UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA

Demodulador BPSK Completamente Digital com

Portadora Suprimida para Telecomando de

Satélites

Dissertação de Mestrado

Caio Gomes de Figueredo

FORTALEZA – CEARÁ

ABRIL 2015

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA

Demodulador BPSK Completamente Digital com

Portadora Suprimida para Telecomando de

Satélites

Autor

Caio Gomes de Figueredo

Orientador

Prof. Dr. Carlos Alexandre Rolim Fernandes

Co-orientadores

Prof. Dr. Antônio Macílio Pereira Lucena

Prof. Dr. João César Moura Mota

Dissertação apresentada à Coordenação do

Programa de Pós-graduação em Engenharia

de Teleinformática da Universidade Federal

do Ceará como parte dos requisitos para

obtenção do grau de Mestre em Engenhariade Teleinformática.

FORTALEZA – CEARÁ

ABRIL 2015

Dados Internacionais de Catalogação na PublicaçãoUniversidade Federal do Ceará

Biblioteca de Pós­Graduação em Engenharia ­ BPGE

F495d Figueredo, Caio Gomes de.Demodulador BPSK completamente digital com portadora suprimida para telecomando de satélites

/ Caio Gomes de Figueredo. – 2015.63 f. : il. color. , enc. ; 30 cm.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia, Departamento de Engenharia de Teleinformática, Programa de Pós­Graduação em Engenharia de Teleinformática, Fortaleza, 2015.

Área de concentração: Sinais e Sistemas.Orientação: Prof. Dr. Carlos Alexandre Rolim Fernandes.Coorientação: Prof. Dr. Antônio Marcílio Pereira Lucena.Coorientação: Prof. Dr. João César Moura Mota.

1. Teleinformática. 2. Conversores de frequência. I. Título.

CDD 621.38

Resumo

Este trabalho apresenta um modelo de demodulador que realiza simultaneamente a

conversão analógico-digital e a conversão em frequência por amostragem em banda

passante de um sinal com modulação BPSK (Binary Phase Shift Keying) para aplicação em

enlaces espaciais. O aspecto mais importante do trabalho foi o desenvolvimento de uma

nova operação de interpolação para recuperação das amostras perdidas na conversão de

frequência e que simplifica a implementação do demodulador. O interpolador correlaciona

as amostras do sinal de forma que torna-se necessário o projeto de um filtro ótimo apropriado

para processar as amostras corrompidas e mitigar os efeitos do ruído gaussiano e colorido. Os

efeitos deste novo interpolador no ruído são analisados, assim como a forma em que ele afeta

a performance do sistema. Após a filtragem ótima, segue a correção dos erros de sincronismo

de atraso de simbolo e de fase. Para a recuperação do sincronismo de fase foi utilizado um

DPLL (Digital Phase Locked Loop), uma variante digital de uma estrutura bastante conhecida

e utilizada em eletrônica analógica. O DPLL é uma estrutura em malha fechada que estima

e corrige os valores do desvio angular das amostras, o que corresponde ao devio provocado

pela diferença de fase entre os osciladores do transmissor e do receptor. Para a recuperação

do atraso de símbolo foi utilizada, para estimação do tempo de atraso, o estimador de

Oerder&Meyer que é o equivalente digital da conhecida recuperação de temporização em

tempo contínuo com a lei quadrática. Após a estimação ser realizada, é feita a correção

deste atraso nas amostras do sinal recebido através de uma operação de interpolação, onde

novos valores do sinal são calculados para os instantes de tempo corrigidos. Essa operação

é realizada por um filtro interpolador, uma estrutura especial conhecida como estrutura de

Farrow. O sistema proposto foi descrito matematicamente, sendo analisadas as expressões

dos sinais nos diferentes estágios do conversor, bem como as estatísticas dos sinais de ruído.

Apresentam-se os resultados da simulação computacional nos quais se avalia a perda no

desempenho do demodulador, analisando suas causas.

Palavras-chave: Demodulador BPSK, Sincronismo de Fase/Frequência e Símbolo, DPLL,

Estimador de Oerder&Meyer, Estrutura de Farrow.

Abstract

This work presents a new structure for an all-digital BPSK demodulator developed for

space communications that performs simultaneously the sampling and down-conversion

of the the intermediate frequency signal to the baseband signal. The most important aspect

of this work is the design of a new interpolator to retrieve lost samples during the down

conversion process, and also to simplify the demodulator implementation. This interpolator

correlates the samples of the output signal in such way that it was necessary to design a

optimum filter appropriate to process the samples corrupted by gaussian and colored noise.

The effects of the new interpolation at the noise are analyzed as well as the way it affects

the whole demodulator performance. After performing the optimum filtering, the phase and

symbol offsets are estimated and corrected. For the phase, for example, it was used a DPLL

(Digital Phase Locked Loop), a digital variation of the PLL, a well known structure and largely

utilized in analogical electronics. The DPLL is a closed-loop structure that estimates and

corrects the values for the angular which corresponds to the phase deviation caused by the

offset between the transmitter and receiver oscilators. For the timing parameter estimation, it

was used the Oerder&Meyer estimator that is the digital equivalent to the well known square

timing recovery structure. After that, the correction is performed by an interpolation operation

over the samples of the received signal, where a filter, named Farrow filter, is applied to

these samples, calculating the new samples of that signal at the corrected time instants.

This system is mathematically described, all the signals expressions of every stage of the

demodulator are analyzed, including the noise statistics. Some computational simulation

results are shown and the performance degradation is discussed.

Key-words: BPSK demodulator, Frequency/Phase and Timing Synchronization, DPLL,

Oerder&Meyer estimator, Farrow structure.

Agradecimentos

Com grande prazer dedico esta página para expressar a minha gratidão para com todos

aqueles que me acompanharam durante a minha trajetória no mestrado e também me

ajudaram na realização desta dissertação.

A Deus, acima de tudo, por todas as conquistas.

Aos meus pais, por terem me dado condições de estudar e crescer profissionalmente e

socialmente, além do amor e apoio por toda a vida.

A minha namorada, por todo amor, carinho e apoio durante toda a jornada do mestrado.

Aos meus orientadores, pela orientação e ajuda, fundamentais para a realização deste

trabalho.

Lista de Siglas

Siglas

A/D-BP/BB Conversor Analógico/Digital e Banda Passante/Banda Base

AWGN Additive White Gaussian Noise

BER Bit Error Rate

BPSK Binary Phase Shift Keying

CCSDS Consultative Committee for Space Data Systems

DA Data-Aided

DD Decision-Directed

DFT Discrete Fourier Transform

DPLL Digital Phase Locked Loop

FI Frequência Intermediária

FIR Finite Impulse Response

INPE Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais

ISI Intersymbol Interference

LNA Low Noise Amplifier

LO Local Oscilator

LOC Sinais de Localização

ML Maximum Likelihood

NDA Non Data-Aided

NCO Numerical Controller Oscilator

PCM-NRZ-L Pulse Code Modulation/Non-Return-to-Zero-Level

PM Phase Modulation

RF Radio Frequência

SHF Super High Frequency

TEC Total Electron Content

TTC Tracking, Telemetry and Command Stations

VHF Very High Frequency

VCO Voltage Controller Oscilator

iv

Sumário

Lista de Siglas iv

Lista de Figuras vii

1 Introdução 1

1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Descrição do Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Produção Científica e Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Estrutura da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Modelo do Sistema 5

2.1 Modelo do Canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Modelo do Demodulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Pré-processamento Analógico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Demodulador Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Conversor Banda Passante/Banda Base 13

3.1 Amostragem em Banda Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Primeira Técnica de Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1 Análise do Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Segunda Técnica de Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Análise do Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Filtragem Ótima 21

4.1 Projeto do Filtro Referente ao Primeiro Interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Análise de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Projeto do Filtro Referente ao Segundo Interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2.1 Análise de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Sincronismo de Símbolo 26

5.1 Estimador de Oerder&Meyr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2 Correção da Temporização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.3 Cálculo dos Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4 Estrutura de Farrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.5 Análise da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

v

6 Digital Phase Locked Loop 36

6.1 Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2 Estabilidade e Tempo de Aquisição do PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.3 Análise da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Resultados 41

7.1 Desempenho dos Interpoladores e Filtros Ótimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2 Tamanho da Janela de Sìmbolos do Estimador de Oerder&Meyr . . . . . . . . . . 42

7.3 Taxa de Erro de Bits do Demodulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.4 Constelação de Símbolos e Diagrama de Olho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.5 Variância dos Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.6 Tempo de Aquisição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8 Conclusão e Perspectivas 50

Referências Bibliográficas 52

vi

Lista de Figuras

1.1 Sistema de Comunicação via Satélite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Canal de Comunicação Espacial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Regiões de Cintilação Atmosférica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Modelo do Receptor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Espectro de Potência do Pulso em Banda Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Modelo do Demodulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Modelo do Conversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.1 Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo. . . . 27

5.2 Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo. . . . 28

5.3 Ilustração dos instantes de amostragem e interpolação. . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.4 Função dente-de-serra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.5 Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo. . . . 32

5.6 Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo. . . . 33

6.1 Estrutura do DPLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2 Modelo Equivalente do DPLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3 Modelo Linear do DPLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.4 Pólo do PLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.5 Resposta do PLL ao Degrau Unitário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.6 Medição da Curva-S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.1 Densidade Espectral de Potência de v2[n]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.2 Comparação da Taxa de Erro de Bits dos Conversores. . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.3 Influência do Tamanho da Janela de Símbolos no Desempenho do Sistema. . . . 43

7.4 Taxa de Erro de Bits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.5 Constelação na Entrada do DPLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.6 Constelação na Saída do DPLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.7 Diagrama de Olho na Entrada do Sincronizador de Símbolo. . . . . . . . . . . . . 46

7.8 Diagrama de Olho na Saída do Sincronizador de Símbolo. . . . . . . . . . . . . . . 46

7.9 Variância da Estimativa de Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.10Variância da Estimativa do Atraso de Símbolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.11Tempo de Aquisição da Estimativa de Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.12Tempo de Aquisição da Estimativa de Atraso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

vii

Capítulo 1Introdução

1.1 Motivação

Sistemas de comunicação por satélite são o resultado de intensas pesquisas nas áreas

de telecomunicação e tecnologia espacial, cujos objetivos são atingir maiores coberturas e

capacidades de transmissão a um custo cada vez menor. Durante a Segunda Guerra Mundial,

houve um grande estímulo à expansão de duas tecnologias bastante distintas: propulsão a

jato e comunicações por micro-ondas. O conhecimento adquirido no uso combinado destas

duas técnicas favoreceu o início da era das comunicações por satélite.

Podemos dividir um sistema de comunicação por satélite em três partes distintas [1],

conforme ilustrado na Figura 1.1:

i. Segmento espacial: contem um ou mais satélites ativos organizados em uma constelação.

ii. Segmento de controle: consiste em todas as estações terrestres cujo objetivo é o controle

e monitoramento dos satélites, também conhecidas pelo termo em inglês Tracking,

Telemetry and Command Stations (TTC).

iii. Segmento de solo: consiste em todas as estações de comunicação em solo como

celulares, antenas de rádio e TV, etc.

Podemos subdividir os componentes de um satélite em duas partes: a carga útil e

a plataforma. A carga útil é composta pelas antenas de recepção e transmissão e todo

equipamento eletrônico embarcado que dá suporte à transmissão dos sinais em diferentes

faixas de frequência (transponders). A plataforma, por sua vez, consiste em todos os

subsistemas que permitem o funcionamento da carga útil do satélite. Abaixo, enumeramos

estes subsistemas e suas respectivas funções:

i. Controle de atitude: controlar o apontamento do satélite no espaço.

ii. Suprimento de energia: fornecer a energia necessária aos diversos subsistemas.

iii. Telecomunicação de serviço: enviar e receber os dados que permitem o acompanhamento

do funcionamento e comando do satélite.

iv. Gestão de bordo: processar as informações recebidas da ou a serem enviadas para a

Terra e as informações internas ao satélite.

v. Estrutura e mecanismos: fornecer o suporte mecânico e de movimento para as partes

do satélite. Também oferecer proteção contra as vibrações de lançamento e contra a

radiação em órbita.

1.1. Motivação 2

Figura 1.1: Sistema de Comunicação via Satélite.

vi. Controle térmico: manter os equipamentos em suas faixas nominais de temperatura.

vii. Propulsão: fornecer o empuxo necessário para o controle de atitude e da órbita.

O trabalho desenvolvido aqui nesta dissertação concerne ao subsistema de

telecomunicação de serviço, o qual possui importância vital no monitoramento e controle

de um satélite. Ele é responsável pelas funções de telecomando (envio de sinais de controle)

e telemetria (transmissão de resultados de medidas e informações sobre o equipamento e

medições da posição e velocidade do satélite).

Atualmente no Brasil, os satélites utilizados na área de pesquisas espaciais e exploração da

Terra operam com canais de telecomando de baixa velocidade. As mensagens de telecomando

são padrões digitais Pulse Code Modulation/Non-Return-to-Zero-Level (PCM-NRZ-L) (2 kbits/s),

gerados pela estação de controle na Terra, as quais modulam uma subportadora senoidal

de 8 kHz por chaveamento binário de fase, em inglês Binary Phase Shift Keying (BPSK).

Esta subportadora e os Sinais de Localização (LOC), usados para determinar a distância e a

velocidade do satélite, modulam a portadora (2033,2 MHz) em fase (Phase Modulation (PM)) [2].

O Consultative Committee for Space Data Systems (CCSDS), entidade que visa potencializar

a cooperação entre as agências espaciais, nos últimos anos vem recomendando uma

modificação nos padrões de comunicação para os canais de telecomando e telemetria [3].

1.2. Descrição do Projeto 3

No caso do canal de telecomando para missões em que a altura for menor que 2 x 106

km (Categoria A) e para altas taxas de transmissão de até 2048 Mb/s, o CCSDS sugere

a modulação BPSK direta da portadora pelo sinal de banda base formatado por um pulso

retangular.

Como o Brasil não dispõe ou domina plenamente essa tecnologia destinada à comunicação

espacial, este trabalho propõe o desenvolvimento de um demodulador BPSK, para o canal

de telecomando de alta velocidade (1 Mb/s), a ser aplicado em futuros satélites do Instituto

Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE). Todo o processamento realizado pelo demodulador

é digital, desde a conversão banda passante para banda base, passando por todos blocos

de recuperação de sincronismo, até a deteção de símbolos. Essa abordagem reduz a

complexidade do sistema, pois dispensa o uso de conversores analógicos de frequência, os

quais estão frequentemente sujeitos a imperfeições.

1.2 Descrição do Projeto

O demodulador descrito neste trabalho é constituído de quatro blocos principais,

projetados separadamentes. São eles, em ordem de processamento:

i. Conversor Analógico/Digital e Banda Passante/Banda Base (A/D-BP/BB): Neste bloco,

o sinal analógico recém filtrado pelo filtro de Frequência Intermediária (FI) é amostrado

simultaneamente à conversão de banda passante para banda base. Logo após, realiza-se

uma operação de interpolação a fim de recuperar amostras que são perdidas neste

processo.

ii. Filtro Ótimo: Após a saída do interpolador, o sinal é filtrado por um filtro ótimo projetado

especificamente para mitigar os efeitos do ruído colorido resultante da operação de

interpolação.

iii. Sincronismo de Símbolo: Aqui a estimativa do atraso de símbolo é realizada por um

estimador de Oerder&Meyr, variante digital do conhecido estimador quadrático, sendo

logo após utilizada para a correção da temporização feita através de uma combinação de

filtros de resposta o impulso finita, em inglês Finite Impulse Response (FIR), conhecido

como estrutura de Farrow.

iv. Digital Phase Locked Loop (DPLL): Este último bloco é um PLL completamente digital

de primeira ordem para a correção do desvio de fase, ajuste fino do sincronismo de

frequência e detecção dos símbolos.

As análises matemáticas detalhadas de cada bloco constituinte do sistema serão feitas nos

capítulos subsequentes de acordo com a ordem aqui apresentada.

1.3 Produção Científica e Contribuições

Este trabalho resultou na aceitação para publicação do artigo “New Interpolator and

Data Detector for Full Digital BPSK Demodulator” [4], nos anais do 2014 International

Telecommunications Symposium (ITS), realizado nos dias 17 a 20 de agosto de 2014, em São

Paulo, SP.

1.4 Estrutura da Dissertação

O presente trabalho está dividido da seguinte forma:

I Capítulo 2: Este capítulo apresenta uma visão geral de um sistema de comunicação

espacial. Dividido em duas partes principais, a primeira trata do canal de comunicação

1.4. Estrutura da Dissertação 4

espacial e os efeitos da atmosfera terrestre sobre a propagação de uma onda

eletromagnética. Na segunda parte, o processamento no receptor é descrito, sendo este

dividido em duas fases: o pré-processamento analógico e o demodulador digital.

I Capítulo 3: Este capítulo apresenta a análise matemática da amostragem em banda

passante e da conversão banda passante para banda base que, como dito anteriormente,

ocorre simultaneamente à amostragem. Logo após, duas opções de interpolação são

apresentadas e, em seguida, a análise do efeito que cada uma delas tem no ruído é feita.

I Capítulo 4: Com base na análise do ruído e das equações dos sinais amostrados e em

banda base, obtidas no capítulo anterior, o filtro ótimo para cada tipo específico de ruído,

resultante das duas interpolações, é descrito. Segue-se a isto a análise de performance

da filtragem utilizada.

I Capítulo 5: Neste capítulo a análise do sincronismo de símbolo é realizada.

Primeiramente, a operação do estimador utilizado para a obtenção do atraso é descrita,

seguido da apresentação do algoritmo para o cálculo dos parâmetros, obtidos a partir

da estimativa de atraso, utilizados para controlar a estrutura que efetua a correção

propriamente dita. Esta estrutura também tem seu funcionamento descrito e o capítulo

finaliza com a análise da variância de estimação da fase.

I Capítulo 6: Aqui a operação do DPLL é apresentada, bem como as análises de tempo de

aquisição, estabilidade e variância do estimador.

I Capítulo 7: Neste capítulo são apresentados os parâmetros utilizados e os resultados

da simulação computacional. Estes últimos são: taxa de erro de bits, variância dos

estimadores de fase e símbolo e seus respectivos tempos de aquisição.

I Capítulo 8: Finalmente, as conclusões sobre o trabalho são apresentadas e, a partir dos

resultados obtidos, as perspectivas futuras são discutidas.

Capítulo 2Modelo do Sistema

2.1 Modelo do Canal

Um sistema de comunicação pode ser dividido em três partes principais: o transmissor,

o canal de comunicação e o receptor. No modelo que utilizamos neste trabalho considera-se

que o transmissor é uma estação de controle terrestre, o canal de comunicação é composto

pela atmosfera terrestre, onde consideramos relevantes os efeitos Doppler e a adição de ruído

branco gaussiano, e o receptor é embarcado em um veículo espacial em órbita baixa, na

qual funciona o demodulador proposto. A Figura 2.1 mostra o diagrama do sistema de

comunicação aqui estudado.

Figura 2.1: Canal de Comunicação Espacial.

O efeito da atmosfera terrestre sobre a propagação de ondas eletromagnéticas entre a terra

e o espaço é uma preocupação constante no projeto de sistemas de comunicação espaciais.

Esses efeitos podem causar variações indesejáveis na amplitude, na fase e na polarização

do sinal, o que resulta na redução da qualidade do enlace radioelétrico com o consequente

crescimento da taxa de erro de bits. A relevância desses fenômenos depende da frequência

de operação, do clima, da geografia local, do tipo de transmissão e do ângulo de elevação do

satélite.

A frequência de operação é o fator determinante nas imperfeições introduzidas pela

atmosfera terrestre nos sistemas de comunicação espacial. Dependendo da aplicação para

qual foram projetados, estes sistemas exploram bandas de frequência que variam desde a

2.1. Modelo do Canal 6

faixa Very High Frequency (VHF), em torno de 140 MHz, a Super High Frequency (SHF),

atingindo até 30 GHz (banda Ku) [1]. Para essas faixas de frequências, duas regiões da

atmosfera têm uma grande influência sobre o sinal eletromagnético: a troposfera e a ionosfera.

A troposfera se estende da superfície terrestre até uma altitude de 15 km e a ionosfera situa-se

entre 70 e 1000 km. A influência destas regiões sobre o sinal eletromagnético é máxima

nas proximidades do solo, para a troposfera, e a uma altitude em torno de 400 km, para a

ionosfera.

Alguns dos efeitos predominantes da troposfera são aqueles causados pela absorção e

despolarização devido à precipitação (chuva e neve). Esses efeitos são particularmente

significantes para frequências maiores que 10 GHz. Para canais de telemetria e telecomando,

no entanto, cuja faixa de operação situa-se abaixo desta frequência, estes fenômenos

troposféricos são de pequena importância.

A ionosfera reflete, refrata ou absorve as ondas eletromagnéticas com frequências abaixo

de 30 MHz, impossibilitando a comunicação espacial nessa faixa. À medida que se aumenta

a frequência, os efeitos da ionosfera perdem intensidade, e acima de 3 GHz a ionosfera é

praticamente transparente para a comunicação espacial. Essa clareza ionosférica se mantém

até as frequências nas quais os gases constituintes da troposfera, basicamente o oxigênio e o

vapor de água, absorvem a energia do sinal eletromagnético [5].

A ionização e as irregularidades da ionosfera são as causas da degradação dos sinais na

faixa de frequência de 30 MHz a 3 GHz. Rotação de polarização, atraso de grupo, dispersão,

desvio Doppler de frequência, mudança da direção da chegada do sinal e absorção são as

degradações relacionadas a efeitos sob a influência da ionização, nos quais estão associados

ao conteúdo total de elétrons encontrados no percurso do sinal (do inglês Total Electron

Content (TEC)). De outro lado, o principal efeito atribuído às irregularidades ionosféricas é a

cintilação, a qual provoca rápidas flutuações na amplitude e fase do sinal recebido, causadas

por irregularidades de pequena escala no percurso.

Mais especificamente, cintilação é a variação da amplitude da portadora causada pelas

variações do índice de refração da ionosfera, o qual depende diretamente da frequência e do

TEC. A amplitude pico-a-pico dessas variações, na banda Ku a latitudes médias, pode exceder

1 dB para 0,01% do tempo. A cintilação ionosférica é mais severa nas regiões equatoriais e

polares, e nos períodos do nascer e do pôr do sol, como pode ser observado na Figura 2.2.

Nesta figura, são mostradas as áreas de incidência de cintilação na banda L (1 – 2 GHz) para

períodos de máxima e de mínima atividade solar, bem como o efeito diurno da cintilação. As

zonas mais intensas ocorrem por volta de meia-noite nas regiões equatoriais. Contudo as

regiões temperadas, que abrangem grande parte do território brasileiro, não são afetadas por

esse efeito.

A imperfeição do canal mais significativa e considerada neste estudo sobre comunicação

espacial é a dispersão da faixa de frequência do sinal provocada pelo efeito Doppler, o qual é

devido à velocidade relativa entre o transmissor e o receptor. No que diz respeito à frequência

da portadora, seu desvio de frequência pode ser calculado pela expressão:

fDoppler =v cos θ

cfc (2.1)

em que v é velocidade relativa entre o satélite e o solo, θ é o ângulo entre o vetor velocidade

e a reta que une o satélite à estação base, c é a velocidade da luz e fc é a frequência da

portadora. Em satélites de órbita baixa, em que as velocidades podem chegar a 28.000 km/h,

pela Equação (2.1), encontra-se que o desvio Doppler alcança valores na faixa de -150 kHz à

2.2. Modelo do Demodulador 7

Figura 2.2: Regiões de Cintilação Atmosférica.

150 kHz em sistemas cuja frequência da portadora é fc = 8 GHz [3].

A não linearidade do receptor é outra imperfeição relevante do canal espacial. Devido

às limitações de recursos energéticos em um satélite, para aumentar a sua eficiência,

o amplificador de potência do receptor opera próximo da região de saturação. Essa

característica pode distorcer o sinal, e dentre outros efeitos, levar ao reforço dos lóbulos

laterais do espectro de frequências do sinal. Entretanto, o demodulador em estudo

destina-se a satélites de órbita baixa, cuja potência necessária para transmissão no canal

de telecomando permite o uso de amplificadores de potência na faixa linear. Portanto, neste

trabalho, não se considera qualquer não linearidade na modelagem do canal.

2.2 Modelo do Demodulador

Começaremos a descrever agora, em linhas gerais, os blocos que constituem um

receptor clássico para comunicações espaciais, especificando em seguida, as funcionalidades

implementadas no nosso demodulador. Nosso objetivo aqui é conceder ao leitor um panorama

de todo processamento que é realizado, desde a recepção do sinal, pela antena, até a detecção

dos símbolos transmitidos, no último estágio de processamento do demodulador, de forma

que ao final desta seção tenhamos uma visão geral desta cadeia de operações efetuadas sobre

o sinal recebido e que será aprofundada nos capítulos subsequentes deste trabalho.

Podemos dividir esta cadeia de processamento em duas etapas distintas: a primeira,

um pré-processamento analógico, que consiste basicamente de operações de amplificação

e filtragem analógica do sinal recebido; a segunda, completamente digital, realiza-se no

demodulador e é exatamente a etapa a que concerne este trabalho e que realmente

nos interessa. É importante ressaltar, antes de entrarmos nas análises em si, que

existem outras arquiteturas possíveis para este tipo de sistema, dependendo da proporção

entre processamento analógico e digital [6]. As arquiteturas mais antigas possuem um

processamento completamente analógico; a conversão para o digital só é realizada após a

detecção dos símbolos. No nosso caso, o demodulador é completamente digital, porém,

conforme mencionado acima, ainda há algum tratamento analógico a ser realizado antes que

o sinal chegue ao demodulador, e é deste pré-processamento que começaremos a tratar agora.

2.2. Modelo do Demodulador 8

Figura 2.3: Modelo do Receptor.

2.2.1 Pré-processamento Analógico

Observando a Figura 2.3, que mostra o diagrama de blocos do receptor, vemos que o

primeiro estágio de processamento logo após o sinal passar pelo amplificador de baixo ruído

(em inglês Low Noise Amplifier (LNA)) é a correção do desvio de frequência, em consequência

do efeito Doppler, através da multiplicação do sinal amplificado por uma senóide gerada

por um PLL [7]. Simultaneamente, ocorre a conversão de Radio Frequência (RF) para FI;

especificamente neste caso, a frequência de FI (fFI ) é igual a 70 MHz. O PLL, através de um

sinal de referência de um oscilador local (em inglês Local Oscilator (LO)) gera o batimento que

realiza essa conversão; logo em seguida o sinal é entregue a um filtro, centrado em fFI , cuja

resposta em frequência é considerada ideal e descrita pela equação:

HFI(f) =

1, se |f − fFI | ≤W,0, se |f − fFI | > W,

(2.2)

onde W é a largura de banda do sinal em banda base, neste caso igual a 10 MHz e o valor

escolhido para a largura de banda do filtro será 20 MHz.

O sinal s(t), na saída do filtro de FI, pode ser modelado pela seguinte equação:

s(t) = A(t) cos[2π(fFI + fd)t+ ϕ] + w(t), (2.3)

onde o sinal de banda base A(t) é dado por

A(t) =∑i

aigT (t− iT − εT ), (2.4)

ai são o símbolos BPSK transmitidos, T é o período de símbolo, fd, ϕ e ε são, respectivamente,

o erro residual de frequência decorrente da imprecisão do oscilador analógico, o erro de fase

e o atraso de símbolo e gT (t) é o pulso de banda base, neste caso uma janela retangular,

definida da seguinte forma:

gT (t) =

√TsTrect(

t− T/2T

), (2.5)

rect(t/T ) =

1, se |t| ≤ T

2 ,

0, se |t| > T2 ,

onde Ts é o período em que a onda será amostrada. O ruído de banda estreita w(t) possui a

2.2. Modelo do Demodulador 9

Figura 2.4: Espectro de Potência do Pulso em Banda Base.

seguinte densidade espectral de potência:

Sw(f) =

No/2, se |f − fFI | ≤W,

0, se |f − fFI | > W.(2.6)

Conforme mencionado acima, o pulso de banda base é uma janela retangular, o que nos

obriga a fazer algumas considerações a respeito. Como bem sabemos, e conforme pode

ser visualizado na Figura 2.4, este tipo de pulso possui uma representação no domínio

da frequência que se estende infinitamente e cujas amplitudes dos lóbulos laterais são

bem maiores que as apresentadas por outros tipos de pulsos mais comumente utilizados,

como o cosseno levantado [8]. Isso significa que pulsos desta natureza podem causar

interferências em canais de comunicação adjacentes; um problema que é resolvido realizando

uma filtragem no transmissor que mantém o sinal dentro de uma faixa de frequência segura

pré-determinada.

Se o problema da interferência em canais adjacentes é resolvido com uma filtragem no

transmissor, temos agora um novo questionamento: o ato da filtragem, tanto a realizada

no transmissor antes do envio do sinal quanto a filtragem em FI no receptor, elimina uma

parte do conteúdo de frequência do sinal, cuja consequência no domínio do tempo será a de

prolongar o pulso, podendo resultar em interferência intersimbólica. Porém, observa-se que

as larguras de banda dos filtros utilizados, especialmente a do filtro de FI que é 2W = 20 MHz,

são suficientemente grandes a fim de não provocarem distorções significativas no sinal.

Conforme mencionado acima, devido à imprecisão dos osciladores analógicos, o desvio de

frequência não é completamente corrigido no processo de conversão para FI. No entanto,

2.2. Modelo do Demodulador 10

Figura 2.5: Modelo do Demodulador.

à

esse erro residual é muito pequeno, da ordem de 7 Hz, e será facilmente corrigido quando

tratarmos do erro de fase.

2.2.2 Demodulador Digital

Seguindo a conversão de RF para FI e filtragem analógica em FI, temos a conversão

de frequência para banda base. Normalmente em demoduladores digitais ela é realizada

através de dispositivos analógicos, para logo em seguida, efetuar-se a discretização dos

sinais convertidos. Esse arranjo possibilita a utilização de dispositivos digitais mais simples

devido à taxa de operação reduzida, mas por outro lado, está sujeita a eventuais imperfeições

decorrentes do uso de dispositivos analógicos na conversão de frequência sem a recuperação

de sincronismo nesse estágio.

No demodulador proposto, a operação de amostragem do sinal recebido é realizada no

conversor A/D-BP/BB logo após a filtragem em FI, de forma que a conversão da frequência

intermediária para banda base ocorra simultaneamente a este processo [9]. Isto é alcançado

amostrando-se o sinal recebido através da multiplicação por uma sequência de pulsos

específica e a uma taxa inferior a da frequência da onda portadora [10]; as amostras

resultantes desta operação estão dispersas de tal forma que o sinal discretizado já encontra-se

convertido para banda base. Esta configuração dispensa o uso de componentes analógicos

como o oscilador controlado por tensão (em inglês Voltage Controller Oscilator (VCO)) e o

misturador, além de possuir uma estrutura simplificada por técnicas de processamento digital

de sinais.

A amostragem realizada em FI descrita acima apresenta um inconveniente: como o

período de amostragem, como veremos em detalhes no Capítulo 3, é múltiplo de k π2 , o sinal

será amostrado em instantes de tempo em que sua amplitude é nula. Em consequência,

metade de suas amostras serão nulas, resultando em uma enorme queda de desempenho

do demodulador. Este problema foi resolvido através de uma operação de interpolação sobre

estas amostras; neste trabalho apresentaremos duas opções de interpolador a ser utilizado.

As interpolações usadas para corrigir o problema da perda das amostras são operações

não-lineares. Através da análise da função de autocorrelação do ruído veremos que umas

das opções apresentadas colore o ruído e, portanto, necessita de uma filtragem específica

para mitigar seus efeitos sobre o sinal recebido. No Capítulo 4, utilizando as informações que

obtemos no Capítulo 3 sobre a autocorrelação do ruído, faremos o projeto do filtro ótimo para

cada tipo de ruído resultante de cada interpolador.

Ao sair do filtro ótimo, o sinal recebido passará pelo bloco responsável pela recuperação do

atraso de símbolo. Devido a um atraso entre os relógios do transmissor e do receptor, a i-ésima

amostra do sinal chega no receptor em um instante de tempo t = kT + εT , relembrando que ε é

2.2. Modelo do Demodulador 11

o atraso de símbolo e T é o período de símbolo. Em um receptor analógico a solução para este

problema é o controle do instante de amostragem do sinal recebido, ou seja, o processo de

amostragem deve ser sincronizado com a temporização do símbolo. Uma modificação dessa

solução seria obter a informação da temporização do símbolo das amostras no receptor e

controlar o instante de amostragem, obtendo assim, uma solução híbrida para o problema do

sincronismo.

No nosso caso completamente digital, só existem amostras em instantes de tempo

múltiplos do período de amostragem Ts, diferente da taxa de símbolos 1T . As amostras sem o

atraso de símbolo devem ser obtidas então a partir de um algoritmo operando apenas sobre

o sinal amostrado a cada instante de tempo kTs. Temos aqui dois problemas a solucionar:

como, a partir do sinal proveniente do filtro ótimo sC [n], identificar o instante ótimo em que

a energia do símbolo é maximizada e, com esse resultado em mãos, como calcular o valor do

sinal recebido nestes instantes.

Lembrando que precisamos ter amostras no instante de tempo t = kT + εT , escrevemos:

kT + εT = Ts[kT

Ts+ ε

T

Ts], (2.7)

que pode ser reescrita da seguinte forma:

[kT

Ts+ ε

T

Ts] = int(k

T

Ts+ ε

T

Ts) + µkTs = lkTs + µkTs, (2.8)

onde int(.) significa o maior inteiro imediatamente menor ou igual ao número real no

argumento e, portanto, lkTs representa a parte inteira do instante de amostragem e µkTs

representa a parte fracionária. De posse destas equações, podemos dividir o processo da

recuperação do sincronismo de símbolo em duas partes: a estimação do atraso, onde o tempo

de atraso ε é estimado e os parâmetros (lk, µk) são calculados a partir dele e a correção do

atraso, onde a partir das amostras sC [n] é obtido um conjunto de novas amostras, através de

um processo de interpolação que será detalhado posteriormente [11].

Finalmente chegamos à última etapa do processamento do sinal recebido, a recuperação

do sincronismo de fase e detecção dos símbolos. Existem inúmeras técnicas na literatura

para a realização do sincronismo e para detecção dos dados, porém escolhemos utilizar

um Phase-Locked Loop (PLL). O PLL é encontrado em incontáveis aplicações na área de

telecomunicações, as quais envolvem modulação, síntese de frequências e especialmente

nosso problema, o da sincronização em sistemas analógicos e digitais. Devido à sua vasta

utilização, é possível encontrá-lo em forma de circuitos integrados, onde alguns poucos

componentes externos precisam ser adicionados.

Neste trabalho, utilizamos uma variante digital do PLL, o DPLL, conhecido também como

Costas Loop digital. O DPLL é basicamente constituído por: um comparador de fase, um filtro

passa-baixa também conhecido como filtro de loop e um oscilador númerico controlado por

tensão (em inglês Numerical Controller Oscilator (NCO)). O comparador de fase proporciona

uma saída proporcional à diferença de fase entre a onda de entrada e a onda de saída do

NCO; para isto usa a estimativa do símbolo transmitido que será a saída do DPLL. Esta saída

é suavizada e limitada em banda por um filtro de loop, amplificada e realimentada ao controle

do NCO. Quando o circuito encontra-se estabilizado, as variações de fase da forma de onda de

entrada serão seguidas pela forma de onda da saída, mesmo quando a entrada é perturbada

por ruído ou tremor de fase. Assim, o DPLL é basicamente um filtro rastreador, capaz de

gerar uma versão mais “limpa” do sinal aplicado na entrada como o PLL analógico, mas com

2.2. Modelo do Demodulador 12

a diferença de realizar a detecção dos símbolos paralelamente à correção do erro de fase.

Nos próximos capítulos detalharemos cada etapa descrita acima, fazendo uma análise

matemática de cada um desses blocos que compõem a estrutura do demodulador digital

proposto.

Capítulo 3Conversor Banda Passante/Banda

Base

Neste ponto do trabalho, faremos a análise matemática detalhada do conversor utilizado no

demodulador. Durante o decorrer do projeto foram desenvolvidas e testadas duas arquiteturas

diferentes, as quais realizam as mesmas três operações fundamentais no sinal recebido; são

elas: a amostragem, conversão para banda base e a interpolação das amostras em cada

componente de fase e quadratura do sinal.

A diferença entre as duas arquiteturas está na operação de interpolação das amostras

e, por este motivo, serão analisadas separadamente. Para cada técnica de interpolação,

descreveremos o funcionamento do algoritmo utilizado e, em seguida, faremos a análise das

estatísticas do ruído. Mais especificamente, faremos uma análise da função de autocorrelação

do ruído, a qual será utilizada no capítulo seguinte para o projeto do filtro ótimo.

Prosseguiremos nas próximas seções com o estudo de cada uma das etapas de

processamento mencionadas acima. Começando pela amostragem do sinal e pela conversão

de FI para banda base, depois será tratado cada interpolador separadamente, o que inclui

a análise do ruído na saída de cada um deles. Toda análise será feita determinando-se as

expressões para os sinais e os diagramas de bloco de cada componente do conversor para, ao

final, obtermos a função de autocorrelação para o ruído.

3.1 Amostragem em Banda Passante

Como dito anteriormente, a primeira operação no conversor é a amostragem, que será

realizada enquanto o sinal se encontra ainda no estágio de FI, onde a frequência da portadora

será igual a fFI = 70 MHz. Essa técnica de amostragem permite que, simultaneamente,

ocorra a conversão de banda passante para banda base, através da multiplicação do sinal s(t)

por uma sequência de impulsos ponderados por valores pré-determinados. Neste trabalho,

porém, apenas para fins de análise, consideraremos amostragem e conversão BP/BB como

duas operações separadas.

A frequência de amostragem deve ser maior que a taxa de Nyquist, caso contrário haverá

ocorrência de aliasing. No entanto, neste caso, a largura de banda do sinal recebido s(t)

é muito menor que a frequência da portadora, logo a influência do aliasing é reduzida,

possibilitando que taxas menores que a de Nyquist sejam utilizadas desde que algumas

condições sejam satisfeitas. A relação entre a largura de banda do sinal recebido e a taxa

de amostragem, se definirmos a frequência de amostragem como fs, a frequência mais alta do

3.1. Amostragem em Banda Passante 14

espectro positivo do sinal como fu e a mais baixa como fl, é dada pela seguinte fórmula [6,12]:

2fuq≤ fs ≤

2flq − 1

, (3.1)

onde q é um inteiro satisfazendo a seguinte condição:

1 ≤ q ≤ int( fufu − fl

). (3.2)

O sinal amostrado s[n] pode ser escrito da seguinte forma:

s[n] = <A[n]ej[2π(fFI+fdfs

)n+ϕ]+ w[n], (3.3)

onde A[n] e w[n] são versões discretas dos sinais A(t) e w(t). Neste trabalho, demos preferência

a usar uma variante mais específica da equação (3.1), onde fs = 4fFI2K+1 , K ∈ N. A onda

senoidal será amostrada de tal forma que os valores serão tomados a cada kπ2 , ou seja, caso

pudéssemos visualizar apenas a portadora amostrada não-modulada, obteríamos a sequência

0, 1, 0,−1, 0, .... Após substituirmos a equação anterior da taxa de amostragem em (3.3) e

lembrando que ωd = 2πfdTs, o sinal sn[n] fica:

s[n] = <A[n]ej(ωdn+ϕ)ej(Kπ+π2 )n+ w[n]. (3.4)

No nosso caso específico temos K = 3 e consequentemente fs = 40 MHz. Substituindo esses

valores na equação acima, teremos:

s[n] = <A[n]ej(ωdn+ϕ)ej(7π2 )n+ w[n]. (3.5)

Reescrevendo em termos da função cosseno:

s[n] = A[n] cos[(7π

2+ ωd)n+ ϕ] + w[n]. (3.6)

Figura 3.1: Modelo do Conversor.

Observando a Figura 3.1, vemos a sequência de operações realizadas no conversor. Após

a amostragem, é realizada a conversão de banda passante para banda base através da

multiplicação do sinal s[n] pela sequência p[n] = 1, 1,−1,−1, .... Esta operação em tempo

discreto equivale, em sistemas analógicos, à demodulação coerente realizada através do

3.1. Amostragem em Banda Passante 15

produto do sinal recebido por duas ondas portadoras locais (um seno e um cosseno) na mesma

frequência da portadora do sinal, cujo resultado são as componentes em fase e quadratura

deste. Esta sequência pode ser modelada matematicamente como:

p[n] = cos(7πn

2)− sin(

7πn

2).

Procedendo com a análise, escrevemos o sinal em banda base sA[n] da seguinte forma:

sA[n] = s[n] · p[n]

= A[n] cos[(7π

2+ ωd)n+ ϕ] + w[n] · cos

7π

2n− sin

7π

2n

= A[n] cos[(7π

2+ ωd)n+ ϕ] cos(

7πn

2)−A[n] cos[(

7π

2+ ωd)n+ ϕ] sin(

7πn

2) + z[n], (3.7)

onde z[n] é o processo aleatório resultante da multiplicação de w[n] por p[n]. Utilizando as

identidades trigonométricas de produto entre cossenos e senos, desenvolvemos a expressão

do sinal sA[n]:

sA[n] =A[n]

2cos(ωdn+ 7πn+ ϕ) + cos(ωdn+ ϕ) − A[n]

2sin(ωdn+ 7πn+ ϕ)− sin(ωdn+ ϕ)+ z[n]

=A[n]

2cos(ωdn+ ϕ) cos 7πn− sin(ωdn+ ϕ) sin 7πn+ cos(ωdn+ ϕ)

− A[n]

2sin(ωdn+ ϕ) cos 7πn+ cos(ωdn+ ϕ) sin 7πn− sin(ωdn+ ϕ)+ z[n].

Como sin 7πn = 0 e cos 7πn = cosπn, reorganizando a expressão:

sA[n] =A[n]

2cos(ωdn+ ϕ)(cos 7πn+ 1)− sin(ωdn+ ϕ)(cos 7πn− 1)+ z[n]

=A[n]

2cos(ωdn+ ϕ)(cosπn+ 1)− sin(ωdn+ ϕ)(cosπn− 1)+ z[n]

=A[n]

2cos(ωdn+ ϕ)((−1)n + 1)− sin(ωdn+ ϕ)((−1)n − 1)+ z[n], (3.8)

onde a identidade cos 7πn = (−1)n é facilmente demonstrável. Finalmente, podemos reescrever

mais uma vez a expressão do sinal sA[n] a fim de obter uma maior compreensão do seu

comportamento em relação às suas componentes em fase e em quadratura:

sA[n] =

A[n] cos(ωdn+ ϕ) + z[n], se n par,

A[n] sin(ωdn+ ϕ) + z[n], se n ímpar.(3.9)

Pela última equação podemos ver que o valor de sA[n] será o sinal de banda base A[n] ora

modulado por um cosseno, quando n for par, ora modulado por um seno, quando n for ímpar.

A frequência e a fase destas senóides são: o erro residual de frequência ωd e o erro de fase

ϕ. Multiplexando cada um desses sinais em tempos pares e ímpares, temos as componentes

em fase e quadratura do sinal sA[n]; no entanto, ao fazer isso, teremos apenas metade das

amostras por símbolo em cada componente, o que nos obriga a realizar uma interpolação das

amostras do sinal.

Esta operação de interpolação sobre sA[n] é realizada separadamente em dois

interpoladores, cada um responsável por recuperar as amostras perdidas das componentes

em fase e em quadratura, gerando os sinais sBI [n] e sBQ[n]. É importante ressaltar que os

dois ramos, que geram esses dois sinais, usam a mesma técnica de interpolação, difererindo

apenas em qual amostra, par ou ímpar, será recuperada, de acordo com o que está descrito

3.2. Primeira Técnica de Interpolação 16

na Equação (3.9). Baseado nisto, será suficiente fazermos a análise para apenas um dos

interpoladores, que será o que atua sobre a componente em fase; uma escolha óbvia, uma vez

que a modulação utilizada neste projeto é o BPSK.

Como nosso principal objetivo neste capítulo é o estudo do efeito do conversor sobre o

sinal recebido, podemos ignorar os problemas de sincronismo nas análises matemáticas que

se seguem e assumir que a sincronização do sinal está perfeita. Logo, fazendo ωd = ϕ = 0, a

Equação (3.9) reduz-se a:

sA[n] =

A[n] + z[n], se n par,

z[n], se n ímpar.(3.10)

Portanto, nosso problema imediato é descobrir como recuperar a amostra ímpar do sinal A[n].

Existem várias possibilidade de resolver esta questão, incluindo interpolações lineares e não

lineares. Na próxima seção, apresentaremos a primeira técnica de interpolação proposta e

analisaremos as propriedades estatísticas do ruído no sinal de saída sBI [n].

3.2 Primeira Técnica de Interpolação

Lembrando que o pulso de banda base é retangular, dado pela Equação (2.5), as amostras

do sinal A[n] são, para cada símbolo transmitido, contantes e iguais a√

TsT ou −

√TsT ,

dependendo da informação enviada. Portanto, uma técnica de interpolação bastante simples

e elementar é dar à amostra perdida o mesmo valor da anterior [4]. Esta operação pode ser

descrita pela equação:

sBI,1[n] =

A[n] + z[n], se n par,

A[n− 1] + z[n− 1], se n ímpar,(3.11)

onde utilizamos o subscrito 1 para diferenciar do resultado da segunda técnica de

interpolação. Para um dado simbolo, o sinal sBI,1[n] pode ser expresso de uma maneira mais

simplificada:

sBI,1[n] = A[n] + v1[n], (3.12)

onde A[n] é uma estimativa do sinal de banda base transmitido A[n] na saída do interpolador,

e é dado pela expressão:

A[n] =

A[n], se n par,

A[n− 1], se n ímpar,(3.13)

e v1[n] é o ruído colorido, representado por:

v1[n] =

z[n], if n par,

z[n− 1], if n ímpar.(3.14)

A análise da função de autocorrelação do ruído v1[n] será realizada na subseção seguinte.

3.2.1 Análise do Ruído

Para chegarmos à função de autocorrelação de v1[n], começaremos pela expressão do ruído

analógico de banda estreita w(t), aplicando a mesma cadeia de processamento mostrado

na Figura 3.1, obtendo a autocorrelação em cada estágio do processamento até a saída do

interpolador. A partir da densidade espectral de potência de w(t), dada pela Equação (2.2),

podemos obter, através da transformada inversa de Fourier, sua função de autocorrelação

3.2. Primeira Técnica de Interpolação 17

[13]:

Rw(∆t) =

∫ ∞−∞

Sw(f)e2πf∆tdf. (3.15)

Portanto, substituindo (2.2) em (3.15) e resolvendo a integral, teremos:

Rw(∆t) =No

j4π∆t[e2π(−fFI+W )∆t − e2π(−fFI−W )∆t] +

Noj4π∆t

[e2π(fFI+W )∆t − e2π(−fFI−W )∆t]. (3.16)

Reorganizando a expressão acima e colocando-a em termos de funções trigonométricas, ao

invés de exponenciais complexas, chegamos a:

Rw(τ) = 2NoWsinc(2Wτ)cos(2πfFI∆t). (3.17)

Temos assim, a função de autocorrelação para o ruído w(t) na entrada do demodulador. Logo

após, o ruído é amostrado a uma taxa fs, cuja relação com a largura de banda do filtro de FI

é 2W = 12Ts

; colocando W em função de Ts e substituindo na função de autocorrelação para o

ruído discretizado, teremos:

Rw[m] = Rw(mTs)

= 2No(1

4Ts)sinc[2(

1

4Ts)mTs] cos[2π(

7

4Ts)mTs]

=No2Ts

sinc(m

2) cos(

7π

2)

=No2Ts

δ[m]. (3.18)

Da Equação (3.18), podemos concluir que o ruído discreto w[n] é branco. Nosso próximo passo

é provar que, após a multiplicação do sinal recebido por p[n], o processo ruidoso resultante

z[n] = w[n]p[n] também é branco e que sua função de autocorrelação é idêntica à de w[n].

Utilizando a definição de função de autocorrelação, temos:

Rz[n, n+m] = Ez[n]z[n+m]

= Ew[n]p[n]w[n+m]p[n+m]

= Ew[n]w[n+m]p[n]p[n+m]

= Rw[m]p[n]p[n+m], (3.19)

onde Ex é o operador esperança matemática de x e o produto de p[n] por p[n + m] pode

ser retirado do operador, uma vez que este é um sinal determinístico. Desenvolvendo este

produto:

p[n]p[n+m] = cos(7πn

2)− sin(

7πn

2) · cos[

7π

2(n+m)]− sin[

7π

2(n+m)]

= cos(7πn

2) · cos[

7π

2(n+m)]− cos(

7πn

2) · sin[

7π

2(n+m)]

− sin(7πn

2) · cos[

7π

2(n+m)] + sin(

7πn

2) · sin[

7π

2(n+m)].

Aplicando identidades trigonométricas à expressão acima, obtemos:

p[n]p[n+m] = cos(7πn

2)− sin(7πn+

7πm

2). (3.20)

3.2. Primeira Técnica de Interpolação 18

Substituindo (3.20) em (3.19), chegamos a:

Rz[n, n+m] = Rw[m] · [cos(7πn

2)− sin(7πn+

7πm

2)] = Rw[m],

Rz[m] =No2Ts

δ[m]. (3.21)

Obtemos assim que z[n] também é branco e que Rw[m] = Rz[m], o resultado previsto acima. A

saída do interpolador, levando em consideração apenas o termo relativo ao ruído, é dada pela

Equação (3.14), e pode ser reescrita de uma forma mais simples, em uma única expressão:

v1[n] =z[n]

2[1 + cos(πn)] +

z[n− 1]

2[1− cos(πn)]. (3.22)

A função de autocorrelação de v1[n] é:

Rv1 [n,m] = Ev1[n]v1[n+m]. (3.23)

Desenvolvendo (3.23) usando a representação de v1[n] em (3.22), a expressão para Rv[n,m]

fica:

Rv1 [n,m] =1

4Ez[n]z[n+m][1 + cos(πn)][1 + cosπ(n+m)]

+1

4Ez[n]z[n+m− 1][1 + cos(πn)][1− cosπ(n+m)]

+1

4Ez[n− 1]z[n+m][1− cos(πn)][1 + cosπ(n+m)]

+1

4Ez[n− 1]z[n+m− 1][1− cos(πn)][1− cosπ(n+m)].

Observando a equação acima, vemos que Rv1 [n,m] consiste na soma de quatro esperanças

matemáticas ponderadas por cossenos, onde cada um destes termos pode ser simplificado

usando identidades trigonométricas. Tomemos a parte determinística do primeiro termo, ou

seja o produto dos cossenos, e vamos desenvolvê-lo usando algumas identidades:

1 + cos(πn) · 1 + cos[π(n+m)] = 1 + cos[π(n+m)] + cos(πn) + cos(πn) cos[π(n+m)]

= 1 + cos(πn)cos(πm)− sin(πn) sin(πm) + cos(πn)

+ cos(πn)[cos(πn) cos(πm)− sin(πn) sin(πm)].

Considerando que sin(πn) = sin(πm) = 0, a expressão acima reduz-se a:

1 + cos(πn) · 1 + cos[π(n+m)] = 1 + cos(πn) cos(πm) + cos(πn) + cos(πm), (3.24)

então, a primeira esperança matemática na expressão de Rv1 [n,m], que chamaremos aqui de

E1, fica:

E1 =1

4· Ez[n]z[n+m] · 1 + cos(πn) cos(πm) + cos(πn) + cos(πm)

=1

4·Rz[m] · 1 + cos(πn) cos(πm) + cos(πn) + cos(πm)

=1

4· No

2Ts· δ[m] · 1 + cos(πn) cos(πm) + cos(πn) + cos(πm). (3.25)

3.3. Segunda Técnica de Interpolação 19

Pela expressão acima, vemos que E1 6= 0 quando m = 0. Portanto:

E1 =No4Ts

δ[m]1 + cos(πn). (3.26)

Aplicando o mesmo raciocínio aos outros termos, temos:

E2 =No4Ts

δ[m− 1]1 + cos(πn), (3.27)

E3 =No4Ts

δ[m+ 1]1− cos(πn), (3.28)

E4 =No4Ts

δ[m]1− cos(πn). (3.29)

A expressão simplificada para a função de autocorrelação de v1[n], portanto, é:

Rv1 [n,m] = E1 + E2 + E3 + E4 =No4Ts

δ[m](1 + cosπn)+

+No4Ts

δ[m− 1](1 + cosπn) +No4Ts

δ[m+ 1](1− cosπn) +No4Ts

δ[m](1− cosπn). (3.30)

Reorganizando os termos mais uma vez, a expressão final fica:

Rv1 [n,m] =No2Ts

δ[m] +No4Ts

δ[m− 1](1 + cosπn) +No4Ts

δ[m+ 1](1− cosπn). (3.31)

Examinando esta equação, podemos concluir que o processo aleatório v1[n] é cicloestacionário,

ou seja, ele é periodicamente estacionário, com um período discreto de duas amostras.

Tendo em mente isto, com a finalidade de facilitar os cálculos nas análises posteriores, nós

escolhemos trabalhar com a função de autocorrelação média, uma prática usual quando

estamos tratando de processos cicloestacionários [8, 14]. A autocorrelação média é definida

como a média aritmética da função de autocorrelação em um único período. Aplicando este

procedimento, a Equação (3.31) se reduz a:

Rv1 [m] =No2Ts

δ[m] +No4Ts

δ[m− 1] +No4Ts

δ[m+ 1]. (3.32)

Podemos facilmente concluir, das duas expressões acima, que o ruído v1[n] é colorido. A

consequência imediata desta conclusão é a necessidade do projeto de um novo filtro de

recepção, baseado no critério de máxima verossimilhança, que otimize a relação sinal-ruído

após a filtragem. Trateremos deste assunto no capítulo seguinte.

3.3 Segunda Técnica de Interpolação

Apresentamos nesta seção a segunda técnica de interpolação que pode ser utilizada para

a recuperação das amostras no conversor. Esta operação consiste simplesmente em, ao invés

de repetir a amostra de sinal ruidoso, eliminar a amostra ímpar ruidosa tornando-a nula.

Portanto sBI,2[n] fica:

sBI,2[n] =

A[n] + z[n], se n par,

0, se n ímpar.(3.33)

3.3. Segunda Técnica de Interpolação 20

Representando sBI,2[n] como em (3.12), temos que A[n] fica:

A[n] =

A[n], se n par,

0, se n ímpar,(3.34)

e v2[n]:

v2[n] =

z[n], se n par,

0, se n ímpar.(3.35)

3.3.1 Análise do Ruído

Façamos agora a análise do novo ruído v2[n]. Escrevendo-o em uma única expressão, como

em (3.22), temos:

v2[n] =z[n]

2[1 + cos(πn)]. (3.36)

Aplicando o mesmo raciocínio do caso anterior, substuindo (3.37) na equação similar a (3.24),

facilmente chegamos a expressão para a função de autocorrelação:

Rv2 [n, n+m] =No4Ts

δ[m][1 + cos(πn)], (3.37)

ou para melhor visualização:

Rv2 [n, n+m] =

No2Ts

δ[m], se n par,

0, se n ímpar,(3.38)

de onde concluímos que o ruído v2[n] também é cicloestacionário com um período de duas

amostras. Assim como fizemos nas seções anteriores, será útil para a análise seguinte,

referente ao filtro ótimo, utilizarmos a função de autocorrelação média:

Rv2 [m] =No4Ts

δ[m]. (3.39)

Capítulo 4Filtragem Ótima

Finalizamos o capítulo anterior fazendo uma análise do efeito das duas interpolações sobre

o ruído. Neste capítulo, aplicando o critério de máxima verossimilhança (do inglês Maximum

Likelihood (ML)) ao problema de detecção de simbolos, procuramos obter os coeficientes

do filtro ótimo para mitigar os efeitos dos dois tipos de ruído encontrados anteriormente.

Apesar de que nosso objetivo agora não é realizar a detecção propriamente dita, a qual só é

realizada no estágio final do demodulador, desejamos encontrar uma estrutura que otimize a

probabilidade de detectar corretamente o símbolo transmitido.

Podemos imaginar que, como as interpolações utilizadas são diferentes, os filtros ótimos

usados após cada interpolador também serão diferentes, exigindo para cada caso um projeto

específico de acordo com as características do ruído. Porém ao realizarmos as duas análises,

veremos que apesar das características espectrais do ruído serem diferentes para cada caso,

o filtro ótimo será um filtro casado com o pulso de transmissão para ambos os conversores.

4.1 Projeto do Filtro Referente ao Primeiro Interpolador

As amostras de sBI,1[n] contêm a informação de qual símbolo foi transmitido, portanto é

essencial projetar um filtro que, conforme dito anteriormente, maximize a probabilidade de

recuperar os simbolos transmitidos a partir da observação destas amostras. O número de

amostras por símbolo é igual a int( TTs ), porém como em nosso projeto TTs

já é um número

inteiro, o símbolo int será omitido a fim de simplificar a notação.

Nosso problema da detecção consiste em, após observar TTs

amostras de sBI,1[n], escolher

entre duas hipóteses: H0, se o símbolo transmitido foi ai = −1, e H1, se o símbolo transmitido

foi ai = 1. Começaremos definindo o vetor s:

s =[sBI,1[n] sBI,1[n− 1] · · · sBI,1[n− T

Ts+ 1]

]T, (4.1)

que é o vetor das amostras correspondentes a um dado símbolo. Considerando um ruído

gaussiano e colorido, as funções densidade de probabilidade conjunta, com respeito a cada

hipótese, são:

ps(s|H0) =exp− 1

2 (s−m0)TR−1(s−m0)(2π)T/2Ts |R|1/2

, (4.2)

ps(s|H1) =exp− 1

2 (s−m1)TR−1(s−m1)(2π)T/2Ts |R|1/2

, (4.3)

4.1. Projeto do Filtro Referente ao Primeiro Interpolador 22

onde:

m0 =[−1 −1 · · · −1

]T, (4.4)

m1 =[

1 1 · · · 1]T, (4.5)

R =

No2Ts

No4Ts

0 0 · · · 0No4Ts

No2Ts

No4Ts

0 · · · 0

0 No4Ts

No2Ts

No4Ts

· · · 0

0 0 No4Ts

No2Ts

· · · 0...

......

.... . .

...

0 0 0 0 · · · No2Ts

, (4.6)

e |R| é o determinante da matriz de covariância. As dimensões dos vetores média m0 e m1 sãoTTs× 1, idêntico a s, e R é uma matriz T

Ts× T

Ts.

A detecção dos símbolos transmitidos consiste em escolher H1, se ps(s|H1) > ps(s|H0), ou

H0, se ps(s|H1) < ps(s|H0); este é o critério de máxima verossimilhança, que pode ser descrito

da seguinte forma:

ps(s|H1)H1

RH0

ps(s|H0). (4.7)

Na prática, é mais fácil trabalhar com a função densidade de probabilidade logarítimica [15,

16]. Portanto, aplicando a função logaritmo dos dois lados da equação acima e reorganizando

os termos, temos:

(s−m1)TR−1(s−m1)− (s−m0)TR−1(s−m0)H1

RH0

0. (4.8)

Desenvolvendo (4.8), após algumas manipulações algébricas, obtemos a Equação (4.9) dada

pela expressão seguinte, a qual pode ser confirmada utilizando o recurso das expressões

simbólicas no MATLAB:TTs−1∑

k=0

sBI,1[n− k]H1

RH0

0. (4.9)

Este é um resultado bastante interessante, pois sugere que, apesar do ruído ser colorido, a

filtragem ótima é a média sobre todas as amostras de cada símbolo, e uma vez que o pulso de

banda base é retangular, o filtro ótimo é claramente um filtro casado. Portanto, este filtro tem

mesma resposta ao impulso do filtro modulador de pulso, usado no transmissor:

h[n] = gR(nTs) = gT (nTs), (4.10)

onde gT (t) é dado pela Equação (2.5). Este resultado leva a uma grande simplificação nas

análises seguintes.

4.1.1 Análise de Desempenho

Uma vez escolhida a filtragem ótima, é possível calcular a relação sinal-ruído na saída do

filtro. A componente em fase do sinal de saída do filtro casado sC [n] é:

sCI [n] =

∞∑k=−∞

sBI,1[n]h[n− k], (4.11)

4.1. Projeto do Filtro Referente ao Primeiro Interpolador 23

onde h[n] é a resposta ao impulso e pode ser modelada como:

h[n] =

Ns∑k=0

δ[n− k], (4.12)

Ns = TTs−1 é o número de amostras do pulso retangular e sBI,1[n] é o sinal de entrada no filtro

ótimo dado por (3.12). Substituindo (3.12) em (4.11), sCI [n] torna-se:

sCI [n] =

∞∑k=−∞

A[k]h[n− k] +

∞∑k=−∞

v1[k]h[n− k]. (4.13)

A detecção de símbolo é realizada sobre a soma das amostras de cada pulso. Para efeito de

simplificação, tomaremos essa soma apenas sobre o primeiro pulso recebido e amostraremos

no instante final de tempo de duração do pulso n = Ns. A expressão acima reduz-se a:

sCI [Ns] =

Ns∑k=0

A[k]h[Ns − k] +

Ns∑k=0

v1[k]h[Ns − k] = M +N, (4.14)

onde M refere-se ao primeiro termo, a soma sobre o sinal determinístico A[n], e N ao segundo

termo, sobre o ruído. Agora, calcularemos a potência do ruído, a qual é igual à variância de

N :

σ2N = EN2 =

Ns∑k=0

Ns∑i=0

Rv1 [k − i]h[Ns − k]h[Ns − i]. (4.15)

Substituindo (3.33) em (4.15), temos:

σ2N =

No2Ts

Ns∑k=0

Ns∑i=0

δ[k − i]h[Ns − k]h[Ns − i] +No4Ts

Ns∑k=0

Ns∑i=0

δ[k − i− 1]h[Ns − k]h[Ns − i]

+No4Ts

Ns∑k=0

Ns∑i=0

δ[k − i+ 1]h[Ns − k]h[Ns − i]. (4.16)

Observando os três termos que compõem a expressão acima da variância do ruído, concluímos

que o primeiro somatório será não nulo apenas para k = i, o segundo para k − i = 1 e terceiro

para k − i = −1. Como modelamos h[n] com uma amplitude unitária, é fácil observar que a

expressão acima reduz-se a:

σ2N =

No2Ts

(T

Ts) +

No4Ts

(T

Ts− 1) +

No4Ts

(T

Ts− 1). (4.17)

Reorganizando, a potência do ruído fica:

σ2N =

No2Ts

(2T

Ts− 1). (4.18)

Neste caso particular, temos um grande número de amostras por pulso (T >> Ts), significando

que TTs≈ T

Ts− 1. Portanto, simplificando, a variância reduz-se a:

σ2N =

No2Ts

(2T

Ts− 1) ≈ NoT

T 2s

. (4.19)

4.2. Projeto do Filtro Referente ao Segundo Interpolador 24

A taxa de erro de bits (em inglês Bit Error Rate (BER)) de um demodulador BPSK é [8]:

BER = Q

√M2

σ2N

, (4.20)

onde M2

σ2N

é a relação sinal-ruído do sistema. Considerando que o primeiro símbolo transmitido

foi ao = 1 e lembrando que a amplitude de A[n] é igual a√

TsT , o valor de M2 é:

M2 = Ns∑k=0

A[k]h[Ns − k]2 = √TsT

T

Ts2 =

T

Ts. (4.21)

Substituindo (4.19) e (4.21) na expressão anterior:

BER = Q

√TsNo

. (4.22)

A energia de bit Eb do pulso demodulado é Ts2 , logo:

BER = Q

√2EbNo

, (4.23)

que é o resultado clássico para um demodulador BPSK em um canal com ruído branco

(Additive White Gaussian Noise (AWGN)). A conclusão que podemos tirar desta análise é que,

mesmo que o ruído seja colorido pelo interpolador, o desempenho do sistema continua tão

boa quanto no caso onde o ruído é branco.

4.2 Projeto do Filtro Referente ao Segundo Interpolador

Utilizamos para o projeto deste filtro ótimo as mesmas definições e os mesmos

procedimentos que foram usados no caso anterior, com exceção da matriz de covariância

R que agora está definida como:

R =

No4Ts

0 0 0 · · · 0

0 No4Ts

0 0 · · · 0

0 0 No4Ts

0 · · · 0

0 0 0 No4Ts

· · · 0...

......

.... . .

...

0 0 0 0 · · · No4Ts

=

No4Ts

I, (4.24)

onde I é matriz identidade e verificamos que R agora é uma matriz diagonal, o que facilitará

bastante nossa análise. Substituindo (4.24) em (4.8), obtemos:

(s−m1)T (s−m1)− (s−m0)T (s−m0)H1

RH0

0. (4.25)

Desenvolvendo a expressão acima, facilmente obteremos o mesmo resultado do caso anterior,

a Equação (4.9) :TTs−1∑

k=0

sBI,2[n− k]H1

RH0

0.

Portanto, o filtro ótimo continua sendo o filtro casado.

4.2. Projeto do Filtro Referente ao Segundo Interpolador 25

4.2.1 Análise de Desempenho

A análise de desempenho para esta nova estrutura do conversor é realizada de maneira

idêntica ao caso anterior; a única mudança agora é a variância do ruído, uma vez que

a segunda técnica de interpolação produz um processo aleatório com uma função de

autocorrelação diferente da primeira. Portanto, a expressão para o cálculo da variância é:

σ2N = EN2 =

Ns∑k=0

Ns∑i=0

Rv2 [k − i]h[Ns − k]h[Ns − i].

Desenvolvendo a expressão acima, substituindo (3.39) nela, temos:

σ2N =

No4Ts

Ns∑k=0

Ns∑i=0

δ[k − i]h[Ns − k]h[Ns − i]. (4.26)

Assim como no primeiro termo da Equação (4.16), o somatório duplo somente será não-nulo

para k = i. Considerando isto e que a amplitude de h[n] aqui também é unitária, facilmente

chegamos ao valor da variância do ruído:

σ2N =

NoT

4T 2s

. (4.27)

O cálculo de M2 também segue o mesmo raciocínio do caso anterior, com a única diferença

que agora consideraremos apenas metade das amostras:

M2 = Ns−1∑k=0

A[k]h[Ns − k]2 = √TsT

T

2Ts2 =

T

4Ts, (4.28)

onde realizamos o somatório acima apenas para os valores pares de k. Substituindo (4.27) e

(4.28) em (4.22), finalmente obtemos:

BER = Q

√TsNo

= Q

√2EbNo

. (4.29)

Portanto, concluímos que as duas configurações do conversor produzem a mesma relação

sinal-ruído na saída do filtro casado, ou seja, as duas arquiteturas apresentadas possuem o

mesmo desempenho.

Capítulo 5Sincronismo de Símbolo

Começaremos a tratar agora do problema da sincronização de símbolo, também conhecido

como sincronização de relógio. É comum na maioria dos sistemas de telecomunicações que a

correção do sincronismo de fase e frequência seja realizada antes da de símbolo, porém neste

trabalho, optamos por fazer este último primeiro.

As técnicas de recuperação da temporização podem dividir-se em dois grupos consoante

o tipo de amostragem que usam: síncrona ou assíncrona. No primeiro grupo a amostragem

está ligada ao sinal enviado e é comandada por um NCO; no segundo a amostragem não está

solidária com os impulsos recebidos, é independente deles, e o relógio local está fixo. Em

nosso caso, evidentemente, utilizamos amostragem assíncrona, que é a única que permite

uma implementação completamente digital do temporizador e pode ser usada em esquemas

de malha aberta ou malha fechada.

Uma outra forma de classificar as técnicas de sincronismo, tanto as de símbolo quanto

as de fase e frequência, é quanto ao uso, por parte do sincronizador, de dados adicionais

enviados pelo transmissor com a finalidade de auxiliar a tarefa da sincronização no receptor

[6]. As técnicas de sincronismo que utilizam este artifício são denominadas pela literatura

anglófona de técnicas Data-Aided (DA). Há também aquelas em que o receptor utiliza os

próprios símbolos decididos, através de um esquema com realimentação, como auxílio no

processo de sincronização, as quais são conhecidas como técnicas Decision-Directed (DD). E

por fim, se não houver qualquer ajuda à sincronização são classificadas como Non Data-Aided

(NDA).

Neste trabalho utilizamos um método de sincronização assíncrono, de malha aberta e

NDA, cujo esquema encontra-se mostrado na Figura 5.1. Pelo diagrama de blocos podemos

claramente perceber que a recuperação da temporização se distingue em três operações

distintas:

i. Medição da temporização, no Estimador, onde se obtém a estimativa ε da “fase de

temporização” ε.

ii. Cálculo dos parâmetros (ln, µn), a partir da estimativa do atraso ε.

iii. Ajuste da temporização, no Corretor, composto pelo Interpolador e pelo Decimador,

quando se aplicam os parâmetros (ln, µn) ao processo de obtenção das amostras para

o decisor.

A implementação destas três partes contêm alguns detalhes que serão explicados a seguir.

Iniciaremos explicando como é feita a estimação do atraso de símbolo e, logo em seguida,

5.1. Estimador de Oerder&Meyr 27

Figura 5.1: Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo.

trataremos de uma forma geral sobre a correção deste atraso. Após isto, aprofundaremos nos

algoritmos para o cálculo dos parâmetros e na estrutura específica utilizada nestre trabalho

para o ajuste da temporização dos símbolos. Finalizaremos o capítulo com a análise da

variância da estimador.

5.1 Estimador de Oerder&Meyr

Este estimador é o equivalente digital da conhecida recuperação de temporização em tempo

contínuo com lei quadrática [6]. O método é aplicado a um bloco de símbolos de tamanho L,

que origina um valor estimado de ε. Como vimos anteriormente, o sinal discreto sC [n] na

entrada do estimador, pode ser descrito matematicamente da seguinte forma:

sC [n] = sB [n] ∗ h[n], (5.1)

onde aqui omitiremos o subscrito utilizado no capítulo anterior no sinal sB [n], uma vez que os

dois interpoladores possuem desempenho semelhante, e h[n] é a resposta ao impulso do filtro

casado. Conforme vimos anteriormente, podemos escrever o sinal sB [n] como:

sB [n] = A[n]ej(ωdn+ϕ) + v[n]. (5.2)

Para efeito de simplificação da notação, desprezaremos os efeitos do erro residual de

frequência e do desvio de fase, uma vez que eles não influenciam no desempenho e do

estimador de símbolo, e representaremos o sinal sB [n] apenas em função do sinal de banda

base e do ruído:

sB [n] = A[n] + v[n] =

∞∑i=−∞

aigT (nTs − iT − εT ) + v(nTs). (5.3)

Aqui lembramos que a resposta ao impulso do filtro casado relaciona-se com o pulso de banda

base transmitido de acordo com a Equação (4.10):

h[n] = gR(nTs),

gR(t) = gT (T − t).

5.2. Correção da Temporização 28

Conforme dito no Capítulo 3, pela simetria da janela retangular, temos gR(t) = gT (t).

Desenvolvendo a Equação (5.1), utilizando (5.3):

sC [n] = [

∞∑i=−∞

aigT (nTs − iT − εT ) + v(nTs)] ∗ gT (nTs), (5.4)

sC [n] =

∞∑i=−∞

aigT (nTs − iT − εT ) ∗ gT (nTs) + v(nTs) ∗ gT (nTs), (5.5)

sC [n] =

∞∑i=−∞

aig(nTs − iT − εT ) + v(nTs), (5.6)

onde g(t) = gT (t) ∗ gR(t), usamos aqui também a propriedade do deslocamento no tempo da

operação de convolução, e v(t) = v(t) ∗ gT (t).

A Figura 5.2 ilustra o processamento realizado no estimador [17]. A primeira operação

realizada é a elevação ao quadrado do módulo do sinal sC [n]. A aplicação desta não-linearidade

ao sinal de entrada tem por finalidade gerar uma componente espectral na frequência ω =2πTsT = 2π

Ns, ou seja, na mesma frequência da taxa de símbolos.

Figura 5.2: Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo.

O sinal xn, após a aplicação da não-linearidade, fica:

xn = |sC [n]|2 = |sC(nTs)|2 = |∞∑

i=−∞aig(nT − iT − εT ) + v(nTs)|2. (5.7)

Após esse procedimento, devemos obter a componente espectral desejada calculando o

coeficiente da Transformada de Fourier Discreta (do inglês Discrete Fourier Transform (DFT))

de xn na frequência ω = 2πNs

para cada bloco de amostras de tamanho LNs, ou seja, efetuando

o cálculo do somatório da Transformada para cada L símbolos:

Xm =

(m+1)LNs+1∑n=mLNs

xne−j 2π

Nsn. (5.8)

Finalmente, do coeficiente Xm de cada vetor de L símbolos, é extraída a fase, a qual é a

estimativa do atraso de simbolo ε que desejávamos.

5.2 Correção da Temporização

A correção da temporização é realizada através de uma interpolação; a estimativa do atraso

de símbolo será utilizada para a obtenção de amostras interpolantes, ou seja, amostras que

não mais se encontrarão em instantes de tempo nTs, mas sim entre estes instantes, por isso

5.2. Correção da Temporização 29

Figura 5.3: Ilustração dos instantes de amostragem e interpolação.

são chamadas de interpolantes, e seus valores serão iguais aos valores que o sinal sC(t), sinal

analógico correspondente a sC [n], teria se amostrado neste novo padrão de amostragem.

O sinal sC(t) pode ser obtido a partir de sC [n] através da seguinte expressão [11]:

sC(t) =

∞∑n=−∞

sinc(t− nTsTs

)sC(nTs), (5.9)

que é a conhecida expressao para a recuperação de um sinal analógico desde sua versão

discreta. A função sinc, como sabemos, se estende de −∞ a ∞ e portanto, torna-se pouco

prática. Ao invés dela, é comum o uso de outros tipos de funções limitadas no tempo

resultando em um somatório com um número finito de parcelas, fazendo aparecer um fator

de erro à recuperação do sinal, uma vez que ela será realizada de forma imperfeita [11].

Reescrevendo a equação anterior:

sC(t) =

∞∑n=−∞

hI(t− nTs)sC(nTs), (5.10)

e portanto nosso objetivo será encontrar hI . Entretanto, não nos interessa conhecer o sinal

sC(t) em qualquer instante de tempo t, mas somente nos novos instantes de amostragem tk,

conforme ilustrado na Figura 5.3. Podemos observar que as amostras nos instantes (lk +p)Ts,

onde p é um número inteiro qualquer, são aquelas relativas ao sinal sC [n] = sC(nTs). O

instante de tempo tk é definido como:

tk = lkTs + µkTs, (5.11)

onde:

lk = int(tk).

O número lk é chamado de índice de ponto base e µk é chamado de intervalo fracionário, e

ambos são obtidos a partir da estimativa do atraso de símbolo, como veremos mais à frente.

Substituindo (5.11) em (5.10):

s′C(tk) =

∞∑n=−∞

hI(lkTs + µkTs − nTs)sC(nTs),

5.3. Cálculo dos Parâmetros 30

s′C(tk) =

∞∑n=−∞

hI [(lk − n)Ts + µkTs]sC(nTs), (5.12)

onde s′C(tk) é a versão discreta de sC(t) nos novos instantes de amostragem tk. Como dissemos

anteriormente, pretendemos utilizar um filtro hI de resposta ao impulso finita (FIR), portanto

iremos limitar a duração temporal de hI ao intervalo −I1Ts ≤ t ≤ (I2 + 1), de forma que

utilizaremos I1 + I2 + 1 amostras de sC(nTs), com lk − I2 ≤ n ≤ lk + I1. Substituindo esses

limites no somatório de (5.12):

s′C(tk) =

lk+I1∑n=lk−I2

hI [(lk − n)Ts + µkTs]sC(nTs). (5.13)

Fazendo i = lk − n:

s′C(tk) =

I2∑i=−I1

hI(iTs + µkTs)sC [(lk − i)Ts], (5.14)

e se chamarmos ci(µk) = hI(iTs + µkTs), temos:

s′C(tk) =

I2∑i=−I1

ci(µk)sC [(lk − i)Ts]. (5.15)

Desta forma obtemos a expressão geral para o interpolador, também conhecida como fórmula

fundamental do interpolador. Em [18] e [19] chegou-se à conclusão de que se obtêm excelentes

interpoladores práticos se os coeficientes ci(µk) forem certas funções polinomiais de curta

duração (dois ou quatro intervalos de amostragem). Estes coeficientes só dependem dos

intervalos fracionários µk e cada um deles é usado em cada um dos I1 + I2 + 1 intervalos

de amostragem.

Antes de falarmos da técnica de interpolação específica utilizada em nosso trabalho, a

estrutura de Farrow, trataremos antes de como é efetuado o cálculos dos parâmetros de

temporização (lk, µk).

5.3 Cálculo dos Parâmetros

O tempo de atraso τ = εT , estimado para cada bloco de símbolos de tamanho L, é utilizado

para calcular os instantes de temporização tk através da expressão:

tk = kT +T

2+ τ , (5.16)

onde τ é o atraso respectivo a um dado bloco qualquer e a parcela T2 aparece porque −T2 ≤ τ ≤

T2 . A Equação (5.11) também nos indica outra forma de obter tk em função dos parâmetros lke µk. Igualando essa expressão com a anterior, temos:

lk + µk = kT

Ts+

T

2Ts+

τ

Ts. (5.17)

Para k + 1:

lk+1 + µk+1 = (k + 1)T

Ts+

T

2Ts+

τ

Ts.

Então, podemos chegar a uma expressão iterativa que não depende de τ :

lk+1 + µk+1 = lk + µk +T

Ts. (5.18)

5.3. Cálculo dos Parâmetros 31

Figura 5.4: Função dente-de-serra.

Tomando a parte inteira na equação anterior, chegamos a:

lk+1 = lk + int(µk +T

Ts). (5.19)

Substituindo a expressão (5.19) em (5.18) e reorganizando:

µk+1 = µk +T

Ts− int(µk +

T

Ts). (5.20)

Portanto, obtemos duas fórmulas iterativas para cálculo dos instantes tk dentro de cada bloco

de L símbolos.

Nas transições entre os blocos pode ocorrer um problema conhecido como unwrapping:

quando da mudança do bloco i para o bloco i+ 1, o valor médio de τi+1 acaba ficando fora do

intervalo [−T2 ,T2 ]. Por exemplo, se tivermos τi = 0, 48T e τi+1 = 0, 51T , as estimativas de atraso

em cada intervalo de observação serão τi ≈ 0, 48T e τi+1 ≈ −0, 49T , ou seja, houve um salto de

cerca de T segundos que leva a perder ou duplicar instante de temporização. Para contornar

esse problema, adota-se o seguinte procedimento:

i. A partir de τi obtém-se uma nova estimativa τ(u)i de acordo com:

τ(u)i = τ

(u)i−1 + αSAW (τi − τ (u)

i−1),

onde α é um parâmetro de projeto e SAW (x) é a função dente de serra definida por:

SAW (x) = x− T · int( xT

+1

2),

e liustrada na Figura 5.4.

ii. Ao mudar do bloco i para o bloco i + 1 (ver Figura 5.5), o índice de ponto-base liL+1 e o

intervalo fracionário µiL+1 calculam-se através das expressões:

liL+1 = liL + int(µiL +T

Ts+τi+1 − τi

Ts), (5.21)

5.4. Estrutura de Farrow 32

Figura 5.5: Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo.

µiL+1 = µiL +T

Ts+τi+1 − τi

Ts− int(µiL +

T

Ts+τi+1 − τi

Ts). (5.22)

5.4 Estrutura de Farrow

Trataremos agora da estrutra responsável pela correção do atraso de símbolo. Dois

métodos podem ser utilizados para a operação descrita em (5.15). O primeiro consiste do

armazenamento de valores previamente calculados da resposta impulsiva do filtro ci(µk) e, a

cada interpolação, extraem-se da memória os valores armazenados (coeficientes do filtro) e

os carrega em uma estrutura de filtro transversal. O segundo método consiste do cálculo do

valor interpolado diretamente sem a necessidade de se armazenar os coeficientes ou mesmo

calculá-los explicitamente, através da estrutura proposta por Farrow, que descreveremos a

seguir.

A fórmula fundamental do interpolador apresenta uma dificuldade de aspecto prático:

dado que o intervalo fracionário µk varia de instante para instante de interpolação, o filtro

FIR tem coeficientes ci(µk) variáveis. Entretanto, podemos rearranjar (5.15) de modo a

conseguimos determinar os interpolantes usando filtros de coeficientes fixos. Primeiramente,

definindo ci(µk) como:

ci(µk) =

M∑l=0

bl(i)µlk, (5.23)

onde M é o grau do polinômio consoante ao tipo de interpolação. Agora, reescrevemos:

s′C(tk) =

I2∑i=−I1

M∑l=0

bl(i)µlksC [(lk − i)Ts]

=

M∑l=0

µlk

I2∑i=−I1

bl(i)sC [(lk − i)Ts]

=

M∑l=0

µlkν(l), (5.24)

em que:

ν(l) =

I2∑i=−I1

bl(i)sC [(lk − i)Ts], (5.25)

pode ser interpretado como a saída de um filtro de coeficientes fixos bl(i). O filtro interpolador

5.5. Análise da Variância 33

Figura 5.6: Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo.

pode, portanto, ser realizado por um banco de filtros de M+1 filtros paralelos, cujas saídas dos

l-ésimos filtros são multiplicadas por µlk e então somadas. O diagrama de blocos apresentado

na Figura 5.6 mostra a implementação de um interpolador cúbico. Essa estrutura de Farrow

consiste de 4 colunas de filtros FIR com I2 − I1 + 1 coeficientes fixos. Os interpolantes são

dados por:

s′C(tk) =

M∑l=0

µlkν(l) = ν(0) + µkν(1) + µk[ν(2) + µkν(3)]. (5.26)

Essa foi a estrutura adotada para a implementação do filtro interpolador neste trabalho,

representada no diagrama de blocos da Figura 5.6.

Finalmente, após a correção do atraso de símbolo, s′C(tk) é decimado e o sinal resultante

fica:

r[i] = s′C(tk)|tk= iTTs, (5.27)

onde i é um inteiro não-negativo qualquer.

5.5 Análise da Variância

Vamos agora determinar a variância da variável aleatória ε. Na realidade, o que nós

buscaremos calcular aqui será o erro médio quadrático da estimação, uma vez que vamos

considerar que a média do estimador é igual a zero, ou seja ε = E[ε] = 0, a fim de simplificar

a notação. Pode ser provado que para ε 6= 0 os resultados que serão aqui obtidos ainda são

válidos [17]. Desenvolvendo a expressão da variância:

σ2ε = E[ε] =

1

(2π)2E[(arg(X))2] ≈ 1

(2π)2

E[(ImX)2]

(E[ReX])2. (5.28)

A aproximação é válida desde que a parte imaginária de X tenha média nula e que as

variâncias das partes real e imaginária são pequenas comparadas ao valor médio quadrático

de ε. Desenvolvendo a esperança da parte real, temos:

E[ReX] = E[X] =

LNs−1∑n=0

E[xn]e−j2πNsn. (5.29)

5.5. Análise da Variância 34

Vamos calcular E[xn], substituindo (5.7) na expressão anterior:

E[xn] = E[(

∞∑i=−∞

aig(nTs − iT − εT ) + v(nTs))2]. (5.30)

Desenvolvendo a expressão acima, sabendo que os símbolos e o ruído são descorrelacionados

e que E[v(t)] = 0:

E[xn] = E[(

∞∑i=−∞

aig(nTs − iT − εT ))2] + E[v2(nTs)]

=

∞∑i=−∞

∞∑k=−∞

E[aiak]g(nTs − iT − εT )g(nTs − kT − εT ) + E[v2(nTs)]. (5.31)

Como os simbolos são indenpentes entre si e E[ai] = 0, i qualquer, então:

E[xn] =

∞∑i=−∞

g2(nTs − iT − εT ) + σ2v . (5.32)

De acordo com a identidade apresentada em [17], obtemos a expressão para E[X]:

E[X] =

LNs−1∑n=0

E[xn]e−j2πNsn =

LNsTF [g2(t− εT )]f= 1

T, (5.33)

onde:

F [x(t)] =

∫ ∞−∞

x(t)e−j2πftdt.

Agora, introduziremos as seguintes funções para simplificar a notação:

pn(t) = g(t)g∗(t− nT ), (5.34)

Pn(f) = F [pn(t)]. (5.35)

Então, temos:

E[X] =LNsTF [po(t− εT )]f= 1

t=LNsT

Po(1

T)e−j2πε. (5.36)

Como assumimos no início que ε = 0, então:

E[X] =LNsT

Po(1

T). (5.37)

A variância da parte imaginária é:

E[(ImX)2] = E[Im(

LNs−1∑n=0

xne−j 2π

Nsn)]2.

Desenvolvendo a expressão acima:

E[(ImX)2] =

LNs−1∑n=0

LNs−1∑n′=0

E[xnxn′ ] sin(2πn

Ns) sin(

2πn′

Ns). (5.38)

5.5. Análise da Variância 35

Usando alguma aproximações que são válidas quando L for grande [17], a expressão acima

pode ser calculada. Substituindo os resultados desta aproximação em (5.28), temos:

σ2ε = σ2

sxs + σ2sxn + σ2

nxn, (5.39)

onde:

σ2sxs =

1

(2π)2

1

L

∑m(Im[Pm(1/T )])2

(Po(1/T ))2, (5.40)

σ2sxn =

1

(2π)2

1

LNo

2I3(Po(1/T ))2

, (5.41)

σ2nxn =

1

(2π)2

1

LN2o

T2Re[Ψ(1/T )]

(Po(1/T ))2, (5.42)

I3 =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

g(t)g∗(t′)ψ(t− t′) sin(2πt/T ) sin(2πt′/T )dtdt′, (5.43)

Ψ(f) = F [ψ2(t)], (5.44)

ψ(τ) =

∫ ∞−∞

gR(t)g∗R(t+ τ)dt. (5.45)

Os três termos (5.40), (5.41) e (5.42) representam as componentes do jitter geradas pelas

interações (sinal x sinal), (sinal x ruído) e (ruído x ruído).

Capítulo 6Digital Phase Locked Loop

6.1 Função de Transferência

Nesta parte final do processamento, trataremos da correção do sincronismo de fase, do

erro residual de frequência e da detecção final dos dados. Para este fim, utilizamos a variante

digital de uma estrutura conhecida como Digital Phase-Locked Loop. O modelo esquemático

do DPLL é mostrado na Figura 6.1, apresentada abaixo. O comparador de fase é composto

pelo decisor de símbolos e pelo multiplicador da saída do decisor pela parte imaginária do

sinal di. Em seguida, o sinal passa pelo filtro de loop, cuja função de transferência F (z) será

calculada adiante, e pelo NCO, composto somente de um integrador digital, logo sua função

de transferência é igual a 1/(z − 1).

Figura 6.1: Estrutura do DPLL.

Faremos agora a análise matemática do DPLL. Neste caso específico, como o erro residual

de frequência é muito pequeno (na ordem dos 7 Hz), um sistema de 1a ordem é suficiente

para realizar a correção desse erro e do erro de fase, este último bem mais significativo.

Consideremos como entrada do PLL o seguinte sinal complexo:

r[i] = ri = aiejθi + vi, (6.1)

onde θi é dado por:

θi = ωdi+ ϕ. (6.2)

6.1. Função de Transferência 37

A primeira etapa do processamento, como descrito anteriormente, é o comparador de fase,

onde o sinal recebido é subtraído da estimativa do seu desvio de fase e−jθi , calculada no

loop, ou seja, o sinal de realimentação do loop é multiplicado pelo sinal de entrada do PLL.

Matematicamente, podemos expressar o sinal de saída di do comparador de fase, como:

di = aiej(θi−θi) + vie

−jθi . (6.3)

Se definirmos δi como:

δi = θi − θi,

então (6.3) fica:

di = aiejδi + vie

−jθi (6.4)

Em seguida, o cálculo do sinal de erro é feito multiplicando-se a estimativa da parte real de dipela sua parte imaginária:

ei = aiIm[di], (6.5)

onde a parte imaginária é:

Im[di] = Im[aiejδi ] + Im[vie

−jθi ] = ai sin δi + Im[vie−jθi ]. (6.6)

Logo, ei fica:

ei = aiai sin δi + aiIm[vie−jθi ]. (6.7)

Figura 6.2: Modelo Equivalente do DPLL.

Como em estado de regime permanente o ângulo δi é muito pequeno, podemos fazer uma

aproximação dizendo que sin δi ≈ δi. Substituindo a parte correspondente ao ruído por ni,

temos:

ei ≈ aiaiδi + ni. (6.8)

A partir desse resultado, podemos desenvolver o modelo linear do DPLL [20], bem mais simples

que o original, para a análise de sua função de transferência. Neste novo modelo, apresentado

na Figura 6.3, omitiremos a componente do ruído para efeito de simplificação. Calculemos

agora a expressão para a função de transferência do sistema:

∆(z) = Θ(z)− Θ(z). (6.9)

6.2. Estabilidade e Tempo de Aquisição do PLL 38

Figura 6.3: Modelo Linear do DPLL.

Sabendo que:

Θ(z) = ∆(z)F (z)

z − 1, (6.10)

e substituindo (6.10) em (6.9), desenvolvendo a expressão, chegamos ao resultado:

Θ(z)

Θ(z)=

F (z)

(z − 1) + F (z). (6.11)

O PLL utilizado em nosso trabalho é do tipo I e de 1a ordem [21]. Faremos então F (z) = α, onde

α é um número real. Como escolhemos, neste trabalho, α = 0.1, a função de transferência do

PLL fica:

H(z) =Θ(z)

Θ(z)=

0.1z−1

1− 0.9z−1, (6.12)

onde a região de convergência está em |z| > 0.9.

6.2 Estabilidade e Tempo de Aquisição do PLL

A estabilidade de um sistema, seja ele contínuo ou discreto, é determinada pela posição

dos pólos no plano complexo; no caso discreto, para que o sistema seja estável é necessário

que a região de convergência inclua o círculo de raio unitário. Portanto, é fácil concluir que

este PLL é estável, uma vez que sua região de convergência, |z| > 0.9, inclui o círculo de raio

unitário, como mostra a Figura 6.4.

O tempo de aquisição pode ser definido como o instante de tempo em que, considerando

que a entrada do sistema é um degrau unitário, ocorre a transição da resposta transitória

para a permanente; em outras palavras, a resposta do PLL tende a um valor constante. Para

obtermos este valor, vamos analisar a respota do sistema a uma função degrau da seguinte

forma:

θ[i] = Kθu[i], (6.13)

onde Kθ é uma constante e representa o valor da fase de referência na entrada do PLL. No

domínio Z, temos:

Θ(z) =Kθ

1− z−1, (6.14)

que converge para |z| > 1. Para obter a transformada z do sinal de saída do PLL, substituímos

6.3. Análise da Variância 39

Figura 6.4: Pólo do PLL.

(6.14) em (6.12) e reorganizamos os termos:

Θ(z) =0, 1z−1

1− 0.9z−1

Kθ

1− z−1=

0.1Kθz−1

(1− 0.9z−1)(1− z−1), (6.15)

onde a região de convergência é |z| > 1. Para obtermos a resposta ao degrau no domínio

do tempo, primeiramente, aplicamos o método das fracões parciais a fim de obter uma

representação mais simples da equação acima:

Θ(z) =−0.9Kθz

−1

1− 0.9z−1+

Kθz−1

1− z−1, (6.16)

onde agora temos a representação de Θ(z) como a soma de dois termos de primeira ordem.

Finalmente, calculando a transformada Z inversa e organizando os termos da equação,

obtemos:

θ[i] = Kθ(1− 0.9i)u[i− 1]. (6.17)

Observando a Figura 6.5, podemos afirmar que o tempo de aquisição do PLL é da ordem

de 40 a 50 símbolos.

6.3 Análise da Variância

A variância da estimativa de fase é dada por [22]:

σθ = BLT1

Eb/No, (6.18)

onde BL é a largura de banda de ruído do DPLL, a qual pode ser obtida pela seguinte expressão

[22]:

BLT =αA

2(2− αA)=

0, 1A

2(2− 0, 1A), (6.19)

6.3. Análise da Variância 40

Figura 6.5: Resposta do PLL ao Degrau Unitário.

em que A é a inclinação da curva-S na origem. A curva-S é definida como [22]:

S(δi) = S(θi − θi) = Eei|δi, (6.20)

e pode ser obtida experimentalmente abrindo o loop do DPLL e realizando a medição da média

temporal do sinal de erro, conforme ilustrado na Figura 6.6 abaixo.

Figura 6.6: Medição da Curva-S.

Capítulo 7Resultados

Implementou-se em Matlab o protótipo do demodulador BPSK proposto nesse trabalho

e descrito nos capítulos anteriores. Através de simulação computacional foi avaliado o

desempenho do sistema em termos da taxa de erro de bits, visualização da constelação de

símbolos, diagrama de olho, variância dos estimadores e tempo de aquisição [12, 23]. No

modelo implementado, utilizaram-se os seguintes valores para os diversos parâmetros do

sistema:

I A frequência da portadora no estágio de FI é fFI = 70 MHz.

I A largura de banda do filtro em FI é 2W = 20 MHz.

I A taxa de símbolos é 1T = 1 Mbaud.

I A formatação do pulso em banda básica é a de uma janela retangular.

I A taxa de amostragem é fs = 40 MHz.

I A razão energia de bit por densidade de potência de ruído EbNo

varia de 6 dB a 11 dB, para

o cálculo da taxa de erro de bits, e de 6 dB a 20 dB, para o cálculo da variância dos

estimadores.

I O desvio de frequência residual situa-se na casa dos 7 Hz.

I O atraso de símbolos ε varia de −12 a 1

2 .

I A fase do sinal recebido θ ∈ [0, 2π).

7.1 Desempenho dos Interpoladores e Filtros Ótimos

Nesta seção observaremos o desempenho do sistema considerando perfeito o sincronismo,

a fim de visualizarmos o desempenho dos dois interpoladores e suas respectivas filtragens.

Começamos a analisar os resultados observando a densidade espectral de potência de v2[n]

na Figura 7.1. É imediata a conclusão de que realmente trata-se de um ruído colorido devido

ao seu formato curvo, a qual indica uma atenuação nas frequências mais altas do espectro

do sinal recebido.

Na Figura 7.2 temos o gráfico da taxa de erro de bits para os dois sistemas descritos nos

capítulos 3 e 4. Conforme o resultado obtido analiticamente, ambas arquiteturas possuem

o mesmo desempenho em termos de taxa de erro de bits, com algumas pequenas diferenças

que podem ser explicadas por imprecisões do simulador.

7.2. Tamanho da Janela de Sìmbolos do Estimador de Oerder&Meyr 42

Figura 7.1: Densidade Espectral de Potência de v2[n].

Figura 7.2: Comparação da Taxa de Erro de Bits dos Conversores.

7.2 Tamanho da Janela de Sìmbolos do Estimador de Oerder&Meyr

Aqui começamos a considerar os problemas de sincronismo. Na Figura 7.3 podemos

observar a taxa de erro de bits para três diferentes valores do tamanho da janela de

7.3. Taxa de Erro de Bits do Demodulador 43

Figura 7.3: Influência do Tamanho da Janela de Símbolos no Desempenho do Sistema.

símbolos do estimador de atraso. Fica claro que não há uma diferença muito significativa de

desempenho, principalmente entre as curvas para uma janela de 50 e 60 símbolos; podemos

observar até uma leve piora de desempenho para uma Eb/No = 10 quando o valor de 60. Para

as simulações seguintes, utilizaremos 50 para o tamanho da janela do estimador.

7.3 Taxa de Erro de Bits do Demodulador

A taxa de erros de bits do demodulador BPSK, medida levando em consideração o desvio

de fase e atraso de símbolo, pode ser visualizada na Figura 7.4. Para obtenção deste gráfico

usamos a arquitetura composta pelo primeiro interpolador e seu respectivo filtro de detecção

ótima e os seguintes valores para os parâmetros de sincronismo:

I Atraso de símbolo de 10 amostras.

I Desvio residual de frequência de 7 Hz.

I Desvio de fase de 60o.

Devemos aqui levar em consideração o desvio residual de frequência, da ordem de 10%

da frequência intermediária, o qual surge da imprecisão dos componentes analógicos no

processamento que antecede o demodulador digital, necessitando que façamos em um estágio

posterior um ajuste fino da correção deste desvio. Felizmente, o DPLL mostra-se eficaz na

correção deste problema, e não apenas para o valor considerado aqui neste trabalho, mas

inclusive para taxas de erro bem maiores, chegando a corrigir satisfatoriamente desvios de

mais 100 Hz.

7.4. Constelação de Símbolos e Diagrama de Olho 44

Figura 7.4: Taxa de Erro de Bits.

O sistema descrito no trabalho apresenta taxas de erro de bits um pouco maiores que as

ideais, chegando a uma diferença de somente 1 dB entre as duas curvas para uma Eb/No de

11 dB. É importante também observar que os sincronizadores funcionam satisfatoriamente

mesmo para valores de Eb/No considerados baixos para comunicação espacial (menor que 8

dB).

7.4 Constelação de Símbolos e Diagrama de Olho

Nas Figuras 7.5 e 7.6 podemos visualizar a constelação de simbolos na entrada e na saída

do DPLL, para uma Eb/No = 12 dB e um desvio de fase de 60o; em (7.6) verficamos que a

constelação está sobre a circunferência de raio unitário, devido a normalização realizada na

entrada no DPLL, e que ela oscila agora em torno do eixo horizontal, sem desvio na fase.

Nas Figuras 7.7 e 7.8 observamos o diagrama de olho antes de depois do sincronizador

de símbolo; percebemos que, em 7.7, a abertura do olho a cada 1 µs, que é o período de

amostragem, é bem menor que em 7.8, o que indica que o sinal na entrada do sincronizador

de símbolos está amostrado nos instantes de tempo incorretos e, portanto, com déficit de

energia em suas amostras. Na Figura 7.8 vemos que este problema está corrigido.

7.5 Variância dos Estimadores

Através da simulação computacional mediu-se a variância do erro dos estimadores

propostos para a estimação dos desvios de frequência, fase e atraso. Os valores medidos

da variância do erro são comparados aos limites teóricos de Cramer-Rao para a variância dos

erros do Estimador de Fase e Atraso, que são dados pelas seguintes expressões [22,24]:

CRB(θ) =(Eb/No)

−1

2Lo, (7.1)

7.5. Variância dos Estimadores 45

Figura 7.5: Constelação na Entrada do DPLL.

Figura 7.6: Constelação na Saída do DPLL.

7.5. Variância dos Estimadores 46

Figura 7.7: Diagrama de Olho na Entrada do Sincronizador de Símbolo.

Figura 7.8: Diagrama de Olho na Saída do Sincronizador de Símbolo.

7.6. Tempo de Aquisição 47

Figura 7.9: Variância da Estimativa de Fase.

CRB(ε) =(Eb/No)

−1

8(π)2ξLo, (7.2)

em que:

ξ = T 2

∫∞−∞ f2|G(f)|df∫∞−∞ |G(f)|df

, (7.3)

onde G(f) é a transformada de Fourier do pulso em banda base e Lo é o tamanho da janela de

observação do Estimador de Atraso. É importante ressaltar que, como o desvio de frequência

é muito pequeno, na ordem de 7 Hz, a variação da velocidade angular da constelação será

muito lenta e por isso, foi considerada como uma pequena variação, sempre constante, na

fase.

7.6 Tempo de Aquisição

Neste item obteve-se o tempo de aquisição do sincronismo através da medida do número

de símbolos necessário para que ocorra a aquisição de frequência, fase e atraso. Para um

dado estimador, considera-se que a aquisição está completa quando a curva de aprendizado

se estabiliza.

Para a avaliação do tempo de aquisição do sistema, utilizou-se a relação de EbNo

= 15

dB. Observa-se das curvas apresentadas que a aquisição do Estimador de Atraso corre em

aproximadamente 0.05× 10−3 segundos, o que dá exatamente 50 símbolos, algo esperado pois

trata-se de um sistema de malha aberta que calcula o tempo de atraso através de uma janela

de 50 símbolos.

O PLL, colocado em série logo após o Recuperador do Sincronismo de Símbolo, também

7.6. Tempo de Aquisição 48

Figura 7.10: Variância da Estimativa do Atraso de Símbolo.

leva aproximadamente um tempo de 50 símbolos para estabilizar na fase correspondente ao

desvio provocado pelo canal de comunicação.

7.6. Tempo de Aquisição 49

Figura 7.11: Tempo de Aquisição da Estimativa de Fase.

Figura 7.12: Tempo de Aquisição da Estimativa de Atraso.

Capítulo 8Conclusão e Perspectivas

O demodulador BPSK completamente digital foi desenvolvido neste trabalho visando uma

modernização no atual sistema de demodulação de sinais de telecomando de satélites do INPE.

O demodulador é constituído de quatro blocos principais que são: o conversor A/D-BP/BB,

que discretiza, converte para banda base e recupera as amostras perdidas no processo

anterior; a filtragem ótima, que melhora a relação sinal-ruído após a saída do conversor;

o sincronizador de símbolo, que corrige o atraso provocado pela defasagem entre os relógios

do transmissor e do receptor e o DPLL, que corrige o erro de fase e realiza a detecção dos

símbolos. A proposta representa um avanço tecnológico no cenário nacional, pois além de

propor um novo paradigma em termos de implementação, funciona a uma taxa de símbolos

bem superior aos sistemas que o INPE opera atualmente.

A grande contribuição deste trabalho foi o desenvolvimento de técnicas simples de

interpolação para contornar o sério problema de perda de amostras em uma amostragem

em banda passante. Quando utilizada a primeira técnica de interpolação, demonstrou-se que

mesmo o ruído sendo colorido, a filtragem ótima é feita por um filtro casado; um resultado

bastante contra-intuitivo pois sabemos que o filtro casado é ótimo apenas para ruído branco.

Analiticamente, através de um teste de hipóteses aplicado às amostras do sinal na saída

dos interpoladores e utilizando o critério de máxima verossimilhança, ficou bastante claro o

porquê do uso do filtro casado.

Podemos, porém, refletir sobre este resultado de uma outra maneira. O primeiro

interpolador apenas realiza uma operação de substituição de amostras, ou seja, ele apenas

troca uma amostra contendo apenas ruído pela anterior que contém informação útil e ruído.

Este caso é bastante diferente, por exemplo, daqueles que exigem o uso de um equalizador

para descolorir o ruído, pois neste caso o processo resultante geralmente é fruto de uma

combinação linear das amostras de um ruído branco. Como o que acontece no conversor é

apenas a troca de uma amostra por outra, a potência do ruído presente em um período de

simbolo aumenta na mesma proporção da energia do símbolo e portanto, o desempenho é

semelhante ao do segundo interpolador.

Outro ponto importante deste trabalho foi o estudo de várias técnicas de sincronismo,

aplicadas a diferentes situações, que resultou na concepção de uma arquitetura funcional

que aproveita as várias soluções isoladas propostas na literatura para resolver em conjunto o

problema específico de demodulação BPSK para o canal de telecomando espacial.

Os resultados mostram que o sistema proposto apresenta muito bom desempenho em

termos de taxa de erro de bits, estimadores relativamente precisos e um tempo de aquisição

51

total razoável de aproximadamente 100 símbolos. Como mencionado anteriormente, a taxa

de erros apresenta um pequeno aumento quando temos um atraso de símbolo muito baixo,

devido ao aumento da interferência intersimbólica (em inglês Intersymbol Interference (ISI)),

mas nada que comprometa o bom desempenho do demodulador.

Trabalhos futuros serão focados na continuidade do projeto de um sistema de telecomando

espacial que utilize modulação BPSK. Primeiramente, é essencial que se consiga embarcar

o código VHDL sintetizado em uma FPGA, utilizando um kit de desenvolvimento robusto e

especializado em processamento digital de sinais. Outro ponto interessante a ser considerado

são os efeitos da não linearidade do canal espacial sobre o sistema, algo que não foi estudado

neste trabalho. Portanto, seria interessante o desenvolvimento de uma linha de pesquisa

para verificar o desempenho desse sistema quando a não linearidade dos amplificadores de

potência não poderem ser desconsideradas.

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