deformações em vigas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ DISCIPLINA: Resistência dos materiais Professor: Vladimir J. Ferrari Aula: Deformações em vigas 1-Introdução Os esforços solicitantes (forças normais de compressão, forças normais de tração, forças tangenciais, momentos fletores e momentos torsores) causam deformações nas estruturas. O fato de a maioria das deformações serem menores que a acuidade visual permite detectar, sua importância teórica, entretanto, é enorme. Devemos estudar as deformações de vigas pelos seguinte motivo: Limitar as deformações nas estruturas. 2-Equação diferencial da curva deformada da viga Considere uma viga engastada com um carregamento concentrado atuando na extremidade livre (Figura 1a). Sob a ação desse carregamento, o eixo da viga deforma- se em uma curva, como mostrado na Figura 1b. Os eixos de referência têm sua origem na extremidade fixa da viga, com o eixo x direcionado para a direita e o eixo y direcionado para cima. A flecha v é o deslocamento na direção y de qualquer ponto no eixo da viga. Figura 1 – Eixo deformado de uma viga engastada Para obter a equação da curva do eixo deformado, precisamos expressar a flecha v como uma função da coordenada x. Para isso, vamos analisar o eixo deformado com mais detalhes (Figura 2). A flecha v em qualquer ponto m 1 no eixo deformado é mostrado na Figura 2a. O ponto m 1 está localizado à distância x a partir da origem. Um segundo ponto m 2 , localizado à distância x+dx a partir da origem, é também apresentado. A flecha nesse segundo ponto é v+dv, em que dv é incremento na flecha conforme andamos ao longo da curva desde m 1 até m 2 .

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Page 1: Deformações em vigas

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ DISCIPLINA: Resistência dos materiais Professor: Vladimir J. Ferrari

Aula: Deformações em vigas

1-Introdução

Os esforços solicitantes (forças normais de compressão, forças normais de tração, forças tangenciais, momentos fletores e momentos torsores) causam deformações nas estruturas. O fato de a maioria das deformações serem menores que a acuidade visual permite detectar, sua importância teórica, entretanto, é enorme.

Devemos estudar as deformações de vigas pelos seguinte motivo: • Limitar as deformações nas estruturas.

2-Equação diferencial da curva deformada da viga

Considere uma viga engastada com um carregamento concentrado atuando na extremidade livre (Figura 1a). Sob a ação desse carregamento, o eixo da viga deforma-se em uma curva, como mostrado na Figura 1b. Os eixos de referência têm sua origem na extremidade fixa da viga, com o eixo x direcionado para a direita e o eixo y direcionado para cima.

A flecha v é o deslocamento na direção y de qualquer ponto no eixo da viga.

Figura 1 – Eixo deformado de uma viga engastada

Para obter a equação da curva do eixo deformado, precisamos expressar a flecha

v como uma função da coordenada x. Para isso, vamos analisar o eixo deformado com mais detalhes (Figura 2).

A flecha v em qualquer ponto m1 no eixo deformado é mostrado na Figura 2a. O ponto m1 está localizado à distância x a partir da origem. Um segundo ponto m2, localizado à distância x+dx a partir da origem, é também apresentado. A flecha nesse segundo ponto é v+dv, em que dv é incremento na flecha conforme andamos ao longo da curva desde m1 até m2.

Page 2: Deformações em vigas

Figura 2 – Curva do eixo deformado de uma viga

Quando a viga é flexionada, não há somente uma flecha em cada ponto ao longo

do eixo, mas também uma rotação. O ângulo de rotação (θ) do eixo da viga é o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva deformada, como mostrado para o ponto m1, na Figura 2b.

O ângulo de rotação no ponto m2 é θ+dθ, em que dθ é o aumento no ângulo conforme andamos do ponto m1 para o ponto m2. Construindo-se linhas normais às tangentes, o ângulo entre essas normais é dθ e, o ponto de interseção dessas normais é o centro de curvatura O’ (Figura 2a). A distância do centro de curvatura à curva é chamado de raio de curvatura ρ. Da Figura 2a, vemos que:

dsθd.ρ =

Em que ds é a distância ao longo da curva deformada entre os pontos m1 e m2. A

curvatura κ é dada pela equação:

dsθd

ρ1κ == (1)

A convenção de sinal para a curvatura está exemplificada na Figura 3. Note que a curvatura é positiva quando o ângulo de rotação aumenta conforme nos movemos ao longo da viga na direção x positiva.

Page 3: Deformações em vigas

Figura 3 – Convenção de sinal para a curvatura

A inclinação da curva deformada é a primeira derivada dv/dx da expressão

para a flecha v. Em termos geométricos, a inclinação é o incremento dv na flecha, dividido pelo incremento dx na distância ao longo do eixo x. Uma vez que dv e dx são infinitesimalmente pequenos, a inclinação dv/dx é igual à tangente do ângulo de rotação θ. Assim,

θtandxdv

= (2)

De modo similar, obtemos também as seguintes relações:

dsdxθcos = (3a)

dsdvθsen = (3b)

As estruturas encontradas na prática, sofrem variações relativamente pequenas

na forma enquanto estão em serviço. As mudanças são tão pequenas que não são percebidas por um observador casual. Consequentemente, as curvas dos eixos deformados da maioria das vigas e das colunas têm ângulos de rotação muito pequenos, flechas muito pequenas e curvaturas muito pequenas. Sob essas condições podemos fazer algumas aproximações matemáticas que simplificam a análise.

Se o ângulo de rotação θ é um valor muito pequeno (eixo deformado é praticamente horizontal), vemos imediatamente que a diferença ds ao longo da curva é praticamente a mesma que o incremento dx ao longo do eixo x. Essa mesma conclusão pode ser diretamente obtida da equação 3ª. Uma vez que cós é aproximadamente 1 quando o ângulo θ é pequeno, a equação 3a resulta em:

dxds ≅

Assim, da equação 1:

dxθd

ρ1κ == (4)

Page 4: Deformações em vigas

Uma vez que θθ ≅ quando θ é pequeno, podemos fazer a seguinte aproximação para a equação 2:

dxdvθtanθ =≅ (5)

Assim, se as rotações de uma viga são pequenas, podemos assumir que o ângulo de rotação θ e a inclinação dv/dx são iguais.

Tomando a derivada de θ com relação à x na equação (5), obtemos:

2

2

dxvd

dxθd= (6)

Combinando (6) com (4), obtemos uma relação entre a curvatura de uma viga e sua flecha:

2

2

dxvd

ρ1κ == (7)

Essa equação é válida para uma viga de qualquer material, com a condição de que as rotações sejam pequenas.

Se o material de uma viga é elástico linear e segue a lei de Hooke, a curvatura é:

EIM

ρ1κ == (8)

Em que M é o momento fletor e EI é a rigidez de flexão da viga. Combinando a equação (7) com (8), obtém-se a equação diferencial do eixo deformado de uma viga:

EIM

dxvd2

2

= (9)

Essa equação pode ser integrada em cada caso particular para encontrar a flecha v, com a condição de que o momento fletor M e a rigidez EI sejam conhecidos como funções de x.

Convenções de sinal: a)os eixos x e y são positivos para a direita e para cima, respectivamente; b)a flecha v é positiva para cima; c)a inclinação dv/dx e o ângulo de rotação θ são positivos quando anti-horários

com relação ao eixo x positivo; d)a curvatura κ é positiva quando a viga é fletida côncava para cima; e)o momento fletor M é positivo quando produz tração na parte inferior da viga. Sabemos que:

qdxdV

−= VdxdM

= (10)

As convenções de sinal para o carregamento distribuído q e para o esforço V são mostrados na Figura 4.

Page 5: Deformações em vigas

Figura 4 – Convenção de sinal para q e V

Diferenciando a equação (9) com relação a x e substituindo, então, as equações

(10), podemos obter as equações adicionais:

Mdx

vdEI 2

2

= ; Vdx

vdEI 3

3

= ; qdx

vdEI 4

4

−= (11)

Podemos também representar da seguinte maneira:

EI.v”=M; EI.v´´`=V; EI.v””=-q (12) 2.1-Considerações sobre a equação diferencial da curva deformada da viga

Independentemente do número de equações de momento fletor para a viga, o

procedimento geral para resolver equações diferenciais é como segue: a)Para cada região da viga, substituímos as expressões para M na equação

diferencial e integramos para obter a inclinação v´. Cada uma das integrações produz uma constante de integração;

b)Integra-se cada equação da inclinação para obter a flecha v. Novamente, cada integração produz uma nova constante. Assim, há duas constantes de integração para cada região da viga. As constantes são avaliadas a partir de condições conhecidas relativas às inclinações e flechas:

c)Condições de contorno são relacionadas às flechas e inclinações nos apoios da viga. Por exemplo, como mostrado na Figura 5. Em um apoio simples, a flecha é nula e, em um apoio engastado, tanto a flecha como a inclinação são nulas.

Page 6: Deformações em vigas

Figura 5 – Condições de contorno

d)Condições de continuidade ocorrem em pontos em que as regiões de

integração encontram-se, como no ponto C da Figura 6. A curva do eixo deformado dessa viga é fisicamente contínua no ponto C, e em conseqüência a flecha no ponto C, determinada pela parte esquerda da viga, precisa ser igual à flecha determinada pela parte direita. De forma similar, as inclinações encontradas para cada parte da viga precisam ser iguais no ponto C.

e)Condições de simetria podem também ser avaliadas. Por exemplo, se uma viga

suporta uma carga uniforme em todo o seu comprimento, sabemos antecipadamente que a inclinação da curva do eixo deformado no ponto médio precisa ser zero.

2.2-Flecha por integração da equação da força de cisalhamento e da equação de carregamento

As equações da curva do eixo deformado em termos da força de cisalhamento V e do carregamento q (equações 11b e 11c) podem também ser integradas para obter inclinações e flechas. Uma vez que os carregamentos são valores usualmente conhecidos, enquanto os momentos fletores precisam ser determinados a partir de diagramas de corpo livre e equações de equilíbrio, muitos preferem iniciar com a equação de carregamento.

Os procedimentos para resolver tanto a equação de carregamento como a equação da força de cisalhamento são similares àqueles para resolver a equação do momento fletor, exceto que mais integrações são exigidas. Por exemplo, se começamos com a equação de carregamento, quatro integrações são necessárias de modo a chegar à flecha.

3-Exercícios: Equação diferencial da curva deformada da viga 1)A curva do eixo deformado da viga AB é dada pela seguinte equação:

)x3xL10L7(LEI360xq

v 42240 +−−=

Descreva o carregamento que está atuando na viga.

Page 7: Deformações em vigas

2)

3)

Page 8: Deformações em vigas

4)

Respostas dos exercícios:

1)carga triangular agindo para baixo: L

xqq 0=

2)h=96mm 3)80,3GPa 4)1/320 4-Método da área do momento

Neste item iremos descrever outro método para encontrar flechas e ângulos de rotação de vigas. Como o método é baseado em dois teoremas relacionados à área do diagrama do momento fletor, é chamado de método da área do momento.

O método é válido somente para vigas elásticas lineares com pequenas inclinações. Do ponto de vista prático, o método é limitado para encontrar flechas e ângulos de rotação em pontos específicos no eixo de uma viga.

4.1-Primeiro Teorema da Área do momento

Considere um segmento AB da curva deformada de uma viga em uma região em que a curvatura é positiva (Figura 6). No ponto A, a tangente AA’ à curva deformada tem ângulo θA em relação ao eixo x e, no ponto B, a tangente BB’ tem ângulo θB. Essas duas tangentes encontram-se no ponto C e o ângulo entre elas é denotado por θB/A, e é igual a diferença entre θB e θA:

θB/A = θB - θA (13) Assim, o ângulo θB/A pode ser descrito como o ângulo à tangente em B medido

relativo à tangente em A. Considere agora dois pontos m1 e m2 no eixo deformado da viga. Esses pontos

estão separados por uma pequena distância ds. As tangentes à curva deformada nesses

Page 9: Deformações em vigas

pontos são mostradas na Figura 6 pelas linhas m1p1 e m2p2. As normais a essas tangentes se cruzam no centro de curvatura (não representado na figura). O ângulo dθ entre as normais é dado pela seguinte relação:

ρdsθd = (14)

Em que ρ é o raio de curvatura e dθ é medido em radianos. Como as normais e as tangentes são perpendiculares, segue-se que o ângulo entre as tangentes é também igual a dθ.

Figura 6 – Primeiro teorema da área do momento

Para uma viga com pequenos ângulos de rotação, podemos substituir ds por dx.

Assim;

ρdxθd = (15)

Da equação (8) sabemos que:

EIM

ρ1κ ==

E, em conseqüência:

EIdx.Mθd = (16)

Em que, M é o momento fletor e EI é a rigidez a flexão da viga. A quantidade M.dx/EI tem uma interpretação geométrica simples. Reporte-se a

Figura 6, em que desenhamos o diagrama M/EI abaixo da viga. Em qualquer ponto ao longo do eixo x, a altura desse diagrama é igual ao momento fletor M no ponto dividido pela rigidez EI nesse ponto. Assim, o diagrama M/EI tem a mesma forma que o diagrama do momento fletor, sempre que EI seja constante.

O termo M.dx/EI é a área da faixa hachurada de largura dx dentro do diagrama M/EI.

Page 10: Deformações em vigas

Vamos agora integrar dθ (equação 16) entre os pontos A e B da curva

deformada da viga:

∫ ∫=B

A

B

A EIdx.Mθd (17)

A integral do lado esquerdo torna-se θB - θA, que é exatamente o ângulo θB/A. A integral do lado direito é a área do diagrama M/EI entre os pontos A e B.

Agora podemos escrever a equação (17) como segue:

∫=B

AA

B EIdx.Mθ (18.a)

θB/A = área do diagrama M/EI entre os pontos A e B (18.b)

A equação (18) pode ser estabelecida como um teorema:

Primeiro Teorema da área do momento: o ângulo θB/A entre as tangentes à curva do eixo deformado em dois pontos A e B é igual a área do diagrama M/EI entre

esses pontos.

Convenção de sinais: 1-os ângulos θA e θB são positivos quando no sentido anti-horário; 2-o ângulo θB/A entre as tangentes é positivo quando o ângulo θB é

algebricamente maior que θA; 3-o momento M é positivo como apresentado na Figura 4. As convenções de sinais colocadas anteriormente são frequentemente ignoradas

na prática porque as direções dos ângulos de rotação são usualmente óbvias a partir de uma inspeção da viga e de seus carregamentos. Se esse é o caso, podemos simplificar os cálculos ignorando os sinais e usando somente valores absolutos.

4.2-Segundo Teorema da Área do Momento

O segundo Teorema está relacionado às flechas em vez dos ângulos de rotação.

Considere a curva do eixo deformado entre os pontos A e B (Figura 7).

Page 11: Deformações em vigas

Figura 7 – Segundo Teorema da Área do Momento

Desenhamos a tangente no ponto A e notamos que sua interseção com uma linha

vertical através do ponto B está no ponto B1. A distância vertical entre os pontos B e B1 é denotada por tB/A. Essa distância é referida como o desvio tangencial de B com relação a A, ou seja, é o desvio vertical do ponto B na curva do eixo deformado da tangente em A.

Para determinar o desvio tangencial, selecionamos dois pontos m1 e m2 separados por uma pequena distância na curva. O ângulo entre as tangentes nesses dois pontos é dθ, e o segmento na linha BB1 entre essas tangentes é dt. Uma vez que esses ângulos entre as tangentes e o eixo x são realmente muito pequenos, vemos que a distância vertical dt é igual a x1.dθ, em que x1 é a distância horizontal do ponto B ao pequeno elemento m1m2. Uma vez que dθ=M.dx/EI, obtemos:

EIdx.M.xθd.xdt 11 == (19)

A expressão x1.M.dx/EI pode ser interpretada geometricamente como o primeiro momento da área da faixa hachurada de largura dx dentro do diagrama M/EI. Esse primeiro momento é avaliado com relação à linha vertical através do ponto B.

Integrando a equação (19) entre os pontos A e B, temos:

∫ ∫=B

A

B

A1 EI

dx.M.xdt (20)

A integral do lado esquerdo é igual a tB/A, isto é, igual ao desvio do ponto B da tangente em A. A integral no lado direito representa o primeiro momento com relação ao ponto B da área do diagrama M/EI entre A e B. Assim, podemos reescrever a equação (20) como:

∫=B

A1

AB EI

dx.M.xt (21)

tB/A = primeiro momento da área do diagrama M/EI entre os pontos A e B, avaliado com relação a B

A equação (21) representa o segundo teorema:

Page 12: Deformações em vigas

Segundo teorema da área do momento: o desvio tangencial tB/A do ponto B da

tangente no ponto A é igual ao primeiro momento da área do diagrama M/EI entre A e B, avaliado com relação a B.

4.3-Aplicações do método da área do momento Aplicação 1: Determine o ângulo de rotação θB e a flecha δB na extremidade livre B de uma viga engastada AB suportando um carregamento concentrado P. A viga tem comprimento L e uma rigidez a flexão EI constante.

O diagrama de momento fletor é de forma triangular com momento no apoio dado por –P.L; Uma vez que a rigidez EI é constante, o diagrama M/EI tem a mesma forma que o diagrama do momento fletor; Do teorema da área do momento sabemos que o ângulo θB/A entre as tangentes nos pontos B e A é igual à área do diagrama M/EI entre esses pontos. Essa área, que iremos denotar por A1, é:

EI2L.P

EIL.P)L(

21A

2

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

O ângulo de rotação relativo entre os pontos A e B, do primeiro teorema, é:

EI2L.PAθθθ

2

1ABA

B ==−=

Uma vez que a tangente à curva do eixo deformado no apoio A é horizontal (θA=0),

EI2L.Pθ

2

B =

A flecha δB pode ser obtida a partir do segundo teorema da área do momento. Nesse caso, o desvio tangencial tB/A do ponto B da tangente em A é igual à própria flecha δB. O primeiro momento de área do diagrama M/EI, avaliado com relação ao ponto é:

_32

11 EI3PL

3L2

EI2L.Px.AQ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

Estamos desprezando os sinais e usando somente valores absolutos.

Page 13: Deformações em vigas

Do segundo teorema da área do momento, sabemos que a flecha δB é igual ao primeiro momento Q1. Assim,

_3

B EI3PLδ =

5-Exercícios: Método da área do momento 1-Uma viga simples ADB suporta um carregamento concentrado P atuando na posição mostrada na figura. Determine o ângulo de rotação θA no apoio A e a flecha δD sob o carregamento P.

2-Encontre o ângulo de rotação θB e a flecha δB na extremidade livre B de uma viga engastada ACB suportando um carregamento uniforme de intensidade q atuando sobre a metade direita da viga.

q

A C B

L/2 L/2

Respostas:

1-LEI3

bPaδ);bL(LEI6Pabθ

22

DA =+= ;

2-EI384

qL41δ;EI48

qL7θ4

B

3

B ==