O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 20

08

Versão On-line ISBN 978-85-8015-039-1Cadernos PDE

VOLU

ME I

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

JOÃO VIEIRA BERTI

A GEOMETRIA DOS FRACTAIS PARA O ENSINO FUNDAMENTAL

CASCAVEL – PR2008

JOÃO VIEIRA BERTI

A GEOMETRIA DOS FRACTAIS PARA O ENSINO FUNDAMENTAL

Artigo apresentado ao Programa de

Desenvolvimento Educacional do Paraná

– PDE, como requisito para conclusão do

programa.

Orientadora: Dra. Patrícia Sândalo Pereira

CASCAVEL – PR2008

A GEOMETRIA DOS FRACTAIS PARA O ENSINO FUNDAMENTAL

João Vieira Berti1

Patrícia Sândalo Pereira2

Resumo

O seguinte trabalho tem a finalidade de apresentar a Geometria Fractal segundo a visão de Benoit Mandelbrot, considerado o pai da Geometria Fractal, bem como a sua relação como a Teoria do Caos. Serão também apresentadas algumas das mais notáveis figuras fractais, tais como: Conjunto ou Poeira de Cantor, Curva e Floco de Neve de Koch, Triângulo de Sierpinski, Conjunto de Mandelbrot e Julia, entre outros, bem como suas propriedades e possíveis aplicações em sala de aula. Este trabalho de pesquisa foi desenvolvido com professores de matemática da rede estadual de Foz do Iguaçu e Região e também com professores de matemática participantes do Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná – PDE da Região Oeste e Sudoeste do Paraná a fim de lhes apresentar uma nova forma de trabalhar a geometria fractal com a utilização de softwares educacionais dinâmicos.

Palavras-chave: Geometria, Fractais, Softwares Educacionais.

Abstract

The pourpose of this paper is to present Fractal Geometry according the vision of Benoit Mandelbrot´s, the father of Fractal Geometry, and it´s relationship with the Theory of Chaos as well. Also some of the most notable fractals figures, such as: Cantor Dust, Koch´s snowflake, the Sierpinski Triangle, Mandelbrot Set and Julia, among others, are going to be will be presented as well as their properties and potential classroom applications. This research was developed with collaboration from mathematics teachers from public schools of Foz do Iguacu and region and with mathematics teachers participating in the Program of Educational Development of Paraná - EDP's in west and southwest regions of Paraná with the pourpose to make it possible to present a new way of working fractal geometry though the use of dynamic educational softwares.

Keywords: Geometry, Fractals, Educational Softwares.

Introdução

Em sua Diretriz Curricular de Matemática (PARANÁ, 2008), a Secretaria de

Estado da Educação do Paraná nos traz como um dos conteúdos estruturantes da

Geometria, noções básicas de geometrias não-euclidianas, o que contempla a

1 Professor de Matemática da Rede Estadual de Ensino – PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná - Cascavel – PR.2 Professora Orientadora – UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu.

geometria dos fractais.

Quando analisamos a inclusão desse novo tema, é de fundamental

importância pensá-lo como algo que precisa ser trabalhado de forma dinâmica,

utilizando laboratórios de informática e softwares matemáticos a fim de tornar seu

aprendizado mais interessante, pois, se assim não o fizermos, podemos estar

fadados a fracassar na tarefa de instruir nossos alunos de forma mais completa.

Já sabemos que mesmo a geometria euclidiana é legada ao segundo plano

por alguns professores, ou seja, se “houver tempo hábil” para se trabalhar essa

parte da matemática, assim será feito, caso contrário essa lacuna no aprendizado da

matemática em nossas escolas permanecerá. E o que se percebe é que, na maioria

dos casos, essa “falta de tempo” está muito presente.

Com intuito de subsidiar essa discussão, iniciamos nosso trabalho com a

pesquisa bibliográfica, a fim de levantar os nomes dos principais teóricos da

geometria fractal e seus respectivos estudos sobre o tema, bem como a escolha dos

softwares educacionais para a construção dos fractais. Nesse trabalho encontramos

Benoit Mandelbrot, considerado o “pai” da geometria fractal, cujas descobertas e

contribuições acerca das figuras fractais norteiam nosso trabalho. Além de

Mandelbrot, também não poderíamos deixar de citar Waclaw Sierpinski, Helge von

Koch e Georg Cantor, cujas construções geométricas fractais são referência até os

dias de hoje. Também será feita uma breve introdução sobre a Teoria do Caos, uma

vez que a geometria dos fractais possui íntima relação com essa temática inovadora.

Pois bem, quando falamos na aplicação prática dos fractais, gostaríamos de

ressaltar que as principais ferramentas a serem utilizadas no trabalho proposto

serão os softwares educacionais de natureza dinâmica.

Para que o problema mencionado no que tange à geometria de uma forma

geral não se repita no trabalho com a geometria fractal e, pensando nesse e em

tantos outros problemas enfrentados por nossos nobres colegas, decidimos dedicar

um pouco mais de tempo ao estudo e conseqüente sistematização de uma produção

didático-pedagógica, a fim de auxiliar os professores de matemática das escolas

públicas estaduais do Paraná a diminuírem a distância que os separa do uso dos

recursos tecnológicos em suas aulas. Essa produção didático-pedagógica, simples,

porém, bastante útil, foi pré-elaborada e vem sendo utilizada em encontros

periódicos com professores da área de Matemática pertencentes ao Núcleo

Regional de Educação de Cascavel, Foz do Iguaçu e Região e, com o auxílio desses

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mesmos professores, pretende-se melhorar a qualidade desse material para que ele

possa, no futuro próximo, servir como ferramenta de apoio nas aulas de geometria

fractal.

Ao falarmos em geometria fractal, um aspecto que não podemos deixar de

abordar é o fato de que ela deveria ser algo natural para nossos alunos, algo que os

fizesse voltar seu olhar para o mundo ao redor e nele reconhecer um maravilhoso

mundo de inúmeras formas geométricas. Porém, quando voltarmos o nosso olhar

para a escola pública, percebemos que os conteúdos de matemática nela estudados

não contemplam, em sua maioria, a matemática vista na natureza e estudada pela

geometria dos fractais, como afirmava Mandelbrot apud Gleick (1989, p. 90):

As nuvens não são esferas, (...). As montanhas não são cones. O relâmpago não percorre uma linha reta. A nova geometria espelha um universo que é irregular, e não redondo; áspero, e não liso. É uma geometria das reentrâncias, depressões, do que é fragmentado, torcido, emaranhado e entrelaçado.

Além disso, há a questão da inclusão do uso do computador para a

elaboração das imagens gráficas por meio de softwares matemáticos de geometria,

com os quais os alunos poderiam elaborar formas geométricas e exibi-las aos

colegas em sala de aula com o auxílio do recurso visual da televisão, já presente em

praticamente todas as escolas do Paraná. E isso também poderá atrair o educando,

fazendo com que ele sinta vontade de aprender um pouco mais sobre esse

conteúdo, vindo a tornar prazeroso o ensino da geometria, algo que consiga chamar

e prender a atenção dos alunos; o que é muito importante, pois eles sentem-se

motivados a participar das aulas e, conseqüentemente, seu rendimento escolar

tende a melhorar de forma substancial.

Todavia, para que a geometria fractal, após incluída nos currículos escolares,

possa ser bem trabalhada, também se faz necessário que a escola esteja equipada

com laboratórios de informática e softwares educacionais de geometria dinâmica,

pois, conforme Baier (2001, p.76-77):

No âmbito da Matemática, quando o objetivo consiste em proporcionar ensino atualizado, incorporando os conteúdos desenvolvidos nas últimas décadas do século XX, não procedem a argumentos contrários ao uso de informática. É impossível desenvolver as noções fundamentais da matemática contemporânea, em sala de aula, sem o uso de computadores. (…). Devido ao fato de ser necessário um imenso número de cálculos numéricos, a construção de um fractal é tarefa impossível para a mente humana; porém, os atuais computadores desempenham tal trabalho em

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alguns segundos.

Após todo o exposto, podemos afirmar que quando optamos por trabalhar

com esse tema, “a geometria dos fractais”, o fizemos por pensar que ele seria algo

que uniria alguns aspectos bastante importantes do ensino da matemática: a

matemática em si, aliada ao cotidiano do aluno (visto por meio das figuras da

natureza) e a utilização das ferramentas tecnológicas. E tudo isso a serviço da

melhoria da qualidade na educação pública estadual do Paraná.

Teoria do Caos

Segundo Gleick (1989, p. 3),

Onde começa o caos, a ciência clássica pára. (...) O lado irregular da natureza, o lado descontínuo e incerto, têm sido enigmas para a ciência, ou pior: monstruosidades.

O mundo da ciência sempre viveu assombrado por um pequeno problema

dentro de seus inúmeros estudos, projeções e comprovações: sistemas naturais

caóticos, cuja previsão parecia impossível de ser realizada devido à falta de

regularidade na seqüência de seus acontecimentos. Porém, alguns cientistas menos

“ortodoxos” ou mais propensos a aventurar-se por novas descobertas começaram a

se preocupar com aquela pequena parte dos experimentos científicos classificados

como falhas sem importância ou mesmo pequenos “ruídos”, os quais, por serem

considerados irrelevantes, eram ignorados para o bem da investigação científica,

afinal, segundo Gleick (1989, p. 37) “pequenas não-linearidades eram facilmente

ignoradas. Quem realiza experiências aprende logo que vive num mundo imperfeito.”

Pois bem, na década de 70 alguns cientistas do “novo” começaram a perceber que

aquela pequena parte ignorada pela ciência trazia consigo uma gama de

informações bastante relevantes, mas de difícil constatação, uma vez que esses

sistemas chamados de caóticos possuíam certa ordem em meio à sua desordem

natural, um certo padrão, que apesar de não ser exatamente igual, tornava a repetir-

se, como um código secreto esperando por alguém que pudesse decifrá-lo. “Hoje,

uma década depois, o caos tornou-se uma abreviatura para um movimento que

cresce rapidamente e que está reformulando a estrutura do sistema científico.”

(GLEICK,1989, p. 4).

Graças às descobertas sobre o caos, técnicas peculiares para o uso de

computadores e novos tipos de imagens gráficas puderam ser criadas. Essa nova

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ciência também “gerou sua linguagem própria, um elegante jargão de fractais e

bifurcações, intermitências e periodicidades (...)” (GLEICK,1989, p. 4) absolutamente

necessários para denominar o que fora descoberto.

Nesses estudos sobre o que a ciência não havia dado conta até então,

surgem investigações em várias áreas do conhecimento, porém uma delas em

especial nos interessa sobremaneira: a geometria fractal.

Geometria Fractal: breve introdução

Sempre presente nos currículos escolares a geometria euclidiana ajuda a

entender o universo em que vivemos, através de seu amplo emprego, precisão,

deduções, teoremas, etc. Suas formas sempre foram “as linhas e os planos, os

círculos e as esferas, os triângulos e os cones.” E sempre representaram

uma poderosa abstração da realidade, e inspiraram uma vigorosa filosofia da harmonia platônica. Euclides fez delas uma geometria que durou milênios, a única geometria conhecida da maioria das pessoas, até hoje. (...) Para compreender a complexidade, porém, essas formas revelam-se o tipo inadequado de abstração. (GLEICK,1989, p. 90)

Como acabamos de ver, James Gleick nos apresenta a crítica que dá

legitimidade à existência da geometria dos fractais: se a geometria euclidiana já não

era suficiente para dar conta de representar todas as formas presentes no mundo

real e/ou natural, havia a necessidade de se criar uma forma de representação mais

verossímil. É nesse contexto que alguns estudiosos dedicaram seu tempo e intelecto

à fim de criar uma nova geometria capaz de satisfazer esse desejo. Um desses

venturosos cientistas foi o lituano Benoit Mandelbrot.

Mandelbrot, pelos idos de 1958, trabalhava para a empresa norte-americana

IBM, a qual enfrentava dificuldades para resolver problemas relacionados a “ruídos

nas linhas telefônicas usadas para transmitir informações de computador a

computador”, problemas estes que estavam deixando seus engenheiros

completamente sem respostas.

A corrente elétrica transmite a informação em pacotes separados, e os engenheiros sabiam que quanto mais forte a corrente, melhor para afastar o ruído. Verificaram, porém, que certo ruído espontâneo nunca podia ser eliminado. De quando em vez, ele apagava um sinal, criando um erro. (GLEICK,1989, p. 86-87)

Sabia-se que mesmo sendo um ruído aleatório, ele ocorria em grupos, o que

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fazia com que houvesse intervalos de tempo sem erros que eram seguidos de outros

com erros. Mandelbrot então lhes mostrou uma maneira de descrever estes erros,

um tanto singular, a qual tornava impossível se calcular uma média desses ruídos,

pois fazia separações cada vez mais profundas entre intervalos de transmissão

limpos de outros com erros. Ou seja, suponha-se que se divida um dia em horas;

uma hora poderia passar sem erros e depois, na outra hora haveria erros, e depois,

a próxima hora não possuiria erro algum. Então, suponhamos que essa hora com

erros fosse dividida em períodos menores, de 20 minutos cada, poderíamos ver que

nesse recorte alguns períodos seriam absolutamente perfeitos, enquanto outros

teriam seqüências de erros. Ou seja, por mais breve que fosse o período, sempre

havia momentos marcados por uma seqüência de erros e outros completamente

limpos. Para este problema Mandelbrot encontrou uma relação geométrica bastante

coerente entre períodos com erros e outros sem erros: Mandelbrot estava

reproduzindo aqui “uma construção abstrata conhecida como teoria dos conjuntos

de Cantor” (GLEICK,1989, p. 87). Ou seja, Mandelbrot conseguiu enxergar uma

ordem dentro da desordem de ruídos encontrados nas linhas de transmissão, ordem

essa praticamente impossível de ser vista pelos engenheiros da IBM, mas que para

um matemático que já estava preocupado em encontrar padrões escondidos em

dados aparentemente caóticos, estavam bastante claros.

Todavia, antes mesmo de preocupar-se com os problemas enfrentados pelas

linhas telefônicas da IBM, Mandelbrot havia dedicado parte de seu tempo a

investigar os altos e baixos relativos aos preços do algodão nos Estados Unidos,

produto farto em dados confiáveis, uma vez que seus registros eram bastante

completos e antigos, relativos há mais de um século. Muitos economistas também já

haviam se dedicado a este estudo e uma das convicções das quais partilhavam era

a “de que as modificações pequenas e transitórias nada tinham em comum com as

grandes mudanças a longo prazo. (...) Os altos e baixos em pequena escala,

durante as transações de um dia, são apenas ruído imprevisível e desinteressante.”

(GLEICK, 1989, p. 81) A esses economistas somente as alterações de preço a longo

prazo eram interessantes e estas amplas oscilações estariam diretamente ligadas a

questões históricas, tais como: guerras e recessão. Mas, para Mandelbrot, essa

divisão entre pequenas e grandes alterações não existia, uma vez que ele nunca

procurava padrões em apenas uma dessas escalas, mas por todas elas. Ele sabia

que deveria haver uma simetria entre as grandes e pequenas escalas, mas nada

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disso parecia ser óbvio. Somente ao processar esses dados nos computadores da

IBM ele pode observar que havia obtido

os espantosos resultados que estava esperando. Os números que produziam aberrações do ponto de vista da distribuição normal produziam simetria do ponto de vista da escala. Cada variação específica de preço era randômica e imprevisível. Mas a seqüência de variações diárias e as mensais correspondiam-se perfeitamente. E, o que era inacreditável, analisado à maneira de Mandelbrot, o grau de variação permanecia constante durante um tumultuado período de 60 anos, que viu duas guerras mundiais e uma depressão. (GLEICK, 1989, p. 82).

Após essas experiências, Mandelbrot começou a perceber essas

descontinuidades, esses surtos de ruídos, e tantas outras formas antes

desprestigiadas de se analisar o mundo e as coisas do mundo.

O trabalho de Mandelbrot fez uma afirmação sobre o mundo, a afirmação de que tais formas ímpares encerram um significado. As reentrâncias e os emaranhados são mais do que imperfeições deformantes das formas clássicas da geometria euclidiana. São, muitas vezes, as chaves para a essência das coisas. (GLEICK, 1989, p. 90)

Ele começa, então, a se interessar pelas linhas litorâneas e, em particular,

pela costa da Bretanha, região bastante acidentada. A este tipo de estudo da

superfície da Terra, Mandelbrot denomina de “primeira classe de fractal”, ou seja,

relativo a curvas de dimensão superior a 1 (MANDELBROT, 1998, p. 29). Sua

argumentação para enveredar por este caminho repousa no fato de considerar

questionável a forma como os geógrafos calculavam a medida tanto das linhas

litorâneas quanto das fronteiras nacionais sinuosas, pois, tal qual descrito pelo

cientista inglês Lewis F.Richardson, “enciclopédias na Espanha e em Portugal, na

Bélgica e na Holanda, traziam em si informações que continham uma discrepância

de 20% na extensão estimada de suas fronteiras comuns.” (GLEICK, 1989, p. 90).

Nesse contexto, Mandelbrot elabora um artigo em que questiona “Que

extensão tem o litoral da Grã-Bretanha?”, tal pergunta se torna crucial ao

desenvolvimento de seu trabalho, pois ela traz consigo uma série de hipóteses de

como a geometria fractal tornar-se-ia útil para aproximar os agrimensores de uma

medida mais próxima da extensão real desta costa. Segundo Mandelbrot, “qualquer

litoral é – em certo sentido – infinitamente longo. Num outro sentido, a resposta

depende do metro usado.” (GLEICK, 1989, p. 90). Quer-nos parecer que o que ele

estava tentando afirmar com essa frase é que muitos dos erros encontrados nos

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trabalhos dos agrimensores residem no fato de que estes não levam em conta as

curvas, recortes, montanhas, entre outros aspectos, afinal não se tratam aqui de

linhas retas, mas sim, em grande parte, de locais acidentados e, ao medi-los, muitos

não consideram estas particularidades, as quais influenciam sobremaneira em sua

extensão. Ele sugere a experiência de se medir o litoral tomando-se uma série de

compassos de pontas secas, os quais serão abertos numa extensão de um metro,

medimos com eles o litoral e aí teremos que “o número de metros resultante é

apenas uma aproximação da extensão real, porque os compassos pulam por cima

de recortes e curvas inferiores a um metro.” (GLEICK, 1989, p. 90-91). Mandelbrot

sugere então que os compassos sejam abertos em uma extensão menor, de cerca

de 30 centímetros, pois assim mais detalhes serão notados e, assim,

sucessivamente, até que os apontamentos referentes às distâncias realizados por

diferentes observadores que avaliam tal objeto através de distância ou escalas

diferentes pudessem, em determinado momento, vir a convergir. “E, de fato, se o

litoral fosse uma forma euclidiana, como um círculo, esse método de somar

distâncias em linha reta cada vez menores realmente convergiria.” (GLEICK,1989, p.

91-92). Porém, o litoral da Grã-Bretanha não é a uma forma euclidiana.

Mandelbrot: Biografia breve

De família judia da Lituânia, Benoit Mandelbrot, nasceu em 20 de novembro

1924, em Varsóvia, capital da Polônia. Em 1936, em razão da Segunda Guerra

Mundial, mudou-se para Paris com seus familiares. Logo após o final da guerra

começou seus estudos na escola normal, onde permaneceu por pouco tempo,

transferindo-se então para a escola politécnica. Influenciado por seu tio, Szolem

Mandelbrot, veio a interessar-se pela matemática. Ingressou no clube de matemática

conhecido por “Bourbaki”, o qual possuía um número fixo de participantes composto

por jovens matemáticos, entre eles Szolem Mandelbrot. O clube buscava a

reconstrução da matemática francesa, que não tinha muitas exigências em relação

ao rigor, visando uma matemática formal e pura. Não aceitando o método axiomático

que o clube Bourbaki adotava para a matemática, método este que influenciou

vários países, Mandelbrot deixou a França em 1948, e foi morar nos Estados

Unidos, indo estudar Ciência Aeroespacial. Em 1955 retorna à França, casa-se com

Aliette Kagan e começa a trabalhar como professor de matemática. Em 1958, é

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convidado para trabalhar na IBM (Internacional Business Machines). Em 1987,

torna-se professor de Ciências Matemáticas na Universidade de Yale.

Mandelbrot começa a questionar a Geometria Euclidiana, por considerar que

esta não evidenciava abstração aceitável para compreender a complexidade das

figuras da natureza. Seus estudos o levaram a dar origem à Geometria Fractal.

Sabe-se que antes mesmo de Mandelbrot dedicar-se aos estudos dessa nova parte

da matemática, outros estudiosos já haviam encontrado rastros dessa geometria há

centenas de anos. A diferença entre ele e seus predecessores é que o matemático

lituano foi o primeiro a preocupar-se em sistematizá-la e a atribuir-lhe um nome: a

palavra fractal tem sua origem na palavra latina fractus, que significa quebrado,

irregular.

O que são Fractais?

De acordo com Mandelbrot ( 1998, p.171)

Diz-se de uma figura geométrica ou de um objeto natural que combine as seguintes características: a) As suas partes têm a mesma forma ou estrutura que o todo, estando porém a uma escala diferente e podendo estar um pouco deformadas. b) A sua forma é ou extremamente irregular ou extremamente interrompida ou fragmentada, assim como todo o resto, qualquer que seja a escala de observação. c) Contém “elementos distintos” cujas escalas são muito variadas e cobre uma vasta gama.

Folheando um exemplar bastante antigo (datado de Julho de 1989) da

revista Ciência Hoje, encontramos uma reportagem muito interessante intitulada

“Fenômenos de Agregação”, em que Carlos Maurício G. Ferreira Chaves, do

Departamento de Física da PUC do Rio de Janeiro, nos fala que:

Em 1961, para descrever o crescimento de tumores, desenvolveu-se um dos primeiros modelos teóricos ligados ao estudo desses fenômenos. Hoje, diversos ramos do conhecimento – como a física, a química e a engenharia – se relacionam com essa área de pesquisas, que recebeu grande impulso nos últimos anos, graças ao advento dos grandes computadores e à introdução de um conceito extremamente fértil: fractais, ou seja, objetos de dimensão fracionária que apresentam ramificações ou rugosidades em todas as escalas de comprimento e, muitas vezes, possuem a fascinante propriedade de auto-similaridade. Além de aspectos ligados à ciência básica, a investigação do assunto também tem relevância tecnológica, pois os agregados reais geralmente são crescidos a partir de um substrato qualquer. (CHAVES, 1989, p. 27)

A geometria dos fractais mostra as formas irregulares que podem ser

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encontradas na natureza como no formato das nuvens, galhos e copas de árvores,

montanhas, encostas marítimas, fronteiras, entre outros, até mesmo de tumores,

como descrito acima. Ao realizar estudos sobre a geometria fractal, Gouvea (2005)

chegou à seguinte conclusão:

Um dos fatores que levou Mandelbrot a estudar e desenvolver os fractais foi não acreditar que a obra Euclidiana dava conta de explicar todas as formas, principalmente às da natureza. Após muitos estudos, Mandelbrot criticou a Geometria Euclidiana dizendo que Euclides não se aprofundou na idéia de Dimensão, a qual considera ser muito importante para o desenvolvimento da Geometria. Embora Mandelbrot seja considerado o pai dos fractais, estudos anteriores já mostravam idéias semelhantes (p. 47).

Outros autores também trouxeram em suas obras definições bastante

simples, tal qual a de J. Feder (1988) apud Barbosa (2005, p. 18), o qual afirma que

“um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo sob alguns

aspectos”; e mais elaboradas, como K.J.Falconer (1985-1990) apud Barbosa (2005),

que sugeriu o entendimento de fractal por caracterizações:Um conjunto F é fractal se por exemplo:- F possui alguma forma de “auto-similaridade” ainda que aproximada ou estatística;- A dimensão fractal, definida de alguma forma, é maior que a sua dimensão topológica;- O conjunto F pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou iterativo. (p. 18-19)

Temos também a definição dada por Devaney (1992) apud Gouvea (2005),

onde temos que “um conjunto S é chamado de Fractal ou auto-similar se pode ser

subdividido em K subconjuntos congruentes, onde cada um pode ser ampliado por

um fator constante M para produzir o conjunto S inteiro” (p. 49).

James Gleick também assinala em sua obra intitulada CAOS: a criação de

uma nova ciência, que:

Acima de tudo, fractal significa auto-semelhante. A auto-semelhança é a simetria através das escalas. Significa recorrência, um padrão dentro do outro padrão”. Figuras auto-semelhantes são figuras que mesmo ampliando em grande escala não perdem sua forma de visualização. (1989, p.97)

Algumas figuras fractais notáveis

Para Eberson (2004, p. 24)

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Uma das formas de se gerar um fractal, na verdade a primeira delas, baseia-se em processo iterativo simples de iniciador-gerador que foi utilizado por grandes matemáticos no final do séc. XlX e início do séc. XX para construir curvas bizarras e anômalas que desafiavam a análise, álgebra e geometria. (...) Esses fractais partem de uma figura inicial chamada de “iniciador”, que, em tese pode ser qualquer figura geométrica regular, porém, em geral são utilizados segmentos de reta, triângulos ou quadrados. Em seguida é definido um “gerador”, que por sua vez, consiste um conjunto de segmentos de reta consecutivos que irá substituir cada um dos segmentos de reta do iniciador.

Triângulo de Sierpinski

Criado pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski em 1916, o triângulo de

Sierpinski é originado a partir de um triângulo eqüilátero como iniciador e dos pontos

médios desse constrói-se um novo triângulo, e aí passamos a ter quatro novos

triângulos eqüiláteros. Excluindo o triângulo central, teremos então três triângulos

eqüiláteros, ou seja, adotando esse processo de exclusão do triângulo central

passamos a ter três novos triângulos que, se aplicado o mesmo procedimento

anterior, formam nove triângulos novos. Repetindo o processo anterior e através dos

pontos médios dos três triângulos restantes construímos novos triângulos, e assim

sucessivamente, sempre excluindo o triângulo central, como mostrado abaixo.

Iniciador Interações 01

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Interações 02 Interações 03

Interações 04 Interações 05FIGURA 1 – Construção do Triângulo de Sierpinski3

O triângulo de Sierpinski, as curvas e Floco de Neve de Koch e o Conjunto de

Cantor, são os fractais mais famosos e citados pelas bibliografias especializadas.

Dependendo da série, podemos explorar várias aplicações utilizando o

triângulo de Sierpinski, tais como: ponto médio, perímetro, área, potenciação,

Progressão Geométrica, função exponencial, semelhança de triângulos, homotetia,

etc.

Curva de Koch

Conforme Barbosa (2003, p. 38)

Pouco é conhecido da vida de Helge Von Koch, matemático polonês, que em 1904 e 1906 introduziu uma curva que hoje recebe seu nome: (...) Contudo, além de ser sua curva um belo exemplo de curva sem tangente, ela pode ser modificada com outras construções análogas e deve ter influenciado bastante Mandelbrot, pois tem muito de uma linha costeira.

A Curva de Koch é construída a partir de um segmento de reta iniciador e o

gerador ao qual é dividido este segmento em três partes iguais onde o terço médio é

3 FONTE: Adaptação – João Vieira Berti.

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retirado e substituído por um triângulo eqüilátero sem a base, dando origem a uma

nova figura com quatro segmentos iguais, conforme mostraremos a seguir.

A partir desse procedimento, dividem-se os novos quatro segmentos

congruentes em três partes iguais e aplica-se o processo anterior novamente, e

assim sucessivamente. Repetindo este procedimento indefinidamente, chega-se a um limite a que se dá o nome de “curva de von Koch”. Uma figura que Cesàro 1905 descreveu extasiadamete da seguinte forma:É esta semelhança entre o todo e as suas partes, ainda que infinitesimais, que nos leva a considerar a curva de von Koch como uma linha mais maravilhosa que todas as outras. Se fosse dotada de vida, não seria possível aniquila-la sem a suprimir por completo, pois ela sempre renasceria das profundezas dos seus triângulos, tal como a vida no universo.Trata-se, sem dúvida, de uma curva e, em particular, a sua área é nula. No entanto, cada etapa da sua construção, segundo todas as evidências, faz aumentar quatro terço o comprimento total, pelo que a curva de von Koch tem um comprimento infinito – tal como uma costa. Além disso – o que é importante, - ela é contínua, mas não tem tangente em quase nenhum de seus pontos. É um ser geométrico próximo de uma função contínua sem derivada. (MANDELBROT,1998, P. 35)

Iniciador

Gerador

Iterações 02 Iterações 03

Iterações 04 Iterações 05

Iterações 06 FIGURA 2 - Construção da Curva de Koch4

4 FONTE: Adaptação – João Vieira Berti.

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Floco de Neve ou Ilhas de Koch

Mandelbrot (1998) afirma que

O exemplo clássico de curva contínua não rectificável, em uma homotetia interna, é construído pelo caso-limite dos diagramas apresentados abaixo. Chama-se “curva de von Koch” e o interior da curva é muitas vezes chamado “floco de neve”, embora eu prefira a expressão “ilha de von Koch”. (p. 44)

O Floco de Neve ou Ilhas de von Koch é construído a partir de um triângulo

eqüilátero iniciador em que cada lado do triângulo aplica-se o processo de

construção da curva de von Koch.

IniciadorIterações 01

Iterações 02 Iterações 03

Iterações 04

Iterações 05FIGURA 3 – Construção do Floco de Neve5

No Floco de Neve temos lados e perímetros infinitos em quanto a sua área

será sempre menor do que a área da circunferência circunscrita ao triângulo inicial e

suas expressões são: quanto número de segmentos do fractal para o nível n de

5 Fonte: Adaptação – João Vieira Berti.

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iterações é igual nnS 43 ⋅= . Quanto ao perímetro é igual a cP

n

.34.3

= sendo c o

lado do triângulo eqüilátero inicial e, em relação a sua área a expressão será igual

AÁrea58= sendo A a área do triângulo inicial. A expressão pela qual é determinada

a área do Floco de Neve pode ser encontrada através da soma dos infinitos termos

de uma Progressão Geométrica Infinita. Uma demonstração detalhada e ilustrada

dessas afirmações pode ser encontrada no livro Descobrindo a Geometria Fractal

para a sala de aula, de Ruy Madsen Barbosa, páginas 72 a 76.

Conjunto de Cantor ou Poeira de Cantor

Conforme Barbosa (2005, p. 24-25)

Georg Cantor (1845-1918), matemático descendente de portugueses, nascido na Rússia, adotou nacionalidade alemã, foi professor da Universidade de Hale, dedicou muito de seus estudos em pesquisas relativas à fundamentação da matemática, principalmente no tocante à hoje conhecido como Teoria dos Conjuntos. Foi Cantor o primeiro matemático a estudar, ao final do século XlX, essa teoria. (...) Cantor, 1883 publicou um trabalho no qual é construído um conjunto, chamado hoje “Conjunto de Cantor” (às vezes “Polvo de Cantor” ou “Poeira de Cantor”), como exemplo de conjunto excepcional, um dos “monstros matemáticos”.

O conjunto de Cantor é construído a partir de um segmento de reta unitário

iniciador, divide-se o segmento em três partes iguais e retirada o terço médio.

Repete-se o mesmo processo nos dois segmentos restantes e assim

sucessivamente, conforme figura abaixo.

FIGURA 4 – Construção do Conjunto de Cantor6

Um dos softwares em que poderemos construir o triângulo de Sierpinski, a

Curva e Floco de Neve de Koch, além do Conjunto de Cantor, é o Cabri Géomètre II,

6 Fonte: Adaptação – João Vieira Berti.

15

software educacional de geometria dinâmica. De acordo com Hoffmann (2001), “o

software Cabri Géomètre II consiste de um ambiente para construções geométricas

com régua e compasso e com interface de trabalho em linguagem clássica da

geometria”.

Este software traz ferramentas que permitem a construção e exploração de

conceitos matemáticos interativos construídos através de propriedades geométricas

que os definem.

Também podemos construir Macro-Construções, para facilitar o processo de

iterações nas construções das figuras fractais.

Outro software que podemos utilizar para realizar construções geométricas é

o GeoGebra. Instalado nos laboratórios de informática das Escolas Publicas do

Estado do Paraná, através do Programa Paraná Digital, este software de Geometria

Dinâmica segue as mesmas características do Cabri Géomètre II, podendo,

portanto, ser utilizado por todos os professores deste estado.

Conjunto de Mandelbrot

Segundo Gleick ( 1989, p. 216)

O conjunto de Mandelbrot é uma coleção de pontos. Cada ponto no plano complexo – isto é, cada número complexo – está dentro do conjunto ou fora dele. Uma maneira de definir o conjunto é fazê-lo em termos de um teste para cada ponto, envolvendo isso uma aritmética simples, repetitiva. Para testar um ponto, toma-se o número complexo; eleva-se ao quadrado; acrescenta-se o número original; eleva-se o resultado ao quadrado – e assim por diante. Se o total projetar-se para o infinito, então o ponto não está no conjunto de Mandelbrot. Se o total permanecer finito (pode ser fixado num loop repetitivo, ou vagar caoticamente), então o ponto está dentro do conjunto.

Em Barbosa (2005), no capítulo intitulado Fractais com recursos

Computacionais, encontramos queO Software Nfract, desenvolvido por Francesco Arthur Porrotti, é um software para representar fractais, desenvolvido na linguagem Delphi, provavelmente seja o único software nacional para representar as belíssimas imagens de Mandelbrot ou Júlia. (p. 103)

Este software está disponível na biblioteca do professor, anexo ao livro

Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula, de Ruy Madsen Barbosa.

Outro software que podemos utilizar para visualizar as imagens do Conjunto

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de Mandelbrot ou Julia é o Xaos, disponível no site: http://xaos.theory.org.

FIGURA 5 - Imagem de Mandelbrot7

Dimensão Fractal

Encontramos em Mandelbrot (1998) que a Dimensão Fractal é o

Número que quantifica o grau de irregularidade e de fragmentação de um conjunto geométrico ou de um objecto natural e que se produz, no caso do objectos da geometria normal de Euclides, às suas dimensões usuais. Significado específico: “dimensão fractal” foi frequentemente aplicada à dimensão de Hausdorff e Besicovitch, mas essa utilização é hoje fortemente desaconselhada. ( p.172)

Na Geometria Euclidiana temos como dimensão, zero para o ponto, um para

o comprimento, dois para área e três para o volume, todos eles números inteiros.

Já, para Geometria Fractal, a dimensão é um número quebrado, não inteiro e é

representada pela expressão mnD

loglog= , (onde D representa a dimensão fractal, n

o número de peças da construção da figura fractal, e m o fator de aumento). A

expressão acima citada é encontrada em quase todas as literaturas da Geometria

Fractal, onde podemos verificar sua demonstração, como no livro Descobrindo a

Geometria Fractal para a sala de aula, de Ruy Madsen Barbosa, páginas 66 a 68.

A dimensão fractal para a Curva de Koch e Floco de Neve de Koch são

iguais, pois ambas as figuras têm o mesmo processo de construção, onde temos

4=n peças e o fator de aumento 3=m , e sua dimensão fractal é

7 FONTE: Adaptação – João Vieira Berti

17

262,13log/4log ≅=D . A dimensão fractal do triângulo de Sierpinski é

585,12log/3log ≅=D e do conjunto de Cantor 6309,03log/2log ≅=D .

Projeto de Intervenção Pedagógica

Uma das atividades mais interessantes deste trabalho de pesquisa foi, sem

sombra de dúvidas, a aplicação do Projeto de Intervenção Pedagógica, uma vez que

toda pesquisa que visa propor alternativas para a aplicação de novas estratégias

e/ou ferramentas para utilização em sala de aula não deve prender-se à mera

idealização de tais instrumentos, é necessário verificar a eficácia destas por meio de

sua aplicação prática a fim de testar sua viabilidade.

Visando alcançar tal objetivo, foram realizados dez encontros de quatro horas

com professores de Matemática de escolas públicas estaduais de Foz do Iguaçu e

Região, bem como professores PDE da mesma área de abrangência e outros mais

pertencentes ao Núcleo Regional de Ensino de Cascavel, para apresentar-lhes

nossa produção didático-pedagógica cujo objetivo consistia em lhes servir de

material de apoio à realização de trabalhos com softwares matemáticos específicos

nos laboratórios de informática em suas escolas de origem. Tal material consistia em

um pequeno “manual” de utilização de softwares matemáticos para a construção de

figuras fractais. O referido trabalho também trazia em seu interior breve histórico

sobre alguns dos principais teóricos da geometria fractal.

Esses encontros deram-se no laboratório de informática da UNIOESTE –

Campus de Foz do Iguaçu e contaram com a presença de cem professores divididos

em cinco grupos. Durante a realização das atividades pudemos notar algumas

dificuldades desses profissionais no tocante ao uso tanto dos softwares

matemáticos, cuja aplicação grande parte deles desconhecia, quanto do próprio

domínio da máquina em si, ou seja, alguns professores careciam de conhecimentos

básicos sobre a utilização do microcomputador, o que acabou por revelar-se um

obstáculo a mais a ser vencido.

Tais problemas acabaram nos levando a alguns questionamentos sobre o

processo de formação continuada dos professores da rede pública estadual do

Paraná, bem como sobre a questão da hora-atividade, uma vez que, se hoje o

mundo passou a ser dominado pelos processos computacionais e interativos, como

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justificar a falta de contato desses profissionais com o universo virtual? Se levarmos

em conta a falta de conhecimento dos mesmos no que tange à utilização desses

recursos, não poderíamos avaliar que estaria havendo algumas lacunas no processo

de formação continuada desses professores? E, além disso, não seria apropriado

questionar também se a hora-atividade desses docentes, que hoje alcança o

percentual de 20% de sua carga-horária semanal, seria suficiente para que eles,

após aprimorarem seus conhecimentos quanto ao uso dos recursos tecnológicos,

possam elaborar aulas baseadas no uso desses novos recursos?

Pois bem, essas e outras questões nos preocupam, mas temos esperança

que, a partir de programas como o PDE, do qual tomamos parte, outros exemplos de

formação continuada com dedicação exclusiva possam vir a fazer parte da rotina de

aprimoramento dos profissionais da educação em nosso estado.

Retornando ao projeto de intervenção pedagógica, após cada encontro, foram

aplicados questionários aos participantes, os quais contavam com perguntas

relativas à experiência anterior desses profissionais com softwares matemáticos de

geometria dinâmica; qual a sua opinião sobre a inserção da Geometria Fractal no

currículo, bem como sobre a possibilidade de se trabalhar com fractais utilizando o

aprendizado que os mesmos puderam obter durante nossos encontros. Além

dessas, outras questões relativas às possíveis falhas durante a realização dos

encontros, ou a outros temas que esses professores gostariam de ter a oportunidade

de aprender a trabalhar utilizando softwares matemáticos também foram aventadas.

Após o recolhimento dos formulários, devidamente preenchidos pelos

participantes, procedemos à leitura e posterior análise das respostas. E, o que

pudemos perceber depois de tabularmos os resultados foi exatamente o mesmo que

já havíamos avaliado durante o transcorrer de nosso trabalho junto a esses

professores. Dentre os professores participantes desses encontros e que não

participam do PDE, 80% nunca havia trabalhado com softwares matemáticos de

geometria dinâmica, contra 20% que afirmava o contrário, mas, dentre esses, cerca

da metade deles admitia ter tido contato superficial com alguns programas dentre os

citados pelo grupo todo, quais sejam GeoGebra, Cabri Géomètre e Winplot. Dentre

os outros professores que também lá estiveram e que participam do PDE, 60% já

haviam trabalhado com estes softwares (grande parte deles, inclusive, citou o fato

de ter tido seu primeiro contato com esses programas durante encontros do próprio

PDE), além dos softwares anteriores, esses professores afirmaram conhecer outro,

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denominado Régua e Compasso.

Quando questionados se a inclusão da Geometria Fractal no currículo traria

contribuição para a ampliação dos conhecimentos matemáticos e se, devido à

inclusão de mais este conteúdo outros poderiam ser deixados de lado ou se seria

possível contemplar a todos eles, dos professores não participantes do PDE, 96%

consideram que haverá contribuição, o restante ou não opinou ou pensa que os

professores devem aprofundar seus estudos sobre o tema; 62% dizem ser possível

contemplar a todos os conteúdos e os demais consideram que para se trabalhar

mais este tema outros poderão ser deixados de fora ou legados ao segundo plano.

Vejamos algumas das respostas obtidas: Primeiro o estado deveria promover uma capacitação para preparar melhor os professores para aplicação no dia-a-dia.

É inviável no momento, mas não impossível.

Sim (haverá contribuição), mas para contemplar a Geometria Fractal algum conteúdo terá de ficar de fora.

Sim (haverá contribuição), mas algum conteúdo terá que ser menos aprofundado.Não haverá problemas em relação aos outros conteúdos se o professor souber adequar a sua inclusão no currículo.

Sim" (haverá contribuição). “Depende da capacidade que o professor tem de fazer “arranjos” nos conteúdos.

No meu ponto de vista, considero que o conteúdo geometria não euclidiana tem que ser mais estudado pelo professor, antes de ir para sala de aula, para que ele possa fazer as relações pertinentes.

Entre os professores participantes do PDE, 90% consideram que haverá

contribuição, os demais alegam não saber ou são contra o aumento de conteúdos

sem o respectivo aumento de carga horária; 56% consideram ser possível

contemplar todos os conteúdos, os demais dizem que não. Percebemos a

preocupação desses colegas quanto ao fato de que a carga horária referente às

aulas de Matemática fora reduzida de cinco para quatro aulas semanais, o que

dificulta inclusive o cumprimento dos conteúdos já previstos no currículo. Há ainda

que se assinalar que alguns levantaram a questão de que a Geometria não-

euclidiana não é consenso entre os professores da área. Aqui também

transcrevemos algumas das justificativas apresentadas:

Alguns conteúdos poderão ser deixados de fora devido à redução de carga horária.

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O número de aulas não é suficiente.

É claro que haverá (contribuição), todavia a contemplação de todos os conteúdos está diretamente ligada à carga horária da disciplina. A inserção do conteúdo Geometrias não-euclidianas não é consenso de todos os professores. É antagônico se aumentar conteúdos no currículo sem aumento de carga horária.

Também fizemos o seguinte questionamento: “Após o encontro no laboratório

você considera que o que foi transmitido lhe trouxe novos conhecimentos para

prática em sala de aula? Justifique.” À essa questão, dos professores “não PDE”,

78% responderam afirmativamente e 22% responderam que trouxe novos

conhecimentos, porém eles não se sentem seguros ainda para trabalhar com seus

alunos. Temos aqui alguns exemplos de respostas dadas:Sim (trouxe novos conhecimentos), algo que poderá ser construídos com os alunos nos laboratórios (quando estiverem funcionando).

Sim (trouxe novos conhecimentos), conteúdos relacionados à informática chamam a atenção dos alunos.

Sim, trouxe novos conhecimentos, mas está um pouco distante da prática já que o uso do laboratório está um pouco distante dos alunos.

Sim, mas precisamos de mais horas de curso para poder exercitar e ter mais segurança para aí trabalhar com os alunos.

É uma janela que se abre. Hoje foi muito produtivo, entretanto, a realidade das escolas estaduais (algumas), ainda deixa a desejar para a prática desse trabalho.

Os professores PDE responderam da seguinte forma: 90% deles considera

que sim e, entre os outros 10%, há quem nunca antes trabalhara com softwares e

outros que consideram que ainda terão de aprender muito para trabalhar com seus

alunos, além disso, eles também levantaram a questão da inviabilidade de se

trabalhar com alunos nos laboratórios das escolas onde a quantidade de

computadores é insuficiente.

Fora solicitado também que os participantes fizessem uma avaliação do

encontro em si, quanto à carga horária (se seria suficiente para se ter uma idéia de

como trabalhar com software matemático de geometria dinâmica para construção de

figuras fractais), sobre a metodologia aplicada no transcorrer do encontro, estrutura

do laboratório, entre outros aspectos que julgassem relevantes. Dentre os

professores “não PDE”, 51% considerou a carga horária insuficiente, 7% considerou

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suficiente e 42% disse que a carga horária foi suficiente “para ter uma idéia, mas

precisa mais tempo”. Sobre as falhas, levantamos o seguinte: 45% solicitou aumento

da carga horária, 18% considerou necessário que haja um auxiliar para o professor

ministrante, 12% achou que tudo estava ótimo, 12% classificaram o encontro como

tendo sido bom e 13% reclamaram de alguns imprevistos ocorridos com os

equipamentos no início do primeiro encontro. Vejamos algumas respostas colhidas:O curso nos deu apenas uma noção de como trabalhar, realizar construções, porém ainda não tenho domínio para trabalhar em sala.

A carga horária poderia ser maior para que pudéssemos melhor usar os softwares.

Estava tudo OK.

Alguns professores não tinham conhecimento de como trabalhar com o computador.

Faltou apenas tempo.

O curso poderia ter menos alunos para que fosse melhor aproveitado.

Um auxiliar para ajudar a quem não tem prática seria bom.

Entre os professores participantes do PDE, 93% responderam que a carga

horária foi suficiente para ser ter uma idéia da utilização desses softwares, e 7%

afirmaram que não. Quanto às falhas, 90% disseram não ter encontrado erros e os

demais sugeriram soluções tais como a ampliação da carga horária. Alguns desses

professores salientaram que a maior falha percebida fora deles mesmos por não

saberem manusear o computador.

As três últimas perguntas presentes nesse questionário avaliavam os

seguintes pontos: se os professores entendiam que os softwares apresentados

poderiam contribuir para o estudo dos fractais e de que forma isso poderia ocorrer;

se haveria algum outro conteúdo com o qual gostariam de trabalhar junto a seus

alunos utilizando softwares matemáticos e, se consideravam ser necessário retomar

o tema trabalhado (construções fractais) para melhorar a compreensão, tanto do

conteúdo, quanto para uma melhor familiarização com o software. À primeira

questão, 91% dos professores não participantes do PDE responderam que sim, os

9% restantes não responderam ou disseram que não sabiam o que dizer, sobre de

que forma o uso de softwares matemáticos poderia ocorrer, selecionamos algumas

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sugestões:Através da construção e da interação com o conteúdo.

Maior interesse dos alunos pelas aulas de Matemática já que construirão o conhecimento.

Na visualização, para mostrar como se constrói passo-a-passo.

Podem (contribuir). Os alunos se interessariam em fazer o trabalho (desafio) no computador para depois tomar conhecimento que estavam trabalhando fractais.

Sim (haverá contribuição), pois nossos alunos entendem mais de informática do que nós, portanto o auxílio que essa nova ferramenta pode trazer é importante para enriquecer as aulas.

Sim, seria interessante conhecer um pouco mais da teoria e história dos fractais.

Ao responder à segunda questão, esses mesmos professores foram

unânimes ao dizer que há outros conteúdos com os quais gostariam de trabalhar

utilizando softwares matemáticos, tais como: trigonometria, funções, álgebra,

geometria plana e espacial, gráficos, matrizes, progressão geométrica, dobradura e

análise combinatória. Sobre a necessidade de se retomar o tema trabalhado, 98%

consideram interessante e os demais pensam que a “idéia já foi dada”, e que cabe a

eles sair em busca de um maior aprimoramento.

Os professores participantes do PDE também responderam à essas mesmas

questões, e da seguinte forma: todos consideram que os softwares matemáticos de

geometria dinâmica podem contribuir sim para o estudo dos fractais pois por meio

deles é possível ao aluno visualizar a construção das figuras, além de ser muito

atrativo porque ele não só vê a construção, mas também constrói junto com o

professor, o que é muito bom. Respondendo à outra questão sobre os conteúdos

com os quais gostariam de trabalhar utilizando softwares matemáticos, foram

sugeridos figuras 3D, planos, trigonometria, planilhas eletrônicas, funções, álgebra,

números complexos, mosaicos (faixas decorativas), estatística e equações. Com

relação a se retomar o tema trabalhado, 90% consideram interessante e 10% julgam

que o encontro já fora suficiente.

Após analisarmos todas as respostas acima, pudemos concluir que o trabalho

realizado junto à todos os professores foi bastante produtivo, uma vez que muitos

deles jamais havia tido a oportunidade de utilizar programas de geometria dinâmica

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para construção de figuras geométricas e, por meio de nossos encontros, esses

colegas tiveram a oportunidade de alargar os horizontes de suas aulas. E os

grandes beneficiados neste processo não são apenas os professores, mas a

educação pública do Estado do Paraná de maneira geral, tendo em vista que esses

profissionais da educação sentiram-se motivados a inserir o uso da informática em

suas aulas, o que aumenta o interesse do aluno pela construção do próprio

conhecimento, e esse aspecto é fundamental para que o educando perceba na

escola um espaço onde ele pode (e deve) ter acesso ao conhecimento

historicamente acumulado, às novas tendências matemáticas e ao uso das novas

ferramentas tecnológicas, tudo à serviço da formação de um cidadão mais

consciente e atuante em nossa sociedade. Mas, para que isso aconteça, nós

professores também precisamos contar com o apoio da Secretaria de Estado da

Educação do Paraná, tanto na forma de cursos permanentes de formação, e

melhores condições de trabalho, incluindo-se aqui escolas que possuam laboratórios

de informática bem equipados e em plenas condições de funcionamento.

Considerações Finais

Chegamos finalmente ao momento de refletir sobre tudo aquilo que fora

discutido ao longo deste trabalho. Inicialmente, apresentamos um pouco da teoria

dos fractais, relacionando seu nascimento ao início de outras teorias também tão

inovadoras quanto ela, como a teoria do caos, por exemplo. Além disso, mostramos

uma pequena parte do caminho percorrido por Benoit Mandelbrot, “pai” da

Geometria Fractal, cujo empenho e dedicação deram a esse novo ramo da

matemática a amplitude que podemos ver e apreciar nos dias de hoje.

No decorrer deste texto, procuramos também demonstrar as mais variadas

definições e estudos sobre essa “geometria da natureza”, apresentando também as

belas figuras fractais, bem como alguns passos de como construí-las.

Finalmente, pudemos apresentar o nosso Projeto e Intervenção Pedagógica e

tomar contato com a avaliação realizada pelos próprios professores que dele

participaram. Analisando as respostas dadas a cada uma das oito perguntas

presentes nesse questionário, chegamos à conclusão de que nosso esforço em

prepará-lo e colocá-lo em prática não foi em vão. Muitos dos professores

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participantes temos certeza, já haviam pensado inúmeras vezes em como tornar

mais atrativas as aulas de matemática, porém, a falta de contato com softwares

educacionais tornava esse desejo algo distante de suas realidades. Apesar das

dificuldades mostradas por muitos deles em dominar a máquina, todos

demonstraram interesse, participando ativamente dos exercícios propostos,

procurando sempre vencer as adversidades impostas pelo próprio desconhecimento

do funcionamento tanto do computador quanto dos programas. Isso nos leva a ter

esperança de que, se bem orientados, esses profissionais poderão fazer uso dos

softwares educacionais, sejam eles de geometria dinâmica para construção de

figuras fractais, nosso horizonte nesse trabalho, ou quaisquer outros mais que

possam vir a ser-lhes apresentados em outros encontros, dos quais, esperamos,

possamos tomar parte. O que não podemos deixar vir a acontecer é que esse

interesse todo manifestado por nossos colegas não seja canalizado para novos

conhecimentos, os quais só enriquecerão a relação entre os professores, os alunos

de escolas públicas paranaenses e o conhecimento.

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