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S1_AB_MAT_TEO 15/05/10 14:17 Pgina 1

FRENTE 1

lgebraPotenciao e Radiciao: Definio e PropriedadesVerifique, substituindo, a validade da propriedade para (n = 0 e m = 0), (n = 0 e m = 1) e (n = 1 e m = 1). 2. RADICIAO q Definio Seja a um nmero real e n um nmero natural no nulo. O nmero x chamado raiz ensima de a se, e somente se, elevado ao expoente n, reproduz a. Simbolicamente: x a raiz ensima de a xn = a EXISTNCIA (EM ) Por conveno, na raiz quadrada omite-se o ndice. Escreve-se, por exemplo, 4 em2

MDULO 11. POTENCIAO

q Definio Sendo a um nmero real e n um nmero natural, chama-se potncia de expoente inteiro o nmero an ou a n assim definido: Se n 2, ento an = a . a . a . ... a (n fatores) Se n = 1, ento a1 = a Se n = 0, ento a0 = 1 Se a an 0, ento

lugar de 4. Se a um nmero real positivo e n par, ento a raiz ensima positiva de a chamada raiz aritmtica de a, sempre existe, nica e ren presentada pelo smbolo a . q Propriedades Sendo a e b nmeros reais positivos e n um nmero natural no nulo, valem as seguintes propriedades:n n n

1 = a

( )

n

1 = an

a .n

b=n

ab

Propriedades Sendo a e b nmeros reais, m e n nmeros inteiros e supondo que o denominador de cada frao seja diferente de zero, valem para as potncias as seguintes propriedades: an . am = an + m an = an m am an . bn = (a . b)n a an = b bn

Se a = 0 e n , ento existe uma nica raiz ensima que o prprio zero.n

a =n

a , com b

0

b

bm n

Assim:

0=0

( a)n m

n

=

am, com m a, com m *

Se a estritamente positivo e n par, ento existem duas e somente duas razes ensimas de a. Estas duas razes so simtricas. A raiz ensima estritamente positiva representada pelo smbolo a . A raiz ensima estritamente negativa, por ser simtrica da primeira, representada pelo smbolo a . Se a estritamente negativo e n par, ento no existe raiz ensima de a. Se a e n mpar, ento existe uma nica raiz ensima de a. Esta raiz ensima tem o mesmo sinal de a e representada pelo smbolon n n n np nm

a = am = e p

amp , com m *

Observe que: x= y=n n

( )

n

a b

xn = a yn = b

(an)m = an . m Observe que, se n ento: 2em 2,

xn . yn = a . b (x . y)n = a . b x.y= =n n

ab

n

a. *

n

b=

ab, a * , n +

an . am = a . a . ... . a . a . a ... a =n fatores m fatores

a. Observaes No smbolo a : o radical; a o radicando; n o ndice da raiz.n

3. POTNCIA DE EXPOENTE RACIONAL q Definio Sendo a um nmero real positivo, n m um nmero natural no nulo e um n

= a . a . a . ... . a =(n + m) fatores

= an + m, a , n, m

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MATEMTICA AB

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MATEMTICA AB

nmero racional na forma irredutvel, define-se: a =m n n

potncias de expoentes racionais. 4. RACIONALIZAO DE DENOMINADORES Racionalizar o denominador de uma frao significa eliminar todos os radicais (ou potncias de expoentes fracionrios) que existem no denominador desta, sem porm alterar o seu valor.

am

q Propriedades Demonstra-se que todas as propriedades vlidas para as potncias de expoentes inteiros valem tambm para as

MDULO 21. DEFINIO

Fatorao

Fatorar transformar uma soma de duas ou mais parcelas num produto de dois ou mais fatores. 2. CASOS TPICOSo 1. Caso: FATOR COMUM o 4. Caso: QUADRADO PERFEITO

a2 + 2ab + b2 = (a + b) . (a + b) = (a + b)2 ax + bx = x . (a + b) a2 2ab + b2 = (a b) . (a b) = (a b)2 2 o Caso: AGRUPAMENTO . ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = = (a + b) . (x + y)o 3. Caso: DIFERENA DE QUADRADOS o 5. Caso: SOMA E DIFERENA DE CUBOS

a3 + b3 = (a + b) . (a2 ab + b2) a3 b3 = (a b) . (a2 + ab + b2)o 6. Caso: CUBO PERFEITO

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3 a2 b2 = (a + b) . (a b) a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b) . (a b) . (a b) = (a b)3

MDULO 3 MDULO 41. INTRODUO

Exerccios de Potenciao, Radiciao e Fatorao . . Equaes do 1o e do 2o Grauverdadeira nem falsa, pois x, chamado varivel, pode assumir qualquer valor. Este tipo de sentena um exemplo de sentena aberta. Toda sentena aberta na forma de igualdade chamada equao. d) Substituindo x por 7, a sentena aberta 2x 1 = 13 transformase em 2 . 7 1 = 13, que uma sentena verdadeira. Dizemos, ento, que 7 uma raiz (ou uma soluo) da equao 2x 1 = 13. 2. RAIZ, CONJUNTO-VERDADE, RESOLUO Raiz (ou soluo) de uma equao um nmero que transforma a sentena aberta em sentena verdadeira. Conjunto-verdade (ou conjunto-soluo) de uma equao o conjunto de todas, e somente, as razes.

Analisando as sentenas (I) 2 . 6 1 = 13 (II) 2 . 7 1 = 13 (III) 2x 1 = 13 podemos fazer as seguintes consideraes: a) A sentena (I) falsa, pois 2 . 6 1 = 12 1 = 11 13. b) A sentena (II) verdadeira, pois 2 . 7 1 = 14 1 = 13. c) A sentena 2x 1 = 13 no

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Resolver uma equao determinar o seu conjunto-verdade. Existem processos gerais de resoluo de alguns tipos de equaes, particularmente as do 1o e do 2o grau, . . que, a seguir, passamos a comentar. 3. EQUAO DO q Definio toda sentena aberta, redutvel e equivalente a ax + b = 0 , com a *eb . Exemplos . So equaes do 1o grau as sentenas abertas 5x 3 = 12 e 3x x+3 = 1. 2 2 Resoluo Notando que ax + b = 0 b ax = b x = para a a b da equao V = . a q Discusso Analisando a equao ax + b = 0, com a, b hipteses: a) Para a b V= a , temos as seguintes 0, ax + b = 0 (a equao admite uma 1O GRAU .

exemplo de identidade em . 4. EQUAES DO TIPO PRODUTO OU QUOCIENTE q Definio So equaes dos tipos a . b = 0 a (produto) ou = 0 (quociente), com b { a; b } . Resoluo Ao resolver equaes destes tipos, lembrar das duas seguintes equivalncias: a . b = 0 a = 0 ou b = 0 a = 0 a = 0 e b b 0

x2 = 0 V = { 0 } q Resoluo do caso geral Utilizando alguns artifcios, Bskara verificou que a equao ax2 + bx + c = 0 equivalente equao (2ax + b)2 = b2 4ac. De fato: ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = c Multiplicando-se ambos os membros desta ltima igualdade por 4a, obtm-se: ax2 + bx = c 4a2x2 + 4abx = 4ac Somando-se b2 aos dois membros da igualdade assim obtida, resulta: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 4ac (2ax + b)2 = b2 4ac Assim, representando por o discriminante b2 4ac, temos: a) < 0 a equao no tem soluo em . b) 0 2ax + b =

5. EQUAO DO 2o GRAU . q Definio 0, toda sentena aberta, em x, redutvel e equivalente a ax2 + bx + c = 0, com a *, b ec .

conclumos que o conjunto-verdade

q Resoluo para o caso c=0 e b 0

2ax = b b x = 2a Portanto, sendo V o conjunto-verdade em , conclui-se que: b+ b > 0 V = ; 2a 2a

ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = 0 b x .(ax + b) = 0 x = 0 ou x = a b V = 0; a

{

}

{

}

q Resoluo para o caso b=0 e c 0

nica soluo). b) Para a = 0 e b 0, ax + b = 0 no tem soluo, pois a sentena sempre falsa. Neste caso, V = . c) Para a = 0 e b = 0, a equao ax + b = 0 admite todos os nmeros reais como soluo, pois a sentena 0x + 0 = 0 sempre verdadeira. Neste caso, V = . Observao Sentenas abertas redutveis ao tipo 0x = 0 so chamadas identidades. (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 um ax2

b = 0 V = 2a 0 ou ax + b 0 ou ax + b < 0 ou ax + b ea 0. 0, em que a, b

Inequaes do 1o e do 2o Grau . .x < y x + a < y + a, a x < y ax < ay, se a > 0 x < y ax > ay, se a < 0 Exemplos 1) 2x + 10 < 0 2x < 10 x < 5 V = {x x < 5} 3x 4x < 12 + 9 2 x < 19 x > 19 V = {x x > 19} . 2. INEQUAO DO 2o GRAU q Definio Chama-se inequao (desigualdade) do 2 o grau, na varivel real x, . toda sentena que pode ser reduzida a uma das formas: ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c 0 ou ax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c 0, com a, b, c e a 0. Resoluo Resolver, em , uma inequao do 2o grau determinar todos os va. lores da varivel x que tornam a sentena verdadeira. Sendo y = f(x) = ax2 + bx + c (a 0), podemos analisar a variao de sinais da funo e chegar soluo da seguinte maneira:

Resoluo Resolver, em , uma inequao . do 1o grau determinar o conjunto de todos os valores da varivel x que tornam a sentena verdadeira. Por ser mais prtico, costume isolar o x da sentena. Para isso so utilizadas as seguintes propriedades da desigualdade em , sendo x, y e a nmeros reais:

2) 2x + 10 < 0 2x < 10 x > 5 V = {x x > 5}

3)

2x 1 x3 < 1 6 4 3(x 3) 2(2x 1) 12 < 12 12 3x 9 4x + 2 < 12

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o 1. ) Determinar as razes reais de f, marcando esses valores no eixo x, das abscissas. 2o) Esboar o grfico que repre. senta f (parbola) passando por esses pontos. 3o) Assinalar no eixo x os valores . que satisfazem sentena. Se a funo no admitir razes reais, ento f(x) > 0 x para a > 0 ou

f(x) < 0 x para a < 0. Exemplo O conjunto-soluo da inequao x2 + 2x 8 0, em , V = {x 4 x 2}, pois, sendo f(x) = x2 + 2x 8, temos: o 1. ) As razes de f so x1 = 4 e x2 = 2. Como a > 0 (a = 1), ento a parbola tem a concavidade voltada para cima.

2 o) O esboo do grfico de f : .

o 3. ) Para 4

x

2, temos f(x)

0.

MDULO 71. INEQUAES PRODUTO E QUOCIENTE

Inequaes Tipo Produto e Quociente e Vrtice da ParbolaExemplos x+1 o 1. ) 0 x3 (x + 1) . (x 3) 0 e x 3 x 1 ou x > 3, pois o grfico de f(x) = (x + 1) . (x 3) do tipo: O conjunto verdade, em inequao , portanto, V = {x x 1 ou 2 < x , da 3}

Inequaes-produto so sentenas na varivel real x, que podem ser reduzidas a uma das formas: f(x) . g(x) > 0 ou f(x)