da escola pÚblica paranaense 2009 · ... [email protected] trabalho: unidade didática tema:...

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

MARIA JUREMA DE SOUZA

MÍDIAS TECNOLÓGICAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA – A CONTRIBUIÇÃO DO

SOFTWARE EDUCATIVO GEOGEBRA NO ENSINO / APRENDIZAGEM DE

FUNÇÕES

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ – UEM

FACULDADE ESTADUAL DE CIÊNCIAS E LETRAS DE CAMPO MOURÃO –

FECILCAM

ORIENTADOR: PROFª VALDETE DOS SANTOS COQUEIRO

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

CAMPO MOURÃO – PR

2010

MARIA JUREMA DE SOUZA

MÍDIAS TECNOLÓGICAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA – A CONTRIBUIÇÃO DO

SOFTWARE EDUCATIVO GEOGEBRA NO ENSINO / APRENDIZAGEM DE

FUNÇÕES

UNIDADE DIDÁTICA APRESENTADA AO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO

EDUCACIONAL (PDE).

ORIENTADORA: PROFª ME. VALDETE DOS SANTOS COQUEIRO. UEM /

FECILCAM.

CAMPO MOURÃO

2010

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IDENTIFICAÇÃO

Professora PDE: Maria Jurema de Souza

e-mail; [email protected]

Professor Orientador Valdete dos Santos Coqueiro

e-mail: [email protected]

Trabalho: Unidade Didática

Tema: Mídias Tecnológicas no Ensino da Matemática – A contribuição do software educativo

Geogebra no ensino / aprendizagem de funções.

Disciplina: Matemática

Nível de Ensino: Ensino Médio

Conteúdo Estruturante: Funções

Conteúdo Específico: Função: Afim, Quadrática, Modular e Translação de Gráficos.

FECILCAM – Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão - Paraná.

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1 INTRODUÇÃO

Esta Unidade Didática tem como principal objetivo formular material didático de apoio aos

professores do Ensino Médio, apresentando instruções de utilização do software GeoGebra na

abordagem de conteúdos de funções. O uso deste software facilita a compreensão e

aprofundamento dos conceitos por parte dos alunos. Pretende-se mostrar que é possível

utilizá-lo como ferramenta que desperte no aluno, o interesse pela busca do conhecimento

matemático por meio da dinamicidade presente no GeoGebra.

Assim ao elaborar esta unidade didática que trata sobre o conteúdo de funções, pretende-se

apresentar uma proposta de trabalho para a sala de aula usando as novas tecnologias, em

especial o software GeoGebra, atendendo a uma nova política educacional proposta pela

Secretaria de Estado da Educação (SEED) ao programa de desenvolvimento educacional

(PDE) e um dos recursos oferecidos pela SEED é o laboratório de informática, pois as escolas

públicas de todo o estado estão equipadas com computadores, nos quais já está instalado o

software GeoGebra.

O uso da tecnologia na escola é fundamental tanto para alunos como para professores,

auxiliando no processo ensino aprendizagem, quando utilizado de maneira correta. A

educação deve dar prioridade no acompanhamento dessas tendências tecnológicas, pois, se

não houver criatividade e inovação não haverá evolução cultural e social. E com essa visão, é

que nos propomos elaborar essa unidade didática, que irá abordar as ferramentas do software

GeoGebra, como auxiliar de uma aprendizagem significativa.

Espera-se por meio dessa Unidade, desenvolver o ensino de funções com compreensão e

significado, pois as atividades apresentadas, referentes a função afim, função quadrática,

função modular, função exponencial, função inversa e translação de gráficos foram elaboradas

com a intenção de auxiliar o aluno a conceituar, identificar e aplicar os conceitos matemáticos

em outras áreas do ensino além da Matemática e em situações do cotidiano.

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2 FUNÇÕES

Função é uma regra de correspondência, que associa a cada elemento x de um certo conjunto, chamado de domínio da função um único elemento y em um outro conjunto chamado de contradomínio da função. (GERÔNIMO, 2010, p.176).

Esta Unidade Didática apresenta, reflete e utiliza o software livre: GeoGebra, a fim de

proporcionar o uso dessa ferramenta pedagógica no Ensino de Matemática, na busca de

aprendizagens significativas que possibilitem a re(construção) de conhecimentos e mudança

de atitudes.

Será oportunizado o uso desse software, como instrumento de ensino-aprendizagem

facilitadora do ensino, possibilitando o desenvolvimento de atividades investigativas no

conteúdo de funções, buscando trabalhar os conceitos matemáticos na função afim, função

quadrática, função modular, função exponencial, função inversa e translação de gráficos

esperando que favoreçam uma melhor compreensão dos conteúdos matemáticos, voltados

para o Ensino Médio.

Muitas vezes nos deparamos com situações que envolvem uma relação entre grandezas, como

por exemplo, o valor a ser pago na conta de luz de determinada casa depende do consumo

medido no período; o tempo de uma viagem de automóvel entre duas cidades, depende da

velocidade média desenvolvida, assim fica claro que “função” é uma maneira de associar à

cada valor da variável x um único valor da função f(x).

Usamos então a linguagem matemática para representar essas relações de dependência entre

duas ou mais grandezas, que pode ser demonstrada por meio de uma fórmula, de gráfico ou

entre diagramas representando os dois conjuntos numéricos.

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3 GEOGEBRA

O programa desenvolvido por Markus Hohenwarter, professor da Universidade de Salzburg,

com o intuito de dinamizar o estudo da Matemática, e de maneira a facilitar sua utilização,

pode ser encontrado no endereço: www.geogebra.at.

Com este programa é possível trabalhar os conteúdos de Geometria, Álgebra e Cálculo O

software permite relações entre suas respectivas janelas, podendo ser utilizado em diversos

níveis de ensino.

O GeoGebra é um software de acesso livre, (é permitido utilizar, copiar e distribuir o

aplicativo para fins não comerciais) e por isso mesmo poder vir a ser um importante aliado

dos professores como recurso metodológico na abordagem de diversos conteúdos trabalhados

na Educação Básica (Ensino Fundamental e Médio), especialmente Geometria e Funções.

A grande vantagem de sua utilização é que as construções feitas no GeoGebra são dinâmicas, isto é, podem ser manipuladas com o auxílio do mouse. Essa característica do software permite que, durante as aulas possa haver uma abordagem mais experimental e construtiva, através da exploração do mesmo (GERÔNIMO, 2010, página 01).

Para ter uma visão geral das potencialidades do GeoGebra vamos conhecer sua interface,

conforme nos mostra a figura 01, que se refere a tela inicial do GeoGebra. Nela podemos

observar as duas janelas: a janela algébrica (em vermelho ou à esquerda) e a janela geométrica

(em azul ou à direita).

A janela algébrica pode ser fechada, clicando no × que aparece no canto direito superior.

Para visualizá-la novamente, clique em Exibir (no alto da tela) e selecione Janela de álgebra.

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http://www.geogebra.at/

Figura 1 – Tela inicial do GeoGebraFonte: nome do site www.geogebra.at.

Na tela inicial, podemos visualizar 11 janelas, como nos mostra a figura 02, sendo que estas

nos oferecem recursos para trabalharmos com o software em questão:

Figura 2 – Janelas do GeoGebra

Fonte: www.geogebra.at

Ao clicarmos em cada uma destas janelas, elas nos darão opções de trabalho, como pode ser

verificado a seguir:

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Algébrica Geométrica

Janela 1



Figura 3 – Janelas do GeoGebraFonte: www.geogebra.at



8

Janela 2

Janela 3

Janela 4








9

Janela 6

Janela 7

Janela 5







Figura 12 – Janelas do GeoGebra

10

Janela 8

Janela 9

Janela 10



Fonte: www.geogebra.at


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JANELA 11



4 ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

Este tópico da Unidade Didática estará assim dividido:

No primeiro momento, têm-se a intenção de apresentar o software GeoGebra aos professores,

para que possam familiarizar-se com as ferramentas por ele oferecidas, pois nem todos o

conhecem. Isto será realizado por meio de apresentação de slides.

No segundo momento, serão explorados os conteúdos de funções em consonância com o

software já instalado nos computadores do laboratório de informática. Nesse momento o

professor poderá conhecer o GeoGebra por meio de atividades propostas, seguindo algumas

instruções existentes nessa unidade didática.

O terceiro momento será reservado ao professor, para que após a análise do software em

questão, avalie a importância da tecnologia na aprendizagem. Aqui o professor também

deverá fazer relatório das atividades propostas, bem como seu aproveitamento do curso.

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5 ATIVIDADES DE FUNÇÕES NO GEOGEBRA

ATIVIDADE 1

FUNÇÃO AFIM

Objetivo:

- Estudar a função afim, cujo gráfico é uma reta não paralela vertical;

- Compreender o significado de coeficiente angular e linear;

- Analisar gráficos para estabelecer sinal, crescimento, decrescimento e a raiz da função.

- Reconhecer uma função constante.

Definição

Uma função RRf →: chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal

que baxxf +=)( , para todo IRx ∈ .

Etapas da construção da atividade e Desenvolvimento

a) No campo de Entrada digite a função 3*2)( += xxf , pressione a tecla Enter;

- Defina uma outra função g com o mesmo valor para a e variando o valor de b. O que

acontece com a reta quando alteramos o valor de a para -1?

- Fixe agora, esse parâmetro (a= -1) obtendo a função 3)( +−= xxh .

- O que acontece quando mudamos o valor de a para -3, nesta função?

- E quando mudamos o valor de b para 1? E para -2?

b) Na janela geométrica insira os seletores a e b ;

- No campo de Entrada digite a função bxaxf += *)( , pressione a tecla Enter;

- Aparecerá o gráfico.

- Mova o seletor a . O que se pode observar na reta, se a é positivo? E se a é negativo?

- Mova o seletor b . Qual o comportamento da reta?

- Qual coeficiente deverá ser alterado para que tenhamos uma função crescente, decrescente

ou constante?

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- Em que ponto o gráfico da função intercepta o eixo das ordenadas?

- Como pode ser classificada a reta, quando temos 0=a ?

- Em que ponto a reta intercepta o eixo x, quando temos 0=b ?

- Em quais intervalos a função é positiva? E negativa?

ATIVIDADE 2

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Objetivo:

- Reconhecer uma função quadrática, através de sua lei de formação;

- Estudar a função quadrática, cujo gráfico é uma parábola, e que sua característica depende

do valor de seus coeficientes.

-Identificar em que intervalos uma função quadrática apresenta crescimento ou decrescimento

através de seus coeficientes, bem como seus pontos de máximo e de mínimo;

- Compreender quando a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo;

- Analisar gráficos para estabelecer sinal, crescimento, decrescimento, vértices da parábola e

as raízes da função quadrática, usando os comandos no software em questão.

- Explorar os recursos do software em questão para a aprendizagem da função quadrática

Definição

É aquela que transforma um número real x em um número real y onde cbxaxy ++= 2

para algum IRcba ∈,, com 0≠a


a) Dada a função f definida por 123)( 2 ++= xxxf

- Digite no campo de entrada a expressão 1*22^*3)( ++= xxxf , e pressione a tecla Enter.

- Na janela 2, clique em “ intersecção de dois objetos”;

- De um clique na função )(xf e no Eixo x, para encontrar a intersecção da função com o

eixo x. Que valores você encontrou?

- Essa função possui raízes reais?

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- A parábola originária da função tem a concavidade voltada para cima ou para baixo? O que

determina essa característica?

- Obtenha a função )(xg multiplicando a função f por 2 e )(xh multiplicando por -3. O

que se pode observar no gráfico de cada uma das funções?

- Verifique em que intervalos a função )(xf , )(xg e )(xh é positiva? Qual é o vértice da

função )(xg e )(xh e o seu ponto de máximo e de mínimo?

- Determinar o Vértice da parábola usando o comando Extremo [ ]f , que se encontra na 3ª

Barra de rolagem, do Campo de Entrada.

b) Na janela geométrica insira três seletores: """","" ceba .

- No Campo de Entrada, digite a expressão ( ) cxbxaxf ++= *2^* , pressione a tecla

ENTER.

- No Campo de Entrada digite )*2/( abXv −= , a seguir pressione a tecla ENTER.

- No campo de entrada digite cab **42^ −=∆ , pressione ENTER.

- No campo de Entrada digite )*4/( aYv ∆−= , pressione ENTER (Observe que o símbolo de

delta está na segunda barra de rolagem do Campo de Entrada)

- No Campo de Entrada, digite ),( YvXvV = . O ponto V que aparecerá na parábola é

chamado de Vértice. Você pode também fazer uso do comando Extremo [f] existente na 3ª

barra de rolagem do Campo de Entrada

- No campo de Entrada digite: Xvx = . Uma reta vertical aparecerá. Esta reta é chamada de

eixo de simetria.

- Ative a opção Mover (Janela1) e clique com o botão direito sobre o ponto V. Selecione

Propriedades, depois Básico e mude o estilo do rótulo, alterando para Nome&Valor.

- Altere o valor de """","" ceba .

- O ponto V será ponto de mínimo se................................. ?)00( <> aoua

- O ponto V será ponto de máximo se................................ ?)00( <> aoua

- Mova os seletores alterando os valores dos seletores a, b e c da função, sempre observando a

variação do gráfico de )(xf .

- Procure mover os seletores um por vez e observar o comportamento do gráfico da função,

quando você altera o valor de a .

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ATIVIDADE 3

TRANSLAÇÃO DE GRÁFICOS

Objetivo:

- Visualizar o movimento de translação do gráfico de uma função em relação ao eixo das

abscissas e ao eixo das ordenadas, no plano cartesiano ortogonal.

- Mostrar o movimento de translação a partir da comparação do gráfico da função do 2º grau

cbxaxy ++= 2 , onde 0≠a , com a função 2xy = .

Definição

Movimento direto em que cada ponto e sua imagem determinam retas paralelas.

Translação é a transformação em que todos os pontos de um gráfico se deslocam numa

mesma direção, sentido e de uma mesma distância.


a) Esta atividade tem por finalidade familiarizar o usuário com translações dos gráficos de

funções. Para isso, tomamos como exemplo a função 2^)( xxf = .

- Na janela geométrica, insira dois seletores a e b.

- No campo de entrada digite a função baxxg +−= 2)^()( , pressione Enter em seguida.

- Mova os seletores a e b observando a variação do gráfico de )(xg .

- Encontre o vértice da função através do comando Extremo [ ]g , e aparecerá

automaticamente o ponto A, renomeie-o para ponto P, clicando com o botão direito do mouse,

opção Renomear.

- Quando você altera o valor de a , o valor de P(vértice de g ) permanece o mesmo? E o

gráfico da função sofreu modificações? Qual dos dois seletores é preciso alterar para que

tenhamos o gráfico transladado para cima?

- Simule translações para os outros tipos de funções. A translação foi vertical ou horizontal?

-Em uma nova janela, insira o seletor a e as funções 22)^1(*3)( ++= xxp ,

22)^1(*3)( +−= xxm e ( ) 2^* xaxg = , no campo de entrada.

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- Compare o gráfico da função p com a função 22)^1(*3)( +−= xxm . A translação do

gráfico foi de quantas unidades? E se compararmos com a função ( ) 2^* xaxg = , o que se

pode observar?

b) Com o auxilio do Geogebra construa os gráficos da função xxf =)( e responda as

seguintes questões:

- Se somarmos a função f por -3 como fica o gráfico da nova função?

- Construa no mesmo plano o gráfico da função f e o gráfico da nova função.

ATIVIDADE 4

FUNÇÕES MODULARES

Objetivo:

- Conceituar módulo e construir gráficos de função modular.

- Retratar de maneira clara e simples que uma função modular apresenta uma imagem

positiva.

- Associar a função modular com a composição de funções, em especial com a translação de

gráficos de uma função em relação aos eixos x e y.

- determinar alguns pontos notáveis oriundos de propriedades da parábola, como o vértice e

os intervalos de crescimento e decrescimento.

Definição

Dado um número real x , sempre existe x e seu valor é único. Temos então uma função de

IR em IR que será chamada de função modular. O domínio dessa função f são todos os

reais e a imagem [ ]+∞,0 ou simplesmente: IRfD =)( e += IRf )Im(

Denomina-se função modular a função f de IR em IR , tal que xxf =)( , ou seja:

=)(xf

<−≥

0,

0,

xp arax

xp arax


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a) - Insira dois seletores a e b

- Vamos fazer o uso do comando Função.

- No campo de Entrada digite: Função.

- Logo aparece na barra de comandos Função [ ] , e entre os colchetes digite a Função

( )[ ]baxabs ++ ) pressione a tecla Enter e aparecerá o gráfico.

- Após isso, movimente os seletores para ver a modificação ocorrida no gráfico.

- O que acontece com o gráfico, quando você altera o valor do seletor a ? Como o gráfico se

desloca?

- Qual seletor deve ser alterado para que eu tenha o gráfico deslocado para baixo? O valor

atribuído ao seletor deve ser positivo ou negativo?

b) Dado as funções:

)(xf = abs(x)

)(xg abs(x^2+x+2)

)(xh abs(x^2 - 4x)

- Construa na mesma janela as três funções;

- Observe os gráficos e encontre os pontos de intersecção entre as funções hegf ,,

existentes nos gráficos, fazendo uso da janela 2- Intersecção de dois objetos;

- Em que ponto ocorreu a intersecção do eixo x e )(xh ?

- Existem pontos de intersecção das funções )(xg e )(xf com o Eixo y?

- Quais são as coordenadas do Vértice de )(xf ?

ATIVIDADE 5

FUNÇÃO INVERSA

Objetivo

- Construir o gráfico da função inversa.

- Compreender que o gráfico da função inversa é simétrico ao gráfico da função de origem,

em relação à reta y = x, que é bissetriz dos quadrantes ímpares.

Definição

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Dada uma função bijetora BAf →: , chama-se função inversa de f a função ABf →− :1 ,

tal que ( ) ( ) 1,, −∈⇔∈ fabfba .


a) No campo de entrada digite a Função [ ]10,0,2^x , pressione a tecla Enter.

- No campo de entrada, digite a função identidade xy = , pressione a tecla Enter.

- Clique na janela 4 e escolha a opção “Reta perpendicular”.

- Clique na janela geométrica, criando o ponto )(A . Clique na reta xy =

- Na janela 2, escolha a opção “ intersecção de dois objetos”, a seguir clique na função )( f e

na reta perpendicular a reta xy = , obtendo o ponto B .

- Na janela 9 escolha a opção “Reflexão com relação a uma reta”, clique no ponto B e na

reta xy = criando o ponto 'B .

- Clique com o botão direito em cima do ponto 'B e escolha a opção “Habilitar rastro”.

- Clique na janela 1, e escolha a opção Mover.

- Em seguida clique em cima do ponto A e vá arrastando o mouse. Aparecerá o gráfico da

função inversa.

b)Analisar o gráfico de uma função e de sua inversa utilizando a dinâmica do software.

- Para cada função, obtenha sua função inversa. Em seguida, utilizando o software GeoGebra,

e num mesmo sistema de coordenadas, esboce o gráfico da função, de sua inversa e o da

função identidade.

b1) 3*2)( −= xxf

b2) 12/)( += xxg

b3) 33^)( += xxf

ATIVIDADE 6

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Objetivo

- Reconhecer e resolver função exponencial;

- Analisar, construir, ler e interpretar gráficos da função exponencial;

- Caracterizar uma função exponencial por meio de seu comportamento variacional;

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- Estabelecer relações entre o coeficiente a , e a forma e posição do gráfico.

Definição

Dado um número real a ( 0>a e )1≠a , chamamos de função exponencial de base a ,

a uma função f de IR em +*IR definida por { }xaxf ^)( = ou { }xay ^= .


a) Construa o conceito de Função Exponencial no GeoGebra.

- Na janela geométrica, insira um seletor, denominado “a” com variação [ ]5,5− ;

- Digite no campo de entrada a função xaxf ^)( =

- Mova o parâmetro “a” e observe atentamente o que acontece com o gráfico construído.

- O que ocorre quando você varia o valor de “a”? Por quê?

- O que acontece com a sua função quando o parâmetro “a” é um?

-

- É possível que o gráfico de uma função exponencial passe por todos os quadrantes? Por

quê?

- Para quais valores de a a função exponencial é crescente? E decrescente?

b) Construa o gráfico da função xy ^2= . Com base nele, faça os gráficos das funções

1^2 += xy e 1^2 −= xy , num mesmo plano cartesiano. Que diferenças pode ser observadas

entre os três gráficos?

REFERÊNCIA

20

Aplicações do GeoGebra ao ensino de Matemática/Atividades.Disponível em:

http.wikibooks.org/wiki/...GeoGebra. Acesso em 23/06/10

ARAUJO, Luis Cláudio Lopes de. Aprendendo matemática com o geogebra/ Luis Cláudio

Lopes de Araújo, Jorge Cássio Costa Nóbriga.- São Paulo: Editora Exato, 2010.

DANTE, L. Roberto. Matemática: contextos & aplicações. Volume Único. São Paulo: Ática,

2003.

GAUDÊNCIO, R. Um estudo sobre a construção do conceito de função. Natal: Universidade

Federal UFRN, 2000. (Tese de Doutorado).

GERONIMO, João Roberto. Geometria Euclidiana: um estudo com o software Geogebra?

João Roberto Geronimo, Rui Marcos de Oliveira Barros, Valdeni Soliani Franco. Maringá:

Eduem, 2010.

GIOVANNI, José Ruy. Matemática fundamental: uma nova abordagem: ensino médio:

volume único/José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, Jose Ruy Giovanni Junior. – São

Paulo: FTD, 2002.

Instituto de Matemática - UFRGS http://edumatec.mat.ufrgs.br . Acesso em 22/06/10

SOUZA, Sérgio Albuquerque de. Disponível em: www.mat.ufpb.br/... geogebra . Acesso em

05/07/10

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http://www.mat.ufpb.br/...geogebra

http://edumatec.mat.ufrgs.br/

da escola pÚblica paranaense 2009 · ... [email protected] trabalho: unidade didática tema:...

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