curso de vibrações - cap i

5/7/2018 curso de vibrações - cap I - slidepdf.com

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Vibrações Mecânicas

Universidade Federal de São João Del ReiDepartamento de engenharia mecânica

Prof. : Fabiano Bianchini Batista

Introdução



Sigla: ME028, Carga horária: 64

Ementa do curso:

Movimento oscilatórioVibração livre Sistemas de parâmetros concentrados;Movimento excitado harmonicamenteVibração transiente Sistemas com 2 GDL Sistemas com N GDL Equações de LagrangeVibrações aleatória Técnicas para controle de vibrações Sistemas contínuos



Referências:

Rao, S.S.: Vibrações Mecânicas, 4th Edição, Pearson Prentice Hall, 2008.

Thomson, W.T.: Teoria da Vibração com Aplicações, Editora Interciência,1998;

Inman, D.J.:Engineering Vibration, Prentice Hall, 1994.

Meirovitch, L.: Elements of Vibration Analysis, 2th edition, MacGraw-HillBook Company, 1986.



interesse pela vibração (por volta de 4000 a.C): primeiros instrumentosmusicais, provavelmente apitos ou tambores. A música era apreciada peloschineses, hindus, japoneses e egípcios;

instrumentos musicais de corda com caixa de ressonância (por volta de 3000a.C). Exemplo: harpas. Desde a antiguidade, músicos e filósofos pesquisavam asregras e leis da produção do som; Pitágoras (582 – 507 a.C): primeiro a investigar o sons musicais com basecientífica – experimentos com corda vibratória. Relação entre tonalidade, tensão ecomprimento do corda;

1. Breve histórico



Aristóteles (por volta de 350 a.C): trabalhos sobre música e som. Relação entrevoz e instrumentos como flalta;

Aristóxenes (320 a.C): escreveu a obra “Elementos de harmonia”; Euclides (por volta de 300 a.C): escreveu o trabalho “Introdução aosharmônicos”;Vitrúvio (por volta de 20 a.C): arquiteto romano que escreveu sobre aspropriedades acústicas de teatros. Após este, aparentemente não houve nenhum

desenvolvimento nas teorias de som e vibração durante 16 séculos; Zhang Heng, historiador e astrônomo, na China, 132 d. C: inventou o primeirosismógrafo do mundo para medir a intensidade de terremotos;



Galileu Galilei (1564 – 1642). Relação entre tonalidade e frequência. Fundadorda ciência experimental moderna. Estudos sobre os movimentos pêndulares.Escreveu sobre a dependência entre frequência e vibração e o comprimento de umpêndulo simples juntamente com o fenômeno de ressonância.Marin Mersenne (1588 – 1648): matemático e teólogo, considerado pai daacústica. Primeira explicação correta sobre vibração de cordas (livro:“Harmonicorum liber”). Primeiro a medir a frequência de vibração de uma cordalonga; Robert Hooke (1635 – 1703): experimentos para determinar a relação entretonalidade e a frequência de vibração de uma corda; Joseph Sauveur (1653 – 1716): investigou minuciosamente os experimentos

entre tonalidade e a frequência de vibração de uma corda. Surgiu a palavra“acústica” para a ciência do som.;



Suaveur e John Wallis (1616 – 1703): observaram, independentemente, o

fenômeno de formas modais e constataram que certos pontos de uma cordaesticada em vibração permaneciam sem movimento (“nós”) e outros pontosintermediários apresentavam movimento violento (“ventres”). Suaveur deu nome“harmônicas” às frequências mais altas, que são múltiplos inteiros de umafrequência simples, que ele chamou de frequência fundamental. Constatou queuma corda podia vibrar com várias de suas harmônicas. Também, observou o

fenômeno de “batimentos” quando dois tubos de tonalidades ligeiramentediferentes soavam ao mesmo tempo; Isaac Newton (1642 – 1731): Lei da gravitação universal, as três leis domovimento e outras descobertas; Brook Taylor (1685 – 1731): matemático, encontrou a solução teórica para o

problema da corda vibratória. Apresentou o teorema de Taylor para sériesinfinitas. Daniel Bernoulli (1700 – 1782), Jean D’ Alembert (1717 – 1783) e LeonardEuler (1707 – 1783): aperfeiçoamento do procedimento adotado por Taylor com aintrodução de derivadas parciais nas equações de movimento.



Daniel da Academia de Berlin (1755): princípio da superposição. Possibilitouexpressar qualquer função arbitrária usando uma série infinita de senos ecossenos; J. B. J. Fourier (1768 - 1830): validou este tipo de expansão em sua obra“Analytical Theory of heat”; Joseph Lagrange (1736 – 1813): solução analítica para a corda vibratória.Assumiu que a corda era composta por um número finito de partículas de mesmamassa e igualmente espaçadas e estabeleceu a existência de uma número de

frequências independentes igual ao número de partículas; Charles Coulomb (por volta de 1784): estudos teóricos e experimentais sobreoscilações torcionais de um cilindro suspenso por um arame;



E. F. F. Chladni (1756 – 1824): estudo sobre formas modais em placasvibratórias; Sophie Germain (por volta de 1813): primeira teoria matemática para vibraçãode placas. Equação diferencial estava correta porém as condições de contornos

estavam erradas; G. R. Kirchhoff (1824 – 1887): estabeleceu as condições de contornos corretaspara a vibração de placas; Simeon Poisson (1781 – 1840): estudos sobre a vibração de uma membranaretangular flexível (importante para o entendimento de som de tambores);

R. F. A. Clebsch (1833 – 1872): estudos sobre vibração em membranascirculares;

Estudos de vibração em vários sistemas dinâmicos e estruturas usuais.

Rayleigh (1877): publicou o livro sobre teoria do som que é consideradoclássico no assunto de som e da vibração. Propôs um método para determinar afrequência fundamental de vibração de um sistema conservativo fazendo uso doprincípio da conservação de energia (hoje conhecido como método de Rayleigh)que facilitou a solução de problemas difíceis de vibração. Uma extensão destemétodo que pode ser usado para determinar várias frequências naturais éconhecido como o método de Rayleigh – Ritz.



2. Definição:Vibração é um movimento oscilatório de uma partícula, ou de um sistema departículas, ou de um corpo em torno de uma posição de equilíbrio (ou, em outraspalavras, em torno de uma posição de referência).

Ela pode ser:

Desejada: quando o sistema (ou peça, ou estrutura, ou máquina) é projetadopara vibrar. Ou seja, a vibração é o seu princípio de funcionamento. Exemplos:

instrumentos musicais de corda (violão, piano, etc), compactadores, peneirasvibratórias industriais, marteletes, alto-falantes, etc.

Não desejada: quando sua existência não é requerida. Exemplos: vibraçãodevido ao desbalanceamento em máquinas rotativas, vibração do solo(terremotos), vibração de componentes de motores, etc.



Peneiras vibratórias industriais



compactadores

marteletes

Dosadores vibratórios

Transportador vibratório



Para que uma estrutura vibre é necessário que exista um agente perturbadorexterno, ou seja, uma força de excitação.

A propriedade de flexibilidade do corpo é a responsável pela sua vibração.

“Por definição corpo rígido é aquele que não se deforma. Na prática (na realidade)isso não existe! ”. Portanto, todo o corpo, sistema, estrutura é capaz de vibrar .

Dependendo da intensidade da excitação e do tipo de sistema (ou estrutura) umavibração pode ser ou não visível a “olho nu”. Em geral, as vibrações sãoperceptíveis pelo tato (por exemplo, a vibração do painel de um carro quando o

som está ligado, a vibração de uma placa metálica quando recebe “uma

martelada”, o tremor de um piso quando uma máquina está ligada, etc).



Exemplo: Tacoma Narrow Brigde (1940) - vibração em grandes escalas

Foi excitada por ventos de 40 milhas/hora(64 km/h).Inicialmente, a ponte começou a vibrar nomodo transversal e, mais tarde, no modotorcional culminando, finalmente, com o seucolapso.



“Em 7 de Novembro de 1940, caiu a ponte pênsilde 1600 metros (Tacoma Narrows), apenas poucosmeses após a sua inauguração.De madrugada, os ventos atingiram os 70km/h,

fazendo a estrutura oscilar. A polícia fechou entãoa ponte ao tráfego. Às 9h30m a ponte oscila em 8ou 9 segmentos com amplitude de 0,9m efrequência de 36 ciclos por minuto. Às 10h00m dá-se um afrouxamento da ligação do cabo desuspensão norte ao tabuleiro, o que faz a ponte

entrar num modo de vibração torcional a 14 ciclospor minuto. A partir daí a situação não se alteroumuito durante cerca de uma hora, até que às11h00m se desprende um primeiro pedaço depavimento e às 11h10m a ponte entra em colapso,caindo no rio.Os grandes defeitos da ponte foram a sua enormefalta de rigidez transversal e torcional, pois estavaausente o reticulado por baixo do tabuleiro, e afrente aerodinâmica do perfil. Não houve vítimasdeste acidente.Uma nova ponte foi construída no local, e ainda seencontra em funcionamento.”



3. Exemplos de aplicações na indústria Vibro-acústica: redução dos níveis de ruído ou de vibrações excessivas.Conhecer as fontes de excitações mais problemáticas;

Aeroelasticidade: estudo da instabilidade devido a vibração em vôo provocadapelo fluxo de ar;

Manutenção preditiva: a presença de defeitos pode alterar o comportamentovibratório de uma máquina de forma a se tornar diferente de seu comportamento

padrão;

Análise modal: obtenção das características dinâmicas da estrutura(frequências, modos de vibrar e amortecimento) para, por exemplo, identificarpropriedades elásticas de materiais, fazer modificações estruturais, e, convalidar

modelos numéricos e experimentais.



Análise modal e modificação estrutural

Exemplo: vibração em pequenas escalas, não visível a “olho nu”



Análise modal e modificação estrutural: alguns modos de vibrar da porta



Resumindo: qual é o motivo para se medirem vibrações?

Uma boa resposta é listar algumas aplicações:

vibração de máquinas; análise de falha por fadiga; auxiliar no projeto de isoladores para vibrações; identificação de níveis de aceleração danosos ou não ao corpo humano;análise sísmica;

avaliação de testes ;Avaliação de testes de choques, impactos e explosões, além da análise modal deestruturas;



Efeitos na saúde da exposição à vibração:

Diversos fatores podem modificar os efeitos da vibração nas pessoas, como porexemplo a ressonância de partes do corpo humano, a duração da exposição e avariabilidade individual de cada pessoa.

O efeito de vibração no corpo humano são determinados pela faixa de frequência

envolvida. Os prováveis efeitos da exposição às vibrações são:

1 a 10 Hz, na atividade muscular: dificuldade de manter a postura e reflexoslentos; < 20 Hz, no sistema cardiovascular: aumento da frequência cardíaca; 1 a 10 Hz, aparentemente existem alterações nas condições de ventilaçãopulmonar e taxa respiratória; 0.1 a 0.7 Hz: diversas pessoas apresentam enjôo, náuseas, perda de peso,redução da acuidade visual, insônia e distúrbios do labirinto;



As seguintes faixas de aceleração podem ser utilizadas simplificadamente comouma indicação das reações com relação ao desconforto:

menor que 0,315 m/s2

: confortável; entre 0,315 m/s2 e 0,63 m/s2: um pouco desconfortável; entre 0,8 m/s2 e 1,6 m/s2: desconfortável; entre 1,2 m/s2 e 2,5 m/s2: muito desconfortável; maior que 2,5 m/s2: extremamente desconfortável;



4. Elementos de um sistema vibratório: Inércia (relacionada a massa): é responsável pela resistência à variação davelocidade (linear ou angular) do corpo e é também responsável por armazenarenergia (em forma de energia cinética).

Rigidez: apesar de esquematicamente e conceitualmente ser representada poruma mola, ela define a propriedade da estrutura de armazenar energia dedeformação (em forma de energia potencial elástica).

Amortecedor: ao contrário dos elementos de inércia e rigidez, que armazenamenergia e mantêm o movimento oscilatório, o amortecedor é responsável pelaperda, dissipação, de energia do sistema.Existem, basicamente, 3 tipos de modelos de dissipação de energia:amortecimento viscoso, estrutural (histerético) e Coulomb (atrito seco).



5. Idealização de modelosCompreender o comportamento dinâmico de um sistema: tarefa árdua para umengenheiro;

Na prática, nem sempre as informações necessárias para o entendimento são bemclaras e suficientes;

O engenheiro deve então transformar um problema complexo em um problemaespecífico que possa ser analisado por modelos matemáticos;

O entendimento do funcionamento de um sistema real e de como ele pode sermodelado inicia-se na idealização do sistema de forma a entender ocomportamento da máquina, estrutura ou componentes reais.



Exemplo: torres de transmissão e modelos idealizados.



Exemplo: automóvel e seus modelos idealizados.



Exemplo: moto e seus modelos idealizados.

t : pneuw: rodas: longarinav: veículor : motociclistaeq: equivalente



Diversos autores modelam o

corpo humano como sendo umsimples sistema linear massa-mola-amortecedor, na faixa defrequência de 1 a 30 Hz.

Exemplo: modelo resumido do corpo humano: partes do corpo humano com suas

respectivas frequências de ressonânia (valores aproximados)



6. Sistemas equivalentes

Massa equivalente de um sistema:

É uma única massa que substitui um sistema de massas associadas (comum emmuitas situações práticas). Este procedimento facilita a análise do problema.

Amortecedor equivalente de um sistema:

É um único amortecedor viscoso que substitui um sistema de amortecedores querepresentam a energia dissipada no processo vibratório.



Rigidez equivalente de um sistema:

Na análise de um sistema vibratório pode ser conveniente substituir elementoselásticos por molas equivalentes.

Se um sistema obedece a relação para a força de rigidez elástica F =K Δ, onde K é arigidez da mola e Δ é a deformação da mola, diz-se que esta mola é linear.

Uma mola ideal é aquela que não possui massa. Em muitos sistemas, por questõesde simplificações matemáticas, a massa da mola é desconsiderada.



Exemplos de aplicações de molas na engenharia: (a) comando de válvulas, (b)suspensão de veículos



Exemplo 1: viga engastada com massa na extremidade

Sistema equivalente

Rigidez equivalente:

onde: P é o peso, E é o módulo de elasticidade, e I é o momento de inércia de

área



Exemplo 2: viga bi-apoiada com massa no centro

Sistema equivalente


onde: P é o peso, E é o módulo de elasticidade, e I é o momento de inércia de área



Exemplo 3: barra submetida à tração e massa na extremidade


onde: P é o peso, E é o módulo de elasticidade, e A é a área da seção transversal da

barra.



Exemplo 4: sistema torcional


onde: T é o torque, G é o módulo de elasticidade transversal, e J é o momento deinércia polar da barra.



Exemplo 5: molas em paralelo

Sistema equivalente


Supondo que todas as molas sofram uma mesma deformação Δ, tem-se:



Ou também:

F= Fmola1 + Fmola2+ Fmola3

No equilíbrio estático e para uma deformação δ (única para todas as molas), tem-se:



Exemplo 6: molas em série

Sistema equivalente

Rigidezequivalente:

A deformação total Δ é a soma direta das deformações decada mola.



Ou seja, se o peso for W e a deformação de cada mola i for δi, tem-se:

δst = deformação total de todas as molas.

Se a força atuante em cada mola é a mesma e sea rigidez é diferente, então a deformação decada mola será diferente.



7. Classificação de um sistema vibratório:

quanto à excitação: o sistema pode ser livre (força F = 0) ou forçado (F (t ) ≠ 0,t é tempo);

quanto ao amortecimento: o sistema pode ser amortecido (há perdas de energia,dissipação) ou não-amortecido (não há perdas de energia)

quanto ao movimento: translação, rotação ou combinado (translação e rotação);

quanto às equações envolvidas: o sistema pode ser linear (potência 0 ou 1),onde é válido o princípio da superposição, ou não-linear;

quanto às propriedades físicas: sistema pode ser discreto (aproxima-se osistema físico por elementos concentrados de massa, rigidez e amortecimento – háum número finito de graus de liberdade) ou contínuo (considera os parâmetrosdistribuídos – número infinito de graus de liberdade - estes precisam serdiscretizados para análises numéricas).



8. Conceitos gerais ciclo: movimento que inicia da posição de equilíbrio, atinge os extremos eretorna à posição inicial (em radianos equivale a 2π rad);

período: tempo necessário para a oscilação completar um ciclo;

amplitude: o máximo de deslocamento de um corpo vibratório em relação à suaposição de equilíbrio. Está associada à intensidade de vibração;

frequência: quantidade de ciclos por unidade de tempo (pode ser em Hz ourad/s). Ela é inversamente proporcional ao período. Se a vibração é livre (F (t ) = 0)as frequências destas vibrações são chamadas de frequências naturais.



x(t ) = X sen(Ωt + β )

X é a amplitude, β é a fase , Ω é a frequência, T é o período do sinal e, Ωt é o deslocamentoangular.A frequência Ω é denominada de frequência angular pois pode ser associada a um movimento derotação circular uniforme, que gera, na sua posição, uma senóide. Por isso ela é expressa emradianos por segundo. Porém, é comum utilizá-la também em ciclos por segundo, Hertz (Hz).

f = Ω /2π (Hz) e T =1/ f

Traçado de um sinal senoidal: x(t ) = X sen(Ωt ) e ..... x(t ) = X sen(Ωt + β )

O ângulo (Ωt + β ) ou (Ωt - β ) é uma função linear do tempo, ela aumentalinearmente com o tempo. Assim, todo diagrama gira em sentido anti-horário.



ângulo de fase: é o ângulo inicial que descreve o movimento harmônico. Émedido em radianos. defasagem: é a diferença entre as fases de dois sinais de mesma frequência.

Exemplo: De uma maneira geral, um sinal senoidalidalpode ser matematicamente escrito pela equação:

Deslocamento: x(t ) = Asen(ωt + β )

E as suas derivadas no tempo:

Velocidade: v(t ) = Aωcos(ωt + β )Aceleração: a(t ) = - Aω2sen(ωt + β )

Para esta figura, como pode ser visto, afase ( β ) é zero.

Logo:

Deslocamento: x(t ) = Asen(ωt )Velocidade: v(t ) = Aωcos(ωt ) = Aωsen(ωt + 90°)

Aceleração: a(t ) = - Aω2sen(ωt ) = Aω2sen(ωt + 180°)

A defasagem entre x e v e entre v e a éπ /2 e entre x e a é π.



graus de liberdade (GDL): número de coordenadas independentes

necessárias para descrever (localizar e orientar) completamente a configuraçãoespacial do sistema em qualquer instante de tempo.

Um sistema possui tantas frequências naturais quanto for os seus graus deliberdade.

Sistema contínuo: N

GDL

1 GDL

2 GDL



ressonância: fenômeno que ocorre quando a frequência de excitação externacoincide com uma das frequências naturais do sistema. Neste instante asamplitudes de vibração aumentam e atingem seus valores máximos nestafrequência. Em geral esta situação não é desejada;

sistema dissipativo: é aquele onde há transformação de energia em uma outramodalidade diferente da inicial. Ex.: energia cinética em energia térmica;

sistema conservativo: é aquele onde a energia total do sistema não sofre

alteração com o tempo.



batimento: fenômeno que ocorre quando dois movimentos harmônicos de

frequências próximas são somados. É um fenômeno muito observado emmáquinas e estruturas e ocorre quando a frequência de excitação está próxima dafrequência natural do sistema. Na figura, as curvas em azul e vermelhorepresentam os sinais harmônicos de frequências próximas. Em preto é o sinal querepresenta o fenômeno de batimento, que é a soma dos dois sinais harmônicos.



Sinais dinâmicos

Determinísticos: são aqueles que podem serescritos por uma expressão matemática.

aleatórios

PeriódicosHamônico: é o mais

simples.

Não-periódicos

Estacionários:Não variam com o

tempo.

Não - estacionários



Sinal harmônico

Senóide: é um sinal básico (mais elementar) que corresponde à solução de umaequação diferencial ordinária de segunda ordem que governa a dinâmica deosciladores lineares simples como, por exemplo, os sistemas massa-mola-

amortecedor.

exemplo



Sinal periódico

T o

: período

periódico: é um tipo de movimento oscilatório em que um movimento padrãorepete-se em intervalos iguais (períodos).

exemplo



Sinal transitório

É aquele que possuiu amplitudes durante um certo intervalo de tempo. Ex.: uma“martelada”.

exemplo



Sinal aleatório

São sinais para os quais é impossível ou muito grosseiro representá-los porfunções matemáticas. Só podem ser estudados por suas propriedades médias ou

estatísticas.

exemplo



Equações diferenciais:

Para um sistema linear, de parâmetros concentrados, invariantes no tempo e emtempo contínuo, o modelo matemático é descrito na forma da equação diferencialordinária do tipo:

Solução:

resposta natural do sistema

Solução que inclui a

excitação, ou seja, é aresposta forçada do sistema.Pode-se dizer que esta soluçãoapresenta a mesma “forma”

da função de excitação.

solução homogênea

solução particular

+



A equação diferencial homogênea é satisfeita por:

Assim, suas derivadas são:

Substituindo na equação diferencial homogênea encontra-se o polinômio

característico de n raízes:

É esperado que a solução homogênea seja do tipo:

Onde r i são as n raízes do polinômio característico.



1. Calcular as n raízes do polinômio característico, r i, i=1,...,n;

2. Para cada raiz distinta r , um termo Aert aparece na solução;

3. Para cada par de raízes complexas conjugadas α ± β j, os termos eαt cos( β t ) eeαt sen( β t ) aparecem na solução multiplicados por coeficientes constantes;

4. Para cada raiz real r de multiplicidade m os termos ert , tert , t 2ert ,...,t m-1ert

aparecem na solução multiplicados por coeficientes constantes;

5. Para cada par de raízes complexas conjugadas α±β j de multiplicidade m, ostermos eαt cos( β t ), eαt sen( β t ), teαt cos( β t ), teαt sen( β t ), t 2eαt cos( β t ), t 2eαt sen( β t ),...,t m-1eαt cos( β t ), t m-1eαt sen( β t ), aparecem na solução multiplicados porcoeficientes constantes;

Determinação da solução homogênea:



Solução completa: solução homogênea + particular As constantes são encontradas pelas condições de contorno.



Vibração pode ser vista como uma constante troca entre

energia cinética e energia potencial elástica. Em sistemas

reais elas desaparecem por dissipação de energia

(geralmente em forma de calor ou som) devido àscaracterísticas de amortecimento do sistema.

A complexidade de um modelo matemático, que dá

origem à equação que representa o comportamentodinâmico do sistema, depende dos objetivos requeridos no

projeto.

Comentários finais

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