departamento de matemÁtica e fÍsica...

NOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULA

03

UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA

Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II (MAF 2202)

Coordenação: Prof. Dr. Elias Calixto Carrijo

CAPÍTULO 18 – ONDAS II

3.1 Ondas Sonoras

Por definição onda sonora é uma onda longitudinal se propagando em um meio

qualquer, produzindo vibração das partículas desse meio.

Uma fonte sonora pontual emite ondas sonoras em todas as direções. As superfícies

sobre as quais as oscilações do ar devido à onda sonora tem o mesmo valor são chamadas

de FRENTES DE ONDA.

Próximo às fontes puntuais, as frentes de ondas são chamadas esféricas. Quando

muito afastadas da fonte, as frentes são chamadas planas.

3.2 Velocidade do Som

Seja um pulso isolado onde o ar comprimido se propaga da direita para a esquerda

com uma velocidade v através de um tubo. Se o referencial for estabelecido sobre o pulso, o

que se vê é o ar se deslocando para a esquerda, passando no interior do pulso, como na

figura a seguir:

FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 02

Quando o elemento de ar penetra na região comprimida, ele reduz a velocidade por

causa da força atuante sobre ele ( )p p+ ∆ ∆ . O tempo para completar essa redução de

velocidade é dada por:

xt

v

∆∆ =

Da segunda Lei de Newton, a força resultante sobre o elemento de ar ao penetrar no

pulso é dada por:

( )

.

F pA p p

p A

= + − + ∆ ∆= −∆

O volume do elemento é dado por .A x∆ . Então, usando x v t∆ = ∆ , vem:

. .m V x Av tρ ρ ρ∆ = = ∆ ∆ = ∆

A aceleração média do elemento no intervalo de tempo t∆ é dada por:

va

t

∆=∆

como F = ma, obtém-se:

vpA ma Av t

tρ ∆−∆ = ∆ = ∆

∆

ou

2

/

pv

v vρ ∆= −

∆

O volume

Se o volume do ar fora do pulso é A v t v

Vv t v

∆ ∆ ∆∆ = =∆ ∆


Assim:

2

/

p pv B

Vv vV

ρ ∆ ∆= − = − = →∆∆

Bv

ρ=

3.3 Ondas Sonoras Progressivas

Examinamos agora os deslocamentos e variações de pressão relativos a uma onda

senoidal se propagando no ar. A figura a seguir mostra uma onda com essa característica se

propagando para a direita. Pode-se produzir uma onda como essa com um pistão se

movendo na extremidade esquerda do tubo. Esse movimento do pistão para a direita produz

um deslocamento e uma compressão do elemento de ar na sua proximidade. Quando o

pistão se move para a esquerda permite-se que o elemento de ar se mova para a esquerda e

que a pressão diminua. Como cada elemento de ar empurra o próximo elemento, esse

movimento do ar da direita para a esquerda e a variação de pressão se propagam ao longo

do tubo como uma onda sonora.

Em uma onda que se propaga ao longo do tubo o elemento de ar x∆ se desloca para

a direita e esquerda descrevendo um movimento harmônico simples em torno de sua


posição de equilíbrio. Em analogia com a equação de onda para uma onda que se propaga

em uma corda, a equação de onda para essa onda longitudinal será:

( , ) cos( ),S x t Sm kx tω= −

onde ( , )S x t representa o deslocamento longitudinal do elemento de ar x∆ , Sm é o

deslocamento máximo (amplitude). O número de onda angular k, a freqüência angular ω , a

freqüência f, o comprimento de onda λ , a velocidade v e o período T tema mesma

definição e relações que para as ondas transversais. Para ondas sonoras, o comprimento de

onda é à distância entre duas compressões.

Quando a onda se move, a pressão no ar é dada pela relação a seguir:

( , ) ( )mp x t p sen kx tω∆ = ∆ −

A amplitude de pressão é dada por:

( )m mp v Sρω∆ =

Dedução das Relações

A variação da pressão no elemento deslocado é dada por:

Vp B

V

∆∆ = −

onde:

.V x= ∆ ∆ → Volume do elemento deslocado

.V A S∆ = ∆ → Variação do volume do elemento

Das relações anteriores e passando ao limite do diferencial obtém-se:

0[ ( )] ( )m m

S sp B B s cos kx t ks sen kx t

X x xω ω∆ ∂∆ = − = − = − = − −

∆ ∂ ∂


logo

( )mAp BkS sen kx tω= −

onde

2( ) ( )m m m mp BkS v k S v Sρ ρω∆ = = =

3.4 Interferência

Analogamente às ondas transversais, as ondas sonoras podem sofrer interferência.

Seja o caso particular de interferência entre duas ondas sonoras idênticas se propagando na

mesma direção.

Essa situação pode ser representada pela figura

ao lado, onde duas fontes puntuais S1 e S2 emitem ondas

sonoras que estão em fase. O que se deseja saber é o

resultado dessa interferência no ponto P. Supõe-se que a

distância até P seja muito maior que a distância entre as

fontes. Assim pode-se imaginar as ondas se propagando na mesma direção.

Como as trajetórias percorridas pelas ondas, L1 e L2 respectivamente, são diferentes,

elas podem não estar em fase no ponto P. Então, a diferença de fase φ depende da

diferença de comprimento das trajetórias 2 1L L L∆ = − . Uma diferença de fase de 2π rad

corresponde a um comprimento de onda λ . Portanto:

2

Lφπ λ

∆=

ou

2Lφ π

λ∆=

uma interferência totalmente construtiva ocorre quando:

(2 ) 0,1,2,3m mφ π= =

então


0,5; 1,5; 2,5;3,5,...L

λ∆ =

Uma interferência destrutiva ocorre porque uma onda se encontra completamente

fora de fase com a outra onda.

3.5 Intensidade e Nível Sonoro

A intensidade de uma onda sonora em uma superfície é a taxa média por unidade de

área com que se transfere energia pela onda, ou seja:

PI

A=

onde P é a taxa de transferência de energia no tempo e A a área da superfície.

Para uma fina camada de ar de espessura dx, área A e massa dm, oscilando quando a

onda sonora passa, por ela, a energia cinética é dada por:

21

2 sdk dmv=

Nesta equação vs é a velocidade do elemento de ar que está oscilando, sendo dada

por:

( )s m

Sv s sen kx t

tω ω∂= = − −

∂

sendo dm Adxρ= , e usando a relação para vs tem-se:

2 21( )( ) ( )

2 mdk Adx s sen kx tρ ω ω= − −

dividindo-se a relação anterior por dt obtém-se a taxa com que a energia cinética se desloca

junto com a onda. Sendo dx/dt a velocidade das ondas transversais, obtém-se:


2 2 21( )

2 m

dkAv s sen kx t

dtρ ω ω= −

usando a relação para o valor médio de uma função, dado por 0

1( )

T

f x dxT ∫

, obtém-se o valor

médio da energia cinética:

2 21

4 mmed

dkAv s

dtρ ω =

Supondo-seque a energia potencial tenha o mesmo valor da energia cinética, a

intensidade da onda será dada por:

2 21

2med

m

dkZ

P dtI v S

Aρ ω

= = =

∆

OBS: Conforme definição, o valor médio de 2sen xé dado por:

2 22 22

0 00 0

1 1 1 cos 2 1 12

2 2 2 4 2

xM sen x dx dx x sen x

π ππ π

π π π− = = = −

∫ ∫

Variação Da Intensidade Com A Distância.

A forma com a intensidade de uma fonte varia com a distância é complexa.

Entretanto, em algumas situações, podemos imaginar uma fonte sonora puntual emitindo

som isotropicamente. Supondo que a energia mecânica da onda se conserva para uma onda

se propagando esfericamente, obtém-se:

2,

4sP

Irπ

=


onde 24 rπ é a área da superfície da esfera.

A Escala Decibel

A amplitude de deslocamento no ouvido humano varia de 10-5 m (som tolerável) a

10-11 m (som mais fraco), que representa uma razão às amplitudes de 106m. A intensidade

do som varia com o quadrado da amplitude, logo a razão entre as intensidades nos dois

limites é de 1012.

O conceito de logaritmo pode ser usado para se trabalhar com grande faixa de

valores. Para a relação a seguir

logy x=

multiplicando-se x por 10 y aumenta em um, ou seja

' log10 log10 log 1 logy x x x= = + = +

A definição de nível sonoro β é usada no lugar da intensidade I para se reduzir a

faixa de valores:

0

(10 ) logI

dbI

β =

I0 é uma intensidade de referência padrão dada por 10-12 W/m2, o qual está próximo

do limite inferior da audição humana. Para I = I0 obtém-se 10 log1 0β = = , ou seja o nível

de referência padrão corresponde a zero. O nível sonoroβ aumenta 10dB cada vez que a

intensidade do som aumenta de uma ordem de grandeza, isto é, para β = 40 tem-se uma

intensidade 104 vezes o nível de referência padrão. Segue tabela de diversos níveis sonoros:

dB

Limiar da Audição 0

Roçar das Folhas 10

Conversação 60

Concerto de Rock 110

Limiar da Dor 120

Motor a Jato 130


3.6 Fonte Sonoras Musicais

Sons musicais podem ser gerados por cordas vibrando (violão, violino, piano),

membranas (tambor), colunas de ar (flauta, órgão de tubo) e outros corpos oscilantes. Já

vimos que ondas estacionárias podem ser geradas em uma corda esticada fixada em suas

extremidades quando o comprimento de onda das ondas coincide adequadamente com o

comprimento da corda, a superposição das ondas se propagando em sentido contrário

produz ondas estacionárias.

Pode-se gerar ondas estacionárias de som em tubos cheios de ar de modo

semelhante. Ondas sonoras se propagando através do ar no tubo são refletidas, mesmo que

a extremidade do tubo esta aberta (apesar da reflexão não ser tão completa como se o tubo

estivesse fechado). Se o comprimento de onda das ondas sonoras coincidir adequadamente

com o comprimento do tubo, a superposição de ondas se propagando em sentido contrário

através do tubo gera uma onda estacionária.

Ondas sonoras estacionárias são semelhantes às ondas em cordas. Pode-se

considerar a extremidade fechada de um tubo análoga à extremidade fixa de uma corda, por

notar-se a existência de um nó(deslocamento nulo) na mesma. Para a extremidade aberta de

um tubo considera-se a extremidade da corda presa em um anel que pode mover-se

livremente da vertical.

O padrão de onda estacionária mais simples que pode ser gerado em um tubo com

as extremidades abertas é mostrado na figura a seguir.

Nota-se a existência de um antinó em cada extremidade e um nó na seção no meio

do tubo. Este padrão de nada é chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico. Para

se obter este padrão, o comprimento do tubo L deve igual a λ /2, ou seja λ =2L. Outros


padrões de ondas sonoras estacionárias para um tubo com as extremidades abertas estão

mostradas na figura a seguir

O segundo harmônico necessita de ondas com comprimento de onda de Lλ = , o

terceiro de 2

3Lγ = e assim sucessivamente. De um modo geral, os comprimentos de onda

para ondas sonoras estacionárias em um tubo com as extremidades abertas são dados por:

2,

L

nλ = para n = 1,2,3,...

Então, as freqüências de ressonância são dadas por:

,2n

v nvf

Lλ= = para n = 1,2,3,...

Os padrões de onda estacionárias obtidos em um tubo com apenas uma extremidade

aberta também são mostradas na figura anterior. Nota-se a existência de um nó na

extremidade fechada e um antinó na extremidade aberta. O padrão mais simples é obtido


quando / 4L λ= , ou seja, 4Lγ = . O padrão seguinte obtém-se para 3 / 4L λ= , ou

4 / 3Lλ = . De um modo geral tem-se:

4,

L

nλ = para n = 1,3,5,...

ou seja

,4n

v nvf

Lλ= = para n = 1,3,5,...

O comprimento de um instrumento musical reflete a faixa de freqüência no qual o

instrumento é projetado para funcionar.

3.7 Batimentos

A superposição de duas ondas sonoras com freqüências aproximadas resulta em um

fenômeno chamado de batimento. Nesse caso a intensidade do som varia em batimentos

lentos e trêmulos que se repetem com uma freqüência dada pela diferença das duas ondas

sonoras iniciais. A figura a seguir representa graficamente esse fenômeno.

Para se compreender melhor esse fenômeno, suponha que as duas ondas sejam

representadas pelas equações a seguir:

1 1cosmS S tω= e 2 2cos ,mS S tω=

onde 1 2ω ω> . De acordo com o princípio da superposição, a onda resultante é dada por:

1 2 1 2(cos cos )mS S S S t tω ω= + = +

como


1 1cos cos 2cos ( )cos ( ),

2 2A B A B A B+ = − +

obtemos:

1 2 1 2

1 12 cos ( ) cos ( )

2 2mS S t tω ω ω ω = − +

ou

'2 cos cosmS S t tω ω =

com

'1 2 1 2

1 1( ) ( )

2 2eω ω ω ω ω ω= − = +

Essa onda resultante possui freqüência angular de 1 2

1( )

2ω ω+ e amplitude igual a

'2 cos .mS tω

Uma amplitude máxima é obtida sempre que 'cos tω for +1 ou -1, o que acontece

duas vezes no ciclo da função cosseno. Como a freqüência angular de 'cos tω é 'ω a

freqüência do batimento é de '2batω ω= , ou seja:

'1 2 1 2

12 2 ( )

2bat xω ω ω ω ω ω= = − = −

sendo 1 22 batf f f fω π= → = −

3.8 O Efeito Doppler

O efeito Doppler proposto em 1842 pelo físico austríaco Johann Christian Doppler é

oriundo do movimento relativo entre fonte e detector de ondas sonoras, promovendo uma

alteração na freqüência original destas ondas. O efeito Doppler se aplica também para

ondas eletromagnéticas (microondas, ondas de rádio e luz visível). Vamos analisar alguns

casos.


Detector Em Movimento; Fonte Estacionária

Considere-se o caso de um detector de ondas sonoras D, se aproximando de uma

fonte S, com uma velocidade vD. A fonte S emite ondas com freqüência f e comprimento de

onda λ , e velocidade v. A freqüência captada pelo detector D é a taxa com que D

intercepta as frentes de onda.

Considerando o detector D em repouso, no tempo t as frentes de onda se movem

para a direita de uma distância vt. O número de comprimentos de onda nessa distância vt é

o número de comprimentos de onda interceptados por D no tempo t, que é /vt λ . A taxa

com que D intercepta os comprimentos de onda, que é a freqüência f detectada por D é:

/vt vf

t

λλ

= =

Nesta situação, com D e S estacionários, não há efeito Doppler. Por outro lado, para

o detector D se movendo para a esquerda com uma velocidade vD, em um tempo t, o

mesmo se move de uma distância vDt, e as frentes de ondas se movem para a direita de uma

distância vt. Então, neste tempo à distância que as frentes de onda se moveram em relação a

D é vt + vDt . O número de comprimentos de onda nesta distância relativa (vt + vDt) é o

número de frentes de onda interceptadas por D no tempo t, ou seja, (vt + vDt)/ λ . A nova

freqüência f’ , é a taxa com que D intercepta os comprimentos de onda, isto é:


( )' /D Dvt v t v v

ft

λλ

+ += =

sendo / ,v fλ = obtém-se:

'

/D Dv v v v

f fv f v

+ + = =

onde v é a velocidade do som no ar. O caso geral para o detector se aproximando ou se

afastando é dada por:

' Dv vf f

v

± =

Fonte Em Movimento; Detector Estacionário

O comprimento de onda original de uma onda sonora é modificado pelo movimento

da fonte. Considere T o intervalo de tempo entre a emissão de duas frentes de onda

sucessivas 1θ e 2θ . Durante T, a frente de onda 1θ se move de uma distância vt e a fonte se

move de um distância vst. Após transcorrido o tempo T, a frente de onda 2θ é emitida. O

comprimento de onda, desta onda corresponde à distância entre 1θ e 2θ , dado por vt – vst.

A nova freqüência detectada por D será:

''

ss s

v v v vf f

vvvt v t v vf f

λ

= = = = − − −

A fonte se propagando em sentido contrário tem-se:

'

s

vf f

v v

= +


Equação Geral Do Efeito Doppler

Quando a fonte e o detector estiverem se movendo, a freqüência detectada f’ ,será

dada por:

' D

s

v vf f

v v

±=±

onde:

'f → Freqüência detectada

f → Freqüência original

v → Velocidade do som no ar

Dv → Velocidade do detector

sv → Velocidade da fonte

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