 10%, 5% e 1%, respectivamente.

Tabela 2. Modelos ajustados às séries temporais UTIL, INDX, IFNC e IMAT SÉRIE UTIL INDX IFNC IMAT

Modelo ARMA(1,0)-EGARCH(2,1)

ARMA(2,2)-EGARCH(1,1)

ARMA(2,2)-EGARCH(1,1)

ARMA(0,1)-EGARCH(1,1)

Dist. Erro T-student T-student assimétrica T-student assimétrica T-student assimétrica 0,0006 ** 0,0001 0,0002 -0,0003 0,0407 1,330744 *** 1,017144 *** -1,000722 *** -0,481823 *** -1,3308 *** -0,9637 *** 0,0430 0,99949 *** 0,400114 *** -0,1833 *** -0,0754 *** -0,0738 *** -0,0691 *** -0,1431 *** -0,0727 *** -0,0721 *** -0,0710 *** 0,0922 ** 0,9796 *** 0,9912 *** 0,9910 *** 0,9912 *** 0,2457 *** 0,1352 *** 0,1195 *** 0,1120 *** -0,0857 0,9304 *** 1,0070 *** 0,9765 *** 8,5408 *** 19,4089 *** 11,2320 *** 13,1310 *** KS (p-valor) 0,950 0,850 0,988 0,784 Nota: *, ** e *** representam significância a 10%, 5% e 1%, respectivamente.

Note que, quanto maior o p-valor do teste KS, mais a distribuição do resíduo

padronizado transformado se aproxima da distribuição uniforme, fato este que é necessário para a modelagem de cópulas. Em todos os casos, o p-valor foi superior a 0,6, indicando que estes resíduos transformados se aproximam bastante de distribuições uniformes [0,1].

Observe ainda que quase todos os parâmetros dos modelos de séries temporais foram significativos a 1%, o que reforça a qualidade da modelagem das séries.

16

3.3 Cópulas Após a estimação dos modelos escolhidos para cada série, utilizaram-se as

integrais de probabilidade tranformadas dos resíduos padronizados (as quais seguem distribuição uniforme [0,1]) para a análise de cópulas.

Na estimação dos parâmetros das cópulas tempo-variantes, houve problemas com a maximização da função de verossimilhança, pois esta apresentava diversos máximos locais, sendo, portanto, muito influenciada pelo ponto inicial utilizado na maximização numérica. Para contornar este problema, foram gerados 10 pontos iniciais aleatórios para cada cópula, a partir dos quais foi procedida a estimação, com tolerância de 10-6. Foi então utilizada a estimativa com maior verossimilhança como ponto inicial para uma maximização mais refinada, com tolerância de 10-8, a qual foi definida como estimativa final dos parâmetros da cópula, como em Da Silva (2011).

Os parâmetros estimados para cada cópula bidimensional (da série S&P500 combinada com cada um dos setores da Bovespa), tanto com parâmetros tempo-variantes como fixos, bem como o logaritmo natural de sua verossimilhança (LL), são apresentados na Tabela 3. Em todos os casos, as cópulas tempo-variantes mostraram-se mais verossímeis que as cópulas com parâmetros fixos.

Os gráficos da dinâmica dos parâmetros de cada cópula obtidos a partir das estimativas acima permitem avaliar diferentes padrões de dependência ao longo do tempo. As Figuras 5 a 11 mostram esta evolução para cada cópula.

Em todos os setores, com exceção do setor de energia elétrica, pode-se observar que o nível da dependência caudal inferior é ligeiramente maior que da superior, indicando que, de fato, as ações americanas e dos setores da economia brasileira podem estar mais correlacionados quando estão em baixa do que em alta. Além disso, a dependência caudal inferior também mostrou-se mais estável que a superior nas séries analisadas.

Tabela 3. Cópulas ajustadas aos pares de séries temporais

CÓPULA PARÂMETRO S&P500 x IEE

S&P500 x ICON

S&P500 x IMOB

S&P500 x UTIL

S&P500 x INDX

S&P500 x IFNC

S&P500 x IMAT

Copula Normal - tempo-variante

0,041 -0,186 0,065 0,049 -0,290 -0,196 -0,124

1,880 2,513 1,911 1,826 2,730 2,533 2,412

0,211 0,125 0,216 0,246 0,127 0,153 0,166

LL 184,029 336,745 253,215 179,706 421,397 373,255 386,253

Cópula Normal - fixo

0,450 0,599 0,530 0,441 0,655 0,623 0,625 LL 164,100 322,300 238,700 156,600 405,000 355,200 359,000

Cópula JCS- tempo-variante

U -1,760 1,505 -1,953 1,904 2,487 1,929 3,309

U 4,151 -0,139 4,166 -0,944 -1,252 -1,756 -2,394

U -2,055 -10,597 -0,817 -14,799 -11,954 -9,059 -14,782

L 1,094 1,056 1,611 0,961 -1,761 -1,755 -0,043

L -4,742 -3,437 -0,805 -4,697 3,701 3,708 1,082

L -1,821 0,545 -8,647 -1,073 -0,516 -0,592 -3,107

LL 169,189 335,122 253,486 168,712 437,096 367,749 403,413

Cópula JCS - fixo

U 0,258 0,347 0,292 0,201 0,440 0,383 0,396

L 0,220 0,430 0,354 0,283 0,472 0,448 0,462

LL 161,390 324,673 239,519 158,331 418,783 354,338 378,058

17

Normal

Rho

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Inferior

TauL

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Superior

TauU

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

Em alguns casos, a dependência caudal superior (휏 ) e a correlação (휌) das séries se acentuam no último semestre de 2008, período onde ocorreu a crise econômica nos Estado Unidos. Este padrão é mais visível nas cópulas que combinam a série de ações americanas (S&P500) com os setores de energia elétrica (IEE) e imóveis (IMOB) brasileiros. No entanto, os setores que aparentam maior dependência com as ações das empresas americanas ao longo de toda a série são os setores financeiro (IFNC), industrial (INDX) e de materiais (IMAT).

Os setores de energia elétrica (IEE) e utilidade pública (UTIL) são os que menos apresentam relação com a economia norte-americana. Resultado semelhante para o setor de energia elétrica foi obtido por Ferreira e Mattos (2012). Este comportamento pode ser devido ao fato de que estes setores são muito voltados para o mercado interno e apresentam elasticidade-preço da demanda baixa, ou seja, mudanças no seu preço alteram pouco a procura pelo consumidor.

Figura 5. Parâmetros de dependência das cópulas Normal e Joe-Clayton Simetrizada (JCS) tempo-variantes entre as séries de S&P500 e IEE (a linha azul mostra o nível do parâmetro na cópula com parâmetro fixo)

18

Normal

Rho

2008 2009 2010 2011 2012 2013 20140.

00.

40.

8

JCS - Inferior

TauL

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Superior

TauU

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

Figura 6. Parâmetros de dependência das cópulas Normal e Joe-Clayton Simetrizada (JCS) tempo-variantes entre as séries de S&P500 e ICON (a linha azul mostra o nível do parâmetro na cópula com parâmetro fixo)

Normal

Rho

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Inferior

TauL

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Superior

TauU

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

Figura 7. Parâmetros de dependência das cópulas Normal e Joe-Clayton Simetrizada (JCS) tempo-variantes entre as séries de S&P500 e IMOB (a linha azul mostra o nível do parâmetro na cópula com parâmetro fixo)

19

Normal

Rho

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Inferior

TauL

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Superior

TauU

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

Figura 8. Parâmetros de dependência das cópulas Normal e Joe-Clayton Simetrizada (JCS) tempo-variantes entre as séries de S&P500 e UTIL (a linha azul mostra o nível do parâmetro na cópula com parâmetro fixo)

Normal

Rho

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Inferior

TauL

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Superior

TauU

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

Figura 9. Parâmetros de dependência das cópulas Normal e Joe-Clayton Simetrizada (JCS) tempo-variantes entre as séries de S&P500 e INDX (a linha azul mostra o nível do parâmetro na cópula com parâmetro fixo)

20

Normal

Rho

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Inferior

TauL

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Superior

TauU

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

Figura 10. Parâmetros de dependência das cópulas Normal e Joe-Clayton Simetrizada (JCS) tempo-variantes entre as séries de S&P500 e IFNC (a linha azul mostra o nível do parâmetro na cópula com parâmetro fixo)

Normal

Rho

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Inferior

TauL

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

JCS - Superior

TauU

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

0.0

0.4

0.8

Figura 11. Parâmetros de dependência das cópulas Normal e Joe-Clayton Simetrizada (JCS) tempo-variantes entre as séries de S&P500 e IMAT (a linha azul mostra o nível do parâmetro na cópula com parâmetro fixo)

21

4 Conclusão A economia norte-americana influencia de forma direta e significativa as bolsas

de valores mundiais, inclusive a brasileira. Porém, os diversos setores da economia reagem de forma distinta a oscilações na economia dos Estados Unidos. Neste contexto, este trabalho buscou verificar como a dinâmica das ações das empresas americanas refletem nas ações dos diversos setores da economia brasileira.

Para tanto, utilizou-se a metodologia de cópulas com parâmetros fixos e parâmetros tempo-variantes. As cópulas propostas para entender melhor esta dependência foram a Normal, utilizada tradicionalmente, e a Joe-Clayton Simetrizada, que permite modelar dependência caudal superior e inferior entre as séries de forma independente.

Os resultados sugerem que, em geral, as séries dos setores da economia brasileira apresentam maior dependência com a economia norte-americana em períodos em que ambas estão em recessão do que em ascensão. Além disso, os setores que aparentam maior dependência com as ações das empresas americanas ao longo de toda a série são os setores financeiro, industrial e de materiais; por outro lado, os setores que apresentam menor relação são o de energia elétrica e o de utilidade pública.

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