Demonstração

Fórmula da distância entre um ponto e uma reta:

Equipe Estude Sério!

2 2

| |ax by c

a b

A fórmula da distância ponto-reta é uma ferramenta mágica que

muitos não compreendem o quanto que ela facilita a resolução

de um exercício. Essa fórmula é consequência de diversos passos

que constituem o padrão para calcular essa distância que

poderiam ser feitos manualmente caso alguem se esqueça da

fórmula. O objetivo dessa demonstração é transformar em um

problema de distância entre dois pontos e aplicar a fórmula já

conhecida e mais facilmente demonstrada de distância entre

dois pontos.

Como dados genéricos para a demonstração, temos a reta r e o

ponto P definidos por:

: ( , )p p

r mx n y

P x y

Primeiramente, precisamos encontrar a equação geral de uma

reta perpendicular à reta r, pois a distância entre um ponto e

uma reta sempre se mede de forma perpendicular. Uma das

regras de ortogonalidade é que:

1 1

2 2

1 2 1

r s

r m x n y

s m x n y

m m

Logo, chegamos à conclusão de que a equação de uma reta s

perpendicular a reta r deve ser:

2

xs n y

m

A partir daí, temos que garantir que a reta s passe pelo ponto P.

Então podemos substituir e trabalhar com os coeficientes:

2

2

p

p

p p p

p

p p

xn y

m

x my xn y

m m

x x mys y

m

Agora, para encontrar a projeção de P na reta r e posteriormente

calcular a distância, precisamos fazer a interseção da reta r com

a reta s. Essa interseção irá definir P’, que sendo a projeção de P,

define a distância PP’ como a distância entre o ponto e a reta.

Igualando ambas as equações de reta e desenvolvendo, teremos:

2

2

2

( 1)

1

p p

p p

p p

p p

p p

x my xmx n

m

my x nmxmx

m m

my x nmm x x

m m

x m my x nm

my x nmx

m

Esse é o valor de x em P’(x,y). Para saber o y, podemos substituir

em qualquer uma das equações. Assim:

2

22 2

2 2

2

2

1

( 1)

1 ( 1)

1

p p

p p

p p

my x nm

m

m y mx nm n my

m m

m y mx

mx n y

m n

ym

y

n

Agora temos definidos os dois pontos principais da questão, o

ponto P e sua projeção P’. Agora basta aplicar a equação de

distância entre dois pontos e teremos encontrado uma

expressão geral para calcular a distância entre um ponto e

qualquer reta.

2

2 2

: ( , )

' : ( , )1 1

p p p p

p p

my x nm m y mx nP

m m

P x y

Fórmula da distância entre dois pontos: 2 2 2

1 2 1 2( ) ( )d x x y y

Substituindo com os pontos P e P’:

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

( 1) ( 1)( ) ( )

1 1

( ( )) ( )

( 1) ( 1)

( ( )) ( )

( 1)

( 1)( )

( 1)

( )

1

( )

1

|

p p p p p

p p p p

p p p p

p p

p p

p p

my xp nm x m m y mx n y md

m m

m y mx n mx y n

m m

m mx n y mx n yd

m

m mx n yd

m

mx n yd

m

mx n yd

m

d

d2

|

1

p pmx n y

m

Para facilitar a memorização da fórmula, é mais comum que seja

trabalhado com a reta no estado de equação geral (ax+by+c=0)

ao invés de usar a equação reduzida (mx+n=y). Para realizar essa

conversão, basta ver as relações entre os coeficientes nas

diferentes formas da equação:

0r ax by c

ax c by

ax cy

b b

am

b

cn

b

Usando os valores de m e n substituídos pelos coeficientes da

equação geral da reta, teremos:

2 2 2 2 2

2 2

| | | | | |

1

p p

p p p p

ax c by

ax by c ax by cbda a b a b

bb b

Esta é fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Basta

colocar a reta em questão no formato geral e efetuar a fórmula

com os valores de x e y correspondentes aos do ponto desejado.