curso de linguagem matemática curso de linguagem matemática … · 2012-04-19 · curso de...

Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática –––– Professor Renato Tião Professor Renato Tião Professor Renato Tião Professor Renato Tião

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I I I I ---- Teorema Teorema Teorema Teorema linear linear linear linear de Talesde Talesde Talesde Tales

1.1.1.1. Quatro alamedas paralelas ligam a Avenida 9 de Julho à Rua Pamplona como mostra a figura. Uma pessoa que anda pela Rua Pamplona percorre 1650m entre as esquinas da primeira e da ultima alameda. Determina

os comprimentos em metros de cada uma das quadras determinadas por estas quatro alamedas na Rua

Pamplona, sabendo que estas quadras, na Avenida 9 de Julho têm respectivamente 240m, 300m e 450m de

comprimento.

2 UFSM2 UFSM2 UFSM2 UFSM.... A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede:

A) 33m B) 38m C) 43m D) 48m E) 53m

II II II II ---- Teorema da bissetriz Teorema da bissetriz Teorema da bissetriz Teorema da bissetriz

3333.... Sendo BP uma bissetriz interna do triângulo ABC de lados AB=12 cm, BC=15 cm e AC=9 cm.

Determine as medidas dos segmentos AP e PC.

4444.... Determine a medida da diagonal de um pentágono regular cujo lado mede 2 cm.

“A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos de medidas diretamente proporcionais às medidas dos lados adjacentes”.

“Se três ou mais paralelas são cortadas por duas transversais, então os segmentos determinados numa transversal têm medidas que são diretamente proporcionais às dos segmentos correspondentes determinados na outra”.


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III III III III ---- Teorema Teorema Teorema Teoremassss da base média da base média da base média da base média

5555.... Unindo-se os pontos médios dos catetos de um triângulo retângulo obtemos um segmento de reta com a medida do:

A) diâmetro do círculo inscrito no triângulo.

B) diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo.

C) perímetro do círculo inscrito no triângulo.

D) raio do círculo circunscrito ao triângulo.

E) raio do círculo inscrito no triângulo.

6666 Enem. Enem. Enem. Enem. Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura. Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser:

A) 144 B) 180 C) 210 D) 225 E) 240

IVIVIVIV ---- Teorema do baricentro do triângulo Teorema do baricentro do triângulo Teorema do baricentro do triângulo Teorema do baricentro do triângulo

7777.... Na figura, M e N são pontos médios dos lados BC e AC do triângulo. Sabendo que AB = 10 cm, AP = 6 cm e BN = 21 cm. Determine as medidas dos seguintes segmentos:

a)a)a)a) PM

b)b)b)b) AM

c)c)c)c) PN

d)d)d)d) BP

e)e)e)e) MN

V V V V –––– Teorema da potência d Teorema da potência d Teorema da potência d Teorema da potência de pontoe pontoe pontoe ponto

8888.... A figura ao lado apresenta uma circunferência que passa pelos pontos A, B, C, D e T. Sabe-se que M é o ponto médio da corda AB e pertence à corda CD. Além disso, a reta r, que intercepta a reta AB no ponto P, é tangente à circunferência no ponto T.

Então, conhecendo-se as medidas MC= 5 cm, MD= 5 5 cm e PT = 12 cm, determine as medidas dos segmentos AB e AP.

“A potência de um ponto em relação a uma circunferência é constante”

“O baricentro divide cada mediana do triângulo em dois segmentos,

sendo que o maior tem o dobro do tamanho do menor”.

“A base média de um triângulo é paralela e mede a metade da base do triângulo”.

“A base média de um trapézio é paralela e mede a média aritmética das bases do trapézio”.


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VI VI VI VI ---- Teorema da razão de semelhança Teorema da razão de semelhança Teorema da razão de semelhança Teorema da razão de semelhança

Sólido 1 ~ Sólido 2

9.9.9.9. A distribuidora de alimentos shine on box oferece refeições para viagem em embalagens cúbicas de três tamanhos. A aresta da maior delas, chamada de “tamanho família”, mede o dobro da aresta da menor delas, que é chamada de “porção individual”. Supondo que a “porção individual” seja honesta, ou seja, que alimente de fato uma única pessoa com apetite normal, determine quantas pessoas, com apetite normal, a refeição “tamanho família” deve alimentar.

A) 4 pessoas B) 6 pessoas C) 8 pessoas D) 10 pessoas E) 12 pessoas 10.10.10.10. Na década de setenta, não havia pista de dança sem um globo espelhado, que é na verdade, uma esfera plástica revestida de pedaçinhos de espelho quadrados. Considere dois desses globos. Um completamente cercado por 500 pedacinhos de espelho, e outro menor com apenas 320. Se os pedacinhos usados em ambos são do mesmo tamanho, então qual é o número inteiro mais próximo da razão entre os seus volumes?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11.11.11.11. Um cálice de cristal com a forma de um cone contém exatamente 5 mL de água.

Sabendo que a água no interior do cálice atinge apenas um quarto de sua altura então, o volume de água necessário para se completar a capacidade total do cálice é:

A) 20 mL B) 50 mL C) 200 mL D) 320 mL E) 450 mL 12 Unifesp.12 Unifesp.12 Unifesp.12 Unifesp. Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles você usa para formar o círculo da figura I, e o outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da figura II.

Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por:

A) S = 3s B) S = 4s C) S = 6s D) S = 8s E) S = 9s

“Se duas figuras geométricas forem semelhantes, então a razão entre as medidas dos segmentos

correspondentes nessas figuras será igual a uma constante kkkk, a razão entre suas áreas será igual a kkkk2222, e

se representarem sólidos semelhantes, então a razão entre os volumes desses sólidos será igual a kkkk3333”.


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VII VII VII VII –––– Relações trigonométricas no triângulo retângulo Relações trigonométricas no triângulo retângulo Relações trigonométricas no triângulo retângulo Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Para todo ângulo agudo de um triângulo retângulo define-se: • SenoSenoSenoSeno como sendo o quociente da medida do cateto oposto ao ângulo pela medida da hipotenusa do

triângulo. • CossCossCossCossenoenoenoeno como sendo o quociente da medida do cateto adjacente ao ângulo pela medida da

hipotenusa do triângulo. • TangentTangentTangentTangente e e e como sendo o quociente da medida do cateto oposto pela medida do cateto adjacente ao

ângulo.

13131313 Fuvest Fuvest Fuvest Fuvest. . . . Um triângulo retângulo tem catetos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um ponto P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual a distância AP?

A) 3/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/3 E) 2 14.14.14.14. A medida, em centímetros, do raio do círculo inscrito em um triângulo isósceles cuja base mede 10 cm e a altura mede 12 cm é:

A) 4 B) 10/3 C) 3 D) 8/3 E) 2 15.15.15.15. As bases de um trapézio retângulo medem 4 e 9 centímetros. Determine a medida da altura desse trapézio sabendo que suas diagonais são perpendiculares entre si.

16161616.... Escreva em função das medidas aaaa e bbbb dos catetos do triângulo ABC, a medida do lado do quadrado inscrito como mostra a figura:

11117777.... Determine a medida do lado do quadrado inscrito no triângulo retângulo como mostra a figura:

11118888.... A figura a seguir apresenta seis retângulos. Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e congruentes. Os ângulos HÂG e DÂE possuem a mesma medida. Determine essa medida em graus.

A B C D

H G F E

2 cm 8 cm

B

a

b C A

“Os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo dependem apenas da medida do

ângulo, não importa qual seja a sua posição na figura ou em qual figura ele se encontre”.


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VIII VIII VIII VIII –––– Relações métricas no triângulo retângulo Relações métricas no triângulo retângulo Relações métricas no triângulo retângulo Relações métricas no triângulo retângulo

Em todo triângulo retângulo são válidas as seguintes relações de equivalência:

11119999. . . . Determine a medida do raio do círculo inscrito num losango cujas diagonais medem 4 cm

e 8 cm.

20202020.... Determine o valor do raio da circunferência centrada na origem do plano cartesiano que

tangencia a reta que representa o gráfico da

função 3

y =- x+64

.

IX IX IX IX –––– Teorema dos senos Teorema dos senos Teorema dos senos Teorema dos senos

21212121.... O lado AB de um triângulo mede 10 6 m e os

ângulos internos de vértices A e B medem

respectivamente 75º e 45º. Então, o lado AC deste

triângulo mede:

A) 20 m B) 25 m C) 30 m D) 35 m E) 40 m

22.22.22.22. Assinale a alternativa que apresenta o número inteiro mais próximo da medida, em centímetros,

do raio da circunferência que circunscreve um

triângulo isósceles cuja base mede 10 cm e a

altura mede 12 cm é:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

“As medidas dos lados de um triângulo qualquer são diretamente proporcionais aos senos dos seus ângulos opostos, internos ou externos. Além disso, a razão entre a medida de cada lado pelo seno do ângulo oposto é igual à medida do diâmetro da circunferência que circunscreve o triângulo.“

• “O produto da hipotenusa pela altura relativa equivale ao produto dos catetos” • “O quadrado da altura relativa à hipotenusa equivale ao produto entre as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa”.

• “O quadrado de um cateto equivale ao produto da sua projeção ortogonal sobre a hipotenusa pela própria hipotenusa”

• “A soma dos quadrados dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa” (Teorema de PitágorasTeorema de PitágorasTeorema de PitágorasTeorema de Pitágoras)


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X X X X –––– Teorema dos cossenos Teorema dos cossenos Teorema dos cossenos Teorema dos cossenos

23232323.... Os ponteiros de um relógio analógico medem respectivamente 5 cm e 8 cm. Qual é a distância entre as extremidades dos ponteiros deste relógio, quando eles formam um ângulo de 60º?

A) 2 13 cm

B) 51cm

C) 5 2 cm

D) 7 cm

E) 4 3 cm 24.24.24.24. Determine as medidas dos lados dos seguintes polígonos regulares inscritos num círculo de raio unitário: a)a)a)a) octógono b)b)b)b) dodecágono

25.25.25.25. Para registrar a escritura de um terreno na forma de um quadrilátero ABCD, como mostra a figura, um agrimensor percorre os 5 km de A até B, depois os 3 km de B até C e por fim, os 7 km de C até D, e verifica que os ângulos internos de vértices B e C medem 120º.

Acontece que neste terreno há parte de uma enorme lagoa, cuja localização impede o agrimensor de percorrer a trajetória retilínea entre os pontos D e A. Mesmo assim, o agrimensor deu-se por satisfeito, pois seus conhecimentos de geometria plana são suficientes para que ele determine a distância, em quilômetros, entre esses pontos. Se o agrimensor não cometer nenhum erro em seus cálculos, ele deverá encontrar um número:

A) menor que 8,5 B) entre 8,5 e 9 C) entre 9 e 9,5 D) entre 9,5 e 10 E) maior que 10

12

6

1

2

4

9

5

10

1

8

7

3

A

B

C

D

120º

120º

5555 k k k km m m m

3333 k k k km m m m 7 7 7 7 kkkkm m m m

“O quadrado de cada lado de um triângulo equivale à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto entre esses lados e o cosseno do ângulo interno que eles formam”.

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