SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO

RIO GRANDE DO NORTE - IFRN CAMPUS JOÃO CÂMARA

12ª APOSTILA - SEQUÊNCIAS

AS VÁRIAS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

E AS DUAS PROGRESSÕES

Quando certo conjunto de números reais é ordenado segundo algum critério ou não, dizemos que eles formam uma sequência numérica ou uma sucessão ou uma progressão. Esta sequência terá um primeiro termo (a1), um segundo termo (a2), um terceiro termo (a3) e assim por diante e sua ordem não pode ser alterada. É simbolizada por uma letra minúscula com um índice e seus elementos são exibidos de forma idêntica àquela usada para conjuntos, mas com uma diferença: no lugar das chaves são usados os parênteses. Veja exemplo de sequências:

an = ( 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)

bn = (5, 50, 500, 5.000, 50.000, ...)

cn = (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100)

dn = ( 4, 14, 15, 400, 401, 402, ...)

en = (14,12,34,1 ,54,32,74,2 ,94…,3154 )

fn = (√5 ,2√5 ,3√5 ,4 √5 ,5√5 ,…¿

gn = ( 2, -6, 17, 3√6 , 4

11 )

DISCIPLINA: MATEMÁTICA

ALUNO (A): TURMA:

Prof.o : FRANCISCO QUARANTA NETO Data :

De acordo com a quantidade de elementos, as sequências numéricas podem ser finitas ou infinitas. Os exemplos an, cn, en e gn possuem um número finito de elementos. As demais apresentam uma infinidade de elementos.

Relembrando o conceito de função já estudado, uma sucessão pode ser entendida como uma função onde os termos são associados com a posição que ocupam. Assim, o domínio dessa função será formado pelos números naturais (posição dos termos) e o contra-domínio pelos números reais (termos da sequência). Fazendo a representação simbólica:

Sequência equivale a uma função com domínio formado pelos naturais

( an ) ↔ f : N→R

Normalmente, quando criamos uma sucessão, temos em mente uma propriedade específica que possibilitará “adivinhar” qual será o próximo elemento da sequência. No primeiro exemplo, percebe-se que os números pares formam a sucessão, ou seja, existe uma propriedade que “manda” adicionar o número 2 a um elemento para gerar o elemento seguinte. Já no segundo exemplo, percebe-se que existe uma propriedade que multiplica o número 10 ao elemento atual para gerar o elemento seguinte. Você pode tentar adivinhar as propriedades mostradas nos exemplos seguintes!

Dentre os diversos tipos de propriedades que podemos usar para criar uma sucessão, duas se destacam: aquelas usadas nos dois primeiros exemplos, uma vez que utilizam as duas operações numéricas comutativas existentes: a adição e a multiplicação. As sequências geradas através de uma simples operação de somar ou de multiplicar serão denominadas, respectivamente, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas. Elas serão estudadas logo a seguir.

EXERCÍCIOS

1 – Para cada exemplo mostrado, tente criar outra sucessão usando a mesma propriedade do exemplo.

2 – Escreva uma sequência finita com uma propriedade diferente daquelas já exemplificadas.

3 – Qual é o próximo termo da seguinte sequência:

a) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ) b) (1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, ... )

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Se a partir de um termo qualquer da sequência que queremos estudar, fizermos a adição dele com um certo número real, será obtido o termo seguinte da sequência. Se a este novo termo for somado aquele mesmo número real usado na primeira vez, um próximo termo será gerado. Se prosseguirmos usando esta mesma propriedade de somar um número fixo para produzir o termo seguinte, então teremos criado uma progressão que é denominada “Aritmética”. Conhecida popularmente pelas iniciais do seu nome, P. A., ela é uma sucessão onde cada termo é somado a um número constante para produzir o termo seguinte. Este número constante é denominado “Razão” da P. A. e sua representação é feita pela sua letra inicial r. Veja, a seguir, diversos exemplos de progressões aritméticas acompanhadas das suas respectivas razões.

an = ( 3, 5, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19) r = 2

bn = (-5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...) r = 5

cn = (-11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, …) r = 3

dn = ( 40, 30, 20, 10, 0, -10, -20, -30, ...) r = -10

en = (15,25,35,45,1 ,65,75,85,95,2 ,115…,3145 ) r =

15

fn = (√5 ,11√5 ,21√5 ,31√5 ,41√5 ,…¿ r = 10√5

gn = ( 0,2; 0,3; 0,4, 0,5 ;0,6 ) r = 0,1

hn = (3√7 ,0 ,−3√7 ,−2 3√7 ,−3 3√7 ,−4 3√7 ,… ) r = −3√7

in = (3, 3, 3, 3, ...) r = 0

Vale destacar que, no caso da P. A. acima chamada por gn, os elementos foram separados por ponto e vírgula e não por vírgulas, uma vez que os números presentes já possuíam a vírgula na sua representação.

As progressões aritméticas podem ser classificadas em três tipos conforme o sinal da sua razão:

{ Crescente−razão positivaConstante−razão nula

Decrescente−razão negativa

Dentre os exemplos mostrados, dn e hn são decrescentes, hn é constante e as demais são crescentes.

O TERMO GERAL DE UMA P. A.

Observe a P. A. (3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, ... ). Podemos fazer o seguinte questionamento: qual será o centésimo quadragésimo nono termo dessa sequência? Usando a simbologia adequada, quanto vale a149?

A razão dessa P. A. vale 7, pois se subtrairmos um termo do seu anterior, obtemos o resultado 7. Por exemplo, a2 – a1 = 10 – 3 = 7, mas também a3 – a2 = 17 – 10 = 7, assim como a7 – a6 = 45 – 38 = 7. De uma forma geral, para qualquer P. A., a razão r pode ser obtida se subtrairmos um termo qualquer an do seu anterior an-1:

r

É claro que podemos obter a149 fazendo de um por um até chegar lá. Mas vai demorar muito!!!!!

Além disso, a chance de se cometer um erro fica muito grande em função do grande número de contas que serão realizadas. Precisamos de uma solução mais elegante e que não demore tanto tempo. Pediremos ajuda da álgebra a fim de obter uma ferramenta muito mais potente do que essa idéia da geração do termo seguinte a partir do anterior através da soma.

O 1o termo da P. A. vale: a1 = 3.

O 2o termo da P. A. vale: a2 = 10. Como a2 = a1 + r, então ele pode ser rescrito como 3 + 7 = 10.

O 3o termo da P. A. vale: a3 = 17. Como a3 = a2 + r, então ele pode ser rescrito como 10 + 7. Mas como a2 = a1 + r, podemos dizer que a3 = a1 + r + r = a1 + 2r. Assim, a3 = 3 + 7 + 7 = 3 + 2 . 7 = 17.

O 4o termo da P. A. vale: a4 = 24. Como a4 = a3 + r, então ele pode ser rescrito como 17 + 7. Mas como a3 = a1 + 2.r, podemos dizer que a4 = a1 + 2.r + r = a1 + 3r. Assim, a4 = 3 + 7 + 7 + 7 = 3 + 3 . 7 = 24.

O 5o termo da P. A. pode ser rapidamente obtido: a5 = a1 + 4r = 3 + 4 . 7 = 31.

O 6o termo da P. A.: a6 = 3 + 5 . 7 = 38.

O 7o termo da P. A.: a7 = 3 + 6 . 7 = 45.

O 8o termo da P. A.: a8 = 3 + 7 . 7 = 52.

O 20o termo da P. A.: a20 = 3 + 19 . 7 = 136.

O 100o termo da P. A.: a100 = 3 + 99 . 7 = 696.

O 149o termo da P. A. que foi pedido: a149 = 3 + 148 . 7 = 1039.

Assim, o centésimo quadragésimo nono termo (a149) da P. A. proposta vale 1039.

Partindo dessa idéia que qualquer termo de uma P. A. pode ser obtido somando o primeiro termo com o produto entre a razão e a posição do termo menos um, podemos transformar essa idéia em uma linguagem

algébrica. Assim, como o termo qualquer será representado por an,o primeiro termo será a1, a razão por r e a

posição do termo que queremos achar por n, podemos concluir que:

r = an – an-1

an = a1 + (n – 1) .

Esta fórmula é denominada termo geral da P. A. e será uma ferramenta essencial para a resolução de problemas. Vale frisar que ela possui 4 incógnitas:

Termo qualquer: an

Primeiro termo: a1

Razão: rPosição do termo qualquer: n

Consequentemente, quatro problemas básicos podem ser lançados:

1) Achar o termo qualquer (an) – Este problema acabou de ser resolvido.

2) Achar o primeiro termo (a1).

Seja a P. A. ( ..., 45, 52, 59). Sabemos que o termo 59 ocupa a nona posição dessaprogressão. Descubra quanto vale o primeiro termo.A razão vale 52 – 45 = 7. Ora, se a9 = 59, basta utilizar o termo geral:

a9 = a1 + 8 . r

Substituímos os valores já conhecidos:

59 = a1 + 8 . 7

Ao resolver a equação, obtemos o valor de a1:

a1 = 3

3) Achar a posição do termo qualquer ou o número de termos da P. A. (n).

Seja a P. A. (10, ... , 45, 52, 59, 66). Descubra quantos termos tem essa P. A..A razão vale 52 – 45 = 7. Basta utilizar o termo geral para o último termo:

an = a1 + (n – 1) . r

Substituímos os valores já conhecidos:

66 = 10 + (n – 1) . 7

Ao resolver a equação, obtemos o valor de n:

66 – 10 = 7n – 7

n = (56 + 7)/7 = 9

Essa P. A. possui 9 termos.

4) Achar a razão (r).

Seja a P. A. (10, ... , 87). Sabemos que o termo 87 ocupa a décima segunda posição dessa progressão. Descubra qual é a razão dessa P. A..

Basta utilizar o termo geral para o último termo:

a12 = a1 + (12 – 1) . r

Substituímos os valores já conhecidos:

87 = 10 + (12 – 1) . r

Ao resolver a equação, obtemos o valor de r:

77 = 11r

r = 7

Essa P. A. possui razão valendo 7.

Os problemas mais elaborados, usando apenas o termo geral, são aqueles que esta fórmula será usada

mais de uma vez. Por exemplo, se soubermos que a soma do primeiro com o quarto termo de uma P. A. vale 27

enquanto a soma do terceiro com o oitavo termo de uma 69, qual o valor da razão desta P. A. ? Neste

problema, o termo geral será usado três vezes, uma vez para cada termo citado. Todos eles ficarão em função

do primeiro termo a1 e da razão r. Em seguida, resolvemos o sistema de equações com duas incógnitas. Veja:

{a1+a4=27a3+a8=69

Usando o termo geral:

a8 = a1 + 7 . r

a4 = a1 + 3 . r

a3 = a1 + 2 . r

Substituindo no sistema acima as equações vindas do termo geral:

{ a1+a1+3 r=27a1+2 r+a1+7 r=69

Simplificando o sistema:

{2a1+3 r=27(I )2a1+9 r=69 (II)

Subtraindo a equação (I) da equação (II), membro a membro, obtemos:

9 r –3 r=69−27

r=7

SOMA DOS TERMOS DE UMA P. A. FINITA

Para efetuar a soma de uma quantidade finita de termos de uma P. A., uma idéia bem simples pode ser

usada. Observe a P. A. (2, 3, 4, 5, 6, ... , 17, 18, 19, 20, 21).

Poderíamos fazer a soma destes termos de uma P. A. de razão 1: 2 + 3 = 5, depois 5 + 4 = 9, em

seguida 9 + 5 = 14, depois 14 + 6 = 20, e assim por diante, até chegar em 209 + 21 = 230. Porém, isso daria

muito trabalho e levaria muito tempo. Se não concorda comigo, some os 1000 primeiros números naturais!

Agora, você concorda?

Existe uma forma mais simples de efetuar esta soma de todos os termos de uma P. A.. Basta somar o

primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, o terceiro com o antepenúltimo, e assim por diante, até

incluir todos os termos. Veja:

2 + 21 = 23

3 + 20 = 23

4 + 19 = 23

Não precisamos fazer todas as somas necessárias, uma vez que o resultado sempre está dando 23.

Nosso problema pode ser visto, agora, de outra maneira. Temos que somar o número 23 com ele mesmo várias

vezes para chegar onde queremos:

23 + 23 + 23 + ... + 23

Resta descobrir quantas vezes aparece o número 23. Nesse caso, se subtrairmos o primeiro do último

termo e somarmos 1, chegaremos ao resultado correto de 20 termos existentes nessa P.A. (Quando a razão

não é um, esse procedimento não é suficiente, algo mais precisa ser feito). A cada dois termos somados dessa

P. A. um número 23 foi gerado, então pode-se concluir que a quantidade de vezes que o número 23 aparecerá

será a metade do número de termos da progressão. Nesse caso, 20/2, chegaremos ao número 10. Assim, o

resultado final será:

23 . 10 = 230

Essa idéia usada nesta P. A. poderá ser usada para qualquer outra P. A.. Repito para qualquer P. A..

Basta somar o primeiro a1 com o último termo an. Em seguida, esse resultado deve ser multiplicado pela metade

do número de termos da sucessão, uma vez que segue a mesma lógica usada no exemplo anterior. Isto vale

mesmo se a quantidade de termos da P. A. for ímpar. A fórmula final ficará:

Sn = soma dos n primeiros termos de uma P. A.

a1 = primeiro termo

an = último termo ou termo de posição n

n = número de termos da P. A. ou posição do último termo da P. A.

EXERCÍCIOS

Nível introdutório (uso de apenas 1 fórmula)1 – Qual é o décimo terceiro termo da P.A. (3, 8, 13, 18, ... )?2 – Qual é o primeiro termo da P.A. ( a1 , a2, a3, ... , 27, 31), sabendo que ela possui 9 termos?3 – Quanto vale a razão da seguinte P.A. finita e com 8 termos: (-4, ... , 10)?4 – Escreva o termo geral da P.A. (7, 11, 15, ...).5 – Quanto vale a soma dos termos da P.A. (17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35)?6 – Quanto vale a soma dos números que formam uma P.A. com 12 termos, que possui primeiro termo igual a 8 e o último igual a 32?7 – A soma dos 5 primeiros termos de uma P.A. decrescente vale 40. Se seu primeiro termo vale 12, quanto vale seu último termo?8 – Na P.A. finita (1, ... , 47), a soma dos termos vale 480. Quantos nos existem nesta progressão?

Nível intermediário (uso de 2 fórmulas ou interpretação mais elaborada)1 – Três números consecutivos de uma P.A. são definidos por x + 2, x 2 - 1 e x2 + 8. Quais os possíveis valores de x?2 – As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em P.A. O perímetro do triângulo é 48cm. Quanto vale a hipotenusa?

Sn= (a1+an ) . n2

3 – Qual é a soma dos 12 primeiros termos da P.A. (30, 28, 26, ...)?4 – Em uma P.A., a3 + a7 = 36 e a5 + a8 = 48. Calcule o 4o termo dessa P.A.?5 – Calcule o 5o termo de uma P.A. quando são inseridos cinco meios aritméticos entre 4 e 22.6 – Qual é a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 300?7 – Resolva a equação (5 + 9 + 13 + ... + x) = 119.8 – A soma dos termos de uma P.A. é Sn = 2n2 + 3n para todo n N*. Calcule o 5o termo da P.A.9 – A soma dos 7 primeiros termos de uma P.A. que começa com 20 vale 350. Qual é sua razão?

10 – (Faap-SP) Ache a P.A. de três termos cuja soma é 18 e o produto é 192.11 – Um estacionamento cobra R$1,50 pela 1a hora. A partir da segunda hora, cujo valor é R$1,00, até a décima segunda, cujo valor é R$0,40, os preços caem em P.A. Se um automóvel ficar estacionado cinco horas neste local, quanto gastará seu proprietário ?a) R$4,58 b) R$5,41 c) R$5,14 d) R$4,85 e) R$5,34.12 – (.F C. Chagas-BA) A soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. vale 600. Se o 2 o termo dessa P.A. é -4, a razão é:a) -4 b) -2 c) -1 d) 2 e) 4.13 – (Osec-SP) Existe um triângulo retângulo cujas lados são números pares em P.A. de razão 6 ?a) Não Existeb) Existe e os lados medem 14, 20 e 26c) Existe e os lados medem 20, 25 e 30d) Existe e os lados medem 18, 24 e 30e) Existe, mas não é retângulo.

Nível Avançado (uso de várias fórmulas e/ou interpretação difícil)1 – (UECE) Seja (a1, a2, a3, ..., ak) uma P.A. de razão r. Se 3ak = 7a1, r = 1/k e a1 + a2 + a3 + ... + ak = 5, então a2 é igual a:a) 4/5 b) 6/5 c 4/3 d) 5/3 e) 5/6.2 – (Mackenzie-SP) A soma do 1o com o 4o termo de uma P.A. é 9. Se a razão é igual a 4/3 do 1o termo, o 3o termo é:a) 3/2 b) 13/2 c) 15/2 d) 7/2 e) 11/2.3 – (Osec-SP) Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50m da 1a roseira e cada roseira dista 2m da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche o balde na torneira e despeja seu conteúdo na 1a. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde, ele terá andado:a) 1200m b) 1180m c) 1130m d) 1110m e) 1000m.

RESPOSTAS

Nível introdutório1) 63 2) -1 3) 2 4) an = 4n + 3 5) 260 6) 240 7) 4 8) 20

Nível intermediário1) -3 ou 4 2) 20cm 3) 228 4) 14 5) 16 6) 3663 7) x=29 8) 21 9) 10 10) (4, 6, 8) ou (8, 6, 4) 11) c 12) e 13) d

Nível Avançado1) a 2) e 3) b

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Se a partir de um termo qualquer da sequência em questão, fizermos a multiplicação dele com um certo número real, será obtido o termo seguinte da sequência. Se a este novo termo for multiplicado aquele mesmo número real usado na primeira vez, um próximo termo será gerado. Se prosseguirmos usando esta mesma propriedade de multiplicar um número fixo para produzir o termo seguinte, então teremos criado uma progressão que é denominada “Geométrica”. Conhecida popularmente pelas iniciais do seu nome, P. G., ela é uma sucessão onde cada termo é produto do termo anterior com um número constante para produzir o termo seguinte. Este número constante é denominado “Razão” da P. G. e sua representação é feita pela sua letra inicial q. Veja, a seguir, diversos exemplos de progressões geométricas acompanhadas das suas respectivas razões.

an = ( 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192) q = 2

bn = (-1, -5, -25, -125, -625) q = 5

cn = (19,13 , 1, 3, 9, 27, 81, 243, …) q = 3

dn = ( 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 12,14,18 , ...) q =

12

en = (5 ,−10 ,20 ,−40 ,80 ,−160 ,320 ,…) q =−2

fn = (√5 ,√5 ,√5 ,√5 ,√5 ,…¿ q = 1

gn = ( 0,002; 0,02; 0,2; 2; 20; 200; 2000) q = 10

hn = (3√7 ,0 ,0 ,0 ,0 ,… ) q = 0

in = (81 ,−27 ,9 ,−3 ,1,−13,19… ) q =

−13

jn = (2 ,2√7 ,14 ,14√7 ,98 ,98√7 ,… ) q = √7

Vale destacar que, no caso da P. G. acima chamada por gn, os elementos foram separados por ponto e vírgula e não por vírgulas, uma vez que os números presentes já possuíam a vírgula na sua representação.

As progressões geométricas podem ser classificadas em cinco tipos conforme o valor da sua razão:

{Crescente−razãomaior que um−r>1Constante−razãounitária−r=1

Decrescente−razão entre0e 1−0<r<1Nula−razão nula−r=0

Alternada−razãomenor queum−r<1

Dentre os exemplos mostrados, en e in são alternadas, hn é nula, dn é decrescente, fn é constante e as demais são crescentes.

O TERMO GERAL DE UMA P. G.

Observe a P. G. (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, ... ). Podemos fazer o seguinte questionamento: qual será o vigésimo nono termo dessa sequência? Usando a simbologia adequada, quanto vale a29?

A razão dessa P. G. vale 2, pois se dividirmos um termo do seu anterior, obtemos o resultado 2. Por

exemplo, a2a1

= 105

= 2, mas também a3a2

= 2010

= 2, assim como a43

= 4020

= 2. De uma forma geral, para

qualquer P. G., a razão r pode ser obtida se dividirmos um termo qualquer an do seu anterior an-1:

É claro que podemos obter a29 fazendo de um por um até chegar lá. Mas ninguém merece sofrer tanto!!!!!

Além disso, a chance de se cometer um erro fica muito grande em função do grande número de contas que serão realizadas. Precisamos de uma solução mais elegante e que não demore tanto tempo. Pediremos ajuda da álgebra a fim de obter uma ferramenta muito mais potente do que essa idéia da geração do termo seguinte a partir do anterior através da soma.

O 1o termo da P. G. vale: a1 = 5.

O 2o termo da P. G. vale: a2 = 10. Como a2 = a1 . r, então ele pode ser rescrito como 5 . 2 = 10.

O 3o termo da P. G. vale: a3 = 20. Como a3 = a2 . r, então ele pode ser rescrito como 10 . 2. Mas como a2 = a1 . r, podemos dizer que a3 = a1 . r . r = a1 . r2. Assim, a3 = 5 . 22 = 20.

O 4o termo da P. G. vale: a4 = 40. Como a4 = a3 . r, então ele pode ser rescrito como 20 . 2. Mas como a3 = a1 . r2, podemos dizer que a4 = a1 . r2 . r = a1 + r3. Assim, a4 = 5 . 23 = 40.

O 5o termo da P. G. pode ser rapidamente obtido: a5 = a1 . r4 = 5 . 24 = 80.

O 6o termo da P. G.: a6 = 5 . 25 = 160.

O 7o termo da P. G.: a7 = 5 . 26 = 320.

O 8o termo da P. G.: a8 = 5 . 27 = 640.

q = an

an−1

Assim, usando a idéia anterior, chegamos:

O 29o termo da P. G.: a29 = 5 . 228 = 1.342.177.280.

Assim, o vigésimo nono termo (a29) da P. G. proposta vale 1.342.177.280.

Partindo dessa idéia que qualquer termo de uma P. A. pode ser obtido somando o primeiro termo com o produto entre a razão e a posição do termo menos um, podemos transformar essa idéia em uma linguagem

algébrica. Assim, como o termo qualquer será representado por an,o primeiro termo será a1, a razão por r e a

posição do termo que queremos achar por n, podemos concluir que:

Esta fórmula é denominada termo geral da P. G. e será uma ferramenta essencial para a resolução de problemas. Vale frisar que ela possui quatro incógnitas:

Termo qualquer: an

Primeiro termo: a1

Razão: qPosição do termo qualquer: n

Novamente, exatamente como na P.A., quatro problemas básicos podem ser lançados a partir do termo geral da P. G.:

1) Achar o termo qualquer (an) – Este problema acabou de ser resolvido.

2) Achar o primeiro termo (a1)

Seja a P. G. ( ..., 64, 128, 256). Sabemos que o termo 256 ocupa a sétima posição

dessa progressão. Descubra quanto vale o primeiro termo.

A razão vale 12864

= 2. Ora, se a7 = 256, basta utilizar o termo geral:

a7 = a1 . r6

Substituímos os valores já conhecidos:

256 = a1 . 26

Ao resolver a equação, obtemos o valor de a1:

a1 = 4

3) Achar a posição do termo qualquer ou o número de termos da P. G. (n)

Seja a P. G. (4, ... , 128, 256, 512, 1024). Descubra quantos termos tem essa P. G..

A razão vale 256128

= 2. Basta utilizar o termo geral para o último termo:

an = a1 . qn-1

Substituímos os valores já conhecidos:

1024 = 4 . 2n-1

Ao resolver a equação, obtemos o valor de n:

28 = 2n-1

an = a1 . qn-1

n = 8+1 = 9

Essa P. G. possui 9 termos.

4) Achar a razão. (q)

Seja a P. G. (4, ... , 4096). Sabemos que o termo 4096 ocupa a décima primeira posição

dessa progressão. Descubra qual é a razão dessa P. G..

Basta utilizar o termo geral para o último termo:

a11 = a1 . q10

Substituímos os valores já conhecidos:

4096 = 4 . q10

Ao resolver a equação, obtemos o valor de q:

1024 = q10

q = 2

Essa P. G. possui razão valendo 2.

Os problemas mais elaborados, usando apenas o termo geral, são aqueles onde esta fórmula será

usada mais de uma vez. Por exemplo, se soubermos que o produto do primeiro com o quarto termo de uma P.

G. vale 8 enquanto o produto do terceiro com o oitavo termo vale 512, qual o valor da razão desta P. G. ? Neste

problema, o termo geral será usado três vezes, uma vez para cada termo citado. Todos eles ficarão em função

do primeiro termo a1 e da razão r. Em seguida, resolvemos o sistema de equações com duas incógnitas. Veja:

{ a1 . a4=8a3 . a8=512

Usando o termo geral:

a8 = a1 . q7

a4 = a1 . q3

a3 = a1 . q2

Substituindo no sistema acima as equações vindas do termo geral:

{ a1 . a1 . q3=8

a1 . q2 . a1. q

7=512

Simplificando o sistema:

{ a12 . q3=8(I )

a12 .q9=512(II )

Dividindo a equação (I) da equação (II), membro a membro, obtemos:

q9

q3=5128

q=2

PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P. G. FINITA

Para efetuar o produto de uma quantidade finita de termos de uma P. G., uma idéia bem simples pode

ser usada. Observe a P. G. (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128).

Poderíamos fazer a soma destes 8 termos de uma P. G. de razão 2: 1 . 2 = 2, depois 2 . 4 = 8, em

seguida 8 . 8 = 64, depois 64 . 16 = 1024, e assim por diante, até chegar ao resultado. Porém, isso daria muito

trabalho e levaria muito tempo.

Existe uma forma mais simples de efetuar este produto de todos os termos de uma P. G.. Basta

multiplicar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, o terceiro com o antepenúltimo, e assim por

diante, até incluir todos os termos. Veja:

1 . 128 = 128

2 . 64 = 128

4 . 32 = 128

Não precisamos fazer todas os produtos necessários, uma vez que o resultado sempre está dando

128.. Temos que multiplicar o número 128 com ele mesmo várias vezes para chegar onde queremos:

128 . 128 . ... . 128

Resta descobrir quantas vezes aparece o número 128. A P. G. possui oito termos. A cada dois termos

multiplicados dessa P. G. um número 128 foi gerado, então pode-se concluir que a quantidade de vezes que o

número 128 aparecerá será a metade do número de termos da progressão. Nesse caso, 8/2, chegaremos ao

número 4. Assim, o resultado final será:

1284 = 268.435.456

Essa idéia usada nesta P. G. poderá ser usada para qualquer outra P. G.. Repito para qualquer P. G..

Basta multiplicar o primeiro a1 com o último termo an. Em seguida, esse resultado deve ser elevado a metade do

número de termos da sucessão, uma vez que segue a mesma lógica usada no exemplo anterior. Isto vale

mesmo se a quantidade de termos da P. G. for ímpar. A fórmula final ficará:

Sn = soma dos n primeiros termos de uma P. G.

a1 = primeiro termo

an = último termo ou termo de posição n

n = número de termos da P. G. ou posição do último termo da P. G.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P. G. FINITA

Sn= (a1 . an )n2

Para efetuar a soma de uma quantidade finita de termos de uma P. G., faremos uma demonstração que

valerá para qualquer progressão geométrica.

A soma dos n primeiros termos de uma P. G. será dada por:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-2 + an-1 + an

Substituindo o termo geral para todos os n termos dessa P. G. teremos:

Sn = a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + ... + a1 . qn-3 + a1 . qn-2 + a1 . qn-1 (I)

Multiplicaremos todos os termos dessa equação (I) por –q, produzindo a equação (II). Observe o

sistema formado pelas duas equações:

{ Sn=a1+a1 . q+a1 . q2+a1 . q

3+…+a1 . qn−3+a1 .q

n−2+a1 . qn−1 (I )

−qSn=−a1 . q−a1 . q2−a1 .q

3−a1 . q4−…−a1 . q

n−2−a1 . qn−1−a1 . q

n (II )

Se estas duas equações forem somadas, todas as parcelas intermediárias serão canceladas, uma vez

que sempre existe a parcela oposta na outra equação. Restarão apenas o primeira parcela da equação (I) e a

última da equação (II):

Sn−qSn=a1−a1 . qn

Colocando em evidência:

Sn (1−q )=a1(1−qn)

Isolando Sn:

Sn = soma dos n primeiros termos de uma P. G.

a1 = primeiro termo da P. G.

q = razão da P. G.

n = número de termos da P. G. ou posição do último termo da P. G.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P. G. INFINITA

Para efetuar a soma de uma quantidade infinita de termos de uma P. G., mostraremos uma idéia que

permite obtê-la a partir da fórmula anterior obtida para o caso finito.

Essa soma só existirá quando o termo geral da P.G. tender a zero. Esse é o caso das progressões

geométricas decrescentes e também das progressões geométricas alternadas com razão entre 0 e -1. Ou seja,

somente haverá soma infinita se a razão estiver entre-1 e 1.

A soma dos n primeiros termos de uma P. G. finita é dada por:

Sn=a1(1−qn)

(1−q )

Sn=a1(1−qn)

(1−q )

Como a P. G. agora possui infinitos termos, o valor de n tende para o infinito.

Como a razão q está entre -1 e 1, então o termo qnficará cada vez menor quanto mais aumentarmos n,

uma vez que um número entre -1 e 1 multiplicado por ele mesmo diminuirá e se aproximará de zero a medida

que mais multiplicações forem realizadas. Como faremos uma infinidade de operações é bastante adequado

dizer que qntenderá a zero.

A fórmula ficará:

Sn = soma dos n primeiros termos de uma P. G.

a1 = primeiro termo

q = razão da P. G.

EXERCÍCIOS

Nível introdutório (uso de apenas 1 fórmula)

1 – Qual é o oitavo termo da P.G. (1/3, 1, 3, ...)?2 – Quantos termos existem na P.G. (7, 14, 28, ... , 224)?3 – Qual é o primeiro termo da P.G. ( ... , 5, 25, 125, 625) que possui 7 termos?4 – Qual é a razão q da P.G. cujo primeiro termo é -1 e o décimo é 512?5 – Quanto vale a soma dos 7 primeiros termos da P.G. (3, 6. ...)?6 – Se a soma dos 7 primeiros termos da P.G. ( ... , 32, 64, 128, 256) vale 508, quanto vale a1?7 – Quanto totaliza a soma dos infinitos termos da P.G. (8, 4, 2, 1, ½, ...)?8 – Dada a P.G. (a, 3, 15, b, c), calcule a + b + c.9 – Na P.G. (16, 24, ...) determine:a) o 5o termob) a soma dos 6 primeiros termosc) o produto dos 5 primeiros termos.10 – Quantos termos tem a P.G. (1/9, 1/3, 1, ..., 81)?a) 11 b) 10 c) 9 d) 7 e) 5.11 – Escreva o termo geral da P.G. ( 12, 4, 4/3, ...).

Nível intermediário (uso de 2 fórmulas ou interpretação mais elaborada)

1 – Os números 5m + 2, 9m e 10m + 25 formam, nessa ordem, uma P.G. crescente. Calcule m.2 – Em uma P.G., a soma do 1o com o 2o termo é 72 e a soma do 3o com o 4o é 200. Calcule o 5o termo dessa P.G.

Sn=a11−q

3 – Calcule o 4o termo de uma P.G. quando são inseridos cinco meios geométricos entre 4 e 2916.

4 – Resolva a equação .5 - (Mackenzie-SP) Se a e b são positivos e a, ab e 3a estão, nessa ordem, em P.G., então o valor de 2b é:a) 3 b) c) d) 2 e) -2 .6 – (PUC-RS) Na P.G. (x, 2x + 2, 3x + 3, ...) o 4o termo, que é diferente de zero, vale:a) -27/2 b) 3/2 c) 2/3 d) 2 e) 4x + 4.7 – (PUC/Campinas-SP) Pode-se estimar o crescimento de uma população supondo que ela ocorra em P.G. Nessas condições, a tabela abaixo deve ser completada com o número:

ANO No de habitantes1988 110.0001989 121.0001990 ?

a) 128600b) 130900c) 132000d) 133100e) 231000.8 – (FGV-SP) Uma P.G. infinita é decrescente. A soma dos seus termos é 9/2 e a soma do 1o com o 2o

termo vale 4. A razão dessa progressão vale:a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) n.d.a.9 – Se a caderneta de poupança rende em média 1% ao mês, qual será o meu saldo daqui a 1 ano se o meu saldo atual é de R$ 1.000,00?

Nível Avançado (uso de várias fórmulas e/ou interpretação difícil)

1 – (IME-RJ) Três números, cuja soma é 126, estão em P.A. e outros três estão em P.G. Somando os termos correspondentes das duas progressões obtêm-se 85, 76 e 84, respectivamente. Encontre os termos dessas progressões.2 – Um quadrado tem lado 3cm. Dentro dele, insere-se um 2o quadrado cujos vértices estão localizados nos pontos médios dos lados do 1o. Dentro deste, é colocado terceiro quadrado da mesma forma que o anterior. E assim sucessivamente. Quanto vale a soma de todos os perímetros dos infinitos quadrados?

RESPOSTAS

Nível introdutório1) 729 2) 6 3) 1/25 4) -2 5) 381 6) 4 7) 16 8) 2253/5 9) a-81 b-332,5 c-610 10) d 11) an = 36 . 3-n

Nível intermediário1) m=5 2) 625/3 ou -2500/3 3) 108 ou -108 4) x=5/8 5) d 6) a 7) d 8) b 9) R$1.126,82

Nível Avançado1) P.A.: (68, 42, 16) e P.G.: (17, 34, 68) ou P.A.: (17, 42, 67) e P.G.: (68, 34, 17) 2) 41cm