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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA NA ESCOLA
ESTUDO DO SOFTWARE EDUCATIVO DE MATEMÁTICA GEOGEBRA PARA APLICAÇÃO NA INVESTIGAÇÃO DOS
CONTEÚDOS ESTRUTURANTES: FUNÇÕES E GEOMETRIA
MATERIAL DIDÁTICO
PROFª PDE 2009: Nunciata Carboni da Costa
ORIENTADORA: Profª. Drª. Sandra Malta Barbosa
IES: Universidade Estadual de Londrina (UEL)
NRE-Londrina
Escola: Colégio Estadual Marechal Castelo Branco – Ensino
Fundamental Médio e Normal
MUNICÍPIO: Primeiro de Maio – PR
PDE 2009
UNIDADE DIDÁTICA
ATIVIDADES SOBRE OS CONTEÚDOS DE FUNÇÕES E GEOMETRIA DESENVOLVIDAS COM O USO DOS RECURSOS DO
SOFTWARE
OBJETIVO
Esta Unidade Didática foi elaborada para ser desenvolvida no Laboratório de
Informática da escola, durante a implementação do Projeto, na 1ª série do Curso
Normal de nível Médio, utilizando o software GeoGebra, com o objetivo de ser um
material didático que venha a somar a tantos outros, sendo portanto mais uma
opção de uso que proporciona uma diversificação e um apoio ao trabalho
pedagógico.
Para tanto esse Material Didático Pedagógico contempla uma revisão de
conteúdos matemáticos básicos ao propor atividades simples para exploração dos
recursos do software, que envolvam os conteúdos estruturantes Funções e
Geometria, pretendendo valer-se da alternativa metodológica da investigação
matemática nas atividades mais complexas.
De acordo com Ponte (1999), a manipulação de materiais de geometria permite
realizar descobertas, porque há um campo imenso de atividades que podem ser
exploradas. No caso do uso do Geogebra, pela sua dinâmica, essas explorações
tornam-se importantes, pois a toda construção geométrica é associada uma
representação algébrica.
ATIVIDADES PARA A EXPLORAÇÃO DOS RECURSOS DO GEOGEBRA E REVISÃO DE
CONTEÚDOS
“O aluno ouve e esquece, vê e se lembra,
mas só compreende quando faz”.Confúcio
OBJETIVO ESPECÍFICO
O objetivo dessas atividades de exploração é proporcionar uma familiarização
com os comandos e recursos básicos do software GeoGebra, trabalhando de uma
maneira diversificada, conteúdos já estudados, e ao mesmo tempo reforçar a
aprendizagem sobre os mesmos, pois são considerados conhecimentos básicos e
necessários para a investigação em situações mais complexas.
ESTRATÉGIA DE AÇÃO
Depois da apresentação da tela inicial do software, usando o recurso do
Datashow, TV pendrive, quadro branco, seguida de um comentário sobre o menu
principal e a barra de ferramentas, serão dadas as instruções para a construção dos
objetos selecionados que serão trabalhados, explorando apenas os recursos e
comandos do software necessários para cada atividade. Em cada objeto construído,
será feita a análise dos elementos principais que aparecem na janela algébrica,
destacando as principais características do mesmo.
Estas atividades serão realizadas pela professora, que usará também o recurso
do Datashow, enquanto os alunos, em dupla, utilizarão o computador.
Assim, a estratégia pedagógica é iniciar com atividades simples para
exploração dos recursos do software, sendo colocados para os alunos, o referencial
teórico, os procedimentos, a reflexão e os questionamentos. E à medida que a
implementação desse projeto for evoluindo, para a experimentação de natureza
investigativa, será apresentada uma série de situações, com a previsão de que
sejam feitas simulações a partir da intervenção dos alunos.
CONTEÚDOS
1) Conteúdo estruturante - Geometria: Pontos, retas e segmentos de retas
Posições relativas de retas paralelas e perpendiculares
Reta mediatriz e reta bissetriz
Ângulos e polígonos
Círculos e circunferências.
2) Conteúdo Estruturante - Funções: Função do 1º grau ou função afim
Função do 2º grau ou função quadrática
APRESENTAÇÃO DO GEOGEBRA
O GeoGebra é um software, disponível na Internet, criado pelo Prof. Dr. Markus
Hohenwater em 2001, para ser usado nas escolas de Educação Básica e Superior.
TELA INICIAL DO GEOGEBRA:
As construções podem ser feitas com a malha quadriculada ou não, com os
eixos cartesianos ou não. Para trabalhar com eles, basta clicar no menu Exibir, e
em seguida clicar nas opções “malha” e “eixos”. Em cada botão na barra de
ferramentas, há um pequeno triângulo que está a direita na parte inferior. Ao clicar
com o mouse nesses pequenos triângulos, aparecem outras opções.
Na Janela de Álgebra serão representadas as coordenadas dos pontos, as
equações e as medidas dos elementos dos objetos construídos na Janela
Geométrica. Objetos Livres são aqueles que podemos movimentar, sem que eles
dependam de outros objetos. Objetos Dependentes são os que foram feitos a partir
de outros objetos construídos.
PLANO CARTESIANO
É um sistema de coordenadas formadas por dois eixos x e y perpendiculares
entre si que dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes, conforme
figura abaixo.
Para ilustrar,vamos considerar que o plano cartesiano apresentado no
GeoGebra seja o mapa do seu bairro. O ponto de referência é sua casa, então será
colocada no ponto de origem dos eixos (ponto de intersecção dos eixos).
Convencionaremos que uma quadra seja um quadrado de lado igual a 1u.
Exemplo:A Biblioteca Municipal está a 3 quadras ao leste de sua casa (para direita) e 2
quadras ao sul de sua casa (para baixo). Por convenção, o norte para cima, o sul
para baixo, o leste para direita e o oeste para esquerda.
Vamos representar por pontos no plano cartesiano do GeoGebra, tomando, a
casa como referencial, as seguintes localidades:
1) A Escola que está localizada a 2 quadras a leste e 3 quadras ao norte;
2) A Igreja que está localizada a 2 quadras ao leste e a 5 quadras ao sul;
3) A Praça que está localizada a 1 quadra ao leste e a 3 quadras ao norte;
4) O Parque Municipal que está a 7 quadras ao oeste e a 3 quadras ao sul;
5) O Ginásio Municipal que está a 3 quadras ao oeste e a 1 quadra ao sul;
A localização de pontos no plano cartesiano é dada, por um par ordenado (x, y)
denominado de ponto cartesiano. Cada número é chamado de coordenada
cartesiana.
CONTEÚDO ESTRUTURANTE: GEOMETRIA
a) REPRESENTAR PONTOS NO PLANO CARTESIANO.
Como já vimos, para representar um ponto basta clicar na ferramenta e
clicar na malha quadriculada, conforme figuras abaixo.
Observe que esses pontos são representados, simultaneamente, na janela
algébrica por letras maiúsculas e por suas coordenadas cartesianas, pelo par
ordenado (x, y). Observe os pares na janela algébrica: A(-1, -2), B(3, 2), C(-2, 3),
D(4, -2).
O ponto B pertence ao 1º Quadrante.
O ponto C pertence ao 2º Quadrante.
O ponto A pertence ao 3º Quadrante.
O ponto D pertence ao 4º Quadrante.
Para localizar um ponto devemos escrever suas coordenadas na janela de
comandos.
Exemplo:Para localizar o ponto com as coordenadas x = 2 e y = 3, basta escrever (2, 3)
na janela de entrada e clicar em Enter.
Como já observamos, na janela de álgebra aparecem todas as atividades
realizadas no software. Assim, podemos editar essas atividades, clicando com o
botão direito do mouse sobre elas.
Podemos inserir um novo ponto também, usando a opção “novo ponto” e
depois clicar em qualquer lugar do plano cartesiano. Esse ponto também aparecerá
na janela de álgebra, conforme figura abaixo.
Podemos renomear o ponto, isto é, se quisermos chamar o ponto A de
"Escola", basta clicar com o botão direito do mouse no ponto A na janela de álgebra
e selecionar a opção “renomear”. Escreva então o nome que achar mais apropriado.
Para excluir um ponto, selecione-o na Janela de Álgebra com o botão direito do
mouse e clique em apagar, conforme figura abaixo.
Para ligar dois pontos, basta clicar no botão e escolher a opção
“segmento definido por dois pontos” e clicar, alternadamente, em ambos os pontos.
Para descobrir a distância entre dois pontos, basta seguir o passo mostrado na
figura abaixo. Após selecionar a opção "distância ou comprimento", clique em cada
ponto que você quer unir.
Veja a figura abaixo: AE=6,4 é distância em linha reta do Ginásio Municipal até
a Escola.
b) CONSTRUÇÃO DE RETA E O COEFICIENTE ANGULAR (INCLINAÇÃO).
Para construir uma reta, podemos fazê-la de duas maneiras:
escolhendo dois pontos do plano cartesiano e traçando uma reta que
passa por eles;
escrevendo a equação da reta na janela de comandos.
Construir uma reta passando por dois pontos dados:
Para construir uma reta definida por dois pontos, clicar na opção “novo ponto” Com o mouse ativado clicar na malha em dois pontos quaisquer. Em seguida, clicar
no botão e no triângulo pequeno na parte inferior, aparece a opção desejada:
“Reta definida por dois pontos”.
Observe a figura a seguir:
Na Janela Algébrica aparecem os pontos A(0, 2) e B(-2, 0) pertencentes à reta
“a” , cuja equação é x - y = -2.
Agora é bom refletir e destacar:Aparece na janela algébrica a representação de uma reta por meio de uma
equação do tipo: ax + by = c. Podemos escrever a função de uma reta a partir da
equação que aparece na tela: A forma geral da função afim f(x) = ax + b ou y = ax + b. Isolando y teremos a função: y = x + 2 ou f(x) = x + 2. Assim, temos que a=1 e
b=2.Observando o gráfico vemos que o ponto B em que y = 0, temos para o valor
de x = -2. Assim, como já sabemos, -2 é a raiz da equação x + 2 = 0, ou seja,
abscissa do ponto em que a reta corta o Eixo X. Na função esse valor recebe o
nome de “zero da função”.
A reta representada acima é uma função do 1º grau crescente. Podemos
observar no gráfico que, quando o valor de x aumenta o valor de y também aumenta
e quando o valor de x diminui o valor de y também diminui, isto é, porque a é
positivo. O domínio desta função é o conjunto dos números reais e pode ser
representado pelo intervalo aberto de menos infinito a mais infinito. A reta é infinita.
No caso do segmento de reta é possível representá-lo por um intervalo real?
Para representar o ângulo de inclinação, ou coeficiente angular da reta, basta
clicar no botão e depois de escolher a opção “inclinação”, selecione a reta.
O coeficiente angular da reta a é dado por m = -0,75.
Momento de Reflexão
Uma reta é definida por uma função do tipo y = ax + b, onde m = -0,75 (m é o
coeficiente angular da reta, ou seja, sua inclinação em relação ao eixo horizontal). O
ponto em que a reta a corta o EixoX é (4,0) e o ponto que ela intercepta o EixoY é
(0, 3). Então substituindo na função, os valores de y = 0, b = 3 e x=4, teremos a
equação: 0 = 4a + 3.Com essas informações, estabeleça uma comparação entre o coeficiente
angular m e o coeficiente a da função.
C) POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E SEGMENTOS DE RETAS.
1) Construir uma reta perpendicular ao segmento, passando por um ponto dado
no segmento:
Com a ferramenta aparecerá as opções:
Momento de reflexão
Esta construção não foi usada a malha e eixos. O segmento dado por a = 5,17 cm é limitado pelos pontos A e B. O ponto por onde passa a perpendicular é o ponto
C. A reta b é a reta perpendicular ao segmento dado. Defina reta perpendicular a um
segmento dado.
É possível estabelecer uma equação para essa reta?
Agora, usando o Plano Cartesiano, vamos construir uma reta perpendicular a
outra reta dada, passando por um ponto fora da reta dada.
Momento de reflexão
A reta a definida pelos pontos A(2, 4) e B(5, 1) é a reta dada. A reta b, que
passa pelo ponto dado C(5, 4) é a reta perpendicular à reta a. A equação da reta a é
x + y = 6. A equação da reta b é dada por x - y = 1. A equação da reta a também
pode ser definida por y = 6 – x. E a equação da reta b (perpendicular obtida) pode
ser também definida por y =-1 + x.Observando a equação de cada uma das retas, vemos que o coeficiente
angular da reta a (coeficiente de x) é o inverso do simétrico do coeficiente da reta b, (mesmo valor numérico e sinais contrários).
Com essas informações, escreva a condição de perpendicularismo entre duas
retas do mesmo plano.
2) Construir uma reta paralela à outra reta dada, passando por um ponto dado.
Momento de Reflexão
Na Janela Algébrica aparece os pontos A(2, 4) e B(8, 2) pertencentes a reta a dada e o ponto C(4, 6) é o ponto dado. A reta paralela construída é a reta b. A reta a é definida pela equação: x + 3y = 14. A reta b é definida pela equação: x + 3y = 22.
Observe que os valores dos coeficientes a e b são iguais nas duas retas
paralelas (mesmo módulo e mesmo sinal).
Com esses dados, escreva a condição de paralelismo entre retas do mesmo
plano.
D) CONSTRUÇÃO DE RETA MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO
Dado um segmento, construir a mediatriz desse segmento.
Com o ícone acionado, clicar em “segmento definido por dois pontos”. Em
seguida com o botão acionado, clicar nos pontos do segmento.
Momento de reflexão
Observar na Janela Algébrica: os pontos A(2, 3) e B(-2, 2) são os extremos do
segmento a, cujo comprimento é 4,12 cm. A equação da reta b é definida por
-4x - y = -2,5. Os valores de x e de y, que satisfazem a equação, são as
coordenadas dos pontos equidistantes dos pontos extremos A e B do segmento a.Com esses dados, defina o que é mediatriz de um segmento.
E) CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ DO ÂNGULO FORMADO POR TRÊS
PONTOS NÃO ALINHADOS.
Marcar três pontos quaisquer na Janela Gráfica. E com o botão
acionado, clicar na opção “Bissetriz”.
Momento de reflexão
Na janela algébrica observar as coordenadas dos pontos dados A, B e C. A
equação da reta a (bissetriz do ângulo ACB) é -0,71x + 0,71y = -0,71. Os valores de
x e de y que satisfazem a equação são as coordenadas dos pontos equidistantes
dos pontos A(2, 4) e B(5, 1).Com esses dados, dê uma definição para a bissetriz de um ângulo.
F) CONSTRUIR POLÍGONOS.
Com a ferramenta ativada, clicar com o mouse no triângulo pequeno, e
clicar na opção polígonos. Na Janela Geométrica marcar os pontos dos vértices e
fechar o polígono desejado, conforme a figura abaixo.
Momento de reflexãoNa janela algébrica aparecem:
Polígono 1
As coordenadas dos pontos vértices: A, B, C, E.A medida dos comprimentos dos segmentos: a, b, c, e.A medida da área.
Polígono 2
As coordenadas dos vértices D, F, G, H, I.As medidas dos lados: d, f, g, h, i.A medida da área.
Polígono 3
As coordenadas dos vértices: J, K, L.As medidas dos lados: j, k, l.A medida da área.
Movimentando um dos vértices, verifique o que acontece com as medidas.
Escreva a sua conclusão. Estabeleça uma definição para polígonos.
G) CONSTRUIR POLÍGONOS REGULARES.
Com a opção “polígono regular” ativada, clicar em dois pontos.Na tabela que
aparece digitar o número de lados, clicando OK, surge o polígono regular, Por
exemplo:
Observar os elementos do polígono: vértices e lados representados
algebricamente. Os pontos dos vértices representados por letras maiúsculos. Os
objetos livres A e B e suas coordenadas. Os lados representados por letras
minúsculas, com as respectivas medidas e a medida da área do polígono.
Momento de reflexão
O que acontece quando se movimenta um dos seus vértices? Estabeleça uma
definição para polígonos regulares.
CONSTRUIR PENTÁGONO DADOS DOIS VÉRTICES
Inserir dois pontos na Janela Gráfica e ativar a ferramenta “polígono regular”.
Clicar nos dois pontos, onde aparecerá a tela para digitar o número de lados. Marcar
um dos ângulos, usando a ferramenta “ângulos”.
Momento de reflexão
Observe o que acontece se movimentarmos um dos seus vértices. Verifique a
área do polígono construído que aparece na janela algébrica.
H) CONSTRUIR CÍRCULOS E CIRCUNFERÊNCIAS
Com a ferramenta ativada, clicar na opção desejada conforme figura
abaixo e clicar na Janela Geométrica. Dependendo da opção escolhida é importante
exibir eixos e malha.
Para mover um ponto na circunferência, clicar no botão e na opção
“mover”.
Na Janela Algébrica observar a representação dos objetos livres:
O ponto A(4, 4) é o centro.
O ponto B(0, 2) é um ponto qualquer da circunferência.
A circunferência c é definida pela equação (x - 4)2 + (y - 4)2 = 20.
Momento de Reflexão
Os valores de x e y que satisfazem a equação acima, pertencem à
circunferência, ou seja, os pontos equidistantes do centro.
Dê uma definição para curva de circunferência.
I) CONSTRUIR SETORES CIRCULARES
Os setores circulares c e d estão sombreados.
Momento de reflexão
Observe o que acontece se movimentarmos um dos pontos e relate a sua
conclusão. Estabeleça uma definição para setor circular.
K) CONSTRUIR ÂNGULOS QUAISQUER.
Com o botão ativado aparece a tela com as opções:
Momento de reflexão
Observe o que acontece se movimentarmos um dos pontos A, B, ou C. Relate
sua conclusão e estabeleça uma definição para a região angular.
CONTEÚDO ESTRUTURANTE: FUNÇÕES
Para trabalharmos com funções no software, temos na parte inferior da tela
uma linha de comandos que nos permite inserir funções e após inseri-la basta teclar
"enter" que o gráfico da mesma será apresentado na Janela Geométrica e,
consequentemente, aparecerá na Janela Algébrica a representação da função
que estamos trabalhando.
Na linha de comando podem ser inseridos os seguintes formatos: f(x) = x, y =
2x, ou 3x, as três formas são aceitas, porém para inserir funções como f(x) = a*x+b,
sendo a e b dependentes de um seletor, devemos utilizar o sinal de multiplicação (*).
As entradas algébricas ficam na parte inferior da tela e devem respeitar
algumas notações tais como:
O sinal de multiplicação é representado por (*).
Para elevar a uma potência, antes do valor da mesma, devemos utilizar (^).
O sinal de divisão é dado pelo sinal (/).
As principais funções que o programa esboça diretamente estão disponíveis ao
lado da entrada algébrica.
O gráfico de uma função f é um subconjunto do plano cartesiano formado pelos
pares ordenados (x, y) onde y = f(x).
É importante, para representar o gráfico de funções visualizar, eixos e malha, pois
torna possível a interpretação dos resultados obtidos, também é aconselhável que a
janela de álgebra seja acionada para que se possa acompanhar as funções e pontos que
estão sendo formados.
1) FUNÇÃO DO 1ºGRAU OU FUNÇÃO AFIMDefinição: Chama-se função do 1º grau, ou função afim, a função que transforma
um número real x em outro número real y, onde y = ax + b, para algum a, b ∈ R e a ≠ 0.
Objetivo: Ilustrar o fato de que os pontos na forma (x, ax+b) estão alinhados.
Insira dois seletores a e b, digitando na barra de comando, escolhendo um valor
para a e outro para b: (a=? (enter), b=? (enter)) e clique na bolinha do a e na do b, para
inserir os seletores na janela geométrica.
Na janela de entrada defina a função f(x) = a*x + b (enter).
Aparece o gráfico da função na janela de Geometria, conforme figura abaixo.
Movimente o seletor a para alterar seu valor e observar o que acontece com a
reta, na área de trabalho.
Agora você deve refletir:
a) O que acontece quando a é negativo?
b) O que acontece com o gráfico quando a é positivo?
c) O que acontece quando a é zero?
d) Descreva o que ocorre com a reta quando a = 0.e) Ainda, com o a nesta posição, mova o seletor b e verifique o gráfico e
descreva sobre a posição da reta.
f) Altere o seletor a para um valor qualquer. Posicione b = 0 e verifique o gráfico.
Movimente o seletor a. Por onde passa o gráfico quando b = 0? Escreva o
nome dessa função.
ZERO DA FUNÇÃO AFIMDefinição: O zero de uma função y = f(x) é o número xo tal que f(xo) = 0. No gráfico é
o ponto (xo, 0) em que a reta (gráfico da função) intercepta o Eixo X.
1)Abra um arquivo novo e represente no plano cartesiano a função f(x) = -3x – 5.
Agora é o momento de reflexão:a) Qual é o coeficiente angular? E o linear?
b) A função é crescente ou decrescente? (lembre-se que já vimos o que é função
crescente/decrescente).
c) Onde o gráfico da função corta o EixoY? Compare esse número com o coeficiente
linear, o que você observou?
d) Em que lugar o gráfico da função corta o EixoX? Que nome recebe esse valor de x?
Qual o valor de y nesse ponto?
2)Represente as funções f(x) = -2x, g(x) = 4x, h(x) = -3x. Faça cada reta de uma cor
diferente.
Agora é para você refletira)O que essas funções têm em comum?
b)Compare os gráficos dessas funções, e escreva suas observações.
c)Qual o nome que se atribui a uma função em que o termo b é nulo?
d)Classifique essas funções em crescente / decrescente.
3)Represente a função f(x) = -5.
Reflita sobre as questões:a) Qual é o coeficiente angular?
b) Identifique o coeficiente linear.
c) Classifique a função em crescente / decrescente / constante.
d) Dê o nome dessa função.
e) Em que lugar essa função intercepta o EixoX? Compare esse número com o
coeficiente linear, o que você pode observar?
f) Reflita sobre a existência do zero da função.
4) Abra um arquivo novo. Crie os seletores a e b, selecionando o botão “seletor”, e clique
na área de trabalho em dois lugares. Na caixa de entrada digite a função f(x) = a*x + b ou f(x)= a x + b (lembre-se que no GeoGebra o sinal de multiplicação é o * ou a tecla
de espaço). Selecione a tecla “inserir texto”, clique sobre a área de trabalho e digite o
seguinte texto: “f(x)=+f”.
Momento de refletirMovimente o seletor a (coeficiente angular). Classifique a função de acordo com os
valores de a: a > 0, a = 0 e a < 0. Faça o mesmo com seletor b (coeficiente linear). Observe
o gráfico, e relate suas conclusões. Assinale a interseção entre o gráfico da função com o
EixoX. Com o botão esquerdo do mouse selecione propriedades e altere o rótulo para
“Nome & valor”.
a)Qual o valor de y nesse ponto? Como é chamado o valor de x nesse ponto?
b)O que você conclui que seja o zero ou raiz de uma função?
2) FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICADefinição: Uma função quadrática é aquela que transforma um número real x
em outro número real y onde y = ax2 + bx + c para algum a, b, c ∈ R, sendo a≠0.
Objetivo: A construção do gráfico tem o objetivo de ilustrar o fato de que os
pontos na forma (x,y) formam uma parábola e o aluno poderá ver o que ocorre se
movimentarmos os coeficientes da função.
1) Representar a função: f(x)= x2 + 2x + 1.
No campo de entrada de os valores a=1 (Enter), b=2 (Enter) e c=1 (Enter).
Criar os seletores clicando com o botão direito sobre a, marque exibir objeto, e
faça o mesmo para b e c.
No campo de entrada digite: a*x^2 + b*x + c, clique enter e aparecerá o gráfico
da parábola, escolha uma cor para a mesma, usando a opção “propriedades”.
Momento de reflexão
Selecione a ferramenta mover e movimente os pontos a, b e c que estão na
tela, vale lembrar que eles são os coeficientes da função quadrática.
Para observar a relação que há entre o coeficiente b e a curva, clique sobre a
bolinha dos valores de b e mova-a.
Para observar a interferência do termo independente c, na função, clique sobre
a bolinha dos valores de c e mova-a.
Quando o sinal de a é alterado a parábola se movimenta.
a) O que acontece quando a = 0?
b) Qual é o aspecto da parábola quando a>0 (positivo)? E quando
a<0(negativo)?
c)Se valor de b = 0 qual a característica principal da curva?
d) No caso do valor do c = 0 como se apresenta a curva parabólica?
e) Se b = 0 e c = 0 que acontece com a curva?
f) Clique com o botão direito do mouse sobre a parábola e selecione: “habilitar
rastro” e, em seguida, clique no ponto a do seletor e mova-o nos dois sentidos,
clique no botão “desfazer” no canto superior direito, faça o mesmo
procedimento com os seletores b e c.g) Execute os passos acima descritos, para realizar os movimentos da parábola e
observe as alterações na curva parabólica e na Janela Algébrica.
RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICADefinição: O zero de uma função y=f(x) é um número x0 no qual f(x0)= 0.
Do ponto de vista gráfico este ponto (x0, 0) é o local onde o gráfico da função f
intercepta o EixoX.
Para determinar os zeros da função, volte ao gráfico anterior e ative a
ferramenta “Intersecção de dois objetos” e marque a intersecção da curva com o
EixoX. Esses pontos serão rotulados automaticamente a aparecerão na janela
algébrica com suas coordenadas.
Momento de reflexãoObserve os pontos de intersecção e encontre os valores das raízes ou zeros da
função. No caso de não haver intersecção, investigue o porquê. No caso de haver
apenas um ponto de intersecção, investigue o porquê.
VÉRTICE DA FUNÇÃO QUADRÁTICAVértice da parábola é o ponto (xv, yv) onde a função atinge seu valor máximo ou
mínimo.
Para determinar o vértice da parábola, devemos digitar na “entrada”:
(-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a)) e “enter”. O Ponto A(-1, 2) é o vértice.
Outra maneira:
Na entrada, digite a expressão: xv = -b/(2*a) e enter. Em seguida, na Entrada
digite: yv=delta/(4*a) e dar enter. (A letra “delta” está na segunda barra de rolagem
do campo de entrada).
Depois digite na Entrada V = (Xv, Yv) e enter. O ponto V aparecerá na
parábola.
Momento de reflexãoAltere o valor de a e verifique o ponto de máximo ou de mínimo de acordo com
o valor de a > 0 ou a < 0.Altere também os valores de b e de c e fixe o valor de a. Verifique o que ocorre
com o vértice.
ATIVIDADES COM SITUAÇÕES PARA SEREM REPRESENTADAS COM O USO DO GEOGEBRA E INVESTIGADAS
OBJETIVOEstas atividades foram propostas com o objetivo de estimular o aluno para que
o mesmo, com base no enunciado, represente o objeto explorando os recursos do
GeoGebra, reflita sobre as conjecturas e investigue as possíveis soluções.
ESTRATÉGIA DE AÇÃOA estratégia de ação docente para as Atividades com situações propostas para
serem representadas e investigadas, com o uso do GeoGebra, é orientar e indicar
as ferramentas para construções dos objetos e as ações que permitam ao aluno
estabelecer conceitos e a identificar as características de cada objeto de estudo. Dar
sugestões para a realização de movimentos dos objetos construídos e reflexão
sobre as alterações que ocorrem. Na conclusão, o professor poderá interferir apenas
quando for solicitado.
Assim, para representar o enunciado, os alunos deverão procurar os recursos
do GeoGebra, que possibilitem a investigação. O professor participará, na etapa de
construção, indicando os comandos. A partir da representação geométrica,
realizando algumas alterações ao movimentar alguns objetos e observando os
dados representados na janela de álgebra, o aluno deverá chegar a uma conclusão.
OBS: As construções foram elaboradas para constar apenas no Material Didático.
1) Investigar o enunciado do Teorema de Pitágoras, fazendo a comparação de
áreas de polígonos construídos sobre os lados do triângulo retângulo. Iniciar
construindo quadrados, depois pentágonos, hexágonos e semicírculos.
O teorema de Pitágoras diz o seguinte: “Em qualquer triângulo retângulo, o
quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos
catetos”.
Momento de reflexão
A área do quadrado (Polígono 2) = 52,39 cm2.
A área do quadrado (Polígono 3) = 14,15 cm2.
A área do quadrado (Polígono 4) = 38,24 cm2.
Observe a igualdade: 14,15 + 38,24 = 52,39.
O quadrado 2 tem lado igual a medida da hipotenusa e os quadrados 3 e 4 tem
os lados iguais a medida dos catetos. Então a2 = b2 + c2. Observe o que ocorre se
movimentarmos um dos pontos A, B ou C. (Para isso aperte a tecla ESC e arraste
um dos pontos). Escreva a sua conclusão.
Investigue,pelo mesmo procedimento, construindo outros polígonos regulares
(pentágonos, hexágonos) e também com semicírculos.
Faça comparação entre as áreas dos polígonos registradas na Janela
Algébrica.
2) Ainda sobre o Teorema de Pitágoras.
a) A área do quadrado rosa ACIJ (cujo lado é a hipotenusa do triângulo retângulo)
é igual a área do quadrado maior BDEF menos quatro vezes a área do
triângulo verde ABC.
b) A área do quadrado azul AGHF somada com a área do quadrado rosa ACIJ é
igual a área do quadrado maior BDEF, menos 4 vezes a área triângulo ABC.
Momento para reflexão
Verifique as afirmações acima (tente demonstrar usando o Teorema de
Pitágoras – Produtos Notáveis, por exemplo). Experimente movimentar os pontos
azuis e verifique as alterações que podem ocorrer. As afirmações são válidas ?
3) Representar gráficos de funções quadráticas.
a) Determinar o vértice.
b) Determinar os zeros da função (verificar as condições de existência).
c) Determinar o intervalo real em que a função é crescente / decrescente.
Momento de reflexãoMovimentando os seletores a, b, c, verificar as condições de existência de
zeros da função e determinar o intervalo real em que a função é crescente /
decrescente.
4) Observe a representação de um retângulo, dividido em quatro partes,em que
as medidas 2m e 6m são fixas. A área desse retângulo deverá variar de acordo
com a variação da medida do lado x dos retângulos em rosa.
Com as medidas dadas, escreva a função f(x), que permite calcular a área do
retângulo ABCD em função da medida x.
Área =(6+x).(2+x)= x2 +8x+12
f(x)= x2+8x+12Na entrada, digite a função encontrada e represente-a graficamente.
Investigue a área mínima do retângulo ABCD. Investigue se há área máxima.
5) Representar dois ou mais polígonos e investigar a soma dos ângulos
internos,fazendo a verificação sobre o que acontece se movimentarmos um
dos vértices de um polígono regular e estabelecer um padrão de regularidade
(fórmula) para cada polígono construído.
Momento de reflexãoMovimentando um dos vértices do polígono, é possível verificar que as
medidas dos ângulos internos e dos lados alteram, mas a soma dos ângulos
internos é sempre igual a 180o.
Agora, construa outros polígonos, por exemplo: quadriláteros, pentágonos,
hexágonos, usando os mesmos recursos e mesmo procedimento.
Verifique em cada um dos polígonos se há uma regularidade sobre a soma dos
ângulos internos e estabeleça uma fórmula para cada um.
6) Investigar a proporcionalidade direta entre os segmentos formados por
paralelas cortadas por duas transversais (Teorema de Tales).
a) Representar na tela geométrica as retas (feixe de retas paralelas e
transversais).
b) Representar algebricamente a igualdade entre as razões (proporção).
c) Determinar o coeficiente de proporcionalidade.
d) Movimentar um dos segmentos entre elas e relatar a conclusão.
Momento de reflexãoVerifique a igualdade das razões EF/FHG e HI/IJ. O coeficiente de
proporcionalidade entre as razões é 1,73. Os segmentos EF e HI são
correspondentes (estão entre as paralelas). Os segmentos FG e IJ são
correspondentes (estão entre as paralelas). Movimente o ponto F (aperte a tecla
ESC e arraste o ponto F) e verifique o que acontece com a razão EF/FG e a razão
HI/IJ. Repita o procedimento para movimentar o ponto C. Verifique o que ocorre com
as razões. O coeficiente de proporcionalidade se altera? Modifique a posição de
qualquer ponto e observe o que ocorre com as razões. Escreva a sua conclusão.
7) Investigar os casos em que há proporcionalidade direta entre dois ou mais
triângulos e descrever esses casos.
Momento de reflexãoNesta construção podemos verificar a semelhança de triângulos pelo caso LÂL.
Para construirmos dois triângulos em que os três lados são diretamente
proporcionais, basta movimentarmos os objetos livres da construção e observar as
medidas que aparecem na Janela de Álgebra. É possível verificar o caso LLL
escrevendo a proporção.
Se construirmos triângulos com dois ângulos iguais (usar o botão “ângulo” e
selecionar a opção “ângulo com medida fixa”) e lados diferentes, teremos o caso AA.
Verifique o que acontece se movimentarmos os objetos livres.
As condições de semelhança permanecem?
8) (Polígonos e retas) Investigar se os circuncentros, dos quatro triângulos em que
um quadrilátero convexo fica dividido pelas suas diagonais, são os vértices de um
paralelogramo.
Momento para refletirOs pontos A, B, C e D (objetos livres) são os vértices do quadrilátero. As
diagonais são AC e BD. O ponto F é o circuncentro do triângulo ABE. O ponto G é o
circuncentro do triângulo AED. O ponto H é o circuncentro do triângulo DEC. O
ponto I é o circuncentro do triângulo CBE.
Ligando esses pontos temos um quadrilátero (um paralelogramo). Verifique o
que acontece com o paralelogramo se movimentarmos os objetos livres (os pontos
azuis). Relate a sua conclusão.
9) (Círculo) Por um ponto P exterior a um círculo de centro O, traçar uma secante.
Investigar qual deve ser a posição dessa secante de modo a se obter um triângulo
OAB, cuja área seja máxima.
Momento de reflexãoConstrói-se a circunferência de centro O e marca-se um ponto C fora dela.
Trace uma reta que corta a mesma em dois pontos quaisquer (secante) partindo do
ponto C. O Triângulo formado pelos dois pontos em que a reta s secante intercepta
a circunferência é AOB.
Na Janela Algébrica aparece a área do triângulo AOB, nesta construção não
era a área máxima.
Movimente um dos pontos A ou B, ou C, até na posição em que a área seja
máxima, sempre observando da área na Janela de Álgebra.
10) (Baricentro) Construir um triângulo qualquer usando a ferramenta “polígono”.
Determine o baricentro desse triângulo. Traçar uma reta qualquer passando pelo
baricentro. Investigar se a soma das distâncias dos vértices situados no mesmo
semiplano a esta reta é igual à distância do outro vértice a esta reta.
Momento de ReflexãoO triângulo ABC foi construído e, em seguida, suas medianas BD, AF e CE.
Marca-se o ponto G (baricentro) e traça-se uma reta qualquer (g) passando por ele
(G) o qual determinou dois semiplanos.
O que estamos investigando é se a distância do vértice C até a reta g (CK)
somada com a distância do vértice B até a reta g (BJ) que estão no semiplano
abaixo da reta g é igual a distância de G até o vértice A (AG) que está no outro
semiplano.
Vamos conferir: CK + BJ = AG1,63 + 3,07 = 4,7
Experimente mover os pontos I e H, fazendo com que a reta g se movimente e
altere estas distâncias do vértice até a reta. Confira as medidas e verifique a
igualdade CK + BJ + AG.
11) (Reta de Euler) Construa um triângulo qualquer e duas medianas e
marque o ponto B (baricentro). Esconda as medianas (opção mostrar/esconder
objetos) deixando o ponto B. Faça o mesmo com as duas alturas e marque o
ortocentro (O). Esconda as duas alturas, deixando o ponto O. E por último
construa duas mediatrizes e marque o circuncentro C. Esconda as duas
mediatrizes deixando o ponto C.
Momento de reflexãoa) Movimente um dos vértices do triângulo e investigue a posição relativa
dos pontos B, O, C.
b) Crie os segmentos OB e OC e observe a medida dos mesmos. Investigue
a razão OB/OC.
c) Movimente os vértices do triângulo até que o baricentro, o ortocentro e o
circuncentro coincidam.
d) Verifique a relação que pode ser observada entre os pontos B, O e C,
quando eles são coincidentes.
Referências Bibliográficas
PONTE, J. P.; FONSECA. H.; BRUNHEIRA, L.; ABRANTES, P. Investigações
Matemáticas Na Aula e no Currículo. Lisboa: Ed. Artes Gráficas, 1999.
NÓBRIGA, J. C. C.; ARAÚJO, L. C. L. Aprendendo Matemática com o GeoGebra.
São Paulo: Editora Exato, 2010.