da escola pÚblica paranaense 2009 - … · quinto postulado de euclides. o húngaro jános bolyai...
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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
MARIA APARECIDA DA SILVA DE CARVALHO
GEOMETRIA ESFÉRICA – UM PASSEIO PELO GLOBO TERRESTRE
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA ORIENTADORA: PROFª. Dr ª. ANA MÁRCIA FERNANDES TUCCI DE CARVALHO ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA
LONDRINA2010
MARIA APARECIDA DA SILVA DE CARVALHO
GEOMETRIA ESFÉRICA- UM PASSEIO PELO GLOBO TERRESTRE
Material Didático apresentado ao Programa de Desenvolvimento
Educacional (PDE).
Orientadora: Profª. Drª. Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
UEL -LONDRINA – 2010
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................03
2 TEMA ......................................................................................................................03
3 TÍTULO ...................................................................................................................03
4 JUSTIFICATIVA ......................................................................................................04
5 OBJETIVOS ...........................................................................................................05
5.1 Objetivo Geral.......................................................................................................05
5.2 Objetivo Espacícico...............................................................................................05
6 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ..............................................................................05
6.1 Breve Histórico da Geometria Não-Euclidiana.....................................................05
6.1.2 Postulado De Riemann......................................................................................08
6.1.3 Curvatura do Espaço.........................................................................................08
6.2 Aspecto Subjetivos................................................................................................09
6.2.1 Contribuições de Vygoski...................................................................................09
6.2.2 Anciedade e Aprendizagem de Matemática......................................................12
7 DESENVOLVIMENTO ............................................................................................13
8 ANEXOS..................................................................................................................18
ANEXO A – Ficha de Trabalho....................................................................................18
ANEXO B – Glossário.................................................................................................27
9 CONSIDERAÇÕES FINAIS.....................................................................................30
REFERÊNCIAS...........................................................................................................31
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1. INTRODUÇÃO
Este caderno tem por objetivo apresentar subsídios teóricos e práticos
indicados para o ensino de Geometria Esférica a partir do Ensino Fundamental. Modelo mais
simples da Geometria Elíptica e amplamente utilizada na navegação marítima, a Geometria
Esférica permite ao professor conduzir suas aulas por temas interdisciplinares e proporcionar
a seus alunos o contato com questões tecnológicas presentes em seu dia a dia, como por
exemplo, o GPS.
As atividades selecionadas procuram explorar os conceitos e as definições
da Geometria Plana quando comparadas com os axiomas e postulados da Geometria Esférica.
De caráter investigativo, envolvem os conceitos de ponto e reta em superfícies planas e
esféricas, as posições relativas entre reta, círculos e circunferências, as relações entre os lados
e os ângulos de triângulos e quadriláteros e suas transformações na superfície esférica. A
transposição destes conceitos para referenciais na superfície da Terra por meio de conceitos
geográficos, como meridianos, paralelos, latitude e longitude – fundamentais para localizar
cidades, traçar a rota de navios e dos aviões - permite aos alunos enxergarem a ligação entre a
Geometria que se aprende na escola e sua aplicação na vida cotidiana, facilitando a
aprendizagem.
Investigaremos, além dos aspectos cognitivos, aspectos afetivos e
emocionais no ensino e aprendizagem de geometria, particularmente o conceito de ansiedade,
e como suas manifestações podem ou não interferir na aprendizagem.
A nossa abordagem será relacionada com a teoria sócio - integracionista de
Vygotsky, com ênfase na colaboração entre pares e na formação de conceitos. De acordo
com este autor, o conhecimento cognitivo é produzido pelo processo de internalização, dá-se
por meio da interação social e considera a historiedade do sujeito. Dessa forma, acreditamos
que também na troca com outros sujeitos vão se internalizando conhecimentos que permitem
a formação de novos conhecimentos.
2. TEMA: INTERFERÊNCIA DE ASPECTOS EMOCIONAIS NA APRENDIZAGEM
DE GEOMETRIA ESFÉRICA
3. TÍTULO: GEOMETRIA ESFÉRICA – UM PASSEIO PELO GLOBO TERRESTRE
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4. JUSTIFICATIVA
Ao analisarmos os conteúdos desenvolvidos nas aulas de Geometria,
verificamos que ao elaborar seus planejamentos, grande parte dos professores desconsidera as
indicações curriculares oficiais que apontam para o Ensino Fundamental e Médio a
importância de se trabalhar noções básicas de Geometrias não - Euclidianas. Embora a
Geometria de Euclides, privilegiada pelos professores em suas aulas, pelo rigor de suas
demonstrações e por ser facilmente aceita por nossos sentidos, se caracterize como modelo
para a maioria das Ciências, muitos problemas do cotidiano só são resolvidos pelas
Geometrias não Euclidianas.
Acreditamos que os professores não obedecem às indicações curriculares de
se trabalhar noções de Geometrias não-Euclidianas, não por estarem em desacordo com elas,
mas porque não tiveram oportunidade de conhecê-las. Ao planejar suas aulas, a maior parte
dos professores toma por base um único livro didático, no qual conteúdos destas geometrias
não são contemplados. Como podemos constatar, diante de nossa experiência em sala de aula
e do convívio com colegas professores, um dos fatores geradores de ansiedade na sala de aula
de matemática é o ensino das Geometrias. Essa emoção é gerada nos professores pelo não
domínio absoluto do conteúdo a ser ensinado.
Com relação ao ensino de Geometrias, sabemos que proporciona ao aluno o
desenvolvimento de um tipo especial de pensamento que permite uma maneira de
compreender, descrever, representar e localizar-se no mundo em que vive. Seu ensino pode
contribuir para a aprendizagem de números, medidas e álgebra, uma vez que estimula a
observar e perceber semelhanças e diferenças, a identificar regularidades na análise de uma
forma e no reconhecimento de formas em diferentes representações e dimensões. Porém,
sendo seu ensino abordado de forma expositiva e pouco compreensível, sem manipulações de
objetos e descontextualizada do mundo real, poderá levar o aluno a sentir-se incapaz de
aprender, e a ansiedade poderá manifestar-se na forma de desinteresse. Dessa forma,
procurando colaborar com professores e alunos no ensino e aprendizagem de Geometria
Esférica, elaboramos esse caderno.
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5. OBJETIVOS
5.1. Objetivo Geral
Discutir questões de ansiedade ligadas ao ensinar e aprender conteúdos de
Geometrias Não-Euclidianas.
5.2. Objetivo Específico
• Conhecer as propriedades geométricas de figuras planas e suas
representações no plano, bem como reconhecer regularidades nelas;
• Conhecer as propriedades geométricas de figuras planas e sólidas e suas
representações em superfícies esféricas;
• Analisar o trabalho de colaboração entre pares e suas relações com a
aprendizagem da Geometria Esférica;
• Investigar a interferência de aspectos emocionais na aprendizagem de
Geometrias.
6. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
6.1 Breve Histórico das Geometrias não – Euclidianas
As primeiras sistematizações realizadas por gregos como Platão e Eudoxo,
muito contribuíram para que a geometria ocupasse lugar de destaque como ramo da
matemática, mas foi com Euclides, por volta de 300 A.C, que esse conhecimento foi
sistematizado. Com o texto de matemática mais bem sucedido de todos os tempos – Os
Elementos, Euclides deu a geometria, forma, coesão e lógica, formalizando o conhecimento
geométrico da época e dando-lhe cientificidade. “A geometria de Euclides foi a primeira
teoria matemática a ser axiomatizada, sendo por cerca de dois mil anos considerada como a
única geometria possível” (COUTINHO 2001, p.35).
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No famoso livro Os Elementos, Euclides enumerou um conjunto de cinco
axiomas e cinco postulados. Em Coutinho (2001) encontramos:
a) Axiomas
1. Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
2. Se quantidades iguais são adicionadas a iguais, os totais são iguais.
3. Se quantidades iguais são subtraídas de iguais, os restos são iguais.
4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
5. O todo é maior do que qualquer de suas partes.
b) Postulados
1. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos à vontade.
2. Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente.
3. Um círculo pode ser traçado com centro e raios arbitrários.
4. Todos os ângulos retos são iguais.
5. Se uma reta secante a duas outras forma ângulos, de um mesmo lado dessa
secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas se
prolongadas suficientemente encontrar-se-ão em um ponto desse mesmo lado.
No final do século XVIII e inicio do século XIX, os matemáticos,
estimulados pelas afirmações de alguns filósofos, dentre eles Kant , argumentaram a seguinte
idéia: “ se há a possibilidade apenas de uma única geometria, certos postulados ou noções
comuns seriam teoremas, isto é, seriam uma conseqüência lógica de proposições primeiras.”
Dentro desse raciocínio, das tentativas de provar o 5º Postulado de Euclides, criaram-se
novas geometrias, tão boas e consistentes quanto a Euclidiana. (COUTINHO, 2001, p.36)
O quinto postulado do livro I ( a relação entre “axiomas e postulados “ não é muito clara em Euclides) é equivalente ao chamado “ axioma das paralelas”, de acordo com o qual , por um ponto passa uma recta dada e uma só. As tentativas de reduzir esse axioma a um teorema conduziram, no século XIX, a uma apreciação completa da sensatez do ponto de vista de Euclides ao adaptá-lo como um axioma e levaram à descoberta das chamadas geometrias não euclidianas. (STRUIK,1989, p.92)
Segundo Boyer (1974), até o século XIX, a Geometria Plana descrevia o
mundo com aproximação. Martos afirma que,
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A partir das grandes descobertas e invenções o homem tem buscado nos meios científicos, respostas para problemas concernentes às medidas geométricas. A partir dessa busca, tem constatado que, para algumas medidas, os conceitos da Geometria Euclidiana respondem satisfatoriamente, para os problemas que envolvam as pequenas medidas, mas para as medidas de grande escala, são necessários os conceitos de Geometrias não - Euclidianas.(MARTOS, 2002)
De uma forma mais ampla, Coutinho (2001) escreve que de acordo com a
substituição que se faz do postulado das paralelas surgem dois tipos clássicos de geometria
não - euclidianas: a Geometria Hiperbólica e a Geometria Elíptica.
Na Geometria Hiperbólica, o Postulado de Euclides é substituído pelo que afirma que, por um ponto dado P, fora de uma reta r, existe mais de uma paralela a esta reta r, enquanto que na Geometria Elíptica, postula-se que não existe nenhuma paralela.(COUTINHO, 2001, p.36)
Essas geometrias começaram a serem estudas por Girolamo Sacchei (1667-
1733) com a publicação de teoremas concluindo que havia chegado a uma contradição do
quinto postulado de Euclides.
O húngaro János Bolyai (1802- 1860) e o russo Nicolai Ivanovich
Lobachevsky (1792 – 1856), publicaram a construção de uma nova geometria que negava o
postulado das paralelas proposto por Euclides. Essa nova geometria recebeu o nome de
Geometria Hiperbólica. Esta Geometria admite todos os postulados de Euclides, exceto o 5º,
ou o das paralelas, que é substituído pelo que segue:
Por um ponto P fora de uma reta r passa mais de uma reta paralela à reta r.
Em uma conferência sobre Fundamentos de Geometria, Georg Friedrich
Bernhard Riemann (1826- 1866) mudou radicalmente o conceito de espaço, objeto de estudo
da geometria. Nesta ocasião, Riemann apontou as possibilidades de novas geometrias, e
consequentemente, novo espaços. Na Geometria de Riemann,a reta não é mais infinita, como
na Geometria Euclidiana, e sim ilimitada. Para ele, as retas seriam geodésicas (curvas que
determinam em uma superfície, a menor distância entre dois pontos dados sobre a superfície)
enquanto os planos deveriam ser de dimensão 2. A Geometria Eliptica (ou riemaniana) tem
como um de seus axiomas o que estabelece, que não existem paralelas a uma reta dada,
contrapondo-se ao 5º postulado de Euclides.
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Neste caderno, abordaremos a Geometria Esférica, pois essa tem sido
recomendada para a prática educacional por pesquisadores como Lénart (1996), Coutinho
(2001) e Martos (2002), entre outros.
Modelo mais simples da Geometria Elíptica, a Geometria Esférica tem
importantes aplicações na navegação e na astronomia. O estudo da esfera e seus elementos e
suas associações com a superfície terrestre, abordando conceitos geográficos como paralelos,
meridianos, latitudes, longitudes e fusos horários, baseados em importantes idéias
geométricas, permitem ao aluno uma melhor compreensão e aprendizagem do tema,
permitindo interdisciplinaridade com a Geografia. A Geometria Esférica tem sido muito
utilizada nas rotas aéreas e marítmica.
6.1.2 Postulados De Riemann
• Quaisquer duas retas em um plano têm um ponto de encontro.
• Na superfície esférica a reta é ilimitada.
• Não existem paralelas nem retas não secantes.
• As retas são finitas.
• As somas dos ângulos internos de um triângulo são maior que 180º e
menor que 540º.
• A soma das medidas dos ângulos de qualquer quadrilátero é maior do
que 360º.
6.1.3 Curvatura do Espaço
Para COUTINHO (2001) uma outra maneira de conhecer a natureza do
espaço em que vivemos, e conseqüentemente com que Geometria estamos lidando, é
determinar sua curvatura.
Se a curvatura é constante e igual a zero, o espaço é euclidiano. Quando a
curvatura for negativa, o espaço é lobachevskiano. Se for positiva, o espaço é riemaniano.
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6.2 Aspectos Subjetivos
6.2.1. Contribuições de Vygotsky para Educação
Nos anos de 1920, sob o regime da ex- União Soviética, nos países do leste
europeu, nasce uma psicologia que buscava compreender o homem na sua totalidade,
conhecida como teoria sócio - histórica. Fundamentada no marxismo, só ganhou importância
no ocidente e no Brasil, na década de 80, e teve como principal representante o russo Lev
Semyonovich Vygotsky. Nascido em Orsha, no ano de 1896 em uma família judaica culta e
com boas condições econômicas, teve uma formação sólida desde criança. Embora tenha
vivido apenas 38 anos, sua obra é vasta, graças a sua cultura, seu pensamento inovador e sua
intensa atividade, tendo produzido mais de 200 trabalhos científicos, e permite aplicações e
novas perspectivas para a Psicologia, Educação e Linguagem.
Assunção (2009) sintetiza a obra de Vygotsky,
Com uma capacidade crítica e rigor metodológico em suas pesquisas, orientado pela perspectiva do materialismo histórico - dialético, concebe o homem como sujeito da história e na história. Compreende o desenvolvimento humano e os processos psíquicos a partir de uma base cultural. Vê a construção do conhecimento como um processo compartilhado, situando a aprendizagem como promotora de desenvolvimento e redefinindo o assim o papel da escola e o fazer do professor. Discute a relação da linguagem como formadora do pensamento e apresenta a consciência como um produto das relações sociais entre as pessoas (ASSUNÇÃO, 2009, p.11).
Para Vygotsky, as escolas (assim como outras situações educacionais, de
caráter informal) representam o melhor laboratório cultural disponível para o estudo do
pensamento (MOLL,1996,p.3), haja vista ser a escola organizado para a produção do
conhecimento e apropriado para a interação social.
Para este autor, as ações internas e externas são dois aspectos inter-
relacionados do mesmo fenômeno, ou seja, a estrutura instrumental da ação humana
incorpora-se ao sistema de inter - relacionamento com outras pessoas e só nessa neste
contexto pode ser compreendido. Em sentido mais amplo, afirma que a atividade produtiva
social se desenvolve por meio de artefatos, sob as condições de cooperação entre as pessoas e
é transmitida por gerações (MOISÈS, 2007)
Fortemente influenciando pelas idéias filosóficas de Marx desde a época de
acadêmico, Vygotsky inspirou-se no marxismo para conceber a idéia de mediação, segundo
a qual o homem, por meio de instrumentos, modifica a natureza, e ao fazê-lo, acaba
modificando a si mesmo (MOISÉS, 2007,p.23).
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Transformar o saber matemático produzido e acumulado historicamente,
num saber escolar, possível de ser ensinado (e aprendido), exige do professor o conhecimento
dos obstáculos envolvidos no processo de construção de conceitos e procedimentos para que
possa compreender melhor alguns aspectos da aprendizagem dos alunos (BRASIL, 1998).
Ao estudar o processo de formação de conceitos, em suas várias fases
evolutivas, Vygotsky investigou crianças, adolescentes e adultos, dentre estes, alguns
apresentavam distúrbios patológicos.
As descobertas oriundas desta investigação são resumidas pelo autor:
O desenvolvimento dos processos que finalmente resultam na formação de conceitos começa na fase mais precoce da infância, mas as funções intelectuais que, numa combinação específica, formam a base psicológica do processo de formação de conceitos amadurecem, se configura e se desenvolve somente na puberdade (Vygotsky,2008, p.72).
Vygotsky menciona em suas citações o caráter transitório do pensamento do
adolescente, reforçando que o indivíduo constrói e internaliza as significações do meio
exterior para o interior, salientando que, embora aprenda a produzir conceitos, o adolescente
não dispensa as formas mais elementares, continuando a operá-las por muito tempo,
evidenciando a necessidade da utilização de materiais manipuláveis ao longo de todo o
Ensino Fundamental.
De suas pesquisas sobre o processo de internalização, verificou a existência
de dois tipos de conceitos: os espontâneos e os científicos. Como espontâneos Vygotsky
considera aqueles que a criança aprende no seu dia – a – dia, sendo que destes não tem
consciência, e os científicos são aqueles sistematizados e transmitidos intencionalmente,
seguindo uma metodologia específica, ou seja, os conceitos que se aprende na escola.
A tarefa do professor ao transmitir ou ajudar ao aluno a construir os conceitos
científicos é a de levá-lo a estabelecer um enlace indireto com o objeto por meio das abstrações em
torno de suas propriedades e da compreensão das relações que ele mantém com um conhecimento
mais amplo. (MOYSÉS, 2007, p. 35)
De acordo com esta autora, o conceito científico só se elabora
intencionalmente, presumindo uma relação consciente e consentida entre o que aprende (o
sujeito) e o que se vai aprender (o objeto).
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Para Vygotsky,
Dirigida pelo uso da palavra a formação de conceito científico é uma operação mental que exige que se centre ativamente a atenção sobre o assunto, dele se abstraindo os aspectos que são fundamentais e inibindo os secundários, e que se chegue a generalizações mais amplas mediante uma síntese (VYGOTSKY, 1987, p.70)
O ambiente escolar é de fundamental importância na aquisição dos conceitos
científicos. Sua apreensão exige uma interação entre professor e aluno, implicando na
reconstrução do que o aluno já sabe, por meio de estratégias metodológicas adequadas, nas
quais a mediação entre o aluno e o objeto de aprendizagem, é feita pelo professor.
Percebemos que os conceitos científicos são construídos gradativamente
pelos alunos, com a ajuda do professor, evidenciando a importância do papel do professor na
aprendizagem, como o afirma MOYSÉS:
Vale salientar que em termos cognitivos o questionamento e a correção,por parte de quem ensina, desempenha um papel relevante na aprendizagem. Conhecendo a zona de desenvolvimento proximal do aluno, o professor bem preparado saberá fazer as perguntas que irão provocar o desequilíbrio na sua estrutura cognitiva fazendo-a avançar no sentido de uma nova e mais elaborada reestruturação (MOYSÉS, 2007, p. 37).
Utilizando experimentos científicos, Vygotsky concluiu que o aluno ao
elevar o domínio dos conceitos científicos, conseqüentemente elevará os conceitos
espontâneos. Desta forma, o modo como os conceitos científicos são abordados nas escolas,
poderão proporcionar uma melhor compreensão dos conceitos científicos que o aluno traz
consigo.
Ao destacar o papel da interação social no desenvolvimento e formação de
conceitos científicos, Vygotsky evidenciou a importância da atividade compartilhada. Em seus
estudos, essa interação se traduzia nas relações entre crianças e adultos.
Pesquisas sugerem fortemente que as crianças aprendem significados e
comportamentos em um processo de colaboração. A colaboração com uma outra pessoa, seja
adulto ou um colega mais competente, na zona de desenvolvimento proximal, conduz ao
desenvolvimento de formas culturalmente apropriadas. A interação com parceiros mais
competentes tem se mostrado muito eficiente na indução do desenvolvimento cognitivo.
A interação entre alunos desempenha papel fundamental no desenvolvimento das capacidades cognitivas, afetivas e de inserção social. Em geral, explora-se mais o aspecto afetivo dessas interações e menos sua potencialidades em termos de
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construção do conhecimento. Ao tentar compreender outras formas de resolver uma situação, o aluno poderá ampliar o grau de compreensão das noções matemáticas nela envolvidas (BRASIL,1998, p.38).
Ao trabalhar com atividades compartilhadas na 5ª série, o professor deve
considerar que nessa faixa etária os alunos atuam mais em grupos do que individualmente.
6.2.2 Ansiedade e a Aprendizagem de Matemática
Diferentes suportes teóricos e epistemológicos fornecem diferentes
conceitos do que é a afetividade e/ou quais são as emoções do campo afetivo. DAVIDOFF
(1983) não distingue afetividade de emoções, caracterizando-a como estados internos que não
podem ser diretamente observados ou medidos.
Emoções (ou afetos) são estados internos caracterizados por cognições, sensações, reações fisiológicas e comportamento expressivo específicos. Tendem a aparecer subitamente e ser de difícil controle (Davidoff, 1983, p. 427).
Para esta autora, a ansiedade é um tipo de emoção, assim como o são a
raiva, a agressão e o prazer (DAVIDOFF, 1983, p. 427). BORTOLOTI (2009) aponta as
mesmas dificuldades de distinção, pois “não há um acordo bem definido entre os
pesquisadores” (BORTOLOTI, 2009, p. 148).
HOUAISS & VILLAR (2004) definem ansiedade como
1.grande mal-estar físico e psíquico; aflição, agonia; 2. desejo veemente e impaciente; 3. falta de tranquilidade; receio; 4. estado afetivo penoso, caracterizado pela expectativa de algum perigo que se revela indeterminado e impreciso, e diante do qual o indivíduo se julga indefeso. (Houaiss & Villar, 2004, p. 228)
Nesse contexto de senso-comum, a ansiedade é desencadeada em situações
onde a exposição pessoal torna-se inevitável. O sujeito demonstra ansiedade, seja por se sentir
pressionado, seja por sentir um medo vago, impreciso, diante de responder à determinadas
demandas com possível fracasso ou, ainda, diante de situações que envolvam um alto valor
sentimental para ele.
No âmbito da psicologia geral, DAVIDOFF (1983) define a ansiedade como
“uma emoção caracterizada por sentimentos de previsão de perigo, tensão, aflição e pela
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vigilância do sistema nervoso simpático” (DAVIDOFF, 1983, P.440).
Segundo esta autora, há pelo menos dois pontos principais de distinção entre
os conceitos de ansiedade e o medo. Primeiro, o objeto do medo é fácil de se identificar, ao
passo que o objeto da ansiedade raramente é claro; segundo, a intensidade do medo é
proporcional à magnitude do perigo, enquanto que a intensidade de uma ansiedade tem a
probabilidade de ser maior do que o medo objetivo (DAVIDOFF, 1983, P.441).
Tratando das (inter) relações entre a aprendizagem e a ansiedade, a autora
garante que a última afeta a primeira de diversas maneiras e intensidade, por exemplo,
influenciando a codificação, armazenamento e ou recuperação da aprendizagem.
Os efeitos “negativos da ansiedade” e suas relações com a aprendizagem
podem ser verificados, nos alunos de todos os níveis de ensino. Dentre as manifestações
fisiológicas que a ansiedade pode provocar, as mais evidentes são mãos frias e suadas,
palpitação, diarréia, dor de cabeça e vômitos (DAVIDOFF, 1983, p.429-35). No campo
emocional, como já salientamos, pode aparecer sob a forma de medo, sensação de que algo
ruim vai acontecer, irritabilidade, agressividade e inquietação, desencadeando dificuldades de
concentração, e consequentemente, interferindo no desempenho escolar.
7. DESENVOLVIMENTO
Conforme proposto por MARTOS (2002), iniciaremos o estudo da
Geometria Esférica, também chamada elíptica ou riemaniana, com o conceito de reta,
explorando suas propriedades na superfície esférica estabelecendo comparações com suas
propriedades no plano. Iniciaremos as investigações dos conteúdos de Geometria Esférica
com atividades selecionadas que englobam o estudo da esfera e seus elementos e suas
associações com o globo terrestre, abordando conceitos geográficos como paralelos,
meridianos, latitudes, longitudes e fusos horários. Apresentaremos situações problemas
contidas em fichas com descrições de atividades a serem desenvolvidas com a utilização de
materiais manipuláveis, como bolas de isopor, mapas e globos terrestres, esferas, transferidor,
mapas.
Os alunos envolvidos no projeto enquadram-se na faixa etária entre 11 e 15
anos. Uma das características desses alunos é o medo e a insegurança diante de situações que
lhe causam desconforto. Acreditamos que ao trabalhar em pequenos grupos, estaremos
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proporcionando aos alunos segurança no momento da realização das atividades, minimizando
dessa forma, os níveis de ansiedade.
Inicialmente faremos visitas a museus e monumentos da cidade para
analisar as geometrias ali existentes. A seguir aplicaremos fichas com atividades relacionadas
a conteúdos de Geometrias Euclidiana e Esférica, referentes ao estudo da reta e suas posições
relativas e soma dos ângulos internos de um triângulo e de um quadrilátero.
As atividades propostas além de permitir que os alunos comparem conceitos
geométricos em superfícies planas e esféricas, oportunizam que exercitem o uso de
instrumentos de medidas como régua e transferidor.
Atividade 1 Qual é a cor do urso ?
Objetivo: Construir e comparar retas nas superfícies planas e esférica
Material:
• Bola de isopor;
• Caneta hidrocor
• Régua
• Régua flexível
Orientações: Objetivo da atividade é comparar as retas traçadas nas superfícies planas e
esféricas. Com os alunos dispostos em grupos solicitar que façam as atividades da Ficha 1.
Espera-se que os alunos percebam que só seria possível voltar ao local de origem apenas na
superfície esférica, graças a uma propriedade da calota esférica. Na superfície plana, a
trajetória do urso representa os três lados de um quadrado.
Atividade 2 A gota dàgua
Objetivo: Verificar que na superfície esférica as retas representam semicircunferências.
Material:
• Conta - gotas
• Bexiga
• Caneta coloridas
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Desenvolvimento: Com os alunos dispostos em grupos solicitar que façam as atividades da
Ficha 2. Com esta atividade espera-se que os alunos percebam que na superfície esférica os
lados de um triângulo tornam-se curvos (arcos de circunferência).
Atividade 3 Você pode desenhar linhas retas na esfera?
Material:
• Bola de isopor
• Bexiga
• Caneta colorida
• Barbante graduado
• Barbante
• Régua flexível
Objetivo: Comprovar a não existência de retas paralelas na superfície esférica.
Desenvolvimento: Ainda dispostos em grupos os alunos iniciarão o preenchimento da Ficha
3. Com esta atividade pretende-se que os alunos comprovem que na Geometria Euclidiana
duas retas são paralelas se estão num mesmo plano e não possuem ponto em comum e que
Geometria Esférica todas as retas se interceptam não sendo possível traçar retas paralelas.
Atividade 4 Desenhando Grandes Círculos
Objetivo: Verificar que na superfície esférica a reta é finita
Material:
• Bola de isopor
• Bexiga
• Caneta colorida
• Barbante graduado
• Barbante
• Régua flexível
Desenvolvimento: Com esta atividade espera-se que os alunos concluam que na superfície
esférica a reta é finita e ilimitada.
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Atividade 5 Construindo Ângulos
Objetivo: Utilizar o transferidor para construir ângulos na superfície esférica
Material:
• Bola de isopor
• Caneta colorida
• Transferidor
• Régua flexível
Desenvolvimento: Com o preenchimento da Ficha 5 espera-se que os alunos concluam que
na superfície esférica as retas são circunferências máximas.
Atividade 6 Qual é a soma dos ângulos internos de um triangulo?
Objetivo: Verificar a relação entre os ângulos internos de um triângulo.
Material:
• Bola de isopor
• Caneta colorida
• Transferidor
• Transferido flexível
• Régua flexível
• Régua
Desenvolvimento: Após medir os ângulos internos de triângulos desenhados em superfícies
planas e esféricas, espera-se que os alunos concluam que ao somar as medidas dos ângulos
internos de um triangulo em uma superfície esférica o resultado obtido será sempre maior que
180º.
Atividade 7 É possível construir um polígono com apenas dois lados?
Objetivo: Construir polígonos sobre a superfície esférica.
Material:
• Barbante
• Bola de isopor
• Tachinhas
• Canetas coloridas
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Desenvolvimento: Com esta atividade espera-se que os alunos concluam que só é possível
construir polígonos de dois lados na superfície esférica.
Atividade 8 A Terra é Azul?
Objetivo: Verificar as idéias dos alunos a respeito da Terra
Material: Ficha 8
Desenvolvimento: Pretende-se com a leitura e discussão do texto A Terra é azul, que os
alunos formalizem idéias sobre a Terra. Após a leitura, poderá ser solicitada a elaboração de
um texto a fim de avaliar o entendimento deles.
Atividade 9 Localizando pontos no planisfério
Objetivo: Localizar pontos na superfície terrestre utilizando as coordenadas terrestres
Desenvolvimento: Esta atividade permite aos alunos orientarem-se na superfície terrestre por
meio de meridianos e paralelos, bem como a familiarização do aluno com conceitos
geográficos latitude e longitude.
Atividade 10 Avião perdido no mar
Objetivo: Perceber as aplicações da Geometria Esférica em situações reais.
Desenvolvimento: Pretendemos que após a resolução da atividade os alunos percebam a
importância dos conceitos estudados na resolução de problemas da navegação.
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8 ANEXOS
8.1 Fichas de trabalho e Tarefa
Ficha 01
1.Qual é a cor do urso?
Um urso saiu de sua casa e caminhou 100 km ao sul. Depois virou ao oeste ecaminhou por 100 km. Então virou novamente e caminhou 100 km ao Norte. Qual não foia sua surpresa, quando descobriu voltara novamente para a sua casa. Qual é a cor do urso?
1) Desenhe na folha de sulfite a viagem do urso. Comente com os colegas de seu grupoas conclusões a que vocês chegaram e anote-as abaixo:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Investigue
2) É possível para um urso chegar ao mesmo lugar em que ele iniciou uma caminhadacomo a descrita acima?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Construção sobre esfera.
3) Esboce sobre sua esfera o desenho da viagem do urso. Relate as conclusões a que chegaram.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Data: ___/___/___Nome do grupo: ____________________Componentes:______________________________________
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Ficha de trabalho 02
* A gota d’água
1) Coloque uma gota d’água no topo de sua esfera e descreva o caminho da gota d’água. O que você observou? Anote tudo com detalhes.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2) Faça vários triângulos e algumas retas em sua bexiga, usando a canetinha. Encha de ar a bexiga, observe o que acontecerá com o triângulo. Descreva o que você observou. E observe também o que aconteceu com a reta. Anote todas suas observações._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3) Agora, compare os resultados que você obteve nas questões 1) e 2) com os seus colegas do grupo ao lado e anote abaixo as diferenças.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Data: ___/___/___Nome do grupo: ____________________Componentes:______________________________________
*Fonte : MARTOS,Z.G. Geometrias Não Euclidianas: uma proposta metodológica para o ensino de Geometria no Ensino Fundamental. Rio Claro, 2002. 179 f. Dissertação
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Ficha de tarefa 03
* Usando o transferidor
1) Desenhe um triângulo sobre o plano e use um transferidor para medir os três ângulos interiores. Descreva seu procedimento.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2) Para esta atividade você precisará usar bexigas.a. Faça um triângulo em sua bexiga, usando a canetinha. Em seguida, meça os ângulos
internos desse triângulo. Qual é a soma das medidas de seus ângulos? Descreva seu procedimento.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b. Agora, pegue a bexiga, encha-a de ar e meça os ângulos internos desse triângulo, o que você observa? Eles permanecem iguais? Que mudança você observou?
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3) Agora faça o mesmo com o triângulo esférico e seu compasso de disco. O que você achou de diferente? Anote suas conclusões.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4) Desenhe um triângulo esférico diferente e calcule a soma de seus três ângulos interiores. O que você descobriu?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Data: ___/___/___Nome do grupo: ____________________Componentes:______________________________________
*Fonte : MARTOS,Z.G. Geometrias Não Euclidianas: uma proposta metodológica para o ensino de Geometria no Ensino Fundamental. Rio Claro, 2002. 179 f. Dissertação
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Ficha Trabalho 04
*Qual é a soma das medidas dos ângulos de um triângulo?
Construção sobre o PlanoDesenhe dois triângulos de lados diferentes. Meça o ângulo interior de cada triângulo.
Investigue
1. A soma das medidas dos ângulos interiores é sempre a mesma? Explique sua resposta.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Faça a conjectura
2. Qual é a soma das medidas dos ângulos interiores de uma triângulo esférico?___________________________________________________________________________
3. Desenhe três triângulos de lados diferentes. Meça o interior de cada triângulo.
4.Ache a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo esférico.
5.Explique por que você encontrou diferentes respostas para diferentes triângulos.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6 Qual é a maior? Explique suas razões.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Compare o plano e a esfera
7.Veja como você pode fazer muitas observações sobre a soma das medidas dos ângulos deum triângulo sobre o plano e sobre a esfera.
Soma das medidas de um triângulo
Plano Esfera
Data: ___/___/___Nome do grupo: ____________________Componentes:______________________________________*Fonte : MARTOS,Z.G. Geometrias Não Euclidianas: uma proposta metodológica para o ensino de Geometria no Ensino Fundamental. Rio Claro, 2002. 179 f. Dissertação
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Ficha de trabalho 05 *É POSSIVEL FAZER UM POLÍGONO COM APENAS DOIS LADOS?
Construções no plano Desenhe duas semi- retas com a mesma origem.
1- Será que as duas semi- retas se encontram em outro ponto se prolongadas infinitamente?
2- Polígono é uma figura fechada com lados retos. Explique se é possível criar um polígono de dois lados no plano.
Construções na esfera
Você pode fazer um polígono de dois lados em uma esfera?
3- Desenhar arcos de dois grandes círculos, partindo do mesmo ponto na sua esfera.
4- Estenda os dois arcos. Será que os dois arcos se encontram em outro ponto?
5- Os dois arcos dividem a esfera em diferentes regiões. Descreva o tamanho e a forma das regiões.
6- Um polígono na esfera que tem exatamente dois ângulos é chamado biângulo. Meça e registre os ângulos de cada um dos biângulo formados.
7- Escreva uma propriedade que seja válida para os ângulos de qualquer biângulo.
9- Meça os lados do biângulo e escreva duas propriedades que sejam válidas para seus lados.
10- Você fez várias observações sobre dois raios, com extremidades comuns no plano e na esfera. Elabore uma tabela com suas observações.
11- Desenhe dois grandes círculos.a)Quantos biângulos os grandes círculos criaram ?
b)Determine se os biângulos formados são congruentes.
Data: ___/___/___Nome do grupo: ____________________Componentes:______________________________________
*LÉNÁRT, István. Non-Euclidean Adventures on the Lénárt Sphere – activities comparing planar and spherical geometry. USA: Key Curriculum Press, 1996.
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Ficha de trabalho 06
A Terra é azul!
Foi a frase emocionada do astronauta Yuri Gagarin (1961), ao vislumbrar do interior de sua nave a esfera Terra solta no espaço.Se, ao invés de falar-lhe da cor, tivesse afirmado“A Terra é arredondada”, não estaria colocando nenhuma novidade nesse nosso século XX.Mas, certamente, causaria muito espanto se tivesse dito a mesma coisa, na antigüidade, aos babilônicos, egípcios ou hindus. Para esses povos e, provavelmente para outros tantos, a idéia que faziam da Terra era bastante diferente e variável.
Para os babilônicos, “a Terra era uma montanha oca, sustentada e rodeada pelo mar. Em seu interior, situava-se o tenebroso e poeirento reino dos mortos. Arqueado sobre a Terra ficava o sólido firmamento, onde se moviam o Sol e a Lua e as estrelas”.
Já os egípcios conceberam a Terra como “um deus reclinado (Keb), coberto de vegetação, e o céu como uma deusa graciosamente encurvada e sustentada no alto pelodeus da atmosfera. O deus Sol, que se vê em dois barcos, navegava diariamente pelo firmamento até penetrar na “noite da morte”.
Os hindus tinham várias concepções sobre a Terra. Uma de suas tribos acreditava que “ela era sustentada por elefantes, cujos movimentos causavam os terremotos. Os elefantes ficavam sobre uma tartaruga, encarnação do deus Vixnu, o qual descansava sobre uma cobra, símbolo da água”.A hipótese de que a Terra era esférica foi levantada pelo grego Pitágoras no século VI a .C.
Já no início do século XVII, Galileu Galilei pôs em dúvida a hipótese da esfericidade da Terra. No fim do mesmo século, Newton afirmava que a Terra era achatada nos pólos e não perfeitamente esférica.
Ilustrações extraídas de: BEISER, Arthur. A Terra. R.J.: J. Olympio, c 1970. P.10-11(Biblioteca da natureza Life).
1. Para você qual é a forma da Terra?
------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Como você vê ou imagina a linha do Equador, os trópicos e o Meridiano de Greenwich?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
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Ficha de trabalho 7
1) O Comandante de um submarino armado com mísseis de ogivas nucleares, posicionado 42º S e 51º W, recebe ordem para disparar um míssil de longo alcance para testar a sua capacidade e atingir um alvo de coordenadas 80º S e 30º E. Em que continente encontra-se o alvo?
a) Estados Unidos
b) Rússia
c) China
d) Austrália
e) Antartida
2) Ainda na questão anterior, o submarino encontra-se em qual oceano?
a) Pacífico
b) Atlântico
c) ìndico
Fonte: http://fornecedor1.blogspot.com/2010/07/clik-no-mapa_08.html acesso 29/07/10
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Ficha de trabalho 8
Sabendo que o Brasil fica na região Oeste do Meridiano de Greenwich e usando o mapa abaixo, analise a situação a seguir.
Um avião encontrava-se na posição 5º ao Sul e 55º a oeste, quando o piloto percebe uma pane no motor do avião, mas como o piloto é experiente continua o vôo com segurança até descer no aeroporto que tem coordenadas 20º S e 45º W.
1) Em que Estado estava o avião quando ocorreu a pane?a) Amazonas d) Mato Grossob) Amapá e) Rondôniac) Pará
2) Em que Cidade o avião vai pousar?a) Tocantins d) Curitibab) Belo Horizonte e) Campo Grandec) São Paulo
Fonte: http://www.economiabr.defesabr.com/Eco/Eco_acordos_china.htm acesso 29/07/10
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Ficha de Trabalho 9
Sabendo que quando nos deslocamos para o Leste (E) a cada meridiano de 15º adiantamos o relógio em 1 hora e para Oeste (W) atrasamos em 1 hora.
Estudando o mapa abaixo vamos resolver a questão a seguir.
Nove amigos estão espalhados no planeta de acordo com as letras em vermelho.A = Brasil D = Argélia G = AlascaB = Rússia E = Groelândia H = ArgentinaC = Austrália F = Estados Unidos I = China
O amigo que se encontra no Brasil entra na internet para bater papo com os outros amigos e manda a seguinte mensagem.
“Aqui no Brasil são nove horas da manhã, que horas vcs tem agora”
Vamos tentar acertar as horas
País Horário País Horário País Horário
Brasil 10:00 Argélia Alasca
Rússia Groelandia Argentina
Austrália Estadis Unidos China
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8.2 Glossário
Ângulo Esférico: Sendo os círculos máximos as retas da superfície esférica, define-se o ângulo esférico como sendo a interseção de dois círculos máximos e sua medida é a mesma do ângulo plano formado pelas tangentes tiradas do ponto de interseção.
Círculos Máximos: Na superfície esférica os círculos são máximos quando os planos que interceptam a esfera passam pelo centro da esfera. Os centros dos círculos máximos coincidem com o centro da esfera.
Coordenadas Terrestres: A posição de um lugar sobre a superfície da Terra pode ser fixada por dois
Distância na superfície esférica: Dados dois pontos distintos A e B sobre uma esfera, a distancia entre esses pontos é a menor porção do circulo máximo que contém esses pontos. Embora, por A e B outros círculos possam ser considerados, a distancia entre eles é sempre medida sobre o único círculo máximo determinado por A e B.
http://cursinhomzm.blogspot.com/2009_05_01_archive.html
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Equador : É o círculo máximo cujo plano é perpendicular ao eixo de rotação da Terra e, consequentemente, divide a Terra em duas partes iguais, denominadas Hemisfério Norte e Hemisfério Sul.
Leste e Oeste: A direção na qual a Terra gira chama-se Leste, e a direção oposta, Oeste.
Meridianos: São os diversos semicírculos máximos que vão de um pólo a outro.
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Paralelos: São os diversos círculos menores paralelos ao Equador.
Triângulo Esférico: Dados três pontos A, B, C de uma esfera ( os quais não estão sobre um mesmo círculo maximal ), o TRIANGULO ESFERICO de vértices A, B e C é a figura da esfera contornada pelos três arcos maximais que vão de A a B, de B a C e de C a A. Esses arcos maximais são chamados de lados do triângulo.
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa2a.html acesso: 02/08/2010
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9 CONSIDERAÇOES FINAIS
Para que os objetivos propostos neste material sejam alcançados, durante a realização
das atividades é de fundamental importância deixar os alunos arriscarem e desenvolverem
suas próprias hipóteses, verificações e posteriores conclusões. Ao professor cabe a tarefa de
direcionar a aula realizando questionamentos de acordo com seus objetivos.
A avaliação será feita tomando como base as anotações realizadas pelos alunos durante
as atividades, a participação em grupo, tarefas, e em todas as atividades desenvolvidas em
diversas formas e momentos.
Para que as atividades em grupo atinjam seu objetivo, antes de iniciarmos o semestre
elaboraremos um Contrato Didático, com normas e regras a serem seguidas por professor e
alunos.
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REFERÊNCIAS
ALVES,S. A Geometria do Globo Terrestre. In:Programa de Iniciação Científica da OBMEP, 2007, v 6.
ASSUNÇÃO, M,T. Prefácio. In:Vygotsky :Uma revisita no início do século XXI . SCHETTINI,R,H.(Org). São Paulo: Andross, 2009
BORTOLOTI, Roberta D.M. Afeto e cognição no contexto da disciplina de análise real no curso de matemática. In:Educação Matemática no Ensino Superior:Pesquisas e Debates. Maria Clara Rezende Frota e Lilian Nasser (ORGs). Biblioteca do Educador Matemático (Coleção SBEM,v.5) 2009.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental Matemática. - Brasília : MEC/ SEF,1998
CARVALHO, Ana M.F.T. Afetividade na aprendizagem de matemática:a questão da transferência. In:Educação Matemática no Ensino Superior:Pesquisas e Debates. Maria Clara Rezende Frota e Lilian Nasser (ORGs).Biblioteca do Educador Matemático (Coleção SBEM ,v.5) 2009.
CARVALHO, Ana M.F.T. A Exitimidade da Demonstração. Tese. Doutorado em Educação Matemática, IGCE, UNESP, Rio Claro, 2004.
CHACÓN, MARIA GOMES. Matemática Emocional: os afetos na aprendizagem matemática. Porto Alegre: Artmed, 2003.
COUTINHO,L. Convite às geometrias não – euclidianas. Rio de Janeiro: Interciência, 2001.
DAVIDOFF,L.L. Introdução à Psicologia . São Paulo: McGraw- Hill do Brasil,1983.
DINIS, E. Ansiedade na Matemática . Disponível em : www.apm.pt/apm/revista/educ75/pontosdevista . Acesso em 19 abril 2010.
FALCÃO, Jorge,T. R. Psicologia da Educação Matemática: uma introdução. Coleção Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2008.
HOUAISS, A.; VILLAR, M.S. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Objetiva, 2001.
LÉNÁRT, István. Non-Euclidean Adventures on the Lénárt Sphere – activities comparing planar and spherical geometry. USA: Key Curriculum Press, 1996.
LORENZATO, S. Os “porques Matemáticos dos alunos e as Respostas dos Professores”, Proposição, vol. 10, Faculdade de Educação, UNICAMP, Campinas, 1993.
LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria?, Educação em Revista –Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBM, ano 3, n. 4, p. 4 –13, 1o sem. 1995.
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MARTOS,Z.G. Geometrias Não Euclidianas: uma proposta metodológica para o ensino de Geometria no Ensino Fundamental. Rio Claro, 2002. 179 f. Dissertação. (Mestrado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista.
MOLL, Luis. Vygotsky e a educação : Implicações pedagógicas da psicologia sócio- histórica. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.
MOYSÉS,L. Aplicações de Vygotsky à Educação Matemática. Campinas, SP: Papirus, 1987.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Educação Básica. Diretrizes Curriculares de matemática para as séries finais do ensino fundamental e para o ensino médio. Disponível em: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/. Acesso em 19 mar 2010.
PAVANELLO, R. N. O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e conseqüências. Revista Zetetiké, ano 1, n. 1, p. 7-17. UNICAMP, 1993.
STRUIK, D.J. História Concisa das Matemáticas. Gradiva, 1989.
VYGOTSKY,L.S. A formação Social da Mente. 6.ed. São Paulo: Martins Fontes, 1998.
______________. Pensamento e Linguagem . 4. ed. São Paulo: Martins Fontes,2008.
______________.Teoria e Método em Psicologia. 3. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2004.