da escola pÚblica paranaense 2009 - … · a análise de regularidades. noÇÕes primitivas ponto,...

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

1

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAISPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

SEILA BARBOZA DE LIMA

Utilizando recursos computacionais e materiais manipuláveis como facilitador para a

compreensão da Geometria Euclidiana e algumas Geometrias não Euclidianas

MARINGÁ – PR

PDE - 2009

2

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAISPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

UNIDADE DIDÁTICA

SEILA BARBOZA DE LIMA

Desenvolvido por meio do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, na área de Matemática, com o título: “Utilizando recursos computacionais e materiais manipuláveis como facilitador para a compreensão da Geometria Euclidiana e algumas Geometrias não Euclidianas”.

Orientador: Prof. Dr. Valdeni Soliani Franco

MARINGÁ – PR.

PDE – 2009

3

IN TRODUÇÃO

A partir da matemática moderna, notou-se um abandono no ensino de Geometria e nos

livros didáticos a geometria era deixada para os últimos capítulos, fato observado em

diversos trabalhos, tais como PAVANELLO (1989), PIROLA (2000), VIANA (2000),

PEREIRA (2001).

Pelo que as pesquisas na área de Educação Matemática mostram é que a maioria dos

alunos do Ensino Médio não está construindo o conhecimento, isto ocorre muitas vezes

devido a metodologia de ensino empregada pelo professor que, em geral, é a tradicional:

utilização de giz, apagador, quadro negro, livro didático, voz e por meio de exercícios

repetitivos sem a contextualização dos mesmos, tornando as aulas desinteressantes. Isto,

em geral, tem acarretado o insucesso do aluno, pois não ocorre uma aprendizagem

significativa. Por isso, muitas vezes, o aluno não consegue aplicar os conteúdos

matemáticos para resolver questões básicas do seu dia a dia e obtém notas bem abaixo

da média exigida nas avaliações institucionais como SAEB, Prova Brasil, ENEM, entre

outros.

Para, ORMEZZANO e SANTOS (2005), é inacreditável que vivendo em um ambiente

totalmente geométrico, e do conhecimento sistematizado adquirido nos bancos escolares

muitas pessoas não tem desenvolvido a capacidade de observação geométrica e de

diferenciação de suas dimensões, de relacionar o cálculo e a representação gráfica, de

conservar a proporção entre a medida real e a medida do desenho, de ver as relações

geométricas na composição de uma obra de arte, do pensar geométrico e do raciocínio

visual.

A matemática não pode ser focada apenas na memorização de fórmulas e na obtenção

dos cálculos, ela deve ser trabalhada para levar o aluno a interpretar resultados, à

criação de significados, à construção de instrumentos para a resolução de problemas, ao

desenvolvimento do raciocínio lógico, da capacidade de abstrair, generalizar, projetar.

De acordo com ANDRADE e PAVANELLO (2002), muitos pesquisadores consideram a

Geometria o conteúdo matemático que mais favorece o desenvolvimento das

capacidades acima citadas.

Segundo, FRANCO e GERÔNIMO (2010), a geometria surgiu no Egito e na Babilônia

de uma maneira não axiomática, mas intuitiva, com foco em aplicações de medições,

4

através de medição repetida de um mesmo fenômeno, regras para auxiliar as atividades

de agrimensura e a construção de pirâmides. Na antiga Grécia, com Tales de Mileto

(624–547 a.C.) e Pitágoras (569–475 a.C.) teve início a Geometria com caráter

dedutivo, isto é, começaram a estabelecer as bases de uma geometria lógica e

organizada, utilizando um raciocínio dedutivo, sem precisar de repetidas medições

deduziam as fórmulas.

Para EVES (1992), a geometria é uma área da matemática que surgiu na antiguidade,

devido a necessidade do homem em medir a terra, isto é, em delimitar a terra. O homem

ao observar o seu dia a dia levou à concepção de curvas, superfícies e sólidos. Os

exemplos de círculos eram os mais destacados: contorno do sol e da lua, círculos

concêntricos obtidos ao cair uma pedra na superfície de um lago, entre outros.

Euclides, um professor e matemático grego de Alexandria, que escreveu a obra “Os

Elementos”, por volta de 300 a.C.. Esta obra contém uma introdução e treze capítulos

denominados de livros, nos quais nove capítulos são trabalhados a geometria e os outros

a aritmética dos números inteiros (maiores que zero) e também das razões entre estes

números.

Segundo, BARBOSA (1995), Euclides ficou famoso pela concepção da obra em si,

considerada como o 1º tratado científico, modelo para todos os outros em qualquer ramo

da ciência, e pela escolha que fez dos axiomas.

Na obra “Os Elementos”, no livro I, são enunciados os cinco postulados, que são

afirmações simples, aceitas sem precisar de demonstrações, mas observando o quinto

postulado não é isso que ocorre.

Vamos enumerar os cinco postulados de Euclides:

1. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.

2. Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.

3. E, com todo centro e distância, descrever um círculo.

4. Todos os ângulos retos são iguais.

5

5. Se uma reta t corta duas outras r e s (mesmo plano) de modo que a soma dos ângulos

interiores de um mesmo lado de t é menor que dois retos, então r e s, quando

prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de t.e s.

Nos livros didáticos de matemática o quinto postulado de Euclides é escrito da seguinte

maneira: Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta

dada. Este quinto postulado ficou conhecido como o postulado das paralelas e foi

reescrito da maneira acima pelo físico e matemático escocês John Playfair em 1795 no

trabalho Elementos de Geometria.

Proclus Diadochus, um matemático, que na antiguidade não aceitava o quinto postulado

de Euclides, pois considerava que ele poderia ser demonstrado, portanto deveria ser

considerado um teorema. Vários matemáticos tentaram demonstrar o quinto postulado,

entretanto nenhum deles conseguiu. Não existe demonstração para o quinto postulado.

Existem duas maneiras de negar o postulado das paralelas: uma delas é assumindo que

existem pelo menos duas retas paralelas passando por um ponto P fora da reta e a outra

maneira é assumir que não existem retas paralelas a reta dada passando por um ponto P

que não pertence a reta dada. Assim, respectivamente, obtemos a Geometria Hiperbólica

(ou Lobachevsky) e a Geometria Elíptica (ou Riemanniana).

Segundo as DCEs (PARANÁ, 2008):

[…] Muitos problemas do cotidiano e do mundo só são resolvidos pelas Geometrias não Euclidianas. Um exemplo são os estudos que resultaram na Teoria da Relatividade em que a geometria do espaço, usada por Albert Einstein foi uma Geometria não Euclidiana, de modo como “a luz se propaga ao longo de geodésicas e a curvatura do espaço é determinada pela natureza da matéria que o preenche” (COURANT & ROBBINS, 2000 p.276), foram fundamentais.

Inicia as atividades da unidade didática com a Geometria Euclidiana Plana, a seguir a

Geometria Hiperbólica e por último a Geometria da Superfície Esférica. As atividades

foram elaboradas para o aluno compreender e diferenciar as três Geometrias. A teoria

dessas Geometrias será trabalhada no decorrer das atividades.

A maioria das atividades:

da Geometria Euclidiana e da Geometria Hiperbólica será desenvolvida com

o auxílio do GeoGebra que é um software de matemática dinâmica disponível no

6

laboratório de informática das escolas estaduais do Estado do Paraná. Segundo

BORTOLOCCI (2010), o GeoGebra é um sistema gratuito criado por Markus

Hohenwarter da Universidade de Salzburg. Este software possui todas as

ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica: pontos,

segmentos, retas, secções cônicas. Por outro lado, equações e coordenadas

podem ser inseridas diretamente. Assim, este software tem a vantagem didática

de apresentar ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo

objeto, que interagem entre si: sua representação geométrica e sua representação

algébrica. Pela visão de, SILVA (2009), essa dupla representação de objetos é o

grande diferencial de utilizar o Geogebra, além disso, os softwares de geometria

dinâmica possibilitam trabalhar com as Geometrias de forma diferenciada, pois é

possível “arrastar” a figura construída através do mouse e também construir e

manipular objetos geométricos na tela do computador.

da Geometria da Superfície Esférica será desenvolvida utilizando materiais

manipuláveis. Segundo, RÊGO e RÊGO (2004), acreditava-se até algum tempo

atrás, que o aluno aprendia apenas pelo método tradicional e se não ocorresse a

aprendizagem a culpa era essencialmente do aluno, desprezava-se que cada

aluno tem uma maneira própria de pensar e que este pensamento pode estar em

constante processo de mudança. A utilização de materiais manipuláveis faz com

que os alunos tenham uma visão positiva da matemática, desenvolvendo o gosto

do prazer da descoberta para enfrentar os desafios. Pelo ponto de vista de

KALEFF (2006), os materiais manipuláveis e atividades didáticas desenvolvidas

em geometria devem propiciar ao aluno a visualização das formas geométricas e

a análise de regularidades.

NOÇÕES PRIMITIVAS

Ponto, reta e plano são noções primitivas, isto é, são conceitos aceitos sem definição.

Mas temos o conhecimento intuitivo dessas noções, por exemplo: a representação da

marca de um toque de grafite no papel, o traço de uma linha construída com o grafite

com auxílio de uma régua e por último uma folha de papel fina e rígida, nos fornece,

respectivamente, representações de ponto, de reta e de plano.

Segundo, BARROS, FRANCO e GERÔNIMO, (2010):

7

“ Um comentário que deve ser feito é que, na história da humanidade, nenhum homem conseguiu ver um ponto, uma reta ou um plano! Isso porque apenas objetos tridimensionais são capazes de refletir radiações eletromagnéticas que excitem as células da retina, responsáveis pela visão. [...] A geometria é apenas um conjunto de pensamentos lógicos, os desenhos utilizados em seus teoremas são apenas representações gráficas dos elementos que não podemos ver! ”

Várias atividades da Geometria Euclidiana e da Geometria Hiperbólica serão

desenvolvidas no software GeoGebra, instalado nos computadores disponíveis das

escolas estaduais do Paraná. Este software tem acesso livre, isto é, pode-se utilizar e

copiar. Para baixar o software GeoGebra basta acessar o site: www.geogebra.org e

executar as instruções indicadas. O GeoGebra disponível nas escolas é na versão 3.0,

mas já existe a versão 3.1.

Existem outros software de geometria dinâmica entre eles o software: Cabri Géomètre.

No GeoGebra não precisa representar o plano, pois ele só trabalha com a Geometria

Plana. A seguir as atividades de Geometria Plana:

Atividade 1:

Com o auxílio do GeoGebra, verifique, se é possível construir 2 retas distintas passando

pelos pontos A e B.

figura 1

Uma das maneiras de verificar a atividade 1 no GeoGebra é a seguinte:

arquivo novo 3° ícone: reta definida por 2 pontos e clique em dois

pontos distintos.O software construirá uma reta a, que passa pelos pontos A e B.

Vamos renomear a reta a. Para isto: clique na reta a com o botão direito do mouse e

aparecerá uma janela de visualização conforme figura a seguir:

http://www.geogebra.org/

8

figura 2

Clique em renomear e aparecerá uma nova janela de visualização:

figura 3

e apague a letra a e digite a letra r Ok.

Agora, vamos mudar a cor da reta r e colocar a reta com outra espessura então clique na

reta r com o botão direito do mouse e aparecerá uma janela de visualização como na

figura 2. Clique em Propriedades e aparecerá outra janela de visualização como na

figura a seguir:

figura 4

9

Para mudar a cor, clique em Cor e aparecerá a janela de visualização como na figura

abaixo e escolha uma cor de sua preferência

figura 5

Agora clique em Estilo e aparecerá a janela de visualização a seguir:

figura 6

arraste a seta que aparece para o número 5, como na figura acima. E assim, o GeoGebra

representa a reta na cor escolhida e com a espessura 5.

Construa outra reta passando pelos pontos A e B. Proceda novamente da seguinte

maneira: clique no 3º ícone: reta definida por 2 pontos e clique nos pontos A

e B. Assim o GeoGebra construirá uma reta a.

O que você observou?

Construa outra reta passando pelos pontos A e B.

Clique na reta com o botão direito do mouse. O que você observou?

Responda as seguintes questões:

1.1. Dois pontos distintos determinam quantas retas?

1.2. Dois pontos distintos pertencem a uma mesma reta? Justifique.

1.3. Três pontos distintos são sempre colineares? Justifique.

Orientações didáticas:

10

Esta atividade possui dois objetivos: primeiro que o aluno se familiarize com o software

GeoGebra e o segundo é ele relembrar o postulado da determinação da Geometria

Euclidiana que dois pontos distintos determinam uma única reta.

Vale destacar que Axiomas e postulados são designações das proposições admitidas

sem demonstração.

Atividade 2:

Utilize o GeoGebra e responda as seguintes questões: na Geometria Euclidiana, quantas

retas distintas ficam determinadas por:

2.1. Um ponto?

2.2. Dois pontos distintos?

2.3. Três pontos distintos não colineares?

2.4. Seis pontos distintos sendo que quaisquer três deles são não colineares?

Orientações didáticas

Nesta atividade a ênfase será dada ao Postulado da Determinação da Geometria

Euclidiana. Todas os itens desta atividade podem ser realizadas com o auxílio do

GeoGebra e o último item além do Geogebra é possível resolver utilizando análise

combinatória em particular, combinação simples.

Atividade 3:

Nessa atividade, não será preciso utilizar o GeoGebra, responda as questões a seguir:

3.1. Você sabe o que significa dimensão? (caso você tenha dúvida em responder,

procure no Google dicionário dimensão)

3.2. Na Geometria Euclidiana, qual é a dimensão de um segmento? E de uma reta? E de

um plano? E de uma caixa de leite longa vida?


Nesta atividade o aluno deverá ter uma noção da dimensão de um ponto, de uma reta e

de um plano, na Geometria Euclidiana.

Deve-se lembrar que na Geometria Euclidiana:

Ponto tem dimensão zero.

Linha (reta) não tem espessura apenas comprimento e assim a reta tem dimensão um

dizemos então que a reta é unidimensional.

11

Plano não possui espessura apenas o comprimento e largura, dizemos então que o plano

tem dimensão dois, isto é, bidimensional. Um exemplo de um objeto sem espessura é a

sombra.

Observa-se no item 3.2., que as dimensões encontradas são números naturais. Deve

enfatizar que na Geometria Euclidiana a dimensão é sempre um número natural. Mas o

aluno deve tomar conhecimento que existem várias Geometrias não Euclidianas entre

elas: a geometria projetiva, a topologia, a geometria dos fractais, a geometria da

superfície esférica (um caso particular da geometria elíptica), a geometria hiperbólica

entre outras. Mais adiante, estudaremos a Geometria Hiperbólica e a Geometria da

Superfície Esférica. Nem tudo que é válido na Geometria Euclidiana é válido nas outras

geometrias. A dimensão é uma delas. Incentive seus alunos a pesquisar sobre as novas

Geometrias e a começar a observar o mundo em que vivemos com outro olhar, um olhar

mais geométrico.

Atividade 4:

4.1. Você deve lembrar que medir é comparar grandezas da mesma espécie ou medir

uma grandeza é contar quantas vezes cabe dentro dela uma certa unidade de medida que

é tomada como padrão. Dentre as grandezas: g, Kg, cm², cm³, cm, byte, MB, qual é a

que deve ser utilizada para medir o comprimento do segmento AB?

4.2. Observe os ícones do Geogebra, qual deles deverá ser utilizado para determinar a

medida do segmento de reta?

4.3. No GeoGebra, desenhe um segmento AB, e verifique a medida deste segmento.


Nesta atividade será relembrado o que significa medir e algumas unidades de medida. O

professor neste momento pode citar o computador e suas unidades de medida: Kilobyte

(KB), Megabyte (MB), Gigabyte (GB), Terabytes (TB). Também o aluno deverá

explorar o software GeoGebra para verificar o ícone que deve ser utilizado para medir

segmentos de reta.

Atividade: 5 1

Considere as seguintes figuras e as regras sugeridas:

1 As atividades 5 e 6, foram adaptadas do livro Geometria Moderna, parte I, de Edwin E. Moise, Floyd L. Downs, Jr, p. 5.

12

Número de pontos

destacados na cir-

cunferência

2 3 4 5 6

Número de regiões

divididas pelas

cordas do círculo 2 4 8 16 ?

figura 7

5.1. Observando a sequência de números da segunda linha da tabela acima, troque o

símbolo de interrogação abaixo do número 6 pelo número que você acha que deve estar

ali.

5.2. Trace uma circunferência e ligue seis quaisquer de seus pontos de todos os modos

possíveis. Conte as regiões assim obtidas. O resultado coincide com a resposta de 5.1?


Esta atividade é um exemplo que não é possível generalizar uma propriedade, só porque

vale para três ou mais elementos.

Atividade 6:

Observando as figuras, responda o que se pede:

6.1. Qual segmento é mais longo, da figura 8, AB ou CD?

figura 8

6.2. Qual dos dois segmentos de reta à direita do retângulo, da figura 9, é continuação

do segmento de reta à esquerda do retângulo?

13

figura 9

6.3. Os segmentos XY e YZ, da figura 10, possuem o mesmo comprimento? Compare

os comprimentos destes segmentos.

figura 10


Estas atividades de ilusões óticas mostram que não é sempre que podemos confiar nas

aparências, isto acontece também na Geometria e também em relações entre pessoas,

não confie ou despreze as pessoas só pelas aparências.

ÂNGULO

Um ângulo é a figura formada por duas semirretas com a mesma origem. As semirretas

são denominadas de lados do ângulo e a origem comum de vértice do ângulo.

14

figura 11

Um ângulo formado por duas semirretas distintas de uma mesma reta é denominado

ângulo raso.

figura 12

Neste projeto, vamos denotar um ângulo por três letras maiúsculas, a letra que indica o

vértice do ângulo terá um acento circunflexo e estará localizada entre as outras duas. As

outras duas letras representam pontos das semirretas que formam o ângulo.

Na figura abaixo, temos o ângulo que pode ser representado conforme a definição

anterior por MÂT ou por TÂM. Existem várias maneiras de representar ângulos, você

pode pesquisar nos livros.

figura 13

Atividade 7:

7.1.Construa no GeoGebra um ângulo BÂC e calcule sua medida.

Para isto, arquivo novonão gravar arquivo atual.

15

Precisamos de duas semirretas com mesma origem. Construiremos a semirreta com

origem em A passando por B. Assim 3° ícone: semirreta definida por

dois pontos e clique com o botão esquerdo do mouse num ponto do plano solte o mouse

e escolha a posição e clique em outro ponto assim teremos a semirreta com origem em

A passando por B.

Agora, com origem em A, construa a semirreta AC.

Vamos esconder o nome das semirretas. Você se recorda qual a maneira de esconder

objetos utilizando o Geogebra?

Caso, não se recorde: clique com o botão direito do mouse sobre a semirreta a e

aparecerá a seguinte janela de visualização:

figura 14

E clique em exibir rótulo e assim o nome da semirreta a ficará escondido. Da mesma

maneira esconda o nome da semirreta b. Obteremos o ângulo BÂC. Como mostra a

figura a seguir:

figura – 15

16

7.2. Pesquise nos ícones do GeoGebra o que deve ser utilizado para calcular a medida

do ângulo BÂC, e calcule a sua medida.

Caso, você não consiga obter a medida do ângulo, siga o seguinte roteiro:

Clique no ícone: selecione três pontos ou duas retas e selecione os pontos C,

A, B no sentido horário e o GeoGebra fornecerá a medida do ângulo em graus, como

mostra a figura a seguir:

figura 16

7.3. Você desenhou no GeoGebra um ângulo com a mesma medida do ângulo da figura

acima?

7.4. É possível a medida do ângulo que você desenhou ficar igual a medida do ângulo

da figura acima? O que precisa ser alterado para que os ângulos sejam congruentes?

Atividade 8 2 :

8.1. O que você entende por triângulo? Desenhe três triângulos utilizando o Geogebra.

Caso você não consiga desenhar o triângulo no GeoGebra, leia atentamente a

observação, que está colocada depois da atividade 8.

8.2. Quantos triângulos você percebe na figura abaixo?

2 A atividade 8 foi adaptada do livro Geometria Moderna parte I de Edwin E. Moise e Floyd L. Downs, Jr., p. 71.

17

figura 17

8.3. Nomeie todos os triângulos na figura à esquerda, abaixo. (há mais de quatro

triângulos)

figura 18

8.4. Quantos triângulos estão na figura à direita, acima?


Nesta atividade o aluno deverá se familiarizar com o GeoGebra relembrando as

definições de ângulo e identificando os triângulos nas figuras apresentadas.

Observação 1:

Existem várias maneiras de construir triângulos no Geogebra. Você já deve ter

escolhido uma para resolver a atividade 8.

Vamos analisar três maneiras para a construção de um triângulo:

1ª maneira:

18

Utilizando três pontos não colineares. Para isto, arquivo novo 2° ícone:

novo ponto e clique em três pontos não colineares e o GeoGebra construirá os pontos

A, B e C. Vamos ligar estes pontos com segmentos de reta. Para isto, clique no 3° ícone:

segmento de reta definido por dois pontos e clique nos pontos A e B, depois

nos pontos B e C e por último nos pontos C e A assim teremos o triângulo ABC,

conforme a figura a seguir:

figura 19

É possível movimentar o triângulo ABC, arrastando um de seus vértices?

2ª maneira:

É utilizar diretamente a ferramenta para a construção do triângulo. Para isto, clique no

5° ícone: polígono e clicar em três pontos não colineares que serão os

vértices do triângulo. O triângulo possui quantos vértices? Então clique nestes pontos e

depois no primeiro ponto para fechar o triângulo. O GeoGebra construirá um triângulo

ABC:

Figura 20

O triângulo que você construir ficará sempre semelhante ao triângulo da figura 20?

19

O que de diferente possuem os triângulos das figuras 19 e 20, além da forma?

3ª maneira:

Construir um triângulo no GeoGebra como se estivesse utilizando a régua e o

compasso. Primeiramente construir um segmento AB que será um dos lados do

triângulo. Para isto clicar no 3° ícone: segmento definido por 2 pontos e

clicar em 2 pontos e o GeoGebra construirá o segmento AB, conforme a figura a seguir:

figura 21

Para construir os outros lados do triângulo iremos construir duas circunferências com

centro em cada uma das extremidades e raio de medidas distintas. Clique no 6° ícone:

Círculo definido pelo centro e um de seus pontos e clique no ponto A que

será o centro da circunferência e solte o mouse e quando a circunferência estiver do

tamanho desejado clique e aparecerá o ponto C:

figura 22Faça de modo análogo uma circunferência com centro em B passando pelo ponto C,

conforme figura 23. As duas circunferências possuem pontos em comum? Quais são os

pontos em comum das circunferências?

20

figura 23

Forme triângulos, se possível, escolhendo os pontos A, B e um ponto da

intersecção das circunferências, como vértices do triângulo. Quantos triângulos,

podemos formar se as duas circunferências:

a) tiverem 2 pontos em comum?

b) tiverem 1 ponto em comum?

c) não tiverem pontos em comum?

Retas Paralelas

Duas retas em um mesmo plano são denominadas retas paralelas quando não se

interceptam.

figura 24

Atividade 9 3 : 3 A atividade 9 foi adaptada do livro Geometria Moderna parte I de Edwin E. Moise e Floyd L. Downs, Jr., p. 5.

21

Nessa atividade não precisa utilizar o software GeoGebra.

Observe a figura 25, e responda: as retas r e s são paralelas?

figura 25

Orientações Didáticas:

Esta atividade é um exercício de ilusão ótica, mas o principal é destacar que retas

paralelas são retas contidas em um mesmo plano e não possuem pontos em comum (não

se interceptam).

Triângulos

Triângulo é a figura formada por três pontos não colineares e pelos segmentos de reta

determinados por estes três pontos.

Atividade 10:

10.1. Utilizando o GeoGebra, desenhe um triângulo ABC.

10.2. Você já sabe que os pontos A, B e C são denominados vértices do triângulo e os

segmentos AB, BC e CA são denominados lados dos triângulos.

Observe o desenho do triângulo ABC que você construiu com o auxílio do GeoGebra, e

responda as seguintes perguntas:

a) Qual o nome que aparece em cada segmento do triângulo ABC, desenhado no

GeoGebra?

22

b) Para formar um triângulo, você poderá escolher qualquer três pontos? Existe alguma

restrição para a escolha desses pontos?

c) Será possível construir um triângulo com vértices em três pontos colineares?

d) Qual a cor dos pontos (vértice do triângulo) A, B e C do triângulo ABC, desenhado

no GeoGebra? A cor destes pontos, indica algum comando (ou propriedade) realizada

no Geogebra?

10.7. Movimente o vértice A. Para isto, clique no 1° ícone: mover e clique

com o botão esquerdo do mouse sobre o ponto A, sem soltar o mouse. Responda:

a) É possível movimentar o ponto A? Quando você arrasta o ponto A os pontos B e C,

também se movimentam?

b) Quais os segmentos que ficam fixos quando se arrasta o vértice A? E quais os

segmentos que se movimentam?

c) O triângulo ABC muda de forma, quando arrastamos o vértice A? E a área do

triângulo permanece a mesma?

d) Arraste o vértice A sobre o segmento oposto a ele (segmento BC), a figura obtida é

um triângulo?


Nesta atividade vale destacar que para construir triângulos dados três pontos, esses

pontos não podem estar alinhados e isto é possível verificar através de investigações

geométricas arrastando os vértices do triângulo.

Observação 2:

Você já observou as porteiras retangulares construídas de madeiras, geralmente tem

outra madeira na diagonal e assim teremos também outra figura geométrica, qual

figura? E nas vigas do telhado de casas construídas de madeiras, qual figura geométrica

você observa? O mesmo acontece com as torres de energia elétrica de alta tensão, as

torres de celular.

Geralmente, se analisarmos por parte as figuras notaremos que existe triângulos. O que

os triângulos têm de especial nestas construções? É a rigidez da figura triangular, pois

quando alteramos os ângulos internos do triângulo simultaneamente altera os seus lados.

23

Atividade 11:

O que você entende por círculo? Cite alguns exemplos, que forneçam a idéia de círculo.

Atividade 12:

12.1. Vamos construir um círculo, utilizando o programa Geogebra que faz uma

construção imediata dessa circunferência, para isto procederemos da seguinte maneira:

arquivo novo 6° ícone: círculo definido pelo centro e um dos seus

pontos e clique em um ponto A do plano que será o centro da circunferência e solte o

botão do mouse e quando o círculo estiver no tamanho desejado clique novamente e o

GeoGebra construirá um ponto B que faz parte da fronteira do círculo.

Para pintar na parte interior do círculo clique no botão direito do mouse sobre o círculo

e aparecerá a janela de visualização a seguir:

figura 26

Agora clique em propriedades e aparecerá a seguinte janela de visualização:

figura 27

24

Clique em estilo preenchimento e arraste a seta até 100%, conforme a janela de

visualização a seguir:

figura 28Agora, clique na cor, e teremos a seguinte janela de visualização:

figura 29

escolha a cor de sua preferência fechar e assim o círculo estará preenchido com a cor

que você escolheu. O GeoGebra, construirá um círculo:

figura 30

25

Vamos destacar o raio AB deste círculo e calcular sua medida. Para isto, 3° ícone:

segmento definido por 2 pontos e clique nos pontos A e B, o GeoGebra

construirá a figura a seguir:

figura 31

Determinaremos o comprimento deste raio procedendo da seguinte maneira: Clique no

7º ícone (no GeoGebra: versão 3.1, 8 ºícone): distância ou comprimento e

clique no segmento AB e o GeoGebra calculará a medida deste segmento em cm.

12.2. Responda as seguintes questões, observando o círculo construído no item anterior:

a) Arraste o ponto B sobre a fronteira do círculo de centro A, e determine as medidas

dos segmentos AB, o que essas medidas possuem em comum?

b) Qual a relação de pontos que estão sobre a circunferência e o seu centro?

c) Construa um segmento que tem por extremidades os pontos F e E, distintos que estão

sobre a circunferência (fronteira do círculo) e também passe pelo centro A do círculo.

Determine as medidas dos segmentos: FE, EA, AF.

d) É possível arrastar os pontos E ou F e ainda o segmento EF passar pelo centro?

Caso seja Possível, determine a medida do segmento EF.

e) Qual é a relação entre as medidas dos segmentos EF e AE ou EF e AF? Em outras

palavras qual a relação entre a medida do raio e a medida do diâmetro de uma

circunferência?


26

Esta atividade é para que o aluno cada vez mais se familiarize com o software

GeoGebra e principalmente que consiga relembrar os conceitos de círculo e

circunferência. Além disso, com as investigações geométricas realizadas no GeoGebra,

ele compreenda:

que a distância entre o centro de uma circunferência e qualquer ponto dessa

circunferência é sempre o mesmo número real positivo.

que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio da circunferência.

Atividade 13:

Nesta atividade não precisa utilizar o GeoGebra. Vamos conversar sobre circunferência:

13.1. O que você entende por circunferência? Cite um exemplo que forneça a idéia de

uma circunferência.

13.2. Se considerarmos a circunferência e o seu interior, qual será a figura obtida?

13.3. Desenhe uma circunferência de centro em C passando pelo ponto X.

13.4. O que você entende por esfera? Cite um exemplo que dê a idéia de uma esfera?

13.5. Qual é a dimensão da circunferência? Qual é a dimensão da esfera?


Nesta atividade, o aluno deve diferenciar: círculo circunferência e esfera. Destacando

que o círculo e a circunferência são figuras planas com dimensão 2 enquanto que a

esfera é uma figura espacial com dimensão 3.

Atividade 14:

Construa no GeoGebra um círculo Ω, de centro O e que passa pelo ponto B.

14.1. Construa dois pontos: um ponto M dentro da região circular e o outro ponto R fora

da região circular.

14.2. Construa os segmentos: OB, OM e OR e determine a medida desses segmentos a

seguir compare os valores encontrados.

14.3. Arraste os pontos M e R: de modo que eles fiquem no interior da circunferência e

depois ficando os pontos fora da circunferência. Observe a medida destes segmentos e

compare com o valor da medida do raio.


27

Na Geometria Euclidiana uma circunferência de centro O e raio r divide o plano em 2

regiões: a região interior é constituída de pontos cuja distância ao centro é menor que r e

a região exterior é constituída de pontos cuja distância ao centro é maior que r.

Observação 3:

Você reparou que no Geogebra para construir um círculo ele desenha apenas a fronteira

do círculo. Mas vale destacar que círculo é a circunferência e o seu interior. Apenas na

língua inglesa não se diferencia círculo e circunferência.

Circunferência, Círculo e Esfera

Seja O um ponto e r um número real positivo.

A circunferência de centro em O e raio r é o conjunto constituído por todos os pontos

C do plano tal que OC r= .

figura 32: representação de uma circunferência

O conjunto de pontos do plano que satisfazem a desigualdade OC r≤ é dito círculo de

centro O e raio r, em outras palavras, a reunião de uma circunferência com o conjunto

de seus pontos interiores é chamada de círculo.

figura 33: representação de um círculo

28

Se A é um ponto tal que OA r< , dizemos que A está no interior do círculo.

Se um ponto B é tal que , dizemos que B é exterior ao círculo.

Chama-se esfera o conjunto dos pontos C do espaço que satisfazem a desigualdade

OC r≤ , isto é, o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são

menores ou iguais a r.

figura 34

Atividade 15

Na atividade 12, foi construído um círculo dado o centro e um de seus pontos. A seguir

veremos mais três maneiras de construir círculos no GeoGebra:

1ª maneira:

Construir um círculo utilizando o 6º ícone: círculo definido por três pontos.

15.1. Para construir o círculo os três pontos podem ser quaisquer? Qual a relação que

deve existir entre estes três pontos?

15.2. Após a construção destes três pontos relacionados de maneira correta, utilize o 6º

ícone: círculo definido por três pontos para construir o círculo. E clique nos

três pontos destacados e assim o GeoGebra construirá o círculo desejado.

15.3. Você consegue determinar o centro do círculo construído?

Caso, não consiga determinar o centro do círculo, siga as instruções abaixo para

determiná-lo:

Você se recorda o que é uma mediatriz de um segmento?

Sempre que falarmos sobre mediatriz, temos que indicar o segmento de reta que

estamos nos referindo. Lembre-se mediatriz sempre é de segmento de reta.

29

Mas o que é mesmo mediatriz de um segmento de reta? É a reta perpendicular ao

segmento de reta que intercepta este segmento no ponto médio. Agora você consegue

justificar o motivo de não nos referirmos a mediatriz de reta?

Para encontrarmos o centro desta circunferência vamos construir duas mediatrizes: do

segmento AB e do segmento BC e a seguir encontrar o ponto O de interseção destas

mediatrizes.

Construa a circunferência de centro em O passando pelo ponto A. O que você

observou?

2ª maneira:

Vamos construir o círculo utilizando o 6° ícone: círculo dados centro e

raio clicar sobre um lugar na tela que será o centro da circunferência, e aparecerá a

seguinte janela de visualização:

figura 35

digite um número que é a medida do raio desejada conforme indica a janela de

visualização acima OK. Assim, obtemos o círculo: dado o centro da circunferência e

a medida do raio, conforme a figura abaixo:

figura 36

3ª maneira:

30

Na versão 3.1 do GeoGebra, temos mais uma opção para a construção do círculo.

Clique no 6° ícone: compasso e selecione dois pontos ou um segmento de

reta que será a medida do raio e depois um ponto que será o centro da circunferência,

conforme a figura 37 e o GeoGebra construirá um círculo com raio igual a medida do

segmento AB.

figura 37Orientações didáticas:

Vale destacar que só é possível construir uma circunferência dados três pontos A, B e C

distintos, se os pontos forem não colineares. Além disso, o círculo que contém os pontos

A, B e C. é único.

Postulado das paralelas

Euclides na obra “Os Elementos”, enumerou alguns Postulados, que são afirmações

simples, aceitas sem precisar de demonstração.

A seguir temos duas maneiras de enunciar o quinto postulado de Euclides também

denominado de postulado das paralelas:

1ª) Postulado das paralelas (quinto postulado de Euclides) escrito por Euclides da

seguinte maneira:

Se uma reta corta duas outras r e s (mesmo plano) de modo que a soma dos ângulos

interiores de um mesmo lado de t é menor que dois retos, então r e s, quando

prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de t.

31

2ª) Postulado reescrito por John Playfair em 1795 no trabalho Elementos de

Geometria:

Por um ponto fora de uma reta r pode-se traçar uma única reta paralela a reta r.

Atividade 16:

16.1. Após, a leitura do postulado das paralelas (quinto postulado de Euclides) escrito

acima de duas maneiras diferentes, transcreva a maneira que você achou de mais fácil

entendimento.

16.2. Faça a representação do Postulado de Euclides no GeoGebra.

16.3. Construa no GeoGebra, se possível, três ou mais retas distintas paralelas a uma

reta a dada passando por um ponto P, não pertencente a reta a. Que relação existe entre

as retas paralelas a reta a passando pelo ponto P.

Observação 4:

A seguir o roteiro (caso o aluno tenha dificuldade ainda em utilizar o GeoGebra) para

resolver a atividade 16.2:

Primeiramente, vamos construir uma reta a. Para isto, conforme já estudado, precisamos

de dois pontos distintos. Clique no 3º ícone: reta definida por dois pontos e

clique em dois pontos distintos A e B. O GeoGebra construirá a reta a, passando pelos

pontos A e B.

Para esconder os pontos A e B siga as seguintes instruções: clique no ponto A com o

botão direito do mouse e aparecerá a seguinte janela de visualização:

figura 38

32

exibir objeto e o ponto A ficará escondido. De maneira análoga esconda o ponto B.

Para construir um ponto P não pertencente a reta a. Clique no 2º ícone: novo

ponto e clique em um ponto do plano de maneira que ele não pertença a reta a. O

GeoGebra construirá um ponto C, renomeie o ponto C da seguinte maneira: em C

com o botão direito do mouse aparecerá uma janela de visualização:

figura 39

renomear e apague a letra C e digite a letra P OK.

Vamos construir uma reta b paralela a reta a, passando por P. Proceda da seguinte

maneira: clique no 4º ícone: reta paralela e selecione primeiro o ponto P e,

depois a reta a. O GeoGebra construirá a reta b paralela a reta a passando pelo por P.

Agora, construa duas novas retas c e d, que passam por P e que sejam paralelas a reta a,

siga o mesmo esquema para a construção da reta b.

Mude a cor da reta c. Para isto, clique no botão direito do mouse sobre a reta c e

aparecerá uma janela de visualização indicando reta b, reta c e reta d, conforme a figura

a seguir:

figura 40

33

Clique na reta c e aparecerá a janela de visualização:

figura 41 propriedades cor escolha uma cor de sua preferência fechar.


Nesta atividade, o aluno deve compreender o quinto Postulado de Euclides e representá-

lo através do desenho, como sugerido. A seguir as representações do quinto postulado

de Euclides (postulado das Paralelas):

1ª Representação: Postulado de Euclides (postulado das paralelas)

figura 42

2ª Representação do postulado de Euclides (postulado das paralelas) reescrito por John

Playfair

34

figura 43

Atividade 17:

Responda as seguintes questões utilizando, o GeoGebra:

17.1) Se r é uma reta paralela a uma reta s e m é paralela a reta s. Que relação existe

entre as retas r e m?

17.2) Dadas duas retas r e s cortadas por uma transversal, se um par de ângulos alternos

internos é formado por ângulos congruentes então o que pode-se afirmar em relação as

retas r e s?

17.3) Se duas retas paralelas r e s são cortadas por uma transversal podemos afirmar

que os ângulos alternos internos são congruentes?

17.4) Observe as duas questões anteriores o que pode-se concluir?


Nessa atividade, é importante destacar os seguintes resultados:

Se r é paralela a duas retas, s e t, então s e t são paralelas.

Dadas duas retas cortadas por uma transversal, um par de ângulos alternos

internos é formado por ângulos congruentes se, e somente se, as retas forem

paralelas.

Atividade 18:

Vamos construir um triângulo ABC, utilizando a ferramenta do Geogebra e responder

as seguintes questões:

18.1. Indique os vértices, os lados e os ângulos internos do triângulo ABC, construído

no GeoGebra.

18.2. Os lados do triângulo são segmentos de reta?

35

18.3. Neste caso, qual unidade de medida mais indicada para medir os lados do

triângulo ABC?

18.4. Utilize as ferramentas do Geogebra, para medir todos os lados do triângulo ABC.

18.5. Utilize as ferramentas do Geogebra para medir os ângulos internos do triângulo

ABC. (Caso, você esqueceu: 7° ícone (na versão 3.1 do GeoGebra é o 8º ícone)

Ângulo e clique no sentido horário nos três pontos, lembrando que o segundo ponto tem

que ser o vértice do triângulo)

med(BÂC) =

med( ÂBC ) =

med( ÂCB ) =

med(BÂC) + ( ÂBC ) + med( ÂCB ) =

Construa três triângulos ABC, EFG e HIJ no GeoGebra e desenvolva as seguintes

questões, para cada triângulo:

18.6. Determine o perímetro.

18.7. Determine a soma dos ângulos internos dos triângulos.

18.8. Verifique com os outros colegas qual é o resultado da soma dos ângulos internos

dos triângulos que eles construíram.

18.9. Qual a soma dos ângulos internos dos triângulos construídos nesta atividade.


Nessa atividade é destacado o seguinte teorema da Geometria Euclidiana: para qualquer

triângulo a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º. É possível demonstrar

este teorema utilizando o Geogebra, pois a demonstração é construtiva. É o que faremos

na próxima atividade.

Como já destacamos estamos resolvendo atividades com a Geometria Euclidiana, você

já sabe que existem outras geometrias. Dependendo da Geometria a soma dos ângulos

internos de um triângulo nem sempre é dois ângulos retos.

Atividade 19:

Com o auxílio do software Geogebra, demonstre o seguinte teorema da Geometria

Euclidiana:

Para todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é 180º.

36

Utilize o seguinte roteiro:

19.1. Construa o triângulo ABC, e coloque os lados do triângulo na espessura 5.

Pode-se seguir o seguinte roteiro: crie três pontos não colineares. Para isto2º ícone:

novo ponto e clique em três pontos que sejam não colineares. E assim

teremos os pontos A, B e C não colineares.

Para construir os três segmentos: 3º ícone: segmento definido por dois

pontos e clique nos pontos A e B, a seguir nos pontos B e C e por último nos pontos C e

A, obtendo os lados do triângulo ABC.

Para mudar a espessura dos lados do triângulo, basta clicar com o botão direito do

mouse no segmento AB propriedade estilo espessura e mudar a espessura para o

número 5, analogamente para os outros lados do triângulo.

figura 44

19.2. Na Geometria Euclidiana, por um ponto B fora de uma reta r, quantas retas

passam por B e são paralelas a reta AC?

19.3. Construa uma reta a suporte contendo os pontos A e C e a seguir trace uma reta b

paralela a essa reta a suporte passando pelo ponto B.

37

figura 45

19.4. Qual a relação que existe entre as retas a e b?

19.5. A reta que contém AB é uma reta transversal que intercepta as retas paralelas em

quais pontos?

19.6. Essa reta transversal AB forma ângulos alternos internos com as retas paralelas.

Esses ângulos são congruentes? Justifique.

figura 46

19.7. Analogamente, a reta que contém BC é uma transversal que intercepta as retas a e

b, em quais pontos?

19.8. Essa reta transversal BC forma ângulos alternos internos com as retas paralelas,

esses ângulos são congruentes? Justifique.

38

figura 47

19.9. O que podemos concluir, na Geometria Euclidiana, em relação a soma dos ângulos

internos do triângulo?


O teorema da Geometria Euclidiana demonstrado nesta atividade: “Para todo triângulo,

a soma das medidas dos ângulos internos é 180º” é uma conseqüência do postulado das

paralelas e também do seguinte teorema trabalhado na atividade 17, “Dadas duas retas

cortadas por uma transversal, um par de ângulos alternos internos é formado por

ângulos congruentes se, e somente se, as retas forem paralelas”. É mais vantajoso para a

aprendizagem desenvolver as atividades no GeoGebra baseado sempre na

fundamentação teórica do conteúdo trabalhado. Deve ser destacado que estes resultados

são válidos na Geometria Euclidiana.

Atividade 20:

Com o auxílio do GeoGebra, verifique os seguintes resultados da Geometria Euclidiana:

20.1. A soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90º.

20.2. Cada ângulo do triângulo eqüilátero mede 60º.

20.3. A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos

ângulos internos que não lhe são adjacentes.

20.4. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer é 360º.


39

O aluno deve perceber que os resultados desta atividade são conseqüência imediata do

seguinte teorema da Geometria Euclidiana: Para todo triângulo, a soma das medidas dos

ângulos internos é 180º.

Observação 5:

Para os alunos que tem curiosidade e facilidade em trabalhar no computador é possível

elaborar macro construções, isto é, construir novas Ferramentas no GeoGebra.

Primeiramente deverá ser realizado no GeoGebra o desenho e após a finalização do

desenho, clicar em Ferramentas conforme a figura a seguir:

figura 48

E depois Criar uma Nova Ferramenta e aparecerá a seguinte janela de visualização:

figura 49

objetos finais objetos iniciais (próximo) nome &ícone (próximo) e digitar o

nome da Ferramenta Ok. Assim a nova ferramenta está construída e agora basta

salvar. Mas adiante o professor utilizará uma nova ferramenta para construir a reta

hiperbólica.

GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS:

40

GEOMETRIA HIPERBÓLICA E GEOMETRIA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

Primeiramente faremos alguns comentários sobre a Geometria Euclidiana, a seguir

comentaremos sobre a negação do quinto postulado de Euclides, e finalmente

discutiremos as Geometrias não Euclidianas.

Euclides era um professor e matemático grego, de Alexandria, que escreveu a obra “Os

Elementos”, por volta de 300 a.C. Nesta obra, Euclides selecionou, organizou,

desenvolveu e apresentou, alguns conhecimentos seus e de seus antecessores de forma

axiomática. Estes conhecimentos eram sobre a geometria plana e espacial e também

sobre a teoria dos números.

Esta obra é uma das mais editadas do mundo e só perde para a Bíblia no número de

edições. No ano de 2009, tivemos a tradução de “Os Elementos”, para o português pelo

matemático brasileiro Irineu Bicudo.

Já estudamos sobre o quinto postulado de Euclides (postulado das Paralelas), você se

recorda do enunciado desse postulado? Transcreva o enunciado do quinto postulado de

Euclides (postulado das

Paralelas).---------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------.

Durante muito tempo, vários matemáticos preocuparam em questionar a veracidade do

quinto postulado de Euclides. Acreditavam que não se tratava de um postulado, mas de

um teorema. Inúmeros matemáticos tentaram demonstrar o quinto postulado de

Euclides, mas nunca conseguiram.

Quatro matemáticos: o alemão Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), o húngaro Johan

Bolyai (1802 – 1860), o russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793 – 1856) e também

o alemão Georg Friederich Bernhard Riemann (1826-1866) lançaram bases de novas

Geometrias tão consistentes como a Geometria de Euclides.

Segundo, KASNER (1968), apenas Bolyai e Lobachevsky na década de 1830,

apresentaram suas teorias em que o quinto postulado de Euclides poderia ser substituído

41

da seguinte maneira: Por um ponto P que não pertence a uma reta r podem passar duas

retas paralelas a reta r dada. Surgindo, a Geometria Hiperbólica (Geometria de

Lobachevsky).

Existem duas maneiras de negar o postulado das paralelas:

1ª ) assumir que existem pelo menos duas retas paralelas passando por um ponto P fora

da reta, assim obtemos, como citado acima a Geometria Hiperbólica (ou Lobachevsk).

2ª) assumir que não existem retas paralelas a reta dada passando por um ponto P fora da

reta, em outras palavras, que qualquer par de retas de um mesmo plano devem se

interceptar, obtemos a Geometria Elíptica (ou Riemanniana). A Geometria da superfície

Esférica é um caso particular da Geometria Elíptica.

Nestas Geometrias não Euclidianas permanecem válidos os teoremas (proposições) da

Geometria Euclidiana que não dependem do quinto postulado de Euclides.

Atividade 21:

Nesta atividade, vamos conhecer um pouco da história das Geometrias não Euclidianas.

Faça uma leitura do texto abaixo, e encontre no caça-palavras as palavras sublinhadas

no texto:

Os matemáticos Gauss e Wolfgang BOLYAI (1775-1856) estudaram em

GOTTINGEN e pesquisaram sobre o quinto postulado de Euclides. Mesmo após terem

deixado a universidade eles mantinham contato sobre os estudos.

GAUSS não divulgava seus estudos sobre o quinto POSTULADO, pois naquela época

a Geometria EUCLIDIANA era considerada a única Geometria aceitável.

Wolfgang Bolyai enviou para Gauss duas tentativas de DEMONSTRAÇÃO do

postulado: na primeira, Gauss encontrou um erro e indicou esse erro para Wolfgang. Na

segunda, Gauss não deu seu parecer sobre a demonstração, e Wolfgang desistiu de

estudar sobre o Postulado e dedicou-se a outros problemas matemáticos.

Porém, o filho de Wolfgang Bolyai, JOHAN Bolyai também se tornou um matemático

e passou a estudar o quinto postulado, ficou vislumbrado com suas descobertas sobre as

paralelas, posteriormente denominado uma das novas GEOMETRIAS, que seu pai até

publicou no apêndice do livro Tentamen.

Quando Gauss, leu o apêndice do livro TENTAMEN escreveu para o amigo Wolfgang

Bolyai, citando na felicidade de saber que o filho de seu amigo escreveu sobre o mesmo

assunto que durante 35 anos ele estudou e não publicou.

42

Johan Bolyai continuou estudando sobre as PARALELAS e não publicou mais suas

descobertas , em 1848 teve uma grande surpresa ao saber que o matemático russo

Nicolas LOBACHEVSKY, também descobriu a nova Geometria dois anos antes da

publicação do livro Tentamen. E assim temos uma pequena noção de como surgiu a

Geometria Hiperbólica (Geometria de Lobachevsky).

Segundo, BOYER (1974), o alemão Georg Friederich Bernhard RIEMANN (1826-

1866) foi aluno de Gauss concluindo o doutorado em Gottingen. Na sua conferência

inaugural Das Hipóteses que Sustentam os Fundamentos da Geometria propôs que por

um ponto do plano, não se pode traçar nenhuma reta paralela a reta dada. Surgindo a

Geometria ELÍPTICA (ou Geometria Riemanniana). A Geometria da Superfície

ESFÉRICA é um caso particular da Geometria Elíptica.


O aluno com esta atividade, tem a oportunidade de conhecer um pouco da vida de

alguns matemáticos. O professor deve destacar que a descoberta das Geometrias não

Euclidianas precisou de muito estudo, existem outros matemáticos que também

dedicaram suas vidas ao estudo da teoria que envolve o quinto postulado de Euclides.

Geometria Hiperbólica

Como já vimos anteriormente, Bolyai e Lobachevsky apresentaram suas teorias

substituindo o quinto postulado de Euclides (postulado das paralelas) pela seguinte

afirmação: “Por um ponto não pertencente a uma reta r podem passar pelo menos duas

43

retas paralelas a reta r dada”. Surgindo, a Geometria Hiperbólica (Geometria de

Lobachevsky). A Geometria Hiperbólica substitui o quinto postulado de Euclides, mas

permanecem válidos os demais postulados, axiomas da Geometria Euclidiana que não

dependem do quinto postulado. A Geometria Hiperbólica foi elaborada através de uma

construção teórica. Existem três modelos que foram desenvolvidos para a Geometria

Hiperbólica. Neste projeto vamos estudar o modelo do disco de Poincaré, desenvolvido

pelo matemático francês Henry Poincaré entre 1822 a 1887.

MODELO DO DISCO DE POINCARÉ

O modelo do disco de Poincaré foi baseado na Geometria Euclidiana. A seguir iremos

descrever algumas características desse modelo:

Ponto: é a mesma noção primitiva utilizada na Geometria Euclidiana. A marca de um

toque de grafite no papel nos fornece a idéia de ponto.

Plano Hiperbólico: é por definição o interior de um círculo Euclidiano, em outras

palavras, consideremos uma circunferência de centro em O e raio AO, o plano

hiperbólico consiste de todos os pontos X tais que OX OA< .

figura 50 - representação do plano hiperbólico

Horizonte hiperbólico: é a fronteira do plano hiperbólico.

44

figura 51 - a fronteira do plano

hiperbólico é o horizonte hiperbólico

Atividade 22

22.1. Construa com o software GeoGebra, dois planos hiperbólicos de centro A e B,

respectivamente.

22.2. Plano Euclidiano e plano Hiperbólico possuem a mesma definição?

22.3. No GeoGebra não precisa desenhar plano Euclidiano, pois o GeoGebra trabalha

apenas com a Geometria Euclidiana. Mas nos livros didáticos de matemática como são

geralmente representados os planos Euclidianos?


O objetivo desta atividade é a compreensão do plano hiperbólico na Geometria

Hiperbólica no modelo do disco de Poincaré.

Retas Hiperbólicas:

Antes de definir retas hiperbólicas, vamos relembrar alguns conceitos da Geometria

Euclidiana.

Corda e diâmetro da circunferência:

Complete as duas frases a seguir para tornar as afirmações verdadeiras:

Corda é todo ----------------------de reta com extremidades na -------------------------------.-

Diâmetro é toda ---------------------- de circunferência que passa pelo ------------------.

A medida do diâmetro da circunferência é igual a ----------------------- da medida do raio

dessa circunferência.

Circunferências ortogonais:

Duas circunferências secantes são ortogonais quando em cada ponto da interseção, os

raios são perpendiculares.

45

figura 52 - representação de circunferências ortogonais

Atividade 23:

23.1. Sem utilizar o GeoGebra, verifique, em cada item se as circunferências são

ortogonais:

a)b) c)

figura 53

23.2. Utilize o GeoGebra, para construir duas circunferências ortogonais.


Esta atividade serve para o aluno compreender o significado de circunferências

ortogonais.

Definição de retas hiperbólicas no modelo do disco de Poincaré:

As retas hiperbólicas no modelo do disco de Poincaré são representadas por dois

modelos:

1º modelo: as retas hiperbólicas são representadas por cordas abertas que passam pelo

centro da circunferência (diâmetros abertos).

46

figura 54 - representação da reta hiperbólica

passando pelos pontos A e B.

2º modelo: as retas hiperbólicas são representadas por arcos abertos de circunferências

ortogonais ao horizonte do plano hiperbólico.

figura 55 - representação da reta hiperbólica

passando pelos pontos A e B

Atividade 24:

24.1. Quantos modelos de reta existem na Geometria Euclidiana e na Geometria

Hiperbólica no modelo do disco de Poincaré?

24.2. Observe a figura abaixo e nomeie as retas hiperbólicas no modelo do disco de

Poincaré, identificando a qual dos dois modelos do disco de Poincaré elas pertencem,

sabendo que os arcos são ortogonais ao horizonte do plano hiperbólico.

47

figura 56: representação de retas hiperbólicas24.3. Por um ponto P no modelo do disco de Poincaré, quantas retas hiperbólicas é

possível construir?

24.4. Quantas retas hiperbólicas podem ser construídas passando por dois pontos

distintos no modelo do disco de Poincaré?


Nesta atividade o aluno irá compreender a definição de reta no modelo do disco de

Poincaré na Geometria Hiperbólica. Nesta Geometria existe a definição de reta e ela

contempla dois modelos. Em outras atividades o professor deverá destacar que as retas

nesta Geometria são.limitadas porém infinitas. Vale destacar que a diferença entre a

Geometria Hiperbólica e a Geometria Euclidiana são os resultados que dependem do

quinto postulado de Euclides (postulado das paralelas).

Pontos ideais:

Os pontos de interseção das retas hiperbólicas com o horizonte são pontos que não

pertencem ao plano hiperbólico, chamamos de pontos ideais ou finais da reta

hiperbólica. Os pontos T e S são pontos ideais da reta hiperbólica da figura a esquerda.

Escreva os pontos ideais de todas as retas hiperbólicas das figuras abaixo:

figura 57 - representando os pontos ideais de algumas retas

hiperbólicas

Ângulos:

48

Se duas retas hiperbólicas interceptam num ponto A, a medida do ângulo formado entre

elas é por definição, a medida do menor ângulo formado pelas semirretas euclidianas

que são tangentes aos arcos (retas hiperbólicas) no ponto A.

Assim no modelo do disco de Poincaré, para calcular a medida de ângulo nesse modelo,

devemos primeiramente:

determinar as retas euclidianas tangentes aos arcos passando pelo ponto de

interseção;

determinar a medida do ângulo formado por essas duas retas.

figura 58 - ângulo hiperbólico

Atividade 25:

25.1. Determine, utilizando o transferidor a medida do ângulo formado entre as retas

hiperbólicas:

a)

b)

49

c)

d)

figura 59

25.2. Como são os ângulos no plano Euclidiano e no modelo do disco de Poincaré?

Há divergências nas suas medidas?

ângulo plano euclidiano ângulo no modelo do disco de Poincaréfigura 60


Vale destacar que para determinar a medida o ângulo hiperbólico no modelo do disco de

Poincaré devemos compreender as três condições:

se o ângulo hiperbólico for formado por dois diâmetros abertos,portanto o

ângulo formado entre eles já é Euclidiano;

se o ângulo for formado por um diâmetro aberto e um reta hiperbólica (arco

aberto de circunferência ortogonal ao horizonte do plano hiperbólico) teremos

que o ângulo é entre o diâmetro aberto e a reta tangente ao arco aberto no ponto

de encontro do dois.

se o ângulo for formado por duas retas hiperbólicas do modelo: arcos abertos de

circunferências ortogonais ao horizonte do plano hiperbólico teremos que o

50

ângulo entre eles é o menor ângulo formado pelas retas tangentes a estes arcos

no ponto de encontro entre eles.

Distância entre dois pontos no modelo do disco de Poincaré

A distância entre dois pontos A e B, neste modelo, é dada por:

d(A,B) = AU BVlnAV BU

⋅ , em que U e V são os pontos ideais da reta hiperbólica AB.

Uma das maneiras para determinar a distância entre dois pontos A e B na Geometria

Hiperbólica no modelo do disco de Poincaré é utilizar o desenho construído no

GeoGebra e a calculadora no campo de entrada do GeoGebra que possui os comandos

logaritmo neperiano (ln) e também, o módulo (abs) e as operações matemáticas básicas

entre outras.

A seguir um roteiro para o cálculo desta distância:

construir no plano hiperbólico com o auxílio do GeoGebra uma reta hiperbólica

que passa por dois pontos quaisquer e em seguida esconder esses pontos;

marcar os pontos A e B na reta hiperbólica construída;

determine os pontos ideais U e V desta reta hiperbólica;

agora adicione a parte algébrica do GeoGebra;

construa os segmentos Euclidianos: AU a= , 1AV a= , 1BU b= , BV b= e

AB e= .

digite no campo de entrada no GeoGebra:

“Distância hiperbólica entre A e B=” +abs(ln((a/a_1)*(b/b_1))) e depois clicar enter.

E o GeoGebra determinará a distância entre os pontos A e B

51

figura 61

Esta métrica foi desenvolvida por Poincaré para construir um espaço infinito (plano

hiperbólico), em um espaço limitado com a métrica Euclidiana (circunferência

euclidiana)

Observação 6:

Por que na fórmula da distância entre dois pontos A e B, no modelo do disco de

Poincaré precisa ter o módulo?

Vamos primeiramente relembrar a definição de módulo de um número real.

Dado um número real x, o módulo de x, denotado por |x|, é igual a “x” se x ≥ 0 e igual a

“– x” se x < 0. Você se recorda o que significa módulo na reta numérica?

Na reta numérica, o módulo de um número corresponde à distância desse número à

origem.

Lembre-se que módulo de um número é sempre um número real não-negativo.

Existe distância negativa?

Como não existe distância negativa, e o logaritmo pode ser um número negativo, então

para termos a certeza que o valor da distância hiperbólica entre os pontos A e B é um

número não negativo coloca-se o módulo.

Atividade 26:

Nas atividades que envolvem as retas hiperbólicas serão utilizados uma nova ferramenta

(macro construção) no GeoGebra: retas hiperbólicas que será instalada pelo

professor nos computadores:

26.1. Desenhe com o auxílio do GeoGebra, uma reta AB, no modelo do disco de

Poincaré, com na figura anterior, determinando os pontos ideais U e V, desta reta.

26.2. Determine a medida euclidiana do segmento AB.

26.3. Determine a medida do segmento, AB na Geometria Hiperbólica, utilizando a

métrica da medida do disco de Poincaré.

26.4. Complete a tabela abaixo, observando a distância entre os pontos A e B, na

Geometria Euclidiana (e) e na Geometria Hiperbólica (h), quando arrastamos os pontos

A ou B na reta hiperbólica, no desenho construído no item 26.1., no GeoGebra:

52

Posição dos pontos

A e B

Distância entre os

pontos A e B na

Geometria

Euclidiana (e)

Distância entre dois

pontos A e B na

Geometria

Hiperbólica (h)

Qual distância é a

maior: e ou h?

Posição inicial2º momento3º momento4º momento5º momento6º momento7º momento8º momento9º momento10º momento


Nesta atividade o professor deve incentivar os alunos a explorar o software GeoGebra

para arrastar os pontos A e B na reta hiperbólica, de forma a aproximar o ponto A ao

ponto ideal U e o ponto B ao ponto ideal V, e também aproximar os pontos A e B e

comparar a distância destes pontos A e B na Geometria Hiperbólica e na Geometria

Euclidiana. Vale destacar que quando os pontos A e B aproximam cada um da

extremidade do ponto ideal a distância entre os pontos A e B aumenta, observe o valor

na figura 62 o valor é 6,26 cm. Já quando os pontos estão um pouco distante dos pontos

ideais a distância entre os pontos A e B, na figura 63 é 1,74 cm . Agora quando os

pontos A e B ficam muito próximos o valor da distância entre os pontos A e B tende a

zero, como na Geometria Euclidiana.

figura 62

53

figura 63

figura 64

figura 65

Vale ressaltar que quando arrastamos os pontos A ou B na reta hiperbólica nem sempre

o GeoGebra mostra os pontos ideais, ainda não se conhece o motivo deste fato ocorrer.

Observe ainda, que apesar da fórmula indicar que quando os pontos A ou B, tendem

para os pontos ideais, a distância tende ao infinito, isso não pode ser observado quando

utilizado o software GeoGebra, pelo fato de existir na representação do ponto, uma

54

dimensão, e portanto, essa dimensão impede uma maior aproximação dos pontos A ou

B, dos pontos ideiais.

Atividade 27:

Com o auxílio da calculadora, determine a distância entre os pontos A e B no modelo do

disco de Poincaré, utilizando os dados que constam na tabela a seguir:

AU AV BU BV d(A,B) = AU BVlnAV BU

⋅ ,

0,91 3,82 2,58 2,271,42 3,34 1,98 2,811,93 2,95 2,54 2,362,04 2,79 2,53 2,30,34 4,56 4,36 0,580,2 4,76 4,73 0,230,14 5,49 5,49 0,140,02 6,31 6,27 0,030,002 7,4 7,2 0,0050,0002 8,15 8,24 0,00060,00008 9,34 9,65 0,00002


Nesta atividade o aluno determinará a distância entre dois pontos no modelo do disco de

Poincaré que é um dos conteúdos da Geometria Hiperbólica. Analisando os dados da

tabela o aluno deve compreender que quando os pontos A e B se distanciam e se

aproximam dos pontos ideais a distância entre eles aumenta rapidamente.

Retas Paralelas:

No modelo de disco de Poincaré, duas retas são paralelas se e somente se elas não

tiveram ponto em comum. A seguir vários modelos de retas hiperbólicas paralelas no

modelo do disco de Poincaré.

55

figura 66

figura 67

figura 68

Atividade 28:

Observe as figuras anteriores que representam retas paralelas na geometria Hiperbólica

e responda as seguintes questões:

28.1. As retas paralelas no modelo do disco de Poincaré mantém constante a distância

entre as retas?

28.2. É possível duas retas paralelas no modelo de diâmetro aberto, no modelo do disco

de Poincaré?


O aluno deverá observar algumas diferenças de retas paralelas na Geometria

Hiperbólica e na Geometria Euclidiana:

Uma delas é que na Geometria Euclidiana a distância entre as retas paralelas

permanece constante e isso nunca é válido na Geometria Hiperbólica. Em outras

palavras: as retas paralelas na Geometria Hiperbólica nunca são eqüidistante

enquanto que na Geometria Euclidiana elas são eqüidistante.

56

Na Geometria Hiperbólica existem retas paralelas que se encontram no ponto

ideal, mas é bom destacar que ponto ideal não pertence ao plano hiperbólico,

neste caso o modelo do disco de Poincaré.

Atividade 29:

29.1. Construa com o auxílio do GeoGebra as retas paralelas na Geometria Euclidiana e

com a nova ferramenta construída no GeoGebra (retas hiperbólicas) as retas paralelas no

modelo do disco de Poincaré.

29.2. Se uma reta hiperbólica intercepta uma de duas retas hiperbólicas paralelas então

ela deverá interceptar também a outra reta hiperbólica paralela?

29.3. Cite algumas diferenças entre as retas paralelas nestas Geometrias.


Nesta atividade o aluno deverá construir retas paralelas hiperbólicas com o auxílio do

GeoGebra em que o professor instalou a nova ferramenta: retas hiperbólicas.

O aluno deverá compreender as retas paralelas na Geometria Hiperbólica.

No item 29.2., apresenta mais uma diferença entre as Geometrias: Euclidiana e

Hiperbólica. Se uma reta intercepta uma de duas retas paralelas então:

tem que interceptar a outra reta paralela na Geometria Euclidiana;

esta reta pode ou não interceptar a outra reta na Geometria Hiperbólica.

Triângulos Hiperbólicos:

Você consegue imaginar triângulos na Geometria Hiperbólica, no modelo de disco de

Poincaré? Será que é possível construir triângulos nesta Geometria?

Na Geometria Euclidiana quantos pontos eram necessários para se construir triângulos?

Os pontos tinham que satisfazer alguma condição de existência de triângulos?

Na Geometria Hiperbólica quantos pontos são necessários para construir triângulos

hiperbólicos? Será que existe alguma condição de existência para a construção de

triângulos hiperbólicos?

Tente desenhar em uma folha de papel o plano hiperbólico e uma idéia de como seriam

os triângulos hiperbólicos?

A seguir alguns triângulos hiperbólicos no modelo do disco de Poincaré:

57

figura 69

figura 70

figura 71

Atividade 30:

Com o auxílio do GeoGebra, construa um triângulo hiperbólico ABC.

Primeiramente construa o disco de Poincaré e crie três pontos A, B e C, no interior do

disco, esses pontos podem ser quaisquer?------------------------------------------------------.

A seguir utilizando a ferramenta reta hiperbólica ou segmento hiperbólico que foi

instalada no computador construa o triângulo hiperbólico.

Para utilizar as ferramentas: reta hiperbólica ou segmento hiperbólico, basta observar os

passos que devem ser seguidos para obter os segmentos desejados e algumas vezes será

58

preciso arrastar alguns dos vértices do triângulo para a construção do triângulo

hiperbólico no modelo do disco de Poincaré.


Nesta atividade o aluno deverá explorar as novas ferramentas: retas hiperbólicas e

segmentos hiperbólicos para construir o triângulo hiperbólico.

Vale destacar que nas Geometrias: Hiperbólica e Euclidiana os três vértices do triângulo

não podem estar alinhados.

Atividade 31:

31.1. Construa dois triângulos hiperbólicos no modelo do disco de Poincaré.

31.2. Determine o perímetro do triângulo hiperbólico, observando se o segmento do

triângulo é um segmento euclidiano do diâmetro aberto ou hiperbólico do tipo ao arco

perpendicular ao horizonte. Lembre-se, para determinar o comprimento do segmento

euclidiano utiliza a ferramenta o GeoGebra diretamente. No outro caso, deve utilizar a

métrica da distância entre dois pontos da Geometria Hiperbólica, também com o auxílio

do GeoGebra.

3.13. Determine a soma da medida dos ângulos internos de cada triângulo construído.

Os resultados encontrados são iguais a 180º? Verifique com os outros colegas qual é o

resultado da soma dos ângulos internos dos triângulos que eles construíram.

31.4. Qual é a soma da medida dos ângulos internos de qualquer triângulo euclidiano?

31.5. Qual a diferença entre a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo na

Geometria Hiperbólica e na Geometria Euclidiana?


Nesta atividade o aluno é incentivado a construir triângulos hiperbólicos e a determinar

a soma dos ângulos internos do triângulo hiperbólico. E assim destacar mais uma

diferença entre a Geometria Euclidiana e a Geometria Hiperbólica que a soma das

medidas dos ângulos internos do triângulo.

Atividade 32:

Por que não há quadrados ou retângulos na Geometria Hiperbólica?


59

Nesta atividade o aluno deve relembrar a definição de retângulos, que é um

paralelogramo que possui os quatro ângulos internos iguais a 90º. Um retângulo pode

ser dividido, por meio de sua diagonal, em dois triângulos e desta forma concluir que a

soma dos ângulos internos dos triângulos é igual a 180º, pois maior não pode ser,

E assim perceber a impossibilidade da existência de retângulos na Geometria

Hiperbólica. Pois a soma dos ângulos internos de um triângulo na Geometria

Hiperbólica é menor que 180º.

a soma dos ângulos internos

do triângulo acima da diagonal

é menor que 180º ( na geometria

hiperbólica)

figura 72

Geometria da Superfície Esférica

Antes de iniciarmos a Geometria não Euclidiana: Geometria da Superfície Esférica,

veremos algumas definições e alguns resultados que envolvem a superfície esférica ou a

esfera.

Corpos redondos são caracterizados por possuírem em sua construção a utilização da

circunferência e do círculo. A esfera é um dos principais corpos redondos.

Já vimos anteriormente a definição da esfera da seguinte maneira: seja O um ponto no

espaço e R um número real positivo denomina-se:

esfera o conjunto dos pontos C do espaço que satisfazem a desigualdade

OC R≤ , isto é, o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O

são menores ou iguais a R.

superfície esférica o conjunto dos pontos C do espaço que satisfazem OC R= .

Dada uma superfície esférica de centro em O e raio R, os principais elementos são:

Centro: é o ponto O.

Raios: segmentos com extremidades em O e em qualquer ponto da superfície

esférica.

60

Pontos interiores: são os pontos X do espaço tais que OX < R.

Pontos exteriores: são os pontos X do espaço tais que OX > R.

Cordas: são segmentos com extremidades na superfície esférica.

Diâmetros: são cordas que passam pelo centro O.

Secções: são quaisquer interseção de um plano (que possua ponto interior na

esfera) com a superfície esférica.

Eixo: é qualquer reta que contém o centro O.

Polos relativos a um eixo: são os pontos de interseção do eixo com a superfície

esférica.

Equador relacionado a um eixo: é a secção perpendicular ao eixo pelo centro

da esfera.

Paralelo relacionado a um eixo: é uma secção perpendicular ao eixo.

Meridiano: é uma secção cujo plano passa por um eixo.

Distância polar: é distância de um ponto qualquer de um paralelo ao pólo.

Observação 6: A secção de uma esfera é um círculo, conforme a figura abaixo:

figura 73

Enquanto a secção de uma superfície esférica é uma circunferência, conforme a figura a

seguir:

61

figura 74

Circunferência máxima e Círculo máximo:

Circunferência máxima: é a circunferência obtida da interseção do plano que passa

pelo centro de uma superfície esférica com a superfície esférica.

Toda circunferência máxima possui raio igual ao da superfície esférica.

Observação 7: Quando um plano α passa pelo centro de uma superfície esférica S, ele é

denominado plano diametral.

Círculo máximo: é o círculo obtido da interseção do plano que passam pelo centro da esfera com a esfera.

figura 75

Observação 8:

Se A é um ponto de uma superfície esférica S,então existe um e somente um plano α

tangente a S tal que A Є α.

62

Figura 76: temos dois pontos de visão do plano tangente à esfera no ponto A

Já foi comentado anteriormente que a Geometria Elíptica é obtida substituindo o quinto

postulado de Euclides pela afirmação: que não existem retas paralelas (que qualquer par

de retas de um mesmo plano sempre se interceptam).

A Geometria da Superfície Esférica é um caso particular da Geometria Elíptica

(Geometria Riemanniana). A seguir serão dadas algumas definições da Geometria da

Superfície Esférica:

Plano: é a superfície de uma esfera.

Pontos: são os pontos euclidianos sobre a superfície da esfera.

Retas: são circunferências máximas da esfera.

As atividades, a seguir, tem como objetivo a compreensão da Geometria da Superfície

Esférica.

Atividade 33:

Nesta atividade serão utilizados os seguintes materiais: uma esfera de isopor, um conta

gotas (ou uma embalagem vazia pequena de cola) e um líquido com corante, para cada

dupla de alunos. O que a dupla observou quando colocou uma gota do líquido no topo

da esfera? Descreva o caminho percorrido desta gota na esfera.


Nesta atividade deve destacar que a reta na Geometria da Superfície Esférica não é a

mesma reta da Geometria Euclidiana. Na Geometria da Superfície Esférica as retas são

as circunferências máximas ou geodésicas.

A seguir duas fotos referente a esta atividade:

63

figura 77

Atividade 34:

Complete as seguintes lacunas, para tornar as sentenças a seguir verdadeiras:

34.1. Ponto na Geometria da Superfície Esférica tem a mesma noção de

_____________ na Geometria Euclidiana.

34.2. Reta na Geometria da Superfície Esférica é uma ________________ máxima ou

_______________.

34.3. Plano na Geometria da Superfície Esférica é a ___________________ da esfera.

34.4. Na Geometria Euclidiana: ponto, reta e plano são noções____________________,

isto é, ________ têm definição.

34.5. Na Geometria Euclidiana por dois pontos distintos existe uma única

_________________que passa por esses dois pontos.

34.6. Na Geometria Hiperbólica por uma reta r e por um ponto P fora da reta existam

________________retas paralelas a r passando por P.


Nesta atividade o aluno é convidado a comparar as três Geometrias: Euclidiana,

Hiperbólica e da Superfície Esférica.

Atividade 35:

35.1. Considere dois pontos A e B:

a) na folha de papel e construa a reta que passa pelos pontos A e B.

b) na superfície da esfera de isopor e também, construa a reta que passa pelos pontos A

e B.

35.2. A representação da reta AB, no item anterior, é a mesma nos dois casos?

64

35.3. Na Geometria Euclidiana e, na Geometria Hiperbólica, dois pontos distintos

quaisquer determinam quantas retas?

35.4. Dois pontos distintos quaisquer determinam quantas retas na Geometria da

Superfície Esférica?


O aluno deverá compreender a representação de retas na Geometria Euclidiana e na

Geometria da Superfície Esférica. Nesta última Geometria, as retas são as

circunferências máximas ou geodésicas. Deve destacar que o Postulado da determinação

da Geometria Euclidiana (por dois pontos distintos passa uma única reta) nem sempre é

válido na Geometria da Superfície Esférica.

Atividade 36:

Nesta atividade será utilizada os seguintes materiais: uma esfera de isopor, linhas

coloridas e alfinetes com cabeças coloridas. Vamos trabalhar com a Geometria da

Superfície Esférica, por meio das realizações das atividades propostas:

36.1. Na Geometria da Superfície Esférica, o que cada material citado acima deverá

representar?

36.2. Represente na superfície da esfera de isopor, retas passando por dois pontos

distintos.

36.3. É possível representar duas retas que se interceptam em apenas um único ponto?

36.4. Construa na esfera três circunferências máximas uma de cada cor, o que você

observou?

36.5. Represente três retas que passam pelos mesmos dois pontos opostos destacados

pelos alfinetes coloridos e uma reta representada pelo paralelo principal o equador. Qual

é o ângulo em que os lados são formados pelo segmento do equador e pelo segmento de

reta contido na reta que passa pelo ponto e seu oposto?

36.6. Com dois pontos distintos quantas retas, na superfície esférica, podemos formar?

36.7. E se os pontos distintos forem pontos opostos, quantas retas distintas podemos

formar?

36.8. Desenhe triângulos na Superfície Esférica. Calcule a medida dos ângulos internos

destes triângulos, utilizando o transferidor que você construiu.

36.9. Existem retângulos na Geometria da Superfície Esférica? Justifique.


65

Nesta atividade como na anterior deve destacar que retas na Geometria da Superfície

Esférica são as circunferências máximas. O aluno deverá concluir que a soma dos

ângulos internos do triângulo é maior que 180º e menor que 900º.

Deve destacar que na Geometria da Superfície Esférica não existem retângulos.

A seguir quatro fotos que representam: pontos, retas e triângulos na superfície esférica.

figura 78

figura 79

figura 80

66

Atividade 37 4 :

Imagine dois barcos pesqueiros A e B navegando lado a lado (paralelamente).

37.1. Desenhe em uma folha de papel o caminho percorrido pelos dois barcos.

37.2. Desenhe sobre a esfera os caminhos percorridos pelos barcos A e B.

37.3. É possível traçar retas paralelas para representar o caminho percorrido pelos dois

barcos na folha de papel e na esfera de isopor?

37.4. A resposta do item anterior tem algo a ver com o quinto Postulado de Euclides?


Nesta atividade o aluno deverá visualizar e compreender que na Geometria da

Superfície Esférica não existem retas paralelas. Esta é uma das diferenças entre a

Geometria Euclidiana e a Geometria da Superfície Esférica. Como já foi citado na

Geometria da Superfície Esférica não é válido o quinto postulado de Euclides

(Postulado das Paralelas).

Atividade 38 5 :

Um grupo de esportistas, tendo armado um acampamento, saíram para caçar ursos.

Andaram 15 Km para o sul, depois 15 Km para leste, quando viram um urso.

Carregando a caça, voltaram para o acampamento e verificaram que ao todo, tinham

caminhado 45 Km. Responda:

38.1. Qual a cor do urso?

38.2. Esta atividade, foi adaptada do livro de matemática: Matemática e Imaginação de

Edward Kasner publicado no ano de 1968. Nos dias atuais, será que é possível caçar

ursos?


Esta atividade é um exemplo da Geometria da Superfície Esférica. O professor tem que

destacar que a Geometria da Superfície Esférica é considerada Geometria Euclidiana

quando uma circunferência máxima da esfera é considerada apenas uma circunferência

máxima. E é considerada Geometria não Euclidiana, em particular Geometria da

Superfície Esférica quando a circunferência máxima é também definida como uma reta.4 A atividade 37 foi adaptada do artigo de conclusão de curso: Uma possível inserção das geometrias não euclidianas no ensino médio de Marcelo Carvalho Antunes, p. 41. 5A atividade 38 foi adaptada do livro Matemática e Imaginação de Edward Kasner p.145.

67

CONSIDERAÇÕES FINAIS:

As atividades da unidade didática proporcionam um estudo sobre a Geometria

Euclidiana, bem como algumas Geometrias não Euclidianas: a Geometria Hiperbólica e

Geometria da Superfície Esférica.

Acreditarmos que, por meio de metodologias inovadoras, os conhecimentos necessários

podem ser construídos de uma maneira mais lúdica e prazerosa. Por isso as atividades

foram elaboradas para utilizar uma das mídias tecnológicas o software GeoGebra e

também alguns materiais manipuláveis para tornar as aulas mais dinâmicas, facilitando

assim a construção do conhecimento em Geometrias. O aluno deverá visualizar formas

geométricas, analisar regularidades, desenvolver capacidade de compreender fatos e

relações geométricas.

As atividades da unidade didática darão subsídios para que o aluno possa:

ampliar os conhecimentos da Geometria Euclidiana Plana; destacando o quinto

postulado de Euclides (postulado das Paralelas);

compreender algumas Geometrias não Euclidianas: Geometria Hiperbólica e Ge-

ometria da Superfície Esférica

desenvolver o raciocínio geométrico;

familiarizar-se com o software Geogebra e que ele possa utilizá-lo em outros

conteúdos matemáticos;

conhecer um pouco da história das Geometrias;

observar o mundo com um olhar geométrico, para que assim consiga resolver al-

gumas situações do nosso dia a dia com o conhecimento científico aprendido na

escola.

REFERÊNCIAS:

68

ANDRADE, Doherthy, organizador. Grandezas e medidas: encaminhamentos

metodológicos para as séries iniciais do ensino fundamental. Formação de

professores EAD; n. 22. Maringá: Eduem, 2005.

ANDRADE, Doherthy, NOGUEIRA, Clelia Maria Ignatius. Você quer discutir com o

computador? Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Recife. PE, 2004.

ANDRADE, Roseli Nozaki Grave de; PAVANELO, Regina Maria. Formar professores

para Ensinar Geometria: Um desafio para as licenciaturas em matemática. Sociedade

Brasileira de Educação Matemática. São Paulo, 2002.

ÂNGELO, Claudia Laus; RIGODANZO, Mauro. Uma experiência de transposição

didática com o CabriGéomètre 2. Sociedade Brasileira de Educação Matemática. São

Paulo, 2004.

ANTUNES, Marcelo Carvalho. Uma possível inserção das geometrias não

euclidianas no ensino médio. Artigo (conclusão de curso), Instituto de Matemática-

Porto Alegre- 2008.

BARBOSA, João Lucas. Geometria Hiperbólica. Colóquio Brasileiro de matemática.

Rio de Janeiro: IMPA, 1995.

BARROS, Rui Marcos O.; FRANCO Valdeni S. Espaço e forma. Formação de

professores EAD; n. 24. Maringá: Eduem, 2005.

BARROS, Rui Marcos de Oliveira; FRANCO, Valdeni Soliani; GERÔNIMO, João

Roberto. Geometria Euclidiana Plana: um estudo com Cabri- géomètre. Maringá:

Eduem, 2007.

____________.Geometria Euclidiana Plana: um estudo com o software Geogebra.

Maringá: Eduem, 2010.

BERTONHA, Regina A. O ensino de Geometria e o dia-a-dia na sala de aula. 1989,

239f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Unicamp, Campinas.

BONETE, Izabel P. As Geometrias Não - Euclidianas em Cursos de Literatura:

Algumas Experiências. 2000, 240f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Unicamp,

Campinas.

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação

Matemática. 3ª Ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

BORTOLOCCI, Humberto José. GeoGebra. Disponível em

www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra - Acesso em 29 de fevereiro de 2010.

BOYER, Carl Benjamin, 1906. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. 2ª

ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1999.

http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra

69

CABARATI, Eliane. Geometria Hiperbólica: uma proposta didática em ambiente

informatizado. 2004. 181f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática).-

Pontifica Universidade Católica de São Paulo, São Paulo.

CARMO, Manfredo Perdigão. Geometrias Não - Euclidianas. In: Matemática

Universitária, nº.6, Dezembro,1987.

DORIA C. M..Geometrias Não – Euclidianas: Exemplos. Disponível em

http://www.mtm.ufsc.br – Acesso em 12 de jan. de 2009.

DOWNS, Floyd L., MOISE Edwin E.,1964. Geometria Moderna Parte I; Tradução

Renate G. Watanabe, Dorival A. Mello. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, 1971.

EUCLIDES. Os Elementos. Tradução: Irineu Bicudo. 1ª ed. São Paulo: Editora Unesp,

2009.

EVES, Howard. Tópicos da Matemática para uso em sala de aula: Geometria.

Tradução: Hygino H. Domingues. São Paulo: Editora Atual, 1992.

FAUNDEZ, Antônio; FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia: Saberes necessários a

prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996. In SANT’ANA, Alvino Alves;

SANT’ANA, Marilaine de Fraga. Uma experiência com a elaboração de perguntas

em modelagem matemática no VI CNME. 2009.

FERNANDEZ, Vicente Paz; SOARES, Elizabeth; YOUSSEF, Antonio Nicolau.

Matemática: Ensino Médio, Volume único. São Paulo: Scipione, 2005.

FONSECA, Maria da Conceição F. R., et al. O ensino de geometria na escola

fundamental – três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. 2ª ed.

Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

FRANCO, Valdeni Soliani;GERÔNIMO, João Roberto. Geometria Plana e Espacial:

um estudo axiomático. 2ª ed. Maringá: Eduem, 2010.

GRANDO, Neiva Ignês, organizadora. Pesquisa em educação matemática:

contribuições para o processo de ensino – aprendizagem. Passo Fundo: Ed.

Universidade de Passo Fundo, 2006.

GREENBERG, Marvin J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries. 2ª ed. New

York: W. H. Freeman and Company, 1980.

HENRIQUES, Afonso. Dinâmica dos elementos da geometria plana em ambiente

computacional cabri – géomètre II. Ilhéus: Editus, 2001.

KALEFF, Ana Maria Martensen Roland. Do fazer concreto ao desenho em geometria:

ações e atividades desenvolvidas no laboratório de ensino de geometria da Universidade

http://www.mtm.ufsc.br/

70

Federal Fluminense. In: LORENZATO, Sergio (Org). O Laboratório do Ensino de

Matemática na Formação de Professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006

KASNER, Edward. Matemática e Imaginação. Rio de Janeiro, Zahar, 1968.

LOVIS, Karla Aparecida. Geometria Euclidiana e Geometria Hiperbólica em um

ambiente de Geometria Dinâmica: o que pensam e o que sabem os professores.

2009, 148f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Educação para à Ciência e a

Matemática) – Universidade Estadual de Maringá, Maringá.

OLIVEIRA, Elizabeth Magalhões de. Metodologia para o uso da informática na

educação. Sociedade Brasileira de Educação Matemática, São Paulo: Faculdade de

Educação, UNESP, 2007.

ORMEZZANO, Graciela; SANTOS, Rosângela Salles. Para além da geometria na

escola: antigas e novas abordagens. Passo Fundo, RS, 2005.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática

para a Educação Básica. Curitiba, 2008. Disponível em

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/diretrizes_2009/out_

2009/matematica.pdf - Acesso em 08 jan. 2010.

PASSOS, Carmen Lúcia Brancaglion. Materiais manipuláveis como recursos didáticos

na formação de professores de matemática. In: LORENZATO, Sergio (Org.). O

Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas, SP:

Autores Associados, 2006.

PATAKI, Irene. Geometria Esférica para a formação de professores: uma proposta

interdisciplinar. 2003. 214f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo.

PAVANELLO, Regina Maria. O abandono do ensino da Geometria: uma visão

histórica. 1989. 164 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Unicamp, Campinas.

____________ Por que ensinar/aprender geometria? Sociedade Brasileira de

Educação Matemática, São Paulo: Faculdade de Educação – USP, 2004.

PEREIRA, Maria Regina de Oliveira. A geometria escolar: uma análise sobre o

abandono do seu ensino. 2001. 84f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Pontifícia

Universidade Católica São Paulo.

PIROLA, Nelson Antonio. Soluções de problemas geométricos: dificuldades e

perspectivas. 2000, 218f. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade Estadual de

Campinas.

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/diretrizes_2009/out_2009/matematica.pdf

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/diretrizes_2009/out_2009/matematica.pdf

71

POINCARÉ, Henri. Ensaios fundamentais. Tradução: Vera Ribeiro. 1ª Ed. Rio de

Janeiro: Contraponto e PUC Rio,2008.

RÊGO, Rogéria Gaudencio. e RÊGO, Rômulo Marinho. Matematicativa. Paraíba:

Editora da Universidade Federal da Paraíba, 2004.

SILVA, Guilherme Henrique Gomes. O trabalho docente com geometria dinâmica

em uma perspectiva investigativa. Disponível em

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diaadia/arquivos/File/conteudo/artigos_te

ses/MATEMATICA/Artigo_Guilherme_Henrique_Gomes_da_Silva.pdf - Acesso em 9

de fev. de 2010.

VIANA, Odaléa Aparecida. O conhecimento geométrico dos alunos do CEFAM

sobre figuras espaciais: um estudo sobre as habilidades e dos níveis de conceito.

2000, 249f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade Estadual de

Campinas, Campinas.

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diaadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Guilherme_Henrique_Gomes_da_Silva.pdf

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diaadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Guilherme_Henrique_Gomes_da_Silva.pdf

da escola pÚblica paranaense 2009 - … · a análise de regularidades. noÇÕes primitivas ponto,...

Documents