Demonstrações do Teorema de Bell

Rodrigo Rodrigues Machado

Orientador: Carlos Eduardo Aguiar

Projeto de Conclusão de Curso

Introdução Teorema de Bell: resultado fundamental para compreensão

e interpretação da mecânica quântica.

Pouco discutido em livros-texto.

Este trabalho: revisão de três demonstrações “didáticas” do teorema de Bell com enfoques diferentes, além da demonstração original de Bell.

Demonstrações “didáticas”: Herbert (AJP, 1975), Kuttner e Rosemblum (TPT, 2010) d’Espagnat (SciAm, 1979) Peres (AJP,1978)

Concepções realista e não-realista

Posição Realista - medidas apenas nos revelam uma informação desconhecida, porém existente.

Teoria Quântica

Faz previsões estatísticas sobre o resultado de uma medida e não sobre algo pré-existente.

“Observações não somente perturbam o que está sendo medido, elas o produzem...”

Pascual Jordan

O paradoxo de EPR EPR argumentavam que a teoria quântica não era

capaz de fornecer uma descrição completa de realidade física.

Elemento de realidade física: Se, sem perturbarmos um sistema, nós pudermos prever com precisão (i.e. com a probabilidade igual a uma unidade) o valor de uma quantidade física, então existe um elemento de realidade física correspondente a esta quantidade física.

O paradoxo de EPR O experimento pensado de EPR

e Temos, por meio destas duas quantidades, que e podem ser

definidos simultaneamente.

O paradoxo de EPR Podemos preparar o sistema de modo que seu estado seja:| |

Medida de revela

Medida de revela

Como uma perturbação não pode se propagar instantaneamente

de 2 para 1, o critério de realidade EPR é satisfeito.

Einstein acreditava que uma teoria completa envolveria variáveis

ocultas, numa situação aproximadamente análoga à da

Termodinâmica e Mecânica Estatística.

O Teorema de Bell Imaginemos um sistema em repouso e com momento angular zero

que em dado instante se divide em duas partículas de spin

Medimos as componentes de spin ao longo das direções e . Podemos encontrar 2 valores spin para cima e spin para baixo .

O Teorema de Bell Chamaremos de o valor do spin da partícula 1 ao longo da direção

e o valor do spin da partícula 2 ao longo da direção - é a variável oculta que determina esses valores.

A localidade está presente no fato de que, devido à separação entre os aparelhos, o valor de não depende de e vice versa.

Podemos construir a média do produto das medições e :, com .

Pela relação , podemos reescrever a fórmula acima.

O Teorema de Bell Podemos utilizar o mesmo raciocínio para outra direção .

Subtraindo de . i.e.

, pois o produto O módulo dessa diferença obedece à desigualdade

O Teorema de Bell Como , e 1, a desigualdade acima reduz-se a

que pode ser reescrita como.

Assim chegamos a uma desigualdade de Bell Podemos agora ver o que a mecânica quântica nos diz a respeito

da desigualdade de Bell.

O Teorema de Bell O valor médio descrito pela mecânica quântica de para 2

partículas de spin no estado singleto é dado por:

Aplicando esse resultado a desigualdade acima nós temos:

Se fizermos e perpendiculares entre si e formando um ângulo de 45º com e ,

, mas,

Assim vemos que a desigualdade foi violada.

Como a desigualdade foi violada, a mecânica quântica se mostra incompatível com a teoria de variáveis ocultas locais

Ou o realismo ou a localidade devem ser abandonados.

O Teorema de Bell

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

• Experimento 1

• Podemos esperar uma similaridade nos resultados encontrados por Alice e Bob.

Experimento 2

 

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

Por exemplo, uma discrepância de 5% encontrada para um grande número de medidas

Experimento 3

Alice alinha seu polarizador com a vertical enquanto Bob rotaciona de o seu polarizador

A mesma taxa de discrepância, para um grande número de medidas, do experimento 2 é esperada, ou seja, 5%.

Experimento 4

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

O que poderíamos esperar sobre as discrepâncias no experimento 4?

Poderíamos esperar uma incompatibilidade de 10% nas medidas.

Mas esta incompatibilidade não leva em conta que um par de fótons que gerou a incompatibilidade no experimento 2 e 3, gere uma concordância no experimento 4, assim se isto ocorrer, a taxa de discrepância tem de ser menor do que 10%.

Pelo fato de não existir direção preferencial de medida, uma rotação de em sentidos opostos deve ser igual a uma única rotação de de um único só polarizador, digamos que Alice faça isso.

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

Utilizando as ideias acima podemos escrever uma desigualdade de Bell.

A desigualdade de Bell ficaria então:

A taxa de discrepância de uma rotação de é menor ou igual ao dobro da taxa de discrepância da rotação de um único polarizador de um ângulo .

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

Utilizando a Lei de Malus:

Por meio da relação acima:

A desigualdade de Bell fica:

,

para ângulos infinitesimais temos, o que é um resultado absurdo.

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

Nesta demonstração utilizaremos partículas de spin , por exemplo prótons.

Representaremos as componentes de spin de um próton nas direções A, B e C por meio de um diagrama de Venn.

Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)

, onde essa é a probabilidade do próton ter componentes de spin e .

Através da figura também podemos ver que: e

Somando com temos:

Como uma probabilidade é sempre maior ou igual a zero, temos que:

Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)

A desigualdade para o par de prótons no estado singleto fica:

O que a mecânica quântica nos diz sobre esta desigualdade?

A probabilidade de uma medida encontrar os spins “para cima” de ambos os prótons na direções e é dada por

Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)

Denotando as direções A, B e C por , , e respectivamente, a desigualdade fica :

Se, por exemplo, etemos:,

que é violada para ângulos pequenos.

Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)

Suponhamos uma bomba que se divida em 2 partes. No processo ocorre a conservação do momento angular.

Dois observadores medem: e

de modo que e só podem assumir os valores .

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978) O valor médio de e , para um grande número de

medidas, tende a zero. Podemos calcular a média do produto das medidas

.Esta média pode diferir de zero. Se, por exemplo, ,

Poderíamos pensar no que teria acontecido caso os observadores tivessem alinhado os seus detectores na direções ’ e ’. Assim, poderíamos construir a seguinte tabela

r() r() r(’) r(’)

+1 -1 ? ?

-1 -1 ? ?

+1 +1 ? ?

: : : :

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)

Partiremos da seguinte igualdade:.

O módulo do valor médio desta expressão fica:

.

Consideremos duas partículas de spin ½ no estado singleto (), de modo que os observadores medem e . Assim:

=

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)

Se fizermos , enquanto e formam um ângulo com

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)

A desigualdade de Bell fica

Fazendo

Assim vemos que para a desigualdade é violada.

Nesta demonstração fizemos suposições sobre o resultado de experimentos que poderiam ter sido feitos, mas não o foram. Ou seja, partimos da ideia que todas as coisas possuem uma realidade – estejam ou não sendo medidas.

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)

Comentários Finais

John Clauser e posteriormente Alain Aspect

confirmaram experimentalmente que a

desigualdade de Bell era violada da maneira

prevista pela Mecânica Quântica.

Assim, confirmamos que em nosso mundo não

podem coexistir Localidade e Realismo.

Fim